Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 2 - Nguyễn Gia Định

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Số tự nhiên và số nguyên; số hữu tỉ và số thực, số phức; đa thức. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Cơ sở Toán học: Phần 2 - Nguyễn Gia Định

. . CHU O NG IV: ˆ .. ´ ˆ ` ˆ´ ˆ SO TU NHIEN VA SO NGUYEN ´ ˆ . ˆ 4.1. SO TU NHIEN. . Sˆ tu. nhiˆn l` mˆt th`nh tu.u to´n hoc lˆu d `.i nhˆ t cua lo`i ngu.`.i. Ng`y ´ o . e a o . a . a . a ¯o ´ a ’ a o a nay, sˆ .o´ tu. nhiˆn d u.o.c su. dung o. moi no.i, moi l´ c cua d `.i sˆng x˜ hˆi: trong e ¯ . ’ . ’ . . u ’ ¯o o ´ a o . giao dich, mua b´n, thu ın, ¯ e a . t´ d iˆn thoai, ... Kh´ c´ thˆ h` dung mˆt x˜ hˆi o o e ’ ınh o a o . . . . . khˆng c´ sˆ . o o o ´ tu. nhiˆn! Ta d` ng c´c sˆ 0, 1, 2, 3, 4, ... t´ to´n (cˆng, tr`., nhˆn, e u a o ´ ınh a o . u a chia) trˆn c´c sˆ d ´ mˆt c´ch ”tu. nhiˆn” trong moi hoat d ˆng cua m` e a o ¯o o a ´ . . e . . ¯o. ’ ınh, song ´ ıt khi ta tu ’ . hoi con ngu.`.i d ˜ biˆt dˆn sˆ tu. nhiˆn t`. bao gi`. v` b˘ ng c´ch n`o? o ¯a e ¯e o . ´ ´ ´ e u o a ` a a a . o e o ¯ ’ Khˆng ai c´ thˆ n´i d u . ¯ıch a o .o.c d´ x´c lo`i ngu.`.i biˆt dˆn c´c con sˆ t`. khi n`o. a o ´ ´ e ¯e a ´ o u a Ngu o .`.i ta t` d u.o.c mˆt v˘n ban cˆ kh˘ c trˆn d ´ c´ch d ˆy khoang 6000 n˘m, ım ¯ . o a ’ o’ a ´ e ¯a a ¯a ’ a . trˆn d ´ c´ c´c con sˆ biˆ e ¯o o a ´ o e ’u thi b˘ ng c´c dˆ u chˆ m v` gach. M˜i dˆn thˆ ky XI, . ` a a a ´ ´ a a . a ¯e ´ ´ e ’ ´ con sˆ khˆng (0) m´ o o o.i ra d `.i v` t`. d ´ con ngu.`.i b˘ t d` u ngh˜ ra hˆ thˆp phˆn ¯o a u ¯o o a a ´ ¯ˆ ı e a a . . ’ biˆ u diˆn c´c con sˆ. dˆ e ¯e ’ ˜ a e o´ o´ tu. nhiˆn ra d `.i l` do nhu cˆu nhˆn biˆt vˆ sˆ lu.o.ng cua su. vˆt. Nhu cˆu Sˆ . e ¯o a ` a a . e ` o . ´ e ´ ’ . a . `a ¯o a ´ e ’ d ´ xuˆ t hiˆn ngay ca trong mˆt x˜ hˆi d o o a o ¯ .n so. nhˆ t. Ch˘ng han, ngu.`.i ta cˆn ´ a ’ a o `a . . . . biˆt sˆ lu.o.ng cua d `n th´ dˆ tˆ ch´.c mˆt cuˆc d i s˘n, cˆn biˆt sˆ lu.o.ng cua ´ ´ e o . ’ ¯a ’ ’ u ¯e o u o . o ¯ a . ` a ´ ´ e o . ’ bˆn d ich dˆ tˆ ch´ e ¯. ¯ e o u ’ ’ .c cuˆc chiˆn d ˆ u, ... v` khi x˜ hˆi c`ng ph´t triˆ n th` nhu o ´ e ¯a ´ a a o a a e’ ı . . ` ¯o a a cˆu d ´ ng`y c`ng t˘ng. a a Sau d ˆy, ta t` c´ch xˆy du.ng tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn. D` u tiˆn ta chˆ p ¯a ım a a . a . . a o . ´ e -ˆ a e ´ a .p N m` c´c phˆn tu. cua n´ thoa m˜n mˆt sˆ t´ chˆ t m` ` nhˆn c´ mˆt tˆp ho a o o a . . . . a a a ’ ’ o ’ a . ´ o o ınh a ´ a ta goi l` hˆ tiˆn d` Peano. Sau d ´, ta d inh ngh˜ c´c ph´p cˆng, ph´p nhˆn c´c . a e e ¯ˆ. e ¯o ¯. ıa a e o . e a a ´ tu. nhiˆn, rˆi d inh ngh˜ quan hˆ th´. tu. trˆn N v` d u.a ra c´c t´ chˆ t c` ng sˆ . o e ` ¯. o ıa e u . e . a ¯ a ınh a ´ u mˆo´i quan hˆ gi˜.a ch´ ng. Trˆn co. so. c´ d u.o.c tˆp ho.p N c´c sˆ tu. nhiˆn, vˆ sau e u . u e ’ o ¯ . a . . a o ´ . e `e ta s˜ xˆy du e a .ng tˆp ho.p Z c´c sˆ nguyˆn, tˆp ho.p Q c´c sˆ h˜.u tı. a a o ´ e a ´ a o u ’ . . . . . 4.1.1. Tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn v` hˆ tiˆn d` Peano: a . . a o . ´ e a e e ¯ˆ . e 4.1.1.1. Mo. d` u: Ta biˆt r˘ ng mˆt kh´i niˆm m´.i bao gi`. c˜ ng d u.o.c d .nh ’ ¯ˆ a e ` ´ a o . a e . o o u ¯ . ¯i ngh˜ thˆng qua nh˜ ıa o u.ng kh´i niˆm tru.´.c d ´. C˜ ng vˆy, mˆt mˆnh d` d u.o.c ch´.ng a e o ¯o u a o e ¯ˆ ¯ . e u . . . . minh nh` o. nh˜.ng mˆnh d` d ˜ biˆt tru.´.c d ´. V` vˆy, dˆ xˆy du.ng mˆt l´ thuyˆt u e ¯ˆ ¯a e e ´ o ¯o ı a ¯e ’ a o y e´ . . . . to´n hoc m` khˆng bi ro a o a a o .i v`o v`ng luˆ n quˆ n, ngu.`.i ta thu.`.ng xuˆ t ph´t t`. a’ a’ o o ´ a a u . . o o . ´ kh´i niˆm d` u tiˆn khˆng d inh ngh˜ goi l` c´c kh´i niˆm nguyˆn thuy mˆt sˆ a e ¯ˆ . a e o ¯. ıa, . a a a e . e ’ v` mˆt sˆ mˆnh d` d` u tiˆn d u . .o.c th`.a nhˆn, khˆng ch´.ng minh goi l` c´c tiˆn a o o e. ´ . ¯ˆ ¯ˆ e a e ¯ u a . o u . a a e d` . Phu.o.ng ph´p xˆy du.ng nhu. vˆy goi l` phu.o.ng ph´p tiˆn d` . L˜ tu. nhiˆn, ¯ˆe a a . a . . a a e ¯ˆ e . e e sˆ c´c kh´i niˆm nguyˆn thuy v` sˆ c´c tiˆn d` ngh˜ l` sˆ nh˜ ´ o a a e e ´ ’ a o a e ¯ˆ e ıa a o u ´ .ng d iˆu cˆn th`.a ¯` ` e a u . a e ıt a ˜ nhˆn, nˆn ´ nhˆ t m` vˆ n d u suy ra tˆ t ca c´c kˆt qua kh´c. D` ng th` ´ a a ¯’ ´ a ’ a e ´ ’ a -ˆ o o.i nh˜.ng u . mˆnh d` th` e ¯ˆ u e .a nhˆn thu.`.ng l` nh˜.ng mˆnh d` d o.n gian, “hiˆ n nhiˆn”. Mˆt a o a u e ¯ˆ ¯ e ’ e’ e o . . . . trong nh˜ u.ng ngu.`.i d` u tiˆn xˆy du.ng mˆt l´ thuyˆt to´n hoc theo phu.o.ng ph´p o ¯ˆ a e a o y e´ a a . . . tiˆn d` l` nh` to´n hoc Euclide (khoang 300 n˘m tru.´.c cˆng nguyˆn). Cuˆn e ¯ˆ a e a a . ’ a o o e ´ o 91
s´ch “Nh˜.ng nguyˆn l´” cua ˆng, trong ho.n 20 thˆ ky qua vˆ n l` mˆt mˆ u mu.c a u e y ’ o ´ e ’ ˜ a a o . ˜ a . ` e a vˆ viˆc xˆy du e . .ng mˆt l´ thuyˆt to´n hoc (h` hoc) b˘ ng phu.o.ng ph´p tiˆn d` . o y ´ e a ınh . ` a a e ¯ˆe . . . o o . .i tˆp ho.p N c´c sˆ tu. nhiˆn, N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }. Tˆp Ta d ˜ quen thuˆc v´ a ¯a ´ a o . e a . . . ho .p N c´ phˆn tu. “d` u tiˆn” l` 0 v` ´nh xa “liˆn sau”: o ` a ’ ¯ˆ a e a aa `e . . σ : N −→ N : 0 → 1 → 2 → 3 → 4 → · · · nhu. vˆy, ta thˆ y tˆp ho.p N d u.o.c sinh bo.i 0 v` ´nh xa σ. Sau d ˆy l` c´ch a. ´ . a a . ¯ . ’ a a . ¯a a a o ’ a mˆ ta tˆp ho .p N mˆt c´ch to´n hoc t`. mˆt hˆ tiˆn d` d u.o.c nˆu ra bo.i Peano o a a ’ . . . . u o e e ¯ˆ ¯ . . . e e (1858-1932) v`o n˘m 1899. a a 4.1.1.2. Hˆ tiˆn d` Peano: Tˆp ho.p N m` c´c phˆn tu. cua n´ d u.o.c goi l` e e ¯ˆ . e a . . a a `a ’ ’ o ¯ . . a ´ c´c sˆ tu a o . . nhiˆn, l` mˆt tˆp ho.p thoa m˜n: e a o a ’ a . . . P1. 0 ∈ N. . . . aa . ` P2. C´ mˆt ´nh xa σ : N −→ N goi l` ´nh xa liˆn sau v` σ(n) goi l` sˆ liˆn o o a e a . a o `´ e ’ sau cua n ∈ N. P3. 0 khˆng l` sˆ liˆn sau cua mˆt sˆ tu. nhiˆn n`o, ngh˜ l` 0 ∈ σ(N). o a o `´ e ’ . ´ o o . e a ıa a / P4. σ l` mˆt d o a a o ¯ .n ´nh, ngh˜ l` mˆ i sˆ tu. nhiˆn l` sˆ liˆn sau cua khˆng ıa a o o . ˜ ´ e a o ` ´ e ’ o . . nhiˆn. . ´ qu´ mˆt sˆ tu a o o . e . a . ’ P5. Moi tˆp con U cua N c´ c´c t´ chˆ t: o a ınh a ´ a) 0 ∈ U, b) v´.i moi n ∈ N, n ∈ U ⇒ σ(n) ∈ U , o . d` u tr` ng v´ a ¯ˆe u .i tˆp ho.p N. o . . 4.1.1.3. Ch´ y: 1) Tiˆn d` P1 cho thˆ y N = ∅ v` c´ 0 ∈ N. u ´ e ¯ˆ e a´ ı o 2) Theo tiˆn dˆ e ¯e ` o . o e ´ ` ` P2, tˆn tai sˆ liˆn sau cua 0 v` sˆ d ´ l` duy nhˆ t, k´ ’ ´ a o ¯o a ´ a y e . . e ¯ˆ e ` . hiˆu 1 = σ(0). Lai theo tiˆn d` P2, tˆn tai duy nhˆ t sˆ liˆn sau cua 1, k´ hiˆu o a o ` ´ ´ e ’ y e . 2 = σ(1). Tiˆp tuc nhu. vˆy, ta d u.o.c mˆt h` anh cua tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn ´ e . a . ¯ . o ınh ’ . ’ a . . a o .´ e l` N = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }. a 3) Tiˆn d` P5 c`n goi l` nguyˆn l´ cua ph´p ch´.ng minh quy nap. Thˆy e ¯ˆ e o . a e y ’ e u . a . vˆy, ta x´t mˆt h`m mˆnh d` P (n) v` goi U = {n ∈ N | P (n)}. Nˆu P (0) d ung a. e o a . e . ¯ˆe a . ´ e ¯´ ta c´ 0 ∈ U . Cho P (n) d ung ngh˜ l` n ∈ U , nˆu ta ch´.ng minh d u.o.c P (σ(n)) o ¯´ ıa a ´ e u ¯ . d ung, ngh˜ l` σ(n) ∈ U th` U nghiˆm d ung ca ¯´ ıa a ı e ¯´ . ’ hai t´ chˆ t cua tiˆn d` P5. ınh a ´ ’ e ¯ˆ e Vˆy U = N, ngh˜ l` P (n) d ung v´ a ıa a ¯´ o.i moi n ∈ N. . . 4.1.2. Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn trˆn N: e o . a e a e -. 4.1.2.1. Dinh ngh˜ ıa: 1) Ph´p cˆng: e o . a) m + 0 = m v´.i moi m ∈ N, o . b) m + σ(n) = σ(m + n) v´.i moi m, n ∈ N v` m + n d ˜ d u.o.c x´c d inh. o . a ¯a ¯ . a ¯ . 2) Ph´p nhˆn: e a a) m0 = 0 v´.i moi m ∈ N. o . b) mσ(n) = mn + m v´.i moi m, n ∈ N v` mn d ˜ d u.o.c x´c d inh. o . a ¯a ¯ . a ¯ . 92
4.1.2.2. T´ ´ ınh chˆt: a 1) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn d u.o.c x´c d inh trˆn N. e o . a e a ¯ . a ¯. e 2) σ(n) = n + 1, v´ o.i moi n ∈ N v` 1 = σ(0). a . 3) N v´o.i ph´p cˆng c´ phˆn tu. khˆng v` v´.i ph´p nhˆn c´ phˆn tu. d o.n vi, e o o ` a ’ o a o e a o ` a ’ ¯ . . ngh˜ l` v´ ıa a o .i moi n ∈ N, ta c´o . n + 0 = 0 + n = n, n1 = 1n = n. 4) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ kˆt ho.p, ngh˜ l` v´.i moi m, n, p ∈ N, e o . a e a o ınh e .´ ıa a o . ta c´ o (m + n) + p = m + (n + p), (mn)p = m(np). 5) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ giao ho´n, ngh˜ l` v´.i moi m, n ∈ N, e o . a e a o ınh a ıa a o . ta c´ o m + n = n + m, mn = nm. 6) Ph´p nhˆn c´ t´ phˆn phˆi d ˆi v´.i ph´p cˆng, ngh˜ l` v´.i moi m, n, p ∈ e a o ınh a ´ ´ o ¯o o e o . ıa a o . N, ta c´ o m(n + p) = mn + mp, (n + p)m = nm + pm. 7) m + n = 0 ⇒ m = n = 0. 8) mn = 0 ⇒ m = 0 ho˘c n = 0. a . 9) Ph´p cˆng c´ t´ gian u.´.c, ngh˜ l` v´.i moi m, n, p ∈ N, ta c´ e o . o ınh ’ o ıa a o . o m + p = n + p ⇒ m = n. 10) Ph´p nhˆn c´ t´ gian u.´.c, ngh˜ l` v´.i moi m, n, p ∈ N, p = 0, ta c´ e a o ınh ’ o ıa a o . o mp = np ⇒ m = n. Ch´.ng minh: u 1) V´.i m ∈ N, goi U = {n ∈ N | m + n ∈ N d u.o.c x´c d inh} v` U = {n ∈ o . ¯ . a ¯. a ¯ .o.c x´c d inh}. R˜ r`ng 0 ∈ U v` 0 ∈ U . Gia su. n ∈ U , ngh˜ N | mn ∈ N d u . a ¯. o a a ’ ’ ıa ¯ .o.c x´c d inh. Khi d ´ m + σ(n) = σ(m + n) ∈ N d u.o.c x´c d inh hay l` m + n d u . a ¯. a ¯o ¯ . a ¯. σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. Gia su a ’ ’. n ∈ U , ngh˜ l` mn d u.o.c x´c d inh. Khi d ´ ıa a ¯ . a ¯. ¯o . .o.c x´c d inh hay mσ(n) d u.o.c x´c d inh t´.c l` σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. mn + m d u . a ¯. ¯ ¯ . a ¯. u a a . 2) n + 1 = n + σ(0) = σ(n + 0) = σ(n), v´ o.i moi n ∈ N. . 3) Goi U = {n ∈ N | n + 0 = 0 + n = n}. Ta c´ 0 + 0 = 0 hay 0 ∈ U . Gia . o ’ su’. n ∈ U hay n + 0 = 0 + n = n. Khi d ´ 0 + σ(n) = σ(0 + n) = σ(n) = σ(n) + 0 ¯o hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. a. Goi U = {n ∈ N | nσ(0) = σ(0)n = n}. Ta c´ 0σ(0) = 0.0 + 0 = 0 = σ(0)0 . o hay 0 ∈ U . Gia su ’ ’. n ∈ U hay nσ(0) = σ(0)n = n. Khi d ´ σ(n)σ(0) = ¯o σ(n)0+σ(n) = 0+σ(n) = σ(n) = σ(n+0) = n+σ(0) = σ(0)n+σ(0) = σ(0)σ(n) hay σ(n) ∈ U Vˆy U = N. a . 93
4) V´.i m, n ∈ N, goi U = {p ∈ N | (m + n) + p = m + (n + p)}. Ta c´ o . o (m + n) + 0 = m + n = m + (n + 0) hay 0 ∈ U . Gia su ’ ’. p ∈ U hay (m + n) + p = m + (n + p). Khi d ´ (m + n) + σ(p) = σ((m + n) + p) = σ(m + (n + p)) = ¯o m + σ(n + p) = m + (n + σ(p)) hay σ(p) ∈ U . Vˆy U = N. a . T´ kˆt ho ınh e . ´ .p cua ph´p nhˆn d u.o.c ch´.ng minh trong 6). ’ e a ¯ . u 5) Goi U = {n ∈ N | n + 1 = 1 + n}. Ta c´ 0 + 1 = 1 + 0 = 1 hay 0 ∈ U . Gia . o ’ ’ su. n ∈ U hay n + 1 = 1 + n. Khi d ´ σ(n) + 1 = σ(σ(n)) = σ(n + 1) = σ(1 + n) = ¯o 1 + σ(n) hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. a . Goi U = {n ∈ N | 0n = 0}. Ta c´ 0.0 = 0 hay 0 ∈ U . Gia su. n ∈ U hay . o ’ ’ 0n = 0. Khi d ´ 0σ(n) = 0n + 0 = 0 + 0 = 0 hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. ¯o a . V´ o .i m ∈ N, goi U = {n | m + n = n + m}. Ta c´ m + 0 = 0 + m = m hay o . 0 ∈ U . Gia su. n ∈ U hay m + n = n + m. Khi d ´ m + σ(n) = m + (n + 1) = ’ ’ ¯o (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 1) = n + (1 + m) = (n + 1) + m = σ(n) + m hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N.a . V´ o .i m ∈ N, goi U = {n ∈ N | (m + 1)n = mn + n}. Ta c´ (m + 1)0 = o . 0 = m0 + 0 hay 0 ∈ U . Gia ’ su. n ∈ U hay (m + 1)n = mn + n. Khi d ´ ’ ¯o (m + 1)σ(n) = (m + 1)n + (m + 1) = (mn + n) + (m + 1) = (mn + m) + (n + 1) = mσ(n) + σ(n) hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N. a . V´ o .i m ∈ N, goi U = {n ∈ N | mn = nm}. Ta c´ m0 = 0 = 0m hay o . 0 ∈ U . Gia su ’ ’ . n ∈ U hay mn = nm. Khi d ´ mσ(n) = mn + m = nm + m = ¯o (n + 1)m = σ(n)m hay σ(n) ∈ U . Vˆy U = N a . 6) V´ o.i n, p ∈ N, goi U = {m ∈ N | m(n + p) = mn + mp}. Ta c´ 0(n + p) = o . 0 = 0n + 0p hay 0 ∈ U . Gia su ’ ’ . m ∈ U hay m(n + p) = mn + mp. Khi d ´ ¯o σ(m)(n + p) = (m + 1)(n + p) = m(n + p) + (n + p) = (mn + mp) + (n + p) = (nm + n) + (pm + p) = nσ(m) + pσ(m) = σ(m)n + σ(m)p hay σ(m) ∈ U . Vˆy a . U = N. D˘ng th´.c th´. hai c´ t`. t´ giao ho´n cua ph´p nhˆn. -a’ u u o u ınh a ’ e a Goi U = {p ∈ N | (mn)p = m(np)}. Ta c´ (mn)0 = 0 = m0 = m(n0) hay . o 0 ∈ U . Gia su ’ ’ . p ∈ U hay (mn)p = m(np). Khi d ´ (mn)σ(p) = (mn)p + mn = ¯o m(np) + mn = m(np + n) = m(nσ(p)) hay σ(p) ∈ U . Vˆy U = N. a. ’ ’ 7) Gia su . n = 0. Khi d ´ tˆn tai k ∈ N sao cho σ(k) = n. Khi d ´ 0 = ¯o ` o . ¯o m + n = m + σ(k) = σ(m + k). D ` - iˆu n`y tr´i v´.i tiˆn d` 3. Vˆy n = 0. T`. d ´ e a a o e ¯ˆ e a . u ¯o suy ra m = 0. 8) Gia su. n = 0. Khi d ´ tˆn tai k ∈ N sao cho σ(k) = n v` 0 = mn = ’ ’ ¯o `o . a mσ(k) = mk + m, nˆn m = 0. e 9) V´.i m, n ∈ N, goi U = {p ∈ N | m + p = n + p ⇒ m = n}. Ta c´ o . o m + 0 = n + 0 ⇒ m = n hay 0 ∈ U . Gia su ’ ’. p ∈ U hay m + p = n + p ⇒ m = n. Khi d ´ m + σ(p) = n + σ(p) ⇒ σ(m + p) = σ(n + p) ⇒ m + p = n + p (do σ l` ¯o a ¯ .n ´nh) ⇒ m = n hay σ(p) ∈ U . Vˆy U = N. do a a . 10) V´ o.i m, n ∈ N, tˆn tai x ∈ N sao cho m = n + x ho˘c n = m + x. Khi ` . o a . d ´ mp = np + xp ho˘c np = mp + xp. T` ¯o a u. mp = np suy ra xp = 0 v` do p = 0, a . ta c´ x = 0. Vˆy m = n. o a . 94
4.1.3. Quan hˆ th´. tu. trˆn N: e u . . e 4.1.3.1. Dinh ngh˜ Cho m v` n l` hai sˆ tu. nhiˆn. Ta n´i -. ıa: a a ´ o . e o ’ + m nho ho .n n ho˘c n l´.n ho.n m, k´ hiˆu m < n ho˘c n > m nˆu tˆn tai a o y e a e ` . ´ o . . . x ∈ N, x = 0 sao cho n = m + x. + m nho ho.n hay b˘ ng n ho˘c n l´.n ho.n hay b˘ ng m, k´ hiˆu m ≤ n ho˘c ’ ` a a . o ` a y e. a . n ≥ m nˆ´u ho˘c m = n ho˘c m < n. Nhu. vˆy, e a . a . a . m ≤ n ⇔ ∃x ∈ N, n = m + x. 4.1.3.2. Mˆnh d` : Quan hˆ ≤ l` mˆt quan hˆ th´. tu. trˆn N. e . ¯ˆ e e . a o . e u . e . Ch´.ng minh: T`. d .nh ngh˜ ta c´ ngay quan hˆ ≤ c´ t´ chˆ t phan xa. Bˆy u u ¯i ıa o e . o ınh a ´ ’ . a o. nˆu m ≤ n v` n ≤ m th` tˆn tai x, y ∈ N sao cho n = m + x v` m = n + y. gi` e ´ a ı o` . a Khi d ´ m = m + x + y. D` ng luˆt gia ¯o u a . ’ n u.´.c, ta c´ x + y = 0. T`. d ´ suy ra o o u ¯o x = y = 0, t´ u .c l` m = n. Do d ´ quan hˆ ≤ c´ t´ chˆ t phan d ˆi x´.ng. Quan a ¯o e o ınh a ´ ’ ¯o u´ . . o o ınh a ` ´ a a a . . e´ hˆ ≤ c`n c´ t´ b˘ c cˆu. Thˆt vˆy, nˆu m ≤ n v` n ≤ p th` tˆn tai x, y ∈ N e a ı ` o . sao cho n = m + x v` p = n + y. Khi d ´ p = m + (x + y) v´ a ¯o o.i x + y ∈ N, t´.c l` u a m ≤ p. V` vˆy quan hˆ ≤ l` mˆt quan hˆ th´ . ı a e a o e u . tu.. . . . . 4.1.3.3. Mˆnh d` (Luˆt tam phˆn): V´.i moi m, n ∈ N, c´ mˆt v` chı mˆt e. ¯ˆe a . a o . o o a ’ o . . .`.ng ho.p sau xay ra: trong ba tru o ’ . m < n, m = n, m > n. Ch´.ng minh: Tru.´.c hˆt, dˆ d`ng c´ d u.o.c nhiˆu nhˆ t mˆt trong ba tru.`.ng u o ´ e ˜ a e o ¯ . `e a´ o . o ho .p trˆn xay ra. Bˆy gi`. ta ch´.ng minh b˘ ng quy nap theo n l` v´.i mˆ i m ∈ N e ’ a o u ` a a o ˜ o . . ´ c´ ´ nhˆ t mˆt trong ba tru o o ıt a o .`.ng ho.p trˆn xay ra. V´.i n = 0, ta c´ m > 0 ho˘c e ’ o o a . . . m = 0 v´ o.i moi m ∈ N. Gia su. v´.i n ∈ N ta c´ ´ nhˆ t mˆt trong ba tru.`.ng ’ ’ o o ıt a´ o o . . ho.p m < n, m = n, m > n xay ra v´.i moi m ∈ N. Nˆu m < n hay m = n th` . ’ o . ´ e ı m < σ(n). Nˆ ´u m > n th` m = σ(n) ho˘c m > σ(n). e ı a. 4.1.3.4. Mˆnh d` : V´.i moi m, n, k ∈ N, ta c´: e . ¯ˆe o . o 1) m < n ⇒ m + k < n + k. 2) m < n v` k = 0 ⇒ mk < nk. a Ch´.ng minh: Nˆu m < n th` tˆn tai x ∈ N, x = 0, n = m + x. Khi d ´ u ´ e ı `o . ¯o n + k = (m + k) + x hay m + k < n + k v´ o.i moi k ∈ N. Nˆu k = 0 th` ´ e ı . nk = mk + xk v´ o.i xk = 0 hay mk < nk. 4.1.3.5. D.nh l´: Tˆp ho.p N c´c sˆ tu. nhiˆn d u.o.c s˘ p th´. tu. tˆt bo.i quan hˆ -i y a . . ´ a o . e ¯ . a ´ ´ u . o ’ e . ≤. Ch´.ng minh: Cho A ⊂ N, A = ∅. Ta ch´.ng minh A c´ sˆ nho nhˆ t. Goi u u ´ ’ o o ´ a . A1 = {n ∈ N | n ≤ x, ∀x ∈ A}. 95
R˜ r`ng A1 ⊂ N v` c´ c´c t´ chˆ t: o a a o a ınh a ´ a) 0 ∈ A1 (v` 0 ≤ x, ∀x ∈ N). ı a a . . ı e ` . b) A1 = N. Thˆt vˆy, v` A = ∅ nˆn tˆn tai n ∈ A. Khi d ´ n + 1 ∈ A1 . o ¯o / Nhu a. vˆy, A thoa m˜n d iˆu kiˆn th´. nhˆ t cua nguyˆn l´ quy nap, nhu.ng ’ a ¯` e e u ´ a ’ e y . 1 . . o ’ a ¯` A1 = N, nˆn n´ khˆng thoa m˜n d iˆu kiˆn th´ e o e e u. hai. N´i c´ch kh´c, tˆn tai o a a `o . . m ∈ A1 sao cho m + 1 ∈ A1 . / Do m ∈ A1 nˆn m ≤ x, ∀x ∈ A. M˘t kh´c, m ∈ A v` nˆu ngu.o.c lai ta c´ e a. a ´ ı e . . o m < x, ∀x ∈ A, khi d ´ m + 1 ≤ x, ∀x ∈ A hay m + 1 ∈ A1 . Mˆu thuˆ n v´.i gia ¯o a ’ a o ’ e ` ´ e ´ ’ thiˆt vˆ m. Vˆy m l` sˆ nho nhˆ t cua A. a . a o ´ a ’ 4.1.3.6. Ch´ y: Nguyˆn l´ quy nap c´ thˆ ph´t biˆ u lai nhu. sau. Cho n0 l` u ´ e y . o e ’ a ’ e . a . nhiˆn v` P (n) l` mˆt h`m mˆnh d` v´.i n ∈ N. Khi d ´ nˆu P (n) c´ . ´ mˆt sˆ tu o o . e a a o a . e . ¯ˆ o e ´ ¯o e o ınh a ´ ¯´ a e´ t´ chˆ t P (n0 ) d ung v` nˆu P (k) d ung v´ ¯´ o.i k ≥ n k´o theo P (k + 1) d ung th` 0 e ¯´ ı P (n) d ung v´ ¯´ o.i moi n ≥ n . Thˆt vˆy, chı cˆn ´p dung tiˆn d` vˆ quy nap v`o a a ’ ` a a e ¯ˆ ` e e a . 0 . . . . tˆp ho a .p . . U = {n ∈ N | 0 ≤ n < n0 } ∪ {n ∈ N | n ≥ n0 , P (n)}. 4.1.4. Ph´p tr`.: e u 4.1.4.1. Mˆnh d` : V´.i moi sˆ tu. nhiˆn m, n, nˆu m ≤ n th` tˆn tai duy nhˆ t e . ¯ˆ e o . o .´ e ´ e ı ` . o ´ a ´ sˆ tu o . . nhiˆn x sao cho m + x = n. e Ch´.ng minh: Kˆt qua c´ ngay t`. d .nh ngh˜ cua quan hˆ ≤ v` luˆt gian u.´.c u ´ e ’ o u ¯i ıa ’ e . a a . ’ o ’ cua ph´p cˆng. e o . 4.1.4.2. Dinh ngh˜ Sˆ tu. nhiˆn x thoa m˜n d ˘ng th´.c m + x = n d u.o.c goi -. ıa: o .´ e ’ a ¯a ’ u ¯ . . ’ l` hiˆu cua n v` m v` k´ hiˆu l` x = n − m (d oc l` n tr` a e a a y e a ¯. a u . m). . . Quy t˘ c t` hiˆu n − m goi l` ph´p tr`.. ´ a ım e . . a e u Mˆnh dˆ e e ¯e . ` trˆn cho thˆ y ph´p tr`. n−m thu.c hiˆn d u.o.c khi v` chı khi m ≤ n. ´ a e u . e ¯ . . a ’ 4.1.4.3. T´ ınh chˆt: V´.i moi sˆ tu. nhiˆn m, n, p m` p ≤ n, ta c´: ´ a o ´ . o . e a o m(n − p) = mn − mp, (n − p)m = nm − pm. Ch´.ng minh: Theo d .nh ngh˜ cua ph´p tr`. ta c´ p + (n − p) = n. Do d ´ u ¯i ıa ’ e u o ¯o ´ ´ o ’ m[p + (n − p)] = mn. Theo t´ chˆ t phˆn phˆi cua ph´p nhˆn d ˆi v´ ınh a a e ´ a ¯o o .i ph´p e ¯ .o.c mp + m(n − p) = mn. Do d ´ m(n − p) l` hiˆu cua mn v` mp, t´.c cˆng, ta d u . o ¯o a e ’ a u . . l` m(n − p) = mn − mp. a D˘ng th´.c th´. hai c´ t`. t´ giao ho´n cua ph´p nhˆn. -a’ u u o u ınh a ’ e a ˆ´ 4.2. SO NGUYEN. ˆ Sˆ tu. nhiˆn ra d `.i do nh˜.ng yˆu cˆu cua thu.c tiˆn d `.i sˆng v` san xuˆ t. ´ o . e ¯o u e ` a ’ . ˜ ¯o o e ´ a ’ ´ a Nhu .ng sˆ tu. nhiˆn khˆng d u d ´p u.ng nh˜.ng yˆu cˆu cua x˜ hˆi lo`i ngu.`.i ng`y ´ o . e o ¯ ’ ¯a ´ u e ` a ’ a o a o a . a e’ a o ´ c`ng ph´t triˆ n. Phˆn sˆ (du a .o.ng) d u.o.c con ngu.`.i biˆt rˆ t s´.m do yˆu cˆu vˆ ¯ . o ´ ´ e a o e ` ` a e 96
d o d ac v` phˆn chia. Trong mˆt di cao Ai Cˆp, c´ t`. 1550 n˘m tru.´.c Cˆng ¯ ¯. a a o . ’ a . o u a o o nguyˆn, d ˜ thˆ y c´ nh˜ e ¯a a o u ´ .ng khao c´.u tı mı vˆ phˆn sˆ. ’ u ’ ’ ` e a o ´ .o.c d` cˆp trong c´c cˆng tr` cua c´c nh` To´n hoc An Dˆ v`o ´ ´ Sˆ ˆm d u . ¯ˆ a oa ¯ e . a o ınh ’ a a a . ˆ -o a . d` u th`.i k` Trung cˆ v` chı dˆn thˆ ky th´. 16 sau Cˆng nguyˆn ngu.`.i ta m´.i ¯ˆa o y ’ o a ’ ¯e ´ ´ e ’ u o e o o ´ hˆt nghi ng` ` a . . vˆ gi´ tri thu.c su. cua n´. Diˆu d ´ ch´.ng to sˆ ˆm ra d `.i khˆng o - ` ¯o u ´ e o e . . ’ e ’ o a ¯o o e ` .c b´ch cua cuˆc sˆng, m˘c d` r˘ ng nh˜.ng y ngh˜ thu.c tiˆn a u ` ˜ ’ phai do yˆu cˆu b´ a a u ’ . ´ o o . a u ´ ıa . e ’ o a ´ a ¯` cua sˆ ˆm l` d iˆu khˆng phu nhˆn d u . e o ’ a ¯ .o.c. Khi minh hoa cho sˆ ˆm ta thu.`.ng ´ o a o . . e a ı . ` nˆu c´c v´ du vˆ nh˜ e u .ng d ai lu.o.ng c´ hai chiˆu, nhu.: nhiˆt d ˆ trˆn 00 v` du.´.i ¯. o `e e ¯o e a o . . . 0 0 , d ˆ cao v` d ˆ sˆu, chuyˆ ¯o ¯o. a ¯o a. e’n d ˆng vˆ hai chiˆu ngu.o.c nhau, ... Tuy nhiˆn, trong . ` e ` e . e tˆ a´t ca c´c tru.`.ng ho.p d ´, ta d` u c´ thˆ diˆn d at d u.o.c ch´ x´c m` khˆng cˆn ’ a o . ¯o ¯ˆ o e e e ’ ˜ ¯. ¯ . ınh a a o `a d` ng dˆ o u ¯e ´a ´n sˆ ˆm. Ch˘ng han, ngu oa’ .`.i ta vˆ n d` ng song song hai thuˆt ng˜.: nhiˆt ˜ u a a u e . . . d ˆ −100 v` 100 du.´.i 00 , hay d ˆ sˆu −1490m v` 1490m du.´.i mu.c nu.´.c biˆ n, ... ¯o . a o ¯o a . a o . o e’ Lich su. d ˜ ghi nhˆn r˘ ng sˆ ˆm d u.o.c d` cˆp dˆn tru.´.c hˆt trong c´c cˆng . ’ ¯a a ` . a ´ o a ¯ . ¯ˆ a ¯e e . ´ o e ´ a o tr` to´n hoc thuˆn tu´, nhu ınh a ` a y . trong vˆ n d` giai phu.o.ng tr` hay trong c´c biˆ u ´ e a ¯ˆ ’ ınh a e’ . u .c d ai sˆ. V` vˆy, ta h˜y t` hiˆ u nguyˆn nhˆn to´n hoc cua su. ra d `.i c´c sˆ th´ ¯ . o ı a ´ a ım e ’ e a a ’ . ¯o a o ´ . . a ˆm. Ta biˆt r˘ ng trong tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn, ph´p tr`. khˆng phai luˆn luˆn ´ ` e a a. . a o . ´ e e u o ’ o o thu .c hiˆn d u.o.c, hiˆu n − m chı tˆn tai khi n ≥ m. M˘t kh´c, hiˆu n − m ch´ l` e ¯ . e ’ o ` . a a e ınh a . . . . . nghiˆm cu e . ’ a phu.o.ng tr` m + x = n. Vˆy viˆc thu.c hiˆn d u.o.c ph´p tr`. c´ thˆ ınh a. e . . e ¯ . . e u o e ’ ph´t biˆ u du o a e’ .´.i mˆt h` th´.c tu.o.ng d u.o.ng kh´c l` su. c´ nghiˆm cua phu.o.ng o ınh u ¯ a a . o e ’ . . tr` n´i trˆn, v` ta c´ kˆt luˆn sau: trong tˆp ho ınh o e a o e ´ a a .p N c´c sˆ tu. nhiˆn, phu.o.ng a o . ´ e . . . tr` m + x = n c´ nghiˆm khi v` chı khi n ≥ m v` khi d ´ nghiˆm cua n´ l` ınh o e. a ’ a ¯o e . ’ o a x = n − m. T`. d ´, xuˆ t hiˆn mˆt yˆu cˆu l` mo. rˆng tˆp ho.p N c´c sˆ tu. nhiˆn dˆ u ¯o ´ a e . o e ` a ’ o . a . a . . a o . ´ e ¯e ’ du . ¯ .o.c mˆt tˆp ho.p sˆ m` trong d ´ ph´p tr`. luˆn luˆn thu.c hiˆn d u.o.c, t´.c l` o a ´ o a ¯o e u o o e ¯ . u a . . . . . phu .o.ng tr` m + x = n luˆn luˆn c´ nghiˆm. ınh o o o e . Nhu a . vˆy, viˆc xˆy du.ng tˆp ho.p sˆ nguyˆn d u.o.c d ˘t ra nhu. mˆt yˆu cˆu e a a ´ o e ` . . . . . o e ¯ . ¯a . . a nˆi tai cu o . . ’ a to´n hoc. a . 4.2.1. Xˆy du.ng tˆp ho.p c´c sˆ nguyˆn t`. tˆp ho.p c´c sˆ tu. nhiˆn: a . a . . a o ´ e u a . . a o . ´ e 4.2.1.1. Mo. d` u: Sau d ay ta s˜ xˆy du.ng tˆp ho.p Z c´c sˆ nguyˆn c` ng v´.i ’ ¯ˆ a ¯ˆ e a . a . . a o ´ e u o ph´p cˆng v` ph´p nhˆn trˆn n´ t` a e o a e a e o u . . tˆp ho.p N c´c sˆ tu. nhiˆn v´.i hai ph´p to´n a o . ´ e o e a . . d ˜ c´ trˆn N. V´ a ¯a o e o.i c´ch cˆ u tao n`y, c´c t´ chˆ t quen thuˆc cua ph´p cˆng v` ´ a . a a ınh a ´ o ’ e o a . . ph´p nhˆn trˆn Z d u . e a e ¯ .o.c suy t`. c´c t´ chˆ t d ˜ c´ trˆn N. u a ınh a ¯a o e ´ e ` Yˆu cˆu mo o a . rˆng N dˆ d u.o.c tˆp ho.p sˆ, trong d ´ ph´p tr`. luˆn thu.c hiˆn ’ . ¯e ’ ¯ . a ´ . . o ¯o e u o . e . du . ¯ .o.c, c˜ ng c´ ngh˜ l` ph´p cˆng c´ ph´p to´n ngu.o.c, hay moi sˆ d` u c´ sˆ d ˆi. u o ıa a e o o e a ´ ¯ˆ o o ¯o ´ ´ . . . o e D´ ch´ l` b`i to´n d ˆi x´.ng ho´ trong d ai sˆ. - o ınh a a a ¯o u ´ a ¯. o ´ Nhu . ta d ˜ biˆt ¯a e ´ Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } 97
v` v´.i hai sˆ tu. nhiˆn m, n, tˆn tai duy nhˆ t x ∈ Z sao cho m + x = n, ta k´ a o ´ o . e ` o . ´ a y e a o. x´t ´nh xa D : N × N −→ Z cho bo.i D(n, m) = n − m. hiˆu x = n − m. Bˆy gi` e a ’ . . Khi d ´ ¯o D(n1 , m1 ) = D(n2 , m2 ) ⇔ n1 + m2 = n2 + m1 . V´.i ch´ y n`y, ta t` c´ch xˆy du.ng tˆp ho.p Z. o u´ a ım a a . a . . 4.2.1.2. Dinh ngh˜ Trˆn tˆp ho.p N × N, x´t quan hˆ hai ngˆi R: -. ıa: e a . . e e . o ∀(n1 , m1 ), (n2 , m2 ) ∈ N × N, (n1 , m1 ) R (n2 , m2 ) ⇔ n1 + m2 = n2 + m1 . Khi d ´ quan hˆ R l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng trˆn N × N. ¯o e . a o . e . ¯ e Tˆp ho a . .p thu.o.ng cua N×N theo quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng R nhu. trˆn, (N×N)/R, ’ e ¯ e . . .o.c k´ hiˆu l` Z v` mˆ i phˆn tu. cua Z (ch´ l` mˆ i l´.p tu.o.ng d u.o.ng theo du . y e a ¯ a o ˜ ` a ’ ’ ˜ ınh a o o ¯ . . . a o o . ´ quan hˆ R) goi l` mˆt sˆ nguyˆn. e e X´t ´nh xa D : N × N −→ Z x´c d inh bo.i D(n, m) = (n, m). Dˆy l` mˆt e a . a ¯. ’ -a a o . to`n ´nh v` thu o a a a .`.ng goi l` ph´p chiˆu tu. nhiˆn. a e ´ e . e . 4.2.2. Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn trˆn Z: e o . a e a e -. 4.2.2.1. Dinh ngh˜ Cho x = D(n, m), y = D(p, q) ∈ Z. ıa: 1) Ph´p cˆng: x + y = D(n + p, m + q). e o . 2) Ph´p nhˆn: xy = D(np + mq, nq + mp). e a 4.2.2.2. T´ ´ ınh chˆt: a 1) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn d u.o.c x´c d inh trˆn Z. e o . a e a ¯ . a ¯. e 2) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ giao ho´n, ngh˜ l` v´.i moi x, y ∈ Z, ta e o . a e a o ınh a ıa a o . c´ o x + y = y + x, xy = yx. 3) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ kˆt ho.p, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ Z, ta e o . a e ´ a o ınh e . ıa a o . c´ o (x + y) + z = x + (y + z), (xy)z = x(yz). 4) Z v´.i ph´p cˆng c´ phˆn tu. khˆng v` v´.i ph´p nhˆn c´ phˆn tu. d o.n vi, o e o . o ` a ’ o a o e a o ` a ’ ¯ . ıa a ` . ngh˜ l` tˆn tai 0 , 1 ∈ Z sao cho v´ o o.i moi x ∈ Z, ta c´ o . x + 0 = 0 + x = x, x1 = 1 x = x. 5) Moi phˆn tu. cua Z d` u c´ phˆn tu. d ˆi, ngh˜ l` v´.i moi x ∈ Z tˆn tai . ` a ’ ’ ¯ˆ o ` e a ’ ¯o ´ ıa a o . ` o . (−x) ∈ Z sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0 . 6) Ph´p nhˆn c´ t´ phˆn phˆi d ˆi v´.i ph´p cˆng, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ e a o ınh a ´ ´ o ¯o o e o . ıa a o . Z, ta c´ o x(y + z) = xy + xz, (y + z)x = yx + zx. 98
7) Ph´p cˆng c´ t´ gian u.´.c, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ Z, ta c´ e o . o ınh ’ o ıa a o . o x + z = y + z ⇒ x = y. 8) Ph´p nhˆn c´ t´ gian u.´.c, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ Z, z = 0 ta c´ e a o ınh ’ o ıa a o . o xz = yz ⇒ x = y. Ch´.ng minh: u 1) Gia su. x = D(n, m) = D(n , m ), y = D(p, q) = D(p , q ). Khi d ´ ’ ’ ¯o n + m = n + m, p + q = p + q. Ta c´ o (n+p)+(m +q ) = (n +p )+(m+q) ⇒ D(n+p, m+q) = D(n +p , m +q ). np + m p = n p + mp, n q + mq = nq + m q, n p + n q = n p + n q, m p + m q = m p + m q ⇒ (np + m p) + (n q + mq) + (n p + n q ) + (m p + m q) = (n p + mp) + (nq + m q) + (n p + n q) + (m p + m q ) ⇒ np + mq + n q + m p = n p + m q + nq + mp ⇒ D(np + mq, nq + mp) = D(n p + m q , n q + m p ). a ` o . Trong c´c phˆn c`n lai, cho tu` y x = D(n, m), y = D(p, q), z = D(r, s) ∈ Z. a y´ 2) x + y = D(n + p, m + q) = D(p + n, q + m) = D(p, q) + D(n, m) = y + x. xy = D(np + mq, nq + mp) = D(pn + qm, pm + qn) = yx. 3) (x + y) + z = D(n + p, m + q) + D(r, s) = D(n + p + r, m + q + s) = D(n, m) + D(p + r, q + s) = x + (y + z). (xy)z = D(np + mq, nq + mp)D(r, s) = D(npr + mqr + nqs + mps, nps + mqs + nqr + mpr) = D(npr + nqs + mps + mqr, nps + nqr + mpr + mqs) = D(n, m)D(pr + qs, ps + qr) = x(yz). -a 4) D˘t 0 = D(0, 0) v` 1 = D(1, 0). Khi d ´ 0 = D(n, n) v` 1 = D(n + 1, n) . a ¯o a v´ o.i moi n ∈ N. ta c´o . x + 0 = D(n, m) + D(0, 0) = D(n + 0, m + 0) = D(n, m) = x. x1 = D(n, m)D(1, 0) = D(n1 + m0, n0 + m1) = D(n, m) = x. -a 5) D˘t −x = D(m, n). Khi d ´ . ¯o x + (−x) = D(n, m) + D(m, n) = D(n + m, m + n) = 0 . 6) x(y + z) = D(n, m)D(p + r, q + s) = D(n(p + r) + m(q + s), n(q + s) + m(p + r)) = D((np + mq) + (nr + ms), (nq + mp) + (ns + mr)) = D(np + mq, nq + mp) + D(nr + ms, ns + mr) = xy + xz. 7) x + z = y + z ⇒ D(n + r, m + s) = D(p + r, q + s) ⇒ n + r + q + s = m + s + p + r ⇒ n + q = m + p ⇒ D(n, m) = D(p, q) ⇒ x = y. 8) xz = yz ⇒ D(nr + ms, ns + mr) = D(pr + qs, ps + qr) ⇒ nr + ms + ps + qr = ns + mr + pr + qs ⇒ (n + q)r + (m + p)s = (n + q)s + (m + p)r. Gia su. n + q > m + p, ngh˜ l` tˆn tai t ∈ N, t = 0 sao cho n + q = m + p + t. ’ ’ ıa a ` . o Khi d ´ ¯o (m + p)r + tr + (m + p)s = (m + p)s + ts + (m + p)r ⇒ tr = ts ⇒ r = s. Di`u n`y mˆu thuˆ n v´.i z = D(r, s) = 0 . Tu.o.ng tu. n + q < m + p c˜ ng dˆ n - e a a ’ a o . u a˜ ´ a a’ dˆn mˆu thuˆ n. Vˆy n + q = m + p hay x = y. ¯e a . 99
4.2.2.3. Hˆ qua: Tˆp ho.p Z c´c sˆ nguyˆn c` ng v´.i ph´p cˆng v` nhˆn trong e . ’ a . . a o ´ e u o e o . a a a o a a o ¯ .n vi v` khˆng c´ u.´.c cua 0. (4.2.2.1) tao th`nh mˆt v`nh giao ho´n c´ d o . a o o o ’ . . 4.2.2.4. Quan hˆ gi˜.a N v` Z: X´t ´nh xa e u . a e a . f : N −→ Z : n → f (n) = D(n, 0). ¯o a . o a ınh a ´ Khi d ´ ´nh xa f c´ c´c t´ chˆ t sau: 1) f l` mˆt d o a a o ¯ .n ´nh. . Thˆt vˆy, v´.i n1 , n2 ∈ N, f (n1 ) = f (n2 ), ta c´ D(n1 , 0) = D(n2 , 0) hay a a . . o o n1 + 0 = 0 + n2 hay n1 = n2 . 2) f bao to`n ph´p cˆng v` ph´p nhˆn, ngh˜ l` v´.i moi n1 , n2 ∈ N, ’ a e o . a e a ıa a o . f (n1 + n2 ) = f (n1 ) + f (n2 ), f (n1 .n2 ) = f (n1 ).f (n2 ). Thˆt vˆy, ta c´ f (n1 + n2 ) = D(n1 + n2 , 0) = D(n1 , 0) + D(n2 , 0) = f (n1 ) + a a . . o f (n2 ), f (n1 .n2 ) = D(n1 .n2 , 0) = D(n1 , 0)D(n2 , 0) = f (n1 ).f (n2 ). T`. c´c t´ chˆ t trˆn cua ´nh xa f , ta c´ thˆ d` ng nhˆ t mˆ i sˆ tu. nhiˆn n u a ınh a ´ e ’ a . o e ¯ˆ’ o ´ o o . a ˜ ´ e .i sˆ nguyˆn D(n, 0): o ´ v´ o e n = D(n, 0) v` do d ´ N l` mˆt tˆp con thu.c su. cua Z. T`. d ´ ta c´: a ¯o a o a . . . . ’ u ¯o o 0 = D(0, 0) = 0, 1 = D(1, 0) = 1. 4.2.3. Ph´p tr`. trˆn Z: e u e 4.2.3.1. Mˆnh d` : Phu.o.ng tr` a + x = b v´.i a, b ∈ Z luˆn c´ nghiˆm trong e . ¯ˆe ınh o o o e . e ¯o a . ´ Z v` nghiˆm d ´ l` duy nhˆ t. a a Ch´.ng minh: D˘t x = −a + b v´.i −a l` sˆ d ˆi cua a, ta c´ u -a. o ´ ´ a o ¯o ’ o a + x = a + (−a + b) = (a + (−a)) + b = 0 + b = b. Vˆy −a + b l` mˆt nghiˆm cua phu.o.ng tr` a . a o . e . ’ ınh. Ngo`i ra, nˆu x0 ∈ Z l` nghiˆm cua phu.o.ng tr` trˆn, ta c´ a + x0 = b. a ´ e a e . ’ ınh e o Khi d ´ −a + (a + x0 ) = −a + b hay x0 = −a + b. ¯o Vˆy nghiˆm cua phu.o.ng tr` l` duy nhˆ t. a. e . ’ ınh a a´ 4.2.3.2. Dinh ngh˜ Nghiˆm cua phu.o.ng tr` a + x = b goi l` hiˆu cua b v` -. ıa: e . ’ ınh . a e . ’ a a, k´ hiˆu b − a (d oc l` b tr` y e ¯. a u. a). . Theo mˆnh d` trˆn, ta c´ hiˆu b − a luˆn tˆn tai v` ch´ l` tˆ ng cua b v´.i e . ¯ˆ e e o e . o ` . a ınh a o o ’ ’ o ´ ´ o ¯o ’ sˆ d ˆi cua a : b − a = b + (−a). Vˆy b tr`. a l` tˆ ng cua b v´.i sˆ d ˆi cua a v` ph´p tr`. trˆn Z luˆn luˆn thu.c a. u a o ’ ’ o o ¯o ’´ ´ a e u e o o . hiˆn d u . e ¯ .o.c. . 100
ınh chˆt: V´.i moi sˆ nguyˆn x, y, z, ta c´: 4.2.3.3. T´ ´ a o . o ´ e o x(y − z) = xy − xz, (y − z)x = yx − zx. Ch´.ng minh: Do xy = x[(y−z)+z] = x(y−z)+xz nˆn ta c´ x(y−z) = xy−xz. u e o 4.2.3.4. Mˆnh d` : Mˆ i sˆ nguyˆn ho˘c l` mˆt sˆ tu. nhiˆn ho˘c l` sˆ d ˆi cua e . ¯ˆ e ˜ ´ o o e . ´ a a o o . . e . ´ ´ a a o ¯o ’ . nhiˆn. . ´ mˆt sˆ tu o o . e Ch´.ng minh: Cho x = D(n, m) ∈ Z. Khi d ´ u ¯o ´ – Nˆu n ≥ m th` x = D(n, m) = D(n − m, 0) (v` n + 0 = (n − m) + m) nˆn e ı ı e ¯ .o.c d` ng nhˆ t v´.i n − m ∈ N. x d u . ¯ˆ o ´ a o ´ – Nˆu n < m th` x = D(n, m) = D(0, m−n) = −D(m−n, 0) (v` n+(m−n) = e ı ı 0 + m) nˆn x d u . ¯ˆ e ¯ .o.c d` ng nhˆ t v´.i sˆ d ˆi cua m − n ∈ N. o ´ ´ ´ a o o ¯o ’ 4.2.3.5. Dinh ngh˜ C´c sˆ tu. nhiˆn trong hˆ thˆp phˆn d u.o.c k´ hiˆu l` -. ıa: a o . ´ e e a . . a ¯ . y e a . 0, 1, 2, 3, . . . , c`n phˆ o a . d ˆi cua x ∈ N k´ hiˆu l` −x, do d ´ theo mˆnh d` trˆn ` n tu ¯o ’ ’ ´ y e a ¯o e ¯ˆ e e . . ´t ca c´c phˆn tu. cua Z l` 0, −0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . . Ch´ y r˘ ng 0 l` phˆn tˆ a ’ a ` a ’ ’ a ` u´ a a ` a ’ tu. khˆng d ˆi v´.i ph´p cˆng, d ´ l` phˆn tu. duy nhˆ t c´ sˆ d ˆi b˘ ng ch´ n´. o ´ ¯o o e o ¯o a ` a ’ ´ a o o ¯o a ´ ´ ` ınh o . Vˆy ta c´: a. o Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }. C´c sˆ 1, 2, 3, . . . goi l` c´c sˆ nguyˆn du.o.ng, c´c sˆ −1, −2, −3, . . . goi l` c´c sˆ a o ´ . a a o ´ e a o ´ . a a o ´ nguyˆn ˆm, d oc l` tr` e a ¯. a u . 1, tr`. 2, tr`. 3, . . . hay ˆm mˆt, ˆm hai, ˆm ba, . . . . u u a o a a . ´ e ¯o ’ o ´ Gi´ tri tuyˆt d ˆi cua sˆ nguyˆn x, k´ hiˆu l` |x|, d u . a ¯. a . e y e a ¯ .o.c x´c d inh nhu. sau: . . ´ . nhiˆn; |x| = x nˆu x l` mˆt sˆ tu e . ´ a o o . e ´ e a o o. ´ |x| = −x nˆu x l` mˆt sˆ nguyˆn ˆm. e a . vˆy, gi´ tri tuyˆt d ˆi cua mˆt sˆ nguyˆn luˆn luˆn l` mˆt sˆ tu. nhiˆn ´ ’ Nhu a . a . e ¯o . . ´ o o e o o a o o .. ´ e v` hai sˆ ¯o a o ´ o a . e ¯o . ´ a ´ d ˆi nhau c´ gi´ tri tuyˆt d ˆi b˘ ng nhau. ` 4.2.4. Quan hˆ th´. tu. trˆn Z: e u . . e 4.2.4.1. Dinh ngh˜ Cho hai sˆ nguyˆn x v` y. Ta n´i x nho ho.n hay b˘ ng -. ıa: ´ o e a o ’ ` a y ho˘c y l´ a o.n ho.n hay b˘ ng x, k´ hiˆu x ≤ y ho˘c y ≥ x nˆu y − x ∈ N. ` a y e a ´ e . . . Khi x ≤ y v` x = y ta n´i x nho ho a o ’ .n y ho˘c y l´.n ho.n x v` viˆt x < y ho˘c a o a e ´ a . . y > x. ´ o a ’ Nˆu x, y ∈ N ta c´ y − x ∈ N khi v` chı khi x ≤ y (trˆn N). Do d ´ quan hˆ e e ¯o e . ≤ d .nh ngh˜ trˆn ph` ho o ¯i ıa e u . .p v´.i quan hˆ th´. tu. trˆn N. e u . e . 4.2.4.2. Mˆnh d` : Quan hˆ ≤ x´c d .nh trˆn s˘ p th´. tu. to`n phˆn tˆp ho.p Z. e . ¯ˆ e e . a ¯i e a ´ u . a ` a a . . Ch´.ng minh: Do x − x = 0 ∈ N nˆn x ≤ x v´.i moi x ∈ Z, do d ´ ≤ c´ t´ u e o . ¯o o ınh ’ phan xa. . V´.i x, y ∈ Z m` x ≤ y v` y ≤ x, ta c´ y − x ∈ N v` x − y ∈ N. M˘t kh´c, o a a o a a . a (x − y) + (y − x) = 0 nˆn ta c´ x − y = y − x = 0 hay x = y. Do d ´ ≤ c´ t´ e o ¯o o ınh ’ ¯o u ´ phan d ˆi x´ .ng. 101
V´.i x, y, z ∈ Z m` x ≤ y v` y ≤ z, ta c´ y − x ∈ N v` z − y ∈ N. Khi d ´ o a a o a ¯o z − x = (z − y) + (y − x) ∈ N hay x ≤ z. Do d ´ ≤ c´ t´ b˘ c cˆu. ¯o ´ a o ınh a ` V´o.i x, y ∈ Z, x − y v` y − x l` hai sˆ nguyˆn d ˆi nhau nˆn ho˘c x − y ∈ N a a ´ o ´ e ¯o e a . u.c l` y ≤ x ho˘c x − y ∈ N t´.c l` x ≤ y. t´ a a u a . T`. c´c d iˆu trˆn suy ra quan hˆ ≤ s˘ p th´. tu. to`n phˆn tˆp ho.p Z. u a ¯` e e e . ´ a u . a ` a a . . 4.2.4.3. T´ ´ ınh chˆt: V´ a o.i x, y, z ∈ Z, ta c´: o ´ 1) Nˆu x ≤ y th` x + z ≤ y + z. e ı ´ a ı ´ 2) Nˆu x ≤ y v` z ≥ 0 th` xz ≤ yz. Nˆu x ≤ y v` z ≤ 0 th` xz ≥ yz. e e a ı Ch´ u .ng minh: 1) Do (y + z) − (x + z) = y − x ∈ N nˆn x + z ≤ y + z. e 2) Do y − x ∈ N v` z ∈ N nˆn yz − xz = (y − x)z ∈ N hay xz ≤ yz. a e Do y − x ∈ N v` −z ∈ N nˆn xz − yz = (x − y)z = (y − x)(−z) ∈ N hay a e xz ≥ yz. ´ 4.2.5. Sˆ nguyˆn mˆd ulˆ: o e o¯ o 4.2.5.1. Dinh ngh˜ Cho n l` mˆt sˆ nguyˆn du.o.ng. Khi d ´ quan hˆ ≡ (mod -. ıa: . ´ a o o e ¯o e . n) trˆn Z e ∀x, y ∈ Z, x ≡ y (mod n) ⇔ x − y ˙ n : l` mˆt quan hˆ tu.o.ng d u.o.ng. C´c l´.p tu.o.ng d u.o.ng theo quan hˆ n`y l` a o . e . ¯ a o ¯ e a a . 0 = {kn | k ∈ Z}, 1 = {kn + 1 | k ∈ Z}, . . . , n − 1 = {kn + (n − 1) | k ∈ Z} v` tˆp ho.p thu.o.ng Z/ ≡ (mod n) k´ hiˆu l` Zn . Nhu. vˆy, a a. . y e a . a . Zn = {0, 1, . . . , n − 1} v` mˆ i phˆn tu. cua n´ goi l` mˆt sˆ nguyˆn mˆd ulˆ n. a o˜ ` a ’ ’ o . a o o . ´ e o¯ o e o a e a e ¯ .o.c d inh ngh˜ nhu. sau: Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn trˆn Zn d u . ¯. ıa . 1) Ph´p cˆng: x + y = x + y. e o . 2) Ph´p nhˆn: xy = xy. e a 4.2.5.2. T´ ´ ınh chˆt: a 1) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn d u.o.c x´c d inh trˆn Zn . e o . a e a ¯ . a ¯. e 2) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ giao ho´n, ngh˜ l` v´.i moi x, y ∈ Zn , e o . a e a o ınh a ıa a o . x + y = y + x, x y = y x. 3) Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn c´ t´ kˆt ho.p, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ Zn , e o . a e ´ a o ınh e . ıa a o . (x + y) + z = x + (y + z), (x y) z = x (y z). 4) Zn v´.i ph´p cˆng c´ phˆn tu. khˆng v` v´.i ph´p nhˆn c´ phˆn tu. d o.n o e o . o ` a ’ o a o e a o ` a ’ ¯ vi, ngh˜ l` v´ ıa a o .i moi x ∈ Z , . . n x + 0 = 0 + x = x, x 1 = 1 x = x. 102
5) Moi phˆn tu. cua Zn d` u c´ phˆn tu. d ˆi, ngh˜ l` v´.i moi x ∈ Zn tˆn tai . ` a ’ ’ ¯ˆ o ` e a ’ ¯o ´ ıa a o . ` . o n − x ∈ Zn , x + n − x = n − x + x = 0. 6) Ph´p nhˆn c´ t´ phˆn phˆi d ˆi v´.i ph´p cˆng, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ e a o ınh a ´ ´ o ¯o o e o . ıa a o . Zn , x(y + z) = x y + x z, (y + z)x = y x + z x. 7) Ph´p cˆng c´ t´ gian u.´.c, ngh˜ l` v´.i moi x, y, z ∈ Zn , e o. o ınh ’ o ıa a o . x + z = y + z ⇒ x = y. Ch´.ng minh: C´ ngay t`. c´c t´ chˆ t cua c´c sˆ nguyˆn. u o u a ınh a ’ a o ´ ´ e 4.2.5.3. Hˆ qua: Tˆp ho.p Zn c´c sˆ nguyˆn mˆd ulˆ n c` ng v´.i ph´p cˆng v` e . ’ a. . a o´ e o¯ o u o e o . a nhˆn trong (4.2.5.1) tao th`nh mˆt v`nh giao ho´n c´ d o . o a a o a a o¯ .n vi v´.i Char(Z ) = n. . . n Ngo`i ra, Zn l` mˆt tru o a a o .`.ng khi v` chı khi n l` mˆt sˆ nguyˆn tˆ. a ’ a o o ´ e o ´ . . Ch´.ng minh: T`. c´c t´ chˆ t 1) - 6) cua (4.2.5.2), ta c´ Zn l` mˆt v`nh giao u u a ınh a ´ ’ o a o a . ho´n c´ d o a o ¯ .n vi. V´.i k ∈ Z, k.1 = k = 0 khi v` chı khi k l` mˆt bˆi cua n. Do o a ’ a o o ’ . . . d ´ Char(Zn ) = n. ¯o Nˆu n l` mˆt ho.p sˆ th` n = k.l v´.i 1 < k, l < n, do d ´ k.l = n = 0, v´.i ´ e a o . o ı . ´ o ¯o o k, l l` c´c phˆ a a ` n tu. kh´c khˆng trong Zn , t´.c l` Zn c´ u.´.c cua khˆng. V` vˆy a ’ a o u a o o ’ o ı a . Zn khˆng l` mˆt tru o o a o .`.ng. . Gia su. n l` mˆt sˆ nguyˆn tˆ. Mˆ i phˆn tu. kh´c khˆng trong Zn d` c´ dang ’ ’ a o o. ´ e o o´ ˜ ` a ’ a o ¯ˆ o . e q v´o.i 1 < q < n. Khi d ´ q v` n nguyˆn tˆ c` ng nhau, v` vˆy tˆn tai c´c sˆ ¯o a e o u ´ ı a ` ´ . o . a o nguyˆn k v` l sao cho kn + lq = 1. T` ¯o e a u. d ´ ta c´ o l.q = 1 − kn = 1 - ` Diˆu n`y c´ ngh˜ l` q kha nghich v` q −1 = l. e a o ıa a ’ . a Th´ du: Ph´p cˆng v` ph´p nhˆn trˆn Z6 d u.o.c thˆ hiˆn qua bang cˆng v` bang ı . e o. a e a e ¯ . ’ . e e ’ o . a ’ nhˆn sau d ˆy: a ¯a + 0 1 2 3 4 5 . 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 3 4 5 0 1 0 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 0 1 2 0 2 4 0 2 4 3 3 4 5 0 1 2 3 0 3 0 3 0 3 4 4 5 0 1 2 3 4 0 4 2 0 4 2 5 5 0 1 2 3 4 5 0 5 4 3 2 1 103
` ˆ . . BAI TAP CHU O NG IV . 1. D` ng quy nap to´n hoc ch´.ng minh r˘ ng u . a . u ` a 2 n 3(5n+1 − 1) 3 + 3.5 + 3.5 + · · · + 3.5 = , 4 v´.i n l` sˆ tu. nhiˆn. o ´ a o . e 2. D` ng quy nap to´n hoc ch´.ng minh r˘ ng u . a . u ` a 1 − (−7)n+1 2 − 2.7 + 2.72 − · · · + 2(−7)n = , 4 v´.i n l` sˆ tu. nhiˆn. o ´ a o . e 1 1 1 3. T` cˆng th´.c t´ tˆ’ng ım o u ınh o + +···+ ` b˘ ng c´ch quan s´t c´c a a a a 1.2 2.3 n(n + 1) gi´ tri cua biˆ u th´.c n`y v´.i c´c gi´ tri nho cua n. D` ng quy nap to´n hoc dˆ a . ’ e’ u a o a a . ’ ’ u . a . ¯e ’ ch´ u.ng minh cˆng th´.c d ´. o u ¯o 4. B˘ ng quy nap to´n hoc h˜y ch´.ng minh bˆ t d ˘ng th´.c Bernoulli: “Nˆu ` a . a . a u ´ ’ a ¯a u ´ e n a > −1 th` 1 + na ≤ (1 + a) , v´ ı o.i moi sˆ tu. nhiˆn n ”. ´ . o . e 5. Ch´.ng minh b˘ ng quy nap r˘ ng u ` a . ` a n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = , 4 v´.i moi sˆ nguyˆn du.o.ng n. o . o ´ e 6. Ch´.ng minh r˘ ng u ` a (−1)n−1 n(n + 1) 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1n2 = , 2 v´.i moi sˆ nguyˆn du.o.ng n. o . o ´ e 7. Ch´.ng minh r˘ ng u ` a 1 1 1 1 1+ + + ···+ 2 < 2 − , 4 9 n n v´.i moi sˆ nguyˆn n l´.n ho.n 1. o . o ´ e o 8. Mˆt ´nh xa s : N −→ X d u.o.c goi l` x´c dinh t`. a ∈ X v` f : X −→ X b˘ ng o a . . ¯ . . a a ¯. u a ` a “dˆ quy d o ¯e ¯ .n” nˆu s(0) = a v` s(σ(n)) = f (s(n)), ∀n ∈ N. ´ e a . 104
1) Ch´.ng minh r˘ ng nˆu t : N −→ X thoa m˜n t(0) = a v` t(σ(n)) = f (t(n)) u ` a ´ e ’ a a th` t = s. ı 2) Cho f ∈ X X (o. d ˆy X X l` tˆp ho.p c´c ´nh xa t`. X v`o X). Ch´.ng to ’ ¯a a a. . a a . u a u ’ ` a X r˘ ng E : N −→ X v´ o.i E(n) = f n c´ thˆ d u.o.c x´c d inh b˘ ng mˆt dˆ quy d o.n. o e ’ ¯ . a ¯. ` a o ¯e ¯ . . 9. H˜y t` tˆp ho.p X ch´.a sˆ 0 v` ´nh xa σ : X −→ X sao cho thoa m˜n 2 a ım a . . u o ´ aa . ’ a trong 3 tiˆn d` P 3, P 4, P 5 m` khˆng thoa m˜n tiˆn d` c`n lai. e ¯ˆ e a o ’ a e ¯ˆ o . e 10. H˜y xˆy du.ng ´nh xa τ : N −→ N kh´c ´nh xa σ trong P 2 m` thoa m˜n a a . a . a a . a ’ a c´c tiˆn d` Peano. a e ¯ˆ e 11. Ch´.ng to r˘ ng khˆng c´ sˆ tu. nhiˆn n`o n˘ m gi˜.a n v` n + 1. u ’ a` o ´ o o . e a a ` u a 12. Ch´.ng minh r˘ ng: u ` a 1) Moi tˆp con kh´c rˆ ng bi ch˘n trˆn cua tˆp ho.p Z c´c sˆ nguyˆn d` u c´ . a. a o ˜ . a . e ’ a . . a o ´ e ¯ˆ o e ´ l´.n nhˆ t. sˆ o o ´ a 2) Moi tˆp con kh´c rˆ ng bi ch˘n du.´.i cua tˆp ho.p Z c´c sˆ nguyˆn d` u c´ . a. a o ˜ . a . o ’ a . . a o ´ e ¯ˆ o e ´ nho nhˆ t. sˆ o ’ a´ 13. Ch´.ng minh r˘ ng v´.i moi c˘p sˆ nguyˆn a, b, b = 0, tˆn tai duy nhˆ t c˘p u ` a o . a o . ´ e ` . o ´ . a a ´ ’ a sˆ nguyˆn q, r thoa m˜n: o e a = bq + r, 0 ≤ r < |b|. 14. X´t tru.`.ng Z13 c´c sˆ nguyˆn mˆd ulˆ 13. H˜y lˆp bang nhˆn cua Z13 . e o a o ´ e o¯ o a a . ’ a ’ Ch´.ng to r˘ ng Z∗ = Z13 \ {0} l` mˆt nh´m cyclic. u ’ a` 13 a o. o 15. K´ hiˆu Un l` nh´m nhˆn c´c phˆn tu. kha nghich cua v`nh Zn c´c sˆ y e . a o a a ` a ’ ’ . ’ a a o ´ nguyˆn mˆd ulˆ n. e o¯ o 1) Lˆp bang nhˆn cua U18 v` ch´.ng minh r˘ ng U18 l` mˆt nh´m cyclic. a . ’ a ’ a u ` a a o . o 2) U16 c´ l` nh´m cyclic khˆng? V` sao? o a o o ı 16. T` c´c d` ng cˆ u nh´m t`. ım a ¯ˆ o a´ o u ´ 1) Z12 dˆn Z12 ; ¯e ´ 2) Z12 dˆn Z24 . ¯e ´ 3) Z9 dˆn Z13 . ¯e 105
’ `. ` . ´. ˜ ˆ ’ ` ˆ TRA LO I VA HU O NG DAN GIAI BAI TAP . . . CHU O NG IV 3(5 − 1) 1. Mˆnh d` d ung khi n = 0 v` 3 = e . ¯ˆ ¯´ e ı . Gia su. mˆnh d` d ung dˆn n, t´.c ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e ´ ¯e u 4 3(5n+1 − 1) l` ta c´ 3 + 3.5 + 3.52 + · · · + 3.5n = a o . Khi d ´ ¯o 4 2 n n+1 3(5n+1 − 1) 3 + 3.5 + 3.5 + · · · + 3.5 + 3.5 = + 3.5n+1 4 n+1 15.5 −3 3(5n+2 − 1) = = , 4 4 t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o moi n ∈ N. . 1 − (−7)1 2. Mˆnh d` d ung khi n = 0 v` 2 = e . ¯ˆ ¯´ e ı . Gia su. mˆnh d` d ung dˆn n, t´.c ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e ´ ¯e u 4 1 − (−7)n+1 l` ta c´ 2 − 2.7 + 2.72 − · · · + 2(−7)n = a o . Khi d ´ ¯o 4 1 − (−7)n+1 2 − 2.7 + 2.72 − · · · + 2(−7)n + 2(−7)n+1 = + 2(−7)n+1 4 1 + 7(−7)n+1 1 − (−7)n+2 = = , 4 4 t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o moi n ∈ N. . 3. Ta ch´.ng minh b˘ ng quy nap mˆnh d` : u ` a . e . ¯ˆ e 1 1 1 1 + + ··· + = 1− . 1.2 2.3 n(n + 1) n+1 1 1 Mˆnh d` d ung khi n = 1 v` e . ¯ˆ ¯´ e ı = 1− . Gia su. mˆnh d` d ung dˆn n, ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e ´ ¯e 1.2 1+1 1 1 1 1 t´.c l` ta c´ u a o + + ··· + =1− . Khi d ´ ¯o 1.2 2.3 n(n + 1) n+1 1 1 1 1 1 1 + + ··· + + =1− + 1.2 2.3 n(n + 1) (n + 1)(n + 2) n + 1 (n + 1)(n + 2) n+2−1 1 =1− =1− , (n + 1)(n + 2) n+2 106
t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o ´ moi sˆ nguyˆn du .o.ng n. . o e 4. Mˆnh d` d ung khi n = 0 v` (1 + a)0 = 1 + 0.a. Gia su. mˆnh d` d ung dˆn n, e . ¯ˆ ¯´ e ı ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e ´ ¯e u.c l` ta c´ (1 + a)n ≥ 1 + na. Khi d ´ t´ a o ¯o (1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a) = 1 + na + a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a, t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o moi n ∈ N. . 1.2.3.4 5. Mˆnh d` d ung khi n = 1 v` 1.2.3 = e ¯ˆ ¯´ . e ı . Gia su. mˆnh d` d ung dˆn n, t´.c ’ ’ e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ u 4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) l` ta c´ 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) = a o . Khi d ´ ¯o 4 1.2.3 + 2.3.4 + · · · + n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)(n + 2)(n + 3) n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = + (n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 4n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = 4 (n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) = , 4 t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o ´ moi sˆ nguyˆn du .o.ng n. . o e (−1)0 1(1 + 1) 6. Mˆnh d` d ung khi n = 1 v` 12 = e . ¯ˆ ¯´ e ı . Gia su. mˆnh d` d ung dˆn ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e ´ ¯e 2 (−1)n−1n(n + 1) n, t´.c l` ta c´ 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1n2 = u a o . Khi d ´ ¯o 2 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1 n2 + (−1)n (n + 1)2 (−1)n−1 n(n + 1) −(−1)n n(n + 1) + 2(−1)n (n + 1)2 = + (−1)n (n + 1)2 = 2 2 n (−1) (n + 1)(n + 2) = , 2 t´.c l` mˆnh d` d ung dˆn n + 1. Vˆy theo nguyˆn l´ quy nap, mˆnh d` d ung v´.i u a e ¯ˆ ¯´ ¯e . e ´ a . e y . e ¯ˆ ¯´ . e o ´ moi sˆ nguyˆn du .o.ng n. . o e 107
1 5 6 1 7. Mˆnh d` d ung khi n = 2 v` 1 + e . ¯ˆ ¯´ e ı = < = 2 − . Gia su. mˆnh d` d ung ’ ’ e . ¯ˆ ¯´ e 4 4 4 2 1 1 1 1 dˆn n, t´.c l` ta c´ 1 + + + · · · + 2 < 2 − . Khi d ´ ´ ¯e u a o ¯o 4 9 n n 1 1 1 1 1 1 1+ + + ··· + 2 +
-a D˘t τ = γ −1 ◦ σ ◦ γ. Khi d ´ ta c´: . ¯o o P3. 0 ∈ τ (N). / P4. γ l` mˆt d o.n ´nh. a o ¯ a . ’ a P5. Cho V thoa m˜n: a) 0 ∈ V . b) V´.i moi n ∈ N, n ∈ V ⇒ τ (n) ∈ V . o . - ˘t U = γ(V ) th` ta c´: Da. ı o a’) 0 = γ(0) ∈ γ(V ) = U . b’) V´.i moi p ∈ N, o . p ∈ U ⇒ γ −1 (p) ∈ V ⇒ γ −1 (σ(p)) = τ (γ −1 (p)) ∈ V ⇒ σ(p) ∈ γ(V ) = U. Vˆy U = N hay V = N. Do d ´ N v` τ thoa m˜n hˆ tiˆn d` Peano. a . ¯o a ’ a e e ¯ˆ . e 11. Gia su. tˆn tai m ∈ N sao cho n < m < n + 1. Khi d´ tˆn tai t ∈ N, t = 0 ’ ’ ` . o ¯o ` . o u. d ´ ta d u.o.c n < n + t < n + 1 hay 0 < t < 1. Goi sao cho m = n + t, t` ¯o ¯ . . A = {x ∈ N | 0 < x < 1}, ta c´ A ⊂ N, A = ∅. Do d ´ A c´ sˆ nho nhˆ t, gia su. l` a. Khi d ´ 0 < a2 < a < 1, o ¯o o o ´ ’ a ´ ’ ’ a ¯o 2 2 - ` nˆn a ∈ A v` a < a. Diˆu n`y mˆu thuˆ n v´ ınh e a e a a ’ a o .i t´ nho nhˆ t cua a. ’ ´ a ’ 12. 1) Cho A ⊂ Z, A = ∅ v` bi ch˘n trˆn. Ta c´ hai tru.`.ng ho.p: a . a . e o o . + A ∩ N = ∅: Khi d ´ tˆp ho ¯o a .p A ∩ N l` tˆp con kh´c rˆ ng cua N v` bi ch˘n a a a o ˜ ’ a . a . . . . e ¯o o o o ´ l´.n nhˆ t v` d ˆy c˜ ng l` sˆ l´.n nhˆ t cua A (v` c´c sˆ trong trˆn, do d ´ n´ c´ sˆ o ´ a ¯a u a a o´ o ´ ’ a ı a o´ ´u c´) gˆm c´c sˆ nguyˆn ˆm). A \ (A ∩ N) (nˆ o o e ` a o ´ e a + A ∩ N = ∅: Khi d ´ A ∩ N chı gˆm c´c sˆ nguyˆn ˆm. X´t tˆp ho.p ¯o ’ ` o a o ´ e a e a . . A = {|x| | x ∈ A}. Khi d ´ A l` mˆt tˆp con kh´c rˆ ng cua N nˆn c´ sˆ nho nhˆ t. Gia su. |a| (a ∈ A) ¯o a o a . . a o ˜ ’ e o o ´ ’ a ´ ’ ’ ´ ’ ’ l` sˆ nho cua A . Do d ´ v´ a o ¯o o.i moi x ∈ A, |a| ≤ |x| hay −a ≤ −x hay x ≤ a. Vˆy a . . ´ l´.n nhˆ t cua A. a l` sˆ o a o ´ ’ a 2) Cho B ⊂ Z, B = ∅ v` bi ch˘n du.´.i. Khi d ´ tˆp ho.p a . a . o ¯o a. . A = −B = {−x | x ∈ B} l` mˆt tˆp con kh´c rˆ ng cua Z v` bi ch˘n trˆn. Do d ´ A c´ sˆ l´.n nhˆ t v` d ˆy a o a . . a o ˜ ’ a . a . e ¯o ´ o o o ´ a a ¯a ´ ’ ´ a ’ ch´ l` sˆ nho nhˆ t cua B. ınh a o 13. X´t tˆp ho.p: e a. . A = {bx | x ∈ Z, bx ≤ a} (tˆp ho.p c´c bˆi cua b khˆng vu.o.t qu´ a). a . . a o ’ . o . a 109
ı a o o ’ V` −|b||a| l` mˆt bˆi cua b v` −|b||a| ≤ a nˆn −|b||a| ∈ A, do d ´ A = ∅. . . a e ¯o ’ Ngo`i ra A l` mˆt tˆp con cua Z bi ch˘n trˆn bo a a o a ’.i a, nˆn trong A c´ sˆ l´.n nhˆ t, ´ ´ . . . a . e e o o o a ’ ’ . d ´ l` bq, q ∈ Z. gia su ¯o a V` |b| ≥ 1 nˆn bq + |b| > bq, do d ´ bq + |b| ∈ A. Nhu.ng bq + |b| c˜ ng l` mˆt ı e ¯o / u a o . o ’ bˆi cua b nˆn ta c´ . e o bq ≤ a < bq + |b| hay 0 ≤ a − bq < |b|. D˘t r = a − bq ta d u.o.c r ∈ Z, a = bq + r, 0 ≤ r < |b|. -a . ¯ . ’ ’ Gia su o. c´ hai c˘p sˆ nguyˆn q, r v` q , r thoa m˜n a = bq + r, a = a o ´ e a 1 1 ’ a . bq1 + r1 , 0 ≤ r, r1 < |b|. Khi d ´ ta c´ b(q − q1 ) = r1 − r v` |r1 − r| < |b|, nˆn ¯o o a e a ¯ .o.c |q − q | < 1. Do d ´ |q − q | = 0 hay q = q |b||q − q1 | < |b| v` do |b| > 0 ta d u . ¯o 1 1 1 v` k´o theo r1 = r. a e 14. Bang nhˆn cua Z13 : ’ a ’ . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 0 2 4 6 8 10 12 1 3 5 7 9 11 3 0 3 6 9 12 2 5 8 11 1 4 7 10 4 0 4 8 12 3 7 11 2 6 10 1 5 9 5 0 5 10 2 7 12 4 9 1 6 11 3 8 6 0 6 12 5 11 4 10 3 9 2 8 1 7 7 0 7 1 8 2 9 3 10 4 11 5 12 6 8 0 8 3 11 6 1 9 4 12 7 2 10 5 9 0 9 5 1 10 6 2 11 7 3 12 8 4 10 0 10 7 4 1 11 8 5 2 12 9 6 3 11 0 11 9 7 5 3 1 12 10 8 6 4 2 12 0 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 2 = 2, 2 = 4, 2 = 8, 2 = 3, 2 = 6, 2 = 12, 7 8 9 10 11 12 2 = 11, 2 = 9, 2 = 5, 2 = 10, 2 = 7, 2 = 1. Nhu. vˆy, Z∗ l` mˆt nh´m cyclic v´.i phˆn tu. sinh l` 2. a . 13 a o. o o ` a ’ a 110