Giáo trình giải tích 1 part 10

Chia sẻ: Pham Duong | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

168
lượt xem 23
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Xét phương trình bậc 3: x3 + px + q = 0. Dùng phương pháp khảo sát hàm số, hãy xác định điều kiện của p, q sao cho phương trình: a) vô nghiệm b) có 1 nghiệm c) có 2 nghiệm d) có 3 nghiệm. Hãy vẽ tập hợp (p, q) đó trong mặt phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình giải tích 1 part 10

106 5. Tính caùc giôùi haïn cuûa toång treân ôû baøi b) c) d) ôû treân khi n → ∞. x x 2n + 1 ( Hd: 2 sin (sin x + · · · + sin nx) = cos − cos x) 2 2 2 6. Cho f laø haøm khaû tích treân [a, b]. Chöùng minh b−a n b k (b − a) lim f (a + )= f (x)dx n→∞ n n a k=1 1 12 2 n 13 Tính a) nlim b) nlim (e n + e n + · · · + e n ) 3.2 3n (( ) + ( )2 + · · · + ( )2 ) nn n n →∞ n →∞ 1p + 2p + · · · + np 1 1 1 c) d) nlim lim ( + + ··· + ) np+1 n→∞ n + 1 n+2 2n →∞ 1 1 2π 2 4π n 2nπ 7. Cho Sn = (1 + ) sin + (1 + ) sin + · · · + (1 + ) sin n n n n n n n a) Bieåu dieãn n→+∞ Sn qua tích phaân xaùc ñònh. lim b) Tính n→+∞ Sn . lim 8. Cho f laø haøm ñôn ñieäu treân [0, 1]. Chöùng minh 1n 1 k 1 f− f ( ) = O( ) n k=1 n n 0 b b b 9. Ñuùng hay sai: f (u)du. f (x)dx = f (t)dt = a a a 10. Phaùt bieåu caùc tính chaát ñaõ söû duïng trong vieäc tính tích phaân: 23 2 2 2 (3x2 − 5)dx = 3 x2 dx − 5 dx = 3( − 0) − 5(2 − 0). 3 0 0 0 11. Ñuùng hay sai: neáu khaû tích, thì f cuõng khaû tích. |f | 12. Caùc haøm naøo trong caùc haøm sau khaû tích Riemann treân [0, 1]: 1 a) Haøm ñaëc tröng cuûa taäp {0, 10 , 10 , 10 , · · · , 1} b) f (x) = sin , 123 f (0) = 7 x 1 1 c) f (x) = , neáu x = , n ∈ N; f (x) = 0 trong tröôøng hôïp coøn laïi. n n d) Haøm Dirichlet: D(x) = 0, neáu x höõu tæ; D(x) = 1, neáu x voâ tæ. 13. Ñuùng hay sai: neáu f khaû tích treân vaø tröø ra moät taäp ñeám [a, b] f (x) = g (x) ñöôïc, thì g khaû tích. 14. Ñuùng hay sai: neáu f khaû tích treân [a, b] vaø f (x) = g (x) tröø ra moät taäp con höõu haïn, thì g khaû tích. x 15. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [a, b]. Chöùng minh haøm lieân tuïc treân F (x) = f a [a, b] vaø thoûa |F (x) − F (y )| ≤ max |f (t)| |x − y |. t∈[a,b]
107 Baøi taäp x2 x2 16. Vôùi 0 ≤ x ≤ 1, chöùng minh ≤ x2 . √ ≤√ 1+x 2 x2 1 1 2 Suy ra dx ≤ . √≤ √ 3 1+x 32 0 π 2π 2 2x 4 17. Chöùng minh dx ≤ π 2 . 2 ≤ 9 sin x 9 π 6 18. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [a, b], f ≥ 0. Chöùng minh: a) neáu toàn taïi c sao cho f (c) > 0, thì ab f > 0. b) neáu ab f = 0, thì f ≡ 0. 19. Chöùng minh neáu laø caùc haøm khaû tích treân [a, b], thì f, g 2 b b b f 2 (x)dx g 2 (x)dx f (x)g (x)dx ≤ a a a n n+1 20. a) Vôùi n = 1, 2, 3, · · · , chöùng minh ln xdx. ln xdx < ln n! < 1 1 n n+1 n n n+1 n b) Suy ra e , vaø ñaùnh giaù n! = O(n). < n! < e e e e 21. Cho f : [1, +∞) → R laø haøm döông, ñôn ñieäu giaûm. Goïi n n vaø In = Sn = f (k ) f (x)dx 1 k=1 k a) Chöùng minh f (k) < f (x)dx < f (k − 1) (k = 2, 3, · · · ) k −1 b) Chöùng minh daõy (Sn − In )n∈N giaûm, vaø coù giôùi haïn thuoäc [0, f (1)]. 1 1 c) AÙp duïng cho daõy 1 + + · · · + − ln n. 2 n 22. Duøng ñònh lyù giaù trò trung bình cuûa tích phaân, chöùng minh haøm n (ak cos kx + bk sin kx), luoân coù nghieäm trong (−π, π ). f (x) = x + k=1 x d 23. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [a, b]. Chöùng minh f (t)dt = f (x) dx a x df df 24. Cho f (x) = t + t6 dt. Tính vaø . dx dt 0 x2 25. Giaû söû f lieân tuïc, F (x) = f. Tìm F (x). 0 26. Giaû söû haøm khaû vi treân [a, b], haøm lieân tuïc treân ϕ([a, b]). Chöùng minh ϕ f ϕ(x) d ( f (t)dt) = f (ϕ(x))ϕ (x). dx ϕ( a)
108 27. Tính tích phaân xaùc ñònh: Baèng phöông phaùp ñoåi bieán: √ ◦ a a a2 − x2 a) x2 a2 − x2 dx b) dx x 0 1 Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn: ◦ 1 π /2 π /2 a) xex dx b) x cos xdx c) ex cos xdx 0 0 0 Haøm höõu tæ: ◦ x5 dx 1 1 1 1 dx xdx dx a) b) c) d) 2 − 5x + 6 (1 + x)2 1 + x2 x4 + 4x2 + 3 x 0 0 0 0 Haøm caên thöùc: ◦ √ 2 7 dx dx a) b) √ √ √ 2+x+1 x x2 − 1 2/3 2 Haøm löôïng giaùc: ◦ π π π /4 π /4 sin xdx dx a) b) c) d) sin4 xdx tan6 xdx cos2 x − 3 cos4 x 0 0 0 0 28. Cho f laø haøm khaû tích treân [−a, a]. Chöùng minh: a a a a) Neáu f laø haøm chaün, thì f b) Neáu f laø haøm leû, thì f =2 f =0 −a 0 −a 29. Cho f laø haøm coù chu kyø vaø khaû tích treân [0, T ]. Chöùng minh vôùi moïi a ∈ R, T a+ T T ta coù f= f a 0 30. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [0, 1]. Chöùng minh: π π /2 π π π a) f (sin x)dx = 2 b) xf (sin x)dx = f (sin x)dx f (sin x)dx 2 0 0 0 0 x3 sin x π π x sin x AÙp duïng tính dx, dx 1 + cos2 x 1 + cos2 x 0 0 31. Laäp luaän sau sai ôû ñaâu? 1 d −1 Cho f (x) = . Khi ñoù f (x) = ). ( 2 (1 + x) dx 1 + x +∞ a −1 1 Vaäy f (x)dx = lim f (x)dx = lim ( − ) = 0. 1+a 1+a a→+∞ −a a→+∞ −∞ 32. Tính caùc tích phaân suy roäng: x2 + 1 +∞ dx +∞ dx 1 1 +∞ dx dx a) b) c) d) e) dx x4 + 1 2/3 4/3 x2/3 4/3 x x 0x 1 1 0 0 +∞ +∞ +∞ xdx f) g) h) √ x cos xdx x ln xdx x−1 0 0 1 33. Duøng caùc daáu hieäu thích hôïp, xeùt söï hoäi tuï caùc tích phaân: x2 dx +∞ xn dx +∞ +∞ ln(1 + x)dx a) b) (n ≥ 0) c) 4 2 m xn x +x +1 1+x 0 1 1
109 Baøi taäp √ √ +∞ 1 1 1 cos xdx dx xdx xdx d) e) f) g) √ √ 2 + xn sin x − 1 e 1 − x2 1 − x4 0 0 0 0 1 +∞ sin x ln xdx h) i) dx 1 − x2 x3/2 0 0 34. Xeùt söï hoäi tuï cuûa caùc tích phaân sau ( p, q, p1 , · · · , pn laø caùc tham soá): +∞ xp b +∞ dx dx a) b) dx c) pq p (x − a) 1+x x ln x a 0 1 +∞ d) Haøm Gamma e−x xp−1 dx Γ(p) = 0 1 e) Haøm Beta xp (1 − x)q dx B (p, q ) = 0 π /2 +∞ dx dx f) g) p x sinq x |p1 |x − a2 |p2 · · · |x − an |pn cos |x − a1 0 −∞ +∞ cos x 35. Chöùng minh tích phaân sau hoäi tuï nhöng khoâng hoäi tuï tuyeät ñoái: dx x 0 1 f ( x) 36. Cho f laø haøm lieân tuïc treân [0, 1]. Chöùng minh hoäi tuï. √ dx 1 − x2 0 1 π /2 f ( x) Chöùng minh √ dx = f (sin u)du 1 − x2 0 0 (ñeå yù laø tích phaân veá phaûi khoâng laø tích phaân suy roäng). x sin t 37. Chöùng minh haøm ñaït max taïi x = π . F (x) = dt (0 < x < ∞) t3/2 0 √ n 1 n! 38. Nhôø toång Riemann cuûa tích phaân ln xdx, suy ra nlim . n →∞ 0 39. Trong , tính dieän tích mieàn giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng cong: R2 x2 y 2 a) y = x2 + 4, y = x + 4 b) 2 + 2 = 1, y = x2 (phaàn döôùi) a b k c) y = ln( ), y = 0, x = 1, x = e (k > 0). Tìm k ∈ N ñeå dieän tích < e − 2. x d) Ñöôøng Cycloid: x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) vaø y = 0 (tính moät nhòp) e) Ñöôøng Lemniscate cho trong toïa ñoä cöïc: r 2 = a2 cos 2ϕ f) Ñöôøng traùi tim cho trong toïa ñoä cöïc: r = a(1 + cos ϕ) 1 40. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa |ex − t|dx. I (t ) = 0 41. Trong R3 , tính theå tích vaät theå maët troøn xoay giôùi haïn bôûi maët cong: b a) Taïo bôûi ñöôøng cong y = a2 − x2 , −a ≤ x ≤ a, xoay quanh truïc Ox. a b) Taïo bôûi ñöôøng cong y 2 = 4 − x, 0 ≤ x ≤ 4, xoay quanh truïc Oy. 42. Trong R2 , tính ñoä daøi caùc ñöôøng cong: 1 a) y2 = x3 , 0 ≤ x ≤ 1, y > 0 b) y 2 = 2px, a ≤ x ≤ b 9 c) Ñöôøng Astroide: x = a cos3 t, y = a sin3 t ϕ d) Cho trong toïa ñoä cöïc: r = sin3 , 0 ≤ ϕ ≤ π/2 3
110 Chuoãi soá . 1. Bieåu dieån caùc soá sau döôùi daïng chuoãi soá: 0, 61111 · · · , 1, 33333 · · · , −2, 343434 · · · , e, π , ln 2. 2. Laäp luaän sau sai ôû ñaâu? Cho S = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + · · · . Khi ñoù 2S = 2 + 4 + 8 + · · · = S − 1. Vaäy S = −1. 3. Chöùng minh neáu hoäi tuï veà S , thì hoäi tuï veà a 1 + a2 + a3 + · · · a2 + a3 + · · · S − a1 . 4. Chöùng minh caùc chuoãi sau hoäi tuï vì daõy toång rieâng hoäi tuï. Xaùc ñònh toång: 1 1 1 1 1 a) + + + + + ··· 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 5. 6 1 1 1 1 b) + + + + ··· 1.4 4.7 7.10 10.13 1 1 1 1 1 c) + + + + + ··· 1.3 4.6 7.9 10.12 13.15 111 1 1 d) −+− + +··· 2 4 8 16 ∞32 ∞k ∞√ √ √ 2 + 3k 1−x k e) f) ( ) . g) ( k + 2 − 2 k + 1 + k) 6k 1+x k=0 k=0 k=0 ∞ ∞ 1 1 h) i) (m ∈ N ) k (k + 1)(k + 2) k (k + m ) k=1 k=1 5. Duøng caùc daáu hieäu hoäi tuï thích hôïp, xeùt söï hoäi tuï cuûa caùc chuoãi sau: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ k4 k !3k 1+k 3 k ln k a) b) c) d) e) 2 k 2 kk k! 1+k 4+2 k + 2k + 3 k=0 k=0 k=0 k=0 k=1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 + k )2 k (k !)2 (1 1 1 1 f) g) h) i) j) (ln k )k ek kp (2k )! k ln k k=0 k=2 k=0 k=1 k=2 ∞ ∞ 1 k) l) sin kx p lnq k k k=2 k=0 ∞ (−1)k 1 6. Cho ak = . Chöùng minh (−1)k ak phaân kyø. √+ k k k=1 (chuù yù laø ak > 0 vaø ak → 0, nhöng khoâng ñôn ñieäu). 7. Cho chuoãi ( 1 )0 + ( 1 )1 + ( 1 )2 + ( 1 )3 + ( 1 )4 + · · · . Haõy kieåm tra söï hoäi tuï baèng 2 4 2 4 2 daáu hieäu D’Alembert. Chuoãi coù hoäi tuï? ∞ 1 8. Xeùt chuoãi S = . Goïi toång rieâng thöù laø Sn . n kp k=1 k+1 1 1 1 a) Khi p > 0, chöùng minh ( k = 1, 2 , · · · ) . < dx < p (k + 1)p p x k k Suy ra chuoãi hoäi tu khi vaø chæ khi p > 1ï.
111 Baøi taäp +∞ +∞ 1 1 b) Khi p > 1, chöùng minh S n−1 + dx < S < Sn + dx xp xp n n 1 1 c) Suy ra ta coù sai soá: < S − Sn < p−1 (p − 1)np−1 (p − 1)(n + 1) ∞ ∞ 9. Cho ak , bk > 0. Gæa söû vaø hoäi tuï. Chöùng minh ak bk k=0 k=0 ∞√ ∞ ∞ ∞ ak cuõng hoäi tuï. a2 , 2 ak bk , (ak + bk ) , k k k=0 k=0 k=0 k=0 10. Laäp luaän sau sai vì sao? 1 1 1 1 1 1 + ( 1 − 1) + 1 + ( 1 − 1 ) + 1 + ( 1 − 1 ) + · · · 1− + − + − + ··· = 2 3 4 5 6 2 3 4 2 5 6 3 (1 + 1 + 1 + 1 + · · · ) − 1 − 1 − 1 − 1 − · · · = 2 3 4 2 3 4 (1 + 1 + 1 + 1 + · · · ) − (1 + 1 + 1 + 1 + · · · ) = 2 3 4 2 3 4 = 0. 11. Ñuùng hay sai: 1 , vôùi |x| < 1. 1 + x2 + x + x4 + x6 + x3 + x8 + x10 + x5 + · · · = 1−x