Giáo trình Giải tích lồi: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:107

Thêm vào BST

Báo xấu

351
lượt xem 58
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Giải tích lồi trình bày các kiến thức cơ bản của giải tích lồi và một số ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực trị. Giáo trình gồm 5 chương, phần 1 gồm nội dung 3 chương đầu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Giải tích lồi: Phần 1

ĐẠI H Ọ C V I N H THƯ V I Ệ N 515
PGS.TS ĐỖ VÃN LƯU - PGS.TS PHAN HUY KHẢI G I Ả I TÍCH L Ồ I ro NHÀ XUẤT BẢN KHOA H Ọ C V À KỸ THUẬT HÀ NÔI - 2000
5 1 - 5 1 .7. 2 451- £ / / £ r - 00
L Ờ I NÓI Đ Ầ U Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết các bài toán cục trị và các ngành toán học ứng dụng có sù dụng công cụ giải tích và không gian tuyến tính. Sau các kết quả đầu Hên của H.Minkowski (1910) về tập lồi và hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi đã thu hút sụ quan tâm nghiên cứu của nhiêu nhà toán học. Lý thuyết giải tích lồi được hoàn ihiện khoảng ba chục nấm nay, sau các công trình nổi tiếng của H.Minkowski, C.Carathéodory, W.Fenchel, J.J.Moreau, R.T.Rockafellar, L.Klee, A.Brondsted, W.V. Jensen, G.Choquet,... Giáo trình này trình bày các kiến thúc cơ bản của giải tích lồi và một số ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực trị. Chương ì trình bày các kiến thúc về tập lồi và nón lồi trong không gian lồi địa phuơng và trong không gian h u hạn chiều, cùng với định lý nổi tiếng của Carathéodory ve tập lồi. Chuơng li nghiên cứu hàm lồi, các phép toán về hàm lồi và tính liên tục của hàm lồi trong không gian lồi địa phuơng. Chuơng IU trình bày các định lý tách cơ bàn, các tính chất
của hàm liên hợp, bao gồm định lý Fenchel-Moreau và các định lý đối ngẫu quan trọng. Chương IV nghiên cứu khái niệm duới vi phân hàm lồi và các định lý cơ bản ve duới vi phân, trong đó có định lý Moreau-Rockafellar. Lớp hàm lồi địa phuơng cũng đuợc khảo sái trong chương này. Dựa trên các kế t quả đã nghiên cứu trong các chuơng ỈTUỚC, chương V trình bày các điều kiện cực trị cho lớp các bài toán lồi, trơn và bài toán trơn-lồi tổng quát. Sau mỗi chương đền,: có bài tập nhằm cùng cố và nâng cao nời dung kiế n thúc đã trình bày. Dể hiểu được giáo trình này, đờc giả cằn có mời số kiế n thức tối thiểu vê giải tích hàm và đại số tuyế n tính. Giáo trình này dành cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh và sinh viên toán của các trường đại học. Giáo trinh đang được dùng làm tài liệu cho học viên cao học của Viện Toán học. Các tác giả xin chân thành cẩm ơn Trung tâm Dào tạo sau đại học - Viện Toán học, đã đờng viên khuyế n khích các tác giả biên soạn và cử nhân Đỗ Kim Chung, TS Vũ Văn Đạt đã xù lý văn bản cuốn sách trên hệ soạn thào AMSTEX. CÁC TÁC G I Ả
3 Chu ưng ì TẬP L Ồ I 1.1. TẬP LỒI 1.1.1. Định nghĩa và tính chất G i à sử X l à k h ô n g g i a n t u y ế n t í n h , R l à t ậ p c á c số t h ự c . Đ i n h n g h ĩ a 1.1. Tập A c X đ ư ợ c gọi là lồi, n ế n : Vtfi,.T 2 € A, VA e R : 0 < A < Ì Axi+(1-A).
4 Các nửa không gian là các t ậ p lồi. Các tam giác v à hình tròn trong mặt phang là các t ậ p lồi. H ì n h cầu đ ơ n vị trong không gian Banach là tập l ồ i . . . M ê n h đ ề 1.1. G i ả sử A a c X (a € ì) là các tập l ồ i , v ớ i ì là t ậ p chì số bất kỳ. K h i đ ó , t ậ p A = Ị^Ị A Q cũng l ồ i . àèi Chứng minh Lấy Xi,X2 É À. Khi đó, XI,X2 6 A a (Va 6 /). Với Va £ / , do A a lồi, cho nên: Axi + (Ì - A)x € Ao 2 (VA € [ 0 , 1 ] ) . Axi + (Ì - X)x2 eA. • T ừ định nghĩa 1.1 ta nhận được các mệnh đ ề sau: Mệnh đề 1.2. G i ả sử t ậ p Ai c X l ồ i , Ai € R (i = Ì , . . . , m ) . K h i đó, Xi Ai + ... + \ m A m là t ậ p l ồ i . M ê n h đ ề 1.3. G i ả sử Xi là không gian t u y ế n tính, t ậ p Ai c Xi l ồ i (i = Ì , . . . , rà). K h i đ ó , tích Đề các A i X . . . X A m là tập l ồ i t r o n g Xi X ... X x m . M ê n h đ ề 1.4. Già sử X , Y là các không gian tuyến tính, T : X —» Y là t o á n t ử t u y ế n tính. K h i đ ó , a) A c X lồi T(A) lồi; b) B c y l ồ i = • Nghịch ảnh T _ 1 ( B ) của £ là t ậ p lồi.
5 Đ i n h nghĩa 1.3. Vectơ X G X được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ X ị , . . . , . T m € X, nếu BA; > 0 ( t = Ì , . . . , m ) , m m Ai = Ì, sao cho X = X ị X ị . 1=1 i=l Đ i n h lý 1.1. G i ả sử t ậ p A c X l ồ i ; X i , . . . ,x m € A. K h i đó, A chứa t ấ t cả các t ổ hợp l ồ i của X i , . . . , X T O . Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp. m = 2 : với mọi Ai,À 2 > 0, Ai + À 2 = Ì , E l , £ 2 G A, theo định nghĩa 1.1, A i X i + A2X2 £ A. G i ả sử kết luận đ ú n g v ớ i m < k. Ta sẽ chứng minh rằng: fc+1 V*!,... , x k + 1 e A,VA; > 0 (i = Ì , . . . ,fc + l ) , ^ A ; = Ì, i=l X- = A1X1 + . . . + x x k k + Afc+iXfc+1 G Ả. Có t h ể xem như Xk+1 < Ì, b ở i vì nếu \k+i = Ì thì Ai = . . . = Afc = 0 và ta có ngay X £ Ả. K h i đ ó , Ì - A,fc = À! + . . . + \ +1 k > 0, — ^ >0 (1 = 1 , . . . , * ) .
A- Bời vì y ~Y = Ì, cho nên theo giả thiết quy nap —ị 1 - A *+1 ta có: y = r—f ari + ... + ——f .Tjfc € A. Với các điểm y £ A và 6 Ẩ, ta có: Ì - x k + 1 > 0, (Ì - Afc+1) + x k + 1 = Ì, Do đó, X = (Ì - Afc+i)y + Afc+iZfc+1 e Ả. • í . í . ỗ . 5aơ tòi và bao lồi đóng Đ i n h nghĩa 1.4. Giả sử A c X. Tương giao của tất cà các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi (convex hull) của tập A, và ký hiệu là co Ả. Nhận xét 1.2 a) coA là một tập lồi. Đó là tập lồi nh nhất chứa A. b) A lồi A = coA. Đ i n h l ý 1.2. co.4 trùng với tập tất cà các tố hợp lồi của Ả. Chứng minh
7 Theo nhận xét 1.2, co A lồi. Bởi vì A c coA, cho nên coA chứa t ấ t cả các tố hợp lồi của A (định lý 1.1). Mặt khác, tập tất cả các tố hạp lồi của A là lồi, chứa A. Do đó, nó chứa coA. • H ê q u ả 1.2.1. Tập A lồi khi và chỉ khi A chứa t ấ t cả các tố hợp lồi của A. Bâv giờ giả sử X là không gian lồi địa phương. Đ i n h nghĩa 1.5. Giả sử A c X. Tương giao của tất cả các tập lồi đóng chứa A đưạc gọi là bao lồi đóng của tập A, và kí hiầu là cõA. Nhận xét 1.3 cõA là một tập lồi đóng. Đó là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A. M ầ n h đ ề 1.5. Giả sử A c X lồi. Khi đó, a) Phần trong intA và bao đóng A của A là các tập lồi; b) Nếu X i £ intA, X2 € Ả, thì [xi, Xi) = { Xxị +(ì -\)x 2 : 0< A < Ì }c intA. Nói riêng, nếu intA ^ 0 thì Ă = intA, intÃ = intA. Chứng minh
Lấy Xi G intA, X2 G Ả. Khi đó, tồn tại lân cận u cùa X] sao cho lĩ c Ả. Đặt X = Xx- +{\-X)xí 2 (0 < A < 1), ta có AỈ7 + (1 - A)x 2 là một lân cận của :r và xu + (Ì — X)X2 c A X G intA =>• intA lồi. Bây giờ lấy Xì,X2 (E A. Đặt: X = Ái*! +(1 - X)x 2 (0 < A < 1). Giả sử lĩ là một lân cận lồi của 0. Do Xi G A, nên {Xi + Ỉ7) n A 0 (i = 1,2). =• 3x; G (ar,- + U)r\A (i = 1,2). Đặt í ' = Aar' + (Ì - A)x' . Khi đó, r 2 ar' € A(a?! + U) + (Ì - A ) ( i + t o = 2 X + u. =• (ar + ỉ 7 ) n A ^ 0 . =4> à- 6 Ã Ã lồi. Định lý 1.3. Bao lồi đóng của tập A trùng với bao đóng của bao lồi của A, tức là: côA = coA Chứng minh
9 Theo mệnh đề 1.5, co Ả lồi. Như vậy, co A là tập lồi đóng chứa Ả. Do đó, cõÃ D cõA. (1.1) Mặt khác, cỏ A D coA, bởi vì co A là tương giao của tất cả các tập lồi (không cần đóng) chứa A. Vì vậy, côA D cõÃ. (1.2) Từ (1.1) và. (1.2) suy ra cõA = coA. • 1.2. N Ó N L Ồ I Giả sử A" là không gian tuyến tính. Đinh nghĩa 1.6. Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0, nếu: Ve GA", VA > 0 \x € À'. À" được gọi là nón có đỉnh tại Xo, nếu K — Xo là nón có đình t ạ i 0. Đinh nghĩa 1.7. Nón A* có đình tại 0 được gọi là nón lồi, nếu K là m t, tập lồi, có nghĩa là: v.c, y G Ả", VA, ịx > 0 =^ A.r + ịiy e K. Ví dụ 1.2 n Các tập sau đây trong R : { 6 , 6 > 0 , i = l,...,n}
10 (orthant không â m ) , n {fi,.-.,íneiỉ : & > ( M = l,...,n} (orthant d ư ơ n g ) là các n ó n lồi có đỉnh t ạ i 0. Đó là các n ó n lồi quan trọng; n trong R. M ê n h đ ề 1.6. G i ả sử K a (a G ì ) l à các n ó n lồi có đỉnh t ạ i Xo v ớ i ì là t ậ p chì số b ấ t kỳ. K h i đ ó , Ị~^ị K a là n ó n lồi CÓ àei đỉnh t ạ i Xo- Chúng minh. Suy ra t ừ định nghĩa 1.7. Ví dụ l.s n n X = R, b eR a ( O Ễ / ) . K h i đó, K = { X e R n : < X, ba >< 0, Va e / } là m ộ t nón lồi b ở i vì K = Pl Rai trong đ ó àèi n Ka = { X GR : < x,b a >0 X + y e K, Xx € K.
li Chứng minh a) G i ả sử K là nón l ồ i . K h i đ ó , do K là tập lồi, ta có: z = i ( + y) e / i . x Do A' là nón có đỉnh t ạ i 0, ta l ạ i có: X + y = 2z G K. b) Ngược l ạ i , v ớ i Vx G A',VA > 0 ta có Xx € À', vậy K là m ộ t nón có đỉnh t ạ i 0. Vói 0 < A < 1 , Ĩ , Ị / 6 / í ta có ( Ì - A)x G A', Ay e K và (Ì - A)x + Ay G K. Chú ý vói A = 0 hoặc Ì ta v ẫ n có ( Ì — \)x + Xy G À". V ậ y K là nón lồi có đ ỉ n h t ạ i 0. o H ê quà 1.4.1. T ậ p K c X là nón lồi K chứa t ấ t cả các t ố hợp t u y ế n tính d ư ơ n g của các phổn t ừ cùa À', tức m là n ế u Xi,... , xm GA', A i , . . . , A m > 0 thì XịXị G K. 2=1 H ê quả 1.4.2. G i ả sử A là t ậ p bất kỳ trong X, K là tập t ấ t cả các t ố hợp t u y ế n tính d ư ơ n g của Ả. K h i đ ó , À" là nón lồi nhổ nhất chứa A. Chứng minh K l ả nón lồi có đỉnh tai 0, b ổ i vì A' đóng đ ố i với phép cộng v à phép n h â n vô hướng. Ta có K D Ả. Hem nửa, mọi nón lồi chứa Ả thì phải chir
12 Đ i n h nghĩa 1.8. T ư ơ n g giao cùa t ấ t cả. các nón lồi (có dinh t ạ i 0) chứa tập .4. và đ i ể m 0 là một. nón lồi và. được gọi là nón lồi fiiii.il, bời táp A, ký hiệu là K4. Đ ì n h nghĩa 1.9. T ư ơ n g giao cùa t ấ t cà các không gian con tuyến tính chứa táp .4 đirơc S;GÌ là bao tuy (in tính cùa t á p A. ký hiộu là liu Ả. Nhận xã Lị ì in A = KA — Mệnh đề 1.7 ri) A",\ = K r o . \ - b) N ế u Ả là tập lồi thì: A'..1 = u A.4 = { .r 0, .ve Ả}. Chúv.Ị/ minh. Phần này dễ dàng đ ư o r rhứug niinh ( b e l l i (loe tư làm). • Sau dây ta dưa. ra vài loại nón dược sử dụng nhiều troll"; ạ;iài tích lồi v à t i ưu. Già sử X là. không gian lồi địa p h ư ơ n g , X* là. khôn"; gian các- phiếm h à m tuyến t í n h liên tục trên A".
13 Đ i n h nghĩa 1.10. Vectơ X* e X* được gọi là pháp tuyến của t ậ p lồi A t ạ i X G A, nếu: < x*,x-x>
14 Định lý 1.5. Già sử tập A c X lồi, khác 0. Khi đó, O+A là nón lồi chứa điểm 0. Đồng thời, + o A = { d < E X : A + de Ả). (1.4) Chứng minh a) Trước hết chứng minh (1.4). Lấy d € O+A. Khi đó, X + \d e A (VA > 0,Va- G Á). Với A = Ì, ta có X + d e A (Va; G A), tức là A+ dCẢ. = ^ O+Ẩ c {ã € A" : A + đcA}. (1.5) Ngược lại, lấy ả G A" thỏa mãn A + d c Ả. '=> A + 2d = {A + íí) + d c A + d c Ả. ==> .T + mả 6 .4 (V.r € A, Vm— nguyên dương). Do Ả lồi, đoạn thằng nối các điểm x, x + d, x + 2d,... nằm trong Ả. Vì vậy, X + \d£ A (VA > 0). de o+.4 {cỉ e X : A + ả c A} c O+Ẩ. (l.C) Từ (1.5), (1.6) ta suy ra (1.4). + b) •Chứng minh o A là nón lồi. Bởi vì phép nhân với số dương không làm thay đ ố i phương,! cho nôn o Ả + là một. nón.
15 + Lấy G?1, 0 + 4 lồi. + Vậy o A là nón l ồ i . • Ví dụ 1.4. X = 2 R. a) C 1 = {(x,y): re > 0, y > ì} => o+d = {(x,y): *>0, y >0}. 2 b) C 2 = {{x,y): y>x } => o+C 2 = {(x,y): x = 0,y>0}. 2 2 c) C 3 = {(x,y): X + ỉ/ < 1} = • o+C 3 = { ( x , y ) : x = y = 0} = { ( 0 , 0 ) } . d) C 4 = {(;?•, y ) : .T > 0, ỉ, > 0 } u { ( 0 , 0 ) } => o+C*4 = c. 4 1.3. Đ Ị N H LÝ CARATHÉODORY G i ả sử X là. không gian hữu hạn chiều: X = 1 lư . N D i n h lý 1.6. Già sử A c R khác 0, KA là nón lồi sinh b ở i tập Ả. K h i đó, m ỗ i đ i ể m X ^ 0 thuộc có t h ể b i ể u diễn d ư ớ i dạng: = X Ai X i . . . "4~ À f X y 5
16 trong đó Ai > 0, Xi 6 A (i = Ì , . . . , r ) , các điểm Xi,... , xr độc lập tuyến tính. Nói riêng, r < n. Chứng minh Lấy X e KA, X Ỷ 0- Theo định lý 1.2 và mệnh đề 1.7, ta có: X = ựiXi + ... + HkXk, (1.7); với Hi > 0, Xi G A (i = Ì , . . . , k). Giả sử các v e c t ơ X i , . . . ,£jfc p h ụ thuộc tuyến t í n h . Khi đó, tồn tại các số 7 i , . . . ,jk không đồng thời bằng 0 sao cho: 71X1 + . . . + 7jfc£jfc = 0 . (1.8) Như vậy, trong các số 7 i , . - . ,7fc có các 7i > 0 (Nếu không ta đ ổ i dấu toàn bộ 7 i , . . . ,7fc). Ký hiệu : J = { i € { l , f c } : li > 0 } . Đặt: P = mịn —, iẽĩ 7i Ị i i = H i - 0 j i (ì = Ì,... ,k). Khi đó, /LíỊ > 0 (i = Ì , . . . , k) và có ít nhất một ịi' iữ = 0.