zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Giáo trình hình thành công thức ứng dụng trong hình học phẳng theo dạng đại số của số phức p5

Chia sẻ: Dgdg Tyutu | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Báo xấu

76
lượt xem 8
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành công thức ứng dụng trong hình học phẳng theo dạng đại số của số phức p5', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành công thức ứng dụng trong hình học phẳng theo dạng đại số của số phức p5

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k β β = ∫ λfoγ(t )γ ′(t )dt + ∫ goγ(t )γ ′(t )dt = λ ∫ f (z)dz + ∫ g(z)dz α α Γ Γ 2. §Þnh h−íng NÕu h m f kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ+ = (ab) th× h m f còng kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ- = (ba). ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz =- (3.2.2) ba ab Chøng minh Tham sè ho¸ Γ+ = γ-([α, β]) víi γ- : [α, β] → D, γ-(t) = γ(-t + α + β) Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m foγ-(t)γ-’(t) kh¶ tÝch trªn [α, β]. β β ∫ foγ(-t + α + β)γ ′(-t + α + β)dt = - ∫ foγ(s)γ ′(s)ds ∫ f (z)dz = - Γ− α α 3. HÖ thøc Chasles NÕu h m f kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ = (ab) th× víi mäi c ∈ Γ h m f kh¶ tÝch trªn c¸c ®−êng cong Γ1 = (ac) v Γ2 = (cb). ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz (3.2.3) ac cb ab Chøng minh Gi¶ sö c = γ(ε) víi ε ∈ [α, β]. Tham sè ho¸ Γ1 = γ1([α, ε]) víi γ1 : [α, ε] → D, γ1(t) = γ(t) Γ2 = γ2([ε, β]) víi γ2 : [ε, β] → D, γ2(t) = γ(t) Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m foγ1(t)γ1’(t) kh¶ tÝch trªn [α, ε] v foγ1(t)γ1’(t) kh¶ tÝch trªn [ε, β]. β β ε (t )γ 1 (t )dt + ∫ foγ 2 (t )γ ′ (t )dt = ′ ∫ foγ(t )γ ′(t )dt ∫ foγ 1 2 α ε α 4. ¦íc l−îng tÝch ph©n KÝ hiÖu s(Γ) l ®é d i cña ®−êng cong Γ. NÕu h m f kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ th× h m | f(z) | kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. ∫ f (z)dz ∫ f (z) ds ≤ supΓ | f(z) | s(Γ) ≤ (3.2.4) Γ Γ Chøng minh Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m foγ(t)γ’(t) kh¶ tÝch trªn [α, β]. KÕt hîp c«ng thøc (3.1.3) víi c«ng thøc tÝch ph©n ®−êng lo¹i 1 suy ra β β ∫ foγ(t ) γ ′(t ) dt = ∫ f (z) ds ∫ foγ(t )γ ′(t)dt ∫ f (z)dz ≤ = Γ α Γ α . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 45
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 5. Liªn hÖ tÝch ph©n ®−êng NÕu h m f(z) = u(x, y) + iv(x, y) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ th× c¸c h m u(x, y) v v(x, y) kh¶ tÝch trªn ®−êng cong Γ. ∫ f (z)dz = ∫ u(x, y)dx − v(x, y)dy + i ∫ v(x, y)dx + u(x, y)dy (3.2.5) Γ Γ Γ Chøng minh Tõ gi¶ thiÕt suy ra c¸c h m u(t) v v(t) kh¶ tÝch trªn [α, β]. KÕt hîp c«ng thøc (3.1.3) víi c«ng thøc tÝch ph©n ®−êng lo¹i 2 suy ra c«ng thøc (3.2.5) C«ng thøc Newton-Leibniz H m gi¶i tÝch F(z) gäi l nguyªn h m cña h m f(z) trªn miÒn D nÕu ∀ z ∈ D, F’(z) = f(z) Cho h m f(z) cã nguyªn h m l F(z) v Γ = (ab). Khi ®ã ta cã ∫ f (z)dz = F(b) - F(a) (3.2.6) ab Chøng minh Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m Foγ(t) l nguyªn h m cña foγ(t) trªn [α, β]. KÕt hîp c«ng thøc (3.1.1) v c«ng thøc Newton - Leibniz cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh. β ∫ f (z)dz = ∫ f[γ(t )]γ ′(t )dt = Foγ(β) - Foγ(α) α ab dz víi Γ l ®−êng trßn | z | = R ®Þnh h−íng d−¬ng ∫z VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = n Γ Ta cã Γ = (ab) víi a = Re , b = Rei2π i0 Víi n ≠ 1 h m f(z) = 1n cã nguyªn h m F(z) = 1 z 1− n suy ra I = F(b) - F(a) = 0 1− n z Víi n = 1 h m f(z) = 1 cã nguyªn h m F(z) = Lnz. Tuy nhiªn h m logarit chØ x¸c ®Þnh z ®¬n trÞ trªn ∀ - (-∞, 0]. V× vËy I = Ln1(ei2π) - Ln0(ei0) = 2πi §3. §Þnh lý Cauchy §Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D ®¬n liªn v ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v n»m gän trong miÒn D. Khi ®ã ta cã ∫ f (z)dz = 0 (3.3.1) Γ Chøng minh KÝ hiÖu DΓ ⊂ D l miÒn ®¬n liªn cã biªn ®Þnh h−íng d−¬ng l ®−êng cong Γ. §Ó ®¬n gi¶n ta xem h m f(z) = u(x, y) + iv(x, y) víi c¸c h m u v v cã ®¹o h m liªn tôc trªn D. . Trang 46 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ¸p dông c«ng thøc (3.2.5), c«ng thøc Green v ®iÒu kiÖn Cauchy-Riemann. ∫ f (z)dz = ∫ (udx − vdy) + i ∫ (vdx + udy) Γ Γ Γ ∂v ∂u ∂u ∂v ∫∫ (− ∂x − ∂y )dxdy + i ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = 0 = DΓ DΓ Chó ý H m f gi¶i tÝch kh«ng ®ñ ®Ó c¸c h m u v v cã ®¹o h m riªng liªn tôc. Do ®ã viÖc chøng minh ®Þnh lý Cauchy thùc ra phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu. B¹n ®äc quan t©m ®Õn phÐp chøng minh ®Çy ®ñ cã thÓ t×m ®äc ë c¸c t i liÖu tham kh¶o. HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D ®¬n liªn cã biªn ®Þnh h−íng d−¬ng l ®−êng cong ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. ∫ f (z)dz = 0 (3.3.2) ∂D Chøng minh Theo ®Þnh nghÜa tÝch ph©n, ta cã thÓ xem tÝch ph©n trªn ∂D nh− l giíi h¹n cña tÝch ph©n trªn ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng, n»m gän trong miÒn D v dÇn ®Õn ∂D. HÖ qu¶ 2 Cho miÒn D ®a liªn cã biªn ®Þnh h−íng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. ∫ f (z)dz (3.3.3) ∂D Chøng minh Gi¶ sö miÒn D ®a liªn v chóng ta c¾t miÒn D b»ng c¸c cung (ab) v (cd) nhËn ®−îc miÒn ®¬n liªn D1 nh− a b c d h×nh bªn. Ta cã ∂D1 = ∂D + (ab) + (ba) + (cd) + (dc) KÕt hîp hÖ qu¶ 2 v tÝnh ®Þnh h−íng, tÝnh céng tÝnh cña tÝch ph©n ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz = ∫ f (z)dz 0= ∂D ∂D ∂D 1 ab ba cd dc HÖ qu¶ 3 Cho miÒn D ®a liªn cã biªn ®Þnh h−íng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc ∂D = L+ + L− + ... + L−n v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. 0 1 n ∑ ∫ f (z)dz ∫ f (z)dz = (3.3.4) k =1 L k L0 Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.3.3) v tÝnh ®Þnh h−íng, tÝnh céng tÝnh cña tÝch ph©n. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 47
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 4 Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D ®¬n liªn. Khi ®ã tÝch ph©n ∫ f (ζ)dζ víi a, z ∈ D (3.3.5) az kh«ng phô thuéc ®−êng cong ®¬n, tr¬n tõng khóc, nèi a víi z v n»m gän trong miÒn D. Chøng minh Gi¶ sö (amb) v (anb) l hai ®−êng cong ®¬n, tr¬n tõng n khóc, nèi a víi z v n»m gän trong D. Khi ®ã (amzna) l z ®−êng cong ®¬n, tr¬n tõng khóc, kÝn v n»m gän trong D. a m Tõ c«ng thøc (3.3.1) v tÝnh céng tÝnh ∫ f (ζ)dζ = ∫ f (ζ)dζ ∫ f (ζ)dζ 0= + amzna amz zna ChuyÓn vÕ v sö dông tÝnh ®Þnh h−íng suy ra ∫ f (ζ)dζ ∫ f (ζ)dζ = amz anz HÖ qu¶ 5 Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D ®¬n liªn v a ∈ D. Khi ®ã h m z F(z) = ∫ f (ζ )dζ víi z ∈ D (3.3.6) a l nguyªn h m cña h m f trong miÒn D v F(a) = 0. Chøng minh Theo c«ng thøc (3.3.5) h m F x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trªn miÒn D v F(a) = 0. Ngo i ra víi mäi (z, h) ∈ D × ∀ sao cho [z, z + h] ⊂ D z+h F(z + h) − F(z) 1 ∫ (f (ζ) − f (z))dζ ≤ sup{| f(ζ) - f(z) | : ζ ∈ [z, z + h]} − f (z) = h h z 0 → 0  h→ Suy ra h m F gi¶i tÝch trong D v F’(z) = f(z). §4. C«ng thøc tÝch ph©n Cauchy Bæ ®Ò Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v D = DΓ. Khi ®ã ta cã 1 a ∈ D 1 dz ∫ z − a = 0 a ∉ D ∀ a ∈ ∀ - Γ, IndΓ(a) = (3.4.1) 2 πi  Γ H m IndΓ(a) gäi l chØ sè cña ®iÓm a ®èi víi ®−êng cong Γ. Chøng minh . Trang 48 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 1 Víi a ∉ D , h m f(z) = liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Theo c«ng thøc (3.3.2) z−a tÝch ph©n cña h m f trªn ®−êng cong kÝn Γ b»ng kh«ng. Víi a ∈ D, kÝ hiÖu B = B(a, δ) ⊂ D, S = ∂B+ l ®−êng trßn t©m a, S a b¸n kÝnh δ, ®Þnh h−íng d−¬ng v D1 = D - B. H m f(z) liªn tôc Γ D trªn D 1 , gi¶i tÝch trong D1 theo c«ng thøc (3.3.4) v c¸c vÝ dô trong §1. dz dz ∫z−a = ∫z−a = 2πi Γ S §Þnh lý Cho h m f gi¶i tÝch trong miÒn D v ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng sao cho DΓ ⊂ D. Khi ®ã ta cã 1 f (z) ∫ z − a dz ∀ a ∈ D - Γ, IndΓ(a)f(a) = (3.4.2) 2 πi Γ C«ng thøc (3.4.2) gäi l c«ng thøc tÝch ph©n Cauchy. Chøng minh  f (z ) − f (a )  z ≠ a gi¶i tÝch trong miÒn D. Tõ gi¶ thiÕt suy ra h m g(z) =  z − a f ′(a ) z=a  Sö dông c«ng thøc (3.3.1) ta cã f (z) f (a ) 0 = ∫ g(z )dz = ∫ dz − ∫ dz Γ z −a Γ z −a Γ KÕt hîp víi c«ng thøc (3.4.1) suy ra c«ng thøc (3.4.2) HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D cã biªn ®Þnh h−íng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. f (ζ ) 1 ∫D ζ − z dζ ∀ z ∈ D, f(z) = (3.4.3) 2πi ∂ Chøng minh NÕu D l miÒn ®¬n liªn th× biªn ∂D l ®−êng cong Γ ®Þnh h−íng d−¬ng, ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. LËp luËn t−¬ng tù nh− trong chøng minh ®Þnh lý v sö dông c«ng thøc (3.3.2) thay cho c«ng thøc (3.3.1) NÕu D l miÒn ®a liªn biÕn ®æi miÒn D th nh miÒn D1 ®¬n liªn nh− trong hÖ qu¶ 2, §3. Sau ®ã sö dông kÕt qu¶ ® biÕt cho miÒn ®¬n liªn, tÝnh céng tÝnh v tÝnh ®Þnh h−íng cña tÝch ph©n. NhËn xÐt Theo c¸c kÕt qu¶ trªn th× gi¸ trÞ cña h m gi¶i tÝch trong miÒn D ®−îc x¸c ®Þnh b»ng c¸c gi¸ trÞ cña nã trªn biªn ∂D. . i¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò G Trang 49
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. f (z) ∫ z − a dz ∀ a ∈ DΓ, = 2πif(a) (3.4.4) Γ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.4.3) dz ∫z víi Γ l ®−êng trßn ®Þnh VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = −1 2 Γ h−íng d−¬ng | z | = 3. Theo c«ng thøc (3.3.4) 3 1 -1 1 1 I = ∫ z − 1 dz + z +1 ∫ =1 z − 1 dz = I1 + I2 z +1 z +1 =1 z −1 1 tho¶ m n c«ng thøc (3.4.4) trong ®−êng trßn | z + 1 | = 1 suy ra H m f(z) = z −1 I1 = 2πif(-1) = -πi 1 tho¶ m n c«ng thøc (3.4.4) trong ®−êng trßn | z - 1 | = 1 suy ra H m g(z) = z +1 I2 = 2πig(1) = πi VËy I = -πi + πi = 0 §5. TÝch ph©n Cauchy • Cho ®−êng cong ®Þnh h−íng Γ ®¬n, tr¬n tõng khóc v h m f liªn tôc trªn Γ. TÝch ph©n f (ζ ) 1 ∫ ζ − z dζ víi z ∈ D = ∀ - Γ F(z) = (3.5.1) 2 πi Γ gäi l tÝch ph©n Cauchy däc theo ®−êng cong Γ. §Þnh lý H m F(z) l gi¶i tÝch v cã ®¹o h m mäi cÊp trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã f (ζ ) n! ∫ ( ζ − z ) n +1 d ζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, F(n)(z) = (3.5.2) 2 πi Γ Chøng minh Do h m f liªn tôc trªn Γ v z ∉ Γ nªn h m F x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trªn miÒn D. . Trang 50 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Víi mäi a ∈ D tuú ý F (z) − F(a ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ a → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ  = z→ z−a 2 πi Γ Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp mét trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) v do ®ã gi¶i tÝch trong miÒn D. Gi¶ sö h m F cã ®¹o h m ®Õn cÊp n - 1 trong miÒn D Víi mäi a ∈ D tuú ý n =1 ∑ (ζ − a ) (ζ − z ) n −1− k k (n − 1)! ( n −1) ( n −1) (z) − F F (a ) 2 πi ∫ f (ζ ) k = 0 dζ = z−a (ζ − a ) n ( ζ − z ) n Γ f (ζ ) n! ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ a →  z→ 2 πi Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp n trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D cã biªn ®Þnh h−¬ng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. NÕu h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D th× cã ®¹o h m mäi cÊp trong miÒn D. f (ζ ) n! ∫D (ζ − z) n +1 dζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, f(n)(z) = (3.5.3) 2πi ∂ Chøng minh NÕu D l miÒn ®¬n liªn th× biªn ∂D l ®−êng cong Γ ®Þnh h−íng d−¬ng, ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. Theo c«ng thøc (3.4.3) ta cã f (ζ ) 1 ∫D ζ − z dζ ≡ F(z) ∀ z ∈ D, f(z) = 2πi ∂ KÕt hîp víi c«ng thøc (3.5.2) suy ra c«ng thøc (3.5.3) NÕu D l miÒn ®a liªn biÕn ®æi miÒn D th nh miÒn D1 ®¬n liªn nh− trong hÖ qu¶ 2, §3. Sau ®ã sö dông kÕt qu¶ ® biÕt cho miÒn ®¬n liªn, tÝnh céng tÝnh v tÝnh ®Þnh h−íng cña tÝch ph©n. HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. 2 πi (n) f (z) ∫ (z − a ) ∀ a ∈ DΓ, dz = f (a) (3.5.4) ( n +1) n! Γ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.5.3) e z dz VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ®Þnh h−íng d−¬ng Γ ( z + 1) 3 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 51
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k H m f(z) = ez liªn tôc trªn h×nh trßn | z | ≤ 2, gi¶i tÝch trong h×nh trßn | z | < 2. Tho¶ m n c«ng thøc (3.5.4) suy ra 2 πi f”(-1) = πie-1 I= 2! HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý Morera) Cho h m f liªn tôc trªn miÒn D v víi mäi tam gi¸c ∆ ⊂ D ∫ f (z)dz = 0 (3.5.5) ∂∆ Khi ®ã h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Chøng minh Víi a ∈ D tuú ý, kÝ hiÖu B = B(a, δ) ⊂ D. V× h m f liªn tôc trªn B nªn kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n th¼ng [a, z] víi z ∈ B. z+h Do ®ã h m B z z a F(z) = ∫ f (ζ )dζ víi z ∈ B a x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trong h×nh trßn B v F(a) = 0. Ngo i ra víi mäi (z, h) ∈ D × ∀ sao cho [z, z + h ] ⊂ B z+h F(z + h) − F(z) 1 ∫ (f (ζ) − f (z))dζ ≤ sup{| f(ζ) - f(z) | : ζ ∈ [z, z + h]} − f (z) = h h z h → 0  Suy ra h m F gi¶i tÝch trong B v F’(z) = f(z). Tõ ®Þnh lý trªn suy ra h m f cã ®¹o h m trong B v do ®ã gi¶i tÝch trong B. §6. §Þnh lý trÞ trung b×nh §Þnh lý (VÒ trÞ trung b×nh) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã 2π n! )e − int dt ∫ f (a + Re ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, f(n)(a) = it (3.6.1) 2 πR n 0 Chøng minh Tham sè ho¸ ®−êng trßn S = ∂B+(a, R) γ(t) = a + Reit, dz = iReitdt víi t ∈ [0, 2π] Ap dông c«ng thøc (3.5.4) 2π n! f (z) n! )e − int dt ∫ (z − a ) n +1 dz = 2πR n ∫ f (a + Re it f(n)(a) = 2 πi S 0 . Trang 52 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 1 (BÊt ®¼ng thøc Cauchy) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. n! M ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, | f(n)(a) | ≤ víi M = sup∂B| f(z) | (3.6.2) Rn Chøng minh Suy ra tõ −íc l−îng tÝch ph©n (3.6.1) 2π n! n! M )e − int dt ≤ ∫ f (a + Re | f(n)(a) | ≤ it 2π Rn 0 HÖ qu¶ 2 (§Þnh lý Liouville) H m gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh Gi¶ sö h m f gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp ∀. Khi ®ã ∀ (a, R) ∈ ∀ × 3+ , B(a, R) ⊂ ∀ Theo c«ng thøc (3.6.2) víi n = 1 | f’(a) | ≤ M → 0 víi M = sup∀| f(z) | R → +∞ R Suy ra ∀ a ∈ ∀, f’(a) = 0. VËy h m f l h m h»ng. HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý D’Alembert - Gauss) Mäi ®a thøc hÖ sè phøc bËc n cã ®óng n kh«ng ®iÓm phøc trong ®ã kh«ng ®iÓm béi k tÝnh l k kh«ng ®iÓm. Chøng minh Pn(z) = a0 + a1z + ... + zn v ∀ z ∈ ∀, Pn(z) ≠ 0 Gi¶ sö Ta cã a a a a | Pn(z) | = | z |n 1 +  n −1 + ... + 0  ≥ | z |n 1 −  n −1 + ... + 0  z zn  n z z   Suy ra rn   1 ∀ z ∈ ∀ : | z | ≥ r = Max  (n + 1)a k  ⇒ | Pn(z) | ≥ k n +1 k = 0.. n −1   KÝ hiÖu n mr = min{| Pn(z) | : | z | ≤ r}, m = min{mr , r } v g(z) = 1 , z ∈ ∀ n +1 Pn (z ) Khi ®ã 1 1 ∀ z ∈ ∀, | Pn(z) | ≥ m hay | g(z) | = ≤ | Pn ( z ) | m Nh− vËy h m g(z) l gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn ∀, theo ®Þnh lý Liouville nã l h m h»ng. Suy ra h m Pn(z) l h m h»ng! §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy ∃ z1 ∈ ∀ sao cho Pn(z1) = 0. Ph©n tÝch Pn(z) = (z - z1)Pn-1(z) víi degPn-1 = n - 1. LËp luËn t−¬ng tù ph©n tÝch Pn-1(z) v tiÕp tôc ph©n tÝch cho ®Õn khi Pn(z) = (z - z1)(z - z2) ... (z - zn) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 53
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 4 (Nguyªn lý module cùc ®¹i) Cho miÒn D giíi néi v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Khi ®ã hoÆc h m f(z) l h m h»ng hoÆc h m | f(z) | chØ ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. Chøng minh • Gi¶ sö h m f(z) kh«ng ph¶i l h m h»ng. Do h m | f(z) | liªn tôc trªn miÒn D ®ãng v giíi néi nªn ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn miÒn D . Chóng ta xÐt tr−êng hîp h m ®¹t trÞ lín nhÊt. Tøc l ∃ a ∈ D sao cho | f(a) | = MaxD | f(z) | NÕu a ∈ D0 th× a l ®iÓm cùc ®¹i ®Þa ph−¬ng v khi ®ã ∃ B(a, R) ⊂ D sao cho ∀ t ∈ [0, 2π], | f(a) | > | f(a + Reit) | ¦íc l−îng c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ f (a + Re | f(a) | ≤ ) dt < | f(a) | it 2π 0 §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy a ∈ ∂D. • LËp luËn t−¬ng tù cho tr−êng hîp h m ®¹t trÞ bÐ nhÊt. §7. H m ®iÒu ho • H m thùc u(x, y) liªn tôc trªn D , thuéc líp C2 trong D gäi l h m ®iÒu ho trong nÕu nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace. Tøc l ∀ (x, y) ∈ D, ∆u = ∂ u + ∂ u = 0 2 2 (3.7.1) ∂x 2 ∂y 2 §Þnh lý PhÇn thùc, phÇn ¶o cña h m gi¶i tÝch l h m ®iÒu ho . Chøng minh Cho h m f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã h m f(z) cã ®¹o h m mäi cÊp suy ra c¸c h m u(x, y) v v(x, y) cã c¸c ®¹o h m riªng liªn tôc v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann u ′ = v ′y v u ′y = − v ′ x x Suy ra ∆u = u ′′ + u ′yy = v ′yx − v ′′y = 0 v ∆v = v ′′ + v ′yy = − u ′yx + u ′xy = 0 ′ ′ ′ ′ ′ xx x xx • Sau n y chóng ta gäi cÆp h m ®iÒu ho v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann l cÆp h m ®iÒu ho liªn hîp. §Þnh lý Cho h m thùc u(x, y) ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn. Khi ®ã cã h m phøc f(z) . Trang 54 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.