Giáo trình hình thành phân đoạn cấu tạo đoạn nhiệt theo dòng lưu động một chiều p5

Chia sẻ: Dsfds Dfxzcv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

35
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

PhÇn thø hai TruyÒn nhiÖt TruyÒn nhiÖt lµ mén khoa häc nghiªn cøu c¸c quy luËt ph©n bè nhiÖt ®é vµ trao ®æi nhiÖt trong kh«ng gian vµ theo thêi gian gi÷a c¸c vËt cã nhiÖt ®é kh¸c nhau. Nã lµ phÇn lÝ thuyÕt c¬ së ®Ó tÝnh to¸n c¸c qu¸ tr×nh vµ c¸c thiÕt bÞ trao ®æi nhiÖt trong tù nhiªn vµ kÜ thuËt. TruyÒn nhiÖt nghiªn cøu c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh luËt c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng thøc trao ®æi nhiÖt vµ øng dông nã ®Ó kh¶o s¸t c¸c qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt phøc hîp trong c¸c nhiÖt bÞ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành phân đoạn cấu tạo đoạn nhiệt theo dòng lưu động một chiều p5

PhÇn thø hai TruyÒn nhiÖt TruyÒn nhiÖt lµ mén khoa häc nghiªn cøu c¸c quy luËt ph©n bè nhiÖt ®é vµ trao ®æi nhiÖt trong kh«ng gian vµ theo thêi gian gi÷a c¸c vËt cã nhiÖt ®é kh¸c nhau. Nã lµ phÇn lÝ thuyÕt c¬ së ®Ó tÝnh to¸n c¸c qu¸ tr×nh vµ c¸c thiÕt bÞ trao ®æi nhiÖt trong tù nhiªn vµ kÜ thuËt. TruyÒn nhiÖt nghiªn cøu c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh luËt c¬ b¶n cña c¸c ph−¬ng thøc trao ®æi nhiÖt vµ øng dông nã ®Ó kh¶o s¸t c¸c qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt phøc hîp trong c¸c nhiÖt bÞ n¨ng l−îng nhiÖt. . Ch−¬ng 8. c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n 8.1 m« t¶ qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt 8.1.1 §èi t−îng vµ ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu truyÒn nhiÖt §Ó nghiªn cøu truyÒn nhiÖt, ng−êi ta th−êng dïng hai ph−¬ng ph¸p chñ yÕu: ph−¬ng ph¸p giai tÝch vµ ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm. Ph−¬ng ph¸p gi¶i tÝch dùa vµo c¸c ®Þnh luËt c¬ b¶n cña vËt lÝ häc, sö dông c¸c phÐp tÝnh gi¶i tÝch ®Ó dÉn ra luËt ph©n bè nhiÖt ®é vµ c«ng thøc tÝnh nhiÖt. Ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm dùa trªn lÝ thuyÕt ®ång d¹ng hoÆc ph©n tÝch thø nguyªn, lËp m« h×nh thÝ nghiÖm ®o gi¸ trÞ c¸c th«ng sè, xö lÝ sè liÖu ®Ó ®−a ra c«ng thøc thùc nghiÖm. 8.1.2 TÝnh chÊt chung cña hiÖn t−îng trao ®æi nhiÖt NhiÖt l−îng lµ l−îng n¨ng l−îng trao ®æi gi÷a c¸c phÇn tö thuéc hai vËt cã nhiÖt ®é kh¸c nhau, tøc cã ®éng n¨ng trung b×nh ph©n tö kh¸c nhau. HiÖn t−îng trao ®æi nhiÖt chØ xÈy ra gi÷a hai ®iÓm cã nhiÖt ®é kh¸c nhau, tøc cã ®é chªnh nhiÖt ®é ∆t kh¸c kh«ng> Gi÷a hai vËt c©n b»ng nhiÖt, cã ∆t = 0, nhiÖt l−îng trao ®æi lu«n b»ng kh«ng. Trong t− nhiªn, nhiÖt l−îng chØ truyÒn theo h−íng tõ ®iÓm cã nhiÖt ®é cao ®Õn ®iÓm cã nhiÖt ®é thÊp. Do ®ã, trao ®æi nhiÖt lµ mét qu¸ tr×nh kh«ng thuËn nghÞch. 8.1.3. C¸c ph−¬ng thøc trao ®æi nhiÖt Qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt cã thÓ ®−îc thùc hiÖn b»ng ba ph−¬ng thøc c¬ b¶n sau ®©y, ®−îc ph©n biÖt theo ph−¬ng thøc truyÒn ®éng n¨ng gi÷a c¸c ph©n tö thuéc hai vËt . 8.1.3.1. DÉn nhiÖt 90
DÉn nhiÖt lµ hiÖn t−îng c¸c ph©n tö vËt 1 va ch¹m (trùc tiÕp hoÆc th«ng qua c¸c ®iÖn tö do trong vËt) vµo c¸c ph©n tö vËt 2 ®Ó truyÒn mét phÇn ®éng n¨ng. DÉn nhiÖt xÈy ra khi cã sù chªnh lÖch nhiÖt ®é gi÷a c¸c phÇn cña mét vËt hoÆc gi÷a hai vËt tiÕp xóc nhau. DÉn nhiÖt thuÇn tóy xÈy ra trong hÖ gåm c¸c vËt r¾n cã sù tiÕp xóc trùc tiÕp. 8.1.3.2. Táa nhiÖt (hay trao ®æi nhiÖt ®èi l−u) Táa nhiÖt lµ hiÖn t−îng c¸c ph©n tö trªn bÒ mÆt vËt r¾n vµ ch¹m vµo c¸c phÇn tö chuyÓn ®éng cã h−íng cña mét chÊt láng tiÕp xóc víi nã ®Ó trao ®æi ®éng n¨ng. Táa nhiÖt xÈy ra t¹i vïng chÊt láng hoÆc khÝ tiÕp xóc víi mÆt vËt r¾n, lµ sù kÕt hîp gi÷a dÉn nhiÖt vµ ®èi l−u trong líp chÊt láng gÇn bÒ mÆt tiÕp xóc. ChuyÓn ®éng cã h−íng (®èi l−u) cña chÊt láng cã thÓ ®−îc sinh ra mét c¸ch tù nhiªn, khi nã chÞu t¸c ®éng cña träng lùc vµ ®é chªnh nhiÖt ®é, hoÆc do c¸c lùc c−ìng bøc kh¸c, khi ta dïng b¬m, qu¹t... C−êng ®é táa nhiÖt, nh− sÏ ®−îc kh¶o s¸t trong ch−¬ng 10, tû lÖ thuËn víi hÖ sè táa nhiÖt α [w/m2K], vµ ®−îc tÝnh theo c«ng thøc Newton: q= α (tw - tf)= α∆t Trong ®ã ∆t lµ hiÖu sè nhiÖt ®é bÒ mÆt vµ chÊt láng. 8.1.3.3. Trao ®æi nhiÖt bøc x¹ Trao ®æi nhiÖt bøc x¹ lµ hiÖn t−îng c¸c ph©n tö vËt 1 bøc x¹ ra c¸c h¹t, truyÒn ®i trong kh«ng gian d−íi d¹ng sãng ®iÖn tõ, mang n¨ng l−îng ®Õn truyÒn cho c¸c ph©n tö vËt 2. Kh¸c víi hai ph−¬ng thøc trªn, trao ®æi nhiÖt bøc x¹ cã thÓ xÈy ra gi÷a hai vËt ë c¸ch nhau rÊt xa, kh«ng cÇn sù tiÕp xóc trùc tiÕp hoÆc th«ng qua m«i tr−êng chÊt láng vµ khÝ, vµ lu«n x©y ra víi sù chuyÓn hãa gi÷a n¨ng l−îng nhiÖt vµ n¨ng 91
l−îng ®iÖn tõ. §©y lµ ph−¬ng thøc trao ®æi nhiÖt gi÷a c¸c thiªn thÓ trong vò trô, ch¼ng h¹n gi÷a mÆt trêi vµ c¸c hµnh tinh. Trªn h×nh (8.1.3) minh ho¹ c¸c ph−¬ng thøc trao ®æi nhiÖt. Qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt thùc tÕ cã thÓ bao gåm 2 hoÆc c¶ 3 ph−¬ng thøc nãi trªn, ®−îc gäi lµ qu¸ tr×nh trao ®æi nhiÖt phøc hîp. VÝ dô, bÒ mÆt vËt r¾n cã thÓ trao ®æi nhiÖt víi chÊt khÝ tiÕp xóc nã theo ph−¬ng thøc to¶ nhiÖt vµ trao ®æi nhiÖt bøc x¹. 8.2. c¸c kh¸i niÖm c¬ b¶n cña truyÒn nhiÖt 8.2.1. Tr−êng nhiÖt ®é §Ó m« ta ph©n bè nhiÖt ®é trong kh«ng gian theo thêi gian, ta dïng kh¸i niÖm tr−êng nhiÖt ®é. Tr−êng nhiÖt ®é lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ nhiÖt ®é tøc thêi trong kho¶ng thêi gian ®ang xÐt cña mäi ®iÓm trong hÖ vËt kh¶o s¸t. Gi¸ trÞ nhiÖt ®é tøc thêi t¹i mçi ®iÓm trong kh«ng gian ®−îc x¸c ®Þnh duy nhÊt nh− mét ®¹i l−îng v« h−íng, do ®ã, tr−êng nhiÖt ®é lµ mét tr−êng v« h−íng. BiÓu thøc cña tr−êng nhiÖt ®é m« ta luËt ph©n bæ nhiÖt ®é, cho phÐp x¸c ®Þnh gi¸ trÞ nhiÖt ®é tøc thêi t¹i thêi ®iÓm τ theo täa ®é (x,y,z) cña mét ®iÓm bÊt kú trong hÖ: t = t(x,y,z,τ). Theo thêi gian, tr−êng nhiÖt ®é ®−îc ph©n ra hai lo¹i: Kh«ng æn ®Þnh vµ æn ®Þnh. NÕu gi¸ trÞ nhiÖt ®é tøc thêi t¹i mäi ®iÓm trong hÖ kh«ng thay ®æi theo ∂t = 0 víi mäi (x,y,z) vµ mäi τ, th× tr−êng nhiÖt ®é ®−îc gäi lµ æn thêi gian, tøc ∂τ ®Þnh: t = t(x,y,z) ∂t NÕu cã mét ®iÓm (x,y,z) t¹i thêi ®iÓm τ khiÕn cho ≠ 0 , th× tr−êng nhiÖt ∂τ ®é ®−îc gäi lµ kh«ng æn ®Þnh. Tïy theo tÝnh ®èi xøng cña tr−êng sè täa ®é kh«ng gian mµ tr−êng phô thuéc (th−êng ®−îc gäi lµ sè chiÒu cña tr−êng) cã thÓ lµ 0,1,2,3. VÝ dô, biÓu thøc cña tr−êng nhiÖt ®é 0, 1, 2, 3 chiÒu cã thÓ lµ: t = t (τ); t = t (x,τ); t = t(y, z, τ); t = t (x, y, z, τ). 8.2.2. MÆt ®¼ng nhiÖt T¹i mét thêi ®iÓm cho tr−íc tËp hîp c¸c ®iÓm cã cïng mét gi¸ trÞ nhiÖt ®é t¶o ra trong kh«ng gian cña tr−êng mét mÆt, ®−îc gäi lµ mÆt ®¼ng nhiÖt. Ph−¬ng tr×nh cña mÆt ®¼ng nhiÖt lµ: t = f(x,y,z) = const hay: f(x, y, z) = const V× nhiÖt ®é tøc thêi t¹i mét ®iÓm lµ duy nhÊt, nªn c¸c mÆt ®¼ng nhiÖt kh«ng giao nhau. Trªn mçi mÆt ®¼ng nhiÖt th× t = const, do ®ã nhiÖt ®é chØ thay ®æi theo h−íng c¾t mÆt ®¼ng nhiÖt. 92
MÆt ®¼ng nhiÖt cã thÓ lµ mÆt cong kÝn hoÆc hë. 8.2.3. Gradient nhiÖt ®é: XÐt hai mÆt ®¼ng nhiÖt t = const vµ t + dt = const víi dt > 0 nh− h×nh (8.2.3) Gäi vËn tèc thay ®æi nhiÖt ®é cña ®iÓm M theo h−íng 1 cho tr−íc lµ ∂t dt vect¬ l 0 , trong ®ã 10 lµ vect¬ ®¬n vÞ theo h−íng 1 , lµ ®¹o hµm tr−êng t dτ ∂τ theo h−íng 1. Gäi gradient nhiÖt ®é cña ®iÓm M lµ vËn tèc thay ®æi nhiÖt ®é cña m theo h−íng ph¸p tuyÕn n cña mÆt ®¼ng nhiÖt t = const, chiÒu tõ nhiÖt ®é thÊp ®Õn nhiÖt ®é cao. BiÓu thøc cña vect¬ gradient nhiÖt ®é t¹i ®iÓm M (x,y,z) lµ: ∂t ∂t ∂t ∂t =i + j + k = ∆t . gr a dt = n 0 ∂n ∂x ∂y ∂z ∂t §é lín cña vect¬ gradient lµ gradt = , [K / m] . ∂n Vect¬ gr adt m« ta vËn tèc thay ®æi nhiÖt ®é cùc ®¹i ®iÓm M, trªn ph−¬ng ∂t . vu«ng gãc mÆt ®¼ng nhiÖt theo chiÒu t¨ng nhiÖt ®é, gi¸ trÞn b»ng ∂n 8.2.4. Vect¬ dßng nhiÖt §Ó ®Æt tr−ng cho ®é lín vµ ph−¬ng chiÕu dßng nhiÖt truyÒn qua mÆt ®¼ng nhiÖt ta ®Þnh nghÜa dßng nhiÖt q lµ vect¬ cã ®é lín b»ng l−îng nhiÖt q [w/m2] truyÒn qua 1m2 mÆt ®¼ng nhiÖt trong mét gi©y, trªn l−íng ph¸p tuyÕn mÆt ®¼ng nhiÖt theo chiÒu gi¶m nhiÖt ®é: q = −n 0 q = iq x + jq y + kq z DÊu (-) do vect¬ q ng−îc chiÒu vect¬ gr adt . Theo lý thuyÕt tr−êng vect¬, l−îng nhiÖt sinh ra trong 1 ®¬n vÞ thÓ tÝch cña hÖ, tøc hiÖu sè c¸c l−îng nhiÖt ra – vµo 1m2 cña hÖ, lµ: ∂q ∂q ∂q divq = x + z + z , [W / m 3 ]. ∂x ∂y ∂z Do ®ã nÕu div q > 0 th× vËt sinh nhiÖt, khi div q < 0 th× vËt thu nhiÖt, lóc div q = 0 vËt ®−îc gäi lµ æn ®Þnh nhiÖt. 8.2.5. C«ng suÊt nguån nhiÖt 93
§Ó ®Æt tr−ng c−êng ®é ph¸t nhiÖt t¹i ®iÓm M cña vËt V, ta ®Þnh nghÜa n¨ng ∂Q suÊt ph¸t nhiÖt cña ®iÓm M (x,y,z) lµ tû sè q v = , [W / m 3 ] trong ®ã ∂Q[W] lµ dV c«ng suÊt nhiÖt ph¸t ra tõ ph©n tè thÓ tÝch dV[m3] bao quanh ®iÓm. NÕu biÕt qv = qv (xy,z) th× tÝnh ®−îc c«ng suÊt ph¸t nhiÖt cña nguån V theo: Q = ∫ q v dV, v Khi nguån nhiÖt ph©n bè ®Òu, qv = const, th× Q = qvV. 94
.Ch−¬ng 9. dÉn nhiÖt æn ®Þnh 9.1. ®Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt 9.1.1 §Þnh luËt fourier vµ hÖ sè dÉn nhiÖt Dùa vµo thuyÕt ®éng häc ph©n tö, Fourier ®· chøng minh ®Þnh luËt c¬ b¶n cña dÉn nhiÖt nh− sau: Vec t¬ dßng nhiÖt tû lÖ thuËn víi vect¬ gradient nhiÖt ®é. BiÓu thøc cña ®Þnh luËt cã d¹ng vect¬ lµ: q = −λgr adt , d¹ng v« h−íng lµ: dt q = −λgradt = −λ . tn Theo ®Þnh luËt nµy, nhiÖt l−¬ng Q ®−îc dÉn qua diÖn tÝch F cña mÆt ®¼ng nhiÖt trong 1 gi©y ®−îc tÝnh theo c«ng thøc: ∂t Q = −∫ λ .dF ∂n F Khi gradt kh«ng ®æi trªn bÒ mÆt F, c«ng thøc cã d¹ng: ∂t Q = −λ .dF ∂n §Þnh luËt Fourier lµ ®Þnh luËtc¬ b¶n ®Ó tÝnh l−îng nhiÖt trao ®æi b»ng ph−¬ng thøc dÉn nhiÖt. 9.1.2 HÖ sè dÉn nhiÖt λ q HÖ sè cña ®Þnh luËt Fourier λ = , W/mK ®−îc gäi lµ hÖ sè dÉn nhiÖt. gradt HÖ sè dÉn nhiÖt λ ®Æc tr−ng cho kh¶ n¨ng dÉn nhiÖt cña vËt. Gi¸ trÞ cña λ phô thuéc vµo b¶n chÊt vµ kÕt cÊu cña vËt liÖu, vµo ®é Èm vµ nhiÖt ®é, ®−îc x¸c ®Þnh b»ng thùc nghiÖm víi tõng vËt liÖu vµ cho s½n theo quan hÖ víi nhiÖt ®é t¹i b¶ng c¸c th«ng sè vËt lý cña vËt liÖu. 9.2. Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt 9.2.1. Néi dung cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt cho mét ph©n tè bÊt kú n»m hoµn toµn bªn trong vËt dÉn nhiÖt. 9.2.2. ThiÕt lËp ph−¬ng tr×nh XÐt c©n b»ng nhiÖt cho ph©n tè dV bªn trong vËt dÉn, cã khèi l−îng riªng ρ, nhiÖt dung riªng Cv, hÖ sè dÉn nhiÖt λ, dßng nhiÖt ph©n tè lµ q , c«ng suÊt ph¸t nhiÖt qv. 95
Theo ®Þnh luËt b¶o toµn n¨ng l−îng, ta cã: [§é biÕn thiªn néi n¨ng cña dV] = [HiÖu sè nhiÖt l−îng (vµo-ra) dV] + [l−îng nhiÖt sinh ra trong dV], tøc lµ: ∂t ρ.dV.C v = −divq.dV.dτ + q v .dV.dτ , ∂τ hay: ∂t q 1 = divq + v ∂τ ρ.C v ρ.C v Theo ®Þnh luËt fourier q = −λgr adt, khi λ = const ta cã: divq = div(−λgr adt ) = −λdiv(gr adt ) Trong ®ã: ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=∇ t, 2 Div(gr a dt) = ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂z ⎝ ∂z ⎠ ⎝⎠ Víi: ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ 2 + 2 + 2 , (trong to¹ dé vu«ng gãc víi x, y, z) ⎪ ∂x ∂y ∂z ∇ t=⎨ 2 2 ∂ t 1 ∂t 1 ∂ 2 t ∂ 2 t ⎪ +. + + , (trong to¹ dé trô r, ϕ, z) ⎪ ∂r 2 r ∂r r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2 ⎩ Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt lµ ph−¬ng tr×nh kÕt hîp hai ®Þnh luËt nãi trªn, cã d¹ng: ∂t λ ⎛ q⎞ q = ∇ 2 t + v = a⎜ ∇ 2 t + v ⎟ ∂τ ρ.C v ρ.C v λ⎠ ⎝ λ , m2/s., ®−îc gäi lµ hÖ sè khuyÕch t¸n nhiÖt, ®Æc tr−ng cho møc ®é víi a = ρ.C v tiªu t¸n nhiÖt trong vËt. 9.2.3. C¸c d¹ng ®Æc biÖt cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt víi qv = 0 ∂t = 0 , ph−¬ng tr×nh cã d¹ng ∇ 2 t = 0 . Trong v¸ch Khi vËt æn ®Þnh nhiÖt, ∂τ ph¼ng réng v« h¹n vµ æn ®Þnh nhiÖt cã λ = const, tr−êng nhiÖt ®é t(x) ®−îc x¸c d2t = 0 . Trong ®iÒu kiÖn λ = const vµ æn ®Þnh nhiÖt, ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh dx 2 tr−êng nhiÖt ®é t(r) trong v¸ch trô trßn dµI v« h¹n ®−îc x¸c ®Þnh theo ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt trong to¹ ®é trô: d 2 t 1 dt + = 0. dx 2 r dr 9.3. C¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ 96
Ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt nãi chung lµ ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp 2, chøa Èn lµ hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ). NghiÖm tæng quat cña nã chøa nhiÒu h»ng sè tuú ý chän. ®Ó x¸c ®Þnh duy nhÊt nghiÖm riªng cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt, cÇn ph¶i cho tr−íc mét sè ®iÒu kiÖn, gäi lµ c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ. 9.3.1. Ph©n lo¹i c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ Tuú theo néi dung, c¸c ®iÒu kiÖn ®¬n trÞ bao gåm 4 lo¹i sau: - §iÒu kiÖn h×nh häc cho biÕt mäi th«ng sè h×nh häc ®ñ ®Ó x¸c ®Þnh kÝch th−íc, h×nh d¹ng, vÞ trÝ cña hÖ vËt V. - §iÒu kiÖn vËt lý cho biÕt luËt ph©n bè c¸c th«ng sè vËt lý theo nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M ∈ V, tøc cho biÕt (ρ, Cv, λ, a . . . ) = f(t, M ∈ V). - §iÒu kiÖn ban ®Çu cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i thêi ®iÓm τ = 0 t¹i mäi ®iÓm M∈ V, tøc cho biÕt t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z). - §iÒu kiÖn biªn cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c©n b»ng nhiÖt t¹i mäi ®iÓm M trªn biªn W cña hÖ V t¹i mäi thêi ®iÓm τ. NÕu ký hiÖu dßng nhiÖt qλ dÉn ∂t trong vËt V ®Õn M ∈ W lµ q λ = −λ = −λ.t n , th× ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ cho ë ∂n d¹ng: t w = t (M, τ) hoÆc ⎫ ⎬∀M ∈¦ W, ∀τ ∈ (0, ∞) . q λ = −λt n (M, τ) = q (M, τ)⎭ §iÒu kiÖn h×nh häc, vËt lý vµ ®iÒu kiÖn biªn cÇn ph¶i cho tr−íc trong mäi bµi to¸n. Riªng ®iÒu kiÖn ban ®Çu chØ cÇn cho trong bµi to¸n kh«ng æn ®Þnh. 9.3.2. C¸c lo¹i ®iÒu kiÖn biªn T¹i mçi mÆt biªn Wi ∈ W = ∑Wi cña vËt V, tuú theo c¸ch ph©n bè nhiÖt ®é hoÆc c¸ch trao ®æi nhiÖt víi m«i tr−êng kh¸c nhau, ®iÒu kiÖn biªn cã thÓ ®−îc cho theo c¸c lo¹i sau ®©y: - §KB lo¹i 1: cho biÕt luËt ph©n bè nhiÖt ®é t¹i mäi ®iÓm M1 ∈ W1 ë d¹ng: tw1 = t(M1, τ). - §KB lo¹i 2: cho biÕt dßng nhiÖt qua ®iÓm M2 ∈ W2 lµ: q(M2, τ) = -λ.tn.(M2, τ). §Æc biÖt khi W2 ®−îc c¸ch nhiÖt tuyÖt ®èi hoÆc lµ mÆt ®èi xøng cña bµi to¸n, th× tn(M2, τ) = 0 vµ hµm t sÏ ®¹t cùc trÞ t¹i M2 ∈ W2. - §KB lo¹i 3: cho biÕt biªn W3 tiÕp xóc chÊt láng cã nhiÖt ®é tf víi hÖ sè to¶ nhiÖt α vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W3 ∈ W3 cã d¹ng: qλ = qα hay -λ.tn.(M3, τ) = α[t(M3, τ) – tf ]. - §KB lo¹i 4: cho biÕt biªn W4 tiÕp xóc víi m«i tr−êng r¾n cã ph©n bè nhiÖt ®é t4 vµ luËt c©n b»ng nhiÖt t¹i W4 ∈ W4 lµ qλ = qλ4 hay -λ.tn.(M4, τ) = -λ4.tn.(M4, τ). 97
- §KB lo¹i 5: cho biÕt trªn biªn W5 cã sù trao ®æi chÊt do sù khuyÕch t¸n hay chuyÓn pha (ch¼ng h¹n do ho¸ láng, ho¸ r¾n hoÆc th¨ng hoa, kÕt tinh). Khi ®ã chÝnh biªn W5 sÏ di chuyÓn vµ khèi l−îng vËt V sÏ thay ®æi vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i ®iÓm M5 trªn biªn W5 di ®éng sÏ cã d¹ng: dx 5 qλ = qλ’ + qr hay -λtn(M5, τ) = -λ’t’n(M5, τ) + r ρ. . dτ trong ®ã: dx 5 lµ tèc ®é di chuyÓn cña ®iÓm M5 ∈ W5, dτ r lµ nhiÖt chuyÓn pha j/kg. - §KB lo¹i 6: cho biÕt biªn W6 tiÕp gi¸p víi m«i tr−êng ch©n kh«ng, ë ®ã chØ xÈy ra sù trao ®æi nhiÖt b»ng bøc x¹ vµ ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W6 ∈ W6 cã d¹ng: qλ = qε hay -λtn(M6, τ) =εσ0T4(M6, τ). - §KB lo¹i 7: cho biÕt biªn W7 tiÕp xóc víi chÊt khÝ cã nhiÖt ®é Tk, ë ®ã cã sù trao ®æi nhiÖt b»ng c¶ ®èi l−u vµ bøc x¹. Ph−¬ng tr×nh c©n b»ng nhiÖt t¹i W7 ∈ W7 cã d¹ng: qλ = qλ + qr hay -λtn(M7, τ) = α[T(M7, τ) - Tk] + εσ0[T4(M7, τ) – T4k]. §KB lo¹i 7 cã thÓ qui vÒ lo¹i 3 nÕu viªt ph−¬ng tr×nh trªn ë d¹ng: qλ = α(Tw − Tk ) víi α = α + εσ 0 (Tw − Tk4 ) /(Tw − Tk ) , ®−îc gäi lµ hÖ 4 sè to¶ nhiÖ phøc hîp. §KB lo¹i 6 vµ lo¹i 7 lµ nh÷ng §KB kh«ng tuyÕn tÝnh. 9.3.3. M« h×nh bµi to¸n dÉn nhiÖt Bµi to¸n dÉn nhiÖt cã thÓ ®−îc m« t¶ b»ng mét hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n (t) gåm ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt vµ c¸c ph−¬ng tr×nh m« t¶ c¸c ®IÒu kiÖn ®¬n trÞ nh− ®· nªu ë môc (9.3): ⎧ ∂t ⎪ = a∇ 2 t ( t )⎨ ∂τ ⎪C¸c ph−ong trinh m« t¶ c¸c dkdt ⎩ Gi¶i bµi to¸n dÉn nhiÖt lµ t×m hµm ph©n bè nhiÖt ®é t(x, y, z, τ) tho¶ m·n mäi ph−¬ng tr×nh cña hÖ (t) nãi trªn. 9.4. DÉn nhiÖt æn ®Þnh trong v¸ch ph¼ng 9.4.1. V¸ch 1 líp, biªn lo¹i 1 9.4.1.1. Bµi to¸n Cho 1 v¸ch ph¼ng réng v« h¹n, dµy δ, (0 ≤ x ≤ δ), lµm b»ng vËt liÖu ®ång chÊt cã hÖ sè dÉn nhiÖt λ = const, nhiÖt ®é t¹i hai mÆt v¸ch ph©n bè ®Òu b»ng t1, t2 vµ kh«ng ®æi. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) bªn trong v¸ch. Bµi to¸n dÉn nhiÖt æn ®Þnh nµy ®−îc m« t¶ bëi hÖ ph−¬ng tr×nh (t) cã d¹ng: 98
⎧ d2t ⎪ 2 =0 (1) ⎪ dx ( t ) ⎨ t ( 0) = t 1 (2) ⎪ t ( δ) = t (3) ⎪ 2 ⎩ 9.4.1.2. T×m ph©n bè nhiÖt ®é t(x) NghiÖm tæng qu¸t cña ph−¬ng tr×nh vi ph©n dÉn nhiÖt (1) cã d¹ng t(x) = C1x + C2. C¸c h»ng sè C1, C2 ®−îc x¸c ®Þnh theo c¸c §KB (2) vµ (3): ⎧ t (0) = C 2 = t 1 ⎪ ( t )⎨ 1 t ( δ) = C 1 δ + C 2 = t 2 → C 1 = ( t 2 − t 1 ) ⎪ δ ⎩ 1 VËy ph©n bè nhiÖt ®é trong v¸ch lµ t(x) = t 1 − ( t 1 − t 2 ) x , cã d¹ng ®−êng δ th¼ng qua 2 ®iÓm (0. t1) vµ (δ, t2). 9.4.1.3. TÝnh dßng nhiÖt dÉn qua v¸ch Theo ®Þnh luËt Fourier ta cã: dt t 1 − t 2 ∆t q = −λ = = , (W/m2), ρ dx R λ δ , (m2K/W) gäi lµ nhiÖt trë cña v¸ch ph¼ng. víi R = λ 9.4.2. V¸ch n líp, biªn lo¹i 1 9.4.2.1. Bµi to¸n 99