intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p4

Chia sẻ: Dsadf Fasfas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
70
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p4', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p4

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §4. TÝnh chÊt cña biÕn ®æi Fourier • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn sau ®©y kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Fourier. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(ω) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.4.1) Chøng minh +∞ +∞ +∞ ∫ (λf (t ) + g(t ))e − iωt − i ωt − i ωt dt = λ ∫ f (t )e ∫ g(t )e dt + dt −∞ −∞ −∞ 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α h m f(t - α) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ∀ α ∈ 3, f(t - α) ↔ e-iαωF(ω) (5.4.2) Chøng minh +∞ +∞ -iαω − iωt − iω( t − α ) ∫ f (t − α)e ∫ f (t − α)e d( t − α) §æi biÕn τ = t - α dt = e −∞ −∞ 3. §ång d¹ng NÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× víi mäi sè thùc α kh¸c kh«ng h m f(αt) còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. ω 1 ∀ α ∈ 3*, f(αt) ↔ F( ) v f(-t) ↔ F(-ω) (5.4.3) |α| α Chøng minh ω +∞ +∞ sgn(α) − i ( αt ) − i ωt ∫ f (αt )e dt = α −∫ f ( α t ) e α d( α t ) §æi biÕn τ = αt −∞ ∞ sin ω VÝ dô Cho f(t) = 1 | t | ≤ 1 ↔ F(ω) = 2 0 | t | > 1 ω  sin(ω / 3) sin ω 1 Ta cã g(t) = f(3t + 3) - f(t + 3) ↔ G(ω) = 2ei3ω - eØ3ω ω ω 2 4. §¹o h m gèc Gi¶ sö h m f v c¸c ®¹o h m cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. f’(t) ↔ iωF(ω) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ (iω)nF(ω) (5.4.4) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞ ∫ f ′(t)e dt = f (t )e − iωt + (iω) ∫ f (t )e −iωt dt = (iω) ∫ f (t )e −iωt dt − iωt f’(t) ↔ −∞ −∞ −∞ −∞ Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 85
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 5. TÝch ph©n gèc Gi¶ sö h m f v tÝch ph©n cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. t 1 F(ω) + πF(0)δ(ω) ∫ f (τ)dτ ↔ (5.4.5) iω −∞ Chøng minh t ∫ f (τ)dτ ↔ G(ω), g’(t) = f(t) KÝ hiÖu g(t) = −∞ ∀ ω ∈ 3, (iω)G(ω) = F(ω) Theo tÝnh chÊt 4 1 G(ω) = F(ω) víi ω ≠ 0 v G(0) = πF(0)δ(ω) Suy ra iω 6. ¶nh cña tÝch chËp NÕu h m f v h m g kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× tÝch chËp cña chóng còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. (f∗g)(t) ↔ F(ω)G(ω) (5.4.6) Chøng minh +∞ +∞ +∞ +∞   − iωt   ∫∞ −∫∞f (t − τ)g(τ)dτ e dt = ∫  ∫ f (t − τ)e dt g(τ)e − iωτ dτ − iω( t − τ ) (f∗g)(t) ↔     −    −∞ − ∞ = F(ω)G(ω) 7. HÖ thøc Parseval Gi¶ sö h m f v h m ¶nh F cña nã kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. +∞ +∞ 1 2 ∫ | f (t) | dt = ∫ F(ω) dω 2 (5.4.7) 2π −∞ −∞ Chøng minh +∞ +∞ +∞  1 +∞ *  ∫∞  2π −∫∞F (ω)e dω dt f (t ) − itω ∫ | f (t) | dt = ∫ f (t)f (t )dt = 2 *    −∞ −∞ − +∞ +∞ +∞ 1 * 1 2 ∫∞ −∫∞f (t )e dt F (ω)dω = 2π − itω ∫ F(ω) dω =   2π −   −∞ VÝ dô t dη 1. δ(t) ↔ 1 ⇒ η(t) = ∫ δ(τ)dτ ↔ 1 + πδ(ω) v δ(t) = ↔ iω( 1 + πδ(ω)) ≡ 1 iω iω dt −∞ t 1 1 2. g(t) = ∫ f (τ)dτ = (f∗η)(t) ↔ F(ω)( + πδ(ω)) = F(ω) + πF(0)δ(ω) iω iω −∞ 1 1 1 1 1 3. f(t) = [e-λtη(t)]∗[e-µtη(t)] (λ ≠ µ) ↔ F(ω) = − = ( ) λ + iω µ + iω µ − λ λ + iω µ + iω ) 1 (e-λt - e-µt)η(t) ≡ f(t) ↔ F (t) = µ−λ . Trang 86 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k C«ng thøc ®èi ngÉu So s¸nh cÆp c«ng thøc Fourier (5.3.1) v (5.3.2) ( +∞ 1 i ( − ω) σ ∫∞f (σ)e dσ = 2π F (-ω) ≡ 2πf(-ω) f(t) ↔ F(ω) ⇒ F(t) ↔ 2π 2π − +∞ 1 1ˆ 1 −i(− t )τ ∫∞f (τ)e dτ = 2π f (-t) ≡ 2π f(-t) F(ω) ↔ f(t) ⇒ f(ω) ↔ (5.4.8) 2π − Tõ ®ã suy ra tÝnh ®èi ngÉu cña cÆp biÕn ®æi Fourier. NÕu biÕn ®æi Fourier thuËn cã tÝnh chÊt α th× biÕn ®èi Fourier nghÞch còng cã tÝnh chÊt ®ã chØ sai kh¸c mét h»ng sè 2π v biÕn sè cã dÊu ng−îc l¹i. Chóng ta cã c¸c c«ng thøc sau ®©y. eiαtf(t) ↔ F(ω - α) ∀α∈3 2’. DÞch chuyÓn ¶nh (5.4.2’) 1 t ∀ α ∈ 3* f ( ) ↔ F(αω) 3’. §ång d¹ng (5.4.3’) |α| α - itf(t) ↔ F’(ω) v ∀ n ∈ ∠, (-it)nf(t) ↔ F(n)(ω) 4’. §¹o h m ¶nh (5.4.4’) ω - 1 f(t) + πf(0)δ(t) ↔ ∫ F(σ)dσ 5’. TÝch ph©n ¶nh (5.4.5’) it −∞ +∞ 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2π (F∗G)(ω) f(t)g(t) ↔ 6’. ¶nh cña tÝch (5.5.6’) 2π − VÝ dô 2λ 2λ f(t) = e-λ|t| (λ > 0) ↔ F(ω) = ⇒ g(t) = 2 2 ↔ G(ω) = 2πe-λ|ω| 1. λ +t λ +ω 22 1 11 (Rea > 0) ↔ f(t) = e-atη(t) ⇒ G(ω) = e-aωη(ω) ↔ g(t) = F(ω) = 2. a + iω 2 π a − it iαt u(t) =1 ↔ 2πδ(ω) ⇒ ∀ α ∈ 3, e ↔ 2πδ(ω - α) 3. π π 1 1 -iαt f(t) = sinαt = eiαt - e ↔ F(ω) = δ(ω - α) - δ(ω + α) 2i 2i i i 1π π G(ω) = sinαω ↔ g(t) = ( δ(-t - α) + δ(-t + α)) 2π i i §5. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Fourier • Tõ cÆp c«ng thøc ®èi ngÉu (5.4.8) suy ra r»ng nÕu chóng ta cã ®−îc mét c«ng thøc cho h m ¶nh th× sÏ cã c«ng thøc t−¬ng tù cho h m gèc v ng−îc l¹i. V× vËy trong môc n y chóng ta chØ ®−a ra c«ng thøc t×m ¶nh hoÆc c«ng thøc t×m gèc. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 87
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ¶nh cña h m tuÇn ho n Do h m mò g(ω) = e-iωt tuÇn ho n víi chu kú T = 2π nªn h m ¶nh F(ω) lu«n l h m tuÇn ho n víi chu kú T = 2π. Ng−îc l¹i, ta cã +∞ 1 dt = eiαt − iωt ∫ 2πδ(ω − α)e ∀ α ∈ 3, F1(ω) = 2πδ(ω - α) ↔ f1(t) = 2π −∞ NÕu h m f(t) l h m tuÇn ho n chu kú T, khai triÓn Fourier T +∞ f (t )e − ikαt dt , k ∈ 9 v α = 2π 1 ∑ a k e ikαt víi ak = T∫ f(t) = T -∞ 0 Do tÝnh tuyÕn tÝnh +∞ ∑a f(t) ↔ F(ω) = 2 πδ(ω − kα ) (5.5.1) k -∞ VÝ dô +∞ 1 ∑ δ(t − nT ) tuÇn ho n chu kú l T v ∀ k ∈ 9, a k = 1. H m f(t) = suy ra T −∞ 2 π +∞ 2π +∞ ∑ δ(t − nT ) ↔ F(ω) = ∑ δ(ω − k T ) f(t) = T −∞ −∞ 1 -iαt 1 iαt 2. Ta cã f(t) = cosαt = e + e ↔ F(ω) = πδ(ω + α) + πδ(ω - α) suy ra 2 2 +∞ 1 1 1 ∫∞F(σ)G(ω − σ)dσ = 2 G(ω + α) + 2 G(ω - α) víi g(t) ↔ G(ω) f(t)g(t) ↔ 2π − ¶nh cña h m trÞ thùc KÝ hiÖu f*(t) l liªn hîp phøc cña h m f(t). Khi ®ã nÕu h m f kh¶ tÝch tuyÖt ®èi th× h m f* còng kh¶ tÝch tuyÖt ®èi v ta cã * +∞  +∞  ∫∞f (t )e dt =  −∫∞f (t )e dt  = F (- ω) − i ωt − i ( − ω) t * *     − Tõ ®ã suy ra c«ng thøc f*(t) ↔ F*(-ω) (5.5.2) • Gi¶ sö ∀ ω ∈ 3, F(ω) = R(ω) + iI(ω) = |F(ω)| eΦ(ω) NÕu f(t) l h m trÞ thùc f*(t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = R(-ω) - iI(-ω) ≡ F(ω) = R(ω) + iI(ω) Tõ ®ã suy ra R(-ω) = R(ω), I(-ω) = - I(ω) v |F(-ω)| = |F(ω)|, Φ(-ω) = - Φ(ω) (5.5.3) NÕu f(t) l h m trÞ thùc v ch½n f*(t) = f(t) v f(-t) = f(t) ⇒ F*(-ω) = F(-ω) = F(ω) l h m trÞ thùc v ch½n NÕu f(t) l h m trÞ thùc v lÎ . Trang 88 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k f*(t) = f(t) v f(-t) = - f(t) ⇒ F*(-ω) = - F(-ω) = F(ω) l h m thuÇn ¶o v lÎ NÕu f(t) l h m trÞ thùc bÊt k×, ph©n tÝch 1 1 f(t) = [(f(t) + f(-t)] + [f(t) - f(-t)] = Ef(t) + Of(t) 2 2 víi Ef l h m ch½n v Of l h m lÎ. Dïng tÝnh tuyÕn tÝnh v c¸c kÕt qu¶ ë trªn f(t) ↔ R(ω) + iI(ω) = F(ω) (5.5.4) 2λ 1 VÝ dô f(t) = e-λ|t| = 2E{ e-λtη(t) } (λ > 0) ↔ F(ω) = 2Re{ }= 2 λ + iω λ + ω2 Gèc cña h m h÷u tû Ta ® cã 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.5) a + iω Sö dông c«ng thøc ®¹o h m ¶nh v qui n¹p suy ra t n −1 1 (Rea > 0) ↔ e-atη(t) (5.5.6) ( n − 1)! (a + iω) n XÐt tr−êng hîp h m F(ω) l mét ph©n thøc h÷u tû thùc sù. Do h m F(ω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi nªn nã kh«ng cã cùc ®iÓm thùc. Tr−íc hÕt chóng ta ph©n tÝch F(ω) th nh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n v ph©n thùc béi. Sau ®ã sö dông c¸c c«ng thøc (5.4.1) - (5.4.7’) ®Ó ®−a vÒ c¸c tr−êng hîp trªn. Trong c¸c tr−êng hîp phøc t¹p h¬n cã thÓ ph¶i dïng ®Õn c¸c c«ng thøc ¶nh cña tÝch hoÆc ¶nh cña tÝch chËp ®Ó t×m gèc. VÝ dô T×m gèc cña ph©n thøc (iω) 2 + 3iω + 2 B C 1. F(ω) = =A+ + 3 + iω (3 + iω) 2 (iω) + 6iω + 9 2 1 2 ↔ f(t) = δ(t) - e-3tη(t) + 2te-3tη(t) =1- + 3 + iω (3 + iω) 2 2ω − 1 2ω − 1 A B 2. F(ω) = = = + − (iω) + 4i(iω) + 5 1 + 2i − iω 1 − 2i + iω ω − 4ω + 5 2 2 −2+i 2+i ↔ f(t) = (-2 + i)e-(1+2i)tη(t) - (2 + i)e-(1-2i)tη(t) = - 1 + 2 i − iω 1 − 2 i + iω Ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng N M ∑a y (t ) = ∑ b j x ( j) (t ) víi N ≥ M (k) (5.5.7) k k =0 j =0 ChuyÓn qua ¶nh . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 89
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k N M ∑a Y(ω) = ∑ b j (iω) ( j) X(ω) k (iω) (k) k =0 j= 0 Gi¶i ra ®−îc ∑ b (iω) j Y(ω) = j X(ω) = H(ω)X(ω) ↔ y(t) = h(t)∗x(t) (5.5.8) ∑ a (iω) k k VÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = x’(t) + 2x(t) ChuyÓn qua ¶nh [(iω)2 + 4(iω) + 3] Y(ω) = [(iω) + 2] X(ω) Gi¶i ra ®−îc 2 + iω 1 1 1 1 H(ω) = ) ↔ h(t) = (e-t + e-3t)η(t) =( + (1 + iω)(3 + iω) 2 1 + iω 3 + iω 2 Theo c«ng thøc (5.5.8) t ∫ h(τ)dτ x(t) = δ(t) ⇒ y(t) = h(t) v x(t) = η(t) ⇒ y(t) = −α Cho x(t) b»ng mét h m cô thÓ 1 x(t) = e-tη(t) ↔ X(ω) = 1 + iω Gi¶i ra ®−îc nghiÖm t−¬ng øng 1 1 2 1 1 Y(ω) = ( ) ↔ y(t) = (e-t + 2te-t - e-3)η(t) + - 4 1 + iω (1 + iω) 3 + iω 2 4 B¶ng gèc ¶nh Fourier F(ω) F(ω) Tt f(t) Tt f(t) 1 δ(t) 1 7 +∞ +∞ e ikαt , α = 2π ∑a 2 π∑ a k δ(ω − kα ) k T −∞ −∞ 2 η(t) 2 π +∞ 8 +∞ 1 ∑ δ(t − kT ) ∑ δ(ω − kα) + πδ(ω) iω T −∞ −∞ iαω 3 δ(t - α) cosαt π[δ(ω - α) + δ(ω + α)] 9 e 2πδ(ω) 10 sinαt -πi[δ(ω - α) - δ(ω + α)] 41 sin Tω 1 | t | < T 5 11 t n −1 1 e-atη(t) 0 | t | > T 2 , Rea > 0  ω (a + iω) n (n − 1)! sin kαT1 1 | ω | < W 12 1 | t | < T1 6 +∞ sin Wt 2∑ δ(ω − kα) 0 | ω | > W 0 T < | t | ≤ T/2  πt  k −∞ 1 f(t + T) = f(t) . Trang 90 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §6. BiÕn ®æi Laplace • H m f ∈ F(3, ∀) gäi l h m gèc nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y f(t) liªn tôc tõng khóc trªn 3 1. ∀ t < 0, f(t) = 0 2. ∃ M > 0, ∃ s > 0 sao cho ∀ t > 0, | f(t) | < Mest 3. Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 3. gäi l chØ sè t¨ng cña h m gèc. KÝ hiÖu G l tËp hîp c¸c h m gèc v P+(s0) = { z ∈ ∀ : Rez > s0 } l nöa mÆt ph¼ng ph¶i. NÕu f(t) l h m gèc chØ sè t¨ng s0 ta sÏ viÕt f ∈ G(s0). §Þnh lý Cho f ∈ G(s0). Khi ®ã h m biÕn phøc +∞ − zt ∫ f (t )e dt víi z ∈ P+(s0) F(z) = (5.6.1) 0 gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng P+(s0) v F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz.  +∞ Chøng minh Theo gi¶ thiÕt ta cã −íc l−îng ∀ σ = Rez > s0, ∀ t ∈ 3, | f(t)e-zt | ≤ M e − ( σ−s0 ) t σ→→ 0 +∞ Suy ra tÝch ph©n (5.6.1) héi tô ®Òu trªn P+(s0) v dÇn ®Òu vÒ kh«ng khi σ dÇn ra +∞. Do h m mò g(z) = e-zt l h m gi¶i tÝch nªn h m F(z) gi¶i tÝch trªn P+(s0). Ngo i ra ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n chóng ta nhËn ®−îc c«ng thøc +∞ ∀ z ∈ P+(s0), F’(z) = − ∫ tf (t )e − zt dt 0 • ¸nh x¹ L : G(s0) → H(P+(s0)), f(t) α F(z) (5.6.2) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (5.6.1) gäi l phÐp biÕn ®æi Laplace. H m f(t) gäi l h m gèc, h m F(z) gäi l h m ¶nh cña biÕn ®æi Laplace v kÝ hiÖu l f(t) ↔ F(z). VÝ dô +∞ 1. δ(t) = + ∞ t = 0 ↔ u(z) = − zt ∫ δ(t )e dt ≡ 1 0 t≠0  0 +∞ t < 0 ↔ F(z) = 1 2. η(t) = 0 − zt ∫ η(t )e dt = víi Rez > 0 1 t≥0  z 0 +∞ 1 3. f(t) = eatη(t) ↔ F(z) = ∫ e ( a − z ) t dt = víi Rez > Rea z−a 0 . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 91
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Chó ý 1. BiÕn ®æi Laplace kh«ng ph¶i l song ¸nh v nöa mÆt ph¼ng P+(s0) thay ®æi theo tõng +∞ h m gèc f(t). Tøc l ∃ f(t) ∉ G(s0) v F(z) = ∫ f (t )e − zt dt l h m gi¶i tÝch trªn P+(s0). 0 2. H m gèc ®Þnh nghÜa nh− trªn gäi l gèc ph¶i. T−¬ng tù cã thÓ ®Þnh nghÜa h m gèc tr¸i, h m gèc hai bªn. Do vËy cã thÓ nãi ®Õn phÐp biÕn ®æi Laplace tr¸i, ph¶i v hai bªn. Trong gi¸o tr×nh n y chóng ta chØ xÐt ®Õn biÕn ®æi Laplace ph¶i. 3. NÕu f(t) l h m trÞ phøc tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn 1. v 3. cña ®Þnh nghÜa h m gèc th× f(t)η(t) còng l h m gèc. Sau nay chóng ta sÏ viÕt f(t) thay cho f(t)η(t). §7. BiÕn ®æi Laplace ng−îc • H m F ∈ F(∀, ∀) gäi l h m ¶nh nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y 1. F(z) gi¶i tÝch trªn nöa mÆt ph¼ng Rez > s F(z) Re z →→ 0 ®Òu theo Argz  2. +∞ σ + i∞ ∫ F(z)dz héi tô tuyÖt ®èi ∀ σ = Re z > s, tÝch ph©n 3. σ − i∞ Sè s0 bÐ nhÊt tho¶ m n ®iÒu kiÖn 1. v 3. gäi l chØ sè cña h m F(z). KÝ hiÖu A l tËp hîp c¸c h m ¶nh. NÕu F(z) l h m ¶nh chØ sè s0 ta sÏ viÕt F ∈ A(s0). §Þnh lý Cho F(z) ∈ A(s0). Khi ®ã h m trÞ phøc σ + i∞ 1 ∫ F(z)e ∀ t ∈ 3, f(t) = zt dz (5.7.1) 2 πi σ − i∞ l h m gèc chØ sè s0 v f(t) ↔ F(z). Chøng minh Theo gi¶ thiÕt 3. víi mçi σ > s0 cè ®Þnh h m F(σ + iω) kh¶ tÝch tuyÖt ®èi. KÝ hiÖu +∞ 1 F(σ + iω)e iωt dω 2 π −∫ ∀ t ∈ 3, gσ(t) = ∞ σ + i∞ +∞ 1 1 σt σ + iωt ∫∞F(σ + iω)e dω = 2πi σ−∫i∞F(z)e dz ∀ σ > s0, f(t) = gσ(t)e = zt 2π − Theo ®Þnh lý vÒ biÕn ®æi Fourier ng−îc h m gσ ∈ C0 suy ra h m f ∈ CM. Ngo i ra do gi¶ thiÕt 1., 2. v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) − σ + i∞ 1 ∑ Re s[F(-z)e zτ zτ ∫iF(-z)e dz = ∀ t = - τ < 0, f(t) = ,ak ] = 0 2πi −σ− ∞ Re a k > s 0 . Trang 92 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ¦íc l−îng tÝch ph©n ∀ σ > s0, | f(t) | = | gσ(t) | eσt < Meσt víi M = sup{ | gσ(t) |, σ > s0 } Tõ ®ã suy ra h m f(t) l h m gèc v ta cã +∞ +∞ +∞ − iωt −( σ + iω ) t dt = ∫ f (t )e − zt dt ∫g ∫ f (t )e ∀ σ > s0 , F(z) = (t )e dt = σ −∞ −∞ 0 HÖ qu¶ 1 Cho h m F(z) ∈ A(s0) v cã c¸c cùc ®iÓm ak víi k = 1...n n ∑ Re s[ f (z)e F(z) ↔ f(t) = zt (5.7.2) ,a k ] k =1 Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.1) v c«ng thøc tÝnh tÝch ph©n suy réng (4.9.6) A( z ) HÖ qu¶ 2 Cho h m F(z) = l ph©n thøc h÷u tû thùc sù, cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n thùc B( z ) ak víi k = 1..n v c¸c cùc ®iÓm ®¬n phøc bj = αj ± βj víi j = 1..m. Khi ®ã e + 2 ∑ e j (M j cos β j t − N j sin β j t ) n m A(a k ) a k t f(t) = ∑ αt (5.7.3) k =1 B ′(a k ) j =1 A( b j ) A( b j ) trong ®ã Mj = Re v Nj = Im víi j = 1..m B ′(b j ) B ′(b j ) Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (5.7.2) v c«ng thøc tÝnh thÆng d− t¹i cùc ®iÓm ®¬n. 3z 2 + 3z + 2 cã c¸c cùc ®iÓm ®¬n a = 2 v b = -2 ± 2i VÝ du H m F(z) = (z − 2)(z 2 + 4 z + 8) A ( −2 + 2 i ) A (2 ) = 1 + 1 i ⇒ M = 1, N = 1 = 1, Ta cã B ′(−2 + 2i ) 4 4 B (2 ) f(t) = e2t + 2e-2t(cos2t - 1 sin2t) Suy ra 4 HÖ qu¶ 3 Cho F(z) ∈ A(s0) v cã khai triÓn Laurent trªn miÒn | z | > R. Khi ®ã +∞ +∞ a an F(z) = ∑ n ↔ f(t) = ∑ t n −1 (5.7.4) (n − 1)! n z n =1 n =1 Chøng minh Víi Rez > R, chuçi ë vÕ tr¸i (5.7.4) héi tô ®Òu. TÝch ph©n tõng tõ σ + i∞ σ + i∞ t n −1 1 +∞ e zt e zt e zt 1 ∑∫ ∫ dz víi dz = Re z[ n ,0] = f(t) = 2πi n =1 σ−i∞ z n 2πi σ−i∞ z n (n − 1)! z . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 93
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k §8. TÝnh chÊt cña BiÕn ®æi Laplace • Gi¶ sö c¸c h m m chóng ta nãi ®Õn l h m gèc hoÆc l h m ¶nh v do ®ã lu«n cã ¶nh v nghÞch ¶nh Laplace. KÝ hiÖu f ↔ F víi f(t) l h m gèc v F(z) l h m ¶nh t−¬ng øng. 1. TuyÕn tÝnh NÕu h m f v h m g l c¸c h m gèc th× víi mäi sè phøc λ h m λf + g còng l h m gèc. ∀ λ ∈ ∀, λf(t) + g(t) ↔ λF(z) + G(z) (5.8.1) Chøng minh +∞ ∫ [λf (t ) + g(t )]dt = λF(z) + G(z) λf(t) + g(t) ↔ 0 2. DÞch chuyÓn gèc NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(t - α) còng l h m gèc. ∀ α ∈ 3 * , f(t - α) ↔ e-αz F(z) (5.8.2) + Chøng minh +∞ f(t - α) ↔ e-αz ∫ f (t − α)e − z ( t −α ) d(t − α) §æi biÕn τ = t - α 0 3. §ång d¹ng NÕu h m f l h m gèc th× víi mäi sè d−¬ng α h m f(αt) còng l h m gèc. 1 z ∀ α ∈ 3 * , f(αt) ↔ F  (5.8.3) + α α Chøng minh +∞ z 1 − αt ∫ f (α t )e f(αt) ↔ d( α t ) §æi biÕn τ = αt α α 0 4. H m tuÇn ho n NÕu h m f l T - tuÇn ho n sao cho ∀ t ∈ [0, T], f(t) = g(t) víi g l h m gèc th× h m f còng l h m gèc. G( z ) f(t) ↔ F(z) = víi g(t) ↔ G(z) (5.8.4) 1 − e − Tz Chøng minh nT T +∞  +∞  g(t )e − zt dt =  ∑ e −( n −1) Tz  ∫ g(τ)e − zτ dτ ∑∫ F(z) =    n =1 0 n =1 ( n −1) T α 1 1 1 VÝ dô Ta cã sinαt = 1 (eiαt - e-iαt) ↔ −  = 2 víi Rez > 0 2 i  z − iα z + iα  z + α 2 2i T−¬ng tù t×m ¶nh cña cosαt, shαt, cos2αt, ... . Trang 94 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
11=>2