intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p5

Chia sẻ: Dsadf Fasfas | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST
Báo xấu
56
lượt xem 5
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p5', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hình thành ứng dụng nguyên lý của hàm phức giải tích dạng vi phân p5

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 5. §¹o h m gèc Gi¶ sö h m f v c¸c ®¹o h m cña nã l c¸c h m gèc. f’(t) ↔ zF(z) - f(0) v ∀ n ∈ ∠, f(n)(t) ↔ zn F(z) - zn-1f(0) - ... - f(n-1)(0) (5.8.5) Chøng minh +∞ +∞ ∫ f ′(t )e − zt + z ∫ f (t )e − zt dt víi Rez > 0 +∞ f’(t) ↔ dt = e f(t)| -zt 0 0 0 Qui n¹p suy ra c«ng thøc thø hai. 6. TÝch ph©n gèc NÕu h m f l h m gèc th× tÝch ph©n cña nã còng l h m gèc. t 1 ∫ f (τ)dτ ↔ F(z) (5.8.6) z 0 Chøng minh t ∫ f (τ)dτ tho¶ m n c¸c ®iÒu kiÖn h m gèc v H m g(t) = g(0) = 0. Theo c«ng thøc 5. 0 g(t) ↔ G(z) ⇒ g’(t) = f(t) ↔ zG(z) - g(0) = F(z) 7. Anh cña tÝch chËp NÕu h m f v h m g l c¸c h m gèc th× tÝch chËp cña nã còng l h m gèc. (f∗g)(t) ↔ F(z)G(z) (5.8.7) Chøng minh +∞ +∞  +∞  +∞     ∫ f (τ)g(t − τ)dτ e − zt dt =  ∫ e − zτ x(τ)dτ  ∫ e − z ( t − τ ) y(t − τ)dτ  ∫ 0 (f∗g)(t) ↔     0  0  0  8. C«ng thøc Duhamel Gi¶ sö h m f, h m g v c¸c ®¹o h m cña chóng l c¸c h m gèc. zF(z)G(z) ↔ f(0)g(t) + (f’∗g)(t) ↔ f(t)g(0) + (f∗g’)(t) (5.8.8) Chøng minh zF(z)G(z) = f(0)G(z) + (zF(z) - f(0))G(z) ↔ f(0)g(t) + (f∗g)(t) VÝ du t 1 ∫ δ(τ)dτ ↔ δ(t) ↔ 1 suy ra η(t) = v δ(t) = η’(t) ↔ 1 1. Ta cã z 0 t 1 n! t = ∫ η(τ)dτ ↔ qui n¹p suy ra tn ↔ n +1 víi Rez > 0 2. Ta cã 2 z z 0 C«ng thøc ®æi ngÉu B»ng c¸ch so s¸nh c¸c c«ng thøc ¶nh v nghÞch ¶nh cña biÕn ®æi Laplace chóng ta suy ra c¸c c«ng thøc ®èi ngÉu cña c¸c c«ng thøc (5.8.2) - (5.8.7) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 95
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∀ a ∈ ∀, eatf(t) ↔ F(z - a) 2’. DÞch chuyÓn ¶nh (5.8.2’) tf(t) ↔ - F’(z) v ∀ n ∈ ∠, tnf(t) ↔ (-1)nF(n)(z) 5’. §¹o h m ¶nh (5.8.5’) ∞ 1 f(t) ↔ ∫ F(ζ )dζ 6’. TÝch ph©n ¶nh (5.8.6’) t z σ + i∞ f(t)g(t) ↔ 1 = 1 (F∗G)(z) ∫ F(ζ)G(z − ζ )dζ 7’. Anh cña tÝch (5.8.7’) 2πi 2πi σ − i∞ VÝ dô n! n! tn ↔ suy ra e-at tn ↔ 1. Ta cã víi Rez > - Rea n +1 (z + a ) n +1 z ′ α 2 αz α sinαt ↔ suy ra tsinαt ↔ -  2 = 2 2. Ta cã z +α  z + α  (z + α ) 2 2 2 22 ∞ sin τ t dζ π dτ ↔ 1 ( π - arctgz) sin t ↔ ∫ ζ 2 + 1 = 2 - arctgz suy ra sit = ∫ 3. Ta cã τ t z2 z 0 §9. T×m ¶nh, gèc cña biÕn ®æi Laplace Gèc cña h m h÷u tû • B i to¸n t×m ¶nh cña h m gèc th−êng ®¬n gi¶n, cã thÓ gi¶i ®−îc ngay b»ng c¸ch sö dông c¸c c«ng thøc (5.7.1) - (5.7.7’). B i to¸n t×m gèc phøc t¹p h¬n nhiÒu, ®Ó ®¬n gi¶n chóng ta giíi h¹n trong ph¹m vi t×m h m gèc cña c¸c ph©n thøc h÷u tû. Trong c¸c vÝ dô ë trªn chóng ta ® cã c¸c c«ng thøc sau ®©y. t n −1 1 1 ↔ eat ↔eat (5.9.1) z−a (n − 1)! (z − a ) n α z ↔ cosαt ↔ sinαt (5.9.2) z + α2 z + α2 2 2 Gi¶ sö 1 z ↔ f(t) v ↔ g(t) (z + α 2 ) n −1 (z + α 2 ) n −1 2 2 BiÕn ®æi ′ −1   1 z 1  (z + α 2 ) n −1  ↔ 2(n − 1) tf(t) = ϕ(t) 2 = (5.9.3)  2(n − 1)  (z + α ) 2 2n  . Trang 96 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ′ 2n − 3   1 1 1 z 2  (z + α 2 ) n −1  = +  2 n −1 2(n − 1)α 2 (z + α ) 2(n − 1)α (z + α ) 2 2n 2 2   2n − 3 1 ↔ tg(t) = ψ(t) f(t) - (5.9.4) 2(n − 1)α 2(n − 1)α 2 2 BiÕn ®æi M( z + p ) N − Mp Mz + N víi α2 = q - p2 > 0 = + (z + 2 pz + q ) ((z + p ) + α ) ((z + p ) + α ) 2 n 2 2n 2 2n ↔ Me-ptϕ(t) + (N - Mp)e-ptψ(t) (5.9.5) Tr−êng hîp F(z) l ph©n thøc bÊt kú, ta ph©n tÝch F(z) th nh tæng c¸c ph©n thøc ®¬n gi¶n d¹ng (5.9.1) - (5.9.5) Sau ®ã dïng c¸c tÝnh chÊt tuyÕn tÝnh ®Ó t×m h m gèc f(t). VÝ dô T×m gèc cña ph©n thøc 3z 2 + 2z + 2 z+2 1 1 1. F(z) = = +2 - z−2 (z − 2)(z + 4z + 8) ( z + 2) + 4 ( z + 2) 2 + 4 2 2 1 -2t ↔ e2t + 2e-2tcos2t - e sin2t = f(t) 2 3z − 4 3(z − 1) − 1 ↔ f(t) = et g(t) 2. F(z) = = ( z − 2 z + 2) ((z − 1) 2 + 1) 2 2 2 ′ ′ 2 1  1 z  1 1 z 1 =-  2 -  - G(z) = 3 2 - (z + 1) 2 (z 2 + 1) 2 3  z + 1 2  z2 +1 2 z2 +1 1 ↔ 3 tsin t + tcost - 1 sin t = g(t) 2 2 2 Ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng Cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng anx(n)(t) + ... + a1x’(t) + a0x(t) = f(t) x0 = x(0), x1 = x’(0), ..., xn-1 = x(n-1)(0) (5.9.6) • Gi¶ sö c¸c h m x(t), ..., x(n)(t) v f(t) l c¸c h m gèc. ChuyÓn qua ¶nh ↔ X(z) x(t) ↔ zX(z) - x0 x’(t) ... ↔ znX(z) - zn-1x0 - ... - xn-1 x(n)(t) ↔ F(z) f(t) ↔ A(z)X(z) = F(z) + B(z) (5.9.6) Gi¶i ra ®−îc F ( z ) + B( z ) ↔ x(t) X(z) = (5.9.7) A( z ) . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 97
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k x ′′(t) + 4x ′(t) + 4x(t) = t 3 e -2t VÝ dô Gi¶i ph−¬ng tr×nh x(0) = 1, x ′(0) = 2  Gi¶ sö x(t) v c¸c ®¹o h m cña nã ®Òu l h m gèc. 6 x(t) ↔ X(z), x’(t) ↔ zX(z) - 1, x”(t) ↔ z2X(z) - z - 2 v f(t) = t3e-2t ↔ (z + 2) 4 ChuyÓn qua ¶nh 6 (z2 + 4z + 4)X(z) = + (z + 6) (z + 2) 4 Gi¶i ra ®−îc ↔ x(t) = e −2 t (1 + 4t + 1 t 5 ) 6 4 +1 + X(z) = z+2 (z + 2) (z + 2) 20 4 2 • Ph−¬ng ph¸p trªn cã thÓ sö dông ®Ó gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè biÕn thiªn, hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng hoÆc ph−¬ng tr×nh tÝch ph©n. x ′ + x − y = e t  y ′ + 3x − 2 y = 2e t VÝ dô Gi¶i hÖ ph−¬ng trinhg vi ph©n x(0) = 1, y(0) = 1  Gi¶ sö x(t) v y(t) l c¸c h m gèc, chuyÓn qua ¶nh hÖ ph−¬ng tr×nh (z + 1)X − Y = 1 + 1  z −1  3X + (z − 2)Y = 2 + 1  z −1  Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh suy ra X(z) = 1 = Y(z) ↔ x(t) = et = y(t) z −1 B¶ng gèc ¶nh Laplace Tt f(t) F(z) Tt f(t) F(z) 1 δ(t) 1 5 n −1 1 t , Rez > -α e-αt (z + α) n (n − 1)! e-αtcosβt z+α η(t) 2 6 1 , Rez > 0 , Rez > 0 (z + α) 2 + β 2 z e-αz, z ∈ ∀ e-αtsinβt β δ(t - α) 3 7 , Rez > 0 (z + α) 2 + β 2 δn(t) = δ(n)(t) zn, z ∈ ∀ ηn(t) = η(t)∗...∗η(t) 4 8 1 , Rez > 0 zn . Trang 98 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k B i tËp ch−¬ng 5 1. T×m ¶nh Fourier cña c¸c h m gèc sau ®©y. a. e-2(t-1)η(t) c. δ(t +1) + δ(t -1) d. sin(2πt + π b. e-2|t-1| ) 4 e. e-αtcosβtη(t), α > 0 f. e-3|t|sin2t g. te-2tsin4tη(t) h. sintsin2t t | t | ≤ 1 +∞  i. 1 + cos πt | t | ≤ 1 j. 1 − t 0 < t 1 t ∉ (0, 1)   0 | t | > 2  −∞ 2 sin πt sin 2 π(t − 1)  sin t  4t m. t   n. o. πt π(t − 1)  πt  (1 + t 2 ) 2 +∞ ∫ | F(ω) | p. BiÕt f(t) ∈ 3+, F-1{(1 + iω)F(ω)} = Ae-2tη(t) v dω = 2 π 2 −∞ +∞ 1 itω ∫ Re F(ω)e q. BiÕt f(t) ∈ 3, ∀t ≤ 0, f(t) = 0 v dω = | t | e-|t| 2π −∞ 2. T×m gèc Fourier cña c¸c h m ¶nh sau ®©y. 2 sin 3(ω − 2 π) a. eωη(-ω) - 2e-ωtη(ω) b. d. e2iωcosω c. η(ω) - η(ω - 2) ω − 2π -ω e. e cos(4ω + π/3) f. cos2ωsin(ω/2) g. 2πδ(ω) + πδ(ω - 4π) + πδ(ω + 4π) h. 2δ(ω - π) + 2δ(ω + π) + 3δ(ω - 2π) + 3δ(ω + 2π) i. | F | = 2[η(ω + 3) - η(ω - 3)], Φ = - 2 ω + π 3 3. Cho f ↔ F víi f(t) cã ®å thÞ nh− h×nh bªn. 2 1 +∞ ∫ F(ω)dω a. T×m Φ(ω) b. T×m F(0) c. TÝnh -1 0 1 2 3 −∞ +∞ +∞ 2 sin ω i 2 ω d. TÝnh ∫ F(ω) ∫ | F(ω) | e dω dω f. T×m gèc cña ReF(ω) 2 e. TÝnh ω −∞ −∞ 4. TÝnh tÝch chËp (f∗g)(t) b»ng biÕn ®æi Fourier ng−îc a. f(t) = te-2tη(t), g(t) = e-4tη(t) b. f(t) = te-2tη(t), g(t) = te-4tη(t) sin t c. f(t) = e-tη(t), g(t) = etη(-t) d. f(t) = cos2t, g(t) = πt 5. Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng b»ng biÕn ®æi Fourier. a. y” + 3y’ + 2y = x’ + 3x b. y” + 5y’ + 6y = x’ + 4x y” + 2 y’ + y = 2x” - 2x c. d. y” + 4y’ + 3y = x’ + 2x y’ + 10y = x∗f - x víi f(t) = e η(t) + 3δ(t) -t e. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 99
  6. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 5. BiÕn §æi Fourier V BiÕn §æi Laplace .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k 6. T×m ¶nh Laplace cña c¸c h m gèc sau ®©y. b. δ(t) + η(t) c. cos2αt a. e-2t + e-3tsin3t d. sin3t e. teαt f. tcos3t g. e-2tch3t h. (t + 1)sin2t sin 2 t sin 4 t j. e-tsin2tcos4t i. ch2tcost k. l. t t 1 − eτ 1 − cos t t t sin 2 t cos 3t ∫ (τ + 1) cos τdτ ∫ τ dτ m. n. o. p. te t t 0 0 shτ t t t 2τ ∫ ∫ cos(t − τ)e ∫ ( t − τ) dτ dτ cos 2 τdτ t. | sint |, | cost | 2 q. r. s. τ 0 0 0 7. T×m gèc Laplace cña c¸c h m ¶nh sau ®©y. e −2 z z +1 z+8 1 a. 2 b. c. d. z −9 z + 2z z − 4z + 8 z + 4z + 5 2 2 2 z2 z3 3z z e. f. g. h. (z − 1) 3 ( z 2 + 4) 2 (z − 1)(z − 3) 2 z − 5z 2 + 4 4 3z 2 − 1 z2 1 1 i. j. k. l. sin (z 2 + 4)(z 2 + 9) (z 2 + 1) 3 z (z − 1) 2 z 1 1 12 1 1 1 − z −1 o. e z n. cos p. e z −1 z z z 8. Gi¶i c¸c ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau ®©y b»ng biÕn ®æi Laplace. x” - 3x’ + 2x = tet a. x(0) = 1, x’(0) = -2 2t b. x” + 2x’ + x = t e x(0) = 0, x’(0) = 0 t c. x” - 2x’ + 2x = e sint x(0) = 0, x’(0) = 1 3t d. x” - 3x’ + 2x = 12e x(0) = 2, x’(0) = 6 e. x” + 4x = 3sint + 10cos3t x(0) = -2, x’(0) = 3 f. x” - x’ = 4sint + 5cos2t x(0) = -1, x’(0) = -2 -t g. x”’ + 3x” + 3x’ + x = 6e x(0) = x’(0) = x”(0) = 0 9. Gi¶i c¸c hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n sau ®©y b»ng biÕn ®æi Laplace. x ′ + 3x − 4 y = 9e 2 t x ′ − 2x − 4y = cos t   c. x + y′ + 2y = sin t a. 2x + y ′ − 3y = 3e 2 t x(0) = 0, y(0) = 0 x(0) = 2, y(0) = 0   2x ′′ + x − y′ = −3 sin t x ′′ − y′ = 0   b. x + y′ = − sin t d. x − y ′′ = 2 sin t x(0) = 0, x ′(0) = 1, y(0) = 0 x(0) = −1, x ′(0) = y(0) = y′(0) = 1   . Trang 100 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  7. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 6 Lý thuyÕt tr−êng §1. Tr−êng v« h−íng • MiÒn D ⊂ 33 cïng víi ¸nh x¹ u : D → 3, (x, y, z) α u(x, y, z) (6.1.1) gäi l mét tr−êng v« h−íng v kÝ hiÖu l (D, u). Nh− vËy nÕu (D, u) l tr−êng v« h−íng th× u l mét h m sè x¸c ®Þnh trªn miÒn D. Sù kh¸c biÖt thÓ hiÖn ë chç khi nãi vÒ tr−êng v« h−íng ngo i c¸c tÝnh chÊt cña h m u ng−êi ta cßn quan t©m h¬n ®Õn cÊu tróc cña miÒn x¸c ®Þnh D. Tr−êng v« h−íng (D, u) gäi l liªn tôc (cã ®¹o h m riªng, ...) nÕu nh− h m u l liªn tôc (cã ®¹o h m riªng, ... ) trªn miÒn D. Sau n y nÕu kh«ng nãi g× thªm chóng ta xem r»ng c¸c tr−êng v« h−íng l cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc trë lªn. Cho ®iÓm A ∈ D, mÆt cong cã ph−¬ng tr×nh u(x, y, z) = u(A) gäi l mÆt møc (®¼ng trÞ) ®i qua ®iÓm A. Do tÝnh ®¬n trÞ cña h m sè, qua mçi ®iÓm A chØ cã duy nhÊt mét mÆt møc. Hay nãi c¸ch kh¸c c¸c mÆt møc ph©n chia miÒn D th nh c¸c líp mÆt cong rêi nhau. VÝ dô Tr−êng v« h−íng u = x2 + y2 + z2 gäi l tr−êng b¸n kÝnh, c¸c mÆt møc l c¸c mÆt cÇu ®ång t©m : x2 + y2 + z2 = R2 • Cho ®iÓm A ∈ D v vect¬ ®¬n vÞ e ∈ 33. Giíi h¹n ∂u u ( A + te ) − u ( A ) (A) = lim (6.1.2) ∂e t t →0 gäi l ®¹o h m theo h−íng vect¬ e cña tr−êng v« h−íng u t¹i ®iÓm A. §Þnh lý Cho vect¬ e = {cosα, cosβ, cosγ}. Khi ®ã ∂u ∂u ∂u ∂u cosα + cosβ + cosγ = (6.1.3) ∂e ∂x ∂y ∂z Chøng minh Theo gi¶ thiÕt h m u cã ®¹o h m riªng liªn tôc ∂u ∂u ∂u tcosα + tcosβ + tcosγ+ o(te) u(A + te) - u(A) = ∂x ∂y ∂z Chia hai vÕ cho t v chuyÓn qua giíi h¹n nhËn ®−îc c«ng thøc trªn. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 101
  8. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u HÖ qu¶ = = = ∂j ∂i ∂x ∂y ∂k ∂z VÝ dô TÝnh ®¹o h m theo h−íng vect¬ e(1, 1, -1) cña tr−êng v« h−íng u = x2 + y2 - z2 t¹i ®iÓm A(1, 1, -1). Ta cã ∂u ∂u ∂u 1 1 (A) = -2 v cosα = cosβ = , cosγ = - (A) = (A) = 2, ∂x ∂y ∂z 3 3 Suy ra ∂u 1 1 1 =2 3 (A) = 2 +2 +2 ∂e 3 3 3 §2. Gradient • Cho tr−êng v« h−íng (D, u). Vect¬ ∂u ∂u ∂u grad u = i+ j+ k (6.2.1) ∂x ∂y ∂z gäi l gradient cña tr−êng v« h−íng u. VÝ dô Cho u = xy + yz - zx v A(1, 1, -1) Ta cã grad u = {y - z, x + z, y - x} v grad u(A) = {2, 0, 0} • Tõ ®Þnh nghÜa suy ra gradient cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. C¸c qui t¾c tÝnh Cho u, v l c¸c tr−êng v« h−íng, f l h m cã ®¹o h m v λ l sè thùc. grad (λu + v) = λ grad u + grad v 1. grad (uv) = v grad u + u grad v 2. grad f(u) = f’(u) grad u 3. (6.2.2) Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (6.2.1) v tÝnh chÊt cña ®¹o h m riªng. Liªn hÖ víi ®¹o h m theo h−íng Cho u l tr−êng v« h−íng v e vect¬ ®¬n vÞ. ∂u = 4. ∂e ∂u Max| | = || grad u || ®¹t ®−îc khi v chØ khi e // grad u 5. ∂e . Trang 102 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  9. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂u Min| | = 0 ®¹t ®−îc khi v chØ khi e ⊥ grad u 6. (6.2.3) ∂e Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (6.1.2) v tÝnh chÊt cña tÝch v« h−íng. Liªn hÖ víi mÆt møc 7. Gradient cña tr−êng v« h−íng u t¹i ®iÓm A l ph¸p vect¬ cña mÆt møc ®i qua ®iÓm A t¹i chÝnh ®iÓm ®ã. Chøng minh grad u Cho S : u(x, y, z) = α l mÆt møc ®i qua ®iÓm A T Γ v Γ : x = x(t), y = y(t), z = z(t) l ®−êng cong A tr¬n tuú ý ®i qua ®iÓm A v n»m gän trªn mÆt S cong S. Khi ®ã vect¬ T = {x’(t), y’(t), z’(t)} l vect¬ tiÕp xóc cña ®−êng cong Γ t¹i ®iÓm A. Do Γ ⊂ S nªn u[x(t), y(t), z(t)] = α. §¹o h m hai vÕ theo t u ′x x’(t) + u ′y y’(t) + u ′z z’(t) = 0 grad u ⊥ T Suy ra VÝ dô XÐt ph©n bè nhiÖt trªn vËt r¾n h×nh cÇu D, ®ång chÊt, truyÒn nhiÖt ®¼ng h−íng, nguån nhiÖt ®Æt ë t©m. Gäi u(x, y, z) l nhiÖt ®é t¹i ®iÓm M(x, x, y). Khi ®ã u l tr−êng v« h−íng x¸c ®Þnh trªn miÒn D. C¸c mÆt møc (®¼ng nhiÖt) l c¸c mÆt cÇu ®ång t©m. H−íng truyÒn nhiÖt cùc ®¹i ®ång ph−¬ng víi vect¬ grad u, h−íng cùc tiÓu vu«ng gãc víi vect¬ grad u. §3. Tr−êng vect¬ • MiÒn D ⊂ 33 cïng víi ¸nh x¹ F : D → 33, (x, y, z) α F = X(x, y, z)i + Y(x, y , z)j + Z(x, y, z)k (6.3.1) gäi l tr−êng vect¬ v kÝ hiÖu (D, F ). C¸c tr−êng v« h−íng X, Y v Z gäi l c¸c th nh phÇn to¹ ®é cña tr−êg vect¬ F. Tr−êng vect¬ (D, F ) l liªn tôc (cã ®¹o h m riªng, ...) nÕu c¸c th nh phÇn to¹ ®é cña nã l liªn tôc (cã ®¹o h m riªng, ...) trªn miÒn D. Sau n y nÕu kh«ng nãi g× thªm chóng ta xem r»ng c¸c tr−êng vect¬ l cã ®¹o h m riªng liªn tôc tõng khóc trªn miÒn D. VÝ dô F = {x, y, z} l tr−êng vect¬ b¸n kÝnh, G = {X, Y, 0} l tr−êng vect¬ ph¼ng . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 103
  10. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 6. Lý ThuyÕt Tr−êng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Hä ®−êng cong Γ n»m gän trong miÒn D gäi l hä ®−êng dßng cña tr−êng vect¬ F nÕu cã c¸c tÝnh chÊt sau ®©y. 1. Víi mçi ®iÓm A ∈ D cã duy nhÊt mét ®−êng cong Γ(A) ®i qua 2. Vect¬ F(A) l vect¬ tiÕp xóc cña ®−êng cong Γ(A) t¹i ®iÓm A. VÝ dô NÕu tr−êng F l tr−êng chÊt láng th× hä ®−êng dßng F chÝnh l dßng chÊt láng ch¶y d−íi t¸c ®éng cña tr−êng F. Γ • Gi¶ sö hä ®−êng dßng cã ph−¬ng tr×nh tham sè x = x(t), y = y(t), z = z(t) Theo ®Þnh nghÜa trªn tr−êng vect¬ tiÕp xóc T = {x’(t), y’(t), z’(t)} ®ång ph−¬ng víi tr−êng vect¬ F = {X, Y, Z}. Tøc l x’(t) = λX, y’(t) = λY, z’(t) = λZ víi λ ∈ 3 Tõ ®ã suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dx dy dz = λdt = = (6.3.2) X Y Z gäi l hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n cña hä ®−êng dßng. VÝ dô T×m ®−êng dßng cña tr−êng vect¬ F = {y, - x, 1} ®i qua ®iÓm A(1, 1, 0) dy dx = dz = λdt LËp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n =- y x Gi¶i ra ph−¬ng tr×nh tham sè cña hä ®−êng dßng x = Rcost, y = Rsint, z = - t + C víi (R, C) ∈ 32 §−êng dßng ®i qua ®iÓm A tho¶ m n Rcost0 = 1, Rsint0 = 1, -t0 + C = 0 R = 2 , t0 = π/4, C = π/4 Suy ra §ã chÝnh l ®−êng xo¾n èc ®Òu trong kh«ng gian 2 sint, z = - t + π/4 2 cost, y = x= §4. Th«ng l−îng • Cho tr−êng vect¬ (D, F ) v mÆt cong S tr¬n tõng m¶nh, n»m gän trong miÒn D, ®Þnh h−íng theo ph¸p vect¬ l n. TÝch ph©n mÆt lo¹i hai ∫∫ < F, n > dS = ∫∫ Xdydz + Ydzdx + Zdxdy Φ= (6.4.1) S S gäi l th«ng l−îng cña tr−êng vect¬ F qua mÆt cong S. . Trang 104 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
10=>1