intTypePromotion=1

Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p10

Chia sẻ: Fdsf Gfjy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

0
27
lượt xem
2
download

Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p10

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p10', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình hướng dẫn phân tích các ứng dụng của hình học phẳng trong dạng đa phân giác p10

  1. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. f (z) ∫ z − a dz ∀ a ∈ DΓ, = 2πif(a) (3.4.4) Γ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.4.3) dz ∫z víi Γ l ®−êng trßn ®Þnh VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = −1 2 Γ h−íng d−¬ng | z | = 3. Theo c«ng thøc (3.3.4) 3 1 -1 1 1 I = ∫ z − 1 dz + z +1 ∫ =1 z − 1 dz = I1 + I2 z +1 z +1 =1 z −1 1 tho¶ m n c«ng thøc (3.4.4) trong ®−êng trßn | z + 1 | = 1 suy ra H m f(z) = z −1 I1 = 2πif(-1) = -πi 1 tho¶ m n c«ng thøc (3.4.4) trong ®−êng trßn | z - 1 | = 1 suy ra H m g(z) = z +1 I2 = 2πig(1) = πi VËy I = -πi + πi = 0 §5. TÝch ph©n Cauchy • Cho ®−êng cong ®Þnh h−íng Γ ®¬n, tr¬n tõng khóc v h m f liªn tôc trªn Γ. TÝch ph©n f (ζ ) 1 ∫ ζ − z dζ víi z ∈ D = ∀ - Γ F(z) = (3.5.1) 2 πi Γ gäi l tÝch ph©n Cauchy däc theo ®−êng cong Γ. §Þnh lý H m F(z) l gi¶i tÝch v cã ®¹o h m mäi cÊp trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã f (ζ ) n! ∫ ( ζ − z ) n +1 d ζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, F(n)(z) = (3.5.2) 2 πi Γ Chøng minh Do h m f liªn tôc trªn Γ v z ∉ Γ nªn h m F x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trªn miÒn D. Trang 50 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  2. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Víi mäi a ∈ D tuú ý F (z) − F(a ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ a → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ  = z→ z−a 2 πi Γ Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp mét trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) v do ®ã gi¶i tÝch trong miÒn D. Gi¶ sö h m F cã ®¹o h m ®Õn cÊp n - 1 trong miÒn D Víi mäi a ∈ D tuú ý n =1 ∑ (ζ − a ) (ζ − z ) n −1− k k (n − 1)! ( n −1) ( n −1) (z) − F F (a ) 2 πi ∫ f (ζ ) k = 0 dζ = z−a (ζ − a ) n ( ζ − z ) n Γ f (ζ ) n! ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ a →  z→ 2 πi Γ Suy ra h m F cã ®¹o h m cÊp n trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D cã biªn ®Þnh h−¬ng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. NÕu h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D th× cã ®¹o h m mäi cÊp trong miÒn D. f (ζ ) n! ∫D (ζ − z) n +1 dζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, f(n)(z) = (3.5.3) 2πi ∂ Chøng minh NÕu D l miÒn ®¬n liªn th× biªn ∂D l ®−êng cong Γ ®Þnh h−íng d−¬ng, ®¬n, kÝn v tr¬n tõng khóc. Theo c«ng thøc (3.4.3) ta cã f (ζ ) 1 ∫D ζ − z dζ ≡ F(z) ∀ z ∈ D, f(z) = 2πi ∂ KÕt hîp víi c«ng thøc (3.5.2) suy ra c«ng thøc (3.5.3) NÕu D l miÒn ®a liªn biÕn ®æi miÒn D th nh miÒn D1 ®¬n liªn nh− trong hÖ qu¶ 2, §3. Sau ®ã sö dông kÕt qu¶ ® biÕt cho miÒn ®¬n liªn, tÝnh céng tÝnh v tÝnh ®Þnh h−íng cña tÝch ph©n. HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªn tôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. 2 πi (n) f (z) ∫ (z − a ) ∀ a ∈ DΓ, dz = f (a) (3.5.4) ( n +1) n! Γ Chøng minh Suy ra tõ c«ng thøc (3.5.3) e z dz VÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ®Þnh h−íng d−¬ng Γ ( z + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 51
  3. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k H m f(z) = ez liªn tôc trªn h×nh trßn | z | ≤ 2, gi¶i tÝch trong h×nh trßn | z | < 2. Tho¶ m n c«ng thøc (3.5.4) suy ra 2 πi f”(-1) = πie-1 I= 2! HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý Morera) Cho h m f liªn tôc trªn miÒn D v víi mäi tam gi¸c ∆ ⊂ D ∫ f (z)dz = 0 (3.5.5) ∂∆ Khi ®ã h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Chøng minh Víi a ∈ D tuú ý, kÝ hiÖu B = B(a, δ) ⊂ D. V× h m f liªn tôc trªn B nªn kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n th¼ng [a, z] víi z ∈ B. z+h Do ®ã h m B z z a F(z) = ∫ f (ζ )dζ víi z ∈ B a x¸c ®Þnh ®¬n trÞ trong h×nh trßn B v F(a) = 0. Ngo i ra víi mäi (z, h) ∈ D × ∀ sao cho [z, z + h ] ⊂ B z+h F(z + h) − F(z) 1 ∫ (f (ζ) − f (z))dζ ≤ sup{| f(ζ) - f(z) | : ζ ∈ [z, z + h]} − f (z) = h h z h → 0  Suy ra h m F gi¶i tÝch trong B v F’(z) = f(z). Tõ ®Þnh lý trªn suy ra h m f cã ®¹o h m trong B v do ®ã gi¶i tÝch trong B. §6. §Þnh lý trÞ trung b×nh §Þnh lý (VÒ trÞ trung b×nh) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã 2π n! )e − int dt ∫ f (a + Re ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, f(n)(a) = it (3.6.1) 2 πR n 0 Chøng minh Tham sè ho¸ ®−êng trßn S = ∂B+(a, R) γ(t) = a + Reit, dz = iReitdt víi t ∈ [0, 2π] Ap dông c«ng thøc (3.5.4) 2π n! f (z) n! )e − int dt ∫ (z − a ) n +1 dz = 2πR n ∫ f (a + Re it f(n)(a) = 2 πi S 0 Trang 52 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
  4. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 1 (BÊt ®¼ng thøc Cauchy) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. n! M ∀ n ∈ ∠, R > 0 : B(a, R) ⊂ D, | f(n)(a) | ≤ víi M = sup∂B| f(z) | (3.6.2) Rn Chøng minh Suy ra tõ −íc l−îng tÝch ph©n (3.6.1) 2π n! n! M )e − int dt ≤ ∫ f (a + Re | f(n)(a) | ≤ it 2π Rn 0 HÖ qu¶ 2 (§Þnh lý Liouville) H m gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp sè phøc l h m h»ng. Chøng minh Gi¶ sö h m f gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn tËp ∀. Khi ®ã ∀ (a, R) ∈ ∀ × 3+ , B(a, R) ⊂ ∀ Theo c«ng thøc (3.6.2) víi n = 1 | f’(a) | ≤ M → 0 víi M = sup∀| f(z) | R → +∞ R Suy ra ∀ a ∈ ∀, f’(a) = 0. VËy h m f l h m h»ng. HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý D’Alembert - Gauss) Mäi ®a thøc hÖ sè phøc bËc n cã ®óng n kh«ng ®iÓm phøc trong ®ã kh«ng ®iÓm béi k tÝnh l k kh«ng ®iÓm. Chøng minh Pn(z) = a0 + a1z + ... + zn v ∀ z ∈ ∀, Pn(z) ≠ 0 Gi¶ sö Ta cã a a a a | Pn(z) | = | z |n 1 +  n −1 + ... + 0  ≥ | z |n 1 −  n −1 + ... + 0  z zn  n z z   Suy ra rn   1 ∀ z ∈ ∀ : | z | ≥ r = Max  (n + 1)a k  ⇒ | Pn(z) | ≥ k n +1 k = 0.. n −1   KÝ hiÖu n mr = min{| Pn(z) | : | z | ≤ r}, m = min{mr , r } v g(z) = 1 , z ∈ ∀ n +1 Pn (z ) Khi ®ã 1 1 ∀ z ∈ ∀, | Pn(z) | ≥ m hay | g(z) | = ≤ | Pn ( z ) | m Nh− vËy h m g(z) l gi¶i tÝch v bÞ chÆn trªn ∀, theo ®Þnh lý Liouville nã l h m h»ng. Suy ra h m Pn(z) l h m h»ng! §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy ∃ z1 ∈ ∀ sao cho Pn(z1) = 0. Ph©n tÝch Pn(z) = (z - z1)Pn-1(z) víi degPn-1 = n - 1. LËp luËn t−¬ng tù ph©n tÝch Pn-1(z) v tiÕp tôc ph©n tÝch cho ®Õn khi Pn(z) = (z - z1)(z - z2) ... (z - zn) Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 53
  5. h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n Phøc .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k HÖ qu¶ 4 (Nguyªn lý module cùc ®¹i) Cho miÒn D giíi néi v h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D. Khi ®ã hoÆc h m f(z) l h m h»ng hoÆc h m | f(z) | chØ ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn ∂D. Chøng minh • Gi¶ sö h m f(z) kh«ng ph¶i l h m h»ng. Do h m | f(z) | liªn tôc trªn miÒn D ®ãng v giíi néi nªn ®¹t trÞ lín nhÊt, trÞ bÐ nhÊt trªn miÒn D . Chóng ta xÐt tr−êng hîp h m ®¹t trÞ lín nhÊt. Tøc l ∃ a ∈ D sao cho | f(a) | = MaxD | f(z) | NÕu a ∈ D0 th× a l ®iÓm cùc ®¹i ®Þa ph−¬ng v khi ®ã ∃ B(a, R) ⊂ D sao cho ∀ t ∈ [0, 2π], | f(a) | > | f(a + Reit) | ¦íc l−îng c«ng thøc (3.6.1) víi n = 0 2π 1 ∫ f (a + Re | f(a) | ≤ ) dt < | f(a) | it 2π 0 §iÒu n y l m©u thuÉn. VËy a ∈ ∂D. • LËp luËn t−¬ng tù cho tr−êng hîp h m ®¹t trÞ bÐ nhÊt. §7. H m ®iÒu ho • H m thùc u(x, y) liªn tôc trªn D , thuéc líp C2 trong D gäi l h m ®iÒu ho trong nÕu nã tho¶ m n ph−¬ng tr×nh Laplace. Tøc l ∀ (x, y) ∈ D, ∆u = ∂ u + ∂ u = 0 2 2 (3.7.1) ∂x 2 ∂y 2 §Þnh lý PhÇn thùc, phÇn ¶o cña h m gi¶i tÝch l h m ®iÒu ho . Chøng minh Cho h m f(z) = u(x, y) + iv(x, y) gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã h m f(z) cã ®¹o h m mäi cÊp suy ra c¸c h m u(x, y) v v(x, y) cã c¸c ®¹o h m riªng liªn tôc v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann u ′ = v ′y v u ′y = − v ′ x x Suy ra ∆u = u ′′ + u ′yy = v ′yx − v ′′y = 0 v ∆v = v ′′ + v ′yy = − u ′yx + u ′xy = 0 ′ ′ ′ ′ ′ xx x xx • Sau n y chóng ta gäi cÆp h m ®iÒu ho v tho¶ m n ®iÒu kiÖn Cauchy - Riemann l cÆp h m ®iÒu ho liªn hîp. §Þnh lý Cho h m thùc u(x, y) ®iÒu ho trong miÒn D ®¬n liªn. Khi ®ã cã h m phøc f(z) Trang 54 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản