Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

220
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 1 trình bày cơ sở lý thuyết nhóm. Nội dung phần này trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm. Sinh viên có thể đọc qua những phần đã biết trong quá trình học đại số cao cấp, và dừng lại ở những khái niệm mới nhận được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Lý thuyết nhóm (Dùng cho sinh viên ngành Toán học): Phần 1

ĐẠI H Ọ C VINH THƯ VIÊN 512.207 Ì iìtrủ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH LE-H/98 )T.004406 Lê Quốc Hán L Y I H U Y E T NHOIME (Dùng cho sinh viên ngành Toán học)
TỦ SÁCH TRƯỜNG ĐHSP VINH Lê Quốc Hán LÝ THUYẾT NHÓM (Dùng cho sinh viên ngành Toán học) - Vinh 1998 -
MỤC L Ụ C Trang LỜI NÓI ĐẦU 2 Chương ì. Cơ SỞ LÝ THUYẾT NHÓM 3 § Ì. Định nghĩa nhóm - ... 3 Bài tập 7 §2. Nhóm con. Nhóm con chuẩn tắc 7 Bài tập 15 §3. Đồng cấu và nhóm thương 16 Chương l i . MỘT SỐ LỚP NHÓM QUAN TRỌNG 23 §1. Nhóm hữu hạn 23 Bài tập 26 4 _ len 27 Bài tập 39 §3. Nhóm lũy linh 40 Bài tập 44 §4. Nhóm giải đư c 44 Bài tập 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO 48
LÒI NÓI Đ Ầ U X ý thuyết nhóm là một trong những lý thuyết quan trọng nhất của toán học hiện đ ạ i . Sinh viên khoa Toán - Tin đã được làm quen với lý thuyết này trong chương trình đại số cao cấp ở những năm đầu của giai đoạn l i . Giáo trình này nhằm trình bày một cách có hệ thống các cơ sở của lý thuyết nhóm, nhằm giúp học sinh nắm được những kiến thức cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm, tồ đó có thể tiếp tục nghiên cứu những vấn đề sâu sắc hơn của lý thuyết n h ó m cũng như những lý thuyết khác của toán học hiện đ ạ i có liên quan. Giáo trình gồm hai chương: Chương ì trình bày các khái niệm cơ bản của lý thuyết nhóm. Sinh viên có thể đọc qua những phần đã biết trong quá trình học đ ạ i số cao cấp, và dồng lại ở những khái niêm mới nhận được. Chương l i dành cho việc trình bày các lớp nhóm quan trọng nhất: nhóm Aben, nhóm hữu hạn, nhóm giải được, nhóm lũy linh. Tuy nhiên, do số d a i . .i chế, chúng tôi chỉ dồng lại ở việc trình bày các khái niệm và những tính chất cơ bản của các nhóm đó. Những sinh viên nào muốn hiểu sáu hơn các vấn đề ấy, có thể xem các tài liệu tham khảo [1], [2], [3], [7]. Chúng tôi tỏ lời cảm ơn PGS.PTS Nguyễn Quốc Thi và PTS. Ngô Sĩ Tùng đã góp nhiều ỳ kiến về đ ề cương và nội dung cần thiết của giáo trình trong nhiều lần trao đ ổ i . Chúng tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy và các bạn đồng nghiệp trong tổ Đ ạ i số trường Đ H S P Vĩnh đã góp nhiều ý kiến quý báu và động viên chúng tôi hoàn thành giáo trình này. Cuối cùng, giáo trình được viết ra chác chấn không thể tránh được các thiếu sót, chúng tôi mong nhận được sự góp ý phê bình của bạn đọc. Vinh, ngày Ì tháng 10 năm 1997 T á c giả 2
Chương I Cơ SỎ LÝTBDỮYỂr NHÓM C h ư ơ n g này trình bày những khái niệm cơ bản đầu tiên của lý thuyết nhóm. Đ ể giáo trình khói quá dài, chúng tôi sẽ bỏ qua các chứng minh đơn gián mà độc giả đã biết trong giáo trình đ ạ i số đ ạ i cương. §1. ĐỊNH NGHĨA iNHÓM 1. H ệ tiên đẽ. G i ả sử G là một tập hợp trên đó đã được trang bị một phép toán hai ngôi mà ta sẽ kí hiệu theo l ố i nhân. Phần tử e của G được g ọ i là phàn [ử đơn vị, nếu xe = ex = X với mọi X thuộc G. Phần tử đơn vị (nếu có ), sẽ duy nhừt. Giá sử x e G. Khi đó, phần tử x'e G được gọi là phần tử nghịch đảo của X, nếu xx' = XX = e. Phần tử nghịch đảo của X, nếu có , cũng duy nhừt, và được ký hiệu là X \ Trong trường hợp này, ta nói rằng phần từ X là khả nghịch. Ta đưa ra hai định nghĩa về n h ó m . Phép chứng minh tương đương của hai định nghĩa này có thể xem tron"! [4Ị. h Định n « ' 1. Tập hợp G cùng với phép toán hai ngôi được gọi là nhom, nêu i) Phép toán c ó tính chừt kết hợp, nghĩa là (ab)c = a(bc), với mọi a, b, c thuộc G. li) Phép toán có phần tử đơn vị. * iiĩ) M ọ i phần tử của G đều khả nghịch. Định nghĩa 2. Tập hợp G cùng v ớ i phép toán hai ngôi được gọi là nhóm, nếu: ĩ i) Phép toán có tính chừt kết họp. li) Với m ọ i phần tử a và b thuộc G, các phương trình ax = b và xa = b có nghiệm trong G. 2. Đang cấu. Hai nhóm G và G' được gọi là đẳng cấu, nếu tồn tại ánh xạ một-một (p từ G lên G' bảo toàn p h é p toán trên c h ú n g , nghĩa là (p(ab) = (p(a).cp(b) với mọi a, b thuộc G. Ta sẽ dùng kí hiệu G = G' đẽ chỉ hai nhóm G và G' đẳng cừu với nhau. 3
Lý thuyết nhóm chỉ nghiên cứu các nhóm với sự sai khác một đẳng cấu. Chẳng hạn, G là nhóm nhân các số thực dương và G' là nhóm cộng các số thực, thì ánh xạ ọ : G -> ơ xác định bởi hộ thức (p(a) = lga là một đẳng cấu từ G lên G\ Như vậy, G và G' có cùng cấu trúc nhóm. Do đó, nghiên cứu một trong hai lớp nhóm đó, chúng ta có thể biết các tính chất về nhóm của lớp nhóm kia. 3. Cấp của một nhóm. Cấp của một phần tử. Từ tính chất kết hặp của nhóm, ta suy ra rằng tích aia ...a không phụ 2 a thuộc vào sự bố trí các dấu ngoặc để thực hiện tích đó. Tích của n phần cử bàng a đưặc gọi là lũy thừa bậc n của a và đưặc kí hiệu a . Dễ chứng n minh rằng nếu m, n là các số nguyên tùy ý và a là một phần tử của G, thì m +n m n 1 1 n 1 n a .a" = a'" , (a ) = a™, (a" )- = a", a = (a ) với qui ước a° = e m Có thể xẩy ra trường hặp a = e với m là số nguyên khác không. Khi đó, số nguyên dương nhỏ nhất n thỏa mãn điều kiện a" = e đưặc gọi là cấp hay chu kỳ của phần tử a, và đưặc ký hiệu là ! a I . Nếu a" * e với mọi số nguyên dương n, thì ta nói rằng phần tử a có cấp vô hạn và lạm dụng cách viết ; X3. Nhóm G đưặc gọi là nhóm xoắn hay nhóm tuân hoàn, nếu mọi phần tử của G đều có cấp hữu hạn. Nếu cấp của tất cả các phần tử G đưặc giới hạn trong một tập hặp hữu hạn, thì bội chung nhỏ nhất của các cấp đó đưặc gọi là chu kỷ của nhóm. Giả sử p là một số nguyên tố. Nhóm tuần hoàn mà cấp các phần tử thuộc nhóm ấy đều là lũy thừa của p đưặc gọi là p-nhốm. Lực lưặng I G I của nhóm G đưặc gọi là cấp của nhóm. Nếu lực lưặng đó là hữu hạn thì G đưặc gọi là nhóm hữu hạn. Trong trường hặp ngưặc lại, G đưặc gọi là nhóm vô hạn. 4. Tích trực tiếp. Giả sử Gi, Gọ, G là các nhóm. Dễ kiểm tra đưặc rằng, tích đề các n G = Gi x G ọ x ... X G với phép toán đưặc xác định bởi hệ thức n ( ị ? , UT-, ư„) ( ợ \ ơ'o ơ ' \ = /ơ,ơ', Otữt 2r,í?'„ì lầD thành mót u l o u u Voi' o2.t ••••> on/*vo lì ỊS li ••••> on/ V o l © Ì' ì ẳ i ỗ ố n õ ti/ " r F *U-Y«- nhóm. Nó đưặc gọi là tích đề các của các nhóm Gi , i = 1,2,...,n và các nhóm Gi, i = Ì , 2,...,n đưặc gọi là các nhân tử. 4
Ta hãy mở rộng khái niêm này. Giả sử { G a i a 6 í} là họ các nhóm được chỉ số hóa bởi tập hợp ì nào đó. G là họ các ánh xạ f: ì -> Ị J G a aeỉ thỏa mãn điều kiện: í'(a)e G a , ae ì. Ta đưa vào G phép toán (f,g) M> fg xác định bởi hê thức (fg)(a) = f(a).g(a), Vae ì. Khi đó G trờ thành một nhóm và được gọi là lích đề các của ho các G nhóm { G a I (xe 1} và được ký hiệu là f ] a Giá trị ánh xạ f tại điữm a được gọi là phép chiếu của phần tử f lên tập hợp G. Tập hợp sup(f) = { a i f(a) * e} được gọi là giá của ánh xạ f. Rõ ràng là tập hợp các ánh xạ với giá hữu hạn của tích đề các của các nhóm G a cũng lập thành một nhóm với phép nhân ánh xạ. Nó được gọi là tích trực tiếp của các nhóm G a và được ký hiệu là Ị~Ị G a . Nếu tập các chỉ số ì hĩai hạn. thì tích đề các và tích trúc tiếp của họ các nhóm { G a ì ae 1} trùng nhau. 5. Sơ ììiơc ' ; nhóm Aben. Nhom G dược gọi là nhóm Aben hay nhóm giao hoán, nếu phép loàn trong G là giao hoán, nghĩa là ab = ba với mọi a, b thuộc G. Khi đó, phép toán trong G thường được ký hiệu theo lối cộng. Phần tử đem vị sẽ được gọi là phần tử không và ký hiệu là 0. Phần tử nghịch đảo cựa a sẽ được gọi là phần tử đối của a và được ký hiệu là - a. Tích trực tiếp của một họ hữu hạn các nhóm G i , G ọ , G sẽ được gọi là tổng trực n tiếp của các nhóm đó và được kí hiệu là GieG e ... 0 G 2 n Nếu tập chỉ số ì vô hạn thì ta sẽ dùng các kí hiệu: 2 ] G a và ] T G a đ ể aẩ ad chỉ tích đề các và tổng trực tiếp của họ các nhóm { G a ì oee í } . 6. Các ví dụ. (1) Tập họp tất cả các phần tử của một vành K, được xét với phép cộng, là một nhóm Aben. Nó được gọi là nhóm cộng tính của vành K. Chúng ta cũng sẽ ký hiệu nhóm đó là K. Nói riêng, ta có nhóưi cộng các số phức c, nhóm cộng các số thực R, nhóm cộng các số hữu ty 5
Q, nhóm cộng các số nguyên z. Nói chung, nhóm cộng tính của trường đặc số không là nhóm phi xoắn, và nhóm cộng tính của trường đặc số p có cấp bằng p. Nhóm cộng lính của trường GF(q) có q phần tử và nhóm cộng tính của vành Z(n) có Q phần tử. Giả sử p là số nguyên tố. Chúna; ta xét các số dang với m,ri€ z. Chúng được g ọ i là các số p-adic. Tập hợp tất cả số p-adic với phép cộng các số thông thường là một nhóm Aben phi xoắn. ( 2 ) Tập hợp tất cả các phần từ khả nghỏch của một vành K với phép nhân cũng lập thành một nhóm. Nó được g ọ i là nhóm nhân tính của K và được ký hiệu là K*. Nếu K là vành giao hoán thì K* cũng là vành giao hoán. Nói riêng, nhóm nhân tính c , R , Q , z , GF (q), Z(n) Aben. n Tập hợp C(n) các số phức thỏa mãn phương trình: x = Ì là nhóm Aben. Giả sử p là một số nguyên tố. Tập hợp C(p*) tất cả các số phức thỏa mãn phương trình: p x " = Ì, n= 1,2, ... cưng lập thành một nhóm với phép nhân thông thường, và là nhóm Aben vô han v c gọi là nhóm tựa xyclỉc dạng J P * . Nhóm z\ GF*(p), z*(n), C(n) l a n u a nạn, hơn nữa I z* I = 2 , í GF*(q) = q-1, I z*(n)* I = ọ(n), I C(n) I = n, trong đó (p là hàm ơ l e , nghĩa là (p(mn) = (p(m)(p(n) với m, n k k k l nguyên tố cùng nhau và cp(p ) = p - p trong đó p là số nguyên tố. (3) G i ả sử M là một tập hợp tùy ý và S(M) là tập hợp tất cả các song ánh từ M lên chính nó. Khi đó S(M) cùng với phép nhân ánh xạ lập thành một n h ó m . Trong trường hợp M hữu hạn: M = { 1 , 2 , ...,n} thì nhóm S(M) đó được, g ọ i là nhóm các phép thể bậc n và được kí hiệu là Sin). Ta có I S(n) I = n i . Với n > 2 , S(n) không phải là nhõm Aben. ( 4 ) Tập hợp GL(n, K) tất cả các ma trận khả nghỏch cấp n trên vành giao hoán K với đơn vỏ lập thành một nhóm với phép nhân ma trận. Nó được g ọ i là nhóm tuyến lính lổng quát hay là nhóm ma trận tổng quát cấp a trên trường K. R õ ràng GL(n,K) = M*(n,K) trong đ ó M(n,K) là vành các ma trận vuông cấp n trên K- Với n > 2 , nhóm GL(n,K) không Aben. 6
Ngoài ra, chúng ta còn xét đến các nhóm: SL(n,K) = (ae GLỌn, K) Ị đét a = i } : nhóm tuyến tính dặc biệt. D(n, K) = {ae GL(n, K) I a là ma trận dường c h é o } : nhóm dườn-ị chéo. Tín, K) = {ae GL(n, K) Ị a là ma trận tam g i á c } : nhóm tam giác. U(n, K) = {ae GL(n, K) I a là ma trận lam giác với các phần cử đem vị trên đường chéo c h í n h } : nhóm Um ta. Cỏ thể thay K bởi trường hữu hạn GF(q), ta được các nhóm GL(n.q), SL(n,q). D(n,q), T(n,q) và U(n,q) tương ứng. Bài tậpl 1. G i ứng minh rằng hai định nghĩa v ề nhóm là tương đương m 2. ơ i ứ n g minh ràng-nếu a = e thì m chia hết cốp của a. 3. i) Giả sử ab = ba và I a I , I b! nguyên tố cùng nhau, Chứng minh I abI = I a I . I b ị. li) Giả sử ab = ba , l a i = m, I b I = n. Chứng minh rằng trong G luồn luôn tồn tại phần tử c sao cho Ị c I bàng bội chung nhó nhốt của m và n. 4. Ch ứ " lĩ minh i) l(ĩì) = ii) Q(p) ẹ Q(,q) nếu p * q. í a 0] ỉ Ị } n 5. G i ả SỬG -\ H \I la, J3 eR.a + f?*Q2 \. Chứng minh G = c H-yỡ a) ì ố. Giả sử m, ri nguyên tố cùng nhau. Chứng minh: C(m) X C(n) = C(mn) 7. Chứng minh: D(n, K) = K * X K * x . . . . x K * n lân 8. Giả sử phép thế ae Sin) được biểu diễn dưới dạng các vòng xích độc lập có độ dài bằng n i , nọ, nic- ơ i ứ n g minh I a Ị = ri).rb....Ilk • §2. NHÓM CON. NHÓM CON CHUẨN TẮC 1. Nhóm con. G i ả sử H là một tập con của nhóm G thỏa mãn điều kiện: với mọi a.b G H . ta đều có abe H , thì H được gọi là một bộ phận ổn định của nhóm G, khi đó phép toán hai ngôi trên X cảm sinh một phép toán hai ngôi trong H . Nếu H cùng với phép loàn cám sinh là một nhóm, 7
thì H được gọi là nhóm con của G. Chẳng hạn, tập hợp { - i , 1 } là nhóm con của nhóm nhân Q*, nhưng không phải là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên. Định nghĩa 3: Một bộ phận ổn định H của một nhóm G được gọi là một nhóm con của G nếu H cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm. Ta sẽ dùng kí hiệu H CL* G để chỉ H là nhóm con của G. Từ định nghía trên, trực tiếp suy ra. Tập con H của nhóm G là một nhóm con của G khi và chỉ khi HH c H và H" c H, nếu ở đây ta dừng kí hiệu: 1 AB = {'àb ị ae A, be B} A ^ l a 'l ae A} với mọi tập con A và B của nhóm G đã cho. Vói mọi nhóm G tùy ý, tập con chỉ gồm một phần tử và bản thân G luôn luôn là nhóm con của G. Các nhóm con khác được gọi là nhóm thực sự. 2. C á c ví d ụ . Sử dụng các kí hiệu đã dùng (Vội, và tiêu chuẩn nhóm con, dễ dàng suy ra: (1) z c Q(p) C ^ Q C R Q C Z = n Q(p) m n GF(p )e*GF(p ) v ớ i m \ n (2) Z*C,Q*C*R*C*C* 2 C(p) c C(p ) c ... c C(p=°) C(p°°) = ụ cự) m n GF(p )* c; GF(p )* vớim\n (3) Trong nhóm các phép thế S(n), tập hợp A(n) tất cả các phép thế chẵn lập thành một nhóm con. Nó được gọi là nhóm thay phiên bậc n. Rõ ràng ị A(n) I = ị .n! (4) Khi n > 2, ta có sun, K) cz^ GL(n, K) D(n, K) c T ( n , K) UT(n, K) c*.T(n, K) c ^ G ự n , K). Trong nhóm GL(n, K) người ta còn xét nhóm con trực giao 8
0(n, K) = {a|aa' = e} và với K = c, người ta cũng xét nhóm Unhita: 1 U(n)= {ai aã" = e}. Cuối cùng 2 ƯT(n, K) = ư r '(li, K) ^ ưr (n. K) ^ ... n trong dó ư T ( n , K) là tập hợp tất cả các ma trận thuộc nhóm UT(n, K) với m - Ì phần từ không ở góc trên đường chéo chính. 3. Tập hợp sinh. Dễ thấy rằng, giao của một họ tùy V các nhóm con của một nhóm là nhóm con của nhóm đó. Giả sử s là tập con tùy ý của nhóm G. Khi đó giao của tất cả các nhóm con chựa s cùa G là một nhóm con chựa s của G. Nhóm con đó được gọi là nhóm con sình bởi tập hợp s, và được kí hiệu < s >; còn s được gọi là tập hợp sinh và các phần tử của s được gọi là phàn tử sinh. Từ định nghĩa trực tiếp suy ra: Nếu s là tập con của nhóm G thì = {af'a^.-.a^ lai € S,Sị =± l . m = 1,2, ...} Sau đây là tập sinh của một số lớp nhóm đã trình bày trong 6- §1. (1) z =< ì > Z(n) = < Ì (modn) > (n)= ^ | n = l,2,...Ị (2) Z*= Q* = < - 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , " l i , . . . > GF(q)* = < ạ > q C(n) = < a > n ;> C(p ) = < a , | m = l , 2 . . . > / n t í q 1 trong đó là căn nguyên thủy của phương trình x = Ì trong trường «|—Ì, , _ _ 2K . . lit GF(q), a = C O S — n + ism—. n n (3) Từ hệ thực (ij) = ( l i ) ( l j ) ( l i ) suy ra S(n) = < (12), ( 1 3 ) , ( ỉ n ) > Từ hê thực (ij)(ik) = (ijk), (ij)(kl) = (Ilj)(jkl) suy ra A(n) = < (ijk) >. 9
4. Nhóm Fratxinhi. Giả sử ơ là họ các nhóm con nào đó của nhóm G. Khi đó nhóm con H của G được gọi là nhóm con tối đại của họ ơ nế u H e ơ và từ các điều kiện H Q H ' Q . G với H' e ơ suy ra H e ơ . Nếu ơ là họ tất cả các nhóm con của nhóm G thì H được gọi là nhóm con lối đại của G. Một nhóm có thể không có nhóm con tối đại, chẳng hạn nhóm cộng các số hữu tỷ Q. Nhóm con Fratxinhi O(G) là giao các nhóm tối đại của G nế u giao đó tồn tại và là G trong trường hợp ngược l ạ i . Phần tử xe G được gọi là phần tử vô sinh của G, nế u từ < x,s > = G suy ra < s> = G. Định lý 1. Tập hợp M tất cả các phàn tử vô sinh của G trùng với nhóm con Fratxinhi 0(G). Chứng minh. i) M C O(G). Thật vậy, nế u G không có nhóm con tối đại, thì điều phải chứng minh là hiển nhiên. Giả sử xe M và H là nhóm con tối đại tùy ý của G. Nế u X Ể H thì, < X, H > = G, < H > 56 G. Điều này mâu thuẫn với giả thiết xe M . Do đó X€ H nên xe O(G). ii) (G) c M. Giả sử ngược lại, tồn tại phần tử xe = G nhưng < s > * G. Theo bổ đề Zoóc, tồn tại nhóm con H, tối đại trong họ các nhóm con chứa s nhưng không chứa X. Rõ ràng, tất cả các nhóm con này là nhóm con tối đại, nhưng khi đó chúng thuộc O(G), và do đó chứa X, mâu thuẫn. Định lý được chứng minh. • Sau đây là một số thí dụ về nhóm con Fratxinhi của các nhóm quen thuộc đã trình bày trong 6-§l. (1) Trong nhóm z, các nhóm con < p > là nhóm con tối đại với mọi số nguyên tố p, nên O(Z) = 0. Dễ dàng chứng tỏ rằng mọi phần lử của Q đều là phần tử vô sinh, nên 0 ( 0 ) = Q. n (2) Bởi vì C(p°°) = Ũ C(p ) nên mọi phần tử thuộc C(p°°) đều là phần x tử vô sinh, do đó 0(C(P°°)) = C(p°°). (3) Dễ dàng kiểm tra được rằng, các nhóm con Hi của nhóm S(n), gồm 10
tất cả các phép thế không xuất hiện kí hiệu í, là các nhóm con tối đại của Sin). Vì Hi n Hí n ... n H = {e}.nên 0(S(n)) = { e } . n Tương tự 0(A„) = { e } . (4) Tách trong nhóm UT(n, Z) các nhóm con Hip , bao gồm từ các ma trận X với điều kiên Xi ,i 1 e < p >, trong đ ó Ì < i < n - Ì, p là số n g u y ê n tố. + Klii đó Hip là nhóm con tối đại của ƯT(n, Z). Bởi vì giao của tất cả nhóm 2 2 con dạng Hip được chứa trong ƯT (n, Z) nên a>(ƯT(n, Z)) Q ưr (n, Z) cũng dễ thấy ưr (n, Z) c 0(ƯT(n, Z)) nên 0(ƯT(n, Z)) = ư r ( n , Z). 2 2 5. Nhóm xyclic. Nhóm con (a), được sinh bởi chỉ một phần tử a, được gọi là nhốmrxycíic. Theo nhận xét trên, ta có n < a > = {a Ị n = 0 , ± l , ± 2 , ... } Trong thí dụ Ì ở tiết trước, ta đã chứng minh được z và Z(n) là những nhóm xyclic. Thực ra, các nhóm này vét kiệt các nhóm xyclic. Cụ thể là: Mọi nhóm xyclic vô hạn đề.u đẳng cấu với Zvà mọi nhóm xyciic hữu hạn cấp n đều đẳng cấu với Z(n). Ngoài ra, cũng dễ thấy rằng: nhóm con vá nhóm thương của nhóm xyciic là nhóm .xycííc. Nh'>m G được gọi là nhóm xyclic địa phương nếu mọi nhóm con hữu hạn sinh của G là nhóm con xyclic. Chẳng hạn: nhóm công các s ố hữu ti Q và nhóm nhân C(p°°) là nhóm xyclic địa phương. Nói riêng, lớp nhóm này không thừa nhận một tập sinh hữu hạn. 6. Lớp ghép. Với mỗi nhóm con H của nhóm G, ta xét tập hợp gH = {gh I he H} với ge G Chúng được gọi là lớp ghép trái cùa nhóm G theo nhóm con H. Tương tự có thể định nghĩa lớp ghép phải Hg. M ỗ i phần tử của lớp đó được gọi là phan tử đại diện của lớp ấy. Dễ thấy 1 aH = bH
phải đã định nghĩa ở trên. M ặ t khác, tương ứng g H
(4) Vì det(ab) = det(a).det(b), nên s u n , K)
Nếu C(G) = { e } thì G được gọi là nhóm không tâm. C á c thí dụ. (1), (2): Nhóm cộng tính hay nhân tính của một trường là nhóm Aben nên chúng có tâm trùng với các nhóm đó. (3) Vì Sọ và A là các nhóm Aben nên C(Sọ) = Sĩ và C(Ạj) = Ạ j . 3 Với n > 3 thì Sn là nhóm không tâm. Với n > 4 thì A i là nhóm không tâm. (4) Nếu K là trường thì tâm của các nhóm GL(n, K) và SL(n, K) là nhóm các ma trận vô hướng. Tâm của nhóm UT(n, K) là nhóm ÚT" "'(ri, K). Vì D(n, K).là nhóm Aben nên tâm của nhóm D(n, K) trùng với chính nhóm đó. 8. Hoán tập. Giả sử a và b là hai phần tử tùy ý thuộc nhóm G. Khi đó phần tử a 'b^ab được gọi là hoán rá của a và b, và được kí hiệu là [a,bỊ. Nhóm con của G sinh bởi các hoán tử của G được gọi là hoán tập của nhóm G và được kí hiệu là [G, G]. Từ định nghía suy ra ràng G là nhóm Aben khi và chắ khi [G,G] = { e } . Giả sử L và M là các tập của nhóm G. Kí hiệu [L, M l = < [a,b]! ae L, be M > Chú ý rằng [a,b] = [a\ b ], ta có tu M] là nhóm con chuẩn tắc của G. x x Nói riêng: [G, G] là nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu sử dụng các kí hiệu [G,G] = ơ , [G\G] = G", ... thì ta được dãy nhóm con chuẩn tắc giảm trong G: G p ơ p G"
Bài tập 1. G i ả sử A,B [à các nhóm con của G. a) Chứng minh rằng AB là nhóm con của G khi và chỉ khi AB = B A b) Chứng minh I A : A n B ị < I G : B Ị. •Aị.lBl c) Nếu A, B hữu hạn, hãy chứng minh Ị AB I ị A n BỊ d) G i ả sử A l à nhóm con của B. Chứng minh ràng A : B i và Ị B:A; hữu hạn khi và chỉ khi ! G : A Ị hữu hạn, hơn nữa Ị G : A | = |G:B|.iB:AI e) Chứng minh rằng: giao của một hữu hạn c á c nhóm con với chỉ số hữu hạn l ạ i là một nhóm con với chỉ số hữu hạn. 0 Giả sử A là nhóm con với chỉ số hữu hạn của G. Chứng minh Pl A x .veG là nhóm con chuẩn tắc với chỉ số hữu hạn của G. 2. Chứng minh rằng nhóm cộng các số hữu tư Q không có nhóm con thực sự vói chỉ số hữu hạn. 3. a) Chứng minh rằng nếu A