Giáo trình - Nhiệt động lực học - chương 4

Chia sẻ: Lit Ga | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

256
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4 QUÁ TRÌNH LƯU ĐỘNG VÀ TIẾT LƯU Trong các chương trước, ta đã nghiên cứu các quá trình cơ bản của khí và hơi chỉ hạn chế trong các quá trình thuận nghịch mà không xét đến vận tốc của dòng môi chất. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hai quá trình khác trong hệ thống hở, có chú ý đến sự chuyển động vĩ mô của dòng môi chất; đó là quá trình lưu động và tiết lưu, trong đó quá trình tiết lưu còn được xem là quá trình không thuận nghịch. A. QUÁ TRÌNH...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình - Nhiệt động lực học - chương 4

Chương 4 QUÁ TRÌNH LƯU ĐỘNG VÀ TIẾT LƯU Trong các chương trước, ta đã nghiên cứu các quá trình cơ bản của khí và hơi chỉ hạn chế trong các quá trình thuận nghịch mà không xét đến vận tốc của dòng môi chất. Trong chương này ta sẽ nghiên cứu hai quá trình khác trong hệ thống hở, có chú ý đến sự chuyển động vĩ mô của dòng môi chất; đó là quá trình lưu động và tiết lưu, trong đó quá trình tiết lưu còn được xem là quá trình không thuận nghịch. A. QUÁ TRÌNH LƯU ĐỘNG 4.1. Những khái niệm cơ bản Trong kỹ thuật, quá trình lưu động được ứng dụng rất rộng rãi, như khi nghiên cứu dòng môi chất trong quạt, máy nén, tuabin khí, tuabin hơi, động cơ phản lực, tên lửa, v.v… Trong quá trình lưu động, vận tốc và áp suất môi chất thay đổi; qua ống tăng tốc, vận tốc của dòng môi chất tăng, áp suất giảm; qua ống tăng áp, áp suất của môi chất tăng, vận tốc của dòng môi chất giảm. 4.1.1. Những giả thiết khi nghiên cứu quá trình lưu động 1. Giả thiết đầu tiên là lưu lượng khối lượng của dòng môi chất qua mọi tiết diện của ống dẫn đều bằng nhau và không thay đổi theo thời gian; giả thiết được biểu thị bằng phương lưu động và ổn định: f1ω1 fω fω = 2 2 =…= G= = const (4-1) v v1 v2 hoặc G = ρ1f1ω1 = ρ 2 f 2 ω2 = … = ρfω = const (4-1’) Trong đó: G – lưu lượng khối lượng của dòng môi chất kg/s hoặc kg/h; f1 ; f 2 ; …, f - diện tích tiết diện của dòng ở cửa vào, cửa ra hoặc ở một tiết diện bất kỳ (m2); I II ω1 , ω2 , …, ω - vận tốc trung bình của dòng môi chất ở các tiết diện tương ứng (m/s); ω+dω ω v1 , v 2 ,…, v và ρ1 , ρ 2 ,…, ρ - thể tích riêng và khối lượng riêng của môi chất ở các tiết diện tương ứng; m3/kg và kg/m3. II I Hình 4-1. Lưu động liên tục và ổn định 51 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Phương trình trên được xây dựng như sau: lưu lượng môi chất vào tiết diện I là ρfω , ra khỏi ∂ tiết diện II là ρfω + (ρfω) dx. ∂x Trong một đơn vị thời gian, khối lượng môi chất giữa hai tiết diện tăng lên. ∂ ∂ (ρfω) = ρfω - [ ρfω + ( ρfω ) dx] ∂t ∂x ∂ ∂ ( ρfω ) + (ρf ) = 0 (a) hoặc: ∂x ∂t Phương trình (a) là phương trình liên tục của dòng lưu động một chiều. ∂ Trong điều kiện lưu động ổn định thì = 0, nên ta có: ∂t d ( ρfω ) = 0 (b) dx Và ρfω = const (c) Nên (c) hoặc 4.1 (a); 4.1 (b) là phương trình lưu động liên tục và ổn định. 2. Giả thiết thứ hai là vận tốc trên mọi điểm của cùng một tiết diện đều bằng nhau và bằng vận tốc trung bình trong tiết diện đó. Thực ra, trên cùng một tiết diện, vận tốc rất khác nhau, ở sát vách bằng không, ở tâm ống vận tốc thường là lớn nhất. 3. Giả thiết thứ ba là môi chất lưu động trong điều kiện đoạn nhiệt thuận nghịch, nghĩa là trong quá trình lưu động không có hiện tượng ma sát, hiện tượng xoáy, v.v… và không trao đổi nhiệt với môi trường xung quanh; như vậy trong quá trình lưu động ds = 0; s = const và trên các đồ thị T – s; i – s được biểu thị bằng một đoạn thẳng song song với trục tung. 4.1.2 Tốc độ truyền âm và trị số Mach Khi khảo sát quá trình lưu động, người ta thường dùng đến tốc độ truyền âm a, cũng tức là tốc độ lan truyền các chấn động nhỏ trong môi trường. Trường hợp chung, theo khí động học ta có: ∂p a= (4-2) ∂ρ Với quá trình lưu động đoạn nhiệt thuận nghịch ta có: kp a= (4-2a) ρ a = kpv hoặc: (4-2b) Với khí lý tưởng còn có thể viết: a = kRT (4-2c) 52 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Ở đây: p – áp suất tuyệt đối ρ và v - khối lượng riêng và thể tích riêng R - hằng số chất khí T - nhiệt độ tuyệt đối k - số mũ đoạn nhiệt Nếu nguồn tạo chất động nằm trong dòng môi chất chuyển động với vận tốc ω, thì tốc độ truyền âm thanh theo dòng môi chất là và ngược chiều dòng môi chất là (a - ω ). Hình 4.2 biểu thị các trường hợp truyênd âm trong môi trường tĩnh và môi trường chuyển động ngược chiều truyền âm sau khi âm thanh phát ra 2 giây. Hình 4.2a biểu thị truyền chấn động trong môi trường tĩnh; 4.2b - truyền chấn động trong môi trường chuyển động với vận tốc dưới âm;4.2c - truyền chấn động trong môi trường chuyển động với vận tốc truyền âm; 4.2d - truyền chấn động trong môi trường chuyển động với vận tốc siêu âm. Vùng tĩnh Vùng tĩnh Vùng động Vùng động 2.1 1.2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 d b c a Hình 4-2. Truyền chấn động trong môi trường tĩnh và động Từ 4.2c và d ta thấy: trong dòng truyền tồn tại vùng yên lặng xác định bởi hình côn Mach, nghĩa là khi dòng chuyển động với vận tốc lớn hơn hoặc bằng tốc độ truyền âm thì trong dòng môi chất tồn tại một vùng mà sự chấn động nhỏ hoặc âm thanh không thể truyền tới được. Từ các công thức (4-2a, b và c) ta thấy tốc độ truyền âm a phụ thuộc vào bản chất (k và R) và thông số (p, V hoặc T …) của môi chất; đối với khí lý tưởng ta thấy khi nhiệt độ của môi chất giảm thì tốc độ truyền âm trong môi chất đó cũng giảm. Khi khảo sát sự chuyển đọng của dòng môi chất, người ta còn dùng một đại lượng khác do nhà vật lý Mach người Áo đề xuất, đó là trị số Mach: ω M= (4-3) a Trị số Mach M là tỷ số giữa vận tốc của dòng ω với tốc độ truyền âm a trong môi trường đó. Với dòng dưới âm M < 1; với dòng siêu âm M > 1 và khi M = 1 thì vận tốc của dòng bằng tốc độ truyền âm thanh trong môi trường đó. 53 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
4.2. MỘT SỐ CÔNG THỨC CƠ BẢN Dưới đây giới thiệu một số công thức cơ bản dùng cho khí lý tưởng cũng như khí thực khi lưu động qua ống tăng tốc cũng như ống tăng áp. 4.2.1. Quan hệ giữa sự thay đổi vận tốc với sự thay đổi áp suất So sánh hai dạng của phương trình định luật nhiệt động I: dω2 dq = di – vdp = di + 2 dω2 = - vdp hoặc ωdω = - vdp Ta được: (4-4) 2 Từ các công thức (4-4) ta thấy dω và dp luôn ngược dấu nhau, vì ω và v luôn luôn dương có nghĩa là trong dòng môi chất lưu động, khi vận tốc tăng (trong ống tăng tốc) thì áp suất giảm và khi áp suất tăng (trong ống tăng áp) thì vận tốc của dòng giảm. Cũng lưu ý là, khi qua ống tăng tốc, không những áp suất mà nhiệt độ của môi chất cũng giảm, vì lưu động được coi là đạon nhiệt thuận nghịch, nên: T2/T1 = (p2/p1)(k - 1)/k ; mà khi nhiệt độ giảm thì theo 4.2c, tốc độ truyền âm trong đó cũng giảm. 4.2.2. Quan hệ giữa sự thay đổi vận tốc với sự thay đổi mật độ 1 Từ công thức (4-4), nếu thay v= ta được: ρ dp ωd ω = - ρ dp dρ và có thể viết: ωdω = . (a) dρ ρ Thay a từ công thức (4-2) vào ta được: dρ ωdω = -a2 (b) ρ Thay trị số M vào thì được; dρ dω = - M2 (4-5) ω ρ Từ công thức (4-5) có thể rút ra kết luận: 1. d ω và d ρ luôn ngược dấu nhau; vì M2, ρ và ω luôn luôn dương, như vậy khi vận tốc của dòng tăng (trong ống tăng tốc) thì mật độ giảm và ngược lại. 54 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2. Trường hợp trị số M rất nhỏ, nghĩa là khi vận tốc của dòng nhỏ hơn rất nhiều so với tốc độ dρ truyền âm, thì có thể coi = 0, nghĩa là coi môi chất là không nén được. ρ 4.2.3. Quan hệ giữa sự thay đổi vận tốc với sự thay đổi tiết diện Ta lấy lôgarit phương trình lưu động liên tục và ổn định rồi vi phân, ta được: dρ dω df + + = 0 (4-6a) ω ρ f Từ đó ta có các nhận xét: dρ 1. Với chất lỏng không nén được, tức = 0, ta có: ρ dω df =- (4-6b) ω f Như vậy là đối với chất lỏng không nén được khi qua ống tiết diện giảm dần thì vận tốc của dòng tăng lên và ngược lại. 2. Đối với chất lỏng nén được ta thay công thức (4-5) vào (4-6a) được: dω df dω M2 - + + =0 ω ω f dω df = (M2 - 1) hoặc (4-6c) ω f ω1 < a ω2 < a ω1 < a ω2 < a Ống tăng tốc Ống tăng áp Hình 4-3. Hình dạng ống có dòng dưới âm ω1 > a ω2 > a ω2 > a ω1 > a Ống tăng tốc Ống tăng áp Hình 4-4. Hình dạng ống có dòng trên âm 55 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Ta thấy dấu của df và d ω tuỳ thuộc vào dấu của (M2 - 1) vì f và ω luôn dương, do đó có thể rút ra một số kết luận: a. Trong phạm vi M2 – 1 < 0 tức M < 1 thì df và d ω luôn ngược dấu nhau, giống như đối với chất lỏng không nén được. như vậy, đối với dòng dưới âm cũng như dòng chất lỏng không nén được, ống tăng tốc có tiết diện nhỏ dần và ống tăng áp có tiết diện lớn dần (Hình 4.3a, b). b. Đối với dòng siêu âm, M > 1 thì có kết luận ngược lại: df và d ω luôn luôn cùng dấu, nghĩa là ống tăng tốc có tiết diện lớn dần và ống tăng áp có tiết diện nhỏ dần (Hình 4.3a, b). dω df là hữu hạn chỉ với điều kiện = 0, cho nên với ống tăng tốc đưa c. Khi M = 1 thì ω f từ vận tốc dưới âm thanh thành siêu âm thì phải có “cổ ống” mà một bên có tiết diện nhỏ dần và bên kia có tiết diện lớn dần. Khi ống tăng tốc làm việc bình thường thì vận tốc của dòng ở cổ ống bằng tốc dộ truyền âm trong môi trường đó. d. Chỉ nhìn hình dạng của ống không đủ kết luận là tăng tốc hay tăng áp mà phải kết hợp xem vận tốc của dòng khi vào ống là dưới âm hay siêu âm. 4.2.4. Vận tốc và lưu lượng của dòng Vận tốc và lưu lượng của dòng là hai đại lượng rất cần xác định khi nghiên cứu quá trình lưu động trong ống tăng tốc hay tăng áp. a. Vận tốc của dòng Từ công thức (4-4) ta có: d ω 2/2 = - vdp; Ta cũng đã có: đlkt = - vdp dω2 Do vậy: = đlkt (4-7a) 2 Lấy tích phân (4-7a) được: ω2 - ω1 = 2lkt12 2 (4-7b) 2 Từ đó có : ω 2 = 2lkt12 + ω1 2 (4-7c) Ở đây: ω 1 - vận tốc của dòng ở cửa vào của ống; m/s; ω 2 - vận tốc của dòng ở cửa ra mà cũng có thể ở một vị trí bất kỳ nào của ống; m/s; lkt12 - công kỹ thuật của môi chất trong quá trình lưu động đoạn nhiệt; J/kg. Các công thức trên đúng cho cả ống tăng tốc và ống tăng áp. 56 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
b. Lưu lượng của dòng Theo điều kiện lưu động liên tục và ổn định thì lưu lượng qua mọi tiết diện đều bằng nhau và bằng một số không đổi, nên chỉ cần tính lưu lượng qua một tiết diện nào đó mà thấy thuận lợi nhất. Công thức chung để tính lưu lượng khối lượng là các công thức (4-1a, b), chỉ cần lưu ý là khi đã chọn một tiết diện fi nào đó, thì phải lấy các thông số vi, ρi cũng như vận tốc ωi tại tiết diện đó. 4.3. ỐNG TĂNG TỐC Ống tăng tốc là ống mà khi môi chất lưu động qua nó thì vận tốc tăng. Để xác định đúng không phải nhìn hình dạng ống mà phải biết chắc chắn rằng ở đó dòng môi chất có vận tốc luôn luôn tăng lên. Theo hình dạng có thể chia làm ba loại ồng tăng tốc (Hình 4.5) 1. Ống tăng tốc nhỏ dần: loại này có tiết diện giảm dần, tức là df < 0. Từ công thức (4- 6c) ta thấy, ống tăng tốc nhỏ dần chỉ có thể làm việc với M < 1, nghĩa là chỉ có thể dùng cho dòng dưới âm. Nếu dòng siêu âm vào ống có tiết diện nhỏ dần thì vận tốc sẽ giảm, áp suất tăng, như vậy ống trở thành ống tăng áp. p1 i 1 t1 p2 i1 i2 x=1 2 a b c s1=s2 s Hình 4-5. Các dạng ống tăng tốc Hình 4-6. Quá trình lưu động của ống tăng tốc trên đồ thị i-s 2. Ống tăng tốc lớn dần: loại này có tiết diện tăng dần, tức là df > 0, nó chỉ làm việc với dòng có M > 1, nếu dòng vào có M < 1, sẽ biến thành ống tăng áp. Ống tăng tốc lớn dần ít gặp trong thực tế. 3. Ống tăng tốc hỗn hợp: còn gọi là ống tăng tốc Laval, do một đoạn ống tăng tốc nhỏ dần ghép với một đoạn ống tăng tốc lớn dần. Chỗ ghép có tiết diện nhỏ nhất gọi là cổ ống. Ống tăng tốc hỗn hợp được dùng khá rộng rãi vì có thể dùng cho vận tốc dòng từ dưới âm, thậm chí môi trường tĩnh đến vận tốc siêu âm. Ba loại ống tăng tốc trên tuy có hình dạng khác nhau, làm việc trong phạm vi vận tốc khác nhau, nhưng có đặc điểm giống nhau: qua ống, vận tốc dòng luôn luôn tăng lên, môi chất thay đổi theo quy luật quá trình đoạn nhiệt thuận nghịch, có thể dùng các công thức cũng như đồ thị khi tính quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch của khí lý tưởng hoặc khí thực. Hình 4.6 biểu thị quá trình lưu động trên đồ thị i – s, giao điểm của các đường p1 và t1 xác định trạng thái môi chất vào ống, còn p2 là áp suất của môi chất ở cửa ra của ống. Ta thấy qua ống tăng tốc, ẻntopi không đổi, vận tốc tăng, áp suất, nhiệt độ, entanpi và vận tốc truyền âm trong đó đều giảm. 57 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
4.3.1. Ống tăng tốc nhỏ dần Là ống tăng tốc có tiết diện giảm dần, df < 0, nó chỉ làm việc với môi chất không nén được hoặc môi chất nén được trong phạm vi M < 1. a. Vận tốc của dòng Đối với ống tăng tốc, vận tốc cửa vào nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ở cửa ra, nhiều khi bằng không, nên công thức (4-7c) có thể viết thành: ω2 = 2l kt ; m/s (4-9a) lkt – công kỹ thuật trong quá trình lưu động, tức quá trình giãn nhở đoạn nhiệt. Thay giá trị của lkt = i1 – i2 vào (4-9a) được: ω2 = 2(i1 − i 2 ) ; m/s (4-9b) Công thức (4-9b) dùng được cho cả khí thực và khí lý tưởng nhưng hay dùng cho khí thực với việc sử dụng đồ thị i – s hoặc bảng số. Chú ý là trong công thức lấy i theo đơn vị J/kg, nếu dùng đơn vị kJ/kg như trong các bảng thì: ω2 = 44,8 i1 − i 2 ; m/s (4-9c) Nếu thay lkt của khí tưởng vào ta được:   p  ( k −1) / k  k p1 v1 1 −  2   ; (m/s) ω2 = 2 (4-9d)  k −1   p1     Có thể thay: p1v1 = RT1 và được ( k −1) / k  p   k RT1 1 −  2   ; (m/s) ω2 = (4-9đ) 2  k −1   p1     Các công thức (4-9a, b, c và d) dùng để tính vận tốc của dòng ở cửa ra của ống tăng tốc, trong đó p2, i2 … là thông số của môi chất ở cửa ra của ống, không phải là của môi trường sau ống. Nếu thay thông số ở một tiết diện bất kỳ, sẽ tính được vận tốc của dòng ở tiết diện đó. Quan hệ giữa ω2 với p2/p1 theo (4-9d) có thể biểu diễn trên hình 4-7. Ta thấy vận tốc của dòng phụ thuộc vào bản chất (k, R), vào thông số ban đầu (p1, v1, T1…) đặc biệt phụ thuộc rất nhiều vào mức độ giãn nở β = p2/p1. pc Khi β = 1 thì ω2 = 0, β giảm đến giá trị tới hạn β c = thì ω2 bằng vận tốc truyền âm, p1 thường gọi là vận tốc tới hạn, ký hiệu bằng ωc và β c gọi là tỉ số áp suất tới hạn. 58 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ωmax Nếu β có thể tiếp tục giảm thì ω2 tiếp tục tăng, nếu ωc β=p2/p1 β → 0 thì: k ω2 → ωmax = 2 p1v1 ; m/s (4-10) k −1 βc 1β Hình 4-7. Quan hệ giữa ω2 và Trong thực tế, đối với ống tăng tốc nhỏ dần, β không p /p thể giảm đến 0, mà chỉ giảm đến β c , nên vận tốc dòng cũng chỉ có thể tăng từ 0 đến vận tốc tới hạn ωc mà không thể đạt được ωmax . Tỷ số áp suất tới hạn: k  2  k −1 βc =   (4-11)  k +1 Được chứng minh như sau:   k −1 k Ta có: ωc = p 1v 1  1 − β c k  2 (a) k −1   2  pc v c k −1 1 − β c k  = hay (b) k − 1  p 1v 1 Theo quá trình đoạn nhiệt: p1v1k = pcvck ta có: k −1 k −1 k −1 p c v c  v1  p  k =  = c  = βc k (c) p  p1 v1  v c   1  Thay (c) vào (b) được: 2 (1 − β c ) k  k −1 β (ck −1) / k = (d) k −1     Và cuối cùng được tỉ số tới hạn: k / ( k −1) 2 βc =    k +1 Từ công thức (4-11) ta thấy: tỷ số áp suất tới hạn βc chỉ phụ thuộc vào bản chất của môi chất (phụ thuộc k). Đối với khí lý tưởng: 1 nguyên tử với k = 1,67, ta có βc = 0,484 2 nguyên tử: k = 1,4 và βc = 0,528 3 nguyên tử trở lên: k = 1,3 và βc = 0,546 59 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Với hơi nước bão hòa khô, có thể lấy gần đúng k = 1,135 và βc = 0,577. Với hơi nước bão hòa ẩm có k = 1,035 + 0,1.x khi x ≥ 0,7; nếu x = 0,7 thì k = 1,105 và βc = 0,583. Với hơi nước quá nhiệt k = 1,3; βc = 0,55. Khi không cần tính chính xác, có thể lấy βc xấp xỉ 0,5 nghĩa là qua ống tăng tốc nhỏ dần, áp suất không thể giảm xuống quá 1/2. Khi đạt đến βc , ta tính được vận tốc tới hạn: ωc = 2 ( i1 − i c ) ; m/s (4-12a) Hoặc thay trị số βc vào (4-9d) được: k ωc = 2 p1v1 ; m/s (4-12b) k +1 hoặc: k ωc = 2 RT1 ; m/s (4-12c) k +1 Trong đó: ic – entanpi của môi chất ở trạng thái tới hạn, xác định theo pc = β c p1 và sc = s1. b. Lưu lượng dòng Từ phương trình lưu động liên tục và ổn định: f1ω1 f 2ω2 fω G= = = ... = = const ; kg/s v1 v2 v Thay giá trị của vận tốc và thông số trạng thái vào tiết diện tương ứng bất kỳ, sẽ tính được lưu lượng qua tiết diện đó, mà cũng là lưu lượng của dòng, thường tính theo cửa ra của ống. Thay (4-9b) vào (4-1a) được: f 2 2 ( i1 − i 2 ) G= ; kg/s (4-13a) v2 Ở đây: i1, i2 và v2 là thông số môi chất ở cửa vào và ra của ống tăng tốc, xác định theo quá trình giãn nở đoạn nhiệt trên cơ sở biết thông số của trạng thái đầu (vídụ p1 và t1) và một thông số ở trạng thái cuối thí dụ p2 và s2 = s1. Nếu thay (4-9d) vào (4-1a) ta có: 1 1/ k k p1v1 1 − β( k −1/ k )  G = f2 β 2   k −1 v1 60 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Sau khi biến đổi ta được: k p1  2 / k ( k +1) / k  G = f2 2 β − β  ; kg/s (4-13b) k − 1 v1 Ở đây: f1, ω1 , p1, v1… - các đại lượng ở cửa vào của ống tăng tốc; f2, ω2 , p2, v2… - các đại lượng tương ứng ở cửa ra của ống tăng tốc; có thể thay bằng các đại lượng ở một tiết diện tương ứng bất kỳ. G Gmax Từ các công thức (4-13a, b) ta thấy: lưu lượng khối lượng G phụ thuộc vào diện tích tiết diện ống, bản chất môi chất, thông số ban đầu và mức độ giãn nở của môi chất. Qua một ống tăng tốc xác định và môi chất có thông số ban đầu xác định, thì G chỉ phụ thuộc vào β và quan hệ đó có thể biểu diễn 0 βc β 1 trên hình 4.8. Hình 4-8. Quan hệ G theo β Ta thấy khi β = 1 thì G = 0, β giảm thì G tăng từ 0 đến một giá trị Gmax rồi lại giảm đến 0 khi β = 0. Ta có thể xác định được Gmax nếu lấy đạo hàm bậc 1 của G theo β cho bằng 0 và đạo hàm bậc hai âm; giải ra ta được Gmax tương ứng với: k  2  k −1 β=  = βc  k +1 Như vậy lưu lượng đạt đến giá trị cực đại với tỷ số áp suất tới hạn. Thay giá trị của βc vào (4-13a và b) được: f 2 2 ( i1 − i c ) G max = ; kg/s (4-14a) vc và 2 / ( k −1) k p1  2  G max = f 2 2   ; kg/s (4-14b) k + 1 v1  k + 1  c. Khảo sát ống tăng tốc nhỏ dần theo áp suất của môi trường sau ống p’2 Trong khi tính toán cần biết thông số môi chất ở cửa ra của ống, nhưng thường lại dễ biết áp suất của môi trường sau ống p’2, do vậy phải biết xác định p2 theo p’2. Cho môi chất có thông số ban đầu p1, v1,…qua ống tăng tốc nhỏ dần phun vào môi trường có áp suất p’2 điều chỉnh được bằng bơm chân không (hình 4-9). Ta thấy khi β' giảm từ 1 đến βc thì ω tăng từ 0 61 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
đến ωc và G tăng từ 0 đến Gmax giống như các công thức trên, nhưng khi β' giảm từ βc đến 0 thì vận tốc và lưu lượng giữa giá trị ωc và Gmax không đổi, khác với các quan hệ trong các công thức. Điều này thực ra không phải là mâu thuẫn giữa lý thuyết và thực tế, vì trong các công thức trên p2 là áp suất của môi chất ở cửa ra của ống tăng tốc, còn p’2 là áp suất của môi trường sau ống. Ta biết rằng sự giảm áp suất ở môi trường phía sau lan truyền vào ống tăng tốc với vận tốc tuyệt đối bằng ( a − ω2 ) , khi p2/p1 đạt đến trị số tới hạn, ω2 = a thì a - ω2 = 0, nghĩa là sự giảm áp suất trong môi trường sau ống không thể lan truyền vào trong ống được, nên mặc cho p’2 giảm xuống, thậm chí cho đến 0 thì p’2 vẫn giữ bằng pc, và vận tốc vẫn giữ giá trị ωc , lưu lượng vẫn giữ giá trị Gmax không đổi. Hình 4-9. Khảo sát ống tăng tốc nhỏ dần theo áp suất môi trường sau ống p’2 Như vậy khi biết áp suất p’2 của môi trường sau ống, thì phải xác định p2 ở tiết diện cuối của ống tăng tốc như sau: Khi: p’2/p1 > βc lấy p2 = p’2 (4-15a) p’2/p1 = βc lấy p2 = p’2 = pc (4-15b) p’2/p1 < βc lấy p2 = βc p1 < p’2 (4-15c) 4.3.2. Ống tăng tốc hỗn hợp Ống tăng tốc hỗn hợp là ống tăng tốc có một đoạn ống nhỏ dần ghép với một đoạn ống lớn dần do kỹ sư Laval người Thụy Điển đưa ra sử dụng từ năm 1880, nên còn gọi là ống tăng tốc Laval. Dùng ống tăng tốc Laval có thể tạo thành dòng siêu âm từ một môi trường tĩnh hoặc từ vận tốc ban đầu rất thấp, do đó được sử dụng rất rộng rãi trong kỹ thuật. Để đảm bảo vận tốc của dòng ở hai đoạn ống luôn tăng lên thì ở cổ ống vận tốc phải bằng vận tốc tới hạn, tức bằng vận tốc truyền âm trong môi trường đó. Vì vậy, trong ống tăng tốc hỗn hợp chỉ có một chế độ làm việc, đó là điều khác biệt lớn so với ống tăng tốc nhỏ dần. 62 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
a. Quan hệ giữa các đại lượng ở cổ ống với các tiết diện bất kỳ Đối với ống tăng tốc hỗn hợp, các đại lượng ở cổ ống có thể xác định được và theo đó có thể xác định các đại lượng ở các tiết diện khác theo quy luật của quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch (hình 4-10) ta có: k +1 T = (4-16a) Tc ( k − 1) M 2 + 2 Hình 4-10. Quan hệ giữa các đại lượng ở cổ ống với tiết diện bất kỳ k / ( k −1) k / ( k −1)   p T k +1 =  =  (4-16b)  ( k − 1) M + 2  2 p c  Tc  1/ ( k −1)   1/ k ρ p k +1 =  =  (4-16c)  ( k − 1) M + 2  ρc  p c  2 1/ 2   ω k +1 = M  (4-16d)  ( k − 1) M + 2  ωc 2 ( k +1) / 2( k −1) ρc ωc 1  ( k − 1) M + 2  2 f = = (4-16đ)  ρ ω M k +1  f min Công thức (4-16a) có thể chứng minh như sau: Từ phương trình định luật nhiệt động I cho dòng: ω2 i+ = const (a) 2 Thay i = CpT đối với khí lý tưởng vào (a), lấy vi phân được; Cp dT + ωdω = 0 (b) hoặc: k RdT + ωdω = 0 (c) k −1 63 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
ω ω Thay M = = vào, ta được: a kRT dω 1 dT = (d) ω ( k − 1) M T 2 ω Mặt khác, lấy vi phân của lôgarit trị số Mach: M = được: kRT dω dM 1 dT = + (đ) ω M 2T So sánh (d) và (đ) rồi biến đổi được: 2 ( k − 1) MdM dT 2M.dM =− =− 2 (e) ( k − 1) M + 2 M +  2 / ( k − 1)  2 T   Lấy tích phân (e) từ trạng thái tới hạn tức M = 1, T = Tc đến trạng thái bất kỳ có M và T: T M dT MdM ∫ T = −2 ∫ M 2 +  2 / ( k − 1)   Tc 1  ( k − 1) M 2 + 2  / ( k − 1)  ( k − 1) M 2 + 2 M   2 2  T ln = − ln  M +  = − ln   = − ln   k − 1) + 2  ( k − 1)   ( k − 1 1 k +1  Tc   k +1 T = Do đó: và như vậy (4-16) đã được chứng minh. Tc ( k − 1) M 2 + 2 b. Vận tốc của dòng Ta có thể tính vận tốc của dòng ở các tiết diện bất kỳ theo các công thức chung (4-9a, b, c và d), riêng ở cổ ống còn tính theo vận tốc tới hạn (4-12a, b, và c), còn ở cửa ra của ống, nếu có thể giảm p2 → 0 thì ω2 có thể tăng đến ωmax và tính theo công thức (4-10). c. Lưu lượng Đối với một ống tăng tốc đã có, một trạng thái ban đầu của môi chất đã xác định, thì chỉ có một chế độ lưu động đảm bảo cho vận tốc của dòng ở cổ ống bằng vận tốc tới hạn. Nên tương ứng cũng chỉ có một lưu lượng. Lưu lượng của dòng ở mọi tiết diện đều bằng nhau, nên có thể tính với một tiết diện bất kỳ, kể cả miệng ra của ống theo các công thức (4-13a và b), cũng có thể tính theo công thức(4-14) nhưng thay bằng fmin. Ta có: 2 / ( k −1) 2k p1  2  G = f min   ; kg/s (4-14a) k + 1 v1  k + 1  hoặc: 64 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
f min . 2 ( i1 − i 2 ) ; kg/s G= (4-14b) vc d. Chọn kích thước ống tăng tốc hỗn hợp Thường cần xác định diện tích tiết diện cổ ống, cửa ra và chiều dài (hình 4.11a). Ta có thể tính diện tích tiết diện cổ ống tăng tốc hỗn hợp theo: G f min = ; m2 (4-17a) 2 / ( k −1) k p1  2  .  2 k + 1 v1  k + 1  hoặc: G.vc f min = ; m2 (4-17b) 2 ( i1 − i c ) Diện tích tiết diện cửa ra được tính theo: G f2 = ; m2 (4-18a) k  2/k ( k −1) / k  β − β 2  k −1 hoặc: G.v 2 f2 = ; m2 (4-18b) 2 ( i1 − i ) Hình 4-11a. Kích thước ống tăng tốc hỗn hợp hoặc: ωc v 2 f 2 = f min . . ; m2 (4-18c) ω2 v c Có fmin và f2 dễ dàng tìm được dmin và d2 nếu chọn tiết diện tròn hoặc các cạnh tương ứng nếu dùng tiết diện vuông hoặc chữ nhật. Để xác định chiều dài của ống thường yêu cầu tổn thất ma sát ít nhất mà cấu tạo lại đơn giản, nhỏ gọn nhất. Để tránh tổn thất do ma sát, quan hệ giữa tiết diện của ống và tiết diện bất kỳ phải thỏa mãn công thức (4-16d) và biểu thị trên hình 4-11a. Nhưng để chế tạo được dễ dàng phần nhỏ dần chỉ cần lượn tròn ở miệng vào, chiều dài không ảnh hưởng mấy, còn chiều dài phần lớn ảnh hưởng nhiều đến tổn thất năng lượng của dòng nên phải chọn góc loe hợp lý. Góc loe lớn, xoáy và ma sát nhiều, tổn thất nhiều, nhưng ống lại ngắn; góc loe nhỏ, tổn thất ít hơn nhưng ống lại dài; theo kinh nghiệm thường chọn góc α = 6 ÷ 120 . Sau khi chọn góc loe, chiều dài phần lớn được tính theo: d 2 − d min l= ;m (4-19) α 2tg 2 65 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
e. Ống tăng tốc xiên (cắt vát) Tức là ống tăng tốc có tiết diện cửa ra không thẳng góc với trục, dùng để phun môi chất vào cánh không cùng phương với ống tăng tốc ( hình 4-11b). p'2 < β , nó là một ống tăng tốc hỗn hợp đặc biệt, ở tiết diện thẳng góc Trong điều kiện p1 bé nhất CD, dòng môi chất đạt vận tốc tới hạn ωc , sau đó đạt vận tốc siêu âm nhưng dòng môi chất đi lệch với hướng trụ ống mô góc δ . Nếu gọi góc giữa trục ống với tiết diện ra là α , và góc giữa tiết diện ống với dòng ra là α ' , ta được: δ = α '− α (4-19b) α co thể đo được và α ' có thể tính theo α nhờ cac công thức: ωv f2 sin α ' = sin α = sin α c c (4-19c) ω2 v 2 f min Thực vậy, từ tam giác vuông CDE có: CE = CD / sin α = f min / sin α (a) từ tam giác vuông CEK ta có: Hình 4-11b. Ống tăng tốc xiên CE = EK / sin α ' = f 2 / sin α ' (b) So sánh (a) và (b) được: f min / sin α = f 2 / sin α ' (c) Mặt khác từ phương trình liên tục và ổn định, ta có: f min .ωc f 2 ω2 ωv f G= = = const và rút ra: 2 = c . 2 f min ω2 v c vc v2 Thay vào (c) ta được công thức (4-19c). v2 f min Vận tốc dòng ra khỏi ống: ω2 = ωc ' . . vc f 2 f. Tổn thất không thuận nghịch trong ống tăng tốc Ở trên ta giả thiết lưu động là quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch; nhưng thực tế thì vẫn không là thuận nghịch vì khó tránh khỏi hiện tượng xoáy, ma sát v.v… trong dòng, nhất là khi làm việ không theo đúng điều kiện thiết kế. Với ống tăng tốc nhỏ dần, tổn thất nhiều nhất là khi áp suất môi trường sau ống p’2 nhỏ hơn nhiều so với áp suất tới hạn, lúc đó phần trong ống làm việc bình thường, nhưng ra khỏi ống áp suât giảm đột ngột mà không biến thành động năng của dòng. 66 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
Với ống tăng tốc hỗn hợp phạm vi làm việc có thể chia thành ba vùng mà đường (1) và (3) là ranh giới (hình 4-12). Đường (1) biểu thị quá trình làm việc của ống tăng tốc đúng với điều kiện thiết kế, tiến hành theo quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch. Đường (3) cũng là quá trình giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch, nhưng phần nhỏ dần làm ống tăng tốc, môi chất giãn nở; còn phần lớn dần làm ống ăng áp, môi chất tiến hành theo quá trình nén đoạn nhiệt, áp suất tăng và vận tốc giảm, ở cổ ống vẫn đạt vận tốc tới hạn. Vùng giữa hai đường (1) và (3) là vùng làm việc không thuận nghịch. Khi vào ống, môi chất giảm áp suất đến áp suất tới hạn pc ở cổ ống và tiếp tục giảm, đến một tiết diện nào đó xuất hiện hiện tượng tăng Hình 4-12. Các trường hợp làm việc nhảy vọt, áp suất tăng đột ngột và sau đó làm việc của ống tăng tốc hỗn hợp như ống tăng áp. Vận tốc của dòng cũng tăng đến ωc ở cổ ống, tiếp tục tăng đến tiết diện có hiện tượng tăng nhảy vọt, thì giảm đột ngột từ vận tốc siêu âm đến dười âm. Ở vùng áp suất phía trên đường (3) thì đoạn nhỏ dần là ống tăng tốc, môi chất giãn nở đoạn nhiệt thuận nghịch, đoạn lớn nhất là ống tăng áp, môi chất bị nén đoạn nhiệt thuận nghịch, ở cổ ống chưa đạt đến trạng thái tới hạn. Ở vùng áp suất phía dưới đường (1) thì trong ống vẫn làm việc theo ống tăng tốc bình thường, nhưng khi ra khỏi ống, áp suất giảm xuống đột ngột, không biến thành động năng mà gây nên tổn thất không thuận nghịch. Như vậy, quá trình lưu động thực tế qua các đoạn ống tăng tốc đều là những quá trình đoạn nhiệt không thuận nghịch, biểu diễn bằng quá trình 1 – 2t trên đồ thị i- s (hình 4.13). Hình 4-13. Quá trình lưu động dòng thực tế Vận tốc thực tế của dòng là: ω2t = 2 ( i1 − i 2 ) ; m/s (4-20) Hình 4.13 biểu diễn quá trình lưu động thực tế. Ta thấy i2t > i2 nên ω2 t < ω2 và tỷ số: ω2 y =ϕ (4-21) ω2 ϕ - hệ số vận tốc, có thể xác định qua thực nghiệm, hệ số ϕ ≤ 1 . Do vận tốc của dòng giảm nên động năng của dòng cũng giảm. Ta có hiệu suất của ống tăng tốc bằng tỷ số giữa động năng thực tế với động năng lý thuyết: 67 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
2 ω2 / 2  ω2t  ηtt = 2t =  =ϕ 2 (4-22) ω2 / 2  ω2  2 B. QUÁ TRÌNH TIẾT LƯU 4.4. ĐẶC ĐIỂM CỦA QUÁ TRÌNH TIẾT LƯU Tiết lưu là hiện tượng của dòng môi chất lưu động qua một tiết diện thay đổi đột ngột (hình 4-14a), thí dụ như khi qua các van đóng mở trên đường ống, các xupap trong máy nén hoặc động cơ, các cửa nghẽn trong lưu lượng kế, van tiết lưu trong máy lạnh hoặc bơm nhiệt v.v… Qua quá trình tiết lưu áp suất của môi chất giảm, nhưng không sinh ngoại công mà gây nên tổn thất năng lượng. Sở dĩ áp suất giảm xuống vì khi tiết lưu tạo thành xoáy ma sát rất mạnh; vì vậy tiết lưu là một quá trình không thuận nghịch điển hình. Độ giảm áp suất phụ thuộc vào vận tốc và mức độ co giảm diện tích tiết diện của dòng môi chất. Quá trình tiết lưu tiến hành rất nhanh, nhiệt lượng trao đổi giữa môi chất và Hình 4-10. Hiện tượng tiết lưu môi trường nhỏ không đáng kể so với năng lượng của dòng, nên quá trình tiết lưu có thể xem là quá trình đoạn nhiệt, nhưng dòng không thuận nghịch nên không phải là quá trình đẳng entropi. Để xét thêm đặc điểm của quá trình tiết lưu, ta dùng phương trình định luật nhiệt động I: q = ∆i + l kt ; Vì không sinh công nên lkt = 0 và vì quá trình coi là đoạn nhiệt nên q = 0, và do đó quá trình tiết lưu: ∆i = 0 (4-23a) hoặc: i2 = i1 (4-23b) Như vậy, đặc điểm của quá trình tiết lưu đoạn nhiệt là entanpi của môi chất trước và sau tiết lưu bằng nhau (hình 4-14b). Cần lưu ý: vì quá trình tiết lưu là không thuận nghịch nên chỉ biểu diễn bằng những đường chấm giả thiết nối liền trạng thái trước và sau tiết lưu và cũng không thể xem tiết lưu là quá trình đẳng entanpi được. Trạng thái trước khi tiết lưu có thể được xác định bằng phương trình, bằng bảng hoặc đồ thị theo điều kiện đã cho, đối với đơn chất một pha cần biết hai thông số trạng thái đầu, còn trạng thái sau tiết lưu xác định theo đặc điểm i2 =i1 và một thông số cần phải cho, thí dụ như p2 hoặc t2. Khảo sát quá trình tiết lưu của hơi nước ta thấy: 68 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
1. Qua tiết lưu, áp suất giảm xuống, năng lượng bị tổn thất không sinh công. 2. Nhiệt độ thông thường giảm xuống, cũng có lúc không đổi, thậm chí tăng lên, nhưng entanpi trước và sau luôn luôn bằng nhau. 3. Độ khô của hơi bão hòa ẩm thường tăng, nhưng cũng có lúc không đổi, thậm chí giảm xuống. 4. Thường có thể đưa hơi bão hòa khô thành hơi quá nhiệt và độ quá nhiệt thường tăng mặc dù nhiệt độ của hơi thường giảm. Với những đặc điểm trên nên tiết lưu thường là hiện tượng có hại (tổn thất năng lượng) nhưng khó tránh khỏi như khi cần có van đóng mở v.v… nhưng cũng nhiều khi có lợi, được chủ động áp dụng như van tiết lưu để giảm nhiệt độ trong máy lạnh, trong thiết bị đo độ ẩm của hơi bão hòa hoặc đo lưu lượng của dòng v.v… HIỆU ỨNG JOULE – THOMSON Năm 1852 Joule – Thomson nêu lên quan hệ giữa sự thay đổi áp suất với nhiệt độ của môi chất qua quá trình tiết lưu như sau: dT = αdp (4-24a) Ở đây α là hệ số của hiệu ứng Joule – Thomson, có thể xác định theo phương trình vi phân của entanpi:   ∂v   di = Cp dT +  v − T    dp  ∂T p     Qua quá trình tiết lưu di = 0 nên ta được:    ∂v  v − T   .dp   ∂T p  dT = −  dp (4-24b) Cp So sánh (4-24a) và (4-24b) được:  ∂v   −v T  ∂T p α= (4-25) Cp Ta thấy, qua tiết lưu áp suất luôn luôn giảm, dp < 0, nên theo (4-24a) dấu của dT ngược với dấu của α ; mà α cùng dấu với:  ∂v   −v T  ∂T p Vì Cp luôn dương, do vậy, qua tiết lưu nhiệt độ sẽ giảm, tức dT < 0, khi α > 0, tức là: 69 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
 ∂v  v  − v > 0 hoặc T > ∂v T ( ) (4-26a)  ∂T p ∂T p Nhiệt độ sẽ tăng khi:  ∂v  v T   − v < 0 hoặc T < ( ) (4-26b) ∂v  ∂T  p ∂T p Và nhiệt độ không đổi khi:  ∂v  v  − v = 0 hoặc T = ∂v T ( ) (4-26c)  ∂T p ∂T p Như vậy tùy theo nhiệt độ ban đầu khác nhau mà qua tiết lưu nhiệt độ của môi chất có thể tăng lên, giảm xuống hoặc không đổi. Khi qua tiết lưu mà nhiệt độ môi chất không đổi ( α = 0) thì nhiệt độ ban đầu đó gọi là nhiệt độ chuyển biến Tcb. Từ (4-26c), nếu biết được phương trình trạng thái của môi chất, thì có thể lấy đạo hàm riêng và xác định được nhiệt độ chuyển biến.  ∂v  RT R Đối với khí lý tưởng, có v = = nên   ∂T p p p và:   ∂v   1  RT  1 α= T   − v  =  p − v = 0 (4-26d)   ∂T  p   Cp   Cp  Như vậy, qua quá trình tiết lưu nhiệt độ của khí lý tưởng không thay đổi. Đối với khí tuân theo phương trình Van de Waals (1-28) ta có:  ∂v  R =  (a)  ∂T p p − + a 2ab v 2 v3 Thay (a) vào (4-25) được:   1  RT α= − v  (b) C p  p − a + 2ab    v2 v2 Sau khi chỉnh lý và rut gọn được hệ số α với giả thiết p → 0 hoặc v → ∞ 70 PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com