Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:70

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình gồm hai phần. Phần I: "Lý thuyết xác suất" có hai chương. Chương 1 trang bị những kiến thức cơ bản về giải tích tổ hợp, những khái niệm nền tảng, những định lý quan trọng của lý thuyết xác suất cổ điển. Chương 2 quan tâm đến khái niệm trung tâm của xác suất là biến ngẫu nhiên và cá quy luật phân phối xác suất, các tham số đặc trưng của nó. Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng và định lý về luật số lớn, định lý giới hạn cũng được trình bày trong chương này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình nội bộ Xác suất thống kê: Phần 1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM -------------------------------- BỘ MÔN TOÁN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ XÁC SUẤT THỐNG KÊ Dành cho sinh viên tất cả các ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017
M l PhÇn 1. Lý thuyÕt x¸ suÊt 5 1 BiÕn è ngÉu nhiªn vµ x¸ suÊt 6 1.1 Gi¶i tÝ h tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Quy t¾ éng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Quy t¾ nh©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Ho¸n vÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4 ChØnh hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5 ChØnh hîp lÆp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.6 Tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.7 Ph¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n gi¶i tÝ h tæ hîp . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Php thö vµ biÕn è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Php thö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 BiÕn è (sù kiÖn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3 Quan hÖ gi÷a ¸ biÕn è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4 Ph©n hia mét biÕn è theo hÖ ®Çy ®ñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 C¸ ®Þnh nghÜa vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 §Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.2 §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Nguyªn lý x¸ suÊt lín vµ x¸ suÊt nhá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 C¸ ®Þnh lý ¬ b¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.1 §Þnh lý éng x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4.2 §Þnh lý nh©n x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.3 §Þnh lý x¸ suÊt toµn phÇn - §Þnh lý Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.4.4 §Þnh lý Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bµi tËp h¬ng 1 28 2 BiÕn ngÉu nhiªn vµ Quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt 33 2.1 BiÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt ña biÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 B¶ng ph©n phèi x¸ suÊt ña biÕn ngÉu nhiªn rêi r¹ . . . . . . . . . . . 35 2.2.2 Hµm ph©n phèi x¸ xuÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Hµm mËt ®é x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3 C¸ tham sè ®Æ trng ña biÕn ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3.1 Kú väng to¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.2 Ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.3.3 §é lÖ h huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Mét sè quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt th«ng dng . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.4.1 Quy luËt kh«ng-mét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 1
2.4.2 Quy luËt nhÞ thø . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4.3 Quy luËt Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4.4 Quy luËt huÈn N(a, σ 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.5 Quy luËt khi b×nh ph¬ng-χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.6 Quy luËt Student-T(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.7 C¸ ®Þnh lÝ giíi h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Bµi tËp h¬ng 2 66 PhÇn 2. Thèng kª to¸n 70 3 C¬ së lý thuyÕt mÉu 71 3.1 Tæng thÓ vµ mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.1 Tæng thÓ vµ kÝ h thí ña tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.2 MÉu vµ ph¬ng ph¸p hän mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.1.3 MÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2 C¸ ph¬ng ph¸p m« t¶ mÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.1 S¾p xÕp sè liÖu thù nghiÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2 Hµm ph©n phèi thù nghiÖm ña mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.2.3 BiÓu diÔn sè liÖu b»ng biÓu ®å . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 C¸ ®Æ trng ña mÉu ngÉu nhiªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.1 Hµm thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.2 Trung b×nh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.3.3 Ph¬ng sai mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.4 Ph¬ng sai ®iÒu hØnh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.3.5 §é lÖ h tiªu huÈn mÉu vµ ®é lÖ h tiªu huÈn ®iÒu hØnh mÉu . . . . . 80 3.3.6 Sai sè tiªu huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.7 C¸ h tÝnh ¸ ®Æ trng mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.3.8 TÇn suÊt mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Bµi tËp h¬ng 3 84 4 í lîng tham sè 87 4.1 Ph¬ng ph¸p í lîng ®iÓm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Ph¬ng ph¸p hµm í lîng (ph¬ng ph¸p m« men) . . . . . . . . . . . 87 4.2 Ph¬ng ph¸p í lîng b»ng kho¶ng tin Ëy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.1 Kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.2.2 í lîng kú väng ña biÕn ngÉu nhiªn ã ph©n phèi huÈn . . . . . . 91 4.2.3 í lîng k× väng to¸n ña biÕn ngÉu nhiªn kh«ng theo quy luËt ph©n phèi huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.2.4 í lîng kho¶ng ho tØ lÖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Bµi tËp h¬ng 4 100 5 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª 106 5.1 Kh¸i niÖm hung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.1 Gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 5.1.2 Tiªu huÈn kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.3 MiÒn b¸ bá gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.4 Gi¸ trÞ quan s¸t ña tiªu huÈn kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.1.5 Quy t¾ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.6 C¸ sai lÇm m¾ ph¶i khi kiÓm ®Þnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.1.7 Thñ t ña kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ gi¸ trÞ trung b×nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.2.1 §· biÕt ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 5.2.2 Cha biÕt ph¬ng sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 KiÓm ®Þnh sù b»ng nhau ña hai kú väng ña hai biÕn ngÉu nhiªn ã ph©n phèi huÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt ña x¸ suÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.1 Trêng hîp mét tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 5.4.2 Trêng hîp hai tæng thÓ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Bµi tËp h¬ng 5 118 6 T¬ng quan vµ håi quy 123 6.1 §å thÞ ph©n t¸n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.2 HÖ sè t¬ng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.1 Ph©n tÝ h ý nghÜa hÖ sè t¬ng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2.2 HÖ sè t¬ng quan mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 6.2.3 KiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt vÒ gi¸ trÞ ña ρ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 6.3 Håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.1 M« h×nh håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.3.2 Ph¬ng tr×nh håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n ña tæng thÓ . . . . . . . . . . 129 6.3.3 Ph¬ng tr×nh ®êng håi quy tuyÕn tÝnh mÉu . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Bµi tËp h¬ng 6 133 Ph l 1 139 Ph l 2 141 Ph l 3 142 Ph l 4 143 Tµi liÖu tham kh¶o 144
Lêi nãi ®Çu "X¸ suÊt thèng kª" lµ mét m«n hä Çn thiÕt ®èi víi sinh viªn khèi ¸ trêng Kinh tÕ- N«ng-L©m-Sinh-Y bëi néi dung phong phó vµ sù øng dng réng r·i ña nã trong nhiÒu lÜnh vù kh¸ nhau ña khoa hä tù nhiªn, kü thuËt, y hä vµ kinh tÕ-x· héi. §· ã nhiÒu uèn s¸ h gi¸o tr×nh ®î viÕt ho m«n hä nµy, tuy nhiªn nhãm t¸ gi¶ mong muèn viÕt mét uèn gi¸o tr×nh phï hîp víi néi dung h¬ng tr×nh ña Trêng §¹i hä N«ng L©m ®Ó sinh viªn ã thÓ tiÕp Ën m«n hä nµy vµ ¸ m«n hä ¬ së ngµnh sau ®ã, òng nh Ëp nhËt víi h¬ng tr×nh thi tuyÓn sau ®¹i hä m«n To¸n ao Êp thèng kª ña §¹i hä Th¸i Nguyªn ho khèi ¸ ngµnh N«ng-L©m-Sinh-Y. Gi¸o tr×nh gåm hai phÇn. PhÇn I: "Lý thuyÕt x¸ suÊt" ã hai h¬ng. Ch¬ng 1 trang bÞ nh÷ng kiÕn thø ¬ b¶n vÒ gi¶i tÝ h tæ hîp, nh÷ng kh¸i niÖm nÒn t¶ng, nh÷ng ®Þnh lý quan träng ña lý thuyÕt x¸ suÊt æ ®iÓn. Ch¬ng 2 quan t©m ®Õn kh¸i niÖm trung t©m ña x¸ suÊt lµ biÕn ngÉu nhiªn vµ ¸ quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt, ¸ tham sè ®Æ trng ña nã. Mét sè quy luËt ph©n phèi x¸ suÊt th«ng dng vµ ®Þnh lý vÒ luËt sè lín, ®Þnh lý giíi h¹n òng ®î tr×nh bµy trong h¬ng nµy. PhÇn II: "Thèng kª to¸n" gåm ã 4 h¬ng. Ch¬ng 3 tr×nh bµy vÒ ¬ së lý thuyÕt mÉu: ¸ ph¬ng ph¸p hän mÉu, s¾p xÕp mÉu, ®Æ trng ña mÉu. Ch¬ng 4 vµ Ch¬ng 5 quan t©m ®Õn hai bµi to¸n ¬ b¶n lµ í lîng tham sè vµ kiÓm ®Þnh gi¶ thuyÕt thèng kª. C¸ bµi to¸n vÒ t¬ng quan vµ håi quy tuyÕn tÝnh ®¬n gi¶n ®î ®Ò Ëp ®Õn ë Ch¬ng 6. PhÇn uèi ïng lµ mét sè b¶ng ph l th«ng dng. B¹n ®ä ã thÓ tù hä m«n "X¸ suÊt thèng kª" víi uèn gi¸o tr×nh nµy nÕu ®· ®î trang bÞ mét sè kiÕn thø ¬ b¶n vÒ Gi¶i tÝ h æ ®iÓn vµ §¹i sè tuyÕn tÝnh. C¸ kh¸i niÖm míi ®î Ëp nhËt thªm ¸ thuËt ng÷ b»ng tiÕng Anh ®Ó b¹n ®ä ã thÓ lµm quen víi ¸ thuËt ng÷ ®ã khi ®ä s¸ h ní ngoµi. HÖ thèng vÝ d ®î lùa hän Ýt nhiÒu liªn quan ®Õn ¸ bµi to¸n thêng gÆp trong thù tÕ ña ¸ lÜnh vù N«ng, L©m nghiÖp, Sinh hä . C¸ bµi tËp ë uèi mçi h¬ng dµnh ho b¹n ®ä gi¶i quyÕt th«ng qua vËn dng lý thuyÕt vµ lêi gi¶i ña ¸ vÝ d trong h¬ng. Trong nh÷ng kiÕn thø réng lín vÒ lý thuyÕt x¸ suÊt vµ thèng kª to¸n, ®Ó lùa hän ®î nh÷ng vÊn ®Ò Çn thiÕt viÕt trong khu«n khæ mét uèn gi¸o tr×nh nhá sao ho phï hîp víi néi dung h¬ng tr×nh ë bË ®¹i hä , ®¸p øng ®î nh÷ng m tiªu ®· ®Ò ra lµ rÊt khã kh¨n vµ kh«ng tr¸nh khái sai sãt. C¸ t¸ gi¶ mong muèn nhËn ®î nh÷ng nhËn xt gãp ý ña ¸ ®ång nghiÖp, ¸ sinh viªn vµ b¹n ®ä ®Ó uèn gi¸o tr×nh ®î hoµn thiÖn h¬n. Nhãm t¸ gi¶
PhÇn 1. Lý thuyÕt x¸ suÊt Sù kh«ng h¾ h¾n rÊt phæ biÕn trong thÕ giíi mµ ta ®ang sèng: tõ ¸ vÊn ®Ò ña thÕ giíi tù nhiªn nh n¾ng, ma, gi«ng, b·o,... ®Õn ¸ vÊn ®Ò vÒ ®êi sèng hÝnh trÞ, x· héi ña on ngêi. Ngay ¶ Sinh - L·o - BÖnh - Tö - mét quy luËt tÊt yÕu mµ ai òng biÕt, lµ hÆng ®êng h¾ h¾n mµ mçi ®êi ngêi ®Òu ph¶i tr¶i qua th× nh×n hung òng n»m ngoµi sù ®iÒu khiÓn ña hóng ta. Tuy nhiªn, sù kh«ng h¾ h¾n lµm ho ué sèng ña hóng ta trë nªn thó vÞ h¬n rÊt nhiÒu. H·y thö tëng tîng xem thÕ giíi nµy sÏ trë nªn buån tÎ, h¸n ng¾t ®Õn mø nµo nÕu nh mäi thø ®Òu ã thÓ biÕt trí mét ¸ h h¾ h¾n, hoµn h¶o? Lý thuyÕt x¸ suÊt lµ mét ngµnh khoa hä To¸n hä x¸ lËp ¸ suy luËn mang tÝnh ®Þnh lîng vÒ sù kh«ng h¾ h¾n, th«ng qua ®ã nghiªn øu nh÷ng quy luËt tÊt nhiªn Èn dÊu sau nh÷ng hiÖn tîng mang tÝnh ngÉu nhiªn nh»m ho php dù b¸o ¸ hiÖn tîng ngÉu nhiªn ®ã sÏ x¶y ra nh thÕ nµo. ChÝnh v× vËy, ¸ ph¬ng ph¸p ña lý thuyÕt x¸ suÊt ®î øng dng réng r·i trong mäi lÜnh vù ña ué sèng.
Ch¬ng 1 BiÕn è ngÉu nhiªn vµ x¸ suÊt Ch¬ng nµy dµnh ®Ó giíi thiÖu ¸ kh¸i niÖm nÒn mãng ña x¸ suÊt: php thö, biÕn è ngÉu nhiªn, biÕn è s¬ Êp,... C¸ ®Þnh nghÜa vÒ x¸ suÊt ®î giíi thiÖu ë M 1.3 vµ uèi ïng M 1.4 ung Êp nh÷ng «ng ¬ b¶n nhÊt ®Ó tÝnh x¸ suÊt: ®Þnh lý éng, ®Þnh lý nh©n, ®Þnh lý toµn phÇn, Bayes vµ ®Þnh lý Bernoulli. 1.1 Gi¶i tÝ h tæ hîp M nµy dµnh ®Ó tãm lî l¹i ¸ kiÕn thø vÒ gi¶i tÝ h tæ hîp mµ sinh viªn ®· ®î hä trong h¬ng tr×nh phæ th«ng. C¸ bµi to¸n gi¶i tÝ h tæ hîp ßn ®î gäi lµ ¸ bµi to¸n "®Õm": ®Õm sè kÕt qu¶, ®Õm sè kh¶ n¨ng x¶y ra, ®Õm ¸ ¸ h gi¶i quyÕt vÊn ®Ò,... nãi hung lµ ®Õm sè lîng nh÷ng ®èi tîng nµo ®ã mµ hÇu hÕt ¸ lo¹i ®èi tîng ®î ®Ò Ëp ®Õn ®Òu ã thÓ m« t¶ nh lµ mét d·y ¸ phÇn tö tháa m·n nh÷ng ®iÒu kiÖn nhÊt ®Þnh. Ta ã thÓ m« pháng mét bµi to¸n gi¶i tÝ h tæ hîp nh sau. Bµi to¸n. "Cho n, k ∈ N vµ tËp hîp E = {x1 , x2 , . . . , xn } gåm n phÇn tö kh¸ nhau. Cã bao nhiªu d·y x1 x2 . . . xk ¸ phÇn tö ®î lÊy tõ tËp E vµ tháa m·n ¸ tÝnh hÊt N1 , N2 , . . .?" Cã nhiÒu ¸ h gi¶i quyÕt bµi to¸n trªn tïy theo ¸ h lÊy k phÇn tö vµ ph¬ng ph¸p s¾p xÕp hóng ®Ó ho ta nh÷ng kÕt qu¶ kh¸ nhau. 1.1.1 Quy t¾ éng Gi¶ sö mét «ng viÖ ã thÓ thù hiÖn theo mét trong k ph¬ng ¸n A1 , A2 , . . . , Ak , trong ®ã mçi ph¬ng ¸n Ai ã ni ¸ h thù hiÖn vµ ¸ ¸ h thù hiÖn ph¬ng ¸n Ai kh«ng trïng víi ¸ ¸ h thù hiÖn ph¬ng ¸n Aj nÕu i 6= j , víi mäi i, j = 1, . . . , k . Khi ®ã, «ng viÖ ã thÓ ®î thù hiÖn bëi n1 + n2 + . . . + nk ¸ h vµ ta gäi ®ã lµ quy t¾ éng (Additional Rule). VÝ d 1.1.1. Mét tæ gåm ã 3 sinh viªn ë Th¸i Nguyªn, 3 sinh viªn ë Yªn B¸i, 4 sinh viªn ë Tuyªn Quang vµ 4 sinh viªn ë Hµ Giang. CÇn hän 3 sinh viªn ïng tØnh ®Ó ®i lao ®éng. Hái ã bao nhiªu ¸ h hän? 6
Gi¶i. Ph¬ng ¸n 1: ã 1 ¸ h hän 3 sinh viªn ë Th¸i Nguyªn; Ph¬ng ¸n 2: ã 1 ¸ h hän 3 sinh viªn ë Yªn B¸i; Ph¬ng ¸n 3: ã 4 ¸ h hän 3 sinh viªn ë Tuyªn Quang; Ph¬ng ¸n 4: ã 4 ¸ h hän 3 sinh viªn ë Hµ Giang. VËy, ã n = 1 + 1 + 4 + 4 = 10 ¸ h hän. Chó ý r»ng, b¶n hÊt ña quy t¾ trªn lµ ®Õm sè phÇn tö ña ¸ tËp hîp h÷u h¹n kh«ng giao nhau. Tuy nhiªn, trong nhiÒu trêng hîp, ta Çn ®Õm sè phÇn tö ña hîp hai tËp hîp h÷u h¹n ã giao kh¸ ∅. NÕu ký hiÖu n(•) lµ sè phÇn tö ña mét tËp hîp nµo ®ã th× ta ã quy t¾ éng më réng sau: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). VÝ d 1.1.2. Mét héi nghÞ khoa hä què tÕ gåm 100 ngêi biÕt tiÕng Anh, 60 ngêi biÕt tiÕng Ph¸p, 20 ngêi biÕt ¶ hai thø tiÕng vµ 50 ngêi ßn l¹i kh«ng biÕt ¶ hai thø tiÕng trªn. Hái Héi nghÞ khoa hä ®ã ã bao nhiªu ngêi? Gi¶i. Gäi tËp hîp nh÷ng ngêi biÕt tiÕng Anh lµ A, nh÷ng ngêi biÕt tiÕng Ph¸p lµ B . Khi ®ã tËp hîp nh÷ng ngêi biÕt tiÕng Anh hoÆ Ph¸p lµ A∪B . Theo bµi ra ta ã n(A) = 100; n(B) = 60; n(A ∩ B) = 20 vµ n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) = 100 + 60 − 20 = 140. VËy Héi nghÞ khoa hä ®ã ã 140 + 50 = 190 (ngêi). 1.1.2 Quy t¾ nh©n Gi¶ sö mét «ng viÖ ph¶i thù hiÖn k giai ®o¹n A1 , A2 , . . . , Ak , trong ®ã mçi giai ®o¹n Ai ®î thù hiÖn bëi 1 trong ni ¸ h, víi mäi i = 1, . . . , k . Khi ®ã, ã n1 n2 . . . nk ¸ h thù hiÖn «ng viÖ nãi trªn vµ ta gäi lµ quy t¾ nh©n (Multipli ative Rule). VÝ d 1.1.3. BiÓn sè xe « t« gåm 7 ký tù, trong ®ã 2 ký tù ®Çu lµ m· sè tØnh, ký tù thø ba lµ mét h÷ ¸i trong b¶ng 26 h÷ ¸i tiÕng Anh, ¸ ký tù tiÕp theo lµ mét h÷ sè thué tËp {0, 1, . . . , 9}. Hái nÕu hØ dïng mét m· sè tØnh è ®Þnh th× mét tØnh ã thÓ lµm ®î nhiÒu nhÊt bao nhiªu biÓn sè xe kh¸ nhau? Gi¶i. V× m· sè tØnh ®· ®î è ®Þnh nªn ta ã 26 ¸ h hän h÷ ¸i xÕp ë vÞ trÝ thø ba vµ ã 10 ¸ h hän h÷ sè ho mçi vÞ trÝ trong bèn vÞ trÝ ßn l¹i. Theo quy t¾ nh©n, ta ã 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 260.000 (biÓn sè xe). 1.1.3 Ho¸n vÞ §Þnh nghÜa 1.1.4. Mét ho¸n vÞ (permutation) ña n phÇn tö ña tËp E lµ ¸ h s¾p xÕp n phÇn tö ®ã theo mét thø tù nhÊt ®Þnh.
Sè ¸ ho¸n vÞ ña n phÇn tö, ký hiÖu Pn , lµ Pn = n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 2.1 vµ quy í 0! = 1. VÝ d 1.1.5. (i) Cã 3 ngêi A, B, C xÕp vµo 3 hç ngåi. Ta ã P3 = 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ¸ h xÕp nh sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. (ii) Tõ 3 h÷ sè 1, 2, 3 ã thÓ t¹o ®î bao nhiªu sè gåm 3 h÷ sè kh¸ nhau? Gi¶i. Râ rµng mçi sè gåm 3 h÷ sè kh¸ nhau t¹o ra tõ 1, 2, 3 lµ mét ho¸n vÞ ña 3 phÇn tö. VËy ta ã P3 = 3! = 1 × 2 × 3 = 6 sè, ®ã lµ: 123, 132, 213, 231, 312, 321. 1.1.4 ChØnh hîp §Þnh nghÜa 1.1.6. Mét hØnh hîp (arrangement) hËp k ña n phÇn tö (0 < k 6 n) lµ mét d·y ã thø tù gåm k phÇn tö kh¸ nhau ®î lÊy tõ tËp E . Sè ¸ hØnh hîp hËp k ña n phÇn tö, ký hiÖu Akn , lµ n! Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = . (n − k)! VÝ d 1.1.7. Sinh viªn n¨m thø nhÊt ña Trêng §¹i hä N«ng L©m ph¶i hä 5 hä phÇn trong mét hä kú, mçi ngµy hä 2 hä phÇn. Hái r»ng Phßng §µo t¹o ña Trêng ã bao nhiªu ¸ h xÕp thêi khãa biÓu trong ngµy? Gi¶i. Sè ¸ h Çn t×m hÝnh lµ sè ¸ h ghp 2 hä phÇn tõ 5 hä phÇn, trong ®ã ¸ ¸ h ghp sÏ kh¸ nhau nÕu ã Ýt nhÊt mét hä phÇn kh¸ nhau hoÆ thø tù hä phÇn kh¸ nhau. V× thÕ ¸ ¸ h xÕp thêi khãa biÓu trong ngµy lµ A25 = 5 × 4 × 3 = 60 ( ¸ h). 1.1.5 ChØnh hîp lÆp §Þnh nghÜa 1.1.8. Mét hØnh hîp lÆp (arrangement with repetition) hËp k ña n phÇn tö lµ mét d·y ã thø tù gåm k phÇn tö (kh«ng nhÊt thiÕt kh¸ nhau) ®î lÊy tõ tËp E . Sè hØnh hîp lÆp hËp k ña n phÇn tö, ký hiÖu Akn , lµ Akn = nk . VÝ d 1.1.9. Cã 5 kh¸ h hµng kh«ng quen biÕt nhau ïng vµo mua hµng ë mét öa hµng gåm ã 7 quÇy. Gi¶ sö ¸ kh¸ h hµng vµo mua hµng ë ¸ quÇy mét ¸ h ngÉu nhiªn. Hái ã bao nhiªu ¸ h ®Ó 5 ngêi vµo 7 quÇy nãi trªn? Gi¶i. V× mçi ngêi ®Òu ã 7 ¸ h hän quÇy nªn sè ¸ h ®Ó 5 ngêi vµo mua hµng mét ¸ h ngÉu nhiªn t¹i 7 quÇy hÝnh lµ A57 = 75 = 16.807.
1.1.6 Tæ hîp §Þnh nghÜa 1.1.10. Mét tæ hîp ( ombination) hËp k ña n phÇn tö (0 < k 6 n) lµ mét tËp on gåm k phÇn tö ña tËp E . Sè ¸ tæ hîp hËp k ña n phÇn tö, ký hiÖu Cnk , lµ n! n(n − 1) . . . (n − k + 1) Cnk = = . k!(n − k)! k! V× n! n! Cnn−k = = = Cnk , (n − k)!(n − (n − k))! k!(n − k)! nªn mét ¸ h lÊy ra k phÇn tö th× òng hÝnh lµ mét ¸ h lÊy ra n − k phÇn tö ßn l¹i. Ta ã mét sè trêng hîp ®Æ biÖt sau Cn0 = Cnn = 1; Cn1 = Cnn−1 = n. Tõ «ng thø tæ hîp trªn, ta ã «ng thø NhÞ thø Newton (a + b)n = an + Cn1 an−1 b + . . . + Cnk an−k bk + . . . + Cnn−1 abn−1 + bn . Thay n = 2, 3 vµo «ng thø trªn ta ã ¸ h»ng ®¼ng thø ®¸ng nhí quen thué . VÝ d 1.1.11. (i) Chän ngÉu nhiªn ra 2 ngêi tõ mét nhãm 3 ngêi A, B, C . Khi ®ã, ã 3! C32 = = 3 ¸ h hän lµ : AB, AC, BC. 2!.1! (ii) Cã 5 hä sinh, Çn hän ra 2 hä sinh ®Ó ®i trù líp, hái ã mÊy ¸ h hän? Gi¶i. Râ rµng sè ¸ h hän ra 2 hä sinh bÊt kú trong sè 5 hä sinh lµ sè ¸ tæ hîp hËp 2 ña 5 phÇn tö. VËy ta ã 5! 5×4 C52 = = = 10 ¸ h hän. 2!3! 2 1.1.7 Ph¬ng ph¸p gi¶i mét bµi to¸n gi¶i tÝ h tæ hîp Gi¶i tÝ h tæ hîp lµ mét «ng rÊt quan träng, ph v ®¾ lù ho viÖ gi¶i ¸ bµi tËp x¸ suÊt sau nµy. Trong qu¸ tr×nh gi¶i mét bµi to¸n gi¶i tÝ h tæ hîp, «ng viÖ ®ßi hái nhiÒu t duy nhÊt hÝnh lµ "nhËn d¹ng" xem bµi to¸n ®ã thué ¸ h ®Õm nµo. Nãi ¸ h kh¸ , ®iÒu quan träng nhÊt lµ Çn ph©n biÖt, so s¸nh ®î ¸ kh¸i niÖm trªn ®Ó ¸p dng ®î ®óng «ng thø Çn dïng. Do ®ã, ta ã mét sè nhËn xt sau. a) VÒ ¸ h lÊy ¸ phÇn tö: Ta thêng dïng 4 ¸ h ®Ó lÊy ra k phÇn tö tõ n phÇn tö. 1. LÊy theo nghÜa tæ hîp. 2. LÊy theo nghÜa hØnh hîp.
3. LÊy ra k phÇn tö, mçi lÇn lÊy tõng phÇn tö mét vµ kh«ng hoµn l¹i. 4. LÊy ra k phÇn tö, mçi lÇn lÊy tõng phÇn tö mét vµ ã hoµn l¹i. - Trong 4 ¸ h trªn, hai ¸ h ®Çu ¸ phÇn tö ®î lÊy ra ®ång thêi mét lÇn, hai ¸ h sau ¸ phÇn tö ®î lÊy lÇn lît tõng phÇn tö mét, lÊy k lÇn. - Trong 3 ¸ h ®Çu, ¸ phÇn tö ®î lÊy ra lµ kh¸ nhau. Trong khi ®ã, ë ¸ h 4, ¸ phÇn tö ®î lÊy ra ã thÓ ã nh÷ng phÇn tö ®î lÊy lÆp l¹i. - C¸ h 3 ph©n biÖt víi hai ¸ h ®Çu ë hç lÊy k lÇn hay lÊy 1 lÇn. - C¸ h 1 ph©n biÖt víi ¸ h 2 ë hç ã kÓ ®Õn thø tù ¸ phÇn tö lÊy ra hay kh«ng. b) VÒ mèi quan hÖ gi÷a ¸ kh¸i niÖm: Ho¸n vÞ lµ trêng hîp ®Æ biÖt ña hØnh hîp khi k = n. ChØnh hîp lµ lÊy tæ hîp råi ho¸n vÞ. Ta ã thÓ ®Æ trng hãa ¸ kh¸i niÖm b»ng b¶ng tæng kÕt sau. Cho tËp E gåm n phÇn tö x¸ ®Þnh nh trªn, k, n > 1. Kh¸i niÖm ChØnh hîp ChØnh hîp lÆp Ho¸n vÞ Tæ hîp Tæ hîp lÆp TÝnh hÊt 1) Cã thø tù 1) Cã thø tù 1) Cã thø tù 1) Kh«ng thø tù 1) Kh«ng thø tù ®Æ trng 2) Kh«ng lÆp 2) Cã lÆp 2) Kh«ng lÆp 2) Kh«ng lÆp 2) Cã lÆp 3) k 6 n 3) ∀k, ∀n 3) k = n 3) k 6 n 3) ∀k, ∀n n! n! C«ng thø Akn = (n−k)! Akn = nk Pn = n! Cnk = k!(n−k)! k Cnk = Cn+k−1 1.2 Php thö vµ biÕn è 1.2.1 Php thö Trong thù tÕ, ®Ó nh»m mét m ®Ý h nµo ®ã, nhiÒu khi ta Çn ph¶i kh¶o s¸t, thu thËp d÷ liÖu th«ng qua quan s¸t ¸ hiÖn tîng trong tù nhiªn hay trong phßng thÝ nghiÖm. Mét thÝ nghiÖm hay mét quan s¸t ¸ hiÖn tîng tù nhiªn, x· héi hoÆ ¸ vÊn ®Ò vÒ kü thuËt víi ïng mét hÖ ®iÒu kiÖn nµo ®ã ®î gäi lµ php thö (experiment). Cã hai lo¹i php thö: Php thö kh«ng ngÉu nhiªn lµ php thö mµ trí khi tiÕn hµnh ta ®· dù ®o¸n ®î kÕt qu¶ ña nã, h¼ng h¹n nÕu ®un ní ®iÒu kiÖn b×nh thêng (díi ¸p suÊt 1 atmotphe) th× ní sÏ s«i ë 1000 lµ php thö kh«ng ngÉu nhiªn. Tuy nhiªn, trong gi¸o tr×nh nµy, ta hØ ®Ó Ëp ®Õn php thö ngÉu nhiªn, tø lµ lo¹i php thö mµ ta kh«ng thÓ biÕt trí ®î mét ¸ h h¾ h¾n kÕt qu¶ ña nã sÏ nh thÕ nµo vµ tõ nay trë ®i ta sÏ dïng thuËt ng÷ "php thö" ng¾n gän thay ho thuËt ng÷ "php thö ngÉu nhiªn". VÝ d 1.2.1. C¸ thÝ nghiÖm sau ®©y lµ ¸ php thö: (i) Tung mét ®ång tiÒn vµ quan s¸t xem xuÊt hiÖn mÆt sÊp hay mÆt ngöa. (ii) Gieo mét on xó x¾ vµ quan s¸t xem sÏ ®î mÆt k hÊm nµo (víi k ∈ {1, . . . , 6}). (iii) Gieo 100 h¹t gièng vµ ®Õm xem ã bao nhiªu h¹t n¶y mÇm,...
1.2.2 BiÕn è (sù kiÖn) §Þnh nghÜa 1.2.2. (i) Khi mét php thö ®î thù hiÖn, mét kÕt qu¶ mµ ta quan s¸t ®î gäi lµ biÕn è s¬ Êp (simple event). (ii) TËp hîp gåm mét sè biÕn è s¬ Êp ®î gäi lµ biÕn è ngÉu nhiªn (random event) vµ thêng ®î ký hiÖu bëi ¸ h÷ ¸i A, B, C, .... (iii) TËp hîp gåm tÊt ¶ ¸ biÕn è s¬ Êp ®î gäi lµ kh«ng gian mÉu (sample spa e), thêng ®î ký hiÖu lµ S. (iv) BiÕn è kh«ng thÓ x¶y ra khi thù hiÖn php thö ®î gäi lµ biÕn è rçng (empty event) (ký hiÖu lµ ∅). (v) BiÕn è lu«n x¶y ra khi thù hiÖn php thö ®î gäi lµ biÕn è h¾ h¾n ( ertain event) (ký hiÖu lµ Ω). Chó ý 1.2.3. Mét biÕn è s¬ Êp lu«n lµ mét biÕn è ngÉu nhiªn nhng ngî l¹i nh×n hung kh«ng ®óng. NÕu ta gäi V lµ tËp hîp gåm ¸ biÕn è ngÉu nhiªn th× trong ïng mét php thö, sè phÇn tö ña V sÏ lín h¬n sè phÇn tö ña kh«ng gian mÉu S rÊt nhiÒu. VÝ d 1.2.4. (i) Gieo mét ®ång tiÒn ©n ®èi vµ ®ång hÊt. Ký hiÖu H lµ biÕn è "§ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt sÊp" vµ T lµ biÕn è "§ång tiÒn xuÊt hiÖn mÆt ngöa". Khi ®ã H, T lµ hai biÕn è s¬ Êp ña php thö trªn vµ kh«ng gian mÉu lµ S = {H, T }. (ii) Gieo mét on xó x¾ ©n ®èi vµ ®ång hÊt. Ký hiÖu Ei lµ biÕn è "XuÊt hiÖn i hÊm ë mÆt trªn ña xó x¾ ". Khi ®ã, Ei , víi i ∈ {1, . . . , 6} lµ 6 biÕn è s¬ Êp; "Xó x¾ xuÊt hiÖn mét mÆt ã 7 hÊm" lµ biÕn è rçng; "Xó x¾ xuÊt hiÖn mét mÆt ã sè hÊm 6 6 vµ > 1" lµ biÕn è h¾ h¾n; "Xó x¾ xuÊt hiÖn mÆt ã sè hÊm h½n", "Xó x¾ xuÊt hiÖn mÆt ã sè hÊm lÎ",... lµ ¸ biÕn è ngÉu nhiªn ña php thö ®· ho vµ kh«ng gian mÉu lµ S = {E1 , E2 , . . . , E6 }. (iii) TiÕn hµnh xt nghiÖm vµ ghi l¹i nhãm m¸u ña mét sè ngêi. Ký hiÖu A lµ biÕn è "Ngêi mang nhãm m¸u A"; B lµ biÕn è "Ngêi mang nhãm m¸u B "; AB lµ biÕn è "Ngêi mang nhãm m¸u AB "; O lµ biÕn è "Ngêi mang nhãm m¸u O ". Khi ®ã ¸ biÕn è s¬ Êp ña php thö lµ A, B, AB, O vµ kh«ng gian mÉu lµ S = {A, B, AB, O}. 1.2.3 Quan hÖ gi÷a ¸ biÕn è Trong thù tÕ, ®«i khi mét biÕn è ã thÓ ®î t¹o thµnh nh lµ tæ hîp ña mét sè biÕn è kh¸ . Cho A vµ B lµ hai biÕn è bÊt kú. Ta xt mét sè mèi quan hÖ gi÷a hóng vµ m« t¶ th«ng qua php to¸n vÒ ¸ tËp hîp.
§Þnh nghÜa 1.2.5. (i) BiÕn è A ®î gäi lµ ko theo (imply) biÕn è B nÕu A x¶y ra th× B òng x¶y ra, ký hiÖu lµ A ⇒ B (hoÆ A ⊂ B ). NÕu A ko theo B vµ B ko theo A th× A vµ B ®î gäi lµ hai biÕn è b»ng nhau (equal events), ký hiÖu lµ A = B . (ii) Hîp (union) ña hai biÕn è A vµ B , ký hiÖu bëi A ∪ B , lµ biÕn è x¶y ra khi vµ hØ khi Ýt nhÊt mét trong hai biÕn è A hoÆ B x¶y ra. ` (iii) Giao (interse tion) ña hai biÕn è A vµ B , ký hiÖu bëi A ∩ B , lµ biÕn è x¶y ra khi vµ hØ khi ¶ hai biÕn è A vµ B x¶y ra. (iv) HiÖu (differen e) ña hai biÕn è A vµ B , ký hiÖu bëi A \ B , lµ biÕn è x¶y ra khi vµ hØ khi A x¶y ra nhng B kh«ng x¶y ra. (v) Hai biÕn è A vµ B ®î gäi lµ xung kh¾ (mutually ex lusive) khi vµ hØ khi nÕu biÕn è A x¶y ra th× biÕn è B kh«ng x¶y ra vµ ngî l¹i, nghÜa lµ A ∩ B = ∅. (vi) Ta gäi A lµ biÕn è ®èi lËp ( omplement) ña biÕn è A nÕu hóng xung kh¾ vµ hîp ña hóng lµ mét biÕn è h¾ h¾n. NghÜa lµ ta ã A = Ω \ A. Ta ã thÓ m« t¶ ¸ kh¸i niÖm trªn b»ng s¬ ®å Venn nh sau. A B A B H×nh 1.1: Hîp ña hai biÕn è A vµ B H×nh 1.2: Giao ña hai biÕn è A vµ B A A A B Ω H×nh 1.3: HiÖu ña hai biÕn è A vµ B H×nh 1.4: BiÕn è ®èi lËp A ña biÕn è A Chó ý 1.2.6. (i) Ta ã thÓ më réng mèi quan hÖ gi÷a ¸ biÕn è ho mét sè h÷u h¹n bÊt kú ¸ biÕn è. (ii) Tõ §Þnh nghÜa 1.2.2, ta thÊy ngay hai biÕn è ®èi lËp th× xung kh¾ , nhng ngî l¹i th× nh×n hung kh«ng ®óng. VÝ d ¸ biÕn è Ei (i = 1, . . . , 6) trong php thö gieo mét on xó x¾ lµ xung kh¾ víi nhau tõng ®«i, nhng biÕn è Ei kh«ng ®èi lËp víi biÕn è Ej , víi mäi i 6= j . (iii) Ta thêng viÕt biÕn è tÝ h AB thay ho biÕn è giao A ∩ B . NÕu A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ th× ta viÕt biÕn è tæng A + B thay ho biÕn è hîp A ∪ B .
(iv) NÕu A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ th× ¸ biÕn è A vµ B ; AB vµ AB; AB vµ AB òng xung kh¾ víi nhau. (v) Php hîp vµ giao ¸ biÕn è ã tÝnh hÊt giao ho¸n, kÕt hîp vµ ph©n phèi. NghÜa lµ A∪B = B ∪A; A∩B = B ∩A; A∩(B ∪C) = A∩B ∪A∩C; A∪(B ∩C) = (A∪B)∩(A∪C). Sau khi më réng ¸ quan hÖ trªn ho mét sè h÷u h¹n ¸ biÕn è, ta xt kh¸i niÖm quan träng sau. §Þnh nghÜa 1.2.7. C¸ biÕn è A1 , . . . , An ®î gäi lµ mét hÖ ®Çy ®ñ ¸ biÕn è (system of mutually ex lusive and exhaustive events) nÕu tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn: (i) Chóng xung kh¾ víi nhau tõng ®«i mét, nghÜa lµ Ai ∩ Aj = ∅, víi mäi i 6= j . (ii) Tæng ña hóng lµ mét biÕn è h¾ h¾n, nghÜa lµ A1 + A2 + . . . + An = Ω. NÕu kh¶ n¨ng x¶y ra ¸ biÕn è ®ã lµ nh nhau th× ta gäi lµ hÖ ®Çy ®ñ ®ång kh¶ n¨ng (system of equally likely and exhausive events). VÝ d ®¬n gi¶n nhÊt vÒ hÖ ®Çy ®ñ lµ hÖ {A, A} (ë ®©y n = 2). Tuy nhiªn, trong ïng mét php thö, ta ã thÓ viÕt ®î nhiÒu hÖ ®Çy ®ñ kh¸ nhau. §Ó b¹n ®ä ã thÓ hiÓu râ h¬n vµ ã thÓ so s¸nh ¸ kh¸i niÖm trªn, ta xt vÝ d sau. VÝ d 1.2.8. Gieo mét on xó x¾ . Gäi Ei lµ biÕn è "Xó x¾ xuÊt hiÖn mÆt i hÊm", víi i = 1, . . . , 6; A lµ biÕn è "Xó x¾ xuÊt hiÖn mÆt ã sè hÊm h½n"; B lµ biÕn è "Xó x¾ xuÊt hiÖn mÆt ã sè hÊm lÎ". H·y m« t¶ ¸ biÕn è A, B, A + B, AB, A th«ng qua ¸ biÕn è s¬ Êp vµ viÕt hÖ ®Çy ®ñ ¸ biÕn è. Gi¶i. Râ rµng kh«ng gian mÉu ña php thö trªn lµ S = {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 } vµ A = E2 + E4 + E6 ; B = E1 + E3 + E5 ; A = B; AB = ∅; A + B = S. V× Ei , i = 1, . . . , 6 lµ tÊt ¶ ¸ biÕn è trong kh«ng gian mÉu, h¬n n÷a hóng xung kh¾ víi nhau tõng ®«i vµ A, B lµ hai biÕn è ®èi lËp nªn php thö trªn ã hai hÖ ®Çy ®ñ lµ {E1 , E2 , E3 , E4 , E5 , E6 } vµ {A, B}. 1.2.4 Ph©n hia mét biÕn è theo hÖ ®Çy ®ñ Qua ¸ vÝ d trªn, ta thÊy r»ng ®èi víi mçi mét php thö, ã thÓ viÕt ®î nhiÒu hÖ ®Çy ®ñ kh¸ nhau vµ tËp tÊt ¶ ¸ biÕn è s¬ Êp trong kh«ng gian mÉu lu«n lËp thµnh mét hÖ ®Çy ®ñ gäi lµ hÖ ®Çy ®ñ ®ång kh¶ n¨ng. ViÖ x¸ ®Þnh ®î ¸ hÖ ®Çy ®ñ vµ dïng hÖ nµo trong sè ¸ hÖ ®ã lµ rÊt quan träng trong viÖ gi¶i ¸ bµi to¸n x¸ suÊt, ®Æ biÖt lµ ¸ bµi to¸n ¸p dng «ng thø x¸ suÊt toµn phÇn vµ Bayes ë m sau.
§Þnh nghÜa 1.2.9. Gi¶ sö E1 , E2 , . . . , En lµ mét hÖ ®Çy ®ñ ¸ biÕn è, A lµ mét biÕn è kh¸ rçng nµo ®ã. Khi ®ã A = AΩ = A(E1 + E2 + . . . + En ) = AE1 + AE2 + . . . + AEn vµ ta nãi r»ng A ®î ph©n hia gi¸n tiÕp thµnh ¸ biÕn è E1 , E2 , . . . , En . V× ã nhiÒu hÖ ®Çy ®ñ nªn mçi biÕn è kh¸ rçng A òng ã thÓ ph©n hia theo nhiÒu ¸ h kh¸ nhau nh»m m ®Ý h hia A thµnh ¸ biÕn è ®¬n gi¶n h¬n ®Ó ®¸nh gi¸ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn ña A th«ng qua ¸ biÕn è ®¬n gi¶n nµy. 1.3 C¸ ®Þnh nghÜa vÒ x¸ suÊt Ta biÕt r»ng mäi biÕn è ngÉu nhiªn ®Òu gièng nhau ë hç hóng kh«ng h¾ h¾n, nhng kh¶ n¨ng x¶y ra ña mçi biÕn è l¹i ã thÓ kh¸ nhau. Víi mçi mét biÕn è ngÉu nhiªn A, ngêi ta dïng mét on sè ®Ó ®Æ trng ho kh¶ n¨ng x¶y ra ña biÕn è ®ã lµ nhiÒu hay Ýt, ®î gäi lµ x¸ suÊt (probability) ña biÕn è A, ký hiÖu P (A). Trong m nµy, ta sÏ ®a ra mét sè ®Þnh nghÜa vµ «ng thø vÒ x¸ suÊt. Mçi ®Þnh nghÜa ã nh÷ng u, nhî ®iÓm nhÊt ®Þnh, nhng qua ®ã ta ã thÓ h×nh dung ra sù ph¸t triÓn ña m«n X¸ suÊt vµ vai trß ña nã ®èi víi ¸ ngµnh khoa hä kh¸ . 1.3.1 §Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt §Þnh nghÜa x¸ suÊt æ ®iÓn dùa trªn hai gi¶ thiÕt "mÊu hèt" sau: 1. Sè ¸ biÕn è s¬ Êp trong php thö ngÉu nhiªn lµ h÷u h¹n (finite). 2. TÊt ¶ ¸ biÕn è s¬ Êp ph¶i ®ång kh¶ n¨ng (equal likelihood), nghÜa lµ kh¶ n¨ng x¶y ra ña ¸ biÕn è s¬ Êp nµy lµ nh nhau sau khi thù hiÖn php thö. Ch¼ng h¹n khi gieo mét on xó x¾ ©n ®èi vµ ®ång hÊt th× kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn ¸ mÆt i hÊm lµ nh nhau, víi i = 1, . . . , 6, hoÆ hän ngÉu nhiªn hai trong ba ngêi A, B, C th× ¸ kh¶ n¨ng hän ®î AB hoÆ AC hoÆ BC lµ nh nhau. Cho mét php thö víi n biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng, trong ®ã ã m biÕn è s¬ Êp thuËn lîi ho biÕn è A, nghÜa lµ nÕu mét trong m biÕn è ®ã x¶y ra th× ko theo A x¶y ra. Khi ®ã ta ã ®Þnh nghÜa sau. §Þnh nghÜa 1.3.1. X¸ suÊt (probability) xuÊt hiÖn biÕn è A trong mét php thö, ký hiÖu P (A), lµ tû sè gi÷a sè ¸ biÕn è s¬ Êp thuËn lîi ho A vµ sè ¸ biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng ã thÓ x¶y ra khi thù hiÖn php thö ®ã. NghÜa lµ m P (A) = . n
Dùa vµo ®Þnh nghÜa ¸ biÕn è ngÉu nhiªn, biÕn è h¾ h¾n vµ biÕn è rçng, ¸ tÝnh hÊt ®¬n gi¶n sau ña x¸ suÊt dµnh ho b¹n ®ä tù høng minh. TÝnh hÊt 1.3.2. (i) 0 6 P (A) 6 1. (ii) P (Ω) = 1. (iii) P (∅) = 0. Chó ý 1.3.3. (i) NÕu ta xem biÕn è A nh lµ tËp on ña kh«ng gian mÉu S vµ ký hiÖu n(•) lµ sè phÇn tö ña mét tËp hîp th× «ng thø trong ®Þnh nghÜa trªn ã thÓ viÕt l¹i nh sau: Sè phÇn tö ña A n(A) P (A) = = . Sè phÇn tö ña S n(S) (ii) ViÖ tÝnh x¸ suÊt dùa vµo ®Þnh nghÜa trªn nªn theo tr×nh tù sau: - Xt php thö ®ang quan s¸t ã ph¶i lµ php thö ®ång kh¶ n¨ng kh«ng. - §Õm ®î tÊt ¶ ¸ biÕn è s¬ Êp trong kh«ng gian mÉu. - §Õm ®î ¸ biÕn è s¬ Êp thuËn lîi ho biÕn è A. Sau ®ã ¸p dng «ng thø trong ®Þnh nghÜa. Theo hó ý trªn, ®Ó tÝnh x¸ suÊt b»ng ®Þnh nghÜa æ ®iÓn, ta ¸p dng mét sè ph¬ng ph¸p t duy sau ®Ó ®Õm ®î sè phÇn tö trong kh«ng gian mÉu vµ sè phÇn tö ña tËp hîp A. 1. Ph¬ng ph¸p suy luËn trù tiÕp: Thêng ¸p dng ho trêng hîp sè ¸ biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng trong php thö lµ kh¸ nhá vµ viÖ suy ®o¸n kh¸ ®¬n gi¶n. VÝ d 1.3.4. Trong mét huång kÝn ã 6 on gµ trèng vµ 4 on gµ m¸i. B¾t ngÉu nhiªn mét on gµ. TÝnh x¸ suÊt ®Ó b¾t ®î on gµ m¸i? Gi¶i. Gäi A lµ biÕn è "B¾t ®î on gµ m¸i". Php thö b¾t ngÉu nhiªn mét on gµ trong huång kÝn ho ta sè ¸ biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng trong kh«ng gian mÉu lµ n(S) = 6 + 4 = 10 vµ sè ¸ biÕn è s¬ Êp thuËn lîi ho A lµ n(A) = 4. VËy x¸ suÊt ®Ó b¾t ®î mét on gµ m¸i lµ 4 P (A) = = 0, 4. 10 2. Ph¬ng ph¸p dïng ¸ «ng thø ña gi¶i tÝ h tæ hîp: Trong phÇn lín trêng hîp, khi php thö ã sè biÕn è s¬ Êp rÊt lín vµ kh«ng thÓ suy ®o¸n trù tiÕp hay viÖ biÓu thÞ b»ng s¬ ®å rÊt phø t¹p th× ngêi ta thêng dïng «ng ña gi¶i tÝ h tæ hîp ®Ó "®Õm" ¸ biÕn è s¬ Êp nh ®· tr×nh bµy ë M 1.1. VÝ d 1.3.5. Bá ngÉu nhiªn 5 l¸ th vµo 5 phong b× ®· ghi s½n ®Þa hØ. TÝnh x¸ suÊt: (i) C¶ 5 l¸ th ®Òu ®Õn ®óng ®Þa hØ. (ii) ChØ ã l¸ thø nhÊt ®Õn ®óng ®Þa hØ. (iii) ChØ ã l¸ thø nhÊt vµ l¸ thø hai ®Õn ®óng ®Þa hØ.
Gi¶i. Bá ngÉu nhiªn 5 l¸ th vµo 5 phong b× ®· ®Ò trí ®Þa hØ. Khi ®ã, sè phÇn tö trong kh«ng gian mÉu lµ n(S) = 5! = 120. (i) Gäi A lµ biÕn è "C¶ 5 l¸ th ®Òu ®Õn ®óng ®Þa hØ". Do ®ã n(A) = 1. 1 P (A) = = 0, 008. 120 (ii) Gäi B lµ biÕn è "ChØ ã l¸ thø nhÊt ®Õn ®óng ®Þa hØ". Khi ®ã ã 1 ¸ h bá l¸ thø nhÊt vµo phong b× ®óng ®Þa hØ, vµ ã 4! ¸ h bá 4 l¸ th ßn l¹i vµo 4 phong b× ßn l¹i. Do ®ã n(B) = 1 × 4!. 4! P (B) = = 0, 2. 120 (iii) Gäi C lµ biÕn è "ChØ ã l¸ thø nhÊt vµ l¸ thø hai ®Õn ®óng ®Þa hØ". Khi ®ã, hØ ã mét ¸ h bá hai l¸ th ®Çu vµo hai phong b× ®óng ®Þa hØ, ßn ã 3! ¸ h bá 3 l¸ ßn l¹i ngÉu nhiªn vµo 3 phong b× ßn l¹i. Do ®ã n(C) = 1 × 1 × 3!. 1 × 1 × 3! 1 P (C) = = = 0, 05. 120 20 VÝ d 1.3.6. Mét hép kÝn ã høa 100 h¹t ®Ëu gièng, trong ®ã ã 40 h¹t ®Ëu hoa vµng thuÇn hñng, 30 h¹t ®Ëu hoa vµng kh«ng thuÇn hñng vµ 30 h¹t ®Ëu hoa tr¾ng. Chän ngÉu nhiªn 3 h¹t ®Ëu. H·y tÝnh x¸ suÊt ®Ó (i) Chän ®î 3 lo¹i h¹t kh¸ nhau. (ii) Chän ®î 3 h¹t ®Ëu hoa vµng. (iii) Chän ®î ®óng mét h¹t ®Ëu hoa tr¾ng. Gi¶i. Php thö ë ®©y lµ ¸ h lÊy thø nhÊt ë M 1.1.8, tø lµ hän ngÉu nhiªn ïng mét ló 3 phÇn tö tõ 100 phÇn tö kh«ng quan t©m ®Õn thø tù nªn sè ¸ biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng 3 trong kh«ng gian mÉu lµ n(S) = C100 . (i) Gäi A lµ biÕn è "Chän ®î 3 lo¹i h¹t kh¸ nhau". Khi ®ã sè ¸ biÕn è s¬ Êp thuËn 1 1 1 lîi ho A lµ n(A) = C40 C30 C30 . V× thÕ 1 1 1 C40 C30 C30 P (A) = 3 = 0, 223. C100 (ii) Gäi B lµ biÕn è "Chän ®î 3 h¹t ®Ëu hoa vµng". Khi ®ã sè ¸ biÕn è s¬ Êp thuËn 3 lîi ho B lµ n(B) = C70 . V× thÕ 3 C70 P (B) = 3 = 0, 339. C100 (iii) Gäi C lµ biÕn è "Chän ®î ®óng 1 h¹t hoa tr¾ng". Khi ®ã sè ¸ biÕn è s¬ Êp 1 2 thuËn lîi ho C lµ n(C) = C30 C70 . Do ®ã 1 2 C30 C70 P (C) = 3 = 0, 448. C100
Ngoµi ra, ®Ó ã thÓ h×nh dung ®î mét ¸ h trù quan h¬n vÒ php thö vµ ¸ biÕn è, ta thêng sö dng mét sè lo¹i s¬ ®å nh: s¬ ®å Venn ®î giíi thiÖu n¨m 1880 bëi nhµ to¸n hä Jonh Venn, dïng ®Ó m« t¶ ¸ quan hÖ logi ã thÓ ña mét sè h÷u h¹n ¸ tËp hîp; S¬ ®å h×nh ©y, s¬ ®å d¹ng b¶ng,... hay m« t¶ tËp hîp. NhËn xt 1.3.7. (i) §Þnh nghÜa æ ®iÓn vÒ x¸ suÊt ã u ®iÓm lµ hØ ra ¸ h tÝnh x¸ suÊt ña mét biÕn è mét ¸ h trù quan, ®¬n gi¶n trong khi hØ Çn tiÕn hµnh php thö mét ¸ h gi¶ ®Þnh. (ii) Tuy nhiªn, nh trªn ®· ®Ò Ëp, ®Þnh nghÜa nµy ®ßi hái kh¶ n¨ng x¶y ra ¸ biÕn è s¬ Êp lµ nh nhau vµ sè ¸ biÕn è s¬ Êp ph¶i h÷u h¹n. §©y lµ mét gi¶ thiÕt kh¸ m¹nh bëi trong thù tÕ, ®iÒu kiÖn ®ång kh¶ n¨ng vµ h÷u h¹n ña ¸ biÕn è s¬ Êp ña php thö kh«ng ph¶i ló nµo òng ®î b¶o ®¶m. VÝ d: trong ©u 2 ña phÇn th¶o luËn 1.2 ë trªn, rót ngÉu nhiªn 1 trong 10 viªn bi, nÕu quan t©m ®Õn thø tù ña viªn bi th× ®ã lµ ¸ biÕn è s¬ Êp ®ång kh¶ n¨ng, ßn nÕu hØ quan t©m ®Õn mµu bi th× ã hai biÕn è s¬ Êp vµ hóng kh«ng ®ång kh¶ n¨ng,... 1.3.2 §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸ suÊt M nµy giíi thiÖu mét ®Þnh nghÜa kh¸ vÒ x¸ suÊt. Trí hÕt, gi¶ sö ta tiÕn hµnh n php thö víi ïng mét hÖ ®iÒu kiÖn, trong ®ã biÕn è A xuÊt hiÖn m lÇn. §Þnh nghÜa 1.3.8. Sè lÇn xuÊt hiÖn biÕn è A ®î gäi lµ tÇn sè (frequen y) vµ tû sè m f (A) = n ®î gäi lµ tÇn suÊt (relative frequen y) xuÊt hiÖn biÕn è A trong n php thö ®· ho. Ta thÊy r»ng khi n thay ®æi th× m òng thay ®æi. Ngay ¶ khi tiÕn hµnh n php thö kh¸ víi ïng mét hÖ ®iÒu kiÖn th× tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö nµy òng ã thÓ kh¸ tÇn sè vµ tÇn suÊt ña n lÇn thö trí . Tuy nhiªn tÇn suÊt ã tÝnh æn ®Þnh, nghÜa lµ khi sè php thö n t¨ng lªn ®ñ lín th× tÇn suÊt sÏ biÕn ®æi rÊt nhá xung quanh mét gi¸ trÞ x¸ ®Þnh. §Ó minh häa ho nhËn xt trªn, ta nh¾ l¹i mét vÝ d kinh ®iÓn ®î thù hiÖn bëi Buffon vµ Pearson ®Ó nghiªn øu kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mÆt sÊp khi tung mét ®ång xu nh sau. Ngêi lµm thÝ nghiÖm Sè lÇn tung Sè lÇn ®î mÆt sÊp TÇn suÊt Buffon 4040 2048 0, 5069 Pearson 12000 6019 0, 5016 Pearson 24000 12012 0, 5005 Nh×n vµo b¶ng trªn, ta thÊy r»ng khi sè lÇn tung ngµy µng t¨ng lªn, tÇn suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp ngµy µng dÇn ®Õn gi¸ trÞ x¸ ®Þnh lµ 0, 5 vµ gi¸ trÞ nµy ®î lÊy lµm x¸ suÊt xuÊt hiÖn mÆt sÊp khi tung mét ®ång tiÒn ©n ®èi ®ång hÊt. VÝ d nµy dÉn ®Õn ®Þnh nghÜa sau:
§Þnh nghÜa 1.3.9. X¸ suÊt xuÊt hiÖn biÕn è A lµ giíi h¹n ña tÇn suÊt xuÊt hiÖn biÕn è ®ã khi php thö t¨ng lªn v« h¹n. m P (A) = lim f (A) = lim . n→∞ n→∞ n Trªn thù tÕ, P (A) ®î tÝnh xÊp xØ bëi tÇn suÊt f (A) khi n ®ñ lín. VÝ d 1.3.10. §Ó x¸ ®Þnh tû lÖ n¶y mÇm ña mét gièng lóa, ngêi ta gieo thö 5000 h¹t vµ quan 5000 − 120 s¸t thÊy ã 120 h¹t kh«ng n¶y mÇm. VËy x¸ suÊt Çn t×m xÊp xØ b»ng = 0, 976 5000 hay tû lÖ n¶y mÇm lµ 97, 6%. NhËn xt 1.3.11. (i) §Þnh nghÜa thèng kª vÒ x¸ suÊt ho ta mét gi¸ trÞ gÇn ®óng dùa trªn ¬ së quan s¸t thù tÕ ®Ó ®a ra kÕt luËn x¸ suÊt x¶y ra ña mét biÕn è. §Þnh nghÜa nµy kh«ng ®ßi hái nh÷ng ®iÒu kiÖn nh ®Þnh nghÜa æ ®iÓn vµ ã ®é hÝnh x¸ kh¸ lín, phï hîp víi thù tÕ òng nh tÝnh to¸n lý thuyÕt. (ii) Tuy nhiªn, ®Þnh nghÜa nµy hØ ¸p dng ho nh÷ng php thö ã thÓ lÆp l¹i nhiÒu lÇn mét ¸ h ®é lËp víi nh÷ng ®iÒu kiÖn gièng hÖt nhau. H¬n n÷a, ®Ó x¸ ®Þnh ®î gi¸ trÞ x¸ suÊt mét ¸ h t¬ng ®èi hÝnh x¸ , ta Çn tiÕn hµnh trªn thù tÕ mét sè n ®ñ lín php thö, mµ ®iÒu nµy nhiÒu khi kh«ng thù hiÖn ®î v× h¹n hÕ vÒ thêi gian vµ kinh phÝ. Ngoµi ¸ ®Þnh nghÜa võa nªu trªn, ngêi ta ßn ®a ra nh÷ng ®Þnh nghÜa kh¸ nh ®Þnh nghÜa h×nh hä vÒ x¸ suÊt, ®Þnh nghÜa tiªn ®Ò vÒ x¸ suÊt ña Kolmogorop, ®Þnh nghÜa x¸ suÊt hñ quan, ... Tuy nhiªn, víi khu«n khæ ña uèn gi¸o tr×nh nµy, hóng t«i kh«ng tr×nh bµy nh÷ng ®Þnh nghÜa ®ã ë ®©y mµ dµnh ®Ó b¹n ®ä tù tham kh¶o. 1.3.3 Nguyªn lý x¸ suÊt lín vµ x¸ suÊt nhá Trong thù tÕ, ta gÆp ph¶i nhiÒu trêng hîp mµ ¸ biÕn è ã x¸ suÊt rÊt nhá, gÇn nh b»ng 0. Trong trêng hîp ®ã, liÖu ta ã thÓ ho r»ng nh÷ng biÕn è nµy sÏ kh«ng x¶y ra khi thù hiÖn php thö? TÊt nhiªn ta kh«ng thÓ kÕt luËn nh vËy, v× thËm hÝ mét biÕn è ã x¸ suÊt b»ng 0 vÉn ha h¾ h¾n lµ biÕn è kh«ng thÓ ã, tø lµ vÉn ã thÓ x¶y ra. Tuy nhiªn, qua nhiÒu lÇn quan s¸t, ngêi ta thÊy r»ng ¸ biÕn è ã x¸ suÊt nhá gÇn nh sÏ kh«ng x¶y ra khi tiÕn hµnh mét php thö. Trªn ¬ së ®ã ta ã thÓ ®a ra "Nguyªn lý thù tÕ kh«ng thÓ ã ña ¸ biÕn è ã x¸ suÊt nhá" sau ®©y: NÕu mét biÕn è ã x¸ suÊt rÊt nhá th× thù tÕ ã thÓ ho r»ng trong mét php thö biÕn è ®ã sÏ kh«ng x¶y ra. Chó ý r»ng viÖ quy ®Þnh mø x¸ suÊt ®î oi lµ rÊt nhá sÏ ®î quy ®Þnh trong tõng bµi to¸n thÓ vµ gäi lµ mø ý nghÜa. Ch¼ng h¹n, nÕu x¸ suÊt ®Ó mét huyÕn tµu ®êng dµi ®Õn ga hËm lµ 0, 01 th× thù tÕ ã thÓ ho r»ng tµu ®Õn ga ®óng giê, nhng nÕu x¸ suÊt ®Ó dï kh«ng më khi sö dng lµ 0, 01 th× x¸ suÊt ®ã ha thÓ oi lµ nhá vµ dï ®ã sÏ kh«ng ®î sö dng trong thù tÕ.
T¬ng tù nh vËy, ta ã thÓ ®a ra "Nguyªn lý h¾ h¾n x¶y ra ña ¸ biÕn è ã x¸ suÊt lín" nh sau: NÕu biÕn è ngÉu nhiªn ã x¸ suÊt gÇn b»ng 1 th× thù tÕ ã thÓ ho r»ng biÕn è ®ã sÏ x¶y ra trong mét php thö. Còng nh ë trªn, viÖ quy ®Þnh mø x¸ suÊt ®î oi lµ lín sÏ ®î quy ®Þnh trong tõng bµi to¸n thÓ. 1.4 C¸ ®Þnh lý ¬ b¶n ë m trí , ta ®· ®a ra ¸ h tÝnh x¸ suÊt trù tiÕp b»ng ¸ ®Þnh nghÜa. Tuy nhiªn, trong thù tÕ, ã nhiÒu bµi to¸n phø t¹p h¬n, ®ßi hái ph¶i tÝnh x¸ suÊt ña nh÷ng biÕn è th«ng qua x¸ suÊt ®· biÕt ña nh÷ng biÕn è kh¸ ã liªn quan víi hóng. Trong m nµy, ta sÏ nghiªn øu 5 ®Þnh lý ¬ b¶n nhÊt ña x¸ suÊt. 1.4.1 §Þnh lý éng x¸ suÊt §Þnh lý 1.4.1. (i) NÕu A vµ B lµ hai biÕn è bÊt kú th× P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB). (ii) NÕu A, B vµ C lµ ba biÕn è bÊt kú th× P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (AB) − P (AC) − P (BC) + P (ABC). Ta ã hÖ qu¶ trù tiÕp ña §Þnh lý 1.4.1 ho ¸ biÕn è xung kh¾ , biÕn è ®èi lËp vµ hÖ ®Çy ®ñ ¸ biÕn è. HÖ qu¶ 1.4.2. (i) NÕu A vµ B lµ hai biÕn è xung kh¾ th× P (A + B) = P (A) + P (B). (ii) NÕu ¸ biÕn è A1 , . . . , An lµ mét hÖ ®Çy ®ñ ¸ biÕn è th× P (A1 + . . . + An ) = P (A1 ) + . . . + P (An ) = 1. (iii) Tæng x¸ suÊt ña hai biÕn è ®èi lËp nhau b»ng 1, tø lµ P (A) + P (A) = 1. VÝ d 1.4.3. Mét gia ®×nh ã hai vî hång ha ã on, x¸ suÊt hång xem tivi lµ 0, 8, vî xem tivi lµ 0, 5, x¸ suÊt ®Ó hai vî hång ïng xem ti vi lµ 0, 4. H·y tÝnh x¸ suÊt ®Ó (i) Tivi ã ngêi xem. (ii) Tivi kh«ng ã ai xem. Gi¶i. Gäi A lµ biÕn è "Chång xem tivi", B lµ biÕn è "Vî xem tivi". Khi ®ã, (i) BiÕn è "Tivi ã ngêi xem" lµ A ∪ B . V× A vµ B kh«ng xung kh¾ nhau nªn ¸p dng §Þnh lý éng P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) = 0, 8 + 0, 5 − 0, 4 = 0, 9.