Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p6
Thêm vào BST
Báo xấulượt xem 6
download
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
Tham khảo tài liệu 'giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p6', tài chính - ngân hàng, kế toán - kiểm toán phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p6
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂2v ∂2v = a2 2 ∂t 2 ∂x x v(x, 0) = g(x) - p(0) - (q(0) - p(0)) = g1(x) l ∂v x (x, 0) = h(x) - p’(0) - (q’(0) - p’(0)) = h1(x) ∂t l v(0, t) = v(l, t) = 0 (7.8.4) víi c¸c ®iÒu kiÖn biªn g1(0) = g1(l) = 0 ⇔ g(0) = p(0), g(l) = q(0) h1(0) = h1(l) = 0 ⇔ h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b ∂2w ∂2w ∂2w x = a2 2 + f(x, t) - p”(t) - (q”(t) - p”(t)) = a2 2 + f1(x, t) ∂t 2 ∂x ∂x l ∂w w(x, 0) = 0, (x, 0) = 0 ∂t w(0, t) = w(l, t) = 0 (7.8.5) • Gi¶i c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) t×m c¸c h m v(x, t) v w(x, t) sau ®ã thÕ v o c«ng thøc (7.8.3) suy ra nghiÖm cña b i to¸n HH1. §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ C1(D, 3), g ∈ C2(D, 3), h ∈ C1(D, 3) v c¸c h m p, q ∈ C2([0,T], 3) tho¶ m n g(0) = p(0), g(l) = q(0) v h(0) = p’(0), h(l) = q’(0) H m u(x, t) x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (7.8.3) víi c¸c h m v(x, t) v w(x, t) l nghiÖm cña c¸c b i to¸n (7.8.4) v (7.8.5) l nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh cña b i to¸n HH1. ∂2u ∂2u víi (x, t) ∈ [0, 1] × [0, T] VÝ dô Gi¶i b i to¸n = 4 2 + xt ∂t 2 ∂x ∂u u(x, 0) = sinπx, (x, 0) = x v u(0, t) = 0, u(1, t) = t ∂t • T×m nghiÖm cña b i to¸n d−íi d¹ng u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) + xt trong ®ã h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1a víi g1(x) = sinπx v h1(x) = 0 cßn h m w(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n HH1b víi f1(x, t) = xt. Gi¶i b i to¸n HH1 1 ak = 2 ∫ sin πx sin kπxdx = 1 k = 1 v bk = 0 víi k ∈ ∠* 0 k >1 0 Suy ra v(x, t) = cos2πtsinπx . Trang 130 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Gi¶i b i to¸n HH2a 2(-1) k +1 1 fk(t) = 2t ∫ x sin kπxdx = t víi k ∈ ∠* kπ 0 Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) = ′ ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπ T×m ®−îc c¸c h m (-1) k +1 1 t − sin 2 kπt víi k ∈ ∠* Tk(t) = 2( kπ ) 2 kπ 3 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (-1) k +1 +∞ 1 1 ∑ t − sin 2 kπt sin kπx u(x, t) = xt + cos2πtsinπx + 2 kπ 2π 3 3 k k =1 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. B i tËp ch−¬ng 7 • §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y. ∂2u ∂2u ∂2u 1. +2 + 5 2 - 16u = 0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2. -2 + +9 -9 + 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 3. 2 +3 + +7 -4 =0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u - cos2x 2 + sinx 4. - 2sinx =0 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 • LËp b i to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c b i to¸n sau ®©y. 7. D©y rÊt m¶nh cã ®é d i l ®Æt trªn trôc Ox, mót x = 0 cè ®Þnh, mót x = l chuyÓn ®éng theo qui luËt Asinωt, dao ®éng trong m«i tr−êng cã lùc c¸n tû lÖ víi vËn tèc, hÖ sè tû lÖ l λ, ®é lÖch ban ®Çu l g(x), vËn tèc ban ®Çu l h(x). X¸c ®Þnh dao ®éng cña d©y? 8. §Üa rÊt máng ®ång chÊt b¸n kÝnh R ®Æt trong mÆt ph¼ng Oxy, mËt ®é nguån nhiÖt trong tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m, nhiÖt ®é m«i tr−êng gi÷ ë nhiÖt ®é u0, nhiÖt ®é ban ®Çu l g(x, y). X¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt trªn ®Üa? . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 131
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k • Gi¶i b i to¸n Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 ut=0 = ex, = e-x 9. t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u 2∂ u ∂u 2 + te-x 10. =a ut=0 = sinx, = x + cosx t=0 ∂t ∂t ∂x 2 2 ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx 11. ut=0 = cosx, =x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tcosx 12. ut=0 = sinx, = 2x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x • Gi¶i b i to¸n gi¶ Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + te-x 13. ut=0 = sinx, = x, u(0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx = sinx, u(0, t) = e-t 14. ut=0 = xcosx, t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xsinx = 3 x 2, 15. ut=0 = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u = a2 2 + xcosx 16. ut=0 = sinx, = cosx, (0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂x • Gi¶i c¸c b i to¸n hçn hîp sau ®©y víi H = [0, l] × 3+ ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 17. ut=0 = x(l - x), = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0 ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 18. ut=0 = 0, = xsinx v u(0, t) = u(l, t) = 0 ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 19. ut=0 = xcosx, = 0 v u(0, t) = t, u(l, t) = 0 ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + bshx 20. ut=0 = 0, = 0 v u(0, t) = u(l, t) = 0 ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = a2 2 + tcosx 21. ut=0 = sinx, = x v u(0, t) = 0, u(l, t) = t ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂ 2u ∂u ∂2u = 0 v u(0, t) = 0, u(l, t) = Asinωt = a2 2 22. ut=0 = 0, ∂t t=0 ∂t 2 ∂x ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2λ = a2 2 23. ut=0 = g(x), = h(x) v u(0, t) = u(l, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂t ∂x . Trang 132 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Ch−¬ng 8 Ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt §1. B i to¸n Cauchy thuÇn nhÊt B i to¸n CP1a Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 (8.1.1) ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) (8.1.2) • T×m nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a d¹ng t¸ch biÕn u(x, t) = X(x)T(t) ThÕ v o ph−¬ng tr×nh (8.1.1) ®−a vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n T’(t) + λa2T(t) = 0 X”(x) + λX(x) = 0 HÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n trªn cã hä nghiÖm riªng bÞ chÆn 2 T(t) = e −( αa ) t v X(x) = A(α)cosαx + B(α)sinαx víi α ∈ 3+ Suy ra hä nghiÖm riªng bÞ chÆn cña b i to¸n CP1a 2 uα(x, t) = e −( αa ) t (A(α)cosαx + B(α)sinαx), α ∈ 3+ • T×m nghiÖm tæng qu¸t cña b i to¸n CP1a d¹ng tÝch ph©n suy réng +∞ +∞ − ( αa ) 2 t ∫ u α (x, t )dα = ∫e [A(α) cos αx + B(α ) sin αx]dα u(x, t) = (8.1.3) 0 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) +∞ ∫ [A(α) cos αx + B(α) sin αx]dα = g(x) u(x, 0) = 0 NÕu h m g cã thÓ khai triÓn th nh tÝch ph©n Fourier th× +∞ +∞ 1 1 A(α) = ∫ g(ξ) cos(αξ )dξ v B(α) = ∫ g(ξ) sin(αξ )dξ π −∞ π −∞ Thay v o c«ng thøc (8.1.3) v biÕn ®æi +∞ +∞ 1 − ( αa ) 2 t ∫∞ ∫ g(ξ) cos α(ξ − x)dξ e dα u(x, t) = π− 0 §æi thø tù lÊy tÝch ph©n . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 133
- h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ 1 − ( αa ) 2 t u(x, t) = ∫ ∫ e cos α(ξ − x)dα g(ξ)dξ (8.1.4) π − ∞ 0 • §æi biÕn β = αa t ⇒ dβ = a t dα ξ−x ⇒ ξ = x + 2a t s, dξ = 2a t ds s= 2a t BiÕn ®æi tÝch ph©n bªn trong cña tÝch ph©n (8.1.4) +∞ +∞ 1 1 2 −β 2 − ( αa ) t ∫e ∫e cos α(ξ − x)dα = cos 2sβ dβ = I(s) at0 at 0 §¹o h m I(s), sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn, nhËn ®−îc ph−¬ng tr×nh vi ph©n +∞ π π −s 2 −β 2 ∫ sin 2sβde ⇒ I(s) = I’(s) = = -2sI(s) v I(0) = e 2 2 0 Thay v o tÝch ph©n (8.1.4) suy ra c«ng thøc sau ®©y. ( ξ − x )2 +∞ +∞ 1 1 − −s2 ∫ g(x + 2a ∫ g(ξ)e dξ 4a 2t u(x, t) = t s)e ds = (8.1.5) π 2a πt −∞ −∞ §Þnh lý Cho h m g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.1.5) Chøng minh • Theo gi¶ thiÕt h m g liªn tôc v bÞ chÆn 2 2 ∀ (x, t) ∈ H, ∀ s ∈ 3, g(x + 2a t s) e −s ≤ M e −s Suy ra tÝch ph©n (8.1.5) bÞ chÆn ®Òu. Do ®ã cã thÓ lÊy giíi h¹n v ®¹o h m qua dÊu tÝch ph©n theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp h m u(x, t) l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (8.1.1) tho¶ m n ®iÒu kiÖn ban ®Çu (8.1.2) ( ξ −x )2 +∞ ∂u ξ−x − ∫ g( ξ ) 4a dξ 4a 2 t = e ∂x πt 3 3/2 −∞ (ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u − ∫ 4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) 3 +5 dξ e 4a 2 t = ∂x 2 −∞ ( ξ −x )2 +∞ −1 (ξ − x ) 2 ∂2u ∂u − ∫ 4a πt 3 / 2 8a πt 5 / 2 g(ξ) +3 dξ = a2 e 4a 2 t = ∂t ∂x 2 −∞ +∞ 1 2 t s)e − s ds = g(x) ∫ g(x + 2a lim u(x, t) = lim t →0 + π t →0 + −∞ ∂2u ∂u • NÕu ui l hai nghiÖm cña b i to¸n = a2 2 , u(x, 0) = gi ∂t ∂x ∂2u ∂u = a2 2 , u(x, 0) = g1 - g2 = g th× u = u1 - u2 l nghiÖm cña b i to¸n ∂t ∂x . Trang 134 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p7
5 p | 
66
| 
6
-
Giáo trình phân tích cấu tạo nghiệp vụ ngân hàng và thanh toán trực tuyến trên paynet p1
5 p | 103
| 6
-
Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p2
5 p | 65
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo nghiệp vụ ngân hàng và thanh toán trực tuyến trên paynet p2
5 p | 102
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo nghiệp vụ ngân hàng và thanh toán trực tuyến trên paynet p7
5 p | 49
| 5
-
Giáo trình phân tích cấu tạo nghiệp vụ ngân hàng và thanh toán trực tuyến trên paynet p9
5 p | 76
| 5
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p5
5 p | 51
| 4
-
Giáo trình phân tích quy trình nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p10
5 p | 62
| 4
-
Giáo trình phân tích quy trình nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p9
5 p | 57
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p3
5 p | 48
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p4
5 p | 49
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p8
5 p | 60
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p6
5 p | 59
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng kỹ thuật nghiên cứu tạo ra những kiểu dữ liệu mới đa hình p7
5 p | 69
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng cấu tạo đẳng lợi EPS đến giá trị cổ phiếu p8
5 p | 52
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng cấu tạo đẳng lợi EPS đến giá trị cổ phiếu p9
5 p | 53
| 3
-
Giáo trình phân tích quy trình ứng dụng cấu tạo đẳng lợi EPS đến giá trị cổ phiếu p10
5 p | 60
| 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
