zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Chính - Ngân Hàng

» Kế toán - Kiểm toán

Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p7

Chia sẻ: Ewtw Tert | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

67
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p7', tài chính - ngân hàng, kế toán - kiểm toán phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình phân tích cấu tạo lý thuyết trường và phương thức sử dụng toán tử divergence p7

h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k Tõ c«ng thøc (8.1.5) chóng ta cã −íc l−îng sau ®©y +∞ 1 2 t ) | e − s ds ≤ supD  g(ξ)  ∫ | g(x + 2as ∀ (x, t) ∈ H, | u(x, t) | ≤ π −∞ Tõ ®ã suy ra g = g1 - g2 = 0 ⇒ u = u1 - u2 = 0 || g || = || g 1 - g 2 || < δ ⇒ || u || = || u 1 - u 2 || < ε VËy b i to¸n cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh trªn H. ∂2u ∂u = 4 2 v u(x, 0) = xe-x VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x -x H m g(x) = xe tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.1.5) +∞ 1 t )2 t (s + 2 t )]e −( s + 2 e 4 t − x ds ∫ [(x − 8t ) + 4 u(x, t) = π −∞ +∞ +∞   1 e 4 t − x  (x − 8t ) ∫ e − σ dσ + 4 t ∫ σe − σ dσ  víi σ = s + 2 t 2 2 =   π   −∞ −∞ 4t-x = (x - 8t)e §2. B i to¸n Cauchy kh«ng thuÇn nhÊt B i to¸n CP1b Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ v h m f ∈ C(H, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = 0 §Þnh lý Cho h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v h m v(x, τ, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1a tho¶ m n v(x, τ, 0) = f(x, τ). B i to¸n CP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau ®©y ( ξ −x )2 +∞ f (ξ, τ) t t − 1 ∫ dτ ∫ 4a 2 ( t − τ) dξ u(x, t) = ∫ v(x, τ, t − τ)dτ = e (8.2.1) π t −τ 2a 0 −∞ 0 Chøng minh • Do h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) nªn h m v ∈ C2(H × 3+, 3). Do ®ã cã thÓ ®¹o h m tÝch ph©n (8.2.1) theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 135
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k ∂v ∂2v ∂u t t ∫ ∂t (x, τ, t − τ)dτ + v(x, t, 0) = a2 ∫ 2 (x, τ, t − τ)dτ + f(x, t) = ∂t 0 ∂x 0 ∂2u = a2 + f(x, t) v u(x, 0) = 0 ∂x 2 • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ b i to¸n CP1a. B i to¸n CP1 Cho c¸c miÒn D = 3, H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3) v g ∈ C(D, 3). T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v ®iÒu kiÖn ban ®Çu u(x, 0) = g(x) • T×m nghiÖm cña b i to¸n CP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n CP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.1.5) v (8.2.1) suy ra c«ng thøc sau ®©y. +∞ +∞ 1  t 2 2  ∫ g(x + 2a t s)e −s ds + ∫ dτ ∫ f (x + 2a τ s, t − τ)e −s ds  u(x, t) =   π  −∞  −∞ 0  + ∞ g( ξ ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1 dξ  ∫ dξ + ∫ d τ ∫ 4a 2 t = (8.2.2) e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(D, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3). B i to¸n CP1 cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc (8.2.2). ∂2u ∂u = a2 2 + 3t2 v u(x, 0) = sinx VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x 2 H m f(x, t) = t , g(x) = sinx tho¶ m n ®iÒu kiÖn cña ®Þnh lý. Theo c«ng thøc (8.2.2) +∞  +∞  t 1 1 2 2 −s2 −s ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ ∫ sin(x + 2a ts)e ds + u(x, t) = π 0  π   −∞ • KÝ hiÖu +∞ 1 2 i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e I(t) = π −∞ §¹o h m I(t), biÕn ®æi v sau ®ã tÝch ph©n tõng phÇn . Trang 136 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k +∞ +∞ − ia − ia a2 +∞ 2 2 2 i(x +2a d (e − s ) = e i ( x + 2a e −s i ( x + 2 a ts ) e −s ds ∫e ∫e ts ) ts ) I’(t) = - 2 πt − ∞ 2 πt π −∞ −∞ = - a2 I(t) víi I(0) = eix Gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n nhËn ®−îc 2 2 I(t) = e −a t eix = e −a t (cosx + i sinx) (8.2.3) T¸ch phÇn thùc, phÇn ¶o suy ra c¸c tÝch ph©n cÇn t×m. CÇn ghi nhËn kÕt qu¶ v ph−¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trªn ®Ó sö dông sau n y. • TÝnh trùc tiÕp tÝch ph©n  +∞  t 1 2 −s2 ∫  −∫∞3(t − τ) e ds dτ = t 3 J(t) =   π 0  Suy ra nghiÖm cña b i to¸n 2 u(x, t) = Im I(t) + J(t) = e − a t sinx + t3 NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉn sö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m f v g cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. §3. B i to¸n gi¶ Cauchy B i to¸n SP1a Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(D, 3) v g ∈ C(D, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt 2∂ u ∂u 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 =a ∂t ∂x 2 v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = 0 • T− t−ëng chung ®Ó gi¶i b i to¸n SP l t×m c¸ch chuyÓn vÒ b i to¸n CP t−¬ng ®−¬ng. Gi¶ sö f1 v g1 t−¬ng øng l kÐo d i cña c¸c h m f v g lªn to n 3, cßn h m v(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n Cauchy sau ®©y. 2∂ v ∂v 2 + f1(x, t) v u(x, 0) = g1(x) víi (x, t) ∈ 3 × 3+ =a ∂t ∂x 2 Theo c«ng thøc (8.2.2) , ta cã  + ∞ g (ξ) − ( ξ − x )  2 2 (ξ −x ) +∞ f1 (ξ, t − τ) − 4a 2 τ t 1  dξ  ∫ dξ + ∫ dτ ∫ 4a 2 t 1 v(x, t) = e e 2a π  − ∞ t  τ   −∞ 0 ThÕ v o ®iÒu kiÖn biªn . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 137
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k  + ∞ g (ξ) − ξ 2 f1 (ξ, t − τ) − 4 a 2 τ  2 2 ξ +∞ t 1  dξ  = 0 ∫ t dξ + ∫ dτ ∫ 1 v(0, t) = e e 4a t  2a π  − ∞ τ  −∞ 0 Suy ra c¸c h m f1 v g1 ph¶i l c¸c h m lÎ. Tøc l  g( x ) x ≥ 0 f(x, t) x ≥ 0 f1(x, t) =   - f(-x, t) x < 0 v g1(x) = - g(-x) x < 0   §Þnh lý Cho c¸c h m f ∈ C(H, 3) ∩ B(H, 3) v g ∈ C(D, 3) ∩ B(D, 3) tho¶ m n f(0, t) = 0 v g(0) = 0 B i to¸n SP1a cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh x¸c ®Þnh theo c«ng thøc  + ∞ g( ξ )  − ( ξ − x ) 2  ( ξ + x )2 1 −   e 4a t − e 4a 2 t  dξ + ∫ t  2 u(x, t) =  2a π 0     f (ξ, t − τ)  − 4a 2 τ 2 2 (ξ −x ) (ξ+ x) +∞ t −  dξ  e + ∫ dτ ∫ − e 4a τ 2 (8.3.1)   τ  0 0 ∂2u ∂u = a2 2 + 2xt víi (x, t) ∈ 3+×3+ VÝ dô Gi¶i b i to¸n ∂t ∂x u(x, 0) = sinx v u(0, t) = 0 Do c¸c h m f v g l h m lÎ nªn c¸c h m kÐo d i lÎ f1 = f v g1 = g. Thay v o c«ng thøc (8.2.2) v sö dông tÝch ph©n (8.2.3) , ta cã +∞ t +∞ 1 1 −s 2 2 τs)e − s dsdτ ∫ sin(x + 2a ∫ ∫ 2(t − τ)(x + 2a u(x, t) = t s)e ds + π π −∞ 0 −∞  +∞ 2 +∞  t 1 2 2(t − τ)dτ x ∫ e − s ds − a τ ∫ d(e −s )  ∫ = ImI(t) +   π0  −∞  −∞ 2 = e −a t sinx + xt2 B i to¸n SP1b Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ v h m h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = 0, u(0, t) = h(t) §Þnh lý Cho h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3). B i to¸n SP1b cã nghiÖm duy nhÊt v æn ®Þnh . Trang 138 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò
h a n g e Vi h a n g e Vi XC XC e e F- F- w w PD PD er er ! ! W W O O N N y y bu bu to to k k lic lic C C w w m m w w w w o o .c .c Ch−¬ng 8. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn NhiÖt .d o .d o c u -tr a c k c u -tr a c k x¸c ®Þnh theo c«ng thøc x2 h ( t − τ) − 4 a 2 τ t x ∫ 3 / 2 e dτ u(x, t) = (8.3.2) 2a π 0 τ Chøng minh • Do h m h ∈ C(3+, 3) ∩ B(3+, 3) nªn tÝch ph©n (8.3.2) héi tô ®Òu H. Do ®ã cã thÓ ®¹o h m theo x hai lÇn, theo t mét lÇn. KiÓm tra trùc tiÕp x2 x2 ∂u h ( t − τ) − 4 a 2 τ h(t − τ) − 2 t t x2 1 ∫ τ3 / 2 ∫ τ 5 / 2 e 4 a τ dτ dτ - = e ∂x 2a π 4a 3 π 0 0 x2 x2 ∂2u −x h(t − τ) − 4a 2 τ h(t − τ) − 4a 2 τ t t x3 ∫ τ5 / 2 ∫ τ 7 / 2 e dτ dτ + 5 = e ∂x 2 4a 3 π 8a π 0 0 x2 x2 ∂u t − x h(0) − 4a 2 t x 1 ∫τ dh(t − τ) 4a 2 τ = e - e ∂t 3/2 3/2 2a π t 2a π 0 x2  −3  − 4a 2 τ t x2 x dτ = a2 u′xx ′ ∫ h(t − τ) 5 / 2 + 2 7 / 2 e =  2τ  4a τ 2a π 0   Theo c«ng thøc (8.3.2) ta cã u(x, 0) = 0 §æi biÕn tÝch ph©n (8.3.2) +∞ x2 x 2 2 ∫ )e −s ds h( t − s= , u(x, t) = 22 2a τ π 4a s x 2a t Suy ra u(0, t) = h(t) • TÝnh duy nhÊt v æn ®Þnh suy ra tõ c«ng thøc (8.3.2) v −íc l−îng tÝch ph©n. B i to¸n SP1 Cho c¸c miÒn D = 3+ , H = D × 3+ , c¸c h m f ∈ C(H, 3), g ∈ C(D, 3) v h ∈ C(3+, 3) T×m h m u ∈ C(H, 3) tho¶ m n ph−¬ng tr×nh truyÒn nhiÖt ∂2u ∂u = a2 2 + f(x, t) víi (x, t) ∈ H0 ∂t ∂x v c¸c ®iÒu kiÖn u(x, 0) = g(x), u(0, t) = h(t) • T×m nghiÖm cña b i to¸n SP1 d−íi d¹ng u(x, t) = ua(x, t) + ub(x, t) trong ®ã uα(x, t) l nghiÖm cña b i to¸n SP1α KÕt hîp c¸c c«ng thøc (8.3.1) v (8.3.2), suy ra c«ng thøc sau ®©y. . Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 139

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.