Link xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem phim mới 2023 hay nhất xem phim chiếu rạp mới nhất phim chiếu rạp mới xem phim chiếu rạp xem phim lẻ hay 2022, 2023 xem phim lẻ hay xem phim hay nhất trang xem phim hay xem phim hay nhất phim mới hay xem phim mới link phim mới

Link xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem tivi trực tuyến nhanh nhất xem phim mới 2023 hay nhất xem phim chiếu rạp mới nhất phim chiếu rạp mới xem phim chiếu rạp xem phim lẻ hay 2022, 2023 xem phim lẻ hay xem phim hay nhất trang xem phim hay xem phim hay nhất phim mới hay xem phim mới link phim mới

intTypePromotion=1
ADSENSE

Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 1 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

Chia sẻ: Dương Hàn Thiên Băng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:108

14
lượt xem
3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 của giáo trình "Toán cao cấp 1" giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến. Phần này được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp 1: Phần 1 - Trường ĐH Công nghiệp Quảng Ninh

  1. BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH TS. NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên) ThS. NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths. NGUYỄN DUY PHAN GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP 1 DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC (Lưu hành nội bộ) QUẢNG NINH, NĂM 2017
  2. LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình Toán Cao Cấp 1, bậc Đại học được biên soạn dành cho đối tượng là sinh viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh. Giáo trình được biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết môn Toán Cao Cấp 1, bậc Đại học của nhà trường. Cuốn giáo trình được biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với đề cương môn học, có nhiều dạng bài tập phong phú đáp ứng yêu cầu của các môn học chuyên ngành. Cấu trúc của giáo trình gồm 4 chương. Mỗi chương đều trình bày các phần lý thuyết, bài tập, ví dụ phong phú và phần bài tập luyện tập cuối chương. Phần lý thuyết được trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu về vấn đề để có thể áp dụng làm bài tập. Phần bài tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng. Cuối mỗi chương đều có bài tập luyện tập. Chương 1 giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến. Phần này được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi. Chương 2 trình bày kiến thức cơ bản về phép tính giải tích hàm nhiều biến như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân và cực trị tự do của hàm nhiều biến. Chương 3 trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, các phương pháp tính và ứng dụng của tích phân hai lớp và tích phân ba lớp. Chương 4 trình bày kiến thức cơ bản về tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2, bao gồm định nghĩa, các tính chất, cách tính tích phân và mối liên hệ giữa hai loại tích phân đường loại 1 và loại 2. Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất cả nội dung lý thuyết theo trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu các vấn đề được trình bày trong giáo trình một cách lôgic, đọc các bài tập, ví dụ minh họa và làm bài tập phần luyện tập cuối chương. Trong quá trình biên soạn, chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ quý báu của nhiều đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ và Hợp tác Quốc tế cùng đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ bản của trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh đã tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình được hoàn thiện. Mặc dù đã có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song cuốn giáo trình không tránh khỏi các hạn chế. Nhóm tác giả rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến từ phía bạn đọc để giáo trình được hoàn thiện hơn. Chủ biên và các tác giả. 1
  3. 2
  4. Chương 1 PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1. Hàm số 1.1.1. Định nghĩa ánh xạ và hàm số 1.1.1.1. Ánh xạ a. Định nghĩa Ánh xạ từ tập E khác rỗng tới tập F là một qui luật f liên hệ giữa E và F sao cho khi nó tác động vào một phần tử x bất kỳ của E sẽ tạo ra một và chỉ một phần tử y của F. Ký hiệu là f : E  F x y  f ( x) E gọi là tập nguồn, F gọi là tập đích, y gọi là ảnh của x; x gọi là nghịch ảnh của y qua ánh xạ f. f x y F E Hình 1-1 Như vậy để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, một quy luật xác định f , quy tắc này thỏa mãn điều kiện: ứng với mỗi x bất kỳ của E tồn tại duy nhất một y của F sao cho y  f ( x) . Ví dụ E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe. Rõ ràng quy luật này thỏa mãn tính tồn tại, duy nhất (mỗi hãng xe thuộc tập E có duy nhất một tên nước xuất xứ tương ứng của tập F). Khi đó ta có ánh xạ f từ E đến F, và ta có thể viết f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’. Tập hợp f(E)={ y  F |  x  E, y = f(x)} gọi là ảnh của E qua ánh xạ f. Ánh xạ f : E  F gọi là đơn ánh nếu f(x1) = f(x2)  x1= x2 , tức là không tồn tại phần tử nào của F có 2 nghịch ảnh. 3
  5. x1 y x2 Hình 1-2. Đơn ánh Ánh xạ f : E  F gọi là toàn ánh nếu yF, xE: y = f(x); tức là mọi phần tử của F đều có nghịch ảnh. Hình 1-3a. Ánh xạ là toàn ánh Hình 1-3b. Ánh xạ không là toàn ánh Ánh xạ f : E  F gọi là song ánh nếu f là toàn ánh và là đơn ánh. Tức là mọi phần tử của F đều có nghịch ảnh và nghịch ảnh là duy nhất. . Hình 1-4. Song ánh Ánh xạ f trong ví dụ thực tế vừa nêu trên là đơn ánh và không là toàn ánh, vì vậy cũng không là song ánh. b. Ánh xạ ngược f :E F Cho ánh xạ là song ánh. Khi đó mỗi phần tử y = f(x) với y thuộc x y  f ( x) 4
  6. F đều là ảnh của một và chỉ một phần tử x trong E. Như vậy, có thể đặt tương ứng mỗi phần tử y trong F với một và chỉ một phần tử x trong E. Phép tương ứng đó xác định một ánh xạ từ F sang E, ánh xạ này được gọi là ánh xạ ngược của ánh xạ f . g:F E Ta gọi ánh xạ y x  g ( y) với đặc điểm x  g ( y )  y  f ( x) , là ánh xạ ngược của ánh xạ f. Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh là y, nghịch ảnh là x, vậy hàm số có thể viết g:F  E x y  g ( x) Ánh xạ ngược g của ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1. Trở lại ví dụ thực tế trên, nếu E là tập hợp các thương hiệu xe hơi nổi tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F là tập hợp tên một số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’}, f là quy luật cho tương ứng mỗi thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe. Khi đó ta có một song ánh f từ E đến F. Ta có thể viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’. Khi tập nguồn và tập đích là các tập số, ta có khái niệm hàm số. Hàm số là trường hợp đặc biệt của ánh xạ. 1.1.1.2. Hàm số a. Định nghĩa Cho E  R; F  R; E   ; F   ; Một ánh xạ f từ E vào F, f :E→F được gọi là một hàm số (thực) của biến số (thực). Ký hiệu : f : E→F xf(x) X gọi là tập xác định của f, ký hiệu Df f(X)=  f(x), x  X  gọi là tập giá trị của f ; ký hiệu Rf x gọi là đối số hoặc biến số độc lập, f(x) gọi là hàm số hoặc biến số phụ thuộc. Đôi khi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn là x f(x) hoặc y = f(x). Trong chương trình môn Toán ở bậc Trung học phổ thông của Việt Nam : Nếu E, F là tập con của tập số thực thì hàm số được gọi là hàm số thực, nếu E, F là tập con của tập số phức thì hàm số được gọi là hàm số biến số phức, nếu X là tập con của tập số tự nhiên thì hàm số được gọi là hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler   n  (phi hàm Euler) biểu diễn số các số tự nhiên không vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất cả các ước của số tự nhiên n... Trong chương trình, ta chỉ nghiên cứu sâu về khái niệm hàm số thực. Ví dụ. 5
  7. 1) y=x là hàm đồng nhất thường ký hiệu id(x). 2) y=c; c lµ h»ng sè; gäi lµ hàm hằng sè. 3) y=E(x) (hoÆc y=[x]), víi E(x) lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v-ît qu¸ x, gäi lµ hàm phần nguyên, vậy [2,13]=2, [-2,13]=-3. 4) y = 2x2+x+1 lµ hµm sè bËc 2. 1 x0  5) y = sgn(x) víi sgn(x) = 0 nếu x0 1 x0  nếu gäi lµ hµm sè dÊu cña x (®äc lµ xicnum). 0 nếu x là số vô tỉ 6) y = D(x) víi D(x) =  gäi lµ hµm sè Dirichlet 1 nếu x là số hữu tỉ Có bốn cách biểu thị một hàm số : bằng công thức, bằng bảng, bằng đồ thị và bằng lời. Nếu một hàm số được biểu thị bằng nhiều cách thì ta có thể hiểu về nó rõ hơn. Ta thường gặp các hàm số được biểu thị bằng công thức y=f(x) rồi từ đó xác định được đồ thị của nó, trong đó đồ thị của hàm số được định nghĩa như sau: b. Đồ thị hàm số Đồ thị của hàm số y=f(x) là một tập hợp các điểm trong mặt phẳng có toạ độ (x; f(x)) , với x  Df . 1.1.2. Một số lớp hàm số đặc biệt và các hàm số sơ cấp cơ bản. 1.1.2.1. Một số lớp hàm số có tính chất đặc biệt a. Hàm số chẵn, lẻ Hàm y = f(x) xác định trên Df là hàm chẵn nếu: ) x  D f   x  D f  ) f ( x)  f ( x), x  D f Hàm y = f(x) xác định trên Df là hàm lẻ nếu ) x  D f   x  D f  ) f ( x)   f ( x), x  D f Hàm chẵn Hàm lẻ Hình 1-5. 6
  8. b. Hàm tuần hoàn Cho hàm số y = f(x) xác định trên X gọi là hàm tuần hoàn trên X nếu tồn tại t >0 sao cho với mọi x  X thì x + t  X và f (x + t) = f(x). Nếu có số dương T nhỏ nhất trong các số t xác định như trên thì T gọi là chu kỳ hàm số tuần hoàn f(x). Ví dụ hàm y=sinx, y=cosx tuần hoàn với chu kì T= 2π. Hàm y = sin3x tuần hoàn với chu kỳ T= 2π/3. Hàm Dirichlet D(x) là hàm tuần hoàn nhưng không có chu kỳ. Hình 1-6. Đồ thị hàm tuần hoàn y = sin3x trên [ ;  ] c. Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi là hàm tăng trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1  x2 thì f(x1)  f(x2). Hàm y=f(x) gọi là tăng ngặt trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1< x2 thì f(x1) < f(x2). Hàm y=f(x) gọi là hàm giảm trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1  x2 thì f(x1)  f(x2). Hàm y=f(x) gọi là giảm ngặt trên X nếu với mọi x1 , x2  X , x1 f(x2). Hàm tăng hoặc giảm gọi là hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt hoặc giảm ngặt gọi là hàm đơn điệu ngặt. d. Hàm số bị chặn Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn trªn trong X nÕu tån t¹i sè B sao cho víi mäi x  X, f(x)  B. Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn d-íi trong X nÕu tån t¹i sè A sao cho víi mäi x  X, f(x)  A. Hµm sè f(x) gäi lµ bÞ chÆn trong X nÕu tån t¹i c¸c sè A, B sao cho víi mäi x  X, A  f(x)  B. e. Hàm sè hợp Cho ¸nh x¹ f : X  Y ; g: Y  R . Ta gọi ánh xạ h : X  R x y  g ( f ( x)) là hàm hợp của hàm f và g, ký hiệu h = g f . 7
  9. Ví dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) là hàm số hợp g(f(x)), trong đó g(t) = sin(t), f(x) = (x2 +1). Việc nhận biết một hàm số là hàm hợp của các hàm khác, trong nhiều trường hợp có thể khiến các tính toán giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản hơn. f. Hàm ngược Cho song ¸nh f : X  Y ; X, Y  R. Ánh xạ ngược f-1 : Y  X y x  f 1 ( y) gọi là hàm ngược của f, ký hiệu y = f-1 (x). Nếu f−1(x) tồn tại ta nói hàm số f(x) là khả nghịch. Có thể nói tính chất song ánh là điều kiện cần và đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức là nếu f(x) là song ánh thì ta luôn tìm được hàm ngược f−1(x). Ví dụ. Cho hàm f : R \ 2  R \ 0 1 x y 2 x 1 1 Ta có y  x  2 . Hàm ngược của hàm số trên là hàm 2 x y f-1 : R\{0}  R \ 2 1 y x 2 y Tuy nhiên, ta thường kí hiệu biến số là x, hàm số là y, vậy có thể viết hàm ngược là: f-1 : R\{0}  R \ 2 1 x y 2 x §å thÞ cña hai hµm sè y = f(x) vµ y = f-1(x) trªn cïng mÆt ph¼ng Oxy ®èi xøng nhau qua ®-êng ph©n gi¸c cña gãc phÇn t- thø I vµ thứ III 1 1 Hình 1-7. Đồ thị hàm y  và y   2 trên cùng hệ tọa độ. 2 x x 8
  10. 1.1.2.2. Các hàm số sơ cấp cơ bản a. Hàm lũy thừa y = x  với   R ; Miền xác định Df phụ thuộc vào  Đồ thị hàm lũy thừa trong một số trường hợp đặc biệt : b. Hàm mũ y = ax (0 1 hàm đồng biến; 0< a < 1 hàm nghịch biến; đồ thị y = ax luôn đi qua điểm (0;1) a>1 0< a < 1 Hình 1-8. Đồ thị hàm mũ c. Hàm lôgarit: y = logax (0 1 hàm đồng biến; 0
  11. Hình 1-9. Đồ thị hàm số y=sinx Hình 1-10. Đồ thị hàm số y=cosx Hình 1-11. Đồ thị hàm số y=tanx Hình 1-12. Đồ thị hàm số y=cotx 10
  12. e. Các hàm lượng giác ngược Hàm arcsin Hàm arcsin (đọc là ác-sin) là hàm ngược của hàm    f :   ;    1;1 , x y  sin x  2 2    Ký hiệu là arcsin:  1;1    ;  , x y  arcsinx  2 2       y=arcsin x y ,  1  Vậy    2 2  . Ví dụ: arc sin1  , arc sin   x   1;1  x  sin y 2 2 6  Hình 1-13. Đồ thị y=arcsin Hình 1-14. Đồ thị y=arcsin và y=sinx trên cùng hệ trục Hàm arccosin Hàm arccos (đọc là ác –côsin) là hàm ngược của hàm f : 0;     1;1 x y  cos x 11
  13. Ký hiệu là arccos:  1;1  0;   x y  arccos x  y  arcco s x  y   0,   1  Vậy   . Ví dụ: arccos1  0 , arccos   x   1;1  x  cos y 2 3 Hình 1-15. Đồ thị y=arccosx Hàm arctan Hàm arctan (đọc là ác-tang) là hàm ngược của hàm     f:  ; R  2 2 x y  tanx    Ký hiệu là arctan: R    ;   2 2  x y  arctan x      y  arctan x y   ,    2 2 Vậy  x  R  x  tany  Hình 1-16. Đồ thị y=arctanx 12
  14. Hàm arccot Hàm arccot (đọc là ác-côtang) là hàm ngược của hàm f :  0;    R x y  cotx Ký hiệu là arccot: R   0;   x y  arc cot x       y  arccotx y  ,  Vậy    2 2 . x  R  x  coty  Hình 1-17. Đồ thị y= arccotx Nhận xét. Từ định nghĩa ta có: sin (arcsinx)= x, cos(arccosx)= x, với mọi x   1;1 . tan(arctanx)= x, cot(arccotx)= x, với mọi x  R.    arcsin(sinx) = x, với mọi x    ;  .  2 2 arccos(cosx) = x, với mọi x   0;   .     arctan(tanx) = x, với mọi x   , .  2 2 arccot (cotx) = x, với mọi x   0;   . Tính chất 1) sin (arccosx) = cos(arcsinx) = 1  x 2 , với mọi x   1;1 . 13
  15.  2) arcsinx + arccosx = , với mọi x   1;1 . 2  3) arctanx + arccotx = , với mọi x  R. 2 Chứng minh 1) Đặt t= arccosx, x   1;1 . Khi đó t thuộc đoạn  0;   và cost=x Do t thuộc đoạn  0;   nên sint= 1  (cost)2  1  x 2 . Tương tự ta chứng minh cos(arcsinx) = 1  x 2 , với mọi x   1;1 .    2) Đặt t= arcsinx, x   1;1 . Khi đó t thuộc đoạn   ;  và sint=x.  2 2       Từ sint= cos( -t) nên ta có thể viết cos( -t)=x, do t thuộc đoạn   ;  nên -t thuộc 2 2  2 2 2    đoạn  0;   .Vậy -t=arccosx, tức là t + arccosx = hay arcsinx + arccosx = . 2 2 2 Tương tự ta có thể dễ dàng chứng minh tính chất còn lại. f. Hàm số sơ cấp Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo bởi một số hữu hạn các phép toán số học( Cộng, trừ, nhân, chia) đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số. 3 Ví dụ h(x)  sin x 2 , g(x)  x3   4, f (x)  1  x 2  x3  ...  x5 là các hàm sơ cấp, x nhưng biểu thức 1  x 2  x3 .....  x n  ... không phải hàm sơ cấp (là một chuỗi hàm). 1.1.3. Giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân hàm một biến (Sinh viên tự đọc) 1.1.3.1. Giới hạn của dãy số a. Định nghĩa dãy, dãy con Định nghĩa 1.1.3.1. Ánh xạ x : N *  R , n xn  x(n) gọi là một dãy số thực vô hạn (gọi tắt là dãy số) Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: x1, x2,,xn,…trong đó xn=x(n) hoặc viết là  xn  . x1 gọi là số hạng đầu. xn gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy. Định nghĩa 1.1.3.2. Cho dãy số  xn  : x1, x2…,xn,…. Từ dãy này ta tách ra dãy  xn  : k xn1 , xn2 ,…, xnk ,…chỉ gồm các phần tử của dãy  xn  , với các chỉ số n1, n2,…, nk,… là các số tự nhiên thỏa mãn n1< n2
  16. dãy  xn  . Định nghĩa 1.1.3.3. Dãy số  xn  gọi là hội tụ nếu tồn tại a  R, sao cho với mọi  >0 bé tuỳ ý, tồn tại số tự nhiên n0 sao cho n  n0 thì xn  a < ε. Khi đó ta nói dãy  xn  hội tụ về a hay a là giới hạn của dãy  xn  và viết  xn   a , n   hay lim xn  a n  Dãy số  xn  gọi là phân kỳ nếu nó không hội tụ. Ta nói  xn  là dương vô cùng (khi n tăng vô hạn) và viết lim xn   nếu n  M , n0 n  n0 thì x n  M Ta nói  xn  là âm vô cùng (khi n tăng vô hạn) và viết lim xn   nếu n  M , n0 n  n0 thì x n  M 1 Ví dụ. Chứng minh rằng lim  0 . n  n 1 Thật vậy, cho trước  >0 bé tuỳ ý, ta chỉ cần chọn số tự nhiên n0 > . Khi đó, n  n0  1 1 1 1 thì xn  0  0     . Vậy lim  0 . n n n0 n  n b. Các tính chất của dãy số hội tụ Định lý 1.1.3.1. 1) Dãy số  xn  hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất 2) Dãy số  xn  hội tụ thì nó giới nội (bị chặn). Chứng minh 1) Giả sử: lim xn  a1 và lim xn  a2 và  là một số dương bé tuỳ ý. n  n    Khi đó  n1 ; n2  N* sao cho n  n1  |xn - a1| < và n  n2  |xn -a2|< 2 2 Gọi n0 = max{n1; n2} hiển nhiên ta có n  n0 thì   |a1 - a2| = |a1-xn + xn - a2|  |a1-xn |+ |xn - a2| < + =  2 2 Bất đẳng thức đúng với mọi  >0  |a1 - a2| = 0 hay a1 = a2 . Định lý 1.1.3.2. Cho 2 dãy số hội tụ (xn) và (yn) với lim xn  x ; lim yn  y . n  n  Khi đó: 15
  17. 1) lim( xn  yn )  x  y n  2) lim(cxn )  cx và lim(c  xn )  c  x n  n  3) lim( xn yn )  xy n  1 1 4) lim  với yn  0 ; y  0 n  yn y xn x 5) lim  với yn  0 ; y  0 n  yn y Ta sẽ chứng minh 4) Theo định nghĩa lim yn  y ta suy ra với   0 bé tùy ý, tồn tại n1  N* sao cho n  n1 n  y 2 ta có |yn - y| < 2 Mặt khác, do yn  y  yn  y nên suy ra nếu lim n  yn  y thì ta cũng có lim yn  y . Vậy với 1  0 bé tùy ý ta có y  1  yn  y  1 với n đủ lớn. Chọn n y y 1  , ta suy ra tồn tại n2  N * sao cho n  n2 thì  yn 2 2 1 1 y y  y2 Gọi n0 = max{n1; n2}, khi đó n  n0 ta có  = n   yn y yn . y 2. y 2 . 1 2 1 1 Vậy  khi n   . yn y Từ đây ta cũng dễ dàng chứng minh 5) Định lý 1.1.3.3. 1) Cho 2 dãy số hội tụ (xn) và (yn) với lim xn  x ; lim yn  y nếu xn  yn với n thì n  n  x  y. 2) Cho 3 dãy số (xn), (yn), (zn) với lim xn  lim zn  a , nếu xn  yn  zn với n thì n  n  lim yn  a . n  sin 2 n  n Ví dụ 1. Tìm giới hạn của dãy số un= . n 1 Giải. 1 n 1 n Ta có sin 2 n  n
  18. do đó limun= 0. Định lý 1.1.3.4. Cho (xn) là dãy đơn điệu tăng. Khi đó, nếu (xn) bị chặn trên thì nó hội tụ, nếu (xn) không bị chặn trên thì lim xn   . n  Cho (xn) là dãy đơn điệu giảm. Khi đó, nếu (xn) bị chặn dưới thì nó hội tụ, nếu (xn) không bị chặn dưới thì lim xn   . n  Định nghĩa 1.1.3.4. Dãy các đoạn thẳng  a ; b  n n được gọi là dãy các đoạn thắt nếu thỏa mãn hai điều kiện: 1)  an1; bn1    an ; bn  , n . 2) lim(bn  an )  0 . n  Định lý 1.1.3.5. ( Cantor) Cho một dãy các đoạn thắt  a ; b  khi đó tồn tại duy nhất một điểm c chung cho n n mọi đoạn, nghĩa là tồn tại một số thực duy nhất c  an ; bn  , n . Định lý 1.1.1.6. (Bolzano-Veiestrass) Mọi dãy bị chặn đều có ít nhất một dãy con hội tụ. Định lý 1.1.3.7. Dãy số (xn) hội tụ nếu và chỉ nếu mọi dãy con của nó đều hội tụ và có chung một giới hạn.  n  2n  (4n  1)  Ví dụ dãy  sin  phân kỳ vì có hai dãy con là (sin ) và  sin   hội tụ  2  2  2  tới các giới hạn khác nhau. Định nghĩa 1.1.3.5. Dãy số (xn) được gọi là dãy cơ bản (dãy Côsi) nếu   0, n0  N * ; n, m  n0 : xn  xm   . Bổ đề Dãy Côsi là một dãy giới nội. Định lý 1.1.3.8. (Tiên đề hội tụ Côsi) Dãy số thực (xn) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản. Một vài giới hạn đặc biệt 1) lim q n 0 nếu q  1 . n 2) lim qn  nếu q>1. n n  1 3) lim 1   e. n   n 1.1.3.2. Giới hạn của hàm số a. Các định nghĩa 17
  19. Định nghĩa 1.1.3.6. Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) vµ điểm x0  (a; b) (f(x) có thể không xác định tại điểm x0). Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dÇn x0 nếu với mọi dãy  xn   x0 thì  f  xn   A Ký hiÖu: lim f ( x)  A ( hoÆc f  x   A,  x  x0  ) x  xo Có thÓ định nghĩa theo ngôn ngữ (ε;δ) nh- sau: Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) vµ điểm x0  (a; b) (f (x) có thể không xác định tại điểm x0). Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dÇn ®ªn x0 nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho khi 0  x  x0 < δ thì f ( x)  A < ε. Định nghĩa 1.1.3.7. Ta nói f(x) có giới hạn là  khi x dÇn đến x0 vµ viết lim f ( x)   x  xo nếu với mọi M > 0, tồn tại δ > 0 sao cho 0  x  x0 < δ thì f(x) > M. Ta nói f(x) có giới hạn là  khi x dÇn ®ến x0 vµ viết lim f ( x)   nếu với mọi x  x0 M > 0 tồn tại δ > 0 sao cho 0  x  x0 < δ thì f(x) < - M. Định nghĩa 1.1.3.8. Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dÇn đến +∞ vµ viết là lim f ( x)  A nếu với mọi ε > 0 tồn tại N > 0 ®ñ lín sao cho khi x > N thì f ( x)  A < ε. x  Ta nói rằng f(x) có giới hạn là A khi x dÇn đến -∞ vµ viết là lim f ( x)  A nếu với x  mọi ε > 0 tồn tại N> 0 ®ñ lín sao cho khi x < -N thì f ( x)  A < ε. Định nghĩa 1.1.3.9. Cho y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0  [a,b]. Số L gọi là giới hạn trái của f(x) tại x0 nếu với mọi ε > 0; tồn tại δ > 0 sao cho 0
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2