Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chia sẻ: Minh Quan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: hàm số nhiều biến số; giới hạn và liên tục; cực trị tự do hàm nhiều biến; giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh doanh và Công nghệ Hà Nội

Chƣơng 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Hàm số hai biến số 1.1.1. Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số này vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một, mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Chẳng hạn, sản lƣợng, tức là số lƣợng sản phẩm của một hãng sản xuất phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào (gọi là các yếu tố sản xuất) nhƣ lao động, vốn v.v Khái niệm hàm số nhiều biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào n biến số khác. Để cho đơn giản, trƣớc hết ta đề cập đến trƣờng hợp n = 2. Định nghĩa. Ta gọi biến w là hàm số của 2 biến số x và y nếu, theo một quy luật f, mỗi cặp số thực (x,y) có thứ tự, gồm một giá trị của biến x cùng với một giá trị của biến y, đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến w: f : (x, y)  w Để biểu diễn sự phụ thuộc hàm số của biến w vào các biến x và y ta dùng ký hiệu w = f(x, y), trong đó chữ f đặc trƣng cho quy luật tƣơng ứng nêu trong định nghĩa. Các biến số x, y đƣợc gọi là các biến độc lập, hay các đối số của hàm số. Khi nói đến các hàm số khác nhau ta dùng các kí hiệu khác nhau: w = g(x, y), w = h(x, y), … Việc thiết lập hệ tọa độ trên mặt phẳng cho phép ta đồng nhất cặp số thực có thứ tự (x 0 , y0 ) với điểm M0(x0, y0) của mặt phẳng. Theo quan điểm này, một cặp biến số (x, y) đƣợc xem nhƣ một biến điểm M(x, y) của mặt phẳng và hàm hai biến w = f(x, y) đƣợc xem nhƣ hàm số của một biến điểm M. Ta sẽ đồng nhất 2 cách ký hiệu: w = f(x, y) và w = f(M). 93
1.1.2. Miền xác định và miền giá trị 1. Miền xác định (MXĐ) của hàm 2 biến w = f(x, y) là tập hợp tất cả các cặp số thực (x,y) mà các biến độc lập x và y có thể nhận đồng thời. Nếu biểu diễn hình học thì đó là một tập hợp điểm của mặt phẳng tọa độ. Khi cho một hàm số cụ thể ngƣời ta thƣờng cho trƣớc MXĐ và chỉ rõ luật tƣơng ứng để khi biết một giá trị của x cùng với một giá trị của y ta có thể xác định đƣợc giá trị tƣơng ứng của biến w. Tuy nhiên, khi xét thuần túy dƣới giác độ toán học, ngƣời ta thƣờng cho hàm số của 2 biến x, y dƣới dạng một biểu thức f(x, y) và không chỉ rõ MXĐ. Trong trƣờng hợp này ta coi MXĐ của hàm số là MXĐ tự nhiên của biểu thức f(x, y), tức là tập hợp tất cả các cặp số thực (x, y) làm cho biểu thức đó có nghĩa. Ví dụ 3.1. MXĐ tự nhiên của hàm số w = y  x là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện y  x. Về mặt hình học, đó là nửa mặt phẳng phía trên đƣờng thẳng y = x, kể cả đƣờng thẳng này. Ví dụ 3.2. MXĐ tự nhiên của hàm số w = ln(4 − x2 − y2) là tập hợp tất cả các điểm M(x, y) với x2 + y2 < 4. Đó là hình tròn có tâm ở gốc tọa độ và bán kính r = 2 (không kể các điểm của đƣờng tròn). Chú thích. Tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp hàm một biến, ta dùng kí hiệu f(xo, yo) để chỉ giá trị tƣơng ứng của hàm hai biến w = f(x, y) khi gán x = xo, y = yo. Ta gọi f(xo, yo) là giá trị của hàm số tại điểm Mo(xo, yo) và có thể dùng kí hiệu f(Mo) để thay thế. 2. Miền giá trị (MGT) của hàm số w = f(x, y) là tập hợp tất cả các giá trị của hàm số khi điểm M(x, y) thay đổi trong MXĐ. 3. Đồ thị của hàm 2 biến. Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x, y) trong không gian 3 chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc gồm 3 trục số Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc và có cùng gốc tọa độ O. Miền xác định D của hàm số w = f(x, y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (Oxy). Theo quy tắc tƣơng ứng của hàm số, mỗi điểm M(x, y)  D cho tƣơng ứng một điểm P( x, y, z) trong không gian với cao độ z = f( x, y) . Tập hợp tất cả các điểm 94
P( x, y, z) , khi điểm M(x, y) thay đổi trong miền D, đƣợc gọi là đồ thị của hàm số w = f(x, y). Đồ thị thƣờng là một mặt cong trong không gian 3 chiều Oxyz. Ví dụ 3.3. Đồ thị hàm số w = 4  x 2  y2 là nửa trên của mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và bán kính R = 2. 4. Đường mức. Cho w = f(x, y) là một hàm số xác định trong miền D. Với wo là một giá trị cố định thuộc tập giá trị của hàm w, ta xét tập hợp tất cả các điểm (x,y)  D thỏa mãn điều kiện f(x, y) = wo Thông thƣờng tập hợp điểm này là một đƣờng trên mặt phẳng (Oxy), đƣợc gọi là đường mức của hàm số w = f(x,y). Nhƣ vậy, đƣờng mức của hàm số w f(x,y) là đƣờng trên mặt phẳng (Oxy) mà dọc theo đó hàm số nhận giá trị không đổi. Ví dụ 3.4. Các đƣờng mức của hàm số w = 2x + 3y là các đƣờng thẳng song song 2x + 3y = C (C là hằng số). 1.2. Hàm số n biến số 1. Khái niệm hàm số hai biến số nói trên có thể khái quát hóa thành định nghĩa tổng quát sau: Định nghĩa. Biến w đƣợc gọi là hàm số của n biến độc lập x1, x2,..., xn nếu, theo một quy luật f nhất định, mỗi bộ n số thực có thứ tự (x1, x2,..., xn), trong đó mỗi số là một giá trị gán cho biến số có cùng ký hiệu, đƣợc đặt tƣơng ứng với một giá trị xác định của biến w: f: (x1, x2,..., xn)  w Để diễn đạt sự phụ thuộc hàm số của biến số w vào các biến x1, x2,..., xn ta dùng ký hiệu w = f(x1, x2,..., xn) (1) 2. Các khái niệm MXĐ, MGT, đồ thị và đƣờng mức đƣợc hiểu theo nghĩa tƣơng tự nhƣ đã định nghĩa cho hàm số 2 biến số. 95
3. Khái quát hóa cách biểu diễn theo tọa độ điểm trên mặt phẳng và trong không gian 3 chiều, ta gọi mỗi bộ số thực có thứ tự (x1, x2,..., xn) là một điểm n chiều và viết M(x1, x2,..., xn) Theo quan niệm này mỗi bộ n biến số sắp thứ tự (x1, x2,,..., xn) có thể xem nhƣ một biến điểm n chiều M. Khi gán cho mỗi biến số x1, x2,..., xn, một giá trị bằng số ta đƣợc một điểm n chiều M. Hàm số n biến số w = f(x1, x2,...,xn) có thể xem nhƣ hàm số của biến điểm M(x1, x2,..., xn) và ta có thể dùng ký hiệu w = f(M). 2. GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2.1. Giới hạn của hàm số hai biến số 2.1.1. Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng. Nhƣ ta đã biết, khoảng cách giữa hai điểm M(x, y) và M'(x', y') trên mặt phẳng tọa độ đƣợc xác định theo công thức d(M, M') = (x ' x)2  (y ' y)2 (2) Giả sử, theo một quy tắc nhất định, mỗi số tự nhiên k đƣợc đặt tƣơng ứng với một điểm Mk(xk, yk) nhất định trên mặt phẳng. Khi đó ta có dãy điểm: { M1(x1, y2), M2(x2, y2),... , Mk(xk, yk),... } Định nghĩa. Nếu tồn tại một điểm cố định A(a, b) sao cho lim d(Mk, A) = 0 thì ta nói rằng dãy k  Mk  hội tụ đến điểm A, hay điểm A là giới hạn của dãy điểm Mk  khi k   và ký hiệu nhƣ sau: lim Mk  A hay Mk  A khi k   k  Dựa vào công thức xác định khoảng cách (2) ta dễ dàng chứng minh: Định lý. Dãy điểm Mk(xk, yk) hội tụ đến điểm A(a, b) khi và chỉ khi lim x k  a và lim yk  b k  k  96
Ví dụ 3.6.   1 k  Để tìm giới hạn của dãy điểm M k  ,   ta tính giới hạn của các dãy số   k k  1   1  k  x k   ,  yk  :  k  k  1 1 k lim x k  lim  0, lim y k  lim 1 k  k  k k  k  k 1 1 k  Vậy Mk  ,   A  0,1 khi k    k k 1  2.1.2. Giới hạn của hàm số Cho hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định trong miền D. Giả sử A(a, b) là một điểm cố định của mặt phẳng sao cho tồn tại các dãy điểm Mk  x k , yk  của miền D hội tụ đến điểm A (điểm A có thể thuộc miền D hoặc không). Lý thuyết giới hạn xem xét diễn biến của biến phụ thuộc w khi điểm M(x, y) thay đổi trong miền D và tiến dần đến điểm A, tức là thu hẹp một cách tùy ý khoảng cách từ điểm M đến điểm A (với giả thiết M  A). Quá trình này đƣợc ký hiệu là: MA hay x  a, y  b Theo quy luật hàm số, mỗi dãy điểm { M1  x1 ,y1  , M2  x 2 ,y2  ,..., Mk  x k ,yk  ,... } (3) cho tƣơng ứng một dãy số { w1 = f(M1), w2 = (M2), ... , wk = f(Mk),... } (4) Dãy số (4) là dãy các giá trị của hàm số w = f(x,y) = f(M) tƣơng ứng với dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D. Định nghĩa Nếu với mọi dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D của hàm số w = f(x, y) và hội tụ đến điểm A(a, b), dãy số (4) tƣơng ứng luôn luôn có giới hạn L thì số L đƣợc gọi là giới hạn của hàm số đã cho khi M  A (hay x  a, y  b) và ký hiệu nhƣ sau: lim f (M)  L, hoặc lim f (x, y)  L M A x a y b 97
Ví dụ 3.7. Sử dụng định nghĩa, chứng minh giới hạn: lim  3x  y 2   1 x 1 y 2 Thật vậy, ở đây f(x, y) = 3x − y2, a = 1, b = 2. Lấy bất kỳ điểm Mk (xk, yk)  A(1, 2), ta có: lim x k  1, lim yk  2 k  k  Do đó lim f (Mk )  lim  3x k  yk2   1 k  k  2.1.3. Giới hạn bội và giới hạn lặp Giới hạn theo định nghĩa trên đây đƣợc gọi là giới hạn bội hoặc giới hạn kép (các quá trình x  a, y  b diễn ra đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau). Ngoài giới hạn bội, ngƣời ta còn xét các giới hạn lặp theo cách thức nhƣ sau: Với y  b cố định, ta tính trƣớc giới hạn lim f (x, y)  (y), sau đó tính tiếp giới x a hạn lim (y)  E . Trong trƣờng hợp này ta viết lim lim f  x, y   E y b y  b x a Tƣơng tự, ký hiệu limlimf (x, y)  F có nghĩa là lim f (x, y)  (x) và x a y  b y b lim (x)  F. x a Nói chung giới hạn bội L và các giới hạn lặp E, F là khác nhau, thậm chí các giới hạn lặp E và F cũng thƣờng khác nhau. Ví dụ 3.8. x 2  xy Xét hàm số f(x, y) = x 2  y2 Dễ dàng thấy rằng khi x  0, y  0 hàm số đã cho không có giới hạn kép. Thật   1 1    1 3  vậy, lấy hai dãy điểm: M k  ,   và M 'k  ,   cùng hội tụ đến điểm A(0, 0).   k k    k k  98
1 1  2   1 1  2 Với dãy M k  ,   ta có lim f (M k )  lim k k 1   k k  k  k  1  2 1 2 k k 1 3  2   1 3  2 k  2. trong khi đó với dãy M 'k  ,   ta có lim f (M 'k )  lim k   k k  k  k  1 9  2 5 2 k k Các giới hạn lặp trong trƣờng hợp này cũng khác nhau: (y)  limf (x, y)  0  y  0   limlimf (x, y)  lim (y)  0; x 0 y 0 x 0 y0 (x)  limf (x, y)  1  x  0   limlimf (x, y)  lim (x)  1 x 0 x 0 y 0 x 0 2.2. Giới hạn của hàm số n biến số 2.2.1. Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều. Tập hợp tất cả các điểm M(x, y) của mặt phẳng với quan niệm về khoảng cách xác định theo công thức (1) đƣợc gọi là không gian R2. Một cách tổng quát, ta gọi không gian Euclide n chiều (ký hiệu là Rn) là tập hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ M(x1, x2,..,xn) và M'(x'1, x'2,..., x'n) đƣợc xác định theo công thức n d(M, M') =  (x i 1 i  x i, ) 2 (5) Dễ dàng kiểm nghiệm rằng khoảng cách xác định theo công thức (5) thỏa mãn các tính chất quen biết trong hình học phẳng và hình học không gian: a) d(M, M')  0 b) d(M, M') = 0 khi và chỉ khi M = M', tức là khi xi = x'i với mọi i = 1,.. , n. c) d(M, M') = d(M', M) d) d(M, M') + d(M', M")  d(M, M") Khái niệm giới hạn của dãy điểm n chiều đƣợc định nghĩa hoàn toàn tƣơng tự nhƣ trên mặt phẳng. Ta nói dãy điểm Mk  x1k ' x 2k ' ...x nk  : k  1, 2,3,... hội tụ đến điểm A (a1, a2,.. , an), hay điểm A là điểm giới hạn của dãy điểm Mk  khi k   khi và chỉ khi lim d  M k , A   0 k  99
2.2.2. Giới hạn của hàm số Khái niệm giới hạn của hàm số 2 biến số mà ta đã định nghĩa trên đây đƣợc chuyển tổng quát cho trƣờng hợp hàm số n biến số bằng cách thay biến điểm 2 chiều M(x, y) bằng biến điểm n chiều M(x1, x2,..., xn) và thay điểm A(a, b) bằng điểm A(a1, a2,.. , an). Hai ký hiệu sau đƣợc sử dụng với nghĩa nhƣ nhau: lim f (M)  L hoặc lim f (x1 , x 2 ,..., x n )  L M A x1 a1 x 2 a 2 ... x n a n Chú thích. Áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số n biến cho trƣờng hợp n = 1 ta có định nghĩa quen thuộc về giới hạn của hàm một biến. Sự tƣơng hợp về khái niệm cho phép ta thiết lập các định lý tƣơng tự về giới hạn đã biết trong lý thuyết hàm số một biến số. Các quy tắc tính giới hạn (giới hạn của tổng, tích, thƣơng.,. .) của hàm một biến số có thế áp dụng cho hàm số với số biến số bất kỳ 2.3. Hàm số liên tục Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số đƣợc định nghĩa tƣơng tự nhƣ trong trƣờng hợp hàm số một biến. Định nghĩa. Hàm số w = f(x1, x2,..., xn) đƣợc gọi là liên tục tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  khi và chỉ khi xác định tại M và lân cận điểm M và thỏa mãn: lim f (x 1, x 2 ,..., x n )  f (x1 , x 2 ,...x n ) x1  x1 x2 x2 .......... xn x n Nếu hàm số w = f(x1, x2,..,xn) liên tục tại mọi điểm thuộc miền D  Rn thì ta nói nó liên tục trong miền đó. Một hàm số không liên tục đƣợc gọi là hàm gián đoạn. Các định lý về hàm số liên tục một biến số cũng đƣợc áp dụng tƣơng tự cho hàm số với số biến số bất kỳ. Chẳng hạn, định lý về tổng, tích, thƣơng của các hàm số liên tục có nội dung nhƣ sau: 100
Định lý. Nếu các hàm số f(M) và g(M) của biến điểm n chiều M(x1, x2,... ,xn) liên tục tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  thì: (i) Các hàm số f(M) + g(M), f(M) − g(M), f(M).g(M) liên tục tại điểm M . f (M) (ii) Với giả thiết g(M)  0 thì hàm số cũng liên tục tại điểm M . g(M) 3. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 3.1. Đạo hàm riêng Để đơn giản, trƣớc tiên ta xét hàm 2 biến z = f(x, y) xác định tại điểm M0(x0, y0) và lân cận M0. Khi ta cố định 1 biến, chẳng hạn cố định y = y0, hàm số đƣợc coi nhƣ là hàm 1 biến đối với x và ta xây dựng đạo hàm tƣơng tự nhƣ đạo hàm hàm 1 biến, theo 4 bƣớc: Định nghĩa. a. Cố định y = y0. Bƣớc 1. Cho x0 một số gia ∆x (đủ nhỏ để điểm M(x0 + ∆x, y0) vẫn thuộc lân cận điểm M0). Bƣớc 2. Số gia tƣơng ứng của hàm số f(M) – f(M0) = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0) đƣợc gọi là số gia riêng theo biến x của hàm z tại M0, kí hiệu là ∆xf . x f Bƣớc 3. Lập tỉ số x xf Bƣớc 4. Tìm lim , nếu giới hạn tồn tại và hữu hạn, ta gọi là đạo hàm riêng x 0 x của hàm z theo biến x, kí hiệu là: x f f lim  fx' (M0 )  (M0 ) x 0 x x b. Tƣơng tự, cố định x = x0, ta có đạo hảm riêng theo biến y của hàm z tại M0: yf f(x0 , y0  y)  f(x0 , y0 ) f lim  lim  fy' (M0 )  (M0 ) y 0 y y 0 y y 101
Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng: fx' (M0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến với đƣờng cong giao tuyến của mặt cong đồ thị với mặt phẳng y = y0. Tƣơng tự với fy' (M0 ). ● Tổng quát cho hàm n biến. Tƣơng tự nhƣ trên, ta có thể định nghĩa tổng quát đạo hàm riêng theo biến xi của hàm n biến f tại điểm (M0): f 0 f(x10 ,...,x0i  x i ,...,x0n )  f(x10 ,...,x0i ,...,x0n ) (x1 ,...,x0n )  fx' i (x10 ,...,x0n )  lim x i xi 0 xi Ví dụ 3.10. Tìm các đạo hàm riêng của hàm số w = x3+ 2x2y + y2 Xem w nhƣ là hàm số của một biến x và y là hằng số, ta dễ dàng tính đạo hàm riêng theo x: w w'x =  3x 2  4xy x Tƣơng tự, xem w là hàm số của một biến y và x là hằng số, ta có w w'y =  2x 2  2y y Ví dụ 3.11. Tìm các đạo hàm riêng của hàm 3 biến số w = x2siny + y3cosz + z4 Hàm số này có 3 đạo hàm riêng: w w w  2x sin y,  x 2 cos y  3y 2 cos z,   y3 sin z  4z 3 x y z Chú ý. Để cho gọn, ta còn dùng ký hiệu fi để chỉ đạo hàm riêng của hàm số w = ' f f(x1,x2,... ,xn) theo biến xi . Vậy fi = f x i = . x i Ví dụ 3.12. Tìm các đạo hàm riêng của hàm 4 biến số w = f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 - x 22 x 33  2x 3 x 54 102
Hàm số này có 4 đạo hàm riêng sau: f1 = x2, f2 = x1 − 2x 2 x33 , f3  3x 22 x 32  2x 54 , f 4  10x 3x 44 3.2. Vi phân Để đơn giản, trƣớc tiên ta xét hàm 2 biến w = f(x, y) xác định tại M0(x0, y0) và lân cận điểm M0. Định nghĩa. Cho x0 một số gia ∆x, y0 một số gia ∆y. Nếu số gia tƣơng ứng (đƣợc gọi là số gia toàn phần) của hàm số có thể viết dƣới dạng: w(x 0 , y0 )  f (x 0  x, y0  y)  f (x 0 , y0 )  A.x  B.y  . (6) trong đó A và B là các số không phụ thuộc ∆x và ∆y, còn  là hàm số của   x 2  y2 (chính là khoảng cách giữa M(x0 + ∆x, y0 + ∆y) và M0) và có giới hạn 0 khi   0, thì ta nói hàm số khả vi tại điểm M0(x0, y0) và biểu thức A. x  B.y đƣợc gọi là vi phân toàn phần của hàm số w tại điểm đó, kí hiệu là: dw(x0, y0) = df(x0, y0) = A.∆x + B.∆y (7)  Liên hệ giữa khả vi và có đạo hàm riêng. Giả sử hàm w khả vi tại Mo tức là ta có biểu thức (6). Do A và B là 2 số không phụ thuộc ∆x và ∆y, ta có thể lấy ∆y = 0, biểu thức (6) trở thành: ∆xw = A.∆x + α.∆x Chia 2 vế cho ∆x và cho x  0, ta đƣợc: f x' (M0 )  A; Tƣơng tự, cho ∆x = 0, ta đƣợc: f y' (M0 )  B. Nhƣ vậy, nếu hàm w(x, y) khả vi tại M0 thì có các đạo hàm riêng tại đó, và dw(M0 )  f x' (M0 ).x + f y' (M0 ).y Cho w(x, y) = x, suy ra dw = dx = ∆x, tƣơng tự, cho w(x, y) = y suy ra dy = ∆y, ta có biểu thức vi phân: dw(M0 )  f x' (M0 )dx  f y' (M0 )dy (8) Ngƣợc lại, giả sử hàm w có các đạo hàm riêng tại M0, chƣa chắc khả vi tại đó. Ta có định lý sau. 103
Định lý. Giả sử hàm w(x, y) có các đạo hàm riêng trong lân cận nào đó của M0, và các đạo hàm riêng đó liên tục tại M0 thì hàm w khả vi tại M0.  Các phép toán đối với vi phân. Từ biểu thức vi phân (8) và công thức đạo hàm có thể chứng minh các công thức đối với vi phân sau: d(f + g) = df + dg; d(f.g) = fdg + gdf; d(f/g) = (gdf – fdg)/g2 (9)  Mở rộng cho hàm nhiều biến. Tƣơng tự, ta xét hàm u = f(x1, x2,…,xn); Hàm số đƣợc gọi là khả vi nếu số gia toàn phần tại M0 viết đƣợc dƣới dạng: u  A1∆x1 + ...+ An∆xn + αρ;   x12  ...  x 2n và công thức vi phân toàn phần của u tại M0: f f du  dx1  ...  dx n (10) x1 x n Ví dụ 3.13. Hàm số w = x3y4 là một hàm số khả vi trong R2. Vi phân toàn phần nhƣ sau: w w dw  .dx  dy  3x 2 y 4dx  4x 3 y3dy x y Chú ý. Từ định nghĩa vi phân, ta có: ∆u ≈ du(M0) và xấp xỉ càng chính xác khi ρ càng bé (có nghĩa là đồng thời cả ∆x và ∆y càng bé). Ví dụ 3.14. Áp dụng vi phân tính gần đúng đại lƣợng A  8e0,03  (0,97)2 . Ta đặt hàm số z  8ex  y2 ; x 0  0, y0  1;  x  0, 03; y   0, 03. Theo công thức ta có: A = z(x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ z(x0, y0) + dz(x0, y0). Ta tính các đạo hàm riêng: 104
4e x 4 z  ' x  z 'x (0,1)  ; 8e  yx 2 3 y 1 z 'y   z 'y (0,1)  ; 8e x  y 2 3 4 1 Ta có z(0, 1) = 3. Vậy A  3  .0, 03  .(0, 03)  3, 03. 3 3 Ví dụ 3.15. 1, 02 Tính gần đúng A  arctan 0,95 y  Lấy hàm số z  arctan , x 0  1, y0  1  x  0, 05, y  0, 02; z(1,1)  ; x 4 y 1 x 1 z'x   z'x (1,1)  ; z 'y  2  z 'y (1,1)  ; x y 2 2 2 x y 2 2  1 1 Vậy ta có: A   .(0, 05)  .0, 02  0,82. 4 2 2 3.3. Đạo hàm riêng cấp cao và vi phân toàn phần cấp cao 3.3.1. Đạo hàm riêng cấp cao Giả sử hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) có các đạo hàm riêng theo biến xi tại mọi điểm thuộc miền D  Rn. Khi đó w xi  fi (x1 , x 2 ,..., x n ) là một hàm số xác định trong ' miền D. Đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp 1 này đƣợc gọi là các đạo hàm riêng cấp 2. ' Đạo hàm riêng theo biến xk của hàm số w xi đƣợc gọi là đạo hàm riêng cấp 2 theo xi, xk của hàm số w = f(x1, x2,..., xn) và đƣợc ký hiệu nhƣ sau: 2w 2  2f 2 w "xi x k , f x"i x k , , w, , f x i x k x i x k x i x k x i x k Nhƣ vậy, theo định nghĩa w"xi xk  (w 'xi )'xk (i, k  1, 2,..., n) Thay cho các ký hiệu trên ta có thể dùng ký hiệu đơn giản: w ik , fik 105
Ví dụ 3.16. Cho w  f (x, y)  x 3 y4 , ta có:  hai đạo hàm riêng cấp 1 của w: w 'x  3x 2 y4 , w 'y  4x 3 y3  bốn đạo hàm riêng cấp 2 của w: w"xx  (w 'x )'x  6xy4 , w xy  (w x ) y  12x y , " ' ' 2 3 w"yx  (w 'y )'x  12x 2 y3 , w"yy  (w 'y )'y  12x 3 y2 Chú ý. Với i  k ta gọi các đạo hàm riêng w x k xi , w xi x k là các đạo hàm hỗn hợp cấp 2. " " Nói chung các đạo hàm hỗn hợp theo cùng một cặp biến số nhƣng khác trình tự lấy đạo hàm có thể không bằng nhau. Tuy nhiên, trong thí dụ nêu trên ta có w"xy  w"yx  12x 2 y3 . Đấy là theo định lý sau. Định lý (Schwarz). Trong lân cận (x0, y0), hàm f(x, y) có các đạo hàm riêng f x' , f y' , f xy'' , f yx'' và f xy'' , f yx'' liên tục tại (x0, y0). Khi đó f xy'' (x 0 , y0 )  f y''x (x 0 , y0 ). Chú ý. Bằng qui nạp, có thể chứng minh tổng quát cho các đạo hàm riêng cấp m của hàm n biến, lấy k1 lần theo x1, k2 lần theo x2,…, kn lần theo xn, với (k1 + … + kn ) = m, nếu chúng tồn tại và liên tục tại M0 thì đều bằng nhau không kể theo thứ tự nào. Chẳng hạn:  4f  4f  4f (M )  (M )  (M 0 )  ... x12x 2x 3 x1x 2x1x 3 x 2 x 3x12 0 0 3.3.2. Vi phân cấp cao Ta xét hàm 2 biến z = f(x, y) khả vi tại mọi điểm thuộc miền D ⊂ R2thì vi phân toàn phần theo công thức (8) là một hàm số của các biến số (x, y) xác định trong miền D. Vi phân toàn phần của vi phân toàn phần dw đƣợc gọi là vi phân toàn phần cấp 2 (hoặc gọi đơn giản là vi phân cấp 2) của hàm số z và đƣợc ký hiệu d2z hay d2f. Vậy: d2z = d(dz) 106
Tổng quát, vi phân cấp n của hàm z đƣợc định nghĩa là vi phân của vi phân cấp (n – 1) của z: dnz = d(dn – 1z). Ta xây dựng công thức tính vi phân cấp cao của hàm z = f(x, y). Theo công thức (9) ta có: f f kí hieäu     dz  dx  dy   dx  dy  f x y  x y   f f   f   f  d 2 z  d(dz)  d  dx  dy   d  dx   d  dy    x y   x   y   f   f  f f  d   .dx  d   .dy  .d(dx)  .d(dy);  x   y  x y Với x và y là biến độc lập, dx và dy là các số nên vi phân của chúng bằng 0. Từ đó  2f 2f   2f 2f  d 2 z   2 dx  dy  dx   dx  2 dy  dy   x yx   xy y  2 2f 2f 2f kí hieäu      2 dx 2  2 dxdy  2 dy 2   dx  dy  f x xy y  x y  Bằng cách tƣơng tự, chú ý qui luật trong kí hiệu, ta có công thức tổng quát cho vi phân cấp p bất kì của hàm 2 biến z = f(x, y): p     d z   dx  dy  f p (11)  x y  Và tổng quát cho hàm n biến u = f(x1, x2, …, xn): p      d u p dx1  dx 2  ...  dx n  f (12)  x1 x 2 x n  Chú ý. - Trong công thức (11), nếu x và y là các biến phụ thuộc thì công thức không còn đúng nữa. Tƣơng tự cho hàm n biến trong công thức (12). - Trong công thức (11) và (12), ta đã sử dụng các kí hiệu hình thức cho dễ nhớ. Khi cần tính vi phân cấp cao, ta phải khai triển các công thức trên ra, đƣa hàm f vào để có công thức tính toán. 107
Ví dụ 3.17. Cho hàm 2 biến z = x2y3. Tính vi phân dz và d2z. Tính các đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 rồi thay vào công thức (11): z'x  2xy3 ; z'y  3x2 y2  dz  2xy3dx  3x2 y2 dy. z''x2  2y3 ; z''xy  6xy 2  z''yx ; z''y2  6x2 y  d 2z  2y3dx2  2.6xy2dxdy  6x2 ydy2 4. CỰC TRỊ TỰ DO HÀM NHIỀU BIẾN 4.1. Khái niệm và điều kiện cần của cực trị Giả sử hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) xác định, liên tục trong miền E  2 . Định nghĩa. Ta nói rằng hàm số w = f(x1, x2,..., xn) đạt giá trị cực đại (cực tiểu) tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  E nếu tồn tại lân cận V( M ) sao cho: f(x1, x2,... ,xn) < f( x1 , x 2 ,..., x n ) ( f(x1, x2,... ,xn) > f( x1 , x 2 ,..., x n ) ) với mọi điểm M(x1, x2,... ,xn)  M  x1 , x 2 ,..., x n  và M thuộc V( M ). Bằng cách xét hàm f phụ thuộc từng biến xi (i = 1, 2, …, n) và cố định tất cả các biến còn lại, theo định lý Fermat, ta có định lý sau nhƣ là điều kiện cần của cực trị. Minh họa định nghĩa và điều kiện cần của cực trị cho hàm hai biến w = f(x, y). 108
Định lý (Điều kiện cần). Điều kiện cần để hàm số w = f(x1, x2,... ,xn) đạt cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) tại điểm M(x1, x 2 ,..., x n ) D là tại điểm đó tất cả các đạo hàm riêng cấp 1 triệt tiêu hoặc không tồn tại: wxi  fi  x1 , x2 ,..., xn   0 hoaëc khoâng toàn taïi  '  (13) i  1,2,...,n  Điểm M thỏa mãn điều kiện (13) đƣợc gọi là điểm dừng của hàm số. Nhƣ vậy hàm số chỉ có thể có cực trị tại các điểm dừng. Tuy nhiên đây mới chỉ là điều kiện cần, chứ chƣa phải là điều kiện đủ. Điều kiện đủ nêu dƣới đây cho phép ta kiểm tra xem tại điểm dừng hàm số có thực sự có cực trị hay không. 4.2. Điều kiện đủ 1. Trường hợp hàm số 2 biến số. Giả sử M0(x0, y0) là một điểm dừng của hàm số w = f(x, y) và tại điểm đó, ta giả thiết hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Xét định thức: a11 a12 D=  a11a 22  a12a 21 a 21 a 22 trong đó a11  f xx" (x o , yo ), a12  f xy" (x o , yo ), a 21  f yx" (x o , yo ), a 22  f yy" (x o , yo ) Định lý • Khi D > 0 thì hàm w = f(x, y) có cực trị tại M0. Nếu a11 > 0 thì hàm số đạt giá trị cực tiểu, nếu a11 < 0 thì hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm M0(x0, y0), • Nếu D < 0 thì hàm số không đạt cực trị tại điểm M0(x0, y0). • Trƣờng hợp D = 0 thì không kết luận đƣợc, phải dùng phƣơng pháp khác. Chú ý. Với các giả thiết nêu trên, theo Định lý Schwarz, ta luôn có a12 = a21. Do đó, 2 khi D = a11 a22 - a12 > 0 thì a11.a22> 0. Vậy a11 và a22 có dấu nhƣ nhau. 109
Ví dụ 3.18. Tìm cực trị của hàm số w = x3 + 2y3 – 3x – 6y. - Điều kiện cần. Điểm dừng của hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình: w 'x  3x 2  3  0  ' w y  6y  6  0 2 Giải hệ phƣơng trình và kết hợp nghiệm, ta đƣợc 4 điểm dừng: M1(1, 1), M2(-1, -1), M3(1, -1), M4(-1, 1). - Điều kiện đủ. Ta tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số: w''x2  6x; w''xy  w''yx  0; w''y2  12y; Xét từng điểm dừng: • Tại M1(1, 1): a11 = 6, a12 = a21 = 0, (-1,-1,6) a22 = 12; D = 6.12 – 0 > 0, hàm số có cực trị; a11 > 0, hàm có cực tiểu, wCT = w(M1) = -6. (1,-1,2) • Tại M2(-1, -1): a11 = -6, a12 = a21 = 0, a22 = -12; D = (-6).(-12) – 0 > 0, hàm số có cực trị; a11 < 0, hàm có cực đại, wCĐ = w(M2) = 6. (-1,1,-2) • Tại M3(1, -1): a11 = 6, a12 = a21 = 0, (1,1,-6) a22 = -12; D = 6.(-12) – 0 < 0, hàm số không có cực trị. • Tại M4(-1, 1): a11 = -6, a12 = a21 = 0, a22 = 12; D = (-6).12 – 0 < 0, hàm số không có cực trị. Các điểm (1, -1, 2) và (-1, 1, -2) tƣơng ứng với M3, M4 mà tại đó D < 0, đƣợc gọi là “điểm yên ngựa” (hay còn gọi là điểm “minimax”), đƣợc nghiên cứu khá nhiều trong một vài ngành khoa học khác, nhƣ Lí thuyết trò chơi, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học xã hội, logic, khoa học hệ thống và khoa học máy tính. Ví dụ 3.19. Tìm cực trị của hàm số w = 8x3 + 2xy - 3x2 + y2 - Tìm các điểm dừng (điều kiện cần): w 'x  24x 2  2y  6x, w 'y  2x  2y 110
Các điểm dừng của hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình:  w 'x  0 12x 2  y  3x  0  '    w y  0 x  y  0 1 1 Ta đƣợc 2 điểm dừng: M1(0, 0) và M2  ,   . 3 3 - Điều kiện đủ. Ta tính các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm w: w"xx  48x  6, w"xy  w"yx  2, w"yy  2 Xét điểm M1(0, 0) ta có: a11 = - 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = (-6).2 - 22 = -16 < 0, vậy hàm số không có cực trị tại M1. 1 1 Tại điểm M 2  ,   ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - 4 > 0, 3 3 hàm số đạt cực trị, do a11 = 10 > 0, hàm có cực tiểu tại điểm M2, wmin = 1 1 4 w ,     3 3 27 2. Trường hợp hàm số n biến số. Giả sử M  x1, x 2 ,..., x n  là một điểm dừng của hàm số w = f(x1, x2,... , xn) và tại điểm đó hàm số có tất cả các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục. Lập ma trận H vuông cấp n với các phần tử là các đạo hàm riêng cấp hai của w tại điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi là ma trận Hess hay Hessian)  a11 a12 ... a1n    a a 22 ... a 2n  H   21  ... ... ... ...     a n1 a n2 ... a nn  trong đó 2w aij = (x1 , x 2 ,..., x n )  fij (x1 , x 2 ,..., x n ) x i x j Với mỗi k = 1, 2,... , n ta gọi Hk là định thức con tạo thành từ k dòng đầu và k cột đầu của ma trận H: 111
a11 a12 ... a1k a a 22 ... a 2k H k  21 ... ... ... ... a k1 a k 2 ... a kk Các định thức H1, H2,…, Hn đƣợc gọi là các định thức con chính của ma trận H. Lƣu ý là (Hn = |H| ). Định lý. • Nếu Hk > 0 với mọi k = 1, 2,... , n thì hàm số w = f(x1, x2,... , xn) đạt giá trị cực tiểu tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  . • Nếu (-1)k Hk > 0 với mọi k = 1, 2,... , n thì hàm số w = f(x1, x2,... , xn) đạt giá trị cực đại tại điểm M  x1 , x 2 ,..., x n  Ví dụ 3.20. y2 z 2 2 Tìm cực trị của hàm số w x    x  0, y  0, z  0  4x y z Tính các đạo hàm riêng cấp một và cấp hai: y2 y z2 2z 2 w 'x  1  2 , w ' y   2 , w 'z   , 4x 2x y y z2 y2 1 2z 2 2 4 w"xx  3 , w " yy   3 , w "zz   3 , 2x 2x y y z y 2z w"xy  w"yx   2 , w "xz  w "zx  0, w "yz  w "zy   2 . 2x y Giải hệ phƣơng trình w x  w y  w z = 0 với x > 0, y > 0, z > 0 ta đƣợc một ' ' ' 1 1  nghiệm: x = , y = 1, z = 1 là tọa độ một điểm dừng duy nhất M 0  ,1,1 . 2 2  Thay các giá trị này vào các đạo hàm riêng cấp 2 ta có: a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2 112