Giáo trình Toán giải tích (Nghề: Kế toán - Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:117

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán giải tích cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán giải tích (Nghề: Kế toán - Cao đẳng) - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN: TOÁN GIẢI TÍCH NGÀNH, NGHỀ: KẾ TOÁN TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm 2017 của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2017
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể đƣợc phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo. Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm. i
LỜI GIỚI THIỆU Toán giải tích là một học phần của Toán cao cấp, đề cập đến các vấn đề cơ bản về giải tích toán học như hàm số, giới hạn và tính liên tục của hàm số, phép tính vi phân của hàm một biến, hàm nhiều biến,... Đây là môn học nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật. Mục đích của giáo trình là giúp đở cho Sinh viên nắm vững và vận dụng được các phương pháp giải toán cao cấp. Trong mỗi mục, tôi trình bày tóm tắt cở sở lý thuyết và liệt kê những công thức cần thiết. Tiếp đó, trong phần ví dụ tôi đặt biệt quan tâm đến các bài toán giải mẫu bằng vận dụng các kiến thức đã trình bày. Sau mỗi phần ví dụ có những bài tập tương tự đặt sau dấu chấm hỏi, sắp xếp theo thứ tự tăng dần độ khó, nhằm giúp các em làm quen với những lời giải chi tiết trong phần ví dụ, từ đó áp dụng và thành thạo các phương pháp giải. Tổ biên soạn xin chân thành cảm ơn các giảng viên và các nhà chuyên môn đã có các ý kiến đóng góp. Qua đó giúp Tổ biên soạn hoàn thiện giáo trình một cách tốt nhất. . Đồng Tháp, ngày…..tháng ... năm 2017 Chủ biên Phạm Thị Kiều Anh ii
MỤC LỤC Trang LỜI GIỚI THIỆU ............................................................................................ ii CHƢƠNG 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ1 1. Hàm số ......................................................................................................... 1 1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số .................................................. 1 1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số ................................................... 2 1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc .............................................................. 3 1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản .................................................................... 4 2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số .......................................................... 8 2.1. Giới hạn của dãy số .............................................................................. 8 2.1.1. Định nghĩa dãy số ......................................................................... 8 2.1.2. Giới hạn dãy số ............................................................................. 8 2.1.3. Các phép toán ................................................................................ 9 2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy.................................................. 9 2.2. Giới hạn hàm số ................................................................................... 10 2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ ,  ) ........................................................... 10 2.2.2. Giới hạn một phía .......................................................................... 11 2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận ..................................................... 11 2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số ................................................. 12 2.2.5. Các phép toán ................................................................................. 12 0   2.2.6. Các dạng vô định  0; ;0. ;  .......................................... 13   2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng ........................................... 15 2.2.8. Đại lƣợng vô cùng bé – đại lƣợng vô cùng lớn ............................. 17 2.3. Tính liên tục của hàm số ...................................................................... 19 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ................................................................................ 22 CHƢƠNG 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN .............................. 25 1. Đạo hàm của hàm số .................................................................................. 25 1.1. Đạo hàm ............................................................................................... 25 1.2. Đạo hàm cấp cao .................................................................................. 27 2. Vi phân của hàm số .................................................................................... 30 2.1. Vi phân ................................................................................................. 30 2.2. Vi phân cấp cao .................................................................................... 31 3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân ................................................... 31 3.1. Đinh lý Rolle ........................................................................................ 31 3.2. Định lý Lagrange.................................................................................. 31 iii
3.3. Định lý Cauchy .................................................................................... 32 3.4. Các qui tắc L‟Hospital (Khử dạng vô định)......................................... 32 3.5. Ứng dụng của phép tính vi phân .......................................................... 34 3.5.1. Xác định khoảng đơn điệu ............................................................ 34 3.5.2. Cực trị địa phƣơng của hàm số ..................................................... 34 3.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ................................................ 36 3.5.4. Bài toán tối ƣu trong thực tế ......................................................... 38 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 .................................................................................... 42 CHƢƠNG 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN................ 44 1. Tích phân không xác định ........................................................................... 44 1.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định ........................................... 44 1.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 44 1.1.2. Định lý ........................................................................................... 44 1.1.3. Tính chất của tích phân không xác định ....................................... 45 1.2. Các phƣơng pháp tính .......................................................................... 46 1.2.1. Phƣơng pháp phân tích.................................................................. 46 1.2.2. Phƣơng pháp đổi biến số ............................................................... 46 1.2.3. Phƣơng pháp tích phân từng phần ................................................ 48 1.3. Tích phân một số hàm thƣờng gặp ....................................................... 50 1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ .............................................................. 50 1.3.2. Tích phân các hàm vô tỉ ................................................................ 53 1.3.3. Tích phân hàm số lƣợng giác ........................................................ 53 2. Tích phân xác định ..................................................................................... 55 2.1. Định nghĩa ........................................................................................ 55 2.2. Tính chất........................................................................................... 56 2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân ..................................... 57 2.4. Các phƣơng pháp tính tích phân xác định........................................ 58 2.5. Ứng dụng của tích phân xác định .................................................... 60 3. Tích phân suy rộng ...................................................................................... 65 3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vô tận) ............................ 65 3.2. Tích phân suy rộng loại 2 (hàm số dưới dấu tích phân không bị chặn) ................................................................................................................. 67 3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng 68 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ................................................................................ 71 CHƢƠNG 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ........................... 73 1. Khái niệm về hàm nhiều biến...................................................................... 73 1.1. Khái niệm về không gian n ............................................................... 73 1.2. Định nghĩa hàm hai biến ...................................................................... 74 iv
2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến.............................................. 76 2.1. Định nghĩa giới hạn dãy ....................................................................... 76 2.2. Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội) ...... 76 2.3. Tính chất (Tương tự như hàm một biến) .............................................. 77 2.4. Tính liên tục của hàm số ...................................................................... 78 3. Đạo hàm của hàm hai biến .......................................................................... 79 3.1. Đạo hàm riêng ...................................................................................... 79 3.2. Đạo hàm riêng cấp cao ......................................................................... 80 3.3. Đạo hàm của hàm hợp.......................................................................... 82 3.4. Đạo hàm của hàm ẩn ............................................................................ 83 4. Vi phân của hàm hai biến ............................................................................ 86 4.1. Sự khả vi............................................................................................... 86 4.2. Vi phân toàn phần ................................................................................ 87 4.3. Vi phân cấp cao .................................................................................... 88 4.4. Công thức Taylor ................................................................................. 90 5. Cực trị của hàm hai biến ............................................................................. 91 5.1. Cực trị địa phƣơng ............................................................................... 91 5.1.1. Định nghĩa ..................................................................................... 91 5.1.2. Điều kiện cần của cực trị .............................................................. 92 5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị ................................................................ 92 5.1.4. Ứng dụng vào bài toán Kinh tế 2 biến ........................................ 94 5.2. Cực trị có điều kiện .............................................................................. 96 5.2.1. Định nghĩa ..................................................................................... 96 5.2.2. Cách tìm cực trị có điều kiện ........................................................ 96 a) Phƣơng pháp thế ........................................................................... 96 b) Phƣơng pháp nhân tử Lagrange ................................................... 97 5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ....................................................... 99 BAI TẬP CHƢƠNG 4 .................................................................................... 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 106 v
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC Tên môn học: Toán Giải Tích. Mã môn học: MH33KX6340301 Vị trí, tính chất của môn học: - Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế Toán, Quản Trị Kinh Doanh,… - Tính chất: Nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tƣ duy logic, phƣơng pháp định lƣợng trong kinh tế và kỹ thuật. Mục tiêu của môn học - Về kiến thức: + Cung cấp cho ngƣời học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lƣợng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn; các tính chất của hàm số liên tục. + Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến. Ứng dụng đƣợc qui tắc L‟Hospital khử các dạng vô định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số, tìm cực trị; giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số. Từ đó, vận dụng để giải một số bài toán tối ƣu. + Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân hàm một biến và phƣơng pháp tính các loại tích phân đó. Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích, thể tích của một vật thể. + Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi phân của hàm nhiều biến, làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các môn học khác có liên quan. - Về kỹ năng: Môn học giúp ngƣời học củng cố thêm các kỹ năng tƣ duy, phân tích và giải quyết vấn đề nhƣ: tính giới hạn, đạo hàm, vi phân hàm một biến, tích phân (bất định, xác định, suy rộng), đạo hàm,cƣc trị,… của hàm nhiều biến. Ở mỗi nội dung cần biết cách tính, phƣơng pháp giải và ứng dụng vào giải quyết các bài toán trong đời sống kinh tế. - Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: + Chủ động tìm tài liệu nghiên cứu, chuẩn bị bài trƣớc khi đến lớp. + Có ý thức tích cực, chủ động trong quá trình học tập. + Có ý thức nghiêm túc đúng đắn và khoa học về bản chất các vấn đề toán học và vận dụng vào toán kinh tế. vi
+ Làm các bài tập bắt buộc nhằm rèn luyện các kỹ năng, thái độ khách quan và khoa học. Nội dung của môn học : Thời gian (giờ) Số Thực Tên chƣơng, mục Tổng Lý hành, thí TT Kiểm tra số thuyết nghiệm, thảo luận, bài tập Chƣơng 1: Hàm số - giới hạn và tính liên tục của hàm số. 1 8 8 0 0 1. Hàm số 2. Giới hạn và Tính liên tục của Hàm số Chƣơng 2. Phép tính vi phân hàm một biến 1. Đạo hàm của Hàm số 6 2 6 0 0 2. Vi phân của hàm số 6 3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân Kiểm tra (1) 1 1 Chƣơng 3. Phép tính tích phân của hàm một biến3.1. Tích phân không xác định 4 1. Nguyên hàm và tích phân không xác 6 6 0 0 định. 2. Tích phân xác định 3. Tích phân suy rộng. Chƣơng 4. Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1. Khái niệm về hàm nhiều biến 8 5 8 0 0 2. Giới hạn và tính liên tục của hàm 8 nhiều biến 3. Đạo hàm của hàm hai biến vii
4. Vi phân của hàm hai biến 5. Cực trị của hàm hai biến Ôn thi (3) 1 1 0 0 Thi/Kiểm tra kết thúc môn học (4) 1 1 0 0 Cộng 30 29 1 viii
CHƢƠNG 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới thiệu: Hàm số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số là các khái niệm cơ bản của giải tích toán học. Việc nắm vững khái niệm hàm số, các tính chất của chúng, giúp cho ngƣời học tiếp thu tốt các khái niệm và tính chất của giới hạn hàm và tính liên tục của các hàm số để từ đó tiếp cận đƣợc với các kiến thức về phép tính vi phân, phép tính tích phân,... Mục tiêu: - Về kiến thức: + Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của hàm số, các phép toán cơ bản và công thức khi tính giới hạn (khử dạng vô định) + Hiểu và vận dụng đƣợc phép tính trên các đại lƣợng vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL). + Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định khi tính giới hạn. + Nắm đƣợc khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số   liên tục trên đoạn a,b . - Về kỹ năng: Thành thạo các cách tính giới hạn (khử các dạng vô định) Nội dung chính: 1. Hàm số 1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số 1.1.1. Định nghĩa Cho X,Y  ;X,Y , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x X có duy nhất một giá trị thực y Y , kí hiệu y  f (x) . * Hàm số đƣợc viết dƣới dạng sơ đồ sau: f : X Y x y  f (x) (1.1)  Biến x đƣợc gọi là biến độc lập.  y  f (x) đƣợc gọi là biến phụ thuộc.  Tập  D  x  | f (x) có nghĩa} đƣợc gọi là miền xác định của hàm số. 1
 Tập Y    f (X)  f (x)| x X đƣợc gọi là miền giá trị của hàm số. * Đồ thị hàm số y  f (x) là tập hợp các điểm có tọa độ (x, f (x)) trong hệ tọa độ Descartes. Kí hiệu: G  M(x, f (x)): x X. Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau a) y  2x 1. Miền xác định: D  .  b) y  22x . Miền xác định: D \ 1;1.  x 1 c) y  x 3 . 2x 1 x 3  0  x 3  Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi:   1 .  2x 1  0  x  2 Vậy miền xác định D  3;  \ 1 . 2    Chú ý: Hàm số y  f (x) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lƣợng x và y . Ví dụ 2 : Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h. Mối liên hệ giữa thời gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số s  s(t)  60t . 1.1.2. Các phép toán trên hàm số Cho hàm số f (x), g(x) có cùng miền xác định D . Khi đó, ta xác định các hàm số sau : i) (f g)(x)  f (x) g(x) , (x D). (1.2) ii) (f .g)(x)  f (x).g(x), (x D). (1.3)  f (x)  f (x) (g(x)  0, x D). iii) g (1.4)   g(x) lần lƣợt gọi là tổng, hiệu, tích, thƣơng của f và g. 1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số 1.2.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x) đƣợc gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu với cặp số x1, x2 bất kỳ thuộc miền D và từ x1  x2 suy ra f (x1)  f (x2) (hay f (x1)  f (x2)). 2
 Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hƣớng từ trái qua phải. y y O a b x O a b x Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm 1.2.2. Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x) xác định trên tập đối xứng D (x D thì x D). Khi đó:  f đƣợc gọi là chẵn nếu với mọi x D, ta có: f (x)  f (x).  f đƣợc gọi là lẻ nếu với mọi x D , ta có: f (x)  f (x). Ví dụ 3: * Hàm số y  f (x)  cosx x2  x là hàm số chẵn. * Hàm số y  g(x)  x3 x là hàm số lẻ.  Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy . - Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O . y y O x O x Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ 1.3. Hàm số hợp và hàm số ngƣợc 1.3.1. Hàm số hợp Cho hàm số f : X Y , g :Y Z , với f (X) Y . Khi đó, hàm số h : X Z với h(x) đn gf (x) đƣợc gọi là hàm số hợp của f và g. Kí hiệu là: h  g f . f g x 3
 Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định của hàm f sao cho f (x) thuộc miền xác định của hàm g.  Chú ý: g f (x)  f g(x) Ví dụ 4: Cho hàm số f (x)  x , g(x)  x 5. Hãy xác định các hàm hợp g f , f g và miền xác định của chúng. Giải Ta có: f (x)  x Miền xác định Df  0; . g(x)  x 5 Miền xác định Dg  Suy ra : g f (x)  gf (x)  g( x)  x 5. Miền xác định D 0; . f g(x)  f g(x)  x 5 Miền xác định D5;  1.3.2. Hàm số ngƣợc Cho hàm số f : X Y x y  f (x) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa với x1  x2 thì f (x1)  f (x2) . Khi đó, hàm số ngƣợc của f , kí hiệu f 1 đƣợc xác định: f 1 :Y X y x  f 1(y) (thỏa điều kiện y  f (x) ) có miền xác định Y và miền giá trị là tập X . y Ví dụ 5: Hàm số y  ex có miền xác định D  và có miền giá trị là T  0; .  Hàm này có hàm ngược là x  lny xác định trên D  0;  và có miền giá trị là T  . O x  Chú ý: Đồ thị của hai hàm số ngƣợc nhau đối xứng với nhau qua đƣờng thẳng y  x . 1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản 1.4.1. Hàm lũy thừa y  x,   y  Miền xác định: D  trừ các trƣờng hợp * Nếu  nguyên dƣơng thì hàm số có miền xác định là . O x 4
* Nếu  nguyên âm hoặc   0 thì hàm số có miền xác định là *.  Đồ thị: * Luôn đi qua điểm (1;1) . *   0 hàm số đồng biến trên khoảng (0; ). *   0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0; ).  Một số tính chất của lũy thừa  a an aa . ......a  a.a a m  an  n am ( n thừa số a )  a0  1   a  a  n a b bn a a  a  1  1,   (a)  a.  n ab  n a.n b  an  1n  (ab)  a.b n a  n a (b  0) a b nb  a a       m n a  mn a b  b  Với a  1, a a     Với 0  a  1, a a    1.4.2. Hàm số mũ y  ax,0  a  1 Hàm số mũ là hàm có dạng y  ax , y trong đó a đƣợc gọi là cơ số và 0  a  1 và x là biến.  Miền xác định: D  1  Miền giá trị là: T = (0; ). O x  Đồ thị * a  1: hàm tăng * 0  a  1: hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (0,1) , nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox . 1.4.3. Hàm số logarit y  loga x, 0 a  1 Hàm số ngƣợc của hàm số mũ y  ax đƣợc gọi là y hàm logarit, kí hiệu y  loga x, 0 a  1. O 1 x 5
Miền xác định của hàm logarit là D  (0, ) và miền giá trị là T  .  Logarit thập phân : lgb  logb  log10b  1 n  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): lnb  loge b(với e  lim 1   2,718281) n n  Theo công thức biến đổi cơ số, ta có: .  Đồ thị: * a  1: hàm tăng. * 0  a  1: hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (1,0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy .  Một số tính chất của logarit: 0  a,bc, 1  loga 1  0  loga(bc)  loga b loga c  logb c  loga b loga c  loga a  1 loga b.logb c  loga c  loga b  loga b loga c  c   aloga b b  loga b loga b  loga b  1 logb a  loga ab  b  loga c  1 loga c (  0)  alogbc clogba  1.4.4. Các hàm số lƣợng giác y B C D Trên hình ta có Q OP  cosx . OQ  sin x . x x A(1,0) BD cot x O P AC  tanx tanx  sinx ; cot x  cosx cosx sinx * Hàm y  sin x có miền xác định là D  và miền giá trị là T  1;1, hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 . * Hàm y  cosx có miền xác định là D  và miền giá trị là T  1;1, hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0  2 . 6
* Hàm số y  tan x có miền xác định là   D  \  k (k  ) và miền 2 giá trị là T  , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0   . * Hàm số y  cot x có miền xác định là D  \ k (k  ) và miền giá trị là T  và tuần hoàn với chu kỳ T0   . 1.4.5. Các hàm lƣợng giác ngƣợc a. Hàm số y  arcsinx Do y  sin x là hàm tăng nghiêm ngặt trên   ;  nên có hàm ngƣợc là  2 2  (1.5) Ví dụ 6:arcsin0  0;arcsin(1)  ;arcsin 3   . 2 2 3 b. Hàm số y  arccosx Do y cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0;  nên có hàm ngƣợc là (1.6) Ví dụ 7:arccos0   ;arccos(1)  ;arccos 3   ;arccos 1  2 . 2 2 6 2 3 c. Hàm số y  arctan x   Do y  tan x là hàm tăng nghiêm ngặt trên  ;  nên có hàm ngƣợc là  2 2 (1.7) Ví dụ 8:arctan0  0;arctan(1)   ;arctan 3   . 4 3  * Qui ƣớc : arctan   ;arctan    2 2 d. Hàm số y arccot x Do y  cot x là hàm giảm nghiêm ngặt trên 0;  nên có hàm ngƣợc là 7
(1.8) Ví dụ 9:arccot 0  p ; arccot(-1)  3p; arccot 3  p . 2 4 6 * Qui ƣớc : arccot   0; arccot    . 2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số 2.1. Giới hạn của dãy số 2.1.1. Định nghĩa dãy số Cho hàm số f (n) xác định trên tập số tự nhiên . Ứng với các giá trị n1,2,3,... ta có tập giá trị x1  f (1), x2  f (2),... lập thành một dãy số. Kí hiệu: xn. (2.1)  xn : số hạng tổng quát của xn.  n : chỉ số của số hạng xn . Ví dụ 10: xn  n xn: 1; 2;... n 1 2 3 xn (1)n xn: -1; 1; -1;... 2.1.2. Giới hạn dãy số Dãy số xn đƣợc gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n  nếu (  0) (N0  ) (n  N0 thì xn L  ). (2.4) n Kí hiệu: lim xn  L hay xn  L . n  Chú ý: Nếu dãy xn có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngƣợc lại nếu xn không có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ. Nhớ: * lim 1  0. Tổng quát : lim 1k  0 n n n n * limqn  0, với q  1. n  Các dãy dần đến vô cực * lim x M  0, N0 : n  N0  xn  M . n n * lim x M  0, N0 : n  N0 xn  M . n n * lim x M  0, N0 : n  N0 xn M . n n 8
2.1.3. Các phép toán Định lý: Nếu lim x  L và lim yn  M thì n n n i) lim(x yn )  L M . ii) lim(x .y )  LM . . n n n n n   iii) lim xn   L (yn  0, n, M  0) . iv) lim kx  kL . n yn  M n n ( k là một hằng số) lim 2n 34n  3n  3 . lim n 3n  3 3 2 2 Ví dụ 11: Tính: a) b) n n 5n 7 n n 2n 2 n 2 c) lim 5n 2n  4n d) lim n n n n 1 n 2.3  4 e) lim 4n2 1 n n 2 n  3n 1 f) lim n 2n  4n 6n 1 2 . 2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy i) Giới hạn của một dãy xn (nếu có) là duy nhất. ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn. Ngoài ra ta còn chứng minh đƣợc các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy nhƣ sau Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa) Cho xn, yn và zn. Nếu: nlim x  lim y  L và xn  zn yn, n thì  n n n lim z  L. n n Ví dụ 12: Tìm giới hạn lim sinn n n Giải: Ta có: n N*, ta có   1 sinn  1 . n n n Vì lim    lim    0 nên lim 1 1 sinn  0.  n n  n n  n n Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn) Nếu xn tăng (giảm) và bị chặn trên (dƣới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn). 9
Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy xn hội tụ là   0) (N  ) (n,m N x x 0 0 n m   . 2.2. Giới hạn hàm số 2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ ,  ) Số L (hữu hạn) đƣợc gọi là giới hạn của f (x) khi x x0, x  x0 nếu (  0)( ()  0) x : 0  x x0    f (x) L   (2.5) Ki hiệu: lim f (x)  L hay f (x) L khi x x0. xx0 x 2 4 Ví dụ 13: Dùng định nghĩa chứng minh lim  4. x2 x 2 x2 4 Thật vậy,   0, xét: f (x) L     4    x 2   . x 2 Ta chọn    . Khi đó: x2 4   0,     0: x thỏa 0  x 2   , ta có: 4   . x 2 lim x  4  4. 2 Vậy  x2 x 2 * Định nghĩa tƣơng đƣơng (ngôn ngữ dãy số) Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x x0 nếu xn,xn  x0, n và lim xn  x0 thì lim f (xn )  L . (2.6) n n  Nhận xét: Để chứng minh lim f (x) không tồn tại. Ta chọn 2 dãy: {xn},{xn } x x0 sao cho lim x  x0, lim xn  x0 nhƣng lim f (xn )  lim f (xn ) n n n n n Ví dụ 14: Chứng minh limcos 1 không tồn tại x0 x Thật vậy: Chọn xn và x 'n  cùng dần về 0. 1 n  xn  0 thì nlim f (x )  limcos(2n)  1 . 2n  n n 10
x 'n  1 n     )  0 . 2n    0 thì lim f (x 'n ) limcos(2n n n 2 2 Suy ra lim f (xn )  lim f (x 'n ) . n n Vậy limcos 1 không tồn tại  x0 x 2.2.2. Giới hạn một phía Định nghĩa * Số L đƣợc gọi là giới hạn trái của f (x) khi x x0 nếu (  0)( ()  0) x : 0  x0 x    f (x) L   (2.7) Kí hiệu: lim f (x)  L hay f (x0). xx0 * Số L đƣợc gọi là giới hạn phải của f (x) khi x x0 nếu (  0)( ()  0) x : 0  x x0    f (x) L   (2.8) Kí hiệu: lim f (x)  L hay f (x0) . xx 0 Ví dụ 15: Xét hàm số: f (x)  x tại x0  1, ta có f (1)  lim f (x)  lim x 1. x1 x1 f (1)  lim f (x)  lim(  x) 1. x1 x1 Định lý: Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x x0 khi và chỉ khi giới hạn trái và phải của f (x) tại x0 cũng tồn tại và bằng L . và (2.9)   lim f (x)  xx0   Nhận xét:   lim f (x)   lim f (x) . xx0 x x0  xlim f (x)  lim f (x)  x0 xx0 Ví dụ 16: Trong ví dụ trên, ta thấy f (1)  f (1) nên  lim x .  x1 2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận  Giới hạn vô tận lim f (x) (A  0) (A  0)(x : 0  x x0   f (x)  A) . xx0 (2.10) 11