Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giáo trình Toán kinh tế cung cấp cho người học những kiến thức như: Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính; Bài toán quy hoạch tuyến tính; Phương pháp đơn hình; Bài toán đối ngẫu; Bài toán vận tải - Bài toán thế vị. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung phần 1 giáo trình!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán kinh tế (Nghề: Kế toán - Cao đẳng): Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN: TOÁN KINH TẾ NGÀNH, NGHỀ: KẾ TOÁN, QUẢN TRỊ KINH DOANH TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (Ban hành kèm theo Quyết định Số:…./QĐ-CĐCĐ-ĐT ngày… tháng… năm 2021 của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2021
TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thông tin có thể đƣợc phép dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo. Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm. i
LỜI GIỚI THIỆU Toán kinh tế (Quy hoạch tuyến tính) là một bộ phận cơ bản và có nhiều ứng dụng trong thực tiễn của Tối ưu hóa, được áp dụng trong kinh tế và nhiều ngành khoa học khác cả lý thuyết lẫn thực hành, nhằm tối ưu hóa kết quả đạt được. Kiến thức về quy hoạch tuyến tính rất cần cho sinh viên ở bậc đại học, cao đẳng nói chung và khối ngành kinh tế nói riêng. Với mong muốn có một tài liệu học tập phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng ngành kế toán và quản trị kinh doanh, nhóm tác giả biên soạn giáo trình toán kinh tế trên cơ sở bài giảng dùng chung đã giảng dạy nhiều năm và bổ sung thêm những bài tập ứng dụng phù hợp với lĩnh vực kinh tế. Mục tiêu cụ thể của môn học là:  Cung cấp cho sinh viên về một số dạng toán QHTT, cách xây dựng mô hình toán học cho một số bài toán thực tế - những hiện tượng kinh tế rất thường gặp sản xuất kinh doanh và các cách đưa bài toán QHTT tổng quát về dạng chính tắc. Trên cơ sở đó để tìm ra các phương pháp giải tối ưu nhất.  Cung cấp cho sinh viên về cơ sở lý luận dẫn đến bảng đơn hình, từ đó có thể giúp sinh viên giải quyết các bài toán để tìm được tính tối ưu của từng bài toán cho phù hợp.  Giới thiệu cho sinh viên về bài toán đối ngẫu, ý nghĩa kinh tế của bài toán đối ngẫu, sự cần thiết phải đưa về bài toán đối ngẫu.  Giới thiệu cho sinh viên về bài toán vận tải, ý nghĩa kinh tế của bài toán vận tải. Các phương pháp giải các bài toán vận tải tổng quát và các bài toán vận tải đặc biệt. Cấu trúc của giáo trình toán kinh tế được biên soạn theo đề cương môn học đã được hội đồng khoa học trường thông qua với các chương: Chương 0. Một số khái niệm cơ bản trong đại số tuyến tính. Chương 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính. Chương 2. Phương pháp đơn hình. Chương 3. Bài toán đối ngẫu. Chương 4. Bài toán vận tải - Bài toán thế vị Chân thành cảm ơn ban lãnh đạo trường Cao đẳng Cộng Đồng Đồng Tháp tạo điều kiện để có những cuốn giáo trình đến với sinh viên, cảm ơn những đồng nghiệp, các em sinh viên đã có những đóng góp để nội dung giáo trình hoàn thiện hơn. Trong quá trình biên soạn giáo trình sẽ không tránh khỏi những sai sót nhỏ. Rất mong nhận được sự góp ý từ quý đồng nghiệp và các bạn sinh viên. Đồng Tháp, ngày…..tháng 5 năm 2021 Chủ biên/Tham gia biên soạn Nguyễn Thành Tâm Phạm Thị Kiều Anh ii
MỤC LỤC LỜI GIỚI THIỆU ................................................................................................. II CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ............. 1 1. MA TRẬN..................................................................................................... 2 1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN ............................................. 2 1.1.1. Các định nghĩa................................................................................... 2 1.1.2. Các phép toán trên ma trận................................................................ 6 1.2. ĐỊNH THỨC ................................................................................................. 8 1.2.1. Định thức cấp 2, 3 ............................................................................. 8 1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột) .......... 9 1.3. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ............................................................................. 11 1.4. HẠNG CỦA MA TRẬN................................................................................. 11 1.4.1. Định nghĩa ....................................................................................... 11 1.4.2. Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. ................. 12 2. VECTƠ........................................................................................................ 13 2.1. VECTƠ ...................................................................................................... 13 2.2. KHONG GIAN VECTƠ ................................................................................. 13 2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TINH - PHỤ THUỘC TUYẾN TINH ...................................... 14 BÀI TẬP CHƢƠNG 0 ........................................................................................ 17 CHƢƠNG 1: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ................................. 18 1. MỘT SỐ VÍ DỤ DẪN ĐẾN BÀI TOÁN QHTT ....................................... 19 2. PHÂN LOẠI DẠNG BÀI TOÁN .............................................................. 23 2.1. DẠNG TỔNG QUÁT .................................................................................... 24 2.2. DẠNG CHÍNH TẮC ..................................................................................... 25 2.3. DẠNG CHUẨN ........................................................................................... 25 3. BIẾN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN ................................................................... 27 3.1. ĐƢA MỘT BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT VỀ DẠNG CHÍNH TẮC .................... 27 3.2. KHÁI NIỆM TẬP HỢP LỒI, ĐIỂM CỰC BIÊN, PHƢƠNG ÁN CỰC BIÊN. ............. 28 BÀI TẬP CHƢƠNG 1 ........................................................................................ 31 CHƢƠNG 2: PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ..................................................... 35 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA PHƢƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ........................... 36 2. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VECTƠ ĐƠN VỊ CÓ SẴN. ................ 37 2.1. TRƢỜNG HỢP f (x) min ...................................................................... 37 iii
2.2. TRƢỜNG HỢP f (x) max ....................................................................... 39 3. THUẬT TOÁN ĐƠN HÌNH VỚI VEC TƠ ĐƠN VỊ KHÔNG CÓ SẴN (BÀI TOÁN MỞ RỘNG) ................................................................................... 44 BÀI TẬP CHƢƠNG 2 ........................................................................................ 51 CHƢƠNG 3: BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU............................................................... 54 1. KHÁI NIỆM ................................................................................................ 55 1.1. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC .............................. 55 1.2. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU CỦA BÀI TOÁN DẠNG TỔNG QUÁT ............................. 56 2. QUAN HỆ GIỮA BÀI TOÁN GỐC VÀ BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU .......... 57 2.1. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỐI NGẪU ............................................................................ 57 2.2. TÌM P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU QUA P.A.T.Ƣ CỦA BÀI TOÁN GỐC. 58 3. Ý NGHĨA BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU ........................................................... 61 BÀI TẬP CHƢƠNG 3 ........................................................................................ 63 CHƢƠNG 4: BÀI TOÁN VẬN TẢI - BÀI TOÁN THẾ VỊ ............................ 65 1. BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT (BÀI TOÁN CỔ ĐIỂN) 66 1.1. THIẾT LẬP BÀI TOÁN ................................................................................. 66 1.2. ĐẶT BÀI TOÁN DƢỚI DẠNG BẢNG.............................................................. 67 1.3. CÁC TÍNH CHẤT ........................................................................................ 68 1.3.1. Tính chất 1 ....................................................................................... 68 1.3.2. Tính chất 2....................................................................................... 69 1.3.3. Tính chất 3 ....................................................................................... 69 2. THUẬT TOÁN THẾ VỊ GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT................................................................................................................... 69 2.1. LẬP PHƢƠNG ÁN CƠ BẢN BAN ĐẦU ........................................................... 69 2.2. THUẬT TOÁN “QUY 0 CƢỚC PHÍ CÁC Ô CHỌN” .......................................... 71 2.3. PHƢƠNG PHÁP THẾ VỊ ............................................................................... 74 3. BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM ............................................................ 78 4. BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT ...................... 80 5. BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC .................................. 82 5.1. ĐỊNH NGHĨA.............................................................................................. 82 iv
5.2. ĐIỀU KIỆN TỐI ƢU ..................................................................................... 82 5.3. CÁCH GIẢI ................................................................................................ 82 BÀI TẬP CHƢƠNG 4 ........................................................................................ 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 88 v
GIÁO TRÌNH MÔN HỌC/MÔ ĐUN Tên môn học/mô đun: TOÁN KINH TẾ. Mã môn học/mô đun: MH33 KX6340301. Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trò của môn học/mô đun: - Vị trí: Là môn học tự chọn thuộc ngành học cao đẳng Kế toán, Quản trị kinh doanh. Môn học đƣợc phân bố từ đầu khóa học. - Tính chất: Nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về toán kinh tế (quy hoạch tuyến tính) để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho sinh viên khả năng tƣ duy logic, khả năng tính toán, định lƣợng. - Ý nghĩa và vai trò của môn học/mô đun: môn học Toán kinh tế (quy hoạch tuyến tính) là môn học nhằm vận dụng toán học trong phân tích các mô hình kinh tế, lập ra mô hình một số bài toán kinh tế và tìm ra phƣơng pháp tối ƣu để đƣa ra những phân tích, những quyết định. Toán kinh tế cung cấp cho các Nhà Quản lý các kiến thức để họ có thể vận dụng vào việc ra các quyết định sản xuất. Môn học có vai trò quan trọng trong lĩnh vực kinh tế về các vấn đề tìm phƣơng án tối ƣu. Mục tiêu của môn học/mô đun: - Về kiến thức: + Môn học trang bị một số kiến thức về cơ sở lý thuyết, các bài toán cơ bản và các phƣơng pháp giải bài toán trong quy hoạch tuyến tính: Khái niệm và cách thiết lập bài toán quy hoạch tuyến tính, phƣơng án, phƣơng án cực biên, phƣơng án tối ƣu của một bài toán quy hoạch tuyến tính; + Hƣớng dẫn giải các dạng bài toán quy hoạch tuyến tính bằng phƣơng pháp đơn hình hoặc đơn hình mở rộng; Bài toán đối ngẫu và cách giải; Bài toán vận tải và ứng dụng. - Về kỹ năng: + Hiểu và vận dụng đƣợc các phƣơng pháp giải quy hoạch tuyến tính, giúp ngƣời học có kỹ năng xây dựng mô hình toán cho các bài toán thực tế nhƣ: bài toán vốn đầu tƣ, bài toán lập kế hoạch sản xuất, bài toán vận tải. + Vận dụng các phƣơng pháp, kết quả cơ bản của lý thuyết đã đƣợc trang bị để giải các bài tập, sử dụng tốt các kiến thức về tối ƣu hóa tuyến tính đã đƣợc trang bị để học các môn học khác, trong nghiên cứu khoa học và trong công việc sau này. - Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: vi
+ Có ý thức nghiêm túc đúng đắn và khoa học về bản chất của các vấn đề toán học và vận dụng vào lĩnh vực chuyên môn. + Có ý thức tích cực, chủ động trong quá trình học tập. + Tự chịu trách nhiệm với các kết quả bài tập mình thực hiện. Nội dung của môn học/mô đun: Thời gian (giờ) Thảo Số TT Tên chƣơng, mục Tổng Lý luận, bài Kiểm tra số thuyết tập Chƣơng 0: Một số khái niệm trong 2 2 0 0 1 đại số tuyến tính Chƣơng 1: Bài toán quy hoạch 6 6 0 0 2 tuyến tính. 3 Chƣơng 2: Phƣơng pháp đơn hình 8 8 0 0 4 Kiểm tra thƣờng xuyên 1 0 0 1 5 Chƣơng 3: Bài toán đối ngẫu 6 6 0 0 Chƣơng 4: Bài toán vận tải. Bài toán 6 6 0 0 6 thế vị 7 Thi kết thúc môn học 1 0 0 1 Cộng 30 28 0 2 vii
CHƢƠNG 0: MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH  Giới thiệu Chƣơng này nhằm củng cố các kiến thức về đại số tuyến tính cho sinh viên để có thể vận dụng tốt và linh hoạt vào các chƣơng sau. Giới thiệu các kiến thức cơ bản về ma trận và các phép toán của ma trận, khái niệm và phƣơng pháp tính định thức của một ma trận, hạng của ma trận, áp dụng giải các hệ phƣơng trình tuyến tính, cấu trúc không gian vectơ V, khái niệm một hệ độc lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.  Mục tiêu - Về kiến thức: + Hiểu đƣợc khái niệm ma trận và sử dụng thành thạo các phép toán của ma trận: phép toán cộng, trừ, nhân. . . + Hiểu rõ cấu trúc không gian vectơ V, cách xác định một hệ độc lập độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính - Về kỹ năng: + Tính đƣợc định thức của một ma trận cấp 2, cấp 3, …, cấp n theo công thức, qui tắc Laplace hay bằng phép biến đổi sơ cấp. + Thành thạo kỹ năng “phép biến đổi sơ cấp trên ma trận”, từ đó rút ra phƣơng pháp tìm hạng của ma trận bất kỳ. + Làm đƣợc các bài tập tƣơng tự. - Về năng lực tự chủ và trách nhiệm: Có thái độ nghiêm túc, tự giác học tập và chịu trách nhiệm với kết quả thực hiện. 1
1. Ma trận 1.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận 1.1.1. Các định nghĩa Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp m n là một bảng gồm m n số thực đƣợc sắp xếp theo một thứ tự thành m dòng và n cột đƣợc viết dƣới dạng:  a11 a12 ... a1n  a11 a12 ... a1n   a21 a22 ... a2n  Dòng thứ 1 a21 a22 ... a2n  A   ...  hoặc A   ...  ...  (0.1.1)  ... ... ...   ... ... am1 am2 ... amn  am1 am2 ... amn    Cột thứ 2 Ký hiệu: A  aij  mn . i 1,m; j  1, n Trong đó: A: là tên của ma trận. aij : là phần tử (hay số hạng) nằm ở dòng (hay hàng) i, cột j của A. (m, n) : đƣợc gọi là kích thƣớc của A. Dòng thứ i của A là A(i)  ai1  ai2 ... a1n  a1j  a2j    Cột thứ j của A là A(j)   .   .    amj  -1 1 2  Ví dụ 1: A    là ma trận cấp 23 và  1 1 3  a11  -1, a12 1, a23  3.... 12 7 9 4 18   ? Cho ma trận B  0 3 21 12 7 . Hãy xác định:    1 15 14 4 30  i) Loại của ma trận B? ii) Giá trị của b23 , b32 ? iii) Dòng thứ 2 và cột thứ 3? b) Ma trận không Là ma trận mà mọi phần tử của nó đều bằng 0 aij 0, i, j. (0.1.2) 2
Ký hiệu: O  (O)mn . 0 0 0 0 0 0   Ví dụ 2: O22    ; O34  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   c) Ma trận đối của ma trận A Là ma trận đƣợc nhận từ A bằng cách đổi dấu mọi phần tử của A. Ký hiệu: A. 1 2 2 0 1 Ví dụ 3: Cho ma trận A    3 4 5 1 1  1 2 2 0 1   Ma trận đối của A là A  3 4 5 1 1   d) Ma trận vuông Là ma trận có số dòng = số cột = n (thuộc loại cấp n n ) và đƣợc gọi là ma trận vuông cấp n. Ký hiệu: A  (aij)nn  (aij)n . Khi đó đƣờng thẳng chứa các phần tử a11, a22, …, ann đƣợc gọi là đƣờng chéo chính của A. a11 a12 a1n  ... a21 a22 a2n  ... A   ...  (0.1.3)  ... ...  ... an1 an2 ann  ...  0 7 8  1 3   Ví dụ 4: 2 7 ma trận vuông cấp 2. 4 2 0 ma trận vuông cấp 3     5 0 2  Đƣờng chéo của A là {1, 7}, Đƣờng chéo của B là {0, -2, 2}.  Các ma trận đặc biệt * Ma trận dòng: là ma trận có    1n . m  1 a11a12 ...a1n : ai (0.1.4)  a11  a  * Ma trận cột: là ma trận có n 1  ..   m1.  21  : a i (0.1.5)   am1  3
e) Ma trận tam giác và ma trận chéo Ma trận vuông là ma trận tam giác, nếu các phần tử ở một phía đƣờng chéo bằng 0. * Ma trận A  (aij )n đƣợc gọi là ma trận tam giác trên nếu aij  0 (i  j). * Ma trận A  (aij )n đƣợc gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij  0 (i < j) . * Ma trận A  (aij )nn đƣợc gọi là ma trận tam giác chéo nếu aij  0(i  j) (các phần tử nằm ngoài đƣờng chéo đều bằng 0) a11 a12 ... a1n  a11 0 ... 0 a11 0 ... 0 0 a22 ... a2n  a 0  0 0    21 a22 ...  a22 ...  ... ... ... ...   ... ... ... ...   ... ... ... ...  (0.1.6)       0 0 ... ann  an1 an2 ... ann   0 0 ... ann  ma trận tam giác trên ma trận tam giác dưới ma trận chéo. 2 0 9 11 12 0 0 0 7 0 0 0 0 0  2 0  0 0  0 35  0 0  5 0 Ví dụ 5: 0 0 5 8 7 1 5 0  0 0 1 0     0 0 0 5   3 8 0 5 0 0 0 2 ma trận tam giác trên ma trận tam giác dưới ma trận chéo. f) Ma trận đơn vị cấp n Là ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đƣờng chéo chính đều bằng 1, các phần tử ngoài đƣờng chéo chính đều bằng 0. Ký hiệu: In hoặc I. 1 1 0 ... 0 0 0 0  0 1 0     ... 1 ... Ví dụ 6: I2     0  , …, In ... 0 1  3 0 ; I 1  ... ... 0 0 1     0 0 ... 1  g) Ma trận bậc thang Là ma trân cấp m n có: aij  0, i  j. Khi: a11a22a33...arr  0, ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa 4
a11 a12 ... a1r ... a1n  0 a22 ... a2r ... a2n    .. .. ... .. ... ..  A  0 arn   0 ... arr ... 0 0 ... 0 ... 0   0 0 ... 0 ... 0   (0.1.7) 1 3 2 1 0 0  3 4 Ví dụ 7: 0 0 5 9  0 0 0 0 h) Ma trận đối xứng Là ma trận vuông có các phần tử đối xứng nhau qua đƣờng chéo chính bằng nhau. 11 4 2 0 21 4 1  3 4 2 Ví dụ 8:  2 4 2 22 9  0 2 22 5 8   21 1 9 8 21 i) Ma trận bằng nhau. Hai ma trận A  (aij )mn, B  (bij )mn gọi là bằng nhau khi và chỉ khi aij bij i  1,m; j  1,n (0.1.8) Ký hiệu: A B j) Ma trận chuyển vị Cho ma trận A = (aij)mxn . Ma trận chuyển vị của ma trận A là ma trận cấp n m bằng cách chuyển dòng thành cột và ngƣợc lại. Ký hiệu: AT hoặc A*. Tức là: AT = (aji)nxm .  a11 a12 ... a1n  a11 a21 ... am1  a a  a a ... am2  A   ..21 ..22 ... a2n   12 22 ... ..  AT   .. .. ... ..  (0.1.9)     am1 am2 ... amn  mn a1n a2n ... anm  nm 5
1 6 1 2 5 T  2 7 Ví dụ 9: A     A   6 7 923 5 9  32  Tính chất i) (AT )T  A , AT = BT A  B ii) Cho A, B cùng cấp, ta có: (A B)  AT BT . iii) Cho ma trận A = (aij)mxn , B = (bij)nxp . Ta có: (AB)T  BT AT .  Chú ý: Nếu AT  A thì A gọi là ma trận đối xứng. 1.1.2. Các phép toán trên ma trận a) Phép cộng hai ma trận Tổng hai ma trận A  (aij )mn, B  (bij )mn là ma trận C (cij )mn có các phần tử tính bằng công thức: cij  aij bij (i  1,m ; j  1,n). (0.1.10) b) Phép hiệu hai ma trận. Hiệu hai ma trận A  (aij )mn, B  (bij )mn là ma trận C (cij )mn có các phần tử tính bằng công thức: cij  aij bij (i  1,m ; j  1,n). (0.1.11) c) Phép nhân một số thực với ma trận Tích của số thực k với ma trận A (aij )mn là ma trận C  kA (cij )mn có các phần tử đƣợc tính bằng công thức: cij  kaij (i  1,m ; j  1,n). (0.1.12) -1 1 2  -1 0 1  A    Ví dụ 10: 3   1 -1 1  , B  1 1   -2 1 3 0 1 1 -2 2 4  A B   ; A B   ; 2A    2 0 4 0 2 2  2 2 6  6
Ví dụ 11: Một ngƣời có hai cửa dòng bán dòng tin học. Số lƣợng dòng hóa bán ra trong tháng thứ nhất và tháng thứ hai cho bởi hai ma trận A và B. Tìm lƣợng dòng hóa bán trong cả hai tháng của ngƣời đó. Bàn phím Ram Chuột USB  2 5 10 15  Ch1 A    4 6 9 13 Ch2  7 3 12 11  B    6 5 8 17  Giải: Lƣợng dòng hóa bán ra cả 2 tháng đƣợc cho bởi ma trận C A B. 9 8 22 36  C   10 11 17 30  2 0 1 1 3 1 2 2 4 0     ? Cho ma trận A  1 2 0 2 4 và B  1 3 1 3 0     3 5 0 2 5 4 5 5 3 3  Tìm ma trận: C  2A 3B và D  3A 2B.  Các tính chất Cho A, B, C là các ma trận cùng cấpm n , r, s là các số. khi đó: i) A B  B A v) r(A B)  rA rB ii) A (B C)  (A B) C vi) (r s)A  rA sA iii) A O O A  A vii) (rs)A  r(sA) iv) A (- A) O viii) 1.A  A d) Phép nhân hai ma trận. Tích của hai ma trận Cho ma trận A  (aij )mn , B  (bjk)np là một ma trận C  AB (cij )mp có các phần tử xác định bởi công thức cij  aikbkj n (i  1, m ; j  1, n). (0.1.13) k1 Nghĩa là: phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử ở dòng i của ma trận A với các phần tử tƣơng ứng ở cột j của ma trận B. Sơ đồ thực hiện: 7
 Chú ý: Tích AB xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B. 1 2 3 -1  2 -1 1   3 5 7 -1 -3 2 0 .2 -1 Ví dụ 12:  1 0   .  1 -8 -7 3 3 0 2 2    5 3 2 0 1 1 3 1     1. Cho ma trận: A    B  0 1  C  3 1 0.  3 0 2 ? ; và      2 0  1 1 2  Tính a) A.B, B.A của các ma trận và nhận xét 2 kết quả A.B và B.A b) CTC; CB  3B.  Tính chất Cho A  (aij )mn , B  (bij )np, C  (cij )pq và I là ma trận đơn vị i) A(BC) = (AB)C. ii) A(B + C) = AB + AC. iii) (A + B)C = AC + BC iv) ImA  AIn  A. 1.2. Định thức Khái niệm định thức chỉ áp dụng cho ma trận vuông. Định thức của ma trận A là một số, kí hiệu là det(A) hay A . 1.2.1. Định thức cấp 2, 3 A  a a  . a11 a12 * Định thức cấp 2: Xét ma trận vuông cấp 2:  21 22  Khi đó: a11 a12 A  a a : a11a22 a12a21 (0.1.14) 21 22 * Định thức cấp 3 (qui tắc Sarrus) : 8
a11 a12 a13    Xét ma trận vuông cấp 3: A  a21 a22 a23  a31 a32 a33    a11 a12 a13 Khi đó: A  a21 a22 a23  a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 (0.1.15) a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31 a11 a12 a13 a11 a12  Cách nhớ: a21 a22 a23 a21 a22 (0.1.16) a31 a32 a33 a31 a32 + Nhận thấy rằng, định thức cấp 3 là một tổng của sáu số hạng, có ba số hạng có dấu +, ba số hạng có dấu -, và mỗi số hạng là tích của ba phần tử nằm trên các hàng các cột khác nhau. + Định thức cấp 3 là tổng đầu gồm 3 tích số lấy theo đƣờng chéo chính và 2 đƣờng song song với nó nhân với phần tử đối diện. Tổng sau cùng cũng gồm 3 tích số nhƣng lấy theo đƣờng chéo còn lại và 2 đƣờng song song với nó nhân với phần tử đối diện. Ví dụ 13: 2 3 4 1 2 3 [2.2.2(3).3.51.(4).4][4.2.5(3).1.23.(4).2] 63. 5 1 2 1.2.2. Định thức cấp n (khai triển theo một dòng hay theo một cột) a11 a12 ... a1n  a21 a22 ... a2n  Cho ma trận vuông cấp n : A   ...  ...  . Định thức của ma  ... ... an1 an2 ... ann   trận A khai triển theo hàng một là: A a11A11 a12A12 .... a1nA1n (0.1.17) 9
Định lý Laplace: Định thức của ma trận A cấp n là: a11 a12 ... a1n . a21 a22 ... a2n n A  ... ... ... ...   j 1 (1)i j aij det(Mij ) (0.1.18) an1 an2 ... ann Trong đó:  Mij là ma trận vuông nhận từ A bằng cách bỏ đi dòng i, cột j.  Đặt Aij  (1)ij det(Mij ), ta gọi là phần bù đại số của phần tử aij Khi đó, ta có công thức khai triển định thức A theo dòng thứ i : A  aijAij ai1Ai1 ai2Ai2 .... ainAin n (0.1.19) j 1  Chú ý: Có thể khai triển A theo cột thứ j A  aijAij  a1jA1j a2jA2j .... anjAnj n (0.1.20) i 1 1 4 3 Ví dụ 14: Tính định thức sau A  5 2 1 3 6 0 Giải Khai triển theo dòng 1, ta có: i 1 A  a11A11 a12A12 a13A13 1A11 4A12 (3)A13 2 1 Mà A11  (1)11 det(M11)  (1)2  6 6 0 5 1 A12  (1)12 det(M12)  (1)3  3 3 0 5 2 A13  (1)13 det(M13)  (1)4  36 3 6  A 1.(6) 4.(3) (3).36 126 Nhận xét: Có thể trình bày ngắn gọn nhƣ sau 10
i 1 2 1 5 1 5 2 A  1.(1)2  4.(1)3 (3).(1)4 6 0 3 0 3 6 (khai triển theo dòng 1)  1.(6)  4.(3) (3).36 126  Nhận xét: Do giá trị định thức không đổi dù ta khai triển theo dòng (cột) bất kỳ nên khi thực hành ta chọn những dòng (cột) có nhiều số 0 nhất rồi khai triển theo dòng (cột) đó. 1.3. Ma trận nghịch đảo * Định nghĩa. Ma trận vuông A cấp n đƣợc gọi là ma trận không suy biến khi và chỉ khi A  0. * Định nghĩa. Cho ma trận vuông A cấp n Nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho AB  BA  In thì B đƣợc gọi là nghịch đảo của A (hoặc A khả nghịch). Ký hiệu: B  A-1. Nhƣ vậy, nếu A khả nghịch thì . -1  A-1.A  In . AA 1 2   7 - 2 Ví dụ 15 : Cho A  . Ma trận nghịch đảo là B   3 7 -3 1  1 2   7 - 2  1 0  và  7 - 2 1 2   1 0 Vì   =   3 7 -3 1  0 -3 1  3 7 0 1 = 1 * Định lý: Ma trận vuông A khả nghịch det A  0. 1.4. Hạng của ma trận 1.4.1. Định nghĩa  Định nghĩa 1 Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác không của A. Ký hiệu: rank(A) hay r(A) .  Chú ý: A (0)mn , thì ta qui ƣớc r(A)  0. 2 -1 1   Ví dụ 16: Tìm hạng của ma trận A 0 -3 2   2 -4 3  2 -1 1 Giải + Ta có det A  0 -3 2  0. 2 -4 3 3x3 11
2 -1 + Định thức con cấp 2 là  6  0. Kết luận r(A)  2. 0 -3 * Hạng của ma trận A bằng số dòng khác 0 của ma trận dạng bậc thang tƣơng đƣơng với ma trận A  Nhận xét : 0  r(A)  min( m,n) ( A là ma trận cấp mxn).  Định nghĩa 2 Số dòng khác 0 của ma trận bậc thang (không nhất thiết là ma trận bậc thang rút gọn theo dòng) tƣơng đƣơng ma trận A đƣợc gọi là hạng của ma trận A. 1.4.2. Cách tính hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp. Biến đổi sơ cấp i) Đổi chỗ hai hàng cho nhau ( hi hj ) ii) Nhân một hàng với một số k 0 iii) Cộng một hàng với k lần hàng khác (hi k.hj ) Phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận. Để tính hạng của ma trận A ta thƣờng dùng các phép biến đổi sơ cấp để đƣa ma trận A về ma trận B có dạng: b11 b12 ... b1r ... b1n  0 ... b2n   b21 ... b2r  ... ... ... ... ... ...    B  0 0 brr brn  (0.1.21)   0 0 ... 0 ... 0   ... ... ... ... ... ...     0 0 ... 0 ... 0  Ta có r(A)  r(B)  r  số dòng khác không của ma trận B. 1 5 4 -13    Ví dụ 17: Tìm hạng ma trận: A 3 -1 2 5   2 2 3 -4  Giải 12