intTypePromotion=1

Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

0
46
lượt xem
5
download

Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung của giáo trình bao gồm những kết quả cơ bản của toán cao cấp và của lí thuyết tối ưu tuyến tính, đảm bảo cung cấp cho sinh viên những hiểu biết cơ bản về bản chất của lĩnh vực này. Giáo trình bao gồm các chương: Đại số tuyến tính, xác suất của biến cố, quy hoạch tuyến tính, bài toán vận tải. Phần 1 gồm nội dung 2 chương đầu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Toán kinh tế: Phần 1

  1. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Tr­êng cao ®¼ng nghÒ nam ®Þnh Bé m«n kÕ to¸n doanh nghiÖp Gi¸o tr×nh Toán kinh tế Nam §Þnh,th¸ng 06 n¨m 2009. 1 Tæ m«n kÕ to¸n
  2. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Lêi nãi ®Çu Trong kho¶ng h¬n 50 n¨m trë l¹i ®©y, to¸n häc ®· ph¸t triÓn rÊt m¹nh vµ ®· ®­îc ¸p dông mét c¸ch réng r·i vµ s©u s¾c vµo kinh tÕ , vµo khoa häc kÜ thuËt vµ hÇu hÕt c¸c ho¹t ®éng cña con ng­êi. Tõ ®ã lµm n¶y sinh c¶ mét ngµnh to¸n häc míi lµ To¸n kinh tÕ. To¸n kinh tÕ lµ mét c«ng cô quan trong v× nã cung cÊp ph­¬ng ph¸p luËn c¸c ph­¬ng ph¸p m« h×nh hãa, c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tèi ­u. Do ®ã , nã kh«ng chØ lµ c«ng cô ®Ó t­ duy vÒ ®Þnh tÝnh mµ c¶ vÒ ®Þnh l­îng , gióp gi¶i quyÕt c¸c vÊn ®Ò mét c¸ch cã hiÖu qu¶. ViÖc lËp kÕ ho¹ch ph¸t trÓn kinh tÕ vµ viÖc n©ng cao hiÖu qu¶ cña s¶n suÊt x· héi lµ c¸c vÊn ®Ò quan träng cña bÊt k× mét quèc gia nµo. §Ó gi¶i quyÕt tèt c¸c vÊn ®Ò ®ã th× ph¶i kh«ng ngõng c¸c ph­¬ng ph¸p ®iÒu khiÓn, qu¶n lý vµ ®Èy nhanh tèc ®é tiÕn bé khoa häc kÜ thuËt, thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p khoa häc c¬ b¶n. §©y lµ gi¸o tr×nh dµnh cho sinh viªn ngµnh kÕ to¸n doanh nghiÖp ®­îc viÕt theo ch­¬ng tr×nh khung cña bé lao ®éng th­¬ng binh vµ x· héi, tr­êng cao ®¼ng nghÒ Nam §Þnh. Néi dung cña gi¸o tr×nh bao gåm nh÷ng kÕt qu¶ c¬ b¶n cña to¸n cao cÊp vµ cña lÝ thuyÕt tèi ­u tuyÕn tÝnh, ®¶m b¶o cung cÊp cho sinh viªn nh÷ng hiÓu biÕt c¬ b¶n vÒ b¶n chÊt cña lÜnh vùc nµy. Gi¸o tr×nh bao gåm c¸c ch­¬ng : 1, §¹i sè tuyÕn tÝnh. 2, X¸c suÊt cña biÕn cè. 3, Quy ho¹ch tuyÕn tÝnh. 4, Bµi to¸n vËn t¶i. Mçi ch­¬ng ®Òu tËp trung tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøc lý thuyÕt c¬ b¶n vµ c¸c bµi tËp phï hîp víi n¨ng lùc cña sinh viªn. §¹i sè tuyÕn tÝnh lµ ch­¬ng c¬ b¶n, tiÒn ®Ò ®Ó sinh viªn cã thÓ t×m hiÓu vÒ c¸c ch­¬ng tiÕp theo. ViÖc nghiªn cøu c¸c hÖ thèng nh÷ng hiÖn t­îng ngÉu nhiªn ®Ó tõ ®ã rót ra nh÷ng quy luËt ngÉu nhiªn , ®ã lµ môc tiªu cña m«n x¸c suÊt . Trong c¸c ngµnh thùc nghiÖm nh­ vËt lý , ho¸ häc sinh häc , n«ng , l©m ng­ nghiÖp , thuû h¶i s¶n , giao dôc ,x· héi häc , kinh tÕ häc ,… ®Òu sö dông tÝch cùc c¸c m« h×nh x¸c suÊt to¸n häc. Hai ch­¬ng cuèi tËp trung tr×nh bµy vÒ ph­¬ng ph¸p ®¬n h×nh, bµi to¸n ®èi ngÉu, vµ bµi to¸n vËn t¶i lµ mét tr­êng hîp, d¹ng ®Æc biÖt cña quy ho¹ch tuyÕn tÝnh. §Ó hiÓu r·o ®­îc hai ch­¬ng nµy sinh viªn ph¶i n¾m v÷ng kiÕn thøc vÒ ®¹i sè tuyÕn tÝnh. Do h¹n chÕ vÒ thêi l­îng m«n häc nªn gi¸o tr×nh kh«ng tham väng lµ mét cuèn gi¸o tr×nh ®Çy ®ñ vÒ lý thuyÕt, mµ chØ tr×nh bµy mét c¸ch c¬ b¶n vµ ng¾n gän, dÔ hiÓu. B¹n ®äc muèn t×m hiÓu s©u c¸c vÊn ®Ò th× cã thÓ tham kh¶o mét sè gi¸o tr×nh trong phÇn s¸ch tham kh¶o Gi¸o tr×nh ®­îc biªn so¹n lÇn ®Çu, trªn c¬ së tËp hîp nh÷ng bµi gi¶ng , vµ tham kh¶o mét sè gi¸o tr×nh ®ang ®­îc gi¶ng d¹y ë c¸c tr­êng cao ®¼ng vµ ®¹i häc víi môc ®Ých lµm tµi liÖu häc tËp cho sinh viªn nªn ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh 2 Tæ m«n kÕ to¸n
  3. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ khái nh÷ng thiÕu sãt. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc c¸c ý kiÕn phª b×nh ph¶n håi tõ b¹n ®äc. T«i xin bµy tá lêi c¶m ¬n ch©n thµnh tíi thÇy gi¸o NguyÔn Ngäc ThiÖn cïng c¸c thÇy c« gi¸o trong ban thÈm ®Þnh gi¸o tr×nh ®· gióp t«i hoµn thµnh cuèn gi¸o tr×nh nµy. Nam §Þnh, th¸ng 06 – 2009. T¸c gi¶ 3 Tæ m«n kÕ to¸n
  4. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Ch­¬ng I : §¹i sè tuyÕn tÝnh Bµi 1: Vect¬ nguoc chiÒu 1. Kh«ng gian vec t¬. §Þnh nghÜa    Cho V lµ tËp kh¸c rçng, c¸c phÇn tö kÝ hiÖu  … vµ K lµ tr­êng ( Q , R, C ). Gi¶ sö V trang bÞ hai phÐp to¸n a, PhÐp céng : V.V→ V     (  )     b, PhÐp nh©n : K.V → V   (  )   Tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn( hay tiªn ®Ò) sau ®©y:          T1 :              V        T2 :  0  V : 0      0  .  V        T3 :   V,  V :                T4 :         V     T5 :           V       T6 :          V    T7 :       V     T8 : 1.       V Khi ®ã V cïng hai phÐp to¸n céng vµ nh©n lµ mét kh«ng gian vect¬ trªn tr­êng K, hay gäi lµ K_kh«ng gian vect¬ V. 2. Vect¬ n chiÒu . §Þnh nghÜa Cho tr­êng K, n ≥ 1. XÐt tÝch ®Ò c¸c Kn = { x=( x1, x2, …, xn) | xi  R , i = 1,2... ,n}, víi hai phÐp to¸n céng vµ nh©n +, ( x1, x2, …, xn) +( y1, y2, … yn) = ( x1+y1 , x2+y2, …, xn+yn), 4 Tæ m«n kÕ to¸n
  5. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ +, k . ( x1, x2, …, xn) = (k x1,k x2, …, kxn) Th× Kn cïng hai phÐp to¸n trªn lµ mét kh«ng gian vec t¬ n chiÒu trªn tr­êng K.  Mçi vect¬ u (x1,x2,.., xn)  Rn lµ mét vect¬ n chiÒu.C¸c xi lµ c¸c to¹ ®é (i=1,2,....., n) VÝ dô 1: K=R vµ n =1 : th× R1_ lµ kh«ng gian vect¬ 1 chiÒu : h×nh ¶nh lµ trôc sè. n=2 : th× R2 _ lµ kh«ng gian vect¬ 2 chiÒu : h×nh ¶nh lµ toµn bé mÆt ph¼ng. n=3 : th× R3 _ lµ kh«ng gian vect¬ 3 chiÒu : h×nh ¶nh lµ toµn bé kh«ng gian thùc 3 chiÒu . 3. C¸c phÐp to¸n vect¬ . a, PhÐp céng: ( x1, x2, ..., xn) +( y1, y2, …, yn) = ( x1+y1, x2+y2,…, xn+yn), b, PhÐp nh©n vect¬ víi mét sè : k . ( x1, x2, xn) = (k x1,k x2, …,kxn) c, tÝch v« h­íng cña hai vect¬ : ( x1, x2, …,xn) .( y1, y2, …,yn) = x1y1 + x2y2+... +xnyn   n Trong ®ã x  (x1,..,xn ) , y(y,...,y 1 n)K , k  K ------------------o0o------------------------ Bµi 2 : HÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh 1. HÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh. §Þnh nghÜa Cho K_kh«ng gian vect¬ V   a, Mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬   n  V lµ mét biÓu thøc d¹ng: n            i1 i i 1 1 2 2  ... nn trong ®ã 1 , 2 ,..., n  K .       b, Víi   V , nÕu   11   2  2  ...   n  n th× ta nãi vect¬  ®­îc biÓu   diÔn tuyÕn tÝnh ®­îc qua hÖ vect¬ (1 ,....,  n ) vµ ®¼ng thøc        11   2  2  ...   n  n gäi lµ mét biÓu thÞ tuyÕn tÝnh cña vect¬  qua c¸c   vect¬ 1 ,....,  n . 5 Tæ m«n kÕ to¸n
  6. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ c, (®Þnh nghÜa hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh)   * HÖ vect¬ (1 ,....,  n ) ®­îc gäi lµ hÖ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕuhÖ thøc     11  2 2  ...   n  n  0 chØ x¶y ra khi vµ chØ khi 1   2   n  0   * HÖ vect¬ (1 ,....,  n ) ®­îc gäi lµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh nÕu hÖ vect¬ ®ã kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh . 2. VÝ dô Trong kh«ng gian vect¬ thùc R2 cho hÖ 3 vect¬ :      1  (2,0),  2  (0,4),  3  (4,4) th× hÖ (1 ,  2 ) lµ hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh v× :     11  2  2  0  (21 ,0)  (0,4 2 )  0  (21 ,4 2 )  (0,0)  1   2  0    Cßn hÖ (1 ,  2 ,  3 ) lµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh v× còng nh­ trªn ta biÓu     diÔn ®­îc 21   2  3  0 . 3. Mét sè tÝnh chÊt.   a, HÖ ( 1 ,....,  n ) lµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi cã c¸c v«     h­íng 1 ,  2 ,...,  n kh«ng ®ång thêi b»ng 0 sao cho : 11   2  2  ...   n  n  0 .    b, HÖ gåm 1 vect¬ (  ) lµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi   0 .   c, Víi n >1 hÖ n vect¬ (1 ,....,  n ) lµ hÖ vect¬ phô thuéc tuyÕn tÝnh khi vµ chØ khi mét vect¬ nµo ®ã biÓu thÞ tuyÕn tÝnh qua c¸c vect¬ cßn l¹i cña hÖ. d, Mçi hÖ con cña hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh lµ mét hÖ vect¬ ®éc lËp tuyÕn tÝnh.   VÝ dô : Gi¶ sö hÖ vect¬ (1 ,....,  n ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh th× hÖ vect¬ con   (1 ,....,  n i ) lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh , víi i = 1,2,..n-1. --------------------o0o------------------------ 6 Tæ m«n kÕ to¸n
  7. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Bµi 3 : Ma trËn. I. §Þnh nghÜa. Cho K lµ mét tr­êng tuú ý .Mét b¶ng gåm m.n phÇn tö aij thuéc tr­êng K cã d¹ng:  a11 a12  a1n  a  a 2n   21 a 22 (1)          a m1 a m2  a mn  ®­îc gäi lµ mét ma trËn kiÓu (m,n) . Mçi aij ®­îc gäi lµ mét thµnh phÇn cña ma trËn , vect¬ dßng  a i1 a i2  a in  ®­îc gäi lµ dßng thø i cña ma trËn . Vect¬ cét:  a1j     a2 j        a mj    ®­îc gäi lµ cét thø j cña ma trËn . Ta th­êng kÝ hiÖu c¸c ma trËn b»ng c¸c ch÷ c¸i A,B,C,.. Ma trËn (1) cã thÓ kÝ hiÖu ®¬n gi¶n bëi A=(aij)mxn. Ta còng nãi ma trËn A cã m dßng , n cét. Khi m = n th× ma trËn A=(aij)nxn ®­îc gäi lµ ma trËn vu«ng cÊp n. TËp hîp c¸c ma trËn kiÓu (m,n) víi c¸c phÇn tö thuéc tr­êng K ®­îc kÝ hiÖu lµ Mat(m x n,K). II. C¸c lo¹i ma trËn th­êng gÆp. 1.Ma trËn kh«ng : Lµ ma trËn mµ c¸c phÇn tö ®Òu b»ng kh«ng.  0  0   O=    0  0    7 Tæ m«n kÕ to¸n
  8. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ 2. Ma trËn ®èi : Ma trËn ®èi cña ma trËn A lµ ma trËn mµ c¸c pgÇn tö cña nã lµ ®èi cña c¸c phÇn tö t­¬ng øng cña ma trËn A. §èi cña ma trËn A kÝ hiÖu lµ -A.  a11  a1n   a11  a1n  A=        A         . a   a   m1  a mn   m1  a mn  3. Ma trËn vu«ng : Lµ ma trËn cã sè dßng b»ng sè cét (m=n)  a11  a1n  A=      a   n1  a nn  Chó ý : + C¸c phÇn tö a11 ,a 22 ,...,a nn cña ma trËn vu«ng cÊp n ®­îc gäi lµ c¸c phÇn tö chÐo . Tæng a11  a 22  ...  a nn . gäi lµ vÕt cña ma trËn + Tõ nay dïng kÝ hiÖu Ai,Aj lÇn l­ît lµ hµng thø i vµ cét thø j . 4. Ma trËn ®¬n vÞ. Lµ ma trËn vu«ng cÊp n cã c¸c phÇn tö trªn ®­êng chÐo ®Òu b»ng 1 cßn c¸c 1 0  0   0 1   phÇn tö kh¸c ®Òu b»ng 0. I =  .     0   0  0 1 5. Ma trËn chÐo : Lµ ma trËn mµ c¸c phÇn tö n»m ngoµi ®­êng chÐo ®Òu b»ng 0  1 0  0  0     A=  2      0     0  0 n  6. Ma trËn tam gi¸c trªn , ma trËn tam gi¸c d­íi. - Ma trËn vu«ng mµ c¸c phÇn tö n»m d­íi ®­êng chÐo ®Òu b»ng kh«ng th× gäi lµ ma trËn tam gi¸c trªn. 8 Tæ m«n kÕ to¸n
  9. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ  a11 a12  a1n   0 a  a 2n  A=  22          0 0  a nn  - Ma trËn vu«ng mµ c¸c phÇn tö n»m trªn ®­êng chÐo ®Òu b»ng kh«ng th× gäi lµ ma trËn tam gi¸c d­íi.  a11 0  0  a a 22  0  B =  21 .          a n1 a n2  a nn  III. C¸c phÐp to¸n: 1. Ma trËn b»ng nhau : Hai ma trËn A=(aij)mxn vµ B=(bij)mxn ®­îc gäi lµ b»ng nhau nÕu aij= bij víi i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. KÝ hiÖu A = B 2.PhÐp céng ma trËn a. §Þnh nghÜa: Cho A=(aij)mxn vµ B=(bij)mxn lµ hai ma trËn thuéc Mat(mxn,K) vµ   K .Ta gäi tæng cña hai ma trËn A vµ B lµ ma trËn C =(cij)mxn x¸c ®Þnh bëi : cij= aij + bij i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. KÝ hiÖu C = A + B. b. C¸c tÝnh chÊt: A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C 3. TÝch cña ma trËn víi mét sè. a. §Þnh nghÜa: Ta gäi tÝch cña ma trËn A víi v« h­íng  lµ mét ma trËn D= (dij)mxn x¸c ®Þnh bëi: dij =  aij , i= 1,2, ... m. j = 1,2,..n. b. C¸c tÝnh chÊt:  ( A+B) =  A +  B 1.A = A 9 Tæ m«n kÕ to¸n
  10. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ (-1).A = -A 0.A = 0  .0 = 0  (  A) = (   )A 4. TÝch cña hai ma trËn . a. §Þnh nghÜa: Cho ma trËn A=(aij)mxn thuéc Mat(m x n, K) vµ B=(bj k)nxp thuéc Mat(nxp, K) . Ta gäi tÝch cña ma trËn A víi ma trËn B lµ mét ma trËn C=(cjk)m x p thuéc Mat (m x p , K) mµ c¸c phÇn tö ®­îc x¸c ®Þnh bëi : n c ik   a ij b jk i = 1..m , k = 1... p, j 1 KÝ hiÖu C=A.B Cã thÓ m« t¶ c¸ch t×m thµnh phÇn cik cña ma trËn tÝch A.B b»ng s¬ ®å sau: Cét k cét k     b k1          bk2 Dßng thø i  a i1 a i2   a in  .   =    c    dßng i ik              b kn       VÝ dô  1 2  2 3 0   a,    2( 1)  3.3  0.4 2.2  3.0  0.3   7 4   . 3 0       1 5 1   4 3   1(1)  5.3  ( 1)4 1.2  5.0  ( 1)3   10 1     a b c   x t   ax  by  cz at  bu  cv  b,  d e f  .  y u    dx  ey  fz dt  eu  fv   g h i   z v   gx  hy  iz gt  hu  iv       Chó ý : §iÒu kiÖn ®Ó cã tÝch A.B lµ sè cét cña A b»ng sè dßng cña B .Nh­ vËy cã thÓ cã tÝch A.B nh­ng còng cã thÓ kh«ng cã tÝch B.A Tr­êng hîp ®Æc biÖt khi c¶ A vµ B ®Òu lµ ma trËn vu«ng th× cã c¶ tÝch A.B vµ B.A nh­ng nãi chung lµ A.B kh¸c B.A (kh«ng cã tÝnh chÊt giao ho¸n) 10 Tæ m«n kÕ to¸n
  11. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 vÝ dô :   .   cßn  0 0  . 0 0    0 0   0 0 0 0  0 0      b. C¸c tÝnh chÊt cña phÐp nh©n ma trËn : + N©ng mét ma trËn vu«ng cÊp n lªn mét luü thõa: Cho ma trËn A vu«ng cÊp n , th× luü thõa bËc p ( nguyªn d­¬ng ) cña A lµ biÓu thøc cã d¹ng Ap = A.A... A (cã n ma trËn A) Cã tÝnh chÊt sau : Ap Aq =Ap+q ; (Ap)q=Ap.q Víi c¸c ma trËn A,B,C vµ víi   K c¸c ®¼ng thøc sau lµ ®óng theo nghÜa : NÕu mét vÕ ®­îc x¸c ®Þnh th× vÕ kia còng vËy vµ hai vÕ b»ng nhau: (A.B).C= A.(B.C); (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB;  (AB)= (  A)B=A(  B) Chóng ta dÔ dµng chøng minh ®­îc c¸c mÖnh ®Ò nµy. IV. Ma trËn chuyÓn vÞ. 1. §Þnh nghÜa :  a11 a12 ... a1n  a a 22 ... a 2n  Cho A=(aij)mxn =  21    ...      a m1 a m2 ... a mn   a11 a 21 ... a m1  a a 22 ... a m2  th× ma trËn  12    ...      a1n a 2n ... a mn  ®­îc gäi lµ ma trËn chuyÓn vÞ cña ma trËn A, KÝ hiÖu lµ At . Râ rµng , At nhËn ®­îc b»ng c¸ch ®æi c¸c dßng cña ma trËn A thµnh c¸c cét. Ta cã tÝnh chÊt sau: (At)t = A (A+B)t = At+Bt (A.B)t = Bt..At 2. Ma trËn ®èi xøng : Ma trËn vu«ng cÊp n ®­îc gäi lµ ®èi xøng nÕu At = A hay aÞj = aji i, j 11 Tæ m«n kÕ to¸n
  12. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ 1 3 4 A=  3 6 5  4 5 7   3. Ma trËn ph¶n ®èi xøng : Ma trËn vu«ng cÊp n ®­îc gäi lµ ph¶n ®èi xøng nÕu At = -A  0 3 4  A=  3 0 5  4 5 0    NhËn xÐt: c¸c phÇn tö trªn ®­êng chÐo cña ma trËn ph¶n ®èi xøng ®Òu b»ng 0. --------------------o0o------------------------ Bµi 4: §Þnh thøc cña ma trËn . TÊt c¶ c¸c ma trËn ®­îc xÐt trong môc nµy ®Òu lµ nh÷ng ma trËn vu«ng cÊp n víi c¸c phÇn tö thuéc tr­êng K. I. §Þnh nghÜa Cho A=(aij)nxn . Ta gäi ®Þnh thøc cña ma trËn A lµ mét phÇn tö thuéc tr­êng K , kÝ hiÖu lµ detA , gäi lµ ®Þnh thøc cÊp n vµ cßn ®­îc kÝ hiÖu lµ |A| hay : a11 a12  a1n a 21 a 22  a 2n detA = |A| = .     a n1 a n2  a nn 1.§Þnh thøc cÊp 1: det(a) = a. a a12  a11 a12 2.§Þnh thøc cÊp 2 : Det  11   a11 .a 22  a12 .a 21  a 21 a 22  a 21 a 22 3.§Þnh thøc cÊp 3 :  a11 a12 a13  a11 a12 a13   a a a 23   a 21 a 22 a 23  det  21 22  a 31 a 32 a 33  a 31 a 32 a 33  a11a 22 a 33  a 21a 32 a13  a 31a12 a 23  a 31a 22 a13  a 21a12 a 33  a11a 32 a 23 12 Tæ m«n kÕ to¸n
  13. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Ta cã c¸ch tÝnh ®Þnh thøc ®èi víi ®Þnh thøc cÊp 3 nh­ sau: ViÕt thªm vµo bªn ph¶i cña ®Þnh thøc cÊp 3 hai cét 1 vµ 2 . ta tÝnh c¸c tÝch theo ®­êng chÐo vµ lÊy ®­êng chÐo chÝnh trõ ®­êng chÐo phô , ®­êng chÐo chÝnh mang dÊu céng, ®­êng chÐo phô mang dÊu trõ : _ _ _ a11 a12 a13 a11 a12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22  a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + +  a11a 22 a 33  a 21a 32 a13  a 31a12 a 23  a 31a 22 a13  a 21a12 a 33  a11a 32 a 23 . II. §Þnh thøc cÊp cao. 1.Ho¸n vÞ vµ phÐp thÕ. §Þnh nghÜa 1. Cho tËp sè A = {a1,a2,…, ,an}, mét c¸ch x¾p xÕp c¸c phÇn tö cña tËp nµy theo thø tù nµo ®ã th× ®­îc gäi lµ mét ho¸n vÞ cña tËp A . VÝ dô : A={1,2,3} cã c¸c ho¸n vÞ lµ : 123, 132, 213, 231, 312, 321. §Þnh nghÜa 2. Trong ho¸n vÞ a1a2... an ta nãi ai lµm víi aj mét nghÞch thÕ nÕu iaj . §Þnh nghÜa 3. Mét ho¸n vÞ gäi lµ ch½n nÕu tæng sè nghÞch thÕ trong ho¸n vÞ lµ ch½n, ng­îc l¹i lµ ho¸n vÞ lÎ. VÝ dô : Trong ho¸n vÞ 1543 cã 3 nghÞch thÕ nªn lµ ho¸n vÞ lÎ. §Þnh nghÜa 4. PhÐp ®æi chç : Cho ho¸n vÞ a1a2... an cho hai phÇn tö ®æi chç cho nhau tøc lµ ai ®æi chç cho aj cßn c¸c phÇn tö kh¸c gi÷ nguyªn vÞ trÝ th× ta ®­îc 1 phÐp ®æi chç. §Þnh lý: + Mét phÐp ®æi chç lµm thay ®æi tÝnh ch½n lÎ cña ho¸n vÞ. + Cho hai ho¸n vÞ bÊt kú cña tËp A th× b»ng mét sè phÐp ®æi chç ta sÏ biÕn ho¸n vÞ nay thµnh ho¸n vÞ kia. §Þnh nghÜa 5. 13 Tæ m«n kÕ to¸n
  14. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ PhÐp thÕ: cho tËp N={a1,a2, ...,an},¸nh x¹ p : N  N gäi lµ phÐp thÕ bËc n  a  an  KÝ hiÖu p=  ,1 ,  biÕn ai thµnh ai  a 1  an  a 1  a n  gäi lµ dßng trªn,  a1,  a, n  gäi lµ dßng d­íi . §Þnh nghÜa 6. Mét phÐp thÕ gäi lµ ch½n nÕu tÝnh ch½n , lÎ cña dßng trªn vµ dßng d­íi lµ nh­ nhau. 2. §Þnh thøc :  a  an  Cho ma trËn vu«ng A=(aij)nxn øng víi mçi phÐp thÕ p=  ,1 ,  ta lËp  a 1  an  TÝch gåm n phÇn tö cña ma trËn ë c¸c hµng vµ cét kh¸c nhau lËp thµnh tÝch ai1aj1.ai2aj2... ainajn (*) ta ®Æt tr­íc (*) ®Êu (+) nÕu phÐp thÕ p lµ ch½n vµ ®Êu (- ) nÕu phÐp thÕ lµ lÎ. Tæng tÊt c¶ c¸c tÝch d¹ng (*) víi dÊu theo quy ­íc cña chóng ®­îc gäi lµ ®Þnh thøc cña ma trËn A . TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc : a, §Þnh thøc cña ma trËn lµ bÊt biÕn ®èi víi phÐp chuyÓn vÞ |A| = |At| b, Det(AB) = DetA . DetB = DetB. DetA c, Det Ak = (detA)k. d, Khi ®æi chç 2 cét (dßng) cña ®Þnh thøc cho nhau th× ®Þnh thøc ®æi dÊu. e, NÕu ®Þnh thøc cã hai cét (dßng) gièng nhau th× b»ng 0. f, Cã thÓ ®­a ra ngoµi thõa sè chung cña mét cét ( dßng) cña ®Þnh thøc ka11  a1n a11  a1n     k.    ka n1  a nn a n1  a nn g, Mçi phÇn tö cña mét cét b»ng tæng cña hai sè th× ta cã d¹ng ph©n tÝch: a11  k1  a1n a11  a1n k1  a1n            a n1  k n  a nn a n1  a nn k n  a nn h, NÕu nh©n c¸c phÇn tö cña mét cét (dßng) víi mét sè kh¸c 0 ræi céng víi c¸c phÇn tö cïng dßng (cét ) kh¸c th× ®Þnh thøc kh«ng thay ®æi. 14 Tæ m«n kÕ to¸n
  15. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ 3. C¸c c¸ch tÝnh ®Þnh thøc cÊp n. -§Þnh nghÜa . §Þnh thøc con : ®Þnh thøc con óng víi phÇn tö nµo ®ã cña ®Þnh thøc |A| lµ ®Þnh thøc cÊp nhá h¬n 1 ®¬n vÞ suy ra tõ |A| b»ng c¸ch bá hµng vµ cét chøa phÇn tö ®ã . KÝ hiÖu : DÞj lµ ®Þnh thøc con õng vêi phÇn tö aij n Tõ ®ã ta cã c¸ch tÝnh ®Þnh thøc nh­ sau: |A| =  (1)i  j .a ij .D ij i,j1 Nh­ vËy ta cã c¸ch tÝnh ®Þnh thøc b»ng c¸ch khai triÓn theo hµng hoÆc cét cña ®Þnh thøc 4. H¹ng cña ma trËn : -§Þnh nghÜa . Cho ma trËn A = (aij )n x n . H¹ng cña ma trËn A b»ng cÊp cao nhÊt cña c¸c ®Þnh thøc con kh¸c 0 cña A . KÝ hiÖu R(A) = r .NghÜa lµ nÕu cã mét ®Þnh thøc con cÊp r cña A kh¸c 0 con c¸c ®Þnh thøc con kh¸c cña A cÊp >r ®Òu b»ng 0. 5. Chøng minh ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ phô thuéc tuyÕn tÝnh :   Cho hÖ vect¬ (1 ,....,  n ) .Ta viÕt c¸c vect¬ theo d¹ng cét , vµ ®­a vµo thµnh ma trËn A.Ta t×m h¹ng cña ma trËn A : R(A) = r.   NÕu r= n th× hÖ vect¬ (1 ,....,  n ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh   NÕu r < n th× hÖ vect¬ (1 ,....,  n ) phô thuéc tuyÕn tÝnh --------------------------o0o------------------------------- Bµi 5 : Ma trËn nghÞch ®¶o I. C¸c ®Þnh nghÜa §Þnh nghÜa 1 PhÇn bï ®¹i sè : PhÇn bï ®¹i sè cña phÇn tö hµng i vµ cét j aij cña |A| lµ ®Þnh thøc con øng víi phÇn tö Êy kÌm theo dÊu (+ ) nÕu ( i+j) ch½n vµ dÊu(-) nÕu (i+j ) lÎ KÝ hiÖu Aij lµ phÇn bï ®¹i sè cña aij §Þnh nghÜa 2: Ma trËn phô hîp : Cho ma trËn A = (aij )n x n vµ Aij lµ phÇn bï ®¹i sè cña aij . LËp ma trËn 15 Tæ m«n kÕ to¸n
  16. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ  A11 A12  A1n  A A 22  A 2n  B =  21          A n1 A n2  A nn  Th× Bt ®­îc gäi lµ ma trËn phô hîp cña ma trËn A. KÝ hiÖu PA = Bt §Þnh nghÜa 3: Ma trËn nghÞch ®¶o : §Þnh lý : Cho ma trËn A = (aij )n x n th× ph­¬ng tr×nh ma trËn AX=I vµ XA=I cã nghiÖm th× nghiÖm cho bëi c«ng thøc PA X= nÕu |A|  0. |A| §Þnh nghÜa 4 Ma trËn A ®­îc gäi lµ kh¶ nghÞch nÕu |A|  0. §Þnh nghÜa 5 Ma trËn X t×m ®­îc cña 2 ph­¬ng tr×nh trªn lµ ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A. KÝ hiÖu : Ma trËn nghÞch ®¶o cña A lµ A-1 .  c¸ch t×m ma trËn nghÞch ®¶o cña ma trËn A :  TÝnh |A|.  NÕu |A| = 0 th× kÕt lô©n kh«ng cã ma trËn nghÞch ®¶o . NÕu |A|  0 th× chuyÓn sang b­íc tiÕp theo  T×m PA PA  KÕt luËn : A-1 = |A| --------------------o0o------------------------ Bµi 6 : HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh. I . Kh¸i niÖm HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh tæng qu¸t: 1. §Þnh nghÜa 1 : Mét hÖ thèng m ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi n Èn cã d¹ng : 16 Tæ m«n kÕ to¸n
  17. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ a11x1  a12 x 2    a1n x n  b1   (1) a x  a x    a x  b  m1 1 m2 2 mn n m C¸c aij lµ c¸c sè cho tr­íc thuéc tr­êng K, xj lµ c¸c Èn .  a11 a12 ... a1n  a a 22 ... a 2n  C¸c ma trËn A =  21 ;    ...      a m1 a m2 ... a mn   a11  a1n b1   b1    a  a 2n b2  B =    ; AB =  21 b         m    a m1  a mn bm  LÇn l­ît lµ ma trËn hÖ sè , ma trËn hÖ sè tù do , ma trËn më réng cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1).  x1  x  NÕu viÕt theo c«ng thøc theo ma trËn th× ta cã : AX = B . víi X =  2  .       xn  2. §Þnh nghÜa 2. hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1) ®­îc gäi lµ thuÇn nhÊt nÕu c¸c bi = 0 (i=1,2,..,n). Ng­îc l¹i th× kh«ng lµ thuÇn nhÊt. II. NghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . 1. §Þnh nghÜa 1. Bé n sè 1 ,..,  n víi  i  K gäi lµ 1 nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh nÕu thay x i   i th× ta ®­îc mÖnh ®Ò ®óng. Tøc lµ A  B víi  1       ,    n 2. §Þnh nghÜa 2: HÖ (1) ®­îc gäi lµ t­¬ng thÝch nÕu nã co nghiÖm , ng­îc l¹i gäi lµ kh«ng t­¬ng thÝch . NÕu (1) t­¬ng thÝch vµ cã nghiÖm duy nhÊt th× gäi lµ hÖ x¸c ®Þnh., ng­îc l¹i gäi lµ hÖ v« ®Þnh. Chó ý : Mäi hÖ thuÇn nhÊt lu«n lµ hÖ t­¬ng thÝch v× lu«n cã nghiÖm x=0 lµ nghiÖm tÇm th­êng. III. HÖ n ph­¬ng tr×nh vµ n Èn : 17 Tæ m«n kÕ to¸n
  18. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ 1. D¹ng ph­¬ng tr×nh: AX = B víi  a11 a12 ... a1n   x1  a x   b1  a 22 ... a 2n  A =  21 , X = 2  , B =    .    ...      b       n  a n1 a n2 ... a nn nxn  xn  2. HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh Cramer : lµ hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh víi A kh«ng suy biÕn . 3. NghiÖm cña hÖ Cramer : HÖ Cramer cã nghiÖm duy nhÊt cho bëi c«ng thøc A(i) xi  , i=1,2, ... n . víi A(i) lµ ma trËn nhËn ®­îc tõ A b»ng c¸ch thay cét A thø i b»ng cét ma trËn B. Chøng minh : Ta cã AX = B  A 1AX  A 1B do |A| kh¸c 0 nªn A kh¶ nghÞch . PA X  A 1B  B A  A11 A 21  A n1  b1             A A 2n  A nn     1n  b n  Khi ®ã A 1  xi  (A1j b1  A 2 j b2  ...  A nj b n ) A |A (i) | = A Ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. IV. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . 1. §iÒu kiÖn t­¬ng thÝch cña hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh . §Þnh lý Kronecker - Capelly. Cho hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1) , §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó (1) cã nghiÖm lµ R(A) = R(AB). 2. BiÖn luËn : 18 Tæ m«n kÕ to¸n
  19. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1 ) cã nghiÖm duy nhÊt khi vµ chØ khi R(A)=R(AB)= n . HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1 ) cã v« sè nghiÖm khi vµ chØ khi R(A)=R(AB) < n . HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh (1 ) v« nghiÖm khi vµ chØ khi R(A)≠R(AB). 3. HÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt. D¹ng AX = 0 - Lu«n cã nghiÖm tÇm th­êng X=0 . - NÕu R(A) = n th× ®ã lµ nghiÖm duy nhÊt. §Þnh lý : §iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó AX = 0 cã nghiÖm kh«ng tÇm th­êng lµ R(A) < n . HÖ qu¶ 1 : §iÒu kiÖn ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh n Èn , n ph­¬ng tr×nh co nghiÖm kh«ng tÇm th­êng lµ |A| = 0 . HÖ qu¶ 2 : Cho hÖ ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh AX = 0 . A  Mat (m,n) co m
  20. Gi¸o tr×nh to¸n kinh tÕ Do ®ã khi gi¶i hÖ b»ng ph­¬ng ph¸p Gauss ta viÕt hÖ ph­¬ng tr×nh ®Ò bµi , sau ®ã viÕt ma trËn më réng . ¸p dông c¸c biÕn ®æi trªn ®Ó ®­a vÒ d¹ng ma trËn tam gi¸c trªn. VÝ dô :  4x1  2x 2  x3  7  Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh sau:  x1  x2  3x3  5 3x  2x  x  6  1 2 3 Lêi gi¶i : Ta cã ma trËn më réng : 4 2 1 7 (1)  1 1 3 5  (2) A B =  1 1 3 5  =  4 2 1 7    3 2 1 6  3 2 1 6    1 1 3 5  (3) 1 1 3 5    0 -2 -11 -13    0 -2 -11 -13  0 -1 -8 -9  0 0 1 1    B­íc (1) : Ta ®æi dßng 1 cho dßng 2 B­íc (2) : Ta nh©n dßng 1 víi -4 råi céng vµo dßng 2, nh©n dßng 1 víi -3 råi céng vµo dßng 3. B­íc (3) : Ta nh©n dßng 2 víi råi céng vµo dßng 3. Cuèi cïng ta ®­îc ma trËn tam gi¸c trªn. Nªn cã x3 = 1 ,thay vµo ph­¬ng tr×nh thø 2 cã x2 = 1 .Thay vµo ph­¬ng tr×nh 1 th× nhËn ®­îc x1 = 1. VËy nghiÖm cña hÖ lµ ( 1;1;1). Bµi tËp ch­¬ng 1 1. XÐt xem hÖ vect¬ sau ®éc lËp tuyÕn tÝnh hay phô thuéc tuyÕn tÝnh :     a, 1 =( -1,-2,1,2),  2 =(0,-1,2,3),  3 =(1, ,3)4,1,2),  4 =(-1,0,1)    b, 1 =(-1,1,0,1),  2 =(1,0,1,1),  3 =(-3,1,-2,-1).    2. Trong K - kh«ng gian vect¬ cho hÖ vect¬ ( 1 ,  2 ,..,  n ) XÐt xem hÖ nµy cã ®éc lËp tuyÕn tÝnh hay kh«ng trong mçi tr­êng hîp sau : a, Cã mét vect¬ cña hÖ b»ng vect¬ kh«ng. b, Cã hai vect¬ cña hÖ b»ng nhau.             c, 1  1 ,  2  1  2 ,...,  n  1  2  ...  n mµ hÖ ( 1 ,2 ,..., n ) ®éc lËp tuyÕn tÝnh. 20 Tæ m«n kÕ to¸n

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản