Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 - TS. Nguyễn Bá Đức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:90

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: phân bố gibbs; phân bố maxwell-boltzmann; phân bố fermi-dirac; phân bố bose-einstein; quá trình không cân bằng theo lý thuyết cổ điển; quá trình không cân bằng theo lý thuyết lượng tử; phương pháp toán tử sinh hạt và hủy hạt. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giáo trình Vật lý thống kê: Phần 2 - TS. Nguyễn Bá Đức

Chương 5 PHÂN BỐ GIBBS 5.1 Phân bô chính tắc Gibbs 5.1.1 Nguyên lý đảng xác suất, phản bố không chính tác Khi hệ cô lập ớ trạng thái cân bằng nhiệt động thì các trạng thái vi mô cấu thành hệ có nãng lượng thỏa mãn hệ thức: En e [ E . E + ỐE} (5.1) Tổng số các trạng thái lượng tử thỏa mãn điều kiện (5.1) gọi là trọng sô' thống kê của hệ cô lập. Nguyên lý đáng xác suất: Khi hệ cồ lập ớ trong trạng thái cân bằng nhiệt động thì mọi trạng thái vi mõ khá dĩ đểu có xác suất như nhau. Hệ thức mô tá nguyên 78
Vật lỷ thõng kẽ 79 lý dẳng xác suảt có dạng: 1 -U = —= = const -, AT Trong hệ thúc (5.2) *•, là xác suất của trạng thái vi mò thứ I. AF là trọng số thóns kẽ của hệ. Xét một tham số nhận nhữns giá trị rùy thuộc từng trạng thái vi mô của hệ và ngẫu nhiên thì xác suảt của tham số thứ I sẽ là: Õ .3i trons đó T là tham số. Ar, là ưọng số thống kẽ của trạns thái vi mò trong trọns số thống kẽ A r của cả hệ. Vì A r = const nên (5.3) có the viết lại thành: (5.4) Như vậy. xác suát £Ĩá trị T ị của tham so J- ti lệ với số trạns t h á i VI mò cho phép J nhận giá trị này. Biểu thúc (5.2) và (5.4) gọi là biếu thúc phân bõ khòng chính tắc. 5.1.2 Phàn bò' Gibbs Trong thục tế. các hệ vĩ mỏ đều là các hệ mở. vì thế hẽ kháo sát được coi là hệ con trong hệ cò lập bao gồm cá vũ trụ. Khi càn bans nhiệt dộng, nãng lượng của hệ cô lập là Eo = const với độ chính xác 6E. Bài toán đặt ra là xác định Tác suất để hệ con trong trạng thái VI mô với nãna lượng Et. Khi hệ con cân bang với môi trườn 2. ta có: Et ~ E n = Eũ = const
80 Vật lý thống tó Trong đó En là năng lượng của môi trường ngoài. Nếu Ei « En và dĩ nhiên E n < Eo ta có: Et « Eo (5.6) Theo nguyên lý đẳng xác suất thì xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng Et của hộ con tí lệ với số trạng thái lượng tử tưng ứng của môi trường. Ký hiệu A r(E t) là sô' trạng thái lượng tử tương ứng, uiị(Eị) là xác suất trạng thái lượng tử với năng lượng E ị, ta có: Ut(E>) ~ A r {En) - A T ( E 0 - Et) (5.7) Nếu môi trường có entropi là s ta có: A r(£ũ - E t ) = exp | Ì ố ’(Eo - E t ) | (5.8) Trong (5.8) S(Eo — Et) là giá trị entropi của môi trường ứng với năng lượng ngoài E n. Từ (5.7) và (5.8) ta có: u)t { E t ) ~ ex p ị^ ò X E o - E ,) j (5.9) Theo (5.6) ta có thể khai triển: ò '(£ o - E ,) * A '( ío ) - =s( E„ ) - ậ (5.10) \ 71 / E n =Eo với ^ l à nghịch đảo nhiệt độ của môi trường và nhiệt độ này xấp xỉ bằng nhiệt độ khi En = E0 — E). Thay (5.10)vào (5.9) và
Vật lý thống kẽ 81 chú ý S(Eo) là hằng số, ta được: „ ,(£ ,) ~ e x p Ị ^ - ậ Ị ~ e x p j - |ì j = /le x p Ị - ^ Ị (5.11) Hệ sô' tỉ lệ A được chọn sao cho Uị{Eị) thỏa măn điều kiện chuẩn hóa Y^ịUị{Et) = 1. Từ đó ta có hệ thức xác định hằng số A: A E '“ P{ - ế } = 1 - A■' = E ' “ P { - ệ f } Gọi số trạng thái lượng tử có chung năng lượng Eị là m ( E t), ta có: A~l = £ e x p | - | i j = ] T m ( E , ) e x p | - - ^ j = z (5.12) Hệ thức (5.12) xác định tổng thống kê của hệ và z là ký hiệu của đại lượng tổng thống kê. Từ đó, hệ thức (5.11) được viết lại dư # dạng: aJt{Et) = ^ ex p Ị - ^ l (5.13) Biểu thức (5.13) gọi là biểu thức phân bố chính tắc Gibbs. Phàn bố chính tắc Gibbs xác định xác suất trạng thái lượng tứ của mọi hệ con có năng lượng E t khi hộ này ở trạng thái cân bằng nhiệt động với mòi trường. Hàm phân bố Gibbs cho thấy khi năng lượng Eị tăng thì xác suất UỈỊ giảm theo qui luật hàm mũ. Đồng thời, từ phân bố Gibbs ta cũng tính được các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý đặc trưng cho hộ vĩ mõ.
I 82 Vậ/ lý thống tí 5.2 Phân bô Gibbs cổ điển iH k 5.2.1 Điều kiện áp dụng phép gần đúng cổ điển Trong những điều kiện nhất định ta có thể mô tả hệ bằng cơ học cổ điến thay cho cơ học lượng tử. Trong trường hợp này trạng thái vi mô của hệ ứng với điểm pha (p , q) trong không gian pha. Nếu u(p, q) ỉà hàm phân bố xác suất thì xác suất để điểm pha của hệ nằm trong yếu tố pha thể tích dpdq chứa điểm (p , q) là u(p, q)dpdq. Nghĩa là chúng ta thực hiện phép chuyển gần đúng: u,{Eị) -* u ( p , q)dpdq (5.14) Điều kiện cho phép chuyển này là điều kiện áp dụng cơ học cổ điển cho hệ vĩ mô. Mỗi hạt vật chất trong hệ cô lập có năng lượng £, xung lượng P tuơiìg ứng với một sóng Đơbrơi có tần số u và vectơ sóng k được xác định theo các hệ thức £ = hu, trong đó h là hằng số Planck. Bước sóng A được viết theo hệ thức liên hệ với xung lượng p với p = y/ĩrnẽ. ta có: . 2 ĩĩ 2 iĩh 2 ĩĩh A= T = K „ p - -v p me /2 = Gọi khoảng cách trung bình giữa các hạt của hệ vĩ mô là a và nếu ap dụng thống kê cổ điển, ta phải có điều kiện A < < a thì hiệu ứng lượng tứ sẽ là không đáng kể và ta có: h a » - 7= (5.16) s/me
I tý thốn e kẽ ỉậl 83 Nếu thè tích của hẻ là V và sò hat là A' thì khoảng cách trung ' bình giữa các hạt sẽ ỉà: 1 / 3 (5.17) ■ -(£ ) ĐỘĨ1S năng trang hình gẨn đáp2 của mỗi hat ờ nhiệt độ T của cả hệ là -: = k T '5.18) Từ các hệ ihức t5 .ỉ6 j, -..5.17;. ( ĩ . ì i ị ta có ihè chấy dieu kiện áp dụng thóns kẽ cô điển ìà: l ' V \ 13 t 1 '2 >> Ó -19) \ X ỉ Từ (5.19) ta có: n / \ r>>t ĩ { v ) 15 201 Từ hè thức (5.20) cho tháV trong truờna họp nhiệt độ cao và mật độ hạt loãng ta có thê áp đuns thốna kê cố điển. Mậl độ hạt ỮOP2 met đơn vi thè" tích là yr. nhiêĩ độ T; = ,y ) 2 3 201 là nhiệt độ suy biến của hệ. Như vậy. ;heo (5 20' ra phải co điều tiện nhiệt độ T của hệ rất 1cm so với nhiệt độ suy biến T; thì mới áp đụn® phép 2ẩn điír.2 cổ điển. 52.2 B iể u thức phàn bỏ G ib b s cổ điên Theo cơ hoc lương từ. các 1’ ọns bất định của toa đê á và xung luợn^ p liẻn hệ vón nhau thec hẻ thức Heisenberg: l _t..
84 Vật lý thống ké Như vậy, hộ có một bậc tự do thì yếu tô pha 2 n h sẽ tương ứng với một trạng thái lượng tử. Nếu có / bậc tự do thì yếu tô' pha tương ứng sẽ có thể tích ( 2 ĩ ĩ h ) l . Đối với yếu tô' pha bất kỳ dpdq thì số trạng thái lượng tử sẽ là: với dpdq = dpidp 2 -..dpjdq\dq2---dqỊ và chú ý tới nguyên lý khong phân biệt các hạt đồng nhất thì số trạng thái lượng tử khác nhau trong yếu tố pha sẽ là: Hàm phân bô' xác suất chính tắc Gibbs trong thống kê lượng tứ có dạng là: Nếu chuyên sane thống kê cổ điển thì hàm phân bố xác suất sẽ có dạng biếu diễn qua Hamiltonian cổ điển H(p.q): (5.22) Xác suất đê’ trạng thái của hệ nằm trong yếu tố pha dpdq có chứa điểm [ p , q) là: võ(p, q)dpdq — A exp Với điều kiện chuẩn hóa: (5.23)
Vật lý ihốnẹ kẽ 85 T h a y ( 5 .2 1 ) v à o (5 -2 3 ) ta c ó : Ax ĩỊầ n õ T j* x p ( - !ỉP 1) ,lpdq = i Đặt ^ = \ \ L h \ ỉ / exP ^ 9 — .4 = Z -1 ta sẽ được xác suấĩ có chứa điểm (p. q): -■(*,) = ì (5.24) z là tons thốns kẽ cổ điển. * Chú ý: • Đốĩ với một hạt. số trạna thái trona yếu tô pha dpdạ có chứa điểm (p. q) là: (/r = với xun2 lượn2 dp tron£ khòns gian ba chiều cổ điển dp = dpz dpydpz. • Nếu chi quan tăm tới sô trạng thái tron2 khoans xuna lượng [p.p - (ỉp) còn tọa độ q là tùy ý thì sỏ' tran2 thái sẽ được xác định bằns cỏns thức: ’■ - / * « ■ -" • Trong hệ tọa độ cầu. thể n'ch được n'nh bàna Còn2 thức: dp = dpxdpydpz — p2 sin Odởdsdp (.5.26) -
86 Vật lý thống kẻ i Tính toán ta' có biểu thức của sô' trạng thái lượng tử: I A-iĩV _2 j V p 2dp < 5 -2 7 ) 5.3 Phân bô Gibbs suy rộng Xét hệ ở trạng thái cân bằng có năng lượng và số hạt đểu biến đổi. Gọi năng lượng của hệ lớn là Eo, của hệ con là Et, của môi trường ngoài là En, số hạt của hệ lớn là No, của hệ con là N vàcủa môi trường ngoài là Nn, ta có: Eữ = Et + E n = const ( 5 .2 8 ) No = N + Nn = const ( 5 .2 9 ) Các ma trận mật độ hay toán tử thống kê phụ thuộc vào toán tử năng lượng và số hạt có dạng đồng nhất phải thỏa mãn các điều kiện (5.28) và (5.29) khi: N « N n ( 5 .3 0 ) Et « En ( 5 .3 1 ) Theo nguyên lý đẳng xác suất, khá năng tồn tại trạng thái của hê con với năng lượng Eị và sô hạt N sẽ tỉ lộ với số trạng thái vi mô của môi trường có năng lượng là £ n, số hạt Nn.
Vậl ly thống b> 87 Xác suất của hệ con có nãng lượng E, và sỏ' hạt A khi cân bằng * với mòi tnrờns có nhiệt độ T có dạng: M N) ~ A r nịEo - E,. Xo - V ) ( 32) 5. Trons hệ thúc (5.32),Ar„ là sò' trạng thái vi mò (trọna sò' thõng kẽ) ứna với nãn2 lượng và sò' hạt của mòi rruờns naoài. Hệ thúc entropì đối với mòi trườn2 nsoàì ta cũns có thể viết dưới dạng: ò’ = ẢrlnAr,, „ (5.33) Từ (532). (5.33) ta có: : r { S n{ E o - F t. \ a - \ ) \ E , . A ) ~ cxp (5.34) Hệ thúc S„(Eù — E t. A — -V) là entropi của mõi trườns naoài khi *o hệ con ờ trạna thái cản bằng. Khai triển gần đúns hộ thức với các điéu kiện (5.30). (5.31) ta có: S n(E 0 - E t. Xo - -Vì = S n( E 0. .Vo)- E, Tron® hệ thúc (535) thì đại 1irons (4Ệ-}E=F - J . trong đó T là nhiệt độ của môi trườn2 ngoài và (fy -} Y=v = —J- v’ới p là thế hóa của mòi trườns và cũna là dộ biến thiên nãns luợns truns bình khi sò hạl truns bình thay đổi một đơn vị. Do vậy (5.35) viết sọn lại dưới dans: 5,rvEo - Ft- Vo - -V) = s„i E0. \'o j - y - - (5.36)
1 ga Vật lý thống bi ■ ■ Thay (5.36) vào (5.34) ta có: ( S n(Eu. Na )} í E ,-ự N U){Et , N ) = - ~ exp ------ y. 1 Ả ----- > exp ^ ----------- AT J = -4 exp I - I
Vặ/ /ỹ t/iõníỊ kẽ 89 5.4 Nâng lượng tự do trong phàn bò Gỉbbs 5.4.1 Hệ thức giữa nàng lượng tự do và nội năng của hệ trong phán bỏ Gibbs Hàm trạns thái biểu diễn nãns lượns tự do của hệ được xác định bằns hệ thức với tons thone kẽ và nhiệt độ: F= —ATln z (5.40) Hệ con có múc nãns luợns Fi phụ thuộc vào số hạt Y cua hệ và phu thuộc vào các tham sõ' ngoại J nên tons thốne kẽ z của hê là hàm của các tham số T. X..Ỉ. do đó năng lượng tự do F cũns phu thuộc vào các tham số T X. r. Theo định nghĩa truns bình thỏns kẽ. ta có nãns luợns truns bình (lúc nội năns) của hê có dạns: E =Y, E'MPt)
90 Vật lý thống kê tự do: Hệ thức liên hệ giữa năng lượng trung bình với năng lượng tự do (5.43) được gọi là phương trình Gibbs - Helmholtz, tương tự như hộ thức (4.13), trang 60. Theo (5.42), nếu biết tổng thống kê z ta có thể tính được năng lượng trung bình của hệ. 5.4.2 Hệ thức giữa năng lượng trung bình, năng lượng tự do và entropỉ trong phân bố Gỉbbs Đối với hệ mở trong trạng thái cân bằng nhiệt động với mỏi trường ngoài thì hàm phân bố xác suất khác không trong một khoảng năng lượng A E xung quanh giá trị năng lượng trung bình E. Ta có hệ thức: f(E )A E = f(E )dE = 1 - A E = -f- (5.44) /(£ ) Thay f ( E ) = u { E ) p { E ) vào hệ thức (5.44) ta thu được hệ thức xác định khoảng năng lượng biến đổi A E xung quanh giá trị năng lượng trung bình: AE = — _ (5.45) u{E)p{E) Trọng số thống kê và entropi của hệ con ứng với năng lượng A E được tính theo các hệ thức: (5.46) Ar = ^ > A* = Ì õ
Vạ/ /y thốn %kẽ 91 s = kìa AT = kp{ E)AE = kin —ì— (5.47) u Tons thõng kẽ khi hàm phần bố xác suất theo năng lượns chi khác khỏng rõ rệttrong khoảng A E xung quanh giá trị của E được tính theo hệ thúc: z = J p{E)exp à E = p(Ẽ)e~ ỈFAE = e " ^ A r (5.48) Theo (5.40) và (5.48) ta có năng luọns tự do: F = -kTìnZ =Ẽ -k T ìa A r (5.49) So sánh (5.49) với hệ thức của entropi (5.47) ta thấy: F =Ẽ -T S (5.50) Hệ thúc (.5.50) chính là định nehĩa của nãng lượns tự do đã được xét và là hệ thúc liên hệ giữa nãng lượng tự do. năng lượng trung bình và entropi. Như vậy. để tìm mối liên hệ giữa năng lượns trune bình với năng lươne tự do và entropi ta cần tìm mối liên hệ eiữa năng lượng trung bình E. tons thòna kè 7. và tron2 sỏ thốn2 kẽ A ĩ\
Chương 6 PHÂN BỐ MAXWELL - BOLTZMANN PHÂN BỐ FERMI - DIRAC PHÂN BỐ BOSE - EINSTEIN 6.1 Phân bô Maxwell - Boltzmann 6.1.1 Phân bố Maxwell - Boltzmann Hàm phân bô' Maxwell - Boltzmann là hàm phân bố xác định xác suất xung lượng và tọa độ của mỗi hạt độc lập. Để xác định hàm phân bố Maxwell - Boltzmann, ta áp dụng phân bố Gibbs cổ điển cho khí lý tưởng dưới dạng: “ (p'r ) ~ exp{ - X r Ễ ( ầ + ơ(r' )) } 92
Vậ/ lý thốn ẹ kê 93 Hamiltonian của hệ khí lý tuởng được biểu diễn qua tổng động nâng và tổng thế nâng của các phán tử trong trường ngoại lực theo dạng: H(p,r) = K(p) + ư(r) (6.1) Với: p = (P 1 ,P 2 , = ( r i , /2 , (6 .2 ) Biểu thức cúa tổng động năng của các phân tử trong khí lý tưởng trong biểu thức (ỏ. 1) có dạng: m = ti = l é ( 6 '3 ) và biểu thức tổng thế nãng của các phân tứ trong trường ngoại lực có dạng: N u{r) = '£u(r) 64 ( .) i= l Đổng thời, vì các hạt độc lập với nhau nên hàm phân bố tọa độ và xung lượng của N hạt sẽ bằng tích các hàm phân bố cúa từng hạt, vì thế ta có: N oi(pi,p2......P N , r \ , f 2 , —,rN) ~ (6.5) 1=1 Theo phân bô Gibbs thì: p |- ± ( ! - + ( /( ? ,,) }
Đối với mỗi hạt độc lập, hàm phân bố xác suất xung lượng và tọa độ sẽ bằng tích hàm phân bố xác suất xung lượng và hàm phân bố xác suất tọa độ qua hệ thức: W( p , r ) ~ e x p ( - ^ ) e x p ( - ^ ) (6.6) Biểu thức (6.6) là biểu thức phân bô' Maxwell - Boltzmann. Cãn cứ biểu thức (6.6), biểu thức hàm phân bố cúa riêng xung lượng có dạng: u { p l = A e X Ĩ , ( - 2Ê k ĩ ) (6 J) và biểu thức hàm phân bố của riêng tọa độ sẽ là: u>{r) = B e x p (6-8) Các hệ sỏ' A, B trong các hệ thức (6.7) và (6.8) là các hệ số chuẩn hóa. Việc xác định các hệ số chuẩn hóa sẽ thu được các công thức phân bố Maxwell và công thức phân bố Boltzmann. 6.1.2 Công thức phân bố Maxwell Xét biểu thức (6.7), ta xác định hộ số A bằng điều kiện chuẩn hóa / u ( p ) d p = 1 với dp = dpxdpydpz , biểu thức (6.7) sẽ trờ thành: £ 1 1 I I exp { ~ ~ ~ 2 m i r p ‘ } = 1
Vật tý thống ké 95 D ù n g c ô n g th ứ c tín h tíc h p h â n P o is s o n : oc A / e~a*l2dx = a B iế n đ ổ i ( 6 .9 ) . t a s ẽ tín h đ ư ợ c : £ £ /> { " 2 m ir~ } ( 6 . 10) T h a y ( 6 .1 0 ) v à o ( 6 .7 ) t a s ẽ c ó g iá tr ị c ủ a h ệ sô ' c h u ẩ n h ó a : A = ( 2 v m k T ) - 3 '7 ( 6 .1 1 ) T h a y ( 6 .1 1 ) v à o ( 6 .7 ) . b iể u th ú c h à m p h â n b ố c ù a r i ê n g x u n g lu ợ n g sẽ n ở th à n h : u.'{p) = { 2 x m k T ) - 3 2exp hay: = (~2~mkT)3'7 ex^ ( ~ 2 T ^ k ĩ ) (612) C ò n a t h ứ c ( .6 .1 2 ) c h í n h l à c ô n g t h ứ c p h ả n b o Maxwell. 6.13 Còng thức phàn bố Boltzmann Đe xác định hệ sỏ' chuẩn hóa B của công thức hàm phân bố của riên° toa độ. ta sử dụng điéu kiện chuẩn hóa của hàm phân bô của
96 Vật lỵ thống kẻ riêng tọa độ 0;(r) là f u ( r ) d ( f ) = 1 và kết hợp với hệ thức (6.8), ta có: B I l v j e x p { ~ ^ } dif) = 1 (6I3) với d(r) = dxdydz, biểu thức (6.13) được viết lại: B J Ị Ị exp I — — I dxdydz — 1 (6.14) Đại lượng J = f J (V) f exp I — I d xdy dz được gọi là tích phân cấu hình, giá trị tích phân tùy thuộc dạng cụ thể của hàm thế nãng U(x, y, z). Như vậy hệ số chuẩn hóa B được xác định từ điều kiện B J = 1 — B = 1 / J . Từ đó, hệ thức (6.8) biểu diễn phân bố * xác suất của riêng tọa độ được viết lại theo dạng: o,(rT= i e x p | - ỉ ^ | (6.15) Công thức (6.15) là công thức phân bố Boltzmann. Trong trường hợp riêng nếu thế năng bằng không ( í/ = 0 ) tức là không có trường lực ngoài thì: j = / i , / e x p { ~ E ỉk T ỉ l } dxAydz = / Jm ị ' dxdydz = v Khi đó không gian là đồng nhất và mọi vị trí xác định bởi vectơ f trong thể tích V của chất khí đều có xác suất như nhau, như vậy trong trường hợp này xác suất của tọa độ sẽ là hằng số:
Vật lý thống kẽ 97 6w Hệ hạt không tương lác 2 ill Hàm sóng của hệ lý tường Xé* hệ lý tường gồm N hạt khòng tuớns tác. Hamiltonian của hẽ sẽ lài H = H i-h H2 + - + H k (6.16) Giải phươns trình Shrodinger với hàm riêng và trị riêng là hàm sóng mõ tả tran 2 thái của hệ ộ và nãng lượng E của hệ tron 2 trạng dõi đó. tươns úng với toán lử H: H\Ị>n = E nv a (6.17) Giả sử xét một hạt thứ I và các trạng thái iĩnị gọi là trạng thái dơn hại thì năng lương và hàm sóng t/’n, được xác định từ phương trình: HjU'm = En.t'v, i = 1.2....... N (6.18) Vì hệgồm các hại là độc lặp nên theo (6.16) và (6.17) ta tháy nàng lương và hàm sóng của hệ đuạc viết theo các biểu thức: En = - nl + -n2 + ■■■+ ~nN (6.19) = l''nl(x i)t’n2(x 2) ■■• (6 .20 ) Nguyên lý Paulĩ đã chứng minh hàm sóns của hệ các hạt fermion (spin bán nsuvẽn) là phản đốì xúng còn hàm sóna của hệ các hạt boson (với spin nsuyẽn) là đốì xứng. Như vậy từ các hàm sóns đơn hạt trong (6-20): I V ■- ■t ’n.y(j\v) ta hoàn toàn có thể thiết lập hàm sóno của hệ có tính đốì xứng hoặc phản đối XÚTI2 với nguyên tắc sau: