Giới thiệu các phương pháp giải toán trọng tâm (Tái bản lần thứ II, có chỉnh sửa & bổ sung): Phần 1

Chia sẻ: Liên Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST

Báo xấu

102
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mỗi bài giảng trong tài liệu Phương pháp giải toán trọng tâm trình bày các phương pháp cơ bản, thông dụng và hiệu quả nhất để giải các loại bài tập thường xuất hiện trong các đề thi Đại học và Cao đẳng. Mời các bạn tham khảo phần 1 tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Giới thiệu các phương pháp giải toán trọng tâm (Tái bản lần thứ II, có chỉnh sửa & bổ sung): Phần 1

PHAN HUY KHAI
Cty TNHH MTV DVVH Khang Vigt L6IN6IDAU , 2 , Bai giang so 1: T H ^ TICH K H d l H A D I ^ N Trong tay cac ban la cu6n '"Cac bai giang luy^n thi it{ii IIQC mon Toan vao cac Cac bai toan thugc chu de nay c6 trong cac de thi tuyen sinh D a i hgc, Cao truing D(ii hpc vd Cao dSng". Toan bg chuang trinh on luyen thi nay dugc trinh bay d i n g d cau so'4. H a l ngi dung chinh du'dc hoi den la: hoan toan d i y du, c6 dgng va sue tich trong 20 bai giang. Cac bai giang nay dugc due rut tiJ kinh nghiem trong chinh qua trinh luyen thi nhieu nam cua tac gia cuon sach. - T i n h the tich cua mgt khoi da dien (hinh chop hoac hinh lang tru) cho Mue tieu ciia cuon sach la giup cae ban hgc sinh nam vung va su dung (hanh t h p tril'dc nao do. cac phuang phap co ban va hi?u qua nhk de giai cac bai toan trong cac de thi tuyen - Sur dung phu-dng phap the tich de t i m khoang each gii?a mgt d i e m den mgt sinh vao cae truong Dai hoe va Cao dang. mat phang hoac khoang each giffa hai diTdng t h i n g cheo nhau. Ngi dung cua cuon sach bam sat chuang trinh ehuin, chuang trinh nang cao ve mon Toan da dugc Bg Giao due va Dao tao quy dinh trong cac ki thi tuyen sinh vao Dai hgc Cac n g i dung sau day tuy chiTa du'dc de cap den trong cac de thi T u y e n sinh va Cao dang. D a i hgc, Cao dang tijr nam 2002 den nam 2011, nhiTng rat cd biin va deu nam Nhu da biSt, moi d^ thi tuyin sinh mon Toan hien nay cua cac khoi A , B, D va Cao trong han che k i e n thiJc ve m o n Toan ap dung cho cac k i thi tuyen sinh do B g dang khoi A , B bao g6m 7 cau. Cac bai giang s6 16, 17 dung dS on luy?n cac kT nang Giao due va D a o tao quy djnh. giai cau s6 1 cua d^ thi. Tuang t u cac bai giang so 18, 19, 20 danh cho cau so 2, bai giang so 12 cho cau s6 3, cae bai giang so 1, 2, 3 cho cau so 4, bai giang so 7 cho eau - Cac bai toan ve the tich k h o i da dien c6 ket hdp v d i viec t i m gia tri Idn s6 5, cac bai giang so 3, 4, 5, 6, 13, 14, 15 cho cau s6 6 va eac bai giang so 8, 9, 10, 11, nhat va nho nhat. 17 cho cau so 7. - Cac bai toan ve so sanh the tich. Trong m6i bai giang chimg toi trinh bay cac phuang phap ca ban, thong dung va hieu qua nhat de giai cae loai hinh bai tap (da dugc phan dang can than) thuang xuyen B a i giang nay se de cap den cdc ngi dung 66. CO mat tron^ eac dh thi tuyen sinh vao Dai hgc, Cao dang trong nh&ng nam 2002-2011, va rk CO the se c6 mat trong nhOng ki thi sap tai (vi no ehua xuat hien trong eac ki thi § 1. T I N H T H E T I C H C U A M O T K H O I O A D I E N vira qua nhung cae dang toan nay nam trong chuang trinh han ehe dugc Bg Giao due va Dao tao chinh thuc ban hanh trong quy ehe cua cac ki thi tuyen sinh). 1. C a c kien thtfc coT ban c a n biet ( X e m sach giao khoa H i n h hgc 12). can nhSn manh rang toan bg chuang trinh on luyen mon Toan phue vu cho cae ki 2. C a c dang toan thuTofng gap \i tinh the tich ^ thi tuyen sinh dugc trinh bay day dii chi trong mgt cuon sach. Ta thirdng gap hai loai todn chinh sau day: '• Vai phuang cham do ehung toi lira chgn trinh bay mgt each dan gian va thiet thuc cac phuang phap giai toan ea ban, thong dyng lien quan true tiep den viec giai bai thi Logi 1: T i n h the tich bang cac su^ dung triTc tiep cac cong thiJc toan. mon Toan trong cae ki thi tuyen sinh. PhiTcfng phap g i a i cac bai toan thugc loai nay dufdc tien hanh nhiT sau: ' ' N h u vay khi on tap theo eu6n sach nay, mgt mat cae ban se dam bao cho minh cac - X a c dinh chieu cao cua k h o i da dien can tinh the tich. k i l n thuc viJng vang \k mon Toan, mat khac cac ban se tiet kiem dugc thai gian danh eho viec on luy^n mon Toan va tir do se c6 them nhiSu thai gian hen danh cho viec on Trong nhieu triTdng hdp chieu cao'nay diTdc xac dinh ngay tiT dau b a i , nhiTng luyen cac mon thi khac con lai trong cac ki thi tuySn sinh sap tai. cung CO trirdng hdp viec xac djnh nay phai diTa vao cac djnh l i ve quan he Chung toi tin rang eu6n sach nay se dap ung dugc mgt s6 lugng Ian ban doc, t u eac vuong goc da hoc d Idp 11 (hay dung nhat la cac dinh l i ve ba diTdng vuong goc, em hgc sinh ehuan bj cho cac ki thi tuyen sinh vao Dai hgc, Cao dang sap tai, cho den cdc dinh l i ve dieu k i e n de mgt du^dng thang vuong goc v d i m g t mat phlng...). cac thay, c6 giao day Toan a nha truong pho thong c6 the tim thay a day nh&ng dieu b6 ieh cho vi^e day va on tap mon Toan eho hgc sinh cua minh. V i e c tinh cac chieu cao thong thudng nhd vao viec sijT dung d i n h l i Pitago, hoac Mac dku rdt c6 gang va nghiem tiic trong luc bien soan cuon saeh, nhung do dung nhd den phep tinh liTdng giac. lugng eiia cu6n sach qua Ian nen chac chan eac khiem khuyet ton tai la khong the tranh - T i m dien tich day bang cac cong thuTc quen bie't. ' < i khoi. Tac gia rat vui long neu nhan dugc sir gop y ciia ban dge xa gan de cuon sach N h i n Chung cic bai toan thugc loai nay rat cd ban, chi d o i h o i viec tinh ioin hoan hao han trong cac Ian tai ban tiep theo. Thu tu gop y x i n g u i v e theo dja chi: , i ; r !|i can than va chinh xac. PHAN HUY K H A I Thidu 1: (De thi tuyen sinh Dqi hgc khoi A - 2009) ' 1 \N T O A N HOC Cho hinh chop S.ABCD c6 day la hinh thang vuong tai A va D ; A B = A D = 2a; 18 aifo-ng Hodng Quoc Vi?t, qugn Cau Giay, Ha N{>i C D = a, goc giffa hai mat phang (SBC) va ( A B C D ) bang 60". G g i I la trung Tac gia xin chan thanh cam an. r TAG GIA
Phuong phcip giJii Toan trpng tarn - Phan Huy Khai Cty TNHH MTV DWH Khang Vi§t Giai Ta c6: V ^ ' A B C = = U.^cB'G ^'^ABC = i . i A B . B C . ^ = -"-^x.xV^ = ^ (2) - ^""^ 3 2 2 12 4 V i (SBI) va (SCI) Cling vuong goc v d i day ( A B C D ) , nen giao tuyen SI ± ( A B C D ) . 9a-^ T h a y (1) v a o ( 2 ) , ta co: V A - . A B C (^vtt). Ke I H 1 BC 2Uo Thidit 3: (De thi tuyen sink Dai hgc khoi D - 2009) => SH ± BC (djnh l i ba diTcJng vuong goc). Cho hinh lang tru duTng A ' B ' C ' A B C c6 day la tam giac vuong A B C tai B. Ta c 6 : S H I = 60" la goc gii?a hai m a t Gia suf A B = a, A A ' = 2a; A C = 3a. G p i M la trung d i e m cua A ' C va I la giao phang ( S B C ) va ( A B C D ) . Trong tarn gWc d i e m cua A M va A ' C . T i n h the tich tiJ dien l A B C . vuong S I H , ta c6 SI = I H tan 60" = I H . 73 . Giai G p i M , N ti/dng iJng la trung d i e m cua A B , BC. V i I N la dirdng trung binh Trong tam giac vuong A ' A C ta c6: A B + C D _ 2a + a _ 3a cua hinh lhang A B C D , nen ta c6: I N = • 2 ~ 2 ~2 A C = V9a^-4a^ =aV5 T a c o : I H = I N c o s H I N = I N c o s M C B (do H I N va M C B la cac goc co canh Tir do trong tam giac vuong A B C , t h i : tifdng ijfng vuong goc) BC = Vsa^-a^ = 2a. _ 3a M C _ 3a 2a _ 3aV5 D o ( A A ' C ' C ) 1 ( A B C ) nen trong ( A A ' C ' C ) ~ 2 BC ~ 2 7^777 ~ 5 • K e I H 1 AC ( H € A C ) => I H 1 ( A B C ) . IH CI Theo dinh l i Talet ta c6: V a y VS.3C0 4s,3co.SI = i ^ ^ . S H . ^ = ^ ( d v t t ) . AA' CA' • CI 2 I_ H = _ C L . 2 ^ j j ^ ^ 2 ^ ^ , ^ 4 a Thidu 2: (De tuyen sink Dai hgc khoi B - 2009) IA' A'M l A ' + CI 3 AA' CA' 3 3 3 Cho hinh lang tru diJng A B C . A ' B ' C c6 canh ben B B ' = a va B B ' tao v d i mat phang A B C goc 60". Gia s\i A B C la tam giac vuong tai C va B A C = 60". H i n h Taco: V.^gc ==^SABcIH = ^ . l A B . B C . I H = i a . 2 a . y = (dvtt). chieu vuong goc cua B ' len ( A B C ) trung v d i trong tam tam giac A B C . T i n h the Thi du 4: (De thi tuyen sink D^i hQC khoi A - 2007) lich t t f d i c n A ' A B C Cho hinh chop S . A B C D day la hinh vuong A B C D canh a, mat ben S A D la Giai tam giac deu va n^m trong mat ph^ng vuong goc v d i day A B C D . G p i M , N , P G o i G la trong tam tam giac A B C ta c6 B ' G Ian IiTdt la trung d i e m cua SB, BC, C D . T i n h the tich tiJ dien C M N P . 1 ( A B C ) . TCr do E V B G = 60" la goc ma B B ' Giai tao v d i m a t phang ( A B C ) . Trong tam giac G p i H la trung d i e m cua A D , thi S H I A D . Do ( S A D ) 1 ( A B C D ) nen suy ra: vuong B B ' G ta c6 ngay: B G = | ; B ' G - SHl(ABCD)va SH = — Dat A B = 2x, trong tam giac vuong A B C ta c6: A C = x ; B C = XN/3 (do A B C =60") ( v i A B C la tam giac deu canh a). Ke M K / / S H ( K e H B ) Gia .sur B G n A C thi B N = - B G = — . 2 4 => M K l ( A B C D ) va M K = — - — A p dung dinh l i Pitago trong tam giac vuong B N C ta co: 2 9a^ iV3 aV3 ^ 2 2 9a^ Vay: VM.cNP-jScNp.MK = i ^ BN^ = N C ^ + B C l : — + 3x = > x =• (1) 96 16 52
Cty TNHH MTV DWH'Khang Vigt Thidu 5: D§ thi tuyen sink Dai hoc khoi B - 2006) Ta c6: A B ± B C = > S B -L B C Cho hinh chop S . A B C D c6 d a y A B C D la hinh chi? nhat vdi A B = a, = > S B A la gdc tao b d i he mat phang ( S B C ) va A D = aV2 , SA = a va SA vuong goc v d i m a i p h i n g ( A B C D ) . G o i M , N Ian liTOt ( A B C ) , nen S B A = 60" . la trung d i e m cua A D va SC. Gia suf I la giao d i e m cua B M va A C Qua M ke M N // B C = > N la trung d i e m cua A C T i m the tich tiJ d i e n A N I B . Ta CO : M N = ^ B C = a ; M B = ^ A B = a Giai Gpi O la t a m cua d a y A B C D . T r o n g tam _ ( M N + B C ) M B _ (a + 2a).a _ 3a giac S A C , ta c6 N O la diTdng trung binh nen = > SMNBC - 2 2 ~ 2 N O / / S A , tiJc N O 1 ( A B C D ) va N O = - . V a y VsMNBC = ^ S A . S M N B C - ^ A B . t a n 6 0 " . 2 Tac6 V A N , B = V N . A , B = ^ S A , B . N O 3a^ = - . 2 a . > / 3 . — = a-^N/3 (dvdt) 3 2 AIB (1) Thi du 7. (Be thi tuyen sinh Bgi hgc khoi B - 2011) Cho hinh lang tru ABCD.A|B|C,D| c6 day A B C D la hinh chu" nhat v d i A B = a; Ta tinh dien tich tam giac A I B : > . A D = a V 3 . H i n h chieu vuong goc cua A , tren mat phang ( A B C D ) trung v d i X e t hinh chu' nhat A B C D . D o M A = M D giao d i e m O cua hai diTdng cheo A C , B D cua day. B i e t rang h a i mat p h l n g MA--BD: AI = - I C ( A D D i A , ) va ( A B C D ) tao v d i nhau goc 60". T i m the tich cua lang tru da cho. 2 2 Giai "^c, 1 AC^ 22+a^ ^ AI =-AC=>AI^ - — Ta CO A , 0 1 ( A B C D ) . 3 9 9 3 G o i E la trung d i e m cua A D , ta c6 O E 1 A D Laicd: B I = - B M ^ BI^ = - B M ^ => A|E J. A D (djnh l i ba du'dng vuong goc) 3 9 9 Vi (ADDiA.) n (ABCD) = A D Do 66 + BV- = a ' = A B ' , nen A I B la tam giac vuong d i n h I . A|EO la goc giiJa h a i m a t phang nay Vay S „ e = l l A . I B = l . ^ . ^ = ^ ^ A ^ = 60" (2) ^ ' ^ 2 2 3 3 6 3 Ta c d : A , 0 = O E t a n A ^ = | % ^ Thay (2) vao ( 1 ) ta c6: V ^ N I B - (dvtt) 36 = ^ V A B C D . A | B | C I D | =S/^QCQ.A^0 = a.a\l3. ^ ^ Thidu 6 (Be thi tuyen sinh Dai hgc khoi A-2011) Cho hinh chop tam giac S.ABC, day la l a m giac vuong can A B C tai B , trong Thidu 8 (Be thi tuyen sinh Bgi hgc khoi D - 2011) do A B = B C = 2a. Gia suf hai mat phang ( S A B ) va ( S A C ) cilng vuong goc v d i Cho hinh chop tam giac S.ABC day la tam giac mat ph^ng ( A B C ) . G o i M la trung d i e m cua A B . vuong A B C t a i B va A B = 3a, B C = 4a. Biet rang m a t M a t phang qua S M va song song v d i B C ciit A C tai N . B i e t rang hai m a t phang (SBC) vuong goc v d i ( A B C ) . Gia suf SB = IdiS phang (SBC) va ( A B C ) tao v d i nhau goc 60". T i m the tich hinh chop S . B C N M . va SBC = 30" . T i m the tich hinh chop S.ABC. Giai Giai Do ( S A B ) va ( ( S A C ) cung vuong goc v d i ( A B C ) D o (SBC) 1 ( A B C ) va (SBC) n ( A B C ) = B C , V a ( S A B ) n (SAC) = SA, n e n SA 1 ( A B C ) , (SBC) n ( A B C ) = B C . nen neu k c S H 1 B C ( H e B C ) => SH 1 ( A B C ) . A
Phuong ph^p giai JcAn trpng tam - Phan Huy Khii Cty TNHH MTV DVVH Khang Vi$t Ta c6 SH = SB. s i n S B H = 2aN/3.sin30" = aVs hoSc tinh du'dc d i c n tich day nhu^ng cung khong de dang. K h i do trong nhieu triTcfng hdp ta c6 the lam nhu* sau: V a y V s A B C = j S A B c S H = ^ . ^ . a V 3 = 2.alV3 (dvdt) - Phan chia k h o i can tinh the tich thanh tdng hoiic hieu cac k h o i cd ban Biiih ludii: Cac de thi noi t r e n q u a la rat c d b a n va dcfn g i a n ! >" " ^ v (hinh chop hoSc hinh lang tru) ma cac k h o i nay de tinh hdn. Tin du 9. (De thi tuyeii sink Dai h^c khoi A - 2010) - Hoac la so sanh the tich k h o i can tinh v d i mot k h o i da dien khac da biet Cho hinh chop S . A B C D c6 day A B C D la hinh vuong canh a. G o i M va N Ian tri/dc the tich. liTdt la trung d i e m cua A B va A D ; H la giao d i e m cua C N va D M . B i e t SH - V d i l o a i toan nay ngifdi ta rat hay sijf dung k e l qua sau day. vuong goc v d i mat phang ( A B C D ) va SH = a^J3 . Bai todn cifbdn: T i n h the tich hinh chop S . C D N M . Cho hinh chop S . A B C . L a y A ' , B ' , C Giai tiTdng uTng tren canh SA, SB, SC. K h i do 1 Vs.A'B'C _ SA' SB' SC Ta CO Vs.CDMN -~^^-^CDMN -^-^"^-ScDMN Vs ABC ~ SA • SB • SC Lai CO : S^Q^^N - ^ABCD ~ ^ AMN "S^^Bc Chtfnt; m i n h 1 a a 1 a 5a' K e A ' H ' va A H ciing vuong g6c mat = a —a = — (2) ph^ng (SBC). K h i do A ' H ' / / A H va S, H ' , 2'2'2 22 8 H thang hang. 5a^ Thay (2) v a o ( l ) , ta CO : V^CDMN = r - a 73. (dvdt) Ta c6: 24 TItidu 10 (De thi tuyen sinh Dai hoc khoi B - 2010) -Ssg.c^.A'H' -SB'.SC'sina.A'H' V V A'.SB'C 2 SB' SC SA' S.A'B'C dpcm Cho hinh lang try tam giac deu A B C . A ' B ' C c6 A B = a, goc giiJa he mat ''A.SBC SB SC SA phang ( A ' B C ) va ( A B C ) bkng 60". T i m the tich k h o i lang tru ay. *^S.ABC 2^SBC-^H -SB.SC.sina.AH 2 Giai 6 day a = B'SC' = BSC G p i M la trung d i e m BC, ta c6 A M 1 BC ^^^^ C h i i y : K e t qua tren van dung neu nhiT trong cac d i e m A ' , B ' , C co the c6 => A ' M 1 BC (dinh l i ba diTcfng vuong goc) d i e m A = A ' ; B = B ' ; C = C'. V a y i V M A la goc tao bdi hai mat phang ( A ' B C ) Thi du 1: (De thi tuyen sinh Dai hQC khoi A - 2004) va ( A B C ) va A ^ = 60" Cho hinh chop S . A B C D c6 day A B C D la hinh thoi canh bang Vs cm, diTdng TCrdo A ' A = A M t a n A m = — tan60"= — cheo A C = 4cm. D o a n thang SO = lyjl cm va vuong goc v d i day, d day O la 2 2 giao d i e m cua hai du'dng cheo A C va B D . G o i M la trung d i e m ciia canh SC. 3a a^Vs 3a-^^ Gia sijr mat phdng ( A B M ) cat SD tai N . T i m the tich hinh chop. V ABC.A'B'C 'H'r*' — A A .S ABC (dvdt) 2 4 8 Giai Binh luqn: Cac de thi noi tren la qua cd ban va dcJn g i a n ! Ta CO AB//DC => A B // (SDC) *^ Loai 2: Cac bai todn tinh the tich khdi da di$n dua vdo phan tich khdi can =^ (SAB) n (SDC) = M N // A B ( N e SD) tinh thanh tdn}^ hodc hieu ciia cac khdi c(f ban hodc bani^ each so sdnh the tich V i M la trung d i e m cua SC nen N la vdi mot khdi da dien ca ban khdc. trung d i e m ciia SD. Trong nhieu bai toan, viec tinh triTc tiep the tich kho'i da dien nhu" trong loai Ta c6: V j 'S.ABMN - ^ S . A B N + ^S.BMN (^) 1 CO the gSp kho khan v i hai l i do: HoSc 1^ kho xac dinh va tinh du^dc chieu cao, Theo bai toan cd ban ta c6: 8
PhiBng ph^p giai To^n trpng tarn - Phan Huy Khii Cty TNHH MTV DVVH Khang Vigt Nh(^n xet: Cac b a n h a y so sanh e a c h giai tren v d i e a c h giai b a n g "tinh toan VS.ABN _ S N _ 1 _ S.ABN - ~ ^ S . A B D - ~ ^ S . A B C D triTc t i e ' p " ( t h e o p h i T d n g p h a p e u a l o a i 1) v d i t h i d u n a y . 'S.ABD SD 2 G o i E la trung d i e m cua BC. V s . B M N _ SN SM__1 = -V. y. Ta CO A E I B C , SA 1 B C BC i . (SEA) = ( S B C ) ± (SEA) 'S.BCD uin n i l * ' K e A H 1 SE ( H e SE) => A H 1 (SBC). TO (1) suy ra: ^ B M N = ^ ^ 5 A^CD (2) V a y A H la chieu cao cua hinh chop A . B M N C . Trong tarn giac vuong SAE, ta c6: 8V2 D g thay: V 3 . , B C D = ^ S , 3 , , . S 0 = i.l.AC.BD.SO = 1.4.2.272 = ^ (3) 1 1 1 i . . ^ : . A H = 2a'^ AH' SA' AE' 4a 3a^ 19 TO (2) va (3) suy ra: Vg ^BCD = V2 (dvtt). SsMN _ SM SN _ SA'* 16 Nhan xet: Ta c6 ^SBC SB SC SB SB' 25 (xem d tren) .u,..t„ • • •' 'IS - H i n h lhang A B M N CO the tinh du'dc dien tich (luy khong de dang). 9 _ 9 1 9a 3a' 9a' — - V i e c xac dinh chicu cao tiif S xuong A B M N va tinh no con phiJc tap hdn. - B M N C - 2 5 - S B C 25-2 ( B a n CO the tinh todn x e m no de k i e m Ira tinh phiJc tap). S.K,.,. 50J 4 a ' + — = -r^S,„p = ^ . - B C . S E = — 100 yfi9 - Cdch giai nhiT tren la hdp l i ! Thidu 2: (De tin tuyeii siiih Dai hoc khoi D - 2006) Cho hinh chop tarn giac S.ABC c6 day la tarn giac deu canh bang a. SA = 2a Ta thu l a i ke't qua tren. Theo ban each f^idi ndo la h(fp li? va SA vuong goc v d i mat phang ( A B C ) . G o i M , N tiTdng iJng la hinh chieu ThidiJ. 3: (De thi tuyeii sink Dai hgc khoi A - 2003) vuong goc cua A tren SB, SC. T i m the tich khoi chop A . B M N C . Cho hinh hop chOT nhat A B C D . A ' B ' C ' D ' day la hinh vuong canh b^ng a, chieu Giai cao A A ' = b. Goi M la trung diem cua canh C C . T i m the tich tuT dien B D A ' M Ta C6: B^^NC = ^S.ABC ~ ^ S . A M N (1) Giai Theo bai toan cd ban thi: ^ S M ^ SN V,S.ABC SB SC Vi AB = AC ^ SB = SC. Ta c6: SA^ = SM.SB = SN.SC=> S M = SN. y g y . VS.AMN _ S M (2) Vs.ABC SB^ SA' Trong ( A C C ' A ' ) : A ' M n A C = E. G o i O \k tarn ciia day A B C D v i M la trung Ta c6 S A ' = SM.SB SM = SB diem cua C C , nen la c6 CE = A C = aV~ bb iH>n n Taco: V,S.AMN _ SV V a y tir (2) CO '^S.ABN SB^ SB^ ^A'BDM = ^A'BDE - ' ^ M . B D E = B D E - A A ' - ^ S g D E - M C = ^SBDE ( ^ A ' - M C ) \2 4a' 16 f. b^ I 3 r-b a'b,^., 'S.AMN S.ABC (3) = -.-BD.EO b — = -.aV2.-aV2.—= (dvtt). 4a^ + a^ 25 25 3 2 2 2 4 9 1 a^Vs 3a^73 TO(l)va (3)c6: ^A^CNM =^'^S.ABC =:^-:^--J--^^ = (dvtt) 25 3 50 10 11
Phitang ph^p giai To^n trpng tflm - Phan Huy KhSi Cty TNHH MTV DWH Khang Vigt Thidu 4: (Be thi tuyen siiih Cao dang khoi A - 2009) . LiTdc do suT dung phiTdng phap the tich de tim khoang each nhU" sau: Cho hinh chop ttf giac S.ABCD c6 canh ddy AB = a, canh ben SA = aVI. 1/ SiJf dung cac dinh li cua hinh hoc khong gian sau day: Goi M, N, P Ian IiTdt la trung diem ciia SA, SB, CD. Tim the tich tiJ dien AMNP. + Neu AB // (P) trong do mat phang (P) chiJa CD thi d(AB,CD) = d(AB,(P)). Giai + Neu (P) // (Q), trong do cac mat phing (P), (Q) Ian liTdt chiJa AB, CD thi (AB,CD) = d((P),(Q)). Ta quy bai toan tim khoang each theo yeu cau dau bai ra ve viec tim chieu cao cua mot khoi chop (hoac mot khoi lang try nao do). 21 Gia suT bai toan quy ve tim chieu cao ke tiT S cua mot hinh chop (hoac mot lang try) nao d6. Ta tim the tich cua hinh chop (hoac lang try) nay theo mot con difcJng khac ma khong diTa vao dinh S nay (thi du tinh the tich hinh chop ay vdi quan niem no la hinh chop vdi dinh S V S). Tinh dien tich day doi dien vdi dinh S. TuT do ta c6 chieu cao ke tuT S can tim. DoMS = MA::^ d(A,(MNP)) = d(S,(MNP)) (*)=>VA.MNP = V.S.MNP Xet mot vai vi dy minh hoa sau day. ^r--) q: Theo b^i toan cd ban, ta c6: Thi dv 1: Be thi tuyen sinh Bai hgc khoi A - 2004 Cho hinh chop S.ABCD day la hinh thoi ABCD c6 SO vuong goc vdi day va V s . M N P _ S M S N _ 1 _ ^ ^'S.MNP , = i . i s ABP .SO = - . - . - A B . H P . S O SA SB 4 4 32 O la giao diem cua AC va BD. Gia suT SO = 2%/2 , di/dng cheo AC = 4, canh day 'S.ABP 4 3 AB = Vs . Gpi M la trung diem cua SC. (O \k H tifdng ijTng la tarn cua day ABCD va trung diem cua AB) Tinh khoang each gii^a hai du'dng thang SA va BM. 1 a-^V6 (2) Giai = —.aa. 24 V 2 48 Gpi M la trung diem cua SC. TCr(l)va (2) suy ra:VA.MNP = aV6 (dvtt). Khi do ta c6 OM // SA => SA// (0MB) 48 => d(SA,MB) = d (SA, (MOB)) §2. sCr DUNG PHUONG PHAP TH^ TfCH TJM KHOANG CACH = d(S, (MOB)) = d(C,(MOB)) (1) Cac bai todn tim khodng each: (do MS = MC) Ta c 6 : 0 B ' = A B ^ - 0 A ^ = l Khoang each tir mot diem den mot mat phing, khoang each gii^a hai diTdng OB = 1 thang, trong nhieu triCdng hdp c6 the quy ve bai ioin the tich khoi da dien. Viec Ke MH 1 (ABCD) MH = - S 0 = V2 3V 2 tinh cac khoang each nay difa vao cong thtJc hien nhien sau: h = — 1 Vay V,M.OBC=^SoBcMH = ^.ioB.OC.MH = ^1.2.72 = (2) 3 2 6 day V, S, h Ian li/dt la the tich, dien tich day va chieu cao cua mpt hinh Taco: OM = - S A =-VsTI = >/3 . 1 Y 2 2 ch6p nao do (hoSc h = — doi vdi hinh lang tru). Gpi h la khoang each tif C tdti (MOB), ta c6: PhiTdng phap nay ap dung diTdc trong triTdng hdp sau: M O B h = ^.^OB.OM.h = hV3 *^C.MOB (3) Gia sii' ta c6 the quy bai toan tim khoang each ve bai toan tim chieu cao cua 6 mot hinh chop (hoac mot lang try) nao do. DI nhien cac chieu cao nay thiTdng la Tir (2) va (3) suy ra V3h 72 =^h = 3 (4) khong tinh triTc tiep diTdc bang each suf dung cac phiTdng phap thong thifdng nhiT 6 3 dung dinh li Pitago, diing cac cong thuTc liTdng giac... Tuy nhien cac khoi da dien 2V6 nay lai de dang tinh diTdc the tich va dien tich day. NhiT vay chieu cao ciia n6 se Tir (1) va (4) di den: d(SA, MB) = dUdc xdc djnh bSi cac c6ng thilc ddn gian tren.
Cty TNHH MTV DVVH Khang Vi$t Phuong phAp giii To^n trpng tam - Phan Huy KhSi Thidu 2: (De thi tuyen sinh Dai hgc khoi D - 2009) Trong tam giac vuong SAB c6: S A ' = S H . S B => S H = Cho hinh lang tru du-ng A B C . A ' B ' C ddy la tam gidc ABC vuong tai B. Gia sit AB = a, A A ' = 2a; AC = 3a. Goi M la trung diem cua A ' C va I la giao diem 2aV3 cua A M va A'C. ^ ' HK "3 2 Vay tijf (1) C O HK = -BP (2) BP aV3 3 1. Tim the tich ti? dien lABC. 2. Tim khoang each tiT A tdi m3t phang IBC. Ta CO: Vc B C D =- SBCD -SA = - . - BC.CDsin 135".SA = -a.aV2.—aV2 = Giai 2 6 ' 3 3 2 6 2 6 4a^ Mat khae: BCD = T ^ S C D B F - 7SC.CD.BP . I . Theo thi du 3, loai 1, §1, ta eo VJ^BC = 3 6 2. Ke IH 1 AC => I H 1 (ABC). Ke HE 1 BC Tir dd ta cd: = -.2a.aV2.BP =^ B P = ^ (3) => IE 1 BC (dinh ly ba diTcJng vuong goe) 6 6 2 ! t HE CH CB' 2 „ ^ 2 ^ „ 2a Ti^ (2) va (3) suy ra: H K - d ( H , ( S C D ) ) = | . Ta c6: AB CA = -=>HE =-AB = — Thi du 4: (De thi tuyen sinh Dai hQC khoi A - 2006) CA' 3 3 3 16a^ 4a^ 2aV5 Cho hinh lap phiTdng ABCD.A'B'C'D' cd canh bang I . Goi M , N Ian liTdt la Do vay IE = N/IH^ +HE^ = trung diem eua AB va CD. Tinh khoang each giffa hai du'dng th^ng A'C va M N Giai Ke A K 1 ( I B C ) , ta c6 V , A B C = V ^ . I B C - - S , B C A K Ta CO MN//BC MN//(A'BC) 4a2 1 I 2aV5 ,/. 2aV5 => d(MN.A'C) = d(MN.(A'BC)) = d (M,(A'BC)) (1) Tiif cau 1 suy ra: = - . - . a — — . A K => AK = d ( A , ( I B C ) j = 9 3 2 3 DS thay V^-MBC =^S^BC-A'A -^•{•^•^•^ = ^2 (1) Thi du 3: (De thi tuyen sinh dai hgc khoi D - 2007) Cho hinh chop tuT giac S.ABCD eo day ABCD la hinh thang vuong trong do Vi CB 1 (BAA'B) =^ CB 1 BA' ABC = BAD = 90"; BA = BC = a; AD = 2a. Gia suT SA vuong goc vdti day => A'BC la tam giac vuong tai B. ABCD va SA=aV2 . Goi H la hinh chieu cua A tren SB. Tirdd: V A . . M B C = VM . A ' B C - (2) ^SA'BC-^ 1. ChiJng minh SCD la tam giac vuong Tilf(l), (2) ta cd 2. Tinh khoang each tir A tdi mat phang (SCD). Giai - i =UA'B.BC.h..iV2h=^h = ^ (3) 12 3 2 6 4 1. Do AB 1 BD => SB ± BC (dinh l i ba diTdng vuong goe) Di/a vao dinh l i Pitago trong cac tam giac vuong SAB, ABC, SAD de dang Tir ( I ) , (2), (3) suy ra: d ( M N , A ' C ) = 72 tinh diTde: SB^ = 3a'; SC' = 4a'; S D ' = 6a'. Tiif d6 eo: DC' = 2a'. Vay suy ra: S D ' = S C ' + S D ' Thid^5(De thi tuyen sinh Dai hoc khoi D - 2011) SCD la tam giac vuong tai C => dpcm. Cho hinh chdp tam giac S.ABC day la tam giac vuong ABC tai B va 2. Ke HK va BP ciing vuong goe vdi mat phang (SCD) AB = 3a; BC = 4a. Biet rSng mat phang (SBC) vuong gde vdi (ABC). ^ HK // BP va S, K, P thang hang. Gia sur SB = 2aV3 va SBC = 30". Tim khoang each ttf B den (SAC) HK SH Giai ; itoi, Ta c6: (1) BP SB TheothiduS, loai l , § l , t a c d V g . s A C ^ ' ^ s . A B C =2a^V3 14
PhiBno phap giai Toin trpng tarn - Phan Huy KhSi Cty TNHH MTV DWH Khang Vi$t Mat khac goi h la khoang each tit B tdi mat ph^ng (SAC), ta c6: 5 T i r ( l ) ( 2 ) ( 3 ) s u y r a : Vg A , B D = (4) ^B.SAC - - h . S s A c - Goi h la khoang each tif Bi xuo'ng matphing A , B D , ta c6 : Theo(l) (2) S. ^SAC ^SAC VB,.A,BD=^h.SA,BD=^h.iBD.A,0 (5) Ke SH 1 BC => SH 1 (ABC) v i c 6 S H = SB.sin30"= aV3 Thay (4) vao (5) ta c6: — = - h . 2 a . - ^ ^ 4 6 2 o BH = VSB^ -SH^ = N/l2a' - . V = 3a ^ HC = a Ke BE 1 AC va H K 1 AC HK // BE (xem thidu 7, §1 loai 1) do BD = V A B ^ + A D ^ = Va^+Sa^ = 2a; A , 0 = Thco he ihijTc liTdng trong tam giac vuong ABC, ta c6: A 1 1 1 1 1 12a • BE = BE' AB- BC' 9a' 16a' 5 Tilf do suy ra: h = Thi du 7 (De thi tuyen sinh D^i hpc khoi A-2011) HK CH Theo dinh l i Ta-let, ta c6: Cho hinh chop tam giac S.ABC, day la tam giac vu6ng can ABC tai B, trong BE CB 4a 4 do AB = BC = 2a. Gia suf hai mat phing (SAB) va (SAC) cung vuong goc vdi 2 9a' mat phang (ABC). Gpi M la trung diem cua AB. Mat phdng qua SM va song Theo djnh l i Pytago, thi: SK = VsH^ + HK^ = ^ 3a'^ +• 25 song vdi BC c^t AC tai N . Biet r^ng hai mat phIng (SBC) va (ABC) tao vdi nhau goc 60". Tim khoang each giffa hai diTdng thing AB va SN theo a. Vay S s A c = - A C . S K = 4 - 5 a . ^ ^ = a'N/2T (3) 2 2 5 Giai s\ De thay SA 1 (ABC) va SBA la goc tao bSi Thay (3) vao (2) vii c6: h = hai mat phlng (SBC) va (ABC) => SBA = 60" Thidu 6: (De thi tuyen sink Dgi hijc khoi li - 2011) Ke NK // AB, khi d6 K la trung diem cua BC. Cho hinh lang tru A B C D . A , B , C D , c6 day ABCD la hinh chff nhat vdi Ta CO AB // NK AB // (SNK) AB = a ; AD = diS. Hinh chieu vuong goc cua A, trcn mat phang (ABCD) V i the' d(AB,SN) = d(AB;(SNK))=d(M,(SNK)) (1) trung vdi giao diem O ciia hai diCdng chco AC, BD ciia day. Bict rang hai mat phang (ADD|A,) va (ABCD) tao vdi nhau goc 6()". Tim khoang each tiJT B, tdi DO S M B K -^MNK - S'NKC '^MNK -•JSBMNC mat phang (A|BD). 1 Giai ^S.MNK - g^S.BCMN (2) / 1 ^ TaCO A|BD =^D.AiB|B -^'^D.AiBiBA (1) SA|B|B - 2^A|BIBA Theo thi du 6 loai 1 §1, ta c6 V j g ^ M N = Nen tir (2) ta c6: VS.^NK = ^ (2). Ta co: VM.SNK = \ M N K = ^ (theo (2)) Mat khac ta CO : VUA,B|BA =r'VDDiCiC.AA,B|B (2) 3a Ma y^SNK = j h . S s N K , 6 day h = d ( M , ( S N K ) ) Ta lai c6 : VDD|C|C.AAIBIB - ^ABCD,A|B|C|D| - ^-^^ 3V,M . S N K (theo thidu 7, loai 1 §1) Nen suy ra h = (3)_.^4tfa~va:&^- SsNK ^SNK ii\iJ ^lEii TiNH iilNH THUAX 16 7
Cty TNHH MTV DVVH Khang V i j t K e A H ± N K (tuTc la A H // BC) => A H = B K = i f i C = a . MH 2a Tacd M N = 2 sma sma Theo djnh l i ba diTdng vuong goc ta c6 : SH ± N K . ^ sma T t f d d SO = O N t a n a = Ta c6: SH = VsA^ + A H ^ = Vl2a^ +a^ = aN/lJ (do SA = 2atan60" = ) sma cos a cos a 2a V i t h c SsNK = - N K . S H = i a ^ (4). TiJf (3) (4) ta c6: h = ^ ^2aV39 D o do Vs A B C D = - 2 2 a^ /— 13 sin a cosa 3 sin a cos a \ • r\,,.,. • ! • /I-!,-.'.:. yVl3 Tuf (1) suy ra VS.ABCD he nha't khi va chi khi sin' a c o s a Idn nhat. §3. CAC BAI TOAN v i T h i TICH KHOI OA DIEN CO KET HOP X e t bieu ihu'c P = sin^ a c o s a = cos( 1 - cos^ a ) = c o s a - cos^ a (2) vol VIEC TiM GIA TRj LON NHAT VA NHO NHAT D a y C O the x e m nhiT mot bai toan rat cd b a n mac du no chu'a mot Ian x u a l TxS (2) dan dc'n xet ham so y = x - x ' v d i 0 < x < 1. hien trong cac bai thi l u y e n sinh vao D a i hoc, Cao dang tif nam 2002 dc'n nay Ta cd y ' = 1 - 3x^ va ta cd bang bie'n thien sau: (cho du bai toan vc gia trj Idn nhat, nho nha't v d i ham so hau n h U n a m nao cling x 73 V3 0 1 C O mat trong cac de thi tuyen sinh). 3 3 Cac b a i toan n a y cd noi dung rat cd b a n nhiT sau: The tich kho'i da dien trong y' 0 + 0 9 cac dang toan n a y phu thuoc mot tham so nao do (lham so c d the la gdc, hoac la do dai canh), bai toan d o i h o i xac dinh gia tri c u a tham so de the tich nhan gia tri Idn nhat hoac nho nha't. y iS 1 ^ ^1 73 TiJf dd ym„ = y = O X= V d i cac bai toan nay du'dc g i a i theo cac biTdc sau: - Birdc 1: Chon tham so, thiTc chat la chon an. A n nay c d the la gdc a thich hdp trong k h o i da d i e n , hocic la mot yeu to do dai nao do. V a y : VS.ABCD nhan gia tri be nha't bhng ^ = 273a-^ k h i va chi k h i cosa = -7^ 273 - Bu'dc 2: V d i an so du'dc chon d biTdc 1, ta coi do nhU la cac yeu to' da cho 3. de tinh the tich V cua k h o i da dien theo cac phUdng phap da bie'l. Thidu 2: H i n h chdp S.ABC cd day la tam giac vuong can dinh C va SA vuong - Bu'dc 3: D e n day n h i c m vu cua bai toan hinh hoc x e m nh\i da "ke't thuc". gdc v d i day ( A B C ) . Gia silf SC = a. Hay t m gdc giffa hai mat phang (SBC) va Ta cd mot ham so f(x) v d i x € D ma can t i m gia t r i Idn nhat, nho nha't ciia no. ( A B D ) sao cho the tich k h o i chdp la Idn nhat. Dung bat dang thtfc hoac suf dung tinh dong bie'n va nghjch bien cua ham so Giai ^ thong qua vice khao sat ham cua ham so. Ta tha'y ngay SCA = a, SA = asina va A C = acosa. Thidu 1: Cho hinh chop tuT giac deu S . A B C D ma khoang each tif d i e m A den la^cos^a a' •) mat phang (SBC) bSng 2a. V d i gia trj nao cua a , v d i a la g d c giffa mat phang S u y r a : V ,S.ABC .asina = — c o s a s i n a (1) 3 2 6 ben va day cua hinh chop, thi the tich cua k h o i chop la nho nha't? Tir (1) suy ra: VS.ABC nhan gia t r i Idn nha't T i m gia trj nho nha't do. . khi va chi k h i bieu Ihu'c P = c o s 2 a s i n a nhan Giai ' gi^ t r i Idn nhat. G o i M , N Ian lUdt la trung d i e m cua A D , BC. Ta cd S N M = a V i sin a > 0, nen P^,, o P,?„, < ^ ( \ sin^ a)^ sin^ a dat gia trj Idn nhat. D o D A // B C => A D // (SBC) ^ d ( A , (SBC)) = d ( M , ( S B C ) ) = M H = 2a. d diiy: M H 1 SN ( H e SN) (Chu y v i ( M N S ) 1 (SBC) T, . /, 7 \ , (l-sin^a)(l-sin^a)f2sin2a) d i ' - j M nenMHl(SBC)). ,^ Tacd l - s i n ^ a s i n 2 a = -^ '-. 18 ^ . v • M^v\i::,V,.~- -\-/fV;^-""^'
PhUOng phap giai loan trgny lam - Phaii Huy Khii Cho tarn giac A B C , B ' va C Ian liTdt la cac d i e m tren cac canh A B va A C Theo bat d i n g thii-c Co si, lh\ (hoSc phan keo d a i cua no). K h i 66 ta c6: {]. - sin^ a j + ^1 - s i n ^ a ) + 2sin^ a _8_ - sin^ a j^l - sin^ a j^2sin^ a 27 A Tird6: P„,,= o 1 - s i n ^ a = 2sin^ a s i n a = B'/ a^V3 V a y Vs.ABc nhan gia t r i Idn nha't bang c>sma = - 27 3 B AB' AC §4. CAC BAI TOAN VE SO SANH THE TICH ^AB'C ^ABC AB • AC Cdc bai toan thuoc loai nay thirdng c6 dang sau day: Cho mot k h o i da dien De la'y l a m v i du m i n h hoa cho muc n^y, c6 the suT dung cac thi du 1, 2, 4 va mot mat ph^ng (P). M a t phang nay cat k h o i da dien theo mot thiet dien (a) loai 2 §1. O day xet them cac v i du co dang "triTc t i e p " d6i hoi so sanh the tich nao do. T h i e t dien ( a ) se chia k h o i da dien thanh hai phan co the tich Ian liTdt la cua hai phan k h o i da dien b i chia b d i mot thiet dien (a) cho triTdc. ^' ' V i va V 2 . B a i toan d o i hoi t i m t i so — tiJc la so sanh the tich hai phan b i chia Thidu 1: Cho hinh chop S . A B C . G p i M la trung d i e m cua SB. DiTng thiet dien ^2 vdi hinh chop qua M , song song v d i SA va song song v d i B C . ChiJfng m i n h thiet ra. N o i rieng neu ^ = 1, la noi thiet dien (a) chia k h o i da d i e n thanh hai phan dien chia k h o i chop thanh hai phan tifdng du'dng. Giai tiTdng diTdng, ixCc la c6 the tich b^ng nhau. Ke MN//SA ( N e A B ) , M Q // BC ( Q e SC) Can lifu y rang mac du cac bai toan trong ky thi tuyen sinh D a i hoc, Cao Ke NP//BC (P e A C ) => QP//SA. dang khong c6 dang triTc tiep nhir the, nhu^ng thiTc cha't nhieu bai toan deu suf Thiet dien la hinh binh hanh M N Q P . dung den viec so s^nh the tich nay. That vay, trong cac thi du 1, 2, 4 loai 2 §1, De thay M , N , Q, P Ian liTdt la trung de tinh the tich kho'i da dien theo yeu cau, ta khong triTc tiep tinh no ma thong die'm ciJa SB, A B , A C va SC. qua mot k h o i trung gian, sau do t i m t i so giffa the tich k h o i da dien can tinh v d i Gpi V | la the tich phan hinh chop n^m the tinh k h o i trung gian nay. TiT the tich k h o i trung gian (ma viec tinh de dang ben trai thiet dien M N P Q . hcfn) ta suy ra ket qua can tinh. NhU the thitc chat ciia cac thi du nay la giai mot Ttr M ke MR//AB ( R e SA vk cd RS = R A ) . bai toan ve so sanh the tich. Ta CO R M Q . A N P la hinh lang tru v^ co: V , = VS.RMQ + VRMQ.ANP (1) Cac b i i todn ve so sanh the tich c6 liTdc do chung de g i a i nhiT sau: Gia sur S = SABC, h la chieu cao cua hinh chop S . A B C ke tir S. K h i do de thay - Xic dinh thiet dien. - Chon mot trong hai phan de t i m the tich. chieu cao cua hinh chdp S . R M P va hinh lang tru R M Q . A N P deu bang ^ . Cung - V d i phan difdc chon ra de so sanh the tich cua no v d i V la the tich cua k h o i da dien ban dau. Gia siir ta tinh diTdc: V , = k V (0 < k < 1) t h a y n g a y S R ^ Q - S ^ N P = - ^ S , nen t i r ( l ) c6: V, _ k K h i 66 t i so' can t i m la V - U ^ + S h_Sh Sh •3 :l >:M 1-k 6 2 3 2 Trong muc nay ta luon suT dung hai ke't qua cd ban h i e n nhien nhiT sau: Tir d o : —^ - 1 tii-c la thiet dien chia hinh chop thanh hai pha;i b^ng nhau 1/ B a i toan cd ban trinh bay trong phan md dau cua loai 2 § 1. 2/ Ke't qua quen b i e t sau day cua hinh hoc p h l n g . 21
Cty TNHH MTV DWH Khang VW Thi du 2: Cho hinh chop ti? giac deu S.ABCD, goc giffa mat ben va day bang Bdi 3: Cho lang tru tam giac A B C . A ' B ' C c6 day ABC la tam giac vuong can 60". DiTng thiet dien qua DC va la mat ph^ng phan giac cua goc tao bcTi hai mat vdi canh huyen AB = a%/2 . Mat phlng (AA.B) vuong goc vdi mat ph^ng phing (SDC) va (ABCD). Thiet dien chia khoi chop thanh hai phan c6 the tich (ABC). Gia SIJT A A , = , goc A | A B nhon va mat phing (A|AC) tao vdi mat V, va Vj. r i m ti so phing (ABC) goc 60". Tim the tich lang tru. Dap so: • dmd odD \l\ A Giai SH dung phiiifng phdp the tich gidi cdc bdi todn sau: '' Goi M , N Ian lu-cft la trung diem cua AB va CD. Khi do SNM = 60" la goc giffa Bdi 4: Cho hinh chop S.ABCD cd day la hinh chff nhat vdi AB = a, AD = 2a, mat ben (SCD) va day (ABCD). Trong tarn giac SNM ve dudng phan giac NK canh SA vuong goc vdi day, con canh SB tao vdi mat phang day goc 60". Tren cua goc SNMCKeSM) aV3 ViDCZ/AB => DC//(SAB) canh SA lay diem M sao cho A M = . Mat phang (BCM) c^t SD tai diem N. => ( K D C ) n ( S A B ) = QP//AB(QeSA;PeSB) ; Khi do CDQP la thiet dien phai diTng. Tinh the tich khoi chop S.BCNM. Da> .v«; ^ ^ ^ ^ . .f As» n ^ r - . T , ;. p Vi SMN la tam giac deu nen KS = K M Bdi 5: Tinh the tich khoi tu" dien ABCD biet AB = a, AC = b, A D = c va cac goc => Q va P lu'dng u"ng la trung diem ^, abcV2 cua SA va SB. BAC,CAD,DAB deu bkng 60". Dap so: Goi V | la the tich phan hinh chop 12 n^m tren thie't dien. Ta c6: Bdi 6: Cho hinh chop S.ABCD cd day la hinh thoi canh a, BAD = 60", SA Vl = Vs,QpcD= Vs.QPD + Vs.PDC ( 0 vuong goc vdi mat phcing (ABCD) va SA = a. Goi C la trung diem ciia SC. Mat 'S.QPD SQ SP 11 1 ph^ng (?) qua A C va song song vdi BD cat cac canh SB, SD cua hinh chop Ian Ta c6: -T^S.ABD - o (2) pi SA SB 2 2 4- = > V , • = - . - = S.QDP ^S.ABCD " 3 'S.ABD liTdt tai B ' D ' . Tim the tich hinh chop S.AB'C'D. Dap so: - - ^ . (!J day V = Vs.ABCD. TiTdng tif c6: - - VS.PDC = - V (3) V,S.BDC Bdi 7: Cho hinh vuong ABCD cd canh bang a. Qua trung diem I cua canh AB diTng dirdng thang (d) vuong goc vdi mat phang (ABCD). Tren (d) lay diem S 1 Tir (1), (2), (3) ta c6: V, = QDCP = i V + iv = ^V (4) o 4 o sao cho SI = . Tim khoang each tCr C den mat phdng (SAD). Dap so: m thiJ-c (4) dan den: ^ - - . Bdi 8: Cho hinh chop S.ABC cd SA = 3a va SA vuong gdc vdi mat phang BAI TAP Tl/GIAI (ABC). Tam giac ABC cd AB = BC = 2a; ABC = 120". Tim khoang each tiT A SA dung phUifng plidp trUc tiep tilth the tich khoi da di^it gidi cdc bdi todn sau: de'n mat ph^ng (SBC). Dap so: . ^ ^^ ^,, Bdi 1 : Cho hinh chop S.ABC, trong do SA vuong goc vdti mat phang ABC. Day la tam giac can ABC tai A, do dai trung tuyen AD la a, canh ben SB tao vdi day Bdi 9: Cho hinh lap phiTdng A B C D . A ' B ' C ' D ' cd canh bang a. Gpi K la trung mot g6c a va tao vdi mat phang (SAD) goc p. Tim the tich hinh chop S.ABC. di^m cua D D ' . Tim khoang each giffa CK va A ' D . Dap so: - . ^, a'sinazinp Dap so: ; : ; r. Gidi cdc bdi todn vd so sdnh the tich 3cos(a + p ) c o s ( a - P ) Bdi 10: Cho lang tru dffng A B C . A ' B ' C . Goi M la trung diem cua A A ' . Chffng Bdi 2: Cho hinh chop tiJ gidc deu S.ABCD c6 canh day bang a va SH la du^dng minh rang thiet dien C M B chia lang tru thanh hai phan tiTdng dffdng. cao cua hinh chop. Khoang each tif trung diem I cua SH den mat ben (SDC) Bdi 11: Cho hinh chdp tam giac S.ABC. Gia sijr M , N , P la ba diem Ian Wdt tren bing b. Tim the tich hinh chop S.ABCD. Dap so: - AP 1 16b' SA, BC, AB sao cho M , N tffdng ffng 1^ trung diem cua SA, con — - - • 23
rriumig piiap giai man irpng lam - eran Huy M a r Thiet diet! vdi h.nh chop S.ABC tao hdi mat phSng (MNP) c^t SC tai Q. b. Cac dinh li ve tinh vuong goc SQ _ 1 + Djnh l i ba du'dng vuong g6c: Gia sijr d -L (P) cho A € (P), diT&ng thing . 1. Chtfng minh: SC ~ 3 • + Gik sur (P) va (Q) la hai mat phlng vuong goc vdi nhau, ( P ) n ( Q ) = A . 2. ChuTng minh thiet dien chia hinh chop thinh hai phan tiTdng dtfdng. Ndua e ( P ) , a l A t h i a ± ( Q ) Bai 12: Cho hinh ch6p tuf giac deu S.ABCD c6 cdc mat ben tao vdi mat ph^ng ddyg6c60". / 1. Ve thiet dien qua AC va vuong goc vdi mat phing (SAD). ;:„: • a 2. Thiet dien chia khoi chop thanh hai phan c6 the tich ti/cfng iJng la V i , Wj- Tim ti so: ^ . Dap so: —. -Hi / / Bai giang so 2: + Gia sur (P) va (Q) cung vuong goc vdi (R), trong do (P) n (Q) = A ?> j OUAN Ht VUdNG GdC TRONG KHDNG GIAN + Neu a 1 (P), thi mat phlng (Q) chufa a deu vuong goc vdi (P). \vi , 2. Cac d^ng toan thtfcTng g§p: ri; Cac bai toin ve quan he vuong goc luon luon la mot chu de quen thupc va Loqi 1: ChiJng minh du'dng thing vuong goc vdi difdng thing. f i\\ L khong the thieu trong mpi bai toan hinh hpc khong gian c6 mSt trong cac ki thi Day la mot trong nhffng dang toan hay gap nha't trong chuyen muc cic bai n6i chung va thi vao Dai hpc, Cao ding noi rieng. toan ve "quan he vuong goc" (va c6 tan suaft kha cao trong cac bai toan gap c a c npi dung chinh trong cdc b^i thi tuyen sinh thupc dang todn n i y thu'dng phai d cau so 3, ve hinh khong gian trong cac de thi tuyen sinh vao cac trU'dng dtfpc de cap den la: Dai hpc, Cao d i n g cac nam gan day tif 2002 - 2011). - Chtirng minh tinh vuong g6c (bao gom dif^ng thing vuong goc mat phing, Degidi cac bai toan nay phiidngphdp chinh dU0c sit dung la: hai dU'cJng thing vuong goc vdi nhau, hai mat phing vuong goc vdi nhau). De chiJng minh dufdng thing d vuong goc vdi diTdng thing A ta thiTdng chiJng - Cac bai toan tim khoang cdch: Khoang each tiT mot diem den mot mat minh d vuong goc vdi mat phlng (Q), trong do di/dng thing A nam trong (Q). phIng, khoang each giiJa hai du'cJng thing cheo nhau... DT nhien de lam du'dc dieu nay ngirdi ta phai sijf dung dieu kien de mot - c a c bai toan xac dinh goc: Goc giffa hai du'dng thing cheo nhau, g6c giCfa du'dng thing vuong goc vdi mot mat phlng trinh bay d trcn. hai mat phIng, goc giffa diTdng thing va mat phlng. N6i each khac hai su ki^n chinh rat dm gian va cd ban sau day chinh la "linh Bai giang n^y de cap den cAc npi dung do va nhffng van de lien quan truTc hon" de giai cac bai todn thupc loai nay: tiep den no. + Ne'u a 1 (P) thi a vuong goc vdi mpi du'dng cua (P). § 1 . CAC BAI TOAN CHUNG MINH TINH VUONG GdC + De a 1 (P) chi can a vuong goc vdi hai du'dng thing giao nhau ciia (P) Thidu I: (Di thi tuyen sinh Dai h(fc khoi B - 2002) 1. Cac kien thtfc ccf ban c^n biS't Cho hinh lap phiTdng A B C D . A | B i C i D i . a. Tieu chudn vuong goc Gpi M, N , P Ian lifdt la cac trung diem cua + Du'cfng thing (d) vuong goc vdi mat phlng BB,, CD, A , D , . Chufng minh MP 1 C,N. (P) khi (d) vuong g6c vdi hai dufdng thing giao Giai nhau cua (P). Gpi E la trung diem cija CC,. + Hai mat phlng (P) va (Q) vuong g6c vdi Ta cd: ME//BC ^ ME//A,D,. nhau khi goc tao bdi hai mat phlng ay bang 90°. Gpi (Q) la mat phlng MED.A, => MP 6(Q) (1) 24
Phuong phjp giSi Toan trpng tarn - Phan Huy Kh^i Cty TNHH MTV DVVH Khang Vi^t De thay hai tam giac vuong C|CN va D|CiE b^ng nhau Thidu 4: (De thi tuyen sinh Dai hoc khoi D - 2007) Cho hinh chop tiJ giac S . A B C D c6 day A B C D la hinh lhang, trong do =^ CNCi =ciED, = C q N + q N C =90" =>C,N±ED, (2) X B C = B A D = 90"; B A = BC = a, A D = 2a. Gia suT SA = nyfl va SA vuong goc DoME//BC^MEl(CDD,C,) =>ME1C,N v(3i day A B C D . Chiirng minh SC 1 C D . Tir (2) va (3) suy ra: C , N 1 (Q) ^ C i N 1 M P Giai Thidu 2: (De thi tuyen sinh Dai hgc khoi A - 2007) G p i M la trung d i e m cua A D la c6: M A = M D = a Cho hinh chop tiJ giac S . A B C D c6 day la hinh vuong canh bang a. M a t ben S A D la lam giac dcu va d trong mat phang vuong goc v d i day. G p i M , N , P Ian Do M A = BC = a; MA//BC ^ M A B C la hinh vuong liTdt la trung d i e m cua SB, BC, C D . Chufng minh A M 1 BP. (ket hpp v d i A B = a va A B C = B A D = 90"). Giai Turdo ta c6: M C = a. G p i H la trung d i e m cua A D , do S A D Vl MA = M D = MC = a la tam giac deu, nen SH 1 A D . => A C D la tam giac vuong tai C, tu-c la C A 1 C D . V i (SAD) 1 (ABCD) Do do SC I C D (djnh l i ba diTdng vuong goc). B C => SH 1 ( A B C D ) => SH 1 BP (1) C h i i y : X e l mot bai loan ti/Png tiT (de thi tuyen sinh Cao dang k h o i A - 2008) : De lhay hai tam giac vuong BPC va Cho hinh chop S . A B C D c6 day A B C D la hinh lhang, v d i A B C = B A D = 90", C H D la bang nhau, nen ta c6 B A = BC = a, A D = 2a; SA 1 ( A B C D ) . ^ z:>Bl=Cl=>B|+C2=Cl+C2 =90" Gpi M , N la trung d i e m cua SA, SD tUPng =>BP1CH (2) iJug. Chu'ng m i n h B C N M la hinh chu" nhat. T i r ( l ) va (2) suy ra: BP 1 (SHC) (3) Giai Do HC// A N , MN//SC (SHC)//(MAN) (4) That vay, v i M N // A D v i MN//BC; Tir (3) va (4) suy ra: BP 1 ( M A N ) va M N = B C = a B C N M la hinh binh hanh. D A M 1 BP (dpcm) Do A B 1 BC ^ M B 1 BC ^ Thidu 3: De thi tuyen sinh Dai hQC khoi B-2007 (dinh l i ba du'dng vuong goc) Cho hinh chop tiJ giac deu S . A B C D canh day bang a. G p i E la d i e m doi => B C N M la hinh chDr nhat. xiJng cua d i e m D qua trung d i e m cua SA. G p i M , N Ian liTdt la trung d i e m ciia Gia ihie't SA = a^/2 khong dung trong cau nay (no dilng trong cau hoi thu" A E , B C . Chu-ng m i n h M N 1 BD. hai cua bai thi - xem d §3. t Giai IMduS: (De thi tuyen sinh Cao dang khoi A,B,D- 2009) Ta c6 S E A D la hinh binh thanh Cho hinh chop tiJ giac deu S . A B C D , canh day bang a. Canh ben bhng a V 2 . =^ SE//DA va SE = D A Goi M , N , P Ian liTpt la trung d i e m cua SA, SD, BC. I SEBC cung la hinh binh hanh ^ SC//EB. Chu'ng m i n h r^ng M N 1 SP G p i P la trung d i e m cua A B . K h i do trong cac tam giac E A B va A B C ta c6: Giai MP//EB, PN//AC. V l M , N Ian li/pt la trung d i e m cua SA, SD i Tiif do suy ra: (MNP)//(SAC) (1) nen MN//AD M N // BC. Ta c6 D B 1 A C va B D 1 SH ( v l SH 1 ( A B C D ) ) D B 1 (SAC) (2). Do S . A B C D la chop deu nen SB = SC. K e t hpp (1) (2) d i den: D B 1 ( M N P ) =^ B D 1 M N => dpcm V l PB = PC SP 1 BC =^ M N 1 SP : ^ dpcm. 26
Phuong ph^p giii Toan trpng tflm - Phan Huy KhSi Cty TNHH MTV DWH Khang Vigt L o a i 2: C a c bai loan ve tinh vuong goc cua hai mat phing. A' Giai M a c dii cac bai todn nay trong c i c de thi tuyen sinh vao D a i hoc, Cao dSng T a c6 A'B = A'D => A'O 1 BD. nhiyng nam 2002 - 2009 la it hOn nhieu so vdi cac bai toan xet trong loai 1, L a i c6 MB = MD => MO 1 BD. nhiTng no van la mot bai toan cd ban va khong dtfcJc xem nhe. d day O la tam cua day ABCD. PhUWng phap chinh de giai cac bai toan nay la diTa vao dinh li quan trong sau day: Tiy d6 iVOM la goc giffa hai mat Cho hai mat phdng (P) va (Q) cat nhau theo giao tuyen A Khi do mot dudng thdng nam trong mot m^t phdng ma vuong goc v()i A thl vuong goc vdi mat phing (A'BD) va (MBD). phdng con lai. V i vay: (A'BD) 1 (MBD) Ngoai ra, ngiTdi ta cung difa v^o djnh nghla cua hai mSt ph^ng vuong goc de o A m i = 90" « A ' O ' + OM' =A'M' chiJng minh tinh vuong goc cua hai mat phang. ^ Thidii 1: {De thi tuyen sinh Dai h(>c khoi B - 2006) T a c6: A ' O ' = A ' B ' - B O ' = a^ + b^ - Cho hinh chop S . A B C D c6 day A B C D la hinh chiT nhat vdi A B = a, A D = a>/^ , S A = a va S A vuong g6c vdi day ( A B C D ) . G o i M , N la trung diem 0 M ' = M C ' + C 0 ' = — + — cua A D va S C . ChuTng minh mat phing ( S A C ) vuong goc vdi mat phang ( S M B ) . om A'M2=A'C'2+C'M^ =2a^+- Gia suT A C n M B = I . 5b b V i M A = M D , va do A D // B C , Tir (2) (3) (4) s u y r a : ( l ) o + a^ = 2a^ + — o b = a (do a, b > 0). 4 4 nen theo dinh li Talet suy ra: A I = ^ I C .. a V a y vdi - = 1 thi ( A ' B D ) 1 ( M B D ) . ^ ....?.' Do A C ^ - AD^ + D C ^ = (aV2 )^ + a^ - 3a^ Thi dif 3: (De thi tuyen sinh Dai h(>c Hai Phong - 2006) Cho hinh chop tam giac S . A B C day la tam giac deu canh a, con S A = 2a va ^AI^=iAC2=^. SA vuong goc vdi mat phang day ( A B C ) . Goi I la trung diem ciaa B C . Chtfug minh mat phdng (SAI) vuong goc vdi mat phang ( S B C ) . .,• ^, aV2l T a cung c6: M I = • MI^ - - M B ^ = - + a Giai 51^ Do A B = A C => A l l B C (1) aV2 Vi AB = A C Tir do suy ra: AI^ + MI^ = - = AM' =^ S B = S C ^ SI 1 B C (2) T i r ( l ) ( 2 ) suyra: B C l ( S A I ) V a y A I M la tarn giac vuong tai I MB 1 A C (1) => ( S B C ) 1 ( S A I ) =;> dpcm. Mat khac S A 1 ( A B C D ) => S A 1 M B (2) Tir (1), (2) suy ra: M B 1 ( S A C ) ( S M B ) 1 ( S A C ) => dpcm. Thidii 4: Cho hinh chop S . A B C , trong do day A B C la tam giac vuong tai C , hai Thidii 2: (De thi tuyen sinh D^i hgc khoi A - 2003) mat ben S A C va S A B ciing vuong goc vdi day A B C . Goi D , E Ian li/dt la hinh Cho hinh hop chuf nhat A B C D . A ' B ' C ' D ' day la hinh vuong A B C D canh bang a: chieu cua A tren S C va S B . Chu-ng minh ( S A B ) 1 ( A D E ) . d t A A ' = b. Goi M la trung diem cua C C X a c dinh ti so - de hai mat phang Giai b Vi (SAB) l ( A B C ) ; (SAC) 1 (ABC), ,5 A ' B D va M B D vuong goc vdi nhau. ma ( S A B ) n ( S A C ) = S A , nen S A 1 ( A B C ) . 28 29
Phi/dng phap gial Toan trpng tam - Phan Huy Kheii Cty TMHH MTV DVVH Khang Vi^t V i B C J_ C A (gia ihict) => B C i. (SAC). IIP V a y (1) la dieu k i e n can va du de hai mat p h i n g ( M A C ) va ( N A C ) vuong => (SBC) J_ (SAC). Do A D i. SC, ma g6c v d i nhau. SC = (SBC) n (SAC) => A D 1 (SBC) 2) Gia su" ta c6 (1) J ; , ^ADISB (1). V i B x , Dy cung vuong gdc v d i (P), nen ( B D M N ) ± (P). ,3,, Tir (1) ket hdp v d i A E 1 SB (gia thiet) .suy ra D o A C 1 D B =^ A C l ( D B M N ) . K e O K 1 v d i M N . . , , ;„ SB 1 ( A D E ) => (SAB) i . ( A D E ) => dpcm. Theo dinh l i ba di/dng vuong goc suy ra A K ± M N ; C K ± M N => A K C la gdc tao b d i hai mSt phang ( A M N ) va ( C M N ) . Thidii 5: Trong mat phang (P) cho hinh vuong A B C D canh bang a. D o a n SA co' Do CO (1) nen trong tam giac vuong N O M tai O , ta c6 djnh vuong goc v d i (P) tai A ; M va N la hai d i e m tu'dng ufng d i dong tren cac 1 I 1 MO^+ON^ canh B C va C D . OK' Dat B M = u , D N = v. Chu'ng minh r^ng a(u + v) = a ' + la dieu k i c n can va du dc hai mat phang ( S A M ) va ( S M N ) vuong goc v d i nhau. Giai OK = Gia s u f ( S A M ) l ( S M N ) (1) V I SA 1 (P) ( S A M ) 1 (P) (2) Do ( S M N ) n (P) = M N , ncn tif (1) va (2) suy ra u^ + v ^ + a ^ MN l(SAM) MN 1 MA Thay (1) vao (2) ta co: Daolaigia s i f M N l M A (3) Ta CO M N 1 SA (do SA 1 (P)) =^ M N 1 ( S A M ) : ^ ( S M N ) 1 ( S A M ) . OK^ = ^ 2 - . ^ ^ 0 K = (3) V a y M N 1 M A la dieu k i c n can va dii do ( S A M ) 1 ( S M N ) . u^-fv^+a^ 2 2 Ta CO M N 1 M A o A N " = MA^ + MN^ Nhir vay tiT (3) co O K = O A = OC ^ A K C la tam giac vuong tai K o + v^ = a^ + u ' + (a - u)^ + (a - v ) ' dpcm. A K C = 90" ( A M N ) 1 ( C M N ) => dpcm. Thi du 6: Trong m a t p h l n g (P) cho hinh vuong A B C D canh bhng a. H a i nufa §2. CAC BAI TOAI>l ViM KHOANG CACH dU'ctng thang B x va D y vuong goc v d i (P) va d ve cung mot phia doi voti (P). M va N la hai d i e m di dong tUcIng i^ng tren B x , Dy. Dat B M = u, D N = v. Hai loai toan quan trong nhal cua rnuc nay, cung la hai dang toan thu'dng 1) T i m m o i hen he giiJa u, v de ( M A C ) 1 ( N A C ) . xuyen co mat trong cac k i thi tuyen sinh vao D a i hoc va Cao dang trong nhCng 2) Gia su" ta c6 dieu k i e n d cau 1, chu'ng minh ( A M N ) 1 ( C M N ) . namganday la: 1/ T i m khoang each tiT mot d i e m den mot mat phang (hoac mot di/dng thang) ^ Gjai 2/ T i m khoang each giffa hai diTcfng thang cheo nhau va b a i toan ve difdng 1) D o B A = B C => M A = M C . TiTdng tiT c6 N A = NC. Gia su' A C n B D = O, thi tiT tren suy ra M O 1 A C , N O 1 A C . t h i n g vuong goc chung. i, ^ L o a i 1: V i ( M A C ) n ( N A C ) = A C nen M O N la goc tao b d i hai mat phang ( M A C ) B a i toan t i m khoang each tif mot d i e m den m o t mat phang (hoac den mot va ( N A C ) . ^i^cJng thang): Ta CO (MAC) 1 (NAC) o M O N = 90" o M N ^ = MO^ + NO^ Trong muc nay chung t o i trinh bay phiTdng phap triTc tiep de tinh cac khoang '^^ch nay, ma khong difa vao phu'dng phap suT dung the tich k h o i da dien nhu" da « ( a V 2 ) % ( v - u ) ^ = u ^ + y + v 2 + — o 2 u v = a^ (1) cap den trong bai giang 1. ' •' • " 31
Phuong ph^p piai Toan trpng tam - Phan Huy Khii Cty TNHH MTV DWH Khang Vi^t Phirdng phap giai d\i6c tien hanh theo liTdc do chung: Giai - XAc dinh chan difcJng vuong goc iren mat phang (hoSc diTdng th^ng) ma Vi AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm can tinh khoang each tiif mot diem cho trU'dc den no. B\idc nay quan trong d cho: => BAC la tam giac vuong tai A. Nhd CO viec xac dinh nay ma cho phep ta c6 du du" lieu de chuyen sang bu'dfc Vay AB, AC, AD doi mot vuong goc vdi nhau. tiep theo. Theo thi du 1 ta c6: - Sur dung cac he thuTc iiTdng trong tam giac vuong (bao ham ca dinh li Pitago), hoSc liTdng giac de tinh cac khoang each can tim. 1 1 1 -• 1= 1- 1+ — 11 + -1 Cac bai toan nay trong kha nhieu tnTdng hdp diTa vao bai toan cd ban sau day: AH' AB' A C AD'^2 9 16 16 AH = Thidu 1 (Bai toan cdbdn) Thi du 3: (De thi tuyen sinh Dai hgc khoi D - 2008) Cho ti? dien OABC, trong do OA, OB, OC doi mot vuong goc vdi nhau. Ke Cho lang tru diJng day ABC.A'B'C day la tam giac vuong c6 BA = BC = a, OH 1 (ABC). canh ben AA' = a . Goi M la trung diem cua BC. Tinh khoang cdch giiJa hai 1) Ch^ng minh H la triTc tam tam giac ABC. dirdng thang AM va B'C. 2) ChuTng minh he thiJc: 1 1 ^ -+ - ^ Qmi OH' OA' OB OC" Goi E la trung diem BB'. Giai Ta CO EM//B'C => B'C // (ABM) 1) Ke OH 1 (ABC), AH n BC = M . d (B'C, AM) = d (B'C, (AEM)) = d(C, (AEM)) Ta CO OH 1 BC va BC 1 OA (do OA 1 (OBC) = d(B, (AEM)) (vi MB = MC). Suy tir OA 1 OB, OA 1 OC) Do ABC la tam giac vuong tai B, nen ti? dien ^ BC 1 (AOH =^ BC 1 AH. BAEM CO BA, BE, BM doi mot vuong goc vdi nhau. Lap luan tiTdng tiT ta c6 BH 1 AC. Theo thi du 1, neu goi BH la chieu cao ke tif B ciia ti? dien tren (H e (AEM)) thi. Vay H la triTc tam cua tam giac ABC => dpcm. 1 1 1 1 1 1 1 _ 7 ^ B H - " ^ .d(AM,B'C) = aV7 2) Theo dinh li ba du^dng vuong goc, suy ra MO 1 BC BH' BA' BE' B M ' a a Theo he thiJc liTdng trong tam giac vuong AOM ta c6: 1 1 1 /1^ Thid{t 4: Cho hinh chop S.ABCD c6~2SA = 3a, v^ SA vuong goc vdi mat ph^ng ABC. j= 7+ 5" (1) Gia sur AB = BC = 2a; ABC = 120" tim khoang each l\i A den mat phang (SBC) OH^ OA^ OM^ Giai: Lai theo he thiJc liTdngOB' - + • tam giac vuong OBC, ta(2) trong c6: Ke AH 1 BC SH 1 BC (dinh li ba du-dng vu6ng). OM^ OC' Lai CO BC 1 (SAH) => (SBC) 1 (SAH). 1 11 1I Tir(l) vi (2) suy ra: OH' OA' OB' 1 I dpcm. Do (SBC) n (SAH) = AH, OC nen neu ke AK 1 SH (KeSH) thi AK 1 (SBC). Nhan xet: Day la mot trong cdc ket qua cd ban nhat, nhu'ng c6 mot iJng dung Vay d (A, (SBC)) = AK. raft to Idn trong cac bai toan ve "quan he vuong goc" cua hinh hoc khong gian. Cac thi du 2, 3 di/di day se minh hoa cho dieu ay. Ta CO AH = AB.sin60" = 2a — = a^/^. Tin du 2: (De thi tuyen sink Dqi hgc khoi D - 2002) 2 Cho hinh tu" di?n ABCD c6 canh AD vuong goc vdi mat ph^ng (ABC), ngoai ra AC = AD = 4cm; AB = 3cm; BC = 5cm. _Theo 1 _ _ he 1thuTc li/dng 1 trong 1 - +tam giac vuongAKSAH = yta. Dc6:o v a y d(A,(SBC)) = ~ - 1 Tim khoang cdch tif A tdi mSt phing (BCD) AK^ SA' SH' 9a' 3a' 9a' 32 0-
Phtcng phAp giSi Jo&n trpno tarn - Phan Huy Khai Cty TNHH MTV DWH Khang Vijt Thi du 5. (De thi tuyen sinh Bqi hgc khoi D- 2011) Cho hinh ch6p tam gidc S.ABC day la tarn giac vuong ABC tai B va AB = 3a, Ta C O A,B, // DC va A | B , = DC BC = 4a. Biet r i n g mat phing (SBC) vuong goc vdi (ABC). Gia SIJT SB = 2aV3 =:> AiB,CD la hinh binh hanh va SBC = 30". Tim khoang each tilf B den mat phang (SAC). =:>B,C//A,D::^B,C//(A,BD) Giai = > d ( B „ ( A , B D ) ) = d(C,(A,BD)) (1) Ke BE 1 AC; HK 1 AC ^ BE // HK. Ta c6 A i O l ( A B C D ) Ta eo: S K 1 AC (dinh l i ba diTdng vuong goc) (BA|D) 1 (ABCD) ^ A C l (SHK) =:> (SAC) 1 (SHK). Lai thay (A,BD) n (ABCD) = BD,^ Do (SAC) n (SHK) = SK, neu ke H H ' 1 SK . chonenneuke ^_ =^ H H ' 1 (SAC) \ C H I B D (H e BD) \ 6: \ = > C H 1 ( A , B D ) = > d(C,(A,BD)) = CH (2) 1 1 1 1 1 12a BE = Trong tam giac vuong BCD tai C, ta c6 CH.BD = BC.CD BE^ AB^ BC^ 9a^ 16a^ B Do SH = SB.sin30" = aV3 CH = (3) J: a 2 + 3 a 2 BH = V S B ^ - S H ^ = V l 2 a ^ - 3 a ^ = 3 a ^ C H = ; H Ke B B ' 1 (SAC) => C, H ' , B ' thang hang T i r ( l ) , (2), (3) suyra d ( B , , ( A , B D ) ) = Theo dinh liTa-16t, ta c6: Binh ludn: Ban hay so sanh each giai nay vdi cdch gidi cua thi du nay khi HH' diing phi/dng phap "so sinh the tich" diTdc trinh bay trong thi du 6, §2 ™=A =i^BB-=4HH' (1) BB' CB 4a 4 ^ Logi 2: Bai toan tim khoang each giffa hai diTdng thing cheo nhau: . ' Cung theo djnh l i Ta-let, ta c6 : i«i=2ia^„K=iBE=2i Khoang each giiTa hai diTdng thing cheo nhau chinh la do dai difdng vuong BE CB 4 4 5 g6c chung cua hai diTdng thing do. V i le do neu xac dinh dU"c(c dU'dng vuong goc Theo he thuTc lu'Ong trong tam giac vuong SHK,ta c6: Chung ay thi viec tinh do dai ay coi nhi/da du'dc giai quyet. Tuy nhien, viec xac 1 I 1 11 25 3a 6aV7 dinh dirdng vuong goc chung cua hai diTdng thing cheo nhau khong phai la mot =>HH' = BB' = 4HH' = HH'^ SH^ HK' 3a' "57 viec de lam. Hdn the nffa trong rat nhieu bai toan ngiTcfi ta chi doi hoi tim khoang cdch giffa hai dirdng thing cheo nhau ma khong yeu cau xac dinh cu the Do BB' = d ( B ; ( S A C ) ) r ^ d ( B ; ( S A C ) ) = 6a Vv dir6ng vuong goc chung cua chung. V I vay trong ihiTc te" ngifdi ta thiTdng ehuyen bai toan xac dinh khoang each giffa hai diTdng thing cheo nhau ve cac bai toan Nhqn xet: Ban hay so sanh each giai n^y vdi each giai cung cua thi du nay giai hdn sau day: nhu'ng diing phiTdng phap "so sanh the tich" da diTdc trinh bay trong thi du 5, §2. 1/ Neu nhiT d, song song vdi mat phing (P), trong do d2 € (P) khi do khoang ^hid^ 6. (Be thi tuyen sinh Dai hQc khoi B - 2011) each giuTa d, va dj b^ng khoang each giiJa d, va (P). Cho hinh lang tru ABCD.A,B,C,D, c6 day ABCD la hinh chff nhat vdi 21 Neu nhir d, e (P); d2 e (Q) ma hai mat phing (P) va (Q) song song vdi AB = a, A D = aVs . Hinh chieu vuong goc cua A, tren mat phang (ABCD) trung fihau thi khoang each gifl-a d, va dj bkng khoang each giiJa (P) va (Q). Liru y vdi giao diem O cua hai du^cfng cheo AC, BD cua day. Biet rang he mat phang ••^ng neu d, // (P) thi khoang each giffa d, va mat phing (P) b i n g khoang each tiJf (ADD.Ai) va (ABCD) tao vdi nhau goc 60". •^oi diem bat ki cua d, den (P). Tffdng tiT, khoang each giffa hai mat phang song Tim khoang cdch tiif B, den mat phlng (A.BD) ' song (P) va (Q) b^ng khoang each tff mot diem bat k i cua mat phing nay den o»at phing kia. 35
Phuong phAp gi^i To^n trpng t a m - P h a n Huy Khi\ Cty TNHHTVrTVUWli CTang vigr- Nhir vay cu6'i cCing ta lai quy bai todn tint khodna cdch }>iifa hai dUcynfi thdrifi V5 Xir (1) va (2) suy ra: d ( M N , A'C) = cheo nhau ve bai todn tint khodng cdch tit inQt diem den mot mdt phdng. - ..- 4 • • Thi du 1: (Be thi tuyen sink Dqi hpc kho'i D - 2008) t^h^n xet: Cdc ban hay so sanh b^i giai tren . ^ ,, . Do chinh la thi du 3, loai 1 vilfa xet d tren. vdi cdch giai thi du nay b^ng phiTdng phdp so sdnh the tich da trinh b^y trong Thidu 2: (Be thi tuyen sink Bai hgc khoi B - 2007) thi du 3, §2 (sur dung phifdng phdp the tich de tim khoang each) cua bai giang 1: Cho hlnh chop tu" giac deu S.ABCD canh day b^ng a. Goi E la diem doi The tich kho'i da dien. xiJng cua D qua Irung diem cua SA. Goi M , N tiTcfng tfng la trung diem ciia AE Thid^ 4: (Be thi tuyen sinh B^i hgc khoi A - 2004) ''^^ ' ' ' va BC. Tim khoang c^ch theo a giiJa hai diTdng thang M N , AC. Cho hinh chop tiJ giac S.ABCD day la hinh thoi canh AB = Vs , diTdng cheo 1 Giai AC = 4, SO = 2^2 va SO vuong goc vdi day ABCD, d day O la giao diem cua Goi P la trung diem cua AB. Khi d6 M P / / E B AC va BD. Goi M \h trung diem cua canh SC. Tim khoang cdch giffa hai diTdng Ta CO SE // DA va SE = DA th^ng SA va B M . = > S E / / B C va SE = BC Giai: S. Ta CO MO//SA =^ SA // ( 0 M B ) SEBC \h hinh binh hanh => EB//SC ' (2). =>d(SA,BM) = d(SA,(MOB)) = d(S,(MOB)) Vay tCf (1) va (2) suy ra MP // SC. = d(C,(MOB)) (1) (do MS = MC). Lai CO PN//AC, nen (MPN) // (SAC) (3) Ta c6 BO 1 AC; BO ± SO (do SO 1 (ABCD)) ^ ' Tir(3)suyra: d ( M N , A C ) = d((MNP),(SAC)) BO 1 (SAC). = d(H,(SAC)) (4), D Ke CH 1 OM (H e OM) C H 1 (BOM), " 6 day H la giao diem cua BD va PN. . (do BO 1 (OMC) ^ (BOM) 1 (MOC)). V i HO 1 (SAC), nen d (H,(SAC)) = HO = - BD - 4 — , 4 Tac6 MO = ^=^-^U^f^'-S. Laic6: M C - - S C = - S A = > ^ . 6 day O m giao diem cua AC BD. TtT (4) suy ra: d ( M N , AC) = — . 2 2 4 t Trong tam giac can COM dinh M ke M K 1 OC, Q Thi 3: (Be thi tuyen sink Bai hgc khoi A-2006) Ta c6: MK^ = MO^ - OK^ = 3 - 1 = 2 =^ M K = 72 fi Cho hinh lap phu-dng A B C D . A ' B ' C ' D ' canh b^ng 1. Goi M , N Ian liTcJt la trung diem cua AB va CD. Tim khoang cdch giUd hai diTdng thang A ' C va M N . Trong tam giac OBC, ta c6: Giai ^|2.2 2yf6 (2)' 4' L MK.OC = MO.CH => CH = ' Ta CO BC//MN M N // (A'BC) \ V3 " 3 \ => d ( M N , A ' C ) = d ( M N , { A ' B C ) ) V$y tir (1) va (2) suy ra d(SA,BM) = d(C,(MOB)). \ c \ Nhqn xet: Ban hay so sdnh cdch giai nay, vdi each giai cung cija thi du nay = d(M,(A'BC)) (1) 1 X \ ^ \ nhu-ng diing phiTdng phdp "so sanh the tich" da diTdc Irinh bdy trong thi du 1, §2 Ta c6: A I 1 A ' B ( A B ' n A B = I ) . \ cua bai giang so 1: The tich khoi da dien. T Lai CO BC l ( B A A ' B ' ) => B C l A I . Thi du 5 (Be thi tuyen sinh Bqi hgc khoi A - 2010) TCrdo A l l (A'BC). V i the n e u k e M H / / A I ^ ^ Cho hinh chop S.ABCD c6 ddy ABCD la hinh vuong canh a. Goi M vk N Ian lifcJt la trung diem cua cdc canh AB va A D ; H la giao diem ciia CN va D M . Biet ( H e A ' B ) thi M H l (A'BC) va d(M,(A'BC)) = M H = i A I = ^ (2) SH vuong goc vdi mdt phdng (ABCD) vi SH = • Tim khoang each giufa hai
Giai AH.SA a.2aV3 _2aV39 AK = Do ABCD \k hinh vuong, v i M , N tu'dng uTng la trung diem cua AB, A D => A A D M = ACDN => NCD = A D M => D M i . CN. (do SA = AB. tanSBA = 2atan60" = 2aVs ) '' ^' Do SH 1 (ABC) ^ SH 1 D M => D M ± (SNC) 5» Nhgit xet: Hay so sanh each giai nay vdi each giai cung cua thi du nay bang Trong tam giac vuong SHC, {it H ke H K 1 SC. phu'dng phap "suT dung the tich" da trinh bay trong thi du 7, loai 1 §2. V i D M 1 (SNC) => D M 1 HK ^. / Loai 3: Bai todn xdc djnh difdng vuong goc chung: , ; => HK la difdng vuong goc chung cua D M Nhy da noi d muc tru'dc, bai toan doi hoi tim khoang each giifa hai diTdng viSC, nen d(DM,SC) = HK thing cheo nhau noi chung khong can xdc dinh diTdng vuong goc chung. Theo he thuTc lifdng trong tam giaCj^.^ Tuy nhien, trong mot so' bai toan lai doi hoi xac dinh du"dng vuong goc chung vuong SHC, ta c6: cua hai du'dng thing cheo nhau, do la mot yeu cau cao hdn. Muc nay de danh 1 1 1 de trinh bay each tim du'dng vuong goc chung. • + - N b B (1) HK^ SH" HC Nguyen t^c chung de giai bai toan nhi/ sau: Xac djnh diem M e a. N e b V i H C = DCcosDCH = a. DC 2a75 • = a.- (2) sao cho M N 1 a, M N 1 b, khi do M N NC 2 a' la du'dng vuong goc cua ca a va b. Van B' / a +— de la d cho lam the nao de xac dinh Thay (2) v a o ( l ) t a c 6 : 2aV57 diTdc hai diem M , N? ,,,, HK- HK' 3a' 4a^ 19 Phi/dng phap tong quat (nhuda biet) ta giai nhiTsau: '^"^'"^ ' Thi 6. (Be thi tuyen sinh Dgi h^c khoi A - 2011) DiTng mat phing (P) chuTa a va song song vdi B. Lay mot diem B tren b, ke Cho hmh chop tam giac S.ABC, day la tam giac vuong can tai B, trong 66 BB'e(P) ( B ' e ( P ) ) . AB = BC = 2a. Gia suf hai mat phang (SAB) va (SAC) ciJng vuong goc vdi mat Trong (P) qua B' diTng b'// b. Goi M = a n b'. TiT M ke MN//BB' (N e b). phang (ABC). Goi M la trung diem cua AB. Mat phing qua SM va song song Khi do M N la difdng vuong goc chung cua hai du'dng thing cheo nhau a va vdi BC cdt AC tai N . Biet rkng hai mat phang (SBC) va (ABC) tao vdi nhau gdc b. Tuy nhien, neu nhiT a va b ed eac ca'u true dae biet (thi du nhU' a, b vuong goc 60". Tim khoang each giufa hai diTdng th^ng AB va SN theo c. vdi nhau...) thi ta lai c6 cdeh xuT ly rieng tiTdng uTng va ddn gian hdn. v ; A' i liv Thi dii 1: Trinh bay each diTng du'dng vuong goc chung vdi hai du'dng thing Ve qua N diTdng thang NE // AB. ch6o nhau va vuong goc vdi nhau. Ke A H 1 NE (d day H thuoc diTdng thang NE).^ ^ Giai R6 rang EB = EC = a. DiTng (P) qua b va vuong gde vdi a. Ta c6 AB // (SHE) va SN e (SHE) Gia suran(P) = M . Trong (P) di/ng M N vuong gde vdi b. => d(AB,SN) = d(AB,(SHE)) = d(A,(SHE)) (1) Khi do M N la diTdng vuong gde cua a va b. Ta CO AB 1 (SAH) va HE // AB A Xcm mot tfng dung cua thi du 1 sau day: =>HE1 (SAH) ^ (SHE) 1 (SAH) Thi dtf minh hfia cho thi dif 1: (Be thi tuyen sinh Bai hgc khoi B - 2002) V i (SHE) n (SAH) = SH, Cho hinh lap phiTdng A B C D . A i B i C D , canh a. Tim khoang each giffa hai N e n n e u k e A K 1 SH => A K 1 (SHE) ^ d(A,(SHE)) = A K (2) ^i^cJng thing A,B va BiD. • Trong tam giac*vu6ng SAH, do A K 1 SH => AK.SH = AH.SA Ta CO AB, 1 A i B (vi B A A i B , la hinh vuong); 391