Hai phương pháp thay thế đối tượng có trễ trong bài toán điều khiển tối ưu hệ có tham số phân bố

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết Hai phương pháp thay thế đối tượng có trễ trong bài toán điều khiển tối ưu hệ có tham số phân bố nghiên cứu so sánh độ chính xác của lời giải khi thay thế một đối tượng động học có trễ bằng mô hình xấp xỉ Taylor và mô hình xấp xỉ Pade bậc 1 để giải bài toán điều khiển tối ưu cho một hệ có tham số phân bố, có trễ. Hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò gia nhiệt để điều khiển nhiệt độ cho phôi tấm theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hai phương pháp thay thế đối tượng có trễ trong bài toán điều khiển tối ưu hệ có tham số phân bố

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 81 HAI PHƯƠNG PHÁP THAY THẾ ĐỐI TƯỢNG CÓ TRỄ TRONG BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU HỆ CÓ THAM SỐ PHÂN BỐ TWO METHODS REPLACE A DELAYED OBJECT IN OPTIMAL CONTROL PROBLEMS FOR A DISTRIBUTED PARAMETER SYSTEM Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp, Đại học Thái Nguyên; maitrungthai@gmail.com, maihuongnguyen79@gmail.com Tóm tắt - Các đối tượng điều khiển có trễ thường gặp nhiều trong Abstract - The delayed control objects often happen in many các lĩnh vực khác nhau như trong công nghiệp, giao thông, vận tải, different fields such as industry, transport, transportation, military... quân sự… Thông thường khi thiết kế bộ điều khiển, nếu đối tượng Normally, when designing the controller, if the object is the delayed là khâu quán tính bậc nhất có trễ được xấp xỉ bằng hai khâu quán first order inertia system which is approximated by two systems of tính bậc nhất, thì điều này thường dẫn đến sai số lớn nếu thời gian the first order inertia, this often leads to the large error if the time trễ () là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (). Bài báo nghiên delay () is significantly large compared to its time constant (). This cứu so sánh độ chính xác của lời giải khi thay thế một đối tượng paper presents a study comparing the accuracy of the solution động học có trễ bằng mô hình xấp xỉ Taylor và mô hình xấp xỉ Pade when replacing a delayed object by the Taylor and the first-order bậc 1 để giải bài toán điều khiển tối ưu cho một hệ có tham số phân Pade approximation models to solve the problem of optimal control bố, có trễ. Hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một for a distributed parameter system with time delay (DPSTD). The phía trong lò gia nhiệt để điều khiển nhiệt độ cho phôi tấm theo tiêu system is applied to a one-sided heat-transfer system in a heating chuẩn nung chính xác nhất. furnace to control temperature for a slab following the most accurate burning standards. Từ khóa - điều khiển tối ưu; hệ tham số phân bố; có trễ; phương Key words - optimal control; distributed parameter systems; delay; pháp số; xấp xỉ Taylor; xấp xỉ Pade. numerical method; Taylor approximation; Pade approximation. 1. Đặt vấn đề Các điều kiện đầu và điều kiện biên cho bởi [2], [3], [4], Phương pháp xấp xỉ Taylor và phương pháp xấp xỉ Pade [5]: [1] đã được phát triển từ lâu và ứng dụng chủ yếu của nó là q  x, 0   0 (2) để tìm nghiệm các phương trình đại số vi phân. Phương pháp xấp xỉ Pade có thể cho ra phép xấp xỉ hàm có nhiều q  x, t  ưu việt hơn so với phép khai triển Taylor, đặc biệt với     q(0, t )  u (t ) (3) những đối tượng có thời gian trễ () lớn đáng kể so với x x 0 hằng số thời gian () của nó [5]. q  x, t  Bài báo đưa ra hai dạng thay thế cho đối tượng có trễ  0 (4) bằng mô hình xấp xỉ Taylor và mô hình xấp xỉ Pade để giải x x  bài toán điều khiển tối ưu cho một hệ với tham số phân bố, có trễ; điển hình cho đối tượng có trễ với tham số phân bố với  là hệ số trao đổi nhiệt giữa không gian lò và vật là quá trình truyền nhiệt. Các thuật toán và kết quả mô (W/m2.độ);  là hệ số dẫn nhiệt của vật liệu (W/m.độ); phỏng đã chỉ ra rằng, tùy theo mối quan hệ giữa () và () u(t) là nhiệt độ môi trường không khí trong lò (°C). thì ta nên dùng dạng xấp xỉ nào là hợp lý nhất. Quan hệ giữa công suất cung cấp cho lò w(t) và nhiệt độ lò u(t) thường gặp là một khâu quán tính bậc nhất có trễ 2. Đặt bài toán điều khiển tối ưu [2], [5]. 2.1. Mô hình đối tượng Khi đó quan hệ giữa w(t) và u(t) được mô tả bằng Xét hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò gia nhiệt, phương trình: đó là một hệ có tham số phân bố. Quá trình đốt nóng một du (t ) phía cho phôi tấm trong lò gia nhiệt được mô tả bằng   u (t )  kw(t   ) (5) phương trình đạo hàm riêng [2], [3], [4], [5]: dt  2 q( x, t ) q( x, t ) Trong đó:  là hằng số thời gian của lò (s);  là thời a  (1) gian trễ của lò (s); k là hệ số truyền tĩnh của lò; w(t) là công x 2 t suất cung cấp cho lò (hàm điều khiển của hệ thống). Trong đó: Nhiệt độ u(t) của môi trường không khí trong lò được q(x,t) là phân bố nhiệt độ trong vật, phụ thuộc vào tọa điều khiển bởi công suất w(t), phân bố nhiệt q(x,t) trong vật độ không gian x (0  x   ) và thời gian t (0  t  T ), a là được điều khiển thông qua nhiệt độ của môi trường không hệ số dẫn nhiệt độ - thông số đặc trưng cho tốc độ biến khí trong lò u(t), nhiệt độ này lại được điều khiển bởi công thiên nhiệt độ của vật (m2/s),  là bề dày tấm (m), T là thời suất w(t). Như vậy, thực chất sự phân bố nhiệt độ trong vật gian nung cho phép (s). q(x,t) sẽ phụ thuộc vào công suất w(t).
82 Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương 2.2. Phiếm hàm mục tiêu và điều kiện ràng buộc ▪ Theo Taylor, phương trình (5) trở thành: Trong trường hợp này bài toán được đặt ra như sau: Hãy xác định một hàm điều khiển tối ưu w(t) (0  t  T ) sao cho   s  1U ( s)  kW( s).e   s làm cực tiểu phiếm hàm: W(s)  Hay ( s  1)U ( s )  k (11) 1 s  q *( x)  q( x,T ) 2 I [w(t )]  dx  min (6) 0 ▪ Theo Pade 1, phương trình (5) trở thành: Trong đó: q*(x) là phân bố nhiệt mong muốn, còn q(x,T)  s  1U (s)  kW(s).e  s là phân bố nhiệt độ trong vật tại thời điểm t = T, được hiểu là cuối quá trình gia nhiệt đảm bảo sự đồng đều nhiệt độ  1 s nhất trong toàn bộ vật nung. 2 Hay ( s  1)U ( s )  k .W( s ). (12) Ràng buộc của hàm điều khiển là:  1 s A1  w(t)  A2 (7) 2 Trong đó: với A1 ; A2 tương ứng là giới hạn dưới và giới hạn trên công suất cung cấp cho lò (W). U ( s)  L u(t ) ; W( s)  L w(t ) (13) 3. Lời giải của bài toán Nghiệm tổng quát của phương trình (8) là: Quá trình tìm lời giải tối ưu bao gồm hai bước:  s   s  - Bước 1: Tìm quan hệ giữa q(x,t) và tín hiệu điều khiển Q ( x, s )  C1 ( s ) sh  .x   C2 ( s )ch  .x  (14)  a   a  w(t). Đây chính là việc giải phương trình truyền nhiệt   (quan hệ giữa u(t) và q(x,t)) với điều kiện biên loại 3 kết với C1(s) và C2(s) là các ẩn số cần tìm. hợp với phương trình vi phân thường có trễ (quan hệ giữa w(t) và u(t)). Như vậy nếu chưa quan tâm tới bài toán tối Từ các điều kiện biên (9), (10) ta tính được: ưu thì ta có thể tính được trường nhiệt độ trong phôi khi s biết công suất cung cấp cho lò (biết vỏ tìm lõi). U ( s ) sh . a - Bước 2: Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu w*(t). Thay C1 ( s )  (15) q(x,t) tìm được ở bước 1 vào phiếm hàm (6), sau đó tìm ra s s s nghiệm tối ưu w*(t) bằng phương pháp số, khi đó ta sẽ  .sh .   .ch . a a a chuyển một phiếm hàm mục tiêu cần cực tiểu thành việc cực tiểu hóa một hàm nhiều biến. s 3.1. Tìm quan hệ giữa q(x,t) và tín hiệu điều khiển w(t) U ( s )ch . a Để giải phương trình (1) với các điều kiện đầu và điều C2 ( s )  (16) s s s kiện biên (2), (3), (4) ta áp dụng phép biến đổi Laplace với  .sh .   .ch . tham số thời gian t. Khi áp dụng phép biến đổi Laplace với a a a tham số thời gian t thì phương trình vi phân đạo hàm riêng Thay (15), (16) vào (14) và từ (11), (12) sau khi biến đã được đưa về phương trình vi phân thường đối với biến đổi ta được kết quả: x. Biến đổi Laplace phương trình (1), ta được: ▪ Hàm Q(x,s) theo Taylor:  2Q( x, s) a  sQ( x, s) (8) s x 2 k .ch(  x) a (17) Q( x, s )  W(s) Trong đó: Q( x, s)  L q( x, t )  s    s s Sau khi biến đổi các điều kiện đầu và điều kiện biên (2),  s  1  s  1   a sh .  ch .  (3), (4), ta được:  a a   Q( x, s)      Q(0, s)  U ( s) (9) x x 0 Đặt Q ( x, s ) k .ch(  x) s 0 (10) a x x  G ( x, s )  (18)  s  Để giải bài toán này, [2] đã thay thế đối tượng có trễ (5)   s s thỏa mãn điều kiện /  10 bằng một khâu quán tính bậc  s  1  s  1    sh a .  ch a .  a nhất theo xấp xỉ Taylor, [5] đã thay thế đối tượng có trễ     thỏa mãn điều kiện 6 ≤  / < 10 bằng khâu xấp xỉ Pade bậc 1, biến đổi Laplace phương trình (5) ta được: Ta được Q(x,s) = G(x,s) .W(s) (19) ▪ Hàm Q(x,s) theo Pade 1:
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 83  s  W( s).k . 1    2  .ch(  x) s a  k .k0 2 2   k0 2 .Cosk0 .   x a  k02t Q ( x, s )   (20) g ( x, t )  .e   s     k0     (2   k0 ). Cosk0 . 2  Sink0 .    s  1 . 1  s  .   a .sh .  ch .  s s a  a  a  2   a a   2  x   2.k .k1 .Cosk1 2 a  k1 t Đặt  .e   s     .k1   (1   k1 ). 2 s Cosk1 a    .ch(  x) a k . 1  Sink1 G ( x, s )   2   (21)   a a       x s    k . . 2   .i .Cos i 2  s  1 . 1  s  .   a .sh .  ch .  s s   2 a  i t  2   a a  .e     i2 2  2  (   ) i .  i .   (1  i )(1  i )  .Sin  .Cos  Ta được: Q(x,s) = G(x,s) .W(s) (22) 2  .i a a a a Từ (19), (22), theo lý thuyết về tích chập ta có (28) q(x,t) = g(x,t)  w(t) (23) với k0  1/  ; k1  2/  Ta có thể viết : Trong biểu thức (27), (28): -  là hệ số truyền nhiệt từ không gian lò vào vật t q( x, t )   g ( x, )w(t   )d (24) (W/m2.độ); 0 -  là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ); Hoặc: -  là bề dày tấm (m); t - a là hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s); q( x, t )   g ( x, t   )w( )d 0 (25) -  là thời gian trễ của lò (s); -  là hằng số thời gian của lò (s); Trong đó: g ( x, t )  L1 G( x, s) (26) - k là hệ số truyền tĩnh của lò Vì vậy, nếu biết được hàm g(x,t) ta sẽ tính được phân i a bố nhiệt q(x,t) từ hàm điều khiển w(t). Muốn tìm được i  (29) q(x,t) trong biểu thức (25) ta cần tìm hàm (26). Dùng phép  biến đổi ngược hàm G(x,s), ta có kết quả: • i là nghiệm của phương trình siêu việt: ▪ Hàm g(x,t) theo Taylor:  . i .tgi   Bi  (30) 1  2 k .k0 Cosk0 (  x). • Bi là hệ số BIO của vật liệu e k0 t  2 a g ( x, t )    k0  3.2. Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu w*(t) bằng phương (1  k0 2  )(Cosk0  Sink0 ) pháp số a  a a Để tìm w*(t) ta phải cực tiểu hoá phiếm hàm (6), tức là: 1 kk12 Cosk1 (  x)   a e  k12t   I [w(t )]  [q *( x)  q( x, T )]2 dx  min (31)  k1  0 (1  k12 )(Cosk1  Sink1 )  a 2   T  a a 1   Hay: I [w(t )]  q * ( x)  g ( x, T   )w( )d  dx  min (32)   2k Cos i (  x) 0 0  Như [2], [5] dùng phương pháp tích phân số Simson để  2 a  i t .e số hóa các tích phân của phiếm hàm (32), trong đó: i 2  (   )  .    (1  i )(1  i )  Sin i  Cos i  Khoảng không gian là bề dày tấm từ 0 đến  ta chia 2 2  .i a a a a làm n phần bằng nhau (n là một số chẵn). (27) Khoảng thời gian từ 0 đến T ta cũng chia ra thành m khoảng bằng nhau (m cũng là một số chẵn). Khi đó bài toán với k0  1/  ; k1  1/  tối ưu chính là tìm các w*j sao cho cực tiểu phiếm hàm: ▪ Hàm g(x,t) theo Pade 1:
84 Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương   2 Hệ số BIO của vật nung như sau:  n m    *   . I [w]  F (w)   ci  q i  aij w j   (33) Bi   60.0, 04  12 i 0  j 0   0.2  Đây là vật rất dầy vì có hệ số Bi > 0,5. Ràng buộc của hàm điều khiển là:  1200 A1  w j  A2 với ( j  0,1,..., m) (34) Ta có   15  10  80 Do đó bài toán được đặt ra là hãy tìm cực tiểu của hàm Để tính toán chế độ nung tối ưu, ta chọn số lớp không (33) với n+1 biến wj tuân theo ràng buộc (34). Rõ ràng (33) gian là n = 6, số khoảng thời gian m = 36. Sau khi chạy là hàm bậc hai của các biến wj và các ràng buộc (34) là chương trình, ta được kết quả như Hình 1. tuyến tính. Bài toán trở thành bài toán quy hoạch bậc hai [2], [5]. Với bài toán này có thể tìm nghiệm đúng bằng phương pháp số sau một số hữu hạn phép lặp. w*(t) Mặc dù nghiệm của bài toán quy hoạch bậc hai thu được sau một số hữu hạn phép lặp nhưng thuật toán của nó phức tạp hơn thuật toán của phương pháp đơn hình cho bài toán quy hoạch tuyến tính. Vì thế, để đơn giản hoá cách giải ta biểu diễn phiếm hàm mục tiêu dưới dạng:  u(t) I [w(t )]   q *( x)  q( x, T ) dx 0 (35) q(x,T) Áp dụng tương tự như trên, ta tính được giá trị tích phân ở vế phải của (35) là: q(x,T) n m I [w(t)]  L(w(t))    ci qi*   aij w j (36) i 0 j 0 Hình 1. Chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite Như vậy ta có thể thay thế việc tìm lời giải cho bài toán (xấp xỉ theo Taylor, khi  = 80(s)) (33) với ràng buộc (34) bằng việc cực tiểu hoá bài toán (36) 4.1.2. Mô phỏng theo Pade 1 với ràng buộc (34). Dùng phương pháp đơn hình giải bài Trong quá trình mô phỏng ta giữ nguyên tất cả các thông toán (36), ta cũng sẽ nhận được phương án tối ưu của bài số vật lý của đối tượng cũng như các thông số của lò nhiệt, toán sau một số hữu hạn phép lặp. sau khi chạy chương trình ta được kết quả như hình 2 4. Các kết quả mô phỏng Sau khi xây dựng các thuật toán và lập các chương trình điều khiển, chúng tôi đã tiến hành chạy các chương trình mô phỏng trên một mẫu Diatomite trong hai trường hợp để kiểm chứng tính đúng đắn của các thuật toán. 4.1. Trường hợp 1: khi đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện  /  10 4.1.1. Mô phỏng theo Taylor • Các thông số vật lí của vật nung  = 60 (W/m2.độ);  = 0,2 (W/m.độ); a = 3,6.10-7 (m2/s);  = 0,04 (m) • Các thông số của lò nhiệt  = 1200 (s);  = 80 (s); k = 0,3 • Phân bố nhiệt độ yêu cầu: q*(x) = 400°C Hình 2. Chế độ nung tối ưu với mẫu Diatomite • Thời gian nung cho phép: T = 5400 (s) ( xấp xỉ theo Pade 1, khi  = 80(s)) • Giới hạn dưới công suất: A1 = 1200 (W) 4.2. Trường hợp 2: khi đối tượng có trễ thỏa mãn điều • Giới hạn trên công suất: A2 = 2800 (W) kiện 6 ≤  / < 10 • Giới hạn nhiệt độ lò: u(t )  6000 C Trong quá trình mô phỏng ta cũng giữ nguyên tất cả các thông số như trường hợp 1, chỉ thay đổi thời gian trễ , • Giới hạn bề mặt vật nung: q(0, t)  5000 C trong trường hợp này cho  = 150 (s), khi đó ta có:
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, SỐ 5(114).2017-Quyển 1 85  1200 nhất so với nhiệt độ đặt khoảng 0,7°C, còn theo Pade 1 thì 6   8  10  150 sai lệch lớn nhất khoảng 2°C, như vậy khi đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện /  10 thì dùng phép xấp xỉ Taylor sẽ 4.2.1. Mô phỏng theo Taylor có sai lệch nhỏ hơn so với phép xấp xỉ Pade 1 . Sau khi chạy chương trình, ta được kết quả như Hình 3. Hình 3 và Hình 4 cũng chỉ ra rằng tại thời điểm t = T phân bố nhiệt độ tại các lớp q(x,T) đều xấp xỉ 400°C, nhưng khi xấp xỉ theo Taylor thì sai lệch lớn nhất so với nhiệt độ đặt khoảng 2°C, còn theo Pade 1 thì sai lệch lớn nhất khoảng 0,5°C, như vậy khi đối tượng có trễ thỏa mãn điều kiện 6 ≤ /