Hạng của ma trận và ma trận nghịch đảo

Chia sẻ: Vudinhthang Thang | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

1.471
lượt xem 326
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau:

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hạng của ma trận và ma trận nghịch đảo

CHƯƠNG 4: HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN & MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 1
1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên ma trận A ∈ Mmxn(K) là phép biến đổi có một trong các dạng sau: a/ h ↔ h (C ↔ C ) b/ h → α.h (C → α.h ), α ≠ 0 c/ h → h + βh (C → C + βC ) (Đổi chỗ 2 hàng hay 2Chcột 4vMAiTRẬN Toán 2 ương : ớ nhau) Slide 2
1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP TRÊN MỘT MA TRẬN (tt) Ký hiệu: A → B để chỉ ma trận B nhận được từ ma trận A sau một số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp trên A Ví dụ:  1 2 3  1 2 3 1 2 3    h2 ↔ h3   h3 → 2.h3   A =  4 5 6    → 7 8 9   → 7 8 9   7 8 9  4 5 6  8 10 12        Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 3
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG Cho ma trận A ∈ Mmxn(K) Ma trận A được gọi là có dạng bậc thang nếu như: a/ Các hàng khác không (có ít nhất một phần tử nằm trên hàng nào đó khác không) nằm trên các hàng bằng không. b/ Với hai hàng khác không, phần tử khác không đầu tiên ở hàng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử khác không đầu tiên ở hàng trên. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 4
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) Ví dụ: 1 2 3 4 5  2 1 0 4 3     0 0 1 4 6 A =  0 0 3 1 4 B= 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3    0   0 0 0 0  Là những ma trận bậc thang Chú ý: Mọi ma trận đều có thể đưa về dạng bậc thang nhờ các phép biến đổi sơ cấp. Ta minh họa bởi ví dụ sau: Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 5
2. ĐỊNH NGHĨA MA TRẬN BẬC THANG (tt) 1 2 0 1 4 1 2 0 1 4   h2 → h2 − 2 h1   2 4 1 −1 2  h4 → h4 − 3h1  0 0 1 − 3 − 6  A=     → 0  0 1 −1 2 −5 1 −1 2 − 5  3     0 −1 2 − 5 −1  5 2 − 2 11    1 2 0 1 4 1 2 0 1 4     h2 ↔ h3   →  0 1 −1 2 − 5  h4 → h4 + h2  0 1 − 1 2 − 5 0 0 1 −3 −6     → 0 0 1 − 3 − 6     0 −1 2 − 5 −1    0 0 1 − 3 − 6      1 2 0 1 4   h4 → h4 − h3    →  0 1 −1 2 − 5 0 0 1 − 3 − 6  0 0   0 0 0  Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 6
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN a/ Định nghĩa: Cho ma trận A ∈ Mmxn(K). Ta nói ma trận A có hạng bằng p (ký hiệu là r(A) = p) nếu như A chứa một ma trận con cấp p có định thức khác không, còn mọi định thức con cấp p+1 đều bằng không. Nói một cách khác, hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của nó. * Ta quy ước ma trận 0 có hạng bằng 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 7
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau: . r(A) = r(AT) . r(Amxn) ≤ min{m,n} . r(A+B) ≤ r(A) + r(B) . r(A.B) ≤ min{r(A),r(B)} . Cho ma trận A ∈ Mmxn(K) X ∈ Mn(K), detX ≠ 0 Y ∈ Mm(K), detY ≠ 0 Khi đó: r(A) = r(A.X) = r(Y.A) Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 8
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) b/ Hạng của ma trận có các tính chất sau (tt): . Nếu A → B (Ma trận B nhận được từ A qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp) Khi đó: r(A) = r(B) . Nếu A ∈ Mn(K) thì: + r(A) = n ⇔ detA ≠ 0 + r(A) < n ⇔ detA = 0 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 9
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) c/ Định lý: Cho A ∈ Mmxn(K) là một ma trận bậc thang có p hàng khác không. Khi đó: r(A) = p Nhận xét: Từ định lý này ta thấy, để tìm hạng của một ma trận, thì ta biến đổi sơ cấp trên ma trận đã cho để đưa nó về dạng bậc thang. Khi đó ta dễ dàng suy ra hạng của ma trận. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 10
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 1: Tìm hạng của ma trận 1 4−5  1 4 −5      0 2− 4  h3 →h3 −3h1  0 2 −4  h5 →h5 −2 h A = 3 1 7   1 → 0 −11  22      0 5 −10  0 5 −10  2 3 0 0 − 5 10      1 4 −5  1 4 −5   h3 →h3 +11h2   1 0 1 − 2  h4 →h4 −5h2  0 1 − 2 h2 → h2 h5 →h5 +5h2  → 0 −11 2 22  → 0  0 0     0 5 −10  0 0 0 ⇒ r(A)0= 2− 5  10  0 0 0     Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 11
3. ĐỊNH NGHĨA HẠNG CỦA MỘT MA TRẬN (tt) Ví dụ 2: Tìm hạng của ma trận sau theo tham số a 1 2 3 4   2 3 4 5 A =3 4 5 6    4 5 6 a  1 2 3 4  1 2 3 4   h2 → h2 − 2 h1 h3 → h3 − 3 h1  h3 → h3 − 2 h2   0 h4 → h4 − 4 h1 −1 −2 3  h4 → h4 − 3h2  0 − 1 − 2 −3  A     →      → 0 0 −2 −4 −6 0 0 0   0    0   −3 − 6 a − 16   0 0 a − 7  1 2 3 4  Biện luận:   h3 ↔ h4   → 0 −1 −2 3  . a = 7 thì r(A) = 2 0 0 0 a − 7 . a ≠ 7 thì r(A) = 3  0   0 0 0  Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 12
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO a/ Định nghĩa ma trận phụ hợp Cho A = (aij) ∈ Mn(K), khi đó ta gọi ma trận T  A11 A12 ... A1n    PA =  A 21 A 22 ... A 2 n  .... là ma trận phụ hợp của ma trận A  A   n1 A n 2 ... A nn   Ở đây: Aij = (–1)i+jdet(Cij) là phần bù đại số của phần tử aij. Cij là ma trận có cấp (n–1) nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ hàng thứ i và cột thứ j. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 13
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 1 0   Ví dụ: Cho ma trận A =  1 1 1  Hãy tìm ma trận phụ hợp PA 0 2 1   1+1 1 1 1+ 2 1 1 A11 = (-1) . = −1; A12 = (-1) . = −1; ... 2 1 0 1 Cuối cùng ta tính được ma trận T  −1 −1 2  −1 −1 1     PA =  − 1 1 − 2  ⇒ PA =  − 1 1 − 1  1 −1 0  2 −2 0     Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 14
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) b/ Định nghĩa ma trận nghịch đảo Cho ma trận A ∈ Mn(K) * A được gọi là ma trận không suy biến nếu det(A ) ≠ 0 * A được gọi là ma trận khả nghịch nếu tồn tại B Є Mn(K) sao cho: A.B = B.A = In Lúc này, B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được ký hiệu là B = A–1 Do vậy ta có: A.A–1 = A–1.A = In Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 15
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) c/ Định lý Cho ma trận A ∈ Mn(K) A không suy biến ⇔ A khả nghịch và lúc này −1 1 A = .PA det A d/ Ma trận nghịch đảo có các tính chất sau: biến và (A ) = A và (A ) = (A ) . Nếu A và B không suy biến thì A.B cũng không suy Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 16
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 Ví dụ 1: Cho A =   . Tìm A–1 3 4 Nhận xét: detA = – 2 ≠ 0. Vậy A khả nghịch. Ta có: A11 = (–1)1+1.4, A12 = (–1)1+2.3 A21 = (–1)2+1.2, A22 = (–1)2+2.1 T  4 − 3  4 − 2 ⇒ PA =   =  − 2 1 − 3 1 −1 1 1  4 − 2 Vậy A = .PA = −   det A 2− 3 1 Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 17
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 − 3   Ví dụ 2: Cho A =  3 2 − 4  . Tìm A–1  2 −1 0   Nhận xét: detA = 1 ≠ 0 nên tồn tại A–1 Ta có: A11 = –4 A12 = –3 A13 = –7 A21 = 3 A22 = 6 A23 = 5 A31 = –2 A32 = –5 A33 = –4 T − 4 − 8 − 7  − 4 3 − 2     ⇒ PA =  3 6 5  =  − 8 6 − 5  − 2 − 5 − 4  − 7 5 − 4     Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 18
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt)  − 4 3 − 2 Vậy 1   A -1 = .PA =  − 8 6 − 5  detA  − 7 5 − 4   e/ Tìm ma trận nghịch đảo bằng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng Ta còn có một thuật toán khác để tìm A–1 chỉ qua các phép biến đổi sơ cấp trên hàng như sau: PBĐBĐ (A | I)   →(I | A −1 ) trên hàng  Chú ý: Phương pháp này tiện cho việc tính A–1 mà ma trận A có cấp cao. Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 19
4. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (tt) 1 2 − 3   Ví dụ 3: Cho A =  3 2 − 4  . Tìm A–1  2 −1 0   Ta viết  1 2 −3 1 0 0   3 2 −4 0 1 0  2 −1 0 0 0 1   1 h2 → h2 − 3h1 2 −3 1 0 0  h3 → h3 − 2 h1     → 0 − 4  5 −3 1 0 0 − 5 6 −2 0 1   Toán 2 Chương 4: MA TRẬN Slide 20