Hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa vành

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài viết này, nhóm tác giả chứng minh điều kiện cần và đủ để một ma trận tùy ý tồn tại hạng nhân tử ổn định, chỉ ra một lớp nửa vành thỏa mãn điều kiện này và chứng minh một số tính chất cơ bản của hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa vành.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa vành

ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 5.1, 2021 53 HẠNG NHÂN TỬ ỔN ĐỊNH CỦA MA TRẬN TRÊN NỬA VÀNH STABLE FACTOR RANK OF MATRICES ON SEMIRINGS Hà Chí Công1* 1 Trường Đại học Tài chính – Kế toán Tác giả liên hệ: hachicong@tckt.edu.vn * (Nhận bài: 11/01/2021; Chấp nhận đăng: 21/5/2021) Tóm tắt - Trong lý thuyết vành, hạng nhân tử ổn định của ma trận Abstract - In Ring theory, the stable factor rank of matrices play đóng vai trò quan trọng trong bài toán phân loại vành và phân tích an important role in the problems of rings classification and rings cấu trúc vành. Điều kiện để hạng nhân tử ổn định của một ma trận structure analysis. The conditions for existence of stable factor tùy ý trên vành tồn tại cũng như các tính chất của nó đã được nghiên rank of matrices on rings and its properties have been studied by cứu bởi P.M. Cohn và đã có nhiều kết quả thú vị. Tuy nhiên, khi P.M. Cohn, and there were many interesting results about these xem xét hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa vành thì vẫn problems. However, there are not many research results about chưa có nhiều kết quả nghiên cứu về vấn đề này. Trong bài báo này, stable factor rank of matrices on semirings. In this paper, we nhóm tác giả chứng minh điều kiện cần và đủ để một ma trận tùy ý prove the necessary and sufficient conditions for an arbitrary tồn tại hạng nhân tử ổn định, chỉ ra một lớp nửa vành thỏa mãn điều matrix having stable factor rank, indicate a semiring class kiện này và chứng minh một số tính chất cơ bản của hạng nhân tử satisfying this conditions and prove some basic properties of ổn định của ma trận trên nửa vành. stable factor rank of matrices on semirings. Từ khóa - Nửa vành; ma trận; hạng nhân tử; hạng nhân tử ổn Key words - Semiring; matrix; factor rank; stable factor rank; định; ma trận ổn định đầy stably full matrix 1. Đặt vấn đề vị là 0, (R,.,1) là một vị nhóm với phần tử đơn vị là 1, Hạng ổn định của ma trận trên vành đóng một vai trò phép nhân phân phối hai phía đối với phép cộng và quan trọng trong phân loại vành (xem [1], [2]), Trong [2], 0.r = r.0 = 0 với mọi r  R. P.M.Cohn đã chứng minh được rằng: Điều kiện cần và đủ Nửa vành R được gọi là phi khả đối nếu để hạng ổn định của một ma trận trên vành cho trước tồn a + b = 0  a = b = 0, a, b  R . tại là vành đó có số phần tử sinh không bị chặn hay còn gọi là vành có UGN. Xét trên nửa vành, câu hỏi đặt ra là: Với Nửa vành R được gọi là nguyên nếu a.b = 0  a = 0 lớp nửa vành nào thì tồn tại hạng nhân tử ổn định của ma hoặc b = 0, a, b  R. trận? Hơn nữa, hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa Định nghĩa 2.2 ([4]). Một nửa môđun phải trên nửa vành có những tính chất đặc trưng nào? vành R là một vị nhóm giao hoán (M, +, 0M) cùng với phép Trong khoảng ba thập niên trở lại đây, việc nghiên cứu nhân ngoài (m, r ) → mr từ M  R đến M thỏa mãn các về hạng ma trận trên nửa vành được nhiều nhà toán học điều kiện: m(rr’) = (mr)r’, (m + m’)r = mr + m’r, quan tâm và đã đưa ra được nhiều kết quả thú vị trong phân m(r + r’) = mr + mr’, m1 = m, 0Mr = 0M = m0 với mọi tích nửa vành, đặc biệt là trên nửa vành Max-plus cũng như m, m '  M và r, r '  R . Định nghĩa nửa môđun trái được một số lớp nửa vành phi khả đối khác (xem [3]). Nhằm làm phát biểu tương tự. phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về nửa vành, cũng như giải quyết phần nào các câu hỏi được nêu ra ở trên, Định nghĩa 2.3 ([5]). Cho M là một nửa môđun trên trong bài báo này, nhóm tác giả chỉ ra điều kiện cần và đủ nửa vành R, N là tập con của M. Ta nói M được sinh bởi N để tồn tại hạng nhân tử ổn định không âm của một ma trận nếu mọi phần tử của M đều biểu thị tuyến tính được qua tùy ý trên nửa vành, chỉ ra một lớp nửa vành khá rộng thỏa các phần tử của N. Ký hiệu = M. Hơn nữa, nếu N có mãn điều kiện này. Ngoài ra, cũng chứng minh được một hữu hạn phần tử thì ta nói M là nửa môđun hữu hạn sinh. số tính chất đặc trưng cơ bản của hạng nhân tử ổn định trên Định nghĩa 2.4 ([4]). Cho M, N là các nửa môđun trên nửa vành cho trước. nửa vành R, một ánh xạ f : M → N được gọi là R-đồng cấu nếu f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) , f ( xr ) = f ( x)r với mọi 2. Một số định nghĩa và kết quả liên quan x, y  M và với mọi r  R . Trong bài viết này, nhóm tác giả chỉ xét cho nửa vành có đơn vị và để thuận tiện cho việc trình bày, một ma trận Đồng cấu f được gọi là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu nếu A cấp m  n trên nửa vành R được ký hiệu Am n , nếu A là f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh. Nếu f : M → N là đẳng ma trận vuông cấp n thì ta viết An. Tập hợp các ma trận cấp cấu thì ta ký hiệu M  N . m  n trên nửa vành R thì được viết M mn ( R) . Định nghĩa 2.5 ([5]). Cho R là nửa vành, P là nửa Định nghĩa 2.1 ([4]). Nửa vành là một đại số (R,+,1,.,0) môđun trên R, P được gọi là nửa môđun xạ ảnh nếu với sao cho (R,+,0) là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn mọi R-toàn cấu  : M → N và mọi R-đồng cấu  : P → N 1 University of Finance and Accountancy (Ha Chi Cong)
54 Hà Chí Công luôn tồn tại R-đồng cấu  : P → M sao cho   =  . nửa vành R, hạng nhân tử của A là số nguyên không âm k bé nhất sao cho tồn tại các ma trận B  M m k ( R) , Nhắc lại trong [5, Lemma 4.3] rằng, cho P là một nửa môđun (phải) trên nửa vành R. Khi đó, P là nửa môđun xạ C  M k  n ( R ) và A = B.C. Ký hiệu là f(A). ảnh hữu hạn sinh khi và chỉ khi tồn tại một ma trận lũy đẳng Qui ước hạng nhân tử của ma trận không thì bằng 0. A cấp n lấy hệ số trên R sao cho P đẳng cấu với A(Rn), ở đây A(Rn) là nửa môđun con của Rn được sinh bởi các vectơ Mệnh đề 2.11 ([6]). Cho R là nửa vành, cột của ma trận A. E  M mm ( R), F  M nn ( R) là các ma trận lũy đẳng tương Định nghĩa 2.6 ([2]). Cho R là nửa vành, đương với nhau. Khi đó, f(E) = f(F). E  M mm ( R), F  M nn ( R) là các ma trận lũy đẳng. Ta Định nghĩa 2.12 ([2]). Cho An là ma trận vuông cấp nói E và F là tương đương với nhau nếu tồn tại các ma trận n  n trên nửa vành R, A được gọi là ma trận đầy nếu A  M mn ( R), B  M nm ( R) sao cho E = AB và F = BA. Ký f ( A) = n. hiệu E  F . Dưới đây là một số bất đẳng thức về hạng nhân tử của ma trận được chứng minh hoặc được suy ra từ các kết quả Mệnh đề 2.7 ([6, Mệnh đề 3.8]). Cho P và Q là các nửa trong [6] và [7]. môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên nửa vành R, P được sinh từ các vectơ cột của ma trận lũy đẳng E và Q được sinh từ Mệnh đề 2.13 ([7]). Cho R là nửa vành, các vectơ cột của ma trận lũy đẳng F. Khi đó, A  M mn (R), B  M n p (R) . Khi đó, P  Q  E  F. f ( AB)  min{ f ( A), f ( B)}. Gọi V ( R ) là tập các lớp đẳng cấu của các nửa môđun xạ Hệ quả 2.14. Trên nửa vành R cho các ma trận ảnh hữu hạn sinh trên nửa vành R. Khi đó, V(R) là một vị nhóm A  M mn ( R), P  M mm ( R), Q  M nn ( R) , với P và Q là giao hoán với phép toán cộng được định nghĩa bởi: các ma trận khả nghịch. Khi đó, [P] +[Q] = [P  Q] , [P],[Q]  V (R) f ( A) = f ( PA) = f ( AQ) = f ( PAQ) . Do mọi nửa môđun xạ ảnh hữu hạn sinh P ứng với một Mệnh đề 2.15 ([7]). Cho A và B là các ma trận cùng ma trận lũy đẳng A sao cho P đẳng cấu với A(Rn) nên để cấp m  n trên nửa vành R. Khi đó, thuận tiện cho việc trình bày các chứng minh, ta có thể xem V(R) là tập các lớp tương đương (theo quan hệ tương đương f ( A + B)  min{ f ( A), f ( B), m, n} . như trong Định nghĩa 2.6) của các ma trận lũy đẳng trên Mệnh đề 2.16 ([6]). Cho R là nửa vành, nửa vành R. Khi đó, V(R) là một vị nhóm giao hoán với A  M mn (R), B  M pn (R) . Khi đó, phép toán cộng được xác định bởi:  A [A]  [B] = [A  B] ,  [A] , [B]  V ( R) max  f ( A), f ( B)  f    f ( A) + f ( B) . B A 0 với A  B =  . Mệnh đề 2.17. Cho A, B là các ma trận tùy ý trên nửa  0 B vành R. Khi đó, Định nghĩa 2.8 ([1]). Cho M là một vị nhóm giao hoán, một phiếm hàm trên vị nhóm M là một ánh xạ g từ M đến A 0 max{ f(A), f(B)}  f    f ( A) + f ( B) . vị nhóm cộng các số thực không âm + .  0 B Phiếm hàm g được gọi là tuyến tính nếu g là đồng cấu 3. Kết quả nghiên cứu vị nhóm. g được gọi là phiếm hàm lồi nếu f ( x)  f ( x + y )  f ( x) + f ( y ), x, y  M . Để thuận tiện cho việc trình bày, ta ký hiệu ma trận A 0 Phiếm hàm g được gọi là dưới tuyến tính nếu nó lồi và   là A  B với A, B là các ma trận tùy ý trên nửa f (nx) = nf ( x), x  M , n  .  0 B vành cho trước. Ta có nhận xét sau: Cho A là ma trận tùy ý Nhắc lại trong [1] rằng, cho g là một phiếm hàm lồi trên trên nửa vành R và mọi số nguyên dương r. Khi đó, vị nhóm giao hoán M, khi đó, chính qui hóa của g được xác f ( A  I r )  f ( A) + r suy ra f ( A  I r ) − r  f ( A) . Từ kết 1 định bởi g * ( x) = lim g (nx), x  M là một phiếm hàm quả này ta thu được dãy số sau: n f ( A)  f ( A  I1 ) − 1  f ( A  I 2 ) − 2  (I) dưới tuyến tính trên M và g* ( x)  g ( x), x  M . Chú ý Định nghĩa 3.1 ([2]). Nếu dãy số (I) tồn tại giới hạn rằng, nếu g tuyến tính thì g * cũng tuyến tính. hữu hạn thì nó được gọi là hạng nhân tử ổn định của ma Định lý 2.9 ([1, Theorem 2.2]). Cho M là vị nhóm giao trận A và được ký hiệu là f ( A). hoán, p là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên M và tuyến tính trên vị nhóm con T của M. Khi đó, tồn tại một phiếm Định lý sau sẽ cho ta một điều kiện cần và đủ để một hàm tuyến tính  trên M sao cho  |T = p |T và ma trận tùy ý trên nửa vành cho trước tồn tại hạng nhân tử ổn định không âm. ( x)  p( x), x  M . Định lý 3.2. Cho R là nửa vành, điều kiện cần và đủ để Định nghĩa 2.10 ([7]). Cho A là ma trận cấp m  n trên mọi ma trận trên R tồn tại hạng nhân tử ổn định không âm
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 5.1, 2021 55 là mọi ma trận đơn vị đều là ma trận đầy. f ( I m ) = lim ( f ( I m  I r ) − r ) = lim ( f ( I m + r ) − r ) . Chứng minh. Do f ( I m + r ) = m + r nên Giả sử mọi ma trận đơn vị đều là ma trận đầy và A là một ma trận tùy ý cho trước, với mọi số nguyên dương r ta lim ( f ( I m+ r ) − r ) = lim(m + r − r ) = m. có f ( A  I r )  max{f(A),f(I r )}  f(I r ) = r suy ra Vậy f ( I m ) = m . Điều ngược lại là hiển nhiên.  f ( A  I r ) − r là giảm và f ( A  I r ) − r  0 . Vậy dãy số Mệnh đề 3.7. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma bị chặn dưới bởi 0 nên giới hạn lim  f ( A  I n ) − n tồn tại. trận đơn vị đều đầy. Khi đó, mọi ma trận vuông khả nghịch Nghĩa là f ( A) tồn tại và không âm. đều ổn định đầy. Chứng minh. Ngược lại, nếu mọi ma trận trên R đều có hạng nhân tử ổn định không âm thì chọn một ma trận A tùy ý trên R và giả Giả sử A là ma trận vuông khả nghịch cấp n. Khi đó, sử f ( A) = lim  f ( A  I n ) − n  = k . Theo định nghĩa giới với mọi số nguyên dương m, A  I m cũng là ma trận khả hạn dãy số ta có: Với mọi   (0;1) , tồn tại số nguyên dương nghịch. Nếu f ( A  I m ) = k  n + m thì tồn tại các ma trận n sao cho với mọi số nguyên dương s  n thì B( n+ m)k , Ck ( n+ m) sao cho A  I m = BC suy ra 0  f ( A  I s ) − s − k   (do dãy số  f ( A  I r ) − r giảm) suy ra k  f ( A  I s ) − s  k +  . Do f ( A  I s ) − s là số In+m = (( A  I m ) −1 ) B C suy ra f ( I n + m )  k  n + m , điều này mâu thuẫn với giả thiết nên f ( A  I m ) = n + m . Như nguyên nên f ( A  I s ) − s = k hay f ( A  I s ) = s + k (*). vậy, f ( A  I m ) − m = n, m  * suy ra Bây giờ, ta sẽ chứng minh mọi ma trận đơn vị đều là ma trận đầy. Thật vậy, với mọi số nguyên dương m, do f ( A) = lim  f ( A  I m ) − m  = n . s + m  s  n, nên theo (*) ta có: Mệnh đề 3.8. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma f ( A  Is  Im ) = f ( A  I s+m ) = k + s + m . trận đơn vị đều đầy, ma trận vuông An là ổn định đầy khi Mặt khác, và chỉ khi ma trận A  I r là ma trận đầy với mọi số f ( A  I s  Im )  f ( A  I s ) + f (I m ) = k + s + f (I m ) . nguyên dương r. Chứng minh. Vậy f ( I m ) + k + s  k + s + m suy ra f ( I m )  m , do đó, Giả sử ma trận vuông A cấp n là ổn định đầy và với mọi f (Im ) = m . số nguyên dương r. Khi đó, f ( A) = n suy ra Mệnh đề sau cho ta một ví dụ về sự tồn tại của lớp các n  f ( A)  f ( A  I r ) − r  n hay f ( A  Ir ) = n + r . nửa vành mà trên đó mọi ma trận đơn vị đều là ma trận đầy. Ngược lại, nếu ma trận A  I r là ma trận đầy với mọi số Mệnh đề 3.3. Cho R là nửa vành nguyên phi khả đối, khi đó mọi ma trận đơn vị trên R đều là ma trận đầy. nguyên dương r thì Chứng minh. f ( A  I r ) = n + r  f ( A  I r ) − r = n, r  * Với mọi số nguyên dương m, do ma trận (1) là ma trận suy ra n = lim  f ( A  I r ) − r  = f ( A) .□ lũy đẳng nên theo [6, Định lý 3.3] ta có f ( I m ) = mf (1) . Mệnh đề 3.9. Cho R là nửa vành thỏa mãn điều kiện: Mặt khác, f (1) = 1 nên f ( I m ) = m .□ Với mọi ma trận vuông An, Bn, nếu AB = I n thì BA = I n . Tiếp theo, nhóm tác giả sẽ chứng minh một số tính chất Khi đó, mọi ma trận khác không đều có hạng nhân tử ổn đặc trưng của hạng nhân tử ổn định của ma trận trên lớp định dương. các nửa vành được đề cập trong Định lý 3.2. Chứng minh. Định nghĩa 3.4 ([2]). Cho A là ma trận vuông cấp n trên Giả sử M là một ma trận khác không có cấp m  n . nửa vành R, A được gọi là ổn định đầy nếu A có hạng nhân Trước hết, ta chứng minh M có hạng nhân tử ổn định. Thật tử ổn định và f ( A) = n . vậy, giả sử I r là một ma trận đơn vị cấp r cho trước và Nhận xét 3.5. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma f ( I r ) = k  r . Khi đó, tồn tại các ma trận Cr  k , Dk r sao trận đơn vị đều là ma trận đầy. Khi đó, cho I r = CD . i) f ( A)  f ( A), A  M ( R).  C1  ii) Mọi ma trận vuông ổn định đầy đều là ma trận đầy. Đặt C =  2 k k  ; D = ( Dk1k Dk2( r − k ) ) suy ra C  Mệnh đề 3.6. Cho R là nửa vành, khi đó, mọi ma trận  ( r − k ) k  đơn vị đều là ma trận đầy khi và chỉ khi chúng đều là ma I 0   C1 D1 C 1 D 2  trận ổn định đầy. Ir =  k = . Như vậy, 0 I r − k   C 2 D1 C 2 D 2  Chứng minh. I k = C1D1 ; I r −k = C 2 D2 ; C 2 D1 = 0; C1D2 = 0 . Theo giả thiết Nếu mọi ma trận đơn vị trên R đều là ma trận đầy thì với mọi số nguyên dương m ta có: ta có I k = D1C1 suy ra I r −k = C 2 I k D2 = (C 2 D1 )(C1D2 ) = 0,
56 Hà Chí Công điều này vô lý. Vậy f ( I r ) = r suy ra ma trận M luôn có Mệnh đề 3.12. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma hạng nhân tử ổn định không âm. trận đơn vị đều đầy, A và B là các ma trận cùng cấp m  n. Khi đó, f ( A + B)  min{ f ( A), f ( B), m, n} . Giả sử f ( M ) = 0 = lim  f ( M  I r ) − r  , do Chứng minh.  f (M  I r ) − r là dãy số nguyên nên theo định nghĩa Rõ ràng f ( A + B)  min{m, n}. Với mọi số nguyên giới hạn của dãy số, tồn tại số tự nhiên r đủ lớn để f ( M  I r ) = r , suy ra tồn tại các ma trận: dương r ta có ( A + B)  I r = ( A  I r ) + ( B  0) suy ra f ( ( A + B)  I r )  f ( A  I r ) . Do đó,  E1  E( m + r )r =  m2r  ; Fr ( n + r ) = ( Fr1n Fr2r )  Er  r  f ( A + B) = lim  f ( ( A + B)  I r ) − r   E1 F 1 E1 F 2   lim  f ( A  I r ) − r  = f ( A). sao cho M  I r = EF =  2 1 . E F E2F 2  Chứng minh tương tự ta được f ( A + B)  f ( B) . Vậy Khi đó, E1F1 = M ; E 2 F 2 = I r ; E1F 2 = 0; E 2 F1 = 0 . f ( A + B)  min{ f ( A), f ( B), m, n}. □ Theo giả thiết, ta có suy ra Ir = F 2 E 2 Mệnh đề 3.13. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma M = E I r F = (E F )(E F ) = 0 , điều này mâu thuẫn với 1 1 1 2 2 1 trận đơn vị đều đầy, A và B là hai ma trận lũy đẳng, nếu A  B thì f ( A) = f ( B) . giả thiết M là ma trận khác không. Vậy f (M )  0 .□ Chứng minh. Mệnh đề 3.10. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma trận đơn vị đều đầy. Khi đó, với mọi ma trận A, B ta có: Do A  B nên A  I r  B  I r , r  * . theo Mệnh đề A 0 2.11 ta có f ( A  I r ) = f (B  I r ), r  * hay max{ f (A), f (B)}  f    f ( A) + f ( B) .  0 B f ( A  I r ) − r = f (B  I r ) − r, r  * (1). Do R là nửa Chứng minh. vành mà trên đó mọi ma trận đơn vị đều đầy nên f ( A) và Ta có f ( A  B  I r ) − r  f ( A  I r ) − r , r  * , lấy f ( B) đều tồn tại. Do đó, lấy giới hạn hai vế của (1) khi r giới hạn hai vế khi r dần ra vô cùng ta được bất đẳng thức tiến ra vô cùng ta được f ( A) = f ( B) . □ f ( A  B )  f ( A) . Chứng minh tương tự ta được: Kết quả sau đây cho ta một đặc trưng khác của hạng f ( A  B )  f ( B) , nhân tử ổn định, nhờ vào sự thác triển của phiếm hàm tuyến tính trên vị nhóm V(R) các lớp tương đương của các suy ra, max{ f (A), f (B)}  f ( A  B ) (1). ma trận lũy đẳng trên nửa vành R. Ta biết rằng, trên nửa Mặt khác, vành R mà mọi ma trận đơn vị đều đầy, hai ma trận lũy đẳng tương đương nhau thì hạng nhân tử ổn định của f ( A  B  I 2r ) − 2r  f ( A  I r ) − r + f ( B  I r ) − r , r  * . chúng bằng nhau nên ánh xạ  : V (R) → + được xác định Lấy giới hạn hai vế khi r dần ra vô cùng ta được bởi ([A] ) = f ( A) là một phiếm hàm trên vị nhóm V(R) f ( A  B )  f ( A) + f ( B) (2) (với [A] là lớp tương đương của ma trận lũy đẳng A). Để Từ (1) và (2) suy ra: thuận tiện cho việc trình bày, ta gọi  là phiếm hàm hạng A 0 nhân tử ổn định trên V(R) và cũng viết là f . max{ f (A), f (B)}  f    f ( A) + f ( B). □  0 B Định lý 3.14. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma Mệnh đề 3.11. Cho R là nửa vành mà trên đó mọi ma trận đơn vị đều đầy. Khi đó, f ( I n ) = n, n  * khi và chỉ trận đơn vị đều đầy, A  M mn (R), B  M n p (R) . Khi đó, khi tồn tại một phiếm hàm tuyến tính  trên vị nhóm V(R) f ( AB)  min{ f ( A), f ( B)}. sao cho ([A] )  f ([A] ),  [A] V(R) và ([(1)] ) = 1 . Chứng minh. Chứng minh. Với mọi r  * , AB  I r = ( A  I r )( B  I r ) suy ra Nếu tồn tại một phiếm hàm tuyến tính  trên vị nhóm  f ( AB  I r )  f ( A  I r )  f ( AB  I r ) − r  f ( A  I r ) − r V(R) sao cho ([A] )  f ([A] ),  [A] V(R) và   .  f ( AB  I r )  f ( B  I r )  f ( AB  I r ) − r  f ( B  I r ) − r ([(1)] ) = 1 . Khi đó, với mọi số nguyên dương m ta có Lấy giới hạn hai vế của các bất đẳng thức trên khi r tiến m = ([I m ] )  f ([I m ] ) = f ( I m )  m suy ra f ( I m ) = m .  f ( AB)  f ( A) Ngược lại, giả sử f ( I n ) = n, n  * . Theo Mệnh đề ra vô cùng ta đươc,  .  f ( AB)  f ( B) 3.10 ta có f là phiếm hàm lồi trên vị nhóm V(R), do đó, * Vậy f ( AB)  min{ f ( A), f ( B)}. □ chính quy hóa của nó f là một phiếm hàm dưới tuyến tính trên V(R). Đặt U = [(1)] là vị nhóm con của V(R)
ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 5.1, 2021 57 được sinh bởi phần tử [(1)]. Với mọi phần tử n[(1)], m[(1)] nửa vành khá rộng thỏa mãn điều kiện này, thể hiện ở của U ta có: Mệnh đề 3.3. f (m[(1)] +n[(1)] ) = f ([I m ] +[I n ] ) = f ([I m+n ] ) + Chứng minh một số tính chất đặc trưng về hạng nhân tử ổn định của ma trận trên nửa vành, được thể hiện qua = f ( I m + n ) = m + n = f (m[1] ) + f (n[1] ). các mệnh đề: Mệnh đề 3.6, Mệnh đề 3.7, Mệnh đề 3.8, Mệnh đề 3.9, Mệnh đề 3.10, Mệnh đề 3.11, Mệnh đề 3.12, Vậy f là phiếm hàm tuyến tính trên vị nhóm con U suy Mệnh đề 3.13 và Định lý 3.14. * ra f cũng là phiếm hàm tuyến tính trên U. Áp dụng Định TÀI LIỆU THAM KHẢO lý 2.9, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  trên V(R) thỏa mãn: * [1] P. M. Cohn, “Rank functions on rings”, J. Algebra., vol. 133, no. 3,  |U = f |U 1990, pp. 373–385. [2] P. M. Cohn, Free ideal rings and localization in general rings. * và ([A] )  f ([A] )  f ([A] ),  [A]  V(R). Cambridge university press., 2006. [3] M. Akian, S. Gaubert and A. Guterman, “Linear independence over Mặt khác, do [(1)]  U nên tropical semirings and beyond”, Trop. idempotent Math. Contemp. Math., vol. 495, 2009, pp. 1–38. * 1 ([(1)] ) = f ([(1)]) = lim f (n[(1)] ) [4] J. S. Golan, Semirings and their Applications. Kluwer Academic n Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999. [5] Y. Katsov, T. G. Nam, and J. Zumbrägel, “On congruence- 1 1 1 = lim f ([I n ] ) = lim f ( I n ) = lim n = 1 . □ semisimple semirings and the K0-group characterization of ultramatricial algebras over semifields”, J. Algebra., vol. 508(2), n n n 2018, pp. 157–195. 4. Kết luận [6] H. C. Công, “Hạng nhân tử của ma trận lũy đẳng trên nửa vành nguyên phi khả đối”, Tạp chí khoa học Tài chính Kế toán, vol. 14, Bài báo đã đạt được một số kết quả sau đây: 2018, pp. 98–102. + Chứng minh được điều kiện cần và đủ của nửa vành [7] L. R. B. Beasley and A. E. Guterman, “Rank inequalities over semirings”, J. Korean Math. Soc., vol. 42, no. 2, 2005, pp. 223–241. mà trên đó mọi ma trận đều có hạng nhân tử ổn định không âm, được thể hiện ở Định lý 3.2, và chỉ ra một lớp