Hình học phẳng và các bài toán (Tập 2): Phần 2

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:136

Thêm vào BST

Báo xấu

169
lượt xem 51
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 2 Tài liệu Các bài toán về hình học phẳng (Tập 2) trình bày các nội dung: Mạng lưới nguyên (11 bài); cắt và chia (41 bài); phủ (14 bài); hệ điểm, đoạn thẳng và đường tròn (12 bài); các vấn dề khác, quy nạp, trương hình, điểm bất biến, phản ví dụ (13 bài); phép nghịch đảo (56 bài); các thiết bị điện cômíc, phép biến đổi tuyến tính và phép hiến đổi xạ ảnh (61 bài).

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hình học phẳng và các bài toán (Tập 2): Phần 2

Chương 23 MẠNG LƯỚI NGUYÊN CÁC K I Ế N T h ứ c Cơ BÀN X é ! trên mặt phảng hộ thống các đường ì hằng cho bởi các phương trình X = m và y = n, trong đó m và n là các số nguyên. Các đường thẳng đó tạo t h à n h một mạng lưới các hình vuông hay còn gọi là mạng lưới nguyên. Các đinh của các hình vuông đó, tức là các đ i ể m có các tọa độ nguyên (hay đ i ế m nguyên;, được gọi là các n ú t của mạng lưới nguyên. §1. Đa giác với các đỉnh tại các điểm nguyên. 23.1. T ồ n t ạ i hay không một tam giác đ ề u có các đinh t ạ i các điểm nguyên ? 23.2. Chứng minh rằng khi n * 4 k h ô n g thế đặt một n-giác đêu sao cho các đ i n h của nó nằm ở các đ i ể m nguyên. 23.3. T ồ n t ạ i hay không một đường gấp k h ú c k h é p kín với số mệt l ẻ có đ ộ dài bằng nhau, mà tất cả các đinh của nó nằm ở các đ i ể m nguyên ? 23.4. Có t h ể đặt một tam giác vuông với các cạnh nguyên sao cho các đinh của nó nằm ở các đ i ế m nguyên, n h ư n g không có một cạnh nào của nó nằm trên các (luông của mạng lưới được hay.không ? 23.5. Các dinh của một đa giác (không nhát thiết phải lồi) nằm ở các điểm nguyên. Bên trong nó có n điểm nguyên, còn trên biên m điếm nguyên. Chứng minh rằng diện tích của nó bằng n + — - Ì (công thức Pic). 2 23.6. Các đ i n h cùa A A B C nằm ở các đ i ể m nguyên, sao cho trên các cạnh của nó k h ô n g có đ i ể m nguyên nào k h á c , còn bên trong nó có dũng một điểm nguyên o. Chứng minh rằng o là trụng tâm của A A B C . 185
§2. Các bài toán khác. 23.7. Biệt rằng đường thắng đi qua hai điếm nguyên. Chứng minh rằng n ó đi qua vô số các đ i ể m nguyên. 23.8. T r ê n tờ giấy can) vổ hạn có N ó bị tô đ e n . Chứng minh r ằ n g t ừ tờ giấy đó có t h ế cắt được một số hữu hạn các hình vuông sao cho thỏa m ã n hai đ i ê u k i ệ n : Ì) Tất cọ các ỏ đ e n nằm trong các hình vuông đó ; 2) Trong mỗi hình vuông K diện tích các ô đen chiếm không ít hơn 0,2 và nhiều hon 0,8 diện lích của K. 23.9. Gốc tọa độ là tàm đ ố i xứng của một hình lõi d i ệ n lớn hơn 4. Chứng minh rằng hình đó chứa ít nhất một điếm có các tọa độ nguyên khác gốc tọa đ ộ ( Đ ị n h lí Mincôpski). 23.10. T ạ i tái cọ các điểm nguyên, trừ một điểm mà t ạ i đỏ có người t h ự săn, đêu có mọc các cây có bán kính thân hằng r. Chứng minh rằng người t h ợ săn không thế nhìn thấy con t h ỏ nằm cách anh la một khoọng lớn hơn - . ' r 23.11. Trong m ộ t cặp ve VU) cho p h é p thay m ộ t vecto bằng tổng của chúng. Chứng minh rằng sau một số lân tha y đ ổ i như vậy từ các vecto với tọa đ ộ (0,1) và (Ì.0) có thổ nhận được mọi cặp các vecto OA và OB với các tọa đ ộ nguyên không âm có t í n h chất là S A O B = - - 2 L Ờ I GIẢI 23.1. G i ọ sử tồn tại một tam giác đêu ABC có các đinh tại các điếm nguyên, ta cân phọi đua đến mâu thuẫn. Kẻ qua các dinh A, B và c các đưởnt! thẳng song song với các cạnh cùa các hình vuông của mạng lưới. Các đinh của lam giác có thể phân bố trên các đường thẳng đó theo 2 cách (h.134), nhưng cách thứ hai không thổ xọy ra, vì k h i dó A C B > 90 . Cách thứ nhất : Bởi vì a + Ị3 = 120°, nên Ig60° = - i g ( a + ậ) = _ _ tga + tg/? R õ r à n ^ g t ữ v à ] à c á c s ố h ử u t i N ê n ^ _ t g 6 0 o c ũ n g l à Q S ỉ - tga tg/3 hữu t i . Ta được mâu thuần. 186
Hình ló Cách thứ hai: Các %m giác vuông giáp với các cạnh của À A B C có các cạnh góc vuông nguyên, cho nên S A B C là một số niĩuvên hav một nửa của số nguyên. Nhưng V3 7 2 S A B C = - — a , trong dó a là độ dài cạnh của tam giác đêu A B C . R õ ràng a là một 4 . . Vĩ 2 ' . - . . . ..... so nguyên, tức là S.\BC =—— a là một so vô t i . Ta được mâu thuân. 4 23.2. V ớ i n = 3 và n = 6 bài toán được suy ra tù bài toán trên, do đó từ đây ta sẽ coi n * 3, 4, 6. Giả sử tôn t ạ i một n-giác đều có các đinh tại các điểm nguyên (n * 3, 4, 6). Trong sỗ các n-giác như vậy có t h ể chọn ra được n-giác có độ dài cạnh nhỏ nhất (để chứng minh ta chi cữn có nhận xét rằng, nêu a là độ dài một đoạn thẳnG, có các 2 đâu tại các điểm nguyên, thì a = V j ^ + m trong đó m và n là các sô nguyên tức là chi có một sỗ hữu hạn các độ dài đoạn thẳng khác nhau với các đữu tại các diêm nguyên, nhỏ han một độ dài cho trước). ^ " , —* Giả - » sử Bị là- » ảnh của điểm Ai qua 1 Phép 1 1 tinh t i ễ n theo vecto A n Ì A, + 2 , tức là A ^ i = Ai+1 A 1 + 2 . K h i đó các đ i ể m B i , ... , Bn cũ ng là các diêm nguyên và là các đinh của n-giác đêu B i ... Bn- R õ ràng cạnh cùa đa giác đêu B i ... Bn nhỏ hơn cạnh cùa đa giác đ ê u A i ... An ( k h i n = 3 ta được tam giác có cạnh lớn hơn, khi n = 4 các đinh đơn giản là đ ổ i chỗ cho nhau, còn k h i n = 6 tát cả các đình Bi đêu rơi vào t â m ) . K h i n = 5 điều đó được thây rõ trên h.135, còn khi n > 7 - xem h.136. Ta dược mâu thuẫn với cách chọn n - giác A i ... An. 187
Hình Ì35 Hình 136 23.3. G i ả sử tôn lại đường gấp khúc khép kín A i ... Am với số l ẻ các mắt và có tất cả các đinh nằm tại các đ i ể m nguyên. G i ả sử ai và bi là các tọa đ ộ các hình c h i ể u của vecto A i Ai+1 lên các trục nằm ngang và thẳng địng. Kí h i ệ u đ ộ dài m ắ t của đ ư ờ n g gấp k h ú c là c. K h i đó c = ai + bi ' do đó c khi chia cho 4 cho số d ư là 0,1 hoặc 2. N ế u c chia hết cho 4, thì ai và bi chia hét cho 4. Do đó qua p h é p vị tự tâm A i t i số - đường gấp k h ú c đang xét sẽ biên t h à n h đường gấp k h ú c có đ ộ dài 2 mắt nhỏ hom và các đinh của nó vẫn nằm t ạ i các đ i ế m nguyên. Sau một số lần thay đ ổ i n h ư vậy ta sẽ (ìtrực một đường gấp khúc có c không chia hết cho 4, tịc cho số 2 dư Ì hoặc 2. X é t từng t r ư ờ n g hợp một v ớ i lưu ý rằng ai + a2 + ... + am = b i + +b2 + ... + b = 0. m 1. N ế u c chia cho 4 dư 2, thì khi đó ai và bi đêu l ẻ , do đó số ai + ... + am l ẻ và như vậy không thể hằng 0. 2. N ế u c chia cho 4 dư Ì , thì khi đó một trong hai sỏ ai và bi là l ẻ , còn số kia là chẵn, do đó sỗ ai + ... + am + b i + ... + bui l ẻ và không t h ể bằng 0. 23.4. Có t h ể . Tam giác n h ư v ậ y xem t r ê n h ì n h 137. Đ ộ dài các cạnh của nó ba n g a = VĩẽF+Tf-20, b = r 2 V 7 "+2?~=25, c = Vg~Ị~iỉ~= 15. R õ ràng 2 2 2 a + c = b 188
23.5. Cho tương ứng mỗi đa giác N có các đinh tại các điểm nguyên với số f(N) = n + -— - Ì . Giả sử đa giác 2 M dược chia ra thanh các đa giác M i và M2 có cát đinh tại các đ i ể m nguyên. Ta chứĩi£ minh rằng nêu công thức Pic đúng cho hai trong số các đa giác M, Mi và M : , thì nó cũng đúng cho đ*a giác thứ ba. Dê được như vậy ta chi cần chứng minh rằng Hỉnh ì37 f('M) = f(Mi) + f(M2). Các điểm nguyên nằm trên đườnií chia nhưnti không là các đâu mút của nó cho phân bans Ì trong f(M), và — trong f(Mi) và ((M2). Moi điểm nguyên là dâu mút cùa ưườniỉ chia cho các phần bằng nhau và bằng 0,5 trong cả f ( M ) . f(Mi) và IỴM2), do đó phân của các điếm nguyên đâu mút tronn f(M) ít hơn phân trong ('(Mi) + f(M2) lượng bằng 1. Do trong f(M) từ lát cả các phân của các điểm n Huyên trừ đi Ì, còn trong ('(Mi) + f(M2) trừ đi 2, nen f(M) = f(Mi) + t'(M2). Hình nu 189
Bây giờ ta chứng minh công thức Pic cho một tam giác bất kì. Nếu M là h ì n h chú nhật với các cạnh dài p và q hướng theo các đường của nụ ng lưới thì f ( M ) = ( p - l ) ( q - l ) + ÍE±Wa±12 - ^zimzll - Ị = p q 2 tức là đ ố i với M công thức Pic đúng. Chia hình chữ nhật M bằng một đường chéo ra thành hai tam giác M i và M 2 va sửdụng f ( M ) = f ( M i ) + f ( M 2 ) và f ( M i ) = f ( M 2 ) dỗ dàng chứng minh được tính đúng đỏn của công thức Pic cho mọi tam giác vuông với các cạnh góc vuông hướnẹ theo các đường của mạng lưới. K h i cỏt một số tam giác như vậy khỏi hình chữ nhật, ta có thổ nhận được m ọ i tam giác (h. 138). Đế két thúc chứng minh công thức Pic ta còn phải lưu ý rằng m ọ i đa giác đều có thể chia bằng các đường chéo ra t h à n h các tam giác (xem bài 21.21). ì 23.6. Theo công thức Pic ta đưục S A O B = S B O C = S c p A = —• T ừ đó suy ra o là 2 trụng lâm của A A B C . Thật vậy, bời vì S.AOB = S A O C , nên các đưừim cao hạ từ các diem B và c xuống đường thẳng A O bằng nhau. Do đó đ i ế m O c ũ n i i nằm trên dường truniỉ luyến A A i . Tương tự điềm o cũng nằm trên các dường trunc tuyến B B i và CCi. 23.7. Giả sử A và B là các đ i ể m nguyên. K h i đó các đ i ể m Bn mà ABn = n. A B cũng là các điểm nguyên. n 23.ri. Lấy một hình vuông nào dó dù lớn với cạnh bằng 2 sao cho tát cả các ô đen đêu rùm trong nó và chiếm ít hơn — diện tích của hình vuông. Ta chia hình 5 vuông dỏ ra làm 4 hình vuôriL' bằng nhau. M ỗ i hình vuông trong số đó đêu bị tỏ ít 4 Ì hơn - d i ệ n tích. Những hình vuông nào troniỉ số dó bị tô nhiêu hơn - diện tích thi 5 5 giữ l ạ i , còn các hình vuông khác lại t i ẽ p tục chia ra làm 4 như trên. Các hình vuông ' Ì Ì 3 2 X 2 nhận dược cuối cụng sẽ bị tô hoặc - .hoặc - , hoặc - diện lích, hoặc nói chung 4 2 4 " không bị tô. *• Từ tờ giẫy có thể cỏt ra các hình vuông có chứa các ờ đon theo cách trên. 190
23.9, Xét tất cà các hình lòi nhận được từ hình đã cho bằniỊ các p h é p tịnh t i ễ n theo các vecto có cả hai tọa độ đêu chẵn. Ta c h ú n g minh rằng có ít nhát hai trong số các hình đó cắt nhau. H ì n h ban đâu có thố được giới hạn trong hình tròn tâm tại gốc tứa ÚC) bán kính R, với R nguyên. Lây các hình trong sỗ đan*: xét có các tọa 2 độ của tâm là các sò không âm l ớ n hơn 2n. Có tất cả (n + 1 ) hình như vậy và tất cả chúng đêu nằm trong một hình vuông có cạnh bằng 2(n + R). Nêu như chúng k h ô n ? cắt nhau, thì với mọi n sẽ có bat đang thức (n + 1) s < 4(n + R) trong dó s là điện tích của hình đã cho. N h ư n ? bởi vì s > 4, nen có thể chọn n sao cho có n + R ÍT bất đẳng thức < V/ —. n + Ì V 4 G i ả sử bây giờ các hình tám O i và Ơ2 có đ i ề m chung A (h. 139).Ta chứng minh rằng khi đó trung điếm M của đoạn thẳng O1O2 sè ihuộc cả hai hình (rõ ràng diêm M có các tọa đ ộ nguyên). G i ả sử O i B = O..A Bởi vì hình đã cho có tâm (lối xứng, nên đ i ể m o thuộc hình tròn tâm O i . H ì n h đó l ồ i và có các điểm A và B thuộc nó do đó trung điểm của đoạn A B cũnc thuộc nó. R õ ràng trung điểm của đoạn thẳng A B t r ù n g với trung đ i ể m của đoạn thẳng O1O2. Hình 139 Hình 140 23.10. G i á sử người t h ợ săn đứng ở điềm o, còn con t h ỏ tại điểm A. G ọ i A i là điểm đói xứng của A qua o. Xét hình gôm tất cả các điếm có khoảng cách l ừ đó tới đường thắng A A i không lớn hơn r (h.140). Ta chi cân chứng minh rang í> chứa ít nhất một đ i ề m nguyên (nêu đ i ể m nguyên rơi vào phàn gạch chéo, thì điểm A thuộc t h â n cây). 191
2 D i ệ n tích của *f> bâng 4rh + Ttr , trong đỏ h là khoảng cách từ con thỏ đen Ì _ 2 n e ư ờ i thợ săn. Do đó nêu h > thì 4rh +71 ĩ > 4rh > 4. Theo định lí M i n - c ô p - s k i r hình o phải chứa một điểm nguyên (xem bài trên). 2 3 . 1 1 . Giả sứ O A và OB là các vecto v ớ i các tọa đ ộ nguyên k h ô n c â m và Ị -* -* -* S A O B = - . Nếu vecto A B có các tọa đ ộ không âm, thi cặp O A và OB có thế nhận được từ cặp OA và A B ^ đ õ n g thời tổng các tọa độ của các vecto O A và A B nhỏ hơn các vecto O A và OB. Bây giờ ta chứng minh rẫng nếu không phải tát cá các tọa đ ộ cùa của các vecto O A và OB nhỏ hơn 2, thì hoặc vecto A B , hoặc vecto B A có các tọa độ không âm. G i ả sử ngược lại, đổ đi đ ế n mâu thuẫn ta chi cân ... Ì , , •+ . . chứng minh rang S A O B > - • Không mat lính tong quái, giả sủOB có các tọa độ 2 (bi, b2) và h i > 2. Xét điếm B i , trong đ ó O B i = AB và Bi nẫm ở gộc phân lư thứ tư (h. 141). G i ả sử đoạn thẳng BBi cắt trục h o à n h t ạ i đ i ế m p. B ở i vì tọa đ ộ thứ nhai của vecto OBi k h ô n n nhỏ hơn Ì, còn lụa độ t h ứ n h á t của vecto OB lớn hơn Ì, nên OP> 1. Dường cao hạ từ đ i ế m B i A xuống dường thẳng OP không nhỏ Ì / 8 hon Ì, do dó S B I O P > . Suy ra / y y AOB °BiOB ^BiOP 0 / X. Ta đã chứng minh dược rẫng từ một cặp vecto bất kì có the quay vê í cặp vecto có các tọa đ ộ không lớn hơn 1. R õ ràng từ cặp c á c v c c t o (0,1) và (1.0) có thể nhận dược cả cặp Hình 141 (0,1) và (1,1), lẫn cặp (1,0) và (1,1). 192
Chương 24 C Ắ T VÀ C H I A C Á C K I Ế N THỨC C ơ BẢN L. Trong tất cả các bài tập ờ chương này la chi xét đ ế n các đường cắt thẳng. 2. Hai hình được gọi là đẳng hợp, nêu một trong hai h ì n h đó có t h ế đuợc cắt ra t h à n h các phần và từ đó g h é p l ạ i được hình thứ hai (dễ thấy rớng k h i đó hình t h ứ hai cũng có thổ được cắt ra t h à n h các p h â n và từ đó g h é p l ạ i t h à n h h ì n h 'thứ n h á t ) . R õ ràng hai hình đẳng hợp thì tương đương. Đ ố i với các đa giác, cũng có điều ngược l ạ i , tức là hai đa giác tuông đương thì đớng hợp (xem bài 24.7.Ò). § 1 . Đẳng hợp. - , 24.1. Hãy cắt m ộ i tam giác bất kì ra t h à n h ba phân và ghép l ạ i t h à n h hình chữ nhật. 24.2. Hãy cắt m ộ i tam giác bất kì ra t h à n h các phan mà từ đó có thế g h é p l ạ i t h à n h một tam giác đ ổ i xứng với tam giác ban đầu qua một đuửng thẳng nào đó (không cho p h é p lật các phần đó). 24.3. Hãy cắt hai hình vuông bẵt kì ra t h à n h các p h â n và từ đó g h é p l ạ i t h à n h một hình vuông. 24.4. Hãy cắt một tam giác đêu bớng 6 dường thẳng ra t h à n h các p h â n và từ đó ghép l ạ i t h à n h 7 tam giác đêu bớng nhau. 24.5. Cho hai hình bình h à n h có diện tích bớng nhau và cỏ một đáy chung. Chứng minh rớng có thể cắt h ì n h bình h à n h t h ứ nhất ra t h à n h các phần và từ đó ghép lại t h à n h hình bình h à n h t h ứ hai. 24.6. Chứng minh rớng m ọ i h ì n h chữ nhật đêu có thè được cắt ra t h à n h các phần và từ đó g h é p l ạ i t h à n h h ì n h chữ nhật có cạnh 1. 24.7. a) Chứng minh rớng m ọ i đa giác đêu có t h ể được cắt ra t h à n h các phần và từ đó g h é p l ạ i t h à n h hình chữ nhật có cạnh 1. 13-BTĨ3, 193
b) Cho hai đa giác có d i ệ n tích bằng nhau. Chứng minh rằng có t h ể cắt đa giác t h ứ nhát ra t h à n h các phần và từ đó ghép l ạ i t h à n h đa giác t h ứ hai. 24.8. Hãy cắt hình ở h. Ỉ42 ra t h à n h hai phân và g h é p l ạ i t h à n h h ì n h vuông. 24.9. Hãy cắt h ì n h lục giác đêu ra t h à n h 5 phân và từ đó g h é p t h à n h h ì n h vuông, 24.10. Hãy cắt h ì n h vuông ra t h à n h 6 phần và từ dó g h é p t h à n h 3 h ì n h vuông bằng nhau. c P §2. Cắt thành các phần có các tính chất dặc biệt. 24.11. CÓ t h ế cắt một tam giác b k h ô n g cân n à o đó ra t h à n h hai tam » • giác bằng nhau được hay k h ô n g ? 24.12. Hãy cắt h ì n h cho ở h 143 ra t h à n h 4 p h à n hàng nhau. Ì I c 24.13. V ớ i những n nào thì có the cắt hình vuông ra t h à n h hai n-giác Hình 143 , bằng nhau. 194
24.14. Có thế cắt hình vuông ra t h à n h 9 tam giác có d i ệ n tích bằng nhau sao cho tát cá các đinh của các tam giác đó nằm trên hai cạnh đ ố i nhau của hình vuông đuợc hay không ? 24.15. Hãy cắt một tam giác vuông cân ra t h à n h các tam giác đồng dạng không bằng nhau. 24.16. T0n tại hay không một tam giác có thể được cắt ra : a) t h à n h 3; b) t h à n h 5 tam giác như nhau đông dạng v ớ i tam giác ban đầu ? 24.17. Chứng minh rằng nếu tứ giác lõi A B C D có t h ế cắt ra được t h à n h hai tứ giác đồng dạng với nhau, thì A B C D là hình thang, hay hình bình h à n h . 24.18. Chứng m i n h r ằ n g hai t í n h chất sau của đa g i á c lõi F t ư ơ n g đương : Ì) F có tâm đ ố i xứng ; 2) F có t h ể cắt ra t h à n h các hình bình h à n h . 24.19. Chứng minh rằng nếu một đa giác l ồ i có thể cắt ra được t h à n h các đa giác lôi có tâm đ ỗ i xứng, thì nó cũng có tâm đ ố i xứng. 24.20. Chứng minh rằng m ọ i 2n-giác đêu đêu có thế cắt ra được t h à n h các hình thoi. 24.21. Hãy cắt một tam giác tù bất kì ra t h à n h 7 tam giác nhọn. 24.22. Hãy cắt hình vuông ra t h à n h các tam giác nhọn. 24.23. Hãy cắt một tam giác k h ô n g cân ra t h à n h 7 tam giác cân, trong đó có 3 tam giác bằng nhau. ) § 3 . Sậ m ả n h k h i cắt. 24.24. M ộ t thanh sôcôla hình chữ nhật được chia ra bởi những rãnh nhỏ ra t h à n h nin hình chữ nhật nhỏ. Cần phải bẻ thanh sôcola bao nhiêu làn để bẻ nó ra t h à n h các hình chữ nhật nhỏ ? ( M ỗ i lăn một mảnh nhận được trước đó được bẻ ra làm đôi theo một rãnh nhỏ). 24.25. Cớ t h ể bằng hai dường thẳng cắt một tứ giác không lôi ra t h à n h 6 phần được không ? 24.26. Chứng minh rằng nêu một n-giác được cắt một cách bất kì ra t h à n h k tam giác, thì k > n— 2. 24.27. T r ê n một tờ giẫy h ì n h vuông vẽ n hình chứ nhật có các cạnh song song v ớ i các cạnh của tờ giãy. K h ô n g có hai hình chữ nhật nào trong số đó có đ i ể m trong chung. Chứng minh rằng nếu cắt các hình chữ nhật đó ra, thì số mảnh r ờ i ra từ phân còn l ạ i của tờ giẫy k h ô n g lớn hơn n + 1. 195'
; í 24.28. T ờ giẫy h ì n h vuông được cắt b ở i một đường thẳng ra t h à n h hai phần. M ộ t trong số các phần nhận được l ạ i được cắt ra t h à n h hai phần, và cứ t h ể n h i ê u lần. H ỏ i số lần cắt ít nhất là bao n h i ê u đế trong số các phần nhận được có 100 h ì n h đa giác 20 cạnh ? 24.29. Chứng minh rằng một đa giác 22 cạnh lôi k h ô n g t h ể cắt bằng các đường c h é o ra t h à n h 7 ngũ giác. §4. Tính chất của các mảnh n h â n đuực khi cắt. 24.30. M ỗ t phang đuợc chia ra t h à n h các phần bởi 2n đường thẳng (n > 1), trong số đó k h ô n g có hai đường thẳng nào song song và k h ô n g có 3 đường thẳng nào đồng quy. Chứng minh rằng trong số các phần đó có k h ô n g quá 2n — Ì góc. 24.31. M ỗ t phảng được chia ra t h à n h các phần bởi 4 đường thẳng, trong số đó k h ô n g có hai đường thẳng nào song song và k h ô n g có 3 đường thẳng n à o đồng quy. Chứng minh rằng trong số các p h à n đ ó có một tứ giác. 24.32. Trong n-giác l ồ i ké tất cả các đường chéo. C h ú n g chia đa giác ra t h à n h một số đa giác. Chứng minh rằng trong m ỗ i đa giác đó có k h ô n g quá n cạnh. 24.33. T r ê n mỗt phẳng cho n > 3 đường thẳng, trong số đó k h ô n g có hai đường thẳng n à o song song và k h ô n g có 3 đường thẳng nào đ ô n g quy. Chứng minh rằng trong số các phần của mỗt phẳng được chia ra bởi các đường (hắng đ ó có không ít hơn - (2n - 2) tam giác. 3 §5. Chia hình ra thành các đoạn thẳng. 24.34. Chứng minh rằng tứ giác (gôm phần trong và phần b i ê n ) có thế được chia ra t h à n h các đoạn thẳng, tức là biếu d i ễ n dưới dạng hợp của các đoạn thẳng k h ô n g cắt nhau. 24.35. Chứng minh rằng có t h ể chia tam giác ra t h à n h các đoạn thẳng. 24.36. Chứng minh rằng có thế chia h ì n h tròn ra t h à n h các đoạn thẳng. • 24.37. Chứng minh rằng có t h ể chia mỗt phẳng ra t h à n h các đoạn thẳng. ' §6. Các bài toán khác. 24.38. Có thế đỗt vào một cái đĩa h ì n h tròn bán kính 10 một miếng bánh hình chữ nhật kích thước 8 X 28 được hay không, nếu được p h é p cắt miẽng bánh ra làm hai miẽng nhỏ hơn. 5 196
24.39. Bên trong hình vuông lẫy hai điểm và nối từng điếm đó với tất cả các đinh. Hỏi bằng cách đó có thế chia hình vuông ra thành 9 phân có diện tích bằng nhau dược hay không ? . 24.40. Chứng minh rằng mọi n-giác lõi với n > 6 đều có thế cắt ra thành các ngũ giác lôi. 24.41. Hỏi có thể chia tam giác đêu ra thành Ì triệu đa giác lõi sao cho mọi đường thẳng có các điếm chung với không quá 40 đa giác trong số đó được hay không ? L ẻ I GIẢI 24.1. Giả sử A là góc lớn nhất trong AABC. Khi đó các góc B và c nhọn. Kẻ các đường cắt qua trung điểm cùa các cạnh AB và AC vuông góc với Be, ta xép các phân nhận Hình 144 được như trên hình 144. 24.2. Giả sử A là góc lớn nhát của tam giác. Ta cắt AABC ra thành các tam giác cân và xếp chúng lại như trên hình 145 Hình 145 197
Hình 146 24.3. Giả sử cho các hình vuông với các cạnh là a và b (a < b). Dựng trên các cạnh của tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông BC = a, AC = b về phía ngoài 3 hình vuông. . Giả sử o là tâm của hình vuông dựng lên ở cạnh huyên. Xét hình vuông lâm o có các cạnh song song với các cạnh góc vuông của ÀABC và có độ dài a. Bây giờ ta cắt hình vuông lớn nhất như trên h.147. Trong hình vuông cạnh AC các đường'cắt được kẻ qua tâm và song song với các cạnh của hình vuông lớn nhái. Xét APOM, trong đó p là trung Hĩnh 147 điểm của cạnh huyền AB.OM // AC Ì và PM // BC. Dễ thấy APOM - AABC với ti số đậng dạng - . Từ đó ta có thế tính 2 dược độ dài các cạnh của các tứ giác nhận đuợc khi cắt hình vuông lớn nhất. Độ 198
Ị dài các cạnh của các tứ giác nhận được khi cắt hình vuông cạnh A C cũng dễ dàng tính được, và như vậy ta thây rằng các tứ giác được đánh cùng một số bằng nhau (các góc tuông ứng bằng nhau là hiển nhiên). 24.4. Ta ghép 7 tam giác đêu bằng nhau như trên h.148. Khi đó A B C cũng là tam giác đêu. Rõ ràng các tam giác bị gạch chéo bằnginhau Bây giờ dễ dàng hiếu rằng cân phải cắt tam giác đêu A B C bằng 6 đường thẳng ra thành các phân như thê nào, để từ đó có thế ghép lại thành 7 tam giác đêu bằng nhau. Ả, Hình ì 48 Hình ĩ 49 24.5. Trên h.149 chi rõ càn phải làm như thể nào. 24.6. Ta thớc chất cân phải chứng minh rủng nêu có hai hình chữ nhật với các cạnh a, b và c, đ mà ab = oi = s, thì hình chữ nhật thứ nhát có thể được cắt ra thành các phân và từ đó ghép lai thành hình chữ nhật thứ hai. Không mất tính tổng quát giả sử a < b và c < d, khi đó c < T / S < b và a < d. c ắ t ra khỏi cả hai hình chữ nhật hai tam giác vuông với các cạnh góc vuông a và c, như trên h.150. Các hình bình hành bị gạch chéo có đáy chung và diện tích bằng nhau nên có thế cắt một hình ra thành các phàn và tù đó ghép lại thành hình thứ hai xem bài 24.5) 24.7 a) Đ ế giải bài toán này căn sử dụng két quả của cạc bài 21.21, 24.1 và 24.6. Trước hết ta cắt đa giác bằng các đường chéo không cắt nhau ra thành các tam giác. Mỗi tam giác đó lại cắt ra thành các phần và từ đó ghép lại thành hình chữ nhật. Các hình chữ nhật nhận được lại được cắt ra thành các phần và từ đó 199
c c. Hình 150 ghép lại thành các hình chữ nhật có cạnh 1. Rõ ràng từ một số hình chữ nhật có cạnh Ì có thế ghép lại thành một hình chữ nhật có cạnh 1. b) Cắt đa giác thứ nhất ra thành các phần và từ đó ghép lại thành hình chữ nhật có cạnh 1. Bởi vì đa giác thứ hai cũng có thể cắt ra thành các phân và từ đó ghép lại đúng hình chữ nhật đó, nên hình chữ nhật cũng có thế bị cắt ra thành các phần và từ đó ghép lại thành đa giác thứ hai (khi đó các phần được cắt ra từ đa giác thứ nhất, sẽ lại được cắt ra thành các phần nhỏ hơn). 24.8. Cách cắt và ghép như trên h.151 Hình 151 200
24.9. Cách cắt và g h é p n h ư t r ê n h.152. Đ o ạ n thẳng A B bằng cạnh của hình vuông có d i ệ n tích bằng diện tích của lục giác. Các đường cắt khác nhau được t i ế n hành như trên hình vẽ. Hình 152 24.10. Ta sẽ giải bài toán ngược l ạ i : cắt 3 h ì n h vuông cạnh a và g h é p các phần nhận được t h à n h h ì n h vuông V J a. Cách cắt và g h é p n h ư trên h ì n h 153. Hình 153 24.11. K h ô n g được. G i ả sử A A B C đuợc cắt ra t h à n h hai tam giác bằng nhau bởi đoạn thẳng B D (rõ ràng đường cắt phải đi qua m ộ i đ i n h ) . Trong các tam giác 201
bằng nhau đ ỗ i d i ệ n với các cạnh bằng nhau là các góc bằng nhau, do đó B A D = B C D , tức là A B = BC. 24.12. Cách cắt n h ư h . 1 5 4 . 24.13. H ì n h vuông có thể được cắt I ra được t h à n h hai n-giác bằng nhau với mọi n > 3. Cần cắt n h ư t h ể nào có t h ể xen trên hình 155, h ì n h a ) chon chẵn và hình b) chon l ẻ (các đường cắt đối xứng I với nhau qua tâm của hình vuông). 24.14. Không được. B ả i vì 9 là số l ẻ , I nên trên một cạnh của hình vuông sẽ có một đáy của một tam giác lớn hơn các đáy của các tam giác khác, trong khi Hình ỉ54 đó tất cả các đường cao hạ xuống các đáy đó đêu bằng nhau. Hình 155 24.15. Cách cắt cân t h i ế t xem hình 156. Đâu tiên tam cắt tam giác nhỏ nhất, các đường cắt tòn l ạ i d ễ dàng thực h i ệ n được. Các cạnh góc vuông của các tam giác vuông cân nhận được tương ứng bằng Ì, Vĩ, 2, 2Vĩ , 4. 3VĨ2 . 202
b) T ồ n t ạ i . T ừ 5 tam giác vuông bằng nhau với các cạnh góc vuông bằng Ì và 2 có t h ể g h é p l ạ i t h à n h một tam giác vuông đông dạng với chúng, như trên h ì n h 158. 24.17. G i ả sứ đoạn thẳng M N , trong đó M và N nằm trên các cạnh A B và C D cắt tứ giác A B C D ra t h à n h hai tứ giác đồng dạng. K h i đó góc A M N cùa tứ giác A M N D bằng một trong số các góc của tứ giác N M B C . M ặ t khác N M B = 180° - A M N . Do đó nếu A M N = N M B , thì N M B = 9 0 ° , còn nếu góc A M N bằng một góc khác của tứ giác N M B C , thì trong tứ giác đó có hai góc có tổng bằng 180 . Lập luận tương tỏ cho góc M N D , ta được A B - L M N và C D X M N (va khi đó A B // C D ) , hoặc trong t ó giác N M B C có hai gốc có tổng bằng 180°, không mát tính tống quát có t h ế coi một trong số đó là góc B M N . N ê u B M N +• M N C = 180°, thì B M // C N . N ê u B M N f M B C = 1 8 0 ° , thì M N // BC. Do đó hoặc A D // M N , hoặc N D // M A Nêu B M N + B C N = 180°, thì các tứ giác N M B C và A M N D nội tiẽp. Từ đó dễ dàng suy r a B C N = 1 8 0 ° - B M N và A D N = 180° - A M N = B M N .tức là B C / / A D . 24.L8. X é t tứ g i á c l ỏ i A i ... A n . Ta c h ứ n g m i n h r ằ n g cá hai tính chất 1) và 2) đêu tương đương với tính chất 3) như sau : V ớ i mọi vecto A i Ai + Ì luôn tìm 203
được vecto A j A j + Ì = - Ai Ai+1 R õ ràng 1) = > 3 ) . Ta chứng minh rằng 3) =>1). Nêu đa giác lôi A i ... A n có tính chát 3), thì n = 2m và A i A i + Ì = - Am + i Am + i + Ì . Kí h i ệ u Oi là trung đ i ể m của đ o ạ n t h ằ n g A i A m + i. B ở i vì A i A i + i A + i A m m + i+i là h ì n h bình h à n h , n ê n Oi = O i + 1 . Do đó tất cả các đ i ế m Oi đều t r ù n g nhau, và đ i ể m đó là tâm đ ố i xứng của đa giác. Ta chứng minh rằng 2) =>3). G i ả sử đa giác lôi F được cắt ra thành các h ì n h b ì n h hành. Ta cân chứng minh rằng v ớ i Hĩnh 159 m ọ i cạnh của đa giác F luôn tìm được một cạnh khác bằng và song song v ớ i nó. T ừ mời cạnh của đa giác F luôn xuất p h á t một chuời các h ì n h bình h à n h , tức là cạnh đó được dịch chuyển song song theo chuời các hình b ì n h h à n h đó, đồng t h ờ i nó có t h ể được p h â n ra t h à n h một số p h à n (h. 159). B ở i vì trong đa giác lõi chi có t h ể có t h ê m một cạnh nữa song song v ớ i cạnh đã cho, n ê n tất cả các n h á n h của chuời đó đêu t i ễ n đ ế n cùng một cạnh, mà độ dài của nó k h ô n g nhỏ hơn độ dài của cạnh xuất p h á t của chuời. Ta có t h ể cho chuời xuất p h á t từ cạnh t h ứ nhất đen cạnh t h ứ hai, và từ cạnh t h ứ hai đ ế n cạnh t h ứ nhẩt, cho Hình 160 n ê n độ dài của các cạnh đó bằng nhau. Còn l ạ i phải c h ó n g minh rằng 3) =>2). Cách cắt đa giác có các cạnh đ ố i nhau song song và bằng nhau cho t r ê n h.160. Sau m ờ i bước n h ư vậy ta nhận được.một đa giác vẫn có tính chất 3) n h ư n g có số cạnh ít hơn, và cứ làm n h ư vậy sau một số bước ta sẽ đi đ ế n h ì n h bình h à n h . 204