Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 1

Chia sẻ: Lê Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST

Báo xấu

320
lượt xem 66
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 Tài liệu Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1) gồm nội dung 2 chương đầu Tài liệu. Chương một có tính chất vào đề với việc làm nổi lên sợi chỉ đỏ xuyên suốt quyển Tài liệu: Mâu thuẫn là động lực phát triển toán học. Sau khi đã vào đề đạt yêu cầu, Tài liệu chuyển sang nghiên cứu việc vận dụng các cặp phạm trù vào việc học, dạy và nghiên cứu toán học. Chương hai nói về cặp phạm trù cái chung và cái riêng. Mời bạn đọc tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Hướng dẫn luận duy vật biện chứng với việc học, dạy, nghiên cứu toán học (Tập 1): Phần 1

ĐAI HỌC VINH ĐẠI M - ĐẠI H Ọ C Q U Ố C G I A HÀ NÔI THƯ VIỆN 510.15 NG-T(l)/97 DT. 003744 (Sách t h a m k h ả o c h o g i á o v i ê n , sinh v i ê n , n g h i ê n c ứ u sinh Toán h ọ c v à Triết h ọ c ) TÁP I ọ KỊ Hề MỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC QUỐC GIA HÀ NÔI
I p Ạ I H Ọ C Sư PHẠM - Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C GIA HÀ N Ộ I G S . T S . N G U Y Ễ N CẢNH T O À N PHẩflựWllíặMWSỆÊÊ(! M M NIN l i m » « • • ( S á c h t h a m k h ả o c h o g i á c v i ê n , sinh v i ê n , n g h i ê n c ứ u s i n h T o á n h ọ c v à Triết h ọ c ) TẬP • ì NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI -1997 I I ĩ
Chịu trách nhiệm xuất hàn: Giám đốc N G U Y Ễ N VÀN THỎA Tổng biên tập NGHIÊM ĐÌNH VỸ Ngươi nhận xét: PGS. Nguyễn Đăng Phất PGS. Phạm Văn Kiều PTS. Lê Q u a n g Ti-ung Biên tập: và Rứa bản in: HA CƯƠNG Trình hãy bìa: NGỌC ANH P H Ư Ơ N G P H Á P L U Ậ N D U Y V Ậ T B I Ệ N C H Ứ N G VỚI V I Ệ C H Ọ C , DẠY VÀ N G H I Ê N cứu TOÁN H Ọ C - T Ậ P ì M ã số: 0 2 . 3 5 . Đ H 9 7 - 450.97 In Ì 000 cuốn tại Nhà i n Đ ạ i học Quốc gia Hà Nội Giẫy phép xuất bản số: 4 5 0 / C X B . So trích ngang 224KH/XB In xong và nộp lưu c h i ể u tháng 9/1997
nèii Jĩé3 mầm —oOo trường, Đại học chúng ta đã học triết học duy vật biện cluing (DVBC), nhưng việc ứng dụng có hiệu quả ngay vào việc học. dạy và nghiên cứu các bộ môn còn rất yếu. Do vậy, người học coi đây là mộ! môn học có tính chất lí luận cao xa, chỉ ứng dụno, vào nhĩrne vấn đề chính trị lớn, những phái minh khoa học l ổ n , cồn việc ứnc dụng vào công việc thiết thân hàng ngày cẳa họ là học, dạy v
c h ư a ai soạn, càníi c h ư a ai d u y ệ t , day u i , dạy n h ư thê n à o là do lác íiiả s á c h n à y quyết đ ị n h . G ầ n d ã y , Trunu t â m Ni!hiên cứu Đ à o l ạ o - B ồ i d ư ỡ n e g i á o viên của V i ệ n Khoa học G i á o dục cũn?: cú ý đ ị n h sẽ đ ư a n ộ i đun*.' n à y v à o c h ư ơ n g trình b ổ i d ư ỡ n e í'iáo v i ê n . T r ư i V l i n h h ì n h d ó , việc viết s á c h n à y trờ t h à n h một nhu cáu. V ì c h ư ơ n g '.rình c h ư a được N h à nước du VểI c h í n h '.hức và đ ố i tượnu dúm.' s á c h trone thực t ế , sẽ rộnc h ơ n là c á c íiiáo viên đi học, nên s á c h n à y c h ư a t h ể n ạ i là s á c h g i á o khoa cho m ộ i cấp học n à o m à chỉ là s á c h t h a m k h ả o . N h ư vậy cũng c ó cái hay là l á c c i ả k h ó n u bị eo h ò l ấ m vổ d ố i tượng của s á c h . l ũ y r à n g đ ố i tượng c h í n h sẽ là ị!láo viên, sinh v i ê n Đ ạ i học v à Cao học, sinh viên T o á n ở Đ ạ i học Khoa học T ự n h i ê n , c á c thầv d ạ y triết học ả khoa T o á n cũn? cỏ (hổ tham khảo. Sau n à y , d ầ n dần c ó c h ư ơ n g trình ổ n đ i n h , được N h à nước c h í n h thức d u y ệ t thì lúc d ó s á c h n à y cũng c ó (hể là lài l i ệ u tham khảo đ e biên s o á n s á c h g i á o khoa. T á c g i ả c ó ý định m u ố n g ó p phần n h ỏ c ù a m ì n h v à o v i ệ c thay đ ọ : tình h ì n h d ạ y v à học t o á n hiện nay, đ ư a nó. r i ế p cận đ ế n n g h i ê n cứu t o á n học ngay cả k h i k i ế n thức l o à n học cua n g ư ờ i học c ò n ít và ở trình đ ộ thấp. C á c h d ạ y p h ổ b i ế n h i ệ n nay là i h ẩ y đ ư a ra k i ế n thức ( k h á i n i ệ m , định lí) r ồ i c i ả i ' t h í c h , chứng m i n h , t r ò c ố g ắ n g t i ế p thu n ộ i duna k h á i n i ệ m , n ộ i dung định lí, hicu chiínti m i n h định lí, c ố gắng tập vận d ụ n g c á c c ô n g thức, c á c đ ị n h lí đ ổ lính t o á n , đ ổ chứng m i n h k h i l à m bài tập m à ở d ó cái eì cho b i ế t , cái gì phải tính t o á n , phải chứne m i n h là r õ r à n g . N h i ề u học t r ò c i ỏ i t h ư ờ n g t h á c m á c không, biết e i ả thuyết và kết luận của c á c bài t o á n ở đ â u m à ra, ai nghĩ ra đ ầ u liên và l à m t h ế n à o m à nchĩ ra đ ư ợ c . N h ữ n g bài t o á n k h ó đ ố i v ớ i h ọ là những hài m à con (lươn Í : suy d i ễ n đ i từ g i ả thiết đ ố n kết luận là k h ó x á c đ ị n h , t h ư ờ n g íỉổm n h i ề u m á i x í c h k h ó thấy ncay. N h u n g l à m xong được một bài l o à n n h ư t h ê , c h â n trời của h ọ cũng íí được m ờ rộne, nếu thầy hav s á c h k h ô n e ra cho h ọ t h ê m bài tập m ớ i í hì t h ư ờ n g h ọ k h ô n e biết lam ứ vì n h à trường k h ổ n g d ạ v cho h ọ c á c h ''phái hiện vốn de' đ ế l ự đo xuất ra c á c bài l o à n . Giữa một n h à t o á n học và một sinh viên, học s'inh t ậ p dượt n g h i ê n cứt! t o á n học, c ó k h á c nhau và
cuộc sống hoặc trong nội bộ lí luận toán học có mâu thuẫn. Đ ố i với sinh viên, học sinh, nhất là học sinh., vấn để đổ nghiên cứu phất sinh chủ yếu từ nhu cầu nhận thức, không thoa mãn với kiến thức thầy giảng hay có trong sách, mà muốn biết rộng hơn, sâu hơn. Giải quyết xong vấn đè thì nhà toán học cung cấp được nhạng hiểu biết mới cho loài người, còn sinh viên, học sinh thì tự giành được nhạng kiến thức chưa học bao giờ, mới đ ố i với mình, nhưng nói chung không mới đ ố i với nhân loại, trừ nhạng trường hợp cá biệt của nhạng người đặc biệt xuất sắc. Cái thu họach chính đ ố i với sinh viên, học sinh không phải là nhạng kiến thức mới ( đ ố i với họ) mà h ọ tự tìm ra vì các kiến thức đó, hoặc là rất thứ yếu, hoặc nếu có một tầm quan trọng nào đó thì đã có ỏ. một quyển sách, bài báo nào đ ó mà họ không biết do chưa có điêu kiện làm một mục lục sách báo tham khảo đầy đủ; cái đáng quý là qua lao động tìm tòi, sáng tạo, h ọ nhuyễn dần với một kiểu tư duy m à lâu nay nhà trường ít dạy cho họ và cùng với sự nhuyễn dần đó là lòng tự tin vào khả năng sáng tạo của mình, sự hứng thú ham muốn tìm t ồ i , sáng tạo, phát minh. Các kiến thức mới ( đ ố i với họ) đáng quy ở chỗ chính họ tìm ra, chứ không phải do ai khác tìm được mang đến cho họ. Giạa nhà toán học và sinh viên, học sinh có khác nhau vế trình đ ộ kiến thức và tư duy, về tầm vóc vấn đế đặt ra để nghiên cứu, về mức đ ộ " m ớ i " của kết quả (mới đ ố i vói loài người hay chỉ mới đ ố i với chính mình), nhưng quá trình tư duy để đi đến cái " m ớ i " thì tuân theo nhạng quy luật như nhau. Đ ể đi đến cái mới trong toán học, phải kết hợp được tư duy logic và tư duy biện chứng, cả tư duy hình tượng cùng nhạng tư duy khác (kinh tế, quản lí, kĩ thuật, thuật toán) và nhiề u phẩm chất của con người như tư tưởng tiến công, không dễ dàng thoa mãn, đức tính cẩn thận, kiên trì, bề n bỉ, ... Trong việc phát hiện vấn đề và định hướng cho cách giải quyết vấn để thì tư duy biện chứng đóng vai trò chủ đạo. K h i hướng giải quyết vấn để đã có thì tư duy logic giạ vai trò chính. Ở nhạng điểm "nút" có thể xuất hiện nhạng khái niệm mới l ạ , có khi người làm toán cần tư duy hình tượng, cần một trí tưởng tượng thật bay bổng, thật táo bạo như đ ố i với một nhà văn viết truyện viễn tưởng hay thần thoai. Đ ể phát hiện ra vấn đè, nhiề u khi người làm toán cũng cẩn cố óc thẩm mĩ để thưởng thức cái " đ ẹ p " trong toán học r ồ i từ chỗ thường thức cái đẹp 5
đó mà có ý muốn đi sâu vào cái "(hâm thúy" bên trorm. Monc ìnuốn sự gọn gàna, hợp lí. tiết kiệm lới mức tối đa như một nhà quản lí, nhà kinh tế cũng là mội độnc lực thúc đấy lìm tòi tronu toán học. Đ ể sự tìm tòi được thuận l ợ i , nhiêu khi cũng cần nhữrm thủ IhuAl đế biến cái khó thành dễ, biến ý đ ổ thành các việc cụ thế, như mội nhà kĩ thuật tìm cách biến nguyên lí. quy luật khoa học ra thành nhữna công, đoạn với những cổng cụ đế chuyển đ ổ i các dạng nărm krợnc, dạnỉi vận độnc này sane các dạn" nàng lượnc, dạng vận độn ạ, khác. Đ ể tiếp cận đến sự ứna dụnc vào ihực tiễn, cũnti cần một sự tìm tòi để đi đến một sự sắp xốp có bài bản, có bước đi rõ ràng, mỗi bước lại tiến thêm gần lới cái đích cuối cùnti rất cụ (hể giống như xây dựns thuật toán tronc tin học. Sinh viên, học sinh là những người đane đi học thì phải theo một chương trình, một sự sắp xếp theo một lớp lang hợp loeic như chia ra thành môn này, môn nọ (hình, đ ạ i , giải tích, ...)• Điều này cũní> aiốna như người học võ, theo mổn phái này hay môn phái kia và trong lừng môn phái có bài này, bài kia, miếng võ này, miếng võ nọ. Nhưng khi sinh viên, học sinh bước vào con đường nghiên cứu khoa học thì tình hình lại giống như người thi đấu, thậm chí như người gặp kẻ địch dùng võ đánh mình,' sẽ không có lớp lang nào, mà phải tùy cơ ứng biến, dùng thế võ này hay thế võ kia là còn tùy thuộc vào cách đánh của đ ố i phương. Đ ố i phương trone nghiên cứu toán học là những khó khăn gặp phải, bắt đầu từ khâu phát hiện vấn đề cho đến khi giải quyết xong vấn đề. Người nghiên cứu có quyên sử dụng bất cứ nội lực nào của mình, bất cứ phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào, miễn sao phát hiện được vấn để và giải quyết được vấn đổ. Đến khi vấn để đã được giải quyết, có thể gia công Ihêm để có cách trình bày tôi nhất cho người khác dễ hiểu phát minh của mình. Nghĩ như vậy thì mới đầu tưởng chừne như phát minh, sáng tạo toán học là mông lung lắm, may ai có năng khiếu, trực giác tốt thì phát minh được, còn nếu không may khônti có năng khiếu bẩm sinh thì đành chịu. Thật ra thì khònc phải như thế. Dù cố ý thức hay khône, cổ ý thức, lư duy sáng tạo toán học vân phục tùng những quy luật nhất định và khi đã phát hiệu và nắm chắc được các quy luật đó thì có thế dạy, ròn luyện cho người khác sárm lạo được. 6
Sáng tạo là sự vận độnu của lư duy từ những hiếu biết đã có đến nhữrm hiểu biết mới. Vận độnsi đi liền với "biện chimp," nén tư duy biện chứng sẽ là trọng tâm suốt loàn quyển sách, các tư duy khác, nhất là tư duy logic cũng đóng một vai trò quan trọng nhưng vì đã có nhiều sách nói đến nên sẽ không phải là điêu mà tác giả quan lâm nhiều. Vì là một quyển sách tham khảo nên đ ổ i tưằng của nó có Ì hê rộrm nhưng đ ố i tưằng chính và đông nhất là các giáo viên phổ thông đã tốt nchiộp Đ ạ i học về toán, nay muốn nâng cao trình đ ộ dưới dạng " b ổ i dưỡng để nâng cao trình đ ộ mà không thi lấy b à n s cấp" hoặc dưới dạng Cao học (tập trung, tại chức, từ xa) để lấy bằng thạc sĩ, hay nghiên cứu sinh để lấy bằng phó tiến sĩ. Các độc giả đều đưằc coi như là đã học triết học duy vật biện chứng ở trường Đ ạ i học. Các kiến thức toán học không phải là mục đích của quyển sách m à chỉ là công cụ để làm rõ các quy luật của tư duy biện chứng vận dụng vào toán học. Nhiều kiến thức mà độc giả chắc đã biết có thể đưằc trình bày ở đây nhưng dưới dạng "tìm tòi ra chúng" để minh họa cho phương pháp luận.-Vì vậy, tác g i ả không hạn chế ở kiến thức Đ ạ i học mà có thể mở rộns, ra ở cả hai phía, trong đó phía kiến thức phổ thông sẽ nhiều vì đ ố i tưằng chính của quyển sách đã hoặc sẽ dạy toán ở phổ thông; nếu có sự mở rộng ra về phía trên Đ ạ i học thì những kiến thức đó sẽ không xuất hiện dưới dạng "truyền thụ kiến thức" mà dưới dạng "tái phát minh ra kiến thức đ ó " (coi như nhân loại đã quên mất kiến thức đó). Tác giả cũng sẽ sử đụng lịch sử toán học để làm rõ quy luật nhưng ưu tiên sử dụng những việc nhỏ có khả năng xảy ra trong việc học tập, giảng dạy toán học; làm như vậy thì người học dễ thấy rằng tư duy biện chứng xâm nhập khắp nơi nếu ta đứng ở góc đ ộ "vân động" của tư duy từ hiếu biết cũ đến hiểu biết mới. Mạt khác, phải thấy rằng kiến thức toán học dù sao cũng cụ thể, học xong một bài, một chương là người học có thêm một số kiến thức, còn "tư duy biện chứng" lại là một cái gì vô hình, vừa rất ít thấy nếu toán học đưằc trình bày theo cách đưa ra những khái niệm sẵn có, những định lí sẵn có kiêu '"trên trời rơi xuống" rồi dùng suy diễn để chứnsi tỏ mối liên hệ logic giữa già Ihiéì và kết luận, vừa thấy thâm nhập khắp nơi nếu loàn học đưằc trình bày như một quá trình khái quát, càng ngày càng lẽn cao, từ cái riêng đến cái chung, mỗi cái chung ra đời là kết quả của 7
một sự thống nhất mâu thuẫn d ũ a cái riêng đã có vái thực tiễn hoặc với lí luận đã có. Cho nén, rèn luyện tư duy biên chứng hay, nói rộng hơn, thế giới quan duy vật biện chứng rất khác với cunc cấp kiến (hức. T h ế giới quan đó sẽ hình thành theo kiểu "mưa phùn thấm đất" hoác "lắng đọng phù sa". Hạt mưa phùn hay hại phù sa cực nhỏ nhưng nếu tích lũy liên tờc, lâu dài thì sẽ làm nên chuyện "thấm đất" hay " b ồ i đắp bãi phù sa". Nếu chỉ trông chờ vào các mẩu chuyện lịch sử mà thiếu đi các mẩu chuyện học toán, dạy toán bình thường thì sẽ khó có kết quả được. Không những thế, dù có học một khoa Cao học cũng chỉ mới là tráng một lớp men đầu tiên, học xong phải vận dờng, lúc đầu có thể còn khó khăn, nhưng dần dần sẽ thành thạo, sẽ hứng thú và sẽ cảm thấy sức mạnh của t h ế giới quan duy vật biện chứng trong việc sáng tạo toán học. Sách sẽ tập trung vào các cặp phạm trù, minh họa bằng các ví dờ lấy trong lịch sử toán học nhưng chủ yếu là lấy trong thực tế, dạy và nghiên cứu toán học. Cặp phạm trù "lí luận và thực t i ễ n " sẽ chiếm một vị trí riêng và xếp ở phần cuối cùng sau khi đã xem xét các cặp phạm trù khác. Cặp này sẽ dẫn tới vấn đề về tiêu chuẩn chân lí trone toán học và gắn với nó là m ố i quan hộ giữa "toán"'và "phi toán", là việc "toán học hoa" các khoa học, cuối cùng sẽ là một phần kết luận chung về sự sáng tạo toán học bao trùm lên tất cả các cặp phạm trù. Những điểu trình bày trong sách này được rút ra từ thực tiễn mấy chờc năm học toán, dạy toán, nghiên cứu toán cùa bản thân tác giả, kể cả việc phờ trách chuyên đề "phương pháp luận toán học" hiện nay. Vì vậy, nội dung sách không tránh khỏi dấu ấn "chủ quan" của tác giả. Muốn đạt đến tiêu chuẩn "khách quan", phải có rất nhiêu thực nghiệm dạy, học và nghiên cứu toán học của nhiều người với dờng ý rèn luyện, vận dờng óc sáng tạo một cách có bài bản, có quy luật. Tác giả rất mong có nhiều người liến hành thực nghiệm như vậy với các đ ố i tượng khác nhau (học sinh, sinh viên, nghiên cứu sinh, giáo viên), giúp loại dần đi cái "chủ quan" của mình, cùng nhau góp phần tiến tới những chươnu trình học, những sách giáo khoa chuẩn mực phù hợp vứi nhan đổ cuốn sách này, cho nhiều đối tượng khác nhau. Học sinh cấc lớp chuyên toán cũng có thể sử dờníi nhữnu phần nào đó trong cuốn sách này níu có sự 8
hướng dẫn của giáo viên. Đ ố i với họ tHì lốt hơn cả là đọc sách "Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dẩn với nghiên cứu loàn học" của cùng tác lùa (NXB Giáo dục - L992) vì trong sách này, những gì ra khỏi chương trình học phổ ihône đều được ttiải thích, chứng minh. Sách được chia thành 2 táp: l ập ì gồm các chương sau đây: Chương một: Có tính chất "vào đ ề " với việc làm nổi lòn sợi chự đó xuyên suốt quyển sách: "Mâu thuẫn là động [ực phát triển toán học". Sau khi đã "vào đ ề " đạt yêu cầu, sách chuyển sang nghiên cứu việc vận dụng các cặp phạm trù vào việc học, dạy và nghiên cứu toán học. Chương hai: Nói về cặp phạm trù "cái chung và cái riêng". Chương ba: Nói về " n ộ i dune và hình thức". Chương bốn: Giành cho cạp phạm trù "bản chất và hiện tượng" cùng vói các cặp phạm trù có liên quan là "vận động và đứna im", "ngẫu nhiên và tất nhiên". ClìirưiìiỊ năm: Nói về cạp phạm trù "chủ quan và khách quan". Chương sáu: Đ ề cập đến "suy diễn và quy nạp", "phân tích và tổne hợp", "cụ thể và trừu tượng". Trong tập ì này, có những ví dụ được kéo ra rất dài nhằm làm cho độc aiả thấy vai trò của tư tưởnc tiến công trong sáng tạo toán học. Chính tư tưởng đó là nguyên nhân của các vụ nổ dây chuyền, nghĩa [à sáng lạo lại đỏ ra sáng tạo, mâu thuẫn này giải quyết xong, mâu thuẫn khác lại nẩy sinh. Tập l i sẽ giành riêng cho cặp phạm trù "Lí luận và Thực tiên" vói ba chương như sau: Chương bảy: Mâu thuẫn giữa lí luận và thực liễn là động lực cơ bản của sự phái triển loàn học. 1. Điểm qua các uiai đoạn Irona lịch sử loàn học. 2. Mâu thuẫn giữa lí luận và thực tiễn và sự độc lập tirơnu đối của lí luận. Toán học và íiiáo dục. ĩ . Toán học ở Việt nam. 9
Cìnừmq tám: Xu thế toán học hoa. Toán và phi toán. Vãn hoa toán học. Chương chín: Thực tiễn là liêu chuẩn chân lí trong toán học. Vài l ồ i kết luật! về việc dạy và học toán. Các chương, mục trong sách này sẽ được đánh số bàng hai số ngăn cách bởi dấu chấm: Số đầu chỉ chương, số sau chỉ số mục trong chương. Ví dụ: 1.6 chỉ mục 6 trong chương Ì. Các hình vẽ sẽ được đánh số từ đầu đến cuối sách, các công thữc, phương, trình sẽ được đánh số trong lừne mục. M ỗ i mục có thổ có những mục nhỏ được xếp theo thữ l ự a), b), c). Cuối tập ì có mười bài tập dượt nghiên cữu để bạn đọc thử sữc. 10
niưíNG I M Â U T H U Ẫ N LÀ Đ Ộ N G L Ụ C PHÁT T R I Ể N TOÁN H Ọ C 1.1. Mào đầu: ơ đây, xin miền nhắc lại nhữna mẩu chuyện lịch sử đã trở thành cổ điển và khá quen thuộc nói lên ràna mâu thuẫn giữa lí luận toán học và thực tiền cuộc sống đã lủní> là độne lực thúc đẩy cho lí luận loàn học phát triển đổ đáp ứns. các nhu cầu của cuộc sống. Đó là nhữnt; ví dụ hay gặp trong các sách d á o khoa như nhu cầu đo đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sôrm Nin ( A i Cập) đa thúc đẩy cho hình học phát triển, nhu cầu so sánh các tập hợp như tập hợp người lao động với tập hợp các'công cụ lao độn ạ đã làm nẩy sinh ra phép đ ế m và tủ đó ra đời các số tự nhiên, như nhu cầu nshiên cứu các vận động, trước hết là vận động cơ học đã làm nẩy sinh ra phép lính v i phân rồi phép tính tích phân. Sau đây sẽ xin nêu ra một vài ví dụ về nhũ ng phát minh, mới đầu tưởng như thuần túy tủ sự tự do suy nghĩ của các nhà toán học mà ra và nhất là những ví dụ nhỏ tủ thực tiền dạy, học và nghiên cứu khoa học. 1.2. Ví dụ 1: Cảu chuyên vé hình thoi: V ớ i những hình đơn giản như hình bình hành, hình thoi, tưởng chủng như chảng còn có gì mà nghiên cứu, nhưng nếu có tư duy biện chứne thì một học sinh cũ na có thể phát hiện ra vấn đề rồi íliải quyết vấn đề để tự mình tìm ra những kiến thức mà họ ít khi thấy (rong các bài học, có chăna thì chỉ ở một số đề bài tập. Ta hãy lấy tính chất A sau đây của một hình thoi: "hai đưủníi chéo vtiônu góc với nhau". Một hình bình hành không phải là hình thoi, không cổ lính chất đổ. Thôrm thường với cách dạy và cách học quen thuộc thì câu nói này đúng hoàn loàn và như vậy cũnc, chẳnc có vấn đồ cì đố suy nghĩ thòm. ạ ) Phái li ÍCH vấn đổ: Với lư duy biện chứrm, la sẽ (hây rằna câu (rên là đúng mà chưa thật (lúm?.. Tại sao? Nó là điínc n í u ta đứng ở eóc độ nhìn hình 11
thoi (cái r i õ n e ) và hình bình hành (cái chunu) là m â u thuẫn v ớ i nhau. N ó k h ô n a thãi đ í i n u nếu la nhìn hai hình đ ó là thốrm nhất với nhau: hình thoi là một trườnc hợp đặc biệt của hình b ì n h h à n h . K h i đ ó , ta sẽ k h ô r m nghĩ rằnc hình bình h à n h k h ô n e cổ l í n h chất đ ổ m à phải nghĩ r à n g hình b ì n h hành ắt c ó những lính chất l ổ n g q u á t h ơ n , nhận tính chất đ ó làm một trường hợp đ ặ c b i ệ t . V à t h ế là c ó c á i lù đ ó thôi t h ú c ta t ứ h ỏ i : " V ậ y những tính chất tổng q u á t h ơ n đ ó là những tính chất tù ?"; câu h ỏ i n à y dẫn ta đ ế n một v ấ n đ ề nho n h ỏ đ ể n g h i ê n cứu; đ ó là: T i m những định lí m ở rộng tính chất A cho m ộ i hình bình hành. b) G i ả i quyết vấn d ề : Ta c ố n h ì n l ạ i t í n h chất A theo n h i ề u g ó c đ ộ k h á c nhau: G ó c d ỗ t h ứ nhất: N ế u ta nhìn c á c đ ư ờ n g c h é o của h ì n h t h o i n h ư là" c á c đ ư ờ n g p h â n g i á c của c á c g ó c thì m ộ t nghi v ấ n khoa học sẽ nẩy sinh: " V ậ y trong một hình bình h à n h k h ô n g p h ả i là h ì n h t h o i thì b ố n đ ư ờ n g p h â n g i á c sẽ n h ư t h ế n à o ? " ; trả l ờ i câu h ỏ i n à y k h ô n g k h ó . D ễ thấy ra t í n h chất sau đ â y : T í n h chất B: Trong m ộ t hình b ì n h h à n h , b ố n đ ư ờ n g p h â n g i á c tạo nên m ộ t h ì n h c h ữ nhật ( h. ĩ ) . N ế u a, b (a > b) là hai cạnh của h ì n h bình h à n h v à (p là g ó c k h ô n c tù của n ó (0 < (p < 90°) thì c á c cạnh của hình c h ữ nhật n à y sẽ là (a-ố)cos— và 2 (a - ố ) sin —. 2 Như thế càng r õ rằn*; A là một trường hợp đặc biệt của B khi a = b) Góc đô thứ hai: N ế u ta vẫn nhìn Hình Ì "dường chéo" là "đường chéo" nhưng l ạ i nhìn "sứ vuông 12
r.óc" như trường hợp đặc biệt của '"sự tạo nén mội góc bất kì" thì mọi nuhi vấn khoa học khác lại nẩy sinh. Vậy trong một hình bình hành, hai đườnu chéo tạo với nhau mội góc như thế nào ? Nêu gọi a (()'< a < 90°) là góc giữa hai đường chéo của một hình hình hành có cạnh là a, b (a > b), có góc không tù giữa hai cạnh ke là (p (0 < cp < 90°) (h. 2) thì, nếu gọi e và f là đ ộ dài hai đườnc chéo (e > f ) , ta có: ịý ) -b 2 2 2 (2) {2) + f -4b cos a (7 2ef {2 2 2 2 Nhưng e = a + b - 2 a b c o s ( 1 8 0 °
một cạnh là cạnh hình thoi còn hai cạnh kia là hai nửa tỉ ườn e chéo. Trong trường hợp tổng quái của hình bình hành thì: 2 1 e - a + b~ - 2abcos(] 80" - (p) 2 2 2 f =a +b - 2ab cos
hợp dặc biệt của tính chất sau đây: Tính chái E: Trong một hình bình hành, các đường thẳng chiếu vuông góc hai cạp đỉnh đ ố i diện xuống đường chéo không đi qua hai đỉnh đó lạo nền một hình bình hành có góc không tù giữa hai cạnh liên liếp bằna góc không tù giữa hai đường chéo (của hình bình hành đã cho) và có hai chiều cao theo thứ tự bằng hình chiếu vuônu cóc của đườrm chéo này xuống đường chéo kia. Như vậy, trong ví dỊ Ì này, chỉ cần xem xé) thêm khía cạnh "thốníĩ nhá!" íiiữa hình thoi và hình bình hành là ta đã thấy câu nói: "hình bình hành mà không phải là hình thoi thì không có tính chất A " là kỊiông đúriR. Nhờ cách suy nghĩ này mà ta "minh oan" được cho hình bình hành, chứng minh rằng nó có ít nhất bốn tính chất đêu là sự mờ rộng của tính chất A . Cần chú ý rút kinh nghiệm về con đường đi tới phát hiện ra các lính chất B, c. D, E xuất phát từ tính chất A . Cách đó là: "cố gấm' nhìn A dưới nhiều góc đ ộ mới". Trong A có hai khái niêm (hai dường chéo) và một mối quan hệ (vuông góc) giữa hai khái niệm dỏ. Tu đã cố I>ắrm nhìn "đường c h é o " dưới góc độ "phân giác" đế đi đốn B, dưới uóc độ đườno thẳng chiếu vuông góc hai đầu mút của m ỗ i đườrm xuống đường kia để đi đến E, Ta đã cố gắng nhìn "vuônu g ó c " (.lưới dạnc "làm nên một góc a lấy giá trị đặc hiệĩ 90°" de đi đốn c và nhìn "vuông g ó c " dưới dạng "thoa mãn định lí đảo của định lí Pit ago" để đi đến o. Càng có nhiều cách nhìn mới về A càng tìm ra (Ítrạc nhiểii lính chất mở rộng nó. Điểu này đòi hồi một trí tướnậ lượn Ị dồi dào vé các khái niệm và quan hệ xuất hiên (rong A . Rõ ràng đây là loại bài tập nghiên cứu mà ta cỗ thể ra cho học sinh phổ (hông trung học, chẳng hạn dưới dạng: hãy nhìn khía cạnh "ihốnu nhất" giữa hình thoi và hình bình hành để mở rộng định lí: "hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau". Có thể có ý kiến cho rằng bài ra như vậy là quá khó đối với học sinh. Trước hốt phải thấy rằng kiến thức toán học phải huy động ở đây k h ô n g có eì là khó, học sinh trung bình hẳn phải nắm được, sự chế biến các kiến thức cũng, chỉ đòi hỏi tư duy loeic ở mức độ trung bình; nếu có khó là ở chỗ "phát hiện ra vấn đ ề " nhưng cái khó này không, phải do "bản chất sự vật" mà do chưa quen với một kiểu 15
tư duv m ớ i : c á c h dạy tru yen thốníi đá làm cho lư duy của học sinli " x ơ cứng", thường thầy ụ i á o chỉ cho họ tháy một c h i ê u " m ặ t m â u t h u ẫ n " ciữa cái chung v ớ i cái r i ê n g , k h ô n c hoặc rất íl cho h ọ thấy " m ặ t thống n h ấ t " giữa cái chung và cái riérm; do v ậ y tư duy của h ọ chỉ quen thấy trong h ì n h thoi c ó tính chài A c ò n trong h ì n h binh h à n h m à k h ô n g p h ở i là hình thoi thì k h ô n g c ó tính chất đ ó . T ư duy x ơ cứng c ò n t h ể h i ệ n ở c h ỏ h ọ ít được rèn l u y ệ n , d ể n h ì n một khai n i ê m , m ộ t quan hệ d ư ớ i n h i ề u k h í a cạnh k h á c nhau, nhìn " đ i r ò n i : c h é o " chỉ là " đ ư ờ r m c h é o " , ít ai n e h í đ ó là " p h â n c i á c " hay " đ ư ờ n e thẳng c h i ế u v u ô n g g ó c " . N ế u n h ư học sinh được rèn l u y ệ n i h ư ờ n e n g à y cho tư duy trở n ê n m ỏ m m ạ i , uyên c h u y ê n h ơ n . quen n h ì n m ỗ i sự vát là m ộ t sự thốnu nhất Giữa hai m ạ i đ ố i lập, quen n h ì n mọt k h á i n i ệ m . m ộ t quan h ệ d ư ớ i n h i ề u s ó c đ ộ k h á c nhau thì m ộ i đe tài n h ư trên là vừa sức. R õ r à n g ở ví d ụ Ì n à y , m â u thuẫn giữa c á i r i ô n c v à cái c h ư n g đ ã là đ ộ n g lực t h ú c đ ẩ v việc lìm lòi sự ' i h đ r m n h ấ t " giữa c h ú n g v à ta đ a cật hái được b ố n tính chất B, c. D , E của hình b ì n h h à n h nói l ẽ n sự t h ố n s nhất đ ó . 1.3. Ví dụ 2: Đ i t ì m số phức: K h i g i ở i p h ư ơ n g trình bậc hai, n g ư ờ i la đ ã aặp việc khai t h á c căn bậc hai của c á c số â m n h ư n g số ở o vẫn c h ư a ra d ờ i đ ư ợ c vì k h ô n g c ó m â u t h u ẫ n gì íiiữa lí l u ậ n và thực t i ễ n hay irong n ộ i b ộ lí l u ậ n . B ở i l ẽ v i ệ c p h ư ơ n g trình ax + bx + c = 0 k h ô n g c ó n g h i ệ m k h i A < 0 k h ô n g l à m cho n g ư ờ i ta băn k h o ă n , t h á c m ắ c . C h ă n lĩ h ạ n , n ế u p h ở i g i ở i m ộ t b à i t o á n k i ể u n h ư tìm hai cạnh của m ộ t h ì n h c h ữ nhật biết nửa chu vi s v à d i ệ n tích p thì ta sẽ đi đ ố n p h ư ơ n g trình s 2 X - Sx + p = 0 v ớ i A = s 2 - 4P. N ế u s 2 p > — - thì p h ư ơ n g < 4F hay 4 trình v ỏ n h g i ệ m nhung đ i ê u đ ó l ạ i phù hợp với {hực t i ễ n hì d i ệ n lích bị hạn c h ế b ở i chu v i , d i ệ n lích p u i ỏ i l ắ m chỉ b à n g m ộ i phẩn lư bình p h ư ơ n g của nửa chu v i . T r o n c đ ờ i s ố n ạ , nếu c ó ai thum lam m u ố n c ó một cái p h ò n g rộng m à chu v i l ạ i nhỏ thì chỉ là một ước m u ố n k h ồ n c t ư ở n g , sẽ bị m ọ i n g ư ờ i c h ê cười là: " T h a m t h ế ! Đ ố n 16
thánh c ũ nu khòm: chiều đirực". v é lí luận cũng chảng c ó vấn đổ C.Ì vì khi À < 0 thì rõ ràng đường parabol y = ax + bx + c không cắt trục Ox. Phải dại đến khi lũải phươno trình bậc ba thì mâu thuẫn mới xuất hiện. Ta thử áp dụrm phươnc pháp Cacđanô để giai phươne trình bậc ba:- V-x = 0 (1) rõ ràrrn phưưnu trình (1) có ba nghiệm là 0, + 1 , - Ì nhưng ciải bàng phương pháp Cacđanô thì bế tắc: ta thay đ ổ i ẩn số bằng cách đạt X = y + 7. với ràng buủc giữa y và z là: yz = —. T h ế thì ( ĩ ) trở thành: 3 3 (y + z ) - ( y + z) = 0 hay y + 7 + 3y z + 3yz - (y + /.) = 0 1 hav y' + z \ + 3yz(y + z) - (y + z) = 0 1 hay ý + z"' 4- (ý + z)(3yz - Ì) = 0 hay y + z = 0 vì 3yz = Ì Đạt Y = Y , 7S = z ta có: "• Y + Z = 0 Ì Y Z = —- 27 Vậv Y, z là hai nghiệm của phương trình: 2 X + ~ = 0 (2) 27 Trong trường hợp tổng quát, đẽ' giải phương trình X"' + px + q = 0 (heo phương pháp Cacđíinô, Híurời ta CŨ112 đạt Ị) X = V + z với ràng buộc ciữa y và z là yz =•• — —-. T ừ (ló sẽ lúi ra 3 f -— nluniii, ở vô sau phái 2 V 4 27 chọn (lược can hác ba c ó lích bần" — TQI/ r 003744 17
Phương trình (2) vô nehiệm trong lúc phương trinh (1) rõ ràng có ba nghiệm 0, + 1 , - 1 . Đâv đúng là một mâu thuẫn trong nội bộ lí luận. Cách giải của Cacđanô rất chính xác nhưng dẫn tới bế tắc) Thật chẳng khác g ì trong truyện cổ tích, nhìn thấy từ ta m ộ i đô thị sầm uất, có đường Ihẳng bâng tới đó nhunẹ cỗ xe tới gần thì đành chịu không sao vào đườc vì có một con sông chắn ngang mà không có cầu, phá gì cả. Tĩnh hình đó đ ồ i hỏi người ta phải xem xét lại việc trước đây hễ cứ gặp căn bậc hai của các số âm là người ta xem như đồ bỏ đi vì vô nghĩa. Hãy táo bạo thử xem nó là có nghĩa để xem tình hình sẽ diễn biến thế nào. T h ế thì (2) có hai nghiệm là: •v/^ĩ—— và - V-ĩ——. Đ ó là ỵ và TỈ. Đ ể tìm y và z phải khai căn } 9 9 *- ™ bậc ba của "^~ĩ. Rổ ràng \ là một căn bậc ba của . Nhưng khi đã chấp nhận là có nghĩa thì phải cẩn thận, đừng vội vàng cho rằng chỉ có một căn bậc ba là ~ V - Ĩ ; phải tìm thêm xem có còn những căn bậc ba khác của "^"^dạng m + //V—ĩ hay khô ng? Lập phương số này lên, thay ( V - ĩ ) 2 bằng -Ì thì sẽ thấy ngay m = ± - — và n Vậy có ba căn bác 2 ba là: rĩ Ể_ ——+-— 2 2 2 2 Vậy ta có ba giá trị của y và ba giá trị của z là: V3 r- ( , S(á si\ ' Si s + - .Vi = - 3 3 2 2 Vã 4Ì{4Ĩ 2, = - Á 3 £ + - 2 18