intTypePromotion=3

Khai thác vẻ đẹp toán học thông qua một số bài tập về dãy số

Chia sẻ: DanhVi DanhVi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

0
7
lượt xem
0
download

Khai thác vẻ đẹp toán học thông qua một số bài tập về dãy số

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài viết đi sâu khai thác vẻ đẹp toán học qua một số ví dụ về dãy số có quy luật. Các ví dụ này được khai thác theo nhiều hướng khác nhau, trong đó chú trọng chứng minh không dùng lời. Qua đó, học sinh thấy được cái hay, cái đẹp của toán học và giúp các em yêu thích học toán hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Khai thác vẻ đẹp toán học thông qua một số bài tập về dãy số

VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 33-35<br /> <br /> KHAI THÁC VẺ ĐẸP TOÁN HỌC THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ<br /> Trần Đình Châu - Bộ Giáo dục và Đào tạo<br /> Đặng Thị Thu Thủy - Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam<br /> Ngày nhận bài: 02/11/2017; ngày sửa chữa: 21/11/2017; ngày duyệt đăng: 07/12/2017.<br /> Abstract: The article explores beauty of mathematics through some examples of rule sequences.<br /> These examples are explained in various methodologies, focusing on proof without words.<br /> Thereby the students see the art of Mathematics and learn this subject better.<br /> Keywords: Beauty of mathematics, sequences, problems.<br /> 1. Mở đầu<br /> Theo Bertrand Russell: Toán học không chỉ sở hữu<br /> chân lí mà còn ẩn chứa bên trong đó vẻ đẹp tối thượng,<br /> một vẻ đẹp lạnh lùng và mộc mạc, giống như một bức<br /> điêu khắc, thuần khiết tinh diệu và có khả năng đạt đến<br /> sự hoàn hảo chặt chẽ mà chỉ có thứ nghệ thuật vĩ đại nhất<br /> mới có thể thể hiện [1].<br /> Vẻ đẹp trong toán học cũng gần như vẻ đẹp của<br /> những bức tranh trừu tượng; xét ở góc độ nào đó, toán<br /> học phản ánh vẻ đẹp của thế giới mà chúng ta đang sống.<br /> Học sinh (HS) tìm hiểu vẻ đẹp toán học để thêm yêu môn<br /> Toán và cuộc sống xung quanh. Nhiều HS sợ học toán vì<br /> nghĩ rằng toán học khô khan (chỉ gồm những con số, hình<br /> vẽ, công thức,...). Bài viết khai thác một số bài tập về dãy<br /> số theo nhiều hướng khác nhau, trong đó chú trọng cách<br /> chứng minh không dùng lời, qua đó góp phần tích cực<br /> hóa hoạt động nhận thức của HS, giúp các em yêu thích<br /> học môn Toán hơn.<br /> 2. Nội dung nghiên cứu<br /> Trong dạy học môn Toán, có thể chú trọng khai thác<br /> vẻ đẹp toán học thông qua một số hướng như: Khai thác<br /> nhiều cách giải bài toán; Thay đổi yêu cầu bài toán; Mở<br /> rộng bài toán; Chứng minh không dùng lời (dùng hình<br /> vẽ); Khai thác ứng dụng thực tiễn của toán học; Lịch sử<br /> phát minh toán học; Các bài toán vui, trò chơi toán<br /> học,...<br /> Khai thác vẻ đẹp của toán học giúp HS thấy được cái<br /> hay, cái đẹp của toán học và sự gắn kết giữa toán học với<br /> thực tiễn. Qua đó, góp phần giáo dục toàn diện cho HS<br /> thông qua dạy học môn Toán như: rèn luyện tính kiên trì,<br /> tỉ mỉ, tăng cường kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin,<br /> khả năng hội họa, phát triển năng lực giải quyết vấn đề<br /> và sáng tạo, năng lực thẩm mĩ, tập dượt nghiên cứu khoa<br /> học,... giúp các em thấy được sự thú vị trong toán học,<br /> yêu thích học tập môn Toán hơn.<br /> Ví dụ 1: Tính tổng sau:<br /> 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> A    <br /> <br /> 2 4 8 16 32 64<br /> <br /> 33<br /> <br /> Với bài tập này, ta có thể khai thác theo nhiều hướng<br /> khác nhau:<br /> Hướng 1: Khai thác nhiều cách giải bài toán. Với HS<br /> lớp 6, các em có thể tính được tổng trên bằng nhiều cách<br /> như: quy đồng mẫu số, hoặc cách giải ngắn gọn hơn là<br /> tính hiệu 2A - A, suy ra kết quả.<br /> HS có thể sử dụng phương pháp diện tích, biểu diễn<br /> các phân số trong một hình vuông có cạnh bằng 1, từ đó<br /> dễ dàng tính được A. Hình 1 dưới đây là một trong các<br /> cách giải bài toán mà không cần dùng lời.<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8<br /> 1<br /> <br /> 64<br /> <br /> 32<br /> <br /> Hình 1<br /> HS dễ dàng tính được diện tích phần không tô màu<br /> bằng diện tích hình vuông có cạnh bằng 1, trừ đi diện tích<br /> phần tô màu, từ đó thu được kết quả.<br /> Hướng 2: Thay đổi yêu cầu bài toán. Chẳng hạn, so<br /> sánh tổng A với 1, chứng minh A nhỏ hơn 1,...<br /> Với yêu cầu này, HS sử dụng hình 1 sẽ nhanh chóng<br /> có kết quả A < 1.<br /> Hướng 3: Mở rộng bài toán với hữu hạn số số hạng.<br /> Chẳng hạn, năm nay là năm 2017, chứng minh bất đẳng<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> thức:  2  3  4  ...  2017  1<br /> 2 2<br /> 2<br /> 2 2<br /> Bài toán này có thể giải tương tự phương pháp tính A<br /> ở trên, tuy nhiên sử dụng hình 1, HS sẽ dễ dàng nhận ra<br /> kết quả A < 1.<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 33-35<br /> <br /> Hướng 4: Mở rộng bài toán với vô hạn số số hạng.<br /> Chẳng hạn, tính A:<br /> 1 1 1 1<br /> A      ...<br /> 2 4 8 16<br /> Với HS lớp 11, sau khi học cấp số nhân, các em sẽ<br /> tính được tổng của dãy vô hạn trên bằng 1. Với một tổng<br /> vô hạn, biểu diễn dãy trên như hình 1 bằng cách liên tiếp<br /> chia nhỏ các hình vuông theo quy luật, HS sẽ nhận ra A<br /> tiến dần đến 1 (sử dụng phần mềm Geometer’s<br /> Sketchpad sẽ vẽ chính xác các hình này) (xem hình 2).<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> c)<br /> <br /> Hướng 6: Giải toán không dùng lời (thông qua hình<br /> vẽ) (dành cho HS trung học cơ sở).<br /> Chẳng hạn:<br /> 1) Tính các tổng sau:<br /> 1 1 1 1<br /> a)   <br /> 2 4 8 16<br /> <br /> 1 1 1 1<br /> 1<br />    <br /> 2 4 8 16 32<br /> 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> c)    <br /> <br /> 2 4 8 16 32 64<br /> Dễ dàng thu được kết quả khi biểu diễn chúng trên<br /> hình 3:<br /> b)<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8<br /> 1<br /> <br /> 64<br /> <br /> 32<br /> <br /> c)<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 3<br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 32<br /> 1<br /> <br /> 42<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 33<br /> 1<br /> <br /> 43<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 34<br /> 1<br /> <br /> 44<br /> <br />  ... <br /> <br />  ... <br /> <br /> 32017<br /> 1<br /> <br /> 42017<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> Hình 2<br /> Hướng 5: Mở rộng bài tập trên bằng một chùm các<br /> bài tập tương tự.<br /> Chẳng hạn:<br /> - Tính các tổng sau (dành cho HS trung học cơ sở):<br /> 1 1 1<br /> 1<br /> <br /> a)  <br /> 3 9 27 81<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> b)  <br /> <br /> 4 16 64 256<br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> c) <br /> <br /> <br /> 5 25 125 625<br /> - Chứng minh các bất đẳng thức sau (dành cho HS<br /> trung học cơ sở):<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> a)<br />  2  3  4  ...  2017  1<br /> b)<br /> <br /> 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> <br />  ...<br /> 5 25 125 625<br /> <br /> 1<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8<br /> <br /> a)<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1<br /> <br /> 8<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 32<br /> <br /> 32<br /> <br /> b)<br /> <br /> 64<br /> <br /> c)<br /> <br /> Hình 3<br /> Để tìm được kết quả trên, HS cần “động não”, suy<br /> luận, từ diện tích hình vuông đơn vị bằng 1 sẽ suy ra diện<br /> tích của nửa hình vuông, diện tích của một phần tư hình<br /> vuông,... HS dễ dàng tìm được diện tích hình tô màu bằng<br /> 1 1 1<br /> của hình vuông, do đó diện tích phần hình<br /> ; ;<br /> 16 32 64<br /> không tô màu trong hình 3a, 3b, 3c theo thứ tự sẽ bằng<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> .<br /> 1  ;1  ;1 <br /> 16<br /> 32<br /> 64<br /> 2) Chứng minh:<br /> 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> a)    <br /> 2 4 8 16 32 64<br /> <br /> 1 1 1 1<br /> 1<br /> 1<br />     <br />  ...  1<br /> 2 4 8 16 32 64<br /> Đây là 3 cách chứng minh thông qua biểu diễn chúng<br /> trên các hình sau (xem hình 4):<br /> b)<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> - Tính các tổng sau (dành cho HS lớp 11)<br /> 1 1 1<br /> 1<br />   ...<br /> a)  <br /> 3 9 27 81<br /> 1 1<br /> 1<br /> 2<br /> <br />  ...<br /> b)  <br /> 4 16 64 256<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 64<br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 32<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 16<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1<br /> 8<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 16<br /> 1<br /> <br /> 8<br /> 1<br /> <br /> 16<br /> <br /> 32<br /> <br /> 64<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 64<br /> <br /> 32<br /> <br /> a)<br /> <br /> b)<br /> <br /> Hình 4<br /> <br /> 34<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> c)<br /> <br /> VJE<br /> <br /> Tạp chí Giáo dục, Số 421 (Kì 1 - 1/2018), tr 33-35<br /> <br /> 1<br /> , suy ra điều<br /> n<br /> phải chứng minh. Dưới đây là cách chứng minh không<br /> dùng lời.<br /> <br /> 3) Chứng minh:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> a)<br />  2  3  ...  2017 <br /> 4 4 4<br /> 4<br /> 3<br /> 1<br /> <br /> b)<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 4<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br />  ... <br /> <br /> Từ đó, suy ra tổng trên nhỏ hơn 1 <br /> <br /> 1<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> Đây là 3 cách chứng minh bằng cách biểu diễn chúng<br /> trên các hình sau:<br /> <br /> 1<br /> <br /> 72<br /> <br /> 32<br /> 1<br /> 62<br /> <br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 64<br /> <br /> 16<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 64<br /> <br /> 64<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 16<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> <br /> 1<br /> b)<br /> <br /> a)<br /> <br /> Hình 5<br /> Xu hướng giải toán, chứng minh bằng hình vẽ hay<br /> chứng minh không dùng lời đã xuất hiện từ lâu (chẳng<br /> hạn sử dụng hình vẽ để chứng minh định lí Pitago, định<br /> lí Talet,...). Cách chứng minh này có ưu điểm là cách giải<br /> ngắn gọn, trực quan, sáng tạo, độc đáo, có thể chuyển<br /> những kiến thức, khái niệm trừu tượng của toán học trở<br /> nên gần gũi hơn. Tuy nhiên khi “đọc” lời giải bằng hình<br /> (không lời), người đọc phải tư duy, suy luận, không có<br /> ngay kết quả một cách tường minh như khi đọc một lời<br /> giải có lời. Đây chính là yếu tố thú vị của việc chứng<br /> minh không dùng lời, qua đó kích thích hứng thú của HS,<br /> các em có thể sáng tạo thêm nhiều cách giải mới.<br /> Ví dụ 2: Chứng minh rằng:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  2  2  2  2  2 1<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 7<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br /> n<br /> <br /> Có nhiều cách chứng minh, với HS trung học cơ sở<br /> có thể giải bằng cách:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 32<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> <br /> 3<br /> <br /> ...<br /> 1<br /> <br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> <br /> <br /> 1<br /> 102<br /> 1<br /> <br /> 22<br /> 1<br /> 42<br /> <br /> 92<br /> 1<br /> 82<br /> <br /> HS có thể sáng tạo thêm nhiều cách giải khác.<br /> 3. Kết luận<br /> Khai thác vẻ đẹp của toán học như một số ví dụ trình<br /> bày ở trên giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp của toán<br /> học và sự gắn kết giữa toán học với thực tiễn. Qua đó,<br /> góp phần giáo dục toàn diện cho HS thông qua dạy học<br /> môn Toán như: rèn luyện tính kiên trì, tỉ mỉ, tăng cường<br /> kĩ năng sử dụng công nghệ thông tin, khả năng hội họa,<br /> tập dượt nghiên cứu khoa học,... giúp các em yêu thích<br /> học môn Toán hơn.<br /> <br /> 8<br /> <br /> Tương tự ví dụ 1, có thể mở rộng ví dụ 2 theo nhiều<br /> hướng như so sánh tổng trên với 1, thêm số số hạng, dãy<br /> hữu hạn, vô hạn. Chẳng hạn, chứng minh:<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> 1<br />  2  2  2  ...  2  1 (với n  2 ).<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 52<br /> <br /> c)<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> <br /> (n  1).n n 1 n<br /> <br /> 35<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> [1] Alfred S.Posamentier (2013). Vẻ đẹp toán học. NXB<br /> Dân trí.<br /> [2] Trần Đình Châu - Đặng Thị Thu Thủy (2011). Ứng<br /> dụng công nghệ thông tin trong dạy học môn Toán<br /> ở trường phổ thông. NXB Giáo dục Việt Nam.<br /> [3] G. Polya (1997). Toán học và những suy luận có lí.<br /> NXB Giáo dục.<br /> [4] Nguyễn Bá Kim (2009). Phương pháp dạy học môn<br /> Toán. NXB Đại học Sư phạm.<br /> [5] Nguyễn Thái Hòe (1996). Các phương pháp giải<br /> toán. NXB Giáo dục.<br /> [6] Hoàng Phê (1998). Từ điển tiếng Việt. NXB Khoa<br /> học xã hội Hà Nội.<br /> [7] G. Polya (1997). Toán học và những suy luận có lí.<br /> NXB Giáo dục.<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản