Khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon

KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI<br /> HAI MODE KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON<br /> NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi khảo sát các tính chất phi cổ điển của các<br /> trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon. Kết quả khảo sát cho thấy trong<br /> các trạng thái này tồn tại nén tổng và nén hiệu hai mode. Kết quả khảo sát còn<br /> cho thấy trong các trạng thái này tồn tại tính chất phản kết chùm và các trạng<br /> thái này vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. So với các trạng thái hai mode<br /> kết hợp thêm một photon thì trạng thái này thể hiện tính chất nén tổng và nén<br /> hiệu hai mode mạnh hơn, tuy nhiên sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz<br /> lại yếu hơn.<br /> Từ khóa: nén tổng hai mode, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz<br /> 1. GIỚI THIỆU<br /> Việc tạo ra các trạng thái phi cổ điển của trường điện từ được các nhà khoa học quan tâm<br /> hàng đầu, điển hình là trạng thái nén, trạng thái kết hợp chẵn, lẻ, đây là các trạng thái<br /> phi cổ điển vì chúng tuân theo các tính chất phi cổ điển. Vào năm 1991, Agarwal và Tara<br /> đã đề xuất ý tưởng về trạng thái kết hợp thêm photon [1] và cũng đã chứng minh được<br /> nó là một trạng thái phi cổ điển, thể hiện tính nén và tuân theo thống kê sub-Poisson.<br /> Việc thêm photon vào một trạng thái vật lý là một phương pháp quan trọng để tạo ra một<br /> trạng thái phi cổ điển mới. Trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon<br /> |ψiab = Nα,β (ˆ<br /> a+2 + ˆb+2 )|αia |βib ,<br /> trong đó Nα,β =<br /> <br /> (1)<br /> <br /> −1<br /> q<br /> |α2 + β 2 |2 + 4(|α|2 + |β|2 ) + 4<br /> là hệ số chuẩn hóa, a<br /> ˆ+ và ˆb+ lần<br /> <br /> lượt là toán tử sinh đối với mode a và mode b. Việc khảo sát tính chất đan rối và viễn tải<br /> lượng tử của trạng thái hai mode thêm hai photon đã được tác giả Nguyễn Thùy Dung [2]<br /> nghiên cứu. Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode<br /> kết hợp thêm hai photon vẫn chưa được đề cập đến. Vì vậy, trong bài báo này chúng tôi<br /> tiến hành khảo sát các tính chất phi cổ điển của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai<br /> photon.<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 01(33)/2015: tr. 44-53<br /> <br /> KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE...<br /> <br /> 45<br /> <br /> 2. KHẢO SÁT TÍNH CHẤT NÉN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE KẾT HỢP THÊM<br /> HAI PHOTON<br /> 2.1. Nén tổng hai mode<br /> Nén tổng hai mode được Hillery [3] đưa ra vào năm 1989. Một trạng thái được gọi là nén<br /> tổng nếu<br /> 1<br /> hˆ<br /> na + n<br /> ˆ b + 1i ,<br /> (2)<br /> 4<br /> <br /> <br /> <br /> 1  iϕ +ˆ+<br /> e a<br /> ˆ b + e−iϕ a<br /> trong đó h(∆Vˆϕ )2 i = Vϕ2 − hVϕ i2 , Vˆϕ =<br /> ˆˆb , n<br /> ˆa = a<br /> ˆ+ a<br /> ˆ là toán tử số<br /> 2<br /> hạt mode a, n<br /> ˆ b = ˆb+ˆb là toán tử số hạt mode b, ϕ là góc bất kì, a<br /> ˆ là toán tử hủy mode a<br /> và ˆb là toán tử hủy mode b.<br /> h(∆Vˆϕ )2 i <<br /> <br /> Để thuận tiện cho việc khảo sát ta đưa ra tham số S có dạng như sau:<br /> 1<br /> na + n<br /> ˆ b + 1i .<br /> S = h(∆Vˆϕ )2 i − hˆ<br /> 4<br /> <br /> (3)<br /> <br /> Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu tham số S < 0 và mức độ nén tổng<br /> càng mạnh nếu S càng âm.<br /> Đối với trạng thái |ψiab = Nα,β (ˆ<br /> a+2 + ˆb+2 )|αia |βib , ta có<br /> h <br /> i−1<br /> 2<br /> S = 4(α2 + β 2  + 4(|α|2 + |β|2 ) + 4)<br /> h<br /> × (2|α|6 + 16|α|4 + 28|α|2 + 8)|β|2 + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(e2iϕ β ∗4 + e−2iϕ β 4 )<br /> + (2|β|6 + 16|β|4 + 28|β|2 + 8)|α|2 + (|β|4 + 4|β|2 + 2)(e2iϕ α∗4 + e−2iϕ α4 )<br /> + (|α|4 + |β|4 + 8(|α|2 + |β|2 ) + 24)(e2iϕ α∗2 β ∗2 + e−2iϕ α2 β 2 )<br /> i<br /> + (2|α|2 |β|2 + 4(|α|2 + |β|2 ) + 8)(α2 β ∗2 + α∗2 β 2 )<br /> n<br /> − (|β|2 + 2)(eiϕ α∗3 β + e−iϕ α3 β ∗ ) + (|α|2 + 2)(e−iϕ α∗ β 3 + eiϕ αβ ∗3 )<br /> <br /> + (|α|4 + |β|4 + 6(|α|2 + |β|2 ) + 12)(eiϕ α∗ β ∗ + e−iϕ αβ)<br /> 2<br />  <br /> −1 o2<br /> × 2(α2 + β 2  + 4(|α|2 + |β|2 ) + 4)<br /> .<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa ), β = rb exp (iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb , đồng thời<br /> thay vào công thức (4) ta được<br /> h<br /> i−1<br /> S = 4(ra4 + rb4 + 4(ra2 + rb2 ) + 2ra2 rb2 Cos(2ϕa − 2ϕb ) + 4)<br /> h<br /> × (2ra2 rb2 + 4(ra2 + rb2 ) + 8)2ra2 rb2 Cos(2ϕa − 2ϕb ) + (ra4 + 4ra2 + 2)2ra4 Cos(2ϕa − 6ϕb )<br /> + (ra4 + rb4 + 8(ra2 + rb2 ) + 24)2ra2 rb2 Cos(−4ϕb ) + (rb4 + 4rb2 + 2)2rb4 Cos(−2ϕa − 2ϕb )<br /> <br /> 46<br /> <br /> NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br /> i<br /> + 2(ra6 + 16ra4 + 28ra2 + 8)rb2 + (2rb6 + 16rb4 + 28rb2 + 8)ra2<br /> n<br /> − (ra2 + 2)2rb3 ra Cos(2ϕa − 4ϕb ) + (ra4 + rb4 + 6(ra2 + rb2 ) + 12)2ra rb Cos(−2ϕb )<br />  <br /> −1 o2<br /> .<br /> + (rb2 + 2)2ra3 rb Cos(−2ϕa ) × 2(ra4 + rb4 + 4(ra2 + rb2 ) + 2ra2 rb2 Cos(2ϕa − 2ϕb ) + 4)<br /> <br /> Hình 1: Đồ thị khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai<br /> photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường<br /> liền nét).<br /> <br /> Đồ thị ở hình 1 khảo sát nén tổng hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm<br /> hai photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường<br /> π<br /> liền nét) với điều kiện khảo sát là ra = 2rb , ϕa = 2ϕb và ϕb = . Đồ thị cho thấy rằng<br /> 2<br /> trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện nén tổng hai mode mạnh hơn trạng<br /> thái hai mode kết hợp thêm một photon.<br /> 2.2. Nén hiệu hai mode<br /> Nén hiệu hai mode được Hillery [3] đưa ra vào năm 1989. Một trạng thái được gọi là nén<br /> hiệu nếu<br /> ˆ ϕ )2 i < 1 hˆ<br /> h(∆W<br /> na − n<br /> ˆ b i,<br /> 4<br /> <br /> <br /> ˆ ϕ )2 i = hW<br /> ˆ ϕ2 i − hW<br /> ˆ ϕ i2 , W<br /> ˆ ϕ = 1 eiϕ a<br /> trong đó h(∆W<br /> ˆˆb+ + e−iϕ a<br /> ˆ+ˆb .<br /> 2<br /> Để thuận tiện cho việc khảo sát đưa ra tham số D có dạng như sau:<br /> ˆ ϕ )2 i − 1 hˆ<br /> D = h(∆W<br /> na − n<br /> ˆbi .<br /> 4<br /> <br /> (5)<br /> <br /> (6)<br /> <br /> KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE...<br /> <br /> 47<br /> <br /> Một trạng thái được gọi là nén tổng hai mode nếu tham số D < 0 và mức độ nén tổng<br /> càng mạnh nếu D càng âm.<br /> Đối với trạng thái |ψiab = Nα,β (ˆ<br /> a+2 + ˆb+2 )|αia |βib , ta có<br /> h<br /> i−1<br /> 2<br /> D = 4(|α2 + β 2 | + 4(|α|2 + |β|2 ) + 4)<br /> h<br /> × (|α|4 + |β|4 + 8(|α|2 + |β|2 ) + 24)(e2iϕ α2 β ∗2 + e−2iϕ α∗2 β 2 ) + e2iϕ α4 β ∗4<br /> + (2|α|2 |β|2 + 4|α|2 + 6|β|2 + 12)(α∗2 β 2 + α2 β ∗2 ) + e−2iϕ α∗4 β 4 + 8<br /> + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(|β|4 + 4|β|2 + 2)(e2iϕ + e−2iϕ ) + 2|β|6 + 16|β|4<br /> i<br /> + (2|α|6 + 18|α|4 + 32|α|2 + 40)|β|2 + (2|β|6 + 16|β|4 + 32|β|2 + 8)|α|2<br /> n<br /> − (|α|4 + |β|4 + 6(|α|2 + |β|2 ) + 12)(eiϕ αβ ∗ + e−iϕ α∗ β) + e−iϕ α∗3 β 3 + eiϕ α3 β ∗3<br />  <br /> 2<br /> + (|α|2 |β|2 + 2(|α|2 + |β|2 ) + 4)(e−iϕ αβ ∗ + eiϕ α∗ β) × 2(|α2 + β 2 |<br /> −1 o2<br /> + 4(|α|2 + |β|2 ) + 4)<br /> .<br /> (7)<br /> <br /> Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa ), β = rb exp (iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb , đồng thời<br /> thay vào (7) ta được<br /> h<br /> i−1<br /> D = 4(ra4 + rb4 + 4(ra2 + rb2 ) + 2ra2 rb2 Cos(2ϕ) + 4)<br /> n<br /> × (ra4 + rb4 + 8(ra2 + rb2 ) + 24)2ra2 rb2 Cos(4ϕ) + 2ra4 rb4 Cos(6ϕ) + 2rb6 + 8ra2<br /> + (2ra2 rb2 + 4ra2 + 6rb2 + 12)2ra2 rb2 Cos(2ϕ) + (2ra6 + 18ra4 + 32ra2 )rb2 + 16rb4<br /> + (ra4 + 4ra2 + 2)(rb4 + 4rb2 + 2)2Cos(2ϕ) + (2rb6 + 16rb4 + 32rb2 )ra2 + 40rb2 + 8<br /> n<br /> − (ra4 + rb4 + 6(ra2 + rb2 ) + 12)2ra rb Cos(2ϕ) + 2ra rb (ra2 rb2 + 2(ra2 + rb2 ) + 4)<br />  <br /> −1 o2<br /> + 2ra3 rb3 Cos(4ϕ) × 2(ra4 + rb4 + 4(ra2 + rb2 ) + 2ra2 rb2 Cos(2ϕ) + 4)<br /> .<br /> <br /> o<br /> <br /> Đồ thị ở hình 2 khảo sát nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai<br /> photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường liền<br /> π<br /> nét) với điều kiện khảo sát là ra = 2rb , 0 ≤ rb ≤ 4 và ϕ = .<br /> 3<br /> Đồ thị cho thấy trong cùng một điều kiện khảo sát nhưng tính chất nén hiệu hai mode của<br /> trạng thái hai mode kết hợp thêm hai photon thể hiện mạnh hơn trạng thái hai mode kết<br /> hợp thêm một photon.<br /> <br /> 48<br /> <br /> NGUYỄN THANH PHÁP - TRƯƠNG MINH ĐỨC<br /> <br /> Hình 2: Đồ thị khảo sát nén hiệu hai mode của trạng thái hai mode kết hợp thêm hai<br /> photon (đường gạch gạch) và trạng thái hai mode kết hợp thêm một photon (đường<br /> liền nét).<br /> <br /> 3. KHẢO SÁT CÁC TÍNH CHẤT PHI CỔ ĐIỂN CỦA TRẠNG THÁI HAI MODE<br /> KẾT HỢP THÊM HAI PHOTON<br /> 3.1. Sự vi phạm bất đẳng thức Cauchy-Schwarz<br /> Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho trường hợp hai mode là<br /> <br /> +2 2  +2 2 21<br /> [ a<br /> ˆ a<br /> ˆ hˆb ˆb i]<br /> I=<br /> − 1 > 0.<br /> |hˆ<br /> a+ a<br /> ˆˆb+ˆbi|<br /> <br /> (8)<br /> <br /> Sự vi phạm bất đẳng thức xảy ra khi I < 0. Đối với trạng thái hai mode kết hợp thêm hai<br /> photon ta thu được kết quả sau:<br /> n<br /> I = |α|8 + 12|α|6 + 38|α|4 + 32|α|2 + (|α|4 + 4|α|2 + 2)(α2 β ∗2 + α∗2 β 2 )<br />  <br /> + (|β|4 + 4|β|2 + 2)|α|4 + 4 × |β|8 + 12|β|6 + 38|β|4 + 32|β|2 + 4<br /> o 12<br /> + (|β|4 + 4|β|2 + 2)(β 2 α∗2 + β ∗2 α2 ) + (|α|4 + 4|α|2 + 2)|β|4<br /> n<br /> × (|α|6 + 8|α|4 + 14|α|2 + 4)|β|2 + (|β|6 + 8|β|4 + 14|β|2 + 4)|α|2<br /> o−1<br /> + (|α|2 |β|2 + 2|α|2 + 2|β|2 + 4)(α2 β ∗2 + α∗2 β 2 )<br /> − 1.<br /> <br /> (9)<br /> <br /> Để đơn giản chúng ta đặt α = ra exp (iϕa ), β = rb exp (iϕb ) và ϕ = ϕa − ϕb , đồng thời<br /> thay vào công thức (9) ta được<br /> n<br /> <br /> I = ra8 + 12ra6 + 38ra4 + 32ra2 + 4 + (ra4 + 4ra2 + 2)2ra2 rb2 Cos(2ϕ) + (rb4 + 4rb4 + 2)ra4<br /> <br />