Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nhiệt dung Cv của phonon âm

Chia sẻ: Minh Nhân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài “Nhiệt dung CV của phonon âm” có kết cấu gồm 3 chương như sau: Chương 1: Những khái niệm cơ bản; Chương 2: Phonon âm; Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm. Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khóa luận tốt nghiệp đại học: Nhiệt dung Cv của phonon âm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ====== ĐỖ THỊ KIM VUI NHIỆT DUNG CV CỦA PHONON ÂM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khóa luận: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan ThS Đỗ Thị Thu Thủy HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn đến tất cả thầy giáo, cô giáo Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tận tình giảng dạy giúp đỡ em trong suốt thời gian theo học tại trường và đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô Nguyễn Thị Hà Loan và cô Đỗ Thị Thu Thủy người trực tiếp hướng dẫn em đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ em hoàn thiện đề tài khóa luận tốt nghiệp này. Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng do lần đầu làm công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế về kinh nghiệm và kiến thức nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. Hà Nội, tháng 4 năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui
LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của cô Nguyễn Thị Hà Loan và cô Đỗ Thị Thu Thủy khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đề tài nào khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là có nguồn gốc và trích dẫn rõ ràng. Em xin chịu trách nhiệm hoàn toàn về lời cam đoan này. Hà Nội, tháng 4 năm 2018 Sinh viên Đỗ Thị Kim Vui
MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN PHẦN I: MỞ ĐẦU ........................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài .................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................ 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................... 1 4. Đối tượng nghiên cứu ........................................................................... 2 5. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2 6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................ 2 PHẦN II: NỘI DUNG ...................................................................................... 3 Chương 1: Những khái niệm cơ bản ................................................................. 3 1.1. Hàm phân bố...................................................................................... 3 1.2. Nội năng ............................................................................................ 6 1.3. Nhiệt dung ......................................................................................... 8 Chương 2: Phonon âm..................................................................................... 12 2.1. Phonon âm ....................................................................................... 12 2.2. Phonon âm và phonon quang (mạng hai chiều) .............................. 20 Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm ........................................................... 25 3.1. Nhiệt dung của phonon âm.............................................................. 25 3.1 Nhiệt dung của vật rắn ........................................................................ 28 PHẦN III: KẾT LUẬN ................................................................................... 40 PHẦN IV: TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................ 41
PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, các vật liệu trong tự nhiên hay đang được sử dụng hàng ngày trong đời sống của con người, có thể tồn tại ở thể rắn, thể lỏng hoặc thể khí. Do vậy, vật lý học cũng chia thành các chuyên ngành nghiên cứu sự vận động của vật chất ở ba thể tồn tại trên. Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lý chất rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lý chất rắn đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử,…Trong những năm gần đây, xuất hiện hàng loạt công trình về siêu dẫn nhiệt độ cao, đặc biệt là công nghệ nanô làm cho vị trí của ngành vật lý chất rắn ngày càng thêm nổi bật. Vật lý chất rắn chủ yếu đề cập đến các tính chất vật lý tổng quát mà tập hợp nhiều các nguyên tử và phân tử thể hiện trong sự sắp xếp một cách đều đặn và tạo thành các tinh thể và năng lượng của dao động mạng bị lượng tử hóa. Lượng tử năng lượng này được gọi là phonon. Phonon không phải là các hạt thật mà chỉ là các giả hạt hay còn được gọi là các chuẩn hạt. Việc nghiên cứu về tính chất vật lý của phonon đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu những tính chất vật lý của các chất rắn, em thấy mình bị lôi cuốn và muốn tìm hiểu và khám phá hơn nữa về nó. Đặc biệt nhất là về trạng thái dao động của các giả hạt. Chính vì những lý do trên, em quyết định chọn tên đề tài là: “ Nhiệt dung CV của phonon âm” để nghiên cứu và tìm hiểu sâu rộng hơn về vấn đề này. 2. Mục đích nghiên cứu  Nghiên cứu phonon âm và tính nhiệt dung của phonon âm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
 Nghiên cứu dao động tử điều hòa  Nghiên cứu nhiệt dung của hệ hạt lượng tử  Tính nhiệt dung của phonon âm 4. Đối tượng nghiên cứu  Nghiên cứu hệ nhiều hạt và tính nhiệt dung đẳng tích của chúng 5. Phương pháp nghiên cứu  Phương pháp nghiên cứu của vật lý thống kê  Phương pháp nghiên cứu của giải tích toán học 6. Cấu trúc khóa luận  Đề tài “Nhiệt dung CV của phonon âm” có kết cấu gồm 3 phần: Mở đầu, nội dung, kết luận, tài liệu tham khảo.  Phần nội dung được chia làm 3 chương:  Chương 1: Những khái niệm cơ bản  Chương 2: Phonon âm  Chương 3: Nhiệt dung của phonon âm 2
PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Những khái niệm cơ bản 1.1. Hàm phân bố Những đại lượng ngẫu nhiên có một tập hợp vô hạn các trị số khác nhau vô cùng gần nhau (phổ liên tục) thì xác suất của một biến cố riêng biệt trong đó đại lượng ngẫu nhiên có một trị số nào đó thật chính xác sẽ bằng không. Vì vậy sẽ chỉ có nghĩa khi ta nói về xác suất sao cho đại lượng ngẫu nhiên đó có các trị số phân bố trong một khoảng ∆x nào đó từ x cho đến x + ∆x. Xác suất tìm thấy đại lượng x trong khoảng ∆x được kí hiệu là ∆W(x). Khi chuyển tới khoảng vô cùng nhỏ các giá trị dx thì xác suất sẽ là dW(x) sao cho đại lượng ngẫu nhiên có thể lấy các trị số từ x đến x + dx sẽ: phụ thuộc vào trị số x đó hay nó là một hàm f(x) nào đó; tỉ lệ với chiều rộng của khoảng dx. Vì vậy ta có thể viết xác suất dW(x) như sau: dW(x) = f(x)dx Tập hợp tất cả các trị số của sác xuất của một đại lượng ngẫu nhiên đã cho sẽ tạo nên phân bố của đại lượng ngẫu nhiên đó, sự phân bố này được xác định bởi hàm f(x). Hàm f(x) được gọi là hàm phân bố và được biểu thị bằng một công thức xác định: ( ) ( )= Một trong các nhiệm vụ cơ bản của vật lí thống kê là tìm các hàm phân bố của các đại lượng ngẫu nhiên. Ta nêu lên một số hàm phân bố đó: 1.1.1. Phân bố chính tắc Gisbbs: Khi khảo sát hệ đẳng nhiệt có số hạt thay đổi. Tại mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: 3
(1.1.1) ( , ) ( , )= − ( ) Trong đó Z: tích phân trạng thái X: biến số trạng thái H: năng lượng của hạt : môđun của phân bố a: thông số ngoài 1.1.2. Phân bố chính tắc lớn Gisbbs: Trong vật lí học ta còn gặp những hệ trong đó không những năng lượng biến đổi mà ngay cả số hạt trong hệ cũng có thể thay đổi, đó là hệ có số hạt thay đổi. Ở mỗi thời điểm, số hạt của hệ là không đổi nhưng ở thời điểm sau, số hạt trong hệ sẽ thay đổi (tăng hoặc giảm) nên ta có thể áp dụng phân bố chính tắc lớn Gibbs cho hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: (1.1.2) 1 = . − ! ( ) Trong đó k: hằng số Boltzmann T: nhiệt độ tuyệt đối : thế hóa học của hạt N: số hạt của hệ 1.1.3. Phân bố Maxwell – Boltzmann Áp dụng với hệ các hạt không tương tác, trong hệ đó các hạt được coi là khác nhau và năng lượng có thể có phổ liên tục cũng như rời rạc . Khi ta chia không gian pha ra làm các “ô” tương ứng với các giá trị khác nhau của năng lượng và xét các sự phân bố khác nhau của các hạt của hệ theo các ô đó, từ đó tìm ra được số các trạng thái vi mô khả hữu của hệ tương thích với những điều kiện bên ngoài nhất định tức là tìm được xác suất nhiệt động của hệ, sau đó dựa vào nguyên lý Bônxơman tìm được entropi của hệ và 4
dựa vào điều kiện cực đại của entropi khi có cân bằng nhiệt động ta tìm được phân bố thống kế của hệ và khi đó hàm phân bố hay tích phân trạng thái của hệ là: − (1.1.3) = ( ) Trong đó: : năng lượng của hạt thứ i ( ): bội suy biến của mức 5
1.2. Nội năng Nội năng của một vật gồm toàn bộ các dạng năng lượng bên trong của vật. Nội năng bao gồm: 1. Năng lượng chuyển động nhiệt của các phân tử 2. Thế năng tương tác giữa các phân tử 3. Thế năng tương tác giữa các nguyên tử trong từng phân tử 4. Động năng và thế năng tương tác của các hạt cấu tạo nên nguyên tử (hạt nhân và electron) Hai dạng năng lượng cuối (3 & 4) gọi chung là năng lượng bên trong các phân tử. Xét với 1 kmol vật chất thì ta có biểu thức: = + + (1.2.1) U0 – Nội năng của 1 kmol E0 – Nhiệt năng của 1 kmol Et – Tổng thế năng tương tác giữa các phân tử Ep – Tổng năng lượng nội phân tử Dưới đây ta sẽ đưa ra một cách định nghĩa nội năng thông qua phân bố Gibbs. Hàm trạng thái được xác định bởi hệ thức: =− được gọi là năng lượng tự do của hệ. Vì các mức năng lượng của hệ phụ thuộc số hạt N của hệ và phụ thuộc các tham số ngoại x cho nên tổng thống kê Z là hàm của T, x và N. Từ đó ta thấy năng lượng tự do là hàm của T, x và N: = ( , , ) 6
Năng lượng tự do F và năng lượng trung bình (nội năng) U của hệ có liên hệ với nhau.Theo định nghĩa trung bình thống kê, ta có: = ( ) [ ] Sử dụng phân bố Gibbs, ta có: 1 = = [ ] [ ] = = ln Như vậy , nội năng U theo phân bố Gibbs được xác định bằng: (1.2.2) = ln trong đó: k: hằng số Boltzmann T: nhiệt độ tuyệt đối Z: tích phân trạng thái 7
1.3. Nhiệt dung 1.3.1. Khái niệm nhiệt dung Nhiệt dung là một trong những đại lượng cơ bản của nhiệt học, muốn tìm hiểu được nhiệt dung ta cần xem xét một số khái niệm cơ bản của nhiệt động lực học như nhiệt độ, nhiệt lượng, nội năng. Vật lý phân tử và nhiệt học đã xem xét khái niệm nhiệt độ như sau: Khi để hai vật tiếp xúc với nhau thì các phân tử của hai vật do chuyển động hỗn loạn sẽ va chạm vào nhau và do đó có sự trao đổi năng lượng. Vật mà động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật lớn hơn sẽ bị mất năng lượng. Vật đó là vật nóng hơn. Vật mà động năng trung bình của chuyển động tịnh tiến của phân tử trong vật nhỏ hơn thì sẽ nhận thêm động năng Vật đó là vật lạnh hơn. Để đặc trưng cho độ nóng lạnh của vật người ta sử dụng khái niệm nhiệt độ. Như vậy, theo quan điểm động lực học phân tử: Nhiệt độ là đại lượng đặc trưng cho tính chất vĩ mô của vật, thể hiện mức độ nhanh hay chậm của chuyển động hỗn loạn các phân tử cấu tạo nên vật đó. Một sự thay đổi về nhiệt độ là do có sự truyền năng lượng giữa hệ và môi trường, năng lượng này là nội năng (hay nhiệt năng). Một phần nội năng truyền dưới dạng nhiệt lượng và ký hiệu là Q. Nhiệt lượng dương (Q>0) khi nội năng được truyền từ môi trường xung quanh sang hệ, nhiệt lượng âm khi môi trường nội năng được truyền từ hệ sang môi trường xung quanh. Từ hai khái niệm về nhiệt độ và nhiệt lượng ta có khái niệm về nhiệt dung như sau: Nhiệt dung được đo bằng lượng nhiệt cần thiết để đốt nóng hệ lên 10 nghĩa là (1.3.1) = 8
Về đơn vị: Nhiệt dung đo bằng Calo hoặc Jun (1J = 0,24 cal). Nhiệt độ đo bằng Kelvin (K). Do đó đơn vị của nhiệt dung là J/K hoặc cal/K. Khi hai vật làm cùng một chất liệu ta sẽ có nhiệt dung tỉ lệ với khối lượng của chúng. Ta định nghĩa: Nhiệt dung riêng (c) của một chất bất kỳ là một đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất đó để làm tăng nhiệt độ thêm 10. Ta có: = ∆ (1.3.2) Đơn vị của nhiệt dung riêng: J/Kg.K hay cal/Kg.K Nhiệt dung phân tử gam (nhiệt dung mol). Trong nhiều trường hợp, các đại lượng vật chất tính ra mol, do đó nhiệt dung cũng phải tính theo mol gọi là nhiệt dung mol. 1 mol = 6,023.1023 đơn vị cơ bản của lượng chất. Đơn vị của nhiệt dung mol: J/mol.K. Chú ý rằng nhiệt dung mol của tất cả các chất rắn thay đổi khi nhiệt độ thay đổi. Khi nhiệt độ đủ cao nó tiến gần tới 25 J/mol.K. Như vậy, nhiệt dung phân tử gam của một chất bất kì là một đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một mol chất ấy để làm tăng nhiệt độ thêm 10C, nghĩa là: (1.3.3) = 1.3.2. Nhiệt dung đẳng tích Khi ta gắn nhiệt dung cho một chất nào đó, ta không chỉ cần biết có bao nhiêu nhiệt đã được hấp thụ mà còn cần biết trong điều kiện nào đã xảy ra sự 9
truyền nhiệt. Với chất lỏng và chất rắn người ta giả định rằng vật chất trao đổi nhiệt khi thể tích không đổi. Theo thực nghiệm người ta thấy với chất rắn và chất lỏng thì nhiệt dung riêng khi thể tích không đổi thường khác nhau không quá một vài phần trăm. Mật độ ở trong một thể tích phụ thuộc vào nồng độ khí cho nên đối với các thể tích không đổi thì nhiệt dung phụ thuộc vào thể tích này. Với các chất khí khác nhau, với cùng mật độ trong thể tích khác nhau thì nhiệt dung rất là khác nhau. 1.3.3. Biểu thức tính nhiệt dung đẳng tích Theo (1.3.3), nhiệt dung đẳng tích (Cv) được tính theo biểu thức dưới đây: (1.3.4) = Theo nguyên lí thứ nhất của nhiệt động lực học: Nội năng là hàm đơn giá của trạng thái, ta có: = + (1.3.5) Khi thể tích không đổi thì = =0 Từ (1.3.5) ta có: = Do đó: (1.3.6) = 10
Kết luận: Ở chương 1, em đã tìm hiểu và trình bày được các khái niệm cơ bản như là hàm phân bố, nội năng, nhiệt dung. Các khái niệm này dùng đối với hệ có số hạt rất lớn tuân theo quy luật thống kê: + Đối với hệ hạt mà có số hạt thay đổi thì sẽ tồn tại thế hóa học + Đối với hệ hạt mà có số hạt cố định thì thế hóa học =0 11
Chương 2: Phonon âm 2.1. Phonon âm a/ Lý thuyết cổ điển Mạng tinh thể đơn giản nhất là chuỗi các nguyên tử cùng loại xếp đặt cách đều nhau một khoảng bằng a (hằng số mạng tinh thể) trên trục Ox, mỗi nguyên tử có khối lượng M và dao động xung quanh vị trí cân bằng của nó (hình vẽ). Hình 1: Chuỗi nguyên tử cùng loại Đánh số các nguyên tử bằng một chỉ số nguyên n, tọa độ của nguyên tử thứ n ở vị trí cân bằng là xn = Còn dịch chuyển của nguyên tử này là un(t) với ( )= ( , ) Giả thiết rằng thế năng giữa hai nguyên tử kế nhau, ở các nút thứ n và n+1, tỉ lệ với bình phương độ dời tương đối. ( )− ( ) Và bỏ qua tương tác giữa các nút không kề nhau Khi đó thế năng toàn phần của hệ là = [ ( )− ( )] 2 12
Với là hệ số tỉ lệ, còn động năng toàn phần của hệ là ( ) = 2 Lực tác dụng lên nguyên tử thứ n là =− = − (2 − − ) Từ định luật thứ hai của Newton ( ) = Ta suy ra phương trình chuyển động sau (2.1.1) + (2 − − )=0 Tìm nghiệm của (2.1.1) dưới dạng sóng đơn sắc [ ( ) ] (2.1.2) ( )= ( , )= Với A ≠ 0. Thay (2.1.2) vào (2.1.1), ta nhận được hệ thức 2 4 ( ) = (1 − cos )= sin 2 Hay (2.1.3) ( )=2 sin 2 Ta thấy rằng tần số góc của dao động phụ thuộc vào vecto sóng k theo công thức (2.1.3) trong đó a là hằng số mạng. Đối với mạng tinh thể thì hằng số mạng a và khối lượng M là không đổi. Như vậy tần số góc là một hàm của vecto k theo hàm sin. Ta có thể vẽ đồ thị sự phụ thuộc của tần số góc vào vecto sóng k như sau: 13
Hình 2: Sự phụ thuộc vào vecto sóng k của tần số của dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại. Vậy dao động của chuỗi nguyên tử cùng loại là một sóng đơn sắc (2.1.2) với tần số góc ( ) xác định theo công thức (2.1.3) phụ thuộc không tuyến tính vào giá trị k của vecto sóng (hình 2), giống như hiện tượng tán sắc trong quang học. Trường hợp với k rất bé ta mới có sự phụ thuộc tuyến tính. ( )≈ Khi đó nghiệm (2.1.2) có dạng ( ( ) , )= Với = = Trong trường hợp này dao động của mạng tinh thể trùng với sóng âm với v là tốc độ truyền âm. Do vậy, các dao động (2.1.2) với ( ) thỏa mãn hệ thức (2.1.3), gọi là các dao động âm. 14
b/ Lý thuyết lượng tử Xung lượng của nguyên tử thứ n ứng với tọa độ ( ) là ( ) ( )= Biểu thức của động năng toàn phần có thể viết lại như sau 1 = ( ) 2 Và do đó năng lượng toàn phần của hệ là 1 = ( )+ [ ( )− ( )] 2 2 Khi lượng tử hóa ta thay hàm Pn(t) bằng toán tử xung lượng và hàm un(t) bằng toán tử tọa độ suy rộng liên hợp với . Hamiltonian của hệ trở thành 1 (2.1.4) = + [ − ] 2 2 Giữa các toán tử và có các hệ thức giao hoán , = ℏ (2.1.5) [ , ]= , =0 Các toán tử và tương đương với nút thứ n và phụ thuộc vào tọa độ xn của nút này. Ta khai triển các toán tử này theo các sóng phẳng với vecto sóng nằm trong vùng Brilouin thứ nhất. 1 ( ) (2.1.6) = √ 1 ( ) = √ 15