Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:6

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của bài viết "Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius" trình bày một số lời giải hình học đơn giản. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung bài viết này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Khoảng cách giữa tâm đường tròn Euler và tâm đường tròn Apollonius

KHOẢNG CÁCH GIỮA TÂM ĐƯỜNG TRÒN EULER VÀ TÂM ĐƯỜNG TRÒN APOLLONIUS Trịnh Xuân Minh – Macau TÓM TẮT Như tiêu đề đã nêu, phần này giới thiệu với bạn đọc về hệ thức liên hệ giữa tâm hai đường tròn tiếp xúc trong và ngoài với ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác. Cách chứng minh của tác giả đã lâu (2009) và tương đối cồng kềnh nên hy vọng sau bài viết này có thể có một lời giải hình học đơn giản hơn dành cho nó. Để cho ngắn gọn và đỡ phức tạp, những điều đã biết hoặc cơ bản xin không chứng minh ở đây, thay vào đó người viết sẽ chú thích nguồn để bạn đọc tiện tham khảo. Cho 4ABC và những ký hiệu tương ứng sau: S là diện tích 4ABC p là nửa chu vi 4ABC R là bán kính đường tròn ngoại tiếp 4ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp 4ABC ! ! ! M .˛M ; ˇM ; M / nếu ˛M MA C ˇM MB C M M C D 0E Trước tiên chúng ta nhắc lại một số định lý và hệ thức cơ bản sau: Định lý Euler. Trong một tam giác, chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm của ba đoạn thẳng nối ba đỉnh với trực tâm, tất cả chín điểm này cùng nằm trên một đường tròn gọi là đường tròn 9 điểm hay đường tròn Euler. Hình 1. Đường tròn Euler 75
Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 R Đường tròn Euler có bán kính là và trong hệ thống các tâm Kimberling, tâm của nó là X5 với 2 ˛X5 D a cos.B C /: Định lý Feuerbach. Trong một tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc đồng thời với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp. Hình 2. Định lý Feuerbach Định lý trên được công bố năm 1822 bởi nhà hình học người Đức, Karl Wihelm Feuerbach (1800-1834). Đường tròn Apollonius. Đường tròn tiếp xúc trong với cả ba đường tròn bàng tiếp của một tam giác gọi là đường tròn Apollonius của tam giác đó 76
Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Hình 3. Đường tròn Apollonius p2 C r 2 Đường tròn Apollonius có bán kính là và có tâm Kimberling X970 với ˛.X970 / D 4r 2 2 2 R.p r /a cos A a S: Một số hệ thức cơ bản abc 4:1/ S D D pr D .p a/ra 4R 4:2/ a2 C b 2 C c 2 D 2p 2 2r 2 8Rr 2S 4:3/ a cos A C b cos B C c cos C D R 2 a C b2 C c2 p 2 r 2 4Rr 4:4/ cos2 A C cos2 B C cos2 C D 3 D 3 4R2 2R2 .a2 C b 2 C c 2 / 4:5/ ab cos C C bc cos A C ca cos B D D p 2 r 2 4Rr 2 S 4:6/ a cos B cos C C b cos C cos A C c cos A cos B D R 2 .ˇM c/2 C . M b/2 C 2bcˇM M cos A 4:7/ MA D .˛M C ˇM C M /2 4:8/ .˛M C ˇM C M /MS 2 D ˛M AS 2 C ˇM BS 2 C M CS 2 ˛M ˇM c 2 C ˇM M a2 C M ˛M b 2 ˛ M C ˇM C M Đường tròn Euler và đường tròn Apollonius gây sự chú ý đặc biệt với bản thân tôi bởi tính chất tiếp xúc của chúng với ba đường tròn bàng tiếp trong một tam giác. Cũng vì đó mà tôi từng nghĩ đến sự tồn tại của một hệ thức đẹp liên hệ giữa chúng, và quả đúng như vậy Định lý. Gọi .E; RE / và .E 0 ; RE 0 / lần lượt là đường tròn Euler và đường tròn Apollonius của r 4ABC . Khi đó EE 02 D .RE C RE 0 /2 1 RE Chứng minh. Ta có ˛E 0 D R p 2 r 2 a cos A a2 S . ÁpXdụng 4.2 và 4.3 X X ˛E 0 D R p 2 r 2 a cos A S a2 cycli c cycli c cycli c 2 2 2S 2 2 DR p r S 2p 2r 8Rr R D 8RrS .1/ 77
Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 Áp dụng hệ thức 4.7 với M E và ˛E D a cos.B C / thu được 4AE 2 D R2 C 2bc cos A. Kết quả trên cũng có được một cách gián tiếp thông qua việc xét quan hệ vị trí giữa E với các điểm đặc biệt khác trên đường thẳng Euler (trọng tâm, trực tâm, tâm đường đường tròn ngoại tiếp...). Như vậy, 2 2 2 2 2 4˛E 0 AE D R C 2bc cos A R p r a cos A a S D R3 p 2 r 2 8RS 2 a cos A C 8R2 S p 2 r 2 cos2 A R2 S a2 Áp dụng 4.2, 4.3 và 4.4 ta có X X ˛E 0 AE 2 D R3 p 2 r2 8RS 2 4 a cos A cycli c X X cycli c 2 2 2 2 2 a2 C8R S p r cos A R S cycli c cycli c p2 r 2 4Rr 2 2S D R3 p 2 2 2 2 2 r 8RS C 8R S p r 3 R 2R2 R2 S 2p 2 2r 2 8Rr D 26R2 S p 2 r 2 16S 3 2S p 2 r 2 4Rr 2 p 2 r 2 C R2 2 D 26R2 S p 2 r 2 16S 3 4S p 2 r 2 2S p 2 r 2 R2 8Rr C 8R3 rS 2 D 4S p 2 r 2 C 8RS .3R C 2r/ p 2 r 2 16S 3 C 8R3 rS Suy ra, X 2 ˛E 0 AE 2 D S p2 r2 C 2RS .3R C 2r/ p 2 r2 4S 3 C 2R3 rS .2/ cycli c Lại có ˛E 0 ˇE 0 c 2 D c 2 R p 2 r 2 a cos A a2 S R p 2 r 2 b cos B b 2 S 2 D 4R3 S p 2 r 2 c cos A cos B 4R2 S 2 p 2 r 2 .bc cos A C ca cos B/ C 16R2 S 4 Áp dụng 4.5 và 4.6 X X 0 0 2 ˛E ˇE c D 4R3 S.p 2 r 2 /2 c cos A cos B 8R2 S 2 .p 2 r 2 / cycli c cycli c X 2 4 ab cos C C 48R S cycli c S D 4R3 S.p 2 r 2 /2 8R2 S 2 .p 2 r 2 /.p 2 r 2 4Rr/ C 48R2 S 4 R 2 4R2 S 2 p 2 r 2 C 32R3 rS 2 p 2 r 2 C 48R2 S 4 .3/ D Sau cùng ta áp dụng (1), (2) và (3) vào 4.8 với M E 0 và S E ta thu được 8RrS EE 02 D 2 S p 2 r 2 C 2RS .3R C 2r/ p 2 r 2 4S 3 C 2R3 rSC 2 4R2 S 2 p 2 r 2 32R3 rS 2 p 2 r 2 48R2 S 4 2 8RrS D hS p 2 r 2 C 2RS .3R C 2r/ p 2 i r 2 4S 3 C 2R3 rS C 2 pR p 2 r 2 8Rr p 2 r 2 12S 2 2 Suy ra, 78
Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 2 2r/ p 2 r 2 4RS .R C 2r/ p 2 r 2 4Sr R3 3p 2 R 2p 2 r 02 .R EE D C C 16Rr22 16RrS 16RrS .R 2r/ p 2 r 2 C 4Rr.R C 2r/ p 2 r 2 R3 3p 2 R 2p 2 r D 2 C 2 16Rr 2 2 2 2 4R R Rr Rr p R 4p p 8r r2 p4 p4 p2r r3 D C C C C C 4 2 4 4r 8 8 16 16 16r 2 8Rr 24R 8R 2 p2 C r 2 p2 C r 2 R2 2r p2 C r 2 p2 C r 2 D 1 CR C 4 R 4r 2 4r 8Rr " 2 2 #2 p Cr R 2r r D .RE C RE 0 /2 1 D C 1 điều phải chứng minh : 2 4r R RE Tài liệu tham khảo [1] http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_line 79
Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015 80