LÊ QUANG THIÊN
TR NG TRUNG H C C TR N NHÂNƯỜ Ọ Ở Ầ
S D NG K NĂNG NHÂN L NG LIÊN H P Đ GI I PH NGỬ Ụ Ỹ ƯỢ Ợ Ể Ả ƯƠ
TRÌNH VÔ TỶ
A.Lý do ch n đ tài: ọ ề
Ph ng trình vô t là m t n i dung khó đi h c sinh l p 9 .Đng tr c m t bài toán ươ ỉ ộ ộ ố ọ ớ ứ ướ ộ
ph ng trình vô t th ng thì các em s có nhi u ph ng pháp gi i khác nhau khi bi nươ ỉ ườ ẽ ề ươ ả ế
đi t ng đng, dùng n ph , đánh giá, đa v ph ng trình tr tuy t đi . Song có ổ ươ ươ ẩ ụ ư ề ươ ị ệ ố
m t cách khác dùng gi i quy t bài toán d ng này r t h u d ng và phù h p t duy các ộ ả ế ạ ấ ữ ụ ợ ư
em h c sinh l p 9 đó là nhân l ng liên h pọ ớ ượ ợ
B. C s lý lu n:ơ ở ậ
Ta bi t x=ếx0 nghi m c a ph ng trình. f(x)=0 ệ ủ ươ
0
0
x D
f (x ) 0
=
Nh v y ph ng trình : ư ậ ươ
0
0
x x 0
f (x) 0 (x x )p(x) 0 p(x) 0
− =
= − =� � =
Công c gi i ph ng trình vô t b ng ph ng pháp l ng liên h p trên nh các h ng ụ ả ươ ỷ ằ ươ ượ ợ ờ ằ
đng th c sau: ẳ ứ
A B
A B (A; B 0, A B)
A B
−
= >
m
;
3 3
3 3
2 2
3
A B
A B
A A.B B
= +m
C.Bài t p:ậ
D ng 1:Nh m nghi m, l ng liên h p có ch a m t h ng sạ ẩ ệ ượ ợ ứ ộ ằ ố
Thí d 1ụ: gi i ph ng trình: ả ươ
2
3x 1 6 x 3x 14x 8 0 (*)+ − − + − − =
Ta tìm
1
x : 6
3
−
� �
� �
� �
r iồ th vào bi u th c 3x+1 và 6-x ch a trong căn n u giá tr các ế ể ứ ứ ế ị
bi u th c trên có d ng bình ph ng c a m t s h u t th a mãn ph ng trình trên thì ể ứ ạ ươ ủ ộ ố ử ỉ ỏ ươ
giá tr c a x v a tìm là nghi m ph ng trình.D th y x=5 là nghiêm ph ng trình (*) ị ủ ừ ệ ươ ễ ấ ươ
vì v y ta đa ph ng trình (*) v d ng ậ ư ươ ề ạ
(x-5)f(x)=0 ,nh ng đnh lý Bezou ch đúng v i f(x) là đa th c. Nh ng v trái ph ng ư ị ỉ ớ ứ ư ế ươ
trình là bi u th c vô t . V y c n c n xu t hi n nhân t chung x-5 t v trái ph ng ể ứ ỷ ậ ầ ầ ấ ệ ử ừ ế ươ
trình b ng l ng liên h p. Mu n v y ta c n tìm hai s a;b d ng sao cho h ph ng ằ ượ ợ ố ậ ầ ố ươ ệ ươ
trình sau có nghiêm x=5
3x 1 a 0 a 4
b 6 x 0 b 1
� �
+ − = =
� �
� �
− − = =
� �
� �
V y: ậ
1
2
(*) ( 3x 1 4) (1 6 x) 3x 14x 5 0
3x 15 x 5 (x 5)(3x 1) 0
3x 1 4 6 x 1
x 5 0
3 1 3x 1 0(**)
3x 1 4 6 x 1
+ − + − − + − − =�
− −
+ + − + =�+ + − +
− =
+ + + =
+ + − +
V i ớ
nên (**) vô nghi mệ
Nên (*) có nghi m duy nh t là x=5ệ ấ
Thí d . 2ụ :
Gi i Ph ng trình: ả ươ
23
2x 11x 21 3 4x 4− + = −
(*)ĐK:x>0
Phân tích v i x=3 là ngi m ph ng trình mà giá tr c a ớ ệ ươ ị ủ
3
4x 4−
là 2.
Do đó
2
3 3
3
23
3
23
3
23
3
23
3
3( 4x 4 2)( (4x 4) 2 4x 4 4)
(*) (x 3)(2x 5)
(4x 4) 2 4x 4 4
12(x 3)
(x 3)(2x 5)
(4x 4) 2 4x 4 4
12
(x 3)(2x 5 ) 0
(4x 4) 2 4x 4 4
(x 3) 0
12
(2x 5 ) 0(**)
(4x 4) 2 4x 4 4
− − − + − +
− − =�− + − +
−
− − =�− + − +
− − − =�− + − +
− =
− − =
− + − +
Đt t=ặ
3
4x 4−
nên
23
3
(4x 4) 2 4x 4 4− + − +
= t2 +2t +4 =(t+1)2+3
Do đó x >3 suy ra
3
4x 4−
> 2
( ) ( )
2
2
12
t 1 3 12 1
t 1 3
+ + > <�+ +
còn 2x-5>1
V i 0<x<3 thì ng c l i . Nên (**) có nghi m x=3ớ ượ ạ ệ
V y ph ng trình đã cho có nghi m duy nh t là x=3ậ ươ ệ ấ
D ng 2:Nh m nghi m, l ng liên h p có ch a m t bi u th c ch a ạ ẩ ệ ượ ợ ứ ộ ể ứ ứ
bi nế
Thí d : 3ụ
Gi i ph ng trình:ả ươ
3 2
4x 5x 1 3x 1 3x+ + = + −
(*)
Nh p vào casio và solve ta th y nghi m : ậ ấ ệ
1
x 0=
; nh p (solve) l n hai ta th y nghi m:ậ ầ ấ ệ
2
1
x4
−
=
T đó ta g i ax+b là h ng t c n đem liên h p v i căn th c. gi s ừ ọ ạ ử ầ ợ ớ ứ ả ử
1; 2
x x
là nghi m ệ
ph ng trình ta gi i h sau:ươ ả ệ
1
2
(x )a b 3x 1 0a b 1 a 2
0.25a b 0.5 b 1
(x )a b 3x 1
+ = + + = =
� �
� �
� � �
− + = =
+ = + � �
2
Suy ra h ng t c n liên h p v i ạ ử ầ ợ ớ
3x 1+
là
2x 1+
3 2
3 2
2
2
2
2
1
(*) 4x 5x x 3x 1 (2x 1) (x )
3
(2x 1) 3x 1 4x 5x x 0
4x x (x 1)(4x x) 0
(2x 1) 3x 1
1
(4x x) x 1 0
(2x 1) 3x 1
(4x x) 0
1x 1) 0(**)
(2x 1) 3x 1
x 0(t / h)
1
x (t / h)
4
x
−
+ + = + − +� �
+ − + + + + =�
++ + + =�+ + +
+ + + =�+ + +
+ =
+ + =
+ + +
=
= −���
ﾩ ﾩ
ﾩ ﾩ
ﾩ ﾩ
ﾩ ﾩ
ﾩ ﾩ
Thí d . 4 ụ
gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
x x 1 (x 2) x 2x 2 0+ − = + − + =
(*)
Phân tích cách gi iả
Dùng máy tính b m cho nghi m c a ph ng trình là m t s th p phânấ ệ ủ ươ ộ ố ậ
1
2
x 3,828427125
x 1,828427125
−
Dùng máy tính l u l i nghi m, cho ư ạ ệ
1 2
1 2
1 2
x x 2 x ; x
x .x 7
+ =
= −
là nghi m c a ph ng ệ ủ ươ
trình
2
x 2x 7 0− − =
. Cho ta h ng gi i nh sau. ướ ả ư
V i x=-2 không là nghiêm c a (*) nênớ ủ
2
2
x x 1
(*) x 2x 2
x 2
+ − = − +�+
Gi s bi u th c thêm vào hai v ph ng trình là ax+b sau khi bi n đi đ xu t hi n ả ử ể ứ ế ươ ế ổ ể ấ ệ
bi u th c m(xể ứ 2-2x-7), Ta có:
2
2
x x 1
(*) -(ax b) x 2x 2 (ax+b)
x 2
+ − + = − + −�+
, Nh v y m(ư ậ
2
x 2x 7− −
) ( m h ng sằ ố
d ng ) là hi u c a t bi u th c ươ ệ ủ ử ế ứ
2
x x 1 (ax b)(x 2)
x 2
+ − − + +
+
; ho c bi u th c m(ặ ể ứ
2
x 2x 7− −
) có các h s t l v i bi u th c ệ ố ỉ ệ ớ ể ứ
2 2
x 2x 2 (ax b)− + − +
. T đó ừ
ax+b=3
L i gi i:ờ ả
V i x=-2 không ph i nghi m ph ng trình nên(*) đc vi t d i d ng:ớ ả ệ ươ ượ ế ướ ạ
2 2 2 2 2
2
2
x x 1 x x 1 ( x 2x 2) 3
x 2x 2 3 (x R)
x 2 x 2 x 2x 2 3
+ − + − − + −
= − + − =� �
+ + − + +
3
2
2 2
22
x 2x 7 0
x 2x 7 x 2x 7
x 2 x 2x 2 3 x 2x 2 3 x 2
− − =
− − − −
=� �
+− + + − + + = +
1
2
x 1 8
x 1 8
x
= −
= +���
Tuy nhiên n u không dùng máy tính, ta cũng có th tìm đc bi u th c thêm vào l ngế ể ượ ể ứ ượ
liên h p, b ng cách nh sau:ợ ằ ư
G i bi u th c thêm vào l ng liên h p là ax+b, ta cóọ ể ứ ượ ợ
2
2
x x 1
(*) -(ax+b) x 2x 2 (ax+b)
x 2
+ − = − + −�+
2 2 2 2
2
(1 a)x (b 2a 1)x 1 2b (1 a )x (2 2ab)x 2 b
x 2 x 2x 2 +ax b
− − + − − − − − + + −
=�+− + +
Và hai bi u th c trênể ứ
t c a hai v ph ng trình có các h s t ng ng t l nên:ử ủ ế ươ ệ ố ươ ứ ỉ ệ
2 2
1 a b 2a 1 1 2b
1 a 2 2ab 2 b
− + − − −
= =
− + −
Tính nh m cho đc ẩ ượ
a 0
b 3
=
=
Ti n hành cách gi i nh trênế ả ư
Ngoài ra ta còn có cách khác tìm đc tìm bi u th c thêm vào hai v ph ng trình cho ượ ể ứ ế ươ
h ng s d ng b ta có : ằ ố ươ
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2
2
x x 1 x x 1 ( x 2x 2) b
x 2x 2 b (x R; x 2 : b 0)
x 2 x 2 x 2x 2 b
x x 1 bx 2b x 2x 2 b ( x 2x 2 b) 0; b 0)
x 2 x 2x 2 b
x (1 b)x 1 2b x 2x 2 b
x 2 x 2x 2 b
+ − + − − + −
= −+ −= >ι�
+ + − + +
+ − − − − + −
= − + + > >�+− + +
+ − − − − + −
=�+− + +
B y gi ta xác đnh sao cho ậ ờ ị
2 2 2
2 2
x (1 b)x 1 2b 0 x 2x 2 b 0
b 3
1 b 2 b 3 b 1
1 2b 2 b b 2b 3 0 b 3
b 3
+ − − − = − + − =
=
− = − =
� �
� � � = −
� � �
− − = − − − =
� � =
=�
T đó suy ra cách giãi nh đã trình bàyừ ư
Đi v i nh ng bài toán ta nh m nghi m d dàng ta cũng th c hi n nh sau, ch ng ố ớ ữ ẩ ệ ễ ự ệ ư ẳ
h nạ
Thí d . 5ụ
Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
x x 11 31+ + =
ta th y ngay nghiêm c a nó là 5 và -5 vì vai trò ấ ủ
c a x nh nhau. V y ph ng trình có ch a nhân t xủ ư ậ ươ ứ ử 2-25 và h ng t thêm vào l ng ạ ử ượ
liên h p là 6. Nên ợ
2
2 2 2 2 2
2
2
1
2
2
2
2
x 25
x x 11 31 (x 25) ( x 11 6) 0 (x 25) 0
x 11 6
x 5
x 25 0
1
(x 25)(1 ) 0 x 5
1
1 0
x 11 6 x
x 11 6
−
+ + = − + + − = − + =� � + +
=
� �
− =
� �
− + = = −� � � �
+ =
+ + � ���
+ +
� �
4
Ngoài ra có nh ng bài toán có nghiêm kép ữnh ng khi nh m nghi m ta ch th y m t cònư ẩ ệ ỉ ấ ộ
nghi m còn l i ch a trong ph ng trình th hai. Ch ng h nệ ạ ứ ươ ư ẳ ạ
Thí d . 6ụ
Gi i ph ng trình: ả ươ
2
1
2x 1 x 3x 1 0(x )
2
− + − + =
(*)
Ta nh m đc nghi m là 1, ti n hành gi i nh sauẩ ượ ệ ế ả ư
2
2
( 2x 1) 1
(*) 2x 1 1 x 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0
2x 1 1
2
(x 1)( x 2) 0
2x 1 1
− −
− − + − + + + − − =� � − +
− + − =�− +
Nh n th y ậ ấ ph ng trình trong ngo c có nghi m là 1ươ ặ ệ . Nên ph ng trình đã cho có ch a ươ ứ
nghi m kép .Do đó ph ng trình đã cho có ch a th a s :ệ ươ ứ ừ ố
2
x 2x 1− +
.V y ta ti n hành cách ậ ế
gi iả nh sau:ư
2 2
2 2
2
2 2
2
( 2x 1) x
(*) ( 2x 1 x) (x 2x 1) 0 (x 2x 1) 0
2x 1 x
(x 2x 1) 1
x 2x 1 0 (x 2x 1)( 1) 0
2x 1 x 2x 1 x
x 1(t / h)
x 2x 1 0 x 1
x 2 2 (loai)
11
1 0 2x 1 1 x( x 1)
2
2x 1 x x 2 2(t / h)
− −
− − + − + = + − + =� � − +
− − + −
+ − + = − + + =� �
− + − +
=
− + = =
= +� � �
−
+ = − = −
− + = − +
V y : ậ
x 1; x 2 2= = −
Thí d : 7ụ
Gi i ph ng trình.: ả ươ
3x 3x 1 1
3x 10 = + −
+
(*) Nh m ngi m có 2 nghiêm x=0;x=5ẩ ệ
T đó suy ra cách gi i sau: ừ ả
( )
1
TXD : x 3
3x 3x ( 3x 1 1)( 3x 1 1)
(*) 3x 1 1
3x 10 3x 10 3x 1 1
3x 3x 1 1
3x( ) 0
3x 10 3x 1 1 3x 10 3x 1 1
3x 0 x 0
1 1 03x 10 3x 1 1 1
3x 10 3x 1 1
−
+ − + +
= + − =� �
+ + + +
= − =� �
+ + + + + +
=
=
� �
− = + = + +
+ + +
5