Câu I: (2,0 đi mể) Cho hàm s : ố
3 2
y = x 3mx + 2−
(1), m là tham số
1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (1) khi m = 1.ả ự ế ẽ ồ ị ố
2. Tìm m đ đ ng th ng qua 2 đi m c c tr c a đ th hàm s (1) t o v i các tr c t a đ ể ườ ẳ ể ự ị ủ ồ ị ố ạ ớ ụ ọ ộ
m t tam giác có di n tích b ng 4.ộ ệ ằ
Câu II: (2,0 đi mể)
1. Gi i ph ng trình: ả ươ
2 2
3cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x
+ = +
2. Gi i ph ng trình: ả ươ
2
7
3 6 3 3
x
x x
+
+ − =
Câu III: (1,0 đi mể) Tính tích phân
1
2
1
3
3 9 1
xdx
x x
+ −
Câu IV: (1,0 đi mể) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh 2a, SA = a,ạ
SB = a 3
,
ﾷ
0
BAD = 60
và mp(SAB) vuông góc v i m t đáy. G i M, N là trung đi m c a AB,ớ ặ ọ ể ủ
BC. Tính th tích t di n NSDC và tính cosin c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN.ể ứ ệ ủ ữ ườ ẳ
Câu V: (1,0 đi mể) Xét các s th c d ng x, y, z th a mãn x + y + z = 3. Tìm giá tr nhố ự ươ ỏ ị ỏ
nh t c a bi u th cấ ủ ể ứ :
3 3 3
x y z
P x y z
y z x
� � � � � �
= + +
� � � � � �
� � � � � �
+ + +
� � � � � �
Câu VI (2,0 đi mể)
1. Trong m t ph ng v i h to đ Oxy, cho tam giác ABC có trung đi m c nh BC làặ ẳ ớ ệ ạ ộ ể ạ
M(3,2), tr ng tâm và tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC l n l t là G(ọ ườ ạ ế ầ ượ
) và I(1,-
2). Xác đ nh t a đ đ nh C.ị ọ ộ ỉ
2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đ ng th ng ớ ệ ọ ộ ườ ẳ
1 1 1
:211
x y z
d− + −
= =
, đi m ể
A (1,4,2) và m t ph ng (P): 5x – y + 3z – 7 = 0. Vi t ph ng trình đ ng th ngặ ẳ ế ươ ườ ẳ
∆
đi qua A,
∆
n m trong mp(P) bi t r ng kho ng cách gi a d và ằ ế ằ ả ữ
∆
b ng ằ
2 3
.
Câu VII (1,0 đi m) ểCho hai s ph c ố ứ
1 2
z ,z
th a mãn ỏ
1
i.z 2 0,5
+ =
và
2 1
z =i.z
. Tìm giá trị
nh nh t c a ỏ ấ ủ
1 2
z z−
------------------------H tế----------------------
Thí sinh không đ c s d ng tài li u.ượ ử ụ ệ Cán b coi thi không gi i thích gì thêmộ ả
H và tên:………………………………………………..SBD:……………………ọ
TR NG THPTƯỜ
CHUYÊN
NGUY N HUỄ Ệ
KỲ THI TH Đ I H C L N TH T NĂM H C 2011 – 2012Ử Ạ Ọ Ầ Ứ Ư Ọ
Đ THI MÔN: TOÁNỀ
KH I A,BỐ
Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao đờ ể ờ ề
TR NG THPTƯỜ
CHUYÊN
NGUY N HUỄ Ệ
H NG D N CH M THI TH Đ I H C L N TH TƯỚ Ẫ Ấ Ử Ạ Ọ Ầ Ứ Ư
NĂM H C 2011 – 2012Ọ
Đ THI MÔN: TOÁN KH I A, BỀ Ố
CÂU N I DUNGỘĐI MỂ
I-1
(1đi mể
)
m = 1 ⇒
3 2
y = x 3x + 2−
a) TXĐ: R
b) S bi n thiên:ự ế
*) Gi i h n: ớ ạ
lim ; lim
x x
y y
− +
= − = +
0,25
*) Chi u ềbi n thiên: ế
2
x = 0
x = 2
y' = 3x 6x ; y' = 0
−
Hàm s đ ng bi n trên m i kho ng (-ố ồ ế ỗ ả
; 0) và (2; +
), hàm s ngh ch bi n trên (0;ố ị ế
2)
Hàm s đ t c c đ i t i x = 0, yố ạ ự ạ ạ CĐ= 2; hàm s đ t ti u t i x = 2, yố ạ ể ạ CT= - 2 0,25
BBT x -
0 2 +
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 2 +
-
-2
0,25
c) Đ th :ồ ị
-10
-5
5
10
4
2
-2
-4
O
2
y
x
0,25
I-2
(1đi mể
)
3 2
y = x 3mx + 2−
⇒
2
y' = 3x 6mx−
;
x = 0
x = 2m
y' = 0
Đ th hàm s có 2 đi m c c tr ồ ị ố ể ự ị ⇔ y’ = 0 có 2 nghi m phân bi t ệ ệ ⇔ m ≠ 0 0,25
V i m ớ≠ 0 thì đ th hàm s (1) có t a đ 2 đi m c c tr là: A(0; 2) và ồ ị ố ọ ộ ể ự ị
B(2m;-4m3+2)
Ph ng trình đ ng th ng đi qua 2 đi m c c tr A, B là: ươ ườ ẳ ể ự ị
2
3
x y 2
= 2m x + y 2 = 0
2m - 4m
−−�
0,25
AB c t Ox t i ắ ạ
2
1
C ;0
m
� �
� �
� �
, c t Oy t i A(0; 2)ắ ạ
Đ ng th ng qua 2 đi m c c tr t o v i các tr c t a đ tam giác OAC vuông t i Oườ ẳ ể ự ị ạ ớ ụ ọ ộ ạ
ta có:
OAC 2 2
1 1 1 1
S = OA.OC = .2. =
2 2 m m
0,25
Yêu c u bài toán th a mãn ầ ỏ
2
4
1 1
= m
m 2
= ±
(th a mãn m ỏ≠ 0).
V y ậ
1
m2
= ±
0,25
II-1
(1
đi mể
)
Đi u ki n : x ề ệ ≠ kπ
Ph ng trình t ng đ ng: 3cosx(ươ ươ ươ
2
sin
cos
2−
x
x
) = 2(cosx -
2
sin2x) 0,25
(cosx -
2
sin2x)(3cosx – 2sin2x) = 0
=−+
=−+
02cos3cos2
02coscos2
2
2
xx
xx
0,25
cos 2 ( )
2
cos 2
cos 2 ( )
1
cos 2
x loai
x
x loai
x
=−
=
=−
=
0,25
KÕt hîp víi ®/k suy ra pt cã nghiÖm: x =
π
π
2
4k+±
& x =
π
π
2
3k+±
0,25
II-2
(1
đi mể
)
2 2
7 1 1
3 6 3 ( 1) 2 ( 1) 2
3 3 3
x
x x x x
+
+ − = + − = + +�
,
7x
−
Đ t ặ
1
1( 1) 2 ( 0)
3
u x
v x v
= +
= + +
ta có h ph ng trình: ệ ươ
2
2
1
23
1
23
u v
v u
− =
− =
0,25
⇔
2 2 2
2
2 2
( )[3( ) 1] 0
3 6 3( ) 0
3 6
3 6 3 6
u v u v
u v u v u v
u v
v u u v
− + + =� �
− = − + − =
� �
� �
� � � − =
− = − =
� �
� �
⇔
2
0
3 6
u v
u v
− =
− =
ho c ặ
2
3( ) 1 0
3 6
u v
u v
+ + =
− =
0,25
2 2
1 73 (loﾹi)
06
3 6 3 6 0 1 73
6
u
u v u v
u v u u u
−
=
− = =
� �
� �
� �
− = − − = +
� � =
2
2
1 1 69
3( ) 1 0 3 6
17
3 6 1 69
3 0 (loﾹi)
36
v u u
u v
u v u u u
− −
= − − =
+ + =
� �
� �
− = − +
+ − = =
0,25
+ V i ớ
1 3 7 1 73 73 5
1
6 6 6
u x
+ + −
= = − =�
.0,25
+ V i ớ
1 69 1 69 69 7
1
6 6 6
u x
− − − − − −
= = − =�
.
III
(1
đi mể
)
1 1 1 1
2 2 2
2
1 1 1 1
3 3 3 3
(3 9 1) 3 9 1
3 9 1
x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
= = − − = − −
+ −
� � � �
0,25
11
2 3 1
1
3
1
3
26
327
I x dx x
= = =
0,25
1
1 1 3
2 2 2 2 2
21
1 1
3
3 3
1 1 16 2
9 1 9 1 (9 1) (9 1)
18 27 27
I x x dx x d x x= − = − − = − =
� �
0,25
V y ậ
26 16 2
27
I
−
=
0,25
IV
(1
đi mể
)
T gi thi t có AB = 2a, SA = a, ừ ả ế
SB =
3
, tam giác ASB vuông t i S suy raạ
2
AB
SM a= =
do đó tam giác SAM đ u.ề
G i H là trung đi m AM thì ọ ể
SH
⊥
AB. M t khác (SAB)ặ
⊥
(ABCD) nên
suy ra
( )SH ABCD⊥
N
M
B
A
S
C
D
H
Q
K
0,25
2 3
1 1 1 1 3 1 4 3
. . . .
3 3 2 3 2 2 4 4
NSDC SNDC DNC BDC
a a a
V V SH S SH S
∆ ∆
= = = = =
0,25
G i Q là đi m thu c đo n AD sao cho AD = 4 AQ khi đó MQ//ND nênọ ể ộ ạ
ﾷ
ﾷ
( , ) ( , )SM DN SM QM=
. G i K là trung đi m MQ suy ra HK//AD nên HKọ ể
⊥
MQ
Mà SH
⊥
(ABCD), HK
⊥
MK suy ra SK
⊥
MQ suy ra
ﾷ
ﾷ
ﾷ
( , ) ( , )SM DN SM QM SMK= =
0,25
Trong tam giác vuông SMK:
ﾷ
1 1 1 33
2 4 4
os 4
MQ DN a
MK
c SMK SM a a a
= = = = =
0,25
V
(1 đi m)ểĐÆt x =
2 2 2
, ,a y b z c= =
. Do
2 2 2
3 3x y z suy ra a b c+ + = + + =
.
Ta c n tìm giá tr nh nh t c a ầ ị ỏ ấ ủ
3 3 3
2 2 2
3 3 3
a b c
P
b c a
= + +
+ + +
.
Áp d ng B t đ ng th c Trung bình c ng – trung bình nhân có:ụ ấ ẳ ứ ộ
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
a a b a a
b b
+
+ + =
+ +
(1)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
b b c c c
c c
+
+ + =
+ +
(2)
3 3 2 6 2
3
2 2
3 3
3
16 64 4
2 3 2 3
c c a c c
a a
+
+ + =
+ +
(3)
0,5
C ng theo v ta đ c:ộ ế ượ
( )
2 2 2
2 2 2
9 3
16 4
abc
P a b c
+ + +
+ + +
(4) 0,25
Vì a2+b2+c2=3
T (4)ừ
3
2
P۳
v y giá tr nh nh t ậ ị ỏ ấ
3
2
P=
khi a = b = c =1
x = y = z = 1
0,25
VI- 1
(1 đi m)ể
7 4
(2;4), ;
3 3
IM GM � �
= = � �
� �
uuur uuur
G i A(xọA; yA). Có
2AG GM=
uuur uuur
⇒ A(-4; -2).
0,25
Đ ng th ng BC đi qua M nh n vec t ườ ẳ ậ ơ
IM
uuur
làm vec t pháp tuy n nên có PT: ơ ế
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0. 0,25
G i C(x; y). Có C ọ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0.
M t khác IC = IA ặ⇔
2 2 2 2
( 1) ( 2) 25 ( 1) ( 2) 25x y x y− + + = − + + =�
.0,25
T a đ C là nghi m c a h ph ng trình: ọ ộ ệ ủ ệ ươ
2 2
2 7 0
( 1) ( 2) 25
x y
x y
− − =
− + + =
Gi i h ph ng trình ta tìm đ c ả ệ ươ ượ
5
1
x
y
=
=
và
1
3
x
y
=
=
.
V y có 2 đi m C th a mãn là C(5; 1) và C(1; 3).ậ ể ỏ
0,25
VI-2
(1 đi m)ể
G i (Q) là m t ph ng qua d và cách A(1,4,2) m t kho ng ọ ặ ẳ ộ ả
2 3
.
(Q) qua N(1, -1, 1) thu c d nên có ph ng trình: a(x-1) + b(y+1) +c(z-1) = 0 (1)ộ ươ
Do (Q) qua N’(1, -1, 1) thu c d nên 2a + b + c =0 hay c = - 2a – 2b (2)ộ0,25
2 2 2 2
( ,( )) 2 2 2
2 2 2
(1 1) (4 1) (2 1)
2 3 2 3 (5 ) 12( )
12 13 11 10 0 (3)
A Q
a b c
d b c a b c
a b c
a b c bc
− + + + −
= = + = + +� �
+ +
− + − =�
Thay (2) vào (3) có
2 2
7 8 0a ab b+ + =
. Ch n b = 1 đ c a = -1 ho c a = ọ ượ ặ
1
7
−
0,25
V i ớb = 1 , a = -1 thì (Q) có ph ng trình: x – y – z – 1 = 0ươ
Đ ng th ng ườ ẳ
∆
qua A và song song v i giao tuy n c a (P) và (Q) có VTCPớ ế ủ
1 1 1 1 1 1
, , 4(1, 2, 1)
1 3 3 5 5 1
u− − − −� �
= = − −
� �
− −
� �
r
nên
∆
có ph ng trình:ươ
1 4 2
1 2 1
x y z− − −
= = −
0,25
V i ớb = 1 , a =
1
7
−
thì (Q) có ph ng trình: x –7y +5z – 13 = 0ươ
Đ ng th ng ườ ẳ
∆
qua A và song song v i giao tuy n c a (P) và (Q) có VTCPớ ế ủ
( 8,11,17)u−
r
nên
∆
có ph ng trình: ươ
1 4 2
8 11 17
x y z− − −
= =
−
0,25
VII.
(1 đi m)ểĐ t ặ
1 1 1 1 1
( , )z x iy x y R= +
Khi đó đi m Mể
1 1
( , )x y
bi u di n ể ễ
1
z
,
2 2
1 1 1 1 1
i.z 2 0,5 i.x 2 0,5 ( 2) 0,25y x y+ = − + = + − =� �
Suy ra t p h p các đi m M ậ ợ ể bi u di n ể ễ
1
z
là đ ng tròn (Cườ 1) tâm O1(0,
2
) bán kính
R1=0,5.
0,25
2 1 1 1
z iz y x i= = − +
Suy ra N (- y1 , x1) bi u di n ể ễ
2
z
0,25