Kỹ thuật cơ học kết cấu (Tập 2 - Tái bản): Phần 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:155

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phần 1 cuốn sách "Cơ học kết cấu - Tập 2" cung cấp cho người đọc các nội dung: Phương pháp lực tính các hệ phảng siêu tĩnh, phương pháp chuyển vị và phương pháp hỗn hợp tính hệ thanh phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỹ thuật cơ học kết cấu (Tập 2 - Tái bản): Phần 1

c ơ HỌC KẾT CẤU TẬP II IJ-f- NHÀ XUẤT BẢN XÂY DựNG —ỳ
TS. NGUYỄN VĂN PHƯỢNG Cơ HỌC KẾT CẤU TẬP II (Tái bản) NHÀ XUẤT BẢN XÂY DỰNG HÀ NỐI -2 0 1 3
LỜI NÓ I ĐẦU Cơ liọc kết câu là môn kĩ thuật ca sở nhằm trang bị cho k ĩ sư và sinh vieil thuộc ngành xây dựitíỊ công trình những kiến thức cơ bàn cán thiết dê kết liợp với các môn chuyên môn khúc giải quyết các vấn đẽ liên quan dến việc thiết k ế cũng nliư việc thi công các công trình xảy dựng. V ề nội duna sách dược hiên soạn phù hợp với chương trình giảng dạy môn Cơ học kết cấu áp dụng cho hệ dàn lạo kĩ sư các ngành xây dựng còng trình. Đ ể phù hợp với các học phần quy định và điêu kiện ấn loát, sách được biên soạn thành hai lập: 1. Cơ học kết cấu, tập 1 2. Co học kết cấu, tập 2 Trong mỗi chương mục, ngoài nội dung lí tlniyết còn trình b à \ các ví dụ rinli toán và đ ề bài tập luyện lập nhâm giúp người đọc tìm hiểu sâu những nội dung li thuyết đóng thời Iiãng cao k ĩ năng thực hành và vận dụng. Tuy dã cỏ nhiều cô'gắng trong biên soạn nhimg khó tránh khỏi những thiếu SÓI, lác giả xin chán thành cảm ơn sự quan tâm và nliững ỷ kiến đóng góp cùa bạn dọc và các dồng nghiệp. T ác giá 3
C hương 5 PHƯƠNG PH Á P Lực TÍNH CÁC HỆ PH ANG s i ê u t ĩ n h 5.1. K HÁ I NIỆM VỂ HỆ PHẢNG SIÊU TĨNH 1. Định nghĩa hệ siéu tĩnh Như đã biết một hệ kết cấu biến hình và đù liên kết được gọi là hệ tĩnh định. Khi hệ lĩnh định (hình 5 .la, b) chịu tài trọng chỉ cần dùng ba phưcmg trình cân bằng tĩnh học là có thể xác định được các phàn lực và nội lực trong hệ. p - T H ;r Ị ĩ ỉ Hình 5.1 Tuy nhiên, trong thực tế còn thường gặp những hệ kết cấu nếu chi dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì chưa thể xác định được các phản lực và nội lực trong hệ!-Ví dụ hệ dầm và hệ khung trên hình 5.1c, d. Mỗi hệ có thể xem là một miếng cứng nhưng đéu được nối với mặt đất bằng bốn liên kết thanh nên với ba phương trình cân bẳng 'tĩnh học chưa đủ để tìm dược bốn phàn lực trong bốn liên kết thanh, do đó cũng không thể xác định được nội lực trong hệ. Riẻng phẩn đầu thừa CD trong khung trên hình 5.1d là tĩnh định nên có thể xác định được nội lực trong phẩn hệ này từ ba phương trình cân bằng tĩnh học. Về cấu tạo hình học đê’ là hệ bất biến hình mồi hệ chỉ cẩn nối với mặt đất bằng ba liên kết thanh được bô trí hợp lí là vừa đú. Như vậy mỗi hệ thừa một liên kết thanh không cần thiết cho sự cấu tạo hình học nhưng vẫn cần cho sự làm việc cùa hệ. Nhũng hệ kết cấu có chung những đặc điểm trẽn được gọi là hệ siêu tĩnh. Vậy: 5
Hệ siêu tĩnh là hệ nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học thì chưa Ihể xác định được các phản lực và nội lực trong toàn hê hay trong một vài phẩn cùa hệ. Hệ siêu tĩnh là hộ bất biến hình và có liên kết thừa. 2. BẠc sỉéu tinh Để đặc tnmg cho sô' liên kết thừa của hệ siêu tĩnh, trong cơ học kết cấu sử dụng khái niệm bậc siêu tĩnh. Bậc siêu tĩnh của hệ siêu tĩnh bằng số liên kết thừa lương đương sỏ' liên kết thanh ngoài số liên kết cẩn thiết vừa dù dể hệ là bất biến hình. Nếu kí hiệu bậc siêu tĩnh ià n thì từ công thức (1-5) trong chương 1 suy ra công thức xác định bậc siêu tĩnh n của hệ siêu tĩnh là: n = 3H + 2K + T + C q - 3D (5-1) Mỗi hệ trên hình 5. lc, d đểu có thừa một liên kết thanh thuộc các liên kết tựa nên đều có bậc siêu tĩnh n = 1 . Tuy nhiên, không phải liên kết thanh nào trong hệ siêu tĩnh cũng có thể xem là liên kết thừa. Ví dụ liên kết thanh nằm ngang tại gối A cùa dấm siêu tĩnh trên hình 5 .lc không phải là liên kết thừa vì nếu bị loại bỏ thì hệ chì còn nối với mặt đất bẳng ba liên kết thanh thẳng dứng tại A, c và B song song với nhau nên hệ là biến hình. Do dó một trong ba liên kết thanh thẳng đứng trong hệ có thể xem là liên kết thừa vì nếu bị loại bỏ sẽ nhận được dẩm tĩnh định tương ứng như trên hình 5. la, e. Liên kết thanh nằm ngang tại gối tựa A hay B trong khung siêu tĩnh trên hình s .ld cố thể xem là liên kết thùa vì nếu bị loại bỏ chẳng hạn tại gối B khung vẫn là hệ bất biến hình và dù liên kết nhu trên hình 5.1b. ; • Xét hệ siêu tĩnh trên hình 5.2a. Có thể xem hộ gốm hai miếng cúng nối với nhau bàng liiột khớp tại C nên H = 0, K = ¡I, T = ọ„ p - 2 vàduợcuÉ&vội mặt đất bằng sộ „ (,., -4 » liên kết tương đương số liên kết thanh Cq = 7. ' Do đó theo (5-1) bậc siêu tinh cùa hệ rằng: , Ịn Hinh5.2 n * 3 .ơ + 2.1 + 0 + 7 - 3 : 2 = 3 > Liên kết ngàm tại D tương đuong ba liên kết thanh có thể xem là liên kết thừa vì khi bị loại bỏ và thay bằng các lực tương ứng nhu trên hình 5.2b thì hộ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. • Khi hệ siêu tĩnh có đủ số liên kết tựa nối với mặt đất thì liên kết thừa nầm trong hệ để nối các cấu kiện của hệ với nhau, ví dụ như hệ siêu tĩnh trên hình 5.3a, b. Nếu cất liên kết 6
thanh EF và thay bằng lực dọc N chưa biết như trên hình 5.3c, d thì hệ vẫn là bất biến hình. Như vậy, trong mỗi hệ liên kết thanh EF được xem là liên kết thừa và mỗi hệ có bậc siêu tĩnh n = 1 . Nếu chi dùng ba phương trình cân bàng tĩnh học thì chi xác định được các phàn lực tại các liên kết lựa A, B và nội lực trong các phần AE, BF cùa hê còn nội lực trong phần hệ EFC chưa thí xác định được vì chưa biết lưc dọc N trong thanh EF. Xél hệ siêu tĩnh trên hình 5.4a, hệ co đù sô' liên kết tựa nối với mặt đất và có một chu vi kín CDEF. Nếu cắt liên kết hàn (tương đương với ba liên kết thanh) tại tiết diện K nào đó thuộc chu vi kín CDEF và thay bằng ba cặp lực tương ứng bằng nhau và ngược chiều như Irén hình 5.4b thi hệ vần bất biến hình và đủ liên kết. Do đó hệ có ba bậc siêu tĩnh hay có thê nói một chu vi kín luôn có ba bâc siêu tĩnh. Mk Mk ñ B \ Qk Ok ai ị Hinh 5.4 Xét hệ siêu tĩnh trẽn hình 5.4c, hệ cũng có đù số liên kết tựa nối với mặt đất và có một chu vi kín CDEF với một khớp tại tiết diện K. Nếu cắt liên kết khớp (tương đương hii liên kết thanh) tại K và thay bầng hai cặp lực tương ứng bằng nhau và ngược chiểu như trẽn hình 5.4d thì hệ vẫn bất biến hình và đủ liên kết. Do đó hệ có hai bậc siêu tĩnh hiy có thể nói nếu một chu vi kín có một khớp đơn giàn thì bậc siêu tĩnh cúa chu vi kín gảm đi một đơn vị. Như vậy nếu hệ có số chu vi kín là V thì bậc siêu tĩnh của hệ là 3V, nếu trong V chu V kín có K khớp đơn giàn thì bậc siêu tĩnh cùa hệ giảm đi K đơn vị. Do đó bậc siêu tĩnh ncủa hệ siêu tĩnh có thể được xác định theo công thức đơn giản sau: n = 3 V -K (5-2) 7
Khi sử dụng công thức (5-2) cẩn luôn luôn quan niệm mặt đất là một miếng cứng hở. Ví dụ 5.1: Tim bậc siêu tĩnh của hệ trên hình 5.5a, b. a) \N!átd|t b) - Hệ trên hình 5.5a, sau khi xác định miếng cứng mặt đất qua các liên ffiliÄ 5.5 kết ngàm tại A, B và c , có số chu vi kín V = 3, số khớp đơn giản K = 0. Theo (5-2) bậc siêu tĩnh của hệ bằng: n = 3 .3 - 0 = 9 - Hệ trêrì hình 5.5b, sau khi xác định miếng cứng mặt đất qua liên kết khớp tại A, liên kết thanh tại B và liên kết ngàm tại c , có số chu vi kín V = 3, khớp phức tạp tại E tương đương với số khớp đơn giản bằng D - 1 = 3 - 1 = 2 do đó sô' khớp đơn giản của hệ là K = 5. Theo (5-2) bậc siêu tĩnh của hộ bằng: n = 3 .3 -5 = 4 3. Tính chất của hệ siêu tĩnh So với hộ tĩnh định tương ứng được tạo thành sau khi loại bỏ tất cả các liên kết thừa từ hệ siêu tĩnh thì hệ siêu tĩnh có những tính chất sau: 1. Chuyển vị biến dạng và nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơn trong hệ tĩnh định có cùng kích thưóc và tải trọng. Ví dụ so sánh dầm đơn giản tĩnh định có hai đầu tựa khớp và dẩm siêu tĩnh có hai đẩu ngàm, có cùng độ cứng EI, chiểu dài nhịp I và cùng chịu tải trọng phân bố đéu q như trên hình 5.6a, b, dễ dàng thấy chuyển vị và nội lực trong dầm siêu tĩnh nhỏ hơn trong dầm tĩnh định khá nhiẻu. Như vậy, dùng hệ siêu tĩnh sẽ tiết kiệm được vật liệu hơn so với hộ tĩnh định tương ứng và do đó hệ siêu tĩnh hay được sử dụng trong các công trình xây dựng. A jiÿ b a n r o s V Í 2 \ □ r C O 6 ị 4- í ) EI- ÍT 2 I W 384 E! I 'max 1 3 8 4 E n ¡a . 1. 12 1 t |-------^ ----- ị -------- ^ — - ________]_______ _ _ 4 (M> P ») b) q 7 z f^ 7 m "8 ix 24 8 Hình 5.6 8
2. Trong hệ siêu tĩnh phát sinh nội lực do sự thay đổi nhiệt độ, sự chuyển vị gối tựa, sự chê tạo và lãp ráp khỏng chính xác gây ra. Ví dụ: - Khi chịu sự thay đổi nhiệl độ, dầm tĩnh định trên hình 5.7a bị biến dạng tự do vì nhiệt nén trong dầm không phát sinh phản lực và nội lực, còn dầm t ' ỉ ’ 'ỉ siêu tĩnh trên hình 5.7b khỏng thê’ biến dạng tự do, Hình 5.7 vì có liên kết thừa tại B ngăn cản. Tại các liên kết xuất hiện các phàn lực và trong dầm xuất hiện các A _ _________________ B _ nội lực vì nhiệt. , ~ ~ 4 -1 * a) JPB' - Khi liên kết tựa có chuyển vị cưỡng bức, dầm tĩnh định trên hình 5.8a chỉ bị nghiêng tự do, trong A -- ------- --- c _______________ B dầm có chuyến vị nhưng không xuất hiện biến dạng và nội lực, còn dầm siêu tĩnh trên hình 5.8b » í t 4 ' không thể nghiêng tự do vì có liên kết thừa tại c ngãn cản. Dầm bị biến dạng. Tại các liên kết xuất Hình 5.8 hiện các phán lực và trong dầm xuất hiện-các nội lực do chuyển vị gối tựa gây ra. - Khi hệ siêu tĩnh có sự chế tạo và lắp ráp không chính xác, chẳng hạn chiều dài chế tạo của thanh EF trong hệ siêu tĩnh trên hình 5.9 ngắn hơn chiều dài thiết kế một đoạn A, thì sau khi lắp ráp thanh EF bị dãn ra và làm thanh AB bị uốn cong, do đó tại các liên kết xuất hiện các phản lực và trong hệ xuất hiện cấc nội lực do sự chế tạo không chính xác gây ra. Tính chất này của hệ siêu tĩnh có thể được sử dụng để trước khi hộ chịu tải trọng tạo ra trong hệ trạng thái biến dạng và nội lực ban đầu ngược chiều với trạng thái biến dạng và nội lực trong hệ khi chịu tải trọng, làm cho biến dạng và nội lực tổng cộng trong hệ nhỏ hơn và phân bô hợp lí hơn. Do đó tiết kiệm được vật liệu hoặctăng khảnăng chịu lực của hệ. Kết cấu có trạng thái chuyển vị và nội lựcban đầu trước khi chịu tải trọng được gọi là kết cấu có ứng suất truớc hay gọi tắt là kết cấu ứng suất trước. 3. Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào vật liệu và hình dáng, kích thước tiết diện cua các cấu kiện trong hệ. Nội dung được trình bày trong các mục tiếp theo sẽ cho thấy rõlà để xác định được các phán lực và nội lực trong hệ siêu tĩnh thì ngoài các phương trình cán bằng tĩnh học cẩn bổ sung thêm các phương trình biểu thị điểu kiện biến dạng vàchuyển vị tại một số tiết diện trong hệ. Biến dạng và chuyển vị lại phụ thuộcvào vật liệu, hình dáng và kích thước các tiết diện của các cấu kiện, tức là phụ thuộc vào các dộ cứng EA, EI. GA cùa 9
các cấu kiộn. Do đó việc tính hệ siêu tĩnh phức tạp hơn việc tính hệ tĩnh định, cụ thể là cẩn giả định trước hình dáng và kích thước cùa các tiết diện và chọn vật liệu. Trẽn cơ sớ đó xác định nội lực và chuyển vị, rồi theo các kết quả nhận được kiểm tra lại kích thước tiết diện đã chọn. 5.2. N ỘI DUNG PHƯƠNG P H Á P L ự c TÍN H HỆ SIÊU TĨNH CHỊU TẢI T R Ọ N G BẤT ĐỘNG 1. Hệ ca bản Giả sử cần xác định nội lực và chuyển vị trong hộ siêu tĩnh bất kì chịu tải trọng như trên hình 5.10a. Để có thể dễ dàng xác định được nội lực và chuyển vị, quá trình tính không được thực hiộn trực tiếp trên hệ siêu tính mà dược thực hiện trên hộ tương ứng được suy ra từ hệ siẻu tĩnh đã cho bằng cách loại bỏ bớt các liên kếl thừa và thiết iập các điểu kiện bổ sung sao cho hai hệ làm việc giống nhau về lực và chuyển vị. Hệ tưcmg ứng được suy ra từ hê siêu tĩnh bằng cách ioại bò bớt các liên kết thừa được gọi là hộ cơ bản. Nếu chỉ loại bỏ một số liên kết thừa thì hệ cơ bản là siêu tĩnh có bậc siêu tĩnh thấp hơn. Nếu loại bỏ tất cả cấc liên kết thừa thì hệ cơ bản là tĩnh định nên có thể dễ dàng xác định được nội lực và chuyển vị. Vì vậy trong đa số các trường hợp thường chọn dùng hệ cơ bản tĩnh định. Có nhiẻu cách loại bỏ tất cả các liên kết thừa để có hệ cơ bản tĩnh định. Trên hình 5.10b, c, d thể hiện một số hệ cơ bản tĩnh định dược suy ra từ hệ siêu tĩnh trên hình S.lOa. Vì quá trình tính dược thực hiện trẽn hệ cơ bản nên thường chọn hệ cơ bản cho phép dẽ dàng xác định được nội lục, chẳng hạn chọn hệ cơ bản là hệ tĩnh định đơn giản có một liên kết ngàm tại B như trên hình 5 .10b. Để thiết lộp các điẻu kiện bổ sung cẩn so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bản sao cho hai hệ làm việc giống nhau vẻ lực và chuyển vị. Hinh 5.10 Hình 5.11 10
- vẻ lực: Tại các vị trí loại bỏ liên kết trên hệ cơ bàn không có các lực, còn trên hệ siêu tĩnh tại các vị trí tương ứng nói chung đểu có các phán lực. Do đó trên hộ cơ bản cần đặt các lực tương ứng vào vị trí các liên kết bị loại bỏ và kí hiệu là X |, x 2......x 5 như trẽn hình 5.11. Những lực này chưa biết chiểu và trị số nên được giả định có chiểu bất kì và xem là các ẩn số cần tìm. Vì lấy lực làm ẩn sô' nên phương pháp được gọi là phương pháp lực. • v ể chuyển vị: Chuyển vị tại vị trí và theo phương các liên kết bị loại bò trên hệ cơ bản đều tồn tại, còn trên hệ siêu tĩnh các chuyển vị tương ứng đều bàng không. Do đó Irên hệ cơ bản cẩn thiết lập các điều kiện là chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của các liên kết bị loại bó phải bằng không, hay nói cách khác là trong hệ cơ bản chuyển vị lương ứng với vị trí và phương của ẩn sô' lực X], x 2......Xj do các lực X |, x 2....... x 5 và tải trọng đã cho gây ra phải bằng không. Ax = 0 , với K = 1, 2, .... 5 K(X[. X->... x5.p) • Trường hợp tổng quát nếu hệ siêu tĩnh có n bâc siêu tĩnh và chịu tải trọng bất động thì cũng thực hiện tương tự như trên, sau khi chọn hệ cơ bản tĩnh định và lừ việc so sánh hệ siêu tĩnh và hệ cơ bản để hai hệ làm việc giống nhau, điều kiện chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của ẩn số lục XK do các lực X |, x 2, .... XK......Xn và tải trọng gây ra trên hệ cơ bản phải bằng không, sẽ là: AXK(X|,X2...xk.....x„,p) = 0 , với K = 1, 2, .... K ........n (5-3) n điéu kiện (5-3) được gọi là hệ phương trình cơ bản của phương pháp lực. Hộ phương trình này nghiệm đúng với tất cả các hộ tuân theo cũng như không tuân theo nguyên lí cộng tác dụng. Sau khi giải n phương trình cơ bản và tìm dược các ẩn sô' lực X |, X2, .... XK, .... Xn, các lực này được xem là ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bản. Lúc này các lực trên hệ cơ bản đã biết nẻn có thể dễ dàng tìm được nội lực và chuyển vị trong hệ cơ bản, đó cũng chính là nội lực và chuyển vị trong hộ siêu tĩnh do tải trọng gây ra vì các lực XK với K = 1, 2 , n thoả mãn hệ phương trình cơ bản (5-3) tức là thoả mãn điều kiện làm việc giống nhau giữa hệ siêu tĩnh đã cho và hộ cơ bản tương úng. 2. Hệ phương trình chính tác Đối với hệ siêu tĩnh đàn hồi tuyến tính có thể áp dụng nguyên lí cộng tác dụng thì hộ phương trình cơ bản (5-3) có thể viết dưới dạng: A X k ( X , . X j .....X K ...... x n. p ) = A x K x l + a x kx 2 + - + a xkx k + - + A x Kx n + a x kP = ° với K = 1 , 2 , n Hay để cho gọn có thể viết là: 11
A K ( X |tX 2.....X K ...... x „ , p ) - ứ K l + A K2 +•■• + A K K + — + ^ K n + A Kp - 0 với K = 1, 2 ,.... n Trong đó: AKm - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực X K do riêng lực Xm gây ra trong hệ cơ bản; AKp - chuyển vị tương ứng với vị trí và phương của lực XK do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Nếu gọi ôKm là chuyển vị đơn vị tucmg ứng với vị trí và phương cùa lực XK do riêng lực Xm = 1 gây ra trong hộ cơ bản, thì theo nguyên lí cộng tác dụng có: ^Km - ^Km *^m Do đó phương trình cơ bản thứ K có dạng: ỖK|X, + S K2X 2 +... + 8 k k X k +... + AKnX n + A Kp = 0 với K = 1, 2„ .... n Lần lượt cho K = 1 ,2 , n sẽ nhận được hệ n phương trình cơ bản được gọi là hệ phương trình chính tắc của phương pháp lực: ôn X| + 8 l2X 2 + ... + 5 1KX K + ... + 5lnX„ + A lp = 0 S2IX, + s 22x 2 + ... + S2KX K +... + ỗ2nX n + A2p = 0 SKIX| + 5 K2X 2 + ... + ô KKX K +... + ỗKnX n + A Kp = 0 s mx i + 8 n2 X 2 + ... + SnK K + ... + ônnx n + Anp = X 0 Trong đó: ÔKK - được gọi là hộ số chính; SKm với K * m được gọi là hộ số phụ; AKp - được gọi là số hạng tự do. Như vậy, các hộ số chính, hộ số phụ và số hạng tự do trong hộ phương trình chính tắc của phương pháp lực đểu là chuyển vị, do đó để xác định cần vận dụng các công thức chuyển vị trong chương 4. a) Cách tìm hệ s ố phụ và hệ s ố chinh Theo công thức chuyển vị (4-18), thay "p" bằng "m" và AKp = AK = SKmX m, có: ro - v„x„ - 1 *1 fx 12
(5-5) Cũng thực hiện tương tự như trên, công thức tính hệ sỏ chính là: (5-6) Trong dó: M k . N k .Q k - biểu thức giải tích của mômen uốn. lực dọc và lực cắt do riêng lực XK = 1 gãy ra trong hệ cơ bán; M m, Nm.Q m - biểu thức giải tích cùa mômen uốn, lực dọc và lực cắt do riêng lực Xm = 1 gày ra trong hệ cơ bàn. Như vậy dề đàng thấy: - Hệ số phụ SKm có thể có giá trị âm hoặc bằng không hay dương và theo định lí Maxwell có ỗKm = ômK, nghĩa là các hệ sô' phụ bằng nhau từng đôi một tại các vị trí đối xứng qua đường chéo chứa các hệ số chính trong hộ phương trình chính tắc (5-4). - Hệ số chính ÔKK luôn luôn có giá trị dương. Các công thức tính hệ số phụ (5-5) và tính hệ số chính (5-6) có thể viết dưới dạng nhân biểu đồ là: ôKm =
(5-9) Trong đó: Mp, Np, Qp - biểu thức mômen uốn, lực dọc và lực cắt do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bán. Công thức tính sô hạng tự do viết dưới dạng nhân biểu đổ là: AKp= ( M K)(M°) + (N K)(N °) + (Q K)(Q°) (5-10) Trong dó: (M p ),(N p),(Q p) - biểu đồ mômen uốn, lực dọc và lực cắt riêng do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Cũng dễ dàng thấy sô' hạng tự do AK có thê’ có giá trị âm, hoậc bằng không hay dương. p 3. Cách tìm nội lực và chuyên vị Sau khi giải hệ phương trình chính tắc và tìm được các ẩn sô' lực X |, X2, .... XK......Xn, để tìm nội lực và chuyển vị tại tiết diện bất kì trong hệ siêu tĩnh có thể thực hiện như sau: a) Cách tính trực tiếp Xem các lực đã tim được X |, x 2......XK....... Xn như ngoại lực tác dụng trên hệ cơ bàn. Vì hệ cơ bản là tĩnh định và làm việc giống hệ siêu tĩnh nên nội lực và chuyển vị tại một tiết diện bất kì trẻn hệ cơ bản do các lực X |, x 2......XK, .... Xn và tải trọng gây ra có thê dễ dàng xác định được theo các phương pháp đã quen biết, kết quà nhận được cũng chính là nội lực và chuyển vị tại tiết diện tương ứng trên hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra. Như vậy: - Biểu đồ nội lực trong hệ cơ bản do các lực X |, x 2...... XK........Xn và tải trọng gãy ra cũng chính là biểu đồ nội lực trong hộ siêu tĩnh đo tải trọng gây ra. - Để tìm chuyển vị tại tiết diện K bất kì trên hộ siêu tĩnh do tải trọng gây ra chỉ cẩn tạo trạng thái khả dĩ "K" trên hệ cơ bản suy ra từ hộ siêu tĩnh. Đổng thời nhận thấy là có nhiều cách chọn hệ cơ bản khi tính hệ siêu tĩnh theo phương pháp lực, tuy nhiên hệ cơ bản nào cũng luôn phải làm việc giống hộ siêu tinh nên khi tìm chuyển vị trong hệ siêu tĩnh có thể tạo trạng thái khả đĩ "K" trên hệ cơ bản bất kì suy ra từ hệ siêu tĩnh. Tiếp đó áp dụng công thức chuyển vị (4-18): (5-11) Trong đó: N ^ ,Q k - biểu Ihức nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" dược tạo ra trôn hệ cơ bản bất kì suy ra từ hệ siêu tĩnh do PK = I hay MK = 1 gây ra; 14
M , N , Q p - biếu thức nội lực trong hệ siêu tĩnh do tài trọng gây ra hay trong hệ cơ bân tương ứng do các lực X |, X 2......Xn và tải trọng gây ra. Nêu sừ dụng công thức chuyển vị ớ dạng nhân biểu dồ, có: AK = (M ü )(M k ) + (Ñ “ )(N p) + (Q(') ( Q p) p k (5-12) Trong đó; (M ( ), ¿ ), (Q k ) - biếu đồ nội lực ở trạng thái khả dĩ "K" được tạo ra trẽn hệ cơ bàn bất kì suy ra từ hệ siêu tĩnh do PK = 1 hay MK = 1 gãy ra; (M p), (Np), (Q p ) - biểu đồ nội lực trong hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra. - Nên chọn hệ cơ bản đẽ’ tạo trạng thái khá dĩ "K" cho phép tìm chuyến vị đơn giản và dễ dàng nhất. b) Cách úp dụng nguyên lí cộng rác dụng Kí hiệu: Sp - đại lượng nghiên cứu (phàn lực, nội lực, chuyến vị) tại một tiết diện nào đó trẽn hệ siêu tĩnh do tải trọng gây ra. Sp - đại lượng nghiên cứu tại tiết diện tương ứng Irên hệ cơ bản do riêng tải trọng gây ra. SK - đại lượng nghiên cứu tại tiết diện tương ứng irên hệ cơ bản do riêng lực XK = 1 gây ra với K = 1, 2......n. Từ nội dung phương pháp lực và theo nguyên lí cộng tác dụng, biểu thức tổng quát xác định đại lượng nghiên cứu Sp do tải trọng gây ra trong hệ siẽu tĩnh là: s p = s , x , + S2X 2 + ... + SKX K + ... + SnX n +s°p (5-13) Trường hợp tính hệ khung, dầm gồm nhũng thanh thẳng, khi xác định chuyển vị có thể bò qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt so với ảnh hưỡng của mômen uốn. Vì vậy khi tính các hệ số ỗKm và số hạng tự do AKp trong hệ phương trình chính tắc bằng nhân biểu đổ, các biểu đồ mômen uốn đơn vị (M K) và biểu đồ mômen uốn (M p) trong hệ cơ bản đã dược vẽ sẵn. Do đó theo (5-13) ở dạng biểu đồ. có thể vẽ trước biểuđồ mômen uốn (Mp) do tải trọng gây ra trong hệ siêu tĩnh theo biểu thức sau: (M p) = (M,)X, + ( M 2)X2 + ... + (M k )X k +... + (Mn )Xn +(Mp) (5-14) c) Cách vẽ biểu dồ lực cắt theo biểu đổ mômen uốn Sau khi đã vẽ được biểu đổ mômen uốn (Mp) trong hệ siêu tĩnh, biểu đồ lực cắt (Qp) có thé vẽ theo hiểu dồ mômen uốn (Mp) như sau: 15
- Tách từng đoạn thanh trong đó tải trọng tác dụng là liên tục ra khỏi hệ. Từ biểu đồ mômen uốn dễ dàng xác định được mômen uốn tại lừng tiết diện ờ hai đầu đoạn thanh.
• Thực hiện tương tự: - Đối với đoạn thanh trên hình 5.12b, có: q/ + + M ^ 2 / q/ Mp - M 1 Qp = - (5-16) 2 / Đối với đoạn thanh trên hình 5.12c, có: _ q/ „ Mp - M' Q = — c o s a + ------------cosa 2 / qI Mp - M Qp= - — c o sa + — (5-17) 2 / - Đối với đoạn thanh không có tải trọng tác dụng như trên hình 5.12d, có: Mp - M ‘ Q =Q P= Q = (5-18) / d) Cách vẽ biểu đổ lực dọc theo biểu đồ lực cắt Đẽ xác định lực dọc tại các tiết diện đẩu thanh cần thực hiện như sau: - Tách từng nút ra khỏi hộ - Tại mỗi nút thể hiện tải trọng (nếu có) và tại các tiết diện dầu thanh quy tụ tạinút, theo quy định chung thể hiện: lực cắt đã biết, lực dọc đã biết và lực dọc cần tìm được giá thiết là dương. Từ hai phương trình cân bằng là lống hình chiếu cùa các lực đặt tại nút lên hai phương giao nhau được chọn trước phải bầng không sẽ xác định được các lực dọc cẩn tìm. Để tính toán đơn giản và dễ dàng nẽn tách núl theo thứ tự sao cho tại mỗi nút chỉ có hai lực dọc cần tìm, đồng thời cần chọn trục chiếu sao cho phương trình cân bằng chỉ chứa một lực dọc chưa biết. V í dụ 5.2: Vẽ các biểu đồ nội lực và tìm góc xoay tại nút K trong khung siêu tĩnh chịu tải trọng cho trẽn hình 5.13a. Bài giải: K 1. Xác định bậc siêu tĩnh BM n = 3V - K = 3.1 - 1 = 2 EI =const / Ị a 2. Chọn hệ cơ bàn tĩnh định. Loại bỏ hai liên kết thanh tại gối b) x7 A và Ihay bằng hai ẩn số lực tương ứng X| và X2. Hệ cơ bản n h ư trên hình 5.13b. H ình 5.13 17
3. Hệ phương trình chính tắc Hệ có hai bậc siêu tĩnh nên hệ phương trình chính tắc hai ẩn số có dạng: ônx , + S I2X 2 + A|p = 0 ô21x , + S22X 2 + A2p = 0 4. Xác định các hộ số và số hạng tự do cùa hộ phương trình chính tắc Áp dụng các công thức (5-7), (5-8) và (5-12). Trong hộ khung, dầm khi tính chuyển vị có thể bỏ qua ảnh hưởng cùa lực dọc và lực cắt nên chỉ cần vẽ các biểu đồ mổmen uốn đơn vị (M ,) ,(M 2) và biểu đồ mômen uốn (M p) lần lượt do X| = 1, x 2 = 1 và tải trọng gây ra trên hệ cơ bản như trên hình 5.14a, b, c. a/2 (M) 2 X 1 j= Hình 5.14 Do đó: 6 " - (ffl' )< a ' ) = 2 ẩ 3 * + H — 3EĨ 1 2EI 3 3EI ô = s 21 = (M ,)(M 2) = - — - = 12 21 27 EI 2 2EI 2 _ , n v . i ( K _ l í la ỉ a 3 qa2 a 5 qa4 2 A 3 2 EI 4 ~EI 8 EI a 2 = (M 2)(M ") = 2p 2p 2 ,2 EI 2 3 = _ i 4 5 4 _ EI Thay các kết quả đã tính dược vào hệ phương trình chính tắc có: a3Í 4 v 1 5 'I — —X, - —X , + —qa = 0 E li3 1 2 2 8 4 ) a qaì = 0 Ẽĩ\Í - —X.1 + —X 2 - IV 2 3 , 4 7 18
5. Giải hệ phưcmg trình chính tắc 3 3 Tim được các an số là: X, = - —qa; X 2 = — qa 7 28 6 . Vẽ biểu đồ mốmen uốn (Mp) Áp dụng biêu thức (5-14) có: (M P) = (M ,)X , + (M 2 ) X ,+ (M '’) Do đó theo nguyên lí cộng tác dụng cần: -V ẽ biếu đồ mômen uốn: (M ,) = (M ,)X , và (M 2) = (M 2 )X 2 = (M 2) ^ q a như trên hình 5.15a, b. Trong đó thớ cãng trong biểu đồ (M |) phái ngược chiểu với thớ căng trong biểu đồ (M ,) vì X, mang giá trị âm nên có chiều ngược với chiểu được giá định khi chọn hệ cơ bản. Hình 5.15 - Trên tùng đoạn thanh xác định giá trị mômen uốn trong biểu đồ (Mp) tại tiết diện ở hai dẳu đoạn thanh bàng cách cộng giá trị mômen uốn tại tiết diện tuong ứng trong biểu đổ (M |), (M2) và (M p ). Khi đoạn thanh chịu tải trọng phần bố liên tục thì mômen uốn tại tiết diện giữa đoạn được xác định theo cách treo biểu đồ. Thanh KB: không có tải trọng tác dụng, biểu đổ mômen uốn là một đoạn thẳng 3 2 1 M kb = ^ q a 2 -t-0- =—Y^-qa2 (căng trên) 3 2 3 2 1 2 1 7. M B K = 7
7. Vẽ biểu dồ lực cắt (heo biếu đổ mômen uốn Thanh KB: Lực cắl là hằng số, theo (5-18) với cosa = 1 có: 4a_ qa‘ Mp - M' 28 14 Q kb - Q bk- : — qa / a 28 Thanh AK: biểu dồ lực cắt là đường thắng bậc nhất. Chọn vị trí người quan sát theo quy định và theo (5-16) có: qa» -0 q/ Mp - M ' qa 14 - Q = — + ------------ = — + :-u a 2 / 2 7 qa q/ Mp - M ' qa 14 4 Q k a = Q P = - — + ------------- = - — = — -qa 2 / 2 7 Biểu đồ lực cắt (Q ) được vẽ như trên hình 5 .lóa. X KHTTTT T m IĨTTT T TTĨTm TT ỉ Í T + T K7 r r^ B yr y T ^ K B 28 - K QB K=f8qa v p r p qa ,qa Nk r= 7 (Qp) r ' : i , (Np) H a = Ị q a 28 M =28qa I , »< a) c) d) RI iqa Hình 5.16 8 . Vẽ biếu đổ lực dọc theo biểu đồ lực cắt Trong trường hợp này lực dọc trong các thanh là một hằng số. Tách nút K ra khói hệ và theo quy định thế hiện các lực cắt đã biết tại các tiết diện đẩu thanh quy tụ tại nút, các lực dọc NK|j, N ka chưa biết được giả sử là dương như trên hình 5.16b. Từ các phương trình cán bằng của nút K: V' 4 4 2_,PX= 0 có: N kb + —qa = 0 , suy ra: N K = B qa (lực nén) t K’ )
9. Tìm góc xoay tại nút K Tạo trạng thái khả dĩ "K": Trên hệ cơ bản, tại tiết diện K đật mômen MK = 1, vẽ biểu đổ ( \ ì £ ) như trên hình 5 .17b. Theo (5-12) có: a K p = ( P k p = ( M k ) ( M p ) _ M „=1 I + H il-IL 1 14 2EI 28 2EI E S ị ^ = ả q2 a 1 'K' qa -(rad) r •Pkb - ' «) 56E1 HA | q a = Như vậy các dầu thanh quy tụ tại b) ụ núi cứng K dểu xoay ngược chiều R‘= ẳ qa a kim đồng hổ một góc như nhau và Hình 5.17 làm hộ bị biến dạng theo dường đứt nét như trẽn hình 5.17a. V í dụ 5.2: Vẽ các biểu đồ nội lực và tìm chuyển vị thẳng tương đối theo phương ngang giữa hai khớp F và I trong khung siêu tĩnh chịu tải trọng như trên hình 5.l8a. B ài giải: 1. Bậc siêu tĩnh: n = 1. Hệ có đủ số liên kết tựa nối với mật dất nên từ ba điểu kiện cân bằng tĩnh học cùa hệ dẻ dàng tìm được các phản lực HA = p, RA = 1/3P; RB = 1/3P như trên hình 5.18a. 2. Chọn hệ cơ bản tĩnh định: cắt thanh có khớp ở hai đầu FI và thay bằng lực dọc chưa biết X | như trên hình 5.18b. 3. Phương trình chính tắc: 5, ị X ị + Aịp = 0 4. Tính hẽ số ỗ| I và số hạng tự do A|p: - Vẽ biểu đổ mômen uốn (M |)d o riêng X, =1 gây ra và (M p)do riêng tải trọng gây ra [rong hệ cơ bản như trên hình 5.19a, b. 21