฀
a
n
Chương 5: Biểu diễn tín hiệu theo
miền tần
số
฀ Phân tích Fourier của tín hiệu: Một tín hiệu tuần hoàn bất
kỳbiểu diễn bởi
hàm
x(t) có thể được phân tích thành tổng
của các thành phần tín hiệu dạng sin
và cos.
฀
฀
x
(
t
)
฀
an
cos( 2
฀
nf
0
t
)
฀
bn
sin( 2
฀
nf
0
t
)
(1)
Với:
T
n
0
T
n
1
T
b
x
(
t
)
sin(2฀f
t
)
dt
a0
x
(
t
)
dt
0
an 
x
(
t
)
cos
(2
฀
f
0
t
)dt
n
00
0
Có thểchuyểnđổi công thức (1) thành công thức chỉcó dạng
cos như
sau:
฀
x
(
t
)c0
฀
cn
cos( 2
฀
nf
0t
n
)
n12
2
Với
c
0
=a
0,
cn
an
bn
,
1
฀b
฀
฀
tan
฀฀n
฀
n
฀
฀ Ví dụ: Xét tín hiệuđược biểu diễn bởi hàm x(t)
sau:
x
(
t
)sin(2฀f
t
)1
sin(2
฀
(3 f
t
))
13
1
Các thành phần của tín hiệu này đều là các tín hiệu hình sin
với tần số là f1và
3f
1
;
phần a và b của hình này biểu diễn các tín
hiệu thành phần riêng rẽ. Có một vài
điểm
thú vịcó thểnhận
thấy từcác phần của hình vẽ2.3
là:
- Tần sốthứhai là bội sốnguyên lần của tần sốthứnhất. Khi
mọi thành phần
tần
số của một tín hiệuđều là bội số nguyên
lần của một tần sốthì tần sốnhỏ
nhất
được gọi là tần số cơ
bản (fundamental
frequency).
-
20
-
-
1.0
- Chu kỳcủa một tín hiệu tổng hợp có giá trịbằng với chu kỳ
của thành phần
tín
hiệu có tần sốbằng với tần số cơ bản.
Tần sốcủa thành phần
sin(2
฀
f
1
t) là
T=1/f1và chu kỳcủa tín hiệu s(t) cũng là T, nhưta thấy trên
hình
2.3c.
1.0
0.5
0
-0.5
-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5
2.0T
(a)sin(2
฀
f
1
t)
1.0
0.5
0
-0.5
0.0 0.5 1.0 1.5
2.0T
(b)sin(2
฀
(3
f
1
)t)
1.
0
0.
5
0
-
0.
5
-
1.
0
0.0 0.5 1.0 1.5
2.0T
(c)sin(2
฀
f
1
t)+sin(2
฀
(3
f
1
)t)
Hình 2.3 Các thành phần của tần
số
-
21
-
Có thểthấy rằng, bằng cách sửdụng phép phân tích Fourier,
bất kỳmột tín
hiệu
nào cũng có thể được tạo thành bởi nhiều
thành phần tín hiệu dạng sin với nhiều tần
số
khác nhau. Kết quả
này có ý nghĩa cực kỳquan trọng bởi vì các loại tín hiệuđều có
thể
được biểu diễn dưới dạng các tần sốcủa một loại tín hiệu cơ
bản.
-
22
-
Hình 2.4 Biểu diễn các miền tần
số
Do đó, chúng ta có thểnói rằng với mỗi một tín hiệu, có một
hàm theo miền
thời
gian s(t) dùng để xác định giá trị tín hiệu tại
mỗi một thời điểm. Tương tự như vậy,
có
một hàm theo miền tần
sốs(f) dùng để xác định các tần sốthành phần của tín
hiệu.
Hình vẽ2.4a biểu diễn hàm theo miền tần sốcủa tín hiệu có trong
hình vẽ2.3c. Chú
ý
rằng trong trường hợp này, hàm S(f) là rời
rạc. Hình vẽ2.4b biểu diễn hàm theo
miền
tần sốcủa tần sốcủa
một xung vuông có giá trịbằng 1 trong khoảng thời gian
–X/2
đến X/2, và bằng 0 trong các thời điểm khác. Chú ý rằng trong
trường hợp này S(f)
là
liên tục, và nó luôn có giá trịkhác 0 cho
dù cường độ của các thành phần tần số
trở
nên nhỏhơn khi mà
giá trịtần sốtrởnên lớn hơn. Đặc tính này là phổbiếnđối với
các
tín hiệu trong thực
tế.
-
23
-
Phổ(spectrum) của một tín hiệu là miền các tần sốmà tín
hiệuđó có. Với
tín
hiệu trong Hình 2.3c, phổcủa tín hiệu bao
trùm từf1 đến 3f1.Dải thông tuyệt
đối
(absolute bandwidth)
của một tín hiệu là độ rộng của phổ. Trong trường hợp
Hình
2.3c, dải thông tuyệtđối của tín hiệu là 2f1. Rất nhiều tín hiệu,
chẳng hạn như tín
hiệu
được biểu diễn bằng Hình 2.4b, có một
dải thông bằng vô cùng. Tuy nhiên, hầu
hết
năng lượng của tín
hiệuđược tập trung vào một dải hẹp các thành phần tần số. Dải
tần