Kỷ yếu Olympic Toán học sinh viên lần thứ 21

Chia sẻ: Thu Minh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

47
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Olympic Toán học Sinh viên toàn quốc lần thứ 21 năm nay sẽ được tổ chức tại Đại học Duy Tân, Đà Nẵng từ ngày 08 -14/04/2013 với khoảng 90 trường đại học, cao đẳng cả nước cử khoảng 800 sinh viên tham dự hai môn thi Đại số và Giải tích. Tài liệu "Kỷ yếu Ôlympic Toán học sinh viên lần thứ XXI" tập hợp lại một số bài đề xuất của các trường tham dự kỳ thi với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu tham khảo cho các sinh viên quan tâm. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Kỷ yếu Olympic Toán học sinh viên lần thứ 21

K y u à N ng, 04/2013
M cl c ôi nét v i h c Duy Tân iW I thi d tuy n n m 2013 1 1 is 3 1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Ma tr n - nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 H ph ng trình tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 a th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Gi i tích 17 2.1 Dãy s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Phép tính vi phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Phép tính tích phân hàm m t bi n . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Lí thuy t chu i và tích phân suy r ng . . . . . . . . . . . . . 25 II thi chính th c n m 2013 27 3 thi 29 3.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 áp án 33 4.1 is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Gi i tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 iii
Ph n I thi d tuy n n m 2013 1
1 Ch ng 1 is 1.1 Không gian véc t - Ánh x tuy n tính Bài 1 (C Tuyên Quang). Cho V là m t không gian véc t trên tr ng K. Gi s u1 , u2 , ..., un là m t h véc - t c l p tuy n tính c a V , aij œ K, 1 Æ j Æ i Æ n. Ch ng minh h véct : v1 = a11 u1 , v2 = a21 u1 + a22 u2 , v3 = a31 u1 + a32 u2 + q33 u3 , ... vn = an1 u1 + an2 u2 + . . . ann un là c l p tuy n tính khi và ch khi a11 a22 ...ann ”= 0. Bài 2 ( H Khoa h c Hu ). Cho f : V ≠æ W là m t ánh x tuy n tính c a các không gian vecto h u h n chi u trên tr ng K. Ch ng minh r ng: 1. N u A là m t không gian con k-chi u c a V sao cho A ﬂ Kerf là m t không gian con r-chi u thì dim f (A) = k ≠ r. 2. N u B là m t không gian con c a W sao cho B ﬂ Imf là m t không gian con s-chi u thì dim f ≠1 (B) = dim V + s ≠ rank(f ). Bài 3 ( H Khoa h c Hu ). Cho V = F[x] và f là m t t ng c u c a V xác nh b i f (P ) = xP . Xác nh các giá tr riêng và vecto riêng c a t ng c u F : End(V) ≠æ End(V) cho b i F (g) = f ¶ g ≠ g ¶ f . 3
1 is Bài 4 ( H Khoa h c Hu ). Cho A là m t ma tr n th c vuông c p n và ÏA , ÂA là các t ng c u tuy n tính c a không gian vecto th c M (n, R) các ma tr n th c vuông c p n xác nh b i: ÏA (X) = AX ≠ XA, ÂA (X) = AX. Ch ng minh r ng det(ÏA ) = 0 và det(ÂA ) = (det A)n . 1.2 Ma tr n - nh th c Bài 5 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 4 s th c a, b, c, d tùy ˝. Ch ng minh r ng - - - - -1 a a2 a4 -- -1 a a2 a3 -- - - -1 b b2 b4 -- -1 b b2 b3 -- - - - - = (a + b + c + d) - -. -1 c c2 c4 -- -1 c c2 c3 -- - - -1 d d2 d4- -1 d d2 d3 - Bài 6 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho W là t p các ma tr n vuông c p 3 có các ph n t ch nh n giá tr ±1. Tìm s các ma tr n trong W có nh th c d ng. Bài 7 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p n > 1: A = (aij ), aij œ Z, trong ó aij l v i i ”= j và aii ch n (1 Æ i, j Æ n). Ch ng minh r ng: det(A) ”= 0. Bài 8 (C Tuyên Quang). Cho A là ma tr n vuông c p 3: A = (aij ) và aij œYK, 1 Æ i, j Æ n, K là m t tr ng. Ch ng minh r ng: A2 = 0 khi và ch ]rank(A) Æ 1, khi . [trace(A) = 0 Bài 9 (C Tuyên Quang). Tính nh th c - - - x - 1 0 0 ... 0 0 -- -n ≠ 1 2 0 0 0 -- - x ... - - - 0 n≠2 x 3 ... 0 0 -- D= - - . . - . . . ... . . -- - - - 0 0 0 0 ... x n ≠ 1-- - - 0 0 0 0 ... 1 x - 4
1.2 Ma tr n - nh th c Bài 10 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 2013. Ch ng minh r ng n u det (A≠1 ) = 2013 thì t t c các ph n t c a A không th cùng là s nguyên. Bài 11 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông cùng c p 2013 tho mãn AB 2 A + BA2 B = I v i I là ma tr n n v c p 2013. Tìm t ng các ph n t trên ng chéo chính c a ma tr n AB 2 A. Bài 12 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A và B là hai ma tr n vuông cùng c p 2013 tho mãn rank (AB) = rank (A) rank (B) . Hãy xác nh ma tr n A n u rank (B) > 2. Bài 13 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho f (x) = a1 + a2 x + . . . + an xn≠1 là a th c h s th c và Ê1 , Ê2 , . . . , Ên là các giá tr c n b c n c a 1. G i S T a1 a2 . . . an≠1 an W Wan a1 . . . an≠2 an≠1 X X A=W W .. .. .. .. .. X U . . . . X . V a2 a3 . . . an a1 và S T 1 1 ... 1 1 W W Ê1 Ê2 . . . Ên≠1 Ên X X B= W .. .. .. .. .. X W U . . . . X . V Ê1n≠1 Ê2n≠1 n≠1 . . . Ên≠1 Ênn≠1 Tính det (A). Bài 14 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A là ma tr n vuông c p 3 có các ph n t là 0 ho c 1. Tìm giá tr l n nh t c a det (A). Q R 1 ≠2 1 Bài 15 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho A = c d a≠1 1 0b. Tìm A100 . ≠2 0 1 5
1 is Bài 16 (C S ph m Hà N i). Cho A là ma tr n c p 3 ◊ 2, B là ma tr n c p 2 ◊ 3 sao cho Q R 8 2 ≠2 c AB = a 2 5 4db ≠2 4 5 Tìm BA. Bài 17 (C S ph m Hà N i). Có t n t i hay không ma tr n vuông A c p 3 sao cho T r(A) = 0 và AT + A2 = I trong ó T r(A) là t ng các ph n t trên ng chéo chính c a ma tr n A. Bài 18 (C S ph m Hà N i). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n sao cho A2013 = 0, AB = BA, B ”= 0 Ch ng minh r ng rank(AB) Æ rank(B) ≠ 1. Bài 19 (C S ph m Hà N i). Cho A là ma tr n vuông c p n sao cho A3 = A + I. Ch ng minh r ng det(A) > 0. Bài 20 ( H An Giang). 1. Tìm t t c các ma tr n giao hoán v i ma tr n Q R 0 1 2 c d A = a 0 0 3 b. 0 0 0 2. Gi i ph ng trình X n = A v i n œ Nú . Bài 21 ( H An Giang). Cho a, b, c là các s th c th a a2 + b2 + c2 = 4, tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a nh th c ma tr n Q R a+b b+c c+a c d A = a c + a a + b b + c b. b+c c+a a+b Bài 22 ( H An Giang). Cho A œ M2 (C), t Z(A) = {B œ M2 (C)|AB = BA}. Ch ng minh r ng | det(A + B)| Ø | det(B)| v i m i B œ Z(A) khi và ch khi A2 = 0. 6
1.2 Ma tr n - nh th c Bài 23 ( H An Giang). Cho dãy các s th c (un ), (vn ), (wn ) c xác nh b i u0 = v0 = 1, w0 = 2 và Y _ ] un+1 = 4un + vn ≠ wn vn+1 = 2un + 5vn ≠ 2wn _ [ wn+1 = un + vn + 2wn . un un Tìm lim và næŒ lim . næŒ vn wn Bài 24 ( H Th ng Long). Cho A là ma tr n th c c 4 ◊ 2 và B là ma tr n th c c 2 ◊ 4 th a mãn Q R 1 0 ≠1 0 c 0 1 0 ≠1d AB = c c d d. a≠1 0 1 0b 0 ≠1 0 1 Hãy tính BA. Bài 25 ( H Th ng Long). Cho A, B œ M3 (Z) sao cho Q R 1 2k k(2k + 1) c d AB = a0 1 2k b 0 0 1 v i k œ N. Ch ng minh r ng t n t i ma tr n C œ M3 (Z) sao cho BA = C k . Bài 26 ( H Bà R a – V ng Tàu). Tính t ng t t c các nh th c c a các ma tr n vuông c p n, (n Ø 2), mà trên m i hàng, m i c t c a m i ma tr n ó có úng m t ph n t khác không và các ph n t khác không ôi m t khác nhau, nh n giá tr trong t p h p {1; 2; ...; n}. Bài 27 ( H Bà R a – V ng Tàu). Gi s A là ma tr n vuông c p 2013 th a mãn: v t c a A2 b ng 8052 và v i m i ma tr n B vuông c p 2013 u vi t c d i d ng B = B1 + B2 , trong ó AB1 = B1 A và AB2 = ≠B2 A. Ch ng minh r ng t n t i s t nhiên m Æ 2013 sao cho: det(A ≠ I) = (≠3)m . Bài 28 ( H Bà R a – V ng Tàu). Có t n t i hay không hai ma tr n vuông c p 2 A, B sao cho ma tr n C = AB ≠ BA giao hoán v i A, B và C khác ma tr n không? 7
1 is Bài 29 ( H Bà R a – V ng Tàu). Cho A, B là hai ma tr n vuông c p n th a mãn Im(A) ﬂ Im(B) = {0}, và{u1 , u2 , ..., uk }, {v1 , v2 , ..., vk } là các t p con tùy ˝ c a Rn . Ch ng minh r ng n u k > r(A) + r(B) (r(A) là h ng c a ma tr n A) thì luôn t n t i các s th c ⁄1 , ⁄2 , ..., ⁄k không ng th i b ng không sao cho: ⁄1 Au1 + ⁄2 Au2 + ... + ⁄k Auk = ⁄1 Bv1 + ⁄2 Bv2 + ... + ⁄k Bvk . Bài 30 ( H Bà R a – V ng Tàu). G i V là t p h p mà m i ph n t c a nó là m t ma tr n vuông c p n có các ph n t ôi m t khác nhau và là các s trong t p h p {1; 2; ...; n2 }. Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a r(A) v i A œ V (r(A) là h ng c a ma tr n A). Bài 31 ( H Hàng H i). S T 1 0 0 1. Cho ma tr n A = U1 1 0X W V và n > 0 là s nguyên. Tìm (An )≠1 . 1 1 1 2. Cho A và B là các ma tr n c n ◊ n khác nhau v i các ph n t th c. Gi s A3 = B 3 và A2 B = B 2 A, ch ng minh r ng A2 + B 2 không kh ngh ch. Bài 32 ( H Hàng H i). Tính nh th c S T 1 2 3 4 ··· 2000 W 2 1 2 3 1999X W ··· X W X W 3 2 1 2 ··· 1998X det A = det W W 4 X. W 3 2 1 ··· 1997XX W X U ··· ··· ··· ··· ··· ··· V 2000 1999 1998 1997 ··· 1 Bài 33 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho s th c a0 , dãy {a0 , a1 , a2 , ..., a2013 } l p thành c p s c ng công sai d = 4. Tìm i u ki n c a a0 ma tr n A sau là kh ngh ch Q R a0 a1 a2 ... a2012 a2013 c d c a1 a0 a1 ... a2011 a2012 d c d c a2 a1 a0 ... a2010 a2011 d c d A= c .. .. .. .. .. .. d c c . . . . . . d d c d a a2012 a2011 a2010 ... a0 a1 b a2013 a2012 a2011 ... a1 a0 8
1.2 Ma tr n - nh th c Bài 34 ( H Khoa h c Hu ). Tìm t t c các ma tr n A vuông c p n sao cho v i m i ma tr n B vuông c p n ta u có det(A + 2013.B) = det A + 2013. det B. Bài 35 ( H Hùng V ng – Phú Th ). 1. Cho A, B œ M at(n, R) sao cho t n t i (–, —) œ (R ≠ {0})2 th a mãn: AB + –A + —B = 0. Ch ng minh AB = BA. 2. Ch ng minh r ng v i m i A, B, C œ M at(2, R) ta luôn có: (AB ≠ BA)2 C ≠ C(AB ≠ BA)2 = O. Bài 36 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho A là ma tr n th c c 3 ◊ 2, B là ma tr n c 3 ◊ 2 th a mãn Q R 0 ≠1 ≠1 c AB = a ≠1 0 ≠1 d b 1 1 2 1. Ch ng minh r ng ma tr n BA kh ngh ch. 2. Tìm ma tr n BA. Bài 37 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Bi t r ng nh th c c a ma tr n A = [aij ]n◊n b ng – và t ng các ph n bù i s c a các ph n t c a ma tr n A b ng — (–, — œ R). Tính nh th c c a các ma tr n sau: S T a11 + 2013 a12 + 2013 ... a1n + 2013 W W a21 + 2013 a22 + 2013 ... a2n + 2013 X X 1. B = W X. U ... ... ... ... V an1 + 2013 an2 + 2013 ... ann + 2013 S T 1 1 ... 1 W X W W a21 ≠ a11 a22 ≠ a12 ... a2n ≠ a1n X X 2. C = W W a31 ≠ a11 a32 ≠ a12 ... a3n ≠ a1n X. X W X U ... ... ... ... V an1 ≠ a11 an2 ≠ a12 ... ann ≠ a1n Bài 38 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p n th a mãn rank(AB) = rank(B). Ch ng minh r ng ABX = ABY … BX = BY v i m i X,Y. 9
1 is Bài 39 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n tr c giao vuông c p n th a mãn det(AB) < 0. Ch ng minh r ng det A + det B = det(A + B). Bài 40 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A vuông c p n. Ch ng minh r ng n u trace(AT A) + n = 2.trace(A) thì A kh ngh ch. Bài 41 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho A và B là hai ma tr n vuông c p 2013 th a mãn AB +2012A+2013B = 0. Ch ng minh r ng rank(A)+rank(B) ”= 2013. Bài 42 ( H Khoa h c Hu ). Ch ng minh r ng n u ma tr n vuông A c p n có các ph n t trên ng chéo chính b ng 0, các ph n t còn l i b ng 1 ho c b ng 2014 thì rank(A) Ø n ≠ 1. Bài 43 ( H Khoa h c Hu ). Cho các ma tr n vuông th c A, B th a mãn các i u ki n: A2013 = 0, AB = 2012A + 2011B. Ch ng minh r ng B 2013 = 0 và det(A ≠ 2011I) ”= 0. Q R 4 ≠5 2 c d Bài 44 ( H Khoa h c Hu ). Cho ma tr n th c A = a 5 ≠7 3 b. Tính 6 ≠9 4 f (A) bi t f (A) = 2013x2013 ≠ 2012x2012 + · · · ≠ 2x2 + x. Bài 45 ( H Khoa h c Hu ). Cho n œ Nú , A œ M (n, R) sao cho A3 = A+In . Ch ng minh r ng det(A) > 0. Bài 46 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho A0 , A1 , . . . , Am œ M at (m, R) ,m œ Z+ , m Ø 1. Ch ng minh r ng t n t i các s a0 , ..., am không ng th i b ng không sao cho ma tr n B = a0 A0 + a1 A1 + ... + am Am là ma tr n suy bi n. Bài 47 ( H S Ph m Hà N i 2). Cho An = [aij ]n œ M at (n, R) , n Ø 3, trong ó aij = ±1 Ch ng minh r ng |det An | Æ (n ≠ 1) (n ≠ 1)! Bài 48 ( H S ph m Hà N i 2). Cho ma tr n A œ M at (n, R) th a mãn A3 + 2A2 ≠ A ≠ 2I = 0; tr(A) = n. 10
1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng Xác nh ma tr n A. Bài 49 ( H S ph m Hà N i 2). Cho A, B œ M at (n, R) , n Ø 2 th a mãn rank (AB ≠ BA) = 1. Ch ng minh r ng (AB ≠ BA)2 = 0. 1.3 Véc t riêng - Giá tr riêng A B 1 2 Bài 50 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho 2 ma tr n A = ,B = 3 4 A B 4 3 và ma tr n c p 2 X th a mãn AX ≠ mX = B, m œ R. Tìm s th c 2 1 m X có tr riêng b ng 1. Bài 51 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Cho A, B œ Mn (R) giao hoán c v i nhau. Ch ng minh r ng n u A có n tr riêng phân bi t thì B chéo hóa c. Bài 52 (C SP Hà N i). Cho A là ma tr n vuông c p 3 có d ng Q R 1 ≠1 0 A=c a≠1 2 ≠1b d 0 ≠1 1 Xác nh các s th c a sao cho lim an An t n t i và khác không. næŒ Bài 53 ( H An Giang). Cho a th c f (t) œ R[t] và A œ M2 (R). Trình bày cách tính Af (A). TB ó tìm công th c tính ma tr n An . Áp d ng tính A2013 2 2 bi t A = . 1 3 Q 1 1 1R 1 2 3 4 c2 1 2 2d c 4d Bài 54 ( H Th ng Long). Cho ma tr n B = c 13 3 3 3d . Hãy tìm các a1 2 1 4 b 4 4 4 1 2 3 1 giá tr riêng và véc t riêng c a B. 11
1 is Bài 55 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Cho A là ma tr n th c vuông c p 3, v t (v t là t ng các ph n t trên ng chéo chính) là 9. T ng các ph n t trên m i c t c a A b ng 4 và det A = 24. Xác nh các giá tr riêng c a A. Bài 56 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho A = (aij )nxn v i aij œ Z. 1. Ch ng minh r ng n u m i s nguyên k là m t giá tr riêng c a A thì det(A) chia h t cho k. 2. Gi s m là m t s nguyên và m i dòng c a A có t ng b ng m q ( nj=1 aij = m(i = 1, n). Ch ng minh r ng det(A) chia h t cho m. Bài 57 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho ma tr n A = [aij ] vuông c p n , có v t khác 0 th a mãn aik akj = akk aij , ’i, j, k. Ch ng minh r ng A chéo hóa c. Bài 58 ( H Khoa h c Hu ). Cho n, p œ Nú , A œ M (n ◊ p, F) và B œ M (p ◊ n, F). Ch ng minh ng th c v a th c c tr ng: (≠x)n PBA (x) = (≠x)p PAB (x). Bài 59 ( H Khoa h c Hu ). Cho A œ M (3, R) sao choQ A3 + A = R0 và 0 0 0 c A ”= 0. Ch ng minh r ng A ng d ng v i ma tr n B = a 0 0 1 d b. 0 ≠1 0 1.4 H ph ng trình tuy n tính Bài 60 ( H Bách Khoa - Tp. HCM). Gi i h ph ng trình Y _ _ _x1 + x2 + x3 + . . . + xn = 0 _ _ _ 2 ]x1 _ _ + x22 + x23 + . . . + x2n = 0 _ x31 + x32 + x33 + . . . + x3n = 0 . _ _ _ _ ... _ _ _ x1 + xn2 + xn3 + . . . + xnn = 0 [ n Bài 61 (C Ngô Gia T - B c Giang). Cho h ph ng trình Y ]úx _ + úy + úz = 0 úx + úy + úz = 0 _ [ úx + úy + úz = 0 12
1.4 H ph ng trình tuy n tính Hai ng i l n l t i n m i s th c vào m i ch ánh d u *. Ch ng minh r ng ng i i u bao gi c ng có th làm cho h ph ng trình ch có nghi m t m th ng. Ng i th hai có luôn t c i u ó không? iv im th ph ng trình tuy n tính thu n nh t 2013 n, 2013 ph ng trình thì sao? Bài 62 ( H Th ng Long). Gi i h ph ng trình Y _ 2012 _x1 + 2x2 + · · · + 2013x2013 _ _ = x1 _ _ 2013 _ _ _ ]2x + 3x + · · · + 2014x 2012 1 2 2013 = x2 _ 2013 _ _··· ··· _ _ _ _ _ 2012 [2013x _ 1 + 2014x2 + · · · + 4025x2013 = x2013 2013 Bài 63 ( H Hùng V ng – Phú Th ). Gi i h ph ng trình: Y _ _ _ x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 6 _ _ _ ] ≠x1 + 3x2 ≠ x3 ≠ ... ≠ xn = 12 ≠x1 ≠ x2 + 7x3 ≠ ... ≠ xn = 24 _ _ _ _ ................................ _ _ [ ≠x1 ≠ x2 ≠ x3 ≠ ... + (2n ≠ 1)xn = 3.2n Bài 64 ( H Hàng H i). 1. Gi i và bi n lu n h ph ng trình Y _ _ _x5 + x2 = mx1 _ _ _ ]x1 _ _ + x3 = mx2 _ x2 + x4 = mx3 , _ _ _ _ _x3 + x5 = mx4 _ _ [ x4 + x1 = mx5 trong ó m là tham s . 2. Cho {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 } là m t c s c a không gian véc t V trên tr ng R. Ch ng minh {v1 + v2 , v2 + v3 , v3 + v4 , v4 + v5 , v5 + v1 } c ng là m t c s c a V . 13
1 is Bài 65 ( H Ngo i Th ng – Hà N i). Cho 2n s th c d ng a1 , a2 , ..., an và b1 , b2 , ..., bn . Xét h ph ng trình tuy n tính sau: Y _ _ _ x1 a1 +b1 + a1x+b2 2 + ... + a1x+b n =0 _ n ] x1 a2 +b1 + a2 +b2 + ... + a2 +bn = 0 x2 xn _ _ .................................................... _ _ [ x1 an +b1 + anx+b 2 2 + ... + anx+b n n =0 Tìm i u ki n c n và h ph ng trình tuy n tính trên có nghi m duy nh t (x1 , x2 , ..., xn ) = (0, 0, ..., 0). 1.5 a th c Bài 66 (C Tuyên Quang). Tìm a th c P (x) œ R[x] sao cho P [x] = x(x ≠ 1)P ÕÕ (x) + (x + 2)P Õ (x) . Bài 67 ( H An Giang). Cho a th c P (x) = an xn + an≠1 xn≠1 + · · · + a1 x + a0 œ R[x] th a P (z) œ Z v i m i z œ Z. Ch ng minh r ng an .n! œ Z. Bài 68 ( H Hùng V ng – Phú Th ). 1. Cho n œ Nú , f (x) œ R[x], deg f (x) = n. Ch ng minh r ng t n t i các s th c a0 , a1 , ..., an không ng th i b ng 0 sao cho a th c qn a i=0 i x 2i chia h t cho f(x). 2. Cho a th c v i h s th c P (x) b c n (n Ø 1) có m nghi m th c. Ch ng minh r ng a th c Q(x) = (4x2 + 3)P (x) + P Õ (x) có ít nh t m nghi m th c. Bài 69 ( H Bách Khoa – Hà N i). Cho a th c f (x) = 2013x2013 + a2012 x2012 + ... + a1 x + a0 có 2013 nghi m th c x1 , x2 , ..., x2013 và g(x) là m t q g(xi ) a th c có b c nh h n 2012. Ch ng minh r ng 2013 i=1 f Õ (xi ) = 0. Bài 70 ( H C n Th ). Cho ma tr n A œ M2013 (R) sao cho A2013 + 2012A2012 = 2013A2011 . Ch ng minh r ng T rA Æ 2013 (v i T rA là v t c a A). 14