Lezioni di Cosmologia Teorica

Chia sẻ: Nguyen Bao Ngoc | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:259

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Questo libro rappresenta la continuazione ideale di un precedente testo di teoria dell’interazione gravitazionale1, preparato per i corsi della Laurea Magistrale in Fisica. `E comunque formulato in modo autosufficiente, in quanto include un capitolo iniziale che introduce e illustra brevemente tutte le nozioni di relativit`a generale e di geometria Riemanniana utilizzate nei capitoli successivi.

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Nội dung Text: Lezioni di Cosmologia Teorica

A mia moglie e mia ﬁglia
Maurizio Gasperini Lezioni di Cosmologia Teorica
Maurizio Gasperini Dipartimento di Fisica Universit` di Bari a UNITEXT - Collana di Fisica e Astronomia versione cartacea: 2038-5730 elettronico: 2038-5765 ISSN ISSN ISBN 978-88-470-2483-0 e-ISBN 978-88-470-2484-7 DOI 10.1007/978-88-470-2484-7 Springer Milan Dordrecht Heidelberg London New York Springer-Verlag Italia 2012 c ` ` Quest’opera e protetta dalla legge sul diritto d’autore e la sua riproduzione e ammessa solo ed esclusivamente nei limiti stabiliti dalla stessa. Le fotocopie per uso personale possono essere ef- fettuate nei limiti del 15% di ciascun volume dietro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall’art. 68. Le riproduzioni per uso non personale e/o oltre il limite del 15% potranno avvenire so- lo a seguito di speciﬁca autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n.108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla traduzione, alla ristampa, all’utilizzo di illustrazioni e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla registrazione su micro- ﬁlm o in database, o alla riproduzione in qualsiasi altra forma (stampata o elettronica)rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. La violazione delle norme comporta le sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo in questa pubblicazione di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registra- ti ecc., anche se non speciﬁcatamente identiﬁcati, non implica che tali denominazioni o marchi non siano protetti dalle relative leggi e regolamenti. Copertina: Simona Colombo, Milano Impaginazione: CompoMat S.r.l., Conﬁgni (RI) Stampa: GECA Industrie Graﬁche, Cesano Boscone (MI) Stampato in Italia Springer-Verlag Italia S.r.l., Via Decembrio 28, I-20137 Milano Springer fa parte di Springer Science + Business Media (www.springer.com)
Prefazione Questo libro rappresenta la continuazione ideale di un precedente testo di teoria del- l’interazione gravitazionale1 , preparato per i corsi della Laurea Magistrale in Fisica. ` E comunque formulato in modo autosufﬁciente, in quanto include un capitolo ini- ziale che introduce e illustra brevemente tutte le nozioni di relativit` generale e di a geometria Riemanniana utilizzate nei capitoli successivi. ` Come il precedente, anche questo testo e rivolto agli studenti della nuova Laurea Magistrale in Fisica e in Astronomia, e in particolare a quelli degli indirizzi Teori- co, Astroﬁsico e Astroparticellare. Contiene gli elementi di base della cosmologia relativistica, del cosiddetto modello cosmologico standard e del suo completamento ` inﬂazionario. E organizzato per servire da traccia ad un corso di cosmologia di stam- po teorico, ma cerca di non perdere mai di vista il confronto con i principali risul- tati osservativi. Particolare attenzione viene infatti dedicata alla fenomenologia dei fondi cosmici, la cui descrizione ed interpretazione rappresenta uno dei principali obiettivi della cosmologia moderna. ` La cosmologia attuale e un campo di ricerca molto vasto e in continuo fermen- to, stimolato dall’arrivo di dati sperimentali sempre pi` precisi e dal corrispondente u insorgere di nuove idee, nuovi modelli, nuovi scenari per l’Universo primordiale, in stretto contatto con i progressi della ﬁsica teorica delle alte energie e delle intera- ` zioni fondamentali. E dunque inevitabile che un libro di testo, progettato in modo speciﬁco per un corso di durata semestrale (con contenuti necessariamente limitati), non possa fornire un rendiconto completo ed adeguato di tutti i risultati ottenuti e di tutti gli studi cosmologici attualmente in corso. ` Per rispettare i vincoli imposti dalla programmazione didattica si e preferito ri- durre al minimo la parte che riguarda il modello cosmologico standard, e far po- sto ad alcuni recenti sviluppi di cosmologia primordiale che appaiono potenzial- mente rilevanti, soprattutto in vista dei risultati osservativi attesi per l’immedia- to futuro. Viene omesso, in particolare, uno studio esplicito della nucleosintesi e della bariogenesi, tenendo conto che tali argomenti vengono affrontati anche in 1 M. Gasperini, Relativit` Generale e Teoria della Gravitazione (Springer-Verlag, Milano, 2010). a
vi Prefazione altri corsi speciﬁcatamente dedicati alle problematiche della ﬁsica subnucleare e astroparticellare. Viene invece dedicato molto spazio alla teoria delle perturbazioni cosmologi- ` che, strumento indispensabile per lo studio dei fondi cosmici. E inoltre inclusa una discussione dettagliata della radiazione gravitazionale fossile perch´ la sua rivela- e zione, diretta o indiretta, potrebbe dare indicazioni cruciali sulla scelta del corretto modello inﬂazionario. Non mancano alcuni accenni ad argomenti di interesse emer- gente, di tipo teorico-fenomenologico, come lo studio dell’effetto di “deriva” del redshift (il cosiddetto redshift drift), e il problema delle medie cosmologiche, fatte su ipersuperﬁci spaziali e sul cono luce. Vengono inﬁne presentate alcune recentis- sime idee sui modelli d’universo “a membrana”, anche in vista del loro possibile impatto sulla ﬁsica delle interazioni fondamentali. L’appendice dedicata a questo argomento potrebbe essere usata come punto di partenza per corsi di livello pi` u avanzato, da svolgere nel contesto del Dottorato di Ricerca. ` Come a volte capita nella prima stesura di un libro di testo, e possibile che an- che in queste note siano presenti errori, imprecisioni, o importanti omissioni. Tutti i lettori che vorranno segnalarmi le eventuali inesattezze riscontrate (o anche pre- sentare critiche e commenti) possono farlo inviando un messaggio di posta elettro- nica all’indirizzo gasperini@ba.infn.it, e li ringrazio in anticipo per la loro collaborazione. Ringraziamenti ` E doveroso sottolineare che alcune parti di questo libro hanno tratto grande proﬁt- to dal lavoro di ricerca svolto in collaborazione con amici e colleghi che ricordo con molta stima e gratidudine. A questo proposito vorrei ringraziare, in particolare, Massimo Giovannini e Gabriele Veneziano. Desidero ringraziare anche tutti gli studenti ed i colleghi che nel corso degli an- ni hanno contribuito, con i loro commenti, suggerimenti e critiche, a correggere e migliorare queste note. Elencarli tutti sarebbe impossibile, per cui mi limito a rin- graziarli collettivamente. Faccio un’eccezione per l’amico e collega Luigi Tedesco, che ringrazio in particolare per aver letto criticamente e commentato alcune parti di questo manoscritto. Sono inﬁne grato alla Springer-Verlag Italia, e in particolare a Marina Forlizzi, per l’incoraggiamento ricevuto, gli utili consigli e l’ottima riuscita editoriale di que- sto libro. Un sentito ringraziamento va anche a Pierpaolo Riva per la sua preziosa guida ed assistenza nella fase ﬁnale di produzione del manoscritto. Maurizio Gasperini Cesena, ottobre 2011
Notazioni, convenzioni e unit` di misura a In questo libro, a meno che non sia esplicitamente indicato il contrario, usere- mo lo 0 come indice temporale; le lettere latine minuscole i, j, k, . . . per gli indi- ci spaziali 1, 2, 3; e le lettere greche minuscole μ , ν , α , . . . per gli indici spazio- temporali 0, 1, 2, 3. In una variet` multidimensionale con d dimensioni spaziali, a d > 3, indicheremo invece gli indici spazio-temporali con le lettere latine maiu- scole, A, B, C, · · · = 0, 1, 2, 3, . . . , d . Come di consueto useremo la convenzione della sommatoria, e quindi indici ripetuti in posizioni verticali opposte si intenderanno sommati. Ad esempio: 3 ∑ φ α ψα . φ α ψα = α =0 Per la metrica gμν dello spazio-tempo adotteremo la segnatura pseudo-Euclidea con autovalore temporale positivo, gμν = diag (+, −, −, −) , e indicheremo con g il determinante della matrice che rappresenta le sue componenti covarianti, g ≡ det gμν . Le convenzioni per i principali oggetti geometrici sono le seguenti. Tensore di Riemann: Rμνα β = ∂μ Γνα β + Γμρ β Γνα ρ − {μ ↔ ν }, dove il simbolo {μ ↔ ν } indica un’espressione identica a quella che lo precede, ma con l’indice μ sostituito da ν e viceversa. Tensore di Ricci: Rνα = Rμνα μ = R(να ) ;
viii Notazioni, convenzioni e unit` di misura a derivata covariante: ∇μ V α = ∂μ V α + Γμβ α V β ; ∇μ Vα = ∂μ Vα − Γμα β Vβ , dove Γμν α e la connessione di Christoffel: ` 1 Γμν α = gαβ ∂μ gνβ + ∂ν gμβ − ∂α gμν = Γ(μν ) α . 2 Gli indici racchiusi in parentesi tonde oppure quadre si intendono, rispettivamente, simmetrizzati o antisimmetrizzati in accordo alla regola: 1 1 T(αβ ) ≡ T + Tβ α , T[αβ ] ≡ T − Tβ α , 2 αβ 2 αβ e cos` via per gruppi di indici superiori a due. Ad esempio: ı 1 T(μνα ) = Tμνα + Tνα μ + Tα μν + Tμαν + Tν μα + Tαν μ , 3! 1 T[μνα ] = Tμνα + Tνα μ + Tα μν − Tμαν − Tν μα − Tαν μ . 3! Ovviamente, un tensore risulta completamente simmetrico o antisimmetrico quando coincide, rispettivamente, con la sua parte simmetrica, Tμν ≡ T(μν ) , o con quella antisimmetrica, Tμν ≡ T[μν ] . Il simbolo completamente antisimmetrico (o simbolo di Levi-Civita) della variet` a di Minkowski, ε μναβ , e deﬁnito con le seguenti convenzioni: ` εμναβ = −ε μναβ . ε 0123 = +1, In una variet` spazio-temporale di Riemann, dotata di una generica metrica gμν , il a corrispondente tensore completamente antisimmetrico η μναβ e deﬁnito da ` ε μναβ √ η μναβ = √ , ημναβ = −g εμναβ . −g ` Il sistema di unit` che verr` usato pi` di frequente e il cosiddetto sistema di unit` a a u a “naturali”, nel quale la velocit` della luce c, la costante di Planck h, e la costante di a ¯ Boltzmann kB vengono posti uguale ad uno. In questo sistema la costante di Newton G acquista dimensioni di massa al quadrato (o inverso di lunghezza al quadrato), ed e collegata alla massa di Planck MP e alla lunghezza di Planck λP dalla rela- ` zione: (8π G)−1 = MP = λP 2 . − 2 Si noti la presenza del fattore 8π (conveniente per sempliﬁcare le notazioni), che deﬁnisce quella che viene anche chiamata massa di Planck “ridotta”. In unit` CGS a
Notazioni, convenzioni e unit` di misura a ix abbiamo: 1/2 hc ¯ 0.4 × 10−5 g, MP = 8π G 1/2 8π Gh¯ 8 × 10−33 cm. λP = 3 c Spesso esprimeremo masse, energie e temperature in eV (elettronvolts) e suoi mul- tipli, anzich` (rispettivamente) in grammi, erg e gradi Kelvin. Inoltre, esprimeremo e distanze e tempi in (eV)−1 , anzich` (rispettivamente) in centimetri e secondi. A e questo proposito ricordiamo che, in unit` naturali, a MP = (8π G)−1/2 2.4 × 1018 GeV, dove 1 GeV = 109 eV, e ricordiamo le relazioni di equivalenza: (1eV)−1 1.97 × 10−5 cm 6.59 × 10−16 s 8.6 × 10−5 Kelvin−1 . Esprimeremo anche, quando sar` conveniente, le energie in unit` di massa di Planck, a a e le densit` di energia in unit` della cosiddetta “densit` critica” ρc , deﬁnita da a a a 3H 2 ρc = = 3H 2 MP , 2 8π G dove H e il parametro di Hubble. Per l’Universo attuale il parametro H0 ≡ H (t0 ) ` vale H0 = 3.2 h × 10−18 s−1 8.7 h × 10−61 MP , dove h = H0 /(100 km s−1 Mpc−1 ). Le recenti osservazioni2 forniscono, in partico- lare, h = 0.72 ± 0.03. ` La densit` critica corrispondente all’Universo attuale e quindi data da: a 2 3H0 1.88 h2 × 10−29 g cm−3 ρc (t0 ) = = 3H0 MP 22 8π G 2.25 h2 × 10−120 MP . 4 2Si vedano ad esempio i dati aggiornati sul sito ufﬁciale del Particle data Group, disponibili all’indirizzo web: http://pdg.lbl.gov/
Indice 1 Richiami di relativit` generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1 1.1 Elementi di geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Metrica, connessione e derivata covariante . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Curve geodetiche e tensore di curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Le equazioni di Einstein con costante cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Il tensore dinamico energia-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.1 Esempi: campo scalare e ﬂuido perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 La geometria di Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Variet` massimamente simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 30 2.1.1 Spazio tridimensionale omogeneo e isotropo . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Coordinate comoventi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2.1 Gauge sincrono e tempo cosmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Tempo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Effetti cinematici nella geometria FLRW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 Spostamento spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Orizzonte di particella e orizzonte degli eventi . . . . . . . . . . . . 38 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3 La dinamica del modello cosmologico standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1 Le equazioni di Friedmann-Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2 Soluzioni esatte per ﬂuidi perfetti barotropici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.1 Fase di radiazione, fase di materia, epoca d’equilibrio . . . . . . 53 3.3 Propriet` termodinamiche del ﬂuido di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . a 58 3.4 La relazione luminosit` -redshift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 63 3.4.1 Et` dell’Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 64 3.4.2 Distanza di luminosit` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 67 3.4.3 Magnitudine apparente e modulo di distanza . . . . . . . . . . . . . 68 3.5 L’effetto di “redshit drift” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
xii Indice 4 Il modello inﬂazionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1 Problemi del modello standard e possibili soluzioni . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.1 Massa mancante e materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 4.1.2 Accelerazione ed energia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.3 Costante cosmologica e quintessenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.4 Problema della piattezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.1.5 Problema degli orizzonti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 4.1.6 Singolarit` iniziale e inﬂazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 86 4.2 La soluzione inﬂazionaria di de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2.1 Curvatura costante e completezza geodetica . . . . . . . . . . . . . . 90 4.3 Cinematica inﬂazionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 5 Inﬂazione “slow-roll” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Dinamica del campo scalare inﬂatonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Condizioni di “slow-roll” e soluzioni inﬂazionarie . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2.1 Potenziale quadratico e inﬂazione caotica . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.2 Soluzioni esatte: il potenziale esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . 106 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6 Teoria delle perturbazioni cosmologiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.1 Equazioni non perturbate in tempo conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.2 Perturbazioni lineari della metrica e delle sorgenti . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.2.1 Perturbazioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.3 Trasformazioni inﬁnitesime e variabili gauge-invarianti . . . . . . . . . . . 117 6.3.1 Scelta del gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.4 Dinamica delle perturbazioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 6.4.1 Sorgente scalare ed equazione canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7 L’anisotropia della radiazione cosmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1 Ampliﬁcazione inﬂazionaria delle perturbazioni scalari . . . . . . . . . . . 133 7.1.1 Normalizzazione canonica delle ﬂuttuazioni del vuoto . . . . . 137 7.2 Distribuzione spettrale fuori dall’orizzonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7.2.1 Perturbazioni di curvatura nei modelli “slow-roll” . . . . . . . . . 142 7.2.2 Spettro primordiale del potenziale di Bardeen . . . . . . . . . . . . 145 7.3 L’effetto Sachs-Wolfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 7.3.1 Condizioni iniziali adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 7.4 Spettro angolare delle anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 8 Il fondo di radiazione gravitazionale fossile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.1 Evoluzione canonica delle perturbazioni tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . 166 8.2 Produzione di gravitoni e densit` d’energia spettrale . . . . . . . . . . . . . 170 a 8.2.1 Esempio: calcolo dei coefﬁcienti di Bogoliubov . . . . . . . . . . . 173 8.3 Il fondo gravitazionale dei modelli inﬂazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Indice xiii 8.3.1 Vincoli fenomenologici sull’intensit` del fondo . . . . . . . . . . . 183 a 8.3.2 Esempio: inﬂazione “slow-roll” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 8.3.3 Contributi tensoriali alla CMB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 8.4 Rivelazione diretta del fondo di gravitoni fossili . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 8.4.1 Rivelazione mediante correlazione di due antenne . . . . . . . . . 193 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Appendice A La cosmologia delle membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 A.1 Membrane di Dirichlet in teoria di stringa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 A.2 Proiezione delle equazioni di Einstein sulla membrana . . . . . . . . . . . 213 A.3 Deviazioni dalla cosmologia standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 A.4 Inﬂazione sulla membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 A.5 Gravit` “indotta” sulla membrana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 a Appendice B Medie covarianti per metriche non omogenee . . . . . . . . . . . . 233 B.1 Una prescrizione gauge-invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 B.2 Regole di commutazione generalizzate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 B.3 Medie sul cono luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Indice analitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
1 Richiami di relativit` generale a ` E ben noto che le interazioni tra i corpi macroscopici, su grandi scale di distanze, sono dominate dall’interazione gravitazionale. Questo avviene perch´ la gravit` ge- e a nera forze universali con raggio d’azione praticamente inﬁnito, e inoltre perch´ la e materia macroscopica tende a formare agglomerati – come pianeti, stelle, galassie – che sono elettricamente neutri, o comunque dotati di una carica netta che risulta trascurabile. Quindi il loro moto non pu` essere sensibilmente inﬂuenzato dalle for- o ze elettromagnetiche, che sono le uniche forze non gravitazionali con grande raggio d’azione. ` E anche ben noto che l’interazione gravitazionale tra corpi macroscopici pu` o essere adeguatamente descritta, in prima approssimazione, dal modello non-rela- ` tivistico Newtoniano. Tale approssimazione e applicabile su scale di distanze che vanno da quelle tipiche del laboratorio a quelle dei sistemi planetari, stellari e galat- ` tici. E forse meno noto, per` , che il modello Newtoniano non pu` essere applicato, o o neanche in prima approssimazione, per descrivere correttamente la gravit` su sca- a le di distanze cosmologiche, ossia per distanze dell’ordine del raggio di Hubble RH = c/H0 ∼ 1028 cm che – come vedremo in seguito – ﬁssa la massima distanza spaziale accessibile alle osservazioni attuali. Calcoliamo infatti la massa totale M associata alla scala di Hubble, moltiplicando la densit` d’energia attualmente presente su scala cosmica, ρ0 ≡ ρ (t0 ), per il volume a di una sfera di raggio RH , e dividendo per c2 : 3 4π ρ0 c M= . (1.1) 3 c2 H0 ` Il corrispondente potenziale Newtoniano (in valore assoluto) e dato da: 4π Gρ0 GM |φ | = = . (1.2) 2 RH 3 H0 La condizione di validit` dell’approssimazione Newtoniana richiede che, per qua- a lunque massa di prova m, l’energia potenziale m|φ | dovuta all’interazione con la Gasperini M.: Lezioni di Cosmologia Teorica. DOI 10.1007/978-88-470-2484-7 1, c Springer-Verlag Italia 2012
2 1 Richiami di relativit` generale a massa cosmologica M risulti molto pi` piccola dell’energia di riposo mc2 , e quindi u richiede che 4π Gρ0 GM = 1. (1.3) 2 2 3H0 c2 RH c Se usiamo i valori forniti dalle attuali osservazioni astronomiche, ρ0 ∼ 10−29 g cm−3 , H0 ∼ 10−18 s−1 , (1.4) c2 otteniamo invece 4π Gρ0 ∼ 1. (1.5) 2 3H0 c2 ` Ne consegue che l’approssimazione Newtoniana non e applicabile alla scala di Hubble, e che una corretta descrizione dinamica dell’Universo su scala cosmolo- gica deve necessariamente far ricorso ad una teoria gravitazionale relativisti- ca. Gli attuali modelli cosmologici sono basati sulla teoria gravitazionale di Einstein, ossia sulla relativit` generale, e sulle sue possibili generalizzazioni eventualmente a applicabili nei regimi di altissime densit` d’energia. In questo primo capitolo ri- a chiameremo quindi i concetti di base della relativit` generale e gli strumenti formali a necessari alla formulazione di tale teoria, seguendo il tradizionale approccio geome- trico che ci porta alle equazioni di Einstein per la dinamica del campo gravitazionale classico. ` E forse inutile sottolineare che questo capitolo non ha la pretesa di fornire un’in- troduzione completa e pedagogicamente efﬁcace della teoria della relativit` gene- a rale, ma vuole solo presentare le equazioni necessarie per formulare i modelli co- smologici dei capitoli successivi. I lettori interessati ad approfondire i vari aspetti della teoria di Einstein possono trovare un utile riferimento nei testi [1]-[7] della bibliograﬁa ﬁnale. 1.1 Elementi di geometria Riemanniana Supponiamo che lo spazio-tempo M4 sia una variet` differenziabile dotata di una a struttura geometrica Riemanniana, caratterizzata da una metrica g che controlla l’intervallo spazio-temporale invariante ds2 = gμν dxμ dxν , (1.6) e da una connessione Γ che e simmetrica e compatibile con la metrica (ossia che ` fornisce per la metrica una derivata covariante nulla, si veda la Sez. 1.1.1). La variet` a M4 e parametrizzata da sistemi di coordinate {xμ }, dette “carte”, collegate tra loro ` da trasformazioni dette “diffeomorﬁsmi”, ossia trasformazioni xμ → x μ = f μ (x) (1.7)
1.1 Elementi di geometria Riemanniana 3 rappresentate da funzioni f μ che risultano biunivoche, continue, differenziabili, in- vertibili e con inverso differenziabile, che formano un gruppo di trasformazioni continue. Per soddisfare il principio di relativit` generalizzato (o principio di “general co- a varianza”), secondo il quale le leggi ﬁsiche devono mantenere la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate, si assume dunque che i modelli ﬁsici costruiti su M4 siano formulati in termini di oggetti geometrici che appartengono alla rappresentazione tensoriale del gruppo dei diffeomorﬁsmi. Si dice, in particolare, che che un oggetto geometrico T e rappresentato da un tensore controvariante di rango r (il parametro ` r conta il numero totale degli indici) se, sotto l’azione del diffeomorﬁsmo (1.7), esso si trasforma come segue, ∂x μ ∂x ν T μν ··· (x) → T μ ν ··· · · · T αβ ··· (x), (x ) = (1.8) ∂ xα ∂ xβ dove (∂ x μ /∂ xα ) e la matrice Jacobiana del diffeomorﬁsmo considerato. Un tensore ` di rango r = 0 e dunque uno scalare, un tensore di rango r = 1 e un vettore, e cos` via. ` ` ı Accanto alla rappresentazione controvariante esiste ovviamente la rappresenta- zione di tipo duale Tμν ··· , detta covariante, deﬁnita dalla trasformazione ∂ xα ∂ xβ Tμν ··· (x) → Tμ ν ··· (x ) = · · · Tαβ ··· (x), (1.9) ∂x μ ∂x ν dove (∂ xα /∂ x μ ) e la matrice Jacobiana inversa. I prodotti scalari, che genera- ` no oggetti invarianti per diffeomorﬁsmi, si effettuano dunque contraendo (ossia sommando) coppie di indici covarianti e controvarianti, T μν ··· Tμν ··· (x) = T μ ν ··· Tμ ν ··· (x ). (1.10) Esistono inoltre tensori T μν ··· αβ ... di tipo misto (n, m), che si comportano come tensori di rango n rispetto alla rappresentazione controvariante, e tensori di rango m rispetto a quella covariante, in accordo alla legge di trasformazione: ∂x μ ∂x ν ∂ xλ ∂ xγ μ ν ··· · · · T αβ ··· λ γ ··· (x). ρσ ··· (x )= ··· ρ T (1.11) ∂ xα ∂ xβ ∂x ∂x σ ` E utile inﬁne ricordare che le rappresentazioni tensoriali descrivono una particolare sottoclasse di oggetti geometrici pi` generali, V μν ··· , detti “densit` tensoriali”, ca- u a ratterizzati da due parametri: il rango r e il peso w. La legge di trasformazione di questi oggetti riproduce quella di un tensore di pari rango relativamente all’azione della matrice Jacobiana sugli r indici, ma contiene in aggiunta il determinante Jaco- biano |∂ x /∂ x| ≡ det(∂ x μ /∂ xα ) elevato alla potenza w, secondo la regola seguente: ∂x μ ∂x ν w ∂x V μν ··· (x) → V μ ν ··· · · · V αβ ··· (x) (x ) = . (1.12) ∂ xα ∂ xβ ∂x Un puro tensore tensore corrisponde dunque a una densit` tensoriale di peso w = 0. a
4 1 Richiami di relativit` generale a ` Un semplice esempio di oggetto di questo tipo e costituito dall’elemento di quadri-volume inﬁnitesimo d 4 x, che sotto l’azione di un generico diffeomorﬁsmo si trasforma come una densit` scalare di peso w = 1. Per una generica trasformazione a di coordinate abbiamo infatti ∂x d4x → d4x = d4x , (1.13) ∂x che si riduce alla legge di trasformazione scalare solo se |∂ x /∂ x| = 1 (come av- viene, ad esempio, per i diffeomorﬁsmi del gruppo di Lorentz ristretto). Ulteriori esempi di tensit` tensoriali verranno introdotti in seguito, quando necessario. a 1.1.1 Metrica, connessione e derivata covariante ` L’ipotesi di base della geometria di Riemann e che l’intervallo spazio-temporale in- ﬁnitesimo ds2 sia rappresentato da una forma quadratica omogenea nei differenziali delle coordinate (si veda l’Eq. (1.6)), e che tale forma sia invariante per diffeomorﬁ- smi. Per assicurare l’invarianza di ds2 e necessario che i coefﬁcienti gμν della forma ` quadratica si trasformino come un tensore covariante di rango due, detto “metrica” o tensore metrico: ∂ xα ∂ xβ gμ ν (x ) = g (x). (1.14) ∂ x μ ∂ x ν αβ Ne consegue che il determinante della metrica, g = det gμν , si trasforma come una densit` scalare di peso w = −2. Prendendo il determinante dell’equazione a precedente abbiamo infatti: −2 2 ∂x ∂x g= g= g, (1.15) ∂x ∂x dove |∂ x/∂ x | e il determinante della matrice Jacobiana inversa1 . La sua radice ` quadrata si trasforma dunque come una densit` di peso w = −1, e la combinazione a √ d 4 x −g (1.16) si trasforma correttamente come un vero scalare, ossia come una densit` scalare di a peso w = 0 (il segno meno sotto radice e richiesto dal fatto che g < 0 per la nostra ` metrica con segnatura pseudo-Euclidea). Oltre a ds2 , anche tutti i prodotti scalari (invarianti per diffeomorﬁsmi) possono essere deﬁniti in termini del tensore metrico, in accordo alla prescrizione generale Aμν ··· Bμν ··· ≡ Aμν ··· gμα gνβ · · · Bαβ ··· (1.17) ≡ Aαβ ··· gμα gνβ · · · Bμν ··· . Abbiamo sfruttato il fatto che il determinante della matrice inversa J −1 e l’inverso del determinate di J . 1 `
1.1 Elementi di geometria Riemanniana 5 Ne consegue che la metrica collega tra loro le componenti tensoriali covarianti e controvarianti, Aα = gαν Aν , Aμ = gμα Aα , (1.18) e soddisfa, per consistenza, alla condizione μ gμα gαν ≡ gμ ν = δν , (1.19) che segue immediatamente dalla combinazione delle due equazioni precedenti. Va inﬁne sottolineato che la metrica della geometria Riemanniana risulta inva- riante rispetto all’operazione di trasporto parallelo lungo qualsiasi curva, ossia sod- disfa alla condizione di avere derivata covariante nulla. A questo proposito ricordia- mo che il differenziale ordinario di un oggetto tensoriale non si trasforma a sua volta come un tensore sotto l’azione di un generico diffeomorﬁsmo. Per un vettore Aμ , ad esempio, la regola di trasformazione tensoriale (scritta in forma inversa) fornisce ∂ xμ ν Aμ = A, (1.20) ∂x ν e quindi differenziando otteniamo: ∂ xμ ∂ 2 xμ dAμ = dA ν + A ν dx α . (1.21) ∂x ν ∂x αx ν Se la trasformazione xμ (x ) e lineare la matrice Jacobiana ha coefﬁcienti costan- ` ` ti, per cui il secondo termine dell’equazione precedente e nullo, e il differenziale dAμ si trasforma come Aμ stesso. Se invece non e lineare le derivate della matri- ` ce Jacobiana sono diverse da zero, e forniscono un contributo a dAμ che rompe la general-covarianza dello schema geometrico considerato. Per avere un’espressione sempre covariante introduciamo un nuovo oggetto geo- metrico Γ – detto “connessione afﬁne” – che agisce da campo compensativo (o cam- po di gauge), e che opera sul vettore in modo da mantenerlo parallelo a se stesso durante lo spostamento inﬁnitesimo dx, compensando gli eventuali effetti di rotazio- ne dovuti alla geometria. Parametrizziamo linearmente tale operazione inﬁnitesima come δ Aμ = Γαβ μ dxα Aβ , (1.22) e deﬁniamo un differenziale generalizzato, detto “differenziale covariante”, inclu- dendo gli effetti compensativi della connessione: DAμ = dAμ + δ Aμ = dAμ + Γαβ μ dxα Aβ . (1.23) Fissiamo poi le propriet` di trasformazione di Γ imponendo che DAμ si trasfor- a mi correttamente come un vettore controvariante, ossia imponendo che valga la condizione ∂ xμ ∂ xμ DAμ = (DAν ) ≡ d A ν + Γα β ν dx α A β . (1.24) ∂x ν ∂x ν
6 1 Richiami di relativit` generale a Sostituendo nel primo membro di questa equazione la deﬁnizione esplicita (1.23) di DAμ , ed esprimendo dAμ mediante l’Eq. (1.21), Aβ mediante l’Eq. (1.20), e il dif- ferenziale dxα come (∂ xα /∂ x ν )dx ν , troviamo che questa condizione e soddisfatta ` purch´e ∂ x ρ ∂ xλ ∂ xσ ∂ x ρ ∂ 2 xμ Γα β ρ = Γλ σ μ + μ (1.25) ∂ xμ ∂ x α ∂ x β ∂x ∂x αx ν (si veda ad esempio il testo [7] della bibliograﬁa ﬁnale, Cap. 3.4). Questa legge di trasformazione deﬁnisce le propriet` geometriche della connes- a sione afﬁne Γ , e il confronto con l’Eq. (1.11) mostra esplicitamente che Γ non ` ` e un oggetto di tipo tensoriale rispetto ad un generico diffeomorﬁsmo. Lo e per` o la sua parte antisimmetrica Qαβ ρ ≡ Γ[αβ ] ρ , detta “torsione”: antisimmetrizzan- do in α e β si trova infatti che l’ultimo termine dell’Eq. (1.25) scompare, e che la legge di trasformazione per Q si riduce a quella di un tensore misto di rango tre. ` Una volta ottenuta un’espressione consistente per il differenziale covariante e immediato ottenere la corrispondente espressione della derivata covariante – che indicheremo con ∇α Aμ – come limite del rapporto incrementale tra il differenziale DAμ dell’Eq. (1.23) e lo spostamento inﬁnitesimo dxα : ∇α Aμ = ∂α Aμ + Γαβ μ Aβ . (1.26) Prendendo poi la derivata del prodotto scalare Aμ Aμ , ed imponendo che per uno scalare l’operatore ∇α si riduca a ∂α , ∇α Aμ Aμ = Aμ ∇α Aμ + Aμ ∇α Aμ ≡ ∂α Aμ Aμ , (1.27) otteniamo la corrispondente espressione per la derivata covariante di Aμ : ∇α Aμ = ∂α Aμ − Γα μ β Aβ (1.28) (si noti la differenza di segno del termine che contiene la connessione). E cos` via ı per le derivate covarianti dei tensori di rango pi` elevato, di tipo controvariante: u ∇α T μν ··· = ∂α T μν ··· + Γαβ μ T β ν ··· + Γαβ ν T μβ ··· + · · · , (1.29) o di tipo covariante: ∇α Tμν ··· = ∂α Tμν ··· − Γα μ β Tβ ν ··· − Γαν β Tμβ ··· − · · · . (1.30) Per i tensori di tipo misto si user` ovviamente, per ogni indice, la regola appropriate a (1.29) o (1.30). Per ﬁssare completamente la struttura geometrica dello spazio-tempo possiamo a questo punto assumere che la connessione, deﬁnita genericamente dalla legge di trasformazione (1.25), soddisﬁ ad ulteriori condizioni suggerite dal modello ﬁsi- co che si vuole rappresentare. In questo testo siamo principalmente interessati agli effetti gravitazionali su grandi scale di distanze, che risultano adeguatamente de-
1.1 Elementi di geometria Riemanniana 7 scritti nel contesto di uno schema geometrico Riemanniano. Tale schema richiede, in particolare, che la connessione sia simmetrica, Γ[αβ ] μ = 0, (1.31) e compatibile con la metrica, ossia che la metrica abbia derivate covarianti nulle: ∇α gμν = ∂α gμν − Γα μ β gβ ν − Γαν β gμβ ≡ 0. (1.32) `u Imponendo queste due condizioni si trova che la connessione afﬁne non e pi` una variabile geometrica indipendente, poich´ risulta completamente determinata e in funzione della metrica stessa. Per veriﬁcarlo possiamo riscrivere due volte l’Eq. (1.32), permutando circolar- mente gli indici e cambiando di segno: −∇μ gνα = −∂μ gνα + Γμν β gβ α + Γμα β gνβ = 0, (1.33) β β −∇ν gα μ = −∂ν gα μ + Γνα gβ μ + Γν μ gαβ = 0. (1.34) Sommando le Eqs. (1.32)–(1.34), tenendo conto della condizione di simmetria (1.31), e dividendo per 2, si ottiene: 1 Γμν β gαβ = ∂μ gνα + ∂ν gα μ − ∂α gμν . (1.35) 2 Moltiplicando per gαρ entrambi i membri si arriva inﬁne al risultato 1 Γμν ρ = gρα ∂μ gνα + ∂ν gμα − ∂α gμν , (1.36) 2 che deﬁnisce la cosiddetta “connessione di Christoffel”, che d’ora in poi utilizzere- mo in tutti i calcoli successivi adottando – come gi` sottolineato – un modello di a spazio-tempo di tipo Riemanniano. ` E utile osservare che l’uso della connessione di Christoffel porta ad una forma particolarmente semplice per la divergenza covariante e per l’operatore D’Alember- tiano covariante. Se prendiamo la divergenza covariante di un vettore V μ abbiamo, infatti, ∇μ V μ = ∂μ V μ + Γμα μ V α , (1.37) dove (usando la deﬁnizione (1.36)): 1 1 Γμα μ = Γα μ μ = gμν ∂α gμν + ∂μ gαν − ∂ν gα μ ≡ gμν ∂α gμν (1.38) 2 2 (gli ultimi due termini si annullano a vicenda per la simmetria del tensore metrico, gμν = gν μ ). D’altra parte, sfruttando le propriet` del determinante, si pu` scrivere a o che √ 1 μν 1 1 g ∂α gμν = ∂α g = √ ∂α −g (1.39) −g 2g 2
8 1 Richiami di relativit` generale a (si veda l’Esercizio 1.1). Perci` , sostituendo nell’Eq. (1.37), o Vα √ √ 1 ∇μ V μ = ∂μ V μ + √ ∂α −g ≡ √ ∂μ −gV μ . (1.40) −g −g Questa espressione per la divergenza permette di scrivere in modo semplice anche il D’Alembertiano covariante di uno scalare ψ , deﬁnito come la divergenza covariante del gradiente di ψ : ∇μ ∇μ ψ = ∇μ (gμν ∂ν ψ ) (1.41) (abbiamo sfruttato il fatto che, per uno scalare, ∇μ ψ = ∂μ ψ ). Applicando l’Eq. (1.40) otteniamo immediatamente √ 1 ∇μ ∇μ ψ = √ ∂μ −ggμν ∂ν ψ . (1.42) −g L’Eq. (1.40) serve inoltre ad esprimere l’usuale teorema di Gauss in una forma espli- citamente covariante (appropriata ad una variet` spazio-temporale Riemanniana) a come segue: √ √ √ d 4 x −g ∇μ V μ = −gV μ = dSμ −gV μ , d 4 x ∂μ (1.43) Ω Ω ∂Ω √ dove −gdSμ e la misura di integrazione covariante per il ﬂusso di V μ , preso in ` direzione uscente dal bordo ∂ Ω della regione spazio-temporale considerata. ` E inﬁne importante sottolineare che la connessione di Christoffel risulta perfet- tamente compatibile con il principio che sta alla base della descrizione geome- trica del campo gravitazionale: il principio di equivalenza. Utilizzando tale con- ` nessione, infatti, e sempre possibile introdurre un sistema di coordinate “privile- giato” {x } in cui la connessione e localmente nulla, Γ (x0 ) = 0, e la metrica si ` riduce localmente a quella di Minkowski, g (x0 ) = η , in un arbitrario punto x0 dato. ` Per mostrare che e sempre possibile introdurre tale sistema – detto sistema “local- mente inerziale” – consideriamo una generica trasformazione di coordinate xμ (x ), μ e sviluppiamola in serie di Taylor attorno al punto x0 in cui vogliamo annullare lo- calmente la connessione. Supponiamo, per semplicit` , che le due carte {xμ } e {x μ } a μ coincidano2 nel punto scelto x0 . In questo caso abbiamo: ∂ xμ μ xμ (x ) x ν − x0 ν x0 + ∂x ν x0 (1.44) ∂ 2 xμ 1 β x α − x0 α x β − x0 + +··· ∂x α∂x β 2 x0 2 ` ı` Se non e cos`, e sempre possibile farle coincidere mediante un’ulteriore opportuna traslazione.
1.1 Elementi di geometria Riemanniana 9 La condizione sulla metrica g (x0 ) = η , scritta esplicitamente come ∂ xα ∂ xβ gμ ν (x0 ) ≡ gαβ (x0 ) = ημν , (1.45) ∂x μ ∂x ν x0 x0 (dove la metrica di partenza gαβ (x0 ) e nota), fornisce un sistema di 10 equazioni ` nelle 16 incognite Y α μ = (∂ xα /∂ x μ )x0 , che rappresentano le componenti della matrice Jacobiana inversa valutate nel punto x0 . Tale sistema e non-omogeneo e ` ammette sempre soluzioni non triviali per le componenti Y α μ che determinano, a meno di 6 parametri arbitrari3 , i coefﬁcienti del primo ordine della trasformazione inﬁnitesima (1.44). Dobbiamo inoltre imporre la condizione sulla connessione, ossia la condizione Γα β ρ (x0 ) = 0. Sfruttando la regola di trasformazione (1.25) tale condizione for- nisce ∂ 2 xμ Y λ α Y σ β Γλ σ μ (x0 ) + = 0. (1.46) ∂ x α ∂ x β x0 Date le 40 componenti della connessione di partenza, Γλ σ μ (x0 ), e date le compo- nenti Y λ α come soluzioni della condizione (1.45), l’Eq. (1.46) determina univo- camente i 40 coefﬁcienti per i termini del secondo ordine dello sviluppo di Taylor (1.44), e ﬁssa, al secondo ordine, la trasformazione di coordinate che deﬁnisce il sistema localmente inerziale nel punto scelto x0 . Possiamo osservare che la propriet` di essere localmente annullabile si estende a dalla connessione di Christoffel a tutte le connessioni di tipo simmetrico, Γαβ μ = Γ(αβ ) μ , in quanto l’introduzione del sistema localmente inerziale impone 40 con- dizioni che determinano la parte simmetrica della connessione. Non si pu` invece o localmente annullare la parte antisimmetrica Γ[αβ ] μ , che – come gi` osservato – a ` si trasforma in modo tensoriale e dunque, se se e diversa da zero in un sistema di coordinate, rimane diversa da zero in tutti i sistemi. 1.1.2 Curve geodetiche e tensore di curvatura Consideriamo una curva nello spazio-tempo M4 , descritta dall’equazione parame- trica xμ = ξ μ (τ ), dove τ e un parametro scalare. La tangente alla curva e il qua- ` ` drivettore uμ = ξ μ /d τ , e il differenziale covariante della tangente lungo la curva e ` dato da Duμ = duμ + Γαβ μ d ξ α uβ . (1.47) 3 Tale indeterminazione corrisponde ﬁsicamente alla possibilit` di effettuare localmente un’arbitraria a trasformazione di Lorentz, che in generale dipende appunto da 6 parametri (si veda ad esempio il testo [7] della bibliograﬁa ﬁnale).