Bồi dưỡng thủ pháp nhận thức môn Toán theo tư tưởng sư phạm G. Polya cho học sinh THCS: Luận án Tiến sĩ Khoa học giáo dục

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH TÂM BåI D¦ìNG C¸C THñ PH¸P HO¹T §éNG NHËN THøC

THEO T¦ T¦ëNG S¦ PH¹M CñA G. POLYA CHO HäC SINH

TRONG D¹Y HäC M¤N TO¸N ë TR¦êNG TRUNG HäC C¥ Së

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGHỆ AN - 2016

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

BåI D¦ìNG C¸C THñ PH¸P HO¹T §éNG NHËN THøC

THEO T¦ T¦ëNG S¦ PH¹M CñA G. POLYA CHO HäC SINH

TRONG D¹Y HäC M¤N TO¸N ë TR¦êNG TRUNG HäC C¥ Së

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp DH bộ môn Toán

Mã số: 62 14 01 11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học:

1. TS. Trần Luận

2. TS. Nguyễn Văn Thuận

NGHỆ AN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tác giả, được hoàn thành

với sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học. Các số liệu, kết quả

nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình

nào khác.

Tác giả Luận án

Nguyễn Thị Thanh Tâm

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN ÁN

Viết tắt Viết đầy đủ

DH Dạy học

ĐC Đối chứng

GD Giáo dục

GS Giáo sư

GV Giáo viên

HĐ Hoạt động

HĐNT Hoạt động nhận thức

HS Học sinh

Nxb Nhà xuất bản

PPDH Phương pháp dạy học

SGK Sách giáo khoa

THCS Trung học cơ sở

TN Thực nghiệm

TP Thủ pháp

TPHĐNT Thủ pháp hoạt động nhận thức

tr. trang

MỤC LỤC

Trang MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1

2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3

3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu...................................................... 3

4. Giả thuyết khoa học ............................................................................................. 3 5. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3

6. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 4

7. Những đóng góp của Luận án ............................................................................. 4

8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ ............................................................................... 5

9. Cấu trúc của Luận án ........................................................................................... 5 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ................................................................................... 6 1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài ............... 6 1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức ....... 6 1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán ....... 9 1.1.3. Một số nhận định ..................................................................................... 11 1.2. Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học ................................. 12 1.2.1. Hoạt động nhận thức ............................................................................... 12 1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học................................................................. 14 1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học ........................................ 15 1.3.1. Thủ pháp .................................................................................................. 15 1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................................ 16 1.3.3. Một số ví dụ ............................................................................................. 21

1.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .................................................... 22 1.4.1. Về mục đích dạy học toán (T1) ............................................................... 22 1.4.2. Về nguyên lý học tập (T2)....................................................................... 22 1.4.3. Về các hoạt động trí tuệ (T3) .................................................................. 23 1.4.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) .... 25

1.5. Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở ............................................... 28

1.5.1. Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng của học sinh theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở ......................................................................................... 29 1.5.2. Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức ................... 35

1.6. Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo ........................................................................... 37

1.6.1. Thủ pháp hoạt động nhận thức vừa là phương tiện vừa là kết quả

của hoạt động giải quyết vấn đề .............................................................. 37

1.6.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức trong hoạt động dạy học phát hiện và

giải quyết vấn đề ..................................................................................... 37

1.6.3. Thủ pháp hoạt động nhận thức góp phần phát triển năng lực giải quyết

vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh ........................................ 39

1.7. Một số điều kiện sư phạm của việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở .............................................................................. 41 1.7.1. Sự phát triển tư duy của học sinh trung học cơ sở .................................. 41 1.7.2. Đặc điểm chương trình môn Toán các lớp cuối cấp trung học cơ

sở ở Việt Nam ......................................................................................... 42

1.7.3. Các nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động

nhận thức cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học môn Toán .......... 43

1.7.4. Các giai đoạn hình thành và khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức

toán học cho học sinh .............................................................................. 44 1.7.5. Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh .... 45 Kết luận chương 1 ................................................................................................. 46 Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG ................................................................... 47 2.1. Mục đích khảo sát ........................................................................................... 47 2.2. Nội dung khảo sát ........................................................................................... 47 2.3. Đối tượng khảo sát ......................................................................................... 47 2.4. Phương pháp khảo sát ..................................................................................... 47 2.5. Kết quả khảo sát ............................................................................................ 48 2.5.1. Kết quả khảo sát đối với giáo viên .......................................................... 48 2.5.2. Kết quả khảo sát đối với HS .................................................................... 53 Kết luận chương 2 ................................................................................................. 64

Chương 3. MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G. POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ ............................................................................................. 66 3.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp ............................................... 66 3.2. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp ở trường trung học cơ sở ........................................................................................... 67

3.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong, kích thích nhu cầu của học sinh

trong việc bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức ........................ 67

3.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện cho học sinh có nhiều cơ hội trải nghiệm

để tìm hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề

một cách tinh tế ....................................................................................... 76

3.2.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho học sinh hình thành và vận dụng hợp lý

các thủ pháp hoạt động nhận thức trong giai đoạn lập kế hoạch giải quyết vấn đề ..................................................................................... 89

2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh khả năng tìm nhiều lời giải,

lựa chọn lời giải tối ưu và khai thác, phát triển các vấn đề nhằm

khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức ................................................ 103

3.2.5. Biện pháp 5. Xây dựng và tổ chức dạy học thích hợp các chuyên đề

ẩn chứa trong đó những thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng

cho học sinh ........................................................................................... 118 Kết luận chương 3 ............................................................................................... 131 Chương 4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ............................................................ 133 4.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 133 4.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ............................................................. 133 4.2.1. Phương pháp quan sát ........................................................................... 133 4.2.2. Phương pháp thống kê toán học ............................................................ 133 4.3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm ................................................................ 133 4.3.1. Công tác chuẩn bị .................................................................................. 133 4.3.2. Các bước tổ chức thực nghiệm .............................................................. 134 4.3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................ 135 4.4. Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá ................................................ 144 4.4.1. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định lượng ................................ 144 4.4.2. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định tính.................................... 145 4.5. Kết quả thực nghiệm .................................................................................... 145 4.5.1. Đánh giá định tính ................................................................................. 145 4.5.2. Đánh giá định lượng .............................................................................. 150 Kết luận chương 4 ............................................................................................... 156 KẾT LUẬN ............................................................................................................ 157 DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ ..................................................... 158 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 159 PHỤ LỤC

DANH MỤC SƠ ĐỒ, BẢNG, BIỂU ĐỒ

Trang

Sơ đồ: Sơ đồ 1.1. Các TP “riêng” cho toán học ................................................................ 8

Sơ đồ 1.2. Cấu trúc vĩ mô hoạt động .................................................................... 12

Sơ đồ 1.3. Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT ............................................ 14

Sơ đồ 1.4. Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán ......................... 24 Sơ đồ 1.5. Sơ đồ các nhân tố cơ bản trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS .... 44

Sơ đồ 1.6. Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP ............................ 45

Bảng: Bảng 4.1. Kết quả bài kiểm tra của HS sau đợt thực nghiệm thứ nhất ............. 150

Bảng 4.2. Kết quả bài kiểm tra số 1 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 152

Bảng 4.3. Kết quả bài kiểm tra số 2 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai ........ 154

Biểu đồ: Biểu đồ 4.1. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 1 ........... 151 Biểu đồ 4.2. Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 1 ............................................... 151 Biểu đồ 4.3. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 1

TNSP đợt 2 ........................................................................................ 153 Biểu đồ 4.4. Biểu đồ xếp loại HS bài kiểm tra số 1 TNSP đợt 2 .......................... 153 Biểu đồ 4.5. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 2

TNSP đợt 2 ........................................................................................ 154 Biểu đồ 4.6. Biểu đồ xếp loại HS sau bài kiểm tra số 2 TNSP đợt 2 .................... 154

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài 1.1. Cuộc cách mạng khoa học công nghệ đã và đang tiếp tục phát triển với

những bước tiến nhảy vọt trong thế kỷ XXI, đưa thế giới chuyển từ kỷ nguyên công

nghiệp hóa sang kỷ nguyên thông tin và phát triển kinh tế tri thức. Khối lượng kiến

thức ngày một tăng nhanh theo cấp số nhân. Bởi vậy, vấn đề hết sức quan trọng

được đặt ra cho giáo dục là không chỉ dạy cho HS biết cái gì mà phải giúp các em

hiểu tại sao và bằng cách nào để biết được điều đó. Vì thế, đòi hỏi giáo dục phải có

sự thay đổi căn bản cách chiếm lĩnh và sử dụng tri thức của người học theo hướng

chủ động, sáng tạo.

Dạy học là quá trình tổ chức các HĐNT cho HS. Nhiều nghiên cứu giáo dục

trên thế giới đã chỉ ra rằng để giúp HS độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các

kiến thức toán học thì việc tổ chức HĐNT cho họ, trong đó có việc bồi dưỡng các

TPHĐNT là việc làm cần thiết trong DH toán ở trường phổ thông hiện nay. Theo I.

V. Titova [127, tr. 5], “Việc hình thành các TP thích hợp của HĐNT sẽ trả lời trực

tiếp cho một trong những câu hỏi quan trọng nhất đặt ra trước nhà trường phổ thông

“Làm thế nào để dạy trẻ học một cách hợp lý”, vì rằng các TP đã được lĩnh hội sẽ

trở thành tài sản riêng của HS và là “công cụ” của việc lĩnh hội độc lập tài liệu học

tập”. Tác giả Trần Luận [63] cho rằng, các TP của công việc học tập có mặt trong

hoạt động học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của

các em. Vì vậy, bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS là việc làm hết sức cần thiết trong

giai đoạn hiện nay, giúp người học phát triển các năng lực, góp phần đổi mới giáo

dục phổ thông theo định hướng “tiếp cận năng lực”.

1.2. G. Polya là một nhà toán học, nhà sư phạm nổi tiếng, các công trình của

ông là những công trình nghiên cứu Ơristic (heuristic), đó là cách thức nhằm tăng

nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề thông qua các

suy nghĩ rút gọn. Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông

là dạy cho HS suy nghĩ. Ông cho rằng, điểm chính trong việc giảng dạy toán học là

phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề. Mặt khác, theo G. Polya giải toán nói

riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, vì vậy, đòi hỏi người học

cần có khả năng khéo léo, linh hoạt, sáng tạo để đạt hiệu quả cao. Từ đó, tác giả đã

đưa ra một số kinh nghiệm và các kỹ thuật để chuyển việc giải các bài toán chưa

hoặc không có dạng chuẩn về các bài toán chuẩn. Đây là những cách thức tư duy

linh hoạt, khéo léo, độc đáo để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học.

Như vậy, mặc dù G. Polya không đề cập đến TPHĐNT nhưng theo chúng

tôi, các kinh nghiệm hay các ơristic mà tác giả đề xuất trong giải quyết vấn đề là

những TPHĐNT. Đó chính là các công cụ hữu hiệu giúp HS giải quyết hiệu quả các

vấn đề, phát huy tối đa tính tích cực nhận thức của người học. Vì vậy, chúng ta cần

quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho HS ở trường phổ thông. Đúng như Shuard đã

khẳng định khi nghiên cứu về chương trình giáo dục quốc gia của Anh và xứ U-ên

“Mối quan tâm lớn nhất hiện nay về TP xuất phát từ công trình của G. Polya về giải quyết vấn đề toán học” [22, tr. 403].

1.3. Nội dung chương trình môn Toán ở trường THCS có vị trí quan trọng trong chương trình toán phổ thông. Các mạch kiến thức đều trình bày với mục đích

cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về: quan sát và dự đoán, phân tích và

tổng hợp, suy luận logic… Bên cạnh đó, đặc điểm nhận thức của HS THCS theo J.

Piaget [73, tr. 419] là: “Suy nghĩ không còn bị giới hạn vào những cái trực quan, cụ

thể. Trẻ thích suy xét những vấn đề mang tính giả thuyết... Chúng có khả năng lập luận hệ thống và suy diễn, điều này cho phép chúng cân nhắc nhiều giải pháp có thể đối với một vấn đề và tìm ra được câu trả lời đúng”. Do đó, quá trình DH môn Toán ở THCS thuận lợi cho việc vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya vào bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS giúp các em độc lập chiếm lĩnh kiến thức và tài liệu học tập.

Trong thực tiễn DH môn Toán ở trường THCS, nhiều GV đã hướng dẫn cho HS biết vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Polya vào việc tư duy để tìm hiểu, vạch kế hoạch, thực hiện kế hoạch và nhìn lại cách giải quyết một vấn đề nào đó; một số GV cũng đã trang bị cho HS các TP: Xem xét đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, TP mô hình hóa (sơ đồ, biểu đồ...), TP dự đoán, xét trường hợp đặc biệt... Tuy nhiên, những việc làm đó còn rời rạc, chưa được phổ biến rộng rãi nên chưa trở thành hoạt động của chính các em trong nhiều tình huống khác. Hơn nữa, nhiều giáo viên toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya nên việc bồi dưỡng chúng cho HS còn gặp không ít khó khăn.

1.4. Đã có nhiều công trình đề cập đến tổ chức HĐNT và vận dụng TPHĐNT trong DH môn Toán ở trường phổ thông. Có nhiều cách nhìn nhận về TP, nhưng rõ ràng các TP là rất rộng về mặt khả năng [22]. Tiếp cận quan niệm TP ở góc nhìn là hành động, có Burton và Shuard [22]; nhìn nhận GQVĐ như một TP có Shufelt và Smart [22]; quan niệm TP như là phương tiện có nhà tâm lý học đương đại người Mỹ - Robert Mills Gragne [114]; Nhìn nhận TP như là cách thức, phương pháp mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong GQVĐ nói riêng và HĐNT nói chung là kết quả nghiên cứu của hầu hết các tác giả trong [22], [61], [63], [66], [116], [119], [124], [126], [127], [128]... Trong các nghiên

cứu trên, chỉ trình bày một cách hiểu chung chung về TP, chưa có sự thống nhất trong thuật ngữ. Dưới các góc độ khác nhau, các tác giả đưa ra các TP cụ thể với các ví dụ minh họa (thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương trình). Các nghiên cứu đều khẳng định, để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách thích hợp trong các tình huống mới và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi các em phải được trang bị về TP và có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng các TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông. Tuy nhiên, TP chưa được dạy mà chúng chỉ được hấp thụ vào vốn hiểu biết của HS qua việc sử dụng một thời gian dài. Và vấn đề HS học TP như thế nào, vận dụng chúng vào thời điểm nào cho thích hợp vẫn còn chưa được nghiên cứu nhiều; giáo viên toán cũng chưa am hiểu một cách đầy đủ về TPHĐNT. Hơn nữa, vấn đề về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya là hoàn toàn mới, việc bồi dưỡng nó cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS hiện nay chưa được quan tâm nghiên cứu.

Từ những lý do nêu trên, chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học cơ sở”.

2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu nhằm đề xuất một số biện pháp sư phạm bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trường THCS.

3. Đối tượng, khách thể và phạm vi nghiên cứu 3.1. Khách thể nghiên cứu: Quá trình DH TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm

của G. Polya trong môn Toán ở trường THCS.

3.2. Đối tượng nghiên cứu: Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng

sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.

3.3. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài tập trung vào nghiên cứu trong DH môn

Toán các lớp cuối cấp (8, 9) ở trường THCS.

4. Giả thuyết khoa học Nếu xác định được các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cần bồi dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS và xây dựng được một số biện pháp có cơ sở khoa học, phù hợp, khả thi thì có thể bồi dưỡng các TP đó cho người học, góp phần nâng cao chất lượng DH môn Toán.

5. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận án có nhiệm vụ trả lời các câu hỏi nghiên cứu sau: 1) Quan niệm về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya? Những

TPHĐNT cụ thể, thường sử dụng trong DH môn Toán ở trường THCS?

2) Vai trò của TPHĐNT trong việc phát triển các năng lực cho HS? Các điều

kiện sư phạm của việc hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS ở trường THCS?

3) Thực trạng việc sử dụng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya

trong DH môn Toán ở trường THCS như thế nào?

4) Các biện pháp giúp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G.

Polya cho HS trong DH môn Toán ở các lớp cuối cấp trường THCS?

5) Tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất?

6. Phương pháp nghiên cứu 6.1. Nhóm phương pháp nghiên cứu lý luận: Hệ thống hóa, phân tích, tổng

hợp, khái quát hóa các nguồn tư liệu để xây dựng cơ sở lý luận cho đề tài nghiên cứu.

6.2. Nhóm phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Quan sát sư phạm: Sử dụng trong quá trình dự giờ nhằm mục đích quan sát các

hoạt động của GV và HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH.

- Điều tra: sử dụng phiếu hỏi, phỏng vấn nhằm đánh giá thực trạng hoạt động DH của GV trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya ở các trường THCS hiện nay.

- Tổng kết kinh nghiệm: nghiên cứu, phân tích, phát hiện, tổng kết những kinh

nghiệm tiên tiến của các GV môn Toán và cán bộ quản lý ở một số trường THCS.

- Hỏi ý kiến chuyên gia: Xin ý kiến của các chuyên gia về các vấn đề thuộc

phạm vi nghiên cứu của đề tài.

- Thực nghiệm sư phạm: Thể hiện việc vận dụng các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT trong quá trình DH môn Toán nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của biện pháp đã đề xuất.

6.3. Phương pháp xử lý thông tin: Sử dụng thống kê toán học trong khoa học giáo dục và các phần mềm cần thiết để xử lý số liệu với những thông tin định lượng, xử lý logic với những thông tin định tính để phân tích kết quả điều tra khảo sát thực trạng và kết quả thực nghiệm sư phạm của Luận án.

7. Những đóng góp của Luận án 7.1. Về mặt lý luận - Xác định quan niệm về TPHĐNT (dựa trên cơ sở những căn cứ khoa học), tư tưởng sư phạm của G. Polya về DH TPHĐNT; Xác định được nội hàm của quan niệm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thông qua việc đưa ra một số nhóm TPHĐNT thường sử dụng theo tư tưởng sư phạm của Polya cần bồi dưỡng cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS.

- Đưa ra các điều kiện sư phạm để hình thành và phát triển TPHĐNT cho HS.

- Trình bày rõ những thuận lợi, khó khăn trong thực tiễn khi hình thành và khắc

sâu TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya để giải quyết các vấn đề.

- Đưa ra năm định hướng và năm biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS. Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất các biện pháp mà còn tổ chức thực hiện bằng việc dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để HS tham gia tích cực vào quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm phát triển nhiều năng lực cho người học (phù hợp với định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay).

7.2. Về mặt thực tiễn - Đưa ra các hướng dẫn sư phạm cụ thể cho việc bồi dưỡng một số nhóm

TPHĐNT trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS thông qua một số nội dung.

- Cung cấp tài liệu tham khảo cho GV, góp phần nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở trường THCS. Đặc biệt, góp phần đổi mới phương pháp DH phổ thông theo hướng “tiếp cận năng lực” ở Việt Nam sau 2015.

8. Các luận điểm đưa ra bảo vệ - Cách quan niệm về TPHĐNT toán học, TPHĐNT toán học theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và các nhóm TPHĐNT đưa ra trong Luận án của chúng tôi là một cách quan niệm có ý nghĩa cả về lý luận và thực tiễn.

- Hình thành và phát triển các TPHĐNT cho HS vừa là điều kiện, vừa là kết quả của HĐ giải quyết vấn đề trong quá trình DH môn Toán. Các điều kiện sư phạm của việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS mà Luận án đề xuất phù hợp với thực tiễn.

- Các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS (đề xuất trong Luận án) là khả thi và hiệu quả. Việc tổ chức thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến việc tăng cường tính tích cực HĐ của HS, đặc biệt là bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho người học góp phần đổi mới phương pháp DH theo định hướng “tiếp cận năng lực”.

9. Cấu trúc của Luận án Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung Luận án gồm 4 chương: Chương 1. Cơ sở lý luận Chương 2. Khảo sát thực trạng Chương 3. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán ở các lớp cuối cấp Trung học cơ sở

Chương 4. Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài

1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan đến thủ pháp hoạt động nhận thức

1.1.1.1. Những kết quả nghiên cứu liên quan trên thế giới

Nhiều nghiên cứu trên thế giới đã quan tâm đến TPHĐNT và vai trò của nó

trong giải quyết vấn đề, chẳng hạn [22], [66], [114], [117], [118], [119], [124], [125],

[126], [127] và [128]... Trong những nghiên cứu trên, các tác giả đã có những nhìn nhận,

quan niệm khác nhau về TPHĐNT. Tuy nhiên, nhìn nhận TP như là cách thức mang

tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả và đưa ra một số TP cụ thể trong giải

quyết vấn đề là quan niệm của hầu hết các tác giả. Chẳng hạn:

+ Trong các nghiên cứu [118], [119], [124], [125], [129]..., các tác giả đã

thừa nhận, trong giảng dạy toán cần trang bị cho HS hai hệ thống tri thức: 1) Về

hiện thực đối tượng; 2) Về cách thức thực hiện các hành động trí tuệ đảm bảo việc

nắm vững các tri thức khoa học về hiện thực đối tượng đó. Quan điểm này phù hợp

với mô hình trí tuệ gồm hai thành phần của các nhà tâm lý học N. A. Menchinskaya,

E. N. Kabanova – Meller, đó là: tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ

thuật trí tuệ (phương thức phản ánh). Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các

thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu

nhất định [66, tr. 44, 45]. Cũng theo quan điểm này, khi nghiên cứu các HĐ của HS

nhằm lĩnh hội và vận dụng tri thức, các nhà tâm lý học Xô Viết S. L. Rubinstein, N.

A. Menchinskaya, E. N. Kabanova - Meller... đã chứng tỏ rằng: “Những loại đối

tượng khác nhau, những kiểu tài liệu học tập khác nhau đòi hỏi những thủ thuật

phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa và khái quát hóa khác nhau” [80, tr.111]. Do

đó, muốn hình thành những tri thức và khái niệm đúng đắn cần phải dạy HS những

thủ thuật hoạt động trí tuệ để phát hiện, tách ra và hợp nhất các dấu hiệu bản chất

của các lớp đối tượng cần nghiên cứu.

+ Trong [126], nhà tâm lý học Xô Viết E. N. Kabanova - Meller đã khẳng

định: Các TP cần thiết cho việc độc lập giải quyết nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến

thức. Tác giả cũng đã dẫn ra một số ví dụ minh họa cho các TP quan trọng như: TP

phân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, TP xem xét đối

tượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng một đoạn thẳng trong một tam giác cân có

thể được xem như là đường cao, phân giác hoặc trung tuyến), TP tạo lập ảnh ghi nhớ

hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm, các ảnh biểu thị cái mà HS hình dung trong

đầu)... Tuy nhiên, tên gọi của các TP được đưa ra là chưa thống nhất về xuất xứ (một

số TP lấy ra từ thuật ngữ tương ứng của môn học, một số khác lại lấy ra từ tâm lý

học...) và rất nhiều TP cần thiết phải có mặt trong công việc học tập lại chưa có tên

gọi [126, tr. 28].

+ Tác giả I. V. Titôva [127], đã nghiên cứu các điều kiện sư phạm nhằm thúc

đẩy việc hình thành các TP hoạt động tư duy: So sánh và phân loại trong DH toán

cho HS Tiểu học. Theo tác giả, trong quá trình giáo dục, trẻ em là chủ thể chính của

hoạt động tư duy, nên nếu chỉ chú trọng DH kiến thức, nội dung là chưa đủ, mà cần

dạy các phương pháp hoạt động tư duy, nhưng không có chương trình cụ thể cho

các kỹ thuật phát triển của hoạt động tư duy đó. Bởi vậy, cần lồng ghép việc hình

thành kiến thức khái niệm và phương pháp hình thành các hoạt động tư duy vào

một quá trình duy nhất, đây là một trong những vấn đề được quan tâm bởi các giáo

viên và các nhà tâm lý học J. K. Babanskaya, D. B. Epiphany, P. Y. Halperin, I. J.

Lerner, A. N. Leontiev, N. A. Menchinskaya... I. V. Titôva đã khẳng định, sự thành

công của DH ở trường Tiểu học được xác định là phụ thuộc vào sự hình thành các TP

hợp lý của HĐ tư duy.

+ Theo S. Krulik và J. Rudnick [120], các nhà giáo dục cần phải dạy một

phương pháp suy nghĩ không chỉ liên quan đến các vấn đề cụ thể mà phải áp dụng

được cho nhiều tình huống khác nhau. Các tác giả này cho rằng, một TP là một loại

phương pháp đặc biệt có thể áp dụng cho các tình huống khác nhau; TP không đảm

bảo chắc chắn thành công nhưng nó sẽ mang lại khả năng nhanh chóng tìm được

giải pháp để giải quyết vấn đề hiệu quả.

+ Giáo sư tâm lý học D. N. Perkins và nhiều nhà tâm lý học khác [22], đề cao

vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong sự phát triển trí thông minh. Họ cho rằng,

khi dạy - học và rèn luyện các kỹ năng tư duy, mỗi TP đều dạy cho người học khả năng

vận dụng TP đó vào lúc nào và như thế nào. Bởi vậy, trọng tâm các vấn đề trong

trường phổ thông ngày càng không ngừng hướng tới các TP để có được giải pháp.

Backhouse và nhiều người khác đưa ra ý kiến: “Nói chung, một TP có thể được

coi như là một cách để làm cái gì đó hay là phương thức của một hoạt động” [22, tr.

404], đó là cách mà HS sử dụng để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năng vào bài làm.

Len Frobisher [22] cũng đã đưa ra tên một số các TP “chung” vận dụng trong

khám phá và giải quyết vấn đề toán học như: Các TP giao tiếp; các TP lý giải, các TP

mổ xẻ, các TP ghi chép. Ngoài ra, với mỗi môn học lại có những TP đặc trưng riêng.

Tác giả cũng đã liệt kê một số TP mà theo các nhà giáo dục toán học chúng chỉ phù

hợp cho môn Toán trong sơ đồ sau (Sơ đồ 1.1).

Đoán

Tìm mô hình

Ngoại suy

Nội suy

Dự đoán

Phỏng đoán

Kiểm tra

Giả thuyết

Kiểm tra

Khái quát hóa

Chứng minh

Sơ đồ 1.1. Các TP “riêng” cho toán học [22, tr. 407]

Theo Len Frobisher, vẫn còn rất nhiều TP vận dụng trong khám phá và giải

quyết vấn đề toán học chưa được liệt kê ở trên, chẳng hạn: TP biểu tượng hóa...

Như vậy, có thể thấy khá nhiều tác giả tâm lý học, giáo dục học và giáo dục toán học trên thế giới đã quan tâm nghiên cứu về TP với các cách nhìn nhận khác nhau, ở các mức độ khác nhau. Trong đó, hầu hết các tác giả đều quan niệm TP là cách thức, phương tiện mang tính thủ thuật để có được giải pháp hiệu quả trong giải quyết vấn đề và dưới các góc độ khác nhau đã đưa ra các TP cụ thể minh họa (thường là tản mạn, không gắn với chủ đề cụ thể trong chương trình).

1.1.1.2. Tình hình các nghiên cứu có liên quan đến thủ pháp nói chung và

thủ pháp hoạt động nhận thức nói riêng ở trong nước

Ở Việt Nam, các nghiên cứu liên quan đến TP được đề cập đến chủ yếu ở các lĩnh vực văn học nghệ thuật, còn chưa có nhiều nghiên cứu về TPHĐNT trong DH nói chung và DH môn Toán nói riêng.

Năm 1996, trong một mô hình DH sáng tạo, tác giả Trần Luận [63] đã đề xuất

việc trang bị các TP trong HĐNT cho HS nhằm phát huy tính tích cực, chủ động của

các em để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo nhưng không đưa ra quan niệm về TP

mà chỉ nêu tên gọi một số TP (TP Ơristic, TP suy luận có lý…). Theo tác giả, các TP

của công việc học tập có mặt trong các HĐ học tập của HS sẽ đóng vai trò chính yếu

trong sự phát triển trí tuệ của họ; việc lĩnh hội các TP học tập là cơ sở mà trên đó các

kỹ năng và kỹ xảo học tập của HS được hình thành; để HS lĩnh hội tốt đẹp các tri

thức, họ cần phải lĩnh hội các TP của công việc học tập và các TP điều kiển HĐ học

tập; nhưng tất cả các TP này chưa có vị trí xứng đáng ngay cả trong chương trình,

SGK và sách phương pháp.

Sau đó, năm 1999 Trần Luận đã khẳng định vai trò của TP trong DH nêu vấn

đề. Ông đã đề xuất phát triển công thức của nhà giáo dục học V. A. Radumovski về

mối quan hệ phụ thuộc giữa mức độ tích cực của HS khi đặt trước một tình huống

có vấn đề nói riêng hoặc một nhiệm vụ cần giải quyết:

T = N(KCT – KĐC) (*) bởi T = N[(KCT – KĐC) + (TPCT – TPĐC)] (**). Trong đó: N là nhu cầu nhận thức của HS; T là mức độ sáng tạo, tính tích

cực của HS; KCT và KĐC là kiến thức, kỹ năng cần thiết và đã có để GQVĐ của HS; TPCT và TPĐC lần lượt là các tri thức phương pháp, các TPHĐNT cần thiết và đã có của HS [61].

Tác giả Trần Luận khẳng định, việc cần thiết phải trang bị cho HS các thành phần TPCT thích hợp đã được nhiều nghiên cứu đề cập, đặc biệt là trong các mô hình DH phát triển. Thực tiễn DH ở nước ta, đã có một bộ phận GV quan tâm đến việc trang bị, bồi dưỡng cho HS của mình các thành phần TPĐC như: Xét tương tự, xét một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau, khái quát hóa, đặc biệt hóa, xét các trường hợp tới hạn, xét các đối tượng có liên quan, suy xuôi, suy ngược tiến... nhưng chưa được phổ biến rộng rãi và chưa có tính hệ thống.

Gần đây, tác giả Thịnh Thị Bạch Tuyết [108], đã đề cập đến vấn đề bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề trong DH Giải tích thông qua trang bị TPHĐNT. Tác giả đưa ra quan niệm “Thủ pháp hoạt động nhận thức toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học”. Với quan niệm này, tác giả đã xem TPHĐNT như một tri thức về cách thức thực hiện mang tính độc đáo hoặc khéo léo và là một đối tượng để truyền thụ cho học sinh. Tác giả cũng đưa ra một số TPHĐNT trong một lĩnh vực Giải tích ở trường Phổ thông và đề xuất các biện pháp trang bị TPHĐNT cho HS nhằm bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề.

1.1.2. Những nghiên cứu về tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học toán G. Polya là nhà toán học và là nhà sư phạm nổi tiếng. Các công trình sư

phạm của ông hết sức đồ sộ và bao quát hầu hết các lĩnh vực lý luận DH toán ở bậc

phổ thông. Trong các công trình của mình, tác giả đã đề xuất nhiều quan điểm sư

phạm đặc sắc, những con đường và biện pháp hiện thực hóa các ý đồ đó cùng với

một số lượng khổng lồ và các ví dụ minh họa sâu sắc nhằm giải quyết vấn đề.

Đặc biệt, sau khi G. Polya công bố quyển sách đầu tiên “How to solve it”, thì tư tưởng sư phạm của ông về giải quyết vấn đề đã được các nhà giáo dục và nền giáo dục nhiều nước trên thế giới quan tâm. Từ thập niên 1980 trở đi, giải quyết vấn đề trở thành tâm điểm trong chương trình toán học của nhà trường trên nhiều nước. Chẳng hạn, ở Hoa Kỳ, Hội đồng giáo viên toán quốc gia (NCTM) nhận định “Giải quyết vấn đề là trọng điểm của toán học ở trường phổ thông vào những năm 80 và những năm tiếp theo” [22, tr. 338]. Tính trọng tâm của việc giải quyết vấn đề toán học đã được miêu tả rõ trong khung của chương trình toán học của Singapore [116]. Khung chương trình môn Toán ở trường THCS ở Singapore cũng đã đưa ra một số ơristic để giải toán dựa vào các ơristic của G. Polya.

Mặt khác, nhiều nghiên cứu đã tiếp cận tư tưởng sư phạm của G. Polya dưới

góc độ bồi dưỡng TP để giải quyết vấn đề một cách sáng tạo, chẳng hạn:

+ S. Krulick và J. A. Rudnick [120], đã dựa trên cơ sở bốn bước giải quyết vấn đề của G. Polya để xây dựng quy trình giải quyết vấn đề gồm năm giai đoạn: đọc vấn đề, khám phá, chọn chiến lược, thực hiện chiến lược, xem lại và mở rộng. Vận dụng các ơristic của G. Polya, các tác giả cũng đã đưa ra những chiến thuật có thể xem là các TP để giải quyết vấn đề, đó là: Phát hiện quy luật, làm ngược, giải theo một cách nhìn khác, giải một bài toán đơn giản hơn, xét các trường hợp đặc biệt, vẽ hình, đoán và thử, tính toán cho mọi khả năng (liệt kê số liệu), sắp xếp dữ liệu, suy luận logic.

+ Trong [63], tác giả Trần Luận đã khai thác tư tưởng về mục đích, các nguyên tắc DH của G. Polya và đề xuất các định hướng bồi dưỡng năng lực sáng tạo cho HS chuyên toán cấp II bằng cách xây dựng hệ thống bài tập theo chủ đề. Tác giả khẳng định, việc cần thiết phải trang bị TPHĐNT cho HS để các em độc lập, sáng tạo trong học tập nhưng không đưa ra quan niệm cũng như các TP cụ thể. + L. M. Phơritman, E. N. Turetxki, V.Ia.Xtetxencô [128], dựa vào bảng gợi ý của G. Polya trong DH giải bài tập toán đã biến đổi, cải tiến cho phù hợp với những điều kiện, đối tượng cụ thể. Theo các tác giả “Nếu bài toán là không chuẩn thì cần phải hành động theo hai hướng: Tách từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành những bài toán có dạng chuẩn (TP chia nhỏ); Diễn đạt lại bài toán theo một cách khác, dẫn đến bài toán có dạng chuẩn (TP mô hình hóa)... Để thực hiện TP chia nhỏ hoặc mô hình hóa được dễ hơn, trước tiên cần phải xây dựng mô hình trực quan bổ trợ của bài toán, viết nó dưới dạng sơ đồ” [128, tr. 77,78]. Họ cho rằng, các TP chia nhỏ, TP mô hình hóa như là một nghệ thuật trong hoạt động giải toán mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích thường xuyên các hành động giải toán và luyện tập giải các loại bài toán khác nhau.

+ Tác giả Nguyễn Bá Kim [50], đã nhấn mạnh đến tầm quan trọng của các tri thức phương pháp đặc biệt là các tri thức phương pháp tìm đoán trong HĐ học tập của HS nhằm đạt được mục đích nâng cao năng lực giải quyết vấn đề.

+ Theo Len Frobisher [22], việc thực hiện các giai đoạn giải quyết vấn đề của G. Polya đòi hỏi HS có khả năng hình thành, huy động những TP, kinh nghiệm phù hợp trước đó một cách có ý thức. Tác giả khẳng định vai trò quan trọng, sự cần thiết phải quan tâm đến việc dạy và học về TP ở trường phổ thông.

Tóm lại, tư tưởng sư phạm của G. Polya có ý nghĩa hết sức quan trọng trong DH toán, đặc biệt là giải quyết vấn đề toán học. Đặc biệt, nhiều nghiên cứu đã vận dụng tư tưởng của ông để phát triển các cách thức suy nghĩ độc đáo, khéo léo nhằm đưa ra phương án hiệu quả giải quyết vấn đề, đó là những TPHĐNT. Các TP này đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển trí tuệ cho HS. Để lĩnh hội tốt các tri thức toán học, các em cần hình thành và phát triển TPHĐNT đó một cách hợp lý.

1.1.3. Một số nhận định Các nghiên cứu trên chỉ mới đưa ra một cách hiểu chung chung về TP, chưa có sự thống nhất trong thuật ngữ. Theo chúng tôi, TP được vận dụng trong toàn bộ HĐNT của người học nên có thể xem đó là các TPHĐNT. Hơn nữa, dưới những góc độ khác nhau, các tác giả chỉ trình bày một số TP cụ thể rồi đưa ra các ví dụ minh họa (thường là tản mạn), chưa có hệ thống TP thích hợp trong quá trình DH Toán.

Để HS biết vận dụng TPHĐNT một cách thích hợp trong các tình huống mới và việc thao tác nó một cách hiệu quả, đòi hỏi các em phải được trang bị về TP và cần có nhiều kinh nghiệm trong việc sử dụng TP vào từng tình huống cụ thể trong suốt thời gian học ở nhà trường phổ thông. Đặc biệt là việc vận dụng các TP xuất phát theo tư tưởng sư phạm của G. Polya.

Tuy nhiên, hiện nay tất cả các TP này chưa được dạy một cách chính thức cho HS, cũng chưa có vị trí xứng đáng trong chương trình, SGK và tài liệu về phương pháp DH. Hơn nữa, chưa có một công trình nào đi sâu vào tìm hiểu các TPHĐNT môn Toán, đặc biệt là các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và việc bồi dưỡng nó cho người học phù hợp với chương trình môn Toán ở trường THCS.

Do đó, việc làm sáng tỏ thêm nội hàm của khái niệm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và cách thức bồi dưỡng nó cho HS trong DH Toán cần được tiếp tục nghiên cứu. Nhiệm vụ đặt ra của đề tài là: Xác định một số TPHĐNT trong DH môn Toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và tìm hiểu về thực trạng việc sử dụng các TP trong việc DH Toán ở trường THCS; từ đó, đề xuất các biện pháp sư phạm bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS nhằm phát triển năng lực GQVĐ, năng lực sáng tạo, góp phần nâng cao chất lượng học tập môn Toán. Đây sẽ là những vấn đề Luận án cần giải quyết.

1.2. Hoạt động nhận thức và hoạt động nhận thức toán học 1.2.1. Hoạt động nhận thức

HĐNT được đặt trong mối quan hệ của lý thuyết tổng quát về HĐ. Lý thuyết

HĐ gắn liền với tên tuổi của các nhà tâm lý học Xô viết như L. X. Vygoxki, A. N.

Leonchiev, X. L Rubinstein… Theo A. N. Leontiev: “Hoạt động là một quá trình

thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực: chủ thể - khách thể [63, tr. 579]. Ông

mô tả, cấu trúc vĩ mô của HĐ gồm 6 thành tố có mối quan hệ biện chứng theo mô hình:

Hoạt động

Động cơ

Mục đích

Hành động

Thao tác

Phương tiện

Phía chủ thể Phía đối tượng

Sơ đồ 1.2. Cấu trúc vĩ mô hoạt động [41, tr. 45]

Việc phát hiện ra cấu trúc chung của HĐ và mối liên hệ biện chứng giữa các

thành tố của nó có ý nghĩa to lớn cả trong lý luận và thực tiễn. J. Piaget cho rằng:

Tri thức không phải truyền thụ từ người biết tới người không biết, mà tri thức được

chính cá thể xây dựng thông qua hoạt động [75]. Do đó, trong lĩnh vực DH, chúng

ta cần hình thành HĐ học tập cho HS và chú trọng phát huy tính chủ thể của HS mà

đặc trưng là tính tự giác, tích cực, sáng tạo.

Theo A.V. Petrovski [80, tr. 69], những công trình nghiên cứu của các nhà tâm

lý học đã chứng tỏ rằng ngoài HĐ thực tiễn con người còn có khả năng tiến hành một

HĐ đặc biệt nữa, đó là HĐNT. Mục đích của HĐ này là nhận thức, tức là thu thập và

cải biến thông tin về các thuộc tính của thế giới khách quan.

Có nhiều quan niệm về HĐNT, chẳng hạn: “HĐNT là quá trình cá nhân

thâm nhập, khám phá, tái tạo lại, cấu trúc lại thế giới xung quanh, qua đó hình

thành và phát triển chính bản thân mình mà trước hết là các kiến thức về thế giới,

các kĩ năng và phương pháp hành động cũng như những giá trị sống khác” [75, tr.

23, 24]. Hoặc “HĐNT là quá trình nhận thức giúp chúng ta phản ánh bản thân hiện

thực khách quan tác động vào con người trong quá trình hoạt động của mình” [40,

tr. 117]. Hay “HĐNT của con người liên quan đến việc tổ chức thông tin và thích

nghi với môi trường mà người học tri giác nó” [60, tr. 11].

Chúng ta nhận thấy mặc dù có nhiều cách diễn đạt khác nhau về khái niệm HĐNT nhưng cơ bản chúng đều có các đặc điểm sau: Thứ nhất, HĐNT có mục đích khám phá và tái tạo lại thế giới, qua đó hình thành và phát triển hiểu biết của con người về thế giới và phương pháp vận động của nó nhằm thỏa mãn nhu cầu nhận thức của con người; Thứ hai, trong HĐNT con người không trực tiếp tác động vào đối tượng mà phải gián tiếp thông qua công cụ; Thứ ba, HĐNT diễn ra trong mối tương tác trực tiếp hoặc gián tiếp giữa các cá nhân; Thứ tư, HĐNT có nhiều cấp độ, tùy thuộc vào sự tham gia của các chức năng nhận thức cảm tính và lý tính.

Do đó, HĐNT là một quá trình năng động, tích cực và sáng tạo; đi từ chưa biết đến biết, từ thuộc tính bề ngoài đến các thuộc tính bên trong, tức là từ cảm tính, trực quan, riêng rẽ đến đối tượng trọn vẹn, ổn định, có tính quy luật và ngày càng đi sâu vào bản chất của cả một lớp đối tượng, hiện tượng... và cuối cùng trở về thực tiễn. Theo V. I. Lênin HĐNT được tiến hành theo con đường “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức hiện thực khách quan” [30, tr.179]. Trong đó, giai đoạn nhận thức cảm tı́nh (trực quan sinh động) có vai trò quan trọng, nó cung cấp vật liệu và là cơ sở cho các hoạt động tâm lý cao hơn. Nhưng thực tế có vấn đề mà nhận thức cảm tı́nh, con người không thể nhận thức và giải quyết được, muốn giải quyết được phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tı́nh (tư duy trừu tượng).

Theo M. N. Sacđacôp, “Trong quá trình nhận thức ngày càng đầy đủ và sâu sắc hơn những sự vật và hiện tượng của hiện thực và trong sự hoạt động sáng tạo của mình, con người đã từ tri giác chuyển sang tri giác trong sự thống nhất với tư duy và chuyển hẳn sang tư duy” [91, tr. 12].

Qua khảo sát thực tiễn, việc DH hiện nay ở trường THCS còn thiên về sử dụng cơ chế nhận thức cảm tính, kết hợp với trí nhớ và tư duy tái tạo. Vì vậy, chưa thực sự phát huy khả năng tư duy và trí tưởng tượng sáng tạo của HS. Trong nghiên cứu này, chúng tôi sẽ quan tâm về tư duy trong quá trình phát triển trí tuệ của HS.

Có nhiều định nghĩa, nhiều cách diễn đạt khác nhau về tư duy của các nhà tâm lý học. X. L. Rubinstein cho rằng: Tư duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể [20, tr. 264]. Trong các tài liệu [45], [109], [110] và [32, tr.117] các tác giả cho rằng: Tư duy là quá trình nhận thức phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan. Hay “Tư duy không phải chỉ là HĐNT, mà còn là hoạt động phối hợp, sáng tạo, nhờ đó con người tạo ra những sự vật, hiện tượng mới của nền văn hóa tinh thần và vật chất, dự kiến và vạch ra đường đi của đời sống cá nhân và xã hội...” [91, tr. 8].

Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo tư tưởng của M. N. Sacđacôp và quan

niệm: HĐNT được hiểu là quá trình tư duy của cá nhân nhằm thâm nhập, khám phá

và giải quyết các tình huống cần nhận thức.

1.2.2. Hoạt động nhận thức toán học Quan điểm của C. Mác và Ph. Ăngghen về HĐNT của thế giới nói chung và

nhận thức toán học nói riêng được thực hiện bằng quá trình hoạt động tư duy [73, tr.

447]. Theo Nguyễn Bá Kim [50], quá trình tư duy toán học được diễn ra bằng cách

chủ thể tiến hành các thao tác trí tuệ. Ngoài ra, các quan điểm khác của triết học duy

vật biện chứng cho rằng, HĐNT chỉ nảy sinh khi đứng trước những mâu thuẫn,

chướng ngại nhận thức.

Trong [94], các tác giả cho rằng: HĐNT toán học gắn liền với HĐ tư duy nói

chung, đặc biệt là tư duy toán học, tư duy biện chứng và tư duy phê phán. Khi đứng

trước một tình huống cần nhận thức buộc chủ thể phải tiến hành tư duy nhằm huy

động các tri thức của mình và lựa chọn được cách thức thích hợp nhất để tổ chức

nhận thức tình huống đó một cách sáng tạo. Trên cơ sở quan niệm HĐNT toán học

trong [94, tr. 9], Luận án quan niệm: HĐNT toán học là quá trình tư duy dẫn tới lĩnh

hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: xác định được mối

liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên

cứu (khái niệm, quan hệ, quy luật toán học,…). Từ đó, vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề của toán học và trong thực tiễn.

Theo GS. Đào Tam, các dạng HĐ chủ yếu của HĐNT được thể hiện theo

Mâu thuẫn Chướng ngại

HĐ điều ứng

HĐ biến đổi đối tượng

sơ đồ sau:

HĐ nhận thức

Tri thức

HĐ phát hiện

HĐ mô hình hoá

Logic khoa học

Sơ đồ 1.3. Các dạng hoạt động chủ yếu của HĐNT [94, tr. 14]

Do đó, để tiến hành DH hiệu quả, việc thiết kế các HĐ, tạo môi trường cho HS

được học tập trong HĐ và bằng HĐ là yêu cầu quan trọng của đổi mới PPDH hiện nay.

Mặt khác, mục tiêu chủ yếu của việc phát triển HĐNT trong DH toán là phát

triển trí tuệ, nhân cách của HS. Phát triển trí tuệ được hiểu là sự thống nhất giữa

việc vũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh

chúng (con đường, cách thức, phương pháp… đi đến tri thức đó, nói gọn là giành

lấy tri thức, cách học) [94, tr. 12]. Vì vậy, trong quá trình DH môn Toán, cần quan

tâm đến việc bồi dưỡng, phát triển cho HS các cách thức mang tính khéo léo, độc

đáo, linh hoạt để giành lấy tri thức, đó chính là các TP.

1.3. Thủ pháp, thủ pháp hoạt động nhận thức toán học 1.3.1. Thủ pháp Theo [81, tr. 1495], “Thủ pháp là cách để thực hiện một ý định, một mục

đích cụ thể nào đó”. Như vậy, ở đây TP là một danh từ chỉ cách con người thực

hiện để làm một việc gì hay là phương thức của một hoạt động.

Nhà ngôn ngữ học Nguyễn Thiện Giáp cho rằng, thủ pháp (procedure) là một

hệ thống những nguyên tắc xác định cách nghiên cứu để đạt tới tri thức mới trong

một khoa học [31, tr. 15]. Tác giả đề cập đến các TP giải thích bên ngoài, bên trong,

TP logic... và cho rằng trình độ nghiên cứu của một khoa học được phản ánh ở sự

phong phú của các TP, ở phạm vi vận dụng và khả năng giải thích, miêu tả đối tượng

của các TP đó.

Trong [22], D. N. Perkins và một số nhà giáo dục học khác đánh giá cao về vai trò của TP (phương pháp thủ thuật) trong khả năng trí tuệ của con người. Bởi vậy, để hiểu hơn về TP chúng ta cần quan tâm các khái niệm “phương pháp”, “thủ thuật” và mối liên hệ giữa chúng với nhau. Theo Từ điển Tiếng Việt của tác giả Hoàng Phê, “Thủ thuật là cách thức tiến hành động tác khéo léo và có kỹ thuật hoặc kinh nghiệm để thực hiện một công việc nào đó có hiệu quả” [81, tr. 1495]; “Phương pháp: (1) Cách thức nghiên cứu, nhìn nhận các hiện tượng của tự nhiên và đời sống xã hội; (2) Hệ thống các cách sử dụng để tiến hành một hoạt động nào đó” [81, tr. 1241]. Do đó, theo các tác giả TP được hiểu là cách thức thực hiện các động tác khéo léo, độc đáo để đạt được một mục tiêu nhất định.

Tác giả Phan Dũng trong [23, tr. 18], cho rằng “Trong bất kỳ lĩnh vực nào,

thông qua việc giải thành công nhiều bài toán, người ta có thể rút ra được các kinh

nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” giúp giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực đó nhanh hơn,

hiệu quả hơn. Những kinh nghiệm, “bí quyết”, “mẹo” như vậy được gọi là các thủ

thuật (thủ pháp) sáng tạo (Эвристический Приём - viết theo tiếng Nga; Heuristic

Technique - viết theo tiếng Anh). Nói cách khác, các thủ thuật có thể coi là các

phương pháp nhỏ, đơn giản nhất”. Như vậy, ở đây tác giả đã đồng nhất “thủ pháp” với

“thủ thuật”. Theo chúng tôi, ranh giới giữa các khái niệm “thủ pháp” và “thủ thuật” chỉ

mang tính tương đối. Ta có thể so sánh, phân biệt giữa “thủ pháp” và “thủ thuật” như

sau: chúng đều là cách thức tiến hành một HĐ nào đó một cách có hiệu quả; mang tính

khéo léo, linh động, sáng tạo, tính kinh nghiệm nhưng “thủ pháp” được đúc rút từ

những thao tác kỹ thuật mang tính ổn định, phổ biến, tính khái quát hơn trong phương

pháp giải quyết các vấn đề. Trong nhiều trường hợp, thủ thuật là thao tác để thực hiện

TP và đôi khi nó được dùng đồng nhất trong những tình huống xác định.

Trong văn học nghệ thuật, các tác giả thường sử dụng các hình ảnh, từ ngữ,

các lối ví von… một cách khéo léo, độc đáo để đạt được dụng ý nghệ thuật; các cách

thức sử dụng đó gọi chung là TP nghệ thuật (so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa…).

Như vậy, từ “thủ pháp” được dùng trong tiếng Việt trong nhiều tình huống

khác nhau nhưng hầu hết đều mang tính nghệ thuật, khéo léo, độc đáo để giải quyết

vấn đề hiệu quả nhất. Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm “TP là

cách thức được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để thực hiện một công việc

cụ thể nào đó hiệu quả”.

1.3.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức 1.3.2.1. Một số căn cứ dẫn đến quan niệm TPHĐNT

Ngoài các căn cứ là quan niệm HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1, chúng tôi quan tâm đến một số căn cứ khoa học sau để đưa ra quan niệm TPHĐNT:

a) Cơ sở triết học Theo triết học duy vật biện chứng, mọi sự vật và hiện tượng đa dạng, phong phú trong thế giới khách quan luôn có mối liên hệ biện chứng, tác động qua lại và nằm trong một chỉnh thể thống nhất; nhận thức chỉ đạt đến chân lý khi nó phản ánh đúng bản chất của thế giới khách quan [74]. Do đó, việc vận dụng các nguyên lý, quy luật, các cặp phạm trù của triết học duy vật biện chứng và phương pháp tư duy biện chứng giúp HS có được sự nhận thức một cách khéo léo và linh hoạt; biết xem xét sự vật, hiện tượng trong sự tương tác giữa các mặt, đặt chúng trong các mối liên hệ biện chứng. Từ đó, tìm ra được cái cốt lõi, bản chất và những mối liên hệ cơ bản nhất để tập trung giải quyết một cách có hiệu quả các vấn đề. Chẳng hạn:

- Để đi đến một cái chung, ta có thể phải khảo sát một số trường hợp riêng,

lấy kết quả của cái riêng nhằm định hướng giải quyết cái chung.

- Nếu vấn đề đang xét lại là trường hợp riêng của một vấn đề tổng quát nào

đó, có thể giải quyết vấn đề tổng quát rồi suy ra vấn đề ban đầu. Vì vấn đề tổng quát

thường chứa đựng nhiều thông tin hơn mà khi đặc biệt hoá những thông tin đó đã bị

giấu đi.

- Mỗi hình thức mang đến cho việc nghiên cứu nội dung tương ứng những

thuận lợi và khó khăn khác nhau. Việc thay đổi hình thức các vấn đề để bóc trần nội

dung thuận tiện cho việc huy động kiến thức đã có của HS là một việc làm hết sức

cần thiết nhằm tìm ra hình thức phù hợp nhất giúp nhanh chóng giải quyết vấn đề.

b) Cơ sở tâm lý học

N. A. Menchinskaya và E. N. Kabanova-Meller cho rằng, trí tuệ gồm hai

thành phần: Tri thức về đối tượng (cái được phản ánh) và các thủ thuật trí tuệ

(phương thức phản ánh). Tri thức về đối tượng phản ánh được coi là nguyên liệu là

phương tiện của hoạt động trí tuệ... Thủ thuật trí tuệ thực chất là một hệ thống các

thao tác, được hình thành một cách đặc biệt để giải quyết nhiệm vụ theo một kiểu

nhất định [76, tr. 44, 45]. Do đó, nhiệm vụ phát triển trí tuệ cho trẻ em không chỉ

tăng số lượng tri thức mà cần phải quan tâm phát triển cả hai thành phần đó. Theo

các nhà tâm lý học trí tuệ N. A. Menchinskaya, A. Gusev, N. C. Dyachenko, A.

Lublin..., nắm vững các thủ thuật của hoạt động nhận thức là một thành phần thiết yếu

của việc tạo ra tri thức và phát triển trí tuệ của người học [127]. Giáo sư tâm lý học D.

N. Perkins của trường Đại học Harvard nhận định, TP là một thành phần quan trọng

trong phát triển trí thông minh của HS. Theo ông, khi được dạy thủ pháp các em sẽ dễ

dàng thực hiện hiệu quả nhiệm vụ và phát triển trí tuệ.

Quan điểm tâm lý học phát sinh nhận thức của J. Piaget cho rằng: Khi chủ thể tiếp xúc với một thông tin mới, làm nảy sinh một nhiệm vụ nhận thức mà sự cân bằng cũ bị phá vỡ do các sơ đồ đã có không áp dụng được, buộc chủ thể phải tiến hành quá trình điều ứng, tạo ra trạng thái cân bằng mới ở một mức độ nhận thức cao hơn. Hoạt động điều ứng đóng vai trò rất quan trọng, nó dẫn đến sự kiến tạo nên kiến thức mới và phát triển trí tuệ của chủ thể nhận thức, để thực hiện nó một cách hiệu quả thì HS cần phải có cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt.

c) Cơ sở giáo dục học DH theo hướng bồi dưỡng các cách thức khéo léo, độc đáo để giải quyết các tình huống nhận thức nhằm thực hiện mục tiêu phát triển năng lực trí tuệ (khả năng suy đoán và tưởng tượng; khả năng phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa; hình thành tính linh hoạt, độc lập, sáng tạo...). Tác dụng phát triển năng lực trí tuệ này là ở chỗ, HS độc lập, chủ động chiếm lĩnh kiến thức, tài liệu học tập với những TPHĐNT đã được trang bị. Nghiên cứu của T. Kamalovoy, M. V. Kralinoy, E. P. Malanyuk cho thấy sự cần thiết và khả năng sử dụng hợp lý các thủ thuật trí tuệ của HS là cơ sở để tiếp tục nghiên cứu toán học. Các nghiên cứu này và một số nghiên cứu giáo dục khác đã chứng tỏ hình thành các thủ thuật của HĐNT nên được bắt đầu từ nhà trường phổ thông [127].

Theo Robert J. Marzano [68], DH vừa mang tính khoa học vừa mang tính nghệ thuật. Sự tăng dần mức độ nghệ thuật trong DH trên cơ sở hình thành và phát triển các TP là cơ sở để nâng DH lên trình độ mới với hiệu quả cao, đáp ứng yêu cầu của DH hiện đại. Do đó, chúng ta cần quan tâm bồi dưỡng các TP cho HS, đó là những kỹ thuật HĐNT khéo léo, độc đáo nhằm phát triển khả năng giải quyết vấn đề.

d) Các nghiên cứu lý luận DH có liên quan đến “procedural knowledge”,

“tactic” trong tiếng Anh và “приём” trong tiếng Nga

Các nghiên cứu [22], [118], [119], [124], [125]... đã thừa nhận trong giảng

dạy toán, điều quan trọng là HS cần lĩnh hội được kiến thức khái niệm (conceptual

knowledge) và kiến thức thực hiện (procedural knowledge). Kiến thức thực hiện

liên quan đến các cách thức, các tiến trình, các phương pháp có tính chất tìm đoán,

các TP và các chiến lược giải quyết vấn đề; được gắn với loại vấn đề cụ thể, mang

tính linh hoạt, sáng tạo của cá nhân.

Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Anh, đã đề cao vai trò của“tactics” đó là các cách thức mang tính khôn khéo trong giải quyết vấn đề [117], [130]... Trong [117], giáo sư D. N. Perkins trường đại học Harvard cho rằng trí thông minh được mô tả theo công thức:

Intelligence = Power + Tactics + Content

Dịch là: Trí thông minh = Năng lực + TP + Trình độ chuyên môn [22, tr. 15]. Trong đó, theo [130] “Tactic is skillful use of available means to achieve an

objective”, tạm dịch “TP là cách khéo léo sử dụng những phương tiện sẵn có để đạt

được mục tiêu nào đó”, nó là điều kiện cần thiết để thực hiện hiệu quả một chiến

lược. Mặt khác, theo từ điển Anh – Việt, nghĩa của từ tactic ['tæktik] là cách; chước; mưu kế, mẹo (phương tiện để thực hiện cái gì). Như vậy, TP có thể xem là các cách

khéo léo hay các kỹ năng mềm dẻo, linh hoạt để thực hiện thành công một nhiệm vụ,

một mục tiêu cụ thể. D. N. Perkins [117] khẳng định, TP (tactics) rất quan trọng trong

phát triển trí tuệ của trẻ em, nên cần phải xác định thuật ngữ này càng rõ càng tốt.

Một số công trình nghiên cứu giáo dục toán học bằng tiếng Nga, có đề cập

đến“приём”, chẳng hạn: [127], [128]… đều cho rằng, “приём” mang tính nghệ

thuật, sáng tạo. Theo L. M. Phơritman, E. N. Turetxki, V. Ia. Xtetxencô [128], việc

dẫn một bài toán dạng không chuẩn đến một bài toán dạng chuẩn bằng các TP chia

nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật, chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của

sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải toán và thường xuyên luyện

tập giải các bài toán khác nhau. I. V. Titôva [127] cho rằng, trong hoạt động học của

HS có hai mặt bao gồm: hình thành kiến thức (khái niệm, ý tưởng…) và quá trình

hình thành các TP (приeмob) làm việc với các tài liệu học tập. Theo tác giả, TP

hoạt động trí tuệ là cách thức mà người học dùng để thực hiện trong các tình huống

nhận thức; chúng thường có tính hướng dẫn hoặc khuyến cáo chỉ ra cách làm thế nào

để tiến hành hoạt động trí tuệ trong việc giải quyết một số các nhiệm vụ cụ thể.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan tâm các TPHĐNT như là một phần của kiến thức thực hiện (procedural knowledge), đó là các “tactics” trong tiếng Anh hay

“приём” trong tiếng Nga, chúng mang tính “nghệ thuật” nghĩa là nó đòi hỏi sự linh hoạt và khéo léo của người sử dụng.

e) Căn cứ vào những khó khăn, chướng ngại, sai lầm của HS trong khám phá

và giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS

Trong quá trình khám phá và giải quyết các vấn đề toán học ở trường THCS, nếu cứ suy nghĩ theo lối thông thường, HS có thể gặp nhiều khó khăn, chướng ngại và sai lầm; không tìm được cách giải quyết hoặc cách giải quyết không hiệu quả… Để khắc phục tình trạng đó, người học cần khéo léo, linh hoạt sử dụng cách thức suy nghĩ hợp lý. Với đặc điểm lứa tuổi của HS THCS (khả năng tư duy trừu tượng còn hạn chế) chúng ta có thể tìm cách quy lạ về quen nhờ phân nhỏ vấn đề phức tạp ban đầu thành các vấn đề bộ phận, biết “loại bỏ” phần không cần thiết, không bản chất ra khỏi bài toán, tách đúng phần cần thiết để biến đổi lập luận riêng hoặc tìm cách diễn đạt vấn đề theo một cách khác (mô hình hóa) đưa vấn đề cần giải quyết về dạng chuẩn hoặc đơn giản hơn; dùng thực nghiệm, quy nạp kết hợp với suy diễn để chuyển việc giải quyết vấn đề phức tạp thành các vấn đề đơn giản hơn, các trường hợp đặc biệt hay bổ sung các yếu tố phụ làm cầu nối để tìm cách giải quyết vấn đề ban đầu…

= +

A x

≤x

1 x

1 2

Ví dụ 1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của , với

Với bài toán này, có khá nhiều HS đã giải như sau: Áp dụng bất đẳng thức

A x =

x .

1 + ≥ x

1 x

Cô-si ta có: Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Sai lầm trong lời giải trên là HS chưa hiểu một cách thấu đáo rằng: Nếu biểu thức A luôn có giá trị lớn hơn hoặc bằng m thì chỉ có thể kết luận m là giá trị nhỏ nhất khi dấu “=” xảy ra. Khó khăn gặp phải khi giải bài toán này là không thể áp

< ≤x

1 2

1 x

, do điều kiện của x là . Để dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số x và

giúp HS phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải quyết, GV có thể gợi ý cho HS quan sát giá trị của A qua một số giá trị cụ thể của x để phát hiện được giá trị x thỏa mãn và tìm phương án giải quyết vấn đề như sau:

< ≤x

1 2

, tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho Cho x bởi một số giá trị thỏa mãn

x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn, các em thu được kết quả:

1 6

1 5

1 4

1 2

1 3

x ...

1 x

6 5 4 3 ... 2

1 3

1 6

2 5 5 2 29 10

5 2

6 5, 2 4,25 ...

Quan sát bảng trên, HS nhận thấy rằng, dường như x càng lớn thì A càng

5 2

1 2

nhỏ. Do đó, ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của khi . Hơn nữa, A là tổng

của hai số dương, nên phải chăng, ta sử dụng bất đẳng thức Cô-si.

GV yêu cầu HS thử biểu diễn A về dạng liên quan đến bất đẳng thức Cô-si sao

1 2

cho dấu bằng xảy ra khi (yếu tố có liên quan đến dự đoán). Khi đó, để áp

1 x

−

dụng bất đẳng thức Cô-si thì chúng ta phải tách và nhóm biểu thức A sao cho:

α x

+ (1

α )

4α=

1 x

 α x    = x 

β=

với suy ra

A x =

1 4

β x

β− x

1 2 β = x x  1  = x  2

hoặc với suy ra

Từ đó, người học có thể giải bài toán bằng hai cách nhờ chia bài toán ban

đầu thành các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn. Đó là:

< ≤x

4 +x

1 2

1 x

Bài toán 1.1.1a. Tìm giá trị nhỏ nhất của với ;

< ≤x

1 2

Bài toán 1.1.1b. Tìm giá trị lớn nhất của 3x với .

Hoặc:

< ≤x

1 x 4

1 2

với ; Bài toán 1.1.2a. Tìm giá trị nhỏ nhất của

< ≤x

3 4x

1 2

Bài toán 1.1.2b. Tìm giá trị nhỏ nhất của với .

Như vậy, có thể thấy rằng mấu chốt để tìm được lời giải bài toán hay cái “nút”

= 4

= A x

1 + − x

1 4 x

3 4 x

chính là ở chỗ: Biết biểu diễn hay . Tại sao có nhiều

,A mà lại dùng các cách này? (HS cần giải thích được: Bởi

cách phân nhỏ để biểu diễn vì, chính quá trình dự đoán bằng quan sát, thực nghiệm đã gợi ý lên điều đó).

f) Căn cứ vào tư tưởng sư phạm của G. Polya Theo G. Polya, nhiệm vụ chính của DH toán ở trường phổ thông là dạy cho HS suy nghĩ. Ông cho rằng, trong giảng dạy HS phải được hoạt động, hay đúng hơn là học tập tích cực... và điểm chính trong việc giảng dạy toán học là phát triển các chiến thuật giải quyết vấn đề [130]. Hơn nữa, G. Polya xem giải toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung là một nghệ thuật, do đó người giải cần có những sáng

tạo riêng và sự độc đáo. Tác giả đã đưa ra một số ơristic nhằm tăng nhanh quá trình

tìm kiếm các giải pháp hợp lý để giải quyết vấn đề trong các công trình của mình.

Như vậy, có thể thấy tư tưởng sư phạm của G. Polya đã thể hiện quá trình DH

toán cần phát huy tối đa khả năng suy nghĩ khéo léo, sáng tạo của HS, đó chính là các

TP. Vì vậy, cần quan tâm bồi dưỡng TPHĐNT cho các em trong dạy học môn Toán.

Chúng tôi sẽ trở lại nghiên cứu kỹ hơn vấn đề này trong mục 1.4.

1.3.2.2. Quan niệm về TPHĐNT toán học

Từ các quan niệm về HĐNT môn Toán ở mục 1.2.2, quan niệm TP trong 1.3.1

và việc phân tích các căn cứ ở mục 1.3.2.1, chúng tôi quan niệm:

TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính

khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết các vấn đề một cách hiệu quả trong quá trình tiến

hành hoạt động nhận thức môn Toán.

Quan niệm trên đây chỉ là một cách mô tả về TPHĐNT (trong nghiên cứu này

đôi khi được gọi tắt là TP). TPHĐNT giúp tăng nhanh quá trình tìm kiếm giải pháp

hợp lý thông qua các suy nghĩ rút gọn. Các TP rất ít khi được đưa vào chương trình,

SGK, nhưng đó là một bộ phận kiến thức mà HS thường dùng để giải quyết vấn đề.

Mặt khác, TPHĐNT chú trọng đến từng giai đoạn cụ thể trong quá trình HĐNT.

1.3.3. Một số ví dụ

Ví dụ 1.1 là một minh họa của vận dụng TPHĐNT, đó là quy nạp thực

nghiệm thay biến x bởi một số giá trị cụ thể để phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải

−

− + −

quyết vấn đề và phân nhỏ bài toán thành các bài toán thành phần đơn giản hơn.

2 3

. Ví dụ 1.2. (Lớp 9) Giải phương trình:

Bài toán này là một phương trình bậc 4 chưa có dạng quen thuộc nên HS sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải. Nhiều HS đã tìm cách phân tích đa thức ở vế trái thành nhân tử nhưng khá phức tạp, dài dòng. Tuy nhiên, nếu HS nhận ra

−

− +

−

đặc điểm bài toán và đặt 3 = m , chuyển sang giải bài toán tổng quát với tham số

2 x m m

−

m, ta có phương trình . Đổi vai trò của ẩn và tham số

− = 0.

+ m x

−

− − x

đưa đến phương trình với ẩn m:

= m x

+ + x

+ + −

 = m x  

  

Giải phương trình này ta được suy ra

3=m

đã che giấu dạng của bài toán Trong bài toán này, việc đặc biệt hoá

và làm cho bài toán trở nên khó khăn. Tuy nhiên, nhờ linh hoạt chuyển về bài toán

tổng quát rồi từ đó biến đổi hình thức bài toán, chuyển việc giải bài toán phức tạp

ban đầu về giải phương trình bậc hai với ẩn m thì việc giải bài toán sẽ trở nên khá đơn

giản. Như vậy, nhờ biết cách xét bài toán tổng quát đơn giản hơn đã giúp người học

có thể định hướng để tìm ra lời giải bài toán phức tạp ban đầu.

Ví dụ 1.3. (Lớp 8) Tìm tập hợp những điểm M trong ∆ABC, sao cho tổng

diện tích các ∆MAB và ∆MAC bằng diện tích của ∆MBC. Thực ra đây không phải là một bài toán khó. Tuy nhiên, trong thực tiễn không ít HS lúng túng trong việc tìm lời giải. Để có thể tháo gỡ được điều này, GV yêu cầu người học phát biểu các điều kiện tương đương với giả thiết.

Hình 1.1

Mong đợi của GV ở đây là HS của mình thay đổi

giả thiết, phát biểu được bài toán tương đương với bài toán ban đầu có liên quan tới yếu tố cố định là diện tích của ∆ABC như sau: Tìm quỹ tích những điểm M trong ∆ABC, sao cho SABC = 2 SMBC.

Với hoạt động vừa được mô tả ở trên, người học sẽ dễ dàng tìm ra lời giải

cho bài toán trong ví dụ 1.3. Như vậy, nhờ biết linh hoạt biến đổi hình thức bài toán

giúp người học dễ dàng tìm được lời giải bài toán trên.

1.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng

các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh

Các công trình sư phạm [84], [85], [86], [87], [88] của G. Polya đã thể hiện mục đích, các nguyên lý học tập môn Toán ở trường phổ thông; đưa ra các Ơristic và một số phương pháp đặc biệt trong giải toán với các ví dụ minh họa sâu sắc giúp kích thích tính chủ động, sáng tạo của HS nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề.

1.4.1. Về mục đích dạy học toán (T1) G. Polya cho rằng, nhiệm vụ chính của DH toán phổ thông là dạy cho HS suy nghĩ. Theo ông, “Dạy suy nghĩ có nghĩa là thầy giáo toán cần phải không chỉ là nguồn thông tin mà còn phải cố gắng phát triển khả năng của HS vào việc sử dụng những thông tin này; thầy giáo cần phải phát triển ở HS của mình bản lĩnh suy nghĩ, những thói quen có liên quan, tư chất nhất định của trí tuệ” [87, tr. 69]. Do đó, quá trình DH cần hướng đến việc dạy cho HS những suy nghĩ khéo léo, sáng tạo để giải quyết hiệu quả các vấn đề đó chính là các TPHĐNT.

1.4.2. Về nguyên lý học tập (T2) Trong mô hình DH của mình, G. Polya đã đưa ra ba yêu cầu đối với HS với tư cách là ba nguyên lý học tập và cũng là ba nguyên lý DH, đó là: DH tích cực; sự kích thích tốt nhất và tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập [87; tr. 73-81]. 1.4.2.1. Về học tập tích cực (T2a) là nguyên lý đầu tiên. Theo ông “…những điều mà thầy giáo giảng ở lớp học tất nhiên là quan trọng, nhưng điều mà HS nghĩ còn hàng nghìn lần quan trọng hơn. Những khái niệm cần được nảy sinh trong trí

tuệ của HS, vai trò chính của người thầy trong quá trình này có thể so với vai trò

của bà đỡ” [87, tr. 81]. G. Polya đã đưa ra lời khuyên cho GV Toán trong giảng dạy

để HS của mình học tập tốt nhất là: “Hãy biết bằng phương pháp nào có thể học

những gì cần thiết cho bạn. Phương pháp học tập tốt nhất chính là tự mình khám

phá lấy” [87; tr. 96]. Như vậy, có thể thấy tư tưởng của ông thể hiện quan điểm: Để

học tập có hiệu quả nhất, đòi hỏi HS phải suy nghĩ khéo léo, sáng tạo và phải tự

mình khám phá trong chừng mực có thể một phần lớn tài liệu học tập.

1.4.2.2. Sự kích thích tốt nhất (T2b) là nguyên lý thứ hai. Theo ông “Việc học

tập cần phải tích cực; nhưng HS sẽ không biểu hiện tính tích cực, nếu ở họ không có lý do để tích cực”. Để học tập tích cực, HS phải thích tài liệu học tập, tìm thấy sự

hài lòng trong quá trình học tập. Đó là phần thưởng tốt nhất cho hoạt động trí óc

căng thẳng, là sự sảng khoái đạt được nhờ hoạt động này. Do đó, nếu chúng ta

muốn kích thích những nổ lực của HS thì chúng ta buộc phải cho các em những cơ

sở nào đó để những nỗ lực của họ không mất đi một cách vô ích [87, tr. 82].

1.4.2.3. Tính liên tục trong các giai đoạn của quá trình học tập (T2c) là nguyên lý cuối cùng được G. Polya đề xuất. Nguyên lý này thường được hiểu là “việc học tập bắt đầu từ hành động và sự thụ cảm, rồi từ đó đi đến các từ và các khái niệm và phải kết thúc bằng sự rèn luyện những đặc điểm mới mẻ nào đó của tư chất trí tuệ” [87; tr. 75]. Trong các giai đoạn của quá trình học tập, tính liên tục được bắt đầu bằng nghiên cứu, tiếp theo là hình thức hóa và cuối cùng là tiếp thu. Tuy nhiên, theo G. Polya “Nhược điểm cơ bản của các sách giáo khoa toán phổ thông là ở chỗ việc chọn các bài tập trong sách thường hầu như chỉ những bài mẫu cũ kỹ. Ví dụ cổ truyền là ví dụ có phạm vi ứng dụng hẹp, nó chỉ minh họa cho một quy tắc và ứng dụng thực hành của quy tắc đó” [87; tr. 80]. Ví dụ như thế dù là có ích và cần thiết nhưng còn thiếu hai giai đoạn quan trọng của việc học tập là nghiên cứu và tiếp thu. Hai giai đoạn này gắn bài toán đang xét với thực tiễn xung quanh và những tri thức đã có từ trước. Vì vậy, trong DH toán ở phổ thông, GV cần cho HS những bài toán sâu sắc hơn, bao quát hơn nhằm bồi dưỡng cho HS cách thức khéo léo, độc đáo giúp họ độc lập nắm vững tài liệu học tập, kể cả những vấn đề không quen thuộc và khiến cho HS thấy thích thú với công tác nghiên cứu khoa học.

1.4.3. Về các hoạt động trí tuệ (T3) G. Polya cho rằng “Mọi kiến thức bao gồm một phần là thông tin “kiến thức thuần túy” và một phần là kĩ năng (know - how), kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết có được để đạt được mục đích của mình…” [87, tr. 99]. Ông nhận định, kĩ năng quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy. Vì vậy, lời khuyên có ý nghĩa quan trọng đối với GV là: “Đừng có hạn chế ở sự thông

báo các sự kiện. Hãy cố gắng rèn luyện cho HS những thói quen nhất định, tư chất

cần thiết của trí tuệ và thói quen về làm việc có phương pháp” [87, tr. 100].

Theo ông, các hoạt động trí tuệ cơ bản của quá trình giải toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung có thể biểu diễn trong sơ đồ hình vuông sau (Sơ đồ 1.4).

Cách ly

Nhận biết Phân nhóm

Huy động Tổ chức HIỂU THẤU

Hồi tưởng Bổ sung

Liên kết Sơ đồ 1.4. Sơ đồ tổng quát về hoạt động trí tuệ trong giải Toán [87, tr. 16]

Trong đó, chín thuật ngữ được phân bố một ở tâm của hình vuông, bốn thuật ngữ tại bốn đỉnh và bốn thuật ngữ còn lại nằm trên bốn cạnh. Những thao tác hoạt đó bổ sung lẫn nhau như các mặt của một quá trình lao động trí tuệ phức tạp, thống nhất với đích cuối cùng là giải quyết vấn đề hiệu quả và chúng sẽ xác định hơn khi khảo sát trên cơ sở tài liệu cụ thể.

1.4.3.1. Về huy động và tổ chức kiến thức (T3a) Theo G. Polya [87, tr. 13], huy động kiến thức là lấy ra, tách ra từ trí nhớ những yếu tố có liên quan đến bài toán, còn tổ chức kiến thức là chắp nối những yếu tố ấy lại với nhau. Và việc giải một bài toán như là xây dựng một ngôi nhà; thoạt đầu phải thu nhận những vật liệu cần thiết, sau đó phải cấu kết những vật liệu rời rạc thành một cái toàn thể theo một kế hoạch. Để tổ chức kiến thức, theo tác giả cần “bổ sung” và “phân nhóm lại”. Từ đó, họ đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán sau khi bổ sung hay phân nhóm lại các yếu tố.

Như vậy, để tìm được cách thức khéo léo, sáng tạo giải quyết hiệu quả các

vấn đề, theo G. Polya cần huy động và tổ chức kiến thức một cách hợp lý.

1.4.3.2. Về cách ly và liên kết các đối tượng (T3b) Theo G. Polya, khi nghiên cứu một chỉnh thể phức tạp chúng ta có thể tập trung chú ý vào một chi tiết nào đó, lấy làm điểm tựa và tách chi tiết ấy ra. Nói cách khác, chúng ta đã “cách ly” chi tiết ấy. Cách ly không thể diễn ra bên ngoài thao tác đối lập với nó, đó là “liên kết”. Sau khi cách ly một chi tiết cụ thể ra khỏi những yếu tố lân cận cùng chỉnh thể, có thể xuất hiện nhu cầu hình dung toàn bộ; một loạt hành động kết hợp, liên kết những chi tiết, những bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong một chỉnh thể sinh động, có triển vọng hơn [87, tr. 14]. Như

vậy, hành động cách ly dẫn đến hành động liên kết, hành động liên kết lại dẫn đến những hành động cách ly mới và cứ tiếp tục như thế cho đến lúc quan niệm về đối tượng của ta có sự thay đổi và chuyển sang tình huống có triển vọng hơn... Đó là tiến trình suy nghĩ làm cho người học hiểu và giải được bài toán nói riêng, giải quyết vấn đề nói chung. Và đây là một trong những cách thức khéo léo, hiệu quả để giải quyết vấn đề phức tạp ban đầu.

1.4.3.3. Về hiểu thấu (hay đoán trước) (T3c) G. Polya cho rằng, đây là trung tâm của mọi hành động khi giải quyết vấn đề. Theo tác giả, tất cả những người giải toán đều phải xây dựng cho mình các phỏng đoán, song các phỏng đoán của người nông cạn hay người suy nghĩ sâu sắc có sự khác biệt. Tuy nhiên trên từng bước đi của người giải toán luôn đặt ra các câu hỏi, chẳng hạn: Phỏng đoán này có liên hệ với vấn đề không? Còn xa lời giải không? Phỏng đoán này chính xác đến mức nào?... Những câu hỏi như thế, chỉ đạo hay chỉ kèm theo các hành động của người giải. Nhưng dù như thế nào thì theo G. Polya “…nếu cảm giác tương tự chưa phát sinh ở bạn, chắc chắn bạn chưa quan tâm đến bài toán của mình” [87, tr. 8]. Do đó, ông đã đưa ra lời khuyên trong DH toán: Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trước khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [88, tr. 6].

Vì vậy, để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề theo G. Polya

trước tiên chúng ta cần biết đưa ra các dự đoán hợp lý.

1.4.4. Tư tưởng sư phạm của G. Polya về các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) Có nhiều quan niệm khác nhau về bài toán, vấn đề và mối quan hệ giữa chúng trong DH toán. Trong nghiên cứu này, chúng tôi theo G. Polya và quan niệm: từ “problem” được dịch với nghĩa vừa là “vấn đề” vừa là “bài toán”. Do đó, sự tồn tại của một bài toán (vấn đề) cần thỏa mãn ba tiêu chí sau: HS chấp nhận bài toán, những thuật toán và dạng bài toán quen thuộc để tấn công bài toán là không hiệu lực và HS chấp nhận thúc ép cá nhân khám phá những phương án tấn công mới. Một tình huống không được xem là bài toán khi nó có thể giải được bằng cách áp dụng các thuật toán đã học hoặc khi nó giống với một tình huống gặp trước đó. Và cũng có khi một vấn đề (bài toán) của người này nhưng không phải là vấn đề đối với người khác.

G. Polya [84] đã xác định bốn giai đoạn cơ bản trong quá trình giải quyết vấn đề, đó là: hiểu rõ vấn đề, lập một kế hoạch (tìm giải pháp), thực hiện kế hoạch (trình bày giải pháp) và nhìn lại vấn đề. Giáo sư Ngô Bảo Châu khẳng định “Theo tôi nghĩ thì bốn giai đoạn này là hoàn toàn chính xác và là chung đối với tất cả mọi người, không có ai khác cả” [131].

Sau đây, chúng tôi trình bày các tư tưởng chính của ông thể hiện trong các giai

đoạn giải quyết vấn đề:

1.4.4.1. Tư tưởng sư phạm của G. Polya trong giai đoạn “Hiểu rõ vấn đề” (T4a) G. Polya cho rằng, “…khó mà có được một ý hay khi mà bản thân mình hiểu biết quá ít đối tượng và hoàn toàn không thể có một ý hay khi mình không biết gì về đối tượng đó” [84]. Từ các câu hỏi, các gợi ý mà ông đề nghị GV nên đặt ra cho HS hoặc chính HS tự đặt ra để tìm câu trả lời khi thực hiện giai đoạn này trong các công trình [84], [87], [88] có thể thấy: Tư tưởng của G. Polya được thể hiện trong giai đoạn hiểu rõ vấn đề là dạy cách suy nghĩ giúp hiểu sâu bài toán nhằm phát hiện ra vấn đề và phát hiện giải pháp giải quyết vấn đề, cụ thể:

Thứ nhất, cần cấu trúc lại vấn đề theo cách hiểu của người học; Thứ hai, chú trọng khảo sát toán, xem xét các trường hợp riêng, trường hợp

đặc biệt, trường hợp tới hạn, các vấn đề tương tự đơn giản hơn để hiểu rõ vấn đề;

Thứ ba, có thể chia nhỏ vấn đề để hiểu hơn vấn đề đó. 1.4.4.2. Tư tưởng sư phạm của G. Polya trong giai đoạn “Lập một kế

hoạch” giải quyết vấn đề (T4b)

Với những câu hỏi, gợi ý mà G. Polya đề xuất trong giai đoạn lập một kế hoạch [84], chúng ta thấy: Tư tưởng sư phạm của G. Polya thể hiện trong giai đoạn này là dạy cách suy nghĩ nhằm tìm tòi các giải pháp hay xây dựng được một kế hoạch để giải quyết vấn đề. Các hoạt động cơ bản của giai đoạn này như sau: Thứ nhất, rèn luyện cho HS những hoạt động biế n đổi quy lạ về quen, bao gồ m: - Hoa ̣t đô ̣ng liên tưở ng bài toán cần giải, mê ̣nh đề cần chứ ng minh vớ i bài toán, đi ̣nh lý đã biết nhờ phân nhỏ vấn đề, loại bỏ các phần không cần thiết và kết hợp các yếu tố một cách hợp lý.

Chẳ ng ha ̣n, với ví dụ 1.1, sau khi phát hiện được vấn đề là giá trị nhỏ nhất

1 2

của A đạt tại ; nếu HS biết liên tưởng đến bất đẳng thức Cô-si và điều kiện

xảy ra dấu “=” HS sẽ biết phân nhỏ bài toán đã cho thành các bài toán thành phần

4 +x

< ≤x

1 x

1 2

đơn giản hơn, chẳng hạn: “Tìm x thỏa mãn sao cho đạt giá trị nhỏ

< ≤x

1 2

1 x 4

nhất và 3x đạt giá trị lớn nhất” hoặc “Tìm x thỏa mãn sao cho và

3 4x

đạt giá trị nhỏ nhất”.

- Hoa ̣t đô ̣ng biến đổ i về bài toán quen thuô ̣c, bao gồ m cấu trúc la ̣i bài toán,

diễn đa ̣t la ̣i hı̀nh thứ c bài toán.

Chẳ ng ha ̣n, khi đứ ng trướ c ví dụ 1.2, nếu HS chỉ liên tưởng đến việc đưa phương trình bậc 4 đó về phương trình tích thì các em tìm cách phân tích đa thức vế

trái thành các nhân tử bậc nhất hoặc bậc hai và vận dụng các kiến thức về phương

trình bậc nhất, bậc hai đã biết để giải bài toán ban đầu. Song cách giải này khá phức

tạp vì đa thức ở vế trái không đơn giản để phân tích được thành nhân tử. Tuy nhiên,

nếu HS nhận ra đặc điểm của bài toán và nhận ra các hệ số bậc hai và hệ số tự do

của đa thức ở vế trái đều liên quan đến 3 nên có thể xét bài toán tổng quát khi

m . Từ đó, các em dễ dàng giải được bài toán ban đầu.

thay 3 bởi m và thay đổi vai trò của ẩn chuyển về phương trình bậc hai đối với

Hay ví dụ 1.3, nhờ diễn đạt lại hình thức bài toán “Tìm tập hợp những điểm

M trong ∆ABC, sao cho SABC = 2 SMBC”, HS giải bài toán một cách đơn giản.

- Hoa ̣t đô ̣ng bổ sung yếu tố phụ để tạo các đối tượng trung gian nhằm kết

nối các tri thức đã biết với tri thức cần tìm.

Thứ hai, rèn luyện cho HS những hoạt động biế n đổi từ vấn đề phức tạp lùi

về đơn giản.

Với một số bài toán mà kiến thức ở vùng phát triển hiện tại, HS chỉ giải quyết được một phần tương ứng với một số trường hợp như: Trường hợp riêng, bài toán tương tự, tổng quát hay đảo ngược đơn giản hơn. Khi đó, HS phải khéo léo giải quyết các bài toán này, rồi lấy đó làm “điểm tựa” để giải quyết bài toán trong những trường hợp còn lại nhờ việc tổ chức DH theo lý thuyết “vùng phát triển rất gần” của L. X. Vưgotxki. Bởi vậy, các hoạt động thường sử dụng là:

- Xét bài toán tương tự đơn giản hơn. - Xét bài toán tổng quát đơn giản hơn. - Xét bài toán “đảo ngược” đơn giản hơn. Chẳng hạn, trong ví dụ 1.2 chúng ta đã chuyển việc giải bài toán ban đầu

thành bài toán tổng quát đơn giản hơn.

Thứ ba, rèn luyện cho HS những hoạt động khai thác sâu các tri thức sự vật

để chuyển hóa chúng thành tri thức phương pháp.

1.4.4.3. Tư tưởng sư phạm trong giai đoạn “Thực hiện kế hoạch” (T4c) G. Polya đã đưa ra lời khuyên cho người giải toán là: Khi thực hiện kế hoạch hãy kiểm tra lại từng bước. Bạn đã thấy rõ mỗi bước đều đúng chưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Như vậy, tư tưởng chủ yếu của G. Polya trong giai đoạn này là: Chú trọng

luyện tập cho HS các bước lập luận thông qua kế hoạch giải một bài toán.

1.4.4.4. Tư tưởng của G. Polya thể hiện qua giai đoạn “Nhìn lại vấn đề”

(kiểm tra lời giải và khai thác, phát triển bài toán) (T4d)

Sự nổi bật trong tư tưởng sư phạm của G. Polya ở giai đoạn nhìn lại vấn đề là: “Chú trọng tìm lời giải tối ưu hơn và khai thác phát triển bài toán một cách sáng

tạo”. Ông cho rằng “....không có bài toán nào là kết thúc. Bao giờ cũng còn lại một cái gì để suy nghĩ” [87]. Như vậy, có thể thấy ở giai đoạn này cần rèn luyện cho HS các HĐ cụ thể như:

- Biết tìm nhiều cách giải cho một bài toán; - Biết phân nhỏ các yếu tố của bài toán để khai thác, phát triển bài toán mới (tương tự, tổng quát, đặc biệt…) khi thay đổi các yếu tố; Biết kết hợp nhiều yếu tố để có bài toán mới.

Việc nhìn lại vấn đề đòi hỏi sự sáng tạo và kinh nghiệm của HS; nó không chỉ giúp HS trình bày rõ ràng mạch lạc lời giải của mình, mà quan trọng hơn, nó giúp các em có một nếp suy nghĩ, nếp tư duy rõ ràng sáng sủa. Đặc biệt, thực hiện tốt bước này sẽ giúp các em có thể giải quyết được các bài toán khác trong tương lai. Đây là khâu quan tro ̣ng để thầy giáo chú ý phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho HS thông qua việc hình thành và vận dụng các cách thức khéo léo, độc đáo.

Chẳng hạn, trở lại ví dụ 1.1, HS có thể tìm được các cách giải khác nhau như

trên bằng việc phân nhỏ thành các bài toán thành phần (do tách và nhóm hạng tử).

1 x

cho nhau thì biểu thức A không Mặt khác, nếu ta thay đổi vai trò của x và

A x

= +

2≥x

1 x

thay đổi và ta có bài toán: “Tìm giá trị nhỏ nhất của , với ” hoặc

0 < ≤x

< ≤x

1 m

1 2

thay điều kiện bởi hay ≥x m với m là số tự nhiên lớn hơn 1 ta

có các bài toán tương tự.

Sau đây, chúng tôi sẽ đi sâu tìm hiểu, nghiên cứu TPHĐNT theo tư tưởng sư

Bằng cách vận dụng các TPHĐNT trong ví dụ 1.1, HS hoàn toàn có thể giải được các bài toán trên; tiếp tục khai thác, thay đổi giả thiết ta có các bài toán hấp dẫn. Tóm lại, tư tưởng G. Polya thể hiện rõ, trong DH toán điều người học cần là biết các cách thức suy nghĩ khéo léo, sáng tạo (huy động và tổ chức kiến thức, cách ly và liên kết các đối tượng hợp lý để phân nhỏ, tách biệt đối tượng; bổ sung yếu tố phụ… đưa vấn đề về dạng đơn giản, quen thuộc hơn) để giải quyết vấn đề, đó chính là các TPHĐNT. Bởi vậy, mục tiêu trong các nhà trường phổ thông là phải hình thành và khắc sâu TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS giúp các em giải quyết vấn đề hiệu quả. phạm của G. Polya của HS trong quá trình học môn Toán ở trường THCS.

1.5. Thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya

trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở

Trên cơ sở quan niệm TPHĐNT ở 1.3.2.2; tư tưởng sư phạm của G. Polya về DH theo hướng bồi dưỡng TPHĐNT trong mục 1.4, chúng tôi quan niệm: TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya là những cách thức suy nghĩ (tư duy) nhằm

biến đổi, tổ chức tri thức khéo léo, linh hoạt, tinh tế để thúc đẩy chủ thể hoạt động nhận thức một cách nhanh chóng đạt hiệu quả cao.

Với quan niệm trên, cùng việc nghiên cứu các tài liệu lý luận DH, hỏi ý kiến

các chuyên gia giáo dục và trao đổi với giáo viên toán THCS; sau đây chúng tôi đưa

ra một số TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thường sử dụng của HS

trong khám phá, giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS.

1.5.1. Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử dụng của học sinh

theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán ở trường trung học

cơ sở

1.5.1.1. Nhóm thủ pháp biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa mối

liên hệ giữa các đối tượng

Cơ sở hình thành và phát triển nhóm TP này là các tư tưởng sư phạm (T1),

(T3a) và (T4a) của G. Polya. Mặt khác, theo quan điểm duy vật biện chứng, nội

dung và hình thức của một sự vật, hiện tượng gắn bó chặt chẽ với nhau và không

tách rời nhau. Tuy nhiên, cùng một nội dung có thể được thể hiện dưới nhiều hình

thức khác nhau nên trong HĐNT phải biết sử dụng sáng tạo nhiều hình thức khác

nhau, chọn hình thức hợp lý để dễ dàng tìm hiểu và giải quyết vấn đề.

Nhóm TP này gồm các TP thành phần: TP diễn đạt lại tình huống, bài toán

có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp; TP nhìn một đối

tượng dưới nhiều góc độ khác nhau.

a) TP diễn đạt lại tình huống, bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ

toán học một cách thích hợp là cách khéo léo biểu diễn các thông tin bằng hình vẽ,

sơ đồ, đồ thị, bảng biểu, phương trình, biểu đồ, biểu tượng… nhằm tạo thuận lợi để

chủ thể thâm nhập đối tượng, có cái nhìn rõ ràng hơn về vấn đề và dễ dàng tìm cách

giải quyết chúng.

D

A

Ví dụ 1.4. (bài tập 18, tr.105, SGK Toán 8 tập 2) Các kích thước của hình hộp chữ nhật là

4cm, 3cm và 2cm. Một con kiến bò theo mặt của

C

B

hình hộp từ đỉnh B' đến đỉnh D (Hình 1.3a).

D'

A'

2cm

a. Hỏi con kiến bò theo đường nào là ngắn nhất.

3cm

b. Độ dài ngắn nhất đó là bao nhiêu cm?

4cm

C'

B'

Hình 1.3a

Đây là một bài toán không đơn giản với hầu hết

HS, nhưng nếu các em biết vận dụng TP diễn đạt lại

bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp rồi biểu

diễn kích thước của hình không gian sang hình học phẳng (bằng cách trải hình) thì

sẽ dễ dàng giải được bài toán.

GV có thể hướng dẫn HS khám phá cách giải bài toán như sau: - Để đi từ B' đến D con kiến có thể bò qua những mặt nào? (Câu trả lời mong

A

D

A

D

A'

D'

B'

C'

C

đợi là: Con kiến bò từ điểm B' đến điểm D qua các mặt (B’C’CB) và (ABCD); hoặc (B’C’CB) và (C'D'DC); hoặc (B’A'AB) và (BADC); hoặc (B’A'AB) và (A'ADD'); hoặc (A'B'C'D') và (A'ADD'); hoặc (A'B'C'D') và (C'D'CD)).

B

C

B

M

D

A

Hình 1.3b

2cm

3cm

4cm

Hình 1.3c

- Nếu con kiến bò từ điểm B' đến điểm D qua các mặt (B’C’CB) và (ABCD) thì đường nào là ngắn nhất? Nếu HS chưa tìm ra câu trả lời, GV gợi ý HS diễn đạt lại dưới dạng bài toán toán học, đó là: Xác định vi trí điểm M trên cạnh BC sao cho B’M + MD là ngắn nhất?

Khi đó, HS sẽ khám phá ra cách biểu diễn các kích thước của hình hộp sang hình phẳng bằng việc trải hình và nối ngay B' với D (Hình 1.3b); rồi kết luận con kiến bò theo đường nối B'MD là ngắn nhất. GV yêu cầu HS xét các trường hợp khác: - Hãy tìm đường đi của con kiến trong các trường hợp còn lại? Từ đó, HS sẽ tìm ra có 6 con đường để con kiến đi (Hình 1.3c).

- Vậy con kiến sẽ bò qua những mặt nào thì đường đi ngắn nhất? HS sẽ dùng định lý Pitago để tính độ dài đường đi:

= B MD B PD

= B QD B ND

2 3

(cm ); (cm)

= B YD B XD

(cm) (việc đưa thêm các điểm M, N, P, Q, X, Y

là để ta tiện theo dõi chứ thực tế thì HS chưa xác định được những điểm này).

Khi đó, HS sẽ trả lời được: Con kiến chỉ có thể bò qua các mặt (B'C'CB) và

(ABCD) hoặc (A'B'C'D') và (A'ADD') thì mới có đường đi ngắn nhất.

Đến đây nhiều HS sẽ nhầm tưởng rằng bài toán đã giải quyết xong, GV giúp HS nhận ra sai lầm ở chỗ là chưa xác định được vị trí của điểm M (hoặc P) là giao điểm của đường đi với cạnh BC (hoặc A'D'). Tuy nhiên, vấn đề tìm giao điểm M cũng không khó khăn đối với HS vì chỉ cần dựa vào tỉ lệ thức được lập từ hai tam giác đồng dạng để tìm ra độ dài BM = 1,6 cm và PD' = 1,6 cm.

b) TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau là cách khéo léo,

linh hoạt xem xét một vấn đề bằng các cách khác nhau dựa vào mối liên hệ giữa

các đối tượng toán học giúp dễ dàng phát hiện và khai thác, phát triển vấn đề.

Các ví dụ 1.2, 1.3 minh họa cho TP diễn đạt lại tình huống, bài toán một cách

thích hợp bằng cách nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ để phát hiện vấn đề.

1.5.1.2. Nhóm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung

gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm

Nhóm TP này được hình thành dựa trên cơ sở các hoạt động trí tuệ (T3a) về

tổ chức và liên kết đối tượng bằng việc bổ sung những yếu tố mới và các giai đoạn

giải quyết vấn đề (T4b), (T4d) của G. Polya.

Mặt khác, theo quy luật chuyển hóa giữa lượng và chất của Triết học duy vật

biện chứng: Việc bổ sung các yếu tố phụ tạo sự thay đổi về lượng để dẫn đến sự

thay đổi về chất. Bởi vậy, trong quá trình tìm kiếm cách giải quyết vấn đề, khi gặp

tình huống kiến thức đã có không cho phép việc giải quyết một cách trực tiếp, người

học có thể bổ sung các yếu tố phụ là “cầu nối” giữa những cái đã cho, tri thức đã

biết với tri thức cần tìm tạo ra các đối tượng trung gian để có thể vận dụng các kiến

thức đã biết thông qua các đối tượng trung gian đó.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm: Bổ sung yếu tố phụ thích hợp

tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm là cách khéo léo,

linh hoạt đưa các đối tượng toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ, hằng số

phụ...) bổ sung vào các yếu tố đã cho của vấn đề cần giải quyết làm “cầu nối” gắn

kết các tri thức đã biết với các tri thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then

chốt cho việc định hướng đúng đắn cách giải quyết vấn đề.

Trong DH toán, TP này gồm các TP thành phần: TP bổ sung bài toán phụ,

TP bổ sung ẩn phụ, TP bổ sung hình phụ, TP bổ sung tham số phụ... Mỗi TP thành

phần lại có thể có những TP nhỏ hơn sử dụng vào những tình huống nhận thức cụ

thể. Chẳng hạn, TP bổ sung hình phụ, gồm: bổ sung hình phụ liên quan với các đối

tượng có trong hình vẽ, bổ sung hình phụ nhờ xét các trường hợp đặc biệt, bổ sung

hình phụ nhờ biến đổi kết luận về dạng tương đương, bổ sung hình phụ nhờ liên

tưởng nhân quả...

Ví dụ 1.2 là một minh họa cho việc bổ sung bài toán phụ tổng quát bởi TP

+ ≥ y

) − + 1

( y y

) − ≥ 1 12.

Chứng minh rằng Khi nào Ví dụ 1.5. Cho thay hằng bởi biến. Chúng ta xét thêm một ví dụ khác: ( x x

dấu bằng xảy ra? (Trích câu 7, Đề thi vào lớp 10, trường THCS-THPT Nguyễn Tất

Thành, Hà Nội, năm học 2015 - 2016).

Để giải bài toán này, trước hết người giải phải dự đoán dấu “=” xảy ra. HS

cần nhận ra được dữ kiện của bài toán cũng như điều cần chứng minh đều đối xứng

= = y

với x, y nên họ dễ dàng đưa ra dự đoán là dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

= = y

≥

2 9, = các em có thể biến đổi vế trái, để sử dụng bài toán phụ là bất đẳng thức a

−

(

)

( x x

) − + 1

) − = 1

( y y

)

) −

≥

−

Cách 1: Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi nên Điều dự đoán trên đã gợi ý cho người học các cách giải bài toán, đó là: y=

( x

ab , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi =a b , ta có: ( = 18 12

= 18 5

x (

− + x ) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

− = y ( 3

9 ) x

+ ≥ y

y= = 3.

mà nên

= = y

y+ ≥ đặt ẩn 6,

và

≥

Khi đó các em có thể biến đổi và chứng minh phụ Cách 2: Từ dự đoán dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi + ≥m n = + 3 = + với n , m 3 y x

+ 12 5

(

)(

)

) + m n m n

)

)(

(vì Ta có: bài toán ban đầu như sau: m

( = =m n

+ ≥m n

= = y

( 2 0 ≥

2 + m n

). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi suy ra .

1.5.1.3. Nhóm thủ pháp cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

Nhóm TP này được xây dựng dựa trên cơ sở tư tưởng sư phạm (T1), (T3b) và các giai đoạn giải quyết vấn đề (T4) của G. Polya. Ông cho rằng, khi quan sát

một bài toán cần giải, nếu xem nó như một thể thống nhất thì cảm giác đối tượng

không được rõ ràng lắm. Vì vậy, cần phân chia cái toàn thể ra nhiều phần nhỏ. Hơn

nữa, việc cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới được đặt trong mối

quan hệ với quy luật lượng - chất của quá trình vận động, phát triển sự vật, hiện

tượng theo Triết học duy vật biện chứng.

Thực tiễn DH toán cho thấy, nhiều khi để giải quyết một vấn đề phức tạp nếu

người giải biết cách ly, chia nhỏ thành các vấn đề bộ phận đơn giản, quen thuộc,

loại bỏ các chi tiết “không cần thiết” thì sẽ dễ dàng tìm được phương án giải quyết

vấn đề ban đầu và phát hiện, sáng tạo vấn đề mới.

Nhóm này gồm các TP thành phần: TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp.

a) TP phân nhỏ là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt để chia một vấn đề

toán học phức tạp, khó giải quyết thành các vấn đề thành phần đơn giản hơn nhằm

mục đích dễ dàng hiểu được vấn đề, huy động, tổ chức kiến thức đã biết vào việc

giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu.

b) TP tách biệt là cách thức suy nghĩ linh hoạt để tách một chi tiết, một bộ

phận cụ thể không cần thiết “gây phiền phức” ra khỏi đối tượng hay ngược lại tách

phần “cần thiết” khỏi cái toàn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào chi tiết, bộ

phận này nhằm mục đích dễ dàng huy động kiến thức đã biết vào việc giải quyết và

khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu.

c) TP kết hợp là cách thức suy nghĩ khéo léo, linh hoạt nhằm liên kết những

chi tiết, những bộ phận của đối tượng có thể có quan hệ với nhau, bổ sung, hỗ trợ

nhau hoặc những bộ phận của đối tượng đã được tách ra để xem xét chúng trong

một cái toàn thể mới đầy đủ hơn trước, tính hài hoà và thống nhất của nó rõ nét hơn.

“Kết hợp” ở đây cần được hiểu theo nghĩa rộng là thiết lập mối liên kết,

không chỉ đơn thuần là cộng thêm (kiểu số học) hoặc gắn thêm (kiểu cơ học) mà

còn được hiểu là sự kết hợp những ý tưởng, tính chất, chức năng... từ những đối

tượng khác với đối tượng cho trước để có được sản phẩm sáng tạo. Đối tượng mới

tạo nên do sự kết hợp, thường có những tính chất, ích lợi mà từng đối tượng riêng rẽ

trước đây chưa có.

Từ quan niệm trên, chúng ta thấy nội dung TP phân nhỏ và TP tách biệt có

phần giao nhau, chứ không hoàn toàn độc lập. Tuy nhiên, chúng có điểm khác nhau

cơ bản: TP tách biệt chỉ ra tiêu chuẩn phân nhỏ thành hai phần độc lập, phần cần

thiết thì giữ lại để sử dụng; phần không cần thiết, gây phiền phức thì tách khỏi

(không giữ lại). Trong khi đó đối với TP phân nhỏ thì sau khi phân nhỏ các phần

đều được giữ lại để sử dụng.

Mỗi TP thành phần lại có những TP nhỏ hơn áp dụng vào từng tình huống cụ

thể. Chẳng hạn, TP phân nhỏ gồm: Phân nhỏ vấn đề bằng cách phân nhỏ giả thiết

nếu giả thiết có cấu trúc tuyển; phân nhỏ vấn đề bằng cách phân nhỏ kết luận nếu

kết luận có cấu trúc hội...

Ví dụ 1.1 trên đây đã minh họa cho việc vận dụng TP phân nhỏ và TP kết

hợp trong việc “tìm giải pháp” và “khai thác, phát triển vấn đề”.

1.5.1.4. Nhóm thủ pháp chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến

thức giải quyết vấn đề

Cơ sở hình thành và phát triển nhóm TP này là tư tưởng sư phạm của G.

Polya “Về huy động và tổ chức kiến thức” (T3a) và giai đoạn “lập kế hoạch” (T4b)

trong quá trình giải quyết vấn đề.

Nhóm TP này gồm các TP thành phần: TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh

chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề và TP chuyển hóa tri thức sự vật

thành tri thức phương pháp.

a) TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải

quyết vấn đề là cách thức suy nghĩ linh hoạt để nhận ra đặc điểm cơ bản của vấn đề

nhằm lựa chọn được kiến thức thích hợp (định lý, quy tắc, bài toán “gốc”…) giúp dễ

dàng giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.6. (Lớp 9) Qua đỉnh D của hình vuông ABCD cạnh a, vẽ một đường

1 DI

1 DK

1 2 a

thẳng cắt cạnh AB ở I và cắt đường thẳng BC ở K. Chứng minh .

GV có thể giúp HS nhận ra kết luận của bài toán có

liên hệ với một hệ thức lượng trong tam giác vuông (nghịch

đảo bình phương của đường cao bằng tổng nghịch đảo bình

phương hai cạnh góc vuông). Từ đó, HS biết vẽ thêm hình

phụ để sử dụng hệ thức lượng đó, bằng cách: tạo tam giác

áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vuông có đường cao DC và hai cạnh góc vuông lần lượt bằng DI, DK (vẽ DL DI⊥ , L thuộc đường thẳng BC). Chứng minh DI DL= được ;

DLK ta có lời giải bài toán. Đây chính là bài toán quen thuộc Hình 1.3 các em đã giải trong SGK [12, tr. 70]:

ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B . Tia DI và tia CB cắt nhau tại K . Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI . Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

Cho hình vuông

Tam giác DIL là một tam giác cân. i)

1 DI

1 DK

Tổng không đổi khi I thay đổi. ii)

b) TP chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp là cách suy nghĩ linh hoạt vận dụng các kiến thức (định nghĩa, định lý, quy tắc…) trong sách giáo khoa, mối quan hệ giữa các tri thức đó với các vấn đề toán học và thực tiễn, đặc biệt là mối liên hệ logic giữa định lý với các dạng toán để đưa ra các quy trình nhằm giải quyết hiệu quả các vấn đề trong toán học, thực tiễn.

Ví dụ 1.7. Khai thác vận dụng định lý Ta-lét để xây dựng quy trình mới

chứng minh ba điểm thẳng hàng (chúng tôi sẽ trình bày nội dung này ở chương 3).

1.5.1.5. Nhóm thủ pháp sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề

và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Nhóm TP này được hình thành trên cơ sở các tư tưởng sư phạm của G. Polya về mục đích dạy học (T1), hoạt động trí tuệ (T3c) và giai đoạn “hiểu rõ vấn đề” (T4a) trong quá trình giải quyết vấn đề.

Theo triết học duy vật biện chứng: Cái chung tồn tại trong cái riêng, thông qua cái riêng để biểu hiện sự tồn tại của mình và cái riêng chỉ tồn tại trong mối liên hệ dẫn tới cái chung. Do đó, trong HĐNT để phát hiện ra cái chung, quy luật chung chúng ta phải xuất phát từ cái riêng. Tuy nhiên, những kết luận tổng quát được suy ra từ những kết luận riêng lẻ đó có thể không đúng nên chúng ta phải dùng suy diễn để chứng minh.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm: TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề là cách suy nghĩ khéo léo, sáng tạo để đưa ra giả thuyết của một vấn đề hay cách giải quyết vấn đề

thông qua việc quan sát, tính toán, đo đạc của các trường hợp riêng, rồi kết hợp với việc suy luận để khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đó.

Một số TP thành phần của nhóm TP, đó là: TP thay biến số bởi hằng số (chẳng hạn: khi chứng minh một bài toán đúng với mọi số tự nhiên n, chúng ta xét với n = 0, 1, 2...; thay góc α bất kỳ bởi góc α có giá trị đặc biệt...); TP thay một vị trí bất kỳ của hình bởi một ví trí đặc biệt (chẳng hạn: khi chứng minh một tính chất nào đó với điểm M thuộc hình H, ta xét M ở các vị trí đặc biệt thuộc các đỉnh, các cạnh...); TP xét trường hợp tới hạn; TP xét các trường hợp tương tự đơn giản hơn để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.

Các TP này giúp HS cách học, tự chiếm lĩnh kiến thức và có khả năng khám phá tri thức mới đáp ứng mục tiêu DH. Một số tình huống Toán học ở trường THCS thường vận dụng TP này như: Các định lý, quy tắc, bài tập toán dạng tìm tòi…

Ví dụ 1.1 ở trên đã minh họa rõ việc sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm thay

biến số bởi hằng số để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.

Trên đây, chúng tôi đã đưa ra một số nhóm TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thường sử dụng trong giải quyết các vấn đề Toán học ở trường THCS và các TP thành phần của chúng; mỗi TP cung cấp cho người giải quyết vấn đề một hoặc một số cách xem xét vấn đề cho trước. Các TP có thể độc lập với nhau nhưng cũng có thể có mối liên hệ mật thiết và không tách rời nhau. Tuy nhiên, số lượng các TPHĐNT (kể cả các TP thành phần) mà chúng tôi đưa ra trong nghiên cứu không phải là một hệ thống đầy đủ, chúng ta vẫn có thể thêm những TP khác vào hệ thống các TPHĐNT trong việc giải quyết các vấn đề Toán học.

Mặt khác, tần số xuất hiện của năm nhóm thủ pháp hoạt động nhận thức, tùy thuộc vào nội dung dạy học (số học, đại số hay hình học). Tuy nhiên, nhóm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm được HS vận dụng nhiều nhất trong quá trình giải quyết vấn đề môn Toán ở trường THCS. Thật vậy, trong sách giáo khoa, việc chứng minh các định lý hay giải bài tập hình học hầu hết đều cần đến việc khéo léo bổ sung hình phụ hay với các bài toán giải phương trình (bất phương trình, hệ phương trình), chứng minh bất đẳng thức... việc sử dụng ẩn phụ, bài toán phụ sẽ giúp HS dễ dàng giải quyết.

1.5.2. Một số đặc điểm cơ bản của thủ pháp hoạt động nhận thức Từ quan niệm TPHĐNT và nhóm các TP cụ thể theo tư tưởng sư phạm của

G. Polya và các ví dụ đã trình bày, ta thấy TPHĐNT có các đặc điểm cơ bản sau:

i) TPHĐNT giúp người học tăng nhanh khả năng tìm giải pháp giải quyết

vấn đề

Với vấn đề phức tạp, nếu biết vận dụng TP một cách phù hợp thì sẽ dễ dàng

tìm được giải pháp hiệu quả. Các ví dụ trình bày trên đây đã minh họa rõ điều này.

ii) TPHĐNT không có quy tắc chung tiến hành các bước cụ thể để tìm giải

pháp mà chúng gợi ý cho người học những gì nên làm để có thể nhanh chóng tìm ra

giải pháp; một TP có nhiều cách thực hiện để đưa ra nhiều giải pháp khác nhau.

Trở lại ví dụ 1.1, sau khi sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm để dự đoán được

giá trị của x sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất, HS có thể giải bài toán bằng hai cách

khác nhau nhờ vận dụng TP phân nhỏ chia bài toán ban đầu thành các bài toán quen

thuộc, đơn giản hơn.

TP bổ sung yếu tố phụ trong ví dụ 1.9 sẽ trình bày ở phần sau, cho thấy rõ

hơn điều này.

iii) Một số vấn đề có thể được giải quyết bằng nhiều TP khác nhau nên cần

lựa chọn TP hiệu quả hơn để sử dụng và ngược lại một số vấn đề đòi hỏi phải sử

−

dụng nhiều hơn một TP để có giải pháp hiệu quả.

7 .

Ví dụ 1.8. (Lớp 9) Tính: 4

7−

khó gợi cho HS liên tưởng tới biểu diễn các Các biểu thức 4 và 4

biểu thức dưới dấu căn thành bình phương của một tổng (hoặc hiệu). HS có thể bổ

−

sung hằng số phụ (nhân 2 với 4 và 4

8 2 7

7+ (

). căn thành bình phương (vì ), để đưa các biểu thức dưới dấu )2 − 7 1

(

7− )2 + 7 1 ; Ngoài ra, biểu thức dưới dấu căn thức có dạng là tổng và hiệu của hai số, nên

−

bổ sung ẩn phụ bổ trợ giả thiết, ta có lời giải này ngắn gọn và độc đáo hơn:

x x ,(

= ⇒ =

. Đặt 4

(vì x > 0). Bình phương hai vế, ta có:

Mặt khác, nhiều khi để giải quyết một vấn đề ta cần sử dụng nhiều TP, chẳng

hạn: ví dụ 1.6 chúng ta phải sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ (vẽ DL vuông góc với

DI) và TP phân nhỏ thành hai bài toán bộ phận.

iv) Các TPHĐNT có mối liên hệ mật thiết nhau.

Mỗi TP cung cấp cho người học toán một hoặc một số cách phát hiện và

giải quyết vấn đề. Các TP có thể độc lập với nhau nhưng cũng có thể liên hệ mật

thiết và không tách rời nhau. Chẳng hạn, các TP phân nhỏ, TP tách biệt và TP

kết hợp là trái ngược nhau nhưng liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống

nhất, xen kẽ nhau, bổ sung lẫn nhau, thúc đẩy quá trình giải quyết vấn đề một

cách sáng tạo. TP kết hợp giúp chúng ta liên kết những ý tưởng, tính chất, chức

năng... từ những đối tượng khác với đối tượng cho trước để bài toán có được tính

hài hòa, rõ nét hơn (ví dụ 1.3, 1.6...).

v) Không phải tất cả các tình huống nhận thức đều đòi hỏi sử dụng TP mà chúng thường vận dụng vào giải quyết các vấn đề khó khăn, không quen thuộc đối với HS.

Với những tình huống nhận thức đơn giản thì không cần sử dụng TP. Tuy nhiên các TP lại hết sức hữu hiệu và cần thiết trong việc vận dụng vào giải quyết các vấn đề khó khăn, không quen thuộc đối với HS. Chẳng hạn: HS giải bài tập 9, trang 70, SGK Toán 9, tập 1 bằng áp dụng trực tiếp các kiến thức đã biết mà không cần sử dụng TPHĐNT. Tuy nhiên, nếu bỏ câu a) trong bài tập này khi đó bài toán sẽ được bớt đi giả thiết “Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI . Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L”. Khi đó, bài toán thành ví dụ 1.6 và việc giải bài toán cần phải sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ.

1.6. Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải

quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo

1.6.1. Thủ pháp hoạt động nhận thức vừa là phương tiện vừa là kết quả

của hoạt động giải quyết vấn đề

Hệ thống TPHĐNT trình bày trên đây không có sẵn mà do HS lĩnh hội được trên cơ sở tổ chức các HĐ giải quyết vấn đề. Việc tiến hành HĐ giải quyết vấn đề nhiều khi đòi hỏi HS phải biết vận dụng các TPHĐNT một cách thích hợp. Sau mỗi quá trình giải quyết vấn đề, HS không chỉ đơn thuần thu được những kiến thức khái niệm mà còn hình thành, khắc sâu được những TPHĐNT. Nói cách khác, TPHĐNT vừa là phương tiện, định hướng trực tiếp cho HĐ tìm tòi, lĩnh hội tri thức; vừa là kết quả, sản phẩm của HĐ phát hiện, sáng tạo của chính HS.

Các ví dụ trên đây cho thấy, để chứng minh các định lý, bài toán đó chúng ta phải sử dụng công cụ là TP quy nạp thực nghiệm, TP phân nhỏ, TP bổ sung yếu tố phụ… và ngược lại các TP đó lại chính là kết quả của quá trình hoạt động giải toán. 1.6.2. Thủ pháp hoạt động nhận thức trong hoạt động dạy học phát hiện

và giải quyết vấn đề

Nhiều nghiên cứu đã chỉ ra vai trò quan trọng của TP trong giải quyết vấn đề. Schoenfeld (1983) mô tả hai nhiệm vụ trọng tâm trong các tình huống giải quyết vấn đề là: “phải làm gì?”, tức là quyết định chiến lược giải quyết vấn đề và "làm như thế nào” là việc quyết định sử dụng các “chiến thuật” để hoàn thành mục tiêu của chiến lược đã đề ra. Để thực hiện tốt nhiệm vụ này, HS cần áp dụng các TP liên quan cho các giải pháp của vấn đề. Vì vậy, để trở thành người giải quyết vấn đề tốt đòi hỏi xây dựng một bộ sưu tập cá nhân và mang phong cách riêng của các chiến lược giải quyết vấn đề, đó chính là các TPHĐNT.

Trong [61, tr. 14,15], Trần Luận cho rằng công thức biểu diễn mối quan hệ phụ thuộc giữa mức độ tính tích cực của HS khi đứng trước một nhiệm vụ có vấn đề

của nhà giáo dục học V. A. Radumovski: T = N(KCT – KĐC) (*) (trong đó: N là nhu cầu nhận thức của HS; T là mức độ sáng tạo, tính tích cực của HS; KCT và KĐC là K - K kiến thức, kỹ năng cần thiết để giải quyết vấn đề và đã có của HS. Khi đó C

là độ lệch phát sinh về kiến thức, kỹ năng cần thiết để giải quyết vấn đề và đã có của HS) không cho phép xác định các trở ngại cơ bản khi triển khai DH nêu vấn đề trong thực tiễn. Bởi các tác giả SGK thường trình bày nội dung học vấn theo cách hay nhất, dễ hiểu nhất (hiệu KCT – KĐC tối ưu). Tuy nhiên, ẩn sau sự “dễ hiểu”, “dễ chứng minh” đó là các TP tìm tòi cách giải quyết vấn đề còn thiếu của HS. Hơn nữa, tri thức về cách tổ chức thực hiện các HĐNT để chiếm lĩnh kiến thức của HS còn được hình thành một cách tự phát, tùy thuộc vào kinh nghiệm của mỗi cá nhân. Tác giả đề xuất: Tính tích cực, mức độ sáng tạo của HS trong DH phát hiện và giải quyết vấn đề được xác định theo công thức: T = N[(KCT – KĐC) + (TPCT – TPĐC)] (**). Trong đó, các ký hiệu bổ sung TPCT và TPĐ lần lượt là các tri thức phương pháp, các TPHĐNT cần thiết để giải quyết vấn đề và đã có của HS. Khi đó TPCT – TPĐC là độ lệch phát sinh về tri thức phương pháp, các TPHĐNT cần thiết để giải quyết vấn đề và đã có.

Theo tác giả, thông thường hiệu KCT – KĐC của công thức (**) không lớn nhưng hiệu giữa TPCT – TPĐC lại rất lớn nên (KCT – KĐC) + (TPCT – TPĐC) → ∞ do đó HS không có nhu cầu nhận thức N → 0, bởi vậy cũng không nảy sinh tính tích cực của HS. Từ đó, theo tác giả để tiến hành DH phát hiện và GQVĐ thực sự có hiệu quả cần phải trang bị cho HS các thành phần TPCT thích hợp sao cho hiệu (TPCT – TPĐC) nhỏ nhất có thể được. HS được chuẩn bị cho việc thực hiện “phát minh chủ quan” càng tốt thì mức độ tích cực càng cao và quá trình “phát minh chủ quan” diễn ra càng ngắn. Tác giả cũng khẳng định, việc cần thiết phải trang bị cho HS các thành phần TPCT thích hợp đã được nhiều nghiên cứu đề cập đến, đặc biệt là trong mô hình DH phát triển. Nhiều nhà khoa học cũng đã đề xuất các TPHĐNT cần và có thể trang bị cho HS cùng các biện pháp tiến hành. Tuy nhiên, khi đặt các thành phần TPĐC vào cùng với KĐC như trong công thức trên, chúng ta thấy rõ được vai trò cực kỳ quan trọng, không thể thiếu được của TP trong DH GQVĐ nói riêng và các PPDH nhằm tích cực hóa HĐNT của HS nói chung.

Ví dụ 1.9. Chứng minh định lý: “Đường trung bình của hình thang song

song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy” [15, tr.78].

Trong SGK, định lý được chứng minh như sau: Gọi K là giao điểm của các

=BF FC (giả thiết)

∠F

F (đối đỉnh);

= ∠

∠B

C (so le trong, AB//DK).

đường thẳng AF và DC. ∆FBA và ∆FCK có:

∆

=AB CK .

FBA

FCK (g.c.g), suy ra

=AF FK và

Do đó

E là trung điểm của AD, F là trung điểm của AK nên EF là đường trung bình của ∆ADK, suy ra

=EF

DK .

1 2

EF//DK (tức EF//CD và EF//AB) và

DK DC CK DC AB

Mặt khác:

) AB CD .

(

C Hình 1.4a

1 2

Do đó

Điều chứng minh này ngắn gọn và đa số HS có thể hiểu được khi nắm vững các kiến thức đã có. Nhưng nếu GV chỉ trình bày như vậy thì nhiều HS sẽ không hiểu được vì sao lại bổ sung hình phụ là điểm K như trên? Và có thể bổ sung hình phụ nào khác hay không?

Hình 1.4b

Nếu GV để HS tự khám phá việc bổ sung yếu tố phụ thì họ sẽ biết vì sao lại bổ sung điểm K như trên và có thể nhận ra được những cách bổ sung yếu tố phụ khác nữa. GV có thể gợi ý giúp HS biết bổ sung hình phụ có liên quan đến các đối tượng có trong hình vẽ, chẳng hạn: Bài toán có liên quan đến trung điểm của các cạnh nên HS nghĩ đến có thể bổ sung hình phụ để đoạn nối các trung điểm tạo thành đường trung bình của tam giác hoặc hình bình hành nhận cạnh chứa trung điểm đó làm một đường chéo… Từ đó, HS biết bổ sung yếu tố phụ theo hai hướng:

Thứ nhất, tạo một tam giác có đường +AB CD bằng trung bình là EF và đáy bằng bốn cách bổ sung yếu tố phụ, đó là giao điểm K của AF và DC (Hình 1.4a) (hoặc của BE và CD (Hình 1.4b); hoặc giao điểm của CE và BA hay giao điểm của DF và AB).

Hình 1.4c

Thứ hai, tạo các đường trung bình tương ứng với các cạnh đáy AB, CD của hai tam giác nào đó và chứng tỏ IF EF bằng hai cách bổ sung yếu tố phụ là trung EI

điểm I của AC (Hình 1.4c) (hoặc trung điểm của BD).

Do đó, muốn bổ sung đúng các yếu tố phụ cần thiết, HS không chỉ đơn thuần

dựa vào các KĐC mà còn dựa vào những cái khác nữa, đó là các TPHĐNT.

Như vậy, để HS độc lập chiếm lĩnh một tri thức mới nào đó các em cần được

trang bị về TPHĐNT một cách thích hợp trong quá trình DH.

1.6.3. Thủ pháp hoạt động nhận thức góp phần phát triển năng lực giải

quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh

Giải quyết vấn đề là một năng lực cần thiết của tất cả mọi người để đối phó với những tình huống khác nhau trong thực tiễn cuộc sống. Có nhiều cách nhìn nhận

và quan niệm về năng lực giải quyết vấn đề, nhưng đều thống nhất chung đó là tổ hợp các năng lực được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình giải quyết vấn đề. Trên cơ sở các nghiên cứu [49], [50], [62], [62], [90], [92]..., chúng tôi quan niệm, năng lực giải quyết vấn đề toán học của HS là: Năng lực giải quyết vấn đề của HS trong học tập môn Toán là một tổ hợp các hành động vật chất và tinh thần (các kĩ năng tư duy) trong hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề nhằm giải quyết hiệu quả các tình huống nhận thức của Toán học. Do đó, năng lực giải quyết vấn đề được biểu hiện qua các năng lực thành phần dựa theo các giai đoạn giải quyết vấn đề. Trong nghiên cứu này, chúng tôi quan niệm năng lực giải quyết vấn đề gồm: Năng lực tìm hiểu vấn đề (phát hiện vấn đề); năng lực lập kế hoạch và thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề; năng lực nhìn lại vấn đề (bao gồm kiểm tra, đánh giá giải pháp và phát biểu, đề xuất vấn đề mới) dựa vào các giai đoạn giải quyết vấn đề của G. Polya.

Từ các nghiên cứu về DH sáng tạo, phát triển năng lực tư duy sáng tạo của người học [17], [27], [63], [99]..., trong Luận án này chúng tôi thống nhất với quan điểm của các nhà nghiên cứu tâm lý học sáng tạo kinh điển như J. P. Guilford, P. E. Torrance, cho rằng: tư duy sáng tạo được đặc trưng bởi các yếu tố chính (basic components) như tính mềm dẻo (flexibility), tính nhuần nhuyễn (fluency), tính độc đáo (originality), tính hoàn thiện (elaboration) và tính nhạy cảm (problem sensibility). Bởi vậy, chúng tôi quan niệm: Năng lực tư duy sáng tạo của HS trong học tập môn Toán là một tổ hợp các năng lực thể hiện các đặc trưng của tư duy sáng tạo như tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính hoàn thiện và tính nhạy cảm với vấn đề cần giải quyết nhằm tạo ra những ý tưởng mới, độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao.

Mặt khác, theo Nguyễn Bá Kim“Năng lực có thể và chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng hoạt động” [50, tr.78]. Do đó, để DH phát triển năng lực cho HS không thể bỏ qua mắt xích HĐ. Đặc biệt là, vận dụng TP để tổ chức hiệu quả các HĐ phát hiện và giải quyết vấn đề cho người học.

Như vậy, có thể thấy việc lĩnh hội kiến thức toán học của HS là quá trình hoạt động phát hiện và giải quyết vấn đề, trong đó các TP là công cụ hữu hiệu. Với đặc trưng khéo léo, linh hoạt của TPHĐNT không những giúp HS phát triển tốt khả năng giải quyết các vấn đề mà còn góp phần bồi dưỡng cho các em tính độc đáo, mềm dẻo, nhuần nhuyễn, nhạy cảm để giải quyết hiệu quả vấn đề trong thực tiễn khi điều kiện và bối cảnh thay đổi. Nói cách khác, các TP đã được lĩnh hội sẽ trở thành “công cụ” của việc lĩnh hội độc lập tài liệu học tập của HS và đóng vai trò quan trọng trong việc bồi dưỡng các năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho các em. Do đó, một trong những vấn đề cần quan tâm trong nhà trường phổ thông ở Việt Nam hiện nay là hướng tới TP và việc bồi dưỡng nó cho người học nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục phổ thông theo hướng “tiếp cận năng lực”.

1.7. Một số điều kiện sư phạm ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường trung học cơ sở

Trước hết, chúng ta cần xác định “Bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư

phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán” là gì?

Theo Từ điển Tiếng Việt do Hoàng Phê chủ biên, Bồi dưỡng: 1. Làm cho tăng thêm sức của cơ thể bằng chất bổ, 2. Làm cho tăng thêm trình độ, năng lực hoặc phẩm chất [81, tr.107]. Như vậy, có thấy “bồi dưỡng” là một động từ nhằm làm cho tăng thêm cho một đối tượng về một điều gì đó.

Mặt khác, bồi dưỡng là một khái niệm được hình thành nhờ vào sự nối kết các nghĩa vị ngoại lai, không thuần Việt. Chúng ta có thể xem bồi dưỡng như là sự tổng hợp của bồi đắp và nuôi dưỡng.

Trong DH, có thể hiểu bồi dưỡng là quá trình cập nhật, bổ sung thêm kiến thức, kỹ năng cần thiết trên cơ sở những cái đã có để mở mang, phát triển thêm, làm tăng hệ thống những tri thức, kỹ năng và làm giàu vốn hiểu biết, nâng cao hiệu quả học tập. Do đó, bồi dưỡng mang tính thường xuyên và liên tục, đồng thời cũng mang ý nghĩa nâng cao năng lực cá nhân đối với công việc nào đó.

Từ đó, theo chúng tôi: Bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS là việc bổ sung, cải thiện các TPHĐNT còn yếu hoặc còn thiếu của HS trong quá trình giải quyết các vấn đề Toán học nhằm nâng cao hiệu quả học tập, đặc biệt là phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo.

Sau đây, là một số điều kiện cơ bản của việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS: 1.7.1. Sự phát triển tư duy của học sinh trung học cơ sở HS THCS bao gồm các em có độ tuổi từ 11, 12 đến 14, 15. Đây là lứa tuổi bắc cầu, chuyển tiếp từ trẻ em lên người lớn, từ thời thơ ấu sang tuổi trưởng thành. Đặc điểm đặc trưng trong sự phát triển cấu trúc nhận thức của HS THCS là sự hình thành và phát triển các tri thức lý luận, gắn với các mệnh đề. Suy nghĩ và sự hình thành các tri thức của các em không còn bị ràng buộc chặt chẽ vào các sự kiện được quan sát mà áp dụng các phương pháp logic. Theo J. Piaget, “Những thao tác nhận thức của trẻ được tổ chức lại theo một cách thức nhất định, cho phép chúng có thể kiểm tra những hành động này (suy nghĩ về các ý nghĩ). Giờ đây suy nghĩ của trẻ đã mang tính trừu tượng và hệ thống” [73, tr. 419].

Hoạt động tư duy của HS THCS có những biến đổi cơ bản, nét đặc thù là chuyển từ tư duy cụ thể sang tư duy trừu tượng. Đặc biệt, ở các lớp cuối cấp, tư duy trừu tượng phát triển mạnh hơn. Các em có khả năng phân tích tài liệu tương đối đầy đủ, sâu sắc, biết phân tích các yếu tố bản chất, những mối liên hệ, quan hệ mang tính quy luật… khi lĩnh hội, giải quyết nhiệm vụ. Khả năng khái quát hóa,

trừu tượng hóa ở HS THCS cũng được nâng cao. Khả năng suy luận của các em tương đối hợp lý và có cơ sở sát thực. HS các lớp cuối cấp THCS phân tích nhiệm vụ trí tuệ bằng cách tạo ra những giả định khác nhau, những liện hệ giữa chúng và kiểm tra những giả thuyết này. Các em phát triển kỹ năng sử dụng giả thuyết để giải quyết nhiệm vụ trí tuệ trong việc phân tích hiện thực. Tư duy bằng những giả định là công cụ đặc biệt của suy luận khoa học. HS THCS muốn độc lập lĩnh hội tri thức, muốn giải quyết bài tập, nhiệm vụ theo quan điểm, lập luận, cách diễn đạt riêng, không thích trả lời máy móc như HS Tiểu học. Các em không dễ tin, không dễ chấp nhận ý kiến khác, muốn tranh luận, chứng minh vấn đề một cách sát thực, rõ ràng, thậm chí đôi khi muốn phê phán những kết luận, những phán đoán của người khác. Sự hình thành tính độc lập và sáng tạo là một đặc điểm quan trọng trong sự phát triển tư duy của các em. Tuy nhiên, tư duy của HS THCS còn bộc lộ một số hạn chế. Một số em nắm dấu hiệu bề ngoài của khái niệm dễ hơn dấu hiệu bản chất của nó; hiểu bản chất của khái niệm song không phải lúc nào cũng phân biệt được dấu hiệu đó trong mọi trường hợp và gặp khó khăn trong khi phân tích mối liên hệ nhân quả… Ngoài ra, đối với một số HS, HĐNT chưa trở thành HĐ độc lập của các em. Đặc điểm về tư duy trên đây là những điều kiện mà GV cần quan tâm để bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS cuối cấp THCS một cách thích hợp nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo cho các em.

1.7.2. Đặc điểm chương trình môn Toán các lớp cuối cấp trung học cơ sở

ở Việt Nam

Chương trình môn Toán các lớp cuối cấp THCS ban hành theo quyết định số 03/2002/QĐ-BGD&ĐT ngày 24/01/2002 của Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo nhằm các mục tiêu sau:

a) Cung cấp cho HS những kiến thức, phương pháp toán phổ thông, cơ bản

+ Những kiến thức có liên quan đến về các tập hợp số (số tự nhiên, số

thiết thực (bao gồm: số học, đại số và hình học). Cụ thể: nguyên, số hữu tỷ và số thực) và các dạng bài tập liên quan. + Các biểu thức đại số (hữu tỷ, căn thức); phương trình bậc nhất, hệ phương trình và bất phương trình bậc nhất; phương trình bậc hai; tương quan hàm số, một vài dạng hàm số đơn giản và đồ thị của chúng; + Những kiến thức về hình học phẳng (tứ giác, đường tròn…), quan hệ bằng nhau và quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một số yếu tố của lượng giác; nhận biết một số vật thể trong không gian (hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình chóp đều, hình chóp cụt đều, hình trụ, hình nón, hình cầu) qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình học không gian.

+ Một số hiểu biết ban đầu về ứng dụng của toán học: Giới thiệu một số kiến

thức mở đầu về thống kê; chú trọng rèn luyện cho học sinh kỹ năng tính toán, kỹ năng toán học hóa tình huống thực tiễn; nâng cao kỹ năng giải toán và ứng dụng toán học vào các môn học khác (toán học là môn học công cụ).

+ Cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu về một số phương pháp toán

học: Dự đoán và chứng minh, quy nạp và suy diễn, phân tích và tổng hợp...

Đối với học sinh khá, giỏi, ngoài sách giáo khoa còn có nội dung nâng cao

trong sách bài tập, tài liệu bổ sung, giáo trình tự chọn. Các bài tập được phân bậc từ

dễ đến khó, từ áp dụng trực tiếp đến việc phải vận dụng TP để giải quyết.

b) Hình thành và rèn luyện các kỹ năng: Tính toán; thực hiện các phép biến

đổi các biểu thức; giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn, giải

phương trình bậc hai một ẩn; giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; vẽ hình, đo đạc,

chứng minh các bài toán hình học. Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến

thức Toán học vào đời sống và vào các môn học khác.

c) Rèn luyện các khả năng tư duy: Suy luận hợp lý và hợp logic, quan sát, dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian; khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như linh hoạt, độc lập và sáng tạo. Bước đầu hình thành cho HS khả năng chuyển vấn đề về dạng quen thuộc, đơn giản hơn nhờ biết chia nhỏ vấn đề, biết xét các trường hợp riêng, trường hợp tổng quát, biết bổ sung yếu tố phụ để kết nối tri thức đã biết với tri thức cần tìm… Góp phần giúp HS phát triển khả năng tự học, tự chiếm lĩnh tài liệu học tập. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa học cần thiết của người lao động mới.

Do đó, có thể nhận thấy, chương trình môn Toán THCS (đặc biệt là các lớp

cuối cấp) thích hợp cho việc hình thành và khắc sâu các TPHĐNT cho người học.

1.7.3. Các nhân tố cơ bản ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng thủ pháp hoạt

động nhận thức cho học sinh trung học cơ sở trong dạy học môn Toán

Với những nội dung đã trình bày trong mục 1.5, cùng với việc nghiên cứu

thực tiễn việc hình thành, vận dụng các TPHĐNT trong DH toán ở trường THCS

cho thấy: Có nhiều yếu tố liên quan đến việc bồi dưỡng các TPHĐNT Toán học cho

HS. Trong đó, theo chúng tôi sáu nhân tố sau là cơ bản:

Thứ nhất, là sự hứng thú, nhu cầu để bồi dưỡng TPHĐNT của HS thông qua

việc nhận thức được vai trò, ý nghĩa và sự cần thiết phải hiểu biết về các TP trong

quá trình học tập môn Toán.

Thứ hai, dựa vào các đặc điểm của vấn đề cần giải quyết. Mỗi vấn đề đòi hỏi

những TP khác nhau phù hợp với chúng. Thông qua các vấn đề cần giải quyết giúp

người học hình thành và phát triển khả năng vận dụng TPHĐNT thích hợp.

Thứ ba, là đặc điểm của các TPHĐNT. Mỗi TP có những đặc điểm riêng phù

hợp với những tình huống nhận thức cụ thể. HS cần biết cách chọn và vận dụng hợp

lý TPHĐNT để giải quyết các vấn đề.

Thứ tư, vốn kinh nghiệm của HS, kỹ năng của họ về vận dụng các TPHĐNT.

Do đó, GV biết được những mặt mạnh, hạn chế của HS để tìm cách bồi dưỡng các

TPHĐNT cho phù hợp giúp các em giải quyết hiệu quả các vấn đề phức tạp.

Thứ năm, là những kinh nghiệm, kỹ năng của GV về việc vận dụng các

TPHĐNT có ảnh hưởng không nhỏ đến việc giúp HS hiểu biết và vận dụng tốt hơn

các TPHĐNT trong DH toán.

Thứ sáu, các phương pháp DH tích cực (DH phát hiện và giải quyết vấn đề,

DH khám phá) góp phần quan trọng trong việc bồi dưỡng cho HS một số TPHĐNT

trong DH môn Toán.

Kinh nghiệm, kỹ năng của HS về vận dụng TP

Đặc điểm của vấn đề

Động lực để hình thành, khắc sâu TPHĐNT

Bồi dưỡng TPHĐNT cho HS

Kỹ năng của GV về vận dụng TPHĐNT

Đặc điểm của TPHĐNT

Phương pháp DH bồi dưỡng TPHĐNT

Sơ đồ 1.5. Sơ đồ các nhân tố cơ bản trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS

Các nhân tố cơ bản này không tồn tại độc lập mà chúng có quan hệ mật thiết,

tác động qua lại với nhau một cách biện chứng. Bởi vậy, để tăng cường việc bồi

dưỡng các TP cho HS chúng ta cần vận dụng một cách hiệu quả các nhân tố trên.

1.7.4. Các giai đoạn hình thành và khắc sâu thủ pháp hoạt động nhận thức

toán học cho học sinh

Theo tâm lý học Xô viết, tư duy không được gợi lên một cách đơn giản mà

được hình thành bằng hoạt động [89]. Do đó, các TPHĐNT có thể được dạy thông qua

các hoạt động. Việc bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS được tiến hành: thứ nhất, thông

qua việc tìm hiểu những TP này của HS; thứ hai, thông qua luyện tập – vận dụng

những TPHĐNT tương ứng vào các tài liệu khác; thứ ba, thông qua sự di chuyển, sử

dụng những TP đó vào việc giải quyết những vấn đề mới.

Vì vậy, các giai đoạn bồi dưỡng TPHĐNT thường diễn ra như sau: lĩnh hội nội dung của TP → độc lập vận dụng TP đó → di chuyển sang tình huống nhận thức mới.

Trong đó, để lĩnh hội nội dung các TP có thể có các cách thức khác nhau, tùy thuộc vào đặc điểm của TP, khả năng nhận thức của HS và phương pháp DH; TP có thể được tiếp thu dưới dạng có sẵn từ GV hoặc HS độc lập tìm ra. Sự phát triển của TP có thể từ sự vận dụng vào một tài liệu xác định (vấn đề “gần”) đến nhiều vấn đề khác nhau (vấn đề “xa”) muôn hình, muôn vẻ.

HS độc lập tìm ra

GV dạy

Lĩnh hội nội dung TP

Ta có sơ đồ của các giai đoạn hình thành và phát triển TPHĐNT như sau:

Hình thành TP

Độc lập vận dụng TP đó

Phát triển TP

Di chuyển sang tình huống nhận thức mới

Gần

Tình huống khái quát, …

Tình huống tương tự

Sơ đồ 1.6. Các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP

1.7.5. Một số hình thức bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh Việc bồi dưỡng TPHĐNT thường không được trình bày một cách tường

minh mà có thể được tiến hành dưới các hình thức và cấp độ như sau:

1.7.5.1. Thông báo thủ pháp hoạt động nhận thức trong quá trình hoạt động Các TPHĐNT có thể được được thông báo trong quá trình DH; thông báo này

có thể được lặp lại trong nhiều cơ hội khác nhau, ở nhiều thời điểm khác nhau.

Chẳng hạn, TP bổ sung ẩn phụ có thể được thông báo cho HS trong quá trình HĐ ở rất nhiều cơ hội khác nhau, như: Đặt ẩn phụ để giải phương trình bậc cao bằng cách đưa về phương trình bậc hai; đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ…

1.7.5.2. Truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những hoạt động ăn

khớp với các thủ pháp hoạt động nhận thức

Trong trường hợp các TPHĐNT không được thông báo một cách rõ ràng trong quá trình HĐ thì HS lĩnh hội nó một cách ngầm ẩn nhờ vào việc được thực

hiện nhiều HĐ tương thích với một chiến lược, một định hướng giải quyết chung. Nói cách khác, đó là những HĐ ăn khớp với các TPHĐNT đang được nói đến. Mức độ hoàn chỉnh của TP này rất khác nhau ở mỗi HS vì nó hiện diện ở người học như một kinh nghiệm mà họ tự rút ra được từ nhiều HĐ khác nhau.

Để HS lĩnh hội tốt hơn các TPHĐNT, GV thường phải tổ chức các HĐ theo một mục đích xác định trước chứ không thể tuỳ tiện. Đặc biệt, GV cần vận dụng một cách có ý thức các TPHĐNT trong việc ra bài tập, hướng dẫn và nhận xét hay bình luận các HĐ của HS. Qua những việc làm đó, HS được làm quen và có thể vận dụng TP trong quá trình HĐ. Chẳng hạn, TP phân nhỏ, TP tách biệt có thể được truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những hoạt động ăn khớp như: Chia nhỏ kết luận với những vấn đề có kết luận dạng cấu trúc hội; chia nhỏ giả thiết (thành các bộ phận đầy đủ không giao nhau) với những vấn đề giả thiết có cấu trúc tuyển; chia vấn đề cần giải quyết thành các vấn đề thành phần dựa vào quy trình giải. Hay TP sử dụng quy nạp - thực nghiệm để phát hiện và giải quyết vấn đề nhờ thay biến bởi hằng có thể được truyền thụ ngầm ẩn thông qua việc tập luyện những hoạt động ăn khớp: xét một số trường hợp cụ thể; dùng kết luận ngoại suy đưa ra giả thuyết nhằm phát hiện vấn đề và sử dụng suy diễn logic để khẳng định hay bác bỏ giả thuyết giải quyết vấn đề (ví dụ: Giải bài tập tìm các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện nào đó)

Kết luận chương 1

Trong chương này, chúng tôi đã hệ thống hoá quan điểm của nhiều nhà khoa học về HĐNT, HĐNT toán học, TPHĐNT và tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học TP… Phân tích, so sánh các quan điểm này và chỉ ra rằng: Đến nay, chưa có một quan niệm thống nhất về TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học Toán ở trường THCS. Từ đó, đưa ra một cách quan niệm TPHĐNT toán học (dựa vào các căn cứ là cơ sở khoa học); TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya và một số nhóm TPHĐNT cụ thể thường sử dụng trong học toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya.

Cũng trong chương này, chúng tôi đã chứng tỏ sự cần thiết phải bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình học tập môn Toán nhằm giúp các em độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập và phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo. Trên cơ sở phân tích lý luận, chúng tôi xác định được một số nhân tố cơ bản, các giai đoạn hình thành và các hình thức, cấp độ bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya làm cơ sở cho việc khảo sát thực trạng ở Chương 2 và đề xuất các biện pháp ở Chương 3.

Chương 2 KHẢO SÁT THỰC TRẠNG

2.1. Mục đích khảo sát Tìm hiểu thực trạng của những vấn đề liên quan đến việc bồi dưỡng

TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong quá trình DH môn Toán ở

trường THCS:

- Nhận thức của GV về dạy TPHĐNT, sự cần thiết phải bồi dưỡng TP cho HS; - Thực trạng của vấn đề bồi dưỡng TPHĐNT cho HS của GV hiện nay;

- Mức độ hiện có, biểu hiện của HS biết vận dụng TP trong quá trình học tập.

2.2. Nội dung khảo sát - Quan niệm của GV về TPHĐNT? Vai trò của việc bồi dưỡng TPHĐNT

trong quá trình học tập của HS?

- Việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS đã được quan tâm ra sao? Thực hiện như thế nào? (Mức độ bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS của GV? Mức độ hiện có của HS về vận dụng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong quá trình giải quyết vấn đề? Những trở ngại, khó khăn khi tiến hành HĐ bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH toán?)

- Ý kiến của GV về cách thức bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm G. Polya cho HS trong DH môn Toán? (Các nhân tố ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng TP? Các giai đoạn hình thành và phát triển TPHĐNT cùng các con đường bồi dưỡng TP chủ yếu thường được vận dụng? Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT?)

2.3. Đối tượng khảo sát - 145 GV dạy toán THCS trên địa bàn thành phố Hà Tĩnh, thị xã Hồng Lĩnh

và các huyện Thạch Hà, Can Lộc, Kỳ Anh của tỉnh Hà Tĩnh.

- 166 HS lớp 8, 9 thuộc các trường THCS Lê Văn Thiêm (thành phố Hà

Tĩnh); trường THCS Phan Huy Chú (huyện Thạch Hà) và trường THCS Bắc Hồng

(thị xã Hồng Lĩnh).

2.4. Phương pháp khảo sát

Để tìm hiểu các vấn đề nêu trên, chúng tôi sử dụng các phương pháp sau:

- Phương pháp điều tra giáo dục: Sử dụng phiếu hỏi (gồm 19 câu (xem Phụ

lục 1)) điều tra một số giáo viên Toán THCS trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh, thu thập và

xử lý thông tin; Dự giờ một số tiết toán ở các lớp 8, 9 của các trường khảo sát, quan

sát việc GV hình thành, khắc sâu TPHĐNT cho HS và việc HS vận dụng các

TPHĐNT để giải quyết vấn đề.

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: trò chuyện, phỏng vấn, xin ý kiến GV,

cán bộ quản lý trường THCS về các vấn đề liên quan đến DH bồi dưỡng TPHĐNT

cho HS trong day học môn Toán ở trường THCS.

2.5. Kết quả khảo sát 2.5.1. Kết quả khảo sát đối với giáo viên 2.5.1.1. Nhận thức của giáo viên về thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư

tưởng sư phạm G. Polya

+) Nhận thức của GV về quan niệm TPHĐNT

Kết quả điều tra câu hỏi 1, cho thấy: Có 97,9% đồng ý với ý kiến “TPHĐNT

toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ

thuật để giải quyết hiệu quả các vấn đề trong quá trình hoạt động nhận thức toán

học”; 2,1% trình bày ý kiến khác.

Qua trò chuyện, trao đổi với một số GV, chúng tôi nhận thấy hiểu biết về

2.5.1.2. Vấn đề bồi dưỡng thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư tưởng sư

TPHĐNT của GV còn mờ nhạt, vẫn còn nhiều ý kiến hiểu TPHĐNT một cách giản đơn, gắn với các thao tác tư duy, chẳng hạn như phân tích (phân tích đi lên), tổng hợp, khái quát hóa, xét tương tự... và gắn với các vấn đề cụ thể. Chẳng hạn, các thủ thuật giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử; chứng minh ba điểm thẳng hàng... Như vậy, có thể thấy nhận thức về TPHĐNT của GV chưa đầy đủ, rõ nét, còn gắn với các nội dung cụ thể, chưa tổng quát cho việc giải quyết vấn đề nói chung. +) Nhận thức của GV về các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya Để có thể bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS THCS, đòi hỏi GV phải biết các TPHĐNT cụ thể. Với mục đích tìm hiểu về vấn đề này chúng tôi sử dụng câu hỏi 2 trong phiếu thăm dò ý kiến GV và thu được kết quả: Có 96,55% đồng ý với nhóm các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya mà tác giả đề xuất; có 3,45% đề xuất bổ sung TP phân tích đi lên là một TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya ở trường THCS. Tuy nhiên, với quan niệm TPHĐNT đã trình bày trong Chương 1 thì TP có tính khéo léo nên chúng tôi không xem đây là một TPHĐNT mà chỉ là một phần của thao tác tư duy phân tích.

phạm của G. Polya cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THCS

+) Mức độ quan tâm đến việc bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư

phạm của G. Polya cho HS trong quá trình DH môn Toán

Qua kết quả trả lời câu hỏi 3 (xem Phụ lục 2), chúng tôi nhận thấy hầu hết

GV đã quan tâm tới các nhóm TP sau:

- Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ

(có 84,83% GV đồng ý).

- Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo hình thức mới (88,28% đồng ý).

- Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối

tri thức đã có, tri thức cần tìm (có 85,52% GV đồng ý).

- Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện

cách giải quyết vấn đề (có 65,52% GV đồng ý).

- Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức giải

quyết vấn đề (có 91,72% GV đồng ý).

- Các biểu hiện khác (xin ghi rõ): Có 2,45% GV đề xuất bổ sung TP phân

tích đi lên.

+) Các biểu hiện của HS có TPHĐNT toán học để giải quyết vấn đề qua nhìn

nhận của GV.

Để khảo sát xem HS biết vận dụng các TPHĐNT trong toán học như thế nào

trong quá trình học toán. Qua câu hỏi 4 (Phụ lục 1), kết quả thu được như sau:

- Có khả năng vẽ hình, tạo bảng biểu, hàm số, vẽ đồ thị, viết phương trình, vẽ

sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng… làm đại diện cho vấn đề, giúp việc giải quyết vấn đề

một cách thuận lợi hơn (có 82,76% GV đồng ý).

- Biết đưa ra phỏng đoán; giả thuyết cho một tình huống nhận thức cụ thể dựa

vào quy nạp, thực nghiệm, suy luận tương tự, khái quát hóa (77,24% GV đồng ý).

- Có khả năng phát biểu vấn đề dưới dạng tương đương; tìm và giải quyết

một vấn đề đơn giản, tương tự hoặc đảo ngược vấn đề nhằm thay đổi vấn đề phức

tạp cần giải quyết bằng một vấn đề đơn giản hơn (có 81,38% GV đồng ý).

- Có khả năng phân nhỏ vấn đề phức tạp ban đầu thành các vấn đề đơn giản

hơn; tách phần cần thiết để giải quyết (có 79,31% GV đồng ý).

- Biết xét một hoặc một số trường hợp riêng chủ đạo để làm điểm tựa tìm ra

giải pháp của vấn đề tổng quát (có 65,52% GV đồng ý).

- Biết bổ sung bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ (nếu cần) từ đó hợp lại để tìm

cách giải quyết và khai thác hiệu quả vấn đề ban đầu (có 69,66% GV đồng ý).

- Có khả năng tìm “mẫu” liên quan đến việc xác định đặc điểm chung, có thể

được khái quát hóa và sử dụng giải quyết vấn đề (có 55,17% GV đồng ý).

- Các biểu hiện khác (xin ghi rõ) (không có GV nào có ý kiến gì thêm).

+) Ý kiến của GV về các đặc điểm của TPHĐNT

Qua câu hỏi 5 (Phụ lục 1), 98,62% GV đồng ý cho rằng TPHĐNT có những

đặc điểm mà chúng tôi đưa ra và 1,38% GV có ý kiến bổ sung khác. Như vậy có thể

nói rằng hầu hết GV đã nắm được những đặc điểm cơ bản của TPHĐNT.

+) Vai trò của TPHĐNT trong DH toán

Để khảo sát vai trò của TPHĐNT trong DH toán. Qua câu hỏi 6 (Phụ lục 1),

chúng tôi thu được kết quả là 22,76% đồng ý rất quan trọng; 67,59% đồng ý quan

trọng và 9,56% đồng ý bình thường; không có GV nào cho rằng không quan trọng.

Từ đó ta có thể thấy rõ hầu hết GV đều nhận thức được vai trò về TPHĐNT của HS

trong học tập môn Toán.

+) Ý kiến của GV về mức độ vận dụng TPHĐNT trong các giai đoạn giải

quyết vấn đề của G. Polya và mức độ cần thiết đối với HS trong mỗi giai đoạn đó

Qua câu hỏi 7 (Phụ lục 1), 100% GV cho rằng giai đoạn “Lập kế hoạch (tìm

giải pháp)” cần sử dụng TPHĐNT nhưng với mức độ thường xuyên chỉ 72,42%,

thỉnh thoảng là 27,58%; 98,58% GV cho rằng giai đoạn “Nhìn lại vấn đề” cần sử dụng TPHĐNT nhưng với mức độ thường xuyên chỉ 70,3%, thỉnh thoảng là

28,28%; Còn giai đoạn “Hiểu vấn đề” có 64,14% GV cho rằng có sử dụng

TPHĐNT nhưng với mức độ thường xuyên chỉ 40%, thỉnh thoảng là 24,14%; giai

đoạn “Thực hiện kế hoạch” có 77,93% GV cho rằng không bao giờ sử dụng

TPHĐNT và 21,07% cho rằng thỉnh thoảng có sử dụng. Như vậy, có thể thấy GV chưa nhận thức được vai trò quan trọng của TPHĐNT trong hai giai đoạn “Hiểu vấn đề” và “ Thực hiện kế hoạch ”, đặc biệt là giai đoạn “Hiểu vấn đề”.

Và qua câu hỏi 8 (xem Phụ lục 1): Hầu hết GV cho rằng giai đoạn “ Thực hiện kế hoạch ” không cần sử dụng nhóm TPHĐNT nào cả; 100% GV cho rằng nhóm TP a) và e) rất cần cho giai đoạn “Hiểu rõ vấn đề”; nhóm TP b), c), d) rất cần cho giai đoạn “Lập kế hoạch” (tìm giải pháp); còn giai đoạn “nhìn lại vấn đề” thì cần tất cả các nhóm TP đó.

+) Ý kiến của GV về TPHĐNT trong DH toán được thể hiện mức độ nào trong những tình huống DH điển hình và khi giải các dạng bài tập toán hình học, thì nhóm TPHĐNT nào là cần thiết:

Kết quả khảo sát của câu hỏi 9 (xem Phụ lục 2), cho thấy: Đa số GV cho rằng việc bồi dưỡng TPHĐNT trong DH toán được thực hiện chủ yếu ở tình huống DH định lý, DH giải bài tập toán và DH quy tắc, phương pháp. Tuy nhiên ở mức độ thường xuyên và rất thường xuyên ở các tình huống DH định lý, DH giải bài tập toán.

+) Mức độ vận dụng các TPHĐNT khi giải quyết các vấn đề không quen thuộc Kết quả khảo sát của câu hỏi 10 (xem Phụ lục 2), có thể thấy: Các TPHĐNT trên đây thường được vận dụng trong việc giải quyết các vấn đề không quen thuộc của môn Toán ở trường THCS. Trong đó, mức độ rất thường xuyên và thường xuyên sử dụng cao nhất là nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động

đúng kiến thức…; nhóm TP khéo léo cách ly và liên kết đối tượng theo một hình

thức mới rồi đến các nhóm TP bổ sung yếu tố phụ hợp lý cho vấn đề cần giải quyết;

TP sử dụng quy nạp thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết

vấn đề và TP linh hoạt biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ.

+) Ý kiến của GV về các lời khuyên, gợi ý của G. Polya cần thiết ở mức độ

nào trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS khi DH giải bài tập toán và DH định lý

Qua câu hỏi 11 (Phụ lục 1), chúng tôi thu được kết quả điều tra: 100% GV

cho rằng mười lời khuyên đối với GV của G. Polya ở mức độ rất cần thiết trong

+) Mức độ quan tâm của GV đến việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS

việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS giúp các em có thể tự phát hiện và giải quyết vấn đề khi DH giải bài tập toán và DH định lý (xem Phụ lục 2).

Qua câu hỏi 12 (Phụ lục 1), có 14,48% GV thường xuyên quan tâm, 52,41%

GV quan tâm, 33,11% ít quan tâm. Từ kết quả đó, chúng ta thầy rằng đa số GV cũng

đã quan tâm đến việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS. Tuy nhiên, qua trao đổi thêm với

GV cho thấy: Các phương thức bồi dưỡng TPHĐNT chưa có hệ thống, đầy đủ, chủ

yếu là do sự tự phát và kinh nghiệm của mỗi GV. Bởi vậy, cần có những nghiên cứu cụ thể để GV có hình thức triển khai phù hợp hơn, tạo được sự phối hợp nhịp nhàng và ăn khớp hơn nữa giữa GV và HS, kích thích được tính tự giác, tích cực, thích khám phá của các em để phát triển hơn việc bồi dưỡng các TPHĐNT.

+) Ý kiến của GV về yếu tố nào quan trọng ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng

TPHĐNT cho HS trong quá trình DH toán

Kết quả trả lời câu hỏi 13 (xem Phụ lục 2), 100% GV đều cho rằng tất cả các yếu tố: Động lực của HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT; Đặc điểm của TPHĐNT; Vốn kinh nghiệm, kỹ năng sẵn có của HS về TPHĐNT; Kinh nghiệm, kỹ năng vận dụng TPHĐNT của GV; Phương pháp, hình thức tổ chức DH của GV đều đóng vai trò quan trọng ảnh hưởng đến việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH môn Toán. Ngoài ra, một số GV còn cho rằng: các tri thức sự vật (khái niệm, định lý…) cũng là một yếu tố ảnh hưởng đến quá trình bồi dưỡng TPHĐNT cho HS.

+) Ý kiến của GV về việc bồi dưỡng TPHĐNT môn Toán cho HS THCS liên

quan đến việc tổ chức HĐ

Với câu hỏi 14 (Phụ lục 1), nhìn chung các HĐ quan sát đối tượng, HĐ lật ngược vấn đề, HĐ phân chia trường hợp, HĐ xét tương tự, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa HĐ liên tưởng, huy động và tổ chức kiến thức, HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải các dạng toán), HĐ toán học hóa các tình huống thực tiễn được nhiều giáo viên cho là phù hợp để bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH môn Toán (xem Phụ lục 2).

+) Ý kiến của GV về các lý thuyết và phương pháp DH phù hợp để bồi dưỡng

TPHĐNT cho HS trong DH toán được hiệu quả hơn

Với mục đích tìm hiểu những lý thuyết và phương pháp DH mà GV thường

sử dụng trong quá trình DH nhằm góp phần bồi dưỡng TPHĐNT toán học cho HS,

chúng tôi đã đưa ra câu hỏi 15 (Phụ lục 1). Kết quả thu được cho thấy, GV thường

vận dụng chủ yếu là sự kết hợp giữa các xu hướng: DH phát hiện và giải quyết vấn

đề và DH khám phá có hướng dẫn (xem Phụ lục 2).

+) Những yếu tố cản trở việc tổ chức hoạt động DH nhằm bồi dưỡng

TPHĐNT toán học cho HS trong quá trình DH toán

Câu hỏi 16 (Phụ lục 1), GV cho rằng, có nhiều yếu tố cản trở việc tổ chức

hoạt động DH nhằm bồi dưỡng TPHĐNT toán học cho HS, chẳng hạn:

+ Trình độ của HS và kinh nghiệm về vận dụng TPHĐNT chưa đồng đều;

+ HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các TP trong học toán;

+ Khả năng quan sát, suy đoán của HS còn hạn chế;

+ Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức để GQVĐ của HS chưa tốt;

+ Khả năng thực hiện các HĐ trí tuệ chung (phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa...); HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải toán…); HĐ trí tuệ phổ biến (lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp…) của HS chưa thành thạo;

+ Năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn của HS còn hạn chế. Cụ thể như sau: - Có 89,66% GV cho rằng trình độ HS chưa đồng đều trong lớp học là một nguyên nhân khiến việc tổ chức thảo luận nhóm nhỏ hay thảo luận theo lớp học gặp khó khăn khi bồi dưỡng cho HS vận dụng các TPHĐNT.

- Có 78,62% giáo viên cho rằng HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các TP trong học môn Toán; chưa có thói quen tìm tòi trong học tập cũng là một khó khăn cho việc thực hiện hoạt động DH theo hướng này. Hình thành được thói quen học tập trong đó đề cao phương thức tìm tòi, dự đoán; khả năng toán học hóa các tình huống thực tiễn của HS còn hạn chế; khả năng xét vấn đề tương tự đơn giản hơn, hay phân chia vấn đề thành các bộ phận quen thuộc, đơn giản hơn... là các yếu tố ảnh hưởng không nhỏ tới việc bồi dưỡng TPHĐNT trong đạy học toán. Tuy nhiên, trong thực tế DH, nhìn chung HS thường mong muốn GV cung cấp cho những quy tắc, thuật toán để giải bài tập, thích chứng minh một vấn đề đã được phát biểu rõ ràng hơn là việc tham gia tìm kiếm những điều chưa biết.

- Có 83,45% GV cho rằng khả năng quan sát, suy đoán của HS còn hạn chế. Khả năng chọn tiêu chí khi quan sát; tính logic trong quan sát, tính hợp lý trong việc sắp xếp các hình vẽ; khả năng phát hiện mối quan hệ giữa các hình nhằm tìm tòi kiến thức mới và việc tìm hiểu khả năng kết hợp giữa HĐ quan sát với các thao tác

tư duy phân tích, so sánh để nhận ra sự giống nhau giữa các đối tượng có bề ngoài khác nhau của HS còn nhiều hạn chế.

- Có 72,41% GV cho rằng năng lực liên tưởng, huy động kiến thức để giải

quyết vấn đề của HS chưa tốt.

- Có 82,76% GV cho rằng khả năng thực hiện các HĐ trí tuệ chung (phân

tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa ..); HĐ toán học phức hợp

(chứng minh, định nghĩa, giải toán…); HĐ trí tuệ phổ biến (lật ngược vấn đề, phân

chia trường hợp …) của HS chưa thành thạo.

- Có 70,34% GV cho rằng năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn

của HS còn hạn chế. Bởi vậy, đối với nhiều HS việc chuyển một số bài toán thực tế

dạng không quen thuộc, phức tạp về bài toán toán học là khá khó khăn.

+) Ý kiến của GV về việc để góp phần bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH

toán nên truyền thụ TPHĐNT với các hình thức nào và ở mức độ nào?

Kết quả câu hỏi 17 (xem Phụ lục 2), cho thấy hầu hết GV cho rằng việc bồi dưỡng TPHĐNT toán học cho HS có thể thực hiện được theo hình thức: Thông báo TPHĐNT trong quá trình HĐ; Tập luyện những HĐ ăn khớp với các TPHĐNT.

+) Ý kiến của GV về thực trạng của HS về mức độ am hiểu về TPHĐNT và

khả năng vận dụng TPHĐNT vào giải quyết các vấn đề toán học.

Với kết quả câu hỏi 18a (Phụ lục 2), chúng ta thấy: Đại đa số GV đều cho rằng mức độ am hiểu của HS về TPHĐNT là còn yếu (39,32%), số HS hiểu biết tường tận về TPHĐNT chưa nhiều (25,51%).

Và kết quả câu hỏi 18b (Phụ lục 2), cho thấy khả năng vận dụng TPHĐNT của HS vào giải quyết các vấn đề toán học ở mức độ trung bình là chủ yếu (41,38%), mức độ khá là 20,69%, yếu là 37,93%. Qua đó, chúng ta có thể thấy rằng, việc am hiểu và vận dụng TPHĐNT vào giải quyết các vấn đề toán học của HS THCS còn rất nhiều hạn chế.

2.5.2. Kết quả khảo sát đối với HS

Chúng tôi đã tìm hiểu thực trạng về sự hiểu biết, vận dụng các TPHĐNT của HS trong học tập môn Toán ở trường THCS thông qua việc theo dõi HS khi tiến hành thực hiện một số HĐ giải quyết vấn đề. Sau đây là một số kết quả đã thu được: 2.5.2.1. Về khả năng sử dụng nhóm thủ pháp biến đổi hình thức của vấn đề

nhờ chuyển hóa các mối liên hệ

Mục đích khảo sát: Tìm hiểu xem HS THCS đã biết khéo léo, linh hoạt biến đổi hình thức của vấn đề, chẳng hạn: chuyển các bài toán thực tiễn về bài toán toán

học bằng các phương trình, sơ đồ, đồ thị, hình vẽ... hoặc nhìn đối tượng dưới nhiều

góc độ khác nhau của bài toán cần giải quyết (chuyển từ bài toán hình học sang bài

toán đại số hay ngược lại hoặc nhìn một bài toán bằng những cách khác nhau dựa

vào mối liên hệ giữa các đối tượng) hay chưa? Mức độ vận dụng nhóm TP biến đổi

hình thức của vấn đề ở HS như thế nào trong quá trình giải quyết vấn đề?

Tình huống thứ nhất: Yêu cầu HS lớp 8 giải bài toán: Bài toán 2.1. Ở giữa một khu đất hình vuông, người ta đào một ao cá cũng hình vuông. Hãy tìm độ dài cạnh của khu đất và ao cá, biết rằng diện tích phần còn lại của khu đất là 15049m2 và số đo các cạnh của khu đất và ao cá (theo m) là những số nguyên dương có hiệu lớn hơn 1.

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 37 HS lớp 8C, trường

THCS Phan Huy Chú, huyện Thạch Hà vào cuối học kỳ 1 năm học 2013 - 2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng chuyển bài toán có nội dung thực tiễn và biểu diễn mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm bởi một phương trình. Ngoài ra còn tìm hiểu khả năng tách khỏi bài toán những chi tiết không cần thiết để tập trung vào chi tiết cần thiết cho việc giải bài toán.

Thu thập và xử lý thông tin

15049

Hình 2.1a

Đây là bài toán thực tế có nội dung hình học nên hầu hết HS đều biết tạo mô hình đại diện hợp lý bằng hình vẽ (Hình 2.1a). Đó là sự biểu diễn dưới dạng ngôn ngữ toán học của bài toán, giúp HS có một cái nhìn rõ ràng hơn nhằm hướng tới việc tìm cách giải quyết bài toán đã cho.

Tuy nhiên, phần lớn các em đều không biết loại bỏ các chi tiết “không bản chất” (theo nghĩa toán học) là “ở giữa một khu đất” đào một ao cá. Bởi vậy, các em loay hoay và gặp khó khăn khi tìm phần diện tích còn lại. Có 17 HS không giải được bài toán này (tỷ lệ 45,95%).

15049

Hình 2.1b

Có 7 HS biết giải thích “Diện tích phần còn lại của khu đất không thay đổi khi ta đào ao các ở các vị trí khác nhau” và chọn ao cá ở vị trí đặc biệt:

Cách 1: một đỉnh của ao cá trùng với đỉnh của khu đất và hai cạnh của ao cá nằm trên hai cạnh xuất phát từ đỉnh đó của khu đất (Hình 2.1b)). Có 11 HS (tỷ lệ 29,73%)

Cách 2: các cạnh của ao cá song song và cách đều các

−

cạnh của khu đất (Hình 2.1c)).Có 9 HS (tỷ lệ 24,32%)

) 15049 =

)(

15049 Hình 2.1c

(*) với điều Từ đó, HS biết lập phương trình đại diện hợp lý cho vấn đề và chuyển việc giải bài toán trên về việc giải phương trình tìm nghiệm nguyên dương (

− > y

trong đó x, y tương ứng là số đo cạnh của khu đất và ao cá (tính theo kiện

.∈x y  Kết hợp với các kiến thức đã biết về sự phân tích một số tự nhiên ,

m) với

+ > − >

. thành tích các thừa số của vế phải ta có 15049 1.15049 149.101

y x

+ = y

149,

− = y

101

, suy ra (đây là một hệ phương Do

,E F nằm trên các cạnh

,AB AC của hình bình hành

trình đã có dạng chuẩn). Từ đó, suy ra kết quả bài toán ban đầu. Tình huống thứ hai: Yêu cầu HS lớp 8 giải bài toán sau:

ABCD sao cho

=AF CE . Gọi I là giao điểm của

,AF CE . Chứng minh rằng: ID là

Bài toán 2.2. Các điểm

tia phân giác của ∠AIC .

Đối tượng khảo sát: 20 HS khá giỏi lớp 8B, trường THCS Phan Huy Chú,

huyện Thạch Hà vào cuối học kỳ 2 năm học 2013 - 2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng vận dụng TP nhìn đối tượng dưới nhiều

góc độ, TP bổ sung hình phụ khi giải các bài toán Hình học của HS.

Cách thức thực hiện: Giao nhiệm vụ cho cả nhóm, dành thời gian đủ để các

em giải bài tập, trong quá trình HS làm bài, giáo viên quan sát tìm hiểu về cách thức

suy nghĩ và hành động khi thực hiện nhiệm vụ giải bài tập đó.

Thu thập và xử lý thông tin

Cả lớp suy nghĩ nhưng hầu hết các em không tìm ra lời giải (15/20 = 75%) vì

các em chủ yếu tìm cặp tam giác bằng nhau để chứng

E Hình 2.2

khoảng cách minh hai góc bằng nhau. Chỉ có (5/20 = 25%) nhờ biết xem tia phân giác ID của ∠AIC dưới góc độ ,DH DK từ điểm D trên tia phân giác ID

đến các cạnh ,IA IC bằng nhau. Mặt khác, bằng cách

nhìn các đoạn ,DH DK tương ứng là các đường cao của hai tam giác có đáy bằng

=AF CE , việc chứng minh

=DH DK quy về việc chứng minh

nhau



=DAF

DCE

. Điều này HS dễ dàng chứng minh được vì cùng bằng một nửa diện

tích của hình bình hành ABCD .

Qua các kết quả khảo sát cho thấy, HS chưa có ý thức xem xét, phân tích,

nhìn nhận các yếu tố trong bài toán theo nhiều cách khác nhau, để từ đó tìm được

mối quan hệ của các dữ kiện trong bài toán theo cách có lợi cho việc giải bài toán

(cụ thể trong tình huống thứ nhất HS không biết chọn ao cá đào ở vị trí nào của khu

đất để dễ dàng tìm được phương trình biểu thị mối liên hệ giữa cạnh của khu đất,

cạnh của ao cá và diện tích phần còn lại; trong tình huống thứ hai học sinh không ,DH DK biết nhìn đối tượng tia phân giác ID của ∠AIC dưới góc độ khoảng cách

,IA IC bằng nhau. Việc chứng minh

=DH DK quy về việc

từ điểm D đến các cạnh



=DAF

DCE

chứng minh ).

Như vậy, với các bài toán thực tiễn không có dạng quen thuộc hoặc những

bài toán toán học phức tạp thì khả năng khéo léo, linh hoạt biến đổi hình thức của

vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ của HS chưa tốt. Do đó, thông qua các nội

dung trong chương trình môn Toán ở trường THCS, GV cần bồi dưỡng cho HS các

TP khéo léo biến đổi bài toán có nội dung thực tiễn về bài toán toán học (đặc biệt là

giải bài toán bằng cách lập phương trình, sử dụng sơ đồ, đồ thị…) hay TP nhìn một

đối tượng toán học dưới nhiều góc độ. Từ đó, các em độc lập, chủ động trong giải

quyết vấn đề.

2.5.2.2. Về khả năng sử dụng nhóm thủ pháp bổ sung yếu tố phụ thích hợp

tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có và tri thức cần tìm

Mục đích khảo sát: Tìm hiểu xem đối với các vấn đề toán học ở trường THCS, khi các dữ kiện chưa đủ để cho HS phân tích, tìm tòi lời giải hoặc tìm lời

giải ngắn gọn, sáng tạo thì các em đã biết bổ sung thêm các yếu tố phụ (hình phụ, ẩn

phụ, bài toán phụ) vào vấn đề đã cho nhằm kết nối các yếu tố trong bài toán với

nhau và với các yếu tố đã biết để tạo nên mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với yếu

tố cần tìm hay chưa? Khả năng các em HS vận dụng TP bổ sung hình phụ, TP bổ

sung ẩn phụ, TP bổ sung bài toán phụ vào giải quyết như thế nào?

Tình huống thứ nhất: Sau khi HS lớp 9 học bài “Đường kính và dây của

đường tròn”, yêu cầu các em giải bài toán sau:

Bài toán 2.3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường

kính AB. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD. Chứng minh rằng CH = DK. (Bài tập 11, SGK toán 9 tập 1, tr.104)

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 37 HS lớp 9D, trường

THCS Phan Huy Chú, huyện Thạch Hà, tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng vận dụng TP bổ sung hình phụ là các

đối tượng có liên quan trong hình vẽ khi giải các bài toán về đường tròn của HS.

Cách thức thực hiện: Giao nhiệm vụ cho cả lớp sau khi GV dạy xong lý

thuyết bài “Đường kính và dây của đường tròn”, dành thời gian đủ để các em giải

bài tập, trong quá trình HS làm bài, giáo viên quan sát tìm hiểu về cách thức suy

nghĩ khi giải bài tập đó. Sau đó, yêu cầu một số HS trình bày bài giải và lý do vẽ

đường phụ (nếu các em giải được bài toán); nếu hầu hết HS không biết cách vẽ hình

phụ, GV cần có gợi ý thích hợp để giúp đỡ các em, giúp các em nhận ra hình phụ

cần bổ sung.

Thu thập và xử lý thông tin: Cả lớp suy nghĩ nhưng hầu hết các em không tìm

ra lời giải (27/37 = 72,9%), vì các em chủ yếu tìm cặp tam giác bằng nhau để suy ra hai

đoạn thẳng bằng nhau. Chỉ có (8/37 = 21,6%) xác định được hướng vẽ thêm hình phụ

của bài toán. GV đã gợi ý cho các em chưa biết vẽ thêm hình phụ bằng các câu hỏi sau:

- Tứ giác AHKB là hình gì? (Hình thang vuông).

- GV hướng dẫn để HS biết cách vẽ thêm hình

phụ là các đối tượng có liên quan đến đối tượng có

trong hình vẽ. Chẳng hạn: Từ giả thiết O là trung điểm

của AB (cạnh bên của hình thang) chúng ta nghĩ đến

hình phụ là gì? (đường trung bình của hình thang);

Hình 2.3

hoặc có một dây CD của đường tròn và H và K theo

thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến

CD chúng ta nghĩ đến vẽ hình phụ như thế nào? (đường kính vuông góc (hoặc đi

qua trung điểm) của dây CD).

Với gợi ý này, các em đã biết cách vẽ hình phụ và tìm được lời giải cho bài

tập trên; các em HS trong lớp chia thành 2 nhóm vẽ hình phụ như sau:

Nhóm 1 (24/37 = 64,9%): Các em vẽ đường thẳng OM vuông góc với CD. Áp dụng tính chất đường kính đi qua OM vuông góc với dây cung CD nên điểm M

có tính chất CM = MD . Để chứng minh CH = CK, ta cần chứng minh HM = MK. Điều này HS dễ dàng chứng minh được nhờ tính chất đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với cạnh đáy thì đi qua trung điểm của cạnh bên còn lại.

Nhóm 2 (13/37 = 35,1%): Các em vẽ đường trung bình OM của hình thang AHKB và chứng minh được OM // AH suy ra OM ⊥ CD. Áp dụng tính chất đường

kính đi qua OM vuông góc với dây cung CD nên điểm M có tính chất CM = MD .

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Như vậy, hầu hết HS còn đang còn rất lúng túng và không biết xuất phát từ

đâu để vẽ hình phụ. Bởi vậy, thông qua DH chứng minh định lý hay giải bài tập

hình học GV nên bồi dưỡng cho HS các TP vẽ hình phụ một cách thích hợp, chẳng

hạn: Bổ sung hình phụ là các đối tượng có liên quan đến đối tượng có trong hình vẽ

trong ví dụ trên đây là một TP thường được vận dụng trong việc bổ sung yếu tố phụ

khi DH Hình học.

−

Tình huống thứ hai:

( + − 1

)

1 4

3 4

  

  

  

  

Bài toán 2.4. Giải phương trình

Đối tượng khảo sát: 37 HS lớp 8C, trường THCS Phan Huy Chú, huyện

Thạch Hà và 37 HS lớp 8/5, trường THCS Lê Văn Thiêm, thành phố Hà Tĩnh học

kỳ 2 năm học 2013 - 2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng dùng ẩn phụ, bài toán phụ để giải phương

trình của HS.

Kết quả khảo sát và phân tích:

−

- Hầu hết HS ở trường THCS Phan Huy Chú đều khai triển vế trái của

= 36 0

9 16

51 16

159 4

. phương trình được một phương trình bậc ba đủ

−

Từ đó, biến đổi tương đương phương trình các em thu được

x 51

636

576 0

. Do tổng các hệ số của vế trái bằng 0, nên các em dễ

1.=x

Từ đó các em tìm được các nghiệm còn lại của dàng nhận ra một nghiệm là

phương trình. Như vậy, lời giải bài toán khá dài dòng và tính toán phức tạp, khó

khăn để tìm được nghiệm của nó.

- Với các em HS ở trường THCS Lê Văn Thiêm thì đa số đều biết bổ sung ẩn

− dẫn đến phương trình:

số phụ để giải bài toán, cụ thể:

3 4

⇔

−

= rồi tìm x.

+ u v

= 0

)

1 4 ( uv u v 3

(

−

Có 21 em ( 56,8%), đặt

+ ab b

(

)

và sử dụng hằng đẳng thức: .

Có 12 em ( 32,4%), phân tích vế trái thành nhân tử nhờ nhóm 2 số hạng đầu )( a b a Như vậy, chúng ta nhận thấy, với những bài toán các đại lượng tham gia trong bài toán có một mối liên hệ nào đó (được biểu hiện bởi các hệ thức toán học), nhờ mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diễn được qua các đại lượng khác thì chúng ta có thể dùng ẩn phụ để giải. Cái khó của người giải toán là không nhìn thấy được mối liên hệ giữa các đại lượng đó (đặc biệt là nhiều khi mối liên hệ đó lại “ẩn nấp” khá kín đáo). Khi đó, đòi hỏi người học phải có cách nhìn tinh vi để phát hiện ra những điều mà các đại lượng tham gia trong bài toán muốn nói cho chúng ta biết. Tuy nhiên, thực tiễn cho thấy, hầu hết HS chưa biết cách đặt ẩn phụ phù hợp để tìm lời giải một số bài toán phức tạp. Bởi vậy, GV cần bồi dưỡng TP này cho các em, giúp các em biết chuyển việc giải một bài toán phức tạp về việc giải quyết một bài toán phụ đơn giản hơn (nhờ đặt ẩn phụ) rồi trở lại tìm lời giải bài toán ban đầu.

2.5.2.3. Về khả năng vận dụng nhóm thủ pháp cách ly và liên kết đối tượng

theo một hình thức mới

Mục đích khảo sát: Nhằm tìm hiểu các khả năng sau của HS:

- Các em đã biết khai thác, phát triển bài toán tương tự, tổng quát, trường

- Việc vận dụng các TP trên của HS ở mức độ nào? Các em đã biết tự tiến

Sau đây là những tình huống chúng tôi đã sử dụng để tìm hiểu các khả năng

- Khi gặp vấn đề không thể giải quyết được trọn gói, một lần, HS có biết vận dụng TP phân nhỏ để phân chia thành các vấn đề thành phần quen thuộc, đơn giản hơn hay không? Những sai lầm nào thường gặp của HS khi phân chia thành các vấn đề thành phần? - Với các bài toán có những chi tiết “không cần thiết, gây phiền phức” các em đã biết sử dụng TP tách biệt để loại bỏ chúng và tập trung vào chi tiết “cần thiết” nhằm tìm tòi cách giải quyết hay chưa? hợp đặc biệt... trên cơ sở phân nhỏ giả thiết, kết luận của bài toán hay chưa? hành vận dụng trong quá trình GQVĐ hay cần sự gợi ý của GV? trên của HS:

Tình huống thứ nhất: Chúng tôi yêu cầu HS giải bài toán Bài toán 2.5. Chứng minh rằng nếu p là các số nguyên tố lớn 3 thì

2 1 24  −p

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 37 HS lớp 8C, trường THCS

Phan Huy Chú, huyện Thạch Hà, tỉnh Hà Tĩnh cuối học kỳ 1, năm học 2013 - 2014.

( )A n m

) 1=

(

( )A n m

=m m m với ƯCLN 1

biểu thức thành các bộ phận , Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng HS phân chia bài toán dạng chứng minh và m m , 2

( )A n m

( )A n p với p nguyên tố thành các

. Và việc phân chia bài toán chứng minh

bài toán thành phần theo số dư khi chia n cho p.

Kết quả khảo sát và phân tích

Từ lời giải của HS chúng tôi chia thành các nhóm sau: * Nhóm 1: Chỉ có 9 em giải đúng bài toán này (tỷ lệ 23,68%);

 và

(

−p

1) 3

(

 - 1) 8

Cách 1: Các em chứng tỏ . Do ƯCLN(3, 8) = 1, nên

(

 - 1) 3.8

(

 - 1) 24.

suy ra hay Có 8 em, tỷ lệ 21,05%.

1−k

 1) 24.

−p

(

Có 1 em, tỷ lệ 2,63%. . Suy ra: Cách 2: Các em lập luận để chứng tỏ p là số nguyên tố lớn hơn 3, nên p có 1+k hoặc 6 dạng: 6

* Nhóm 2: Nhiều HS không giải được bài toán (29/38 = 76,32%) mặc dù trước đó GV đã chữa một số bài tập chứng minh chia hết dạng tương tự; trong đó một số HS (11/38 = 28,95%) đã trình bày lời giải như sau:

(

−p

 1) 2

Ta có, p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, do đó

−

 . Mặt khác, p là số lẻ, nên

. Hơn nữa, p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p chia 3 dư 1 hoặc 2, do đó p2 chia 3 dư 1 nên

p 1,

(

−p

1) 3

là các số chẵn do đó

− =

−

2 1

−p

(

 1) 2;3

(

−p

 1) 24

)  1 4

(

)( 1

. Từ và 4 suy ra . Hoặc các em

(

−p

 1) 4

(

−p

 1) 6

(

−p

 1) 24

cũng chứng minh như trên rồi chứng tỏ và nên .

Như vậy, hầu hết HS không giải được bài toán và sai lầm trong lời giải này là

với do HS quên điều kiện ƯCLN(m, n) = 1 trong tính chất: Nếu a m và a n

a m n .

. Nên việc phân nhỏ bài toán trên chưa đảm bảo sự độc lập. ƯCLN(m, n) = 1 thì

Tình huống thứ hai: Yêu cầu HS giải bài toán

Bài toán 2.6. Cho tam giác đều ABC, nội tiếp đường tròn (O). M là điểm bất

kỳ trên cung nhỏ BC, N là giao điểm của AM và BC.

1 1 MN MB MC

∠

Chứng minh

° > 60

ABC bởi tam giác ABC cân tại A với (hoặc )? a) Hãy giải bài toán trên. b) Hãy phát biểu và chứng minh bài toán khi thay điều kiện tam giác đều ° < 60

Hình 2.4a

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 20 HS khá, giỏi lớp 9/5, trường THCS Lê Văn Thiêm, thành phố Hà Tĩnh vào cuối học kỳ 1 năm học 2014-2015. Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng phân nhỏ bài toán hình học thành các bài toán thành phần quen thuộc, đơn giản hơn và kết hợp các bộ phận theo một cách thức mới để giải bài toán ban đầu của HS. Ngoài ra, còn tìm hiểu khả năng vận dụng TP phân nhỏ để thay đổi một số yếu tố nhằm khai thác bài toán và TP bổ sung yếu tố phụ (hình phụ) trong giải toán. Thu thập và xử lý thông tin

= =MD MB nối B với D. Từ đó suy ra

cho a) Có 14 em (11/20 = 55%) giải được bài toán này; các em còn lại đều gặp khó khăn, lúng túng khi giải bài toán, vì các đại lượng là độ dài các đoạn thẳng đều nằm ở mẫu thức. Một số em chuyển vế các số hạng về dạng đẳng thức A = 0, nhưng cũng không tìm ra được cách chứng minh. Các em có lời giải đúng đều chứng tỏ được: MA MB MC (bằng cách trên MA lấy điểm phụ D sao =DA MC ) và ,

∆BAM ∼

∆NCM

(g.g)

MB MA = MN MC

⇒

= MB MC MA MN

⇒

+ MC

) ( MB MC MN MB MC . + MB MC MB MC .

1 MN

M Hình 2.4b

MB MB MC MN 1

⇒

1 1 MN MB MC

nên

∠

b) Trong số các em giải đúng câu a) thì có 7 em phát biểu và chứng minh được

° > 60

° < 60 ∠

)? bài toán tương tự khi tam giác ABC cân tại A với

nội tiếp đường tròn Bài toán 2.6.1. Cho tam giác ABC cân tại A và (hoặc ° < 60 ,

(O). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC, N là giao điểm của AM và BC. Chứng

1 1 MN MB MC

minh

∠ Bài toán 2.6.2. Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn A ° > 60 ,

(O). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC, N là giao điểm của AM và BC. Chứng

1 1 MN MB MC Từ kết quả khảo sát, chúng tôi nhận thấy khả năng vận dụng các TP phân

minh

nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp của HS chưa tốt. Một số HS đã có ý thức phân nhỏ

vấn đề thành các vấn đề quen thuộc, đơn giản hơn nhưng hầu như các em đều đang

thực hiện một cách ngẫu nhiên thiếu cơ sở khoa học của sự phân chia; khả năng loại bỏ các chi tiết không cần thiết, “gây phiền phức” của các em còn hạn chế; hơn nữa, sau khi phân nhỏ vấn đề nhiều HS cũng không biết kết hợp chúng một cách thích hợp để giải quyết vấn đề ban đầu và khai thác, phát triển bài toán mới một cách sáng tạo. Tuy nhiên, với sự gợi ý của GV thì hầu hết các em HS khá, giỏi này đều giải được bài toán trên và các bài toán được phát triển từ bài toán đó. Do đó, chúng ta cần giúp HS biết cách phân chia vấn đề ban đầu thành các vấn đề nhỏ một cách thích hợp thông qua quá trình học tập để các em có thể chủ động chiếm lĩnh kiến thức, chiếm lĩnh tài liệu học tập một cách độc lập. Những quá trình này, lúc đầu là khả năng của HS với hướng dẫn của GV và sự hợp tác của bạn bè, nhưng lâu dần chúng sẽ trở thành khả năng bên trong của chính bản thân các em. Khi đó, HS trở thành chủ thể trực tiếp tác động vào đối tượng (bài toán).

2.5.2.4. Về khả năng sử dụng nhóm thủ pháp chuyển hóa các liên tưởng nhằm

huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề Mục đích khảo sát: Tìm hiểu xem đối với các vấn đề toán học phức tạp ở trường THCS, khả năng liên tưởng đến những kiến thức tiền đề (định lý, quy tắc, bài toán gốc...) của HS ở mức độ nào? Khả năng khai thác định lý đã biết để xây dựng quy trình mới giải quyết vấn đề?

Tình huống thứ nhất: Yêu cầu HS giải bài toán:

252.

x 42

x 20

x 56

x 30 Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 35 HS lớp 8G, trường THCS

Bài toán 2.7. Giải phương trình

Phan Huy Chú, huyện Thạch Hà, tỉnh Hà Tĩnh cuối học kỳ 1 năm học 2014 - 2015.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng khéo léo chuyển hóa các liên tưởng

nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề (bài toán gốc) để giải quyết vấn đề.

Kết quả khảo sát và phân tích:

Hầu hết các em (26/35 = 74,29%) đều quy đồng mẫu số các phân số rồi tính

toán để giải phương trình nên phép tính rất cồng kềnh và phức tạp.

Chỉ có (6/35 em = 25,71%) nhận ra mẫu số của các số hạng đều là tích của hai số tự nhiên liên tiếp và xác định được hướng giải quyết bài toán này nhờ việc

1 +

1 = − x

1 ( + x x

) 1

−

phát hiện, áp dụng bài toán gốc: “Chứng minh ”. Suy ra:

⇒ = ⇔ = 252

2016.

x 8

1 4.5

1 5.6

1 6.7

1 7.8

1 4

1 8

x 8

  

  

  

  

Tình huống thứ hai: Yêu cầu HS xây dựng quy trình chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau dựa vào công thức tính diện tích tam giác, đó là: chứng minh chúng tương ứng là các đường cao (hoặc đáy) của hai tam giác có diện tích bằng nhau và có đáy (hoặc đường cao) bằng nhau (chẳng hạn, xét bài toán 2.2). Như vậy, có thể nhận thấy khả năng khéo léo chuyển hóa các liên tưởng

nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề (định lý, bài toán gốc…) để giải quyết vấn đề và

khả năng khai thác sâu các định lý để xây dựng quy trình mới của HS còn chưa tốt.

2.5.2.5. Về nhóm thủ pháp sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề

và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Mục đích khảo sát: Tìm hiểu xem đối với các vấn đề toán học ở trường

THCS có dạng tìm tòi, hoặc chứng minh một yếu tố cần tìm phụ thuộc vào một số

tự nhiên n bất kỳ các em HS biết xét một số trường hợp riêng rồi kết hợp với suy

diễn để tìm ra kết quả hoặc tìm được phương án giải quyết của vấn đề hay không?

Mức độ vận dụng TP này của các em như thế nào?

, với ∈n  là bình phương của số tự Tình huống thứ nhất: Yêu cầu HS giải bài toán: Bài toán 2.8. Số A = 99...9 00...0 25

nhiên nào? (Vũ Hữu Bình (2012), Nâng cao và phát triển toán 8, Tập một, Nxb

Giáo dục Việt Nam, Bài tập 48, tr. 14)

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 35 HS lớp 8/5, trường

THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, tỉnh Hà Tĩnh, cuối học kỳ 1 năm học 2013-2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng của HS sử dụng TP quy nạp, thực

nghiệm bằng việc thay biến bởi hằng (thay n là số tự nhiên bất kỳ bởi n là các giá trị

cụ thể) để phát hiện và kết hợp với suy diễn để GQVĐ.

Kết quả khảo sát và phân tích

Hầu hết các em đều nhận ra dạng bài toán chứng minh số chính phương này đã làm nhưng không nhớ cách giải, do đó cũng không biết kết quả A là bình phương của số tự nhiên nào.

Chỉ có 17,14% (6/35 em) xác định được hướng giải quyết bài toán này, bằng

+ +

, suy ra: , khi đó 10 cách đặt 11...1 k

9 .10 5

A = 9 . 10 k

( 9 . 9 k

) 1 10

(

)  99...95 n

thì không em nào trả lời Nhưng khi được hỏi vì sao các em lại đặt 11...1

được lý do. Như vậy, có thể thấy việc ghi nhớ máy móc lời giải các bài toán dạng

tổng quát với số n là số tự nhiên bất kỳ sẽ gây những khó khăn cho HS khi gặp bài

toán tương tự hơn là việc ghi nhớ có cơ sở. Chẳng hạn, với bài toán này các em có

thể dự đoán được A là bình phương của số tự nhiên nào bằng cách cho n các giá trị tùy ý để xét các trường hợp riêng, đơn giản nhất là xét với những giá trị n là các số tự nhiên nhỏ nhất.

A = 9025 = 95 ;

A = 25 = 5 ; Với n = 1, ta có

A = 990025 = 995 ...

Với n = 0 , ta có

A = 99...9 00...0 25

99...95 Từ đó, các em sẽ đưa ra được dự đoán:   n

Với n = 2 , ta có

Dự đoán của HS là một suy luận có lý, không phải là suy luận logic cần phải được chứng minh chặt chẽ. Tuy nhiên, điều đó đã định hướng cho người học tìm tòi lời giải bài toán như các em đã trình bày ở trên.

Tình huống thứ hai: Xét bài toán hình học: Bài toán 2.9. Tính số đo tổng các góc trong của một đa giác lồi n cạnh?

Đối tượng khảo sát: Chúng tôi tiến hành khảo sát 37 HS lớp 8C, trường THCS

Phan Huy Chú, huyện Thạch Hà, tỉnh Hà Tĩnh cuối học kỳ 1 năm học 2013-2014.

Dụng ý sư phạm: Tìm hiểu khả năng sử dụng thực nghiệm xét các trường hợp đặc biệt, trường hợp riêng kết hợp với suy diễn để phát hiện vấn đề trong giải toán Hình học của HS. Ngoài ra còn biết được khả năng phân nhỏ bài toán của HS.

Cách thức thực hiện: Giao nhiệm vụ cho cả lớp sau khi đã học xong chương “Đa giác, diện tích của đa giác“. Trong quá trình HS làm bài, giáo viên quan sát tìm hiểu về cách thức suy nghĩ và hành động khi thực hiện nhiệm vụ bài ra. Sau đó, GV gợi ý cho HS biết cách phát hiện vấn đề nhờ quy nạp thực nghiệm.

Thu thập và xử lý thông tin: Rất ít em (14/38 = 36,84%) nhận ra: đây là bài

toán thuộc dạng “tìm tòi”, cái phải tìm chưa được hiện hữu (số đo tổng các góc trong

của đa giác n cạnh) nên cần vận dụng TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện

VĐ và phát hiện cách giải quyết vấn đề bằng cách xét các trường hợp riêng theo số

cạnh của đa giác và giải được bài toán này.

3=n Khi các góc là 180 .° 4=n Với

° =

, đa giác đã cho là tam giác nên có tổng

C Hình 2.5a.

, đa giác đã cho là tứ giác lồi nên có ° (nối một đường chéo của

5=n

Với

tổng các góc là 360 2.180 tứ giác ta chia tứ giác thành hai tam giác (Hình 2.5a)). , đa giác đã cho là ngũ giác lồi, từ một đỉnh nối với hai đỉnh còn lại không kề với nó

° =

3.180

540

° (Hình 2.5b).

chia tứ giác thành ba tam giác nên có tổng các góc là

−

Từ đó, HS sẽ đi đến dự đoán: tổng các góc

)2 .180 . °

Việc trong của một đa giác lồi n cạnh là (

chứng minh điều dự đoán này không mấy khó khăn,

2−n

Hình 2.5b A2

nhờ chia đa giác đó thành tam giác bằng việc

3−n

đỉnh còn

An-1

Hình 2.5c

nối các đoạn thẳng từ một đỉnh đến lại không kề với nó (Hình 2.5c).

Qua kết quả khảo sát các tình huống trên, chúng tôi nhận thấy, HS THCS chưa chú ý đến việc vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm kết hợp với suy diễn để phát hiện và giải quyết vấn đề trong quá trình học tập môn Toán (đặc biệt là với các bài toán tìm tòi hoặc chứng minh trong trường hợp tổng quát). HS chưa biết xét các trường hợp riêng nhờ việc quan sát thực nghiệm (đo đạc, tính toán…) để đưa ra dự đoán; một số em biết xét các trường hợp riêng, đưa ra dự đoán nhưng cũng không biết căn cứ vào các trường hợp riêng đó để tìm đường lối giải bài toán.

Kết luận chương 2

Việc khảo sát thực trạng bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của

G. Polya cho HS trong DH môn Toán ở trường THCS được tiến hành bằng nhiều

phương pháp khác nhau. Trong đó, chủ yếu là phương pháp điều tra giáo dục (sử

dụng phiếu hỏi GV; dự giờ một số tiết dạy môn Toán ở lớp 8, 9; trò chuyện, phỏng

vấn, xin ý kiến GV, cán bộ quản lý trường THCS). Khách thể khảo sát là HS lớp 8,

9 và GV dạy môn Toán của một số trường THCS trên địa bàn tỉnh Hà Tĩnh.

Thông qua khảo sát, chúng tôi nhận thấy, nhìn chung việc bồi dưỡng các

TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS hiện nay ở trường THCS

trong DH môn Toán chưa được quan tâm đúng mức. Cụ thể:

*) Về phía GV

Đa số đều nhận thức được việc bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya ở trường THCS là hết sức cần thiết, góp phần nâng cao chất lượng DH

Toán. Đặc biệt, giúp HS phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực tư duy

sáng tạo. Tuy nhiên, nhận thức của GV về việc bồi dưỡng các TPHĐNT cho người

học còn chưa đầy đủ thể hiện ở chỗ:

+ Một số GV chưa có một sự hình dung đầy đủ về các TPHĐNT theo tư

tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán ở trường THCS.

+ GV chưa quan tâm nhiều đến việc thiết kế, tổ chức quá trình DH nhằm bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS nên chưa có cách thức bồi dưỡng một cách phù hợp, chưa có một môi trường sư phạm thích hợp cho việc dạy TPHĐNT. Chẳng hạn, GV chưa kích thích nhu cầu, động cơ bồi dưỡng TP cho HS, chưa thực sự phát huy những tương tác giữa GV – HS, HS – HS, HS – tài liệu học tập thể hiện suy nghĩ, sáng tạo của cá nhân HS qua việc giải quyết vấn đề.

+ Một bộ phận GV có tiến hành bồi dưỡng TPHĐNT cho HS nhưng chỉ thông qua một số ví dụ rời rạc, chưa được phổ biến rộng rãi và chưa có tính hệ thống; GV chưa chú ý đến việc bồi dưỡng TP cho nhiều nhóm đối tượng HS (khá, giỏi, trung bình...) mà chủ yếu tập trung vào nhóm đối tượng HS khá, giỏi.

*) Về phía HS + Hầu hết HS chưa biết nhiều về TP và việc vận dụng vào giải quyết vấn đề. HS

chưa linh hoạt thay đổi thói quen suy nghĩ khi đứng trước một vấn đề cần giải quyết.

+ Khả năng hình thành và vận dụng các nhóm TPHĐNT (được đưa ra trong Chương 1) của HS chỉ mới dừng lại làm theo sự gợi ý chỉ dẫn của GV. Một số ít HS khá giỏi biết hình thành và vận dụng các TP thích hợp khi giải quyết vấn đề còn hầu hết nhóm HS trung bình và dưới trung bình dường như đứng ngoài cuộc.

Những vấn đề về thực trạng đã nghiên cứu và phân tích trên đây được thực hiện dựa trên nền tảng khoa học của cơ sở lý luận ở Chương 1, sẽ là cơ sở thực tiễn quan trọng giúp chúng tôi xây dựng các biện pháp sư phạm nhằm bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán các lớp

cuối cấp THCS trong chương sau.

Chương 3 MỘT SỐ BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG CÁC THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC THEO TƯ TƯỞNG SƯ PHẠM CỦA G. POLYA CHO HỌC SINH TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN Ở CÁC LỚP CUỐI CẤP TRUNG HỌC CƠ SỞ

Các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán có thể xây dựng cho các lớp ở trường THCS. Tuy nhiên, với giới hạn phạm vi nghiên cứu của đề tài, Luận án chỉ mới xây dựng và giới thiệu được các biện pháp tập trung vào bồi dưỡng một số TP cơ bản trong giải quyết vấn đề ở trường THCS, đồng thời tập trung vào các lớp cuối cấp THCS khi tư duy trừu tượng của các em đã phát triển mạnh hơn và nội dung chương trình môn Toán ở các lớp cuối cấp THCS cũng có ưu thế hình thành, phát triển TP nhiều hơn các lớp đầu cấp THCS. Trong DH, GV có thể dựa vào nền tảng của các biện pháp này để xây dựng biện pháp bồi dưỡng các TPHĐNT khác cho HS cũng như cho các lớp đầu cấp THCS.

Trong các biện pháp được xây dựng, chúng tôi tập trung vào phân tích các vấn đề chung, khái quát khi DH bồi dưỡng TPHĐNT, không đi vào tiết dạy cụ thể. Các ví dụ minh họa chỉ là các trích đoạn một số định lý, bài tập mà GV sẽ dạy trong một giờ dạy cụ thể của họ. Các biện pháp này sẽ được GV thông hiểu tư tưởng để thiết kế vào trong kế hoạch DH và định hướng phương pháp cho từng tiết dạy. Việc minh họa cho các biện pháp cũng chỉ tập trung vào một số chủ đề kiến thức cụ thể.

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn đã nghiên cứu ở Chương 1 và Chương 2, trong chương này chúng tôi đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS các lớp cuối cấp THCS theo các định hướng sau:

3.1. Định hướng xây dựng và thực hiện biện pháp 1) Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng, mục đích góp phần bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS; trên cơ sở đó giúp HS phát triển khả năng giải quyết vấn đề, khả năng tư duy sáng tạo và có thể độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập.

2) Các biện pháp cần quan tâm đến việc tăng cường HĐ cho người học, phát huy tối đa (trong chừng mực có thể) tính tích cực, độc lập của HS và được thể hiện thông qua các phương pháp DH tích cực vận dụng ở trường THCS; đồng thời đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục Việt Nam hiện nay theo hướng “tiếp cận năng lực”.

3) Các biện pháp được xây dựng phải dựa trên những khó khăn, chướng ngại, sai lầm phổ biến của HS khi giải quyết các vấn đề trong việc DH môn Toán ở trường THCS nhằm giúp HS khắc phục những khó khăn, chướng ngại, sai lầm đó.

4) Các biện pháp phải căn cứ vào mục tiêu, nội dung, phương pháp DH môn Toán ở trường THCS; đồng thời xuất phát từ thực trạng của việc DH môn Toán và

đặc biệt là thực tế việc hình thành, khắc sâu TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của

G. Polya cho HS các lớp cuối cấp THCS.

5) Các biện pháp có thể thực hiện được trong điều kiện thực tế của quá trình

DH môn Toán ở trường THCS.

3.2. Một số biện pháp bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học môn Toán các lớp cuối cấp

ở trường trung học cơ sở

3.2.1. Biện pháp 1. Gợi động cơ bên trong, kích thích nhu cầu của học sinh

trong việc bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức

3.3.1.1. Mục đích của biện pháp

Thực hiện biện pháp này nhằm giúp HS nhận thức được vai trò, ý nghĩa, tầm

quan trọng của TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya; từ đó, tạo động lực, nhu cầu hình thành, khắc sâu các TP cho các em.

3.2.1.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, đặc biệt là định

hướng thứ hai, thứ tư và nhân tố đầu tiên trong sơ đồ 1.5.

Theo tư tưởng sư phạm (T2b) của G. Polya, trong quá trình DH Toán cần phải có sự kích thích tốt nhất, điều đó tạo động lực học tập cho HS. Ông khẳng định “Chúng ta nói việc học tập cần phải tích cực; nhưng HS sẽ không biểu hiện tính tích cực, nếu ở họ không có lý do để tích cực...” [86, tr.73]. Hơn nữa, G. Polya còn cho rằng “Nếu chúng ta muốn kích thích những nỗ lực sáng tạo của HS, thì chúng ta buộc phải cho họ những cơ sở nào đó để thấy rằng những nỗ lực đó của họ không mất đi một cách vô ích” [86, tr.78].

TPHĐNT của HS được hình thành, phát triển trong HĐ giải quyết vấn đề và chịu ảnh hưởng của nhiều yếu tố khác nhau. Trên cơ sở các nghiên cứu tâm lý học: Mọi HĐ của con người đều là HĐ có mục đích, được thúc đẩy bởi động cơ của HĐ đó. Trong Luận án này, chúng tôi tập trung vào mối quan hệ giữa động cơ và nhu cầu bồi dưỡng các TPHĐNT.

Theo từ điển Tiếng Việt [80, tr. 345], “Động cơ là cái chi phối thúc đẩy người ta suy nghĩ và hành động”. J. Piaget cho rằng, động cơ là tất cả các yếu tố thúc đẩy cá thể hoạt động nhằm đáp ứng nhu cầu và định hướng cho hoạt động đó [40]. Tác giả Phan Trọng Ngọ quan niệm “Động cơ chính là sức hấp dẫn, lôi cuốn của đối tượng

mà cá nhân nhận thấy cần chiếm lĩnh để thỏa mãn nhu cầu hay ham muốn của

mình” và ông đã nhận xét “Khác với động cơ trong kỹ thuật hay năng lượng sinh

học đơn thuần, động cơ tâm lý luôn là véc tơ, được xuất phát từ đối tượng và hướng

về phía cá nhân” [65, tr.370]. Với các khái niệm dẫn dắt như trên, ta có thể hiểu động

cơ học tập là những nhân tố kích thích, thúc đẩy tính tích cực, hứng thú học tập của

học sinh nhằm đạt kết quả về nhận thức và phát triển nhân cách.

Động cơ học tập của HS có thể xuất phát từ bên ngoài (động cơ xã hội), do

yêu cầu của nhà trường, gia đình và xã hội, chẳng hạn như phần thưởng hay hình

phạt. Đồng thời, nó cũng có thể xuất phát từ bên trong (động cơ hoàn thiện tri thức), từ nhu cầu nhận thức, hứng thú, niềm tin… của HS. Theo M. C. Keachie, một trong

những nhiệm vụ quan trọng của DH là làm thế nào để thôi thúc động cơ học tập bên

trong, giúp HS hứng thú học tập. Sự ham hiểu biết, sở thích, hứng thú khi giải quyết

vấn đề và chấp nhận thử thách là những ví dụ về động cơ bên trong [60, tr. 256].

Với HS các lớp cuối cấp THCS, các em đã bắt đầu trưởng thành, việc gợi động cơ

bên ngoài sẽ có hiệu lực không cao; bên cạnh đó, những cách gợi động cơ xuất phát

từ nội dung hướng vào nhu cầu nhận thức, ngày càng trở nên hiệu quả đối với các em.

3.2.1.3. Tổ chức thực hiện biện pháp Việc gợi động cơ bên trong, tạo nhu cầu để bồi dưỡng TPHĐNT cho HS có thể được thực hiện bằng nhiều hình thức khác nhau. Trong Luận án này, chúng tôi tập trung gợi động cơ bên trong thông qua việc giúp HS thấy được ý nghĩa, tầm quan trọng của TP trong phát hiện, giải quyết vấn đề và thiết kế, tổ chức các tình huống nhận thức ẩn chứa các TP phù hợp, hấp dẫn trong quá trình DH. Vì vậy, chúng ta có thể tiến hành như sau:

a) Làm cho HS thấy được tính hữu ích của TPHĐNT trong giải quyết vấn đề, từ đó các em tự kích hoạt hứng thú, nhu cầu của bản thân trong việc hình thành và vận dụng TPHĐNT

Hứng thú là nguồn gốc của tính tích cực, sáng tạo trong quá trình học tập của HS. K. D. Usinxki đã khẳng định “Một sự học tập mà không có hứng thú gì, chỉ biết hoạt động bằng sức mạnh, cưỡng bức thì sẽ giết chết lòng ham muốn học tập của cá nhân”. Nhà toán học và là nhà sư phạm G. Polya cho rằng “Khi giải một bài toán mà ta thực sự hiểu thấu và hứng thú thì ta được một tài sản quý giá là một lược đồ, một mô hình mà ta có thể bắt chước khi giải những bài toán tương tự… Phát triển một lược đồ như vậy sớm muộn bạn sẽ đi đến một sự phát minh thực sự” [84, tr.163]. Như vậy, hứng thú, nhu cầu nhận thức của HS sẽ tăng lên nếu đối tượng nhận thức càng hấp dẫn. Do đó, điều quan trọng nhất để kích thích sự hứng thú, nỗ lực của người học trong việc bồi dưỡng TPHĐNT là làm cho các em thấy được tầm

quan trọng, tính hữu ích của các TP.

Thứ nhất, giúp HS biết được nhờ các TPHĐNT họ có thể thâm nhập và phát

hiện được vấn đề

Trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề, có nhiều cách để HS thâm

nhập vấn đề (bài toán), tìm được mối liên hệ giữa “cái đã cho”, “cái phải tìm” và

những cái có liên quan với chúng nhằm phát hiện vấn đề, trong đó các TPHĐNT là

công cụ hữu hiệu. Chẳng hạn, TP quy nạp, thực nghiệm (thay biến bởi hằng, thay vị

trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt, xét trường hợp tới hạn, xét vấn đề tương tự, đơn giản

hơn) giúp người học dễ dàng phát hiện vấn đề; TP cách ly và liên kết vấn đề theo

một cách thức mới (phân nhỏ, tách biệt, kết hợp) giúp người học chia nhỏ vấn đề

cần giải quyết một cách hợp lý, loại bỏ phần không cần thiết và liên kết các đối

tượng để có được cái nhìn đầy đủ hơn, sâu sắc hơn, toàn diện hơn; TP đưa ra một

đại diện hợp lý (mô hình toán học của bài toán thực tiễn, các cách nhìn khác nhau

của một đối tượng) giúp HS có thể phát biểu lại vấn đề theo quan niệm của các em

để có thể dễ dàng phát hiện cách giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1.1 trong Chương 1, đã minh họa rõ vấn đề này. Sau đây, chúng ta xét

thêm một ví dụ khác:

4 4+ n

là số nguyên tố. Ví dụ 3.1. Tìm ∈n  để

Đây là một bài toán tìm tòi, cái phải tìm chưa được hiện hữu nên GV cần

giúp HS để các em biết vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm bằng cách thay biến số

bởi hằng số (xét trường hợp riêng với một số giá trị cụ thể của n) và có thể đoán

được những số tự nhiên n thỏa mãn. Tự nhiên nhất là cho n những giá trị từ nhỏ đến

lớn, HS dễ dàng phát hiện được vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.

rồi lần =n 0,1, 2,3, 4,5

lượt tính giá trị của biểu thức trong những trường hợp đó và đưa ra dự đoán GV yêu cầu HS xét một số giá trị cụ thể, chẳng hạn 4 4+ n

những giá trị n thỏa mãn.

n 4n 4n 4 4+ n

0 0 1 1 1 1 4 5 2 16 16 32 3 81 64 145 4 256 256 512 5 625 1024 1649

1=n

Quan sát bảng trên người giải có thể đưa ra được dự đoán, chỉ có với

4 4+ n

thỏa mãn, còn dường như n càng lớn thì

là hợp số. Điều dự đoán này hết sức có ý nghĩa với các em trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán trên. Thật vậy, từ

điều đã dự đoán HS phát hiện được vấn đề cần giải quyết và cũng phát hiện được cách giải quyết vấn đề, đó là: chia tập số tự nhiên  thành các bộ phận đầy đủ và



} 1 ,

{ } { } { = ∪ ∪ ∈ 1 0

không giao nhau: rồi xét các bài toán thành phần trên

từng tập hợp con đó.

Qua ví dụ trên có thể thấy, nhờ TP quy nạp thực nghiệm (thay biến số bởi

hằng số) đã giúp người giải dễ dàng phát hiện được vấn đề: Với số tự nhiên n lớn hơn

4 4+ n

1 thì

là hợp số; đây chính là cơ sở để các em tìm phương án giải bài toán. Thứ hai, giúp HS thấy rõ TPHĐNT là công cụ quan trọng để khắc phục các

khó khăn, chướng ngại, sai lầm trong việc giải quyết các vấn đề.

Với những vấn đề phức tạp, HS thường gặp khó khăn trong việc tìm cách

giải quyết. Trong những tình huống đó, nếu HS biết vận dụng các TPHĐNT một cách thích hợp, các em sẽ dễ dàng tìm được phương án giải quyết hiệu quả. Chẳng

hạn: Phân chia vấn đề đã cho thành các vấn đề bộ phận đơn giản hơn, loại bỏ các

chi tiết gây phiền phức; xét các trường hợp riêng đơn giản đã biết; bổ sung thêm chi

tiết mới hay tổ chức lại dữ liệu một cách hợp lý... Các vấn đề quen thuộc có liên quan này chẳng những cực kỳ thuận lợi mà còn cực kỳ có ích, người học sẽ thấy “cái hay”, “cái đẹp”, “sự hấp dẫn” của vấn đề khi vận dụng các TPHĐNT, giúp họ có niềm tin và hứng thú để giải quyết vấn đề. Như vậy, TPHĐNT đã đưa HS đến vùng phát triển rất gần theo lý thuyết của L. X. Vưgotxki và thực hiện tốt nguyên tắc “đảm bảo sự thống nhất giữa tính vừa sức và yêu cầu phát triển” [50, tr. 74] trong DH môn Toán. Do đó, tính tích cực nhận thức của các em được phát huy. Hơn nữa, khi đứng trước một vấn đề cụ thể, nếu có được hệ thống các TPHĐNT đầy đủ, HS sẽ dễ dàng tiến hành nhiều HĐ tìm tòi, khám phá các tri thức mới.

Chẳng hạn, nhờ sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm bằng việc thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề ở ví dụ 1.1, đã khắc phục

< ≤x

1 2

những sai lầm mà HS thường mắc phải là bỏ quên điều kiện của và vận

1 x

(như đã trình bày trong Chương 1); từ đó, gợi ý cho dụng định lý Cô-si với x ,

người giải sử dụng TP cách ly và liên kết đối tượng theo một cách thức mới phân chia bài toán ban đầu thành các bài toán thành phần để giải quyết. Tuy nhiên, để HS ý thức sâu sắc hơn vai trò của TP, sau khi HS giải quyết xong một vấn đề liên quan đến việc vận dụng TP nào đó, thầy giáo nên nhấn mạnh hiệu quả của TP này đối với việc giải quyết vấn đề đặt ra. Chẳng hạn, trong ví dụ 1.1, GV có thể bình luận thêm

A = +x

< ≤x

1 x

1 2

rằng: Khâu then chốt của lời giải trên là dự đoán được “với thì

1 2

đạt giá trị nhỏ nhất, khi ”. Vì nhờ có dự đoán đó, người giải mới biết vận dụng

TP cách ly và liên kết đối tượng theo một cách thức mới bằng cách phân nhỏ bài toán đang xét thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn (“Tìm giá trị nhỏ nhất của

B = 4 +x

< ≤x

1 2

1 x

và giá trị lớn nhất của C = 3x với ” hay “Tìm giá trị nhỏ nhất

D =

< ≤x

E =

1 x 4

1 2

3 4x

và giá trị nhỏ nhất của với ”). Việc làm này thực của

chất là gợi động cơ kết thúc HĐ. Theo Nguyễn Bá Kim "Gợi động cơ kết thúc cũng có tác dụng nâng cao tính tự giác trong hoạt động học tập như các cách gợi động cơ khác. Mặc dầu nó không có tác dụng kích thích đối với nội dung đã qua hoặc hoạt động đã thực hiện, nhưng nó góp phần gợi động cơ thúc đẩy hoạt động học tập nói chung và nhiều khi việc gợi động cơ kết thúc ở trường hợp này lại là sự chuẩn bị gợi động cơ mở đầu cho những trường hợp tương tự sau này" [50, tr.102].

Thứ ba, TPHĐNT chuẩn bị tốt nhất cho HS giải quyết những tình huống tương tự hoặc có nhiều biến đổi trong học tập cũng như trong cuộc sống và phát triển các vấn đề.

Việc trang bị các TPHĐNT cho HS không những giúp người học giải quyết một số vấn đề cụ thể mà mục đích cao hơn là hình thành cho HS các kỹ năng tư duy nhằm giúp phát triển khả năng phát hiện và giải quyết nhiều vấn đề, ứng phó với những tình huống mới mẻ, không lệ thuộc vào những khuôn mẫu có sẵn. Chẳng hạn, với TP quy nạp thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề có thể giúp HS giải các bài toán dạng tìm tòi; TP phân nhỏ giúp HS giải quyết các vấn đề phức tạp không giải quyết được trọn gói, một lần; các TP bổ sung bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ giúp các em giải quyết các bài toán mà với những yếu tố đã cho chưa thể giải quyết được... Chẳng hạn:

ABC M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC . Dựng

Ví dụ 3.2. Cho tam giác

Hình 3.1b

Hình 3.1c

Hình 3.1a

đường thẳng qua M, chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

HS thường gặp không ít khó khăn khi giải bài toán, vì giả thiết cho trong trường hợp tổng quát “M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC”. Bởi vậy, GV yêu cầu lại một HS nhắc kiến thức đã biết về tích của hai diện tam giác có đáy bằng nhau và chung đường cao. Từ đó,

các em suy ra được “trong tam giác đường trung tuyến chia đôi diện tích tam giác”.

Nên HS dễ dàng giải các bài toán đơn giản khi M trùng B (hình 3.1a), M trùng C

(hình 3.1b) và khi M trùng với trung điểm I của BC (hình 3.1c); rồi lấy lời giải trong

các trường hợp này làm “điểm tựa” giúp HS biết vẽ hình phụ để giải bài toán trong

trường hợp còn lại. Vì vậy, các em sẽ giải quyết được bài toán ban đầu bằng việc

chia nhỏ thành các bài toán thành phần tương ứng với: M trùng B; M trùng C; M

trùng với trung điểm I của BC; M nằm trong đoạn BI và M nằm trong đoạn IC.

Thật vậy, với M nằm trong đoạn BI bằng cách vẽ hình phụ tạo thành tam giác

có một đỉnh là M với diện tích bằng diện tích ∆ABC và đưa về “dựng một

đường thẳng qua đỉnh M tích ∆MCD chia diện thành hai phần bằng

Hình 3.1d

Hình 3.1e

nhau” (hình 3.1d) hoặc vẽ

hình phụ tạo thành tam giác có M là trung điểm của một cạnh sao cho diện tích của nó bằng diện tích ∆ABC và đưa về “dựng một đường thẳng qua trung điểm M của cạnh CD chia diện tích ∆NCD thành hai phần bằng nhau” (hình 3.1e). Hoàn toàn tương tự khi M nằm trong đoạn IC.

- Khai thác bài toán trong ví dụ 3.2, chúng ta thấy: Giả thiết là hội của các

điều kiện “tam giác ABC ”, “M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC” và “đường thẳng

đi qua M chia diện tích tam giác ABC thành hai phần bằng nhau”. Bởi vậy, bằng cách vận dụng TP phân nhỏ, HS thay đổi một hay một số yếu tố trong đó để có nhiều kết quả thú vị, chẳng hạn:

+ Thay giả thiết “tam giác ” bởi “tứ giác” hay “ngũ giác”... và thay điều kiện “M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC” bởi “M là một đỉnh” và giữ nguyên điều kiện còn lại, ta có các bài toán: Cho tứ giác ABCD. Dựng đường thẳng qua A, chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Hoặc: Cho ngũ giác ABCDE. Dựng đường thẳng qua A, chia ngũ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau...

+ Hay, giữ nguyên các điều kiện trước và thay giả thiết “đường thẳng đi qua M chia diện tích tam giác ABC thành hai phần bằng nhau” bởi “đường thẳng đi qua M chia diện tích tam giác ABC thành hai phần theo tỷ số k dương cho trước”, ta có

ABC M là một điểm bất kỳ trên cạnh BC . Dựng đường

bài toán “Cho tam giác

thẳng qua M, chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích theo tỷ số k dương cho trước”.

- Vận dụng TP bổ sung yếu tố phụ (ẩn phụ), người học có thể giải được các

biến thể của bài toán 1.1 ở trên, chẳng hạn:

2≥x

A = +x

1 x

i) Tìm giá trị nhỏ nhất của , với . (Đặt để đưa về bài

toán 1.1).

x B =

0.≥x

1 +

x giỏi môn Toán lớp 8, trường THCS Lê Văn Thiêm, thành phố Hà Tĩnh, năm học 2015-2016). (Đặt

, với (Trích câu 3, đề thi HS ii) Tìm giá trị nhỏ nhất của

= + x

để vận dụng kết quả bài toán i) ở trên).

C =

x y

+x xy

≥ > Tìm giá trị nhỏ nhất của (Đặt = để đưa iii) Cho x y 2 0.

về bài toán i)).

Các ví dụ minh họa trên đây đã khẳng định vai trò quan trọng của TPHĐNT

khi giải quyết, khai thác, phát triển vấn đề. Tuy nhiên, sẽ có những bộ phận HS

chưa hẳn đã ý thức được điều này và các em cũng không biết tiến hành vận dụng

các TP trong những tình huống thích hợp. Bởi vậy, để HS thấy được ý nghĩa của các TPHĐNT, sau khi các em giải quyết xong một vấn đề, GV nên nhấn mạnh hiệu quả của TP được sử dụng đối với việc giải quyết vấn đề đặt ra. Mặt khác, để HS nhận thức sâu sắc hơn về ý nghĩa và tầm quan trọng của các TP, chúng ta nên để cho họ cảm nhận được điều đó thông qua nhiều tình huống học tập cụ thể. Hơn nữa, nếu sự hứng thú vận dụng TPHĐNT được duy trì thường xuyên trong suốt quá trình học toán của các em thì đến một thời điểm nào đó HS sẽ tự hình thành nhu cầu và động lực bồi dưỡng các TP này.

b) Thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm nhằm tạo hứng thú, kích thích nhu

cầu của HS trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT

Theo tư tưởng sư phạm (T2b) của G. Polya, trong quá trình DH môn Toán cần phải có sự kích thích tốt nhất nhằm đạt mục tiêu là dạy cho HS suy nghĩ (T1). Ông cho rằng: “Để việc học tập có hiệu quả, HS cần phải thích thú tài liệu học tập, tìm thấy sự hài lòng ngay trong quá trình học tập” [87, tr. 76]. G. Polya khẳng định, GV cần phải tích cực trong việc thiết kế bài giảng, giúp đỡ HS, luôn dẫn dắt và tạo cho HS một niềm đam mê cũng như niềm tin vào quá trình học tập, từ đó thúc đẩy sự phát triển tư duy cho các em. “Người thầy phải cảm thấy mình như một thương nhân muốn bán cho thanh niên một số kiến thức toán học. Nhưng nếu thương nhân cảm thấy khó khăn trong việc bán và hàng hóa của anh ta bị ứ đọng vì khách hàng không muốn mua thì anh ta không thể quy toàn bộ lỗi cho khách hàng…” [87, tr. 82]. Do đó, GV cần phải dành sự chú ý đặc biệt vào việc

chọn bài toán, cách diễn đạt nó và trao cho HS một cách tốt nhất. Bài toán cần

phải sinh động không những theo quan điểm của GV mà còn theo quan điểm của

HS..., sẽ bổ ích nếu nó chứa cái gì đó biểu hiện sự thích thú chung hoặc khả năng

áp dụng. Còn tác giả I. F. Kharlamôp cho rằng, nếu tạo được ấn tượng thực sự, sẽ

tác động mạnh lên khu vực cảm xúc và hoạt động tư duy của con người [45].

Để hình thành, khắc sâu các TPHĐNT trong DH môn Toán, GV cần phải

hiểu rằng mục đích DH không chỉ là tìm câu trả lời cho một vấn đề cụ thể, mà còn

phải hướng dẫn HS “bóc trần” đối tượng nhằm hấp dẫn các em trong việc bồi

dưỡng TPHĐNT vào giải quyết nhiều tình huống nhận thức khác của toán học. Hơn nữa, một môi trường nếu không có dụng ý sư phạm thì sẽ không hội đủ điều kiện để

truyền thụ cho HS những kiến thức mà xã hội mong muốn. Bởi vậy, cần thiết kế

những ví dụ khá tinh tế, để thông qua đó HS có thể thấy được rằng: Trong vấn đề

này, khâu then chốt nằm ở việc vận dụng TP nào, nhờ nó mà đưa ra được cách biến

đổi hợp lý hoặc các thao tác phù hợp hướng tới việc định hướng được lời giải bài

toán. Có thể với một số tình huống ngay từ đầu HS nhận thấy cần phải vận dụng các

TPHĐNT và các em thấy ngay được sự hấp dẫn của việc hình thành, vận dụng TP. Tuy nhiên, cũng có những tình huống mà sau quá trình biến đổi người học mới thấy được sự cần thiết phải vận dụng TPHĐNT. Vì vậy, chúng ta có thể thiết kế các tình huống kích thích nhu cầu bồi dưỡng TPHĐNT theo các hướng sau:

- Thiết kế các tình huống là các bài toán thực tiễn, trong đó để hiểu và giải quyết chúng cần biết tách biệt các dấu hiệu “không bản chất”, đưa ra được một mô hình toán học phù hợp.

- Thiết kế các tình huống là các bài toán mà để hiểu và giải quyết chúng cần

biết nhìn đối tượng dưới góc độ phù hợp.

- Tạo các tình huống từ các kiến thức đã biết, bằng cách biến đổi hoặc “giấu đi” một yếu tố nào đó để HS muốn giải quyết vấn đề phải bổ sung yếu tố phụ (ẩn phụ, hình phụ…) thích hợp.

- Thiết kế các tình huống không có kết luận là hội của hai hay nhiều yêu cầu hoặc giả thiết là tuyển của hai hay nhiều điều kiện để khi giải HS phải phân nhỏ, tách biệt thành các bài toán bộ phận quen thuộc, đơn giản hơn…

- Thiết kế các tình huống hấp dẫn mà việc giải quyết có thể nhanh chóng phát

hiện tiền đề (định lý, quy tắc, bài toán gốc…) đã biết.

- Tạo các tình huống mà HS thường gặp sai lầm hoặc không tìm ra phương án

giải quyết nếu không biết vận dụng TP quy nạp thực nghiệm để phát hiện vấn đề.

Các ví dụ 1.1, 3.3 đã minh họa cho việc thiết kế tình huống phù hợp, tinh tế trong việc hình thành và phát triển các TP quy nạp thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề; ví dụ 1.6 minh họa cho việc vận dụng TP bổ sung hình phụ liên quan đến các đối tượng có trong

BT; ví dụ 3.1 minh họa cho tình huống hấp dẫn trong việc vận dụng TP phân nhỏ (phân nhỏ bài toán theo giả thiết), xét các trường hợp đặc biệt là “điểm tựa” để giải quyết trong trường hợp tổng quát… Một số minh họa khác cho VĐ này được chúng tôi lồng ghép trong các biện pháp sau (xem biện pháp 3.2.2, biện pháp 3.2.4).

Sau đây là ví dụ minh họa khi HS biết sử dụng TP quy nạp thực nghiệm bằng

cách xét vị trí tới hạn để phát hiện cách giải quyết một bài toán thực tiễn.

Ví dụ 3.3. Hai người thực hiện một trò chơi như sau: mỗi người lần lượt đặt

đồng xu giống nhau lên một mặt bàn hình tròn, người nào đặt được đồng xu cuối

cùng lên mặt bàn thì người đó sẽ thắng cuộc. Tìm chiến lược chơi để người đặt

đồng xu đầu tiên luôn thắng cuộc.

Đây là một bài toán thực tiễn, khá hấp dẫn nhưng không đơn giản đối với HS

THCS khi tư duy trừu tượng của các em còn hạn chế. Để các em tìm được chiến

thuật giúp người thứ nhất luôn thắng, GV có thể gợi ý cho HS vận dụng TP quy nạp

thực nghiệm, xét bài toán trong trường hợp mặt bàn được co lại rất nhỏ sao cho chỉ đặt được một đồng xu (nằm trọn trong mặt bàn), khi đó các em biết chắc chắn là người đặt đồng xu đầu tiên sẽ thắng cuộc (vì người thứ hai không còn chỗ để đặt). Từ đó, các em dễ dàng đưa ra được dự đoán là: Người đặt đồng xu đầu tiên vào tâm của mặt bàn thì sẽ luôn thắng cuộc.

Dễ dàng kiểm tra được dự đoán trên là đúng. Thật vậy, khi người thứ nhất đặt đồng xu đầu tiên ở tâm của mặt bàn; sau đó người thứ hai đặt đồng xu ở vị trí nào thì tiếp theo người thứ nhất sẽ đặt ở vị trí đối xứng với nó qua tâm của mặt bàn và chừng nào người thứ hai còn vị trí đặt đồng xu thì người thứ nhất vẫn có thể đặt đồng xu tiếp theo.

Vận dụng TP này người học giải quyết được các bài toán tương tự với điều kiện mặt bàn có tâm đối xứng, chẳng hạn như: Hình vuông, hình thoi, hình bình hành, đa giác đều có số chẵn cạnh, hình tròn...

Như vậy, cái hay, cái đẹp của việc tìm được lời giải bài toán, đặc biệt là những lời giải ngắn gọn, sáng tạo ở trên là nhờ biết vận dụng thích hợp các TPHĐNT. Chẳng hạn, các bài toán hình học chỉ cần kẻ thêm một đường phụ, hoặc bài toán đại số chỉ cần thay đổi vị trí các phần tử và phân nhóm lại hoặc đặt ẩn phụ... GV cũng cần chú ý rằng, các tình huống đưa ra phải giúp HS dễ dàng hình

thành và khắc sâu TP. Hơn nữa, tình huống cần chứa đựng những khó khăn, chướng ngại nhưng người học có thể giải quyết chúng với những TP phù hợp.

Do đó, bằng cách tác động vào nội dung DH, GV có thể thiết kế các tình

huống hấp dẫn, phù hợp, chứa đựng mâu thuẫn giữa “cái đã biết” và “cái cần tìm”

nhằm kích thích sự tò mò, khám phá cách giải quyết vấn đề khéo léo, sáng tạo của

HS. Và khi sự hứng thú được duy trì thường xuyên trong quá trình học tập môn Toán

thì đến một thời điểm nào đó HS sẽ tự hình thành nhu cầu bồi dưỡng các TPHĐNT.

Tóm lại, việc gợi động cơ bên trong, tạo nhu cầu hình thành và phát triển các

TPHĐNT môn Toán cho HS là vấn đề cần được quan tâm thích đáng. Đúng như đại

thi hào William A. Ward đã nhận định “Người thầy trung bình chỉ biết nói, người

thầy giỏi biết giải thích, người thầy xuất chúng biết minh họa, người thầy vĩ đại biết

truyền cảm hứng”.

3.2.1.4. Lưu ý khi thực hiện biện pháp

- Việc gợi động cơ xuất phát không thật cấp bách trong bồi dưỡng TPHĐNT

cho HS, vì TP không được dạy tường minh trong quá trình dạy học môn Toán. Tuy

nhiên, việc gợi động cơ trung gian cũng như gợi động cơ kết thúc lại hết sức cần

thiết. Thật vậy, nhiều khi ngay từ đầu hoặc trong quá trình giải quyết vấn đề, chúng

ta chưa thể làm cho HS hoàn toàn hiểu rõ tại sao phải hình thành TP này hay tại sao

cần vận dụng TP kia. Những câu hỏi này, phải đợi đến lúc cuối cùng mới được giải đáp trọn vẹn. Do đó, GV cần chú trọng việc gợi động cơ trung gian và động cơ kết thúc, nhấn mạnh hiệu quả của những TPHĐNT trong quá trình giải quyết vấn đề.

- Giúp HS thấy được vai trò của các TP không có nghĩa là ta chỉ nhấn mạnh bằng lời mà phải thông qua những tình huống có chuẩn bị trước, được cài đặt trước để tác động đến sự cảm nhận của HS. Tuy nhiên, khi các tình huống quá xa lạ, khó khăn thì sẽ làm cho HS lo lắng thay vì tò mò, mong muốn khám phá. Bởi vậy, cần phải đưa ra các tình huống “mới mẻ nhưng vận dụng TP có thể giải quyết được” và giúp HS thấy rõ “mấu chốt” của vấn đề nằm ở chỗ biết vận dụng TP.

3.2.2. Biện pháp 2. Rèn luyện cho học sinh có nhiều cơ hội trải nghiệm để tìm

hiểu, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề một cách tinh tế

3.2.2.1. Mục đích của biện pháp Thực hiện biện pháp này nhằm bồi dưỡng cho HS các nhóm TP: sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề; biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ; cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới. Mặt khác, nhờ biết vận dụng những TPHĐNT đó một cách thích hợp người học sẽ dễ dàng tìm hiểu và phát hiện được vấn đề.

3.2.2.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, các nhân tố trong

sơ đồ 1.5 và các giai đoạn và mức độ hình thành, phát triển TP theo sơ đồ 1.6.

Theo tư tưởng sư phạm (T4a) của G. Polya, để có thể giải quyết vấn đề, yêu

cầu đầu tiên của HS là phải hiểu được vấn đề. Vì nếu người học chưa hiểu rõ vấn đề

và nguồn gốc của nó thì sẽ không thể tìm ra được giải pháp hoặc dễ dẫn đến cách giải

quyết sai lệch. Nói theo ngôn ngữ của y khoa, việc “bắt không đúng bệnh” thì chỉ trị

triệu chứng, chứ không chữa được bệnh. G. Polya cho rằng “Thật là ngờ nghệch nếu

muốn trả lời một câu hỏi mà mình không hiểu” [84, tr. 12]. Ông cũng gợi ý cho người

học phải thường xuyên đặt ra cho mình các câu hỏi để tự tìm cách giải quyết như:

- Bạn có thể xác định lại vấn đề theo cách của bạn?

- Bạn có thể nghĩ ra một hình ảnh hoặc sơ đồ có thể giúp bạn hiểu được vấn đề?

- Có đủ thông tin để cho phép bạn tìm một giải pháp?

Ngoài ra một gợi ý của G. Polya đưa ra rất quan trọng để “hiểu bài toán”,

đó là: làm sao loại trừ hoàn toàn những gì không rõ ràng trong phát biểu bài

toán? Theo GS. Ngô Bảo Châu [131], “Loại trừ ở đây không đơn thuần là vì ta chỉ

muốn cố làm cho bài toán rõ hơn, mà nhiều khi những sự không rõ ràng trong

cách phát biểu ấy lại có thể chính là thứ thuộc về bản chất của bài toán mà ta

không biết trước. Khi đó ta phải đưa ra được những “cấu trúc toán học” để theo

một cách nào đó biến được những cái không rõ ràng, những cái mập mờ đó thành

những cái tham số cụ thể. Đây sẽ là chìa khóa cơ bản để dẫn dắt chúng ta đến với

việc giải quyết được nhiều bài toán khó”.

3.2.2.3. Tổ chức thực hiện biện pháp

a) Tập luyện cho HS biết thay biến bởi hằng, thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc

biệt; xét trường hợp tới hạn, xét vấn đề tương tự đơn giản hơn… để phát hiện vấn

đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề

Để hiểu được vấn đề, người học có thể bắt đầu bằng quy nạp, thực nghiệm

với những thử, sai, đo đạc…; từ đó, mò mẫm, dự đoán, phát hiện vấn đề và phát

hiện cách giải quyết vấn đề. Muốn vậy, chúng ta cần tổ chức các hoạt động tương

thích với việc bồi dưỡng TP này như sau:

- Thứ nhất, yêu cầu HS giải quyết các tình huống nhận thức cần phải sử dụng

quy nạp, thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề. Cụ thể,

đó là những bài toán dạng tìm tòi (tìm tập hợp điểm, tìm tập hợp các đối tượng thỏa

mãn yêu cầu nào đó…) hay bài toán dạng chứng minh với biến số tổng quát…;

- Thứ hai, tập cho HS biết quan sát, thực nghiệm (đo đạc, tính toán…) bằng

việc: thay biến bởi hằng nhờ khảo sát các trường hợp riêng, các trường hợp đặc

biệt; thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt; xét các trường hợp tới hạn; xét các trường

hợp tương tự, đơn giản hơn… và mô tả những điều quan sát hay khảo sát đó;

- Thứ ba, giúp HS hình thành giả thuyết (nêu dự đoán) bằng suy luận ngoại

suy dựa vào các trường hợp đã quan sát, khảo sát và các liên tưởng với những kiến

thức đã biết để phát hiện vấn đề;

- Thứ tư, chứng minh các giả thuyết dự đoán bằng suy diễn. (HĐ này sẽ được

trình bày cụ thể trong biện pháp 3.2.3).

- Thứ năm, giúp người học biết vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm để đưa ra

dự đoán vào các tình huống nhận thức khác (các bài toán tương tự, các bài toán ẩn

chứa việc sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm) giúp dễ dàng phát hiện vấn đề và phát

hiện cách giải quyết vấn đề nhằm khắc sâu TP này cho các em (phần này sẽ được

chúng tôi tiếp tục trình bày cụ thể ở biện pháp 3.2.4).

Ví dụ 3.4. Yêu cầu HS giải các bài toán trong các ví dụ 1.1, 3.1, 3.3 và các

bài toán sau:

= + + + 1! 2! ...

n là một số chính

Bài toán 3.4.1. Tìm số tự nhiên n sao cho

phương.

Bài toán 3.4.2. Trong hình bình hành ABCD vẽ hình bình hành

M N P Q tương ứng là trung điểm của

'. A B C D AA BB CC DD . Tứ giác MNPQ

Gọi

là hình gì? Vì sao?

Bài toán 3.4.3. Có mười hộp, mỗi hộp đựng mười gói kẹo. Các gói kẹo giống nhau nhưng chín hộp trong số đó các gói kẹo nặng 100gr, còn một hộp các gói kẹo nặng 90gr. Làm thế nào để chỉ một lần cân (loại cân chỉ có một đĩa cân) có thể biết được hộp nào có các gói kẹo nặng 90gr.

- Tổ chức hướng dẫn HS khám phá, phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề (có thể HS tự khám phá phát hiện vấn đề hoặc GV gợi ý, hướng dẫn cho HS khi cần thiết):

+ Với các bài toán trong ví dụ 1.1, 3.1 và bài toán 3.4.1, HS cần nhận ra chúng đều chứa biến là số tự nhiên n. Do đó, bằng cách thay biến số bởi hằng số (xét trường hợp riêng với một số giá trị cụ thể của n, tự nhiên nhất là cho n những giá trị từ nhỏ đến lớn) HS dễ dàng phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.

= + + + 1! 2! ...

n , điều phải tìm là các số tự nhiên n để A là số chính phương. Cái phải tìm chưa được hiện hữu nên TP đầu tiên mà người giải nghĩ đến là quy nạp thực nghiệm thay biến bởi hằng để đưa ra dự đoán những giá trị n thỏa mãn. Tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho n nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn, như vậy HS lần lượt tính giá trị của biểu thức A

Chẳng hạn, với bài toán 3.4.1, cái đã cho là biểu thức

rồi lần lượt tính giá trị của biểu thức A trong với các trường hợp: 1, 2,3, 4,5,6 =n

những trường hợp đó của n và đưa ra dự đoán các giá trị n thỏa mãn.

1 2 3 4 5 6

1 3 9 33 153 873 A

Quan sát bảng trên (có thể lấy thêm một số trường hợp nữa, có trường hợp n

là số nguyên tố và cũng có cả trường hợp n là hợp số) người giải phát hiện được vấn

1=n

3=n

và thỏa đề cần giải quyết, đó là: có thể đưa ra được dự đoán, chỉ có với

mãn, còn dường như n càng lớn thì A tận cùng bằng 3 nên không là số chính

phương. Nhưng đó vẫn chỉ là dự đoán! Để khẳng định hay bác bỏ dự đoán trên

người giải toán phải kết hợp với việc suy diễn (việc chứng minh dự đoán trên sẽ

được trình bày ở biện pháp 3).

' ' ' A B C D

+ Với bài toán 3.4.2, GV giúp HS nhận ra vị trí của hình bình hành

bất kỳ trong hình bình hành ABCD. Nên để xác định hình dạng của tứ giác MNPQ ,

A B C D bởi một số vị trí

các em cần khéo léo thay vị trí bất kỳ của hình bình hành

C C '≡

đặc biệt rồi quan sát tứ giác MNPQ và đưa ra dự đoán hình dạng của nó. Chẳng hạn:

B B'≡ N

Khi hình bình hành

,≡C C

,≡A A

,≡B B

A B C D trùng với ABCD ' ≡D D ) thì tứ giác MNPQ trùng

(

D D '≡

M A A '≡

với ABCD nên nó là hình bình hành (Hình 3.2a).

A B C D suy biến thành một

Hình 3.2a

Khi hình bình hành

điểm bất kỳ trong hình bình hành ABCD (kể cả trên các

cạnh), sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác, ta dễ

dàng suy ra tứ giác MNPQ là hình bình hành (Hình 3.2b).

HS xét thêm những trường hợp riêng khác và quan

Hình 3.2b

MNPQ là hình bình hành.

sát, kết quả hình ảnh trực quan cũng cho thấy tứ giác

Như vậy, các em đã phát hiện được vấn đề và đưa ra dự đoán: “Tứ giác

MNPQ là hình bình hành”. Từ đó, HS có thể tìm được phương án giải bài toán nhờ

vẽ hình phụ một cách hợp lý.

+ Bài toán 3.4.3 là một bài toán thực tiễn, không dễ dàng với các em HS

THCS (vì có 10 hộp mà chỉ một lần cân phải chọn ra được hộp nhẹ hơn), nó đòi hỏi

cần một ý tưởng mới. Vấn đề đặt ra là làm sao để dẫn dắt HS tự tìm ra ý tưởng đó

hoặc nếu không tự tìm ra được thì cũng cảm nhận được ý tưởng đó một cách tự

nhiên. Nếu đứa trẻ cảm nhận rằng, với bài toán khó nào cũng cần một ý tưởng “từ

trên trời rơi xuống” các em sẽ chán học môn Toán. Có vài cách khác nhau để tiếp

cận bài toán này. Chẳng hạn, có thể liên hệ ý tưởng bài toán với việc khai triển thập

phân một số tự nhiên (con số 10 trong đề bài nhằm gợi ý điều này) hoặc kiến thiết ý

tưởng từ bài toán tương tự, đơn giản hơn. Tuy nhiên với HS THCS, GV nên chọn

cách “kiến thiết ý tưởng từ bài toán tương tự, đơn giản hơn”, vì tư duy “số thập

phân” còn hơi cao so với các em và sẽ tạo cho nó ấn tượng không tự nhiên của lời

giải. Như vậy, khi chúng ta không biết con số 10 có ý nghĩa gì thì ta có thể giả sử nó

không có ý nghĩa và thay nó bằng một con số khác nhỏ hơn với hy vọng đơn giản

hóa bài toán. Thực tế đúng như vậy:

Với hai hộp, HS làm được ngay (Vì khi đó các em chỉ lấy từ một hộp ra 1 gói

và cân thì sẽ biết được hộp nào nhẹ hơn. Thật vậy, nếu hộp chứa gói đem cân là hộp

nhẹ thì khối lượng cân được là 90gr; ngược lại, nếu hộp còn lại là hộp nhẹ thì khối

lượng cân được sẽ là 100gr).

Với ba hộp, HS có thể làm được hoặc không làm được. Khi các em chưa làm

được, GV nên gợi ý để các em nhận ra cách giải tương tự như trường hợp hai hộp,

đó là lấy các gói kẹo ở hai trong ba hộp đó để cân. Tuy nhiên, nếu chọn ở mỗi hộp

một số gói kẹo bằng nhau để cân thì không thể xác định được hộp nào chứa các gói

kẹo nhẹ hơn. Bởi vậy, để giải quyết bài toán thì cần đánh số các hộp và ở mỗi hộp phải lấy ra số gói kẹo khác nhau để cân. Để tính toán đơn giản thì ta nên chọn số gói kẹo ít nhất có thể. Chẳng hạn, ta lấy từ hộp 1 ra 1 gói, hộp 2 ra 2 gói để cân. Khi đó, nếu hộp 1 là hộp nhẹ thì ta có khối lượng kẹo là 290gr; nếu hộp 2 là hộp nhẹ thì ta có khối lượng kẹo là 280gr; còn khi hộp 3 là hộp nhẹ thì ta có khối lượng kẹo đem cân là 300gr. Như vậy, chúng ta cũng đã đưa các em tới vị trí mà người học phải tự sáng tạo - đấy là điểm mấu chốt.

Bằng cách làm tương tự, việc giải bài toán trong trường hợp có 10 hộp sẽ không có gì khó khăn. Trong thực tế, một số HS có thể làm được, nhưng chưa nhận ra được ý tưởng. GV cần giúp các em nắm bắt được ý tưởng đó bằng cách cụ thể hóa vấn đề (theo từng khả năng). Thực tế cũng cho thấy, sau khi trình bày lời giải đối với 3 hộp thì HS hình dung được lời giải tổng quát. Tóm lại, ý tưởng trên có thể được kiến thiết thông qua phương pháp tư duy (đơn giản hóa bài toán bằng việc xét các trường hợp riêng kết hợp với suy diễn). Như vậy, bằng cách khéo léo xét bài toán tương tự, đơn giản hơn đã giúp HS tìm được lời giải bài toán phức tạp ban đầu. Thông qua việc tổ chức cho HS các HĐ khám phá để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề bằng sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm (thay biến bởi hằng (bài toán 3.4.1); thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt (bài toán 3.4.2); xét trường hợp tới hạn (bài toán trong ví dụ 3.3); xét bài toán tương tự đơn giản hơn (bài toán 3.4.3)), các em (đặc biệt là HS khá, giỏi) có thể rút ra được các dạng toán cần vận dụng TP này và các HĐ khi giải quyết các bài toán (với những HS không tự tìm ra được TP, GV có thể thông báo các nội dung này cho HS thông qua các HĐ), đó là:

* Các dạng toán có thể sử dụng TP quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và

phát hiện cách GQVĐ ở trường THCS, gồm:

- Các bài toán tìm tòi:

+ Tìm số tự nhiên n sao cho A(n) là số nguyên tố, hợp số, số chính phương... + Tìm tập hợp điểm H thỏa mãn tính chất α nào đó; + Tìm cực trị của một biểu thức đại số (có điều kiện);

+ Các bài toán tính giá trị của biểu thức A(n) theo tham số n...

- Các bài toán chứng minh với biến số tổng quát n (với n là một số tự nhiên,

số nguyên bất kỳ) biểu thức A(n) là một số nguyên, số tự nhiên, số chính phương…;

- Các bài toán tìm phương án giải quyết với dữ kiện cho trước là một giá trị

nào đó (có thể thay đổi).

* Các HĐ vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm vào tìm hiểu các bài toán có

dạng trên:

HĐ 1: Xét một số trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt khi thay biến bởi

hằng, xét một số vị trí đặc biệt khi thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt, xét trường

hợp tới hạn, xét trường hợp tương tự đơn giản hơn của các tình huống này và mô tả những điều quan sát hay khảo sát được (Cần lưu ý rằng việc chọn các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt phải đưa được bài toán về trường hợp đơn giản hơn và thể hiện được những đặc điểm cần quan tâm).

HĐ 2: HS hình thành giả thuyết (nêu dự đoán) dựa vào các trường hợp đã quan sát, khảo sát và các liên tưởng với những kiến thức đã biết để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề.

HĐ 3: Xét thêm một số trường hợp riêng khác nhằm kiểm tra: chấp nhận hay

bác bỏ giả thuyết dự đoán ở trên.

HĐ 4: Phát biểu các giả thuyết đã được chấp nhận. HĐ 5: Chứng minh các giả thuyết dự đoán bằng suy diễn. (HĐ này sẽ được

trình bày cụ thể trong giai đoạn tìm giải pháp và thức hiện giải pháp).

Qua các ví dụ trên, chúng ta nhận thấy, để hình thành, khắc sâu TP quy nạp, thực nghiệm nhằm phát hiện vấn đề, phát hiện cách giải quyết vấn đề cho HS, GV cần chú ý thích đáng và tạo ra nhiều tình huống luyện tập cho HS biết khéo léo thay biến bởi hằng, thay vị trí bất kỳ bởi vị trí đặc biệt, xét trường hợp tới hạn và xét trường hợp tương tự đơn giản hơn. Tuy nhiên, GV cũng cần lưu ý với HS rằng những giả thuyết được đưa ra nhờ quy nạp, thực nghiệm nhiều khi không đúng. Bởi vậy, cần có sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa quy nạp, thực nghiệm và suy diễn trong quá trình giải quyết các vấn đề toán học (phần này sẽ được trình bày trong biện pháp 3).

b) Tập luyện cho HS khéo léo, linh hoạt biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ để diễn đạt lại tình huống, bài toán theo một cấu trúc

mới đơn giản hơn, gần gũi hơn với các tri thức đã biết và phù hợp với nhận thức

của HS giúp các em dễ dàng hiểu rõ vấn đề

Trong quá trình học tập môn Toán ở trường THCS, HS có thể diễn đạt vấn

đề cần giải quyết bằng những cách khác nhau bằng việc vận dụng nhóm TP biến

đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ. Chẳng hạn: biểu diễn

dưới dạng ngôn ngữ toán học (hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình,

sơ đồ, biểu đồ…) các bài toán có nội dung thực tiễn; hoặc nhìn đối tượng dưới các góc độ khác nhau: chuyển bài toán hình học (đặc biệt là bài toán cực trị) có

thể về dạng đại số; chuyển một số bài toán đại số (giải phương trình, bất phương

trình…) sang giải bằng đồ thị và một số bài toán khác dựa vào mối liên hệ bên

trong của các đối tượng đó… Để bồi dưỡng nhóm TP này, chúng ta cần chú

trọng các HĐ sau:

i) Tập luyện cho HS diễn đạt các bài toán có nội dung thực tiễn cần giải

quyết theo ngôn ngữ toán học (hình vẽ, hàm số, đồ thị, phương trình, sơ đồ…).

Để hiểu rõ các bài toán có nội dung thực tiễn cần thiết phải chuyển về ngôn ngữ toán học (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, phương trình…), có thể thực hiện qua các giai đoạn: quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề; lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn của toán học. Từ đó, phác họa một đại diện (mô hình toán học: phương trình, đồ thị, sơ đồ, hình vẽ…) tương ứng; HS giải quyết bài toán toán học và đối chiếu mô hình với thực tiễn để kết luận. Tuy nhiên, mỗi giai đoạn không có một quy tắc chung để thực hiện mà tùy từng vấn đề cụ thể và kinh nghiệm cá nhân sẽ chỉ cho chúng ta cách biến đổi vấn đề thực tiễn cần giải quyết sang bài toán toán học một cách thích hợp.

- Hướng dẫn HS khéo léo đưa ra phương trình, hệ phương trình là cách biểu

diễn hợp lý của một bài toán thực tiễn

Trong SGK Toán lớp 8, 9 đã đưa ra các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình cho những dạng toán cơ bản, quen thuộc. Nhưng thực tiễn, có không ít bài toán không thể áp dụng trực tiếp quy trình đó, vì nhiều khi giả thiết có những yếu tố mà người học không thể phiên dịch ngay ra ký hiệu được. Khi đó, chúng ta cần tập trung vào ý nghĩa của bài toán, ý nghĩa của từng lời, làm rõ các quá trình được diễn tả trong bài toán, chỉ ra các đại lượng đặc trưng cho mỗi quá trình (chọn cho chúng những ký hiệu và đơn vị đo); tìm mối liên hệ giữa các đại lượng và viết công thức diễn tả quan hệ đó; biến đổi, phân nhỏ điều kiện để hiểu rõ

hơn VĐ cần giải quyết, có thể cần thiết phải đưa vào một tham số phụ từ đó suy ra

được một phương trình (đây là đại diện hợp lý của bài toán).

Ví dụ 3.5. Một khách du lịch đi từ A đến B đã nhận thấy cứ 15 phút lại thấy một xe Buýt đi cùng chiều vượt qua, cứ 10 phút lại gặp một xe Buýt chạy ngược lại. Biết rằng các xe Buýt đều chạy cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đường. Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe Buýt lại lần lượt rời bến.

Đây là một bài toán có nội dung thực tiễn, không đơn giản với HS THCS. Để các em hiểu được bài toán này, GV yêu cầu các em phân tích bài toán qua các gợi ý: Có những đối tượng nào tham gia vào bài toán? (Khách du lịch, xe Buýt đi

cùng chiều và ngược chiều với người).

Bài toán có những yếu tố nào đã biết? (khách du lịch cứ 15 phút lại thấy một xe buýt đi cùng chiều vượt qua và cứ 10 phút lại gặp một xe buýt chạy ngược lại; các xe buýt đều chạy cùng một vận tốc, khởi hành sau những khoảng thời gian bằng nhau và không dừng lại trên đường).

Yếu tố cần tìm trong bài toán gì? (sau bao nhiêu phút thì các xe Buýt lại lần

lượt rời bến).

Hãy đưa vào ký hiệu thích hợp, thông thường ta ký hiệu cái chưa biết bằng

chữ gì? (ẩn x).

Em có thể biểu diễn quan hệ giữa những yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm bởi

một công thức nào đó không? (Không).

Các dữ kiện có đủ để xác định được ẩn không? Hay không đủ dữ kiện? (HS cảm giác có lẽ còn thiếu dữ kiện, ta chưa biết được cần bao nhiêu thời gian để khách du lịch đi quãng đường đó. Giá mà ta biết được cần bao nhiêu thời gian để khách du lịch đi quãng đường đó thì chẳng còn gì khó khăn nào nữa cả).

Để biểu thị được quan hệ giữa yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm, chúng ta cần biết thêm ít nhất là đại lượng nào? (Câu trả lời mong đợi: Thời gian khách du lịch đi quãng đường đó).

Nếu HS gặp khó khăn, GV có thể gợi ý để HS nhận ra: + Đây là chuyển động đều, nên mối liên hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian được biểu diễn theo công thức v t ; từ đó, các em có thể đưa ra các = . S phương án trả lời câu hỏi trên là: Quãng đường AB, vận tốc của khách du lịch hay thời gian khách du lịch đi quãng đường AB.

> 0a

+ Sau đó, GV cần giúp các em thấy rõ: Nếu biết quãng đường AB hoặc vận tốc người đó đi thì chưa có được mối liên hệ với các yếu tố đã cho và cái cần tìm. Đây chính là chìa khóa giúp ta đi đến lập kế hoạch để giải bài toán, bằng cách: Đưa vào tham số phụ là ký hiệu thích hợp biểu diễn thời gian (phút) người đó đi quãng đường AB bởi chữ a ( ) và tìm công thức biểu diễn mối liên hệ giữa x, a với

những yếu tố đã cho?

a 2 x

a a + 10 15

Vì vậy, người giải biết đưa ra phương trình (với ẩn x là

khoảng thời gian các xe Buýt rời bến, a là tham số chỉ thời gian khách du lịch đi quảng đường AB), đây chính là biểu diễn ngôn ngữ toán học của bài toán đã cho.

Qua ví dụ trên HS nhận ra được để biểu diễn ngôn ngữ toán học hợp lý cho

vấn đề cần giải quyết, ngoài việc chọn đúng ẩn (có thể là trực tiếp đối tượng cần tìm

hoặc gián tiếp qua đối tượng khác) nhằm dễ dàng đưa ra được phương trình biểu

diễn mối liên hệ giữa các đối tượng có trong bài toán, đôi khi người ta còn biểu thị

những đại lượng chưa biết khác bằng chữ (tham số phụ). Điều lý thú là các chữ đó

tuy tham gia vào quá trình giải bài toán nhưng chúng lại không có mặt trong đáp số

của bài toán. Bởi vậy, vấn đề được đặt ra là thông qua nhiều tình huống, HS tìm ra

được tham số phụ để có thể biểu thị mối liên hệ giữa cái cần tìm và cái đã cho bởi

một công thức toán học.

- Hướng dẫn HS khéo léo đưa ra một sơ đồ (sơ đồ đoạn thẳng, sơ đồ Ven…)

là đại diện hợp lý của một bài toán thực tiễn.

Toán

Ngữ văn 80

Nhiều khi, để hiểu rõ một số bài toán thực tiễn, HS THCS có thể biểu diễn nó dưới dạng sơ đồ (điểm, đoạn thẳng, hình tròn…) nhằm dễ dàng thấy được mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán. Trong hình vẽ, mỗi đối tượng được biểu diễn bởi một điểm (đoạn thẳng, hình tròn…). Việc lựa chọn độ dài đoạn thẳng, lựa chọn các hình tròn… để biểu diễn các đại lượng và sắp thứ tự các đoạn thẳng, hình tròn… trong sơ đồ hợp lý sẽ giúp HS tìm được lời giải một cách tường minh và thuận lợi. Sau đây, chúng ta xét một minh họa của việc đưa ra một đại diện hợp lý của bài toán thực tiễn bằng sơ đồ Ven:

Tiếng Anh 90

Hình 3.3

Ví dụ 3.6. Có 200 học sinh một trường THCS tham gia thi học sinh giỏi các môn Toán, Ngữ văn và tiếng Anh. Có 60 bạn chỉ thi môn Toán, 80 bạn thi môn Ngữ văn, 90 bạn thi tiếng Anh. Có 20 bạn tham gia chỉ thi hai môn Ngữ văn và tiếng Anh. Hỏi có bao nhiêu bạn tham gia thi cả ba môn?

Bài toán này, nếu HS suy luận logic để

giải thì sẽ rất khó khăn, nhưng nếu các em biết khéo léo biểu diễn các đại lượng qua sơ đồ Ven (Hình 3.3) thì việc giải bài toán khá đơn giản.

Qua việc giải các bài toán trên, HS nhận ra, để hiểu rõ một bài toán thực tiễn,

thường đưa ra một đại diện hợp lý là phương trình hoặc sơ đồ, hình vẽ. Tuy nhiên,

với những tình huống phức tạp, người học cần phải chính xác hóa tình huống, nghĩa

là phải loại bỏ những gì không bản chất (do chủ thể quan niệm), những mối quan hệ

thứ yếu, sắp xếp lại theo trình tự logic và đưa vào tham số phụ. Giai đoạn này hàm

chứa quá trình phân tích, tổng hợp, so sánh, lý tưởng hóa, để có thể rút ra được những

vấn đề cốt lõi nhất của tình huống và chính là quá trình xây dựng mô hình định tính

cho tình huống thực tiễn.

- Tập luyện cho HS biểu diễn tình huống toán học dưới các cách nhìn khác

nhau bằng cách chuyển đổi ngôn ngữ giữa các lĩnh vực (số học, đại số và hình học) hay chuyển đổi ngôn ngữ trong một phân môn dựa vào mối liên hệ bên trong của

của các đối tượng đó.

Để hiểu rõ vấn đề nhờ diễn đạt tình huống, bài toán bằng việc chuyển đổi ngôn ngữ giữa các lĩnh vực toán học hay nội bộ của một phân môn, chúng ta thường tiến hành như sau: Quan sát đặc điểm của tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề; dựa vào mối liên hệ giữa các phân môn trong Toán học, mối liên hệ giữa đối tượng này với đối tượng khác, mối liên hệ bên trong giữa các bộ phận cấu thành một đối tượng để chọn cách biểu diễn vấn đề hợp lý nhất giúp dễ hiểu và dễ tìm phương án giải quyết. Chẳng hạn:

+ Khi DH định nghĩa, định lý và quy tắc cần khuyến khích HS phát biểu những nội dung này theo cách hiểu riêng của các em dưới nhiều hình thức khác nhau. G. Polya cho rằng: “Một người chỉ biết có định nghĩa của khái niệm mà không biết thêm gì nữa thì bắt buộc phải sử dụng định nghĩa đó. Nhưng nếu chúng ta biết nhiều định lý có thể áp dụng cho khái niệm đó, nếu ta có nhiều kinh nghiệm về cách vận dụng các định lý đó, thì rất có triển vọng là chúng ta chọn được một định lý có ích” [84, tr. 111]. Trong chương trình THCS, nhiều đối tượng toán học được định nghĩa bằng nhiều cách khác nhau, một số định lý toán học cũng có thể thay đổi một vài điều kiện để được một mệnh đề tương đương; nhiều đối tượng toán học cũng có thể nhìn dưới nhiều góc độ khác nhau (chẳng hạn, đường trung tuyến thuộc cạnh đáy của tam giác cân có thể là đường cao, đường phân giác, đường trung trực)… Bởi vậy, trong quá trình DH Toán cần khuyến khích HS phát biểu định nghĩa, định lý theo cách hiểu riêng của các em và dưới nhiều hình thức khác nhau để góp phần đạt được mục đích nói trên.

+ Khi dạy giải bài tập toán cần khuyến khích HS huy động, liên tưởng đến các kiến thức liên quan để có thể phát biểu bài toán dưới nhiều hình thức khác nhau. Theo quan điểm duy vật biện chứng, thế giới tồn tại như một chỉnh thể thống nhất. Các sự vật, hiện tượng và các quá trình cấu thành thế giới đó vừa tách biệt nhau, vừa có sự liên hệ qua lại, thâm nhập và chuyển hóa lẫn nhau [2]. Khi HS có được tri thức về mối liên hệ bên trong giữa các đối tượng toán học thì sẽ giúp các

em thuận lợi trong việc chuyển hóa các liên tưởng để có thể biến đổi vấn đề từ phức tạp về đơn giản hơn. Từ đó, người học hiểu biết sâu sắc hơn về đối tượng và các mối liên hệ của nó giúp dễ dàng huy động kiến thức, khắc phục khó khăn, chướng ngại trong hoạt động tìm tòi tri thức mới. Vì vậy, trong quá trình DH môn Toán cần khuyến khích HS phát biểu định nghĩa, định lý, bài toán theo cách hiểu riêng của người học dưới nhiều hình thức khác nhau để góp phần đạt được mục đích nói trên và hình thành ở các em khả năng sử dụng ngôn ngữ, cách nhìn nhận sự vật hiện tượng theo nhiều cách khác nhau trong mối quan hệ với sự vật hiện tượng khác.

Ví dụ 3.7. Cho sáu số vô tỷ khác nhau. Chứng minh rằng có thể chọn ra được

ba trong sáu số đã cho để tổng của bất kỳ hai trong ba số đó cũng đều là số vô tỷ.

Đây là một bài toán đại số khá phức tạp. GV gợi ý cho HS nghiên cứu đặc

điểm của bài toán và nhận ra hai khả năng xảy ra của tổng hai số vô tỷ, đó là: tổng

của hai số vô tỷ có thể là một số vô tỷ hoặc là một số hữu tỷ. Từ đó, biết đưa ra một

mô hình đại diện hợp lý (dạng hình học) cho bài toán đó như sau:

Coi mỗi số vô tỷ đã cho như là một điểm trong một mặt phẳng (biểu thị 6 số

Hình 3.4

vô tỷ đó là 6 điểm A B C D E F ) và quan hệ về tổng của , , , , ,

2 số là đường nối 2 điểm biểu diễn đó. Vì có 2 khả năng xảy ra của tổng, đó là số vô tỷ hoặc hữu tỷ nên có thể biểu diễn đường nối đó bằng 2 hình thức là tổng là: nếu tổng là số vô tỷ thì đoạn thẳng nối hai điểm tương ứng là đường nét liền, ngược lại là đường nét đứt.

Từ đó, người giải sẽ chứng tỏ được có một tam giác T với ba đỉnh là ba trong

sáu điểm trên, có ba cạnh đều là đường nét liền.

Như vậy, nhờ diễn đạt vấn đề dưới cách nhìn hình học (hình vẽ) của một bài

toán đại số, HS sẽ dễ dàng hiểu rõ được vấn đề.

Ví dụ 1.7 chương 1 là một minh họa cho việc hiểu rõ bài toán bằng việc vận dụng TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ và đưa ra các đại diện là các cách phát biểu khác nhau của bài toán:

+ + n

cho 5 có số dư khác 0 với mọi số tự nhiên n. i) Chứng tỏ phép chia

+ + n

+ + =

có chữ số tận cùng khác 0, 5 với mọi số tự nhiên n. ii) Chứng tỏ

1 5

y không có nghiệm nguyên dương.

iii) Chứng tỏ phương trình

Tóm lại, vận dụng nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ, giúp HS diễn đạt các tình huống, bài toán nhiều cách khác nhau để

có thể hiểu vấn đề theo một cấu trúc mới đơn giản hơn, gần gũi hơn với các tri thức

đã biết và phù hợp với nhận thức của HS. Đây chính là “chìa khóa” để người học dễ

dàng thâm nhập vấn đề và tìm được phương án hiệu quả để giải quyết. Ngược lại,

việc khuyến khích HS phát biểu định nghĩa, định lý, bài toán theo cách hiểu riêng

của họ và dưới nhiều hình thức khác nhau là một yếu tố quan trọng giúp các em biết

hình thành, khắc sâu nhóm TP này một cách ngầm ẩn qua các HĐ.

c) Tập luyện cho HS xác định được các thông tin trong vấn đề đã cho bởi

những vấn đề bộ phận và xác định được thông tin nào là cần thiết, thông tin nào là

thứ yếu để hiểu rõ hơn vấn đề

Phân chia đối tượng theo những tiêu chí nhất định giúp chúng ta hiểu về các

đối tượng một cách đầy đủ hơn, sâu sắc hơn. Từ đặc điểm của nhóm TP, để hiểu rõ

vấn đề chúng ta có thể tiến hành thực hiện như sau:

- Giúp HS nhận ra những tình huống thường vận dụng nhóm TP này để hiểu

vấn đề, đó là: Các vấn đề có kết luận là hội của hai hay nhiều yêu cầu, nhiệm vụ;

các bài toán có giả thiết là tuyển của hai hay nhiều dữ kiện.

- Tập luyện cho HS cách thức suy nghĩ để phân chia và xác định các thông tin trong vấn đề thông qua những yếu tố bộ phận nhờ vận dụng TP phân nhỏ (bằng cách phân nhỏ giả thiết hoặc kết luận) giúp dễ hiểu vấn đề hơn.

- HS sử dụng TP tách biệt nhằm loại bỏ các chi tiết “không cần thiết” và tập

trung vào các yếu tố quan trọng “cần thiết” để hiểu vấn đề.

- Tập cho HS sử dụng TP kết hợp nhằm kết nối các thông tin quan trọng được xác định qua các thông tin bộ phận để có cái nhìn “hoàn thiện” hơn về vấn đề ban đầu. Ví dụ 3.8. Xét bài toán: Cho tam giác đều ABC cố định. Trên đường thẳng chứa cạnh BC lấy một điểm M không nằm trên cạnh BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động thì −MH MK không đổi.

−MH MK

Bài toán này có kết luận là biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

không đổi và giả thiết M nằm trên đường thẳng chứa cạnh BC nhưng ngoài cạnh BC. Do đó, giả thiết có thể được xem là tuyển của hai điều kiện: {M nằm trên tia đối của tia CB} ∪ {M nằm trên tia đối của tia BC}, nên để hiểu rõ bài toán HS có thể phân nhỏ bài toán đã cho thành hai bài toán thành phần dựa vào điều kiện trên, đó là: Bài toán 3.8.1. Cho tam giác đều ABC cố định. Trên tia đối của tia CB lấy một điểm M. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng khi M chuyển động thì MH - MK không đổi.

Bài toán 3.8.2. Cho tam giác đều ABC cố định. Trên tia đối của tia BC lấy

một điểm M. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh AB và AC. Chứng

minh rằng khi M chuyển động thì MK - MH không đổi.

Ví dụ 3.9. Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách

nhau 55km để gặp nhau. Đơn vị đi từ A mỗi giờ đi được 6km, đơn vị đi từ B mỗi giờ

đi được 5km. Một người liên lạc đi xe đạp với vận tốc 12km/h lên đường cùng một

lúc với các đơn vị bộ đội, bắt đầu đi từ A để gặp đơn vị đi từ B. Khi gặp đơn vị này

rồi, người liên lạc lập tức quay về gặp đơn vị đi từ A, và khi gặp đơn vị này lại lập

tức quay về để gặp đơn vị đi từ B và cứ như thế cho đến khi hai đơn vị gặp nhau.

Tính quãng đường người liên lạc đi.

Đây là một bài toán có các chi tiết gây “phiền phức” cho người giải toán.

Nếu cứ tưởng tượng quãng đường đi đi, lại lại của người liên lạc sẽ làm cho bài toán

phức tạp, vì các quãng đường người liên lạc đi, lại luôn thay đổi và ngắn dần cho

đến lúc bằng 0, bởi vậy nếu tính các quãng đường đó thì thật không dễ chút nào!

Ngoài ra, giả thiết “bắt đầu đi từ A” của người liên lạc cũng làm cho HS dễ bị rối

trong việc suy nghĩ. Thật ra người liên lạc bắt đầu đi từ A hay B, thì quãng đường

anh ta đi là như nhau. Bởi vậy, nếu HS biết cách tách các chi tiết “không bản chất, gây phiền phức” thì việc tìm tòi lời giải bài toán khá đơn giản.

Chúng ta đã biết vận tốc của người liên lạc, muốn tính quãng đường thì chỉ cần biết thời gian anh ta đi mà thôi. Thời gian người liên lạc đi cũng chính là thời gian từ lúc khởi hành cho đến lúc gặp nhau của hai đơn vị bộ đội. Do đó, vấn đề là chỉ cần tìm thời gian hai đơn vị bộ đội gặp nhau. Bằng cách tách khỏi các dữ kiện “gây phiền phức” về “người liên lạc” trong bài toán này ta có bài toán chuyển động dạng quen thuộc: “Hai đơn vị bộ đội cùng một lúc đi từ hai địa điểm A và B cách nhau 55km để gặp nhau. Đơn vị đi từ A mỗi giờ đi được 6km, đơn vị đi từ B mỗi giờ đi được 5km. Hỏi sau thời gian bao lâu thì hai đơn vị bộ đội đó gặp nhau?”. Kết hợp với các dữ kiện về vận tốc của người liên lạc người giải dễ dàng tìm được quãng đường mà anh ta đã đi.

Như vậy, các TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp giúp người học dễ dàng thâm nhập được VĐ và ngược lại, quá trình tìm hiểu VĐ đã góp phần bồi dưỡng nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới cho HS. 3.2.2.4. Những vấn đề cần lưu ý khi sử dụng biện pháp - GV cần giúp HS nắm vững các dạng toán tiêu biểu cho việc vận dụng mỗi nhóm TP để phát hiện vấn đề, hiểu rõ hơn vấn đề cần giải quyết; từ đó, biết lựa chọn và sử dụng đúng TPHĐNT cần thiết.

- Để hiểu được vấn đề, người học có thể không chỉ sử dụng một TP mà cần kết hợp nhiều TP, chúng có mối liên hệ mật thiết, đan xen lẫn nhau. Bởi vậy, việc

bồi dưỡng các TP không thể tiến hành độc lập mà cần có sự phối hợp linh hoạt,

hợp lý.

3.2.3. Biện pháp 3. Tập luyện cho học sinh hình thành và vận dụng hợp lý các thủ pháp hoạt động nhận thức trong giai đoạn lập kế hoạch giải quyết vấn đề

3.2.3.1. Mục đích của biện pháp Biện pháp này góp phần bồi dưỡng các nhóm TP: cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới; bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm, cần khám phá; chuyển hóa các liên tưởng nhằm huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề. Mặt khác, khi HS biết vận dụng những TP đó một cách thích hợp các em sẽ phát triển khả năng tìm phương án hiệu quả để giải quyết vấn đề.

3.2.3.2. Cơ sở của biện pháp Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, các hình thức, các nhân tố trong sơ đồ 1.5, các giai đoạn theo sơ đồ 1.6 để bồi dưỡng TPHĐNT và tư tưởng (T2a) về dạy học tích cực của G. Polya.

Mặt khác, theo (T4b) của G. Polya, trên cơ sở hiểu rõ vấn đề, HS có thể tìm cách tiếp cận phù hợp để kết nối các kiến thức và các thông tin với nhau nhằm chọn lựa giải pháp hiệu quả giải quyết vấn đề khi biết sử dụng hợp lý TPHĐNT.

Do đó, quá trình lập một kế hoạch (hay tìm giải pháp) giải quyết vấn đề đóng

vai trò quan trọng trong việc hình thành và khắc sâu các TPHĐNT cho HS.

3.2.3.3. Tổ chức thực hiện biện pháp Khi bàn luận về giai đoạn lập một kế hoạch giải quyết vấn đề, GS. Ngô Bảo Châu [131] đề xuất “Tôi muốn đổi giai đoạn này thành “Viết một kịch bản”, tức là viết một scenario. Về mặt ý nghĩa thì việc thay đổi cách gọi tên này không làm mọi chuyện khác đi…”. Theo giáo sư, cần phải xây dựng một vở kịch mà trong đó ta biết điểm xuất phát, chẳng hạn các giả thiết của bài toán và ta cũng biết điểm kết luận của bài toán, tức là một bài toán mà ta đã hiểu được rồi. Bởi vậy, để có thể viết được kịch bản tốt, thì trước hết cần phải có “các diễn viên”, các luật chơi, nội lực và ngoại lực. GS. Ngô Bảo Châu cho rằng, với một vấn đề nào đấy, sau khi bạn đã hiểu một cách cặn kẽ những điểm khó khăn thì bạn cần phải cảm nhận được đâu là khó khăn chính, đâu là khó khăn phụ. Trước hết, bạn hãy loại bỏ tất cả các khó khăn phụ, bạn coi như những khó khăn phụ là không tồn tại và hãy xây dựng một kịch bản mà chỉ nhằm vào việc giải quyết các khó khăn chính. Ngoài ra, theo GS. Ngô Bảo Châu để “viết một kịch bản” bạn cần phải tìm ra các “diễn viên ẩn mình”. Trong toán học, thì các diễn viên ẩn mình thường là các “cấu trúc toán học”, những cấu trúc mà bình thường thì bạn thấy nó rất khô khan, vô bổ, nhưng trong các vở kịch thì nó lại chi phối sự vận động. Lúc đó có một lời khuyên quan trọng là: Bạn hãy tạm thời quên bài toán của mình đi và bấy giờ bạn chỉ còn tập trung nghiên cứu về những diễn viên ẩn mình đó”.

Mặt khác, sau khi hoàn thiện việc lập một kế hoạch thì người giải toán cần

phải thực hiện kế hoạch đã xây dựng. Vì vậy, các giai đoạn lập một kế hoạch và

thực hiện kế hoạch là một thể thống nhất không tách rời nhau đòi hỏi việc vận dụng

hợp lý, linh hoạt các TPHĐNT. Để hình thành và khắc sâu các TPHĐNT trong giai

đoạn lập kế hoạch giải quyết vấn đề cho HS, cần thực hiện như sau:

a) Tập luyện cho HS biết phân chia vấn đề thành các vấn đề thành phần đơn

giản hơn; loại bỏ những chi tiết “không cần thiết” và biết kết hợp các yếu tố một cách hợp lý để tìm phương án giải quyết vấn đề ban đầu.

M. Alecxeep và các cộng sự [1], cho rằng: Khi giải quyết một vấn đề phức

tạp cần tách vấn đề khởi điểm thành nhiều vấn đề (giai đoạn, bước) nhỏ quy tụ vào

nó và dẫn dắt đến chỗ tìm ra điều cần biết (thực hiện chức năng gợi mở). Các vấn

đề nhỏ, có tính chất bộ phận chính là các yếu tố cấu trúc của sự tìm tòi trí tuệ khi

giải quyết vấn đề. Chúng gắn bó với nhau không phải bằng một mối liên hệ có

tính chất hình thức mà được vạch ra một cách có trình tự từ vấn đề này phát triển thành vấn đề kia và từng bước một chúng hướng tư tưởng vận động đến chỗ tìm ra điều cần biết.

Để tìm được phương án hiệu quả giải quyết một tình huống nhận thức phức tạp, HS cần biết phân nhỏ các yếu tố của vấn đề, tách thông tin “cần thiết” ra từ các chỉnh thể phức tạp, nghĩa là cách ly thông tin ra và xem xét chúng. Cùng với việc phân nhỏ, tách thông tin ra một cách riêng rẽ sẽ có cái nhìn mới về tổng thể thuận lợi hơn, triển vọng hơn khi kết hợp các đối tượng. Vì vậy, các TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp liên hệ chặt chẽ với nhau trong một thể thống nhất, xen kẽ nhau, bổ sung lẫn nhau, thúc đẩy quá trình giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. Muốn bồi dưỡng các TP này cho HS trong quá trình tìm giải pháp, chúng ta cần tiến hành:

Thứ nhất, giúp người học xác định được các tình huống nhận thức thường sử

dụng TP này, đó là:

- Các bài toán có kết luận là hội của hai hay nhiều yêu cầu, nhiệm vụ; người giải biết phân nhỏ bài toán ban đầu thành các bài toán thành phần dựa vào cách chia nhỏ kết luận hoặc sau khi chia nhỏ cần tách các thành phần “cần thiết” để giải quyết (loại bỏ phần “không cần thiết”).

- Các bài toán có giả thiết là tuyển của hai hay nhiều dữ kiện, điều kiện; người giải có thể phân nhỏ bài toán ban đầu thành các bài toán thành phần dựa vào cách chia nhỏ giả thiết. Đặc biệt, một số bài toán mà với kiến thức ở vùng phát triển hiện tại, HS chỉ giải quyết được một phần tương ứng với một số trường hợp riêng, khi đó người giải phải khéo léo chia bài toán ban đầu thành các bài toán bộ phận trong đó có những trường hợp riêng đã giải quyết được, rồi lấy đó làm “điểm tựa”

để giải quyết bài toán trong những trường hợp còn lại nhờ việc đưa học sinh đến vùng phát triển rất gần theo lý thuyết của L. X. Vưgotxki.

- Biến đổi bài toán về dạng dễ “tháo, lắp” với các bài toán không thể giải quyết được trọn gói, một lần nhưng chưa ở dạng để có thể chia nhỏ thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn (“tháo, lắp” được hiểu là có thể chia bài toán ban đầu thành các bài toán thành phần và tổng hợp các bài toán thành phần đó để có lời giải bài toán ban đầu).

Thứ hai, giúp người học biết quan sát đặc điểm của vấn đề và liên tưởng tới những kiến thức đã biết để tìm tòi lời giải bằng cách chia vấn đề thành các bộ phận độc lập, đầy đủ theo một tiêu chí nào đó và có thể loại bỏ những chi tiết “gây phiền phức”, không cần thiết ra khỏi vấn đề cần giải quyết.

Khi đứng trước một bài toán cần giải, GV cần tập cho người học luôn có ý thức quan sát, tiếp cận với đối tượng nghiên cứu và nhận ra trên các kí hiệu (chữ số, dấu phép tính, quan hệ…), hình vẽ đang xét… một biểu thức, hình tượng quen thuộc, hay việc áp dụng một định lý đã biết nào đó. Từ đó, các em sẽ phát hiện được lời giải (hoặc lời giải hay) của bài toán ban đầu nhờ việc chia nhỏ bài toán. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý nếu chia bài toán quá nhiều và quá nhỏ sẽ làm cản trở suy nghĩ, sẽ bị “ngập” trong cái chi tiết mà không tập trung được vào điểm mấu chốt và nhìn ra được điểm mấu chốt, đó chính là trường hợp người thấy cây mà không thấy rừng [87]. GV cần giúp HS nghiên cứu đặc điểm của bài toán, phải xem xét bài toán một cách tổng thể để tìm cách phân chia bài toán thành những bài toán thành phần thích hợp trong từng tình huống cụ thể. Đặc biệt, là phân chia thành các bài toán bộ phận dựa trên sự phân chia giả thiết, kết luận của bài toán. Để thực hiện tốt khâu này, GV nên tổ chức như sau: - Yêu cầu HS giải một số dạng toán không thể giải quyết được trọn gói,

một lần;

- GV gợi ý HS quan tâm các đặc điểm của giả thiết, kết luận trong bài toán

cần thiết cho sự phân chia bài toán;

= ∅

≠

- GV giúp HS có các liên tưởng với những kiến thức đã biết và đưa ra tiêu chí phù hợp với đặc điểm của bài toán để chia bài toán thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn và đảm bảo tính độc lập, đầy đủ (nghĩa là: bài toán A được chia thành

A );

,∩

,...,

A sao cho

j i ; ,

A i

A A , 1 2

=∪ A 1

∈ và n 1,

n bài toán với

- HS giải các bài toán thành phần cần thiết tương ứng với sự phân chia (loại bỏ những chi tiết không cần thiết); nếu chưa giải quyết được trọn gói, một lần GV gợi ý giúp các em tiếp tục phân thành những bài toán nhỏ hơn nữa; cứ như vậy cho đến khi những bài toán nhỏ cần giải là những bài toán đã có dạng chuẩn;

- Kết hợp các bài toán thành phần đó để có lời giải bài toán ban đầu.

Thứ ba, rèn luyện cho học sinh khả năng biến đổi bài toán về dạng dễ chia

nhỏ giúp dễ dàng phát hiện phần “không cần thiết” để loại bỏ khỏi vấn đề

Việc biến đổi bài toán một cách thích hợp mang lại những mô hình mới, tạo ra

những liên hệ mới, những khả năng mới làm sống lại trong trí nhớ của người giải

toán những gì đã biết có liên quan đến bài toán ban đầu. Do đó, với nhiều bài toán

phức tạp, không giải quyết trọn gói được một lần mà chưa có dạng dễ “tháo, lắp”, GV

cần chú trọng cho HS biến đổi bài toán về dạng dễ “tháo, lắp” để chia thành các bài

toán bộ phận đơn giản, quen thuộc rồi kết hợp lại để suy ra lời giải bài toán ban đầu.

Thứ tư, tập cho HS biết thiết lập các mối liên kết từ sự kết hợp những ý

tưởng, tính chất, chức năng... của những đối tượng khác với đối tượng cho trước và

các mối liên hệ bên trong của đối tượng để có được sản phẩm sáng tạo.

Thứ năm, chú trọng rèn luyện cho HS các thao tác tư duy phân tích và tổng

hợp để bồi dưỡng các TP phân nhỏ, tách biệt và kết hợp trong GQVĐ.

Để giúp HS biết phân nhỏ, tách biệt hợp lý, GV phải hướng dẫn HS nắm

vững yêu cầu phân nhỏ ở trên và cần lưu ý: Xét những khả năng xảy ra của các đối

tượng tham gia vào bài toán; xét mối quan hệ giữa các đối tượng, từ đó đưa ra lược

đồ phân chia (để tránh phân chia lặp, hay bỏ sót). Hơn nữa, cần biết liên tưởng và

huy động kiến thức một cách hợp lý để loại bỏ những chi tiết “không cần thiết, gây

phiền phức”, tách bộ phần “cần thiết, có ích” để xem xét sẽ giúp họ dễ dàng trong

tìm tòi lời giải bài toán.

Ví dụ, trở lại bài toán 3.4.1 trong ví dụ 3.4, để tìm giải pháp và thực hiện lời

giải. Người học dễ dàng nhận thấy sau khi đưa ra được giả thuyết dự đoán “với n là

= + + + 1! 2! ...

n không là số chính phương”, các em phải

số tự nhiên lớn hơn 3 thì

chứng minh bằng suy diễn để khẳng định hay bác bỏ dự đoán này. Kết hợp định

5≥n

!n có chứa

nghĩa giai thừa của một số tự nhiên, HS dễ dàng nhận thấy với thì

5≥n

+ + +

các thừa số 2 và 5 nên sẽ tận cùng bằng 0. Do đó, với chữ số tận cùng của A

và bằng 3. Vì vậy, dễ dàng tìm luôn bằng chữ số tận cùng của 1! 2! 3! 4! 33



≥

được phương án giải quyết bài toán ban đầu thông qua hai bài toán bộ phận (bằng cách

} 4

≤

chia tập số tự nhiên khác 0 thành ) như sau:

= + + + 1! 2! ...

n là một số

n ∈

{ = ∈ n 1) Với giá trị nào của n với {

} { ≤ ∪ ∈ n 3 } 3

thì

chính phương?

4≥n

= + + + 1! 2! ...

n không

thì 2) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên

là số chính phương.

Tương tự, các bài toán trong ví dụ 1.1, ví dụ 3.1 sau khi quy nạp thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng, người học cũng dễ dàng tìm được phương án giải quyết bài toán ban đầu qua việc phân nhỏ thành các bài toán bộ phận.

Hoặc khi giải một bài toán hình học, trong giả thiết là tổ hợp nhiều điều kiện khác nhau, đặc trưng cho các đối tượng hình học khác nhau; chúng ta thường vẽ một hình ứng với một trường hợp trong nhiều trường hợp xảy ra để làm điểm tựa trực quan cho giải toán; nhiều khi hình vẽ đó không bao quát cho nhiều trường hợp xảy ra nên dẫn đến bỏ sót các trường hợp trong lập luận chứng minh, trong quá trình giải bài tập toán. Vì vậy, vấn đề đặt ra là chúng ta phải biết phân nhỏ bài toán một cách thích hợp thành các bài toán thành phần.

Ví dụ 3.2 ở phần trước là một minh họa cho việc phân nhỏ bài toán hình học thành các bài toán bộ phận một cách thích hợp, nhờ phân nhỏ giả thiết M thuộc cạnh BC thành các trường hợp: M trùng B, M trùng C, M trùng trung điểm I của BC và M thuộc BI, M thuộc CI.

Chúng ta xét thêm một minh họa bởi bài toán số học: Ví dụ 3.10. Cho 5 số tự nhiên đôi một khác nhau, sao cho tổng của 3 số bất kỳ trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 . Chứng minh rằng mỗi số tự nhiên trong 5 số đó đều lớn hơn 2016 .

Với tình huống này, GV có thể tổ chức các HĐ sau để tách biệt phần cần

thiết và tìm tòi lời giải bài toán.

HĐ 1: GV giúp HS nhận ra, với bài toán này có vô số các bộ 5 số thỏa mãn,

do đó không thể tìm lời giải bằng cách thử.

HĐ 2: GV cần giúp HS để từ giả thiết và kết luận họ có những liên tưởng phù hợp. Chẳng hạn, với giả thiết “ 5 số tự nhiên đôi một khác nhau” giúp người giải liên tưởng đến “chúng có số bé nhất và sắp xếp được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn” và từ kết luận, các em biết đó là “hội” của 5 yêu cầu “mỗi số đều lớn hơn 2016”.

HĐ 3: Chứng minh mỗi số tự nhiên đó lớn hơn 2016 và tách phần “cần thiết”

là“Chứng minh số nhỏ nhất trong 5 số tự nhiên đó lớn hơn 2016 ” để giải quyết.

HĐ 4: Kết hợp giả thiết “tổng của 3 số bất kỳ trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 ” với kết luận của bài toán, giúp người giải nghĩ đến + GV gợi ý cho HS liên tưởng đến tính chất “hiệu của hai việc tách 2016 2014 2.

số tự nhiên không kề nhau lớn hơn 1”, từ đó các em sẽ biết so sánh “ 2016 nhỏ hơn 2014 cộng với tổng của 2 biểu thức mà mỗi biểu thức là hiệu của hai số tự nhiên không kề nhau”. Do đó, tách phần “đơn giản” để xét và biến đổi là “tổng của 3 số nhỏ nhất trong 5 số đó lớn hơn tổng của 2 số còn lại cộng với 2014 ” dễ dàng có điều cần chứng minh.

HĐ 5 (Trình bày giải pháp): Thật vậy, gọi 5 số đó là

a a a a a , vì , a Mặt khác, kết hợp với giả 5.

a 1

a 3

a 4

chúng đôi một khác nhau nên giả sử

a 1

a 3

−

thiết còn lại ta có:

+ a 5 2014 + ) 2014

(

)

(

a 1

a 4

a 2

a 5

a 3

>a 1 2016

. suy ra . Kết hợp các chi tiết Do đó

tách ra và các kiến thức đã biết ta có lời giải bài toán.

* Ngoài ra, cần chú trọng việc tập luyện cho HS đổi vị trí và nhóm các yếu tố

một cách hợp lý nhằm thay đổi “cấu trúc” và có thể làm thay đổi trọng tâm bài

toán theo quan niệm của người giải để phân chia bài toán ban đầu thành các bài

toán bộ phận đơn giản hơn.

Để thực hiện cách thức này chúng ta có thể tiến hành như sau:

+ Tập cho HS biết quan sát đặc điểm của bài toán và khai thác triệt để các

yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm.

+ Giúp HS liên tưởng với các tri thức đã biết (các hằng đẳng thức, các định lý, các quy tắc, công thức, các bài toán…) nhằm phát hiện việc thay đổi vị trí và nhóm các yếu tố một cách hợp lý để phân nhóm dữ liệu; từ đó, chia bài toán ban đầu thành các bài toán bộ phận đơn giản hơn.

−

= M x

26 y

45.

−

Ví dụ 3.11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 36 2 +

)

−

Phần còn lại HS tiếp tục phân nhóm để xây dựng

25 y

và cuối

−

− 36 2

(

)

(

−

− − y

(

)

(

) 1

GV yêu cầu HS quan sát bài toán để nhận ra: Đây là một đa thức bậc hai của x (y) và hai biến x, y phụ thuộc nhau nên cần phân nhỏ M thành tổng các biểu thức là bình phương của một đa thức nào đó. Ở đây, hạng tử x2 có hệ số bằng 1, có hạng tử (-2xy) nên tất cả các hạng tử chứa x phải nhóm vào biểu thức bình phương của một tổng (chứa cả x và y). Từ đó, các em biết đổi vị trí các số hạng và nhóm các số hạng để xuất hiện điều này và tìm được các hạng tử của biểu thức thứ nhất, đó là ( biểu thức thứ hai là bình phương của một tổng với ẩn y, gồm các hạng tử chứa y ) còn lại và hệ số tự do để tạo thành bình phương đúng, đó là ( cùng chỉ còn lại hệ số tự do. Khi đó, ta có thể phân nhỏ biểu thức M như sau:

−

Do đó, muốn giải bài toán trên người học chỉ cần giải hai bài toán thành phần:

− − y

(

)2 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: và .

Kết hợp các bài toán trên ta có lời giải bài toán ban đầu. HS dễ dàng tìm

được min M = 4 khi và chỉ khi

Như vậy, với sự quan sát, suy luận, liên tưởng và huy động kiến thức một

cách hợp lý, người học biết phân nhỏ bài toán ban đầu thành các bài toán thành

phần quen thuộc, đơn giản hơn và biết loại bỏ “phần không cần thiết” giúp họ dễ

dàng vận dụng những kiến thức đã biết để tìm tòi lời giải bài toán ban đầu.

b) Bổ sung các bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ… giúp HS dễ dàng tìm

phương án giải quyết vấn đề

Trong chương trình môn Toán ở trường THCS, có nhiều định lý và bài toán

mà với những yếu tố đã cho chúng ta chưa thể tìm được phương án giải quyết. Với

những tình huống đó, theo G. Polya “Trong khi đi dần tới cách giải, chúng ta bổ

sung thêm những phần tử mới vào các phần tử khảo sát lúc đầu. Phần tử mà ta đưa vào với hy vọng giúp ta tiến tới tìm được cách giải bài toán, gọi là phần tử phụ” [84,

tr. 53]. Theo tác giả, “bổ sung” là thêm những chi tiết mới, đưa vào những yếu tố

phụ, những hiểu biết của chúng ta về bài toán để khắc phục các “lỗ hổng” và làm cho bài toán được hoàn thiện nhất định. Từ đó, chúng ta đã có được “một ý chói lọi” trong quan niệm mới về bài toán sau khi bổ sung những phần tử phụ nhất định để có được một “chìa khóa có thể đưa tới một ý quyết định trong việc tìm được giải pháp hiệu quả giải quyết vấn đề. Bởi vậy, chúng ta cần tiến hành giúp HS thực hiện hiệu quả các hoạt động sau:

Thứ nhất, giúp người học xác định được các yếu tố phụ thường sử dụng và

một số tình huống nhận thức thường sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ.

- Các yếu tố phụ thường dùng trong dạy học môn Toán ở trường THCS là: Bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ, tham số phụ... Mỗi yếu tố phụ lại gồm nhiều thành phần, chẳng hạn, hình phụ có thể là: Điểm (trung điểm, điểm chia trong, chia ngoài đoạn thẳng theo một tỷ số cho trước...); tia (tia đối của một tia, tia phân giác của một góc, tia hợp với một tia cho trước một góc cho trước...); đoạn thẳng (đoạn thẳng nối hai điểm cho trước, đoạn thẳng bằng k lần đoạn thẳng cho trước, dây cung chung của hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm của hai đường tròn...); góc (góc bằng k lần góc cho trước, góc có số đo đặc biệt...); đường thẳng (đường thẳng qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước, đường thẳng đi qua một điểm cho trước là tiếp tuyến của một đường tròn...); đường tròn (nội tiếp, ngoại tiếp một đa giác...).

- Một số tình huống DH thường bổ sung yếu tố phụ: + Bổ sung bài toán phụ trong chứng minh định lý và giải bài tập toán.

+ Đặt ẩn phụ trong giải các bài toán đại số (phương trình, bất phương trình,

hệ phương trình, hệ bất phương trình; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức;...) mà

giữa các đại lượng tham gia trong bài toán có một mối liên hệ nào đó (được biểu

hiện bởi các hệ thức toán học) mà nhờ các mối liên hệ này, các đại lượng này biểu

diễn được qua đại lượng kia (có thể hoàn toàn hoặc không hoàn toàn).

+ Vẽ hình phụ trong chứng minh định lý hay giải toán hình học với những

bài toán mà mối liên kết giữa các yếu tố đã cho chưa tìm ra phương án giải, HS cần

phải dùng đến kinh nghiệm, kỹ năng để tìm ra phương hướng giải quyết bằng cách

bổ sung thêm điểm phụ, đường phụ...

Thứ hai, tập luyện cho HS biết sử dụng một số hướng để bổ sung yếu tố phụ.

Thông thường các yếu tố phụ cần bổ sung khi tìm phương án giải quyết vấn

đề đều ở dạng không tường minh. HS cần phải có kinh nghiệm nhất định khi suy

nghĩ, mò mẫm, tìm đoán dựa vào các yếu tố đã cho và các yêu cầu của bài toán; từ

đó chọn lựa yếu tố phụ thích hợp. Tuy vậy, người học có thể suy nghĩ bổ sung các

yếu tố phụ theo các hướng sau:

- Bổ sung các bài toán phụ có thể là: Bài toán đặc biệt, bài toán tổng quát, bài toán tương tự... Theo G. Polya, muốn giải bài toán ban đầu, nhiều khi, trước hết phải giải một bài toán khác, ta gọi đó là bài toán phụ, bài toán này là trường hợp của bài toán ban đầu. Trong khi giải bài toán ban đầu khá tế nhị thì bài toán phụ dễ giải hơn, nên ít có tham vọng hơn bài toán ban đầu. Làm thế nào để giải được bài toán ban đầu từ bài toán phụ? Ta có thể giải được bài toán ban đầu nhờ hai điều nhận xét. Trước hết nghĩ ra được bài toán phụ; sau nữa, ta đã có nhận xét quan trọng nhờ đó ta có thể chuyển qua bài toán ban đầu. Như vậy, chúng ta đã giải bài toán qua hai giai đoạn, cũng như đã vượt qua một con suối nhờ hai bước, nếu ở giữa suối có một tảng đá mà ta có thể đặt chân lên đấy.

- Bổ sung ẩn phụ: Đặt ẩn phụ giữ nguyên số phương trình và số ẩn; đặt ẩn phụ chuyển bài toán ít ẩn, ít phương trình thành bài toán nhiều ẩn, nhiều phương trình; đặt ẩn phụ chuyển đẳng thức, bất đẳng thức, bất phương trình, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất phức tạp về dạng đơn giản hơn...

- Bổ sung hình phụ: Bổ sung hình phụ có liên quan đến những yếu tố có trong hình vẽ; bổ sung hình phụ bằng cách xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố trong bài toán; bổ sung hình phụ nhờ phân tích yếu tố cần giải quyết trong các tình huống tri thức mới bằng các cách khác nhau dựa vào mối liên tưởng với các yếu tố đã cho, tri thức đã biết; phân tích đi lên, trong các chuỗi suy luận ở “điểm nút” nào bế tắc sẽ xuất hiện cách tháo gỡ bằng cách vẽ hình phụ thích hợp; bổ sung hình phụ nhờ chuyển đổi hình thức của vấn đề (làm bộc lộ nội dung) khi

gặp chướng ngại, khó khăn trong việc liên hệ điều cần giải quyết với những yếu

tố đã cho, những tri thức đã có; dùng các phép biến hình để liên kết các dữ kiện

rời rạc với nhau làm cho các yếu tố của bài toán nằm trong một hình thuận lợi.

Tuy nhiên, việc bổ sung yếu tố phụ rất đa dạng, không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi HS phải biết dự đoán tốt, trên cơ sở các suy luận hợp lý. Theo G. Polya, “Cái lý do buộc phải đưa vào một phần tử phụ nào đó có thể là khác nhau nhưng phải có lý do của nó. Không nên đưa vào những phần tử mà không có một lý do nào cả” [84, tr.54].

Sau đây, chúng tôi trình bày ví dụ về bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ cho

HS trong DH hình học:

Ví dụ 3.12. Hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Có nhiều cách thức để hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ. Trong ví

dụ này, chúng tôi trình bày một số cách thức thường sử dụng, đó là:

i) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố đã cho và yếu tố cần tìm trong tình huống cần giải quyết bằng cách khai thác mối liên hệ nhân quả của yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và yếu tố cần tìm nhằm phát hiện ra yếu tố phụ cần bổ sung

Theo [76, tr. 12], “Liên tưởng nhân quả có vai trò đặc biệt quan trọng trong các quá trình trí tuệ”. Trên cơ sở tính khách quan, tính phổ biến của mối liên hệ nhân quả theo quan điểm duy vật biện chứng, cụ thể: Một nguyên nhân có thể sinh ra nhiều kết quả và một kết quả cũng có thể do nhiều nguyên nhân gây ra, GV cần tập luyện cho HS thói quen biết phân tích yếu tố cần tìm của bài toán một cách toàn diện, đầy đủ để tìm ra yếu tố phụ cần bổ sung trên cơ sở những yếu tố đã cho và kiến thức đã biết. Có thể có nhiều cách khác nhau để bổ sung yếu tố phụ trong một tình huống DH Hình học nhờ mối liên hệ nhân quả. Sau đây, chúng tôi trình bày một số định hướng hữu ích để HS có thể nhanh chóng xác định được các yếu tố phụ thích hợp, chẳng hạn:

+ Nếu điều kiện cần tìm liên quan đến độ dài các đoạn thẳng, độ lớn của góc thì chúng ta thường sử dụng các tam giác bằng nhau, tính chất các đường đặc biệt của tam giác, hình bình hành (chữ nhật, thoi, vuông), đường tròn…; nếu điều cần chứng minh liên quan đến tích độ dài ta thường sử dụng tam giác đồng dạng…

+ Nếu các yếu tố đã cho có trung điểm của một đoạn thẳng thì có thể liên hệ với đường với đường trung tuyến (của tam giác), đường trung bình đi qua nó (tam giác, hình thang), tâm của hình bình hành nhận đoạn thẳng đó làm một đường chéo, trung điểm của một dây trong đường tròn…; nếu cho dây cung ta nghĩ đến đường kính, bán kính đi qua trung điểm hoặc qua đầu dây cung; hai đường tròn thường liên hệ với đường nối tâm, tiếp tuyến chung, dây cung; cho tam giác hoặc tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° (hay có hai đỉnh cùng nhìn một đoạn thẳng dưới các góc bằng nhau) ta thường nghĩ đến đường tròn ngoại tiếp…

Thực hiện cách thức này chúng ta có thể tiến hành như sau: 1) Tập luyện cho

HS khai thác đặc điểm, tính chất của yếu tố đã cho để tìm định hướng bổ sung yếu

tố phụ có liên quan đến vấn đề cần giải quyết; 2) Tập luyện cho HS phân tích yếu tố

cần tìm trong mối liên hệ với yếu tố đã cho để xác định các hướng có thể bổ sung

yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề về dạng quen thuộc.

Để minh họa cho các ý tưởng trên, chúng tôi dẫn ra đây bài toán:

Bài toán 3.12.1. Cho góc xOy và điểm I thuộc miền trong của góc đó. Dựng

đường thẳng d đi qua I lần lượt cắt các cạnh Ox, Oy tại các điểm M, N sao cho I là

trung điểm của đoạn MN.

'O nằm khác phía O đối với I và dựng qua

Đối tượng nhận thức trong tình huống này là: Phương pháp dựng đường IM IN Như vậy, .

Hình 3.5a y

thẳng qua I cắt hai nửa đường thẳng giao nhau tại M, N sao cho điểm M, N cần dựng có thể được xuất phát từ các nguồn gốc sau: +) M, N là hai đỉnh đối diệncủa hình bình hành có tâm là I, khi đó vẽ hình phụ là hình bình hành tâm I, bằng cách: Xác định 'O trên đường thẳng OI sao cho =IO IO , 'O ' các đường thẳng lần lượt song song với Oy và Ox cắt Ox và Oy tương ứng tại M, N (Hình 3.5a).

tâm I, khi đó hình phụ là ảnh +) M là ảnh đối xứng của N qua phép đối xứng 'O y của Oy qua phép đối '

Hình 3.5b

∩ = xứng tâm I, suy ra M Ox O y (Hình 3.5b). ' '

tại M; MI cắt Oy

O IM ) (Hình 3.5b).

OIN

+) IM, IN là hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau. Ta bổ sung yếu tố phụ là điểm O’ trên tia đối của IO sao cho IO’=IO, dựng đường thẳng O’y’//Oy cắt Ox tại N = ∆ ∆ (

trên tia đối IP lấy điểm Q sao cho Hoặc, qua I kẻ đường thẳng bất kỳ cắt Oy tại P, =IP IQ , kẻ Qz//Oy

Hình 3.5c

Q y

cắt Ox tại M; MI cắt Oy tại N (Hình 3.5c).

+) MN là cạnh của một tam giác nhận đường thẳng qua I song song với Ox (Oy) làm đường trung bình. Do đó, bằng cách vẽ đường thẳng IK//Ox ( ∈K Oy ) ta có K xác định. Trên Oy lấy điểm N nằm =OK KN Từ đó suy ra

Hình 3.5d

khác phía O đối với K, sao cho cách dựng d đi qua N và I (Hình 3.5d).

Qua bài toán trên, chúng ta thấy việc phân tích

mối liên hệ giữa yếu tố cần tìm với yếu tố đã cho, kiến thức đã biết và liên tưởng

đến những kiến thức liên quan giúp người học biết bổ sung yếu tố phụ hợp lý để có

thể tìm được nhiều cách khác nhau; từ đó, có được lời giải tối ưu của bài toán. Tuy

nhiên, để HS có nhiều sự liên tưởng thì các em phải có nhiều “hình ảnh” liên quan

đến đối tượng nghiên cứu. Do đó, trong quá trình DH, GV thường xuyên cần trang

bị cho người học nền kiến thức vững chắc và tích lũy nhiều kỹ năng, kinh nghiệm

để khi gặp tình huống cụ thể các em có thể rút ra và vận dụng thích hợp, giúp bức

tranh về đối tượng nghiên cứu hoàn thiện hơn nhằm giải quyết hiệu quả vấn đề.

ii) Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ nhờ chuyển đổi hình thức của vấn

đề khi gặp chướng ngại, khó khăn trong việc liên hệ yếu tố cần tìm với những yếu tố

đã cho, kiến thức đã biết

Thực hiện cách thức này, giúp HS biết biến đổi đối tượng bằng cách chuyển

hóa hình thức của đối tượng cho phù hợp với nội dung (dựa trên cơ sở của quan điểm

triết học duy vật biện chứng: cùng một nội dung, trong quá trình phát triển có thể được

thể hiện dưới nhiều hình thức và ngược lại), để “bóc trần” nội dung thuận tiện cho việc

huy động kiến thức đã có của HS nhằm gợi ra hướng bổ sung các yếu tố phụ và từ đó

đi đến việc giải quyết vấn đề.

Mặt khác, trong hoạt động nhận thức, lúc đầu đối tượng có thể tồn tại độc lập

với chủ thể HS. Do đó, để chủ thể có thể xâm nhập vào đối tượng (hiểu, giải thích

và vận dụng chúng với tư cách là sản phẩm thực sự của hoạt động) thì họ phải tiến

hành biến đổi đối tượng sao cho dễ dàng huy động các kiến thức đã có. Việc biến

đổi bài toán (đặc biệt là biến đổi kết luận về dạng tương đương là phương thức đơn

giản, thường được “thử nghiệm” đầu tiên) từ chỗ chưa nhìn thấy hướng giải, hướng

sử dụng yếu tố phụ thành dạng có hy vọng gợi ra hướng bổ sung yếu tố phụ để đi

đến lời giải là điều hết sức cần thiết đối với các em. G. Polya cho rằng: “Thành

công trong việc giải bài toán phụ thuộc vào việc chọn con đường đúng và phụ thuộc

vào việc ta tấn công pháo đài có đúng mặt yếu của nó hay không. Để thấy được con

đường nào đúng hơn, phía nào dễ qua hơn, ta phải xét bài toán theo nhiều quan

điểm khác nhau, đề cập bài toán theo nhiều cách, phải biến đổi bài toán.” [87, tr.

45]. Như vậy, bằng cách biến đổi bài toán nói riêng (vấn đề nói chung), nhằm

chuyển hướng (khi cần thiết) trong tư duy của người học mang lại những chi tiết mới, những khả năng mới để làm xuất hiện các liên tưởng trong trı́ nhớ những cái liên quan tới bài toán của ta. Đặc biệt, đối với nhiều vấn đề Hình học thì đây là cơ

sở giúp HS có thể phát hiện và lựa chọn được các yếu tố phụ thích hợp cần bổ sung

để giải quyết vấn đề. Bài toán sau là một ví dụ minh họa:

AB AC vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng

Bài toán 3.12.2. Cho ∆ABC có

> AB CE AC BD .

minh rằng

100

để có một đoạn thẳng bằng Trong thực tiễn DH không ít HS lúng túng khi giải bài toán này, nếu ta biến đổi +AC BD thì cũng +AB CE và một đoạn thẳng khác bằng

khó để tìm được điều cần chứng minh. Để có thể tháo gỡ được điều đó, chúng tôi đã

yêu cầu người học phát biểu các điều kiện tương đương

với kết luận để có thể vận dụng được các kiến thức đã học.

>AB AC ,

Mong đợi của GV ở đây là với giả thiết

HS thay đổi kết luận và phát biểu được bài toán phụ

tương đương với bài toán ban đầu như sau: “Cho ∆ABC

>AB AC . Vẽ hai đường cao BD và CE. Chứng minh

Hình 3.6

có

> AB AC BD CE

”. rằng

AB=

−

đoạn chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC Biến đổi bài toán như vậy sẽ “gợi ý” cho người giải vẽ đường phụ bằng cách đặt 'AB

AC AB AC .

' ⊥

(Hình 3.6), đó là:

'⊥CF B H .

'B kẻ

B H AB và

Ta có: ∆ABB’ cân tại A. Từ

=B F BD CE . Cuối cùng bài

Đến đây, ta thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng. Ta chỉ cần chứng minh

'=BD B H và CEHF là hình chữ nhật. Từ đó, suy ra 'B C trong ∆CFB’.

'B F với

toán đưa về việc so sánh

Qua việc giải bài toán trên, HS nhận ra rằng, nhiều khi để chứng minh một bài toán hình học (đặc biệt là chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức) nên bổ sung yếu tố phụ bằng cách đưa những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới) làm cho chúng có liên hệ với nhau.

iii) Tập luyện cho HS bổ sung yếu tố phụ trên cơ sở cấu trúc lại yếu tố đã cho đặt trong kiến thức đã có nhằm tạo ra cấu trúc mới phù hợp với tình huống cần giải quyết.

Trong DH hình học ở trường THCS, HS có thể gặp tình huống, bài toán là chướng ngại nhận thức đối với các em; tri thức đã có chưa thể giải đáp được yêu cầu của bài toán hay nói cách khác tri thức đã có không tương thích với tình huống mới. Khi đó, việc cấu trúc lại các đối tượng, tạo cho HS có điều kiện gắn kết giữa kiến thức, kinh nghiệm đã có với yếu tố cần tìm, khắc phục chướng ngại trong bài toán nhằm dễ dàng chiếm lĩnh kiến thức. Do đó, trong quá trình DH Hình học GV cần giúp HS biết

đặt đối tượng nghiên cứu trong mối quan hệ với các đối tượng khác, tránh tình trạng

HS thường nhìn nhận sự vật, hiện tượng một cách đơn lẻ dẫn đến khó tìm được yếu tố

phụ cần thiết để bổ sung. Bài toán sau minh họa cho điều này:

101

Bài toán 3.12.3. Chứng minh định lý: “Ba đường cao của một tam giác đồng

quy tại một điểm”.

Thực tiễn giảng dạy cho thấy, học sinh lớp 7

THCS gặp khó khăn khi chứng minh định lý này. Tuy

nhiên các em có thể giải quyết được bài toán, nếu

được GV hướng dẫn làm sáng tỏ các đường cao của

Hình 3.7

A B C , với 1 1

A B C lần lượt là giao điểm của các 1

tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác

đường thẳng qua ,BC ,AC AB (Hình 3.7). ,A B C lần lượt song song với ,

A B C cho phép chuyển việc 1

Như vậy, nhờ bổ sung yếu tố phụ là tam giác

chứng minh tính chất đồng quy của ba đường cao trong tam giác ABC về một định lý quen thuộc là tính chất đồng quy của ba đường trung trực.

iv) Tập luyện cho HS phát hiện yếu tố phụ cần bổ sung bằng cách xét các vị

trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong vấn đề cần giải quyết.

Mục đích của cách thức này là giúp HS biết xét các vị trí đặc biệt của các yếu tố hình học có trong vấn đề cần giải quyết, nhằm phát hiện và sử dụng các yếu tố phụ một cách hợp lý dựa trên cơ sở cặp phạm trù cái chung, cái riêng của triết học duy vật biện chứng.

Bài toán 3.12.4. Cho góc xOy, trên Ox lấy hai điểm A, B và trên Oy lấy hai =AB CD . Gọi M và N là trung điểm của AC và BD. Chứng minh

điểm C, D sao cho đường thẳng MN song song với phân giác góc xOy.

Chúng ta thấy, vị trí đặc biệt nhất của CD là khi CD đối xứng với AB qua

phân giác Ot của góc xOy. Dẫn đến ta lấy các điểm phụ là các điểm C’, D’ đối xứng của A và B qua Ot. Gọi E, F là giao điểm của AC’ và BD’ với Ot. Khi đó E, F là trung điểm của AC’ và BD’ (Hình 3.8).

Hình 3.8

Như vậy, việc chứng minh MN song song với Ot trở thành cần chứng minh MN song song với EF. Điều này dễ dàng có được nhờ tính chất của đường trung bình trong tam giác và tính chất hình bình hành.

Cần lưu ý rằng, trên đây là cách bổ sung yếu

tố phụ bằng việc xét các trường hợp đặc biệt. Ngoài ra, nhờ mối liên hệ nhân quả chúng ta sẽ có nhiều cách bổ sung yếu tố phụ khác để chứng minh bài toán này, chẳng hạn: chứng minh một cát tuyến nào đó cắt các đường thẳng Oz, MN có các góc ở vị trí đồng vị, so le trong (ngoài) bằng nhau; chứng minh các đường thẳng Oz, MN

102

cùng song song với một đường thẳng nào đó; hay chứng minh các đường thẳng Oz, MN cùng vuông góc với một đường thẳng nào đó…

Như vậy, để giải quyết vấn đề phức tạp có thể phải xét các trường hợp riêng,

các trường hợp đặc biệt của nó làm điểm tựa. Đặc biệt, với nhiều bài toán hình học

việc xét các trường hợp đặc biệt đã gợi ý cho người giải biết bổ sung yếu tố phụ một

cách hợp lý giúp họ giải quyết hiệu quả các vấn đề đã cho.

Những ví dụ minh họa của các cách thức trên, cho thấy: Một yếu tố phụ được

bổ sung vào đối tượng nhằm giải quyết vấn đề phải xuất phát từ một nguyên nhân nào

đó. Đúng như G. Polya đã khẳng định “Cái lý do buộc phải đưa vào phần tử phụ nào

đó có thể khác nhau nhưng lý do đó là phải có. Không nên đưa vào một phần tử phụ

mà không có một lý do nào cả” [87].

Tương tự, chúng ta có thể xây dựng các cách thức để bồi dưỡng các TP bổ

sung bài toán phụ, bổ sung ẩn phụ trong DH môn Toán ở trường THCS.

c) Tập cho học sinh nhanh chóng nhận ra tiền đề (định lý, bài toán gốc…) và khai thác ứng dụng của định lý vào xây dựng quy trình mới để tìm giải pháp giải quyết vấn đề

G. Polya cho rằng “Trong mọi vấn đề cụ thể, luôn có những sự kiện chìa khóa (các bài toán, các định lý chìa khóa) cần được ghi lại trong ô phía trước của tủ trí nhớ… giống như người thợ có kinh nghiệm sắp đặt các dụng cụ thường sử dụng nhiều nhất tại những nơi lấy được thuận tiện nhất” [87]. Do đó, để thực hiện tốt cách thức này, HS cần phải biết quan sát đối tượng và có nhiều liên tưởng phù hợp. Muốn vậy, người học cần tạo nhiều hình ảnh trong tư duy, đó là: các bài toán, các định lý, các mô hình… đã biết, để khi hiểu rõ bài toán thì những “từ khóa” có trong bài toán sẽ giúp các em “bật ra” được liên tưởng thích hợp; từ đó, họ biết huy động kiến thức làm tiền đề để giải quyết hiệu quả vấn đề. Chẳng hạn:

−

Trở lại ví dụ 1.6, các em biết nhận ra định lý hệ thức lượng trong tam giác vuông tại A (nghịch đảo bình phương của đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông) là tiền đề để giải bài toán; hay sử dụng bài toán gốc

1 +

1 x

1 ( + x x

) 1

để dễ dàng giải bài toán trong ví dụ 2.7. Chúng ta sẽ trình bày

cụ thể, chi tiết hơn về nội dung này ở các biện pháp 4 và biện pháp 5. 2.2.3.4. Những vấn đề cần lưu ý khi sử dụng biện pháp - Để bồi dưỡng hiệu quả các nhóm TP trên thông qua giai đoạn lập kế hoạch giải quyết vấn đề, GV cần giúp HS nhận ra các dạng toán ăn khớp với các TP để HS

có thể lựa chọn đúng TP trong mỗi tình huống nhận thức.

- Mặt khác, cũng giống như giai đoạn hiểu vấn đề, để tìm được giải pháp và

103

trình bày giải pháp giải quyết vấn đề có thể không chỉ sử dụng một TP mà cần kết

hợp nhiều TP khác nhau. Bởi vậy, việc bồi dưỡng các TPHĐNT trong giai đoạn này

không thể tiến hành độc lập mà cần có sự phối hợp hợp lý, linh hoạt.

2.2.4. Biện pháp 4. Rèn luyện cho học sinh khả năng tìm nhiều lời giải,

lựa chọn lời giải tối ưu và khai thác, phát triển các vấn đề nhằm khắc sâu thủ

pháp hoạt động nhận thức

2.2.4.1. Mục đích của biện pháp Thực hiện biện pháp này nhằm giúp HS hình thành một số TPHĐNT theo tư

tưởng sư phạm của G. Polya thông qua giai đoạn nhìn lại vấn đề, đặc biệt là nhóm

TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới. Ngược lại, nhờ biết vận

dụng các TP đó một cách thích hợp trong giai đoạn này người học sẽ tìm được giải

pháp tối ưu và khai thác, phát triển được nhiều vấn đề mới hấp dẫn, thú vị.

2.2.4.2. Cơ sở của biện pháp

Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, các nhân tố trong sơ đồ 1.5 và tư tưởng sư phạm trong giai đoạn Nhìn lại vấn đề (looking back) (T4d), tính liên tục trong các giai đoạn (T2c) của G. Polya. Ông cho rằng “Bằng cách nhìn lại các giải pháp hoàn thành, bằng cách xem xét và kiểm tra lại các kết quả và con đường dẫn đến kết quả họ có thể cũng cố kiến thức và phát triển khả năng của họ” và “…một phần lớn kết quả hay của bài toán có thể mất đi nếu học sinh không xem xét lại, không nghiên cứu và phân tích lại cách giải” [84].

Mặt khác, mỗi vấn đề thường có nhiều phương án giải quyết. Khi có được một phương án, chúng ta không vội thỏa mãn mà hãy tiếp tục phân tích các mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho, yếu tố cần tìm đã được vận dụng trong lập luận của lời giải. Xoay xở, tìm tòi, liên tưởng và huy động nhiều kiến thức có liên quan một cách hợp lý, có khi lại cho chúng ta những phương án giải quyết khác sáng tạo hơn, ngắn gọn hơn. G. Polya đã đưa ra lời khuyên cho người học toán rằng: “Ngay cả khi lời giải ta tìm được đã là tốt rồi thì tìm được một lời giải khác cũng có lợi. Thật sung sướng khi kết quả tìm được xác nhận nhờ hai lý luận khác nhau. Có được một chứng cớ rồi, chúng ta còn muốn tìm thêm một chứng cớ nữa, cũng như chúng ta muốn sờ vào một vật mà ta đã trông thấy” [87].

Giai đoạn nhìn lại vấn đề là cách tự đánh giá tốt nhất cần dạy cho HS; bởi nó không chỉ đánh giá tính hợp lý của vấn đề mà còn đánh giá hoạt động tư duy của chính người học. Đây là khâu quan tro ̣ng để thầy giáo chú ý phát triển tư duy cho HS từ : tư duy tı́ch cực → tư duy đô ̣c lâ ̣p → tư duy sáng ta ̣o. Mặt khác, thực hiện tốt giai đoạn nhìn lại vấn đề, đặc biệt là tìm nhiều phương án giải quyết và khai thác, phát triển sáng tạo vấn đề còn giúp cho HS hình thành và khắc sâu các TPHĐNT.

104

2.2.4.3. Cách thức tổ chức thực hiện Nhiều tác giả giáo dục toán học cũng như những nhà nghiên cứu toán đều đề

cao vai trò của giai đoạn này cùng với việc vận dụng hợp lý các TP. Chẳng hạn:

S. Krulick và J. Rudnick [120] cho rằng giai đoạn thứ năm và cũng là giai đoạn cuối cùng trong quá trình giải quyết vấn đề, đó là: kiểm tra và mở rộng vấn đề (Review and Extend) nhằm phát triển kỹ năng tư duy bậc cao cho HS, đặc biệt là khả năng sáng tạo toán học. Theo các tác giả, giai đoạn này gồm năm bước cụ thể là: kiểm tra tính hợp lý thực tiễn của câu trả lời; viết tóm tắt về vấn đề và giải pháp; tìm các giải pháp khác; thay đổi các điều kiện của vấn đề; mở rộng vấn đề với một khái niệm hoặc công thức toán học.

Theo tác giả Nguyễn Hữu Châu [7], giai đoạn xem xét và mở rộng vấn đề đóng vai trò quan trọng thúc đẩy việc học toán, bao gồm các hoạt động sau: khám phá sâu hơn vấn đề, mở rộng vấn đề, phát triển phương pháp giải, phát triển quá trình; phát triển khả năng tự phản ánh.

Giáo sư Ngô Bảo Châu [131] cho rằng: giai đoạn “Nhìn lại vấn đề” trong sơ đồ của G. Polya là bước đem lại nhiều “khoái cảm” nhất khi làm toán đối với ông. Giáo sư đã đưa ra lời khuyên cho người học toán là: Không bao giờ nên bỏ qua bước này. Đặc biệt, nhìn lại vấn đề giúp người học có thể tìm ra con đường ngắn nhất để đi đến gần hơn nữa với chân lý toán học. Đấy cũng chính là điều sẽ giúp bạn có thể giải quyết được các bài toán khác trong tương lai.

Do đó, để bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS qua giai đoạn “Nhìn lại vấn đề”,

theo chúng tôi có thể tiến hành theo các cách sau:

a) Yêu cầu HS tìm nhiều cách giải quyết khác nhau cho một vấn đề, từ đó

chọn được cách giải quyết sáng tạo, hiệu quả

Việc HS đưa ra nhiều hướng giải quyết một vấn đề đòi hỏi các em phải huy động một lượng lớn kiến thức và phương pháp. Hơn nữa, đưa ra nhiều ý tưởng cho một vấn đề sẽ dẫn đến không bị bó khung bởi suy nghĩ đơn điệu hay theo cách đã định sẵn, phá bỏ được “sức ỳ tâm lý” của bản thân. Tác giả Omizumi Kagayaki cũng cho rằng, để tránh sự xơ cứng của bộ não thì cần thiết phải rèn luyện thành thói quen là xem xét một sự vật, hay một vấn đề theo nhiều hướng khác nhau và nếu chịu khó tư duy, động não thì con người sẽ có những phát hiện bất ngờ và các cách giải quyết vấn đề sáng tạo.

Để kích thích người học tìm nhiều lời giải cho một bài toán, thầy giáo nên

thường xuyên nói với HS của mình những câu như: “Phương pháp này hay đấy,

nhưng các em thử nghĩ xem còn có phương pháp nào tốt hơn nữa không”. Mặt khác,

với các đối tượng HS khác nhau, GV nên thường xuyên có sự gợi ý, đặt câu hỏi phù

105

hợp nhằm giúp các em nghiên cứu sâu hơn vấn đề, tìm ra nhiều phương án giải

quyết và dần dần những câu hỏi đó sẽ do chính các em tự đặt ra cho bản thân mình.

Muốn tìm được nhiều phương án giải quyết vấn đề, người học phải biết thực hiện

những liên tưởng phù hợp với vấn đề cần giải quyết. GV cần tạo điều kiện để giúp

HS có nhiều sự liên tưởng hiệu quả, biết vận dụng linh hoạt những kiến thức đã học,

biết xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau... Qua đó, giúp các em bước

đầu rèn luyện tính mềm dẻo, nhuần nhuyễn và độc đáo, đây là các yếu tố tư duy

sáng tạo. Hơn nữa, trên cơ sở tập hợp nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán,

người học có thể so sánh các lời giải, nhờ đó tìm được lời giải mới lạ nhất, hay nhất,

ngắn gọn nhất; đồng thời thông qua đó cũng tập cho HS phương pháp nghiên cứu

một vấn đề đa dạng hơn, cách tiếp cận phong phú hơn. Chẳng hạn:

Ví dụ 3.13. Giải các bài toán sau bằng nhiều cách, từ đó tìm lời giải sáng tạo:

−

− 2041 25

− 2037 21

2035 19

2031 15

Bài toán 3.13.1. Giải bất phương trình

Nhiều HS đã quy đồng mẫu số để giải bài toán này. Tuy nhiên, việc tính toán

−

= + + + .

khá phức tạp. GV yêu cầu HS quan sát đặc điểm bài toán để nhận ra mối liên hệ

− 2041 25

2031 15

2016

giữa các con số trong bài toán: = 2037 21 2035 19 và 4 1 1 1 1

Từ đó, các em biết chuyển vế, tách (-4) thành tổng của bốn số hạng bằng (-1),

−

− 2041 25

− 2037 21

2035 19

2031 15

  

  

  

  

  

⇔

−

⇔

x⇔ <

2016.

2016

− > 0

2016

(

1 1 1 21 19 15

       ) 1  25 

  

đổi vị trí và phân nhóm lại dữ liệu như sau:

Đây là một lời giải sáng tạo. Các em cần nhận ra khâu then chốt của lời giải

trên là ở chỗ người giải biết vận dụng các TP biến đổi bài toán, TP phân nhỏ, TP

kết hợp.

Qua lời giải bài toán trên, HS biết vận dụng vào giải các bài toán phương

f x = ( ( )

f x > ). Trong đó: ( )

trình (hoặc bất phương trình) có thể đưa về dạng:

+ + ...

+ kx b 1 a 1

+ kx b 2 a 2

+ kx b a n

, với: Vế trái là biểu thức

+ + ...

...

+ b m 1 1

+ b m 2 2

+n b m n

.a , n

+ m m 2

Khi đó biến đổi hình thức vế trái, phân nhỏ và kết hợp các số hạng, ta có:

106

+ + ...

m n

m 1

m 2

+ kx b 2 a

+ kx b n a

+ kx b 1 a 1

  

  

  

  

  

  

Từ đó dễ dàng

+ =

4 0

giải quyết các bài toán có dạng trên.

+ =

4 0.

   

Bài toán 3.13.2. Giải hệ phương trình

Với bài toán này, HS nhận ra khi thay x bởi y, y bởi x thì phương trình này

trở thành phương trình kia, do đó các em thường giải theo cách thông thường là trừ

vế theo vế của hai phương trình rồi phân tích thành nhân tử đưa về phương trình

tích. Tuy nhiên, lời giải bài toán khá dài dòng.

GV gợi ý để HS nhận ra được nếu cộng vế với vế của hai phương trình trên

= ⇔ ( 0

)

(

)

(

) Từ đó, biết phân nhỏ bài toán trên thành hai bài bộ phận.

. ta được: (

Bài toán 3.13.3. Tìm nhiều cách chứng minh định lý sau: “Đường phân giác trong của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy” [15, tr. 65].

ABE cân tại B nên Thực tiễn DH cho thấy, hầu hết GV đều hướng dẫn HS vẽ hình phụ và chứng minh định lý như trong sách giáo khoa, đó là: Qua đỉnh B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng AD tại điểm E (hình 3.9a). Từ đó suy ra được tam giác =BE AB Áp dụng hệ quả của định lý Ta-lét đối với tam giác

=BE AB suy ra điều cần chứng minh.

BE DB = DC AC

kết hợp với DAC ta có

Tuy nhiên, nếu GV chỉ trình bày như vậy thì nhiều HS sẽ không hiểu được vì sao lại lại bổ sung yếu tố phụ là đường thẳng qua B song song với AC và điểm E như trên? Và có thể bổ sung yếu tố phụ nào khác hay không? Có cách chứng minh định lý nào khác nữa không?

Bởi vậy, khi dạy định lý trên nói riêng và DH định lý hình học nói chung, ngoài cách chứng minh trong SGK, GV cần yêu cầu HS tìm các cách chứng minh khác để phát huy tính sáng tạo của các em. Nếu các em không tự tìm ra được các cách chứng minh khác thì GV có thể gợi ý cho họ dựa vào bảng câu hỏi của G. Polya nhằm kích thích sự tích cực học tập của HS trong việc phân tích mối liên hệ giữa cái cần tìm với cái đã cho, tri thức đã biết, chẳng hạn:

AB DB = AC DC

- Điều cần chứng minh của định lý là gì? (Các đoạn thẳng tỷ lệ ).

- Kiến thức nào em vừa được học liên quan đến điều này? (Câu trả lời mong

đợi là: sử dụng định lý Ta-lét và hệ quả).

107

- Giả thiết định lý trên đã có thể sử dụng định lý Ta-lét hay chưa? Muốn sử

dụng chúng, người giải cần làm như thế nào? (chưa; cần phải bổ sung thêm một số

yếu tố phụ mới sử dụng được).

- Muốn vận dụng được định lý Ta-lét và hệ quả của nó trong hình vẽ phải có

các đoạn thẳng song song. Trong hình vẽ của chúng ta đã có các đoạn thẳng song

song chưa? Em có thể bổ sung thêm các đoạn thẳng song song như thế nào? (Chưa,

em có thể bổ sung các đoạn thẳng song song đó).

Như vậy, HS sẽ nghĩ đến việc

bổ sung yếu tố phụ là các đoạn thẳng

song song nhằm áp dụng định lý Ta-

lét, chẳng hạn:

Cách 1: Vẽ hình phụ tạo đoạn

thẳng m song song với AC sao cho m

DB m = AC DC

= AB và . Do đó, các em

Hình 3.9a

Hình 3.9b

biết vẽ đường phụ là đường thẳng qua

B và song song với AC cắt đường thẳng AD tại E như lời giải trong SGK (Hình 3.9a),

hoặc hoàn toàn tương tự bổ sung yếu tố phụ là đường thẳng qua C và song song với AB cắt đường thẳng AD tại E’ (Hình 3.9b). Cách 2: Vẽ hình phụ là đường

thẳng qua B và song song với AD cắt

đường thẳng AC tại F, rồi chứng tỏ

AF DB = AC DC không mấy khó khăn vì dễ dàng

AF = AB và . Điều này,

AF AB= .

Hình 3.9d

Hình 3.9c

chứng minh được tam giác BAF cân

nên trong Áp dụng định lý Ta-lét có tam giác CBF, ta

AF DB = DC AC

suy ra điều phải chứng minh (Hình 3.9c).

Hoàn toàn tương tự với cách bổ sung yếu tố phụ là đường thẳng qua C và

song song với AD cắt đường thẳng AB tại F’ (Hình 3.9d).

Một số HS có thể vẽ hình phụ bằng cách trên tia đối của AC (AB) lấy điểm F

=AF AC ) rồi chứng tỏ BF // AD.

=AF AB (hoặc

sao cho

Ngoài các cách vẽ thêm đường phụ như trên, GV có thể yêu cầu HS tìm các

cách vẽ đường phụ khác và áp dụng định lý Ta-lét để chứng minh, chẳng hạn:

108

- Em có thể vẽ đường phụ khác để tạo ta yếu tố trung gian vận dụng định lý

Ta-lét giúp chứng minh định lý hay không?

Với câu hỏi này, những HS khá giỏi, nhiều kinh nghiệm trong giải toán đã có

thể vẽ hình phụ nhưng hầu hết HS từ trung bình trở xuống thì không thể làm được.

Các em cần có một gợi ý:

- Hãy bổ sung yếu tố phụ là các đoạn thẳng song song nhằm áp dụng định lý

n k

n DB = DC k

AB n = AC k

sao cho và ? Ta-lét để tạo ra tỉ số trung gian sao

Khi đó, hầu hết HS biết vẽ

đường phụ là đường thẳng qua D và

song song với AC (hoặc AB). Ta có:

Cách 3: (Đối với HS khá,

Hình 3.9f

D Hình 3.9e

giỏi) Qua D kẻ đường thẳng song

song với AC cắt AB tại M, dễ dàng chứng minh được tam giác AMD

AM MD= .

AB BE = ED AC

Áp dụng định lý Ta-lét trong tam giác BAC, ta có cân nên

BD BE = EA DC

và ; từ đó suy ra điều phải chứng minh (Hình 3.9e). Hoàn toàn tương tự

với cách bổ sung yếu tố phụ là đường thẳng qua D và song song với AB cắt AC tại M’ (Hình 3.9f).

Trên đây là các cách chứng minh định lý bằng việc vẽ hình phụ để vận dụng định lý Ta-lét. GV có thể hướng dẫn cho HS nhận ra từ kết luận của định lý là đẳng thức về tỷ lệ các đoạn thẳng, các em có thể vẽ hình phụ để sử dụng định lý về công thức tính diện tích của tam giác chứng minh định lý.

. ;

= a h với a là

1 2

- Em hãy nhắc lại công thức tính diện tích tam giác? (

cạnh đáy, h là đường cao tương ứng).

- Khi hai tam giác có các đường cao tương ứng của chúng bằng nhau thì tỷ

số diện tích của chúng bằng tỷ số nào? (tỷ số các cạnh đáy tương ứng).

BD DC

S BD = ABD DC S ACD

bằng tỷ số của các tam giác nào? Vì sao? ( , vì hai - Tỷ số

tam giác ABD và ACD có cùng đường cao kẻ từ A đến BC).

AB AC

S AB = ABD AC S ACD

bằng tỷ số của các tam giác nào? Vì sao? ( , vì hai - Tỷ số

tam giác ABD và ACD có các đường cao kẻ từ D đến AB, AC bằng nhau (do BD là

109

phân giác của ∠BAC )). Từ đó, ta có cách giải khác:

Cách 4:

Vẽ các đường phụ là đường cao AH của tam giác

ABC và các đường cao DK, DI tương ứng của các tam

giác DAB, DAC ta có lời giải bài toán theo công thức

Hình 3.9g

tính diện tích (Hình 3.9g). Đây là lời giải ngắn gọn.

Tương tự như vậy, GV yêu cầu HS giải một số bài

toán Hình học khác bằng nhiều cách để các em khắc sâu các TP bổ sung yếu tố phụ

khác, như: chuyển đổi hình thức của vấn đề (biến đổi tương đương kết luận…); cấu

trúc lại kiến thức đã có của học sinh nhằm tạo ra cấu trúc nhận thức mới phù hợp với

tình huống cần giải quyết.

Mặt khác, thông qua việc phân tích yếu tố cần giải quyết trong các tình

huống tri thức mới bằng các cách khác nhau nhờ khai thác các liên tưởng. Từ đó,

phát triển khả năng hình thành và vận dụng TP bổ sung yếu tố phụ cho HS. .

Bài toán 3.13.4. Yêu cầu HS vận dụng TP nhìn bài toán sau dưới nhiều góc độ để giải bài toán sau bằng nhiều cách: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đường tròn đã cho. Trên tia Ax lấy .≤AC R Từ C vẽ một tiếp tuyến thứ hai với nửa đường tròn, tiếp điểm C sao cho xúc với nửa đường tròn tại M, cắt By tại D. Tìm vị trí của C sao cho diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất (Hình 3.10).

Cách 1: Bằng cách nhìn bài toán dưới góc độ đại số và vận dụng điều kiện

hãy tính diện tích có nghiệm của phương trình bậc hai, GV gợi ý, đặt = ≤ AC a R ,

của tứ giác ABDC theo a, R.

GV hướng dẫn HS tìm tòi lời giải qua các câu hỏi gợi ý: - Tứ giác ABDC là hình gì? (Hình thang vuông) - Từ giả thiết đã cho, để tính diện tích của tứ giác ABDC theo a, R, ta chỉ cần

tính độ dài đoạn thẳng nào? (BD theo a, R).

= ∆

ACO MCO (cạnh huyền và một cạnh góc nhọn bằng nhau). Suy ra

Từ đó, HS biết vẽ hình phụ, tìm BD theo a, R, bằng cách: Nối O với C, O với

= ∠

D, ta có: ∆ OC là phân giác của góc AOM.

⊥OC OD . BDO (góc có cạnh tương ứng vuông góc).

AOC



⇒

∆

Tương tự, OD là phân giác của góc BOM. Suy ra Do đó: ∠

= OA OB AC BD

⇒ = BD

AOC

BDO

R a

Vì vậy ∆

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông, có diện tích là:

110

AC BD AB

)

(

 + a 

  

+ a

R a 2

−

+ Sa R

0 (*).

Do đó

∆ =

−

4 R .

Hình 3.10

Ta cần tìm vị trí của C sao cho diện tích của tứ giác ABDC nhỏ nhất nên phương trình (*) có nghiệm: ≥ ⇒ ≥

min

4=S

R (khi và chỉ khi

Do đó ).

min

2=S

R (khi và chỉ khi

S 2 R 22 R R 2

CA CM DB DM do

;

Nên ).

AC BD CD Nên tứ giác ABDC là hình thang vuông có diện tích là:

. AC BD AB

)

(

R (khi và chỉ

min

2=S

≥ CD R AB R

R do đó

⇔ =

Cách 2: GV hướng dẫn HS giải bài toán dưới góc độ hình học như sau: Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được + đó

⊥CD CA ⇔ ACMO là hình chữ nhật (cũng là hình vuông))

AC OM R . Như vậy, thông qua việc khám phá sâu hơn vấn đề, HS đã tìm được nhiều phương án giải quyết, từ đó có thể lựa chọn phương án hiệu quả và phát triển khả năng vận dụng các TPHĐNT vào các tình huống cần giải quyết.

khi

b) Hướng dẫn HS vận dụng phương pháp, kết quả đã biết; khai thác, xây

dựng các vấn đề mới, hệ thống các vấn đề có liên quan

Việc tìm được phương án giải quyết vấn đề, hơn thế nữa là tìm được nhiều phương án để có thể chọn phương án tối ưu là rất quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của HS. Nhưng khả năng giải quyết vấn đề của các em sẽ hiệu quả hơn và tốt hơn nhiều, nếu sau khi giải quyết xong một vấn đề các em vẫn tiếp tục suy nghĩ và trăn trở với nó để khai thác, phát triển các vấn đề mới có liên quan.

Quá trình thực hiện bước khai thác, phát triển vấn đề không dễ dàng đối với người học. Bởi vậy, trước hết GV cần giúp HS khai thác, phát triển vấn đề theo các câu hỏi, gợi ý của G. Polya, đó là: Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp cho một vấn đề khác không? Hãy phát biểu vấn đề khi thay đổi một số điều kiện của vấn đề ban đầu? Hãy mở rộng, phát triển vấn đề, bằng cách: xét các vấn đề tương tự, các trường hợp đặc biệt, tổng quát hay đảo ngược…? Những câu hỏi này trước hết là do GV đặt ra cho HS, lâu dần chính các em sẽ tự đặt ra để khai thác, phát triển vấn đề. Khi các em tự mình đặt câu hỏi và trả lời được các câu hỏi một cách độc lập, chủ động thì các em đã có sự hiểu biết sâu sắc về TPHĐNT; họ đã nhận ra được thủ pháp cần sử dụng trong từng vấn đề cụ thể một cách hợp lý. Những cách thức cần tiến hành, đó là:

111

i) Tập cho HS biết vận dụng phương pháp, kết quả đã biết vào tình huống

nhận thức mới

Khi giải quyết những vấn đề mới chúng ta nhất thiết phải dựa vào những kiến thức cũ, những cái đã biết từ trước, những khía cạnh “bổ ích”, đó có thể là: kết quả hay phương pháp của vấn đề đã giải quyết. G. Polya cho rằng, “Khi trình bày lời giải bài toán hãy nêu bật khía cạnh bổ ích của nó. Một khía cạnh nhất định của lời giải có thể gọi là “bổ ích”, nếu nó đáng được bắt chước, tức là nếu có thể sử dụng nó không chỉ đối với việc giải một bài toán nào đó, mà cũng có thể sử dụng nó đối với việc giải các bài toán khác và đặc điểm đáng chú ý nào càng hay được sử dụng thì phải xem nó là càng bổ ích… Khi nêu bật, có hiệu quả, một đặc điểm có thể biến lời giải của bạn thành lời giải có tính chất điển hình, thành phương pháp bổ ích mà khi bắt chước học sinh có thể giải được nhiều bài toán bổ ích khác”[87, tr.101, 102]. Từ đó, tác giả đã rút ra một quy tắc trong DH là: Hãy tìm trong bài toán của mình những gì có thể có ích khi giải bài toán khác. Theo tình huống cụ thể đã cho, hãy cố gắng phát hiện phương pháp chung [87, tr.101, 102]. Trong “Bàn về phương pháp”, Đề-các cho rằng “Mỗi bài toán tôi giải được đều trở thành kiểu mẫu để sau này giải các bài toán khác” [87]. Các tác giả đã khẳng định, việc vận dụng phương pháp của vấn đề đã giải quyết tỏ ra khá hữu hiệu trong nhiều tình huống nhận thức mới phức tạp nếu người học nhận ra được mối liên hệ giữa vấn đề đã biết và vấn đề cần giải quyết. Đặc biệt, nếu HS có thói quen khai thác, vận dụng phương pháp giải quyết thì các em có thể giải quyết được một lớp các vấn đề tương tự, tổng quát; đây là những lớp các vấn đề cơ bản trọng tâm trong chương trình của người học.

Để vận dụng được các TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ, TP phân nhỏ, TP tách biệt vấn đề cần giải quyết hay TP bổ sung yếu tố phụ... HS cần phải liên tưởng đưa vấn đề cần giải quyết về dạng có liên quan đến vấn đề đã biết để có thể sử dụng phương pháp hay kết quả đã có. Nếu được thực hiện thường xuyên sẽ giúp HS thành thạo và phát triển các TPHĐNT. Từ đó, các em sẽ chủ động để độc lập chiếm lĩnh kiến thức, độc lập chiếm lĩnh tài liệu học tập.

Ví dụ 3.14. Hình thành, khắc sâu TP bổ sung

hình phụ khi chứng minh đẳng thức hình học.

a) Yêu cầu HS nêu hướng suy nghĩ để giải bài

a b

c sau:

D E Hình 3.11a

toán dạng chứng minh đẳng thức + =

Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy điểm D, E =BD CE , qua D và E vẽ các đường thẳng sao cho song song với AB cắt AC tại F và G. Chứng minh: DF EG AB

112

AM DF=

∈M AB . Khi đó ta có:

)

Với bài toán này, HS thường suy nghĩ để tìm cách giải theo các hướng: Thứ nhất, vẽ hình phụ là điểm M trên cạnh AB = + AB AM MB sao nhằm chia đoạn AB thành hai phần =MB EG . Điều cho: Ta cần chứng minh này khá đơn giản, vì DF // AB nên vẽ thêm hình phụ là DM // AC ( AM DF nên suy

=MB EG (Hình 3.11a).

D Hình 3.11b

=FN EG rồi chứng tỏ trên EG với

=EP AB ).

=GP DE , rồi chứng tỏ

Thứ hai, vẽ hình phụ là điểm N trên DF sao cho =DN AB (Hình 3.11b) (hoặc P

+ ab cd

b) Vận dụng phương pháp trên chúng ta chứng minh được nhiều bài toán tương tự. Đặc biệt, định hướng thứ nhất trên đây được sử dụng để chứng minh đẳng xy và các trường hợp riêng trong chương trình môn hình học lớp 8, thức

ab (*).

x sao cho

x 1

lớp 9 như sau:

cd (**).

ab cd suy ra

xy .

2 = x y HĐ 3: Cộng từng vế (*) và (**) ta được điều phải chứng minh: + x y ab cd 1

x y 2

∠

° < 90 .

HĐ 1: Chia đoạn thẳng độ dài x thành 2 đoạn thẳng bởi điểm chia M để có 1 =x y 2+ HĐ 2: Chứng minh hệ thức:

Áp dụng phương pháp này, giải các bài toán sau: Bài toán 3.14.1. (Lớp 8) Cho hình bình hành Gọi E, F lần lượt là chân các ABCD có đường vuông góc hạ từ C xuống các đường thẳng AB

AB AE AD AF AC . .

Hình 3.12

. .

. Như vậy, với bài toán này, chúng ta tìm cách chia đoạn AC thành hai đoạn bởi điểm I sao cho = AB AE AI AC rồi chứng minh (Hình 3.12) = AD AF CI AC . Mà:

⇔ = ⇔ ∆

∼ ∆

và AD. Chứng minh rằng:

ABI

ACE

. . = AB AE AI AC AI AB AIB

AE AC = ∠

AEC

° 90

⊥BI

AC .

∠ hay Do đó, yếu tố phụ cần bổ sung là điểm I chân đường thẳng vuông góc kẻ từ B xuống AC. Từ đó các em dễ dàng

Suy ra

= AD AF CI AC .

chứng minh được

Bài toán 3.14.2. (Lớp 9) Cho tam giác ABC, đường

− AB AC DB DC

Hình 3.13

phân giác AD. Chứng minh rằng:

113

Theo phương pháp trên, đẳng thức cần chứng minh đã gợi cho người giải bài

AD DE DB DC Từ

= AD AE AB AC

;



⇔

 ∼ ABD AEC

AD AE AB AC ⇔ = .

;

AB AE AD AC

toán cách bổ sung hình phụ là điểm E trên tia AD (Hình 3.13), sao cho: =

Suy ra điểm E cần bổ sung là giao của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác AD DE DB DC không mấy khó khăn nhờ sử dụng ABC. Nên việc chứng minh tam giác đồng dạng.

Như vậy, sử dụng phương pháp trên chúng ta đã bổ sung được hình phụ thích

hợp và giải được nhiều bài toán tương tự trong các trường hợp riêng, chẳng hạn:

2 ;

+ ab c

2 ;

+ ab cd

2 ;

=ab

x y

a = + b

c d

...

Ví dụ 3.15. Vận dụng TP bổ sung ẩn số phụ bổ trợ giả thiết khi giải các bài

−

+ 10 2 5

10 2 5 .

toán rút gọn căn thức bậc hai, bậc ba sau:

−

20 14 2

20 14 2 .

a) 4

b) 3

HĐ 1: GV giúp HS nhận ra câu a) của bài toán trên không thể giải tương tự theo cách 1 của ví dụ 1.8 Chương 1, vì biểu thức dưới dấu căn không thể là bình phương của một biểu thức. Do đó, vận dụng TP bổ sung ẩn số phụ bổ trợ giả thiết tương tự lời giải cách thứ ba của ví dụ 1.8 Chương 1, HS dễ dàng giải được các bài toán dạng tương tự câu a).

HĐ 2: Với câu b), nhiều HS viết biểu thức dưới dấu căn bậc ba thành lập

phương của một tổng (hoặc hiệu) như phương pháp giải bài toán trong ví dụ 1.8:

2 a b

ab , sao cho: 3

ab+ 3

và Tìm một biểu thức có dạng

23 a b

14 2

20 14 2

3.2

+ 2 3.2.

= + 2

, ta có:

(

)

(

)

(

)

−

20 14 2

= 20 14 2 4.

= − 2

Khi đó: 3 Tương tự: 3 20 14 2

−

Tuy nhiên, tương tự cách giải 3 trong ví dụ 1.8, vận dụng TP bổ sung ẩn số

20 14 2

= x .

−

phụ bổ trợ giả thiết: 3

20 14 2

= 20 14 2 4.

Lập phương hai vế và tính toán, ta được: x = nên 3 + Từ đó tìm được: 4

114

Như vậy, HS nhận ra nhờ vận dụng TP bổ sung ẩn số phụ bổ trợ giả thiết sẽ

có lời giải độc đáo và ngắn gọn hơn.

Ví dụ 3.16. Vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và phát hiện

cách giải quyết VĐ; TP phân nhỏ giải các bài toán cực trị có điều kiện. Chẳng hạn:

A = +x

3.≥x

1 x

≥

, với a) Tìm giá trị nhỏ nhất của

B =

+x xy

x y

b) Cho Tìm giá trị nhỏ nhất của (bằng cách đặt =

để đưa về câu a).

HS dễ dàng nhận ra lời giải câu a) có được nhờ vận dụng TP quy nạp, thực

x y

nghiệm tương tự ví dụ 1.1; lời giải câu b) được suy ra từ câu a, bằng cách đặt =

3≥t

3=t

= y hay x 3 .

10 3

với . Khi đó, giá trị nhỏ nhất của A đạt được cũng bằng khi

Như vậy, vận dụng TP quy nạp, thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng đã giúp người học phát hiện được vấn đề và phát hiện cách giải quyết các bài toán tìm tòi nói chung và bài toán tìm cực trị có điều kiện nói riêng.

Tóm lại, sử dụng các TP bổ sung yếu tố phụ, TP phân nhỏ, TP tách biệt và TP kết hợp một cách thích hợp cùng với kết quả đã biết sẽ giải quyết được vấn đề phức tạp một cách sáng tạo. Từ đó, có thể phát triển khả năng vận dụng kết quả đã biết để giải quyết những vấn đề mới và bồi dưỡng một số TP giải quyết vấn đề cho HS.

ii) Hướng dẫn HS khai thác các yếu tố đã cho, các yếu tố cần tìm của vấn đề

để xây dựng chuỗi các vấn đề liên quan

Trong tác phẩm nổi tiếng “Giải bài toán như thế nào?”, G. Polya cho rằng: “Ví như dòng sông nào cũng bắt nguồn từ những con suối nhỏ, mỗi bài toán dù khó đến đâu cũng có nguồn gốc từ những bài toán đơn giản, có khi rất quen thuộc đối với chúng ta”. Và ông cũng đã khẳng định, “Thật khó mà đề ra được một bài toán mới, không giống chút nào với bài toán khác, hay là không có một điểm nào chung với một bài toán trước đó đã giải”. Do vậy, điều quan trọng là với mỗi vấn đề, GV nên tạo cho HS thói quen khắc sâu vấn đề đã học để khai thác vấn đề mới, phát triển được chuỗi vấn đề có liên quan từ dễ đến khó một cách có hệ thống giúp HS dễ dàng áp dụng khi cần thiết và các em có cơ hội đào sâu kiến thức, kiến tạo nên một số vấn đề mới từ đó góp phần bồi dưỡng cho các em một số TPHĐNT nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo.

Ví dụ 3.17. Xây dựng hệ thống bài toán từ một bài toán trong SGK nhằm bồi

dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ; TP phân nhỏ, tách biệt, kết hợp ... cho người học:

115

Xét bài toán xuất phát (Bài tập 20 trang 76, Sách Bài tập Toán 9, Tập 2): Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC.

Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB.

a) Tam giác MBD là tam giác gì ?

b) So sánh hai tam giác BDA và BMC.

c) Chứng minh MA = MB + MC.

Đây là bài toán rất quen thuộc, lời giải có trong sách bài tập Toán 9, tập 2 và nhiều tài liệu khác (Hình

M Hình 3.14a

3.14a), kết quả cụ thể là:

a) ∆ MBD là tam giác đều. b) ∆ BDA = ∆ BMC. c) MA = MB + MC.

Như vậy, khi tam giác ABC đều và M là một điểm

trên cung nhỏ BC thì

MA MB MC . Do đó, nếu tam ∠ ≠ A

° 60

giác ABC cân tại A (

cung nhỏ BC thì mối quan hệ giữa MA và ) và M là một điểm trên +MB MC như

thế nào?

M Hình 3.14b

+ MA MB MC . Do (Hình 3.14b) ta dễ dàng thấy được ' < ° 60

+ MB MC MB MC MA và ' =

Bằng cách vẽ hình phụ là tam giác đều AB’C’,

∠ < A ° 60

MB MC MB MC MA . Ta có:

+ '

thì + thì nếu

∠ ≠ A

( đó, nếu ∠ > A Bài toán 3.17.1. Cho tam giác ABC cân tại A ° ), nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kỳ trên 60

° 60

thì

∠ < A +

+ MA MB MC ; nếu

∠ > A

° 60

MA MB MC .

cung nhỏ BC. Chứng minh nếu <

thì - Khi tam giác ABC đều và M là một điểm trên cung

M Hình 3.14c

MA MB MC . Ngược lại, khi tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm thuộc cung nhỏ

nhỏ BC thì

MA MB MC thì có kết luận được tam giác ABC đều hay không?

BC sao cho

MA MB MC suy ra tam giác ABC đều là +

Trong trường hợp này, giả thiết

' =

MA MB MC (Hình 3.14c).

không đúng. Thật vậy, xét tam giác đều BCA’ ta có:

(

Vẽ hình phụ bằng cách lấy A đối xứng với A’ qua đường kính MN, suy ra )∈A O và MA = MA’ (tính chất đối xứng). Do đó, với tam giác ABC không đều ta

MA MB MC . Để xây dựng bài toán ngược lại trong tình huống này ta có thể bổ sung thêm

vẫn có

điều kiện cho điểm A. Ta phát biểu bài toán như sau:

116

một điểm thuộc cung nhỏ BC. Chứng minh rằng nếu Bài toán 3.17.2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O); M là MA MB MC thì ∆ ABC đều.

Chứng minh: Vì tam giác ABC cân tại A nên MA



∆

⇒

là phân giác của góc BMC (Hình 3.14d). Do đó:

MBI

MAC

= MB AC MA BI

MB MA = AC BI



∆

⇒

MCI

MAB

MC MA = AB CI

⇒

MC AB MA CI (2).

=AB AC nên từ (1) và (2) suy ra:

Hình 3.14d

(

IC MA BC

)

(1).

) MB MC AC MA BI

Vì (

MA MB MC ta được

=AC BC suy ra điều phải chứng minh.

≤

Kết hợp với

MA MB MC

R (R là bán kính

Từ bài toán xuất phát ta có:

đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC). Dựa vào điều này, ta có bài toán sau:

Bài toán 3.17.3. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định; M

là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí M để:

MA MB MC đạt giá trị lớn nhất?

a) Tổng

b) Chu vi của tam giác MBC đạt giá trị lớn nhất?

Vẽ hình phụ là đường kính AH2 (Hình 3.14e), dễ

MA AH≤

≤

. dàng suy ra:

MA MB MC

Do đó: .

Từ bài toán 3.17.1, nếu kết hợp với bất đẳng thức

Hình 3.14e

≥

= R MA MB MC

MB MC .

Cô-si thì ta có kết quả:

Dấu “=” xảy ra khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC. Từ đó ta có bài toán:

Bài toán 3.17.4. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R) cố định;

M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Tìm giá trị lớn nhất của tích MA.MB.MC?

∆

⇒

Nếu gọi E là giao điểm của MA và BC (Hình 3.14e), ta có:

 BME AMC

MB MA MB MC = = ME MC

+ MC

;

1 1 ME MB MC MB MC

+ MB MC .

Suy ra: .

Từ đó ta có bài toán:

117

Bài toán 3.17.5. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng minh

1 1 1 ME MB MC Khai thác kết quả bài toán 3.17.5, nếu gọi H2 là điểm chính giữa cung BC

⊥

∠

rằng: .

AMF

⇒

≥

−

≥ ≤ . Suy ra: (hình 3.14e) thì AM AF AE AH . ,

≤ ME AM AE AF AH FH

1 ME

1 FH

(không đổi). Dấu Do vậy

M F≡

“=” xảy ra khi và chỉ khi Từ đó ta có được bài toán như sau:

Bài toán 3.17.6. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một

1 1 + MB MC

điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để đạt

giá trị nhỏ nhất?

1 MA

Ta lại thấy rằng khi M trùng với F thì cũng đạt giá trị nhỏ nhất. Từ đó ta

có thêm bài toán thú vị sau:

Bài toán 3.17.7. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O); M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Xác định vị trí của M trên cung nhỏ BC để

1 1 1 MA MB MC

đạt giá trị nhỏ nhất?

Tương tự cách giải bài toán 3.17.5, kết hợp với kết quả bài toán 3.17.1, ta có

∠ ≠ A

° 60

bài toán hay và khó sau:

Bài toán 3.17.8. Cho tam giác ABC cân tại A (

), nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E.

;

∠ < A

° 60

∠ > A

° 60

1 1 1 ME MB MC

Chứng minh rằng: Nếu thì nếu thì

Bài toán này được giải quyết nhờ vận dụng TP phân nhỏ thành hai bài toán

thành phần, đó là:

∠ ≠ A

° 60



∆

(i) Bài toán 3.17.1; (ii) Cho tam giác ABC cân tại A (

AMC

BME

(hoặc ∆ ). ), nội tiếp đường tròn (O), M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC. Các đoạn thẳng MA và BC cắt nhau tại E. Chứng  ∆ minh rằng: ∆ BMA MEC

3.2.2.4. Lưu ý khi thực hiện biện pháp - Bồi dưỡng TP qua việc tìm nhiều lời giải cho bài toán để lựa chọn được phương án tối ưu đòi hỏi HS phải có ý thức phân tích giải pháp, phát hiện ra sai

118

lầm, cải tiến, khắc phục những chướng ngại, khó khăn trong giải pháp đã có, tìm giải pháp tối ưu hơn ăn khớp với một số TP nào đó cần hình thành và khắc sâu.

- Việc khai thác, phát triển các vấn đề đòi hỏi HS phải biết khéo léo phân

chia vấn đề, tách biệt những chi tiết không bản chất, thay đổi các bộ phận để có

được vấn đề mới thú vị, hấp dẫn. Vì vậy, giai đoạn nhìn lại vấn đề nhằm bồi dưỡng

cho HS biết vận dụng nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức

mới kết hợp với nhiều TP khác một cách linh hoạt, hợp lý.

3.2.5. Biện pháp 5. Xây dựng và tổ chức dạy học thích hợp các chuyên

đề ẩn chứa trong đó những thủ pháp hoạt động nhận thức cần bồi dưỡng cho

học sinh

3.2.5.1. Mục đích của biện pháp

Thực hiện biện pháp này nhằm hình thành và khắc sâu các TPHĐNT (đặc

biệt là TP chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp) cho HS thông qua

các chủ đề kiến thức; từ đó, phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sáng tạo và khả năng độc lập chiếm lĩnh kiến thức, chiếm lĩnh tài liệu học tập của người học.

3.2.5.2. Cơ sở và vai trò của biện pháp Biện pháp này phù hợp với các định hướng đã nêu ở trên, các nhân tố trong

sơ đồ 1.5 và các giai đoạn bồi dưỡng TP theo sơ đồ 1.6.

Mặt khác, việc truyền thụ TPHĐNT không thể thực hiện được một cách hệ thống, đầy đủ trong các giờ dạy chính khóa. Để hình thành, khắc sâu cho HS các TP cần phải có thời gian và việc thiết kế, tổ chức DH hợp lý của người GV cộng với sự nỗ lực và say mê tìm tòi của HS. Vì vậy, việc xây dựng các chuyên đề ẩn chứa trong đó các TP cần bồi dưỡng là hết sức cần thiết để khai thác sự phong phú, đa dạng của các TP và khắc sâu các TP trong giải quyết vấn đề.

3.2.5.3. Hướng dẫn thực hiện biện pháp Để thiết kế, tổ chức các chuyên đề phù hợp giúp HS hình thành, khắc sâu các

TPHĐNT, GV cần quan tâm các nội dung sau:

Thứ nhất, mỗi chuyên đề là một hệ thống kiến thức (lý thuyết, bài tập) về cùng một chủ đề nào đó có tính mở (tức là có thể tham gia thiết kế, bổ sung và sáng tạo những vấn đề liên quan); hệ thống hóa được kiến thức và thể hiện rõ trọng tâm là những TPHĐNT cần bồi dưỡng cho người học. Các nội dung chuyên đề đưa ra phải gợi được nhu cầu nhận thức của HS, không quá dễ cũng không quá khó. Tốt nhất là khai thác từ các định lý, bài toán trong SGK, sách bài tập, sau nữa là các tài liệu tham khảo, các đề thi...

Thứ hai, chuyên đề có thể được DH dưới nhiều hình thức, phương pháp khác nhau. Với đặc điểm nhận thức của HS THCS và các con đường có thể hình thành và

119

khắc sâu TPHĐNT thì sử dụng chuyên đề trong các tiết học tự chọn là hình thức chủ yếu trong DH môn Toán. Tuy nhiên, khi sử dụng trong các buổi học chuyên đề tự chọn, có thể chia lớp thành các nhóm nhỏ với yêu cầu tạo điều kiện phù hợp nhất để các thành viên trong nhóm làm việc ăn ý với nhau. Trong quá trình hướng dẫn HS thảo luận, GV cần quan tâm đến từng nhóm HS riêng lẻ, có thể giúp đỡ họ ở mức độ nào đó hoặc tham gia thảo luận cùng các nhóm nếu cần để giúp các em hình thành và vận dụng hợp lý các TPHĐNT thông qua chuyên đề.

Sau đây là một số hướng thiết kế và tổ chức các chuyên đề minh họa việc

hình thành, khắc sâu TPHĐNT:

a) Thiết kế, tổ chức DH các chuyên đề nhằm khai thác sâu các ứng dụng của

các định lý trong sách giáo khoa

Việc khai thác ứng dụng của các định lý đóng vai trò quan trọng trong DH môn Toán ở trường phổ thông. Thứ nhất, giúp HS khai thác tối đa tiềm năng các kiến thức trong sách giáo khoa, tạo cơ hội thuận lợi để phát triển ở HS khả năng huy động kiến thức, mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa vào GQVĐ nhằm góp phần phát triển trí tuệ của các em. Thứ hai, HS biết khắc sâu nghĩa của các tri thức trong sách giáo khoa, mối quan hệ giữa các định lý với các vấn đề toán học và thực tiễn, đặc biệt là mối liên hệ logic với các dạng toán. Từ đó, HS hình thành và khắc sâu các TP GQVĐ; đặc biệt, vận dụng định lý một cách khéo léo, linh hoạt và sáng tạo vào việc giải quyết hiệu quả các vấn đề trong toán học, thực tiễn. Vì vậy, sau mỗi định lý GV nên khai thác các ứng dụng của nó vào giải toán để giúp các em nắm vững kiến thức và khắc sâu một số TPHĐNT.

i) Tập luyện cho HS khắc sâu việc vận dụng trực tiếp định lý vào giải quyết

các vấn đề có liên quan.

ah (a là độ dài cạnh đáy, h là độ dài đường cao tương ứng) vào giải toán

Ví dụ 3.18. Khắc sâu ứng dụng của định lý về công thức tính diện tích tam

1 2

giác

* Với một số bài toán, việc tính diện tích đa giác cần tìm gặp khó khăn, chẳng hạn: tính diện tích một đa giác đã có công thức tính nhưng nếu sử dụng công thức vẫn chưa thể tính được thì phải thông qua diện tích của đa giác khác; đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằng diện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích. Thông thường khi tính diện tích những đa giác như thế người giải toán chia đa giác đó thành nhiều miền là các hình đã biết công thức tính diện tích. Nhưng với một số bài toán, việc giải theo quy trình đó gặp khó khăn, bởi vậy chúng ta phải thực hiện bằng cách: tìm một hình nào đó đã biết diện tích chứa đa giác đã cho; tính diện tích phần bù của hình đa giác trong đó bằng cách chia thành các tam giác dễ tính diện tích; từ đó suy ra diện tích cần tìm. Chẳng hạn:

120

Bài toán 3.18.1. Trong một khu đất hình vuông, độ dài mỗi cạnh bằng 50m, người ta trồng một vườn hoa hình tam giác như hình vẽ (hình 3.15a). Hãy tính diện tích của vườn hoa.

Với bài toán này, nếu tính trực tiếp diện tích vườn hoa

ah là rất khó khăn. Do đó, các em có thể

1 2

nhờ công thức

chuyển việc tính toán phức tạp về các tính toán đơn giản hơn, bằng cách sau:

Hình 3.15a

- Tính diện tích hình vuông cạnh 30m (hình 3.15b); - Tính diện tích ba hình tam giác ở ngoài; - Diện tích vườn hoa = Diện tích hình vuông (cạnh

30m) - Tổng diện tích ba hình tam giác ở ngoài.

Hình 3.15b Ngoài việc, khắc sâu định lý về công thức tính diện tích tam giác như trên, GV còn có thể giúp HS mở rộng, áp dụng định lý trên để chứng minh công thức Hê-rông tính diện tích tam giác, đó là:

BC a CA b AB c diện tích bằng S. Chứng minh rằng

−

Cho ∆ ABC , có

p p a p b p c với

)(

)

(

+ + a b c 2

* Khi giải bài toán so sánh độ dài hai đoạn thẳng bằng phương pháp diện tích (sử dụng công thức tính diện tích của tam giác), trước hết ta gắn các độ dài cần so sánh với nhau vào các tam giác: xác định quan hệ diện tích giữa các tam giác đó; sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức có chứa các độ dài; biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần so sánh.

Bài toán 3.18.2. Trở lại bài toán 2.2, GV gợi ý để HS tiến hành các HĐ sau: HĐ 1: Để chứng minh ID là phân giác ∠AIC , cần chứng minh khoảng cách ⊥DH IA ,

=DH DK .

từ D đến IA và IC phải bằng nhau. Từ đó các em biết bổ sung hình phụ ⊥DK IC (Hình 3.16) rồi chứng minh

E Hình 3.16

ta sẽ giải được bài toán.

HĐ 2: HS nhận ra, hai đoạn thẳng DH, DK là các đường cao của ∆ AFD và ∆ CED có cạnh đáy tương ứng là AF và CE( bằng nhau theo giả thiết).

HĐ 3: HS tiến hành chứng minh SADF = SDCE. Tìm mối liên hệ giữa SADF và SDCE với SABCD Như vậy, việc giúp HS nhìn nhận, nắm bắt nội dung định lý dưới nhiều góc độ khác nhau và khai thác sâu các định lý, quy tắc trong sách giáo khoa đã hình thành và khắc sâu các TP giải quyết vấn đề cho các em.

121

ii) Tạo cơ hội cho HS khai thác ứng dụng của các định lý trong SGK vào xây

dựng quy trình mới để giải quyết vấn đề

Ngoài việc vận dụng trực tiếp từ kết quả của các định lý trong SGK, GV cần xây dựng các chuyên đề khai thác sâu ứng dụng của định lý để xây dựng quy trình mới vào giải quyết vấn đề.

Ví dụ 3.19. Mở rộng, khắc sâu ứng dụng của định lý Ta-lét xây dựng quy

trình mới chứng minh ba điểm thẳng hàng

,A B C thẳng hàng, chúng ta chứng minh , Định lý Ta-lét là một trong những định lý hình học giữ vai trò quan trọng trong chương trình môn Toán THCS. Người học thường vận dụng định lý Ta-lét để giải các bài toán liên quan đến việc tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số đoạn thẳng; chứng minh các hệ thức về đoạn thẳng; chứng minh các đường thẳng song song… Một số bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng được giải bằng vận dụng định lý Ta-lét thường được thực hiện bằng cách quy về việc chứng minh các đường thẳng song song, chẳng hạn: để chứng minh ,AB BC

cùng song song với một đường thẳng d nào đó. Sau đây, chúng tôi trình bày việc khai thác định lý Ta-lét theo một hướng khác để chứng minh ba điểm thẳng hàng:

GV yêu cầu HS nhắc lại nội dung của định lý Ta-lét thuận? (Định lý thuận: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ).

Như vậy, định lý Ta-lét thuận, có thể được phát biểu như sau: Cho các điểm

AM AN MN BC AC AB

A, M, B và A, N, C thẳng hàng, sao cho MN // BC. Chứng minh

Vậy một vấn đề được đặt ra: Cho các điểm A, M, B thẳng hàng, các điểm N, C nằm về cùng một nửa mặt

AM AN = AC AB

phẳng có bờ là AB, sao cho và MN // BC. Khi

Hình 3.17a

đó các điểm A, N, C có thẳng hàng hay không? Câu trả lời là: ba điểm A, N, C thẳng hàng. Điều này không mấy khó khăn. Thật vậy, kéo dài AN cắt tia BC tại C’, theo định

BC BC=

.≡C C

MA MN = ' BC AB

. Suy ra hay lý Ta-lét ta có

,A B C thẳng hàng là:

Từ đó, ta có quy trình để chứng minh ba điểm

Hình 3.17b

+ Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆ đi qua A sao cho ,B C

thuộc một nửa mặt phẳng bờ ∆ . + Bước 2: Vẽ BM // CN ( ,M N thuộc ∆ ).

122

MA MB = NA NC

+ Bước 3: Chứng minh .

Áp dụng: Sau đây là một ví dụ minh họa việc vận dụng quy trình trên:

(

∈N AC Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN.

≠ Bài toán 3.19.1. Cho ∆ ABC , ∈M AB , M A M B . Kẻ MN // BC ,≠

Để dự đoán tập hợp điểm I thuộc đường nào, ta xét thêm 2 vị trí tới hạn

của M:

- Khi

J (J là trung điểm của BC

≡M A thì ≡I A ( nên I cố định). ≡M B thì ≡I

- Khi

nên J cố định).

Nhìn vào hình vẽ, bằng trực giác và thực nghiệm

J Hình 3.18

ta dự đoán các điểm A, I, J thẳng hàng và tập hợp điểm I

thuộc đoạn AJ ( trừ điểm A và điểm J). Điều này chứng

minh không mấy khó khăn nhờ áp dụng quy trình trên (Hình 3.18).

⊥ME

AC . Tìm tập hợp trung điểm I của DE .

Bài toán 3.19.2. Cho ∆ ABC , M là điểm di động trên BC . Kẻ ⊥MD AB ,

Để dự đoán tập hợp điểm I thuộc đường nào, ta xét thêm 2 vị trí đặc biệt của

M, đó là:

AC nên

⊥BB

≡M B thì ≡I P (P là trung điểm của

AC 1 ∈B ,

1BB với

- Khi

B 1

P cố định).

≡M C thì ≡I Q (Q là trung điểm

C 1

- Khi

AB nên Q cố

⊥CC

1CC với

AB 1 ∈C ,

của

định).

Nhìn vào hình vẽ, bằng trực giác ta dự

đoán các điểm P, I, Q thẳng hàng và tập hợp

Hình 3.19

điểm I thuộc đoạn PQ.

Vấn đề được đặt ra là chứng minh ba

điểm I P Q thẳng hàng bằng cách nào? Rõ ràng, với các phương pháp HS quen , ,

thuộc thì việc chứng minh này khá khó khăn.

Tuy nhiên, từ hình vẽ ta thấy có các cặp đường thẳng song song

1BB , MD //

1CC ) nên chúng ta có thể nghĩ đến việc sử dụng quy trình trên để

( ME //

chứng minh. Do đó, người giải có thể dự đoán cách vẽ hình phụ hợp lý để có thể sử

123

dụng quy trình trên vào giải bài toán này như sau: Nối B với Q cắt MD tại H và tìm

HI QI = BP QP

(Hình 3.19). cách chứng minh

1CC theo định lý Ta-lét trong các tam giác CBQ và

1C BQ

Thật vậy, do MD //

=CQ QC nên

=HM HD nên HI là đường trung bình

MH HD = CQ QC 1

=IH

ME .

mà ta suy ra

1 2

=IK

MD .

của ∆ MDE . Do đó, IH // ME ,

1 2

(*)

=IH MK Do đó .

Hoàn toàn tương tự nối C với P cắt ME tại K, ta có IK // MD ,

HI MK = BP BP

Suy ra tứ giác IHMK là hình bình hành nên

, BCP BCQ tương ứng, ta có:

(**). Từ (*) và (**) suy ra điều cần chứng minh.

Bằng cách áp dụng định lý Ta-lét cho các tam giác MK MC HQ BP BQ BC Chúng ta lưu ý rằng, định lý Ta-lét đúng cả trường hợp đường thẳng song song với một cạnh cắt các đường thẳng kéo dài của các cạnh còn lại, nên có thể thay đổi quy trình như sau:

+ Bước 1: Vẽ đường thẳng d đi qua B sao cho ,A C ở khác phía nhau đối với d.

+ Bước 2: Vẽ AM // CN ( ,M N thuộc d).

MA MB = NB NC

+ Bước 3: Chứng minh .

Ngoài ra, nhiều bài toán chứng minh ba đường thẳng đồng quy cũng được

chuyển về bài toán chứng minh thẳng hàng và vận dụng quy trình trên. Chẳng hạn:

Bài toán 3.19.3. (Bổ đề hình thang) Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa

hai cạnh bên và đường thẳng nối trung điểm hai đáy của một hình thang đồng quy.

∈

≠ . Hình chữ nhật

Như vậy, nhờ khai thác sâu ứng dụng định lý Ta-lét, HS có thể giải được khá nhiều bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng mà các phương pháp quen thuộc khác không giải quyết được. Chẳng hạn:

≠ M AB M A M B

∈

Bài toán 3.19.4. Cho ∆ ABC nhọn,

N AC P Q BC

;

MNPQ nội tiếp tam giác ABC sao cho . Tìm tập hợp tâm O của

hình chữ nhật MNPQ khi M di động trên AB.

Bài toán 3.19.5. Chứng minh rằng các đường chéo và đường thẳng nối trung

điểm hai đáy của một hình thang đồng quy.

b) Xây dựng hệ thống bài tập theo một chủ đề kiến thức nhằm hình thành và

khắc sâu các TP giải quyết vấn đề cho HS

Các bài toán liên quan đến một chủ đề thường liên hệ với nhau về những nội

124

dung kiến thức nào đó hoặc những cách thức khéo léo để giải quyết các dạng toán đó chính là các TP. Do đó, việc xây dựng và tổ chức các chuyên đề theo từng chủ đề kiến thức có ý nghĩa quan trọng trong việc hình thành và vận dụng các TP cho HS. Bởi vậy, song song với các kiến thức được học trong chương trình chính khóa, GV nên tổ chức các chuyên đề tự chọn bằng cách khai thác tối đa tiềm năng các kiến thức trong sách giáo khoa, tạo cơ hội thuận lợi để phát triển ở HS khả năng huy động kiến thức, mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa vào GQVĐ; nhằm bồi dưỡng các TPHĐNT cho người học.

Ví dụ 3.20. Chuyên đề (Lớp 9): Hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ

khi giải các bài toán về đường tròn

A. Mục tiêu: - Giúp HS biết tìm ra cơ sở bổ sung hình phụ thích hợp khi giải các bài toán về đường tròn trên cơ sở các định hướng, chỉ dẫn chung về bổ sung hình phụ trình bày trong ví dụ 3.12. Từ đó, hình thành, khắc sâu các TP bổ sung hình phụ trong một số bài toán về đường tròn với các TP thành phần, như:

+ Dựa vào các đối tượng có trong hình vẽ, khai thác đặc điểm, tính chất của yếu tố đã cho (vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường tròn; tính chất của các tiếp tuyến cắt nhau; tính chất của đường kính và dây trong một đường tròn…) để tìm định hướng bổ sung hình phụ;

+ Phân tích yếu tố cần tìm trong mối liên hệ với yếu tố đã cho (so sánh độ lớn của các dây, chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc…) để xác định các hướng có thể bổ sung yếu tố phụ nhằm tìm cách đưa vấn đề về dạng quen thuộc;

+ Biến đổi tương đương kết luận để xác định hướng bổ sung yếu tố phụ... - Giúp HS biết TP bổ sung hình phụ đạt được mục đích qua hai giai đoạn: hình phụ được dùng như chiếc “chìa khóa” để giải quyết vấn đề và việc tìm kiếm hình phụ là phút quyết định, cao điểm của quá trình giải toán. Hơn nữa, các em biết phối hợp việc vận dụng TP bổ sung yếu tố phụ với các TP khác, đặc biệt là TP phân nhỏ để giải các bài toán về đường tròn nhờ và khai thác, sáng tạo các bài toán mới.

B. Nội dung 1. Hệ thống lại các kiến thức về đường tròn (Yêu cầu HS trình bày lại, GV

nhận xét, bổ sung (nếu thiếu) và hoàn thiện)

2. Một số TP bổ sung hình phụ cụ thể giải các bài toán về đường tròn i) Bổ sung hình phụ là đường nối tâm với trung điểm của dây (hay đường kính vuông góc với dây) trong các bài toán có giả thiết cho trung điểm của dây hoặc kết luận yêu cầu tính độ dài của một dây, so sánh độ dài của hai dây trong một đường tròn… Chẳng hạn:

Bài toán 3.20.1. Cho điểm M nằm trong đường tròn tâm O, M không trùng

125

với O. Chứng minh rằng trong tất cả những dây đi qua M thì dây vuông góc với OM là dây ngắn nhất. (cách diễn đạt khác của Bài 16, SGK Toán 9, tập 1, tr. 106)

GV đưa ra các câu hỏi gợi ý: - Giả thiết của bài toán là gì? (Điểm M nằm trong đường tròn tâm O, M

không trùng với O)

- Bài toán yêu cầu chứng minh cái gì? (trong tất cả những dây đi qua M thì

dây vuông góc với OM là dây ngắn nhất).

- Để chứng minh AB là dây ngắn nhất ta làm thế nào? (qua M ta phải vẽ

Hình 3.20

thêm dây CD bất kỳ khác AB và chứng minh CD > AB). GV có thể gợi ý để HS tìm được cách vẽ hình phụ: - Hãy trình bày cách so sánh hai dây của một đường tròn? (Trong hai dây của một đường tròn dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn).

- Hãy so sánh khoảng cách OH (từ tâm O đến CD) và đoạn OM? (OH < OM vì đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên).

Từ đó HS biết vẽ hình phụ là dây CD bất kỳ đi qua M và đường kính vuông

góc với dây CD (Hình 3.20).

+ Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. + Yêu cầu HS kiểm tra lời giải, khai thác, phát triển BT: Hãy phát biểu BT

dưới dạng tìm tòi?

Bài toán 3.20.1’. Cho điểm M nằm trong đường tròn tâm O, M không trùng

với O. Tìm dây ngắn nhất (dài nhất) trong tất cả những dây đi qua M?

Bài toán 3.20.2. Cho đường tròn (O) đường kính MN. Trên đường tròn lấy

Q

điểm P (P khác M và N), tia MP cắt tiếp tuyến kẻ từ N của đường tròn tại điểm Q. Gọi I là trung điểm của MP. Chứng minh rằng:

1

= ∠ . ∠ a) NMQ PNQ

P

= b) . MO IN . MI OQ .

I

1

(Trích đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2008-2009 tỉnh Hà Tĩnh)

M

N

O

Hình 3.21

Bài này câu a) khá đơn giản; với câu b) GV có thể

đặt các câu hỏi phân tích đi lên để HS tìm tòi lời giải:



∆

= - Để có ta thường chứng minh hai tam giác đồng dạng, MO IN . MI OQ .

MIN

MOQ

)

. hãy chỉ ra hai tam giác nào có các cạnh liên quan? (

∠ = ∠Q

N ta chỉ cần chứng minh điều gì? (Tứ giác OIQN nội tiếp).

Để có

126

⊥OI MP ).

∠ ∠ = - Tứ giác OIQN nội tiếp thì ( Hay =OIQ ? OIQ ° 90 .

Như vậy hình phụ cần bổ sung là đoạn OI (đường nối tâm với trung điểm

của dây MP) (Hình 3.21).

Từ đó, người học có thể rút ra được nhận xét: Với các bài toán giả thiết có trung điểm một dây của đường tròn hay kết luận yêu cầu so sánh hoặc tính độ dài các dây … người giải nên vẽ đường nối tâm với trung điểm của dây (hay đường kính vuông góc với dây) để vận dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của một dây vào giải bài toán.

ii) Bổ sung hình phụ là đường kính của đường tròn trong các bài toán mà kết luận có liên quan đến độ dài bán kính đường tròn hay liên quan đến hai lần khoảng cách từ tâm đến trung điểm của một dây.

Bài toán 3.20.3. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ OM vuông góc vuông BC (M khác B,C). Chứng minh rằng AH = 2OM.

GV gợi ý để HS tìm được cách vẽ hình phụ và giải bài toán: - Để chứng minh AH = 2OM, gợi cho ta nghĩ đến quan hệ giữa OM và AH

như thế nào? (OM là đường trung bình của một tam giác có cạnh thứ ba là AH).

- Muốn tạo ra tam giác có cạnh thứ ba là AH và đường trung bình là OM ta làm thế nào? (Đường kính đi qua A (vì O là tâm đường tròn nên gợi cho ta suy nghĩ đến đoạn thẳng nào nhận O làm trung điểm)).

GV: Quan hệ đó là cở sở để giúp chúng ta vẽ thêm yếu tố phụ là đường kính

AOD (qua A) rồi giải bài toán (Hình 3.22).

Khai thác kết quả bài toán để tìm lời giải khác hay

phát triển bài toán mới, chẳng hạn:

GV có thể gợi ý để HS tìm được các cách vẽ hình

D Hình 3.22

phụ khác, chẳng hạn:

Cách 2: Vẽ đường kính BOE. Cách 3: Vẽ ON vuông góc với AC. Phát triển bài toán mới GV: Đây là một tính chất “đẹp” của trực tâm tam giác, giúp giải quyết khá

nhiều bài toán. Chẳng hạn, bài toán đường thẳng Ơ-le…

Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H và G tương ứng là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng (đường thẳng Ơ-le).

Hình 3.23

Bài toán 3.20.4. Cho tứ giác ABCD thay đổi thỏa mãn ⊥AC BD và luôn nội tiếp trong một đường tròn (O; R) cố định. Chứng minh rằng

127

28 R . CD AB Từ đẳng thức cần chứng minh: 2

2.4

2 R .

24R chính là giá trị bình phương của đường kính, từ đó gợi ngay cho

Ta thấy

ta vẽ đường kính của đường tròn, chẳng hạn vẽ đường kính AK (Hình 3.23).

Nhận xét: Các bài toán trên đường phụ cần vẽ được dấu rất tinh tế trong các

2=AH

OM hay

2.4

R nếu nhanh ý HS sẽ thấy các đẳng

đẳng thức phải chứng minh, chẳng hạn:

thức đó đã bộc lộ phần nào yếu tố phụ cần phải vẽ.

Qua việc bổ sung hình phụ để giải các bài toán trên và một số bài toán tương tự HS có thể khái quát được TP, sau đó GV nhấn mạnh: Nên bổ sung hình phụ là

đường kính của đường tròn trong các bài toán mà kết luận có liên quan đến độ dài

bán kính đường tròn hay các bài toán liên quan đến hai lần khoảng cách từ tâm đến

trung điểm của một dây để sử dụng tính chất của đường kính.

iii) Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn với các bài toán có giả thiết là hai

∠

đường tròn tiếp xúc ngoài (hoặc tiếp xúc trong) với nhau.

BAC

090

Bài toán 3.20.5. Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B thuộc đường tròn (O) và C thuộc đường tròn (O’). Chứng minh rằng .

Bằng cách vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại A cắt BC tại M (Hình 3.24). Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB; MA = MC. Do

BC 2

Hình 3.24

đó AM là đường trung tuyến và nên tam

BAC

090=

giác ABC vuông tại A hay  .

)

O r R r> (

', ),(

Bài toán 3.20.6. Cho hai đường tròn (O;R) và tiếp xúc trong tại A. Các dây AB, AC của

đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai D và E. Chứng minh rằng BC // DE.

Sau khi HS vẽ tiếp tuyến chung tại A (Hình 3.25)

Hình 3.25

thì bài toán dễ dàng được chứng minh.

GV nhấn mạnh: Với các bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nên vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn làm xuất hiện góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây, nhờ mối liên

hệ giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tai tiếp tuyến và dây sẽ giúp ta giải được bài toán

(tiếp tuyến chung chính là yếu tố liên kết hai đường tròn với nhau).

128

iv) Vẽ tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng nếu bài toán có

kết luận đường kính (bán kính) vuông góc với một đường thẳng nào đó (không phải

là dây của đường tròn).

Bài toán 3.20.7. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn (O; R). Hai

⊥OA DE .

đường cao BD và CE. Chứng minh

GV: Trong đường tròn có yếu tố nào sẽ vuông góc

với bán kính? (Tiếp tuyến sẽ vuông góc với bán kính tại

tiếp điểm).

GV: Điều đó chính là cơ sở để giúp chúng ta tìm ra

yếu tố phụ cần bổ sung. Hãy sử dụng tính chất trên và tính

Hình 3.26

chất, một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường

thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

Từ đó, HS biết bổ sung tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại A (Hình 3.26).

GV nhấn mạnh: Với các bài toán có kết luận đường kính (bán kính) vuông

góc với một đường thẳng (đoạn thẳng) nào đó (không phải là dây của đường tròn)

nên vẽ tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng đó để sử dụng tính

chất tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm và tính chất

một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông

góc với đường thẳng kia.

v) Vẽ thêm yếu tố phụ là dây chung của hai đường tròn và đường nối tâm

của hai đường tròn đó với các bài toán giả thiết có hai đường tròn cắt nhau

Bài toán 3.20.8. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ

hình bình hành O1BO2C . Chứng minh rằng AC // O1O2.

GV gợi ý cho HS tìm tòi cách vẽ hình phụ để

giải bài toán:

- Để chứng minh AC // O1O2, ta cần chứng minh giao điểm của O1O2 với AB có tính chất gì? (O1O2 cắt AB lại trung điểm của AB).

Hình 3.27

- Hãy nhắc lại tính chất đường nối tâm của

hai đường tròn? (Đường nối tâm là trung trực của dây chung).

- Điều này gợi cho chúng ta vẽ thêm yếu tố phụ nào? (Vẽ dây chung AB để có

O1O2 là trung trực của AB) (Hình 3.27).

Bài toán 3.20.9. Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB

và đường tròn (D; DC) chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E. Tia BE cắt DC tại

M. Chứng minh rằng M là trung điểm của DC.

129

Với bài toán này HS cũng nhận ra AE là dây chung của hai đường tròn (O)

đường kính AB và đường tròn (D; DC), nên các em nối A với E, D với O. Từ đó dễ

dàng tìm được lời giải bài toán.

GV chốt: Với các bài toán có hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm là đường trung trực của dây chung, nên để làm xuất hiện yếu tố liên quan đến cả hai đường tròn ta thường vẽ thêm yếu tố phụ đó là dây chung của hai đường tròn và

đường nối tâm của hai đường tròn đó. Dây chung đóng vai trò là yếu tố trung gian

kết nối giữa hai đường tròn

vi) Bổ sung hình phụ là bán kính đi qua tiếp điểm khi có tiếp tuyến của

đường tròn.

Bài toán 3.20.10. Cho đường tròn (O; R) có hai

đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung

nhỏ BD lấy điểm N, CN cắt AB tại M. Đường thẳng

Hình 3.28

vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N ở điểm P. Chứng minh rằng:

a) OMNP là tứ giác nội tiếp. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành. HS tìm được hình phụ cần bổ sung vào giải bài

toán và các em nhận ra được ON (đường nối tâm với tiếp điểm) là hình phụ cần vẽ trong bài toán này (Hình 3.28). Từ đó, dễ dàng suy ra lời giải.

Qua một số bài toán khác có giả thiết là tiếp tuyến với một đường tròn, HS cũng thấy được hình phụ phải bổ sung cũng là đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm. Từ đó, họ cũng có thể hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ là đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm để giải các bài toán dạng này.

vii) Vẽ đoạn nối giao điểm với tâm, dây nối hai tiếp điểm với các bài toán giả

Hình 3.29

thiết có hai tiếp tuyến một đường tròn đi qua một điểm. Bài toán 3.20.11. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ACD với đường tròn (A, B, C, D ∈ (O)). Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng:

a) SAIB là tứ giác nội tiếp. b) IS là tia phân giác của góc AIB. GV gợi ý qua các câu hỏi giúp HS biết vẽ hình phụ là đoạn SO và AB. Từ đó, dễ dàng tìm

được lời giải bài toán.

130

Ví dụ trên cũng chỉ ra rằng khi có tứ giác nội tiếp thì chúng ta nên vẽ hai

đường chéo để vận dụng các cặp góc bằng nhau (Hình 3.29).

GV nhấn mạnh: Khi có hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau nên vẽ

đoạn nối giao điểm với tâm, dây nối hai tiếp điểm.

Ngoài ra, trong các bài toán có đa giác (tam giác, tứ giác) nội tiếp thường vẽ

thêm hình phụ là các đường tròn ngoại tiếp để sử dụng các tính chất liên quan.

Mặt khác, khi trang bị cho HS một số hướng suy nghĩ để bổ sung hình phụ

vào giải các bài toán về chủ đề đường tròn nói riêng và giải quyết các vấn đề Hình

học nói chug, GV cần lưu ý để các em biết được: Đây chỉ là một số định hướng

nhằm tăng nhanh quá trình tìm kiếm các giải pháp hợp lý thông qua các suy nghĩ rút

gọn, có thể chưa hoàn toàn đầy đủ, chặt chẽ nhưng khá hiệu quả. Ngoài ra, có thể

còn rất nhiều cách hữu hiệu khác để bổ sung hình phụ người học có thể tự tìm ra

trong quá trình giải toán. Hơn nữa, các cách vẽ hình phụ đó là không độc lập với

nhau mà chúng bổ sung lẫn nhau, thông thường, khi giải toán các cách vẽ hình phụ

trên được sử dụng phối hợp.

3. Một số bài tập đề nghị: Đây là phần bài tập HS tự vận dụng các TP đã

học vào giải quyết (xem Phụ lục 4).

3.2.5.4. Lưu ý khi thực hiện biện pháp

- Việc hình thành và khắc sâu TPHĐNT có liên hệ mật thiết với việc trang bị

kiến thức cho HS. Do đó, GV cần biết chọn lọc nội dung của các chuyên đề có ưu

thế và điều kiện để bồi dưỡng một hay một số TP nhất định.

- Tổ chức DH cần thể hiện rõ mục đích hình thành, khắc sâu các TP gắn với

nội dung kiến thức thông qua các chuyên đề và vận dụng vùng phát triển rất gần

trong lý thuyết DH phát triển của Vưgotxki; HS cần được tham gia thiết kế, bổ sung

và sáng tạo các bài toán mới nhằm phát huy tính chủ động, sáng tạo để hình thành

và khắc sâu TP trong quá trình học chuyên đề.

- Phần khái niệm mới nên giới thiệu một cách sơ lược hoặc được lồng ghép

vào các bài toán cụ thể, dành thời gian hợp lý để HS đưa ra được các TPHĐNT và

GV chính xác hóa các tri thức ấy.

Qua các biện pháp trên đây, chúng ta nhận thấy, bồi dưỡng TPHĐNT cũng

giống như việc bồi dưỡng tri thức phương pháp tìm đoán. Do đó, để kết thức phần

này, chúng tôi xin trích dẫn nhận xét của các tác giả Nguyễn Bá Kim,Vũ Dương

Thụy [48, tr 162]: “Những quy tắc, phương pháp tìm đoán chỉ là những gợi ý giải

quyết vấn đề chứ không phải là những thuật toán đảm bảo chắc chắn dẫn tới thành

công. Vì vậy, hướng dẫn HS sử dụng chúng cần rèn luyện tính mềm dẻo, linh hoạt,

131

biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sẽ không có gì

đáng sợ nếu HS không thành công khi áp dụng một quy tắc, phương pháp tìm đoán

nào đó. Điều quan trọng là tới mức độ nào, họ phải biết phát hiện sự lầm đường,

biết thay đổi phương hướng và cuối cùng dẫn đến thành công”.

Kết luận chương 3

Trên cơ sở vận dụng những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn (đã trình

bày trong Chương 1 và Chương 2), nội dung của Chương 3 chúng tôi đưa ra năm

định hướng và xây dựng năm biện pháp sư phạm góp phần nâng cao hiệu quả việc

bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS và tập trung vào

việc minh họa một cách sinh động các biện pháp sư phạm đó thông qua các ví dụ.

Biện pháp 1, GV bằng những cách thức cụ thể để gợi động cơ bên trong, tạo

hứng thú, nhu cầu cho HS trong việc hình thành và khắc sâu các TPHĐNT, đó là:

Giúp HS nhận thức được vai trò, ý nghĩa, tầm quan trọng của TP, thấy được cái hay, cái đẹp của việc vận dụng các TP trong giải quyết vấn đề và thiết kế các tình huống có dụng ý sư phạm hấp dẫn trong quá trình DH.

Biện pháp 2, biện pháp 3, biện pháp 4: Đưa ra các cách thức tập luyện nhằm bồi dưỡng cho HS những TP thích hợp trong từng giai đoạn giải quyết vấn đề (hiểu rõ vấn đề; lập kế hoạch và thực hiện kế hoạch và nhìn lại vấn đề) của G. Polya. Các biện pháp này nhằm mục đích kép: Vừa hình thành cho HS các TPHĐNT- đây là công cụ hữu hiệu, tài sản riêng của người học để giải quyết vấn đề; vừa tập luyện cho các em sử dụng hợp lý, linh hoạt các TP trong các tình huống nhận thức nhằm phát triển năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy sáng tạo.

Biện pháp 5, nhằm hình thành và khắc sâu các TPHĐNT cụ thể cho HS qua từng chủ đề kiến thức bằng việc xây dựng và tổ chức DH thích hợp các chuyên đề ẩn chứa trong đó những TPHĐNT cần bồi dưỡng cho HS.

Các biện pháp sư phạm đưa ra trên đây đều thực hiện DH theo phương châm: Tổ chức tập luyện cho người học thông qua một số ví dụ thích hợp và lặp lại nhiều lần trên cơ sở các biến thể của đối tượng trong quá trình DH. Để hình thành và khắc sâu một TP, có thể GV đưa ra các bài toán cùng thỏa mãn điều kiện nào đó, yêu cầu HS giải (nếu cần GV hướng dẫn, gợi ý) rồi yêu cầu HS nêu nhận xét cách giải trong từng bài toán, khái quát thành các TP sau đó GV chuẩn hóa lại TP và vận dụng (với HS khá, giỏi) hoặc cũng có thể GV giới thiệu trước TP cho HS rồi đưa ra

bài tập áp dụng (với các em có lực học từ trung bình trở xuống).

132

Các biện pháp này không tách rời nhau mà có mối liên hệ mật thiết với nhau trong quá trình DH. Vì vậy, muốn bồi dưỡng TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán THCS cho HS một cách hiệu quả nhất cần tiến hành một cách đồng bộ các biện pháp sư phạm đã xây dựng trên đây.

133

Chương 4 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

4.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm kiểm định giả thuyết khoa học

của đề tài; bước đầu khẳng định tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm

được đề xuất trong Luận án qua thực tiễn DH. Cụ thể là từ kết quả TNSP phải đưa

ra được các luận cứ để trả lời các câu hỏi sau:

+ Các biện pháp mà Luận án đề xuất có thể thực hiện được trong quá trình DH

môn Toán ở THCS hay không?

+ Thực hiện các biện pháp có thực sự bồi dưỡng được TPHĐNT cho HS và

nâng cao được hiệu quả DH môn Toán cho HS THCS hay không?

4.2. Phương pháp thực nghiệm sư phạm

4.2.1. Phương pháp quan sát

Quan sát các giờ DH môn Toán trên lớp đối với những lớp có HS tham gia

TNSP để quan sát tác động của các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT của GV, HS trong

quá trình học trên lớp như thế nào? Trong quá trình quan sát, tập trung thu thập dữ

liệu về thái độ, hoạt động của HS trong quá trình hình thành và khắc sâu TPHĐNT.

4.2.2. Phương pháp thống kê toán học

Thiết kế bài kiểm tra sau quá trình TNSP; chấm điểm và dùng PP thống kê

Toán học để xử lý số liệu bài kiểm tra. So sánh kết quả giữa nhóm ĐC và nhóm TN

để rút ra kết luận về việc nâng cao kết quả học tập của HS nhóm TN và nhóm ĐC

sau quá trình tự học dưới tác động của các biện pháp đã đề xuất.

4.3. Tổ chức và nội dung thực nghiệm

4.3.1. Công tác chuẩn bị

+ Trước khi thực nghiệm có điều tra sơ bộ về thực trạng học tập của HS và

bồi dưỡng cho GV dạy thực nghiệm về vấn đề nghiên cứu.

+ Tài liệu thực nghiệm (các giáo án TNSP do chính tác giả soạn; phiếu học

tập…) được đưa cho GV dạy thực nghiệm trước hai tuần.

+ Tham gia dự giờ, trao đổi ý kiến, rút kinh nghiệm với GV dạy thực nghiệm

sau mỗi tiết dạy, nhằm bổ sung và sửa đổi giáo án giảng dạy cho phù hợp với từng

lớp để đạt hiệu quả cao trong TNSP.

+ Kết thúc đợt thực nghiệm tổ chức thảo luận với GV trong tổ bộ môn bàn về

những vấn đề mà thực nghiệm quan tâm.

134

4.3.2. Các bước tổ chức thực nghiệm Bước 1: Tác giả Luận án biên soạn một số bài dạy theo yêu cầu, tóm tắt kết

quả nghiên cứu về lý thuyết được trình bày trong các Chương 1, 2, 3 của Luận án và

một số yêu cầu đối với hoạt động thực nghiệm.

Bước 2: Chọn mẫu thực nghiệm sư phạm.

Được sự đồng ý của Ban giám hiệu trường THCS Phan Huy Chú, huyện

Thạch Hà, tỉnh Hà Tĩnh - một cơ sở giáo dục có bề dày truyền thống, đóng ở Thị

trấn Cày huyện Thạch Hà cho phép thực nghiệm sư phạm kiểm nghiệm kết quả

nghiên cứu, chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu HS và tình hình DH nói chung, DH toán

nói riêng. Trước khi tiến hành thực nghiệm, chúng tôi cho HS các lớp làm bài kiểm

tra và tiến hành phân tích kết quả kiểm tra (xem Phụ lục 3).Trên cơ sở đó đề xuất

các lớp chọn thực nghiệm và các giáo viên tham gia giảng dạy.Thực nghiệm được

tiến hành trong hai năm học 2014-2015 và 2015-2016 trên các lớp TN, ĐC đã được

chọn. Cụ thể:

* Đợt 1: Được tiến hành trong khoảng thời gian từ đầu tháng 2 đến cuối tháng

4 năm 2015, đối với HS lớp 8:

Nhóm GV dạy Tổng HS

TN Cô: Nguyễn Thị Thảo 72

ĐC Thầy: Hồ Quyết Thắng 74 Lớp 8D 8E 8C 8G Số HS 37 35 37 37

* Đợt 2: Được tiến hành trong khoảng thời gian từ 10/2015 đến tháng 4/2016,

đối với HS lớp 9 từ các lớp TN, ĐC của năm học trước chuyển lên:

Nhóm GV dạy Tổng HS

TN Cô: Phan Thị Thủy 72

ĐC Thầy: Dương Trí Long 74 Lớp 9D 9E 9C 9G Số HS 37 35 37 37

Từ phân tích kết quả bài kiểm tra (xem Phụ lục 3) có thể khẳng định: Các lớp

TN và lớp ĐC có kết quả học tập môn Toán trước khi thực nghiệm là tương đương.

- Các GV dạy thực nghiệm và đối chứng được Ban Giám hiệu nhà trường

thống nhất với tổ chuyên môn giới thiệu, họ đều là những người tâm huyết, nhiệt

tình, có kiến thức vững vàng, năng lực sư phạm tốt. Chúng tôi cũng lựa chọn GV

dạy thực nghiệm ở các lứa tuổi và kinh nghiệm giảng dạy khác nhau. Các GV tham

gia thực nghiệm vừa là người giúp chúng tôi thực hiện những ý đồ, những yêu cầu

đặt ra đồng thời có thể trao đổi thêm những kinh nghiệm từ thực tiễn DH.

135

- Trường THCS Phan Huy Chú có phần lớn HS là con em cán bộ công nhân

viên chức nên có điều kiện học tập. Tuy trường được chọn làm thực nghiệm chưa

phải là đại diện hết cho tất cả các vùng miền nhưng HS ở đây có cả các em ở thị trấn

và nông thôn; từ đó, thấy rõ hơn tính khả thi của các biện pháp đề xuất.

Bước 3: Triển khai dạy tại lớp ĐC theo các giáo án và phương pháp thông

thường. Phổ biến mục đích, yêu cầu cho GV tham gia dạy thực nghiệm; cách thức

áp dụng lý thuyết nghiên cứu được của tác giả vào việc tìm hiểu, soạn bài, tổ chức

DH cho GV tham gia thực nghiệm. Dự giờ rút kinh nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra để đánh giá kết quả thực nghiệm với đối chứng. Phân tích,

đánh giá kết quả, rút kinh nghiệm, kết luận vấn đề, điều chỉnh kết quả nghiên cứu

cho phù hợp.

4.3.3. Nội dung thực nghiệm sư phạm

Chương 1 Luận án đã đề cập tới nhiều TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của

G. Polya trong DH môn Toán ở trường THCS, nhiều yếu tố ảnh hưởng đến việc bồi

dưỡng các TP cho HS. Các biện pháp đề ra trong Chương 3 đã tập trung bồi dưỡng

cho HS về những TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya thường sử dụng

trong DH môn Toán ở các lớp cuối cấp THCS. Trong TNSP, không thể đề cập hết 5

biện pháp này mà chỉ thể hiện được một số trong chúng (thậm chí có biện pháp

cũng chỉ đề cập đến được một khía cạnh nào đó). Do đó, quan điểm của chúng tôi là chọn những nội dung trong chương trình thuận lợi cho việc hình thành và khắc sâu

các TPHĐNT. Mặt khác, như trong Chương 1 đã trình bày, việc bồi dưỡng các

TPHĐNT cho HS gồm nhiều giai đoạn và dưới nhiều hình thức, cấp độ (mục 1.7.4,

1.7.5) nhưng trong DH chính khóa trên lớp, chỉ có thể lồng ghép được một vài khía

cạnh. Bởi vậy, rất cần thiết phải tổ chức bồi dưỡng các TPHĐNT trong các tiết học

tự chọn để người học có được sự hình thành và khắc sâu các TP theo một hệ thống

“trọn vẹn” hơn.

Trong đợt thực nghiệm thứ nhất, mục đích của chúng tôi là thăm dò và chẩn

đoán về tính khả thi, tính hiệu quả của các biện pháp sư phạm 2, 3, 4 đã đề xuất.

Dựa trên những kết quả từ đợt thực nghiệm thứ nhất, chúng tôi đã rút kinh nghiệm

để có những bổ sung, chỉnh sửa thích hợp hơn.

Đợt thực nghiệm thứ hai, chúng tôi tập trung dạy một số nội dung để có thể

đánh giá chính xác hơn về hiệu quả bồi dưỡng các TPHĐNT, tinh thần, thái độ, kết

quả học tập của HS qua quan sát thường xuyên các buổi học và qua kết quả bài

kiểm tra. Trên cơ sở đó, chúng tôi khẳng định lại một lần nữa tính khả thi và tính

hiệu quả của các biện pháp 2, 3, 4 và tiếp tục kiểm tra nhằm khẳng định vai trò, sự

cần thiết của các biện pháp còn lại.

136

Cụ thể, trong các đợt TN chúng tôi muốn kiểm tra xem với các hướng dẫn sư

phạm trong các biện pháp đã được đề xuất HS có biết hình thành và vận dụng các

TP thích hợp vào giải quyết hiệu quả vấn đề hay không? Sau mỗi đợt thực nghiệm,

chúng tôi cho HS làm bài kiểm tra tổng hợp các nội dung. Từ đó, chúng tôi đã chọn

các chủ đề sau đây, biên soạn tài liệu phục vụ cho thực nghiệm sư phạm:

+ Đợt 1: Thực nghiệm được tiến hành trong 12 tiết môn Toán lớp 8, gồm: 6 tiết Đại số, trong đó 3 tiết chương 3 “Phương trình bậc nhất một ẩn” (gồm: Giải bài toán bằng cách lập phương trình (2 tiết); Luyện tập (1 tiết)) và 3 tiết chuyên đề

“Phương trình tích”; 6 tiết Hình học, trong đó 3 tiết chương 3 “Tam giác đồng

dạng” (gồm Luyện tập các trường hợp đồng dạng của tam giác (3 tiết)) và 3 tiết

chuyên đề “Sử dụng diện tích trong chứng minh hình học” nhằm bồi dưỡng các TP

diễn đạt lại tình huống, bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một

cách thích hợp; TP đặt ẩn phụ; TP vẽ hình phụ; TP chuyển hóa tri thức sự vật thành

tri thức phương pháp...

≠

+ Đợt 2: Thực nghiệm được tiến hành trong 18 tiết môn Toán lớp 9, gồm 10 tiết Đại số, trong đó 4 tiết chương 1 “Căn bậc hai. Căn bậc ba” (gồm: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (2 tiết); Luyện tập (2 tiết)); 3 tiết chương 4 “Hàm số

2 ( ax a

. Phương trình bậc hai một ẩn” (gồm: Công thức nghiệm của phương

trình bậc hai (1 tiết); Phương trình quy về phương trình bậc hai. Luyện tập (2 tiết)) và 3 tiết chuyên đề “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức một biến”; 8 tiết Hình học, trong đó chương Đường tròn (5 tiết) và chuyên đề “Bổ sung hình phụ giải một số dạng toán về đường tròn” (3 tiết) nhằm bồi dưỡng các TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp, TP quy nạp thực nghiệm, TP đặt ẩn phụ, TP vẽ hình phụ....

Sau đây, chúng tôi minh họa nội dung và bình luận một số tiết dạy thực nghiệm thông qua giáo án đã trình bày ở phần phụ lục (xem Phụ lục 4). Trong các giáo án thực nghiệm, GV sử dụng các biện pháp 1, 2, 3, 4 và biện pháp 5 để trang bị TPHĐNT cho HS. Chẳng hạn:

*) Nội dung 1. Dạy học chuyên đề: “Sử dụng diện tích trong chứng minh hình

học” (xem Phụ lục 4).

Trong bài dạy này chúng tôi quan tâm đến việc hình thành và khắc sâu các TP bổ sung hình phụ, TP nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ, TP khéo léo chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp cho HS... Bài dạy nhằm kiểm tra tính hiệu quả, khả thi của các biện pháp 2, 3, 4 và 5. Đặc biệt, với mỗi bài toán GV cần phân tích lại làm rõ ý tưởng giải quyết bài toán. Sau đó, tiếp tục đưa ra

các bài toán để học sinh được tập luyện và thực hành giải bằng cách sử dụng diện

tích. Chẳng hạn:

137

- Trong giáo án, GV lựa chọn ví dụ mở đầu và tổ chức cho HS nhìn vấn đề

OH OI OK không đổi. Tuy

dưới dạng khác, biết bổ sung hình phụ, từ đó giải quyết vấn đề: + + Yêu cầu bài toán chứng minh tổng độ dài

nhiên, HS gặp khó khăn là thấy 3 độ dài này đều thay đổi tùy vào vị trí điểm O.

+ GV gợi ý để HS biết quy nạp, thực nghiệm bằng cách xét một vài vị trí đặc

biệt nhằm phát hiện vấn đề (xác định được yếu tố không đổi). HS biết xét các vị trí

đơn giản nhất khi điểm O là các đỉnh hoặc thuộc các cạnh của tam giác:

OH OI OK bằng độ dài đường cao của tam giác.

Nếu O trùng với một đỉnh của tam giác, người học dễ dàng nhận thấy +

OH OI OK bằng độ dài đường cao của tam giác.

Nếu O thuộc một cạnh của tam giác, người học cũng chứng tỏ được +

tòi thành bài toán chứng minh:

OH OI OK . Tuy nhiên, việc giải bài toán khá dài dòng.

bổ sung yếu tố phụ để chia đường cao Như vậy, các em phát hiện được vấn đề và chuyển bài toán ban đầu dạng tìm OH OI OK bằng độ dài đường cao của tam giác. + Sau khi phát hiện được vấn đề, hầu hết HS tìm cách chứng minh bằng cách 1AA thành các đoạn thẳng tương ứng bằng

+ GV hướng dẫn HS nhìn 3 độ dài này là độ dài ba đường cao trong ba tam giác OAB, OBC, OCA có các cạnh đáy bằng nhau (cạnh của tam giác đều). Ba tam giác này có diện tích thay đổi nhưng tổng diện tích lại là một số không đổi.

+ Từ đó, thay vì giải bài toán chứng minh về mối liên hệ về độ dài đoạn thẳng

có thể đưa về bài toán mối liên hệ giữa các diện tích tam giác.

Ý tưởng chuyển hình thức bài toán từ chứng minh tổng các độ dài không đổi sang chứng minh tổng diện tích ba tam giác (có đáy bằng nhau và các đường cao tương ứng là các đoạn thẳng có trong biểu thức cần chứng minh) không đổi giúp HS giải quyết bài toán thuận lợi.

Sau khi giải xong bài toán, GV yêu cầu HS khai thác phát biểu bài toán (với HS khá giỏi các em có thể tự phát biểu và giải các bài toán mới, với những HS không phát biểu được, GV có thể gợi ý hoặc phát biểu bài toán rồi yêu cầu HS giải quyết). Chẳng hạn: Hãy giải bài toán trong trường hợp thay giả thiết tam giác đều bởi đa giác đều n cạnh? Hay kết luận của bài toán sẽ thay đổi thế nào nếu thay giả thiết tam giác đều ABC bởi tam giác ABC cân tại A?

*) Nội dung 2. Dạy học chuyên đề: “Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức một biến” (Phụ lục 4).

Giáo án bài dạy này được xây dựng nhằm triển khai ý tưởng của các biện pháp 2, 3, 4 và 5. Mục đích của bài dạy nhằm tập luyện cho HS hình thành và vận dụng TP

138

3≥x

quy nạp thực nghiệm thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề; TP bổ sung yếu tố phụ (ẩn phụ); TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề; TP khéo léo chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp; TP phân nhỏ; TP tách biệt và TP kết hợp trong giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức một biến qua các giai đoạn giải quyết vấn đề. Cụ thể:

- Bồi dưỡng TP quy nạp thực nghiệm để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề bằng cách thay biến bởi hằng; TP phân nhỏ, TP tách biệt để giải quyết vấn đề; TP phân nhỏ, TP bổ sung yếu tố phụ (ẩn phụ) để khai thác, phát triển bài toán. Chẳng hạn, trong ví dụ 13, GV hướng dẫn HS thay biến bởi một số giá trị là hằng số cụ thể để giúp các em đưa ra được dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt tại 3=x . Từ đó, người học có thể giải bài toán bằng hai cách sau nhờ chia nhỏ bài toán ban đầu thành các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn. Chẳng hạn: Tìm giá trị

3≥x

B 5

C 5

x 8 9

x = + 9

1 x

và giá trị nhỏ nhất của với . Hoặc: Tìm nhỏ nhất của

x ' = +

3≥x

B 5

' = C 5

9 x

8 x

và giá trị lớn nhất của với . giá trị nhỏ nhất của

Ngoài ra, GV yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các bài toán dạng tương tự và các biến thể của bài toán để khắc sâu các TP cho HS. Đặc biệt là TP chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề, chẳng hạn:

≤

+) Khi thay điều kiện của x ta có các bài toán:

A = x +

0 < x

t =

1 3

1 x

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của , với (Bằng cách đặt để

đưa về bài toán ví dụ 9).

A = x +

2.≥x

1 x

2) Tìm giá trị nhỏ nhất của , với

+) Khi thay điều kiện của biểu thức A ta có các bài toán:

B = x +

0.≥

1 x + 3

3) Tìm giá trị nhỏ nhất của (Bằng cách đặt t = x + 3 , với x

để đưa về bài toán ví dụ 9).

t = x + 3 để đưa

B = x +

1 x + 3

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của . (Bằng cách đặt

về bài toán ví dụ 9).

+) Khi thay đồng thời điều kiện của biểu thức A và của x ta có nhiều bài toán

≥

thú vị, chẳng hạn:

3y > 0.

t =

B =

x y

+ y xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của (Bằng cách đặt 5) Cho x

để đưa về bài toán ví dụ 9).

139

- Bồi dưỡng TP phân nhỏ, TP tách biệt trong các giai đoạn Lập kế hoạch giải

quyết vấn đề, Thực hiện kế hoạch và Nhìn lại vấn đề thông qua bài toán tìm cực trị

của một biểu thức là đa thức bậc hai; một biểu thức là phân thức có tử thức và mẫu

thức đều là các đa thức bậc hai, mẫu luôn dương (hoặc luôn âm), hệ số của các hạng

tử chứa ẩn của tử và mẫu tỷ lệ với nhau. GV tổ chức cho HS thảo luận về đặc điểm

của biểu thức và cách phân chia dẫn đến giải quyết bài toán thuận lợi nhất. GV thiết

kế các bài toán khác để tập luyện cho HS vận dụng TP này.

Chẳng hạn, trong ví dụ 1, GV giới thiệu và hướng dẫn HS sử dụng TP phân nhỏ

bằng cách phân nhóm lại các số hạng để tìm giá lớn nhất của biểu thức dạng đa thức

bậc hai có hệ số a âm. GV hướng dẫn HS tìm mối liên hệ giữa đặc điểm của biểu

thức và yêu cầu bài toán, từ đó muốn tìm được giá trị lớn nhất phải đưa được về biểu

thức là tổng của bình phương và hằng số. Từ đó, HS hiểu được lý do tại sao lại tách

hệ số (-5) ra, rồi tách hạng tử tự do ra, nhóm các hạng tử lại để tạo thành dạng bình

phương. Sau đó, GV tổ chức hướng dẫn cho HS cách thức khai thác phát triển bài toán tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức là đa thức một biến bậc hai và xây dựng phương giải vận dụng TP phân nhỏ, TP tách biệt để giải bài toán.

- Bồi dưỡng TP khéo léo chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp, đó là sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để tìm cực trị của một biểu thức là phân thức có tử thức và mẫu thức đều là các đa thức bậc hai. Chẳng hạn, các ví dụ 4 và 5 có thể giải được nhờ vận dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

- Bồi dưỡng TP bổ sung yếu tố phụ (bài toán phụ, ẩn phụ) và TP phân nhỏ, TP tách biệt trong các giai đoạn Lập kế hoạch, Thực hiện kế hoạch giải quyết vấn đề và Nhìn lại vấn đề thông qua bài toán tìm cực trị của một biểu thức là đa thức bậc cao; một biểu thức là phân thức có tử thức và mẫu thức đều là các đa thức bậc hai, mẫu là bình phương đúng của một biểu thức bậc nhất; một biểu thức có chứa ẩn ở căn thức; một số biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Chẳng hạn, trong ví dụ 2, GV tổ chức, hướng dẫn HS quan sát, phân tích đặc điểm của biểu thức có chứa hai biểu thức bậc nhất và một biểu thức bậc hai. HS nhận ra tích của hai đa thức bậc nhất và đa thức bậc hai chỉ sai khác nhau một hằng số. Từ đó, HS nhận ra nếu sử dụng ẩn phụ giúp bậc của biểu thức thấp đi và việc tính toán sẽ thuận lợi hơn. Có nhiều cách đặt để làm giảm bậc, GV tổ chức cho HS thảo luận về các cách đặt ẩn phụ. Qua đó, HS nhận ra được cách chọn ẩn phụ gồm có phần chứa ẩn và phần hạng tử tự do là trung bình cộng của hai hệ số tự do là hiệu quả hơn cả. GV lựa chọn thiết kết thêm

các bài toán khác để HS được tập luyện vận dụng TP khéo léo bổ sung ẩn phụ để

giải quyết các bài toán.

140

*) Nội dung 3. Dạy học chuyên đề: “Bổ sung hình phụ giải một số bài toán về

đường tròn”(Phụ lục 4).

Mục đích của bài dạy nhằm thể hiện biện pháp 3, 4, 5. Chuyên đề “Bổ sung hình phụ giải một số bài toán về đường tròn” nhằm hình thành cho HS một số thủ pháp sử dụng yếu tố phụ (hình phụ) cụ thể để giải bài toán về đường tròn bằng cách biết bổ sung yếu tố phụ (hình phụ) dựa vào các đối tượng có trong hình vẽ; dựa vào mối liên hệ nhân quả và dựa vào biến đổi tương đương kết luận của bài toán.

- GV tổ chức cho HS phân tích bài toán tìm cách bổ sung yếu tố phụ phù hợp,

hiệu quả. Chẳng hạn:

Ví dụ 1, yêu cầu HS phải chứng minh trong tất cả những dây đi qua M thì dây

vuông góc với OM là dây ngắn nhất.

+ Để chứng minh được HS cần phải so sánh độ dài của dây cung vuông góc

với OM với độ dài của một dây cung bất kỳ đi qua OM.

+ Từ yêu cầu này, HS buộc phải nảy sinh cách bổ sung yếu tố phụ bằng cách

bổ sung thêm một dây cung CD bất kỳ qua M không trùng với dây cung AB.

+ Tuy nhiên, vẫn chưa thể so sánh độ dài AB và CD. HS cần phải huy động các kiến thức về so sánh độ dài dây cung đã biết “Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn”. Từ đó, gợi ra cách bổ sung yếu tố phụ là kẻ đường vuông góc với dây cung.

GV tổ chức cho HS thảo luận, phân tích các đối tượng trong bài toán, phân tích yêu cầu bài toán, từ liên hệ giữa đối tượng đã cho với yêu cầu bài toán để tìm ra cách thức bổ sung yếu tố phụ phù hợp. GV tổ chức cho HS thảo luận về huy động lựa chọn kiến thức có liên quan nhằm tìm ra cách thức bổ sung yếu tố phụ phù hợp. - Sau khi HS được tìm hiểu và thực hành về cách bổ sung yếu tố phụ, GV tập luyện cho HS bằng cách mở rộng thành bài toán 1’, yêu cầu HS sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ để giải quyết.

- GV xây dựng hệ thống các bài tập các tình huống mới để tập luyện cho HS sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ: Vẽ đường kính vuông góc với một dây (đoạn thẳng nối tâm với trung điểm của một dây)trong các bài toán tính độ dài của một dây, so sánh độ dài của hai dây cung trong một đường tròn… Từ đó, hình thành được TP này cho HS và đưa ra hệ thống các bài tập để HS có thể vận dụng và khắc sâu TP.

Hoàn toàn tương tự đối với những ví dụ khác. Với mỗi bài toán, dạng toán, dựa vào giả thiết hay kết luận bài toán, GV đều đưa ra các cơ sở để bổ sung hình phụ: hoặc là căn cứ vào các đối tượng có trong hình vẽ, hoặc là nhờ biến đổi kết luận về dạng tương đương, hoặc nhờ liên tưởng nhân quả… Từ đó hình thành và khắc sâu các TP bổ sung hình phụ cụ thể khi giải các bài toán về đường tròn nói riêng và giải toán hình học nói chung.

141

Hơn nữa, các giáo án thực nghiệm đều thể hiện rõ việc tạo động cơ bên trong

(biện pháp 1) để bồi dưỡng TP cho HS thông qua việc thiết kế các bài dạy giúp các

em thấy rõ vai trò, ý nghĩa của các TP; việc hình thành và khắc sâu các TP qua các

giai đoạn giai quyết vấn đề và các chuyên đề ẩn chứa các TP nên đã góp phần hiệu

quả để bồi dưỡng TP cho người học.

Sau mỗi đợt TN, chúng tôi cho HS làm bài kiểm tra (Phụ lục 5). Sau đây là

bình luận về dụng ý sư phạm và kết quả của mỗi đề

Phân tích sơ bộ các đề kiểm tra Việc ra các đề kiểm tra sau các đợt TNSP (Phụ lục 5) hàm chứa những

dụng ý sư phạm. Trước hết, tất cả các câu trong 3 đề kiểm tra không phức tạp

nhưng đòi hỏi HS nhận ra TP cần thiết và vận dụng chúng một cách thích hợp thì

dường như chắc chắn sẽ đi đến kết quả mà không bị kìm hãm bởi những tính

toán rắc rối.

* Đề kiểm tra sau đợt thực nghiệm thứ nhất Câu 1, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ để biến đổi hình thức bài toán. Yêu cầu bài toán là chứng minh các đẳng thức liên quan đến độ dài đoạn thẳng. Bài này nhằm kiểm tra khả năng của HS tìm ra công cụ diện tích để dễ dàng giải quyết bài toán. Mặt khác, ý d) của bài toán với mục đích kiểm tra khả năng chuyển bài toán Hình học về dạng Đại số để giải.

Câu 2, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP phân nhỏ đa thức để

phân tích thành nhân tử:

- Kiểm tra khả năng nhận ra dạng của hằng đẳng thức ẩn chứa trong biểu thức. - Kiểm tra khả năng lựa chọn, sắp xếp lại các số hạng, phân nhóm các số hạng

phù hợp để thuận lợi cho biến đổi.

Câu 3a, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP phân nhỏ, TP tách biệt

và TP kết hợp của HS.

- Kiểm tra khả năng biến đổi biểu thức về dạng tương đương thuận lợi hơn để

giải phương trình (phân nhỏ biểu thức ở vế trái).

- Kiểm tra khả năng HS phân nhóm lại các số hạng trong biểu thức để đưa về

các biểu thức có nhân tử chung.

- Kết hợp các kết quả trên để có lời giải bài toán ban đầu. Câu 3b, nhằm mục đích kiểm tra khả năng khai thác, mở rộng bài toán trong các trường hợp tương tự (chẳng hạn thay các số hạng tự do bởi các số khác, thay

việc giải phương trình bởi bất phương trình) và trong trường hợp tổng quát khi biểu

thức vế trái có n.

142

* Đề kiểm tra sau đợt thực nghiệm thứ hai Đề kiểm tra số 1: Câu 1, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP phân nhỏ đa thức, TP

8 9

tách biệt và TP bổ sung ẩn phụ để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.

−

- Ý a) kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm của biểu thức; tách số hạng tự do = − + để khi nhóm ( 8)− với các số hạng chứa ẩn của

22 − x

( 2x−

)

sẽ xuất hiện bình phương của một tổng . Từ đó thành tổng của hai số hạng 1 biểu thức (

2x −

để tìm giá trị nhỏ nhất rồi suy ra lời giải bài toán. tách phần “cần thiết” là (

- Ý b) kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm biểu thức để nhóm biểu thức thứ

nhất và thứ tư vào một nhóm, nhóm biểu thức thứ hai và thứ ba vào một nhóm.

Kiểm tra khả năng nhận ra việc tạo nhóm làm xuất hiện hai biểu thức sai khác nhau

= −

một hằng số nên lựa chọn ẩn phụ phù hợp để giải quyết bài toán.

(

), )( p x q với

+ = +

m q

p .

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Biết phát biểu và giải trong trường hợp bài toán tổng quát : )( )( x m x n x

Câu 2, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP phân nhỏ TP tách biệt

để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức.

Ý a) kiểm tra khả năng nhận ra mẫu thức có dạng bình phương của một biểu thức; kiểm tra khả năng phân nhóm lại các số hạng; kiểm tra khả năng HS tách để đưa phân thức về biểu thức bậc hai mà ẩn là nghịch đảo của biểu thức bậc nhất; kiểm tra khả năng phân nhóm lại dữ liệu để làm xuất hiện biểu thức bình phương của một tổng; kiểm tra khả năng tách phần cần thiết để tìm giá trị nhỏ nhất.

Có thể giải bài toán trên bằng cách: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương

trình bậc hai.

Ý b) kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm của biểu thức và phân nhóm lại dữ

5+x

liệu thành biểu thức dạng đa thức bậc hai mà ẩn là ; Kiểm tra khả năng tách

số hạng tự do, phân nhóm làm xuất hiện bình phương của tổng và khả năng đặt ẩn phụ. Kiểm tra khả năng tách phần cần thiết để tìm giá trị nhỏ nhất.

Câu 3, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP phân nhỏ tạo ra các số

hạng dương để sử dụng bất đẳng thức Cô-si tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

- Kiểm tra khả năng phân tích tìm hiểu đặc điểm của biểu thức P, tách và

2+x

−

. nhóm lại để đưa biểu thức P về biểu thức ẩn là

+ + 2

1 +

- Kiểm tra khả năng tách và nhóm lại để tạo ra nhóm ;

143

= +

D t 2

1 t

khả năng bổ sung ẩn phụ để đưa về dạng: Tìm giá trị nhỏ nhất của , với

2.≥t giá trị t để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất và phát hiện cách giải quyết vấn đề bằng

≥

Khả năng vận dụng TP quy nạp thực nghiệm thay biến bởi hằng để dự đoán

D 2

t = + 4

1 3 t + t 4

t 4

1 t

3.2 4

5 2

cách phân nhỏ thành các bài toán bộ phận: nhờ

áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Từ đó đánh giá để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. - HS phát biểu và giải các bài toán tương tự khi thay 2 bởi số tự nhiên m. Đề kiểm tra số 2: Câu 1, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP bổ sung hình phụ với bài

toán để tính độ dài của một dây.

- Kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm của đối tượng đã cho (đường tròn,

hình chữ nhật và các dây tạo thành).

- Kiểm tra khả năng phân tích mối liên hệ với yêu cầu bài toán (tính độ dài dây cung) với kiến thức đã biết (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy).

- Kiểm tra khả năng phát hiện cách vẽ thêm đường kính vuông góc với dây để

tìm mối liên hệ giữa độ dài các đoạn thẳng.

Câu 2, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP bổ sung hình phụ trong bài toán chứng minh một bán kính của đường tròn vuông góc với một đoạn thẳng (không phải dây của đường tròn).

- Kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm của đối tượng đã cho (đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC, các đường cao trong tam giác, tứ giác nội tiếp tạo thành).

- Kiểm tra khả năng phân tích mối liên hệ với yêu cầu bài toán (chứng minh ⊥OA ED ) với kiến thức đã biết (tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp vuông góc tam giác ABC tại A cũng vuông góc với OA). Từ đó, tìm ra cách chứng minh vuông góc thông qua chứng minh ED song song với tiếp tuyến.

- Kiểm tra khả năng phát hiện cách vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn tại điểm

A để chứng minh hai đường thẳng song song.

Câu 3, nhằm mục đích kiểm tra khả năng sử dụng TP bổ sung hình phụ để

chứng minh hai đường thẳng song song và khả năng khai thác, phát triển bài toán

- Kiểm tra khả năng phân tích đặc điểm của đối tượng đã cho (hai đường tròn

tiếp xúc và hai dây cung chung).

- Kiểm tra khả năng phân tích mối liên hệ với yêu cầu bài toán (chứng minh

song song phải chứng minh được góc bằng nhau) với kiến thức đã biết (tiếp tuyến

tạo ra các góc bằng nhau để so sánh).

144

- Kiểm tra khả năng phát hiện cách vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường

tròn tại điểm tiếp điểm A nhằm chứng minh góc bằng nhau. Từ đó, chứng minh

được hai đường thẳng song song.

- Hoàn toàn tương tự HS dễ dàng bổ sung hình phụ để giải bài toán trong

trường hợp hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.

4.4. Xây dựng phương thức và tiêu chí đánh giá 4.4.1. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định lượng

Căn cứ vào kết quả các bài kiểm tra của HS theo thang điểm 10, tính các thông

x n . i

∑ i

== i

số thống kê sau:

ix là loại điểm,

(

ix .

)in là tần số (số HS) đạt điểm điểm

1,10).

( i

, trong đó N là số bài kiểm tra, - Trung bình mẫu:

w 0

− 1

f w w 0 i i

n i N

−

(

x i

2 x n ) . i

∑

. Tần suất tích lũy hội tụ lùi - Tần suất

−

(

x i

2 ) x n i

∑

- Phương sai mẫu có hiệu chỉnh:

−

0H : “Sự khác nhau giữa

- Độ lệch chuẩn mẫu:

- Bài toán 1: Kiểm định phương sai bằng giả thiết

các phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là không có ý nghĩa” với đại lượng

2 S TN

2 ĐC

2 TN

2 S ĐC 2 S TN

2 S TN 2 S ĐC

(nếu ) hoặc (nếu ).

( ) α

− 1

n 2

n 1

− 21, n

≤

Với mức ý nghĩa α tính phân vị (hoặc ).

( ) α− 11, n ( ) α

− 1

n 1

− 21, n

n 2

) ( α− 11, n

) Tính toán từ số liệu thực nghiệm: Nếu (hoặc

− 1

) ( α− 11, n

n 2

n 1

− 21, n

) khẳng định phương sai khác nhau hay (hoặc Nếu khẳng định phương sai như nhau hay “Sự khác nhau giữa các phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là không có ý nghĩa”. ( ) α

“Sự khác nhau giữa các phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là có ý nghĩa”. - Bài toán 2: Kiểm định giả thiết H0: “Điểm trung bình kiểm tra của nhóm lớp TN bằng điểm trung bình của nhóm lớp ĐC” với đối thiết H (kiểm định trước

khi TNSP) “Điểm trung bình kiểm tra của nhóm lớp được chọn làm TN khác điểm

trung bình của nhóm lớp được chọn làm ĐC” hoặc đối thiết H1 (sau khi TNSP):

145

“Điểm trung bình kiểm tra của nhóm lớp TN cao hơn điểm trung bình của nhóm

−

lớp ĐC”.

s .

C 1 n

x TN 1 n TN

−

(

1). S

n TN

ĐC

+ Nếu hai phương sai như nhau ta chọn thống kê:

.tα

− Đ C − 2

+ ( TN + n

S n TN

phương sai chung

Với mức ý nghĩa α ta tính

2 Đ

− x x TN = + Nếu hai phương sai khác nhau ta chọn thống kê t .

2 S TN n T

ĐC

2 S 1 n 1

+ S n

2 S 1 n 1

2 S 2 n 2

= = Tính bậc tự do ; Làm tròn f , vì ; f C − − − 1)( n 2 + − (1 1) ( ( n 1 2 1) C − 1) 2 ) ( C n 1 n 2 +

nó là số nguyên. Với mức ý nghĩa α ta tính tα theo bậc tự do f.

|t với tα,

Đối với bài toán kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H ta so sánh |

còn đối với bài toán kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H1 ta so sánh t với tα.

tα> thì bác bỏ

0H chấp nhận H1;

Kết luận: Nếu|

tα> hoặc t tα≤ thì chấp nhận

tα≤ hoặc t

0H . (Trong luận án này chúng tôi chọn mức ý nghĩa α= 5% và với n đủ lớn trong

1,96

Nếu |

= uα t

  

bài toán kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H ta xấp xỉ , còn đối

) 1,65 =

α  2  ( uα α= t

). với bài toán kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H1 ta xấp xỉ

4.4.2. Phương thức và tiêu chí đánh giá mặt định tính Xử lý kết quả quan sát được từ các tiết học TNSP để đánh giá tính khả thi của

các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT được thể hiện trong giáo án.

4.5. Kết quả thực nghiệm 4.5.1. Đánh giá định tính *) Về phía HS Sau một thời gian thực nghiệm HS đã bước đầu quen với các TPHĐNT, có ý

thức và thói quen sử dụng các TPHĐNT trong tìm kiếm lời giải các bài toán.

- Khi giải các bài toán Số học có dạng tìm tòi hoặc chứng minh với biến số tùy

ý, phần lớn HS trong các lớp TN đều biết sử dụng TP quy nạp thực nghiệm (thay

146

biến bởi hằng, xét trường hợp tương tự đơn giản hơn) để phát hiện vấn đề và phát

hiện cách giải quyết vấn đề.

- Khi giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, bài toán rút gọn biểu thức, HS rất hào hứng với việc nhóm các số hạng với nhau, tách một số hạng rồi nhóm lại để tạo ra những nhóm có tính chất mới thuận lợi cho biến đổi; bổ sung ẩn phụ để dễ dàng tìm được lời giải.

- HS các lớp TN đã biết đưa ra các định hướng phù hợp khi giải bài toán Hình học cần bổ sung yếu tố phụ (hình phụ). Đây là dạng toán thực sự khó với HS và các em rất ngại làm. Sau một thời gian được hướng dẫn và tập luyện cách thức bổ sung yếu tố phụ trong giải toán, HS rất thích và phần lớn các em đã biết bổ sung các hình phụ một cách thích hợp. Cách thức bổ sung yếu tố phụ tinh tế, linh hoạt đã cuốn hút được các em vào giải dạng toán này.

- Trong bài toán Đại số về tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức HS đã dần biết cách sử dụng TP quy nạp thực nghiệm (thay biến bởi hằng) để phát hiện vấn đề và cách giải quyết vấn đề ; TP bổ sung yếu tố phụ (bài toán phụ, ẩn phụ), TP phân nhỏ và tách biệt ; TP nhanh chóng phát hiện tiền đề (định lý, bài toán gốc) để giải quyết vấn đề... HS biết cách phân tích đặc điểm của đối tượng, tách số hạng và nhóm các số hạng một cách hợp lý. HS biết cách xem xét, tìm ra đặc điểm của các đối tượng trong biểu thức để lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù hợp. Với các tiết dạy thực nghiệm HS trao đổi thảo luận với nhau rất hăng say, đưa ra nhiều cách bổ sung yếu tố phụ, phân chia, tách biệt và kết hợp lại hiệu quả. Giờ học thực sự sôi nổi, HS có nhu cầu hợp tác với nhau, trao đổi với nhau, các em học rất vui vẻ.

- Khi giải các bài toán khai thác việc vận dụng định lý vào xây dựng quy trình giải quyết vấn đề, HS thường gặp rất nhiều khó khăn. Sau khi hướng dẫn các em thông qua một số chuyên đề; chẳng hạn, áp dụng công thức diện tích tam giác vào giải toán HS khả năng giải quyết vấn đề có liên quan của các em đã tăng lên rõ rệt.

Từ phân tích dụng ý các đề kiểm tra và nghiên cứu bài kiểm tra lớp TN và lớp

ĐC trong đợt thực nghiệm cho thấy:

Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ nhất: Câu 1, khả năng sử dụng TP nhìn đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau của

HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

Số HS tìm ra công cụ diện tích để giải bài toán ở lớp TN nhiều hơn hẳn lớp ĐC. Câu 2, khả năng sử dụng TP phân nhỏ đa thức để phân tích thành nhân tử của

HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

Đa số HS lớp TN đều lựa chọn, sắp xếp lại các số hạng, phân chia các số hạng vào các nhóm phù hợp và phân tích được thành nhân tử. HS lớp ĐC còn lúng túng trong biến đổi và rất nhiều em không phân tích được thành nhân tử.

147

Câu 3, khả năng sử dụng TP phân nhỏ, TP tách biệt và TP kết hợp của HS lớp

= + + và phân nhóm lại các x −

2015

TN tốt hơn lớp ĐC.

)

; từ đó Với ý a), hầu hết HS lớp TN đều biết tách 6 3 2 1 số hạng trong biểu thức ở vế trái để các nhóm đều có tử số bằng (

đặt nhân tử chung để giải phương trình trong lúc đó HS các lớp ĐC thì phần đông là quy đồng mẫu số để giải bài toán.

Với ý b) HS lớp TN biết giải bài toán tương tự trong trường hợp bất phương trình và khi thay các số bởi những số khác; phần đông biết phát biểu và giải bài toán tổng quát; trong lúc đó HS các lớp TN hầu hết đều không làm được ý này.

Đề kiểm tra sau đợt thực nghiệm thứ hai: Đề kiểm tra số 1: Câu 1, khả năng sử dụng TP phân nhỏ, TP tách biệt và TP bổ sung ẩn phụ để

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

Ý a): HS lớp TN đều tách và nhóm lại làm xuất hiện bình phương của tổng và

đánh giá tìm được giá trị lớn nhất của biểu thức. Lớp ĐC vẫn còn HS biến đổi sai.

Ý b): HS lớp TN biết: Nhóm biểu thức bậc nhất thứ nhất và thứ tư, nhóm biểu thức thứ hai và thứ ba; biết lựa chọn ẩn phụ phù hợp biến đổi biểu thức về dạng thuận lợi để đánh giá; có HS còn biết tách biệt và phân nhóm lại để biến đổi mà không sử dụng đặt ẩn phụ. HS lớp ĐC làm được ít hơn.

Số đông HS lớp TN đã biết phát biểu và giải bài toán tổng quát, trong khi đó

đa số HS lớp ĐC đều không làm được phần này.

Câu 2, khả năng sử dụng TP phân nhỏ, TP tách biệt phần “cần thiết” để tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

Ý a): Hầu hết HS lớp TN và lớp ĐC đều biến đổi được mẫu thức về dạng bình )1x − . Số HS biết biến đổi tử thức bằng cách )1x − , rồi tách biểu thức cần tìm phương của một đa thức bậc nhất ( tách thành tổng của các biểu thức là lũy thừa của (

− 2 − 1x

1 )2 1x −

(

và của lớp ĐC ít hơn thành tổng của một hằng số 3 với các biểu thức

−

lớp TN. HS lớp TN biết biến đổi hình thức của vấn đề để làm xuất hiện

B 1

 1  − x

  

có chứa biểu thức bình phương của một tổng nhiều hơn lớp ĐC.

Ý b) : Cả HS lớp ĐC và lớp TN đều biết: đưa biểu thức đã cho về biểu thức đa

5+x

−

thức bậc hai một ẩn bằng cách đặt biểu thức chứa căn ở mẫu làm ẩn phụ;

B 2

1 2

7 4

  

  

và tách biệt phần cần thiết biến đổi hình thức của vấn đề về dạng

148

để tìm được giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Tuy nhiên số lượng HS lớp TN làm được

+ − 5

nhiều hơn lớp ĐC. Lớp TN rất nhiều HS biết coi biểu thức là dạng đa thức bậc hai

5+x

B 2

1 2

7 4

  

  

và biến đổi hình thức của vấn đề thành , mà ẩn là

còn lớp ĐC rất ít em làm được.

Câu 3, khả năng sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ, TP quy nạp thực nghiệm, TP

phân nhỏ để sử dụng bất đẳng thức Cô-si tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức của HS

lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

−

Lớp TN rất nhiều HS biết sử dụng TP biến đổi hình thức của vấn đề để đưa

= P x

+ + 2

2+x

1 +

x lớp ĐC biến đổi được biểu

, cụ thể: . HS lớp ĐC ít biểu thức P về biểu thức ẩn là

−

thức em làm được. Có một số em HS

= P x

+ + 2

1 +

, nhưng lại không biết cách dự đoán dấu “=” xảy ra để tách

1 +

+ 4

và nhóm lại nhằm tạo ra từ đó áp dụng bất đẳng thức Cô-si như ở

2+x

1 2+x

và HS lớp TN. HS lớp TN lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số

nên dẫn đến kết giá trị nhỏ nhất chưa đúng, vì dấu bằng không xảy ra.

Rất nhiều HS ở lớp TN biết phát biểu bài toán tương tự dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn thay điều kiện của x hoặc thay biểu thức P, còn lớp ĐC ít HS biết khai thác bài toán trên.

Đề kiểm tra số 2: Câu 1, khả năng sử dụng TP bổ sung hình phụ để tính độ dài đoạn thẳng của

HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

HS lớp ĐC chưa biết phát hiện cách vẽ thêm đường kính vuông góc với dây cung để tìm mối liên hệ và tính độ dài đoạn thẳng. Do các em không biết đặc điểm và mối liên hệ của đường tròn, hình chữ nhật và các dây cung tạo thành. HS lớp TN làm được điều này.

Câu 2, khả năng sử dụng TP bổ sung hình phụ trong chứng minh bán kính

vuông góc với một đoạn thẳng (không phải dây của đường tròn).

HS lớp TN phát hiện cách vẽ thêm tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A và chứng minh hai đường thẳng vuông góc thông qua chứng minh hai đường thẳng song song. Vì các em biết cách phân tích đặc điểm của đường tròn ngoại tiếp tam

mối liên hệ với yêu cầu chứng minh giác ABC, các đường cao trong tam giác, tứ giác nội tiếp tạo thành. Từ đó, tìm được ⊥OA ED với tính chất của tiếp tuyến của

149

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A cũng vuông góc với OA. Nên đưa ra cách

bổ sung yếu tố phụ và chứng minh. HS lớp ĐC gặp khó khăn khi giải dạng toán này

và rất ít em bổ sung được hình phụ hợp lý.

Câu 3, khả năng sử dụng TP bổ sung yếu tố phụ để chứng minh hai đường

thẳng song song của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC.

HS lớp TN biết quan sát đặc điểm của hai đường tròn tiếp xúc và hai dây cung chung; liên tưởng đến việc chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách chứng minh các cặp góc ở ví trí đồng vị bằng nhau. Từ đó, các em phát hiện ra cách vẽ thêm tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại điểm tiếp điểm A. HS lớp ĐC không biết cách quan sát, phân tích đặc điểm của hình vẽ nên gặp khó khăn trong bổ sung hình phụ.

Như vậy, có thể thấy khả năng sử dụng TPHĐNT của HS lớp TN trong giải bài toán tốt hơn HS lớp ĐC; HS lớp TN do được bồi dưỡng các TPHĐNT nên đã sử dụng chúng một cách thích hợp và đưa ra được nhiều cách giải hơn so với HS lớp ĐC. Xét về mặt định tính các biện pháp bồi dưỡng TPHĐNT cho HS mà Luận án đề xuất đã bước đầu mang lại hiệu quả.

*) Về phía giáo viên: Qua quan sát các giờ dạy ở lớp ĐC và trao đổi với GV, có thể rút ra một số

nhận xét như sau:

- GV đã nhận thấy được vai trò quan trọng của việc trang bị TPHĐNT cho HS. Tuy nhiên, nhiều GV chưa xác định đầy đủ các TPHĐNT cần bồi dưỡng cho HS; chưa biết nên bồi dưỡng những TP đó như thế nào. Vì vậy, hầu hết GV chưa xây dựng kế hoạch cụ thể để bồi dưỡng chúng một cách hiệu quả cho HS.

- GV chưa quan tâm nghiên cứu thiết kế các tình huống DH và hệ thống bài

tập có dụng ý sư phạm để bồi dưỡng TPHĐNT cho HS.

Sau khi nghiên cứu kỹ và vận dụng các biện pháp sư phạm được xây dựng ở

chương 3 vào quá trình DH, các GV dạy thực nghiệm cho rằng:

+ Các biện pháp đưa ra hợp lý, hoàn toàn phù hợp và thực hiện được trong thực tiễn DH các nội dung toán học cụ thể ở các lớp cuối cấp trường THCS, không có khó khăn trở ngại nào quá lớn khi thực hiện. Đặc biệt, những gợi ý về cách đặt câu hỏi và cách dẫn dắt là hợp lý, vừa sức đối với HS. Cách hỏi và dẫn dắt như vậy vừa kích thích được tính tích cực, độc lập của HS lại vừa kiểm soát, ngăn chặn được những khó khăn, sai lầm có thể nảy sinh; HS hình thành và khắc sâu được các TPHĐNT trong quá trình giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, trong biện pháp 4, việc hình thành và khắc sâu TPHĐNT cho HS qua giai đoạn “Nhìn lại vấn đề” chỉ hiệu quả với những em khá, giỏi còn những HS có học lực từ trung bình trở xuống thì vẫn còn gặp nhiều khó khăn và hiệu quả chưa cao.

150

+ Trong các tiết DH thực nghiệm, HS rất hào hứng, các em sẵn sàng nhận

nhiệm vụ và thực hiện nhiệm vụ. HS chủ động hợp tác, trao đổi với nhau, thảo luận

sôi nổi giải thích lý do bổ sung yếu tố phụ thích hợp, lý do cách ly và liên kết đối

tượng, lý do biến đổi hình thức của vấn đề, lý do chuyển hóa liên tưởng lựa chọn

đúng tiền đề, lý do sử dụng quy nạp thực nghiệm. Giờ học đã thực sự lôi cuốn được

HS, các em rất thích vì biết tìm ra lời giải một cách tự nhiên mà không bị áp đặt.

Đánh giá chung, các GV tham gia thực nghiệm đều khẳng định đây là một đề tài thú vị và cần quan tâm. Những biện pháp mà đề tài đưa ra thực sự rất cần thiết

cho GV trong giảng dạy toán. GV dạy thực nghiệm rất hứng thú khi vận dụng các

biện pháp mà người hướng dẫn thực nghiệm đề xuất, họ ủng hộ và đánh giá cao

cách thiết kế các giáo án thực nghiệm. Các kiến thức được trình bày theo trình tự

nâng dần yêu cầu nên HS rất dễ tiếp thu.

Mặt khác, qua các tiết dạy thực nghiệm cho thấy, HS đã có những biểu hiện rõ

nét như: Tìm ra nhiều cách giải quyết cho một vấn đề; đã biết vận dụng cách giải dạng, mẫu bài toán này vào nhiều tình huống khác; đã biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học vào giải quyết các bài tập; biết vận dụng các phương pháp giải điển hình vào giải quyết vấn đề một cách sáng tạo. HS đã có được sự suy nghĩ, phân tích, đánh giá, nhìn nhận vấn đề một cách linh hoạt, đa chiều; biết thay đổi tình thế khi giải quyết vấn đề. Chẳng hạn: Biết chia nhỏ vấn đề, tách biệt phần cần thiết để giải quyết từng phần một cách dễ dàng; nhận ra được các cách biểu diễn khác của một đối tượng để dễ dàng giải quyết…

4.5.2. Đánh giá định lượng * Kết quả của đợt thực nghiệm thứ nhất (xem Phụ lục 6)

Bảng 4.1. Kết quả bài kiểm tra của HS sau đợt thực nghiệm thứ nhất

Thực nghiệm Lớp

Điểm

ni 0 0 1 4 6 11 15 16 12 5 2 fi(%) 0,00 0,00 1,39 5,56 8,33 15,28 20,83 22,22 16,67 6,94 2,78 wi(%) 0,00 0,00 1,39 6,94 15,28 30,56 51,39 73,61 90,28 97,22 100,00 ni 0 1 2 6 8 14 17 12 10 3 1 Đối chứng fi(%) 0,00 1,35 2,70 8,11 10,81 18,92 22,97 16,22 13,51 4,05 1,35 wi(%) 0,00 1,35 4,05 12,16 22,97 41,89 64,86 81,08 94,59 98,65 100,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

151

5, 78

6,33

TNx = =

3, 099

3, 405

74 = Tổng số Trung bình mẫu

1,760

1,845

Phương sai mẫu

ÐCx 2 CÐS ÐCS =

Độ lệch chuẩn mẫu

2 TNS TNS = 84,72 % 15,28 % 36,11 % 38,89 % 9,72 %

Tỷ lệ đạt yêu cầu Tỷ lệ điểm kém Tỷ lệ điểm trung bình Tỷ lệ điểm khá Tỷ lệ điểm giỏi 77,03 % 22,97 % 41,89 % 29,73 % 5,41 %

Có thể trực quan các số liệu bằng các biểu đồ đường biểu diễn tần suất tích lũy

hội tụ lùi và xếp loại HS của các nhóm TN - ĐC như sau:

Biểu đồ 4.1. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau TNSP đợt 1 Biểu đồ 4.2. Biểu đồ xếp loại HS sau TNSP đợt 1

Ta thấy đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của nhóm lớp TN dịch

chuyển về phía bên phải của đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của lớp ĐC.

Đặc biệt, điểm trung bình cộng; tỷ lệ HS đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm Khá, Giỏi ở lớp

TN cao hơn hẳn so với lớp ĐC, tỷ lệ HS bị điểm kém và TB ở lớp TN thấp hơn hẳn

so với lớp ĐC. Điều này chứng tỏ chất lượng học tập của nhóm lớp TN cao hơn

chất lượng của nhóm lớp ĐC. Câu hỏi đặt ra là: có phải phương phápdạy ở lớp TN

tốt hơn phương pháp dạy ở lớp ĐC không, hay chỉ do ngẫu nhiên mà có?

Chúng tôi đã tiến hành xử lý số liệu thống kê toán học, thu được kết quả sau:

- Kiểm định giả thiết H0 của bài toán 1

)

( 73,71 0,05

2 ÐC

2 TN

2 S ÐC 2 S TN

F và Fα

TNf

CĐf

F Fα<

So sánh Bậc tự do nên đại lượng Vì Fα=

71 73 1,099 1,478

152

Qua kết quả trên khẳng định giả thiết H0 được chấp nhận, tức là sự khác nhau

giữa phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC ở mỗi trường là không có ý nghĩa.

−

- Kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H1 của bài toán 2

tα

(

Đại lượng

s .

ĐC

x TN 1 n TN

ĐC 1 n ĐC

So sánh t và tα Phương sai chung s

tα>

Bậc tự do − n+ n TN

144 3,253 1,840 1,65

Qua kết quả trên khẳng định bác bỏ giả thiết H0 chấp nhận đối thiết H1. Tức là điểm trung bình kiểm tra của nhóm lớp TN cao hơn nhóm lớp ĐC. Kết quả kiểm định chứng tỏ phương pháp dạy ở nhóm lớp TN tốt hơn so với nhóm lớp ĐC.

* Kết quả của đợt thực nghiệm thứ hai (xem Phụ lục 6) Bảng 4.2. Kết quả bài kiểm tra số 1 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai

Thực nghiệm Lớp

Điểm

ni 0 0 0 2 5 8 16 16 16 5 4 fi(%) 0,00 0,00 0,00 2,78 6,94 11,11 22,22 22,22 22,22 6,94 5,56 wi(%) 0,00 0,00 0,00 2,78 9,72 20,83 43,06 65,28 87,50 94,44 100,00 ni 0 1 2 5 9 13 19 11 9 3 2 wi(%) 0,00 1,35 4,05 10,81 22,97 40,54 66,22 81,08 93,24 97,30 100,00 Đối chứng fi(%) 0,00 1,35 2,70 6,76 12,16 17,57 25,68 14,86 12,16 4,05 2,70

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số 72

6, 76

5,82

ÐCx

TNx =

3, 489

2, 718

74 = Trung bình mẫu

1,649

1,868

Phương sai mẫu

2 CÐS ÐCS =

Độ lệch chuẩn mẫu

2 TNS TNS = 90,28 % 9,72 % 33,33 % 44,44 % 12,50 %

Tỷ lệ đạt yêu cầu Tỷ lệ điểm kém Tỷ lệ điểm trung bình Tỷ lệ điểm khá Tỷ lệ điểm giỏi 77,03 % 22,97 % 43,24 % 27,03 % 6,76 %

153

Có thể trực quan các số liệu qua các biểu đồ đường biểu diễn tần suất tích lũy

hội tụ lùi và xếp loại HS của các nhóm TN - ĐC như sau:

Biểu đồ 4.3. Đường biểu diễn tần suất Biểu đồ 4.4. Biểu đồ xếp loại HS

tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 1 bài kiểm tra số 1 TNSP đợt 2

TNSP đợt 2

Nhìn vào các biểu đồ trên, chúng ta cũng nhận thấy đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của nhóm lớp TN dịch chuyển về phía bên phải của đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của lớp ĐC. Đặc biệt điểm trung bình cộng; tỷ lệ HS đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm Khá, Giỏi ở lớp TN cao hơn hẳn so với lớp ĐC, tỷ lệ HS bị điểm kém và TB ở lớp TN thấp hơn hẳn so với lớp ĐC. Điều này chứng tỏ chất lượng học tập của nhóm lớp TN cao hơn chất lượng của nhóm lớp ĐC. Câu hỏi đặt ra là: có phải phương phápdạy ở lớp TN tốt hơn phương pháp dạy ở lớp ĐC không, hay chỉ do ngẫu nhiên mà có?

Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt TNSP, chúng tôi tiến hành xử lý

số liệu thống kê toán học, thu được kết quả sau: - Kiểm định giả thiết H0 của bài toán 1

)

( 73,71 0,05

2 ÐC

2 TN

2 S ÐC 2 S TN

F và Fα

TNf

CĐf

F Fα<

Bậc tự do So sánh nên đại lượng Vì Fα=

71 73 1,284 1,478

Qua kết quả trên khẳng định giả thiết H0 được chấp nhận, tức là sự khác nhau

giữa phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC ở mỗi trường là không có ý nghĩa.

−

- Kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H1 của bài toán 2

tα

−

(

n TN

ĐC

s .

Bậc tự do So sánh Đại lượng

t và tα

x TN 1 n TN

ĐC 1 n ĐC

tα>

Phương sai chung s

3,109 3,219 1,65 144

154

Qua kết quả trên khẳng định, bác bỏ giả thiết H0 chấp nhận đối thiết H1. Tức là điểm trung bình kiểm tra của nhóm lớp TN cao hơn điểm trung bình của nhóm lớp ĐC. Kết quả kiểm định chứng tỏ phương pháp dạy ở nhóm lớp TN tốt hơn so với phương pháp dạy ở nhóm lớp ĐC.

Bảng 4.3. Kết quả bài kiểm tra số 2 của HS sau đợt thực nghiệm thứ hai

Thực nghiệm Lớp Điểm

ni 0 0 0 2 2 10 11 13 21 7 6 fi(%) 0,00 0,00 0,00 2,78 2,78 13,89 15,28 18,06 29,17 9,27 8,33 wi(%) 0,00 0,00 0,00 2,78 5,56 19,44 34,72 52,78 81,94 91,67 100,00 ni 0 2 2 4 7 11 22 12 9 3 2 Đối chứng fi(%) 0,00 2,70 2,70 5,41 9,46 14,86 29,73 16,22 12,16 4,05 2,70 wi(%) 0,00 2,70 5,41 10,81 20,27 35,14 64,86 81,08 93,24 97,30 100,00

7,11

5,89

72 74 =

ÐCx 2 = CÐS ÐCS =

3, 605 1,899

TNx = 2 = 2,860 TNS TNS = 1,691 94,44 % 5,56 % 29,17 % 47,22 % 18,06 %

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số Trung bình mẫu Phương sai mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Tỷ lệ đạt yêu cầu Tỷ lệ điểm kém Tỷ lệ điểm trung bình Tỷ lệ điểm khá Tỷ lệ điểm giỏi 79,73 % 20,27 % 44,59 % 28,38 % 6,76 %

Có thể trực quan các số liệu bằng các biểu đồ đường biểu diễn tần suất tích lũy

hội tụ lùi và xếp loại HS của các nhóm TN - ĐC như sau:

Biểu đồ 4.5. Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi sau bài kiểm tra số 2 Biểu đồ 4.6. Biểu đồ xếp loại HS sau bài kiểm tra số 2 TNSP đợt 2

TNSP đợt 2

155

Ta thấy đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của nhóm lớp TN dịch chuyển về phía bên phải của đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi của lớp ĐC. Đặc biệt điểm trung bình cộng; tỷ lệ HS đạt yêu cầu; tỷ lệ đạt điểm Khá, Giỏi ở lớp TN cao hơn hẳn so với lớp ĐC, tỷ lệ HS bị điểm kém và TB ở lớp TN thấp hơn hẳn so với lớp ĐC. Điều này chứng tỏ chất lượng học tập của nhóm lớp TN cao hơn chất lượng của nhóm lớp ĐC. Câu hỏi đặt ra là: Có phải phương pháp dạy ở lớp TN tốt hơn phương pháp dạy ở lớp ĐC không, hay chỉ do ngẫu nhiên mà có?

Để có thể khẳng định về chất lượng của đợt TNSP, chúng tôi tiến hành xử lý

số liệu thống kê toán học, thu được kết quả sau: - Kiểm định giả thiết H0 của bài toán 1

)

( 73,71 0,05

2 ÐC

2 TN

2 S ÐC 2 S TN

TNf

CĐf

F Fα<

Bậc tự do nên đại lượng Vì Fα= So sánh F và Fα

71 73 1,260 1,478

Qua kết quả trên khẳng định giả thiết H0 được chấp nhận, tức là sự khác nhau giữa phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC ở mỗi trường là không có ý nghĩa.

−

- Kiểm định giả thiết H0 với đối thiết H1 của bài toán 2

(

tα

ĐC

Đại lượng

s .

ĐC 1 n

x TN 1 n TN

ĐC

tα>

So sánh t và tα Phương sai chung s Bậc tự do n+ − n TN

144 3,238 4,093 1,65

Như vậy, sau 2 đợt thực nghiệm ta thấy: Điểm trung bình, tỷ lệ HS đạt yêu cầu, tỷ lệ HS Khá, Giỏi ở nhóm lớp TN tăng lên nhiều so với trước khi TNSP và cao hơn hẳn so với nhóm lớp ĐC; điểm trung bình, tỷ lệ này tăng dần trong quá trình TN. Tỷ lệ HS Yếu, Kém của học ở nhóm lớp TN giảm nhiều so với trước khi TNSP và thấp hơn hẳn so với nhóm lớp ĐC; tỷ lệ này giảm dần trong quá trình TNSP. Hơn nữa bằng lý thuyết thống kê Toán học, chúng ta đã có được khẳng định có ý nghĩa, rất thuyết phục về mặt thống kê đó là chấp nhận đối thiết H1. Tức

là phương pháp dạy ở nhóm lớp TN có hiệu quả rõ rệt so với phương pháp dạy ở

nhóm lớp ĐC.

156

Kết luận chương 4

Từ các kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm cho thấy:

- Các biện pháp sư phạm mà Luận án đề xuất đã dành được nhiều sự quan tâm

của GV Toán THCS; vận dụng được trong DH môn Toán các lớp cuối cấp THCS

và hoàn toàn có thể chuyển giao để GV và HS vận dụng trong quá trình DH toán ở

tất cả các khối lớp trường THCS.

- Đánh giá kết quả TNSP về mặt định tính và định lượng đã khẳng định chất

lượng của HS lớp TN tốt hơn lớp ĐC. Cụ thể:

+ Đánh giá định lượng được phân tích thông qua sự theo dõi và so sánh điểm

số các bài kiểm tra trước và sau TN. Kết quả cho thấy khả năng vận dụng các nhóm

TP thể hiện rõ nét trong bài làm của HS ở các lớp TN, khi có sự tác động của GV

bằng những biện pháp bồi dưỡng các TPHĐNT so với trước TN, trong khi các lớp

ĐC, kết quả này không có sự biến động.

+ Đánh định tính được phân tích thông qua việc bình luận các tiết dạy, việc quan sát các hành vi, thái độ, cử chỉ của HS trong giờ học cũng như thông qua ý kiến nhận xét đánh giá của GV dạy TN. Kết quả cho thấy có sự chuyển biến và thể hiện rõ nét việc hình thành và vận dụng các nhóm TP trên trong quá trình học tập.

Điều này chứng tỏ các biện pháp sư phạm đã bồi dưỡng hiệu quả các TPHĐNT cho HS và góp phần nâng cao hiệu quả DH môn Toán ở trường THCS. Các em đã biết vận dụng TP trong tìm kiếm lời giải, đưa ra được nhiều lời giải hay, ngắn gọn, độc đáo. Ngoài ra, việc vận dụng TP còn giúp các em nhanh chóng phát hiện, hiểu rõ vấn đề và khai thác phát triển thành các vấn đề mới thú vị. Các biện pháp sư phạm mà Luận án đề xuất thực sự đã có tác động tích cực đến HS, giúp các em có khả năng độc lập chiếm lĩnh kiến thức, độc lập chiếm lĩnh tài liệu để học tập hiệu quả hơn.

Như vậy, có thể khẳng định mục đích thực nghiệm đã hoàn thành, tính hiệu

quả và khả thi của các biện pháp đã được khẳng định.

157

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu Luận án đã thu được các kết quả sau đây: - Hệ thống hoá quan điểm của nhiều nhà khoa học về HĐNT toán học,

TPHĐNT toán học, tư tưởng sư phạm của G. Polya về dạy học TP… Phân tích, so

sánh các quan điểm này và chỉ ra rằng: Đến nay, chưa có một quan niệm thống nhất về

TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong dạy học Toán ở trường THCS.

- Đưa ra những căn cứ khoa học để đề xuất một cách quan niệm TPHĐNT

toán học, TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya. Xác định được 5 nhóm

TPHĐNT thường sử dụng trong học môn Toán ở trường THCS theo tư tưởng sư

phạm của G. Polya.

- Đưa ra một số điều kiện sư phạm trong việc bồi dưỡng các TPHĐNT trong

DH môn Toán cho HS THCS; mối liên hệ của TPHĐNT với năng lực GQVĐ, năng lực tư duy sáng tạo; chứng tỏ sự cần thiết phải bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình học tập môn Toán nhằm giúp các em phát triển năng lực GQVĐ, năng lực tư duy sáng tạo.

- Làm sáng tỏ thực trạng về hiểu biết và khả năng vận dụng các TPHĐNT của HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH môn Toán ở trường THCS và thực trạng việc DH của GV về bồi dưỡng các TP cho HS THCS.

- Đưa ra năm định hướng và xây dựng được năm biện pháp sư phạm nhằm góp phần bồi dưỡng các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya cho HS các lớp cuối cấp THCS trong DH môn Toán. Cụ thể:

Biện pháp 1, GV bằng những cách thức cụ thể để gợi động cơ bên trong, tạo

hứng thú, nhu cầu cho HS trong việc hình thành và khắc sâu các TPHĐNT.

Biện pháp 2, biện pháp 3, biện pháp 4: Đưa ra các cách thức tập luyện nhằm bồi dưỡng cho HS những TP thích hợp trong từng giai đoạn hiểu rõ vấn đề; lập kế hoạch và nhìn lại vấn đề trong quá trình giải quyết vấn đề của G. Polya.

Biện pháp 5, xây dựng và tổ chức DH thích hợp các chuyên đề ẩn chứa trong

đó những TPHĐNT cụ thể cần bồi dưỡng cho HS.

- Các biện pháp sư phạm được đề xuất trong Luận án đã được dạy thực nghiệm tại các lớp của trường THCS Phan Huy Chú thể hiện được tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đó, bước đầu khẳng định tính đúng đắn của giả thuyết khoa học.

Trên cơ sở các kết quả đã đạt được về mặt lý luận và thực tiễn, có thể khẳng

định: Giả thuyết khoa học của Luận án là chấp nhận được, mục đích và nhiệm vụ

nghiên cứu Luận án đã hoàn thành.

158

DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

I. Bài báo khoa học

1. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2013), Tập luyện cho học sinh THCS tìm tòi lời giải qua

biến đổi bài toán, Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 8 năm 2013, tr. 84-85.

2. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2014), Bồi dưỡng năng lực tư duy sáng tạo cho học

sinh phổ thông qua vận dụng các thủ pháp tách biệt, kết hợp trong dạy học giải

toán ở trường Trung học cơ sở, Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 109, tr. 11-15.

3. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2015), Một số thủ pháp hoạt động nhận thức theo tư

tưởng Sư phạm của George Polya trong dạy học giải toán ở trường Trung học

cơ sở, Tạp chí Khoa học trường Đại học Vinh, tập 44, số 3A, tr. 89-98.

4. Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Thanh Tâm (2016), Bồi dưỡng thủ pháp “phân

nhỏ” cho học sinh trong dạy học giải toán ở trường Trung học cơ sở, Tạp chí

Khoa học Giáo dục, số 126, tr. 17-21.

5. Đào Tam, Nguyễn Thị Thanh Tâm (2016), Hình thành và khắc sâu một số thủ

pháp giải quyết vấn đề trong dạy học toán ở trường Trung học cơ sở, Tạp chí

khoa học trường Đại học Hà Tĩnh số 7, tr.3-11.

6. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2016), Bồi dưỡng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ cho học

sinh trong dạy học hình học ở trường Trung học cơ sở, Tạp chí khoa học

Trường Đại học sư phạm Hà Nội, Vol. 61, No.6, tr. 43-52.

II. Hội nghị, hội thảo khoa học

1. Nguyen Thi Thanh Tam (2014), "Fostering the capability of creative thinking

for students through using the tactics “Seperation” and “Combination” in

teaching problem solving at secondary school", The 6th Nationnal/International

Academic and Research Conference, 25 tháng 8 năm 2014.

2. Nguyễn Thị Thanh Tâm (2014), "Một số thủ pháp hoạt động nhận thức thường sử

dụng trong dạy học toán ở trường Trung học cơ sở theo tư tưởng Sư phạm của G.

Polya”, Hội thảo Quốc gia Đổi mới nội dung và phương pháp giảng dạy Toán

học, trường Đại học Vinh, 28 tháng 10 năm 2014.

159

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt 1. M. Alêcxêep, V. Onhisuc, M. Crugliăc, V. Zabôtin, X. Vecxcle (1976), Phát triển

tư duy học sinh, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

2. Ph. Ăng ghen (1994), “Biện chứng của tự nhiên", C. Mác và Ph. Ăng ghen

toàn tập, tập 20, Nxb Chính trị Quốc gia, Hà Nội.

3. Bộ Giáo dục và Đào tạo (2015), Dự thảo Chương trình giáo dục phổ thông

tổng thể.

4. Bộ Giáo dục và Đào tạo, Hội Toán học Việt Nam (1997), Tuyển tập 30 năm

tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

5. Lê Võ Bình (2007), Dạy học hình học các lớp cuối cấp THCS theo định hướng bước đầu tiếp cận phương pháp khám phá, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Đại học Vinh.

6. Nguyễn Hữu Châu, Nguyễn Văn Cường, Trần Bá Hoành, Nguyễn Bá Kim, Lâm Quang Thiệp (2007), Đổi mới nội dung và phương pháp đào tạo giáo viên THCS theo chương trình CĐSP mới, Dự án đào tạo giáo viên THCS, Hà Nội. 7. Nguyễn Hữu Châu (2012), Giải quyết vấn đề trong môn Toán - xu hướng nghiên cứu và thực tiễn dạy học, Tạp chí Khoa học Giáo dục, Viện KHGD Việt Nam, (87), tr. 6-9,46.

8. Trần Đình Châu (1996), Xây dựng hệ thống bài tập số học nhằm bồi dưỡng một số yếu tố năng lực Toán học cho học sinh khá giỏi đầu cấp THCS, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm - Tâm lý, Viện Khoa học giáo dục Việt Nam, Hà Nội. 9. Trần Đình Châu, Đặng Thị Thu Thủy (2011), Thiết kế bản đồ tư duy dạy – học

môn Toán, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.

10. Chiến lược phát triển giáo dục 2011 – 2020 (Ban hành kèm theo Quyết định số

711/QĐ-TTg ngày 13 tháng 6 năm 2012 của Thủ tướng Chính phủ)

11. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Phạm Gia Đức (2002), Sách giáo viên Toán 7, tập I, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội. 12. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần Phương Dung, Ngô Hữu Dũng, Lê Văn Hồng, Nguyễn Hữu Thảo (2012), Toán 9, tập I, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.

13. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Trương Công Thành, Nguyễn Duy Thuận (2010), Toán 9, tập II, Nxb Giáo dục Việt Nam, Hà Nội.

14. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Vũ Hữu Bình, Trần Đình Châu, Ngô Hữu Dũng, Phạm Gia Đức, Nguyễn Duy Thuận (2004), Toán 8, tập I, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

160

15. Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Tôn Thân (Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Lê Văn Hồng, Trương Công Thành, Nguyễn Hữu Thảo (2004), Toán 8, tập II, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

16. Hoàng Chúng (1999), Phương pháp dạy học Hình học ở trường THCS, Nxb

Giáo dục, Hà Nội.

17. Hoàng Chúng (1991), Rèn luyện khả năng sáng tạo toán ở trường phổ thông,

Nxb Giáo dục, Hà Nội.

18. Hoàng Chúng (1994), Một số vấn đề về giảng dạy ngôn ngữ và ký hiệu toán

học ở trường phổ thông cấp 2, Bộ Giáo dục - Đào tạo, Vụ Giáo viên, Hà Nội.

19. Chương trình THCS môn Toán (2002), Nxb Giáo dục, Hà Nội. 20. V. V. Đavưđov (2000), Các dạng khái quát trong dạy học, Nxb Đại học Quốc

gia, Hà Nội.

21. John Dewey (2014), Cách ta nghĩ, Nxb Tri thức. 22. Dự án Việt - Bỉ (2000), Dạy kĩ năng tư duy, Hà Nội. 23. Phan Dũng (2010), Các thủ thuật (nguyên tắc) sáng tạo cơ bản, phần 2, Nxb

Trẻ, TP.Hồ Chí Minh.

24. Đỗ Ngọc Đạt (1997), Tiếp cận hiện đại hoạt động dạy học, Nxb Đại học

Quốc gia, Hà Nội.

25. Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic Toán, Nxb Thanh Hoá,

Thanh Hoá.

26. Phạm Gia Đức (Chủ biên), Bùi Huy Ngọc, Phạm Đức Quang (2007), Phương

pháp dạy học các nội dung môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

27. Phạm Gia Đức, Phạm Đức Quang, Đổi mới phương pháp dạy học môn Toán ở trường THCS nhằm hình thành và phát triển năng lực sáng tạo của học sinh, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

28. Phạm Gia Đức - Phạm Đức Quang (2007), Giáo trình dạy học sinh THCS tự

lực tiếp cận kiến thức toán học, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

29. Ngô Hữu Dũng (1996), Những định hướng cơ bản về mục tiêu và nội dung đào tạo ở trường THCS, Tạp chí thông tin khoa học giáo dục (56), Tr.13-16.

30. Giáo trình Triết học Mác - Lênin (2003), Nxb Chính trị Quốc gia. 31. Nguyễn Thiện Giáp (2009), Các phương pháp nghiên cứu ngôn ngữ, Nxb Giáo

dục Việt Nam, Hà Nội.

32. Phạm Minh Hạc (1992), Một số vấn đề tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội, tr.117. 33. Phạm Minh Hạc, Phạm Hoàng Gia, Trần Trọng Thuỷ, Nguyễn Quang Uẩn

(1992), Tâm lý học, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

34. Nguyễn Thị Mỹ Hằng (2014), Rèn luyện kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích, Luận án tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường Đại học Vinh.

161

35. Nguyễn Hữu Hậu (2012), Khai thác và tập luyện các hoạt động cho học sinh nhằm phát triển khả năng chiếm lĩnh tri thức trong dạy học Đại số - Giải tích ở bậc THPT, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh.

36. Bùi Hiền, Nguyễn Văn Giao, Nguyễn Hữu Quỳnh, Vũ Văn Tảo (2001), Từ

điển Giáo dục học, Nxb Từ điển Bách khoa, Hà Nội.

37. Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học

môn Toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

38. Trần Bá Hoành (2007), Đổi mới phương pháp dạy học, chương trình và sách

giáo khoa, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

39. Nguyễn Thái Hòe (2001), Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập Toán, Nxb

Giáo dục, Hà Nội.

40. Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng (1999), Tâm lý học lứa tuổi

và tâm lý học sư phạm, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội.

41. Bùi Văn Huệ (2000), Giáo trình Tâm lý học, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội. 42. Nguyễn Đinh Hùng (1996), Bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh trường Trung học cơ sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập Đại số lớp 7, Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm - Tâm lý, Trường Đại học Sư phạm Vinh.

43. Đặng Thành Hưng (2002), Dạy học hiện đại. Lý luận biện pháp kỹ thuật, Nxb

Đại học Quốc gia, Hà Nội.

44. Lê Thị Hương (2013), Bồi dưỡng cho học sinh THCS năng lực biến đổi thông tin toán học trong quá trình dạy học môn Toán, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Trường Đại học Vinh.

45. L. F. Kharlamôp (1978), Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế

nào, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

46. Trần Kiều (1997), Đổi mới phương pháp dạy học ở trường THCS, Viện Khoa

học Giáo dục, Hà Nội.

47. Trần Kiều (Chủ biên) (2005), Trí tuệ và đo lường trí tuệ, Nxb Chính trị quốc

gia, Hà Nội.

48. Trần Kiều, Nguyễn Thị Lan Phương, (2003), Đổi mới phương pháp giảng dạy Toán, Tài liệu dùng cho học viên cao học chuyên ngành PPGD Toán, Viện Chiến lược và Chương trình giáo dục, Hà Nội.

49. Trần Kiều và cộng sự ( 2013), Về mục tiêu môn Toán trong trường phổ thông

Việt Nam, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội

50. Nguyễn Bá Kim (2015), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đại học Sư

phạm, Hà Nội.

51. Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Vũ Dương Thụy (1997), Phương pháp dạy học

môn Toán, Nxb Giáo dục.

162

52. Nguyễn Bá Kim (chủ biên) - Bùi Huy Ngọc (2006), Phương pháp dạy học đại

cương môn Toán, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

53. Nguyễn Bá Kim, Vương Dương Minh, Tôn Thân (1998), Khuyến khích một số

hoạt động trí tuệ của HS qua môn Toán ở trường THCS, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

54. A. G. Kovaliov (1971), Tâm lý học cá nhân, Tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 55. V. A. Kruchetxki (1973), Tâm lý năng lực Toán học của học sinh, Nxb Giáo

dục, Hà Nội.

56. Thái Thị Hồng Lam (2015), Bồi dưỡng tư duy thuận nghịch cho học sinh trong dạy học môn Toán ở trường Trung học Phổ thông, Luận án tiến sĩ Khoa học Giáo dục, Trường đại học Vinh.

57. Đặng Mộng Lân (2002), Kinh tế tri thức những khái niệm và vấn đề cơ bản,

Nxb Thanh niên, Hà Nội.

58. Lêônchiep A. N (1989), Hoạt động. Ý thức. Nhân cách, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 59. Lê Thị Xuân Liên (2009), Xây dựng hệ thống câu hỏi góp phần phát huy tính tích cực học tập của học sinh trong dạy học môn Toán ở trường THCS, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam.

60. Nguyễn Phú Lộc (2006), “Sự “thích nghi” trí tuệ trong quá trình nhận thức

theo quan điểm của J.Piage”, Tạp chí Giáo dục, (183), tr. 11-13.

61. Trần Luận (1999), “Một hướng nghiên cứu triển khai dạy học nêu vấn đề vào

thực tiễn”, Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số 4, tr 14,15.

62. Trần Luận (2011), “Một số suy nghĩ về chương trình và sách giáo khoa môn Toán Phổ thông Trung học ở nhà trường phổ thông nước ta: Từ sau cải cách đến đổi mới và những đề xuất cho chương trình sau 2015”, Kỷ yếu hội thảo quốc gia về giáo dục toán học ở nhà trường phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 63. Trần Luận (1996), Vận dụng tư tưởng sư phạm của G. Pôlya xây dựng nội dung và phương pháp trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huy năng lực sáng tạo của học sinh chuyên Toán cấp II, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lý, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.

64. Trần Luận (2011), “Về cấu trúc năng lực toán học”, Kỷ yếu hội thảo quốc gia

về giáo dục toán học ở nhà trường phổ thông, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

65. Luật Giáo dục (2005), Nhà xuất bản Chính trị quốc gia, Hà Nội. 66. Nguyễn Hữu Lương (2002), Dạy và học hợp quy luật hoạt động trí óc, NXB

Văn hóa thông tin, Hà Nội.

67. Robert J.Marzano (2011), Nghệ thuật và khoa học dạy học, Nxb Giáo dục

Việt Nam, Hà Nội.

68. Robert J. Marzano, Debra J. Pickering, Jane E. Pollock(2001), Các phương

pháp dạy học hiệu quả, Nxb Giáo dục, Hà Nội.(Người dịch Hồng Lạc).

163

69. Bernd Meier, Nguyễn Văn Cường (2014), Lý luận dạy học hiện đại - cơ sở đổi mới mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 70. Wibert J. Mckeachie (2002), Những thủ thuật trong dạy học (Tài liệu bồi

dưỡng giáo viên của dự án Việt – Bỉ), Hà Nội.

71. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lý luận vào thực tiễn dạy học môn Toán ở

trường phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

72. Bùi Văn Nghị (2014), “Giáo dục Toán học hướng vào năng lực người học”, Kỉ yếu Hội thảo khoa học quốc gia: Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014 -2020, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 73. Phan Trọng Ngọ, Nguyễn Đức Hưởng (2004), Các lý thuyết phát triển tâm lý

người, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

74. Phan Trọng Ngọ (2012), Cơ sở triết học, tâm lý học của đổi mới phương pháp

dạy học trong trường phổ thông, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

75. Phan Trọng Ngọ (2005), Dạy học và phương pháp dạy học trong nhà trườ ng,

Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

76. Phan Trọng Ngọ, Dương Diệu Hoa, Nguyễn Lan Anh (2001), Tâm lý học trí

tuệ, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội.

77. Bùi Huy Ngọc (2003), Tăng cường khai thác nội dung thực tế trong dạy học Số học và Đại số nhằm nâng cao năng lực vận dụng toán học vào thực tiển cho học sinh THCS, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh. 78. Lê Thống Nhất (1996), Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh trung học phổ thông qua việc phân tích và sửa chữa sai lầm của học sinh khi giải toán, Luận án Phó tiến sĩ Khoa học Sư phạm - Tâm lý, Trường Đại học sư phạm Vinh.

79. V. Okôn (1976), Những cơ sở của việc dạy học nêu vấn đề, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 80. A. V. Petrovxki (1982), Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học sư phạm, Tập II,

Nxb Giáo dục, Hà Nội.

81. Hoàng Phê (chủ biên) (2001), Từ điển Tiếng Việt, Nxb Đà Nẵng và Trung tâm

từ điển ngôn ngữ, Hà Nội- Đà Nẵng.

82. Nguyễn Lan Phương (2000), Cải tiến phương pháp dạy học với yêu cầu tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh theo hướng giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề (Qua phần giảng dạy “Quan hệ vuông góc trong không gian”, lớp 11 THPT), Luận án Tiến sĩ giáo dục, Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội. 83. J. Piaget (1997), Tâm lý học và giáo dục học, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 84. G. Polya (2010), Giải một bài toán như thế nào?, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 85. G. Polya (1977), Sáng tạo toán học, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội 86. G. Polya (1977), Sáng tạo toán học, Tập 2, Nxb Giáo dục, Hà Nội 87. G. Polya (1977), Sáng tạo toán học, Tập 3, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 88. G. Polya (2012), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

164

89. Phạm Đức Quang (2010), Giới thiệu về Chuẩn môn Toán của Bang New

Jersey - Mỹ, Viện KHGD Việt Nam.

90. Phạm Đức Quang (2014), “Giáo dục Toán học hướng vào năng lực người học”, Kỉ yếu hội thảo khoa học quốc gia: Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014 -2020, Nxb Đại học Sư phạm Hà Nội.

91. M. N. Sacđacôp (1970), Tư duy học sinh, Tập 1, Nxb Giáo dục, Hà Nội. 92. Tài liệu Hội thảo, Chương trình giáo dục phổ thông tổng thể trong chương

trình giáo dục phổ thông mới (lưu hành nội bộ), tháng 11 năm 2014.

93. Đào Tam (2014), “Bồi dưỡng năng lực kết nối tri thức trong DH toán ở trường phổ thông theo hướng nâng cao hiệu quả hoạt động tìm tòi trí tuệ của HS”, Kỉ yếu hội thảo khoa học quốc gia: Nghiên cứu giáo dục toán học theo hướng phát triển năng lực người học, giai đoạn 2014 -2020, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội. 94. Đào Tam (chủ biên), Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trong

dạy học môn Toán ở trường THPT, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

95. Nguyễn Đức Tấn (2012), Cẩm nang vẽ thêm hình phụ trong giải toán hình học

phẳng, Nxb Tổng hợp, Thành phố Hồ Chí Minh.

96. Từ Đức Thảo (2011), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học hình học, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh.

97. Nguyễn Chiến Thắng (2012), Các giải pháp rèn luyện kỹ năng nghề nghiệp cho SV Sư phạm ngành toán thông qua việc dạy học các môn Toán sơ cấp và PPDH toán ở trường đại học, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh. 98. Tôn Thân (1995), “Bài tập “mở”, một dạng bài tập góp phần bồi dưỡng tư duy

sáng tạo cho học sinh”, Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục, số 6, Hà Nội.

99. Tôn Thân (1996), Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi toán ở Trường trung học cơ sở Việt Nam (thể hiện qua chương "Các trường hợp bằng nhau của tam giác" ở lớp 7), Luận án Phó tiến sĩ khoa học Sư phạm - Tâm lý, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.

100. Lâm Quang Thiệp (2012), Đo lường và đánh giá hoạt động học tập trong nhà

trường, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

101. Chu Cẩm Thơ, “Một số ý kiến về DH sinh tư duy thông qua DH môn Toán”,

Tạp chí khoa học trường ĐHSP Hà Nội, 2013, số 4, tr. 11-20.

102. Nguyễn Văn Thuận (2004), Góp phần phát triển năng lực tư duy logic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp THPT trong dạy học Đại số, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh.

103. Vũ Dương Thụy (Chủ biên), Phạm Gia Đức, Hoàng Ngọc Hưng, Đặng Đình Lăng (1998), Thực hành giải toán (Giáo trình đào tạo GV THCS hệ cao đẳng Sư phạm), Nxb Giáo dục, Hà Nội.

165

104. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc

dạy, học, nghiên cứu toán học, tập 1, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội.

105. Nguyễn Cảnh Toàn (1997), Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc

dạy, học, nghiên cứu toán học, tập II, Nxb Đại học Quốc gia, Hà Nội.

106. Nguyễn Thị Hương Trang (2002), Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng phát hiện và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo cho học sinh khá giỏi trường

trung học phổ thông (qua dạy học giải phương trình bậc hai - phương trình lượng giác), Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học giáo dục, Hà Nội.

107. Nguyễn Anh Tuấn (2004), Bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh THCS trong dạy học khái niệm Toán học (thể hiện qua một

số khái niệm Đại số ở THCS), Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa

học Giáo dục, Hà Nội.

108. Thịnh Thị Bạch Tuyết (2016), Dạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Viện Khoa học Giáo dục, Hà Nội.

109. Nguyễn Quang Uẩn (Chủ biên), Trần Trọng Thủy (2004), Tâm lý học đại

cương, Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội.

110. Nguyễn Quang Uẩn (2010), Tuyển tập nghiên cứu về Tâm lý - Giáo dục, Nxb Đại

học Sư phạm Hà Nội.

111. Phí Thị Thùy Vân (2014), Vận dụng lý thuyết kiến tạo trong dạy học một số chủ đề hình học cho học sinh giỏi toán THCS, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Trường Đại học sư phạm Hà Nội.

112. Bạch Phương Vinh (2013), Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp cho học sinh thông qua dạy học giải bài tập hình học phẳng ở lớp 9 THCS, Luận án tiến sĩ giáo dục học, Trường Đại học sư phạm Hà Nội.

113. Trần Vui (2014), Giải quyết vấn đề thực tế trong dạy học toán, Nxb Đại học Huế. 114. Franz Emanuel Weinert (1998), Sự phát triển nhận thức, học tập và giảng dạy,

Nxb Giáo dục.

115. Lê Hải Yến (2008), Dạy và học cách tư duy, Nxb Đại học Sư phạm.

Tiếng Anh 116. Carla Amoirudder (2006), Problem solving: case studies investigating the strategies by secondary American and Singaporean students, A Dissertation submitted to the Department of Middle and Secondary Education in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy, The Florida state university college of Education.

166

117. Joan Boykoff Baron, Robert J. Sternberg (1987), Teaching thinking skills: Theory and Practice, D. N. Perkins, Knowledge as Design: Teaching Thinking Through Content. W.H. Freeman and Company New York, pp. 62-85.

118. Bethany Rittle-Johnson, Michael Schneider (2015), Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics.In R. Cohen Kadosh & A. Dowker (Eds.), Oxford handbook of numerical cognition, pp. 1102-1118. Oxford, UK: Oxford University Press. doi: 10.1093/oxfordhb/9780199642342.013.014. 119. Wes Maciejewski, Joyce Mgombelo, Annie Savard (2011), Meaningful procedural knowledge in mathematics learning. In Liljedahl, P. (Ed.) Proceedings of the 2011 Canadian Mathematics Education Study Group, St. John’s, Newfoundland and Labrador

120. S. Krulick và J. Rudnick (1980), Problem solving: A handbook for teachers

(2nd ed.). Boston: Allyn and Bacon.

121. Pimpaka Intaros et al. ( 2014 ), Students’ problem solving strategies in problem solving - mathematics classroom, Procedia - Social and Behavioral Sciences 116, pp. 4119-4123.

122. G. Polya (1957) How to solve it: A new aspect of mathematical method (2nd

ed.). Princeton, NJ: Princeton.

123. H. Schoenfeld (1985), Mathematical problem solving, New York; Academic Press (1995), Metacognitive Theories, 124. Gregory Schraw, David Moshman

Educational Psychology Papers and Publications.

(2012), Conceptual and procedural knowledge in 125. David H. Tseng

Mathematics education in case of law of exponnents, Polygon Spring.

Tiếng Nga 126. Е. Н. Кабанова - Меллер (1981), Учебная деятельность и развивающее

обучение, Знаниe.

127. И. В. Титова (1999), Педагогические условия формирования приемов мыслительной деятельности младших школьников в процессе обучения математике, Диссертация.

128. Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий, В. Я. Стеценко (1979), Как научиться

решать задачи, Просвещениe.

129. И. C. Якимаская (1985), Знание и мышление школъника, Знаниe.

Tài liệu internet 130. http://cmc-math.org/members/infinity/polya.html. 131. https://hocthenao.vn/2015/01/18/noi-chuyen-ve-phuong-phap-giai-toan-va-

lam-toan-ngo-bao-chau/

PHỤ LỤC

Phụ lục 1: PHIẾU KHẢO SÁT THĂM DÒ Ý KIẾN GIÁO VIÊN Kính thưa Quý Thầy (Cô) giáo! Chúng tôi đang quan tâm nghiên cứu vấn đề bồi dưỡng các thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh Trung học cơ sở (THCS) theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH Toán; rất mong muốn tham khảo ý kiến của các Thầy (Cô) về vấn đề này. Để tiện trao đổi, chúng tôi xin phép trình bày trước quan điểm của mình, sau đó, xin ý kiến của quý vị.

I. Một vài vấn đề về thủ pháp hoạt động nhận thức môn Toán của học

sinh trung học cơ sở theo tư tưởng sư phạm của G. Polya

Thủ pháp (TP) là cách để thực hiện một ý định, một mục đích cụ thể nào đó, được vận dụng khi người ta cần giải quyết một nhiệm vụ. Khi tiến hành nhận thức một vấn đề (VĐ) toán học, ngoài việc sử dụng những kỹ thuật theo quy trình, người học cần phải có cả sự sáng tạo và nghệ thuật đó chính là thủ pháp hoạt động nhận thức (TPHĐNT). TPHĐNT đóng vai trò quan trọng nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của HS, khi các em biết được các TP thì việc phát hiện và giải quyết VĐ sẽ hiệu quả hơn. Chúng tôi quan niệm: TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học. Khi xem xét hay giải quyết một VĐ cụ thể có thể phải thực hiện nhiều TP, việc kết hợp các TP này cũng được coi là một TP. Vì vậy, một TP có thể độc lập với các TP khác và cũng có thể là tổ hợp của các TP.

G. Polya là một nhà toán học và là nhà sư phạm người Mỹ, ông đã đề xuất nhiều tư tưởng sư phạm đặc sắc trong các công trình của mình. Theo ông, nhiệm vụ chính của nhà trường phổ thông là dạy cho học sinh SUY NGHĨ. Đặc biệt, G. Polya đã đưa ra quy trình 4 bước giải quyết vấn đề (GQVĐ) ở nhà trường phổ thông, nhằm nhấn mạnh về mặt phương pháp. Ở mức cao hơn, Polya là người đầu tiên sử dụng thuật ngữ Ơristic, đó là các cách thức dựa trên kinh nghiệm hay khám phá nhằm đưa ra một giải pháp để GQVĐ (có thể xem như là các TP). Ngoài ra, để việc nhận thức của học sinh tích cực hơn ông đã đề xuất ba nguyên lý học tập và đó cũng chính là ba nguyên lý DH: DH tích cực; sự kích thích tốt nhất; tính liên tục của các giai đoạn học tập. Ông mô tả quá trình suy nghĩ của người học theo hình vuông gồm các đỉnh: huy động, tổ chức, cách ly, liên kết; các cạnh: nhận biết, hồi tưởng, phân nhóm lại, bổ sung và trọng tâm của hình là hiểu thấu (hay đoán trước). Như vậy, mặc dù tác giả không đề cập đến TP HĐNT, nhưng theo chúng tôi, các kinh nghiệm hay các Ơristic mà tác giả dùng trong quá trình suy nghĩ để GQVĐ là những TP HĐNT. Như vậy, những tư tưởng sư phạm của ông đã thể hiện quan điểm quá trình DH toán cần phát huy tối đa tính tích cực nhận thức của HS, trong đó TP HĐNT là công cụ.

Qua việc nghiên cứu các tài liệu lý luận DH, ý kiến trao đổi với các chuyên gia giáo dục và giáo viên dạy toán ở trường THCS chúng tôi đưa ra một số nhóm TPHĐNT môn Toán theo tư tưởng sư phạm của G. Polya như sau:

i) Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới (là cách khéo léo phân chia vấn đề phức tạp ban đầu thành các vấn đề bộ phận quen thuộc, đơn giản hơn rồi giải quyết vấn đề đã cho thông qua các vấn đề bộ phận đó hoặc tách khỏi những bộ phận phiền phức, không cần thiết và tập trung giải quyết những vấn đề thành phần cần thiết). Bao gồm: TP phân nhỏ, TP tách biệt, TP kết hợp.

ii) Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết

nối tri thức đã có, tri thức cần tìm (là cách khéo léo, linh hoạt đưa các đối tượng

toán học (bài toán phụ, hình phụ, ẩn phụ, hằng số phụ...) bổ sung vào các yếu tố đã

cho của vấn đề cần giải quyết làm “cầu nối” gắn kết các tri thức đã biết với các tri

thức cần tìm, cần khám phá; tạo bước ngoặt then chốt cho việc định hướng đúng

đắn cách giải quyết vấn đề). Bao gồm các TP: bổ sung bài toán phụ, bổ sung ẩn phụ,

bổ sung hình phụ...

iii) Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề (là cách khéo léo liên tưởng đến các vấn đề đã biết và các đối tượng có trong vấn đề để có thể sử dụng được những tri thức đã biết giúp giải quyết hiệu quả vấn đề). Gồm các TP thành phần: TP khéo léo chuyển hóa các liên tưởng nhanh chóng lựa chọn đúng tiền đề để giải quyết vấn đề và TP khéo léo chuyển hóa tri thức sự vật thành tri thức phương pháp.

iv) Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng (là cách khéo léo, độc đáo đưa bài toán có nội dung thực tiễn về dạng toán học bằng một hình vẽ, sơ đồ, biểu tượng; phương trình, tạo một bảng, đồ thị, danh sách… hoặc nhìn một bài toán toán học dưới nhiều góc độ khác nhau). Nhóm này gồm các TP: khéo léo diễn đạt lại tình huống, bài toán có nội dung thực tiễn theo ngôn ngữ toán học một cách thích hợp; TP nhìn một đối tượng dưới nhiều góc độ khác nhau.

iv) Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện và phát hiện cách giải quyết vấn đề (là cách sử dụng quan sát, đo đạc, thực nghiệm, tính toán thông qua một số trường hợp cụ thể và dùng suy luận ngoại suy để đưa ra giả thuyết và kiểm tra, sửa đổi và khẳng định giả thuyết bằng suy diễn ). Bao gồm: TP thay biến số bởi hằng số, TP thay một vị trí bất kỳ của hình bởi một ví trí đặc biệt, TP xét trường hợp tới hạn, TP xét các trường hợp tương tự đơn giản hơn để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề...

Mục đích cuối cùng của nghiên cứu là đưa ra được một hệ thống các biện pháp sư phạm khả thi, nhằm góp phần bồi dưỡng các TPHĐNT cho HS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH toán ở trường THCS.

II. Một vài vấn đề cần trao đổi

Từ quan niệm của mình về TPHĐNT, tư tưởng sư phạm của G. Polya trong DH toán như đã trình bày ở trên, chúng tôi muốn tham khảo một số ý kiến của các Thầy (Cô) về vấn đề này. Rất mong Thầy (Cô) cộng tác với chúng tôi, ý kiến đóng góp của quý vị là tư liệu quý giá cho sự thành công của đề tài đang nghiên cứu. Xin Thầy (Cô) vui lòng đánh dấu x vào ô trống tương ứng (có thể chọn nhiều câu trả lời) với câu trả lời nào thích hợp, hoặc điền vào chỗ (…) trong câu.

Câu 1. Theo Thầy (Cô), quan niệm về TPHĐNT (như đã trình bày ở trên)

có cần thay đổi hay bổ sung gì không?

…………………………………………………………………………………….......

………………………………………………………………………………………... Câu 2. Chúng tôi đã xác định các nhóm TPHĐNT trong dạy hoc toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm chủ đạo của G. Polya (trình bày ở trên), đã

hợp lý chưa? Cần điều chỉnh, bổ sung gì không?

………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………... Câu 3. Trong quá trình DH toán ở trường THCS, Thầy (Cô) quan tâm đến

việc bồi dưỡng cho học sinh các nhóm TPHĐNT nào trong các TPHĐNT sau đây:

a d

Nhóm TP chuyển hóa các tưởng nhằm nhanh liên chóng huy động đúng kiến thức giải quyết vấn đề Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng

e b Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện và phát hiện cách GQVĐ

Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm

Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

Ý kiến khác (xin ghi rõ):

Câu 4. Theo Thầy (Cô), trong DH môn Toán ở trường THCS, HS biết

vận dụng các TPHĐNT có những biểu hiện nào dưới đây?

Có khả năng vẽ hình, tạo bảng biểu, hàm số, vẽ đồ thị, viết phương

trình, vẽ sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng … của một bài toán thực tiễn, giúp a

việc GQVĐ một cách thuận lợi hơn

b Biết đưa ra phỏng đoán; giả thuyết cho một tình huống nhận thức cụ thể dựa vào quy nạp, thực nghiệm, suy luận tương tự, khái quát hóa

Có khả năng phát biểu VĐ dưới dạng tương đương; tìm và giải quyết

một VĐ đơn giản, tương tự hoặc đảo ngược VĐ nhằm thay đổi VĐ c

phức tạp cần giải quyết bằng một VĐ đơn giản hơn

Có khả năng phân nhỏ VĐ phức tạp ban đầu thành các VĐ đơn giản d hơn; tách phần cần thiết để giải quyết;

Biết xét một hoặc một số trường hợp riêng chủ đạo để làm điểm tựa e tìm ra giải pháp của VĐ tổng quát

Biết sử dụng bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ (nếu cần) từ đó hợp lại để f tìm cách giải quyết và khai thác hiệu quả VĐ ban đầu

Có khả năng chọn một “công thức”, “mẫu” thích hợp để sử dụng giúp g giải quyết hiệu quả VĐ

Các biểu hiện khác (xin ghi rõ)

Câu 5. Theo Thầy (Cô), TPHĐNT có những đặc điểm nào dưới đây?

TPHĐNT không đảm bảo chắc chắn để tìm ra một giải pháp nhưng việc sử dụng hợp lý các TP, giúp người học tăng cơ hội tìm thấy giải pháp GQVĐ một cách nhanh chóng

b TPHĐNT không có quy tắc chung tiến hành các bước cụ thể để tìm ra giải pháp mà chúng chỉ gợi ý cho người học những gì nên làm

c Không phải tất cả các VĐ đòi hỏi sử dụng TPHĐNT, mà chúng chỉ vận dụng vào giải quyết các VĐ khó khăn, không quen thuộc đối với HS

d Một số VĐ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nhiều TP khác nhau nên có thể lựa chọn TP hiệu quả hơn để sử dụng

e Một số VĐ có thể đòi hỏi sử dụng nhiều hơn một TP để có giải pháp hiệu quả

f Một số TP có thể dùng chung cho nhiều VĐ (phân nhỏ, tách biệt …); còn một số TP chỉ sử dụng cho những tình huống cụ thể (đảo ngược, …)

g Một TP có nhiều cách thực hiện để đưa ra nhiều giải pháp khác nhau

h Các TPHĐNT có mối liên hệ lẫn nhau.

Các đặc điểm khác (xin ghi rõ)

Câu 6. Theo Thầy (Cô), TPHĐNT có vai trò như thế nào trong DH toán?

Bình thường c a Rất quan trọng

b Quan trọng d Không quan trọng

Câu 7. Trong quy trình chung để giải một bài toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung của G. Polya, theo Thầy (Cô) mức độ sử dụng TPHĐNT trong các

khâu sau đây như thế nào?

TT

Các bước GQVĐ

Thường xuyên

Thỉnh thoảng

Không bao giờ

a Tìm hiểu nội dung

b Lập một kế hoạch (Tìm giải pháp)

c Thực hiện kế hoạch (Trình bày lời giải)

d Nhìn lại vấn đề

Câu 8. Theo Thầy (Cô) nhóm TPHĐNT nào sau đây là cần thiết đối với HS

trong mỗi bước theo quy trình GQVĐ của G. Polya?

Bước

Cần thiết Nhìn lại vấn đề Tìm hiểu vấn đề Lập một kế hoạch Thực hiện kế hoạch TPHĐNT

a. Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng

b. Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm

c. Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

d. Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức GQVĐ e. Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và phát hiện cách GQVĐ

Câu 9. Thầy (Cô) cho biết, TPHĐNT trong DH toán được thể hiện mức độ

nào trong những tình huống DH điển hình sau đây?

Thỉnh

Không

Rất thường

Tình huống DH điển hình

TT

Thường xuyên

thoảng

bao giờ

xuyên

a DH khái niệm b DH định lý c DH quy tắc và phương pháp d DH giải bài tập toán

Câu 10. Thầy (Cô) cho biết, khi giải quyết các vấn đề không quen thuộc các TPHĐNT sau được vận dụng ở mức độ nào? (4 - Rất thường xuyên, 3 – Khá thường xuyên, 2 – Ít khi, 1 – Không bao giờ)

Các thủ pháp hoạt động nhận thức

TT

Mức độ 2 3

e Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức GQVĐ Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và phát hiện cách GQVĐ

Câu 11. Theo Thầy (Cô) các lời khuyên, gợi ý của G. Polya sau đây cần thiết ở mức độ nào trong việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS khi DH giải bài tập toán và DH định lý? (3 - Rất cần thiết, 2 – Cần thiết, 1 – Không cần thiết)

Nội dung

STT

Mức độ 2

a Hãy để HS tự phán đoán nó trước khi bạn giải cho họ.

b PP học tập tốt nhất là tự mình khám phá lấy

Hãy vẽ hình; Sử dụng các kí hiệu thích hợp để biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành công thức, sơ đồ Nếu bài toán của bạn quá phức tạp thì có thể chia thành những bước “lớn” và bước “nhỏ”, mỗi bước lớn gồm nhiều bước nhỏ

g Hãy biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc hơn

m Hãy thử giải một bài toán giống với bài toán của bạn hoặc nghĩ ra một bài toán giống với bài toán của bạn nhưng dễ làm hơn Nếu chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn; Hoặc đưa thêm yếu tố phụ để có thể áp dụng những kiến thức đã biết Khi giải bài toán cần ưu tiên theo quy tắc: Cái toàn bộ đi bộ trước cái bộ phận, các bộ phận chính đi trước các bộ phận khác Sau khi giải bài xong bài toán cần nghiên cứu đánh giá lại cách giải, phát triển bài toán mới

Câu 12. Trong quá trình DH toán, việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS đã được

Thầy (Cô) quan tâm như thế nào?

Ít quan tâm a Thường xuyên quan tâm c

b Quan tâm d Không quan tâm

Câu 13. Theo Thầy (Cô), yếu tố quan trọng nào sau đây ảnh hưởng đến việc

bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH toán?

a Động lực của HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT

b Đặc điểm của TPHĐNT

c Vốn kinh nghiệm, kỹ năng sẵn có của HS về TPHĐNT

d Kinh nghiệm, kỹ năng vận dụng TPHĐNT của GV

e Phương pháp, hình thức tổ chức DH của GV

f Đặc điểm của vấn đề (nhiệm vụ nhận thức) cần giải quyết

g Các yếu tố khác (xin ghi rõ)

Câu 14. Theo Thầy (Cô), bồi dưỡng TP HĐNT môn Toán cho HS THCS

liên quan đến việc tổ chức những HĐ nào sau đây?

a HĐ quan sát đối tượng

b HĐ lật ngược vấn đề

c HĐ phân chia trường hợp

d HĐ xét tương tự, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, khái quát hóa

e HĐ biến đổi các đối tượng

f HĐ phán đoán phát hiện vấn đề

g HĐ liên tưởng, huy động và tổ chức kiến thức

h HĐ toán học hóa các tình huống thực tiễn

i HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải các dạng toán)

Các HĐ khác (xin ghi rõ) k

Câu 15. Thầy (Cô) cho biết, việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH

toán được thực hiện tốt hơn khi vận dụng các xu hướng DH nào?

a DH phát hiện và giải quyết vấn đề

b DH hợp tác theo nhóm

c DH khám phá có hướng dẫn

d DH phân hóa

Các PPDH khác (xin ghi rõ) e

Câu 16. Theo Thầy (Cô), có những khó khăn nào trong việc bồi dưỡng

TPHĐNT cho HS quá trình DH toán?

Trình độ của HS và kinh nghiệm về vận dụng TPHĐNT chưa đồng đều a

b HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các TP trong DH toán

c Giáo viên chưa quan tâm nhiều đến bồi dưỡng TPHĐNT cho HS

d Khả năng quan sát, suy đoán của HS còn hạn chế

e Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức để GQVĐ của HS chưa tốt

Khả năng thực hiện các HĐ trí tuệ chung (phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa ..); HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải toán…); HĐ trí tuệ phổ biến (lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp …) của HS chưa thành thạo

g Năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn của HS còn hạn chế

Các ý kiến khác (xin ghi rõ) h

Câu 17. Để góp phần bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH toán, theo Thầy

(Cô) nên truyền thụ TPHĐNT với các hình thức sau ở mức độ nào?

TT

Các bước GQVĐ

Thường xuyên

Thỉnh thoảng

Không bao giờ

a Truyền thụ tường minh TPHĐNT

b Thông báo TPHĐNT trong quá trình HĐ

c Tập luyện những HĐ ăn khớp với các TPHĐNT

Câu 18. Xin Thầy (Cô) cho biết ý kiến của mình về thực trạng của HS trong

các vấn đề sau (đồng ý mức độ nào xin thầy (cô) đánh dấu x vào ô đó)

a) Mức độ am hiểu về TP HĐNT

Rất tường tận Tường tận Bình thường Yếu

b) Khả năng vận dụng TP HĐNT vào giải quyết các vấn đề toán học

Tốt Khá Trung bình Yếu

Câu 19. Những đề xuất của Thầy/Cô về vấn đề bồi dưỡng TPHĐNT cho HS THCS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya để góp phần nâng cao hiệu quả của việc DH Toán nói riêng và đáp ứng yêu cầu đổi mới PPDH nói chung: ……………………………………………………….……………………………… ………………………………………………………….…………………………… ……………………………………………………………..………………………… ……………………………………………………………….………………………

Thầy (Cô) vui lòng cho biết: Họ tên: ............................................................................................................. Đơn vị công tác:.............................................................. Số năm công tác......

Trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ và cộng tác của quý Thầy, Cô!

Phụ lục 2: KẾT QUẢ XỬ LÝ CÁC PHIẾU HỎI GIÁO VIÊN

Câu 1. Theo Thầy (Cô), quan niệm về TPHĐNT (như đã trình bày ở trên)

có cần thay đổi hay bổ sung gì không?

Kết quả điều tra câu hỏi 1, cho thấy: có 97,9% (=142/145) đồng ý với ý kiến “TPHĐNT toán học là cách thức suy nghĩ (tư duy) được đặc trưng bởi tính khéo léo, có kỹ thuật để giải quyết hiệu quả các vấn đề toán học”; 2,1% (=3/145)trình bày ý kiến khác: hầu hết họ cho rằng TPHĐNT là cách để nhận thức một tình huống hiệu nhờ khai thác khai thác các thao tác tư duy và hệ thống tri thức đã có để chuyển hóa chúng thành tri thức phương pháp.

Câu 2. Chúng tôi đã xác định các nhóm TPHĐNT trong dạy hoc toán ở trường THCS theo tư tưởng sư phạm chủ đạo của G. Polya (trình bày ở trên), đã hợp lý chưa? Cần điều chỉnh, bổ sung gì không?

Kết quả điều tra câu hỏi 2: có 97,24% (=141/145) đồng ý với các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya mà tác giả đề xuất; có 2,76% (=4/145) đề nghị bổ sung TP phân tích đi lên trong các các TPHĐNT theo tư tưởng sư phạm của G. Polya ở trường THCS.

Câu 3. Trong quá trình DH toán ở trường THCS, Thầy (Cô) quan tâm đến

việc bồi dưỡng cho học sinh các nhóm TPHĐNT nào trong các TPHĐNT sau đây:

Đánh dấu chọn

Để trống

Nhóm TPHĐNT SL TL (%) SL TL (%)

123 84.83 22 15.17

124 85.52 21 14.48

128 88.28 17 11.72

122 82.43 26 17.57

95 65.52 50 34.48

Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức GQVĐ Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện và phát hiện cách GQVĐ Ý kiến khác: Cần bồi dưỡng nhóm TP phân tích đi lên 4 2,76 141 97,24

Câu 4. Theo Thầy (Cô), trong DH môn Toán ở trường THCS, HS biết vận

dụng các TPHĐNT có những biểu hiện nào dưới đây?

Đánh dấu chọn

Để trống

Các biểu hiện SL TL (%) SL TL (%)

120 82.76 25 17.24

a. Có khả năng vẽ hình, tạo bảng biểu, hàm số, vẽ đồ thị, viết phương trình, vẽ sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng … của một bài toán thực tiễn, giúp việc GQVĐ một cách thuận lợi hơn b. Biết đưa ra phỏng đoán; giả thuyết cho một tình 112 77.24 33 22.76

118 81.38 27 18.62

115 79.31 30 20.69

95 65.52 50 34.48

101 69.66 44 30.34

80 55.17 65 44.83

huống nhận thức cụ thể dựa vào quy nạp, thực nghiệm, suy luận tương tự, khái quát hóa c. Có khả năng phát biểu VĐ dưới dạng tương đương; tìm và giải quyết một VĐ đơn giản, tương tự hoặc đảo ngược VĐ nhằm thay đổi VĐ phức tạp cần giải quyết bằng một VĐ đơn giản hơn d. Có khả năng phân nhỏ VĐ phức tạp ban đầu thành các VĐ đơn giản hơn; tách phần cần thiết để giải quyết; e. Biết xét một hoặc một số trường hợp riêng chủ đạo để làm điểm tựa tìm ra giải pháp của VĐ tổng quát f. Biết sử dụng bài toán phụ, ẩn phụ, hình phụ (nếu cần) từ đó hợp lại để tìm cách giải quyết và khai thác hiệu quả VĐ ban đầu g. Có khả năng chọn một “công thức”, “mẫu” thích hợp để sử dụng giúp giải quyết hiệu quả VĐ h. Các biểu hiện khác

Câu 5. Theo Thầy (Cô), TPHĐNT có những đặc điểm nào dưới đây?

Đánh dấu chọn

Để trống

Các đặc điểm SL TL (%) SL TL (%)

145 100 0 0

2 1.38 a. TPHĐNT không đảm bảo chắc chắn để tìm ra một giải pháp nhưng việc sử dụng hợp lý các TP, giúp người học tăng cơ hội tìm thấy giải pháp GQVĐ một cách nhanh chóng b. TPHĐNT không có quy tắc chung tiến hành các bước cụ thể để tìm ra giải pháp mà chúng chỉ gợi ý cho người học những gì nên làm c. Không phải tất cả các VĐ đòi hỏi sử dụng TPHĐNT, mà chúng chỉ vận dụng vào giải quyết các VĐ khó khăn, không quen thuộc đối với HS d. Một số VĐ có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nhiều TP khác nhau nên có thể lựa chọn TP hiệu quả hơn để sử dụng e. Một số VĐ có thể đòi hỏi sử dụng nhiều hơn một TP để có giải pháp hiệu quả f. Một số TP có thể dùng chung cho nhiều VĐ (phân nhỏ, tách biệt …); còn một số TP chỉ sử dụng cho những tình huống cụ thể (đảo ngược, …) g. Một TP có nhiều cách thực hiện để đưa ra nhiều giải pháp khác nhau h. Các TPHĐNT có mối liên hệ lẫn nhau. Các ý kiến khác: TPHĐNT mang tính có điều kiện

Câu 6. Theo Thầy (Cô), TPHĐNT có vai trò như thế nào trong DH toán?

Vai trò Vai trò

Rất quan trọng Quan trọng Đánh dấu chọn TL (%) SL 22.76 Bình thường 33 67.59 Không quan trọng 98 Đánh dấu chọn SL 14 0 TL (%) 9.65 0

Câu 7. Trong quy trình chung để giải một bài toán nói riêng và giải quyết vấn đề nói chung của G. Polya, theo Thầy (Cô) mức độ sử dụng TP HĐNT trong các khâu sau đây như thế nào?

TT Các bước GQVĐ

Thường xuyên 40%

Thỉnh thoảng 24.14%

Không bao giờ 35.86%

72.42%

27.58%

21.07%

77.93

70.3%

28.28%

1.42%

Tìm hiểu nội dung Lập một kế hoạch (tìm giải pháp) Thực hiện kế hoạch (trình bày lời giải)

a b c d Nhìn lại vấn đề

Câu 8. Theo Thầy (Cô) nhóm TPHĐNT nào sau đây là cần thiết đối với HS

trong mỗi bước theo quy trình GQVĐ của G. Polya?

Bước

Tìm hiểu vấn đề Lập một kế hoạch Thực hiện kế hoạch Nhìn lại vấn đề

100% 100%

100% 100% Cần thiết TPHĐNT a. Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng b. Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm c. Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

100% 100%

d. Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức GQVĐ

e. Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và 100% 100% phát hiện cách GQVĐ

Câu 9. Thầy (Cô) cho biết, TPHĐNT trong DH toán được thể hiện mức độ

nào trong những tình huống DH điển hình sau đây?

Rất

Thỉnh

Không

TT Tình huống DH điển hình

Thường xuyên

thoảng

bao giờ

thường xuyên

a DH khái niệm 24,13% 75,87%

b DH định lý 29,66% 65,67% 4,67%

c DH quy tắc và phương pháp 24,12% 25,88% 44,13% 5,87%

d DH giải bài tập toán 51,72% 45,88% 2,4%

Câu 10. Theo Thầy (Cô), khi giải các dạng bài tập toán hình học sau, nhóm

TPHĐNT nào là cần thiết?

Mức độ TT Các nhóm TPHĐNT 4 3 2 1

34,12% 38,97% 16,7% 10,21% a Nhóm TP cách ly và liên kết đối tượng theo một hình thức mới

b 31,03% 33,68% 22,88% 12,41%

Nhóm TP bổ sung yếu tố phụ thích hợp tạo đối tượng trung gian để kết nối tri thức đã có, tri thức cần tìm

c 31,03% 25,88% 30,68% 12,41%

Nhóm TP sử dụng quy nạp, thực nghiệm để phát hiện VĐ và phát hiện cách GQVĐ

d 24,12% 26,88% 19,87% 29,13%

Nhóm TP biến đổi hình thức của vấn đề nhờ chuyển hóa các mối liên hệ giữa các đối tượng

e 36,55% 37,93% 17,24% 8,28%

Nhóm TP chuyển hóa các liên tưởng nhằm nhanh chóng huy động đúng kiến thức GQVĐ

STT

Nội dung

Mức độ (%) 2

58.62 41.38

64.14 35.86

a Hãy để HS tự phán đoán nó trước khi bạn giải cho họ.

57.24 42.76

b PP học tập tốt nhất là tự mình khám phá lấy

62.07 37.93

51.72 48.28

61.38 38.62

Đừng hạn chế ở "thông tin trơn". Hãy cố gắng rèn luyện cho HS những thói quen nhất định, tư chất cần thiết của trí tuệ và thói quen làm việc có phương pháp Hãy tìm trong bài toán của họ những gì có ích khi giải các bài toán khác. Theo tình huống cụ thể đã cho, hãy cố gắng phát hiện phương pháp chung Hãy vẽ hình; Sử dụng các kí hiệu thích hợp để biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành công thức, sơ đồ Nếu bài toán của bạn quá phức tạp thì có thể chia thành những bước “lớn” và bước “nhỏ”, mỗi bước lớn gồm nhiều bước nhỏ

55.86 44.14

g Hãy biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc hơn

64.14 35.86

44.83 55.17

86.21 13.79

Câu 12. Trong quá trình DH toán, việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS đã được

Thầy (Cô) quan tâm như thế nào?

Mức độ quan tâm Mức độ quan tâm Đánh dấu chọn TL (%) SL Đánh dấu chọn TL (%) SL

a. Thường xuyên quan tâm 14.48 c. Ít quan tâm 21 14 33.1

b. Quan tâm 52.42 d. Không quan tâm 76 0 0

Câu 13. Theo Thầy (Cô), yếu tố quan trọng nào sau đây ảnh hưởng đến việc

bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong quá trình DH toán?

a Động lực của HS về việc bồi dưỡng TPHĐNT b Đặc điểm của TPHĐNT c Vốn kinh nghiệm, kỹ năng sẵn có của HS về TPHĐNT d Kinh nghiệm, kỹ năng vận dụng TPHĐNT của GV Phương pháp, hình thức tổ chức DH của GV e f Đặc điểm của vấn đề (nhiệm vụ nhận thức) cần giải quyết 100% 100% 100% 100% 100% 100%

Các yếu tố khác (xin ghi rõ) g

Câu 14. Theo Thầy (Cô), bồi dưỡng TP HĐNT môn Toán cho HS THCS

liên quan đến việc tổ chức những HĐ nào sau đây?

Đánh dấu chọn Để trống Các hoạt động

SL TL (%) SL TL (%) 134 43 74 92.41 29.66 51.03 7.59 70.34 48.97 11 102 71

83 57.24 62 42.76

120 58 96 77 82.76 40 66.2 53.1 25 87 49 68 17.24 60 33.8 46.9

129 88.97 16 11.03

a. HĐ quan sát đối tượng b. HĐ lật ngược vấn đề c. HĐ phân chia trường hợp d. HĐ xét tương tự, đặc biệt, trừu tượng hóa, khái quát hóa e. HĐ biến đổi các đối tượng f. HĐ phán đoán phát hiện vấn đề g. HĐ liên tưởng, huy động và tổ chức kiến thức h. HĐ toán học hóa các tình huống thực tiễn i. HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải các dạng toán) k. Các HĐ khác (xin ghi rõ)

Câu 15. Thầy (Cô) cho biết, việc bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH

toán được thực hiện tốt hơn khi vận dụng các xu hướng DH nào?

Đánh dấu chọn Để trống Các xu hướng DH SL TL (%) SL TL (%)

a. DH phát hiện và giải quyết vấn đề 145 100 0 0

b. DH hợp tác theo nhóm 47 32.41 98 67.59

c. DH khám phá có hướng dẫn 104 71.72 41 28.28

d. DH phân hóa 81 55.86 64 44.14

e. Các PPDH khác (xin ghi rõ)

Câu 16. Theo Thầy (Cô), có những khó khăn nào trong việc bồi dưỡng

TPHĐNT cho HS quá trình DH toán?

Đánh dấu chọn Để trống

SL TL (%) SL TL (%) Những khó khăn trong việc bồi dưỡng TPHĐNT…

130 89.66 15 10.34

114 78.62 41 21.38

83 57.24 62 42.76

121 83.45 34 16.55

105 72.41 40 27.59

120 82.76 45 17.24

102 70.34 43 29.66

a. Trình độ của HS và kinh nghiệm về vận dụng TPHĐNT chưa đồng đều b. HS chưa nhận thức được tầm quan trọng của các TP trong DH toán c. Giáo viên chưa quan tâm nhiều đến bồi dưỡng TPHĐNT cho HS d. Khả năng quan sát, suy đoán của HS còn hạn chế e. Năng lực liên tưởng, huy động kiến thức để GQVĐ của HS chưa tốt f. Khả năng thực hiện các HĐ trí tuệ chung (phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự, khái quát hóa ..); HĐ toán học phức hợp (chứng minh, định nghĩa, giải toán…); HĐ trí tuệ phổ biến (lật ngược vấn đề, phân chia trường hợp …) của HS chưa thành thạo g. Năng lực toán học hóa các tình huống thực tiễn của HS còn hạn chế k. Các HĐ khác (xin ghi rõ)

Câu 17. Để góp phần bồi dưỡng TPHĐNT cho HS trong DH toán, theo Thầy

(Cô) nên truyền thụ TPHĐNT với các hình thức sau ở mức độ nào?

Thỉnh

Không

TT Các bước GQVĐ

Thường xuyên

thoảng

bao giờ

100%

64.14% 35.86%

a Truyền thụ tường minh TPHĐNT

b Thông báo TPHĐNT trong quá trình HĐ

c Tập luyện những HĐ ăn khớp với các TPHĐNT 73.79% 26.21%

Câu 18. Xin Thầy (Cô) cho biết ý kiến của mình về thực trạng của HS trong

các vấn đề sau (đồng ý mức độ nào xin thầy (cô) đánh dấu x vào ô đó)

a) Mức độ am hiểu về TP HĐNT

Rất tường tận Tường tận Bình thường Yếu

25,51% 35,17% 39,32%

b) Khả năng vận dụng TP HĐNT vào giải quyết các vấn đề toán học

Tốt Khá Trung bình Yếu

20,69% 41,38% 37,93%

Câu 19. Một số GV đã đề xuất ý kiến về vấn đề bồi dưỡng TPHĐNT cho HS THCS theo tư tưởng sư phạm của G. Polya để góp phần nâng cao hiệu quả của

việc DH Toán nói riêng và đáp ứng yêu cầu đổi mới PPDH nói chung là:

- Nên tổ chức hình thành và khắc sâu TPHĐNT qua các chuyên đề trong giờ

học tự chọn; đặc biệt qua các giai đoạn theo quy trình GQVĐ của G. Polya.

Phụ lục 3: ĐỀ, KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

* Đề môn Toán lớp 8 trước TNSP đợt 1 (thời gian 60 phút)

Câu 2. a) Giải phương trình:

x Câu 1. Phân tích thành nhân tử: − x 1 2016

22 + x x − x 20 1997

+ + 1 x − x 39 1978

≤

a) Hãy phát biểu bài toán tương tự? Bài toán tổng quát? Câu 3. Cho tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC.

a) Chứng minh rằng:

+ AB CD 2 + AB CD 2

b) Với điều kiện nào thì

c) Hãy phát biểu và giải bài toán đảo của câu b).

* Kết quả kiểm tra môn Toán của HS trước khi TNSP như sau:

Bảng 1. Thống kê kết quả học tập của HS các lớp TN và ĐC trước khi TNSP

Tổng số HS 37 35 37 37

Điểm TB 5,76 5,63 5,70 5,78

Điểm kiểm tra 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

TN1 (8D) 0 1 0 1 4 12 8 8 TN2 (8E) 0 1 1 3 5 5 TN1 (8C) 0 0 1 2 4 9 11 9 TN1 (8G) 0 1 1 2 5 6 6 3 1 1 7 3 1 1 5 4 1 0 7 3 2 1 Số HS đạt điểm tương ứng

Bảng 2. Các chỉ số thống kê cụ thể

Thực nghiệm Lớp Điểm

ni 0 2 1 4 9 17 16 13 6 2 2 fi (%) 0,00 2,78 1,39 5,56 12,50 23,61 22,22 18,06 8,33 2,78 2,78 wi(%) 0,00 2,78 4,17 9,72 22,22 45,83 68,06 86,11 94,44 97,22 100,00 ni 0 1 2 4 9 15 20 12 7 3 1 Đối chứng fi (%) 0,00 1,35 2,70 5,41 12,16 20,27 27,03 16,22 9,46 4,05 1,35 wi(%) 0,00 1,35 4,05 9,46 21,62 41,89 68,92 85,14 94,59 98,65 100,00

5, 69

5, 74

3,314

3, 043

72 74 =

1,820

1,744

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Tổng số Trung bình mẫu Phương sai mẫu

TNx = 2 = TNS TNS =

ÐCx 2 = CÐS ÐCS =

Độ lệch chuẩn mẫu

77,78 % 22,22 % 45,83 % 26,39 % 5,56 % 78,38 % 21,62 % 47,30 % 25,68 % 5,41 %

Tỷ lệ đạt yêu cầu Tỷ lệ điểm kém Tỷ lệ điểm trung bình Tỷ lệ điểm khá Tỷ lệ điểm giỏi

Đường biểu diễn tần suất tích lũy hội tụ lùi Biểu đồ xếp loại học sinh

Như vậy, điểm trung bình cộng, tỷ lệ đạt yêu cầu, tỷ lệ điểm kém, tỷ lệ điểm trung bình, tỷ lệ điểm khá, tỷ lệ điểm giỏi của HS ở hai nhóm lớp TN và ĐC không có sự khác biệt lớn. Sử dụng phương pháp kiểm định thống kê để khẳng định chất lượng học tập của nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là tương đương nhau. Thật vậy:

- Kiểm định giả thiết H0 của bài toán 1

)

( 71,73 0,05

2 ĐC

2 TN

2 S TN 2 S ĐC

Vì nên đại lượng Fα= Bậc tự do CĐf TNf

So sánh F và Fα F Fα< 71 73 1,089 1,476

Qua kết quả trên khẳng định giả thiết H0 được chấp nhận, tức là sự khác nhau

giữa phương sai ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC là không có ý nghĩa.

−

- Kiểm địnhgiả thiết H0 với đối thiết H của bài toán 2

(

tα

ĐC

Đại lượng

s .

x TN 1 n TN

ĐC 1 n ĐC

tα<

So sánh t và tα Phương sai chung s Bậc tự do n+ − n TN

144 3,176 -0,165 1,96

Qua kết quả trên khẳng định giả thiết H0 được chấp nhận, khẳng định kết quả

chất lượng HS ở nhóm lớp TN và nhóm lớp ĐC trước khi TNSP là như nhau.

Phụ lục 4: MỘT SỐ GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM

Giáo án tự chọn Hình học 8 (3 tiết)

SỬ DỤNG DIỆN TÍCH TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC

I. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Củng cố cho học sinh phương pháp sử dụng công thức của hình

(tam giác, tứ giác, đa giác) để chứng minh các quan hệ về các độ dài các đoạn thẳng.

2. Kĩ năng: - Rèn luyện cho học sinh kỹ năng biểu thị độ dài đoạn thẳng, tỷ số độ dài các

đoạn thẳng, tích các độ dài các đoạn thẳng … theo đoạn thẳng để giải quyết yêu cầu

của từng bài toán.

- Rèn luyện cho học sinh về phương pháp vẽ thêm đường phụ, chọn phương

án giải quyết phù hợp với đề bài, rèn luyện tính linh hoạt sáng tạo trong giải toán.

3. Về thái độ: Rèn luyện tư duy logic, tính cẩn thận, sáng tạo.

II. Chuẩn bị của GV và HS:

1. Giáo viên: Giáo án, bảng phụ.

2. Học sinh : Sách giáo khoa; đồ dùng học tập

III. Tiến trình DH

Hoạt động 1: Hình thành phương pháp

Hoạt động của GV và HS

Nội dung Ví dụ 1. Cho ∆ABC đều. Từ một điểm O ⊥OH AB nằm ở trong tam giác ta vẽ ,

⊥ ⊥ OI BC OK AC Chứng minh rằng khi . ,

O di động trong tam giác thì

∆

=OBC

GV: Yêu cầu HS vẽ hình và nêu yêu cầu bài toán GV: OI là đường cao của tam giác nào? HS: là đường cao của ∆OBC GV: Tương tự OH, OK là đường cao của những tam giác nào? GV: Công thức nào biểu thị mối liên hệ giữa đường cao OI và cạnh BC của tam giác? là a,

OI BC . .

1 2

OH OK OI không đổi. Bài giải: Gọi độ dài cạnh ∆ABC chiều cao là h Ta có: +

BOC

AOB

COA

ABC

⇒

. a OH

. a OI

. a OK

a h .

HS:

1 2

GV: Công thức nào biểu thị mối liên hệ giữa diện tích các tam giác OBC,OAB, OAC.

GV: Hướng dẫn HS gọi độ dài

⇒

OH OI OK (

)

a h .

1 2 Suy ra

OH OK OI

1 2 h không đổi.

cạnh ∆ABC là a HS: trình bày lời giải.

• Bài toán trên vẫn đúng nếu điểm O

GV: Kết quả bài toán trên còn đúng thuộc cạnh của tam giác đều

không nếu điểm O thuộc cạnh BC của tam

giác đều ABC. • Nếu thay tam giác đều bởi một đa giác đều bất kỳ thì tổng các khoảng

GV: Nếu thay tam giác đều ABC bằng cách từ O đến các cạnh cũng không

một đa giác đều bất kỳ thì kết quả trên đổi.

còn đúng không.

Ví dụ 2. Cho ∆ABC , các điểm D, E lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, AC. Chứng

AD AE = AC AB

. minh rằng nếu DE//BC thì

Bài giải: Ta có: ∆AED và ∆ABE có chung chiều cao kẻ từ E nên ta

(1)

AD AB

S = ADE S ABE

∆AED và ∆ACD có chung chiều cao kẻ từ

có

(2)

S AE = ADE AC S ACD

D nên ta có

ADE

GV: Đây là nội dung của định lý nào mà các em đã được học? HS: Định lý Ta-let. GV:Trong chương trình học của các em định lý này có được chứng minh không? HS: Không được chứng minh GV: Nếu 2 tam giác có chung chiều cao thì tỉ lệ diện tích thế nào với tỉ lệ 2 đáy tương ứng? Ta lại có SBEC=SBDC ( Chung đáy BC, các đường cao tương ứng bằng nhau) nên SABC-SBEC=SABC-SBDC ⇒ SADE=SACD (3).

S S

ABE

AD AE = AC AB

ADE

? GV: (đpcm) Từ (1), (2), (3) ⇒

S S

ACD

GV: ?

GV: có nhận xét gì về SABE và SACD? HS trình bài bài giải. GV: Bài toán trên thể hiện được ưu điểm

của các công thức diện tích các hình mà

các em đã được học.

Hoạt động 2: Phát biểu phương pháp

Hoạt động của GV và HS Nội dung

GV: Yêu cầu HS từ 2 ví dụ trên hình Các công thức diện tích cho ta quan hệ về

thành phương pháp diện tích trong chứng độ dài của các doạn thẳng. Do đó để

minh hình học. chứng minh về quan hệ độ dài các đoạn

GV: Chính xác hóa lại các bước. thẳng, ta có thể sử dụng công thức diện

tích của các hình đó. Đó là nội dung

phương pháp diện tích. Để so sánh 2 độ

dài nào đó bằng phương pháp diện tích ta

có thể làm theo các bước sau: 1.Xác định quan hệ giữa các hình

2. Sử dụng công thức diện tích để biểu thị

mối quan hệ đó bằng 1 đẳng thức có chứa

các độ dài giữa 2 đoạn thẳng cần so sánh

Hoạt động 3: Vận dụng phương pháp

Hoạt động của GV và HS Nội dung

GV: Điều cần chứng minh của định lý là

AB DB = AC DC

= a h với a là cạnh

. ;

gì? (Các đoạn thẳng tỷ lệ ).

tích tam giác? ( GV: Kiến thức nào em vừa được học liên quan đến điều này? (Câu trả lời mong đợi là: sử dụng định lý Ta-lét). GV: Không dùng định lý Ta-lét, em có thể sử dụng diện tích để so sánh tỷ lệ các đoạn thẳng trên hay không? GV: Em hãy nhắc lại công thức tính diện 1 2

( hai tam giác ABD và ACD có Bài toán 1. Chứng minh định lý: “Đường phân giác trong của tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy”. (SGK Toán 8, tập 2, trang 65). Giải: Vẽ các đường phụ là đường cao AH của tam giác ABC và các đường cao DK, DI tương ứng của các tam giác DAB, DAC ta có: S BD = ABD DC S ACD

, vì hai tam giác ABD và ACD cùng đường cao kẻ từ A đến BC) S AB = ABD AC S ACD

bằng tỷ số của các tam GV: Tỷ số đáy, h là đường cao tương ứng). GV: Khi hai tam giác có các đường cao tương ứng của chúng bằng nhau thì tỷ số diện tích của chúng bằng tỷ số nào? (tỷ số các cạnh đáy tương ứng). BD DC

S BD = ABD DC S ACD

, vì hai giác nào? Vì sao? ( có các đường cao kẻ từ D đến AB, AC bằng nhau (do BD là phân giác của ∠BAC ). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

tam giác ABD và ACD có cùng đường cao kẻ từ A đến BC).

AB AC

bằng tỷ số của các tam GV: Tỷ số

S AB = ABD AC S ACD

, vì hai giác nào? Vì sao? (

Bài toán 2. Cho ∆ABC và 3 điểm A’ ,B’. C’, lần lược nằm trên 3 cạnh BC, CA, AB sao cho AA’, B B”, CC’ đồng quy.(A’, B’, C’ không trùng với các đỉnh của tam giác).

' '

Chứng minh rằng

' ' A B B C C A ' ' A C B A C B Bài giải: Vẽ BH ⊥ AA’; CK ⊥ AA’ Tam giác AA’B và tam giác AA’C là 2 tam giác có cùng một chiều cao hạ từ A và 2 cạnh đáy tương ứng là A’B và A’C nên S ' A B = AA B ' ' A C S ' AA C

(

tam giác ABD và ACD có các đường cao kẻ từ D đến AB, AC bằng nhau (do BD là phân giác của ∠BAC )). GV: Yêu cầu học sinh vẽ hình và nêu yêu cầu bài toán. GV: Ta thấy ở vế trái của đpcm là tích của 3 tỉ số . Để có thể rút gọn được tích này ta sẽ thay đổi tỉ số của 2 cạnh bằng tỉ số diện tích của 2 tam giác thích hợp, sau đó khử liên tiếp để được kết quả bằng 1 GV: yêu cầu HS vận dụng phương pháp diện tích để giải bài toán. HS:

BA CA

' ' giác phù hợp.

ABO

ABA

theo tỉ số diện tích 2 tam +) Tính

S S

ACA

ACO

và GV: có nhận xét gì về

AA B '

1). Mặt khác tam giác AA’B và giác tam AA’C là 2 tam giác có chung cạnh AA’, đường cao tương ứng là BH và CK

S S

BH CK

' AA C

(2) Nên

AOB

Tam giác AOB và tam giác AOC có chung cạnh AO và các chiều cao tương ứng là BH

S S

AOC

⇒

và CK nên (3)

BH CK S ' A B = AOB ' A C S AOC

(4) Từ (1), (2), (3)

B C ' B A '

S = BOC S BOA

Chứng minh tương tự ta được

S ' C A = COA C B S ' COB

(5) và (6) HS trình bày bài toán.

Nhân từng vế các đẳng thức (4), (5), (6) ta

A B B C C A ' A C B A C B '

' '

được

Chú ý: Bài toán trên vẫn đúng nếu các điểm A’, B’, C’ thuộc các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác, trong đó có đúng 2 điểm nằm ngoài tam giác . Bài toán 3. Chứng minh định lý Py- ta- go: Trong một tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài 2 cạnh góc vuông Bài giải:

ABFG

BHKE

và GV: Mở rộng thêm kết quả bài toán để HS về nhà chứng minh. GV: yêu cầu HS cụ thể bài toán và vẽ hình. GV: Trong chương trình học của các em nội dung bài toán này đã được chứng minh chưa? GV: Chúng ta sẽ vận dụng phương pháp diện tích để chứng minh bài toán này. GV: Hướng dẫn HS vẽ hình phụ như hình vẽ trên. GV: Hãy chứng minh

ACMN

= =

AC ta phải chứng minh +

BC S

AB S

BCDE

ABFG

ACMN

Giả sử ∆ABC vuông tại A. Ta cần chứng 2 minh AC . Lấy các cạnh của ∆ABC làm cạnh, dựng ra phía ngoài của tam giác này các hình vuông BCDE, ABFG, ACMN. Muốn chứng minh

ABFG

BHKE

Vẽ đường cao AH và kéo dài cắt DE tại K. và Ta sẽ chứng minh

ACMN

CHKD

⇒

(1)

FBC

=FBC

ABE

Nối AE, CF ta có: = ∆ ∆ ABE c g c ( . . )

CHKD HS trình bày bài toán.

Tam giác FBC và hình vuông ABFG có chung đáy BF, đường cao ứng với đáy này

(2)

=FBC

ABFG

1 2

. bằng nhau (= AB) nên

(3)

=ABE

BHKE

. Tương tự

1 2 Từ (1), (2), (3) ⇒

BHKE

ABFG

ACMN

2 AC mà

CHKD +

GV: Mấu chốt trong cách giải trên là việc vẽ hình phụ. Vẽ thêm 3 hình vuông. Điều gì gợi ý cho ta cách giải ấy? Hãy nhìn vào kết luận của bài toán: Ta phải Chứng minh tương tự được

BHKE

CHKD

ABFG

ACMN

BC AB AC chính là diện tích các

. Do đó Do đó chứng minh 2

ABFG

BCDE

ACMN

(đpcm)

,=MD x

,=ME y

trong

S Bài toán 4. Cho ∆ABC , M là một điểm . Vẽ MD ⊥ BC, nằm tam giác ME ⊥ CA, MF ⊥ AB. Đặt = = BC a AB c AC b , , .=ABCS ,=MF z và S

+ ax by

S 2 .

a) Chứng minh rằng

)

a x

b y

c z

b) Tìm GTNN của (

MBC

MCA

MAB

⇔

+ ax by

(

)

1 2 ⇔ + ax by

S 2 .

(ax

)(

)

a x

b y

c z

(

)

(

)

x y

y x

y z

z y

≥

)

(

+ ) 2

bc 2

(

x z z x + + a b c

(

)

(

≥

Bài giải: a) Ta có

(

)

a x

b y

c z

+ + a b c S 2

. Dấu bằng Vậy hình vuông có cạnh lần lượt là BC, AB, AC. Để chứng minh diện tích hình vuông BCDE bằng tổng diện tích của 2 hình vuông ABFG và ACMN ta vẽ đường cao AH rồi kéo dài để chia hình vuông BCDE thành 2 hình chữ nhật không có điểm trong chung rồi chứng minh 2 hình chữ nhật này có diện tích bằng diện tích 2 hình vuông kia. GV: Yêu cầu HS vẽ hình và nêu yêu cầu bài toán. GV: yêu cầu HS dùng phương pháp diện tích để giải GV: đối với câu b hướng dẫn HS vận dụng kiến thức câu a và vận dụng thêm bất đẳng thức Cô si để giải.

)

(

⇒

GTNN

(

)

a x

b y

c z

+ + a b c S 2

⇔ M là giao điểm của các đường phân giác của tam giác ABC.

xẩy ra ⇔ = =

Hoạt động 4: Củng cố kiến thức và bài tập về nhà. 1. Củng cố lại cách sử dụng công thức diện tích trong chứng minh hình học bằng bản đồ tư duy. 2. Đưa ra nhận xét đặc điểm các bài toán có thể sử dụng phương pháp diện tích.

3. Giải các bài toán sau: Bài 1. Cho ∆ABC cân tại A. Từ một điểm M nằm trên đáy BC vẽ MD ⊥ AB, ME ⊥ AC. a) Chứng tỏ rằng MD + ME không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên đáy BC.

−MD ME khi M di động trên đường thẳng BC nhưng không

b) Có nhận xét gì về

nằm trên đáy BC.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AD lấy điểm N.

Gọi O là giao điểm của BN và DM. Biết OC là tia phân giác của góc BOD. Chứng minh rằng BN= DM. Bài 3. Cho ∆ABC (AB

AH BH CH AD BE CF

≥

AH BH CH HD HE HF

Giáo án tự chọn Đại số 9 (3 tiết)

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

CỦA BIỂU THỨC MỘT BIẾN

I. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp học sinh biết vận dụng các kiến thức đã biết thường sử dụng (các hằng đẳng thức, bất đẳng thức giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức Cô-si…) để tìm tòi lời giải, giải các bài toán và khai thác, phát triển các bài toán về tìm cực trị.

2. Kĩ năng: - HS biết phân tích để tìm ra cơ sở để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề và tìm được phương án giải quyết các bài toán. Từ đó, hình thành, khắc sâu thủ pháp quy nạp thực nghiệm nhờ thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề

và phát hiện cách giải quyết vấn đề; thủ pháp phân nhỏ, tách biệt; thủ pháp bổ sung

yếu tố phụ (ẩn phụ, bài toán phụ)… để giải và khai thác phát triển bài toán.

II. Chuẩn bị: 1. Giáo viên: - Bài soạn: Giáo viên sử dụng thủ pháp thay biến bởi hằng, thủ pháp bổ sung

yếu tố phụ (bài toán phụ, ẩn phụ), thủ pháp phân nhỏ đối tượng, thủ pháp tách biệt

phần “cần thiết”… thiết kế bài giảng.

- Máy chiếu, máy tính.

- Phiếu học tập ghi bài 1-3.

2. Học sinh: - Biết cách phân tích bài toán, biết dự đoán điều kiện để bài toán đạt cực trị,

biết phân nhỏ bài toán và chọn ẩn phụ, bài toán phụ một cách thích hợp để giải một

số bài toán cực trị có điều kiện.

- HS ôn lại các kiến thức thường sử dụng (các hằng đẳng thức, bất đẳng thức

giá trị tuyệt đối, bất đẳng thức Cô-si…).

- Bút dạ viết bảng, chia nhóm học tập.

III. Tiến trình DH

1. Hệ thống lại các kiến thức có liên quan

≤

Hoạt động của GV và HS Nội dung

f x M với M là ,

( )

1) Định nghĩa a) Định nghĩa giá trị lớn nhất: Cho biểu thức f(x), xác định trên D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D, ký hiệu M = maxf(x), nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: - Với mọi ∈x D thì

hằng số.

≤ ) M.

0 ∈x D sao cho

f x 0(

- Tồn tại

≥

GV: Yêu cầu HS nhắc lại: - Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. - Tính chất không âm của một lũy thừa bậc chắn; - Các bất đẳng thức quen thuộc (giá trị tuyệt đối; Bất đẳng thức Cô-si…) GV gọi HS khác nhận xét bài của các bạn GV chốt lại khái niệm về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và các bất đẳng thức thường dùng; bố trí ghi lý thuyết ở 1 phần bảng đầu tiên

f x M với M là ,

( )

b) Định nghĩa giá trị nhỏ nhất: Cho biểu thức f(x), xác định trên D. Ta nói M là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D, ký hiệu M = minf(x), nếu hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: - Với mọi ∈x D thì

hằng số.

≥ ) M.

0 ∈x D sao cho

f x 0(

- Tồn tại

2) Phương pháp chứng minh: Bước 1: Tìm tập xác định D;

( ) ≤ f x M (

Bước 2: Chứng tỏ ( ) ≥ f x M ) với ∈x D .

= ) M.

0 ∈x D :

f x 0(

∈

Bước 3: Tồn tại

k ,

≥  0; 

a) với 3) Các tính chất thường sử dụng: k ( ) 2  ≥ f x 

≥

≤ ⇔ − ≤ ≤

x b b (

0);

−

≤

y dấu bằng xẩy

;

b) Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

+ ≥

≥

ra khi và chỉ khi x, y cùng dấu. c) Bất đẳng thức Cô-si:

a b

ab a b ;

Dấu “=” xẩy ra

khi và chỉ khi a = b.

2. Luyện tập sử dụng giải các bài toán về cực trị của biểu thức một biến

Hoạt động của GV và HS Nội dung

−

Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức là đa thức bậc hai Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

= − 5

N 1

−

. thức:

= − 5

N 1

1 5

4 5

  

  

Ta có:

−

= − 5

1. Tách và phân nhóm các hạng tử để biến đổi biểu thức về dạng các hạng tử chứa biến cùng luôn dương hoặc luôn âm - Biểu thức N1 có đặc điểm gì? (là một đa thức bậc hai của ẩn x có hệ số bậc hai là số âm). GV: do hệ số bậc 2 bằng (-5), đặt (-5) làm thừa số, rồi tách hạng tử tự do để tạo với các biểu thức chứa biến về dạng bình phương của một biểu thức.

( ) 2  ≥ f x 

 

4 25

45 25

4 5

  

  

= − 5

4 25

45 25

4 5

  

  

GV gợi ý thêm: Do với mọi

số thực x, hãy biến đổi biểu thức N1 thành một biểu thức chứa biến cùng luôn âm? - Nhận thức biểu xét về gì

= − 5

2 5

  

  

= − 5

N 1

2 5

  

  

≤

? (Biểu thức N1 chứa

≥ ⇔ − 5

2 5

  

  

  

  

Do .

= − 5

+ ≤ 9

N 1

2 5

  

  

một số không đổi và một biểu thức chứa biến nên để tìm giá trị lớn nhất của N1 ta chỉ cần xét biểu thức có chứa biến) dấu Suy ra:

- Từ đó, hãy suy ra giá trị lớn nhất của N1? “=” xẩy ra khi và chỉ khi

= ⇔ = −

Tìm giá trị của x để N1 đạt giá trị lớn nhất?

2 5

  

  

* Khai thác, phát triển bài toán:

= −x

max

9=N

2 5

- Từ lời giải bài toán, HS biết giải các bài Vậy khi và chỉ khi

toán tìm giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của các biểu thức là đa thức một biến bậc hai.

GV chốt: Với các bài toán tìm cực trị của

thức một biến bậc hai

(tìm maxP1(x) với

0>a

, minP1(x) với ), thông thường đa 1( ) = P x 0

ta vận dụng TP tổ chức hợp lý dữ liệu tách

và nhóm các hạng tử chứa biến để đưa về

một biểu thức luôn không âm (luôn bé hơn

hoặc bằng 0) và sử dụng TP tách biệt để xét

biểu thức “cần thiết” là cực trị của biểu thức chứa biến.

−

Dạng 1: Tìm cực trị của một biểu thức là đa thức bậc cao bằng cách đặt ẩn phụ để quy về bậc hai Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

(

)

)( 1 8

)(

thức: ,

= −

−

)(

)

2 8 −

- Em có nhận xét gì về biểu thức cần tìm cực trị? (Tích của hai biểu thức bậc nhât và một biểu thức bậc hai) - Hãy xét tích của hai đa thức bậc nhất? Có nhận xét gì về đặc điểm của đa thức tích với đa thức bậc hai trong biểu thức cần tìm với ∀ ∈x  . Giải. Ta thấy rằng (

Đặt

= −

−

= −

= (

2 8 − x )(

; hai đa cực trị? (Đa thức tích là thức này có phần chứa ẩn giống nhau và hiệu hệ số tự do của chúng là số chẵn) . . Khi đó )

Suy ra: N2 đạt giá trị lớn nhất bằng 16

2 8 −

= 11 0

⇔ = ± x

, suy ra khi và chỉ khi 0=y

- Hãy đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần tìm về đa thức bậc hai? Nên chọn ẩn phụ như thế nào cho dễ tính toán? (Chọn ẩn phụ có phần chứa ẩn giống nhau, phần hệ số tự do là trung bình cộng của các hệ số tự do, đó

2 8 −

) là:

- Từ đó suy ra lời giải bài toán. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

−

)( 2 4

)

, với

- Em có nhận xét gì về biểu thức cần tìm

( ∀ ∈x  . Giải.

cực trị? (Tích của hai biểu thức bậc hai)

−

= − 2

)

(

) x 2 .

−

- Hãy quan sát để tìm mối liên hệ giữa hai biểu thức bậc hai? Ta thấy rằng ( 2 2 - Hãy đặt ẩn phụ để đưa biểu thức cần tìm

Đặt . về đa thức bậc hai? Nên chọn ẩn phụ như

−

thế nào cho dễ tính toán? . Khi đó

− 6 2

x (

+ = − 2 2 ) y .

− 6 2

) y .

(

' 3

−

Ta liên tưởng đến vấn đề tích 2 số lớn nhất Suy ra: khi tổng của chúng không đổi. Ở đây y và Ta có 6 2− y thỏa mãn điều kiện trên vì thế để

= A y

(

) y )

'' 3

1 2

(Hoặc

−

+ >

tìm giá trị lớn nhất của A ta chuyển sang tìm giá trị lớn nhất của biểu thức của biểu

+ = 2

1 0

(

)2 1

2.=B

A (hoặc

1 2

, Ta thấy thức . − 6 2 >y 0 3

− 6 2

- Hãy xét đặc điểm của biểu thức N3 với ẩn không đổi. Ta lại có khi 6 ( 2> y hay )

− 6 2

(

) y ), từ đó suy ra xét đa

2.=N

A đạt giá trị lớn nhất khi

' 3

y ( Vậy

3 2

= − (thỏa mãn 2 6 2 y y , lúc đó

ĐK).

− 6 2.

= 3.3 9.

' maxN 2. 3

3 2

  

  

⇒

Vậy

axN

9 2

3 2

. Lúc đó , hay

−

+ = ⇒ = ±

3 2

2 2

thức phụ để có tổng của hai nhân tử là một số không đổi? * Khai thác, phát triển bài toán: Tương tự HS giải được các bài toán khác. GV chốt: Nhiều khi để tìm cực trị của một biểu thức chúng ta tìm cách đặt ẩn phụ để đưa về tìm cực trị của đa thức bậc hai. .

- Em có nhận xét gì về đặc điểm của biểu thức N4? (Đây là một phân thức cả tử thức và mẫu thức đều là các đa thức bậc hai đối với biến x) - Hãy xét mối liên hệ giữa hệ số của các hạng tử chứa biến ở tử thức và mẫu thức? (hệ số của các hạng tử chứa biến ở tử thức Dạng 2: Tìm cực trị của một biểu thức là phân thức có tử thức và mẫu thức đều là các đa thức bậc hai, mẫu luôn dương (hoặc luôn âm), hệ số của các hạng tử chứa ẩn của tử và mẫu tỷ lệ với nhau Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

+ +

x x

6 2

x x

10 3

gấp 3 hệ số của các hạng tử chứa biến ở thức: . mẫu thức).

- Hãy tách N4 thành một hạng tử chứa biến

x x

+ + + 6 9 1 x 2 + + 2 3 x

và một hạng tử là hằng số? Ta có: - Biểu thức “cần thiết” để giải bài toán tìm

= + 3

1 2

giá trị nhỏ nhất của N4 là gì? (Tìm giá trị

1 2

x Ta có

). nhỏ nhất của biểu thức

) + + 1

( + ≥ 2 2

(

+ = x 3 ) 21

- Em có nhận xét gì về biểu thức cần tìm

1 2

? giá trị nhỏ nhất của

≤

Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x = -1. (Tử số là hằng số, mẫu số là đa thức bậc

1 2

hai của x) Suy ra:

1 2 Nên N4 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

+ = khi và chỉ khi

= −x

3 em tìm giá trị nhỏ nhất của bằng 2 khi x = -1. Từ đó suy ra lời giải bài

1 2

7 2

- Vận dụng cách giải tương tự ví dụ 1, các

toán.

min

7 2

Vậy khi và chỉ khi x = -1.

*Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. *Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT GV chốt: Đối với các biểu thức là một

P x ( ) 2

+ +

a x 1 2 a x 2

b x 1 b x 2

c 1 c 2

với phân thức dạng

a 1 a

b 1 b 2

mẫu thức luôn dương (âm); thông

thường ta vận dụng TP tổ chức hợp lý dữ liệu bằng cách tách phân thức thành một hằng số và một phân thức có tử số là hằng số còn mẫu là một đa thức bậc hai, rồi tách biệt phần cần thiết là biểu thức có chứa biến và vận dụng phương pháp trong ví dụ 1 để giải bài toán này.

Như vậy, với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức là đa thức bậc hai hoặc các bài toán quy về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức bậc hai nên tách và nhóm biểu thức thành một hằng số và một biểu thức có các hạng tử chứa biến cùng luôn không âm (hoặc bé hơn hoặc bằng 0).

- Em có nhận xét gì về đặc điểm của biểu thức N5? (Đây là một phân thức cả tử thức Dạng 3: Tìm cực trị của một biểu thức là phân thức có tử thức và mẫu thức

và mẫu thức đều là các đa thức bậc hai đối đều là các đa thức bậc hai, mẫu là bình

với biến x; mẫu là bình phương đúng).

- Hãy tách N5 thành các hạng tử chứa biến phương đúng của một biểu thức Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

+ 2

26 −

− (

x )

ở mẫu và một hạng tử là hằng số? thức: . - Hãy biến đổi biểu thức N5 thành một hạng

−

(

)

(

tử là hằng số và một biểu thức chứa biến Ta có:

) −

+ (

6 2 )

luôn không âm? - Biểu thức “cần thiết” cần tách ra để giải

−

)

(

−

quyết là gì? (Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

−

 3  − x

  

( x 2 ) 2

) (

thức ).

= − 5

*Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán.

6 −

9 −

(

*Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT

−

+ +

1 4

3 −

  

  

- HS có thể giải bài toán này bằng các cách

−

+ ≥

khác, chẳng hạn sử dụng miền giá trị của hàm số…

4 4

  

 3  − x

c 1

- GV chốt: Tìm cực trị của biểu thức là một vì

P x ( ) 3

a x 1 (

+ b x 1 2 ) + x m

−

≥

  

 3  − x

; phân thức dạng . Dấu “=” xẩy ra khi và

− = ⇔ − = ⇔ =

2 3

1 0

3 −

x m x m ; rồi tiếp tục biến đổi

) ( ,

chỉ khi

x Vậy minN5 = 4 khi và chỉ khi x = 5.

thông thường ta vận dụng TP tổ chức hợp lý dữ liệu tách phân thức thành một hằng số và các phân thức với mẫu là lũy thừa )2 của (

biểu thức P3(x) thành tổng của một hằng số và một biểu thức chứa biến không âm (hoặc luôn bé hơn hoặc bằng 0) và tách biệt biểu thức “cần thiết” chứa biến này ra xem xét từ đó suy ra lời giải bài toán.

Như vậy, với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức là

phân thức có mẫu là đa thức bậc hai có dạng bình phương đúng nên tìm cách biến đổi biểu thức đó thành một hạng tử là hằng số và một biểu thức chứa biến luôn không âm (hoặc luôn bé hơn hoặc bằng 0) và tách biệt phần cần thiết là biểu thức chứa biến để xem xét, giải quyết bài toán.

−

- Hãy tìm điều kiện có nghĩa của a)?

3 0

= x + ≥ ⇔  = x

( )

−

a N )

Dạng 4: Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu căn thức Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

- Suy ra giá trị nhỏ nhất của N7? (minN7 =0 khi và chỉ khi x = 1 hoặc x = 3)

- Hãy tìm điều kiện có nghĩa của b)?

+ +

= − x

2 5.

2≥ −x ( - Hãy biến đổi N8 đưa biểu thức về dạng

−

+ +

2 3

(

)

Giải. tổng của một hằng số và một biểu thức

−

chứa biến không âm?

+ + 2

)

(

1 4

11 4

  

  

1 2 2

- Hãy tách biệt phần “cần thiết” là

+ − 2

1 2

  

  

1 2

11 4

  

  

và xét giá trị nhỏ nhất của

biểu thức đó?

≥

+ − 2

1 2

  

  

- Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu Dấu bằng xảy Ta có

thức cần tìm

+ = ⇔ = −

3 4

1 2

*Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. ra khi và chỉ khi .

*Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các

= ⇔ = −x

1 2

3 4

bài toán dạng tương tự Vậy MinN5

Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

−

≠ ⇔ ≤

- Em hãy tìm điều kiện của x để biểu thức A nghĩa? có

0; 2

( )

0>A

3≤x

0>A

- Em có nhận xét gì về giá trị của biểu thức Giải. Ta có điều kiện để biểu thức A có nghĩa ) A? ( . Dễ thấy . Ta xét biểu - Biểu thức thức

−

= − 2

và A là một phân thức có tử là hằng số nên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của A ta có thể tìm cực trị .

1 A Ta có

1 A

≤

−

≤ −

−

≤

≤ ⇒ − 3

) của biểu thức nào? (biểu thức

1 A

−

có đặc điểm gì? (Hiệu của - Biểu thức

⇒ − 2

≤ − 2

≤x

− ⇔ =

= − ⇔ = 3

min .

. một hằng số và một căn thức bậc hai). - Phần “cần thiết” để tìm cực trị của biểu

1 A

thức là biểu thức nào? Hãy “tách biệt”

max

= + 2

1 −

= ⇔ −

= ⇔ = ±

. Khi đó

max

min

1 2

. Khi đó

của A, do phần cần thiết đó và tìm cực trị của nó? - Từ đó hãy suy ra cực trị của A? GV chốt: Trong ví dụ 6a để tìm cực trị ta 2A , ví dụ 7 để tìm cực trị nên ta xét biểu thức phụ xét biểu thức phụ 0>A

1 A

. Như vậy, các biểu thức phụ thường xét

− A A A hoặc biểu thức phụ B

có thể là

sai khác với A một hằng số.

Như vậy, với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

chứa căn thức, có thể tìm cực trị của một biểu thức phụ dễ tìm cực trị hơn

− A A A kA ) nên tìm cách biến đổi biểu thức đó thành một hạng tử là hằng số và

(

một biểu thức chứa biến luôn không âm (hoặc luôn bé hơn hoặc bằng 0) và tách biệt

phần cần thiết là biểu thức chứa biến để xem xét, giải quyết bài toán.

2. Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối để tìm cực trị của một số biểu thức chứa dấu

giá trị tuyệt đối

Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

= + + + 2

)

a M x 1

= + + + +

−

Với bài toán này nhiều HS đã chia khoảng thức:

= + + + = + + − − ≥

)

a M x 1

+ − − = x

Giải.

− − x

) ( 2 ,

⇔ − ≤ ≤ −x

cùng dấu. Suy ra Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ) (

≥

= + + + + − x

7 2

minN6 = 1 Hoàn toàn tương tự ta có lời giải câu b), vì để bỏ dấu giá trị tuyệt đối và giải, nhưng lời giải khá dài dòng. GV yêu cầu HS quan sát đặc điểm của các biểu thức dưới dấu giá trị tuyệt đối và nhận ra: Câu a), hệ số chứa x trong hai dấu giá trị tuyệt đối bằng nhau, nên sử dụng tính chất của giá trị tuyệt đối và TP tổ chức hợp lý dữ liệu, ta có lời giải bài toán *Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. *Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các bài toán dạng tương tự

3. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si tìm cực trị

a) Tìm cực trị một số biểu thức là tổng của hai căn thức bậc hai ta xét bài toán phụ là bình phương của biểu thức đó

+− 5

− x .37

Ví dụ 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

≤≤ x

thức: A1 =

5 3

7 3

. Giải: ĐK:

−

− )37)(5 x

1A = (3x-5) + (7-3x) + 2

GV yêu cầu HS quan sát đặc điểm bài toán để nhận ra: Biểu thức A1 được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức dưới dấu căn có tổng không đổi (bằng2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A1 thì sẽ

+≤

−=−

3(2

)37 x

xuất hiện hạng tử là hai lần của hai căn (dấu “=” thức. Đến đây có thể vận dụng bất đẳng

+≤

thức Cô-si: xảy ra ⇔ 3x- 5 = 7- 3x ⇔ x = 2).

1A = 4 ⇒ maxA = 2 (khi và

. Vậy max

*Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. chỉ khi x=2).

*Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các

bài toán dạng tương tự

b) Biến đổi biểu thức cần tìm cực trị bằng cách nhân và chia một biểu thức chứa căn

với cùng một số khác 0; hoặc tách biểu thức không chứa căn thành tổng của hai hạng

tử sao cho xuất hiện dạng bất đẳng thức Cô-si

GV gợi ý và đặt các câu hỏi để HS nhận ra Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

A 2

x 5

− x

đặc điểm: thức Cách 1:

GV gợi ý:

- Hãy tìm cách so sánh biểu thức ở tử số Giải: ĐK: x 9≥ . Cách 1:

A 2

− x 9

1 2

  

≤

x 5 − x  3  5

1 30

=⇔=

với một biểu thức dạng kx?

− 3 5 x − + 9 9 3 5 x − x 3

(dấu bằng xảy ra ⇔ ).

1 30

Vậy maxA = (khi và chỉ khi x= 18).

Cách 2:

A 2

− x

x 5

− x 9 + − 9) 45

- Muốn vậy hãy nhân và chia biểu thức dưới dấu căn của tử thức với cùng một số để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si? - Hạng tử tự do trong biểu thức dưới dấu căn là 9. Do đó, hãy nhân và chia với một số để khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ mất hạng tử tự do, nên đó chính là căn bậc hai của hạng tử tự do đó. Cách 2: GV gợi ý: - Hãy tìm cách so sánh biểu thức ở mẫu số

9−

k x

−

≤

1 30

9 −

−

2 5

(

) 9 45

? với một biểu thức dạng

- Muốn vậy hãy thêm và bớt biểu thức ở mẫu số với cùng một số để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si? - Biểu thức ở mẫu là 5x, do đó, hãy thêm và bớt với cùng một số để khi áp dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ liên quan với biểu thức

k x

9−

nên đó chính là 5.9 = 45. dạng

*Yêu cầu HS trình bày các lời giải bài toán.

*Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các

bài toán dạng tương tự

c) Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là

một hằng số.

GV gới ý giúp HS nhận ra: i) Tách một hạng tử thành tổng của

nhiều hạng tử bằng nhau. có tích không phải Hai số dương 3x và Ví dụ 11. Cho x > 0,tìm giá trị nhỏ nhất

4 x + 3 x

16 3 x là một hằng số.Muốn khử được x3 thì ở tử phải có x3= x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x= x + x + x rồi dùng bất đẳng thức Cô-si

của biểu thức: A3 =

Giải:

= + + + x

A 3

16 3 x

≥

. . . x x x

16 3 x 16 3 x

2=⇔ x

x =⇔

với 4 số dương.

16 3 x

Dấu bằng xảy ra .

Vậy minA = 8(khi và chỉ khi x = 2).

ii) Tách một hạng tử chưa biết chứa biến thành tổng của một hai hạng tử sao cho một hạng tử chứa biến là nghịch đảo của hạng tử khác có trong biểu thức đã cho(có thể sai khác một hằng số). Ví dụ 12. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

= + a

∀ > a

A 4

1 −

thức:

= − +

1 −

≥

−

+ = + =

1 2 1 3.

(

) 1

1 −

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

Ví dụ 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của

A = x +

3.≥x

1 x

, với

Ví dụ 12, GV gợi ý cách thêm bớt hạng tử tự do để có thể áp dụng bất đẳng thức Cô-si. Ví dụ 13, nhiều HS đã sai lầm vì áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si. Như vậy, khó khăn gặp phải của các em với bài toán này là không thể áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si vào giải quyết được, vì 3.≥x điều kiện của x là Để giúp các em phát hiện được vấn đề và tìm được cách giải quyết, GV có thể gợi ý cho HS sử dụng quan sát, thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng để phát hiện được giá trị x thỏa mãn và tìm phương án GQVĐ như sau: Cho x bởi một số giá trị thỏa mãn điều kiện 3≥x , tự nhiên nhất là hãy lần lượt cho x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn. Ta thu được kết quả:

x 1 x 6 ….. 30 ….. 1 1 6 30

1 30

1 6

Giải: Cách 1: Ta có A5 …..

≥

A = +

1 x 9 x

8 x 9

x 9

8.3 9

10 3

1 x

3 1 3 1 3 4 1 4 1 4 5 1 5 1 5

x 9

1 x

GV: Nhìn vào bảng biến thiên em thấy khi Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

1 x

x tăng thì giá trị của như thế nào? Độ 3x nhỏ nhất khi x nhỏ nhất ⇔ =x 3;

⇔ =x

10 3

tăng của a giảm như thế nào so với độ giảm Suy ra: A5 nhỏ nhất bằng khi

1 x

x 3.=

? (Khi x tăng thì càng nhỏ nhưng của

1 x

Cách 2: Ta có , độ tăng của x rất lớn so với độ giảm của

A = +

x .

9 x

8 − ≥ x

9 x

8 − ≥ 3

10 3

Dấu

9 x

“=” xẩy ra khi và chỉ khi ⇔ =x 3;

⇔ =x

8 x

lớn nhất khi x nhỏ nhất Suy

10 3

ra: A5 nhỏ nhất bằng khi x 3.= do đó a càng tăng thì tổng S càng lớn). Từ đó em suy ra được điều gì? GV: Từ đó dẫn đến dự đoán khi x = 3 thì A5 nhận GTNN. Nhưng đó vẫn chỉ là dự đoán! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ được điều dự đoán này?

A = x +

1 x

Ta thử biểu diễn (là biểu thức

mà ta đang quan tâm) qua các đại lượng liên quan đến bất đẳng thức Cô-si sao cho dấu bằng xẩy ra khi x 3= (yếu tố có liên

x =

α với

quan đến dự đoán của chúng ta). Khi đó, để áp dụng bất đẳng thức Cô-si thì chúng ta phải tách và nhóm biểu thức A sao cho

A = x + + (1 -

1 x

suy

α= hoặc

A = x + +

 α    = x 3 β 1 x

β− x

1 9

x =

ra với

9.β=

β x

    = x 3

suy ra

B = x +

1 x + 3

, a) Tìm giá trị nhỏ nhất của Từ đó, người học có thể giải bài toán bằng hai cách sau nhờ phân nhóm dữ liệu của bài toán hợp lý và chia bài toán ban đầu thành các bài toán quen thuộc, đơn giản hơn. *Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. *Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT các bài toán dạng tương tự và các biến thể của bài toán.

0.≥

với x (bằng cách đặt t = x + 3 để

đưa về bài toán ví dụ 9).

A = x +

1 x

≤

, b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

0 < x

t =

1 x

1 3 đưa về bài toán ví dụ 9).

≥

với (bằng cách đặt để

3y > 0.

Tìm giá trị nhỏ nhất c) Cho x

t =

B =

x y

+ y xy

của (bằng cách đặt

để đưa về bài toán ví dụ 9).

Với các bài toán tìm cực trị có điều kiện, trước hết người giải nên sử dụng TP quy nạp thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề; rồi phân nhỏ thành các bài toán cực trị thành phần hoặc tách biệt phần “cần thiết” để giải quyết

3. Củng cố:

GV: Để giải các bài toán cực trị của các biểu thức một biến, ta có thể sử dụng các thủ pháp nào? Trình bày các thủ pháp thường vận dụng với một số dạng toán cơ bản?

4. Hướng dẫn học ở nhà

= −

- Ôn lại các TP bổ sung yếu tố phụ (bài toán phụ, ẩn phụ); TP quy nạp thực nghiệm bằng cách thay biến bởi hằng để phát hiện vấn đề và phát hiện cách giải quyết vấn đề; TP phân nhỏ thành các bài toán cực trị thành phần; TP tách biệt phần “cần thiết” để tìm cực trị khi giải các bài toán cực trị cử biểu thức một biến. - Làm các bài tập sau:

−

Bài 1. a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

−

2016

(

)

)( −

a) . Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: )( 1

+ + 1

5 .

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

x +

− −

x 2 2 x

+ 22

16 x 8 −

6 −

+ x 2 ) 1

x (

Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

+ x 2 + 1

− 2 x + x 8 3 2 + x 1 4

Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

B = x +

1 x + 1

a) .

A = x +

5.≥x

1 x

≥

, với b) Tìm giá trị nhỏ nhất của

5y > 0.

B =

+ y xy

Tìm giá trị nhỏ nhất của c) Cho x

Giáo án tự chọn Hình học 9 (3 tiết)

BỔ SUNG HÌNH PHỤ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

I. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp học sinh biết bổ sung yếu tố phụ để giải các bài toán về

đường tròn.

2. Kĩ năng: - HS biết phân tích để tìm ra cơ sở bổ sung hình phụ trong giải toán về đường tròn. Từ đó, hình thành, khắc sâu TP bổ sung hình phụ dựa vào các đối tượng có trong hình vẽ (Chẳng hạn: Hình phụ là tiếp tuyến chung khi có hai đường tròn tiếp xúc; Hình phụ là đường nối tâm với trung điểm của dây khi có trung điểm của một

dây…); TP bổ sung hình phụ nhờ biến đổi tương đương kết luận;…

- HS bước đầu biết vận dụng TP bổ sung yếu tố phụ và phối hợp các TP, đặc

biệt là TP phân nhỏ để giải các bài toán về đường tròn nhờ vào bổ sung yếu tố phụ và khai thác, sáng tạo các bài toán mới.

II. Chuẩn bị:

1. Giáo viên: - Bài soạn: Giáo viên sử dụng thủ pháp bổ sung yếu tố phụ, thủ pháp phân

nhỏ đối tượng… thiết kế bài giảng.

- Máy chiếu, máy tính.

- Phiếu học tập.

2. Học sinh: - Biết cách phân tích bài toán, kỹ năng chọn ẩn, sử dụng thủ pháp đưa ra đại

diện hợp lý cho vấn đề (lập phương trình) để giải các bài toán thực tiễn.

- HS ôn lại các tính chất tiếp tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, tính

chất đường nối tâm.

- Bút dạ viết bảng, chia nhóm học tập.

III. Tiến trình DH

1. Hệ thống lại các kiến thức về đường tròn

Nội dung Hoạt động của GV và HS

Một số tính chất cơ bản

1) Tính chất của đường kính và dây, mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây:

- Trong các dây của đường tròn thì đường kính là dây lớn nhất.

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.

GV: Yêu cầu HS nhắc lại các tính tiếp về chất tuyến, tính chất hai tiếp tuyến cắt tính chất nhau, đường nối tâm.

- Đường kính đi qua trung điểm của một dây (dây không qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

2) Tính chất tiếp tuyến của đường tròn:

- Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

3) Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nha tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.

4) Tính chất đường nối tâm của hai đường tròn:

Đường nối tâm là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

2. Một số thủ pháp vẽ hình phụ giải các bài toán về đường tròn

Hoạt động của GV và HS Nội dung

1. Vẽ đoạn thẳng nối tâm với trung điểm của một dây trong các bài toán cho

trung điểm của một dây; vẽ đường kính vuông góc với một dây trong các bài

toán tính độ dài của một dây, so sánh độ dài của hai dây cung trong một đường

tròn…

- Giả thiết của bài toán là gì? (M nằm

trong đường tròn tâm O, M không trùng Ví dụ 1. Cho điểm M nằm trong đường tròn tâm O,

với O)

M không trùng với O. Chứng minh rằng trong tất cả những dây đi qua M thì dây vuông góc với OM là dây ngắn nhất. (Bài 16 SGK toán 9 tập 1)

xiên) suy ra Lời giải: Gọi dây AB là dây đi qua ⊥AB OM , CD là dây đi qua M và M và không trùng với dây AB. Ta

- Bài toán yêu cầu chứng minh cái gì? (trong tất cả những dây đi qua M thì dây vuông góc với OM là dây ngắn nhất). - Để chứng minh AB ngắn nhất ta làm thế nào? (qua M ta phải vẽ thêm dây CD khác AB và chứng minh CD > AB). GV có thể gợi ý để HS tìm được cách vẽ hình phụ dựa vào các câu hỏi sau: - Hãy trình bày cách so sánh hai dây của một đường tròn? (Trong hai dây của một đường tròn dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn). - Hãy so sánh khoảng cách OH (từ tâm O đến CD) và đoạn OM? Vì sao? (OH < OM vì đường vuông góc nhỏ hơn đường xiên. *Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán. *Yêu cầu HS kiểm tra lời giải, khai thác, phát triển BT - Phát biểu BT dưới dạng tìm tòi? Bài toán 1’. Cho điểm M nằm trong đường tròn tâm O, M không trùng với O. Tìm dây ngắn nhất (dài nhất) trong tất cả những dây đi qua M?

- Giả thiết của BT là gì? BT yêu cầu Ví dụ 2. Cho đường tròn (O) đường kính MN. Trên đường tròn lấy điểm P

chứng minh cái gì? (P khác M và N), tia MP cắt tiếp tuyến

Bài này câu a) khá đơn giản. Ở câu b) GV kẻ từ N của đường tròn tại điểm Q.

có thể đặt các câu hỏi phân tích đi lên để Gọi I là trung điểm của MP. Chứng

= ∠

HS tìm tòi lời giải:

NMQ

PNQ .

- Để có (*) ta thường chứng minh 2 tam minh rằng: a) ∠

MO IN MI OQ . (*)

∆MOQ) (trích đề thi tuyển sinh lớp 10 năm

N ). 1

giác đồng dạng, hãy chỉ ra 2 tam giác nào có các cạnh liên quan? (∆MIN - Để có ∆MIN học 2008-2009 tỉnh Hà Tĩnh) ∆MOQ ta chỉ cần chứng ∽ minh điều gì?

Lời giải: b) Nối O với

Q

∠ = ∠Q ( ∽ ∠ = ∠Q

N ta chỉ cần chứng

- Để có

1

có minh điều gì? (Tứ giác OIQN nội tiếp).

P

∠ - Tứ giác OIQN nội tiếp thì =OIQ ?.

I

⊥OI MP ).

ta I, ⊥OI MP (đường kính = Hay ° 90 . OIQ

1 M

N

O

đi qua trung của điểm ∠ ( Như vậy hình phụ cần bổ sung là đoạn OI. * Yêu cầu HS trình bày lời giải bài toán.

một dây). Suy ra tứ giác OIQN nội

∠ = ∠Q

N Nên

* Yêu cầu HS khai thác, phát triển BT tiếp. Do đó

MI MO = IN OQ

∆MIN~∆MOQ. Suy ra

= Hay . MO IN MI OQ (đpcm). .

Tương tự, ta nối O với I và phát biểu các bài toán mới, chẳng hạn: Chứng minh

;

=MN

MI MQ

d) = IN ON IP OQ . . .

Như vậy, với các bài toán có cho các dây và so sánh hay tính độ dài các dây; cho trung điểm một dây của đường tròn… nên vẽ đường nối tâm với trung điểm của dây để vận dụng tính chất đường kính đi qua trung điểm của một dây vào giải bài toán.

2. Vẽ đường kính của đường tròn với các bài toán có kết luận liên quan

OM , gợi cho ta

2=AH

đến độ dài của bán kính đường tròn hay liên quan đến hai lần khoảng cách từ tâm đến trung điểm của một dây

- Để chứng minh quan hệ giữa OM và AH như thế nào?

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H là trực tâm của tam giác ABC. Vẽ OM (OM là đường trung bình của một tam

vuông góc vuông BC (M khác B,C). giác có cạnh thứ ba là AH).

2=AH

OM .

Chứng minh rằng - Muốn tạo ra tam giác có cạnh thứ ba là

Lời giải: AH và đường trung bình là OM ta làm thế

nào? (Đường kính đi qua A (vì O là tâm Vẽ đường kính AOD. Khi đó tam giác

đường tròn nên gợi cho ta suy nghĩ đến

đoạn thẳng nào nhận O làm trung điểm)).

GV: Quan hệ đó là cở sở để giúp chúng

ta vẽ thêm yếu tố phụ là đường kính qua ACD vuông tại C ⊥CD AC , nên lại có H là trực tâm nên BH ⊥ AC suy ra BH // CD.

A. Tương tự ta có

OM .

CH // BD. Vậy BHCD là hình bình

hành. Mà M là trung điểm của BC nên M cũng là trung điểm của HD ⇒ 2=AH Các cách vẽ hình phụ khác:

Hãy tìm các cách vẽ hình phụ khác? C2: Vẽ đường kính BOE, tứ giác

AECH là hình bình hành nên AH =

GV: Đây là một tính chất “đẹp” của trực tâm tam giác, giúp giải quyết khá nhiều bài toán. Chẳng hạn, bài toán đường thẳng Euler…

2.4

2 R .

CE. Mà CE = 2OM suy ra đpcm C3: Vẽ ON vuông góc với AC, suy ra MN//AB, OM//AH, ON//BH nên các tam giác OMN và HIK đồng dạng với tỉ số 1/2. Suy ra đpcm. Khai thác kết quả bài toán để giải một số bài toán khác, chẳng hạn: Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp, H và G tương ứng là trực tâm, trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh H, G, O thẳng hàng (đường thẳng Ơ-le)

2 AK

thức cần chứng minh 2 R

Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD thay đổi thỏa mãn ⊥AC BD và tiếp luôn nội Từ đẳng = + AB 24R chính là giá trị bình phương Ta thấy của đường kính, từ đó gợi ngay cho ta vẽ đường kính của đường tròn, chẳng hạn vẽ đường kính AK. Vậy cần chứng tỏ AD AB trong một đường tròn (O; R) cố định.

28 R

Chứng minh rằng

Qua việc bổ sung hình phụ để giải các bài toán trên và một số bài toán

tương tự HS có thể khái quát được TP và GV cần nhấn mạnh: nên bổ sung hình phụ là đường kính của đường tròn trong các bài toán mà kết luận có liên quan đến độ dài bán kính đường tròn hay các bài toán liên quan đến khoảng cách từ tâm đến

hai lần khoảng cách từ tâm đến trung điểm của một dây.

090

BAC

3. Vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn tiếp xúc với nhau

∠

Ví dụ 5. Cho hai đường tròn ( O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B thuộc

BAC

∠ ta chỉ - Để chứng minh cần chứng minh điều gì? ( ∆ABC vuông tại A). - Muốn chứng minh ∆ABC vuông tại A ta chỉ cần cứng minh điều gì?

. đường tròn (O) và C thuộc đường tròn (O’). Chứng minh rằng

090 Lời giải: Vẽ tiếp tuyến

GV hướng dẫn thêm: Có những cách

nào để chứng minh một tam giác là

chung của hai tam giác vuông?

đường tròn

tại A cắt BC tại M. Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có MA = MB; MA = MC.

Do đó AM là đường trung tuyến và (Trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy, tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp, hoặc có một góc bằng 900). - Đối với bài toán này ta nên lựa chọn phương pháp nào?

BC 2

∠

∠ + ∠ = (Chứng minh ABC ACB ° 90 ; nên tam giác ABC vuông tại ∠ + ∠ Hay hoặc ° = ' 90 ; BAO CAO

BAC

090

. A hay

chứng minh trung tuyến ứng với cạnh BC bằng nửa cạnh BC). - Để chứng minh trung tuyến ứng với cạnh BC bằng nửa cạnh BC ta cần vẽ thêm yếu tố phụ nào? (Vẽ tiếp tuyến chung AM của hai đường tròn).

- Để chứng minh BC//DE ta cần chứng tỏ điều gì? (Chứng minh góc đồng vị bằng nhau hoặc góc so le trong bằng nhau,…). - Chúng ta có thể chứng minh được Ví dụ 6. Cho hai đường tròn (O;R) và (O’; r) (R > r) tiếp xúc trong tại A. Các dây AB, AC của đường tròn (O) cắt tròn đường tại các (O’)

= ∠

điểm thứ hai

ACB ).

AED

lần lượt tại D hai góc nào bằng nhau? ( ∠

và E.

Chứng minh rằng BC // DE.

Sau khi HS vẽ tiếp tuyến chung tại A và

thể hiện như hình vẽ thì bài toán dễ dàng

được chứng minh.

GV: Với các bài toán có cho hai đường tròn tiếp xúc, vẽ tiếp tuyến chung của

hai đường tròn làm xuất hiện góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây và nhờ mối liên hệ

giữa góc nội tiếp và góc tạo bởi tai tiếp tuyến và dây sẽ giúp ta giải được bài toán (tiếp tuyến chung cũng là yếu tố liên kết hai đường tròn với nhau).

4. Vẽ tiếp tuyến của đường tròn (song song với một đoạn thẳng) khi cần chứng

minh đường kính vuông góc với một đoạn thẳng đó

Ví dụ 7. Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp

đường tròn (O; R). Hai đường cao BD và CE. Chứng minh OA ⊥ DE. Lời giải: Vẽ tiếp tuyến xy của đường tròn (O) tại A, ta có OA ⊥ xy. (1) ∠ = ∠ ABC ( góc nội tiếp và góc tạo yAC

∠

= ∠

bởi tia tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung AC của đường tròn)

BDC

BEC

090

= ∠

ABC = ∠

Lại có

= ∠

nên BCDE là tứ giác nội tiếp, cho ta ∠ ADE Nên ∠ ADE ⇒ xy // DE (2). Từ (1) yAC GV yêu cầu HS tự mình tìm ra cơ sở để vẽ yếu tố phụ. Nếu HS vẫn chưa tìm ra thì GV có thể gợi ý: GV: Trong đường tròn có yếu tố nào sẽ vuông góc với bán kính? HS: Tiếp tuyến sẽ vuông góc với bán kính tại tiếp điểm. GV: Điều đó chính là cơ sở để giúp chúng ta tìm ra yếu tố phụ cần vẽ. và (2) suy ra OA ⊥ DE.

GV: Để c/m ∠ DAB ta có MAE thể c/m trực tiếp không ? Nếu không Ví dụ 8. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M. Vẽ cát tuyến MCD (C nằm

= ∠

thì ta chứng minh như thế nào? HS: Chứng minh hai góc cùng bằng

DAB .

MAE

giữa M và D). Gọi E là giao điểm của BC và OM. Chứng minh ∠ góc thứ ba.

Lời giải

GV: ∠MAE bằng những góc nào? Nếu HS không tự mình nghĩ ra thì

∠

+ ∠

MAO

MNO

180

GV có thể gợi ý : (O)). Tứ giác AMNO thuộc Vẽ tiếp tuyến MN của đường tròn (O), (N có

GV: Ta có MA là 1 tiếp tuyến, E thuộc MO, điều đó giúp ta nghĩ tới

yếu tố nào có vai trò tương tự như

MA?

HS: Tiếp tuyến thứ hai kẻ từ M.

GV: Đó chính là yếu tố phụ mà

chúng ta cần vẽ.

GV hướng dẫn HS vận dụng thủ

pháp tương tự trong việc tìm ra cở

tiếp sở để vẽ yếu tố phụ.

NAO

NME

= ∠

NAB (Hai góc nội tiếp cùng

= ∠

NCE , suy ra tứ giác

tứ giác AMNO nội = ∠

MNE

= ∠

= ∠ có MN=MA; ∠

NME

DCB  và MAE AME (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); ME

Do đó ⇒ ∠ Mà ∠ NCE chắn cung BN). Do đó ∠ NME MNEC nội tiếp ⇒ ∠

 = MAE

(c.g.c)

= ∠

MNE

= ∠

chung ⇒ ∠ ⇒ MNE  MAE .

DCB

DAB ( Hai góc

Mặt khác : ∠

∠

DAB .

MAE

nội tiếp cùng chắn cung BD). = ∠ Vậy

GV nhấn mạnh: với các bài toán có kết luận đường kính (bán kính) vuông góc với một đường thẳng (đoạn thẳng) nào đó (không phải là dây của đường tròn) nên vẽ tiếp tuyến của đường tròn song song với đường thẳng đó để sử dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm và tính chất một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.

5. Vẽ dây chung và đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau

Ví dụ 9. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B . Qua A vẽ một cát tuyến EAF

trong đó E thuộc đường tròn (O1) và F thuộc

đường tròn (O2). Chứng minh rằng đường

trung trực của EF luôn đi qua một điểm cố

định.

GV: Thông thường điểm cố định Lời giải: Vẽ dây chung AB và các đường

kính AO1C, AO2D.

∠

= ∠

ABC

ABD

090

phải nằm liên quan đến một yếu tố cố định nào đó. do đó ba điểm

GV: Hãy phát hiện ra yếu tố cố Ta có B, C, D thẳng hàng và CD cố định,

∠

AEC

0 90 ;

AFD

định đó. , suy ra

HS: AB là dây chung cố định EC// FD. GV: AB cố định thì đường vuông Nên tứ giác góc với AB tại B có cố định CEFD là hình không? thang vuông, GV: Từ đó ta nghĩ đến việc vẽ khi đó đường thêm các yếu tố phụ nào? trung trực của

HS: Dây AB và các đường kính AO1C, AO2D. đoạn EF đi qua trung điểm I của CD nên I là điểm cố định.

Ví dụ 10. Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B. Vẽ hình bình hành O1BO2C . Chứng minh rằng AC // O1O2.

Lời

⊥

là trung trực của AB

GV: Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm có tính chất gì? HS: Đường nối tâm là trung trực của dây chung. GV: Điều này gợi cho chúng ta vẽ thêm yếu tố phụ nào? HS: Vẽ thêm dây chung AB để có O1O2 là trung trực của AB giải: Vì hai đường tròn (O1) và cắt (O2) nhau tại A và B nên

2⇒ O O 1

O1O2

(1). Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành O1BO2C thì IB = IC

⇒ ⊥AC AB (2) . Từ (1) và (2) ta có:

Vì I thuộc O1O2 nên IA = IB ; suy ra IA =IB =IC hay tam giác BAC vuông tại A

AC // O1O2.

Ví dụ 11. Cho hình vuông ABCD. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (D; DC) chúng cắt nhau tại một điểm thứ hai là E.

Tia BE cắt DC tại M. Chứng minh rằng M là

trung điểm của DC. HD giải: GV yêu cầu nhận ra đặc điểm của

bài toán là hai đường tròn cắt Nối A với E, D với

nhau, từ đó các em biết cách vẽ có

thêm hình phụ là dây chung AE

và đường nối tâm OD. có:

(tính

Ta O. ° ∠ = 90 AEB ⇒ ⊥BE AE . Ta lại ⊥OD AE chất dây chung)

Suy ra BE // OD.

= MD OB

Mặt khác OB//DM nên tứ giác OBMD là hình

. CD

1 2

bình hành nên:

Do đó M là trung điểm của CD.

GV: Đối với hai đường tròn cắt nhau, đường nối tâm là đường trung trực của

dây chung, nên để làm xuất hiện yếu tố liên quan đến cả hai đường tròn ta thường vẽ thêm yếu tố phụ đó là dây chung của hai đường tròn và đường nối tâm của hai đường tròn đó. Dây chung đóng vai trò là yếu tố trung gian kết nối giữa hai đường tròn

6. Vẽ bán kính đi qua tiếp điểm khi có tiếp tuyến

GV gợi ý để HS biết vẽ thêm bán kính đi qua tiếp điểm N thì câu a) trở nên rất dễ. Nếu HS thể được các góc bằng nhau như hình vẽ thì các em cũng dễ dàng làm được câu b)

Ví dụ 12. Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm N, CN cắt AB tại M. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N ở điểm P. Chứng minh rằng: a) OMNP là tứ giác nội tiếp. b) Tứ giác CMPO là hình bình hành.

∠

090

ONP

1 1

Lời giải: Ta a) có

∠

090

OMP

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), lại có

M (so le trong)

∠ = ∠C

(giả thiết). Nên tứ giác OMNP nội tiếp đường tròn đường kính OP (1). b) Do OC // MP (⊥ AB) ⇒

∠ = ∠C

N (vì ∆CON cân tại O) nên

∠ = ∠N

M , lại có

∠ = ∠O

M (do (1)), Suy ra

∠ = ∠N

O ⇒ CM // OP.

mà

Mặt khác OC // MP nên tứ giác CMPO là hình

bình hành.

Qua một số bài toán khác có giả thiết là tiếp tuyến với một đường tròn, HS

cũng thấy được hình phụ phải bổ sung cũng là đoạn thẳng nối tâm với tiếp điểm.

Từ đó, họ cũng có thể hình thành và khắc sâu TP bổ sung hình phụ là đoạn thẳng

nối tâm với tiếp điểm để giải các bài toán dạng này.

8. Khi có hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau nên vẽ đoạn nối giao

điểm với tâm, dây nối hai tiếp điểm.

GV hướng dẫn, gợi ý qua các câu hỏi Ví dụ 13. Từ điểm A nằm ngoài đường

giúp HS biết vẽ đường phụ là đoạn nối

tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ACD với đường tròn (A, B, C, D ∈ (O)). Chứng minh rằng: a) SAIB là tứ giác nội tiếp. b) IS là tia phân giác của góc AIB. Lời giải:

giao điểm các tiếp tuyến với tâm SO và dây nối hai tiếp điểm AB từ đó dễ dàng giải được bài toán nhưu bên. Nếu HS không biết kẻ thêm một số đường cơ bản thì đây sẽ là bài toán khó nhưng nếu HS biết kẻ thêm như trên thì bài toán trở nên khá dễ dàng.

∠

b) Do I là trung điểm của dây

SIO

090

, lại có

SBO

SAO

∠ = ∠I

B mà

A , 1

∠ = ∠A

∠ = ∠I

I . 2

CD ⇒ OI ⊥ CD hay ° = ∠ ∠ (tính chất

tiếp tuyến) suy ra A, I, B thuộc đường tròn đường kính SO, do đó tứ giác SAIO nội tiếp đường tròn đường kính SO (1) a) Từ (`1) ⇒ ∠ = ∠I B (= Sđ AB /2) nên Vậy IS là tia phân giác của góc AIB.

Ví dụ trên cũng chỉ ra rằng khi có tứ giác

nội tiếp thì chúng ta nên vẽ hai đường

chéo để vận dụng các cặp góc bằng nhau.

3. Củng cố:

GV: - Để giải các bài toán về đường tròn, ta có những TP vẽ hình phụ nào? Các dạng toán có thể vận dụng những TP đó?

- Ngoài ra, trong các bài toán có đa giác (tam giác, tứ giác) nội tiếp thường

vẽ thêm hình phụ là các đường tròn ngoại tiếp để sử dụng các tính chất liên quan.

4. Hướng dẫn học ở nhà

- Ôn lại các thủ pháp vẽ yếu tố phụ để giải các bài toán về đường tròn. - Làm các bài tập sau: Bài 1. Cho đường tròn (O;R), dây AB bất kỳ và tiếp tuyến Ax. Vẽ BH ⊥ Ax. Chứng

2AB BH

minh rằng tỉ số luôn không đổi.

∠

Bài 2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC ⊥ AB rồi từ C vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với AB và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Chứng minh rằng tâm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy. Bài 3. Cho đường tròn (O; R) và điểm K bên trong đường tròn đó sao cho OK = r . Vẽ đường tròn (K; r); vẽ dây AB của đường tròn (O) tiếp xúc với đường tròn (K) tại M. Xác định vị trí của dây AB để tổng S = MA2 +MB2 có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó. Bài 4. Cho đường tròn (O;1). Lấy điểm A cố định trên đường tròn. Vẽ tam giác MAB vuông tại M, AB là một dây của đường tròn (O). Tìm giá trị lớn nhất của OM. Bài 5. Cho hai đường tròn ( O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Điểm B thuộc

BAC

090

. Gọi H là hình chiếu của A trên

(O) và điểm C thuộc (O’) sao cho BC. Xác định vị trí của B và C để AH lớn nhất.

Phụ lục 5: ĐỀ KIỂM TRA SAU CÁC ĐỢT THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM

Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ nhất

Đề môn Toán lớp 8 (Thời gian 60 phút)

Câu 1 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn với H là trực tâm tam giác. Các

đường thẳng AH, BH, CH cắt BC, AC, AB lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng:

' HA AA'

S = BHC S ABC

a) .

' '

HA HB HC CC BB AA

b) .

HA HB HC + ' BB CC AA

c) Tính giá trị biểu thức

AA CC BB HA HB HC

' '

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

−

e) Nếu H không là trực tâm tam giác ABC thì kết quả câu b) còn đúng không?

+ . 8

− = 6 0.

Câu 2 (2,0 điểm). Phân tích thành nhân tử:

2000 5

− 1986 29

Câu 3 (3,0 điểm). a) Giải phương trình − − 1993 11

b) Hãy phát biểu và giải bài toán trong các trường hợp tương tự, trường hợp

tổng quát?

. HA BC

BHCS

1 2

AA BC .

ABCS

HA BC .

BHC

Đáp án và biểu điểm: Nội dung Điểm Câu a) Ta có 0,5 đ

⇒

S S

ABC

AA BC .

BHC

(5,0đ)

1 2 1 2 S S

ABC

AHC

HAB

Vậy (1) 0,5 đ

S S

CAB

ABC

(2) ; (3) b) Tương tự câu a ta có: 0,5 đ

Cộng vế với vế, ta được:

HBC

HBA

HAC

ABC

HA HB +

= 1

S S

ABC

0,5 đ

− AA HA

= − 1

AA HA HB HC

0,5 đ c) Ta có

⇒

AA HA HB −

−

= − 3

= ; y

= z

= ; x

0,5 đ

+ +

d) Đặt

Bài toán đưa về: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x

1 x

1 + + = . z

1 y

+ + ≥

biết

⇒ ≥ 1

⇒ + + ≥ y

1 y

9 + + y

1 1 x z Dấu bằng xẩy ra

9 + + x y ⇔ = = z y x

Ta có:

⇔

HB HC HA HB +

0,5 đ

= 1

AA HB

BB HC

⇒

CC 1 = 3

Mặt khác:

. . Mà H là trực tâm ABC∆

+ HA HB ⇔ ∆ ABC

Suy ra, H là trọng tâm của ABC∆ Do đó ABC∆ đều. AA bằng 9. Vậy GTNN của 0,5 đ

0,5 đ Dấu bằng xẩy ra đều. e) Tương tự chứng minh câu b) ta thấy nếu H là điểm nằm ở

miền trong tam giác ABC và H không là trực tâm thì kết quả 0,5 đ

câu b) vẫn đúng.

12 2

−

0,5 đ 2

)

(

) 1

+ 8 ) ( 1

y ( −

0,5 đ (2,0đ)

− ) + 9 )( 2 2

y )

−

1,0 đ Ta có: ( (

− = (*) 6 0.

2000 5

− 1993 11

− 1986 29

−

0,5 đ Giải phương trình

− 1986 29

2000 5

  

  

  

  

(*)  1,0đ Ta có: −  x   3

x⇔ −

= 2015 0

x⇔ =

2015.

2015

( ⇔ − x

   1 1 5 11 29

− 1993 11   

 ) 1  

0,5 đ (4,0đ)

HS phát biểu và giải bài toán tương tự khi thay các hằng

số bởi các số thực khác thỏa mãn điều kiện tương tự như bài 0,5 đ

toán trên hoặc khi thay yêu cầu giải phương trình bởi giải bất

+ + ...

+ kx b 2 a 2

+ kx b 1 a 1

...

+n b m n

.a , n

Trong đó: dạng: phương trình. Từ đó các em phát biểu được bài toán tổng quát: Giải các phương trình hoặc bất phương trình có thể đưa về + kx b n a n

1 m

+ b m 1 1 + + ...

+ b m 2 2 m

= =n

+ + ...

m n

m 2

m 1

+ kx b 2 a

+ kx b n a

+ kx b 1 a 1

  

  

  

  

  

+ m m 2 Bằng cách tổ chức lại dữ liệu vế trái, như sau:    Từ đó, ta có lời giải bài toán.

0,5 đ

Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng, đều cho điểm tối đa.

Đề kiểm tra đợt thực nghiệm thứ hai Đề kiểm tra số 1: Đại số lớp 9 (Thời gian 60 phút)

Câu 1 (4,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

A 1

−

. a)

= − 2 ( x x

x 8 )(

)( 4 7

) x .

A 2

Hãy phát biểu bài toán dưới dạng tìm giá trị nhỏ nhất? Sau đó phát biểu và

giải bài toán tổng quát của?

Câu 2 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B 1

− −

x 3 2 x

x 8 x 2

+ 6 + 1

. a)

+ +

Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách?

= − x

5 7.

B 2

1 +

Câu 3 (3,0 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .

Hãy phát biểu và giải bài toán tương tự?

−

= − 2

+ − 4

Đáp án và biểu điểm: Nội dung

A 1

1 2

9 2

  

  

  

  

−

= −

−

= − 2

(

)

Ta có:

9 2

  

  

Điểm 0,5 đ 0,5 đ Câu

−

≥ ⇔ − 2

≤ . 0

)

−

Do (

+ ≤ dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

= − 2

( )2

(

A 1

−

= ⇔ = x 2.

Suy ra: 1 (4,0đ)

( Vậy

x =

9A = khi và chỉ khi

)2 max

0,5 đ 0,5 đ

−

)

(

)(

)

(

)(

)

=  

   

 = 

−

= −

−

A 2 (

3 )

= −

−

= −

+ . Khi đó:

b) Ta có:

( 7 )( 2 7 −

(

)(

)

A 2

. Đặt

A ≤

y ≥ nên 0

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ . Suy ra: A2 đạt giá trị lớn nhất bằng 36 Do

1x⇔ = hoặc

x = 6.

−

2 7 x− (

+ = 6 0 ) − + 1

khi và chỉ khi

B 1

y = , suy ra ) ( + − 1 2 2 ) ( − 1

−

(

) − + 1

= − 3

x 2

2 −

−

1 −

) 1 (

( ) 1

(

) 1

−

+ +

1 2

1 −

 1  − 1x

  

  

  

−

≥

a) Ta có:

B ≥ . Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

 1  − 1x

  

nên Vì

− = ⇔ − = ⇔ =

1 0

1 1

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

2 (3,0đ)

1 −

Vậy minB1 = 2 khi và chỉ khi x = 2.

−

+ + = 5 2

+ + 5

(

)

(

B 2

1 2

1 4

7 4

  

  

+ − 5

1 2

7 4

  

  

≥

b) Ta có:

+ − 5

1 2

  

  

+ = ⇔ = −

= ⇔ = −

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi Ta có 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

1 2

19 4

7 2

19 4

−

. Vậy: MinB2 .

+ + 2

1 +

+ , điều kiện

. b) Ta có:

t ≥ Ta có

1 = + − . t

Đặt 0,5 đ

t ≥ ta có

D t 2

1 = + , với t

≥

D 2

t = + 4

t 4

3.2 4

5 2

1 3 x + 4 t

1 t

Xét biểu thức

= và 3t nhỏ nhất khi t nhỏ nhất

t 4

3 (3,0đ) Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi

t⇔ = Suy ra: D2 nhỏ nhất bằng

0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ

khi t 2.=

1 t 5 2 + = ⇔ = 0.

= ⇔ = Suy ra: MinC2

Khi đó:

x 5 2

1 = − = ⇔ = 0. 2

5 2

Vậy: MinD2

1,0đ ) b) Học sinh phát biểu và giải được bài toán tương tự khi thay

hằng số 2 bởi một số thực dương bất kỳ.

Lưu ý : Mọi cách giải khác đúng, đều cho điểm tối đa.

Đề kiểm tra số 2: Hình học lớp 9 (thời gian 60 phút)

Câu 1 (2,0 điểm). Trong hình bên, có một băng giấy hình chữ nhật che khuất một phần đường tròn (O). Cho biết AB = 1cm; BC = 4cm; MN = 2cm. Tính độ dài của đoạn thẳng NP (hình bên).

Câu 2 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC nho ̣n nô ̣i tiếp đườ ng trò n (O; R). Hai đườ ng cao củ a tam giác ABC là BD và CE. Chứ ng minh rằng:

⊥OA ED .

∈

);

(

a) Tứ giác BCDE nô ̣i tiếp đườ ng trò n. b)

∠

+ ∠

= ∠

+ ∠

AEC

ADB

ACE .

Vẽ các cát tuyến chung BAC, DAE (trong đó Câu 3 (4,0 điểm). Cho hai đườ ng trò n (O; R) và (O’; R’) tiếp xú c ngoài ta ̣i A. B D O C E O ). Chứ ng minh: (

(

)

;O R và ( )

'O R tiếp xú c trong với nhau ta ̣i A.

a) ABD b) BD // CE. c) Hãy phát biểu và chứng minh bài toán trong trường hợp hai đườ ng trò n

Đáp án và biểu điểm: Nội dung

OK NP⊥

cắt BC tại H. Điểm Câu Vẽ

0,5 đ Suy ra NK = KP.

Ta có: NP // BC (các cạnh

0,5 đ đối của hình chữ nhật). Nên 1

OH BC⊥

do đó BH = HC. (2,0đ)

0,5 đ Mà BC = 4cm nên BH =

2cm. Suy ra AH = AB + BH = 3cm.

Mặt khác: AMKH là hình chữ nhật (tứ giác có 4 góc vuông),

0,5 đ nên AH = MK, do đó MK = 3cm. Suy ra NK = MK - MN = 1 cm

Do đó: NP = 2.NK = 2 (cm).

a) Vì:

⊥

⇒ ∠

EC AB gt

(

)

BEC

0,5 đ

⊥

⇒ ∠

BD AC gt

(

)

BDC

0 90 .

0,5 đ

1,0 đ

0,5 đ Do đó BEDC nô ̣i tiếp đườ ng trò n đườ ng kı́nh BC. b) Kẻ tia tiếp tuyến Ax củ a (O) (4,0đ)

∠

= ∠

ACB

0,5 đ (góc nội tiếp và góc giữa tiếp tuyến với như hı̀nh vẽ: xAB Ta có:

dây của đường tròn (O) cùng chắn cung AB).

∠

= ∠

AED

0,5 đ (cùng bù Mà BEDC là tứ giác nô ̣i tiếp nên ACB

∠

= ∠

xAB

AED

0,5 đ với góc BED). Suy ra nên Ax // ED.

∠

+ ∠

= 0

180 .

180

BAD + ∠ = ∠

0,5 đ .

∠

+ ∠

AEC EAC + ∠

ABD

ADB ABD = + ∠ ACE ( đố i đı̉nh) = ∠ AEC

0,5 đ

= ∠ = ∠

(4,0đ)

∠ xAB ∠ yAC

ADB AEC . (đố i đı̉nh)

yAC AEC

0,5 đ

0,5 đ a) Ta có ∠ EAC Và ∠ Mà BAD Suy ra ACE . ADB b) Vẽ tiếp tuyến chung xAy củ a (O) và (O’) Xét (O) ta có : Xét (O’) ta có : = ∠ ∠ xAB Mà = ∠ ⇒ ∠ ABD Do đó: BD // EC.

0,5 đ

∈

1,0 đ

);

(

∠

= ∠

+ ∠

ADB

AEC

ACE .

c) HS biết phát biểu và chứng minh bài toán: Cho hai đườ ng trò n (O; R) và (O’; R’) tiếp xú c trong với nhau ta ̣i A. Vẽ các cát tuyến chung ABC, ADE (trong đó B D O C E O ). ,

Chứ ng minh: + ∠ i) ABD ii) BD // CE.