Luận án Tiến sĩ Toán học: Đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

LƯU THỊ HIỆP

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

LƯU THỊ HIỆP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460102

Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Phư

Trường ĐH Quang Trung

Phản biện 2: GS.TS. Đặng Đức Trọng

Trường ĐH Khoa học tự nhiên-ĐHQG TP. Hồ Chí Minh

Phản biện 3: TS. Phạm Quý Mười

Trường ĐH Sư phạm-ĐH Đà Nẵng

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. PHAN THANH NAM

BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020

Lời cam đoan

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phan Thanh Nam. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó.

Người hướng dẫn Tác giả

PGS. TS. Phan Thanh Nam Lưu Thị Hiệp

Lời cảm ơn

Luận án này được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của Thầy, PGS.TS Phan Thanh Nam. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy.

Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán và Thống Kê trường Đại học Quy Nhơn đã tạo các điều kiện thuận lợi trong quá trình tác giả học tập tại Trường. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất cả các Thầy, Cô giáo trong Khoa đã giúp đỡ, động viên và nhiệt tình truyền đạt nhiều kiến thức quý báu trong suốt thời gian qua. Đặc biệt, tác giả rất biết ơn các Thầy, Cô giáo trong bộ môn giải tích đã dành thời gian đọc bản thảo Luận án và có nhiều góp ý quý báu giúp Luận án được hoàn thiện hơn.

Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến các nhà khoa học trong hội đồng đánh giá Luận án các cấp vì đã đọc bản thảo của Luận án và có những ý kiến vô cùng quý báu để tác giả hoàn thiện Luận án.

Tác giả xin cảm ơn các anh chị nghiên cứu sinh đã quan tâm, chia sẻ, trao đổi

chuyên môn trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Quy Nhơn.

Cuối cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, những người luôn yêu thương, bên

cạnh, chia sẻ và động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành Luận án.

MỤC LỤC

Danh mục các ký hiệu iii

Danh mục các hình vẽ, đồ thị iv

Danh mục bảng v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 7

1.1 Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.1 Mô hình thực tiễn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2 Hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.1.3 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu . . . 13

1.2.1 Hệ vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.1 Một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hàm Lyapunov . . . . 17

1.3.2 Hệ dương và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Hệ suy biến và một số bổ đề liên quan . . . . . . . . . . . . . . 21

Chương 2. Tính ổn định của hệ tuyến tính có trễ 22

2.1 Một số phát triển gần đây đối với phương pháp hàm Lyapunov . . . . . 22

2.2 Hệ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Hệ vi phân suy biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chương 3. Đánh giá trạng thái của hệ có trễ và nhiễu bị chặn 49

3.1 Một số phát triển gần đây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân . . . . . . . . . . . 51

3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính dương . . . . 65

3.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương không có nhiễu 68

3.3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu . . . 71

KẾT LUẬN 78

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 79

TÀI LIỆU THAM KHẢO 79

CHỈ MỤC 90

Danh mục các ký hiệu

0,+)

: Tập hợp các số phức : Tập hợp các số thực (dương, không âm) : Tập hợp các vectơ thực (không âm) n chiều : Tập hợp các ma trận thực (không âm) n × m C R (R+, R0,+) Rn (Rn Rn×m (Rn×m 0,+ )

chiều

N N0 AT A−1 rank(A) det(A) σ(A) λmax(A) ρ(A) s(A) A > (≥) 0 : {1, 2, 3, . . . } : {0} ∪ N : Ma trận chuyển vị của ma trận A : Ma trận nghịch đảo của ma trận A : Hạng của ma ma trận A : Định thức của ma trận A : Tập các giá trị riêng của ma trận A : Giá trị riêng lớn nhất của ma trận A : max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ của ma trận A : max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)} : Ma trận A là ma trận đối xứng xác định dương

(không âm)

A (cid:31) ((cid:23)) 0 : Tất cả các phần tử của ma trận A là dương

(không âm)

: aij > (≥) bij, i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}

: Ma trận đơn vị cấp n : Hạng tử đối xứng trong một ma trận đối xứng : Biểu thị vectơ bên phải ở dạng bậc hai đối xứng : Vectơ x dương (không âm), A, B ∈ Rn×m, A (cid:31) ((cid:23)) B X ∈ Rn×n, Sym{X} = X + X T In (cid:48)∗(cid:48) [(cid:63)] x = [x1 x2 ... xn]T (cid:31) ((cid:23)) 0

nghĩa là xi > (≥) 0 với mọi i ∈ {1, . . . , n}

x, y ∈ Rn, x (cid:31) ((cid:23)) y : x − y (cid:31) ((cid:23)) 0 (cid:34) (cid:35)

0,+ : x (cid:22) q}, hình cầu trong Rn

0,+

col{x, y}, x, y ∈ Rn×m :

B(0, q) deg(P ) C([a, b], Rn) x y : {x ∈ Rn : Bậc của đa thức P (s) : Tập tất cả các hàm liên tục trên [a, b] và nhận

||x(t)|| giá trị trên Rn với chuẩn ||x|| = max t∈[a,b]

iii

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Trang

Hình 1.1 Quá trình gia công kim loại 8

Hình 1.2 Mô hình rung động tái sinh 8

Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển 9

Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng 9

Hình 1.5 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5) 14

Hình 1.6 Tập bất biến của hệ (1.5) 14

Hình 1.7 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7) 16

Hình 1.8 Tập bất biến của hệ (1.7) 16

Hình 3.1 Bao tập đạt được là hình elipsoid [105] 50

Hình 3.2 Bao tập đạt được là hình đa diện [65] 50

Hình 3.3 Quỹ đạo hệ thống và các chặn 62

75 Hình 3.4 Các quỹ đạo của x1(t) và chặn của nó

75 Hình 3.5 Các quỹ đạo của x2(t) và chặn của nó

76 Hình 3.6 Các quỹ đạo của x3(t) và chặn của nó

76 Hình 3.7 Các quỹ đạo của y1(t) và chặn của nó

76 Hình 3.8 Các quỹ đạo của y2(t) và chặn của nó

Danh mục bảng

Trang

Bảng 2.1 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 40; 50

của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37

Bảng 2.2 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 60; 70

của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37

Bảng 2.3 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 30

của Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 38

Bảng 2.4 Các cận trên cho phép h2 với h1 khác nhau của Ví dụ 2.1, trường hợp (ii) 38

Bảng 2.5 Các cận trên cho phép, h2, với các giá trị khác nhau

39 của µ và h1 (Ví dụ 2.2)

Bảng 2.6 Các cận trên h với các giá trị khác nhau của µ 48

Bảng 3.1 Các cận tính được 62

Bảng 3.2 Thuật toán tính cận trạng thái thành phần 74

MỞ ĐẦU

Trong các hệ điều khiển, thông tin/dữ liệu được truyền tải qua các băng tầng kết nối. Do đó, thông tin truyền tải giữa nơi phát đi và nơi nhận được thường trễ sau một khoảng thời gian. Trễ thời gian (gọi ngắn gọn là trễ) là một trong những nguyên nhân dẫn đến tính không ổn định và hiệu suất kém (poor performance) của hệ thống [27, 30, 32, 44]. Các hướng nghiên cứu về ổn định, điều khiển và quan sát cho các lớp hệ có trễ là các chủ đề quan trọng trong lý thuyết điều khiển và đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước như Hale J. [32], Kharitonov V.L. [30], Boyd S. [8], Fridman E. [27], Seuret A. [83], Park P.G. [76], He Y. [35], Trinh H. [96], Phat V.N. [2], Son N.K. [41], Du N.H. [20], Linh V.H. [10], Thuan D.D. [19], Ngoc P.H.A. [72], Nam P.T. [63], Hien L.V. [40], Huong D.C. [95], Thuan M.V. [94], . . . . Bên cạnh các yếu tố độ trễ thời gian thì yếu tố nhiễu là không thể tránh khỏi trong hầu hết các hệ thống thực tế. Trong trường hợp nhiễu không biết và biến thiên, tính ổn định của hệ có nhiễu nói chung là không được đảm bảo. Trong trường hợp này, người ta thường giả thiết nhiễu biến thiên trong một khoảng bị chặn. Khi đó, thay vì nghiên cứu tính ổn định thì người ta xét bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ động lực có nhiễu. Bài toán đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu là bài toán tìm một tập bị chặn nhỏ nhất có thể sao cho trạng thái của hệ thống hội tụ vào trong tập đó. Trường hợp đặc biệt, khi đánh giá cho các trạng thái xuất phát từ điểm gốc thì bài toán đánh giá trạng thái trở thành bài toán tìm bao tập đạt được. Năm 2003, bài toán tìm bao tập đạt được, lần đầu tiên, được xét cho các hệ tuyến tính có trễ trong [28] và bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ có trễ được phát triển mạnh mẽ trong các năm gần đây [25, 45, 47, 62, 64, 65, 66, 67, 70, 91, 94, 96, 109, 110].

Phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng, được sử dụng phổ biến thông qua việc xét lớp hàm Lyapunov phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ được thiết lập. Với các lớp hệ tuyến tính có trễ, các điều kiện đủ đó thường được biểu diễn dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính và có thể kiểm tra, giải được bằng các công cụ giải số và các thuật toán lồi. Các điều kiện ổn định đó có thể chia thành hai loại: (I) các điều kiện ổn định độc lập với độ trễ; (II) các điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ. Thực tế cho thấy các hệ có trễ thường chỉ ổn định với một độ trễ nhất định. Vì vậy, các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc độ trễ (II) có nhiều ứng dụng và được quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ trong những năm gần đây. Để cải thiện các điều kiện ổn định phụ thuộc vào trễ sao cho có thể tăng khoảng biến thiên của độ trễ đến mức lớn nhất có thể hoặc sử dụng ít nhất các biến quyết định trong khi vẫn giữ nguyên độ trễ tối đa, các nhà nghiên cứu đã phát triển hai hướng:

(1) Đề xuất các lớp hàm Lyapunov mới, mở rộng, sử dụng nhiều thông tin của trạng thái hệ thống hơn;

(2) Đưa ra các kỹ thuật đánh giá chặt hơn đối với đạo hàm của hàm Lyapunov.

Với hướng nghiên cứu thứ nhất, một trong những cách để mở rộng các lớp hàm Lya- punov là người ta thường xây dựng các lớp hàm Lyapunov càng tổng quát, càng chứa nhiều thông tin về trạng thái thì tiêu chuẩn ổn định thu được càng tốt, càng dễ thỏa mãn hơn như mở rộng hạng tử toàn phương [12, 34], thêm các hạng tử tích phân ba lớp và bốn lớp [79, 90], sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ [18, 24]. . . . Với hướng nghiên cứu thứ hai, để cải tiến kỹ thuật đánh giá đạo hàm của các hàm Lyapunov, một trong những bất đẳng thức được sử dụng phổ biến nhất là bất đẳng thức tích phân Jensen [29]. Gần đây, để đánh giá chặt hơn đạo hàm các hàm Lyapunov, bất đẳng thức tích phân dựa trên Wirtinger [83] (bất đẳng thức đánh giá chặt hơn bất đẳng thức Jensen và để ngắn gọn gọi là bất đẳng thức tích phân Wirtinger), bất đẳng thức tích phân Wirtinger mở rộng [38], bất đẳng thức Bessel-Legendre [50, 84], bất đẳng thức tích phân dựa trên ma trận tự do [100] đã được thiết lập và đề xuất sử dụng. Ngoài ra, với các lớp hệ có trễ biến thiên, kết hợp kỹ thuật phân hoạch, các bất đẳng thức lồi đảo [49, 77, 85, 86, 102]. . . cũng được sử dụng một cách hữu hiệu để tăng khoảng biến thiên độ trễ.

Phương pháp hàm Lyapunov cũng được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái/bao tập đạt được cho các hệ có trễ và nhiễu bị chặn với đạo hàm của hàm Lyapunov được đánh giá phụ thuộc vào các cận của nhiễu [8]. Để thu được đánh giá trạng thái chặt hơn, người ta không những cải tiến các lớp hàm Lyapunov mà còn đưa ra các kĩ thuật đánh giá chặt hơn cho đạo hàm của các hàm Lyapunov, nhiều kết quả về đánh giá trạng thái/bao tập đạt được đã được công bố trong [25, 36, 45, 47, 62, 65, 67, 91, 109, 110]. Tuy nhiên, đối với phương pháp này, người ta thường đánh giá trên toàn bộ vectơ trạng thái. Do đó, để thu được các đánh giá trạng thái/bao tập đạt được nhỏ nhất có thể, bên cạnh việc phát triển phương pháp hàm Lyapunov, một số kỹ thuật đánh giá trạng thái cũng được đề xuất, như đánh giá từng thành phần của trạng thái [66, 70, 91] và tổng quát hơn nữa là đánh giá hàm tuyến tính trạng thái [64, 65].

Một hướng nghiên cứu đang được phát triển gần đây tập trung vào việc mở rộng phương pháp hàm Lyapunov cho bài toán ổn định cho các lớp hệ tuyến tính mà cả trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn. Kỹ thuật chính là việc đề xuất sử dụng các lớp hàm Lyapunov với các ma trận biến thiên phụ thuộc trễ thay vì các ma trận hằng. Khi đó, thông tin chặn đạo hàm của trễ được khai thác và một vài kết quả cải tiến hơn đã được đề xuất [48, 96, 103]. Tuy nhiên, các kết quả này chỉ mới nghiên cứu cho lớp hệ vi phân và chưa khai thác nhiều cho lớp hệ sai phân. Trong Luận án, chúng tôi phát triển kỹ thuật này cho lớp hệ sai phân và lớp hệ vi phân suy biến.

Trong thực tế, có rất nhiều hệ thống mà tất cả các trạng thái của nó luôn dương chẳng hạn như các hệ động lực trong sinh học, cơ học, vật lý, hóa học, kỹ thuật [4, 23, 42, 56]. Một hệ động lực được gọi là dương nếu mọi nghiệm của nó ứng với điều kiện ban đầu không âm thì nghiệm đó là không âm. Khác với các lớp hệ động lực thông thường, lớp các hệ dương có các tính chất đặc biệt và cần có phương pháp nghiên cứu đặc thù riêng mà các phương pháp hàm Lyapunov và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính thường là ít hữu hiệu cho việc nghiên cứu tính ổn định. Một trong những phương pháp hữu hiệu được dùng để nghiên cứu tính ổn định cho các lớp hệ dương là phương pháp so sánh nghiệm thông qua việc khai thác các tính chất của ma trận dương, ma trận Metzler [80, 81, 88]. Gần đây, phương pháp so sánh nghiệm cũng đã được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho một số lớp hệ dương [37, 66] và chỉ mới xét cho các lớp hệ tuyến tính. Tuy nhiên, phương pháp này vẫn chưa mở rộng cho lớp hệ suy biến. Và bài toán mở này được chúng tôi nghiên cứu trong Luận án.

Luận án tập trung chính vào hai vấn đề sau:

(1) Phát triển mở rộng phương pháp hàm Lyapunov bằng kỹ thuật ma trận biến thiên phụ thuộc trễ cho bài toán ổn định cho một số lớp hệ tuyến tính có trễ.

(2) Phát triển phương pháp hệ dương cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến có trễ.

Với lớp hệ vi phân có trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn, để khai thác thông tin về chặn đạo hàm của trễ, kỹ thuật hàm Lyapunov với các ma trận phụ thuộc trễ đã được đề xuất sử dụng trong [48, 96]. Năm 2016, các tác giả trong [103], lần đầu tiên, mở rộng kỹ thuật này để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ sai phân có trễ sau:

  x(k + 1) = Ax(k) + Adx(k − h(k)), k ∈ N0, (1) x(k) = φ(k), k ∈ {−h2, . . . , 0}, 

với điều kiện 0 ≤ h1 ≤ h(k) ≤ h2 và µ1 ≤ ∆h(k) ≤ µ2. Trong [103], các tác giả đề xuất lớp hàm Lyapunov chỉ với một ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử toàn phương. Trong Luận án, chúng tôi đề xuất sử dụng một lớp hàm Lyapunov mở rộng với hai ma trận phụ thuộc trễ, trong đó một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử toàn phương và một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử tổng đơn. Sai phân của hàm Lyapunov được đánh giá thông qua hai bất đẳng thức hữu hiệu gần đây gồm: bất đẳng thức Wirtinger rời rạc cải tiến [68] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85]. Kết quả là, chúng tôi thu được một tiêu chuẩn ổn định mới, độ trễ biến thiên trong khoảng rộng hơn và số biến quyết định ít hơn, cho lớp hệ sai phân có trễ (1) (Định lý 2.1).

Lớp hệ thứ hai được chúng tôi xem xét trong Luận án là lớp hệ vi phân suy biến. Hệ suy biến (hay còn gọi là hệ phương trình vi phân đại số) bao gồm một phương

trình vi phân kết hợp với một phương trình sai phân. Lớp hệ này tổng quát hơn lớp hệ tuyến tính và cho phép chúng ta có thể mô hình hóa được nhiều hệ thực tế hơn [58, 71, 82]. Hệ suy biến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế [56], mạng lưới điện [9], cơ học [57]. . . . Do đó, bài toán ổn định, điều khiển cho các lớp hệ suy biến cũng đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu trong và ngoài nước [9, 17, 19, 31, 40, 51, 73, 92, 93]. Việc nghiên cứu bài toán ổn định cho lớp hệ suy biến có trễ phức tạp hơn so với nghiên cứu các hệ vi phân tuyến tính thông thường vì hai lý do chính sau đây:

(1) Với hệ suy biến, bài toán tồn tại duy nhất nghiệm không phải bao giờ cũng thỏa mãn mà phải cần thêm một số ràng buộc cho sự tồn tại nghiệm [17].

(2) Khi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, việc xây dựng hàm Lyapunov và đánh giá đạo hàm của hàm Lyapunov dọc theo quỹ đạo nghiệm của hệ khó khăn hơn so với hệ thông thường [26, 40].

Phương pháp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cũng được phát triển và mở rộng cho các lớp hệ suy biến. Tuy nhiên, các điều kiện đưa ra dựa trên phương pháp này thường khó thỏa mãn hơn vì nó cần thêm các điều kiện ràng buộc về mặt đại số và các điều kiện về tồn tại duy nhất nghiệm. Để mở rộng lớp hàm Lyapunov, năm 2014, Liu Z.Y., Lin C. và Chen B. [53] đã phát triển phương pháp chuyển đổi lớp hệ suy biến về lớp hệ trung tính. Thông qua việc nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ trung tính thì tính ổn định của lớp hệ suy biến cũng được đảm bảo. Phương pháp chuyển đổi này đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hướng nghiên cứu này cũng được kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức tích phân Wirtinger [83] và bất đẳng thức tích phân dựa trên ma trận tự do [100] để đưa ra các tiêu chuẩn ổn định tốt hơn cho lớp hệ có trễ suy biến [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hầu hết các kết quả hiện nay chỉ mới sử dụng các hàm Lyapunov chứa hạng tử tích phân hai lớp. Hơn nữa, kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ chưa được phát triển cho lớp hệ suy biến. Trong Luận án, chúng tôi xây dựng một lớp hàm Lyapunov mở rộng với một ma trận phụ thuộc trễ và chứa hạng tử tích phân ba lớp để khảo sát tính ổn định cho lớp hệ vi phân suy biến có trễ sau:

  E ˙x(t) = Ax(t) + Ahx(t − h(t)), t ≥ 0, (2) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], 

trong đó E là ma trận suy biến và trễ biến thiên h(t) thỏa mãn 0 ≤ h(t) ≤ h, µ1 ≤ ˙h(t) ≤ µ2. Đạo hàm của hàm Lyapunov được đánh giá thông qua bất đẳng thức tích phân Wirtinger cải tiến [76] và bất đẳng thức ma trận lồi đảo phụ thuộc trễ [85]. Từ đó, một tiêu chuẩn mới đảm bảo tính ổn định cho hệ vi phân suy biến (2) với độ trễ lớn hơn được thiết lập (Định lý 2.2).

Đối với bài toán đánh giá trạng thái cho các lớp hệ có nhiễu, kỹ thuật đánh giá hàm tuyến tính trạng thái sẽ giúp đưa ra các đánh giá chặt hơn so với việc đánh giá toàn bộ vectơ bằng phương pháp Elipsoid. Các kết quả đánh giá hàm tuyến tính trạng thái chỉ mới xét cho lớp hệ vi phân [64, 65]. Trong Luận án, chúng tôi mở rộng bài toán đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho lớp hệ sai phân sau:

  x(k + 1) = Ax(k) + Adx(k − h(k)) + Bω(k), k ∈ N0, (3) x(k) = 0, k ∈ {−h2, . . . , 0}. 

Bằng cách xây dựng một hạng tử toàn phương của hàm tuyến tính trạng thái trong lớp hàm Lyapunov, một điều kiện đủ cho sự tồn tại các chặn cho hàm tuyến tính trạng thái của hệ sai phân (3) được đưa ra (Định lý 3.1). Kết quả đưa ra được áp dụng để thiết lập một hình đa diện bao tập đạt được cho hệ (3) và nhỏ hơn các bao tập đạt được bằng các hình elipsoid như các phương pháp thông thường.

Với bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ dương, cho đến năm 2018, chưa có bất cứ tác giả nào sử dụng phương pháp so sánh nghiệm để đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến có nhiễu bị chặn. Bài toán mở này được chúng tôi phát triển cho lớp hệ dương suy biến sau:

  ˙x(t) = Ax(t) + By(t − h1(t)) + ω(t), t ≥ t0 ≥ 0, (4) y(t) = Cx(t) + Dy(t − h2(t)) + d(t), 

trong đó A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm, D là một ma trận Schur. Thông qua việc khai thác một cách hữu hiệu hơn các tính chất của ma trận dương, ma trận Metzler, chúng tôi đề xuất được một đánh giá nghiệm mới, chặt hơn cho lớp hệ dương suy biến không có nhiễu. Kết hợp kết quả thu được và phương pháp so sánh nghiệm, chúng tôi mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến (4) và đề xuất một thuật toán tính toán để đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ này (Định lý 3.4).

Với các kết quả nghiên cứu đã đạt được, nội dung chính của Luận án được bố cục

trong ba chương.

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hai mô hình thực tiễn, nhắc lại một số khái niệm và các kiến thức chuẩn bị được sử dụng trong Luận án gồm: Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ, Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ có nhiễu và Một số bổ đề bổ trợ.

Chương 2 trình bày hai kết quả mới cho tính ổn định cho hai lớp hệ tuyến tính có trễ. Cụ thể, chúng tôi trình bày các tiêu chuẩn ổn định hữu hiệu hơn cho hệ sai phân có trễ trong Định lý 2.1 và cho hệ vi phân suy biến có trễ trong Định lý 2.2. Để minh

họa cho tính hữu hiệu của các tiêu chuẩn đưa ra, chúng tôi xét các ví dụ số và trình bày các bảng so sánh giữa các cận đã đạt được với các cận thu được bởi các kết quả gần đây.

Chương 3 trình bày hai kết quả mới cho bài toán đánh giá trạng thái cho hai lớp hệ có trễ và nhiễu bị chặn. Cụ thể, chúng tôi đưa ra đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân trong Định lý 3.1 và đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ vi phân đại số dương trong Định lý 3.4. Hơn nữa, chúng tôi xét các ví dụ số, lập bảng so sánh và hình vẽ để minh họa cho tính hữu hiệu của kết quả đạt được.

Các kết quả chính của Luận án được công bố trong các bài báo [1-4] trong Danh

mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án và đã được báo cáo tại:

• Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ IX, Trường Đại học Thông tin Liên lạc, Nha

Trang, 14-18/08/2018.

• Hội thảo “Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần III”, Trường Đại học Tây Nguyên,

Đăklăk, 02-04/08/2019.

• Seminar Khoa Toán và Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn, Bình Định.

Bình Định, tháng 05 năm 2020

Tác giả

Lưu Thị Hiệp

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Bài toán ổn định các hệ động lực có trễ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu hai mô hình thực tiễn, bài toán ổn định cho hệ có trễ và bài toán đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu bị chặn, trình bày một số khái niệm và phương pháp nghiên cứu cho hai bài toán này. Chúng tôi cũng nhắc lại một số bổ đề bổ trợ sẽ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của Luận án. Kiến thức sử dụng trong chương này được tham khảo trong [2, 6, 7, 22, 30, 33, 43, 46, 55, 66, 67, 68, 69, 70, 74, 75, 76, 80, 85, 89, 91, 96, 99].

1.1.1 Mô hình thực tiễn

Trong mục này, chúng tôi trình bày hai mô hình thực tiễn phổ biến được mô hình hóa bằng hệ phương trình vi phân có trễ. Hai mô hình này được giới thiệu trong hai tài liệu kinh điển [22, 30].

Mô hình 1 ([30], Quá trình gia công kim loại). Hình 1.1 mô tả một quá trình gia công kim loại bao gồm một phôi hình trụ quay với vận tốc góc không đổi ω, y(·) là quỹ đạo của lưỡi dao, máy cắt di chuyển dọc theo trục của phôi với vận tốc tuyến tính không đổi ωf /2π, f là tỷ lệ bước dao theo chiều dài trên mỗi vòng quay tương ứng với độ dày thông thường của phôi bào bị loại bỏ. Khi dụng cụ chạy, vì rung của máy và các cơ cấu cơ khí làm cho đầu lưỡi dao không đứng yên mà bị rung theo nên đầu lưỡi dao không đi trên một đường thẳng mà đi trên đường lượn sóng. Do đó, người ta sẽ thiết kế thêm một bộ giảm rung để có một bề mặt trơn. Bộ giảm rung này bao gồm một lò xo có độ cứng k và hệ số giảm rung c được mô tả trong Hình 1.2.

Hình 1.1 Quá trình gia công kim loại

Hình 1.2 Mô hình rung động tái sinh

Để giảm rung, người ta điều chỉnh k, c sao cho quỹ đạo của lưỡi dao dao động quanh điểm cân bằng. Với vận tốc góc của phôi là ω, thời gian để phôi hoàn thành một vòng quay là τ = 2π/ω. Khi đó, độ dày của phôi bào sau một vòng quay là y(t) − y(t − τ ). Quá trình gia công kim loại phụ thuộc vào độ dày của phôi bào và được mô tả bằng phương trình có trễ như sau:

(1.1) m¨y(t) + c ˙y(t) + ky(t) = −Ft(f + y(t) − y(t − τ )),

trong đó m, c và k phản ánh quán tính, đặc tính giảm rung và độ cứng lò xo của máy công cụ, y(·) là quỹ đạo chuyển động của lưỡi dao, Ft(·) là lực cắt phụ thuộc độ dày phôi bào tức thời f + y(t) − y(t − τ ).

Mô hình 2 ([22], Bộ giảm rung cộng hưởng). Mô hình của bộ giảm rung cổ điển được minh họa trong Hình 1.3 bao gồm: một vật cấu trúc chính có khối lượng mp, một lò xo có độ cứng kp và một bộ giảm rung có hệ số giảm cp, phụ thuộc vào lực điều hòa f (t), xp(·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng mp; một vật thêm vào có khối

lượng ma, bộ giảm rung có hệ số ca, lò xo có độ cứng ka được gắn vào một cấu trúc chính, xa(·) là quỹ đạo dịch chuyển của vật có khối lượng ma.

Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển

Các thông số ka, ca, ma, kp và cp cần được thiết kế phù hợp để làm giảm rung tốt nhất.

Để tăng hiệu suất chống rung của hệ thống, người ta thiết kế thêm một điều khiển cộng hưởng u(t) tác động vào hệ thống và gọi là bộ giảm rung cộng hưởng. Bộ giảm rung cộng hưởng được minh họa trong Hình 1.4 sau:

Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng

Khác với Hình 1.3, giữa hai vật ma và mp trong Hình 1.4 có thêm điều khiển u(t). Điều khiển u(t) làm nảy sinh lực điều hòa, triệt tiêu các rung động không mong muốn của cấu trúc chính và được mô tả bởi phương trình sau:

ma ¨xa(t) + ca ˙xa(t) + kaxa(t) = u(t).

Người ta sẽ thiết kế u(t) sao cho cấu trúc chính ổn định với tốc độ nhanh nhất. Thông thường người ta thiết kế điều khiển u(t) dựa trên tốc độ trạng thái ở quá khứ, ˙xa(t−τ1)

và trạng thái hiện tại, xa(t) như sau:

u(t) = g1 ˙xa(t − τ1) + g2xa(t),

trong đó g1, g2 là phản hồi đạt được và τ1 là độ trễ. Tuy nhiên, thông tin trạng thái xa(t) khó sử dụng một cách tức thời. Do đó, để tăng cường hiệu suất, người ta sử dụng tốc độ trạng thái ở quá khứ, ˙xa(t − τ1) và trạng thái ở quá khứ, xa(t − τ2), cụ thể,

(1.2) u(t) = g1 ˙xa(t − τ1) + g2xa(t − τ2),

trong đó τ2 là độ trễ. Khi đó, với điều khiển u(t) như trong (1.2), phương trình chuyển động của hệ thống được viết thành hệ có trễ như sau:

ma ¨xa(t) + ca ˙xa(t) + kaxa(t) − g1 ˙xa(t − τ1) − g2xa(t − τ2) = 0.

1.1.2 Hệ vi phân

(a) Phương trình hệ vi phân có trễ

Trong mục này, chúng tôi trình bày dạng tổng quát của hệ phương trình vi phân có trễ. Giả sử một hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ (trễ) 0 ≤ h < +∞ và x(·) là một hàm liên tục trên R, nhận giá trị trong Rn, với mỗi t ∈ R ta xây dựng hàm xt ∈ C, phụ thuộc trễ thời gian như sau:

xt(s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0],

s∈[−h,0] trễ mô tả sự phụ thuộc của tốc độ thay đổi trạng thái của hệ thống tại thời điểm t vào các trạng thái của hệ thống trong khoảng thời gian trước đó [t−h, t] được cho dưới dạng:

trong đó C := C ([−h, 0], Rn) là không gian các hàm liên tục từ [−h, 0] vào Rn. Như vậy, đồ thị của xt là một đoạn quỹ đạo của đồ thị của x(·) trên [t − h, t], tức là xt(s) là biến trạng thái x(·) tại các thời điểm quá khứ t + s, s ∈ [−h, 0]. Chuẩn của xt là ||x(t + s)||. Khi đó, hệ phương trình có chuẩn trong C được xác định bởi ||xt|| = sup

  ˙x(t) = f (t, xt), t ≥ 0, (1.3) x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], 

s∈[−h,0]

trong đó f : R0,+ × C → Rn là hàm vectơ cho trước và hàm ϕ ∈ C là hàm giá trị ban đầu với (cid:107)ϕ(cid:107) = sup (cid:107)ϕ(s)(cid:107).

Nghiệm x(·) của hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0] được

ký hiệu x(t, ϕ). Để nghiên cứu tính ổn định của hệ (1.3), ta giả thiết:

(i) Hệ (1.3) luôn có nghiệm x(t) ≡ 0, tức là, f (t, 0) = 0, t ∈ R0,+.

(ii) Hệ (1.3) luôn thỏa mãn các điều kiện về tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm đến vô cùng.

(b) Các khái niệm ổn định

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại ba định nghĩa ổn định, ổn định tiệm cận, ổn

định mũ cho hệ phương trình vi phân có trễ (1.3):

Định nghĩa 1.1 ([7]). Nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) được gọi là

(i) ổn định nếu với mọi số (cid:15) > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa mãn

||ϕ|| < δ thì

||x(t, ϕ)|| < (cid:15) với mọi t ≥ 0.

(ii) ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với ϕ ∈ C thỏa

mãn ||ϕ|| < δ0 thì

||x(t, ϕ)|| = 0. lim t→+∞

(iii) ổn định mũ nếu tồn tại số M > 0 và số α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, ϕ) của hệ

thỏa mãn

||x(t, ϕ)|| ≤ M e−αt||ϕ|| với mọi t ≥ 0.

Khi đó M được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α được gọi là số mũ ổn định.

Để cho ngắn gọn, thay vì nói nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm

cận, ổn định mũ) ta sẽ nói hệ (1.3) là ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ).

Phương pháp hàm Lyapunov là một trong những phương pháp phổ biến dùng để nghiên cứu tính ổn định cho các hệ động lực. Phương pháp hàm Lyapunov dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm trơn đặc biệt gọi là hàm Lyapunov mà tính ổn định của hệ được kiểm tra thông qua dấu đạo hàm của hàm Lyapunov. Phương pháp này được mở rộng cho lớp hệ có trễ [99] và được trình bày trong Định lý 1.1 dưới đây.

Cho một hàm liên tục V : R × C → R0,+ và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3). Ta định

nghĩa đạo hàm của V (t, xt) dọc theo nghiệm của hệ (1.3) như sau:

[V (t + s, xt+s) − V (t, xt)]. 1 s ˙V (t, xt) = lim sup s→0+

Với giả thiết f : Rn × D → Rn, D là một tập bị chặn trong C thì điều kiện ổn định của hệ (1.3) được trình bày trong Định lý sau:

Định lý 1.1 ([99], Định lý Lyapunov-Krasovskii). Giả sử u, v, w : R0,+ → R0,+ là các hàm liên tục không giảm thỏa mãn u(0) = v(0) = 0, u(s) > 0, v(s) > 0 với s > 0. Nếu tồn tại một hàm liên tục V : R × C → R0,+ sao cho:

(i) u(||x(t)||) ≤ V (t, xt) ≤ v(||xt||),

(ii) ˙V (t, xt) ≤ −w(||x(t)||)

thì V là hàm Lyapunov. Hơn nữa, nếu w(s) > 0 với s > 0, thì V là hàm Lyapunov chặt. Nếu V là hàm Lyapunov thì hệ (1.3) là ổn định. Nếu V là hàm Lyapunov chặt thì hệ (1.3) là ổn định tiệm cận.

1.1.3 Hệ sai phân

Xét hệ phương trình sai phân có trễ sau:

  x(k + 1) = f (k, xk), k ∈ N0, (1.4) x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, −h + 1, . . . , 0}, 

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, k ∈ N0. Kí hiệu ∆ := {−h, −h + 1, . . . , 0} và D := D(∆, Rn) là không gian của các ánh xạ đi từ ∆ vào Rn. Hàm giá trị ban đầu ||ϕ(s)||. Hàm xk ∈ D, biểu diễn một đoạn quỹ đạo trạng thái quá ϕ ∈ D, (cid:107)ϕ(cid:107) := max s∈∆

khứ của x(·), được định nghĩa bởi: xk(s) = x(k + s), s ∈ ∆ và (cid:107)xk(cid:107) = max ||x(k + s)||. s∈∆ Hàm f : N0 × D → Rn thỏa mãn điều kiện f (k, 0) = 0, k ∈ N0. Một nghiệm x(·) của hệ (1.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(s) = ϕ(s), s ∈ ∆, được kí hiệu là: x(k, ϕ).

Tương tự như hệ phương trình vi phân có trễ (1.3), ta cũng có các khái niệm ổn

định, ổn định tiệm cận cho hệ (1.4):

Định nghĩa 1.2 ([2]). Nghiệm x(k) ≡ 0 của phương trình (1.4) được gọi là

(i) ổn định nếu với mọi số (cid:15) > 0, tồn tại số δ > 0 sao cho với ϕ ∈ D thỏa mãn

||ϕ|| < δ thì

||x(k, ϕ)|| < (cid:15), với mọi k ∈ N0.

(ii) ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại số δ0 > 0 sao cho với ϕ ∈ D thỏa

mãn ||ϕ|| < δ0 thì

||x(k, ϕ)|| = 0. lim k→+∞

Tương tự như hệ vi phân, ta cũng có định lý về phương pháp hàm Lyapunov cho

hệ sai phân (1.4) và được trình bày trong Định lý sau:

Định lý 1.2 ([89]). Nếu tồn tại λ1, λ2 > 0, β > 0 và một hàm liên tục V : N0×D → R+ sao cho:

(i) λ1(cid:107)x(k)(cid:107)2 ≤ V (k, xk) ≤ λ2(cid:107)xk(cid:107)2,

(ii) ∆V (k, xk) := V (k + 1, xk+1) − V (k, xk) ≤ −β(cid:107)x(k)(cid:107)2, ∀xk ∈ D thỏa mãn (1.4)

1.2 Bài toán tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho các hệ

có nhiễu

thì hệ (1.4) là ổn định tiệm cận.

Bên cạnh các yếu tố độ trễ thời gian thì yếu tố nhiễu cũng là không thể tránh khỏi trong hầu hết các hệ thống thực tế. Trong mục này, chúng tôi trình bày bài toán đánh giá trạng thái/bao tập đạt được cho lớp hệ vừa có trễ vừa có nhiễu bị chặn.

1.2.1 Hệ vi phân

Xét một hệ thống mô tả bởi hệ phương trình vi phân có trễ

  ˙x(t) = f (t, xt, ω(t)), t ≥ 0, (1.5) x(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], 

trong đó f : R+ × C × Rp → Rn là hàm vectơ cho trước, hàm xt ∈ C := C([−h, 0], Rn), xt(s) = x(t + s), s ∈ [−h, 0] thể hiện trạng thái ở thời gian quá khứ, ϕ ∈ C là hàm giá trị ban đầu. Nhiễu ω(t) ∈ Rp là không biết nhưng giả sử thỏa mãn điều kiện bị chặn

m, ∀t ≥ 0,

ωT (t)ω(t) ≤ ω2 (1.6)

với ωm ∈ R là số thực đã biết.

Kí hiệu x(t, ϕ, ω(t)) là nghiệm của hệ (1.5) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu ϕ(·)

và nhiễu ω(·) thỏa mãn điều kiện (1.6).

Vì nhiễu ω(·) là không biết nên không thể xác định chính xác quỹ đạo nghiệm x(·) của phương trình (1.5). Khi đó, tính ổn định hay ổn định tiệm cận của hệ thường không đảm bảo. Trong trường hợp này, thay vì nghiên cứu tính ổn định, ta tìm một tập bị chặn nhỏ nhất sao cho trạng thái của hệ hội tụ vào trong tập đó và gọi tập này là tập bị chặn tới hạn.

Định nghĩa 1.3 ([43]). Tập R ⊆ Rn được gọi là tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5) nếu mỗi nghiệm x(t, ϕ, ω(t)) của hệ (1.5), tồn tại một thời gian T (đủ lớn) thỏa mãn x(t, ϕ, ω(t)) ∈ R, t ≥ T .

Hình 1.5 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.5)

Ngoài tập bị chặn tới hạn, thì tập bất biến của hệ thống cũng được nhiều người quan tâm nghiên cứu. Tập bất biến của một hệ động lực là một tập hợp mà ứng với mọi hàm giá trị ban đầu thuộc tập này thì nghiệm tương ứng của hệ cũng sẽ thuộc tập này với mọi thời gian sau đó. Ta có thể định nghĩa một cách chính xác như sau:

Định nghĩa 1.4 ([46]). Tập Ω ⊆ Rn được gọi là tập bất biến của hệ (1.5) nếu ϕ(s) ∈ Ω, s ∈ [−h, 0] thì x(t, ϕ, ω(t)) ∈ Ω với mọi t ≥ 0, và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.6).

Hình 1.6 Tập bất biến của hệ (1.5)

Nhận xét 1.1. Trong trường hợp hàm điều kiện ban đầu ϕ(s) = 0 với mọi s ∈ [−h, 0], bài toán tìm tập bất biến trở thành bài toán tìm bao tập đạt được cho hệ thống. Tập đạt được của một hệ động lực có nhiễu là tập tất cả các trạng thái xuất phát từ điểm gốc. Mục đích của bài toán tìm tập bất biến/ bao tập đạt được là tìm tập bất biến/bao tập đạt được nhỏ nhất có thể.

Phương pháp hàm Lyapunov [28] và phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ dương [46] được mở rộng lần đầu tiên cho bài toán tìm tập bị chặn tới hạn và tập bất

biến cho hệ có trễ bị nhiễu (1.5). Phương pháp hàm Lyapunov được trình bày trong bổ đề sau:

Bổ đề 1.1 ([28]). Cho V là một hàm Lyapunov của hệ (1.5). Nếu tồn tại α > 0 sao cho

˙V (t) + αV (t) − ωT (t)ω(t) ≤ 0, ∀t ≥ 0, α ω2 m

thì V (t) ≤ 1 + V (0)e−αt, ∀t ≥ 0.

Phương pháp so sánh nghiệm và dựa trên hệ dương có hai cách tiếp cận:

• Cách 1 ([46]): - Thiết lập một công thức hàm mũ từ các hệ số của hệ thống. - So sánh trực tiếp nghiệm của hệ có nhiễu với hàm mũ vừa thiết lập. • Cách 2 ([66]): - Thiết lập một sự so sánh nghiệm của hệ có nhiễu biến thiên bị chặn và nghiệm của hệ có nhiễu hằng. - Thiết lập một sự tương quan giữa nghiệm của hệ có nhiễu hằng và hệ không có nhiễu. - Từ đánh giá trạng thái của hệ không có nhiễu ta đánh giá trạng thái của hệ có nhiễu hằng và suy ra đánh giá trạng thái hệ có nhiễu biến thiên.

1.2.2 Hệ sai phân

Xét hệ phương trình sai phân có nhiễu sau:   x(k + 1) = f (k, xk, ω(k)), k ∈ N0, (1.7) x(s) = ϕ(s), s ∈ {−h, . . . , 0}, 

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, k ∈ N0. Kí hiệu ∆ := {−h, −h + 1, . . . , 0} và D := D(∆, Rn) là không gian của các ánh xạ đi từ ∆ vào Rn. Hàm ϕ ∈ D và ||ϕ(s)||. Hàm xk ∈ D, xk(s) = x(k + s), s ∈ ∆ và (cid:107)xk(cid:107) = max (cid:107)ϕ(cid:107) := max ||x(k + s)||. s∈∆ s∈∆ Hàm f : N0 × D × Rp → Rn và ω(·) ∈ Rp là nhiễu không biết nhưng giả sử thỏa mãn điều kiện bị chặn

m, ∀k ∈ N0,

(1.8) ωT (k)ω(k) ≤ ω2

với ωm ∈ R là số thực đã biết. Kí hiệu x(k, ϕ, ω(k)) là nghiệm của hệ (1.7) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu ϕ(·) và nhiễu ω(·) thỏa mãn điều kiện (1.8).

Tương tự như hệ phương trình vi phân (1.5), ta cũng có định nghĩa tập bị chặn tới

hạn, tập bất biến cho hệ (1.7).

Định nghĩa 1.5 ([46]). Tập R ⊆ Rn được gọi là tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7) nếu mỗi nghiệm x(k, ϕ, ω(k)) của hệ (1.7), tồn tại một thời gian T (đủ lớn) thỏa mãn x(k, ϕ, ω(k)) ∈ R, k ≥ T .

Hình 1.7 Tập bị chặn tới hạn của hệ (1.7)

Định nghĩa 1.6 ([46]). Tập Ω ⊆ Rn được gọi là tập bất biến của hệ (1.7) nếu ϕ(k) ∈ Ω, k ∈ ∆ thì x(k, ϕ, ω(k)) ∈ Ω với mọi k ∈ N0, và nhiễu ω(k) thỏa mãn điều kiện (1.8).

Hình 1.8 Tập bất biến của hệ (1.7)

Trong trường hợp đặc biệt, nếu hàm điều kiện ban đầu ϕ(k) = 0 với mọi k ∈ ∆ thì bài toán tìm tập bất biến trở thành bài toán tìm bao tập đạt được. Mục đích của bài toán tìm tập bất biến/ bao tập đạt được là tìm tập bất biến/bao tập đạt được nhỏ nhất có thể.

Phương pháp hàm Lyapunov [91] và phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ dương [46] được mở rộng lần đầu tiên cho bài toán tìm tập bị chặn tới hạn và tập bất biến cho hệ có trễ bị nhiễu (1.7). Phương pháp hàm Lyapunov được trình bày trong bổ đề sau:

Bổ đề 1.2 ([91]). Cho V là một hàm xác định dương và V (0) = 0. Nếu tồn tại một số r > 1 sao cho

∆V (k) + (1 − r−1)V (k) − ωT (k)ω(k) ≤ 0 (1.9) 1 − r−1 ω2 m

thì V (k) < 1, ∀k ≥ 0.

Bằng cách cải tiến Bổ đề 1.2, năm 2015, các tác giả trong [75] đã mở rộng cho

trường hợp tổng quát.

Bổ đề 1.3 ([75]). Cho V là một hàm xác định dương, ∆V (k) = V (k + 1) − V (k), và hàm M(k) thỏa mãn M(k) ≤ 1. Nếu tồn tại số (cid:15) > 0 và α ∈ (0, 1) sao cho

(i) ∆V (k) + (1 − α)V (k) − (1 − α)M(k) ≤ 0, ∀k ∈ N0,

ε2 (cid:107)x(k)(cid:107)2 ≤ V (k), ∀k ∈ N0,

(ii) 1

thì

(cid:107)x(s)(cid:107) ≤ ε. lim k→∞ sup s≥k

Đối với hệ sai phân, phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ dương được sử dụng

hoàn toàn tương tự như hệ vi phân:

• Cách 1 ([46]):

- Thiết lập một công thức hàm mũ từ các hệ số của hệ thống. - So sánh trực tiếp nghiệm của hệ có nhiễu với hàm mũ vừa thiết lập.

• Cách 2 ([69]):

1.3 Một số bổ đề bổ trợ

- Thiết lập một sự so sánh nghiệm của hệ có nhiễu biến thiên bị chặn và nghiệm của hệ có nhiễu hằng. - Thiết lập một sự tương quan giữa nghiệm của hệ có nhiễu hằng và hệ không có nhiễu. - Từ đánh giá trạng thái của hệ không có nhiễu ta đánh giá trạng thái của hệ có nhiễu hằng và suy ra đánh giá trạng thái hệ có nhiễu biến thiên.

Trong Luận án, chúng tôi sử dụng hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định, đánh giá trạng thái cho hệ có trễ gồm phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ dương. Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hai phương pháp này.

1.3.1 Một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hàm Lyapunov

Các bất đẳng thức tích phân Wirtinger cải tiến [76], bất đẳng thức Wirtinger rời rạc cải tiến [68], bất đẳng thức ma trận lồi mở rộng [85] và giá trị tối ưu của hàm lõm được sử dụng để đánh giá đạo hàm của hàm Lyapunov trong các chương sau và được nhắc lại trong các bổ đề dưới đây.

Bổ đề 1.4 ([76]). Cho một ma trận cấp n×n, R > 0 và một hàm khả vi v : [a, b] → Rn, ta có

1 R ¯Ω1 + ¯ΩT

2 R ¯Ω2, ¯ΩT

(cid:90) b (1.10) ˙vT (s)R ˙v(s)ds ≥ 1 b − a 3 b − a

1 R ¯Ω1 + ¯ΩT

2 R ¯Ω2 + ¯ΩT

3 R ¯Ω3, ¯ΩT

a (cid:90) b

4 R ¯Ω4 + 4 ¯ΩT

5 R ¯Ω5,

θ (cid:90) θ

a (cid:90) b

(cid:90) b ˙vT (s)R ˙v(s)ds ≥ (1.11) 3 b − a 5 b − a 1 b − a (cid:90) b ˙vT (s)R ˙v(s)dsdθ ≥ 2 ¯ΩT (1.12)

7 R ¯Ω7,

6 R ¯Ω6 + 4 ¯ΩT

(1.13) ˙vT (s)R ˙v(s)dsdθ ≥ 2 ¯ΩT

trong đó

¯Ω1 = v(b) − v(a), (cid:90) b v(s)ds, ¯Ω2 = v(b) + v(a) −

a (cid:90) b

(cid:90) b (cid:90) b v(s)ds − v(s)dsdθ, ¯Ω3 = v(b) − v(a) + 12 (b − a)2 2 b − a 6 b − a (cid:90) b v(s)ds, ¯Ω4 = v(b) −

a (cid:90) b

(cid:90) b (cid:90) b v(s)ds − v(s)dsdθ, ¯Ω5 = v(b) + 6 (b − a)2

a (cid:90) b

v(s)ds, ¯Ω6 = v(a) −

1 , X2 = X T

(cid:90) b (cid:90) b v(s)ds + v(s)dsdθ. ¯Ω7 = v(a) − 1 b − a 2 b − a 1 b − a 4 b − a 6 (b − a)2

Bổ đề 1.5 ([85]). Cho hai ma trận cấp n × n, R1 > 0, R2 > 0, hai vectơ ¯ω1, ¯ω2 ∈ Rn và một số α ∈ (0, 1). Nếu tồn tại hai ma trận cấp n × n, X1 = X T 2 và hai ma trận n × n, Y1, Y2 sao cho

(cid:35) (cid:35) (cid:34) (cid:34) Y2 ≥ 0 (1.14) ≥ 0; R1 − X1 Y1 R2 R1 Y T 2 R2 − X2 Y T 1

thì bất đẳng thức sau đúng

(cid:34) (cid:35)T (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) R1 + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 S(t) ≥ , (1.15) ∗ ¯ω1 ¯ω2 R2 + αX2 ¯ω1 ¯ω2

trong đó

1 R1 ¯ω1 +

2 R2 ¯ω2.

S(t) = ¯ωT ¯ωT (1.16) 1 1 − α 1 α

Bổ đề 1.6 ([68]). Cho một ma trận cấp n×n xác định dương R, ba số nguyên không âm a, b, k thỏa mãn a < b ≤ k, một hàm vectơ x(·) ∈ Rn và kí hiệu y(k) = x(k + 1) − x(k), ta có

k−a−1 (cid:88)

a,b +

a,b)T RΩ0

a,b)T RΩ1 a,b

s=k−b

(Ω0 (Ω1 yT (s)Ry(s) ≥ 1 b − a 3 b − a

a,b)T RΩ2

a,b,

−a−1 (cid:88)

k−a−1 (cid:88)

(1.17) + (Ω2 5 b − a

a,b)T RΩ3

a,b + 4(Ω4

a,b)T RΩ4

a,b,

s=−b

u=k+s

−a−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

(1.18) yT (u)Ry(u) ≥ 2(Ω3

a,b.

a,b)T RΩ6

a,b + 4(Ω6

a,b)T RΩ5

s=−b

u=k−b

(1.19) yT (u)Ry(u) ≥ 2(Ω5

trong đó

a,b = x(k − a) − x(k − b),

k−a (cid:88)

Ω0

a,b = x(k − a) + x(k − b) −

u=k−b

k−a (cid:88)

Ω1 x(u), 2 b − a + 1

a,b = x(k − a) − x(k − b) +

u=k−b

k−a (cid:88)

−a (cid:88)

Ω2 x(u) 6 b − a + 1

u=k+s

s=−b

k−a (cid:88)

x(u) − 12 (b − a + 2)(b − a + 1)

a,b = x(k − a) −

u=k−b

k−a (cid:88)

−a (cid:88)

Ω3 x(u), 1 b − a + 1

a,b = x(k − a) +

u=k+s

u=k−b

s=−b

k−a (cid:88)

x(u), Ω4 x(u) − 2 b − a + 1 6 (b − a + 2)(b − a + 1)

a,b = x(k − b) −

u=k−b

k−a (cid:88)

−a (cid:88)

k−a (cid:88)

Ω5 x(u), 1 b − a + 1

a,b = x(k − b) −

u=k−b

s=−b

u=k+s

Ω6 x(u) + x(u). 4 b − a + 1 6 (b − a + 2)(b − a + 1)

∂x2 ≥ 0, ∀(x, y) ∈ [a, b] × [c, d] và ∂2f

Bổ đề 1.7 ([96]). Cho một hàm f : sử rằng ∂2f [a, b] × [c, d] ⊂ R2 −→ R, (x, y) (cid:55)−→ f (x, y). Giả ∂y2 ≥ 0, ∀(x, y) ∈ [a, b] × [c, d]. Khi đó,

f (x, y) = max{f (a, c), f (a, d), f (b, c), f (b, d)}. (1.20) max (x,y)∈[a,b]×[c,d]

1.3.2 Hệ dương và một số bổ đề liên quan

Trong Luận án, chúng tôi nghiên cứu bài toán đánh giá trạng thái cho một lớp hệ

dương. Sau đây, tôi nhắc lại một số định nghĩa và bổ đề liên quan tới hệ dương.

0,+ thì

Định nghĩa 1.7 ([80]). Hệ (1.3) được gọi là dương nếu với mọi nghiệm x(·) của hệ (1.3) có điều kiện ban đầu không âm ϕ : [−h, 0] → Rn

x(t, ϕ) (cid:23) 0, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.8 ([55, 80]). Ma trận thực M = [Mij] ∈ Rn×n được gọi là:

(i) ma trận Metzler nếu Mij ≥ 0 với mọi i (cid:54)= j.

(ii) ma trận Hurwitz nếu s(M ) < 0.

(iii) ma trận Schur nếu ρ(M ) < 1.

Bổ đề 1.8 ([6]). (i) Cho M ∈ Rn×n là một ma trận không âm. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(i1) M là ma trận Schur,

+ sao cho (M − I)q ≺ 0,

(i2) Tồn tại q ∈ Rn

(i3) (I − M )−1 (cid:23) 0.

(ii) Cho M ∈ Rn×n là một ma trận Metzler. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:

(ii1) M là ma trận Hurwitz,

+ sao cho M q ≺ 0,

(ii2) Tồn tại q ∈ Rn

(ii3) M −1 (cid:22) 0.

+ sao cho

Bổ đề 1.9 ([74]). Cho A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) ρ(D) < 1 và s(A + B(I − D)−1C) < 0, +, q ∈ Rm (ii) Tồn tại p ∈ Rn

Ap + Bq ≺ 0, (1.21)

Cp + (D − I)q ≺ 0, (1.22)

(iii) s(A) < 0 và ρ(C(−A)−1B + D) < 1.

Nhận xét 1.2. Hai bất đẳng thức ma trận (1.21), (1.22) có thể được viết lại ngắn (cid:34) (cid:35) (cid:35)−1 (cid:34) B B là không âm và ≺ 0. Theo Bổ đề 1.8 (ii), ta có − gọn A C D − I (cid:35) (cid:34) p q A C D − I

không suy biến nên tất cả các vectơ hàng của nó là không âm và khác 0. Do đó, các vectơ dương [pT qT ]T có thể được tính như sau

(cid:34) (cid:34) (cid:35) (cid:35)−1 B = − (1.23) ξ, p q A C D − I

trong đó ξ ∈ Rn+m + .

Bổ đề sau về giá trị cực trị của một hàm hữu tỉ cũng được sử dụng trong Luận án

0,+, b (cid:54)= 0 và một hàm hữu tỉ Γ : Rn

+ → R0,+

cho kết quả liên quan đến hệ dương.

Bổ đề 1.10 ([67]). Cho hai vectơ a, b ∈ Rn với

(1.24) Γ(r) = , ∀r ∈ Rn +. a1r1 + a2r2 + · · · + anrn b1r1 + b2r2 + · · · + bnrn

Đặt J = {j ∈ {1, . . . , n}|bj > 0}. Khi đó,

(1.25) . Γ(r) = min j∈J inf r∈Rn + aj bj

1.3.3 Hệ suy biến và một số bổ đề liên quan

Xét hệ suy biến sau   E ˙x(t) = Ax(t) + Ahx(t − h(t)), t ≥ 0, (1.26) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], 

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, E, A, Ah ∈ Rn×n là các ma trận đã biết, φ(·) là hàm điều kiện ban đầu, ma trận E là suy biến với rank(E) = r < n. Trễ biến thiên h(·) là một hàm khả vi không biết nhưng thỏa mãn

(1.27) 0 ≤ h(t) < h, µ1 ≤ ˙h(t) ≤ µ2,

trong đó h, µ1 và µ2 là các số đã biết.

Khác với các hệ tuyến tính thông thường thì hệ suy biến (1.26) không phải bao giờ cũng tồn tại duy nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu. Để tồn tại duy nhất nghiệm, hệ suy biến (1.26) cần phải thêm một số điều kiện. Định nghĩa và bổ đề sau liên quan đến sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ suy biến.

Định nghĩa 1.9 ([17]). Cặp ma trận (E, A) được gọi là: (i) chính quy nếu tồn tại số λ ∈ C sao cho det(A − λE) (cid:54)= 0. (ii) “impulse-free” nếu deg(det(sE − A)) = rank(E), ∀s ∈ C.

Bổ đề 1.11 ([98]). Nếu cặp ma trận (E, A) là chính quy và “impulse-free” thì nghiệm của hệ suy biến (1.26) tồn tại và duy nhất.

Chương 2

Tính ổn định của hệ tuyến tính có trễ

2.1 Một số phát triển gần đây đối với phương pháp hàm Lya-

punov

Chương này nghiên cứu bài toán ổn định cho các lớp hệ có trễ và đạo hàm của trễ bị chặn. Bằng cách đề xuất sử dụng lớp hàm Lyapunov mở rộng kết hợp với kỹ thuật ma trận phụ thuộc vào trễ, chúng tôi thu được một số tiêu chuẩn ổn định hữu hiệu hơn cho lớp hệ sai phân và hệ vi phân suy biến. Với lớp hệ sai phân, chúng tôi đề xuất sử dụng một lớp hàm Lyapunov mở rộng có hai ma trận phụ thuộc trễ, trong đó một ma trận ở trong hạng tử toàn phương và một ma trận ở trong hạng tử tổng đơn. Với lớp hệ vi phân suy biến, chúng tôi sử dụng phương pháp chuyển về hệ trung tính và kết hợp với việc đề xuất một lớp hàm Lyapunov mở rộng có ma trận phụ thuộc vào trễ. Nội dung chương này được trình bày dựa trên hai công trình [2,4] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án.

Phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan trọng, được sử dụng phổ biến. Thông qua việc xét lớp hàm Lyapunov phù hợp, các điều kiện đủ cho tính ổn định của hệ được thiết lập. Để cải thiện các điều kiện ổn định, tăng khoảng biến thiên của độ trễ đến mức lớn nhất có thể hoặc sử dụng ít nhất các biến quyết định trong khi vẫn giữ nguyên độ trễ tối đa, các nhà nghiên cứu đã phát triển hai hướng:

(1) Đề xuất các lớp hàm Lyapunov mới, mở rộng, sử dụng nhiều thông tin của trạng

thái hệ thống hơn;

(2) Đưa ra các kỹ thuật đánh giá chặt hơn đối với đạo hàm của hàm Lyapunov.

Với hướng nghiên cứu thứ nhất, một cách để mở rộng các lớp hàm Lyapunov là người ta thường xây dựng các lớp hàm Lyapunov càng tổng quát, càng chứa nhiều thông tin về trạng thái thì tiêu chuẩn ổn định thu được càng tốt, càng dễ thỏa mãn hơn như mở rộng hạng tử toàn phương [12, 34], thêm các hạng tử tích phân ba lớp và bốn lớp [79, 90], sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ [18, 24]. . . . Với hướng nghiên cứu thứ hai, để cải tiến kỹ thuật đánh giá đạo hàm của các hàm Lyapunov, nhiều bất đẳng thức được đề xuất sử dụng như: bất đẳng thức Jensen [29, 30], bất đẳng thức dựa trên Wirtinger [63, 83], bất đẳng thức Wirtinger mở rộng [16, 38, 39, 68, 76], bất đẳng thức Bessel-Legendre [15, 50, 84] và bất đẳng thức dựa trên ma trận tự do [11, 13, 14, 97, 100, 101, 104], các bất đẳng thức lồi đảo [49, 77, 85, 86, 102]. . . .

Để tăng khoảng biến thiên của độ trễ, người ta còn quan tâm đến các lớp hệ mà cả trễ và đạo hàm của trễ đều bị chặn. Với lớp hệ này, để khai thác thông tin chặn đạo hàm của trễ, kỹ thuật hàm Lyapunov với các ma trận phụ thuộc trễ đã được đề xuất sử dụng [48, 96, 103]. Đối với lớp hệ sai phân, năm 2016, các tác giả trong [103], lần đầu tiên, đề xuất một lớp hàm Lyapunov mới với một ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử toàn phương. Tuy nhiên, cho đến nay, kĩ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn chưa được đề xuất sử dụng để nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ sai phân.

Phương pháp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cũng được phát triển và mở rộng cho các lớp hệ suy biến (là hệ bao gồm một phương trình vi phân kết hợp với một phương trình sai phân). Tuy nhiên, các điều kiện đưa ra dựa trên phương pháp này thường khó thỏa mãn hơn vì nó cần thêm các điều kiện ràng buộc về mặt đại số và các điều kiện về tồn tại duy nhất nghiệm. Để mở rộng lớp hàm Lyapunov, năm 2014, Liu Z.Y., Lin C. và Chen B. [53] đã phát triển phương pháp chuyển đổi lớp hệ suy biến về lớp hệ trung tính. Thông qua việc nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ trung tính thì tính ổn định của lớp hệ suy biến cũng được đảm bảo. Phương pháp chuyển đổi này đã nhận được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu trong các năm gần đây [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hướng nghiên cứu này cũng được kết hợp với việc sử dụng các bất đẳng thức tích phân Wirtinger [83] và bất đẳng thức tích phân dựa trên ma trận tự do [100] để đưa ra các tiêu chuẩn ổn định tốt hơn cho lớp hệ có trễ suy biến [21, 52, 53, 54, 107, 108]. Hầu hết các kết quả hiện nay chỉ mới sử dụng các hàm Lyapunov chứa hạng tử tích phân hai lớp và chưa khai thác thông tin về cận đạo hàm của trễ.

Nhận thấy kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ góp phần làm tăng thêm khoảng biến

2.2 Hệ sai phân

thiên của độ trễ. Tuy nhiên, kỹ thuật này ban đầu chỉ mới được xét cho một số lớp hệ. Trong chương này, chúng tôi phát triển kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hàm Lyapunov để thiết lập các tiêu chuẩn ổn định mới hữu hiệu hơn cho lớp hệ sai phân và lớp hệ vi phân suy biến có trễ. Các kết quả mới đưa ra được trình bày chi tiết trong hai mục tiếp theo.

Xét hệ sai phân có trễ sau

  x(k + 1) = Ax(k) + Adx(k − h(k)), k ∈ N0, (2.1) x(k) = φ(k), k ∈ {−h2, . . . , 0}, 

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, A, Ad ∈ Rn×n là các ma trận đã biết, φ(·) là hàm điều kiện ban đầu. Trễ biến thiên h(·) thỏa mãn

(2.2) 0 ≤ h1 ≤ h(k) ≤ h2, µ1 ≤ ∆h(k) ≤ µ2,

trong đó h1 < h2, µ1 và µ2 là các số nguyên đã biết.

Để đưa ra kết quả chính cho Định lý 2.1, ta sử dụng các kí hiệu sau:

k−a (cid:88)

−a (cid:88)

k−a (cid:88)

, β = , µ = max{|µ1|, |µ2|}, h12 = h2 − h1, α = h(k) − h1 h12 h2 − h(k) h12

s=k−b

s=−b

u=k+s

x(u), νa,b(k) = x(s), σa,b(k) = 1 b − a + 1 1 (b − a + 1)(b − a + 2)

ξ(k) = col{x(k), x(k − h1), x(k − h(k)), x(k − h2), ν0,h1(k), νh1,h(k)(k),

νh(k),h2(k), σ0,h1(k), σh1,h(k)(k), σh(k),h2(k), x(k − h1 + 1), x(k − h2 + 1)},

k−1 (cid:88)

ei = [0n×(i−1)n In 0n×(12−i)n], i ∈ {1, . . . , 12}, es = Ae1 + Ade3,

s=k−h1

k−h1−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

x(s)}, η0(k) = col{x(k), x(k − h1), x(k − h2),

u=k+s

s=k−h2

s=−h1

k−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

x(s), x(u)}, η1(k) = col{η0(k),

u=s

y(u)}, η2(k, s) = col{y(s), x(s), y(u)}, η3(k, s) = col{y(s), x(s),

u=s (h1 + 1)eT

5 − eT 2

(cid:3)T , eT 11

Π0 = (cid:2)eT eT s 12 Π1 = col{e1, e2, e4,

(h1 + 1)e5 − e1, (h2 − h(k) + 1)e7 + (h(k) − h1 + 1)e6 − e3 − e2,

(h1 + 1)(h1 + 2)e8 − (h1 + 1)e1},

1 − eT

5 )(cid:3)T

2 eT 12 − eT , Π4 = (cid:2)eT

4 eT 11 − eT

1 − eT 2 eT

2 eT 2 eT

2 − eT 4 1 − eT 2

(h1 + 1)(eT (cid:3)T ,

2 h1eT

1 − (h1 + 1)eT

5 + eT 2 (cid:3)T

(cid:3)T ,

5 − eT , Π8 = (cid:2)eT

12 − eT

4 eT

2 − eT 4

12 (h2 − h(k) + 1)eT

7 + (h(k) − h1 + 1)eT

6 − eT

3 − eT 4 (cid:3)T

Π2 = (cid:2)eT eT s − eT 11 − eT 1 1 0(cid:3)T Π3 = (cid:2)eT 1 eT s − eT (cid:3)T Π5 = (cid:2)0 0 eT s − eT , 1 Π6 = (cid:2)eT 11 (h1 + 1)eT s − eT 2 0(cid:3)T Π7 = (cid:2)eT 2 eT 11 − eT (cid:3)T Π9 = (cid:2)0 0 eT 11 − eT , 2 Π10 = (cid:2)eT

2 − (h2 − h(k) + 1)eT

7 − (h(k) − h1 + 1)eT

6 + eT

3 + eT 4

11 − eT h12eT (cid:104) 1 − eT eT 2

2 − 2eT 5 )

2 + 6eT

1 + eT

1 − eT

5 − 12eT 8 )

, √ √ (cid:105)T , 3(eT 5(eT ρ1 =

6 − 12eT 9 )

3 − 2eT 6 )

3 + 6eT

2 + eT

2 − eT

2 − eT eT 3

√ √ (cid:105)T (cid:104) , 3(eT 5(eT ρ2 =

10)

7 − 12eT

4 − 2eT 7 )

4 + 6eT

3 + eT

3 − eT

3 − eT eT 4 (cid:104)√

√ √ (cid:105)T (cid:104) , 3(eT 5(eT ρ3 =

1 − eT

5 ) 2(eT

1 + 2eT

5 − 6eT 8 )

(cid:105)T 2(eT , ρ4 =

2 − eT

5 ) 2(eT

2 − 4eT

5 + 6eT 8 )

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ5 =

2 − eT

6 ) 2(eT

2 + 2eT

6 − 6eT 9 )

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ6 =

3 − eT

7 ) 2(eT

3 + 2eT

7 − 6eT

10)

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ7 =

3 − eT

6 ) 2(eT

3 − 4eT

6 + 6eT 9 )

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ8 =

7 ) 2(eT

4 − 4eT

7 + 6eT

10)

4 − eT (cid:3)T

(cid:105)T (cid:104)√ , 2(eT

ρ9 = ρ10 = (cid:2)ρT , ρ11 = es − e1, ρ12 = e11 − e2, ρ13 = e12 − e4, ρT 3

11 + (h(k) − h1)P 2

11 P12 P22

(cid:34) (cid:35) (h2 − h(k))P 1 P (h(k)) = , ∗

11 + (h2 − h(k))S2

11 + S10 S12 S22

(cid:34) (cid:35) (h(k) − h1)S1 S(h(k)) = , ∗

(cid:35) (cid:34) ˜N + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 Θ(h(k)) = , ∗ ˜N + αX2

11 + (1 − α)X3 αY3 + (1 − α)Y4

(cid:35) (cid:34) ˜S1 , Ξ1(h(k)) = ∗ ˜S1 11 + αX4

11 + (1 − α)X5 αY5 + (1 − α)Y6

(cid:35) (cid:34) ˜S2 Ξ2(h(k)) = , ˜R1 = diag{R1, R1, R1}, ∗ ˜S2 11 + αX6

11}, i ∈ {1, 2}, ˜N = diag{N, N, N },

11, Si

11 > 0, P 2

˜Si 11, Si 11 = diag{Si ˜Zj = diag{Zj, Zj, Zj}, j ∈ {3, 4}, ¯Zl = diag{Zl, Zl}, l ∈ {1, 2, 3, 4}.

Định lý 2.1 (Nam, Hiep [59]). Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại hai ma trận cấp 4n × 4n, P 1 11 > 0, một ma trận cấp 4n × 2n, P12, một ma trận cấp 2n × 2n, 11, S2 P22 > 0, một ma trận cấp 3n × 3n, Q > 0, ba ma trận đối xứng cấp n × n, S1 11, S10, một ma trận cấp n × 2n, S12, một ma trận cấp 2n × 2n, S22 > 0, sáu ma trận cấp n × n, R1 > 0, R2 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, Z3 > 0, Z4 > 0, sáu ma trận đối xứng cấp 3n × 3n, X1, . . . , X6, sáu ma trận cấp 3n × 3n, Y1, . . . , Y6 sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn

11 P12 P22

11 + S10 S12 S22 ∗

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) h12Si > 0, > 0, i ∈ {1, 2}, (2.3) h12P i ∗

11 + µS2

11) > 0,

(2.4) N := R2 − (µS1

(cid:35) (cid:35)

≥ 0, ≥ 0, (2.5) (cid:34) ˜N + ˜Z3 − X1 ∗ (cid:34) ˜N + ˜Z3 ∗ Y2 ˜N + ˜Z4 − X2

11 − X3 Y3 ˜S1 11

Y1 ˜N + ˜Z4 (cid:35) (cid:35) (cid:34) ˜S1 ≥ 0, ≥ 0, (2.6) ∗ Y4 ˜S1 11 − X4

11 − X5 Y5 ˜S2 11

(cid:35) (cid:35) (cid:34) ˜S2 ≥ 0, (2.7) ≥ 0, (cid:34) ˜S1 11 ∗ (cid:34) ˜S2 11 ∗ ∗ Y6 ˜S2 11 − X6

(2.8) Ψ(h(k), ∆h(k)) < 0, ∀(h(k), ∆h(k)) ∈ {h1, h2} × {µ1, µ2},

trong đó

6 QΠ5 + h12ΠT 11 + P 2 0 (−P 1

3 QΠ3 8 S(h(k))Π8

5 QΠ5 + h12ΠT

9 S(h(k))Π9 + h12∆h(k)ρT 11)ρ13 + h2 11 − S2

10S(h(k))Π9} 11)Π0 + ΠT 7 S(h(k))Π7 − h12ΠT 11 − S2 11)ρ12 11R1ρ11 + h2

13(S1

12ρT

11R2ρ11

Ψ(h(k), ∆h(k)) = Ψ1(h(k), ∆h(k)) − Ψ2(h(k), ∆h(k)), Ψ1(h(k), ∆h(k)) = Sym{ΠT

1 P (h(k))Π2 + ΠT +ΠT 2 P (h(k))Π2 + ∆h(k)ΠT −ΠT 4 QΠ4 + h1ΠT 12ΠT +h2 −h12∆h(k)ρT h1(h1 + 1) 2

12(S1 1ρT h12(h12 + 1) 2

+ ρT 11(Z1 + Z2)ρ11 + ρT 11(Z3 + Z4)ρ11,

¯Z3ρ6 ¯Z1ρ4 + ρT ˜R1ρ1 + ρT

¯Z3ρ7 + ρT ¯Z4ρ8 + ρT ¯Z2ρ5 + ρT ¯Z4ρ9 Ψ2(h(k), ∆h(k)) = ρT 1 +ρT 7

10 (Θ(h(k)) + (µ − ∆h(k))Ξ1(h(k)) + (µ + ∆h(k))Ξ2(h(k))) ρ10.

+ ρT

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau với hai ma trận phụ thuộc trễ P (h(k)) và S(h(k)) trong V1 và V2 như sau:

(2.9) V (k) = V1(k) + V2(k) + V3(k) + V4(k) + V5(k)

trong đó

1 (k)P (h(k))η1(k), k−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

V1(k) = ηT

s=k−h1

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

V2(k) = ηT 3 (k, s)S(h(k))η3(k, s), ηT 2 (k, s)Qη2(k, s) + h12

u=k+s

s=−h2

s=−h1 −1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

V3(k) = h1 yT (u)R1y(u) + h12 yT (u)R2y(u),

u=s

v=k+u

s=−h1

u=−h1

s=−h1 −h1−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

V4(k) = yT (v)Z1y(v) + yT (v)Z2y(v),

u=s

v=k+u

s=−h2

u=−h2

V5(k) = yT (v)Z4y(v), yT (v)Z3y(v) +

Các ma trận P (h(k + 1)), P (h(k)), S(h(k + 1)) và S(h(k)) được viết lại như sau:

(cid:40) (cid:35) (cid:34) (cid:35)(cid:41) (cid:34)

11 P12 P22

, (2.10) P (h(k)) = (h2 − h(k)) + (h(k) − h1) h12P 1 ∗ h12P 2 ∗ 1 h12

11 + S10 S12 S22 ∗

(cid:40) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)(cid:41) h12S1 h12S2 S(h(k)) = , (h2 − h(k)) + (h(k) − h1) 1 h12

11 + P 2

(2.11) (cid:34) (cid:35)

11) 04n×2n 02n×2n (cid:35)

11 − S2

11)

P (h(k + 1)) = + P (h(k)), (2.12) ∆h(k)(−P 1 02n×4n (cid:34) ∆h(k)(S1 S(h(k + 1)) = + S(h(k)). (2.13) 0n×2n 02n×2n 02n×n

Sử dụng (2.3), (2.10) và (2.11), ta có P (h(k)) > 0, S(h(k)) > 0, suy ra tồn tại một số dương λ1 > 0 sao cho

(2.14) V (k) ≥ V1(k) ≥ λ1(cid:107)x(k)(cid:107)2, k ∈ N.

Để nghiên cứu tính ổn định cho hệ vi phân có chậm, trong [5, 84], khái niệm chuẩn của xt trên đoạn thời gian trước đó [−h, 0] được mở rộng như sau:

max{(cid:107)xt(s)(cid:107), (cid:107) ˙xt(s)(cid:107)}, (cid:107)xt(cid:107) = max s∈[−h,0]

với ˙xt(s) = ˙x(t + s). Tương tự như hệ vi phân, khái niệm chuẩn của xk cho hệ sai phân (2.1) cũng được mở rộng như sau:

s∈{−h2,...,0}

(cid:107)xk(cid:107) = max max{(cid:107)xk(s)(cid:107), (cid:107)yk(s)(cid:107)},

với y(k) = x(k + 1) − x(k), yk(s) = y(k + s). Từ (2.3), (2.10) và (2.11), ta suy ra

(cid:35) (cid:34)

11 P12 P22

Pi = ≤ λmax(Pi)I, h12P i ∗

11 + S10 S12 S22 ∗

(cid:34) (cid:35) h12Si Si = ≤ λmax(Si)I, i = 1, 2.

Đặt

λmax(P (h(k))) = max{λmax(P1), λmax(P2)},

λmax(S(h(k))) = max{λmax(S1), λmax(S2)}.

Khi đó,

(cid:35)(cid:41) (cid:35) (cid:34) (cid:40)

11 P12 P22

P (h(k)) = + (h(k) − h1) (h2 − h(k)) h12P 2 ∗ (cid:34) h12P 1 ∗ 1 h12

(2.15) ≤ λmax(P (h(k)))I,

11 + S10 S12 S22 ∗

11 + S10 S12 S22 ∗ (2.16)

(cid:35)(cid:41) (cid:35) (cid:34) (cid:40) h12S2 (cid:34) h12S1 S(h(k)) = + (h(k) − h1) (h2 − h(k)) 1 h12

≤ λmax(S(h(k)))I.

Từ (2.15), (2.16) và thông qua một số phép tính toán, chúng tôi tìm được

1 + h2

12 +

(cid:18) (cid:19) 3 + h2 λ2 = λmax(P (h(k)))

(cid:18) (cid:19) +λmax(Q) 2h1 +

1(h1 + 1)2 h2 4 h1(h1 + 1)(2h1 + 1) 6 h12(h12 + 1)(2h12 + 1) 6

(cid:18) (cid:19) +h12λmax(S(h(k))) 2h12 +

+ λmax(R1) + λmax(R2) h2 1(h1 + 1) 2 h2 12(h12 + 1) 2

+ λmax(Z1) + λmax(Z2) h1(h1 + 1)(h1 + 2) 6 h1(h1 + 1)(2h1 + 1) 6

+ λmax(Z3)

+ λmax(Z4), h12(h12 + 1)(h2 + 2h1 + 2) 6 h12(h12 + 1)(2h2 + h1 + 1) 6

sao cho

(2.17) V (k) ≤ λ2(cid:107)xk(cid:107)2.

Tính sai phân của V (·), sử dụng (2.12), (2.13), ta thu được

11 + P 2

11)η0(k + 1) + ∆ηT

1 (k)P (h(k))∆η1(k)

∆V1(k) = ∆h(k)ηT

0 (k + 1)(−P 1 +2∆ηT 1 (k)P (h(k))η1(k) (cid:110) 0 (−P 1 = ξT (k)

11 + P 2

2 P (h(k))Π2

11)Π0 + ΠT (cid:111)

∆h(k)ΠT

1 P (h(k))Π2)

k−1 (cid:88)

k (cid:88)

ξ(k), +Sym(ΠT

s=k−h1

s=k−h1+1

k−h1(cid:88)

∆V2(k) = ηT 2 (k + 1, s)Qη2(k + 1, s) − ηT 2 (k, s)Qη2(k, s)

s=k−h2+1 k−h1−1 (cid:88)

+h12 ηT 3 (k + 1, s)S(h(k + 1))η3(k + 1, s)

s=k−h2

−h12 ηT 3 (k, s)S(h(k))η3(k, s)

k−1 (cid:88)

k (cid:88)

 T  T  

s=k−h1

s=k−h1+1

k−h1(cid:88)

Q[(cid:63)] Q[(cid:63)] − =         y(s) x(s) x(k) − x(s) y(s) x(s) y(k) + x(k) − x(s)

11 − S2

11)y(s)

s=k−h2+1 

yT (s)(S1 +h12∆h(k)

k−h1(cid:88)



s=k−h2+1

S(h(k))[(cid:63)] +h12    

k−h1−1 (cid:88)

y(s) x(s) y(k − h1) + x(k − h1) − x(s)  

s=k−h2

S(h(k))[(cid:63)] −h12     y(s) x(s) x(k − h1) − x(s)

  T   T   T

= Q[(cid:63)] − Q[(cid:63)] Q[(cid:63)] + h1             0 0 y(k) y(k − h1) x(k − h1) x(k) − x(k − h1)

y(k) x(k) 0   T x(k + 1) − x(k − h1 + 1)  

k (cid:80) s=k−h1

x(s) − x(k − h1) +2 Q     0 0 y(k)             h1x(k) − x(s) + x(k − h1)

11 − S2 11 − S2

11)y(k − h2) 11)y(k − h1)

k−h1−1 (cid:88)

−h12∆h(k)yT (k − h2)(S1 +h12∆h(k)yT (k − h1)(S1   T

11 − S2

11)y(s) + h12

s=k−h2

yT (s)(S1 S(h(k))[(cid:63)] +h12∆h(k)     y(k − h1) x(k − h1) 0

   T  T

S(h(k))[(cid:63)] − h12 S(h(k))[(cid:63)] + h2 12         y(k − h2) x(k − h2) x(k − h1) − x(k − h2)

0 0 y(k − h1)  T  x(k − h1 + 1) − x(k − h2 + 1)  

k−h1(cid:80) s=k−h2

x(s) − x(k − h2) S(h(k)) +2h12     0 0 y(k − h1)             x(s) + x(k − h2) h12x(k − h1) −

k−h1(cid:80) s=k−h2 4 QΠ4 + h1ΠT

5 QΠ5 + Sym(ΠT

3 QΠ3 − ΠT 12(S1

11 − S2

(cid:110) ΠT = ξT (k)

6 QΠ5) 11 − S2 11)ρ13 9 S(h(k))Π9

11)ρ12 − h12∆h(k)ρT 8 S(h(k))Π8 + h2 7 S(h(k))Π7 − h12ΠT (cid:111)

13(S1 12ΠT k−h1−1 (cid:88)

+h12∆h(k)ρT +h12ΠT

10S(h(k))Π9)

11 − S2

11)y(s),

s=k−h2

k−1 (cid:88)

yT (s)(S1 +Sym(h12ΠT ξ(k) + h12∆h(k)

1yT (k)R1y(k) + h2

12yT (k)R2y(k) − h1

s=k−h1

k−h1−1 (cid:88)

∆V3(k) = h2 yT (s)R1y(s)

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h12 yT (s)R2y(s),

u=k+s

s=−h1

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

∆V4(k) = yT (k)(Z1 + Z2)y(k) − yT (u)Z1y(u) h1(h1 + 1) 2

s=−h1

u=k−h1

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

− yT (u)Z2y(u),

u=k+s

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

yT (k)(Z3 + Z4)y(k) − yT (u)Z3y(u) ∆V5(k) = h12(h12 + 1) 2

− yT (u)Z4y(u)

s=−h2 u=k−h2 h12(h12 + 1) 2

= yT (k)(Z3 + Z4)y(k) + Ξ0,

−h(k)−1 (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

trong đó

u=k+s

u=k−h(k)

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

−h(k)−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

Ξ0 = − yT (u)Z3y(u) yT (u)Z3y(u) − (h2 − h(k))

u=k+s

s=−h(k)

s=−h2

u=k−h2

k−h(k)−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

− yT (u)Z3y(u) − yT (u)Z4y(u)

s=−h(k)

u=k−h(k)

u=k−h2

−(h(k) − h1) yT (u)Z4y(u) − yT (u)Z4y(u).

11), ta có

11 + µS2

k−h1−1 (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

Đặt N := R2 − (µS1

s=k−h(k)

s=k−h2

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

−h12 yT (s)R2y(s) = −h12 yT (s)R2y(s) − h12 yT (s)R2y(s)

s=k−h(k)

s=k−h2

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)N y(s) = −h12 yT (s)N y(s) − h12

11y(s) − µh12

11y(s)

s=k−h(k)

s=k−h2

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)S1 yT (s)S1 −µh12

11y(s) − µh12

11y(s).

s=k−h(k)

s=k−h2

yT (s)S2 yT (s)S2 −µh12

Do đó, ta thu được

k−h(k)−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

∆V (k) = ξT (k)Ψ1(h(k), ∆h(k))ξ(k)

s=k−h2

s=k−h1

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)N y(s) − h1 yT (s)R1y(s) − h12

11y(s)

s=k−h(k)

s=k−h2

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)S1 − h12 yT (s)N y(s) − h12(µ − ∆h(k))

11y(s)

s=k−h(k)

k−h(k)−1 (cid:88)

yT (s)S1 − h12(µ − ∆h(k))

11y(s)

s=k−h2 k−h1−1 (cid:88)

yT (s)S2 − h12(µ + ∆h(k))

11y(s)

s=k−h(k)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

yT (s)S2 − h12(µ + ∆h(k))

u=k+s

s=−h1

u=k−h1

− yT (u)Z1y(u) − yT (u)Z2y(u) + Ξ0.

k−1 (cid:88)

Áp dụng các bất đẳng thức trong Bổ đề 1.6, ta thu được

s=k−h1

k−h(k)−1 (cid:88)

−h1 ˜R1ρ1}ξ(k), yT (s)R1y(s) ≤ ξT (k){−ρT 1

s=k−h2

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)N y(s) ≤ − −h12 ˜N ρ3}ξ(k), ξT (k){ρT 3 1 β

s=k−h(k)

k−h(k)−1 (cid:88)

yT (s)N y(s) ≤ − −h12 ˜N ρ2}ξ(k), ξT (k){ρT 2 1 α

11y(s) ≤ −(µ − ∆h(k))

s=k−h2

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)S1 −h12(µ − ∆h(k)) ξT (k){ρT 3 ˜S1 11ρ3}ξ(k), 1 β

11y(s) ≤ −(µ − ∆h(k))

s=k−h(k)

k−h(k)−1 (cid:88)

yT (s)S1 −h12(µ − ∆h(k)) ξT (k){ρT 2 ˜S1 11ρ2}ξ(k), 1 α

11y(s) ≤ −(µ + ∆h(k))

s=k−h2

k−h1−1 (cid:88)

yT (s)S2 −h12(µ + ∆h(k)) ξT (k){ρT 3 ˜S2 11ρ3}ξ(k), 1 β

11y(s) ≤ −(µ + ∆h(k))

s=k−h(k)

yT (s)S2 −h12(µ + ∆h(k)) ξT (k){ρT 2 ˜S2 11ρ2}ξ(k), 1 α

k−h1−1 (cid:88)

s=k−h(k)

(cid:19) − 1 −(h2 − h(k)) yT (s)Z3y(s) ≤ − ˜Z3ρ2}ξ(k), ξT (k){ρT 2 (cid:18) 1 α

k−h(k)−1 (cid:88)

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

(cid:19) − 1 −(h(k) − h1) yT (s)Z4y(s) ≤ − ˜Z4ρ3}ξ(k), ξT (k){ρT 3 (cid:18) 1 β

u=k+s

s=−h1

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

− ¯Z1ρ4}ξ(k), yT (u)Z1y(u) ≤ ξT (k){−ρT 4

s=−h1

u=k−h1

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

− ¯Z2ρ5}ξ(k), yT (u)Z2y(u) ≤ ξT (k){−ρT 5

u=k+s

s=−h(k)

−h(k)−1 (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

− ¯Z3ρ6}ξ(k), yT (u)Z3y(u) ≤ ξT (k){−ρT 6

u=k+s

s=−h2)

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

− ¯Z3ρ7}ξ(k), yT (u)Z3y(u) ≤ ξT (k){−ρT 7

s=−h(k)

u=k−h(k)

− ¯Z4ρ8}ξ(k), yT (u)Z4y(u) ≤ ξT (k){−ρT 8

−h(k)−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

s=−h2

u=k−h2

− ¯Z4ρ9}ξ(k). yT (u)Z4y(u) ≤ ξT (k){−ρT 9

Kết hợp (2.5)- (2.7) và Bổ đề 1.5, ta có các ước lượng sau

− (µ − ∆h(k))ξT (k){ ρT 2 ρT 3 ˜S1 11ρ3}ξ(k) 1 α

11 + (1 − α)X3 αY3 + (1 − α)Y4

(cid:35) (cid:34) (cid:34) (cid:35)  ˜S1 11ρ2 +   1 β (cid:35)T (cid:34) ˜S1 ξ(k) ≤ −(µ − ∆h(k))ξT (k) ∗ ρ2 ρ3 ˜S1 11 + αX4  

10Ξ1(h(k))ρ10

= ξT (k) (cid:8)−ρT ρ2 ρ3 (cid:9) ξ(k), (2.18)

− ˜N ρ2}ξ(k) − ξT (k){ρT 2 1 β (cid:19) ˜N ρ3}ξ(k) (cid:19) − 1 − 1 − ˜Z3ρ2}ξ(k) − ˜Z4ρ3}ξ(k) ξT (k){ρT 2 ξT (k){ρT 3 1 α (cid:18) 1 α ξT (k){ρT 3 (cid:18) 1 β

2 ( ˜N + ˜Z3)ρ2 − ρT

3 ( ˜N + ˜Z4)ρ3 + ρT

(cid:34) (cid:35) (cid:34)   (cid:35)  − = ξT (k) ξ(k) 1 α 1 β 0 ˜Z4 ρ2 ρ3 

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)T (cid:34) ˜Z3 0 (cid:35)     ρ2 ρ3 (cid:35)T (cid:34) ˜N + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 ξ(k) − ≤ ξT (k) ∗ ˜N + αX2 ρ2 ρ3 ρ2 ρ3  

10Θ(h(k))ρ10

= ξT (k) (cid:8)−ρT (cid:9) ξ(k), (2.19)

và

− (µ + ∆h(k))ξT (k){ ˜S2 11ρ3}ξ(k) ρT 2 ρT 3 1 α

11 + (1 − α)X5 αY5 + (1 − α)Y6

(cid:35) (cid:34) (cid:34) (cid:35)  ˜S2 11ρ2 +   1 β (cid:35)T (cid:34) ˜S2 ξ(k) ≤ −(µ + ∆h(k))ξT (k) ∗ ρ2 ρ3 ˜S2 11 + αX6  

10Ξ2(h(k))ρ10

= ξT (k) (cid:8)−ρT ρ2 ρ3 (cid:9) ξ(k). (2.20)

Từ trên, ta thu được

∆V (k) ≤ ξT (k)Ψ(h(k), ∆h(k))ξ(k).

Mặt khác, bằng một số tính toán, ta có

(cid:104) ∂2 = 0 và = 0. (cid:104) ∂2 (cid:105) ∂h2 (Ψ(h(·), ∆h(·)) (cid:105) ∂(∆h)2 (Ψ(h(·), ∆h(·))

Theo Bổ đề 1.7 và (2.8), ta thu được ∆V (k) < 0. Do đó, hệ (2.1) là ổn định tiệm cận. Vậy, Định lý 2.1 đã được chứng minh.

Nhận xét 2.1. Đối với lớp hệ sai phân có trễ, năm 2016, các tác giả trong [103], lần đầu tiên, đề xuất một lớp hàm Lyapunov mới với một ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử toàn phương để đưa ra một tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc vào cận sai phân của trễ. Trong Luận án, chúng tôi đề xuất sử dụng một lớp hàm Lyapunov mới, mở rộng, có hai ma trận phụ thuộc trễ, một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử toàn phương và một ma trận phụ thuộc trễ ở trong hạng tử tổng đơn (ma trận P (h(k)) trong hàm V1(k) và ma trận S(h(k)) trong hàm V2(k)). Để chỉ ra hiệu quả trong việc cải thiện độ trễ khi sử dụng kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn, chúng tôi so sánh giữa kết quả trong Định lý 2.1 và tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc vào cận sai phân của trễ khác cũng thu được bằng cách sử dụng cùng một hàm Lyapunov (2.9) nhưng không sử dụng kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn, tức là ma trận phụ thuộc trễ S(h(k)) được thay bằng ma trận hằng S.

11 = S2

11 = 0 thì ma trận S(h(k)) trở thành một ma trận hằng S. Khi đó, từ Định lý 2.1, một tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc cận sai phân của trễ (không sử dụng kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn) được đưa ra và được phát biểu trong hệ quả sau:

Bằng cách đặt S1

11 > 0, P 2

Hệ quả 2.1 (Nam, Hiep [59]). Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại hai ma trận cấp 4n × 4n, P 1 11 > 0, một ma trận cấp 4n × 2n, P12, một ma trận cấp 2n × 2n, (cid:34) (cid:35)

11 = S2

> 0, Q > 0, sáu ma trận cấp n × n, P22 > 0, hai ma trận cấp 3n × 3n, S =

S10 S12 S22 ∗ R1 > 0, R2 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, Z3 > 0, Z4 > 0, hai ma trận đối xứng cấp 3n × 3n, X1, X2 và hai ma trận cấp 3n × 3n, Y1, Y2 sao cho ba bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.4), (2.5) và (2.8) với S1 11 = 0 và thay S(h(k)) bởi S, N bởi R2 được thỏa mãn.

11 = P 2

11 và S1

11 = S2

Nhận xét 2.2. Thông qua một ví dụ bằng số (Ví dụ 2.1 được trình bày ở dưới đây), chúng tôi chỉ ra rằng kết quả trong Định lý 2.1 cải thiện độ trễ hơn so với kết quả trong Hệ quả 2.1. Điều này có nghĩa là kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn đóng vai trò quan trọng trong việc tăng tính hiệu quả cải thiện độ trễ của tiêu chuẩn ổn định được đưa ra.

Đối với trường hợp, không xác định được cận của sai phân của trễ thì bằng cách đặt P 1 11 = 0, tức là, hai ma trận P (h(k)) và S(h(k)) được giảm xuống thành hai ma trận hằng P và S, từ Định lý 2.1, chúng tôi thu được một tiêu chuẩn ổn định chỉ phụ thuộc vào cận của trễ cho hệ (2.1) và được phát biểu trong hệ quả sau:

Hệ quả 2.2 (Nam, Hiep [59]). Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận (cid:34) (cid:34) (cid:35) (cid:35)

11 P12 P22

cấp 6n × 6n, P = > 0, một ma trận cấp 3n × 3n, S = > 0, h12P 1 ∗ S10 S12 S22 ∗

11 = S2

11, S1

một ma trận cấp 3n × 3n, Q > 0, sáu ma trận cấp n × n, R1 > 0, R2 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, Z3 > 0, Z4 > 0, hai ma trận đối xứng cấp 3n × 3n, X1, X2 và hai ma trận cấp 3n × 3n, Y1, Y2 sao cho hai bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.5) và (2.8) với 11 = P 2 P 1 11 = 0 và thay P (h(k)) bởi P , S(h(k)) bởi S, N bởi R2 được thỏa mãn.

Trong trường hợp trễ hằng tức là h(k) = h1 = h2 =: h, ∆h(k) = 0, hàm Lyapunov

(2.9) trở thành hàm sau:

(2.21) ¯V (k) = ¯V1(k) + ¯V2(k) + ¯V3(k) + ¯V4(k),

k−1 (cid:88)

trong đó

1 (k)P ¯η1(k), ¯V2(k) =

s=k−h

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

¯V1(k) = ¯ηT ηT 2 (k, s)Qη2(k, s),

s=−h

u=k+s

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

¯V3(k) = h yT (u)R1y(u),

u=s

s=−h

v=k+u

s=−h

u=−h

v=k+u

¯V4(k) = yT (v)Z1y(v) + yT (v)Z2y(v).

Tương tự như trong chứng minh Định lý 2.1 nhưng không sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ và bất đẳng thức lồi đảo, chúng tôi thu được kết quả cho tính ổn định của hệ (2.1) trong trường hợp trễ hằng và được trình bày trong Hệ quả 2.3.

k (cid:88)

0 (cid:88)

Các ký hiệu sau được dùng để đưa ra Hệ quả 2.3:

u=k+s

s=k−h

s=−h

x(u), x(s), σ0,h(k) = ν0,h(k) = 1 h + 1 1 (h + 1)(h + 2)

¯ξ(k) = col{x(k), x(k − h), ν0,h(k), σ0,h(k), x(k − h + 1)},

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

¯ei = [0n×(i−1)n In 0n×(5−i)n], i ∈ {1, . . . , 5}, ¯es = A¯e1 + Ad¯e2,

s=k−h

s=−h

u=k+s

k−1 (cid:88)

x(s), x(u)}, ¯η1(k) = col{x(k), x(k − h),

u=s

y(u)}, η2(k, s) = col{y(s), x(s),

1 − ¯eT 2 ¯eT

3 )(cid:3)T 1 − ¯eT 2

, (cid:3)T , (h + 1)(¯eT 2 ¯eT 5 − ¯eT

1 − (h + 1)¯eT

3 − ¯eT

2 h¯eT

3 + ¯eT 2

(cid:3)T (h + 1)¯eT , ¯Π1 = col{¯e1, ¯e2, (h + 1)¯e3 − ¯e1, (h + 1)(h + 2)¯e4 − (h + 1)¯e1}, ¯Π2 = (cid:2)¯eT 2 ¯eT ¯eT s − ¯eT 1 − ¯eT 5 − ¯eT 1 2 , ¯Π4 = (cid:2)¯eT 1 0(cid:3)T ¯Π3 = (cid:2)¯eT 1 ¯eT s − ¯eT ¯Π5 = (cid:2)0 0 ¯eT (cid:3)T s − ¯eT , 1 ¯Π6 = (cid:2)¯eT s − ¯eT 5

1 + ¯eT

2 − 2¯eT 3 )

1 − ¯eT

2 + 6¯eT

3 − 12¯eT 4 )

√ √ (cid:105)T (cid:104) 3(¯eT 5(¯eT , ¯ρ1 =

1 − ¯eT

3 ) 2(¯eT

1 + 2¯eT

3 − 6¯eT 4 )

(cid:105)T ¯eT 1 − ¯eT 2 (cid:104)√ 2(¯eT , ¯ρ4 =

3 + 6¯eT 4 )

3 ) 2(¯eT

2 − 4¯eT

2 − ¯eT

(cid:105)T (cid:104)√ 2(¯eT , ¯ρ11 = ¯es − ¯e1,

¯ρ5 = ˜R1 = diag{R1, R1, R1}, ¯Zi = diag{Zi, Zi}, i ∈ {1, 2}.

Hệ quả 2.3. Hệ (2.1) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận cấp 4n × 4n, P > 0, một ma trận cấp 3n × 3n, Q > 0, ba ma trận cấp n × n, R1 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:

(2.22) ¯Ψ := ¯Ψ1 − ¯Ψ2 < 0,

trong đó

1 P ¯Π2) + Sym( ¯ΠT

3 Q ¯Π3 − ¯ΠT

4 Q ¯Π4

¯Ψ1 = Sym( ¯ΠT

2 P ¯Π2 + ¯ΠT ¯ρT 11(Z1 + Z2)¯ρ11,

5 Q ¯Π5 + h2 ¯ρT

6 Q ¯Π5) + ¯ΠT h(h + 1) 2

+h ¯ΠT

11R1 ¯ρ11 + ¯Z2 ¯ρ5.

¯Ψ2 = ¯ρT ¯Z1 ¯ρ4 + ¯ρT ˜R1 ¯ρ1 + ¯ρT

Trong phần tiếp theo, chúng tôi đưa ra hai ví dụ số để minh họa tính hữu hiệu

trong việc cải thiện độ trễ của các tiêu chuẩn đã đưa ra.

Ví dụ 2.1. Xét hệ có trễ (2.1) với

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 1 A = . , Ad = 0.01 −0.1 0.99 0.003 0.001 0.005 0.01

trễ biến thiên được xét với hai trường hợp: (i) trễ thỏa mãn điều kiện (2.2) và µ2 = −µ1 := µ. (ii) trễ biến đổi trong một khoảng [h1, h2].

Đối với trường hợp (i), từ Định lý 1 trong [103], Định lý 2.1 và Hệ quả 2.1, ứng với các giá trị khác nhau của µ và h1 thì các cận trên cho phép, h2, được tìm thấy và liệt kê trong Bảng 2.1-2.3. Từ Bảng 2.1-2.3, có thể thấy rằng:

(i1) Các cận trên cho phép thu được bởi Định lý 2.1 lớn hơn hoặc bằng các cận trên thu được bởi Hệ quả 2.1. Điều này cho thấy kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ trong hạng tử tổng đơn có thể giúp tăng tính hiệu quả trong việc cải thiện độ trễ của tiêu chuẩn ổn định được đưa ra.

(i2) Đối với trường hợp h1 = 40; 50; 60; 70, cận trên cho phép thu được bởi Hệ quả 2.1 và Định lý 2.1 thì lớn hơn kết quả thu được bởi Định lý 1 trong [103], nhưng, đối với trường hợp h1 = 30, Định lý 1 trong [103] cung cấp cận trên cho phép lớn hơn.

Điều này có nghĩa là kết quả của chúng tôi có thể cải thiện độ trễ hơn kết quả trong [103], nhưng, có một vài trường hợp, kết quả trong [103] cải thiện độ trễ hơn kết quả của chúng tôi. Do đó, để đưa ra được các cận trên cho phép lớn nhất, chúng tôi sẽ lấy lớn nhất của các cận thu được từ kết quả của chúng tôi (Định lý 2.1) và kết quả trong [103].

(i3) Số lượng biến số của tiêu chuẩn ổn định của chúng tôi trong Định lý 2.1 và Hệ

quả 2.1 nhỏ hơn nhiều so với tiêu chuẩn ổn định trong [103].

Bảng 2.1 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 40; 50 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

Phương pháp \ µ Định lý 1 [103] Hệ quả 2.1 Định lý 2.1 h1 = 40 3 146 151 152 2 146 152 153 4 146 150 152 5 146 150 151 1 149 153 155 h1 = 50 3 152 162 163 2 152 163 164 4 152 162 162 5 152 161 162 1 153 164 165

Bảng 2.2 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 60; 70 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

Phương pháp \ µ Định lý 1 [103] Hệ quả 2.1 Định lý 2.1 h1 = 60 3 155 168 168 2 155 168 168 4 155 168 168 5 155 168 168 1 155 169 169 h1 = 70 3 157 170 170 2 157 170 170 4 157 170 170 5 157 170 170 1 157 170 171

Đối với trường hợp (ii), từ Hệ quả 2.2 và các kết quả trong [68, 103, 106], các cận trên cho phép được tính và liệt kê trong Bảng 2.4. Từ Bảng 2.4, chúng ta thấy rằng, đối với trường hợp h1 = 50; 60; 70; 80 thì Hệ quả 2.2 cung cấp các cận trên lớn nhất cho phép. Tuy nhiên, đối với trường hợp h1 = 30; 40, các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ khác cung cấp cận trên cho phép lớn hơn. Tương tự như trường hợp (i), để có được các cận trên cho phép lớn nhất, chúng tôi sẽ lấy lớn nhất các cận thu được theo tiêu chuẩn ổn định của chúng tôi (Hệ quả 2.2) và các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ khác.

Cuối cùng, từ Bảng 2.1-2.4, có thể thấy rằng các cận trên cho phép có được theo

Bảng 2.3 Các cận trên cho phép h2 với µ khác nhau và h1 = 30 của Ví dụ 2.1, trường hợp (i)

Số biến

Phương pháp \ µ Định lý 1 [103] Hệ quả 2.2 Định lý 2.1 208n2 + 22n 57n2 + 12n 120n2 + 21n h1 = 30 3 137 131 132 2 138 132 133 4 137 131 132 5 137 131 132 1 142 132 134

Định lý 1 trong [103], Định lý 2.1 và Hệ quả 2.1 thì lớn hơn các cận thu được bởi tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ trong [68, 103, 106] và Hệ quả 2.2. Điều này minh họa rằng các tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc cận sai phân của trễ thì cải thiện độ trễ hơn so với tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc trễ.

Bảng 2.4 Các cận trên cho phép h2 với h1 khác nhau của Ví dụ 2.1, trường hợp (ii)

Phương pháp\h1 [103] (Hệ quả 1) [68] (Định lý 1) [106] (Định lý 1)

Hệ quả 2.2 30 137 124 139 131 40 146 144 149 148 50 152 156 158 160 60 155 163 164 167 70 157 167 169 170 80 157 169 171 171

T 

Ví dụ 2.2. Xét hệ có trễ sau (2.1) (được xét trong [103]), với

    

0.01 0 , A = , Ad = 0 1 0.009                         0.1284 −0.1380 −0.3049 0.0522 0 0 0.01 0 0 1 0.01 0 −0.009 0.9996 0.0004 0.009 −0.009 0.0004 0.9996

và trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện (2.2) và µ2 = −µ1 := µ. Sử dụng Định lý 1 trong [103] và Định lý 2.1, cho các giá trị khác nhau của µ và h1 thì cận trên cho phép, h2, được liệt kê trong Bảng 2.5. Từ Bảng 2.5, chúng ta có thể thấy rằng, kết quả của chúng tôi với số biến nhỏ hơn có thể cung cấp hầu hết các cận trên cho phép lớn hơn hoặc bằng cận thu được bởi Định lý 1 trong [103] (ngoại trừ hai trường hợp h1 = 1, µ = 1 và h1 = 10, µ = 1). Tương tự như Ví dụ 2.1, để đưa ra các cận trên cho phép lớn nhất, chúng tôi sẽ lấy lớn nhất các cận thu được bằng phương pháp của chúng tôi và phương pháp trong [103].

Bảng 2.5 Các cận trên cho phép, h2, với các giá trị khác nhau của µ và h1 (Ví dụ 2.2)

Phương pháp\µ [103] (Định lý 1), (h1 = 1)

Định lý 2.1

[103] (Định lý 1),(h1 = 5)

Định lý 2.1

[103] (Định lý 1), (h1 = 10)

2.3 Hệ vi phân suy biến

Định lý 2.1 1 148 146 148 148 150 149 2 143 143 145 145 146 147 3 141 141 142 143 144 145 4 140 140 141 142 143 144 5 139 139 140 141 142 143

Hệ suy biến (hay còn gọi là hệ phương trình vi phân đại số) bao gồm một phương trình vi phân kết hợp với một phương trình sai phân. Hệ suy biến được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như kinh tế [56], mạng lưới điện [9], cơ học [57]. . . . Phương pháp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cũng được phát triển và mở rộng cho các lớp hệ suy biến. Tuy nhiên, người ta chỉ mới phát triển phương pháp hàm Lyapunov bằng cách sử dụng hạng tử chứa tích phân hai lớp. Hơn nữa, kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ vẫn chưa được phát triển cho lớp hệ vi phân suy biến. Trong mục này, chúng tôi phát triển một cách tiếp cận mới bằng cách: thêm hạng tử tích phân ba lớp kết hợp với một ma trận phụ thuộc trễ. Từ đó, chúng tôi thu được một tiêu chuẩn ổn định mới hữu hiệu hơn cho hệ vi phân suy biến có trễ sau:

  E ˙x(t) = Ax(t) + Ahx(t − h(t)), t ≥ 0, (2.23) x(t) = φ(t), t ∈ [−h, 0], 

(2.24) 0 ≤ h(t) < h, µ1 ≤ ˙h(t) ≤ µ2,

trong đó h, µ1 và µ2 là các số đã biết.

Nhận xét 2.3. Hệ suy biến (2.23) không phải bao giờ cũng tồn tại duy nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu. Để tồn tại duy nhất nghiệm, hệ suy biến (2.23) cần phải thêm một số điều kiện. Nếu cặp (E, A) là chính quy và “impulse-free” thì hệ (2.23) tồn tại và tính duy nhất nghiệm (Bổ đề 1.11). Ngoài ra, khi cặp (E, A) là chính quy và

“impulse-free”, theo [17], tồn tại hai ma trận khả nghịch M, N ∈ Rn×n sao cho

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

M EN = , M AN = (2.25) . , M AhN = Ir 0 0 0 A1 0 0 In−r Ad1 Ad2 Ad3 Ad4

Tính chất trên được sử dụng để chuyển hệ (2.23) về hệ trung tính thông qua phép

đổi biến, v(t) = N −1x(t), [53], như sau:

  (2.26) ˙v(t) − ˜C(t) ˙v(t − h(t)) = ˜Av(t) + ˜Adv(t − h(t)), t ≥ 0, v(t) = ψ(t), t ∈ [−h, 0] 

trong đó

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) 0 0 0 ˜A = , C = , ˜C(t) = (1− ˙h(t))C. , ˜Ad = A1 0 −In−r Ad1 Ad2 −Ad3 −Ad4 −Ad3 −Ad4

Giả thiết ρ( ˜C(t)) = max{|1 − µ1|, |1 − µ2|}ρ(C) < 1 đảm bảo hệ (2.23) là ổn định nếu hệ (2.26) là ổn định [53].

Để đưa ra kết quả chính cho Định lý 2.2, ta sử dụng các kí hiệu sau:

t−h(t)

t−h

(cid:35)T (cid:34) (cid:90) t (cid:90) t−h(t) vT (t) vT (t − h) vT (t − h(t)) vT (s)ds vT (s)ds , κ1(t) =

(cid:21)T (cid:20) (cid:90) t ˙vT (θ)dθ , vT (s) ˙vT (s) κ2(t, s) =

(cid:34) (cid:35)T (cid:90) t−h(t) vT (s) ˙vT (s) ˙vT (θ)dθ , κ3(t, s) =

ζ(t) = (cid:2)vT (t) vT (t − h(t)) vT (t − h) ˙vT (t − h)

t−h(t)

t−h

˙vT (t − h(t)) (cid:90) t−h(t) (cid:90) t vT (s)ds vT (s)ds 1 h(t) 1 h − h(t)

−h

t+θ

−h(t)

t+θ

(cid:35)T (cid:90) −h(t) (cid:90) t−h(t) (cid:90) 0 (cid:90) t , vT (s)dsdθ vT (s)dsdθ 1 (h − h(t))2 1 h(t)2

(cid:34) (cid:35)

P (h(t)) = (h − h(t))P 1 11 + h(t)P 2 ∗

11 P12 P22 (cid:35)

(cid:34) (cid:40) (cid:34) (cid:35)(cid:41)

(h − h(t)) = + h(t) , hP 1 11 P12 P22 ∗ hP 2 11 P12 P22 ∗

11 + P 2

11) 03n×2n 02n×2n

(cid:35) 1 h (cid:34) ˙h(t)(−P 1 ˙P (h(t)) = , 02n×3n

(cid:35) (cid:34) ˜R + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 Θ(h(t)) = , β = , , α = h − h(t) h h(t) h ∗ ˜R + αX2

Ω1 = v(t − h(t)) − v(t − h),

t−h

(cid:90) t−h(t) v(s)ds, Ω2 = v(t − h(t)) + v(t − h) − 2 h − h(t)

t−h

(cid:90) t−h(t) v(s)ds Ω3 = v(t − h(t)) − v(t − h) + 6 h − h(t)

t+θ

−h

(cid:90) t−h(t) (cid:90) −h(t) − v(s)dsdθ, 12 (h − h(t))2

t−h(t)

(cid:90) t v(s)ds, Ω4 = v(t) − v(t − h(t)), Ω5 = v(t) + v(t − h(t)) − 2 h(t)

t−h(t)

−h(t)

t+θ

(cid:90) t (cid:90) 0 (cid:90) t v(s)ds − v(s)dsdθ, Ω6 = v(t) − v(t − h(t)) + 12 h(t)2 6 h(t)

t−h

(cid:90) t−h(t) v(s)ds, Ω7 = v(t − h(t)) − 1 h − h(t)

t−h

−h

t+θ

(cid:90) t−h(t) (cid:90) −h(t) (cid:90) t−h(t) v(s)ds − v(s)dsdθ, Ω8 = v(t − h(t)) + 2 h − h(t) 6 (h − h(t))2

t−h(t)

(cid:90) t v(s)ds, Ω9 = v(t) − 1 h(t)

t−h(t)

−h(t)

t+θ

(cid:90) t (cid:90) 0 (cid:90) t v(s)ds − v(s)dsdθ, Ω10 = v(t) + 2 h(t) 6 h(t)2

t−h(t)

(cid:90) t v(s)ds, Ω11 = v(t − h(t)) − 1 h(t)

−h(t)

t+θ

t−h(t)

(cid:90) 0 (cid:90) t (cid:90) t v(s)ds + v(s)dsdθ, Ω12 = v(t − h(t)) − 6 h(t)2 4 h(t)

t−h

(cid:90) t−h(t) v(s)ds, Ω13 = v(t − h) − 1 h − h(t)

t−h

−h

t−h

(cid:90) t−h(t) (cid:90) −h(t) (cid:90) t+θ v(s)ds + v(s)dsdθ, Ω14 = v(t − h) − 4 h − h(t) 6 (h − h(t))2

˜h(t) = 1 − ˙h(t),

ei = [0n×(i−1)n In 0n×(9−i)n], i ∈ {1, . . . , 9},

1 − ˜h(t)eT

3 ]T ,

s ]T ,

4 ]T ,

7 )]T , Π6 = [0 0 ˜h(t)eT

2 h(t)eT 6 ˜h(t)eT 4 eT 2 h(t)(eT 1 − eT 2 − eT 7 eT 3 2 eT s 0]T , Π8 = [eT 3 eT 4 0]T , Π10 = [eT

2 1 − eT (h − h(t))(eT 1 − eT 2 − eT

(h − h(t))eT

7 ]T , ˜h(t)eT 2 − eT 6 )]T , Π4 = [0 0 eT 2 − eT 2 ]T , 4 eT 3 ]T , 5 eT ˜Z1 = diag{Z1, Z1, Z1}, 3(e2 + e3 − 2e7), ˜ω3 =

1 ˜ωT

2 ˜ωT

3 ]T ,

es = ˜Ae1 + ˜Ade2 + ˜C(t)e4, 1 eT Π1 = [eT 3 eT s eT Π2 = [eT 5 6 eT Π3 = [h(t)eT Π5 = [(h − h(t))eT 1 eT Π7 = [eT Π9 = [eT 2 eT ˜R = diag{R, R, R}, √ ˜Z2 = diag{Z2, Z2, Z2}, √ ˜ω1 = e2 − e3, ˜ω2 = 5(e2 − e3 + 6e7 − 12e8), √ √ ˜ω4 = e1 − e2, ˜ω5 = 3(e1 + e2 − 2e6), ˜ω6 = 5(e1 − e2 + 6e6 − 12e9), √ √ ˜ω7 = 2(e2 − e7), ˜ω8 = 2(e2 + 2e7 − 6e8), ˜ω9 = 2(e1 − e6), √ ˜ω10 = 2(e1 + 2e6 − 6e9), ˜ω11 = 2(e2 − e6), ˜ω12 = 2(e2 − 4e6 + 6e9), √

5 ˜ωT

6 ]T .

˜ω13 = ˜ω456 = [˜ωT 2(e3 − e7), ˜ω14 = 2(e3 − 4e7 + 6e8), ˜ω123 = [˜ωT 4 ˜ωT

Định lý 2.2 (Nam, Hiep [60]). Giả sử rằng (E, A) là chính quy và “impulse-free”, và ρ( ˜C(t)) < 1. Hệ (2.26) (hoặc hệ (2.23)) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ba ma trận cấp n × n, R > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, hai ma trận cấp 3n × 3n, Q1 > 0, Q2 > 0, bốn ma 11, một ma trận đối xứng P22 ∈ R2n×2n và 11, P 2 trận đối xứng cấp 3n × 3n, X1, X2, P 1 các ma trận Y1, Y2 ∈ R3n×3n, P12 ∈ R3n×2n sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn (cid:35) (cid:35)

≥ 0, ≥ 0, (2.27) Y1 ˜R + ˜Z1 Y2 ˜R + ˜Z1 − X2 (cid:34) ˜R + ˜Z2 − X1 Y T 1 (cid:34) ˜R + ˜Z2 Y T 2

(cid:35) (cid:34)

> 0, i ∈ {1, 2}, (2.28) hP i 11 P12 P22 ∗

và

(2.29) − ¯Σ2h(t) < 0, ∀h(t) ∈ {0, h}, ˙h(t) ∈ {µ1, µ2}, ¯Σ1[h(t), ˙h(t)]

trong đó

1 P (h(t))Π2 + ΠT

˙P (h(t))Π1 ¯Σ1[h(t), ˙h(t)]

3 Q1Π4 + ΠT 8 Q1Π8 + ˜h(t)ΠT

5 Q2Π6} + ΠT 1 9 Q2Π9 − ΠT

10Q2Π10

7 Q1Π7 − ˜h(t)ΠT

= Sym{ΠT +ΠT

11Z2 ˜ω11

9 Z1 ˜ω9 + ˜ωT

8 Z1 ˜ω8 + ˜ωT

s Res + 7 Z1 ˜ω7 + ˜ωT

+h2eT eT s (Z1 + Z2)es, h2 2

10Z1 ˜ω10 + ˜ωT (cid:35)T

¯Σ2h(t) = ˜ωT (cid:34) (cid:34) (cid:35)

12Z2 ˜ω12 + ˜ωT

13Z2 ˜ω13 + ˜ωT

14Z2 ˜ω14 +

+˜ωT Θ(h(t)) . ˜ω123 ˜ω456 ˜ω123 ˜ω456

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov với một ma trận phụ thuộc trễ, P (h(t)), như sau:

1 (t)P (h(t))κ1(t) +

t−h(t)

(cid:90) t V (t) = κT κT 2 (t, s)Q1κ2(t, s)ds

t+θ

−h

(cid:90) t (cid:90) 0 (cid:90) t−h(t) ˙vT (s)R ˙v(s)dsdθ + κT 3 (t, s)Q2κ3(t, s)ds + h

t−h (cid:90) 0

t+θ (cid:90) t

γ (cid:90) γ

−h (cid:90) 0

(cid:90) t (cid:90) 0 + ˙vT (s)Z1 ˙v(s)dsdθdγ

t+θ

−h

(2.30) + ˙vT (s)Z2 ˙v(s)dsdθdγ.

Bởi (2.28), tồn tại một số dương λ1 > 0 sao cho

(2.31) V (t) ≥ λ1||v(t)||2, ∀t ≥ 0.

Trong [5, 84], để nghiên cứu tính ổn định cho hệ vi phân, khái niệm chuẩn của vt trên đoạn [−h, 0] được mở rộng như sau:

{(cid:107)vt(s)(cid:107), (cid:107) ˙vt(s)(cid:107)}, (cid:107)vt(cid:107) = max s∈[−h,0]

với ˙vt(s) = ˙v(t + s).

Từ (2.28), ta suy ra

(cid:35) (cid:34)

≤ λmax(Pi)I, i = 1, 2. Pi = hP i 11 P12 P22 ∗

Đặt

λmax(P (h(t))) = max{λmax(P1), λmax(P2)}.

Khi đó,

(cid:40) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)(cid:41)

P (h(t)) = (h − h(t)) + h(t) 1 h hP 1 11 P12 P22 ∗ hP 2 11 P12 P22 ∗

(2.32) ≤ λmax(P (h(t)))I.

Từ (2.32) và thông qua một số phép tính toán, chúng tôi tìm được

(cid:19) (cid:18) 2h(t) + λ3 = λmax(P (h(t))) (cid:0)3 + h(t)2 + (h − h(t))2(cid:1) + λmax(Q1) h(t)3 3 (cid:18) (cid:19) 2(h − h(t)) + + +λmax(Q2) λmax(R) + λmax(Z1) (h − h(t))3 3 h2 2 h3 6

+ λmax(Z2), h3 3

sao cho

V (t) ≤ λ3(cid:107)vt(cid:107)2.

1 (t) ˙P (h(t))κ1(t)

Tính đạo hàm của V (t) và sử dụng (2.26) ta suy ra

2 (t, t − h(t))Q1κ2(t, t − h(t))

1 (t)P (h(t))κ1(t) + κT 2 (t, t)Q1κ2(t, t) − (1 − ˙h(t))κT (cid:90) t

˙V (t) = 2 ˙κT + κT

2 (t, s)Q1κ2(t, s)ds + (1 − ˙h(t))κT ˙κT

3 (t, t − h(t))Q2κ3(t, t − h(t))

t−h(t)

+ 2

3 (t, t − h)Q2κ3(t, t − h) + 2

t−h

(cid:90) t−h(t) − κT ˙κT 3 (t, s)Q2κ3(t, s)ds

t−h

−h (cid:90) 0

t+γ (cid:90) t+γ

(cid:90) t + h2 ˙vT (t)R ˙v(t) − h ˙vT (s)R ˙v(s)ds + ˙vT (t)Z1 ˙v(t) h2 2 (cid:90) 0 (cid:90) t − ˙vT (θ)Z1 ˙v(θ)dθdγ + ˙vT (t)Z2 ˙v(t) h2 2

−h

t−h

− ˙vT (θ)Z2 ˙v(θ)dθdγ

ζ(t) = ζ T (t)Σ1[h(t), ˙h(t)]

t−h(t)

t−h

(cid:90) t (cid:90) t−h(t) ˙vT (s)R ˙v(s)ds ˙vT (s)R ˙v(s)ds − h −h

t−h

(cid:90) t (cid:90) t−h(t) −h(t) ˙vT (s)Z1 ˙v(s)ds ˙vT (s)Z2 ˙v(s)ds − (h − h(t))

t−h(t) (cid:90) t

−h(t)

−h (cid:90) −h(t)

t+γ (cid:90) t+γ

(cid:90) −h(t) (cid:90) t−h(t) (cid:90) 0 − ˙vT (θ)Z1 ˙v(θ)dθdγ − ˙vT (θ)Z1 ˙v(θ)dθdγ

−h

t−h

−h(t)

t−h(t)

(cid:90) 0 − ˙vT (θ)Z2 ˙v(θ)dθdγ − ˙vT (θ)Z2 ˙v(θ)dθdγ.

Áp dụng các bất đẳng thức tích phân trong Bổ đề 1.4, ta thu được

1 RΩ1 + 3ΩT

2 RΩ2 + 5ΩT

3 RΩ3

t−h

(cid:90) t−h(t) (cid:1) (cid:0)ΩT −h ˙vT (s)R ˙v(s)ds ≤ −

123

≤ − ζ T (t)˜ωT ˜R˜ω123ζ(t), 1 α 1 α

6 RΩ6

5 RΩ5 + 5ΩT

4 RΩ4 + 3ΩT

t−h(t)

(cid:90) t (cid:1) −h ˙vT (s)R ˙v(s)ds ≤ − (cid:0)ΩT

456

≤ − ζ T (t)˜ωT ˜R˜ω456ζ(t), 1 β 1 β

3 Z2Ω3

2 Z2Ω2 + 5ΩT

1 Z2Ω1 + 3ΩT

t−h

(cid:19) (cid:90) t−h(t) (cid:1) −h(t) − 1 (cid:0)ΩT ˙vT (s)Z2 ˙v(s)ds ≤ −

123

(cid:19) ≤ − − 1 ζ T (t)˜ωT ˜Z2 ˜ω123ζ(t), (cid:18) 1 α (cid:18) 1 α

6 Z1Ω6

5 Z1Ω5 + 5ΩT

4 Z1Ω4 + 3ΩT

t−h(t)

(cid:19) (cid:90) t (cid:1) − 1 (cid:0)ΩT −(h − h(t)) ˙vT (s)Z1 ˙v(s)ds ≤ −

456

(cid:19) ≤ − − 1 ζ T (t)˜ωT ˜Z1 ˜ω456ζ(t), (cid:18) 1 β (cid:18) 1 β

7 Z1Ω7 − 4ΩT

8 Z1Ω8

−h

t+γ

(cid:90) t−h(t) (cid:90) −h(t) − ˙vT (θ)Z1 ˙v(θ)dθdγ ≤ −2ΩT

8 Z1 ˜ω8}ζ(t),

7 Z1 ˜ω7 + ˜ωT

≤ −ζ T (t){˜ωT

10Z1Ω10

9 Z1Ω9 − 4ΩT

−h(t)

t+γ

(cid:90) 0 (cid:90) t − ˙vT (θ)Z1 ˙v(θ)dθdγ ≤ −2ΩT

9 Z1 ˜ω9 + ˜ωT

10Z1 ˜ω10}ζ(t),

≤ −ζ T (t){˜ωT

11Z2Ω11 − 4ΩT

12Z2Ω12

−h(t)

t−h(t)

(cid:90) 0 (cid:90) t+γ − ˙vT (θ)Z2 ˙v(θ)dθdγ ≤ −2ΩT

11Z2 ˜ω11 + ˜ωT

12Z2 ˜ω12}ζ(t),

≤ −ζ T (t){˜ωT

13Z2Ω13 − 4ΩT

14Z2Ω14

−h

t−h

(cid:90) −h(t) (cid:90) t+γ − ˙vT (θ)Z2 ˙v(θ)dθdγ ≤ −2ΩT

13Z2 ˜ω13 + ˜ωT

14Z2 ˜ω14}ζ(t).

≤ −ζ T (t){˜ωT

Sử dụng Bổ đề 1.5, ta có

123 (cid:19)

123

456

456 (cid:18) 1 β

− ζ T (t)˜ωT ζ T (t)˜ωT ˜R˜ω123ζ(t) − 1 β ˜R˜ω456ζ(t) (cid:19) ζ T (t)˜ωT ζ T (t)˜ωT − 1 − 1 − ˜Z2 ˜ω123ζ(t) − ˜Z1 ˜ω456ζ(t) 1 α (cid:18) 1 α

123( ˜R + ˜Z2)˜ω123 + ˜ωT

456( ˜R + ˜Z1)˜ω456 − ˜ωT

(cid:35) (cid:34) (cid:34)   (cid:35)  = − ζ T (t) ζ(t) 1 α 1 β ˜ω123 ˜ω456 0 ˜Z1 ˜ω123 ˜ω456  

(cid:34) (cid:35) (cid:34)   (cid:35)T (cid:34) ˜Z2 0 (cid:35)  (cid:35)T (cid:34) ˜R + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 ≤ −ζ T (t) ζ(t). ∗ ˜ω123 ˜ω456 ˜R + αX2 ˜ω123 ˜ω456  

Từ trên, ta được

(cid:111) ˙V (t) ≤ ζ T (t) ζ(t). − ¯Σ2h(t) (cid:110) ¯Σ1[h(t), ˙h(t)]

Bởi (2.29), ta có ˙V (t) < 0. Do đó, hệ (2.26) (hoặc hệ (2.23)) là ổn định tiệm cận. Vậy, Định lý 2.2 đã được chứng minh.

Nhận xét 2.4. Với mục đích tăng tính hiệu quả trong việc cải thiện độ trễ của tiêu chuẩn ổn định, chúng tôi đã sử dụng kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ. Để chỉ ra hiệu quả của kỹ thuật này, chúng tôi so sánh giữa kết quả trong Định lý 2.2 với kết quả thu được mà không sử dụng kỹ thuật này, tức là kết quả thu được bằng cách thay ma trận phụ thuộc trễ, P (t), bằng ma trận hằng số P và được nêu trong hệ quả sau. Lưu ý rằng ngay cả khi kỹ thuật này chưa được sử dụng, tiêu chuẩn ổn định thu được (trong hệ quả sau) cũng cải thiện độ trễ hơn so với một số tiêu chuẩn hiện có gần đây [54, 107, 108]. Điều này sẽ được chỉ ra thông qua một ví dụ bằng số trong phần tiếp theo.

Hệ quả 2.4 (Nam, Hiep [60]). Với giả thiết như trong Định lý 2.2, hệ (2.23) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại một ma trận cấp 5n × 5n, P > 0, ba ma trận cấp n × n, R > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, hai ma trận cấp 3n × 3n, Q1 > 0, Q2 > 0, hai ma trận thực đối xứng X1, X2 ∈ R3n×3n và các ma trận thực Y1, Y2 ∈ R3n×3n sao cho (2.27) và bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn với h(t) ∈ {0, h} và ˙h(t) ∈ {µ1, µ2}

(2.33) ˙h(t) ∈ {µ1, µ2} − Σ2h(t) < 0, ∀h(t) ∈ {0, h}, Σ1[h(t), ˙h(t)]

trong đó

1 P Π2 + ΠT

3 Q1Π4 + ΠT

8 Q1Π8

= Sym{ΠT Σ1[h(t), ˙h(t)]

9 Q2Π9 − ΠT

7 Q1Π7 − ˜h(t)ΠT 5 Q2Π6} + ΠT h2 2

7 Z1 ˜ω7 + ˜ωT

8 Z1 ˜ω8 + ˜ωT

s Res + 10Z1 ˜ω10 + ˜ωT

+˜h(t)ΠT

12Z2 ˜ω12

10Q2Π10 + h2eT 9 Z1 ˜ω9 + ˜ωT (cid:35)T

eT s (Z1 + Z2)es, 11Z2 ˜ω11 + ˜ωT Σ2h(t) = ˜ωT (cid:34) (cid:34) (cid:35)

13Z2 ˜ω13 + ˜ωT

14Z2 ˜ω14 +

+˜ωT Θ(h(t)) . ˜ω123 ˜ω456 ˜ω123 ˜ω456

Trong trường hợp trễ hằng tức là h(t) = h, ˙h(t) = 0, hàm Lyapunov (2.30) trở

thành hàm sau:

t−h

1 (t)P (cid:101)κ1(t) + (cid:90) t

(cid:90) t κT 2 (t, s)Q1κ2(t, s)ds (cid:101)V (t) = (cid:101)κT

−h

t+θ

−h

t+θ

(cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) 0 (cid:90) t +h ˙vT (s)R ˙v(s)dsdθ + ˙vT (s)Z1 ˙v(s)dsdθdγ

−h

t+θ

(cid:90) 0 (cid:90) γ (cid:90) t + (2.34) ˙vT (s)Z2 ˙v(s)dsdθdγ.

Hoàn toàn tương tự như trong chứng minh Định lý 2.2 nhưng không sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ và bất đẳng thức lồi đảo, chúng tôi thu được kết quả cho tính ổn định của hệ (2.23) trong trường hợp trễ hằng và được trình bày trong Hệ quả 2.5.

Các ký hiệu sau được dùng để đưa ra Hệ quả 2.5:

t+θ

−h

t−h (cid:21)T

(cid:27) (cid:26) (cid:90) t (cid:90) t (cid:90) 0 v(s)dsdθ , v(t), v(t − h), ˙v(t − h), v(s)ds, (cid:101)ζ(t) = col 1 h 1 h2

t−h

(cid:20) (cid:90) t vT (s)ds , vT (t) vT (t − h) (cid:101)κ1(t) =

2 ]T ,

(cid:21)T (cid:20) (cid:90) t ˙vT (θ)dθ , vT (s) ˙vT (s) κ2(t, s) =

5 )]T ,

1 − (cid:101)eT 2 ]T , 1 − (cid:101)eT

2 + 6(cid:101)eT

4 − 12(cid:101)eT

√

1 − (cid:101)eT 2 − (cid:101)eT

2 h(cid:101)eT s 0]T , (cid:101)Π8 = [(cid:101)eT 3((cid:101)eT 1 + (cid:101)eT 4 ) 2((cid:101)eT 4 ) 2((cid:101)eT

1 + 2(cid:101)eT 2 − 4(cid:101)eT

3 (cid:101)eT s (cid:101)eT 4 ]T , (cid:101)Π2 = [(cid:101)eT 1 − (cid:101)eT 3 (cid:101)eT 2 (cid:101)eT √ 5((cid:101)eT 2 − 2(cid:101)eT 4 ) 5 )]T , 4 − 6(cid:101)eT 4 + 6(cid:101)eT 5 )]T ,

√

(cid:101)ei = [0n×(i−1)n In 0n×(5−i)n], i ∈ {1, . . . , 5}, (cid:101)es = ˜A(cid:101)e1 + ˜Ad(cid:101)e2 + C(cid:101)e3, 1 (cid:101)eT (cid:101)Π1 = [(cid:101)eT 1 (cid:101)eT (cid:101)Π7 = [(cid:101)eT 1 − (cid:101)eT (cid:101)ρ1 = [(cid:101)eT √ 2((cid:101)eT (cid:101)ρ2 = [ 2((cid:101)eT (cid:101)ρ3 = [ (cid:101)R = diag{R, R, R}, ¯Zi = diag{Zi, Zi}, i ∈ {1, 2}.

Hệ quả 2.5. Giả sử rằng (E, A) là chính quy và “impulse-free”, và ρ( ˜C(t)) < 1. Hệ (2.26) (hoặc hệ (2.23)) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại ba ma trận cấp n × n, R > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, hai ma trận cấp 3n × 3n, P > 0, Q1 > 0 sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau thỏa mãn

(2.35) (cid:101)Σ1 − (cid:101)Σ2 < 0,

8 Q1 (cid:101)Π8 + h2

s (Z1 + Z2)(cid:101)es,

trong đó

(cid:101)eT s R(cid:101)es + h2 2 (cid:101)eT

1 (cid:101)R(cid:101)ρ1 + (cid:101)ρT

1 P (cid:101)Π2} + (cid:101)ΠT ¯Z1(cid:101)ρ2 + (cid:101)ρT

7 Q1 (cid:101)Π7 − (cid:101)ΠT ¯Z2(cid:101)ρ3.

(cid:101)Σ1 = Sym{(cid:101)ΠT (cid:101)Σ2 = (cid:101)ρT

Trong phần này, để minh họa tính hiệu quả của phương pháp được trình bày của chúng tôi, chúng tôi xét một ví dụ số và so sánh giữa các kết quả của chúng tôi trong cả Định lý 2.2 và Hệ quả 2.4 với các kết quả được cải tiến nhất gần đây trong [53, 54, 107, 108].

Ví dụ 2.3. Xét hệ suy biến có trễ sau với

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

, A = , E = , Ah = 1 0 0 0 −0.5 0 0 −1 −1 0 1 0.5

và trễ biến thiên thỏa mãn điều kiện (2.24) và µ2 = −µ1 := µ.

(cid:34) Cặp (E, A) là chính quy và “impulse-free” và điều kiện (2.25) thỏa mãn với hai ma (cid:35) (cid:35) (cid:34)

trận khả nghịch M = , N = , tức là, 1 0 0 1 1 0 0 −1

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

M EN = , M AN = . , M AhN = 1 0 0 0 −0.5 0 1 0 −1 −1 0 −0.5

Bằng cách áp dụng (2.26), ta được

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

˜A = , ˜C(t) = (1 − ˙h(t)) . , ˜Ad = −0.5 0 0 −1 −1 −1 0.5 0 0 0 0 0.5

Bằng việc sử dụng cả Định lý 2.2 và Hệ quả 2.4, các cận trên h với các giá trị khác nhau của µ, mà đảm bảo ρ( ˜C(t)) < 1, được liệt kê trong Bảng 2.6. Bảng 2.6 đã chỉ ra các cận trên thu được bởi cả Định lý 2.2 và Hệ quả 2.4 thì lớn hơn trong [54, 107, 108]. Điều này minh họa hiệu quả của phương pháp được trình bày của chúng tôi. Hơn nữa, Bảng 2.6 cũng đã chỉ ra các cận trên thu được bởi Định lý 2.2 lớn hơn các cận trên thu được bởi Hệ quả 2.4. Điều này có nghĩa là kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ giúp tăng tính hiệu quả trong việc cải thiện độ trễ.

Bảng 2.6 Các cận trên h với các giá trị khác nhau của µ 0.3 Phương pháp\µ 2.0326 [54] 2.0745 [107] 2.0843 [108] 2.0900 Hệ quả 2.4 2.0919 Định lý 2.2 0.1 2.2532 2.2663 2.2707 2.2718 2.2724 0.7 1.8221 1.8706 1.8799 1.9013 1.9027 0.5 1.9066 1.9516 1.9616 1.9768 1.9779 0.9 1.7744 1.8168 1.8272 1.8504 1.8542

Chương 3

Đánh giá trạng thái của hệ có trễ và nhiễu bị chặn

3.1 Một số phát triển gần đây

Trong chương này, chúng tôi trình bày hai kết quả mới cho bài toán đánh giá trạng thái của hai lớp hệ có trễ và nhiễu bị chặn. Trước tiên, chúng tôi đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân bằng phương pháp hàm Lyapunov. Sau đó, chúng tôi sử dụng một số kỹ thuật đánh giá chặt hơn, phát triển phương pháp đánh giá trực tiếp thông qua việc khai thác các tính chất của ma trận dương, ma trận Metzler và so sánh nghiệm cho lớp hệ dương suy biến trên và đề xuất một thuật toán tính toán để đưa ra đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho hệ vi phân đại số dương. Nội dung chương này được trình bày dựa trên hai công trình [1, 3] trong Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án.

Phương pháp hàm Lyapunov và phương pháp so sánh nghiệm dựa trên hệ dương

cũng đã được mở rộng cho bài toán đánh giá trạng thái cho các hệ có nhiễu.

Hầu hết nhiều phát triển gần đây tập trung vào hướng cải tiến phương pháp hàm Lyapunov với nhiều kết quả về đánh giá trạng thái chặt hơn đã được đưa ra trong [25, 36, 45, 47, 62, 65, 67, 91, 109, 110]. Các kết quả theo hướng này sẽ đưa ra đánh giá trên toàn bộ vectơ trạng thái dưới dạng các hình Elipsoid [105] (xem Hình 3.1). Để thu được các đánh giá trạng thái nhỏ hơn nữa, kỹ thuật đánh giá trạng thái theo từng thành phần [66, 70, 91] và tổng quát hơn nữa là đánh giá hàm tuyến tính trạng thái đã được đề xuất trong [64, 65] (xem Hình 3.2). Trong Hình 3.2, đánh giá trên toàn bộ

Hình 3.1 Bao tập đạt được là hình elipsoid [105]

vectơ trạng thái, người ta sẽ thu được một hình Elipsoid (P). Bằng cách đánh giá theo từng thành phần, người ta sẽ thu được dải đứng và ngang chặn tương ứng hai thành phần trạng thái x1, x2. Giao của hai dải này, ta sẽ thu được một hình chữ nhật nằm trong hình Elipsoid và bao tập đạt được của hệ thống. Tuy nhiên, cho đến nay vẫn chưa có kết quả nào về đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho lớp hệ sai phân. Bài toán chưa giải quyết này được chúng tôi nghiên cứu trong Luận án.

Hình 3.2 Bao tập đạt được là hình đa diện [65]

Phương pháp so sánh nghiệm dựa trên hệ dương được phát triển lần đầu tiên trong [46] bằng cách so sánh trực tiếp nghiệm của hệ có nhiễu với một hàm mũ. Và được phát triển hơn nữa trong [37]. Năm 2015, các tác giả trong [66] đề xuất một cách tiếp cận dựa trên một phép đổi biến trạng thái và kết hợp với phương pháp so sánh nghiệm. Cách tiếp cận này đưa ra được đánh giá trạng thái nhỏ nhất cho từng thành phần. Các kết quả này chỉ xét cho một số lớp hệ tuyến tính dương. Cho đến năm 2018, chưa có

3.2 Đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân

bất cứ tác giả nào sử dụng phương pháp so sánh nghiệm dựa trên hệ dương để đánh giá trạng thái cho lớp hệ dương suy biến. Trong Luận án, chúng tôi sẽ phát triển phương pháp so sánh nghiệm, dựa trên hệ dương và đề xuất một thuật toán tính toán mới để đánh giá trạng thái cho hệ phương trình vi phân đại số dương với nhiễu bị chặn. Các kết quả này được trình bày trong hai mục tiếp theo.

Mục này trình bày kết quả về đánh giá hàm tuyến tính cho hệ rời rạc có trễ sau:

  x(k + 1) = Ax(k) + Adx(k − h(k)) + Bω(k), k ∈ N0, (3.1) x(k) = 0, k ∈ {−h2, . . . , 0}, 

trong đó x(k) ∈ Rn là vectơ trạng thái, A, Ad ∈ Rn×n và B ∈ Rn×p là các ma trận đã biết, trễ biến thiên h(·) biến đổi trong một khoảng đã biết [h1, h2], h1 < h2, tức là,

(3.2) 0 ≤ h1 ≤ h(k) ≤ h2,

trong đó h1, h2 là các số nguyên đã biết. Vectơ nhiễu ω(k) ∈ Rp được giả thiết là bị chặn:

m, ∀k ≥ 0,

(3.3) ωT (k) ω (k) ≤ ω2

trong đó ωm là một thực dương biết.

Tập đạt được cho hệ (3.1) có nhiễu bị chặn (3.3) được định nghĩa như sau:

(3.4) Rx := (cid:8)x(k) ∈ Rn|x(k), ω(k) thỏa mãn (3.1) và (3.3), k ≥ 0(cid:9) .

Xét hàm tuyến tính sau:

z(k) = U x(k), (3.5)

trong đó U ∈ R1×n là một vectơ hàng khác không đã cho. Mục đích của phần này là:

(i) đưa ra một chặn trên có thể nhỏ nhất, γ, của giá trị tuyệt đối của hàm z(k), tức

là, |z(k)| ≤ γ, k ∈ N,

(ii) áp dụng kết quả (i) thiết lập một tập đa diện bao tập đạt được (3.4).

Trong Luận án, chúng tôi xét hai trường hợp gồm h1 < h2 và h1 = h2. Trường hợp h1 < h2, chúng tôi thu được kết quả mới được trình bày trong Định lý 3.1.

Để đưa ra kết quả chính cho Định lý 3.1, ta sử dụng các kí hiệu sau:

k−a (cid:88)

, β = , h12 = h2 − h1, µ = max{|µ1|, |µ2|}, α = h(k) − h1 h12 h2 − h(k) h12

s=k−b

−a (cid:88)

k−a (cid:88)

x(s), νa,b(k) = 1 b − a + 1

s=−b

u=k+s

x(u), σa,b(k) = 1 (b − a + 1)(b − a + 2)

ξ(k) = col{x(k), x(k − h1), x(k − h(k)), x(k − h2), ν0,h1(k),

νh1,h(k)(k), νh(k),h2(k), σ0,h1(k), σh1,h(k)(k), σh(k),h2(k), x(k − h1 + 1), x(k − h2 + 1), (cid:101)ω(k)}, ei = [0n×(i−1)n In 0n×(13−i)n], i ∈ {1, . . . , 13}, (cid:35) (cid:34) (cid:104) (cid:105) , , B1 = B 0n×(n−p) (cid:101)ω(k) = ω(k) 0(n−p)×1

k−1 (cid:88)

es = Ae1 + Ade3 + B1e13,

s=k−h1

k−h1−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

x(s)}, η0(k) = col{x(k), x(k − h1), x(k − h2),

u=k+s

s=k−h2

s=−h1

k−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

x(u)}, x(s), η1(k) = col{η0(k),

u=s

y(u)}, η2(k, s) = col{y(s), x(s), y(u)}, η3(k, s) = col{y(s), x(s),

u=s (h1 + 1)eT

5 − eT 2

(cid:3)T , eT 11

Π0 = (cid:2)eT eT s 12 Π1 = col{e1, e2, e4,

(h1 + 1)e5 − e1, (h2 − h(k) + 1)e7 + (h(k) − h1 + 1)e6 − e3 − e2,

1 − eT

5 )(cid:3)T

4 eT 11 − eT

(cid:3)T (h1 + 1)(eT , eT 12 − eT , Π4 = (cid:2)eT eT 1 − eT 2 − eT 2 4 1 − eT 2 eT 2 eT 2

2 h1eT

5 + eT 2 (cid:3)T

(cid:3)T ,

5 − eT , Π8 = (cid:2)eT

12 − eT

1 − (h1 + 1)eT 4 eT

4 eT

2 − eT 4

7 + (h(k) − h1 + 1)eT 7 − (h(k) − h1 + 1)eT

6 − eT 6 + eT

3 − eT 4 3 + eT 4

(cid:3)T , (h1 + 1)(h1 + 2)e8 − (h1 + 1)e1}, Π2 = (cid:2)eT eT s − eT 11 − eT 1 2 1 0(cid:3)T Π3 = (cid:2)eT 1 eT s − eT (cid:3)T Π5 = (cid:2)0 0 eT s − eT , 1 Π6 = (cid:2)eT 11 (h1 + 1)eT s − eT Π7 = (cid:2)eT 2 0(cid:3)T 2 eT 11 − eT Π9 = (cid:2)0 0 eT (cid:3)T 11 − eT , 2 Π10 = (cid:2)eT 12 (h2 − h(k) + 1)eT 11 − eT 2 − (h2 − h(k) + 1)eT h12eT

1 + eT

2 − 2eT 5 )

1 − eT

2 + 6eT

5 − 12eT 8 )

√ √ (cid:105)T 3(eT 5(eT , ρ1 = (cid:104) 1 − eT eT 2

2 + eT

3 − 2eT 6 )

2 − eT

3 + 6eT

6 − 12eT 9 )

√ √ (cid:105)T 3(eT 5(eT , ρ2 = (cid:104) 2 − eT eT 3

3 + eT

4 − 2eT 7 )

3 − eT

4 + 6eT

7 − 12eT

10)

√ √ (cid:105)T 3(eT 5(eT , ρ3 =

1 − eT

5 ) 2(eT

1 + 2eT

5 − 6eT 8 )

(cid:104) eT 3 − eT 4 (cid:104)√ (cid:105)T 2(eT , ρ4 =

2 − eT

5 ) 2(eT

2 − 4eT

5 + 6eT 8 )

(cid:104)√ (cid:105)T 2(eT , ρ5 =

2 − eT

6 ) 2(eT

2 + 2eT

6 − 6eT 9 )

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ6 =

3 − eT

7 ) 2(eT

3 + 2eT

7 − 6eT

10)

(cid:104)√ (cid:105)T 2(eT , ρ7 =

3 − eT

6 ) 2(eT

3 − 4eT

6 + 6eT 9 )

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT , ρ8 =

7 ) 2(eT

4 − 4eT

7 + 6eT

10)

4 − eT (cid:3)T

(cid:105)T (cid:104)√ 2(eT ,

ρ9 = ρ10 = (cid:2)ρT ρT 3 (cid:35) , ρ11 = es − e1, (cid:34) ˜R2 + (1 − α)X1 αY1 + (1 − α)Y2 , Θ1 = ∗ ˜R2 + αX2

i ∈ {1, 2},

j ∈ {3, 4}, l ∈ {1, 2, 3, 4}. ˜R1 = diag{Ri, Ri, Ri}, ˜Zj = diag{Zj, Zj, Zj}, ¯Zl = diag{Zl, Zl},

Định lý 3.1 (Hiep, Nam [1]). Giả sử tồn tại hai số thực r > 1, β > 0, một ma trận cấp 6n × 6n, P > 0, hai ma trận cấp 3n × 3n, Q > 0, S > 0, sáu ma trận cấp n × n, R1 > 0, R2 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0, Z3 > 0, Z4 > 0, hai ma trận đối xứng cấp 3n × 3n, X1, X2, hai ma trận cấp 3n × 3n, Y1, Y2, sao cho các bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau đúng

(cid:35)

> 0, (3.6) Y1 ˜R2 + ˜Z4

(cid:35)

> 0, (3.7) (cid:34) ˜R2 + ˜Z3 − X1 ∗ (cid:34) ˜R2 + ˜Z3 ∗ Y2 ˜R2 + ˜Z4 − X2

β , tức là, |z(k)| ≤ 1√ 1√

β := γ với mọi

(3.8) ¯Ω(h(k)) < 0, ∀h(k) ∈ {h1, h2},

thì giá trị tuyệt đối của z(k) bị chặn trên bởi k ∈ N,

trong đó

¯Ω(h(k)) = Ψ1(h(k)) − Ψ2(h(k)),

10SΠ9} + βeT

6 QΠ5 + r−h1ΠT

1 P Π2 + ΠT 1 U T U e1 + ΠT

2 P Π2 + (1 − r−1)ΠT

s U T U es 1 P Π1 + ΠT

3 QΠ3

Ψ1(h(k)) = Sym{ΠT − βr−1eT

4 QΠ4 +

8 SΠ8

7 SΠ7 − r−h2ΠT

5 QΠ5 + r−h1ΠT

ΠT − r−h1ΠT r−h1 − 1 r−1 − 1

9 SΠ9 + h2

1ρT

11R1ρ11 + h2

12ρT

11R2ρ11

+ ΠT r−h2 − r−h1 r−1 − 1

+ Ip, ρT 11(Z1 + Z2)ρ11 + ρT 11(Z3 + Z4)ρ11 − h1(h1 + 1) 2 h12(h12 + 1) 2 1 − r−1 ω2 m

¯Z1ρ4 + r−h1ρT ¯Z2ρ5 + r−h2ρT ˜R1ρ1 + r−h1ρT Ψ2(h(k)) = r−h1ρT 1

¯Z4ρ9 + r−h2ρT ¯Z4ρ8 + r−h2ρT ¯Z3ρ7 + r−h2ρT +r−h2ρT 7 ¯Z3ρ6 10Θ1ρ10.

5 (cid:88)

Chứng minh. Xét hàm Lyapunov-Krasovskii

i=0

V (k) = (3.9) Vi(k)

trong đó

1 (k)P η1(k), k−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

V0(k) = βxT (k)U T U x(k), V1(k) = ηT

2 (k, s)Qη2(k, s) +

3 (k, s)Sη3(k, s),

s=k−h1

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

r1+s−kηT r1+s−kηT V2(k) =

u=k+s

s=−h1

s=−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

V3(k) = h1 r1+u−kyT (u)R1y(u) + h12 r1+u−kyT (u)R2y(u),

u=s

v=k+u

s=−h1

u=−h1

−h1−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

V4(k) = r1+v−kyT (v)Z1y(v) + r1+v−kyT (v)Z2y(v),

u=s

v=k+u

s=−h2

u=−h2

s=−h2

r1+v−kyT (v)Z4y(v), r1+v−kyT (v)Z3y(v) + V5(k) =

Theo giả thiết ta có

(3.10) V (k) ≥ V0(k) ≥ β|z(k)|2, k ∈ N.

Tính toán sai phân của V , ta thu được

∆V0(k) = V0(k + 1) − V0(k) + (1 − r−1)V0(k) + (r−1 − 1)V0(k)

= V0(k + 1) − r−1V0(k) + (r−1 − 1)V0(k) = βxT (k + 1)U T U x(k + 1) − r−1βxT (k)U T U x(k) + (r−1 − 1)V0(k).

1 (k)P η1(k)

1 (k)P η1(k) + (1 − r−1)ηT

1 (k)P ∆η1(k) + 2∆ηT

∆V1(k) = ∆ηT

+(r−1 − 1)V1(k).

k (cid:88)

∆V2(k) = V2(k + 1) − V2(k) + (1 − r−1)V2(k) + (r−1 − 1)V2(k)

2 (k + 1, s)Qη2(k + 1, s)

s=k−h1+1 k−h1(cid:88)

= rs−kηT

3 (k + 1, s)Sη3(k + 1, s) − r−1V2(k) + (r−1 − 1)V2(k).

s=k−h2+1

+ rs−kηT

Hai vectơ η2(k + 1, s), η3(k + 1, s) được viết lại như sau:

(3.11) η2(k + 1, s) = ¯η2(k) + η2(k, s)

(3.12) η3(k + 1, s) = ¯η3(k) + η3(k, s)

trong đó ¯η2(k) = [0 0 yT (k)]T , ¯η3(k) = [0 0 yT (k − h1)]T .

k (cid:88)

Sử dụng (3.11) và (3.12), ta có

2 (k)Q¯η2(k) +

2 (k, s)Qη2(k, s)

s=k−h1+1

k (cid:88)

k−h1(cid:88)

rs−k ¯ηT rs−kηT ∆V2(k) =

2 (k, s)Q¯η2(k) +

3 (k)S ¯η3(k)

s=k−h1+1 k−h1(cid:88)

s=k−h2+1 k−h1(cid:88)

rs−kηT +2 rs−k ¯ηT

3 (k, s)Sη3(k, s) + 2

3 (k, s)S ¯η3(k)

s=k−h2+1

k−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

+ rs−kηT rs−kηT

2 (k, s)Qη2(k, s) −

3 (k, s)Sη3(k, s)

s=k−h1

s=k−h2

− rs−kηT rs−kηT

+(r−1 − 1)V2(k)

2 (k)Q¯η2(k) + ηT ¯ηT

2 (k, k)Qη2(k, k)

k (cid:88)

= r−h1 − 1 r−1 − 1

2 (k, k − h1)Qη2(k, k − h1) + 2

2 (k, s)Q¯η2(k)

s=k−h1+1

−r−h1ηT rs−kηT

3 (k, k − h1)Sη3(k, k − h1)

3 (k)S ¯η3(k) + r−h1ηT ¯ηT

k−h1(cid:88)

+ r−h2 − r−h1 r−1 − 1

3 (k, k − h2)Sη3(k, k − h2) + 2

3 (k, s)S ¯η3(k)

s=k−h2+1

−r−h2ηT rs−kηT

+(r−1 − 1)V2(k)

2 (k)Q¯η2(k) + ηT ¯ηT

2 (k, k)Qη2(k, k)

k (cid:88)

≤ r−h1 − 1 r−1 − 1

2 (k, k − h1)Qη2(k, k − h1) + 2

s=k−h1+1

−r−h1ηT ηT 2 (k, s)Q¯η2(k)

3 (k, k − h1)Sη3(k, k − h1)

3 (k)S ¯η3(k) + r−h1ηT ¯ηT

k−h1(cid:88)

+ r−h2 − r−h1 r−1 − 1

3 (k, k − h2)Sη3(k, k − h2) + 2r−h1

s=k−h2+1

−r−h2ηT ηT 3 (k, s)S ¯η3(k)

+(r−1 − 1)V2(k),

∆V3(k) = V3(k + 1) − V3(k) + (1 − r−1)V3(k) + (r−1 − 1)V3(k)

−1 (cid:88)

k (cid:88)

= V3(k + 1) − r−1V3(k) + (r−1 − 1)V3(k)

u=k+s+1

s=−h1

−h1−1 (cid:88)

k (cid:88)

ru−kyT (u)R1y(u) = h1

u=k+s+1

s=−h2 −1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

+ h12 ru−kyT (u)R2y(u)

u=k+s

s=−h1

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1 ru−kyT (u)R1y(u)

u=k+s

s=−h2

k−1 (cid:88)

ru−kyT (u)R2y(u) + (r−1 − 1)V3(k) − h12

1yT (k)R1y(k) + h2

12yT (k)R2y(k) − h1

s=k−h1

k−h1−1 (cid:88)

= h2 rs−kyT (s)R1y(s)

s=k−h2

k−1 (cid:88)

− h12 rs−kyT (s)R2y(s) + (r−1 − 1)V3(k)

1yT (k)R1y(k) + h2

12yT (k)R2y(k) − r−h1h1

s=k−h1

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

≤ h2 yT (s)R1y(s)

s=k−h(k)

s=k−h2 + (r−1 − 1)V3(k),

− r−h2h12 yT (s)R2y(s) − r−h2h12 yT (s)R2y(s)

∆V4(k) = V4(k + 1) − V4(k) + (1 − r−1)V4(k) + (r−1 − 1)V4(k)

= V4(k + 1) − r−1V4(k) + (r−1 − 1)V4(k)

−1 (cid:88)

k (cid:88)

u=s

v=k+u+1

s=−h1 −1 (cid:88)

s (cid:88)

k (cid:88)

= rv−kyT (v)Z1y(v)

v=k+u+1

s=−h1 −1 (cid:88)

u=−h1 −1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

+ rv−kyT (v)Z2y(v)

v=k+u

s=−h1

u=−h1

u=s v=k+u +(r−1 − 1)V4(k)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

− rv−kyT (v)Z1y(v) − rv−kyT (v)Z2y(v)

u=k+s

s=−h1

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

= yT (k)(Z1 + Z2)y(k) − ru−kyT (u)Z1y(u) h1(h1 + 1) 2

s=−h1

u=k−h1

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

− ru−kyT (u)Z2y(u) + (r−1 − 1)V4(k)

u=k+s

s=−h1

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

≤ yT (k)(Z1 + Z2)y(k) − r−h1 yT (u)Z1y(u) h1(h1 + 1) 2

s=−h1

u=k−h1

−r−h1 yT (u)Z2y(u) + (r−1 − 1)V4(k),

∆V5(k) = V5(k + 1) − V5(k) + (1 − r−1)V5(k) + (r−1 − 1)V5(k)

−h1−1 (cid:88)

k (cid:88)

= V5(k + 1) − r−1V5(k) + (r−1 − 1)V5(k)

u=s

v=k+u+1

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

s (cid:88)

k (cid:88)

= rv−kyT (v)Z3y(v)

v=k+u+1

s=−h2

u=−h2

−h1−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

+ rv−kyT (v)Z4y(v)

u=s

v=k+u

s=−h2

s (cid:88)

k−1 (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

− rv−kyT (v)Z3y(v)

v=k+u

u=−h2

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

− rv−kyT (v)Z4y(v) + (r−1 − 1)V5(k)

u=k+s

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

= yT (k)(Z3 + Z4)y(k) − ru−kyT (u)Z3y(u) h12(h12 + 1) 2

s=−h2

u=k−h2

− ru−kyT (u)Z4y(u) + (r−1 − 1)V5(k)

≤ yT (k)(Z3 + Z4)y(k) + Ξ1 + (r−1 − 1)V5(k), h12(h12 + 1) 2

k−h1−1 (cid:88)

−h(k)−1 (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

trong đó

u=k+s

u=k−h(k)

s=−h2

−h(k)−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

Ξ1 = −r−h2 yT (u)Z3y(u) yT (u)Z3y(u) − r−h2(h2 − h(k))

u=k+s

s=−h(k)

s=−h2

u=k−h2

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

−r−h2 yT (u)Z4y(u) yT (u)Z3y(u) − r−h2

s=−h(k)

u=k−h(k)

u=k−h2

−r−h2(h(k) − h1) yT (u)Z4y(u) − r−h2 yT (u)Z4y(u).

Do đó, ta thu được

k−1 (cid:88)

∆V (k) + (1 − r−1)V (k) − ωT (k)ω(k) 1 − r−1 ω2 m

s=k−h1

k−h(k)−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

≤ ξT (k)Ψ1(h(k))ξ(k) − r−h1h1 yT (s)R1y(s)

s=k−h(k)

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

− r−h2h12 yT (s)R2y(s) − r−h2h12 yT (s)R2y(s)

u=k+s

s=−h1

u=k−h1

− r−h1 yT (u)Z1y(u) − r−h1 yT (u)Z2y(u) + Ξ1

k−1 (cid:88)

Bằng việc sử dụng bất đẳng thức trong Bổ đề 1.6, ta có

1 r−h1 ˜R1ρ1}ξ(k),

s=k−h1

k−h1−1 (cid:88)

−r−h1h1 yT (s)R1y(s) ≤ ξT (k){−ρT

s=k−h(k)

k−h(k)−1 (cid:88)

(3.13) ˜R2ρ2}ξ(k), −r−h2h12 yT (s)R2y(s) ≤ −r−h2 ξT (k){ρT 2 1 α

s=k−h2

(3.14) yT (s)R2y(s) ≤ −r−h2 −r−h2h12 ˜R2ρ3}ξ(k), ξT (k){ρT 3 1 β

k−h1−1 (cid:88)

s=k−h(k)

(cid:19) − 1 ˜Z3ρ2}ξ(k), (3.15) −r−h2(h2 − h(k)) yT (u)Z3y(u) ≤ −r−h2 ξT (k){ρT 2 (cid:18) 1 α

k−h(k)−1 (cid:88)

s=k−h2

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

(cid:19) − 1 −r−h2(h(k) − h1) yT (u)Z4y(u) ≤ −r−h2 ˜Z4ρ3}ξ(k), (3.16) ξT (k){ρT 3 (cid:18) 1 β

4 r−h1 ¯Z1ρ4}ξ(k),

u=k+s

s=−h1

−r−h1 yT (u)Z1y(u) ≤ ξT (k){−ρT

−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

5 r−h1 ¯Z2ρ5}ξ(k),

s=−h1

u=k−h1

−h1−1 (cid:88)

k−h1−1 (cid:88)

−r−h1 yT (u)Z2y(u) ≤ ξT (k){−ρT

6 r−h2 ¯Z3ρ6}ξ(k),

u=k+s

s=−h(k)

−h(k)−1 (cid:88)

k−h(k)−1 (cid:88)

−r−h2 yT (u)Z3y(u) ≤ ξT (k){−ρT

7 r−h2 ¯Z3ρ7}ξ(k),

u=k+s

s=−h2

−h1−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

−r−h2 yT (u)Z3y(u) ≤ ξT (k){−ρT

8 r−h2 ¯Z4ρ8}ξ(k),

s=−h(k)

u=k−h(k)

−h(k)−1 (cid:88)

k+s (cid:88)

−r−h2 yT (u)Z4y(u) ≤ ξT (k){−ρT

9 r−h2 ¯Z4ρ9}ξ(k),

s=−h2

u=k−h2

−r−h2 yT (u)Z4y(u) ≤ ξT (k){−ρT

Từ (3.13)-(3.16), sử dụng Bổ đề 1.5, ta có

2 ( ˜R2 + ˜Z3)ρ2 − ρT

3 ( ˜R2 + ˜Z4)ρ3 + ρT

(cid:35) (cid:34) (cid:34)   (cid:35)  − r−h2ξT (k) ξ(k) 1 α 1 β (cid:35)T (cid:34) ˜Z3 0 0 ˜Z4 ρ2 ρ3 ρ2 ρ3 

10Θ1ρ10

 ≤ ξT (k) (cid:8)−r−h2ρT (cid:9) ξ(k).

Từ trên, ta thu được

∆V (k) + (1 − r−1)V (k) − ωT (k)ω(k) ≤ ξT (k) ¯Ω(h(k))ξT (k) < 0. 1 − r−1 ω2 m

Áp dụng Bổ đề 1.2, ta có V (k) < 1 với mọi k ≥ 0. Kết hợp bất đẳng thức này với (3.10), ta thu được:

|z(k)| ≤ , k ∈ N, (3.17) 1 √ β

Định lý được chứng minh.

Nhận xét 3.1. (i) Định lý 3.1 đưa ra chặn hàm tuyến tính trạng thái z(k) = U x(k). Điều này kéo theo rằng tập đạt được của hệ thống được bao bởi một dải xác định bởi hai nửa không gian có cùng pháp vectơ U . Do đó, bằng cách chọn một số hữu hạn các vectơ U và giao các dải chặn hàm tuyến tính trạng thái tương ứng, ta sẽ thu được một đa diện lồi bao tập đạt được của hệ thống.

vị trí i

(ii) Nếu ta chọn U T là các vec tơ đơn vị thứ i trong Rn, tức là

0 · · · 0] ∈ R1×n (cid:122)(cid:125)(cid:124)(cid:123)1 U = [0 0

thì ta sẽ thu được chặn từng thành phần xi(k), i ∈ {1, . . . , n}, của vectơ trạng thái x(t). Từ đó, chúng tôi thu được một hình hộp bao tập đạt được của hệ thống.

(iii) Nếu thay tích U T U bằng một ma trận xác định dương P0 thì Định lý 3.1 sẽ cho ta điều kiện đủ để bao tập đạt được bằng hình elipsoid (cid:15)(P0, 1) = {x ∈ Rn : xT P0x ≤ 1}. Giao hình đa diện thu được ở (i) với elipsoid (cid:15)(P0, 1), ta thu được một bao tập đạt được nhỏ hơn.

Trong trường hợp trễ hằng h(k) = h1 = h2 =: h, ∆h(k) = 0, hàm Lyapunov (3.9)

trở thành hàm sau:

(3.18) ˆV (k) = ˆV0(k) + ˆV1(k) + ˆV2(k) + ˆV3(k) + ˆV4(k)

trong đó

k−1 (cid:88)

ˆV0(k) = βxT (k)U T U x(k),

1 (k)P ˆη1(k), ˆV2(k) =

2 (k, s)Qη2(k, s),

s=k−h

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

r1+s−kηT ˆV1(k) = ˆηT

s=−h

u=k+s

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

s (cid:88)

−1 (cid:88)

ˆV3(k) = h r1+u−kyT (u)R1y(u),

u=s

v=k+u

u=−h

s=−h

v=k+u

r1+v−kyT (v)Z2y(v), ˆV4(k) = r1+v−kyT (v)Z1y(v) +

Tương tự như trong chứng minh Định lý 3.1 nhưng không sử dụng kỹ thuật phân hoạch trễ và bất đẳng thức lồi đảo, chúng tôi thu được kết quả về chặn hàm tuyến tính trạng thái cho hệ (3.1) trong trường hợp trễ hằng và được trình bày trong Hệ quả 3.1.

0 (cid:88)

k (cid:88)

Các ký hiệu sau được dùng để đưa ra Hệ quả 3.1:

s=−h

u=k+s

x(u), x(s), σ0,h(k) = ν0,h(k) = 1 (h + 1)(h + 2)

s=k−h (cid:35)

1 h + 1 (cid:34) (cid:105) , , B1 = (cid:104) B 0n×(n−p) (cid:101)ω(k) = ω(k) 0(n−p)×1

ˆξ(k) = col{x(k), x(k − h), ν0,h(k), σ0,h(k), x(k − h + 1), (cid:101)ω(k)},

k−1 (cid:88)

−1 (cid:88)

k−1 (cid:88)

ˆei = [0n×(i−1)n In 0n×(6−i)n], i ∈ {1, . . . , 6}, ˆes = Aˆe1 + Adˆe2 + B1e6,

s=k−h

s=−h

u=k+s

k−1 (cid:88)

x(s), x(u)}, ˆη1(k) = col{x(k), x(k − h),

u=s

y(u)}, η2(k, s) = col{y(s), x(s),

5 − ˆeT ˆeT

1 − ˆeT

s − ˆeT 1

3 )(cid:3)T

2 ˆeT

(h + 1)(ˆeT , ˆΠ1 = col{ˆe1, ˆe2, (h + 1)ˆe3 − ˆe1, (h + 1)(h + 2)ˆe4 − (h + 1)ˆe1}, ˆΠ2 = (cid:2)ˆeT 1 − ˆeT 2

5 − ˆeT

2 ˆeT

1 − ˆeT 2

1 0(cid:3)T (cid:3)T ,

1 ˆeT s − ˆeT 1

(cid:3)T , , ˆΠ4 = (cid:2)ˆeT

3 + ˆeT 2

1 − (h + 1)ˆeT

2 hˆeT

3 − ˆeT

1 + ˆeT

2 − 2ˆeT 3 )

1 − ˆeT

2 + 6ˆeT

3 − 12ˆeT 4 )

(cid:3)T , ˆΠ3 = (cid:2)ˆeT s − ˆeT ˆΠ5 = (cid:2)0 0 ˆeT ˆΠ6 = (cid:2)ˆeT s − ˆeT 5 (h + 1)ˆeT √ √ (cid:105)T 3(ˆeT 5(ˆeT , ˆρ1 =

1 − ˆeT

3 ) 2(ˆeT

1 + 2ˆeT

3 − 6ˆeT 4 )

(cid:104) ˆeT 1 − ˆeT 2 (cid:104)√ (cid:105)T 2(ˆeT , ˆρ4 =

3 + 6ˆeT 4 )

3 ) 2(ˆeT

2 − 4ˆeT

2 − ˆeT

(cid:105)T (cid:104)√ 2(ˆeT , ˆρ11 = ˆes − ˆe1,

ˆρ5 = ˜R1 = diag{R1, R1, R1}, ¯Zi = diag{Zi, Zi}, i ∈ {1, 2}.

Hệ quả 3.1. Giả sử tồn tại hai số thực r > 1, β > 0, một ma trận cấp 4n × 4n, P > 0, một ma trận cấp 3n × 3n, Q > 0, ba ma trận cấp n × n, R1 > 0, Z1 > 0, Z2 > 0 sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn:

β , tức là, |z(k)| ≤ 1√ 1√

β := γ với mọi

(3.19) ˆΨ := ˆΨ1 − ˆΨ2 < 0,

6 Q ˆΠ5} + βˆeT

s U T U ˆes

thì giá trị tuyệt đối của z(k) bị chặn trên bởi k ∈ N, trong đó

1 P ˆΠ1 + ˆΠT

3 Q ˆΠ3

Ψ1(h(k)) = Sym{ ˆΠT − βr−1ˆeT

1 P ˆΠ2 + ˆΠT 1 U T U ˆe1 + ˆΠT 4 Q ˆΠ4 +

11R1 ˆρ11

ˆΠT − r−h ˆΠT r−h − 1 r−1 − 1

+ Ip, ˆρT 11(Z1 + Z2)ˆρ11 −

2 P ˆΠ2 + (1 − r−1) ˆΠT 5 Q ˆΠ5 + h2 ˆρT 1 − r−1 ω2 m ¯Z2 ˆρ5.

h(h + 1) 2 ˜R1 ˆρ1 + r−h ˆρT ¯Z1 ˆρ4 + r−h ˆρT Ψ2(h(k)) = r−h ˆρT 1

Ví dụ 3.1. Xét hệ (3.1) với các ma trận sau:

(cid:34) (cid:35) (cid:35) (cid:34) 0 A = , , Ad = −0.02 −0.1 −0.01

(cid:34) 0.8 −0.01 −0.5 0.09 (cid:35)

B = , h(k) ∈ [0, 15] và ω(k) = sin(7k). 0.01 0.15

Trong ví dụ này chúng tôi tìm cận trên cho 3 hàm tuyến tính trạng thái |zi(k)| = |Uix(k)|, i ∈ {1, 2, 3} với U1 = [1 0], U2 = [0 1] và U3 = [−1 1]. Từ Định lý 3.1, các cận trên cho ba hàm tuyến tính thu được là: |z1(k)| ≤ 0.048 tại r = 1.17, |z2(k)| ≤ 0.180 tại r = 169.6, |z3(k)| ≤ 0.161 tại r = 112.75. Bảng 3.1 chỉ ra rằng các chặn thu được bởi phương pháp đã trình bày nhỏ hơn các chặn thu được bởi phương pháp trong [91]. Hơn nữa, phương pháp trong [91] là không khả thi với trường hợp thứ

ba. Điều này chứng tỏ phương pháp đưa ra của chúng tôi là hữu hiệu hơn phương pháp trong [91]. Mặt khác, Hình 3.3 cũng chỉ ra rằng khi lấy giao của hình elipsoid với 3 dải (dải đứng chặn z1 = x1, dải ngang chặn z2 = x2 và dải xiên chặn z3), ta thu được một tập nhỏ hơn hình elipsoid bao tập đạt được của hệ thống.

Hình 3.3 Quỹ đạo hệ thống và các chặn

Bảng 3.1 Các cận tính được

3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương

Phương pháp Định lý 3.1 [91] Định lý 3.1 |z1(k)| 0.060 0.048 |z2(k)| 0.48 0.18 |z3(k)| - 0.161

Trong mục này, chúng tôi đề xuất một thuật toán tính toán mới, sử dụng phương pháp so sánh nghiệm dựa trên hệ dương để đánh giá trạng thái cho hệ phương trình vi phân đại số dương với nhiễu bị chặn sau:

  ˙x(t) = Ax(t) + By(t − h1(t)) + ω(t), t ≥ t0 ≥ 0, (3.20) y(t) = Cx(t) + Dy(t − h2(t)) + d(t), 

0,+ là hai vectơ trạng thái. Các ma trận A ∈ Rn×n, là đã biết. D là ma trận Schur. Vectơ nhiễu

0,+ , C ∈ Rm×n

0,+, y(·) ∈ Rm 0,+ và D ∈ Rm×m

0,+

trong đó x(·) ∈ Rn B ∈ Rn×m

0,+ là không biết nhưng được giả sử là bị chặn bởi các chặn đã

0,+, d(·) ∈ Rm

ω(·) ∈ Rn biết, tức là,

(3.21) 0 (cid:22) ω(t) (cid:22) ω, ∀t ≥ t0,

(3.22) 0 (cid:22) d(t) (cid:22) d, ∀t ≥ t0,

trong đó ω, d là hai vectơ đã biết. Trễ biến thiên không biết, h1(·) ∈ R0,+, h2(·) ∈ R0,+ là liên tục, không nhất thiết khả vi và được giả sử là bị chặn, tức là,

(3.23) max{h1(t), h2(t)} ≤ hM , max t≥t0

trong đó hM là hằng số đã biết. Điều kiện ban đầu của hệ (3.20) được cho bởi x(t0) = ψ(t0), y(s) = φ(s), s ∈ [t0 − hM , t0). Giá trị ban đầu ψ(t0) và φ(·) là không biết nhưng được giả thiết là bị chặn bởi chặn đã biết, tức là,

(3.24) 0 (cid:22) ψ(t0) (cid:22) ψ,

(3.25) 0 (cid:22) φ(s) (cid:22) φ, ∀s ∈ [t0 − hM , t0),

trong đó ψ, φ là các vectơ hằng không âm đã biết. Kí hiệu x(t, t0, ψ, φ, ω) và y(t, t0, ψ, φ, d) là nghiệm của hệ (3.20) với giá trị ban đầu (ψ, φ) và nhiễu (ω(t), d(t)).

Xây dựng phương pháp mới để đánh giá trạng thái thành phần cho hệ vi phân đại

số dương với nhiễu bị chặn bao gồm ba bước:

(i) Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính dương.

(ii) Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương không có nhiễu.

(iii) Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu bị chặn.

Đầu tiên, chúng ta nhắc lại định nghĩa của hệ (3.20) dương.

Định nghĩa 3.1 ([42]). Hệ (3.20) được gọi là dương nếu với bất kì giá trị ban đầu không âm, ψ(t0) (cid:23) 0, φ(s) (cid:23) 0, s ∈ [t0 − hM , t0) thì trạng thái của hệ (3.20) thỏa mãn x(t, t0, ψ, φ, ω) (cid:23) 0 và y(t, t0, ψ, φ, d) (cid:23) 0, với mọi t ≥ t0.

Bổ đề sau đưa ra điều kiện để hệ (3.20) là dương và so sánh nghiệm dựa vào điều

kiện ban đầu.

Bổ đề 3.1 ([78, 87]). Giả sử A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm, D là một ma trận Schur. Khi đó,

(i) Hệ (3.20) là dương.

(ii) Cho ψ1(t0) (cid:22) ψ2(t0) và φ1(s) (cid:22) φ2(s), s ∈ [t0 − τM , t0), ta có

(3.26) x(t, t0, ψ1, φ1, ω) (cid:22) x(t, t0, ψ2, φ2, ω), ∀t ≥ t0,

(3.27) y(t, t0, ψ1, φ1, d) (cid:22) y(t, t0, ψ2, φ2, d), ∀t ≥ t0.

Nhận xét 3.2. Từ (1.21), (1.22) và sử dụng tính chất đầy đủ của không gian Rn, các tác giả trong [78] đã đề xuất ra các bất đẳng thức chặt hơn, cụ thể, tồn tại một số dương µ ∈ (0, 1) sao cho

(3.28)

−A−1Bq (cid:22) (1 − µ)p ≺ p, (I − D)−1Cp (cid:22) (1 − µ)q ≺ q, (3.29)

Cp + Dq (cid:22) (1 − µ)q ≺ q. (3.30)

và sử dụng các bất đẳng thức này để phân tích sự ổn định của hệ vi phân đại số với các trễ không bị chặn. Trong Luận án này, chúng tôi sử dụng các bất đẳng thức chặt hơn này để đánh giá trạng thái của hệ (3.20). Do đó, chúng tôi sẽ nhắc lại chứng minh của nó. Giả sử rằng điều kiện (i) của Bổ đề 1.9 được thỏa mãn. Khi đó, bởi (iii) của Bổ đề 1.9, ta có s(A) < 0, suy ra A−1 (cid:22) 0 do (ii) của Bổ đề 1.8. Nhân A−1 vào phía bên trái của 2 vế của bất đẳng thức (1.21), ta thu được

−A−1Bq ≺ p. (3.31)

Vì D là một ma trận Schur và không âm, theo Bổ đề 1.8 (i), ma trận (I − D)−1 là không âm. Nhân (I − D)−1 vào phía bên trái của 2 vế của bất đẳng thức (1.22), ta thu được

(I − D)−1Cp ≺ q. (3.32)

Bất đẳng thức ma trận (1.22) cũng được viết lại như sau

Cp + Dq ≺ q. (3.33)

Vì (3.31)-(3.33) là các bất đẳng thức chặt nên bằng cách sử dụng tính đầy đủ của không gian Euclide Rn, tồn tại một số dương µ ∈ (0, 1) sao cho (3.28)-(3.30) đúng.

Để thuận tiện cho việc trình bày, trong mục 3.2, chúng tôi kí hiệu: ei = [01×(i−1) 1 01×(n−i)]T ∈ Rn là vectơ đơn vị thứ i trong Rn, lj = [01×(j−1) 1 01×(m−j)]T ∈ Rm là vectơ đơn vị thứ j trong Rm, x, y ∈ Rn, max{x, y} = [max{xi, yi}]i∈{1,2,...,n} .

3.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn của hệ tuyến tính dương

Trong mục này, chúng tôi trình bày một phương pháp để tìm thời gian nhỏ nhất có thể để đảm bảo sự hội tụ trong thời gian hữu hạn (tức là tất cả các vectơ trạng thái bắt đầu từ một tập bị chặn cho trước hội tụ trong một tập bị chặn đã cho khác sau thời gian hữu hạn) của hệ dương tuyến tính. Xét hệ dương tuyến tính sau

0,+ là vectơ trạng thái, A ∈ Rn×n là một ma trận Metzler. Vectơ 0,+ là giá trị ban đầu không âm. Kí hiệu u(t, t0, θ) là nghiệm của hệ (3.34) với

  ˙u(t) = Au(t), t ≥ t0 ≥ 0, (3.34) u(t0) = θ, 

trong đó u(t) ∈ Rn θ ∈ Rn giá trị ban đầu θ.

0,+ và δ = [δ1 · · · δn]T ∈ Rn 0,+, tìm một thời gian T ≥ 0 nhỏ nhất có thể sao cho với mọi giá trị ban đầu 0 (cid:22) θ (cid:22) θ thì nghiệm của hệ (3.34) thỏa mãn u(t, t0, θ) (cid:22) δ với mọi t ≥ t0 + T .

Trong mục này, chúng tôi xét bài toán: với hai vectơ không âm đã cho θ ∈ Rn

Đầu tiên, chúng tôi đưa ra bổ đề về đánh giá thành phần mũ cho hệ tuyến tính

dương (3.34).

Bổ đề 3.2 (Nam, Hiep [61]). Giả sử A là ma trận Hurwitz. Khi đó, tồn tại một số dương α > 0 và một hàm giá trị vectơ β(θ) sao cho đánh giá thành phần mũ sau đúng:

(3.35) u(t, t0, θ) (cid:22) β(θ)e−α(t−t0), ∀t ≥ t0.

Chứng minh. Vì A là ma trận Hurwitz nên tồn tại một số dương α > 0 sao cho A + αI là ma trận Hurwitz. Hơn nữa, s(AT + αI) = s(A + αI). Do đó, ma trận AT + αI cũng là ma trận Hurwitz. Theo (ii) của Bổ đề 1.8, tồn tại một vectơ v > 0 sao cho

vT (A + αI) ≺ 0. (3.36)

Xét hàm Lyapunov sau:

V (t) = vT eαtu(t). (3.37)

Đạo hàm của V dọc theo nghiệm u(t, t0, θ) được cho như sau

(3.38) ˙V (t) = vT (A + αI)eαtu(t, t0, θ) ≤ 0, ∀t ≥ t0.

Suy ra V (t) ≤ V (t0) với mọi t ≥ t0. Kết hợp với v (cid:31) 0, u(t, t0, θ) (cid:23) 0, ∀t ≥ t0 và u(t0, t0, θ) = θ (cid:22) θ, ta có, với mỗi i ∈ {1, 2, . . . , n},

viui(t, t0, θ)eαt ≤ vT u(t, t0, θ)eαt

(3.39) ≤ vT u(t0, t0, θ)eαt0 ≤ vT eαt0θ, ∀t ≥ t0,

suy ra

(3.40) ui(t, t0, θ) ≤ e−α(t−t0), ∀t ≥ t0. vT θ vi

và β(v, θ) = [β1(v, θ), . . . , βn(v, θ)]T . Khi đó, từ (3.40), chúng tôi thu

Đặt βi(v, θ) = vT θ vi được một đánh giá thành phần mũ (3.35). Vậy, Bổ đề 3.2 đã được chứng minh.

Nhận xét 3.3. Cố định α thỏa mãn s(AT + αI) < 0. Kí hiệu Ω là tập tất cả các vectơ v > 0 sao cho bất đẳng thức (3.36) đúng, tức là,

+ : (AT + αI)v ≺ 0}.

(3.41) Ω = {v ∈ Rn

Khi đó, bằng cách lấy giá trị nhỏ nhất của hàm giá trị vectơ β(v, θ) theo v ∈ Ω, tức là,

(3.42) βn(v, θ)]T , min v∈Ω β(v, θ) = [min v∈Ω β1(v, θ), . . . , min v∈Ω

chúng tôi thu được đánh giá thành phần mũ nhỏ nhất với số mũ ổn định α cho hệ (3.34) như sau

(cid:16) (cid:17) β(v, θ) (3.43) u(t, t0, θ) (cid:22) e−α(t−t0), ∀t ≥ t0. min v∈Ω

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một phương pháp để tìm minv∈Ω βi(v, θ), i ∈ {1, 2, . . . , n}. Để đơn giản, chúng tôi xem xét trường hợp i = 1.

Kí hiệu

+}.

Λ = {−(AT + αI)−1r : r ∈ Rn (3.44)

Vì ma trận AT + αI là Metzler và Hurwitz nên theo phần (ii) của Bổ đề 1.8, ma trận −(AT + αI)−1 là không âm và không suy biến. Do đó, tất cả các vectơ hàng của nó cũng không âm và khác không. Điều này suy ra với mỗi vectơ r ∈ Rn +, ta có −(AT + αI)−1r ∈ Rn + và (AT + αI)[−(AT + αI)−1r] = −r ≺ 0. Suy ra Λ ⊆ Ω. Mặt khác, với mỗi v ∈ Ω, ta có (AT + αI)v ≺ 0. Đặt r = −(AT + αI)v. Khi đó, r ∈ Rn + và v = −(AT + αI)−1r. Suy ra Ω ⊆ Λ. Do đó, ta có

Ω = Λ, (3.45)

có nghĩa là mỗi vectơ v ∈ Ω có dạng sau

v = −(AT + αI)−1r, (3.46)

+. Thay (3.46) vào β1(v, θ) = vT θ v1

thì β1(v, θ)) được đơn giản hóa thành

trong đó r ∈ Rn hàm hữu tỷ với một biến vectơ r và được kí hiệu là Γ1(r) như sau,

(3.47) β1(v, θ) = (cid:44) Γ1(r). a1r1 + a2r2 + · · · + anrn b1r1 + b2r2 + · · · + bnrn

Γ1(r). Vì Rn

Γ1(r). Do đó, vấn đề tìm minv∈Ω β1(v, θ) thì tương + là một tập mở trong Rn nên giá trị nhỏ + có thể không tồn tại. Do đó, thay vì tìm min thì chúng tôi

Suy ra, minv∈Ω β1(v, θ) = minr∈ Rn đương với vấn đề tìm minr∈ Rn nhất của Γ1(r) theo r ∈ Rn tìm inf của hàm Γ1(r) theo r ∈ Rn +.

1 v = eT

v = θ [−(AT + αI)−1]r = aT r. Suy ra aT = θ T

Chú ý rằng, theo Bổ đề 1.8, ma trận −(AT + αI)−1 là không âm và không suy biến. Suy ra tất cả các vectơ hàng của ma trận −(AT + αI)−1 là không âm và khác 0. Kí hiệu a = [a1 a2 · · · an]T và b = [b1 b2 · · · bn]T . Sử dụng công thức β1(v, θ) = vT θ , (3.46) và v1 [−(AT + αI)−1]. (3.47), ta có vT θ = θ [−(AT + αI)−1])T Vì vectơ θ và ma trận −(AT + αI)−1 là không âm nên vectơ a = (θ 1 [−(AT + αI)−1]r = bT r. cũng không âm. Tương tự, chúng ta cũng có v1 = eT 1 [−(AT + αI)−1], tức là, bT là hàng đầu tiên của ma trận không âm và Suy ra bT = eT không suy biến −(AT + αI)−1. Do đó, vectơ b = [b1 b2 · · · bn]T là không âm và khác không. Đặt J = {j ∈ {1, 2, . . . , n}|bj > 0}. Khi đó, theo Bổ đề 1.10, ta có

(3.48) (cid:44) γ1. Γ1(r) = min j∈J inf r∈Rn + aj bj

Do đó, đánh giá mũ nhỏ nhất với một số mũ ổn định α của vectơ trạng thái riêng thứ nhất có thể được cho như sau:

(3.49) u1(t, t0, θ) ≤ γ1e−α(t−t0), ∀t ≥ t0,

trong đó γ1 được tính bởi công thức (3.48).

Tiếp theo, ta tìm thời gian T nhỏ nhất đảm bảo vectơ trạng thái u(t, t0, θ) hội tụ

thành phần trong hình cầu B(0, δ).

α ln δ1 γ1

0 Với một số δ1 > 0 đã cho, tập   nếu γ1 ≤ δ1, (3.50) t1 α = − 1 nếu γ1 > δ1. 

Từ công thức (3.49), ta có

(3.51) u1(t, t0, θ) ≤ δ1, ∀t ≥ t0 + t1 α.

Chú ý rằng s(AT + αI) là một hàm tăng đối với biến α. Do đó, ta tìm được

αmax = sup{α ∈ R+|s(AT + αI) < 0}.

α được tính bởi (3.50) thì

Do đó, bằng cách tăng α dần dần từ 0 đến αmax với một bước nhỏ được chọn, chẳng hạn 0.001, và so sánh thời gian t1

α∈(0,αmax]

(3.52) T 1 = min t1 α.

Khi đó, T 1 là thời gian nhỏ nhất đảm bảo

(3.53) u1(t, t0, θ) ≤ δ1, ∀t ≥ t0 + T 1.

Tương tự, với các số δi > 0, i ∈ {2, . . . , n} đã cho, chúng tôi cũng tính được các thời gian nhỏ nhất T i, i ∈ {2, . . . , n} sao cho ui(t, t0, θ) ≤ δi với mọi t ≥ t0 + T i. Đặt

T = max{T 1, T 2, . . . , T n}. (3.54)

Khi đó, T là thời gian nhỏ nhất đảm bảo vectơ trạng thái u(t, t0, θ) hội tụ thành phần trong hình cầu B(0, δ) sau thời gian hữu hạn T , tức là,

(3.55) u(t, t0, θ) (cid:22) δ, ∀t ≥ t0 + T.

0,+, δ ∈ Rn

Từ các kết quả trên, ta có định lý sau:

Định lý 3.2 (Nam, Hiep [61]). Giả sử A là một ma trận Metzler và Hurwitz. Hai vectơ đã cho θ ∈ Rn 0,+. Khi đó, tất cả các quỹ đạo của hệ (3.34) hội tụ thành phần trong hình cầu B(0, δ) sau thời gian hữu hạn, T , được tính bởi công thức (3.54).

3.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương không có nhiễu

Trong phần này, chúng tôi trình bày một kết quả mới về đánh giá trạng thái cho hệ (3.20) trong trường hợp hệ không có nhiễu, tức là, ω(t) = d(t) = 0 với mọi t ≥ 0. Đơn giản hơn, chúng tôi xét hệ (3.20) với t0 = 0.

Định lý 3.3 (Nam, Hiep [61]). Giả sử A là một ma trận Metzler, B, C, D là không âm, D là một ma trận Schur và s(A + B(I − D)−1C) < 0. Khi đó, tồn tại hai vectơ + , một vô hướng µ ∈ (0, 1), một thời gian T ∗ ≥ hM , sao cho, với k ∈ N0, +, q ∈ Rm p ∈ Rn các phát biểu sau đúng:

(3.56) x(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) (1 − µ)kp, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗), y(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) (1 − µ)k+1q, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

0,+, đặt

Chứng minh. Bước 1: Theo Bổ đề 1.9 và Nhận xét 1.2, tồn tại hai vectơ (cid:101)p ∈ Rn +, (cid:101)q ∈ Rm + sao cho ba bất đẳng thức (3.31)-(3.33) đúng. Với hai vectơ không âm đã cho 0,+, φ ∈ Rm ψ ∈ Rn

} nếu ψ (cid:54)= 0 hoặc φ (cid:54)= 0,   max{ ψ1 (cid:101)p1 , . . . , ψn (cid:101)pn , φ1 (cid:101)q1 , . . . , φm (cid:101)qm (cid:37) = (cid:15) nếu ψ = 0 và φ = 0, 

trong đó (cid:15) là một số dương nhỏ bất kì. Chọn p = (cid:37)(cid:101)p, q = (cid:37)(cid:101)q. Khi đó, p (cid:31) 0, q (cid:31) 0, p (cid:23) ψ, q (cid:23) φ và (3.31)-(3.33) đúng. Do đó, tồn tại µ ∈ (0, 1) sao cho các bất đẳng thức

(3.28)-(3.30) đúng. Theo (ii) của Bổ đề 3.1, ta có

x(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) x(t, 0, p, q, 0), ∀t ≥ 0, (3.57) y(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) y(t, 0, p, q, 0), ∀t ≥ 0.

Bước 2: Tiếp theo, chúng tôi chứng minh rằng tồn tại một thời gian T > 0 sao cho

(3.58) x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)p, ∀t ≥ T, y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)2q, ∀t ≥ T,

trong đó p, q, µ được tính trong Bước 1. Thật vậy, xét hệ dương tuyến tính

˙u(t) = Au(t), ∀t ≥ 0. (3.59)

Sử dụng Bước 1 của chứng minh Định lý 1 trong [78] và (3.28)-(3.30), ta thu được

x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) p, ∀t ≥ 0, (3.60)

y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)q, ∀t ≥ 0, (3.61)

và

x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) −A−1Bq + u(t, 0, p + A−1Bq), ∀t ≥ 0, (3.62)

Sử dụng Định lý 3.2 cho hệ (3.59) với θ = p + A−1Bq và δ = (1 − µ)p + A−1Bq, chúng tôi tìm thấy thời gian T nhỏ nhất sao cho

u(t, 0, p + A−1Bq) (cid:22) (1 − µ)p + A−1Bq, ∀t ≥ T, (3.63)

suy ra

x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)p, ∀t ≥ T. (3.64)

Đặt T ∗ = max{T, hM }. Khi đó, từ (3.61) và (3.64), ta có

(3.65) x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)p, ∀t ≥ T ∗, y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)q, ∀t ≥ T ∗ − hM .

Mặt khác, từ (3.20), ta có

  Cx(t) + Dy(t − h2(t)) nếu h2(t) > 0 (3.66) y(t) = (I − D)−1Cx(t) nếu h2(t) = 0. 

Kết hợp (3.29), (3.30), (3.65) và (3.66), ta thu được

y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)2q, ∀t ≥ T ∗. (3.67)

Từ (3.60) và (3.61), ta thu được bất đẳng thức (3.56) cho trường hợp k = 0. Từ (3.65) và (3.67), ta thu được bất đẳng thức (3.56) cho trường hợp k = 1.

Bước 3: Trong bước này, ta chứng minh rằng bất đẳng thức (3.56) đúng với trường hợp k = 2. Thực vậy, xét hệ so sánh với hai biến x1(t), y1(t) và thời gian ban đầu t0 = T ∗ như sau

  (3.68) ˙x1(t) = Ax1(t) + By1(t − h1(t)), t ≥ T ∗ ≥ 0, y1(t) = Cx1(t) + Dy1(t − h2(t)). 

Tương tự với Bước 2, chúng ta cũng chứng minh rằng

(3.69) x1(t, T ∗, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)p, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗), y1(t, T ∗, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)2q, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗).

Sử dụng tính tuyến tính của hệ (3.68), từ (3.69), ta cũng thu được, với bất kì vô hướng dương λ,

(3.70) x1(t, T ∗, λp, λq, 0) (cid:22) (1 − µ)λp, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗), y1(t, T ∗, λp, λq, 0) (cid:22) (1 − µ)2λq, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗).

Chọn λ = 1 − µ và từ (3.70), ta có

(3.71) x1(t, T ∗, (1 − µ)p, (1 − µ)q, 0) (cid:22) (1 − µ)2p, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗), y1(t, T ∗, (1 − µ)p, (1 − µ)q, 0) (cid:22) (1 − µ)3q, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗).

Mặt khác, từ bất đẳng thức (3.65) ta có

(3.72) x(T ∗, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)p, y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)q, ∀t ∈ [T ∗ − hM , T ∗).

Kết hợp với phần (ii) của Bổ đề 3.1, ta thu được một so sánh giữa nghiệm của hệ (3.20) và một nghiệm của hệ (3.68) như sau

(3.73) x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) x1(t, T ∗, (1 − µ)p, (1 − µ)q, 0), ∀t ≥ T ∗, y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) y1(t, T ∗, (1 − µ)p, (1 − µ)q, 0), ∀t ≥ T ∗.

Từ (3.71) và (3.73), ta được

(3.74) x(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)2p, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗), y(t, 0, p, q, 0) (cid:22) (1 − µ)3q, ∀t ∈ [2T ∗, 3T ∗).

Điều này có nghĩa là ta có bất đẳng thức (3.56) cho trường hợp k = 2. Làm tương tự như trên, ta cũng thu được bất đẳng thức (3.56) cho trường hợp k ≥ 3. Vậy, Định lý 3.3 đã được chứng minh.

Nhận xét 3.4. Với giả thiết như trong Định lý 3.3, trong [78], các tác giả đã chỉ rằng tồn tại hai vectơ dương p, q, một số µ ∈ (0, 1) và một thời gian (cid:101)T ≥ hM thỏa mãn

(3.75) x(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) (1 − µ)kp, ∀t ∈ [k (cid:101)T , (k + 1) (cid:101)T ), y(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) (1 − µ)kq, ∀t ∈ [k (cid:101)T , (k + 1) (cid:101)T ).

Trong Định lý 3.3, chúng tôi sử dụng hai vectơ p, q và một số µ giống trong [78], chúng tôi đưa ra một đánh giá trạng thái (3.56) cho hệ (3.20) chặt hơn trong [78], cụ thể như sau: (i) Chỉ ra được T ∗ là thời gian nhỏ nhất. (ii) Đối với trạng thái y(·), từ Định lý 3.3, ta có

y(t, 0, ψ, φ, 0) (cid:22) (1 − µ)k+1q, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

Do 1 − µ < 1 và T ∗ < (cid:101)T nên đánh giá trạng thái y(·) trong Định lý 3.3 thì luôn nhỏ hơn đánh giá được đưa ra trong [78].

3.3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu

Mục đích của phần này là để mở rộng kết quả thu được ở trên cho lớp hệ hệ vi phân đại số có nhiễu khác không và bị chặn. Để đơn giản, chúng tôi cũng xem xét hệ (3.20) với t0 = 0.

Định lý 3.4 (Nam, Hiep [61]). Giả sử điều kiện được đưa ra trong Định lý 3.3 được thỏa mãn. Đặt

+ , một số µ ∈ (0, 1), một thời gian T ∗ ≥ hM ,

+, q ∈ Rm

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)−1 (cid:34) (cid:35) B = − . (3.76) η ς A C D − I ω d

(i) Tồn tại hai vectơ dương p ∈ Rn sao cho, với k ∈ N0, các đánh giá thành phần mũ sau đúng:

(3.77) x(t, 0, ψ, φ, ω) (cid:22) η + (1 − µ)kp, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗), y(t, 0, ψ, φ, d) (cid:22) ς + (1 − µ)k+1q, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

(cid:34) (cid:35)

(ii) Vectơ là chặn tới hạn thành phần nhỏ nhất của hệ (3.20). η ς

(cid:32) (cid:34) (cid:35)(cid:33)

0, là tập bất biến nhỏ nhất, khác {0}, của hệ (3.20). (iii) Hình cầu B η ς

Chứng minh. (i) Xét hệ sau:

  ˙x(t) = Ax(t) + By(t − h1(t)) + ω, t ≥ 0, (3.78) y(t) = Cx(t) + Dy(t − h2(t)) + d. 

(cid:34) (cid:40)(cid:34) (cid:35) (cid:35)(cid:41)

Đặt = max . Do (i) và (ii) của Bổ đề 3.1, ta có , (cid:34) η ς ψ φ (cid:35) (cid:98)ψ (cid:98)φ

t ≥ 0, (3.79) t ≥ 0. x(t, 0, ψ, φ, ω) (cid:22) x(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, ω), y(t, 0, ψ, φ, d) (cid:22) y(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, d),

Đặt

ˇx(t) = x(t) − η, (3.80) ˇy(t) = y(t) − ς.

Khi đó, ta có

  ˙ˇx(t) = Aˇx(t) + B ˇy(t − h1(t)), t ≥ 0, (3.81) ˇy(t) = C ˇx(t) + Dˇy(t − h2(t)), 

và

(3.82) ˇx(t, 0, (cid:98)ψ − η, (cid:98)φ − ς, 0) = x(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, ω) − η, ˇy(t, 0, (cid:98)ψ − η, (cid:98)φ − ς, 0) = y(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, d) − ς,

Bây giờ, ta áp dụng Định lý 3.3 cho hệ (3.81) với giá trị ban đầu ( (cid:98)ψ − η, (cid:98)φ − ς), tồn tại hai vectơ dương p, q, một vô hướng µ ∈ (0, 1) và một thời gian T ∗ ≥ hM sao cho, với k ∈ N0,

(3.83) ˇx(t, 0, (cid:98)ψ − η, (cid:98)φ − ς, 0) (cid:22) (1 − µ)kp, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗), ˇy(t, 0, (cid:98)ψ − η, (cid:98)φ − ς, 0) (cid:22) (1 − µ)k+1q, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

Từ (3.79), (3.82) và (3.83), ta thu được bất đẳng thức (3.77).

(ii) Từ (3.77), cho t → ∞ , ta thu được,

x(t, 0, ψ, φ, ω) (cid:22) η, lim sup t→∞ (3.84) y(t, 0, ψ, φ, d) (cid:22) ς. lim sup t→∞

(cid:34) (cid:35)

Suy ra vectơ là một chặn tới hạn thành phần của hệ (3.20). Để chứng minh rằng η ς (cid:35)

là chặn tới hạn thành phần nhỏ nhất, ta xét trường hợp ω(t) = ω, d(t) = d vectơ (cid:34) η ς

với mọi t ≥ 0 và đặt

(3.85)

(cid:101)x(t) = η − x(t), (cid:101)y(t) = ς − y(t).

Khi đó, từ (3.20), ta thu được

  (3.86)  ˙ (cid:101)x(t) = A(cid:101)x(t) + B(cid:101)y(t − h1(t)), t ≥ 0, (cid:101)y(t) = C(cid:101)x(t) + D(cid:101)y(t − h2(t)),

và

(3.87)

(cid:101)x(t, 0, η, ς, 0) = η − x(t, 0, 0, 0, ω), (cid:101)y(t, 0, η, ς, 0) = ς − y(t, 0, 0, 0, d).

Bây giờ, ta áp dụng Định lý 3.3 cho hệ (3.86) với giá trị ban đầu (η, ς), tồn tại hai vectơ dương p, q, một vô hướng µ ∈ (0, 1) và thời gian T ∗ ≥ hM sao cho, với k ∈ N0,

(3.88)

(cid:101)x(t, 0, η, ς, 0) (cid:22) (1 − µ)kp, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗), (cid:101)y(t, 0, η, ς, 0) (cid:22) (1 − µ)k+1q, ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

Từ (3.87) và (3.88), ta có

(3.89) η − (1 − µ)kp (cid:22) x(t, 0, 0, 0, ω), ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗), ς − (1 − µ)k+1q (cid:22) y(t, 0, 0, 0, d), ∀t ∈ [kT ∗, (k + 1)T ∗).

Cho t → ∞, ta thu được

x(t, 0, 0, 0, ω), η (cid:22) lim inf t→∞ (3.90) y(t, 0, 0, 0, d). ς (cid:22) lim inf t→∞

(cid:34) (cid:35)

Suy ra vectơ là chặn tới hạn thành phần nhỏ nhất. η ς

(cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:34) (cid:35) (cid:34)

= , ta có = . Thay phương trình này vào (iii) Đối với trường hợp ψ φ η ς η ς (cid:35) (cid:98)ψ (cid:98)φ trong (3.82), ta được

(3.91) x(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, ω) = η, ∀t ≥ 0, y(t, 0, (cid:98)ψ, (cid:98)φ, d) = ς, ∀t ≥ 0.

Kết hợp với (3.79), ta được

x(t, 0, ψ, φ, ω) (cid:22) η, t ≥ 0, (3.92) y(t, 0, ψ, φ, d) (cid:22) ς, t ≥ 0,

Bảng 3.2 Thuật toán tính cận trạng thái thành phần

Khai báo: Đầu vào A, B, C, D, n, m, ω, d, hM , ψ, φ, (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)−1 (cid:34) (cid:35) B Bước 1: Tính toán = − . A C D − I (cid:35) ω d (cid:34) η ς (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34)

Nếu (cid:22) , chặn thành phần là ψ φ η ς η ς

nếu không, chuyển sang Bước 2 kết thúc

Bước 2: (Tìm vectơ p, q và µ) (cid:35) (cid:35)(cid:41) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:40)(cid:34) (cid:34)

, , thay , = = max (cid:34) η ς ψ φ ψ φ (cid:98)ψ − η (cid:98)φ − ς (cid:35) (cid:98)ψ (cid:98)φ (cid:34) (cid:34) (cid:35)−1 B Đặt ξ = [1 · · · 1]T , tính toán = − ξ, A C D − I

} nếu ψ (cid:54)= 0 hoặc φ (cid:54)= 0,   (cid:35) (cid:101)p (cid:101)q , . . . , φm (cid:101)qm max{ ψ1 (cid:101)p1 , . . . , ψn (cid:101)pn , φ1 (cid:101)q1 (cid:37) = nếu ψ = 0 và φ = 0,

(cid:15)  p = (cid:37)(cid:101)p, q = (cid:37)(cid:101)q. Bước 3: (Tìm µ)

lT j M2 j q , lT

i∈{1,2,...,n},j∈{1,2,...,m}

(cid:111) µ = 1 − max Tính M1 = −A−1Bq, M2 = (I − D)−1Cp M3 = Cp + Dq và thu được (cid:110) eT lT j M3 i M1 i p , lT eT j q

Bước 4: (Tìm αmax)

Gán: step1 = 0.001, α = 0 Dùng lệnh: “while s(A + αI) < 0

α = α + step1

end αmax = α − step1.”

Bước 5: (Tìm T i, i ∈ {1, . . . , n} và T ∗)

Đặt θ = p + A−1Bq, δ = (1 − µ)p + A−1Bq, Dùng lệnh: “for i = 1 : 1 : n for α = 0 : step1 : αmax

α (bởi (3.50))

compute γi ( bởi (3.48)) obtain ti

end T i = minα∈[0,αmax] ti α end” Thu được T = max{T 1, . . . , T n}, T ∗ = max{T, hM } và đánh giá trạng thái thành phần bởi (3.77).

(cid:32) (cid:35)(cid:33)

Từ (3.90) và (3.92), ta kết luận rằng hình cầu B 0, là tập bất biến nhỏ nhất, (cid:34) η ς

khác {0}, của hệ (3.20). Vậy, Định lý 3.4 đã được chứng minh.

Nhận xét 3.5. Định lý 3.3 và Định lý 3.4 không chỉ trình bày điều kiện đủ cho sự tồn tại của cả chặn nhất thời và tới hạn của các vectơ trạng thái, giới hạn của tập bất biến mà còn đưa ra cách tính toán và tối ưu hóa các giới hạn này. Từ các điều trên, một thuật toán để tính toán chặn trạng thái thành phần có thể nhỏ nhất cho hệ (3.20) được đưa ra như trong Bảng 3.2.

Nhận xét 3.6. Trong Bước 4 của Thuật toán (xem Bảng 3.2), với mục đích tính toán cho một ví dụ bằng số được trình bày ở sau, chúng tôi chọn “step1 = 0, 001”. Trong thực tế, chúng ta có thể chọn bước nhảy nhỏ hơn hoặc lớn hơn. Lưu ý rằng bước nhảy được chọn nhỏ hơn thì đánh giá được đưa ra chặt hơn nhưng độ phức tạp cao hơn.

Hình 3.4 Các quỹ đạo của x1(t) và chặn của nó. Hình 3.5 Các quỹ đạo của x2(t) và chặn của nó.

Ví dụ 3.2. Xét hệ vi phân đại số (3.20), các ma trận được chọn giống như ví dụ trong Shen và Zheng [87]

   

A =     , B =     , −2.5 0.3 0.5 −2 0.4 0.2 0.5 0 (cid:34) 0 0.1 0.6 −3 (cid:35) (cid:34) 0.1 0.3 0.4 (cid:35)

C = , D = . 0.3 0.2 0.4 0.2 0.1 0 0.6 0.1 0.3 0.2

Hình 3.6 Các quỹ đạo của x3(t) và chặn của nó. Hình 3.7 Các quỹ đạo của y1(t) và chặn của nó.

Hình 3.8 Các quỹ đạo của y2(t) và chặn của nó.

Hai vectơ nhiễu ω(t) và d(t) bị chặn bởi ω = [0.5 0.3 0.1]T và d = [0.3 0.1]T . Các trễ biến thiên h1(t) và h2(t) bị chặn bởi hM = 2. Các giá trị ban đầu ψ(0) và φ(.) bị chặn bởi ψ = [2 5 3]T và φ = [15 5]T . Sử dụng (3.76), ta tính

η = [0.7249 1.4756 0.5780]T , ς = [3.7739 1.1469]T .

Chọn ξ = [1 · · · 1]T và sử dụng Bước 1 của chứng minh của Định lý 3.4, ta tìm được

p = [2.3951 5.5118 2.4220]T , q = [14.1659 4.9990]T , và µ = 0.0707.

Bằng cách sử dụng Bước 2 của chứng minh của Định lý 3.4 và Định lý 3.2, ta tìm thấy T = 1.2056 và T ∗ = max{T, hM } = 2. Khi đó, chúng tôi thu được đánh giá trạng thái thành phần của hệ (3.20) như sau:

   

(3.93)   (cid:22)       + 0.9293k      , ∀t ∈ [k2, (k + 1)2), k ∈ N0,  0.7249 1.4756 0.5780 2.3951 5.5118 2.4220 x1(t) x2(t) x3(t)

và

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35)

(cid:22) + 0.9293k+1 (3.94) , ∀t ∈ [k2, (k + 1)2), k ∈ N0. 3.7739 1.1469 14.1659 4.9990 y1(t) y2(t)

Đối với một mô phỏng trực quan, chúng tôi chọn các vectơ nhiễu như

  (cid:34) (cid:35)

trong đó a ∈ {0, 0.5, 1}; b ∈ {0, 1}, hai trễ biến thiên

h1(t) = 1 + | sin(t)|, h2(t) = 1 + | cos(t)|,

và các giá trị ban đầu ψ = ψ, φ = φ. Các hình sau cho thấy các quỹ đạo của các vectơ trạng thái riêng của hệ (3.20) bị chặn bởi các cận trên được tính bởi Định lý 3.4. Hơn nữa, để minh họa chặn tới hạn thu được trong Định lý 3.4 là nhỏ nhất thì chúng tôi chọn một trường hợp đặc biệt của vectơ nhiễu trong đó

ω(t) = [0.5 0.3 0.1]T và d(t) = [0.3 0.1]T .

Ngoài ra, từ các số liệu này, có thể thấy rằng quỹ đạo của các vectơ trạng thái riêng của hệ (3.20) đối với trường hợp đặc biệt được chọn này hội tụ đến

  (cid:34) (cid:35)

η = ,     và ς = 3.7739 1.1469 0.7249 1.4756 0.5780

(cid:34) (cid:35)

tương ứng. Điều này chỉ ra rằng vectơ là chặn thành phần tới hạn nhỏ nhất của η ς

hệ (3.20).

KẾT LUẬN

Trong Luận án chúng tôi đã đạt được các kết quả chính sau:

(1) Đề xuất một kỹ thuật ma trận phụ thuộc thời gian dùng để mở rộng lớp hàm Lyapunov và ứng dụng vào việc thiết lập một tiêu chuẩn ổn định mới cho hệ sai phân có trễ (xem Định lý 2.1).

(2) Mở rộng một lớp hàm Lyapunov, cộng thêm hạng tử chứa tích phân ba lớp và một ma trận phụ thuộc vào trễ để thiết lập một tiêu chuẩn ổn định mới và hữu hiệu hơn cho hệ vi phân suy biến (xem Định lý 2.2).

(3) Đưa ra một kết quả về đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân thông qua phương pháp hàm Lyapunov (xem Định lý 3.1).

Một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

(4) Đưa ra một cách tiếp cận mới để tính toán chặn trạng thái cho một lớp hệ dương suy biến (3.20) (xem Định lý 3.4).

Từ các kết quả thu được trong Luận án, chúng tôi nhận thấy kỹ thuật ma trận phụ thuộc vào trễ thời gian sẽ đem lại tính hữu hiệu hơn cho việc nghiên cứu tính ổn định của hệ có trễ. Tuy nhiên, kỹ thuật này chỉ mới phát triển ban đầu cho một vài lớp hệ tuyến tính. Do đó, một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo:

1. Phát triển kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ vào việc mở rộng lớp hàm Lyapunov và nghiên cứu tính ổn định cho các lớp hệ có trễ khác.

2. Phát triển kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ vào việc mở rộng các bất đẳng thức đánh giá thay vì các ma trận hằng.

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án

[1] Phan Thanh Nam, Thi Hiep Luu (2019), “State bounding for positive coupled differential-difference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 13(11), 1728-1735, (SCI, Q1).

[2] Phan Thanh Nam, Thi Hiep Luu (2020), “A new delay-variation-dependent stability criterion for delayed discrete-time systems”, Journal of the Franklin Institute, (accepted), (SCIE, Q1).

[3] Lưu Thị Hiệp, Phan Thanh Nam (2020), “Chặn hàm tuyến tính của trạng thái cho hệ rời rạc có chậm và nhiễu bị chặn”, Tạp chí khoa học-Trường ĐH Quy Nhơn, 14(1), 25-35.

[4] Thi Hiep Luu, Phan Thanh Nam (2019), “Stability analysis of singular time- delay systems using the auxiliary function-based double integral inequalities”, (revised), (SCIE, Q2).

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt:

[1] Lưu Thị Hiệp, Phan Thanh Nam (2020), “Chặn hàm tuyến tính của trạng thái cho hệ rời rạc có chậm và nhiễu bị chặn”, Tạp chí khoa học-Trường ĐH Quy Nhơn, 14(1), 25-35.

[2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Nhà xuất bản Đại

học quốc gia Hà Nội.

Tiếng Anh:

[3] Abegor J., Nagpal K., Poolla K. (1996), “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain minimization”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 6, pp. 899-927.

[4] Anderson D.H. (1983), Compartmental Modeling and Tracer Kinetics, Springer,

New York.

[5] Barreau M., Seuret A., Gouaisbaut F. (2017), “Wirtinger-based exponential sta-

bility for time-delay systems”, IFAC-PapersOnLine, 50(1), 11984-11989.

[6] Berman A., Plemmons R.J. (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical

Science, Academic Press, New York.

[7] Bokharaie V.S. (2012), Stability Analysis of Positive Systems with Applications to Epidemiology, Hamilton Institute National University of Ireland Maynooth.

[8] Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V. (1994), Linear Matrix Inequalities

in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics.

[9] Campbell S.L. (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman, Lon-

don.

[10] Campbell S.L., Linh V.H. (2009), “Stability criteria for differential-algebraic equa- tions with multiple delays and their numerical solutions”, Applied Mathematics and Computation, 208(2), pp. 397-415.

[11] Chen J., Lu J., Xu S. (2016), “Summation inequality and its application to stability analysis for time-delay systems”, IET Control Theory and Applications, 10(4), pp. 391-395.

[12] Chen J., Park J., Xu S. (2018), “Stability analysis of continuous-time systems with time-varying delay using new Lyapunov-Krasovskii functionals”, Journal of the Franklin Institute, 355, pp. 5957-5967.

[13] Chen J., Park J.H., Xu S. (2019), “Stability analysis for neural networks with time-varying delay via improved techniques”, IEEE Transactions on Cybernetics, https://doi.org/10.1109/TCYB.2018.2868136

[14] Chen J., Park J.H., Xu S. (2019), “Stability analysis of discrete-time neural net- works with an interval-like time-varying delay”, Neurocomputing, 329, pp. 248-254.

[15] Chen J., Xu S., Chen W., Zhang B., Ma Q., Zou Y. (2016), “Two general integral inequalities and their applications to stability analysis for systems with time- varying delay”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 26, pp. 4088-4103.

[16] Chen J., Xu S., Ma Q., Li Y., Chu Y., Zhang Z. (2017), “Two novel general summation inequalities to discrete-time systems with time-varying delay”, Journal of the Franklin Institute, 354, pp. 5537-5558.

[17] Dai L. (1989), Singular Control Systems, New York, NY: Springer-Verlag.

[18] Ding L., He Y., Wu M., Zhang Z. (2017), “A novel delay partitioning method for stability analysis of interval time-varying delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 354(2), pp. 1209-1219.

[19] Du N.H., Linh V.H., Mehrmann V., Thuan D.D. (2013), “ Stability and robust sta- bility of linear time-variant delay differential-algebraic equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34(4), pp. 1631-1654.

[20] Du N.H., Thuan D.D., Liem N.C. (2011), “Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales”, Systems & Control Letters, 60(8), pp. 596-603.

[21] Ech-charqy A., Ouahi M., Tissir E.H. (2018), “Delay-dependent robust stability criteria for singular time-delay systems by delay-partitioning approach”, Interna- tional Journal of Systems Science, 49, pp. 2957-2967.

[22] Eris O., Ergenc A.F. (2016), “Delay scheduling for delayed resonator applications”,

IFAC-PapersOnline, 49(10), pp. 77-81.

[23] Farina L., Rinaldi (2000), Positive Linear Systems, Wiley, New York.

[24] Feng J., Lam J., Yang G. (2015), “Optimal partitioning method for stability anal- ysis of continuous/discrete delay systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 25(4), pp. 559-574.

[25] Feng Z., Zheng W.X. (2017), “Improved reachable set estimation of discrete-time systems with time-varying delay”, Optimal Control Applications and Methods, 38(6), pp. 1081-1090.

[26] Fridman E. (2002), “Stability of linear descriptor systems with delay: a Lyapunov- based approach”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 273, pp. 24-44.

[27] Fridman E. (2014), Introduction to Time Delay Systems: Analysis and Control,

Birkhauser, Basel.

[28] Fridman E., Shaked U. (2003), “On reachable sets for linear systems with delay

and bounded peak inputs”, Automatica, 39(11), pp. 2005-2010.

[29] Gu K. (2000), “An integral inequality in the stability problem of time-delay sys- tems”, Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, pp. 2805-2810.

[30] Gu K., Kharitonov V.L., Chen J. (2002), Stability of Time-Delay Systems,

Birkhauser, Boston, Basel, Berlin.

[31] Haidar A., Boukas E.K. (2009), “Exponential stability of singular systems with

multiple time-varying delays”, Automatica, 45(2), pp. 539-545.

[32] Hale J., Lunel S.M.V. (1993), Introduction to Functional Differential Equations,

Springer-Verlag, New York.

[33] Han X., Fridman E., Spurgeon S.K. (2010), “Sliding-mode Control of Uncertain Systems in the Presence of Unmatched Disturbances with Applications”, Interna- tional Journal of Control, 83, pp. 2413-2426.

[34] He Y., Wang Q.G., Lin C., Wu M. (2005), “Augmented Lyapunov functional and delay-dependent stability criteria for neutral systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 15(18), pp. 923-933.

[35] He Y., Wang Q.G., Lin C., Wu M. (2007), “Delay-range-dependent stability for

systems with time-varying delay”, Automatica, 43(2), pp. 371-376.

[36] Hien L.V., An N.T., Trinh H. (2014), “New results on state bounding for discrete- time systems with interval time-varying delay and bounded disturbance inputs”, IET Control Theory and Applications, 8(14), pp. 1405-1414.

[37] Hien L.V., Trinh H. (2014), “A new approach to state bounding for linear time- varying systems with delay and bounded disturbances”, Automatica, 50(6), pp. 1735-1738.

[38] Hien L.V., Trinh H. (2015), “Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems”, IET Control Theory and Applications, 9(14), pp. 2188-2194.

[39] Hien L.V., Trinh H. (2016), “New finite-sum inequalities with applications to sta-

bility of discrete time-delay systems”, Automatica, 71, pp. 197-201.

[40] Hien L.V., Vu L.H., Phat V.N. (2015), “Improved delay-dependent exponential stability of singular systems with mixed interval time-varying delays”, IET Control Theory and Applications, 9, pp. 1364-1372.

[41] Hinrichsen D., Son N.K. (1997), “Robust Stability of positive continuous time

systems”, Uncertain Systems, Robustness Analysis, 17(5-6), pp. 649-659.

[42] Kaczorek T. (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London.

[43] Khalil H.K., (2002), Nonlinear Systems (3rd Edition), Prentice Hall, Upper Saddle

River, New Jersey 07458.

[44] Kharitonov V.L. (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matri-

ces, Birkhauser.

[45] Kim J.H. (2008), “Improved ellipsoidal bound of reachable sets for time-delayed

linear systems with disturbances”, Automatica, 44, pp. 2940-2943.

[46] Kofman E., Haimovich H., Seron M.M. (2007), “A systematic method to obtain ultimate bounds for perturbed systems”, International Journal of Control, 80(2), pp. 167-178.

[47] Kwon O.M., Lee S.M., Park J.H. (2011), “On the reachable set bounding of un- certain dynamic systems with time-varying delays and disturbances”, Information Sciences, 181, pp. 3735-3748.

[48] Kwon W., Koo B., Lee S. (2018), “Novel Lyapunov-Krasovskii functional with delay-dependent matrix for stability of time-varying delay systems”, Applied Math- ematics and Computation, 320, pp. 149-157.

[49] Lee W.I., Park P.G. (2014), “Second-order reciprocally convex approach to stability of systems with interval time-varying delays”, Applied Mathematics and Compu- tation, 229(25), pp. 245-253.

[50] Lee S.Y., Park J.M., Park P.G. (2018), “Bessel summation inequalities for stability analysis of discrete-time systems with time-varying delays”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 29(2), pp. 473-491.

[51] Linh V.H., Nga N.T.T., Thuan D.D. (2018),“Exponential stability and robust sta- bility for linear time-varying singular systems of second order difference equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 39(1), pp. 204-233.

[52] Liu G. (2017), “New results on stability analysis of singular time-delay systems”,

International Journal of Systems Science, 48(7), pp. 1395-1403.

[53] Liu Z.Y., Lin C., Chen B. (2014), “A neutral system approach to stability of singular time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 351, pp. 4939-4948.

[54] Liu Z.Y., Lin C., Chen B. (2016), “Admissibility analysis for linear singular systems with time-varying delays via neutral system approach”, ISA Transactions, 61, pp. 141-146.

[55] Liu X., Yu W., Wang L. (2009), “Stability analysis of positive systems with bounded time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and Systems- II:Express Briefs, 56(7), pp. 600-604.

[56] Luenberger D.G., Arbel A. (1977), “Singular dynamic leontief systems”, Econo-

metrica, 45, pp. 991-995.

[57] Muller P.C. (1993), “Stability of linear mechanical systems with holonomic con-

straints”, Applied Mechanics Reviews, 46, pp. 160-164.

[58] Muoi N.H., Rajchakit G., Phat V.N. (2016) , “LMI approach to finite-time stabil- ity and stabilization of singular linear discrete delay systems”, Acta Applicandae Mathematicae, 146(1), pp. 81-93.

[59] Nam P.T., Hiep L.T. (2020), “A new delay-variation-dependent stability criterion

for delayed discrete-time systems”, Journal of the Franklin Institute, (accepted).

[60] Nam P.T., Hiep L.T. (2019), “Stability analysis of singular time-delay systems

using the auxiliary function-based double integral inequalities”, (revised).

[61] Nam P.T., Hiep L.T. (2019), “State bounding for positive coupled differential- difference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Appli- cations, 13(11), pp. 1728-1735.

[62] Nam P.T., Pathirana P.N. (2011), “Further result on reachable set bounding for linear uncertain polytopic systems with interval time-varying delays”, Automatica, 47, pp. 1838-1841.

[63] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H. (2015), “Discrete Wirtinger-based inequality and its application”, Journal of the Franklin Institute, 352(5), pp. 1893-1905.

[64] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H. (2015), “Convergence within a polyhedron: controller design for time-delay systems with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 6(9), pp. 905-914.

[65] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H. (2015), “Linear functional state bounding for perturbed time-delay systems and its application”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 32(2), pp. 245-255.

[66] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H. (2015), “Reachable set bounding for nonlinear perturbed time-delay systems: The smallest bound”, Applied Mathematics Letters, 43(9), pp. 68-71.

[67] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H. (2016), “Partial state bounding with a pre- specified time of non-linear discrete systems with time-varying delays”, IET Con- trol Theory and Applications, 10(13), pp. 1496-1502.

[68] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N. (2015), “Discrete inequalities based on mul- tiple auxiliary functions and their applications to stability analysis of time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(12), pp. 5810-5831.

[69] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N. (2016), “Componentwise ultimate bounds for positive discrete time-delay systems perturbed by interval disturbances”, Auto- matica, 72, pp. 153-157.

[70] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N. (2018), “Minimization of state bounding for perturbed positive systems with delays”, SIAM Journal on Control and Optimiza- tion, 56(3), pp. 1739-1755.

[71] Niamsup P., Phat V.N. (2016), “A new result on finite-time control of singular

linear time-delay systems”, Applied Mathematics Letters, 60, 1-7.

[72] Ngoc P.H.A. (2013), “Stability of positive differential systems with delay”, IEEE

Transactions on Automatic Control, 58(1), pp. 203-209.

[73] Ngoc P.H.A. (2018), “Exponential stability of coupled linear delay time-varying differential-difference equations”, IEEE Transactions on Automatic Control, 63(3), pp. 643-648.

[74] Ngoc P.H.A., Trinh H. (2016), “Novel criteria for exponential stability of linear neutral time-varying differential systems”, IEEE Transactions on Automatic Con- trol, 61(6), pp. 1590-1594.

[75] Nguyen M.C., Trinh H., Nam P.T. (2015), “Linear functional observers with guar- anteed (cid:15)-convergence for discrete time-delay systems with input/output distur- bances”, International Journal of Systems Science, 47(13), pp. 3193-3205.

[76] Park P.G., Lee W.I., Lee S.Y. (2015), “Auxiliary function-based integral inequali- ties for quadratic functions and their applications to time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(4), pp. 1378-1396.

[77] Park P.G., Ko J., Jeong C. (2011), “Reciprocally convex approach to stability of

systems with time-varying delays”, Automatica, 47(1), pp. 235-238.

[78] Pathirana P.N., Nam P.T., Trinh H. (2018),

“Stability of positive coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays”, Automat- ica, 92, pp. 259-263.

[79] Qian W., Yuan M., Wang L., Bu X., Yang J. (2017), “Stabilization of systems with interval time-varying delay based on delay decomposing approach”, ISA Transac- tions, 70, pp. 1-6.

[80] Rami M.A. (2009), “Stability analysis and synthesis for linear positive systems with time-varying delays”, Positive Systems, LNCIS, Springer, Berlin Heidelberg, 389, pp. 205-215.

[81] Rami M.A., Helmke U., Tadeo F. (2007), “Positive observation problem for linear

time-delay positive systems”, Control and Automation, Athens-Greece.

[82] Sau N.H., Phat V.N., Niamsup P. (2018), “On finite-time stability of linear positive differential-algebraic delay equations”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 65(12), 1984-1987.

[83] Seuret A., Gouaisbaut F. (2013), “Wirtinger-based integral inequality: Application

to time-delay systems”, Automatica, 49(9), pp. 2860-2866.

[84] Seuret A., Gouaisbaut F. (2015), “Hierarchy of LMI conditions for the stability

analysis of time-delay systems”, Systems & Control Letters, 81, pp. 1-7.

[85] Seuret A., Gouaisbaut F. (2016), “Delay-dependent reciprocally convex combina-

tion lemma”, Rapport LAAS n16006. hal-01257670.

[86] Seuret A., Liu K., Gouaisbaut F. (2018), “Generalized reciprocally convex com- bination lemmas and its application to time-delay systems”, Automatica, 95, pp. 488-493.

[87] Shen J., Zheng W.X. (2015), “Positivity and stability of coupled differential- difference equations with time-varying delays”, Automatica, 57, pp. 123-127.

[88] Smith H. (1995), Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory of

Competitive and Cooperative Systems, AMS, Providence, RI.

[89] Stojanovic S.B., Debeljkovic D.L. (2007), “A Lyapunov-Krasovskii methodology for asymptotic stability of discrete time delay systems”, Serbian Journal of Elec- trical Engineering, 4(2), pp. 109-117.

[90] Sun J., Han Q., Chen J., Liu G. (2015), “Less conservative stability criteria for linear systems with interval time-varying delays”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 25(4), pp. 475-485.

[91] That N.D., Nam P.T., Ha Q.P. (2013), “Reachable set bounding for linear discrete- time systems with delays and bounded disturbances”, Journal of Optimization Theory and Applications, 157, pp. 96-107.

[92] Thuan D.D., Du N.H., Liem N.C. (2016), “Stabilizability and robust stabilizability of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 33(1), pp. 121-136.

[93] Thuan D.D., Nguyen K.C., Ha N.T., Du N.H. (2019),“Robust stability of linear time-varying implicit dynamic equations: a general consideration”, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 31(3), pp. 385-413.

[94] Thuan M.V., Trinh H., Huong D.C. (2016), “Reachable sets bounding for switched systems with time-varying delay and bounded disturbances”, International Journal of Systems Science, 48(3), pp. 494-504.

[95] Trinh H., Huong D.C., Hien L.V., Nahavandi S. (2017), “Design of reduced-order positive linear functional observers for positive time-delay systems”, IEEE Trans- actions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 64(5), pp. 555-559.

[96] Trinh H., Nam P.T., Pathirana P.N., Le H.P. (2015), “On backwards and forwards reachable sets bounding for perturbed time-delay systems”, Applied Mathematics and Computation, 269, pp. 664-673.

[97] Xiao S., Xu L., Zeng H.B., Teo K.L. (2018), “Improved stability criteria for discrete-time delay systems via novel summation inequalities”, International Jour- nal of Control, Automation and Systems, 16, pp. 1592-1602.

[98] Xu S.Y., Dooren P.V., Stefan R., Lam J. (2002), “Robust stability and stabilization for singular delay systems with state delay and parameter uncertainty”, IEEE Transactions on Automatic Control, 47, pp. 1122-1128.

[99] Xu S., Lam J. (2008), “A survey of linear matrix inequality techniques in stability analysis of delay systems”, International Journal of Systems Science, 39, pp. 1905- 1113.

[100] Zeng H.B., He Y., Wu M., She J. (2015), “Free-matrix-based integral inequality for stability analysis of systems with time-varying delay”, IEEE Transactions on Automatic Control, 60(10), pp. 2768-2772.

[101] Zeng H.B., He Y., Wu M., She J. (2015), “New results on stability analysis for

systems with discrete distributed delay”, Automatica, 60, pp. 189-192.

[102] Zhang X.M., Han Q.L., Seuret A., Gouaisbaut F. (2017), “ An improved recip- rocally convex inequality and an augmented Lyapunov-Krasovskii functional for stability of linear systems with time-varying delay”, Automatica, 84, pp. 221-226.

[103] Zhang C.K., He Y., Jiang L., Wu M., Zeng H.B. (2016), “Delay-variation- dependent stability of delayed discrete-time systems”, IEEE Transactions on Au- tomatic Control, 61(9), pp. 2662-2669.

[104] Zhang C.K., He Y., Jiang L., Lin W.J., Wu M. (2017), “Delay-dependent stability analysis of neural networks with time-varying delay: a generalized free-weighting- matrix approach”, Applied Mathematics and Computation, 294, pp. 102-120.

[105] Zhang B., Lam J., Xu S. (2014), “Reachable set estimation and controller design for distributed delay systems with bounded disturbances”, Journal of the Franklin Institute, 351, pp. 3068-3088.

[106] Zhao T., Liang W., Dian S., Xiao J., Wei Z. (2018), “Improved stability and stabilisation criteria for discrete time-delay systems via a novel double summation inequality”, IET Control Theory and Applications, 12(3), pp. 327-337.

[107] Zhi Y.L., He Y., Shen J., Wu M. (2018), “New stability criteria of singular systems with time-varying delay via free-matrix-based integral inequalities”, International Journal of Systems Science, 49(5), pp. 1032-1039.

[108] Zhi Y.L., He Y., Wu M. (2017), “An improved stability criterion for singular systems with time-varying delay via a relaxed integral inequality”, Proceedings of the 36th Chinese Control Conference, Dalian, China, pp. 180-183.

[109] Zuo Z., Fu Y., Wang Y. (2012), “Results on reachable set estimation for lin- ear systems with both discrete and distributed delays”, IET Control Theory and Applications, 6, pp. 2346-2350.

[110] Zuo Z., Ho D.W.C., Wang Y. (2010), “Reachable set bounding for delayed sys- tems with polytopic uncertainties: the maximal Lyapunov-Krasovskii functional approach”, Automatica, 46, pp. 949-952.

CHỈ MỤC

Bao tập đạt được, 1, 2, 5, 13, 14, 16, 49, 50, 58, 59, 61 Chính quy, 21, 39, 41, 46, 47 Hệ dương, 3, 5, 14-17, 19, 21, 48, 49, 50, 61, 64, 68, 77 Hệ suy biến, 3, 4, 23, 38, 39, 46 Impulse-free, 21, 39, 41, 46, 47 Ma trận Hurwitz, 20, 64, 65, 67 Ma trận Metzler, 3, 5, 20, 48, 62, 64, 65, 67 Ma trận Schur, 5, 20, 62, 63, 67 Ổn định, 1-5, 7, 9-13, 17, 22-24, 26, 33-39, 41, 45, 46, 63, 65-67 Ổn định mũ, 11 Ổn định tiệm cận, 11, 12, 13, 26, 33, 34, 35, 41, 45, 46 Tập bất biến, 5, 13-16, 70, 74 Tập bị chặn tới hạn, 5, 13-16 Chặn tới hạn, 5, 13-16, 70, 71, 72, 76

Luận án Tiến sĩ Toán học: Đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ

ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ

MỤC LỤC

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2

Tính ổn định của hệ tuyến tính có trễ

Chương 3

Đánh giá trạng thái của hệ có trễ và nhiễu bị chặn

Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án

Tài liệu tham khảo

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Chặn trên cho một số bất biến của vành và Iđêan phân bậc

Luận án Tiến sĩ: Một số phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

Luận án Tiến sĩ tóm tắt: Một số phương pháp giải bài toán cân bằng trên tập điểm bất động

Luận án Tiến sĩ: Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Tính ổn định và tính chính quy nghiệm cho phương trình kiểu rayleigh-stokes nửa tuyến tính

Luận án Tiến sĩ: Phương pháp phổ của đồ thị trong một số bài toán tổ hợp cộng tính

Luận án Tiến sĩ: Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère Elliptic không đối xứng

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng của đa diện Newton vào việc nghiên cứu các bất đẳng thức Lojasiewicz và một số vấn đề của lý thuyết tối ưu

Luận án Tiến sĩ: Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind và ứng dụng

Doctor of philosophy: Some contributions to the theory of generalized polyhedral optimization problems

Luận án Tiến sĩ: Tính chẻ ra của Môdun đối đồng điều địa phương và ứng dụng

Doctor of philosophy: Shortest paths along a sequence of line segments and connected orthogonal convex hulls

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính suy biến có trễ

Luận án Tiến sĩ: Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Đối ngẫu liên hợp cho bài toán tối ưu đa mục tiêu và ứng dụng

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân hàm và ứng dụng trong lý thuyết điều khiển

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Toán tử tích phân cực đại trên trường địa phương

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Quan hệ giữa hệ số hilbert hiệu chỉnh và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy

Tóm tắt luận án Tiến sĩ: Chặn trên chỉ số chính quy castelnuovo-mumford

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok