Ngưỡng Chính Tắc của Hàm Chỉnh Hình và Hàm Đa Điều Hòa Dưới trong Cn: Luận án Tiến sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

− − − − − − − − −

VŨ VIỆT HÙNG

NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH

VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG Cn

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 62 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS. TSKH. Lê Mậu Hải

PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp

Hà Nội - 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đại

học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm

Hoàng Hiệp; kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa

được công bố trong bất cứ công trình của ai khác.

Tác giả

Vũ Việt Hùng

Lời cảm ơn

Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất

tới GS. TSKH. Lê Mậu Hải và PGS. TS. Phạm Hoàng Hiệp - những Người Thầy đã trực

tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi đã vô cùng may mắn thường xuyên nhận được sự

chỉ dẫn khoa học nghiêm túc cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin

và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của

mình.

Được sinh hoạt và làm việc thường xuyên cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi

vô cùng cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của Seminar

Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp

ý trực tiếp của các thành viên seminar đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang

bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đề

toán học. Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới GS. TSKH. Nguyễn

Văn Khuê - một nhà khoa học, một Người Thầy lớn luôn tận tâm đào tạo các thế hệ khoa

học chuyên ngành, trong đó có thế hệ khoa học trẻ chúng tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn

TS. Nguyễn Xuân Hồng với những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình phát triển Luận

án của mình.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Tập thể lãnh đạo và Hội đồng Khoa học Viện Nghiên cứu

Cao cấp về Toán đã hai lần tài trợ và trưng dụng tôi làm việc tại Viện. Đó là những

khoảng thời gian quý giá để từ đó tôi có cơ hội hoàn thành một trong những bài báo khoa

học nằm trong danh mục công trình của Luận án. Đồng thời, một bài báo khác được sử

dụng trong luận án cũng đã may mắn được Quý Viện tuyển chọn và trao giải thưởng công

trình toán học năm 2013 nằm trong Chương trình trọng điểm quốc gia về phát triển toán

học giai đoạn 2010 - 2020.

Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Tây Bắc, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn

vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt

quá trình học tập và nghiên cứu.

Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những người thầy, những đồng nghiệp, gia đình

và bạn bè thân thích là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, khích

lệ, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng sự tiến bộ trưởng thành để hình thành

nên sự nghiệp của cá nhân tôi.

Hà Nội, tháng 08 năm 2015

Vũ Việt Hùng

Mục lục

Mở đầu 3

Tổng quan 10

1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn 20

1.1 Ngưỡng chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới . . 20

1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả thuyết ACC

trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.1 Diện tích của tập mức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức . . . 33

1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C2 . . . . . . . . . . . . . . . . 36

41 2 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp dụng

2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn

địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Tính chất địa phương của lớp Em(Ω)

58 2.4 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc

65 trong lớp Em(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới 73

3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều

hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Kết luận và kiến nghị 88

Danh mục các công trình sử dụng trong luận án 90

Tài liệu tham khảo 91

Phụ lục 97

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài

Một trong những bài toán cổ điển đồng hành cùng quá trình phát triển của Giải tích

toán học đó là bài toán liên quan đến tính khả tích. Các vấn đề liên quan đến tính khả

tích đặt ra thường là để trả lời các câu hỏi: Hàm đã cho có khả tích hoặc khả tích địa

phương hay không ? Với tham số liên quan như thế nào thì hàm phụ thuộc tham số ấy là

khả tích ? Tính khả tích địa phương tại một điểm có mối liên hệ như thế nào đối với tính

chất của hàm tại điểm đó ? v.v... Trong lý thuyết Hình học Đại số và Giải tích phức, tính

khả tích địa phương của hàm số có liên quan chặt chẽ tới tính kì dị của hàm tại điểm đã

|f |2c , c > 0 tại điểm 0, với f là hàm chỉnh hình trên Cn sao cho f (0) = 0 thì rõ ràng chính giá trị c lại cung cấp cho ta nhiều thông tin

cho. Khi xét tính khả tích địa phương hàm 1

hữu ích về tính chất của hàm f . Chúng ta có thể đặt ra vấn đề tổng quát là: Với những

giá trị nào của t ∈ R thì hàm |f |t khả tích địa phương tại 0 ? Xuất phát từ thực tế hiển

nhiên là nếu t0 là số thực thỏa mãn yêu cầu trên thì với mọi t < t0 hàm |f |t đều khả tích

địa phương. Một cách tự nhiên, điều này lại dẫn tới bài toán nghiên cứu về giá trị tới hạn

của t, là giá trị mà kể từ khi vượt qua nó hàm |f |t không còn khả tích địa phương nữa.

Giá trị tới hạn nói trên của t được gọi là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 và kí hiệu là

cf (0).

Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình

học Đại số. Kể từ đó, vấn đề này đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Giống

như số LeLong, ngưỡng chính tắc có mối quan hệ mật thiết với mức độ kì dị của hàm tại

một điểm nên việc nghiên cứu tính kì dị của một siêu mặt trong rất nhiều trường hợp khác

nhau có thể thông qua nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm. Hơn nữa ngưỡng chính tắc

còn có nhiều tính chất và ứng dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học Đại số, chẳng

hạn ứng dụng trong chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên các đối tượng

hình học quan trọng. Đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học trong nước và trên thế

giới quan tâm và nghiên cứu như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P. Demailly, J. Kollár, M.

Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H. Skoda, L. M. Hải, P. H.

Hiệp, . . .

Có thể thấy, cùng với sự ra đời, phát triển và hoàn thiện của lý thuyết về ngưỡng chính

tắc thì Giả thuyết ACC (xem trong mục Tổng quan) về dãy ngưỡng chính tắc đóng một

vai trò trung tâm. Đây là giả thuyết được đưa ra và nghiên cứu trong Hình học Đại số

dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Từ năm 1992 đến năm 2000 Giả thuyết ACC

đã được chứng minh cho một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian và được

chứng minh trong trường hợp số chiều không gian tùy ý vào năm 2010. Tuy nhiên, tất cả

những kết quả nêu trên đều chứng minh thuần túy bằng lý thuyết Hình học Đại số.

Một vấn đề khác cũng được quan tâm nghiên cứu là tính bị chặn trên và chặn dưới của

ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới và hàm chỉnh hình. Có thể nói tới một trong

những kết quả quan trọng là của H. Skoda được cho trong tài liệu [76], trong đó tác giả

đã đưa ra đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ(x) của hàm đa điều hòa dưới

ϕ thông qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x. Việc thiết lập đánh giá chặt hơn của

H. Skoda trên đây có thể nói tới kết quả của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29] mà

ở đó các tác giả đã cải thiện và cho một đánh giá chặt hơn của H. Skoda trên lớp hàm

(cid:101)E(Ω)- một lớp con của lớp hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, trong thời gian gần đây, việc

mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. B(cid:32)locki, S.

Dinew, S. Ko(cid:32)lodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, . . . Đặc biệt năm 2012,

trong công trình [23], L. H. Chinh dựa theo ý tưởng của U. Cegrell đã đưa ra lớp hàm

Em(Ω). Một câu hỏi đặt ra là liệu đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho

lớp hàm Em(Ω)- lớp mở rộng thực sự của lớp E(Ω) hay không? Hơn nữa, có thể thấy rằng

lớp hàm Em(Ω) được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng

và tồn tại, việc nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc mô

tả rõ ràng hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục được quan tâm nghiên cứu.

Cuối cùng, vì một số trở ngại về công cụ và kỹ thuật cho nên việc tính ngưỡng chính

tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung vẫn là một bài toán chưa được giải quyết

triệt để hoặc chưa có một ý tưởng về phương pháp đánh giá hữu hiệu nào, thay vì tìm

cách tính ngưỡng chính tắc, để thu được những thông tin cần thiết. Chẳng hạn, có thể kể

đến trong một số ít các công trình của T. Kuwata, J. Kollár, J. Igusa, . . . các tác giả mới

chỉ hạn chế việc tính ngưỡng chính tắc cho một số lớp hàm cơ bản (xem [46], [54], [55],

[59], [60], . . . ). Như vậy một câu hỏi tự nhiên tiếp theo được đặt ra đó là: Không nhất

thiết phải tính ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể so sánh ngưỡng

chính tắc của chúng hay không ? Những hàm như vậy cần thỏa mãn giả thiết gì ? Đối với

các hàm đa điều hòa dưới, với điều kiện nào chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của

chúng ?

Những vấn đề nêu ra trên đây chính là nội dung nghiên cứu của đề tài Luận án: Ngưỡng

chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn. Việc giải quyết các vấn

đề nêu ra chắc chắn sẽ đóng góp những kết quả quan trọng và có ý nghĩa trong quá trình

nghiên cứu hoàn thiện về ngưỡng chính tắc, đối với cả hai mặt định tính và định lượng,

trong lý thuyết Giải tích hàm.

2. Mục đích nghiên cứu của Luận án

Từ những kết quả quan trọng đã có về ngưỡng chính tắc cho các lớp hàm chỉnh hình

và lớp hàm đa điều hòa dưới và những kết quả về lớp hàm m-điều hòa dưới được nghiên

cứu gần đây, chúng tôi đã đặt ra một số mục đích nghiên cứu cho Luận án như sau:

- Tìm ra mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập không

điểm {f = 0} của hàm chỉnh hình f .

- Tìm cách chứng minh Giả thuyết ACC của V. Shokurov, J-P. Demailly và J. Kollár

bằng một phương pháp khác với phương pháp đã áp dụng chứng minh cho một số trường

hợp về số chiều không gian.

- Chỉ ra một số tính chất địa phương và một đánh giá ngưỡng chính tắc cho lớp hàm

Em(Ω)- lớp hàm rộng hơn lớp hàm đa điều hòa dưới.

- Tìm ra các đặc trưng quan trọng và các mô tả của lớp hàm Em(Ω).

- Tìm các điều kiện khác nhau để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa điều

hòa dưới.

- Tìm cách chứng minh hoặc mở rộng các kết quả đã có bằng kĩ thuật của Giải tích

phức về ngưỡng chính tắc; Nghiên cứu các tính chất của tập mức (chẳng hạn diện tích,

thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; nghiên cứu điều kiện

dừng của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với các độ đo khác nhau (chẳng

hạn độ đo Lebesgue, độ đo Borel, . . . ). Tính toán cụ thể ngưỡng chính tắc đối với một số

lớp hàm chỉnh hình, . . .

- Cố gắng mở rộng hoặc nêu ra hướng mở rộng các kết quả nghiên cứu trong trường

hợp có thể thực hiện được.

3. Đối tượng nghiên cứu

- Các tính chất và kết quả cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình cũng như

hàm đa điều hòa dưới, hàm m- điều hòa dưới.

- Toán tử m-Hessian phức và sự xác định của nó trên Em(Ω)- lớp con của lớp hàm m-

điều hòa dưới và các tính chất của các lớp hàm này.

- Các lớp hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới hay lớp hàm m- điều hòa dưới và các

đánh giá cho ngưỡng chính tắc của chúng.

- Các điều kiện có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới.

4. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp nghiên cứu lý thuyết trong nghiên cứu toán học cơ bản với

công cụ và kỹ thuật truyền thống của lý thuyết chuyên ngành Giải tích hàm và Giải tích

phức.

- Tổ chức seminar, trao đổi, thảo luận, công bố các kết quả nghiên cứu theo tiến trình

thực hiện đề tài Luận án, nhằm thu nhận các xác nhận về ý nghĩa và tính chính xác khoa

học của các kết quả nghiên cứu trong cộng đồng các nhà khoa học chuyên ngành trong và

ngoài nước.

5. Những đóng góp của Luận án

Luận án đã đạt được các mục đích nghiên cứu đề ra. Kết quả của Luận án đóng góp

làm giàu thêm cho hệ thống các kết quả, phương pháp, công cụ và kỹ thuật nghiên cứu

liên quan đến ngưỡng chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết

Giải tích phức thông qua các kết quả chính sau đây:

- Chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp n = 2 bằng công cụ giải tích phức.

- Đưa ra và chứng minh được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình

nhiều biến f và tập không điểm {f = 0} của nó.

- Chứng minh tính chất địa phương của lớp hàm Em(Ω).

- Đưa ra và chứng minh các đặc trưng giải tích cho lớp hàm Em(Ω).

- Chứng minh một mô tả hình học cho tập mức trên đối số Lelong của hàm đa điều

hòa dưới trong lớp Em(Ω).

- Mở rộng và chứng minh các đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của

J-P. Demailly và P. H. Hiệp đã chứng minh cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp hàm

Em(Ω) cũng như các lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn ngoài một tập bỏ qua được với

cùng một cận dưới.

- Chứng minh một nguyên lý so sánh mạnh hơn của P. H. Hiệp đối với các hàm đa điều

hòa dưới thông qua giả thiết khác, cụ thể dưới giả thiết về độ đo Monge-Ampère.

- Đưa ra được một số công cụ, kỹ thuật và phương pháp nghiên cứu để đạt được mục

đích nghiên cứu đã đề ra.

- Đưa ra một số hướng nghiên cứu tiếp theo của đề tài Luận án.

6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của Luận án

Kết quả khoa học của Luận án góp phần hoàn thiện lý thuyết liên quan đến ngưỡng

chính tắc và hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa dưới trong Lý thuyết Giải tích phức. Về

mặt phương pháp, Luận án góp phần đa dạng hóa và làm giàu thêm hệ thống các công

cụ và kỹ thuật nghiên cứu chuyên ngành, áp dụng cụ thể trong đề tài của Luận án và các

chủ đề tương tự.

7. Cấu trúc của luận án

Cấu trúc của Luận án được trình bày theo đúng quy định cụ thể đối với luận án tiến sỹ

của Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, bao gồm các phần: Mở đầu, Tổng quan, các chương

trình bày các kết quả nghiên cứu, Kết luận, Danh mục công trình trong luận án, Tài liệu

tham khảo và Phụ lục. Nội dung chính của Luận án gồm ba chương có tên và nội dung

tóm tắt như sau:

Chương 1. Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình trong Cn

Phần đầu của Chương này chúng tôi dành cho việc trình bày các khái niệm và các tính

chất cơ bản về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, hàm chỉnh hình và một số

kiến thức cơ bản thiết yếu đối với các nội dung trình bày sau đó trong Luận án. Phần lớn

nội dung còn lại của Chương trình bày các kết quả nghiên cứu chính đã đạt được, cụ thể

chúng tôi phát biểu và chứng minh mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức của

hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh Giả thuyết ACC bằng một phương pháp mới

với các công cụ của giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không gian n = 2.

Chương 2. Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp dụng

Trong Chương 2 chúng tôi đi sâu vào các vấn đề sau đây: Chứng minh tính chất địa

phương cho lớp hàm Em(Ω); Phát biểu và chứng minh về một số tính chất đặc trưng giải

tích của lớp hàm này cũng như một số tính chất hình học của tập mức trên đối với hàm

thuộc lớp đã cho; Cuối cùng như một hệ quả của tính chất địa phương, chúng tôi chứng

minh và mở rộng bất đẳng thức về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm u

trong hai lớp hàm Em(Ω) ∩ PSH(Ω) và PSH(Ω) ∩ L∞(Ω \ E) với cùng một cận dưới, ở

đó E là tập con đóng có độ đo Hausdorff bỏ qua được.

Chương 3. Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa

dưới

Toàn bộ Chương này dành cho việc trình bày kết quả nghiên cứu về nguyên lý so sánh

ngưỡng chính tắc. Trong phần đầu của Chương chúng tôi trình bày một số kết quả liên

quan phục vụ cho chứng minh nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới. Từ đó, với điều kiện cho dưới dạng độ đo Monge-Ampère, chúng tôi đi

chứng minh một nguyên lý so sánh khác đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa

dưới.

Cuối cùng, trong phần Kết luận và kiến nghị, chúng tôi đã điểm lại các kết quả nghiên

cứu chính trình bày trong Luận án. Đây chính là sự khẳng định ý tưởng khoa học của đề

tài Luận án đặt ra là đúng đắn và các kết quả nghiên cứu đạt được mục đích đề ra. Do

đó, Luận án đã có những đóng góp cho khoa học chuyên ngành, có ý nghĩa khoa học và

thực tiễn như đã nêu trong phần Mở đầu là hoàn toàn xác đáng.

Để tiếp nối, trong Phần Kiến nghị chúng tôi mạnh dạn nêu ra một vài ý tưởng nghiên

cứu tiếp theo phát triển đề đề tài của Luận án này. Chúng tôi hy vọng sẽ nhận được nhiều

sự quan tâm và chia sẻ của đồng nghiệp giúp hoàn thiện các kết quả nghiên cứu.

Tổng quan

1. Vấn đề thứ nhất: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và Giả thuyết ACC

Khái niệm ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong lý thuyết Hình

học Đại số, đây cũng là vấn đề được nhiều nhà toán học đã và đang tiếp tục nghiên cứu

và đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Chẳng hạn như V. Shokurov, V. Alexeev, J-P.

Demailly, J. Kollár, M. Mustata, D. H. Phong, J. Sturm, J. McKernan, Y. Prokhorov, H.

Skoda, L. M. Hải, P. H. Hiệp, . . . (Xem [30], [35], [49], [51], [52], [53], [64], . . . ).

Tổng hợp những kết quả trong các công trình quan trọng nói trên, có thể nói cho đến

trước những năm 2000, những kết quả về ngưỡng chính tắc được đưa ra chủ yếu cho các

hàm chỉnh hình, tuy nhiên cần lưu ý rằng nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn thì log |f | là

hàm đa điều hòa dưới, từ đó vào năm 2000, J-P. Demailly và J. Kollár (trong [30]) đã đưa

ra khái niệm ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới tổng quát hơn, cụ thể như sau:

Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn. Với mỗi tập compact K ⊂ Cn ta gọi

ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm

cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}.

Từ định nghĩa trên, rõ ràng chúng ta chỉ cần quan tâm tới cực điểm ϕ = −∞ trên K.

Đồng thời có thể thấy nếu f là hàm chỉnh hình, ta xét ϕ = log |f | thì ta thu được ngưỡng

chính tắc cf (0) của f trên tập compact K = {0} như đã nêu trong phần Mở đầu của luận

án. Hơn nữa, định nghĩa tổng quát trên đây cho ta một cách nhìn trực quan về con số

cϕ(K), nó cho thấy ”ngưỡng” của các số thực dương c mà khi vượt qua ngưỡng đó, hàm

e−2cϕ không khả tích trong bất kì lân cận nào của K, hay nói cách khác thể tích của hình

trụ vô hạn xung quanh lân cận của K là vô hạn. Mục đích của chúng tôi đặt ra đó là đưa

ra một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc cϕ(K), đặc biệt là cf (0) với f là

hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 để từ đó có thể thuận tiện hơn cho quá trình nghiên

cứu, đánh giá về ngưỡng chính tắc. Từ đó chúng tôi cũng đặt ra bài toán nghiên cứu mối

quan hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập không điểm {f = 0}.

Mặt khác chúng ta đều biết rằng ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nói riêng và

hàm đa điều hòa dưới trên Cn nói chung có nhiều tính chất thú vị, có thể nói tới một

trong những kết quả sau đây của J-P. Demailly và J. Kollár được chứng minh trong [30],

mà từ đó gợi mở ra nhiều giả thuyết quan trọng về ngưỡng chính tắc, đặc biệt cho hàm

chỉnh hình:

Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất kì và

K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó. Khi

đó với mọi ε > 0 đều tồn tại số thực δ = δ(f, ε, K, L) > 0 sao cho

|g − f | < δ ⇒ cg(K) ≥ cf (K) − ε. sup L

Từ kết quả trên, J-P. Demailly và J. Kollár trong [30] đã đưa ra Giả thuyết mạnh hơn

được phỏng đoán như sau:

Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Giả sử f là hàm chỉnh hình khác không bất

kì và K, L là các tập compact tùy ý cho trước sao cho L chứa K trong phần trong của nó.

Khi đó tồn tại số thực δ = δ(f, K, L) > 0 sao cho

|g − f | < δ ⇒ cg(K) ≥ cf (K). sup L

Cũng trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã tiếp tục đưa ra một phỏng đoán khác

mang tên Giả thuyết mạnh về tính mở sau đây:

Giả thuyết mạnh về tính mở: Giả sử U (cid:48) (cid:98) U (cid:98) X là các tập compact tương đối trong

đa tạp phức X và φ là hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho e−φ khả tích trên U . Khi đó

tồn tại ε = ε(φ, U, U (cid:48)) sao cho với mọi hàm đa điều hòa dưới ψ trên X

U (cid:48)

(cid:90) e−ψdV < +∞. (cid:107)ψ − φ(cid:107)L1(U ) < ε ⇒

Giả thuyết mạnh về tính mở trên đây từ khi ra đời đã trở thành một trong những Giả

thuyết được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và cho đến năm 2013, B. Berndtsson

trong công trình [12] đã giả quyết cơ bản Giả thuyết trên.

Lưu ý rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh có thể suy ra từ (trong [30]) Giả

thuyết ACC - một trong những tính chất đặc sắc của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình trên Cn được phát biểu ngay sau đây. Trước hết, chúng ta kí hiệu

HTn = {cf (0) : f chỉnh hình trong lân cận của điểm 0 ∈ Cn}.

Một tính chất thú vị về HTn, chẳng hạn như trong [51], [54], [61], các tác giả đã chứng minh được HTn ⊂ Q ∩ [0, 1]. Bây giờ ta phát biểu Giả thuyết ACC được V. Shokurov,

J-P. Demailly và J. Kollár đưa ra trong [54]:

cách khác mọi dãy {cfj (0)}∞ Giả thuyết ACC: Mọi dãy tăng trong HTn đều là dãy dừng (từ một chỉ số nào đó). Nói j=1 ⊂ HTn thỏa mãn điều kiện cf1(0) (cid:54) cf2(0) (cid:54) · · · đều tồn

(0) = cfj0+1(0) = · · · tại j0 sao cho cfj0

Giả thuyết ACC về dãy ngưỡng chính tắc được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên trong

Hình học Đại số dưới nhiều dạng và cách tiếp cận khác nhau. Giả thuyết này được chứng

minh đầu tiên bởi V. Shokurov năm 1992 trong [73] với số chiều không gian n = 2 và với

n = 3 bởi Alexeev trong [3] năm 1993, tiếp theo vào năm 2000, D. H. Phong và J. Sturm

trong [70] chứng minh theo một cách khác trong trường hợp số chiều không gian n = 2.

Cuối cùng, phải kể đến công trình [34] năm 2010 của ba tác giả T. Fernex, L. Ein và M.

Mustata đã chứng minh kết quả trên cho trường hợp số chiều không gian là tùy ý. Điều

đáng chú ý là tất cả những kết quả trên đều chứng minh bằng lý thuyết Hình học Đại số.

Ngoài Giả thuyết ACC, có nhiều Giả thuyết thú vị khác về ngưỡng chính tắc, đặc biệt

là ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, có thể nói tới đó là Giả thuyết Gap và Giả thuyết

AC sau đây. Trước hết, bắt nguồn từ tính chất cf (0) ∈ [0, 1] nên 1 không thể là giới hạn

của một dãy giảm các phần tử của HTn, hơn thế nữa theo Giả thuyết ACC thì rõ ràng

1 không là giới hạn tăng của dãy các phần tử của HTn. Điều đó có nghĩa là: Với mỗi số

chiều cố định n đều không tồn tại một phần tử nào của HTn trong khoảng (1 − εn, 1) với

εn cố định nào đó. Khẳng định này chính là trường hợp đặc biệt của giả thuyết sau được

gọi là Giả thuyết Gap mà phép chứng minh của giả thuyết này có thể xem trong [13], [52]

và [53].

Giả thuyết Gap: Với mọi n cố định, đều tồn tại số dương εn > 0 cố định sao cho

HTn ⊂ (0, 1 − εn).

Điều chú ý là Giả thuyết Gap trên đây chỉ khẳng định sự tồn tại của εn, nhưng giá trị

cụ thể của εn đến nay chưa xác định rõ ràng. Tuy nhiên chúng ta có kết quả định hướng

sau đây trong [54] và [78]:

1 + · · · + zbn

n , ∀b1, . . . , bn ∈ N} thì εn = 1

cn+1−1, ở đó c1 = 2, ck+1 = c1 · · · ck + 1. Như vậy lớp Gn thỏa mãn Giả thuyết ACC và đối với lớp

Trên lớp hàm Gn = {f : f (z1, . . . , zn) = zb1

này các εn được xác định. Một điều đặc biệt là, với số chiều n = 1 thì rõ ràng ngoài phần

2 bởi HT 1 = { 1

tử 1 thì ε1 = 1

và của J. Kollár trong [54] ta có ε2 = 5

n}n∈N∗, với n = 2 bởi các kết quả của T. Kuwata trong [59] 6 còn với n = 3 bởi các tính toán của J. Kollár trong 42. Chúng ta có thể thấy εn trên lớp hàm Gn trùng với các giá trị cần tìm trên HT n với n = 1, 2, 3. Điều đó có thể dự đoán rằng giá trị εn nói trên là số tối ưu cho

[50] ta có ε3 = 1

HT n tổng quát - Điều mà cho đến nay chúng ta vẫn chưa biết chính xác.

Chúng ta tiếp tục với tập HT n, một trong những quan tâm khác đó là mối quan hệ

giữa HT n và HT n−1. Một lần nữa với tập Gn nói trên ta thấy rằng tập các điểm tụ của Gn chính là Gn−1. Kết quả này cho ta thấy HT n có vô hạn điểm tụ trong tập Q ∩ [0, 1],

hơn nữa nó cũng gợi ý cho ta giả thuyết sau gọi là Giả thuyết AC trong [54]:

Giả thuyết AC: Tập các điểm tụ của HT n là HT n−1 \ 1.

Có thể thấy Giả thuyết Gap trên đây là một dạng yếu hơn Giả thuyết ACC. Ngược lại

có thể chứng minh rằng Giả thuyết Gap và Giả thuyết AC suy ra giả thuyết ACC. Hơn

nữa, có thể chứng minh từ Giả thiết ACC cùng với Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới

(đã được chứng minh) suy ra Giả thiết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Điều đó cho thấy

Giả thuyết ACC mạnh hơn Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh. Như vậy có thể

nói rằng Giả thuyết ACC là giả thuyết mạnh hơn hầu hết những giả thuyết quan trọng về

tập HT n. Có thể thấy từ các kết quả về ngưỡng chính tắc, các tác giả như trong các tài

liệu [30], [34], [35], [51], [54], [70], [73], . . . đều dành nhiều mối quan tâm cho việc nghiên

cứu tập HT n, trong đó đặc biệt là Giả thuyết ACC.

Cần nhấn mạnh lại rằng những kết quả đạt được cho tới nay về ngưỡng chính tắc đều

được chứng minh bằng phương pháp Hình học Đại số. Khác với các phương pháp và công

cụ đã chứng minh trước đó cho Giả thuyết ACC, mục đích tiếp theo của chúng tôi trong

luận án đó là đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tích

phức, trong một số trường hợp đặc biệt của số chiều không gian n.

2. Vấn đề thứ hai: Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp dụng cho việc đánh

giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

Trong lý thuyết đa thế vị, toán tử Monge–Ampère là công cụ đóng vai trò trung tâm

và xuyên suốt trong sự phát triển của lý thuyết này. Khái niệm về toán tử này được các

nhà toán học tập trung nghiên cứu mạnh mẽ bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ thứ XX theo

hướng mô tả lớp con lớn nhất các hàm thuộc PSH(Ω) mà toán tử Monge–Ampère vẫn

còn định nghĩa được như một độ đo Radon, không âm, liên tục trên dãy giảm. Năm 1975,

Y. Siu đã chỉ ra trong [75] rằng không thể định nghĩa được (ddcu)n như một độ đo Borel

chính quy đối với hàm đa điều hòa dưới bất kỳ u. Năm 1976 trong [5], E. Bedford và B.

Taylor đã định nghĩa được toán tử (ddc.)n trên lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa

loc(Ω). Các kết quả cơ bản khác về lý thuyết đa thế vị liên quan đến

phương PSH(Ω) ∩ L∞

vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu [6], [48], [56] và [57]. Tiếp tục theo hướng mở

rộng miền xác định của toán tử Monge–Ampère phức nói trên, năm 1998, 2004 và 2008,

trong các công trình [19], [20] và [21] U. Cegrell đã mô tả nhiều lớp con của PSH(Ω),

trong đó có lớp E(Ω), với Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn là lớp lớn nhất mà trên đó

toán tử Monge–Ampère vẫn còn định nghĩa được như là một độ đo Radon đồng thời toán

tử này vẫn liên tục trên dãy giảm.

Trong thời gian gần đây, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới cũng như nghiên cứu

các toán tử vi phân trên các lớp hàm mở rộng này đã được một số tác giả nghiên cứu như

Z. B(cid:32)locki, S. Dinew, S. Ko(cid:32)lodziej, A. S. Sadullaev, B. I. Abullaev, L. H. Chinh, . . . Cụ thể

họ đã đưa ra và nghiên cứu lớp hàm m-điều hòa dưới và nghiên cứu toán tử m-Hessian

phức trên lớp hàm này. Đồng thời họ cũng nghiên cứu toán tử này trên Cn và trên đa

tạp K¨ahler compact. Các kết quả đạt được của Z. B(cid:32)locki, S. Dinew, S. Ko(cid:32)lodziej, A. S.

Sadullaev và B. I. Abullaev chủ yếu trên lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương.

Các kết quả cơ bản về hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian có thể xem trong [16],

[31] và [72]. Việc mở rộng nghiên cứu toán tử m-Hessian phức trên lớp hàm không nhất

thiết bị chặn địa phương được đưa ra và nghiên cứu trong thời gian gần đây đặc biệt phải

kể tới kết quả của L. H. Chinh trong [23]. Dựa theo ý tưởng của U. Cegrell, L. H. Chinh

đã đưa ra lớp hàm Em(Ω) mở rộng của lớp hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Qua

đó tác giả đã chứng minh sự tồn tại của toán tử m-Hessian phức Hm(u) = (ddcu)m ∧ βn−m

trên lớp hàm Em(Ω) (xem Định nghĩa 2.2.8) hơn nữa toán tử này xác định như một độ đo

Radon trên Ω.

Tiếp tục vấn đề nghiên cứu cụ thể hơn về lớp Em(Ω), có thể thấy rằng lớp hàm Em(Ω)

được đưa ra bởi L. H. Chinh cho đến nay mới chỉ dừng lại ở việc xây dựng và tồn tại, việc

nghiên cứu các đặc trưng quan trọng của lớp hàm này cũng như việc hình dung rõ ràng

hơn về lớp này vẫn là một vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Từ thực tiễn nói trên, trong

luận án này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu những tính chất cụ thể hơn của lớp Em(Ω)

nhằm mục đích cho việc mô tả cũng như đưa ra các đặc trưng của lớp này. Từ đó áp dụng

vào việc đánh giá ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp này.

Một vấn đề khác cũng được quan tâm khi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới đó là nghiên cứu định tính và định lượng đối với con số này, đặc biệt là

đánh giá về tính bị chặn trên và chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho các hàm đa điều

hòa dưới và hàm chỉnh hình. Về mặt định tính, một trong những kết quả cơ bản như đã

biết trong [30], J-P. Demailly và J. Kollár đã chứng minh tính nửa liên tục dưới của hàm

x (cid:55)→ cϕ(x) trong tôpô chỉnh hình Zariski. Đồng thời chứng minh được nếu c < cϕ(K) và

ψ hội tụ trong L1 tới ϕ thì e−2cψ hội tụ tới e−2cϕ trong L1 trong lân cận D của K. Đây là

kết quả chính trong công trình [30] và có thể coi là một trong những đánh giá quan trọng

về ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, mà từ đó dẫn tới nhiều tính chất quan

trọng về con số này. Về đánh giá định lượng, cụ thể là tính bị chặn trên và bị chặn dưới

cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới có thể nói tới một trong những kết quả

quan trọng của H. Skoda được cho trong các tài liệu [76], trong đó tác giả đã đưa ra các

các đánh giá về tính bị chặn trên và dưới đối với cϕ(x) của hàm đa điều hòa dưới ϕ thông

qua số Lelong ν(ϕ, x) của hàm này tại x, cụ thể H. Skoda đã chứng minh

. ≤ cϕ(x) ≤ 1 ν(ϕ, x) n ν(ϕ, x)

Cho đến nay, có thể nói đây là một trong những đánh giá định lượng quan trọng nhất của

cϕ(x), tuy nhiên bằng những ví dụ đơn giản có thể thấy đánh giá trên đây của H. Skoda

là không chặt, vì thế việc tìm một đánh giá tốt hơn cho cϕ(x) là một bài toán định lượng

quan trọng. Liên quan tới hướng nghiên cứu này phải kể tới kết quả của J-P. Demailly và

P. H. Hiệp năm 2013 trong công trình [29] trên tạp chí danh tiếng Acta Math., các tác

giả đã chứng minh và cải tiến tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều

hòa dưới ϕ trong lớp (cid:101)E(Ω) thông qua các số Lelong của (ddcϕ)j tại 0 tốt hơn rất nhiều so

với đánh giá của H. Skoda. Kết quả cho thấy đó là đánh giá chặt và tốt nhất cho tính bị

chặn dưới của ngưỡng chính tắc trên lớp (cid:101)E(Ω). Hơn nữa, đánh giá của J-P. Demailly và

P. H. Hiệp còn có thể suy ra một số kết quả quan trọng được chứng minh trong [26], [32]

n (cid:88)

và [33], cụ thể ta có

j=1

, e0(ϕ) = 1. cϕ(0) ≥ ej−1(ϕ) ej(ϕ)

Lưu ý rằng, đánh giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp đúng trên lớp hàm (cid:101)E(Ω) - một lớp

con các hàm đa điều hòa dưới. Mặt khác, như trên chúng ta đã biết việc mở rộng lớp hàm

đa điều hòa dưới phải kể đến các kết quả quan trọng trong công trình [23] của L. H. Chinh

năm 2012 đã đưa ra lớp hàm Em(Ω), đây là một lớp hàm mới xét trong lớp hàm điều hòa

dưới rộng hơn đối với lớp các hàm đa điều hòa dưới. Một câu hỏi đặt ra đó là liệu đánh

giá của J-P. Demailly và P. H. Hiệp còn đúng cho lớp hàm Em(Ω)- lớp mở rộng thực sự

của lớp E(Ω) hay không? Hay có thể đưa ra một điều kiện đủ để chúng ta vẫn thu được

đánh giá về tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp hay

không?

Mặt khác, chúng ta cũng thường xuyên đặt câu hỏi tự nhiên rằng: Một hàm ϕ ∈ J (Ω)

lớp các hàm nào đó trên miền Ω thì liệu mỗi miền D (cid:98) Ω ta có ϕ ∈ J (D) hay không?

Tính chất quan trọng này, có thể hiểu đơn giản là tính chất địa phương của lớp J (Ω). Rõ

ràng, theo kết quả của Z. B(cid:32)locki trong công trình [16] thì lớp Cegrell E(Ω) là một lớp địa

phương và lớp Eχ,loc(Ω) được đưa ra và chứng minh cũng là lớp có tính chất địa phương

bởi ba tác giả L. M. Hải, P. H. Hiệp và H. N. Quy trong [39]. Tuy nhiên lớp Eχ(Ω) được

đưa ra và nghiên cứu bởi các tác giả S. Benelkourchi, V. Guedj và A. Zeriahi trong [10]

không là lớp có tính chất địa phương. Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là, lớp hàm Em(Ω) -

lớp hàm mở rộng thực sự cho lớp hàm đa điều hòa dưới được đưa ra bởi L. H. Chinh có

là lớp có tính chất địa phương hay không? Luận án sẽ lần lượt đưa ra các câu trả lời cho

các câu hỏi nêu trên.

3. Vấn đề thứ ba: Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới

Rõ ràng việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới nói chung và ngay

cả với các hàm chỉnh hình nói riêng từ định nghĩa là một bài toán khó. Có thể thấy một

khác biệt lớn so với số Lelong là ngưỡng chính tắc chỉ tính được tường minh khi f là hàm

chỉnh hình một biến. Trong trường hợp nhiều biến, ngay cả khi f là đa thức, cf (0) nói

chung là không tính được, người ta chỉ biết đó là một số hữu tỷ nằm giữa 0 và 1. Như

chúng ta đã biết cho tới nay mới chỉ tính được ngưỡng chính tắc của một số hạn chế các

lớp hàm. Như vậy các câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: Không nhất thiết phải tính ngưỡng

chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể đánh giá hoặc so sánh ngưỡng chính

tắc của chúng hay không? Có thể so sánh cu(x) và cv(x) với nhau thông các điều kiện về

hàm u, v cho trước hay không? Những hàm như vậy cần thỏa mãn những các giả thiết gì?

Tìm những tập con E ⊂ Ω sao cho từ u ≥ v trên E ta chúng ta có thể so sánh ngưỡng

chính tắc của chúng, cụ thể cu(0) ≥ cv(0)? . . .

Như vậy, việc tìm ra những điều kiện đủ và hơn nữa là tối thiểu cho các hàm đã cho

mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng, qua đó trả lời cho những câu hỏi

trên là một vấn đề cấp thiết cần nghiên cứu. Đồng thời có thể thấy rằng cho tới nay việc

giải quyết những vấn đề này, nói chung còn hạn chế và mới chỉ thỏa mãn cho một số lớp

hàm đơn giản.

Thật vậy, giả sử u, v là các hàm đa điều hòa dưới. Trước hết rõ ràng từ Định nghĩa

1.1.1 ta suy ra nếu u ≥ v thì cu(x) ≥ cv(x). Tuy nhiên đây là một giả thiết rất mạnh về

u và v.

Tiếp theo, từ kết quả trong [30] và [54], nếu u(x, y) = v(x) + ω(y) thì cu(x, y) =

cv(x) + cω(y). Như vậy, trong trường hợp này ta có cu ≥ cv tại điểm đã cho. Tuy nhiên

đây cũng là giả thiết tương đối mạnh và thỏa mãn cho một lớp hẹp các hàm chỉnh hình

u, v.

Tiếp đó, trong chương 1, chúng tôi đã chứng minh rằng nếu u, v là các hàm chỉnh hình

trong Cn sao cho u (cid:31) v (xem Định nghĩa 1.2.8) thì ta có thể so sánh cu(x) và cv(x), cụ

thể ta có cu(x) ≥ cv(x) (khẳng định (ii) của Định lý 1.2.9). Đây cũng là một kết quả cho

phép chúng ta so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm trong trường hợp chúng là các hàm

chỉnh hình.

Hơn nữa, như trên chúng ta biết rằng, Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh

được phát biểu bởi J-P. Demailly và J. Kollár trong [30] là yếu hơn Giả thuyết ACC đã

được chứng minh trong lý thuyết Hình học Đại số trong [34] bởi T. Fernex, L. Ein và M.

Mustata năm 2010, cũng cho phép kết luận về sự so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm

chỉnh hình. Cụ thể theo Giả thuyết về tính nửa liên tục dưới mạnh: Nếu K là tập compact

cố định thì với mọi hàm chỉnh hình khác không f và với mọi tập compact L chứa K trong

phần trong của nó đều tồn tại số thực α = α(f, K, L) > 0 sao cho

|g − f | < α ⇒ cg(K) ≥ cf (K). sup L

Như vậy, với g đủ gần f thì có thể so sánh cg(K) và cf (K). Tuy nhiên sự đủ gần, tức là

giá trị của α mới dừng ở mức tồn tại.

Tiếp theo là việc trả lời câu hỏi tìm một trong những tập con E đã nói trên. Có thể

nói đến kết quả thú vị và bất ngờ sau đây của P. H. Hiệp trong [41] trả lời một phần cho

các câu hỏi đó.

∞ (cid:84) j=1

Định lý 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn và {Ωj}{j≥1} là dãy các miền trơn sao cho Ω (cid:99) Ω1 (cid:99) Ω2 (cid:99) · · · và Ωj = {0} và u, v ∈ PSH(Ω). Khi đó, nếu u ≥ v trên ∂Ωj với

mọi j ≥ 1 thì cu(0) ≥ cv(0).

Định lý 1.1 hay còn gọi là một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới, cho phép chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của các hàm đã cho

nhờ vào các điều kiện trên biên. Kết quả này đã đặt ra hướng nghiên cứu tiếp theo cho

luận án đó là tìm các điều kiện khác mà từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc, hay tìm

những điều kiện tổng quát hơn của P. H. Hiệp mà từ đó vẫn có thể so sánh ngưỡng chính

tắc của hai hàm đã cho.

Việc nghiên cứu các vấn đề đặt ra của toán học không những yêu cầu chúng ta nghiên

cứu và giải quyết vấn đề đó mà còn yêu cầu chúng ta nghiên cứu chúng theo những phương

pháp, công cụ khác nhau cũng như đưa ra những cách giải quyết hợp lý và đẹp đẽ hơn.

Luận án đặt ra vấn đề sử dụng kĩ thuật truyền thống của giải tích phức để nghiên cứu

ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới cũng như hàm chỉnh hình, từ đó và góp phần

xây dựng về mặt định tính, định lượng cũng như góp phần hoàn thiện lý thuyết hàm biến

phức nhiều biến nói chung. Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra hướng nghiên cứu đó là áp

dụng những kết quả đẹp đẽ gần đây của lý thuyết đa thế vị phức để nghiên cứu những

vấn đề liên quan đến ngưỡng chính tắc, chẳng hạn tính bị chặn cũng như các giả thiết cho

phép so sánh hai ngưỡng chính tắc của hai hàm đã cho, . . .

Các vấn đề đặt ra trên đây sẽ được chúng tôi giải quyết và trình bày lần lượt trong ba

chương, với sự ý thức được rằng các kết quả và nội dung chính của luận án xoay quanh

vấn đề về ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn.

Chương 1

Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình trong Cn

Như đã nói trong mục Tổng quan vấn đề nghiên cứu, trong chương này, chúng tôi dành

cho việc nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, kết quả chính của chương là

chứng minh mối quan hệ giữa thể tích tập mức và ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình

nhiều biến. Cuối cùng, như một áp dụng, chúng tôi cho một phép chứng minh mới cho

Giả thuyết ACC bằng công cụ giải tích phức nhiều biến trong trường hợp số chiều không

gian n = 2. Để thực hiện mục đích đó, chúng tôi đưa ra và chứng minh một định nghĩa

tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình thông qua thể tích của tập mức

và kết quả về diện tích của tập mức. Kết quả chính của chương này được công bố trong

bài báo ”The log canonical threshold of holomorphic functions”.

1.1 Ngưỡng chính tắc

1.1.1 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới

Trước hết, chúng tôi trình bày khái niệm tổng quát (trong [30]) về ngưỡng chính tắc

cf (K) cho hàm đa điều hòa dưới ϕ trên tập compact K ⊂ Cn. Mục tiêu của chúng tôi

trong chương này là nghiên cứu cf (K) thông qua công cụ của giải tích phức.

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới trên Cn. Với mỗi tập compact

K ⊂ Cn ta gọi ngưỡng chính tắc của ϕ trên K là số không âm

cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}.

Nếu ϕ ≡ −∞ trên một số thành phần liên thông của K ta đặt cϕ(K) = 0.

Ta thấy rằng ngưỡng chính tắc cϕ(K) chỉ phụ thuộc vào tính kì dị của ϕ, cụ thể là tại cực

điểm −∞ của nó.

Trong trường hợp f là hàm chỉnh hình, log |f | là đa điều hòa dưới, khi đó thay cho

clog |f |(K) ta viết ngắn gọn là cf (K). Như vậy trong trường hợp này

cf (K) = clog |f |(K) (cid:90) = sup{c ≥ 0 : dV2n |f |2c < +∞, V là một lân cận nào đó của K},

ở đó dV2n kí hiệu là độ đo Lebesgue trên Cn.

Ta kí hiệu cf (x) thay cho cf ({x}) khi K = {x}. Như vậy, để thuận tiện cho việc nghiên

cứu sau đó, ngưỡng chính tắc cf (0) của hàm f tại 0, tức là khi K = {0} có thể phát biểu

cụ thể hơn như sau:

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử f : Ω → Cn là hàm chỉnh hình trong một lân cận của 0 ∈ Ω.

B(0,δ)

Khi đó ta gọi (cid:90) cf (0) = sup{c ≥ 0 : ∃δ > 0 với dV2n |f |2c < +∞}

là ngưỡng chính tắc của hàm f tại 0 ∈ Cn, ở đó dV2n kí hiệu là độ đo Lebesgue trên Cn.

Nhận xét 1.1.3. Từ định nghĩa chúng ta có một số nhận xét hữu ích sau đây:

a. Nếu f (z) (cid:54)= 0 với mọi z ∈ K thì cf (K) = +∞. Vì vậy từ nay về sau, chúng ta chỉ

xét trường hợp ∃z0 ∈ K : f (z0) = 0. Đặc biệt khi xét cf (0) thì f (0) = 0. Từ đó, có thể

thấy về trực giác, ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình f nói lên tốc độ hội tụ về 0 khi

z → 0 ∈ Cn. Hơn thế, con số này có nhiều áp dụng quan trọng trong lý thuyết Hình học

Đại số, chẳng hạn, chứng minh sự tồn tại của metric K¨ahler - Einstein trên một số đối

tượng hình học quan trọng (xem [30]). Bởi một trong những lý do trên, ngưỡng chính tắc

cũng được dùng để nghiên cứu tính kì dị của hàm.

b. Nếu có thể viết f (z) = f1(z)f2(z) trong đó f2(z0) (cid:54)= 0 thì cf (z0) = cf1(z0).

c. Nếu ϕ là hàm đa điều hòa dưới thì

cϕ(x). cϕ(K) = inf x∈K

Đồng thời nếu x không là cực điểm của ϕ thì cϕ(x) = +∞. Vì vậy chúng ta chỉ xét trường

hợp x là cực điểm của ϕ tức là ϕ(x) = −∞.

1.1.2 Một số ví dụ

Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số ví dụ cụ thể dành cho việc tính ngưỡng chính

tắc của một số hàm thường gặp.

· · · zmn b. Xét f (z1, z2, . . . , zn) = zm1 1 Ví dụ 1.1.4. a. Xét f (z) = zm, z ∈ C, m ∈ N∗ thì cf (0) = 1 m . n , m1, . . . , mn ∈ N∗. Khi đó dùng định lý Fubini và

phép đổi sang tọa độ cực và dựa theo a), ta thu được

B(0,δ) (cid:90)

(cid:90) cf (0) = sup{c > 0 : ∃ δ > 0,

B(0,δn)

B(0,δ1)

dV2n |f2|2c < +∞} (cid:90) = sup{c > 0 : ∃ δ > 0, · · · < +∞} dV2 |z1|2cm1 dV2 |zn|2cmn

= sup{c > 0 : c < , j = 1, . . . , n} = sup{c > 0 : 2cmj − 1 < 1, j = 1, . . . , n} 1 mj

= min{ , . . . , }. 1 m1 1 mn

2. Ta viết f (z1, z2) = (z1 − z2)z2 và thực hiện phép đổi biến

c. Xétf (z1, z2) = z1z2 − z2

ω1 = z1 − z2  

 ω2 = z2.

Khi đó định thức Jacobi JC = 1 và |JR| = |JC|2 = 1. Từ đó ta có

∆2(0,δ) (cid:90)

(cid:90) cf (0) = sup{c > 0 : ∃ δ > 0, dV4 |f |2c < +∞}

∆(0,δ) (cid:90)

= sup{c > 0 : ∃ δ > 0, |JR|

∆(0,δ1)

∆(0,δ2)

dV4 |ω1ω2|2c } (cid:90) = sup{c > 0 : ∃ δ > 0, dV2 |ω1|2c dV2 |ω2|2c < +∞}

= 1, với ∆2(0, δ) = ∆(0, δ1) × ∆(0, δ2).

Việc tính toán ngưỡng chính tắc đối với những hàm tổng quát nói chung là khó khăn.

Trong các tài liệu [59] và [60], tác giả đã đưa ra một số phương pháp tính cf (0) cụ thể

bằng phép giải kì dị. Thực chất là phép đổi biến liên tiếp tích phân cần tính cho đến khi

đưa tích phân đã cho về dạng cơ bản từ đó tính cf (0). Tuy nhiên, trong thực hành chúng

ta gặp nhiều khó khăn vì việc đổi biến liên tiếp nhiều lần là khá dài dòng và không biết

trước được khi nào quá trình đổi biến dừng lại. Việc tính cf (0), có thể dùng những phương

pháp khác thông qua kĩ thuật khá phức tạp như: Đa giác Newton (xem [55]); Đa thức

thuần nhất có trọng (xem [51] hoặc [59]); Cặp Puiseux thứ nhất (xem [60]), . . .

1.1.3 Một định nghĩa tương đương cho ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình

Bây giờ dựa vào [30] chúng tôi cho kết quả sau đây cho một điều kiện tương đương với

định nghĩa của ngưỡng chính tắc trong công trình [1] của luận án. Trước hết, chúng tôi

có Mệnh đề sau đây về một kết quả cơ bản trong lý thuyết tích phân Lebesgue cần dùng

tới nhiều lần sau này.

Mệnh đề 1.1.5. Giả sử X là một tập hợp, µ là độ đo trên X và f : X → [0, +∞) là hàm

+∞ (cid:90)

số khả tích Lebesgue trên X. Khi đó ta có

(cid:90) µ(x ∈ X : f (x) > t)dt. (1.1) f dµ =

Chứng minh. Đầu tiên chứng minh công thức trên cho hàm bậc thang không âm f , nghĩa

k (cid:83) i=1

là f = a1 trên X1, . . . , f = ak trên Xk, ở đây X1, . . . , Xk rời nhau đôi một và Xi = X.

Thật vậy, sử dụng định nghĩa của tích phân Lebesgue, đẳng thức (1.1) đúng vì hai vế đều

bằng a1µ(X1) + · · · + akµ(Xk).

Trong trường hợp f đo được không âm, lấy dãy tăng của hàm bậc thang không âm

f1, f2, . . . sao cho fj (cid:37) f . Do (1.1) đúng cho fj nên theo định lý hội tụ đơn điệu Lebesgue

ta thu được (1.1).

Mệnh đề 1.1.6. Giả sử f là hàm chỉnh hình trên lân cận của 0 trong Cn và r > 0. Khi

đó

cf (0) =

sup{c ≥ 0 : ∃ δ > 0, bị chặn khi r → 0}. V2n({z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r}) r2c

ở đó D = {(z(cid:48), zn) ∈ Cn : max(|z(cid:48)|, |zn|) < δ}, |z(cid:48)| = (cid:112)|z1|2 + · · · + |zn−1|2.

Chứng minh. Thật vậy, áp dụng kết quả của Mệnh đề 1.1.5, xét trường hợp X = D(0, δ)

1 |f |2c ta được

+∞ (cid:90)

và µ = dV2n và f bởi

D(0,δ)

(cid:90) V2n(z ∈ D(0, δ) : dV2n |f |2c = 1 |f |2c > t)dt

+∞ (cid:90)

2c = r suy ra 1

(cid:19) 1 = )dt. V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < (cid:18) 1 t

t ) 1

t = r2c và dt = −2cr−2c−1dr. Từ đó

0 (cid:90)

Đặt ( 1

+∞

D(0,δ)

+∞ (cid:90)

(cid:90) V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r)r−2c−1dr dV2n |f |2c = −2c

= 2c . V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r

r2c

Ta có V2n(z∈D(0,δ):|f | 0 và M > 0 để

< M, ∀r < ε0. V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c

Khi đó ta viết

ε0(cid:90)

+∞ (cid:90)

D(0,δ)

+∞ (cid:90)

(cid:90) I = = dV2n |f |2c = V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r

ε0

+ V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r

:= I1 + I2(∗)

+∞ (cid:90)

Chúng ta chú ý rằng

(cid:15)0

1 xα dx < +∞ ⇔ α > 1, ∀(cid:15)0 > 0

ε0(cid:90)

và

1 xα dx < +∞ ⇔ α < 1, ∀(cid:15)0 > 0.

Với tích phân I2, do dưới dấu tích phân V2n(z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r) ≤ V2n(D(0, δ)) < +∞

+∞ (cid:90)

và 2c + 1 > 1 nên

dr r2c+1 < +∞ ⇒ I2 < +∞.

Như vậy

ε0(cid:90)

D(0,δ)

(cid:90) < +∞. dV2n |f |2c < +∞ ⇔ V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r

Tiếp theo ta đặt

bị chặn khi r → 0} c1 = sup{c ≥ 0 : ∃ δ > 0 : V2n({z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r}) r2c

B(0,δ)

(cid:90) c2 = sup{c > 0 : ∃δ > 0 với dV2n |f |2c < +∞}.

Ta đi chứng minh c1 = c2.

Thật vậy, nếu c < c1 khi đó theo định nghĩa của c1 thì

bị chặn. V2n(z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r) r2c

Khi đó ta chọn ε đủ nhỏ để c + ε < c1 và ta có

bị chặn. V2n(z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r) r2c+ε

ε0(cid:90)

Bây giờ ta viết

= I1 = V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c dr r V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c+ε dr r1−ε

< +∞(vì 1 − ε < 1).

Suy ra I < +∞ và ta được c < c2 hay ta có c1 ≤ c2.

Ngược lại nếu c < c2 thì theo định nghĩa của c0

(cid:90)

D(0,δ)

dV2n |f |2c < +∞.

Mặt khác hiển nhiên ta có bất đẳng thức

D(0,δ)

(cid:90) r−2cV2n({z ∈ D(0, δ) : |f | < r}) ≤ dV2n |f |2c .

Từ đó ta có r−2cV2n({z ∈ D(0, δ) : |f | < r}) bị chặn khi r → 0.

Suy ra c < c1 và ta có c2 ≤ c1 hay c1 = c2.

1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả

thuyết ACC trong C2

1.2.1 Diện tích của tập mức

Trong mục này, dựa vào các kết quả trong công trình [1] của luận án, chúng tôi sẽ đưa

ra mối liên hệ giữa ngưỡng chính tắc cf (0) và tính chất hình học của tập {f = 0} cũng

như là tập mức của hàm chỉnh hình f . Đồng thời dựa vào đó, chúng tôi chứng minh Giả

thuyết ACC của J-P. Demailly, J. Kollár và V. Shokurov trong trường hợp số chiều không

gian n = 2. Kết quả cần thiết đầu tiên chúng tôi đạt được về diện tích và thể tích của tập

mức trong C2. Trước hết chúng tôi cho định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử a = (a1, . . . , am) ∈ Cm. Khi đó với mỗi r > 0, ta đặt

E = E(a, r) = {z ∈ C :|z − a1| · · · |z − am| < r},

m−1 , . . . ,

1 m , (

Φj,k = Φj,k(a) = |aj − ai1| · · · |aj − aik|, ∀j = 1, m, k = 1, m − 1, max 1(cid:54)i1<···

{min[r ) ]} t = t(a, r) = max j=1,m Φj,0 = 1. r Φj,1(a)

1 m , (

m−1 , . . . ,

{min[r ) ]}. = max j=1,m r Φj,1 r Φj,m−1(a) r Φj,m−1

Nhận xét 1.2.2. Từ định nghĩa của Φj,k ta nhận thấy

j,1 ≥ Φj,2; Φ2

j,2 ≥ Φj,1Φj,3; . . . ; Φ2

j,m−2 ≥ Φj,m−3Φj,m−1, ∀j = 1, m.

Φ2

Kết quả cơ sở cho các kết quả chính của chương này cho bởi định lý sau đây trong công

trình [1] của luận án. Đây là các tính chất đầu tiên của tập E(a, r) trong C.

Định lý 1.2.3. Tồn tại các hằng số chỉ phụ thuộc vào m sao cho 0 < α(m) < 1 < β(m)

và thỏa mãn các tính chất

m (cid:83) j=1

(i) E(a, r) ⊂ ∆(aj, β(m)t);

(ii) ∃j0 sao cho ∆(aj0, α(m)t) ⊂ E(a, r), ở đó ∆(w, r) = {z ∈ C : |z − w| < r}.

Chứng minh. Giả sử β(m) và α(m) đã được chọn phù hợp.

m (cid:83) j=1

(i) Lấy tùy ý z /∈ ∆(aj, β(m)t). Ta sẽ chứng minh rằng z /∈ E(a, r).

Không làm mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

|z − a1| ≥ |z − a2| ≥ · · · ≥ |z − am| ≥ β(m)t.

Mặt khác, ta có |z − ai| + |z − aj| ≥ |ai − aj| từ đó suy ra

, ∀ 1 ≤ i < j ≤ m. |z − ai| ≥ |ai − aj| 2

2 max{|ai − aj|, j > i}.

Khi đó |z − ai| ≥ 1

Từ đây, nếu coi i1 = 1, . . . , ik = k ta có

|a1 − ai| ≥ |am − a1| = |am − ai1| max i>1

|a2 − ai| ≥ |am − a2| = |am − ai2| max i>2

. . .

2k |am − ai1| · · · |am − aik|(β(m)t)m−k.

Suy ra |z − a1| · · · |z − am| ≥ 1

Tương tự khi 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ m bất kì ta cũng có

≥ |ai1 − ai| · · · |aik − ai|(β(m)t)m−k max i>i1 max i>ik

≥

|z − a1| · · · |z − am| = |z − ai1| · · · |z − aik| · · · 1 1 2 2 1 2k (β(m)t)m−k|am − ai1| · · · |am − aik|. Cho 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ik ≤ m chạy khắp tất cả các trường hợp cho ta

|z − a1| · · · |z − am| ≥

≥

≥ 1 2k (β(m)t)m−kΦm,k β(m)m−k Φm,ktm−k 2k β(m) 2k Φm,ktm−k β(m) 2m−1 Φm,ktm−k, ∀k = 1, m − 1.

Chọn β(m) = 2m−1 ta được |z − a1| · · · |z − am| ≥ Φm,ktm−k, ∀k = 1, m − 1. Hơn nữa với

k = 0 ta vẫn có |z − a1| · · · |z − am| ≥ (β(m)t)m. Từ đó ta có

(cid:16) (cid:17) ≥ r, |z − a1| · · · |z − am| ≥ max tm, Φm,1tm−1, . . . , Φm,m−1t

chứng tỏ z /∈ E(a, r).

(ii) Chọn j0 ∈ {1, . . . , m} sao cho

m ,

m−1 , . . . ,

(cid:17) 1 (cid:17) (cid:16) (cid:16) r . t = min r Φj0,1 r Φj0,m−1

Tiếp theo ta lấy z ∈ ∆(aj0, α(m)t). Khi đó ta có

|z − aj| ≤ |z − aj0| + |aj0 − aj|

≤ α(m)t + |aj0 − aj|, ∀ j = 1, m.

Suy ra

j=1,m

(cid:89) |z − a1| · · · |z − am| ≤ [α(m)t + |aj0 − aj|]

j=1,m

= (α(m)t)m + (α(m)t)m−1 (cid:88) |aj0 − aj| + · · ·

Ta có

|aj0 − ai1| Φj0,1 = max 1≤i1≤m

1≤i1

Φj0,2 = max |aj0 − ai1||aj0 − ai2|

· · ·

Φj0,m−1 = |aj0 − ai1| · · · |aj0 − aim−1| max 1≤i1<···

m (cid:88)

Suy ra

ji(cid:54)=j0,j=1

|aj0 − aij | |aj0 − aij | ≤ (m − 1) max 1≤ij ≤m

= (m − 1)Φj0,1.

m (cid:88)

Tương tự ta cũng có

1≤i1

m (cid:88)

Φj0,2 |aj0 − ai1||aj0 − ai2| ≤ (m − 1)(m − 2) 2

m−1 Φj0,m−1.

1≤i1<···

|aj0 − ai1| · · · |aj0 − aim−1| ≤ C m−1

Từ đó ta có

j=1,m

(α(m)t)m + (α(m)t)m−1 (cid:88) |aj0 − aj| + · · ·

≤ [α(m)t]m + (m − 1)[α(m)t]m−1Φj0,1 + · · · + α(m)tΦj0,m−1

m−1[α(m)t]m + C 1

m−1[α(m)t]m−1Φj0,1 + · · · + C m−1

m−1 α(m)tΦj0,m−1.

= C 0

Mặt khác ta lại có

m m−1 ; . . . ; [

m−1

tm = min{r; [ ] ]m} ≤ r; r Φj0,m−1

m Φj0,1; [

m−1 Φj0,1; . . . ; [

] r Φj0,1 tm−1Φj0,1 = min{r ]m−1Φj0,1} ≤ r; r Φj0,1 r Φj0,m−1

· · ·

m−1 Φj0,m−1; . . . ; [

] tΦj0,m−1 = min{[ ]Φj0,m−1} ≤ r. r Φj0,1 r Φj0,1

Vì vậy nếu chọn α(m) < 1 sao cho α(m)[α(m) + 1]m−1 < 1, thì ta được

|z − a1| · · · |z − am|

m−1[α(m)]mr + C 1

m−1[α(m)]m−1r + · · · + C m−1

m−1 α(m)r

m−1 (cid:88)

≤ C 0

m−1α(m)k

k=0 m−1 (cid:88)

= α(m)r C k

k=0

(α(m) + 1)m−1 = α(m)r

< r.

Như vậy với z ∈ ∆(aj0, α(m)t) thì z ∈ E(a, r) và do đó ta có điều phải chứng minh.

Từ Định lý 1.2.3, ta thu được hệ quả sau.

Hệ quả 1.2.4. V2(E(a, r)) ∈ [α(m)2πt2, mβ(m)2πt2].

m (cid:91)

Chứng minh. Thật vậy, do khẳng định (i) của Định lý 1.2.3

j=1

E(a, r) ⊂ ∆(aj, β(m)t),

m (cid:88)

nên ta có

j=1

V2(E(a, r)) ≤ V2(∆(aj, β(m)t))

= mV2(∆(aj, β(m)t))

= mπβ2(m)t2.

Mặt khác, theo (ii) của Định lý 1.2.3, ∃j0 sao cho ∆(aj0, α(m)t) ⊂ E(a, r), nên ta có

V2(∆(aj0, α(m)t)) ≤ V2(E(a, r)) ⇔ πα2(m)t2 ≤ V2(E(a, r)).

Hay V2(E(a, r)) ∈ [α(m)2πt2, mβ(m)2πt2].

Để thu được kết quả về mối liên hệ giữa ngưỡng chính tắc và tập mức của hàm chỉnh

hình trong Cn chúng tôi đưa ra định nghĩa sau.

Định nghĩa 1.2.5. Cho hai dãy hàm {ai(z)}i=1,m và {bi(z)}i=1,m định nghĩa trên miền D ⊂ Cn. Ta nói rằng {ai(z)}i=1,m (cid:31) {bi(z)}i=1,m trên D nếu tồn tại một hằng số λ > 0

sao cho mỗi z ∈ D ta có thể tìm được một phép thế τ : {1, . . . , m} → {1, . . . , m} sao cho

|ai(z) − aj(z)| ≥ λ|bτ (i)(z) − bτ (j)(z)|, ∀1 ≤ i, j ≤ m.

Từ đây chúng tôi đi đến kết quả sau trong công trình [1] của luận án, cho thấy mối

quan hệ về diện tích của các tập E(a, r) tương ứng đối với hai họ hàm nói trên.

Mệnh đề 1.2.6. Giả sử {ai(z)}i=1,m (cid:31) {bi(z)}i=1,m trên miền D ⊂ Cn. Khi đó tồn tại số

M > 0 sao cho

V2(E(a(z), r)) ≤ M V2(E(b(z), r)), ∀z ∈ D, ∀r > 0,

ở đó a(z) = (a1(z), . . . , am(z)) và b(z) = (b1(z), . . . , bm(z)).

Chứng minh. Trước hết, ta sẽ chứng minh

Φi,k(a(z)) ≥ λkΦτ (i),k(b(z)), ∀i = 1, m và ∀k = 1, m − 1.

Thật vậy, với mọi z ∈ D ta có

Φi,k = |ai(z) − ai1(z)| · · · |ai(z) − aik(z)| max 1≤i1<···

≥ λ|bτ (i)(z) − bτ (i1)(z)| · · · λ|bτ (i)(z) − bτ (ik)(z)| max 1≤i1<···

= λk |bτ (i)(z) − bτ (i1)(z)| · · · |bτ (i)(z) − bτ (ik)(z)| max 1≤i1<···

= λkΦτ (i),k(b),

vì khi ik chạy khắp {1, . . . , m} thì k cũng vậy. Từ đó theo định nghĩa của t(a(z), r) ta có

m−1 ; . . . ; (

1 m ; (

t(a(z), r) = max [min{r )}] ) r Φj,m−1(a)

1 m ; (

m−1 ; . . . ; (

≤ max [min{r ) )}]

1 m ; (

1 m−1 (

m−1 ; . . . ; (

= max [min{r ) )}] )

1 m ; (

1 m−1 (

m−1 ; . . . ; (

= max [min{r ) ) )}], r Φj,1(a) r λΦτ (j),1(b) 1 λ 1 λ r λm−1Φτ (j),m−1(b) 1 λm−1 )( 1 λm−1 ) r Φτ (j),1(b) r Φj,1(b) r Φτ (j),m−1(b) r Φj,m−1(b)

ở đó dấu bằng trong dòng cuối cùng có được là do τ là một song ánh, khi j chạy khắp

1, 2, . . . , m thì τ (j) cũng vậy.

Bây giờ chọn

γ = max{1; ; ; . . . ; 1 1 m−1 1 1 m−2 1 λm−1 }, λ λ

thì ta có

1 m ; γ(

m−1 ; . . . ; γ

t(a(z), r) ≤ max [min{γr ) }] r Φj,m−1(b)

m−1 ; . . . ;

1 m ; (

(1.2) = γ max [min{r ) }] r Φj,1(b) r Φj,1(b) r Φj,m−1(b)

= γt(b, r), ∀r > 0.

Mặt khác theo Hệ quả 1.2.4 ta có

a, mβ(m)2πt2 a];

V2(E(a, r)) ∈ [α(m)2πt2

b, mβ(m)2πt2 b],

V2(E(b, r)) ∈ [α(m)2πt2

ở đó ta, tb lần lượt là t(a, r) và t(b, r) trong Định nghĩa 1.2.1 đối với a = {ai(z)} và

b = {bi(z)} tương ứng.

Tiếp theo để đạt được điều chứng minh, ta chỉ cần tìm hằng số M sao cho

a ≤ M (α(m))2πt2 b.

m(β(m))2πt2

Khi đó ta có ngay V2(E(a(z), r)) ≤ M V2(E(b(z), r)).

Thật vậy, ta có

b ⇔

a ≤ M (α(m))2πt2

m(β(m))2πt2 ≤ M.

m(β(m))2πt2 a (α(m))2πt2 b Mặt khác theo (1.2) thì ta ≤ γtb nên ta chỉ cần chọn M sao cho

bγ2

m(β(m))2γ2 ≤ M ⇔ (α(m))2 ≤ M. m(β(m))2t2 (α(m))2t2 b

Vậy ta có thể chọn

, M = m(β(m))2γ2 (α(m))2

và ta có điều phải chứng minh.

1.2.2 Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và thể tích của tập mức

Trong mục này, chúng tôi cho một đánh giá quan trọng giữa thể tích của tập mức

của hàm chỉnh hình nhiều biến với ngưỡng chính tắc của chúng. Kết quả này giúp chúng

tôi chứng minh Giả thuyết ACC cho trường hợp số chiều n = 2 trong mục kế tiếp bằng

phương pháp của giải tích phức. Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại Định lý chuẩn bị Weierstrass

trong [44] cần dùng tới trong mục này. Chúng ta kí hiệu

D(0, δ) = {(z(cid:48), zn) ∈ Cn : max(|z(cid:48)|, |zn|) < δ},

B(cid:48)(0, δ) = {z(cid:48) ∈ Cn−1 : |z(cid:48)| < δ}, |z(cid:48)| = (cid:112)|z1|2 + · · · + |zn−1|}.

Định lý 1.2.7. Giả sử f chỉnh hình trong lân cận V của a = (a1, . . . , an) ∈ Cn với

f (a) = 0 sao cho f (a(cid:48), zn) không đồng nhất bằng không. Khi đó trong lân cận của a ta có

biểu diễn

f (z) = [(zn − an)k + c1(z(cid:48))(zn − an)k−1 + · · · + ck(z(cid:48))]ϕ(z),

ở đó k là cấp của không điểm của f (a(cid:48), zn) tại an, ck là các hàm chỉnh hình trong lân cận

của a(cid:48) = (a1, . . . , an−1) và ϕ là hàm chỉnh và không triệt tiêu trong lân cận của a.

Chứng minh. Xem [44].

Gợi ý từ Định lý chuẩn bị Weierstrass cũng như các kết quả đạt được trước đó về diện

tích của tập E(a, r), chúng tôi cho định nghĩa sau đây đóng vai trò quan trọng cho việc

chứng minh các kết quả chính của Chương.

Định nghĩa 1.2.8. Giả sử f và g là hai hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ Cn,

{ai(z(cid:48))}i=1,m, {bi(z(cid:48))}i=1,m lần lượt là hai dãy nghiệm của f (z(cid:48), .) và g(z(cid:48), .) tương ứng. Khi đó ta viết f (cid:31) g nếu {ai(z(cid:48))}i=1,m (cid:31) {bi(z(cid:48))}i=1,m.

Bây giờ, cho f là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ Cn. Từ kết quả của Định lý

chuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta có thể viết

f (z) = (zn − a1(z(cid:48))) · · · (zn − am(z(cid:48)))g(z),

ở đó g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 với g(0) (cid:54)= 0, z(cid:48) = (z1, . . . , zn−1) và m là

số Lelong của log|f | tại 0.

Tiếp theo chúng tôi có đánh giá sau đây về thể tích của tập mức của đa thức Weierstrass

P (z) = (zn − a1(z(cid:48))) · · · (zn − am(z(cid:48))). Để có điều đó, trước hết bởi Định lý Fubini ta có

B(cid:48)(0,δ) (cid:90)

(cid:90) V2n({z ∈ D(0, δ) : |P (z)| < r}) (cid:16) (cid:17) = {zn ∈ ∆(0, δ) : |P (z(cid:48), zn)| < r} dV2n−2(z(cid:48)) V2n−2

B(cid:48)(0,δ)

(cid:16) (cid:17) = E(a(z(cid:48)), r) V2n−2 dV2n−2(z(cid:48)).

Từ đây, kết hợp với Mệnh đề 1.1.6, chúng tôi cho một đánh giá thể tích của tập mức

của hàm chỉnh hình nhiều biến hay nói cách khác, chúng tôi cho một mối quan hệ giữa

ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình f và tính chất hình học của tập không điểm của

f . Từ đó như một hệ quả, chúng tôi chứng minh tính dừng của một dãy tăng các ngưỡng

chính tắc của dãy hàm chỉnh hình cfj (0) (Định lý 1.2.13). Trước hết, ta viết A ≈ B nếu

tồn tại hằng số C > 0 sao cho A = CB.

Định lý 1.2.9. Giả sử f (cid:31) g. Khi đó ta có

(i) V2n({z ∈ D(0, δ) : |f | < r}) ≤ const. V2n({z ∈ D(0, δ) : |g| < r}), ∀ r > 0;

(ii) cf (0) ≥ cg(0).

Chứng minh. (i) Trước hết, bởi Định lý chuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta có thể viết f (z) =

Pf (z(cid:48), zn)f1(z), ở đó Pf là đa thức Weierstrass, f1 chỉnh hình trong lân cận của 0 và

f1(0) (cid:54)= 0. Khi đó bởi Định lý Fubini, ta có thể viết

V2n({|f | < r})

{z∈D(0,δ):|f (z)|

:= V2n({z ∈ D(0, δ) : |f (z)| < r}) (cid:90) = dV2n

{z∈B(cid:48)(0,δ):|f (z(cid:48),zn)|

(1.3) (cid:90) (cid:90) = dV2n−2(z(cid:48)) dV2(zn)

{z∈∆(0,δ):|f (z(cid:48),zn)|

{z∈B(cid:48)(0,δ)}

(cid:90) = V2({z ∈ ∆(0, δ) : |Pf (z(cid:48), zn)| < })dV2n−2(z(cid:48)).

Mặt khác do f1(z) chỉnh hình tại 0 ∈ Cn với f1(0) (cid:54)= 0, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử tồn tại 0 < m1 ≤ M1 để với ∀z ∈ D(0, δ) ta có m1 ≤ |f1(z)| ≤ M1. Từ đó ta

thu được đánh giá vế phải của (1.3) như sau:

{z∈B(cid:48)(0,δ)}

(cid:90) V2({z ∈ ∆(0, δ) : |Pf (z(cid:48), zn)| < })dV2n−2(z(cid:48)) r |f1(z(cid:48), zn)|

{z∈B(cid:48)(0,δ)}

(cid:90) ≤ V2({z ∈ ∆(0, δ) : |Pf (z(cid:48), zn)| < })dV2n−2(z(cid:48)). r m1

(1.4)

Mặt khác, với mọi λ > 0, kí hiệu tλr := t(a, λr) trong Định nghĩa 1.2.5 và lấy các hằng số

dương C0, C1 sao cho C0 ≤ tλr ≤ C1tr. Khi đó cũng do α(m), β(m) là các hằng số cố định

m (cid:91)

nên ta có

j=1

V2(E(a, λr)) ≤ V2( ∆(aj, β(m)tλr)) ≤ C2V2( ∆(aj, β(m)tr))

≤ C3V2(∆(aj0, β(m)tr)) ≤ C4V2(E(a, r)),

ở đó Ci là các hằng số.

{z∈B(cid:48)(0,δ)} (cid:90)

Từ đó, theo Mệnh đề 1.2.6 ta có (cid:90) V2n({z ∈ D(0, δ) : |f | < r}) ≈ V2({z ∈ ∆(0, δ) : |Pf (z(cid:48), zn)| < })dV2n−2(z(cid:48)) r m1

{z∈B(cid:48)(0,δ)} (cid:90)

≈ V2(E(a(z(cid:48)), )dV2n−2(z(cid:48)) r m1

{z∈B(cid:48)(0,δ)} (cid:90)

≈ )dV2n−2(z(cid:48)) V2(E(b(z(cid:48)), r m1

{z∈B(cid:48)(0,δ)}

≈ V2({z ∈ ∆(0, δ) : |Pg(z(cid:48), zn)| < })dV2n−2(z(cid:48)) r m1

≈ V2n({z ∈ D(0, δ) : |g| < r}).

(1.5)

(ii) Ta chỉ ra cf (0) ≥ cg(0). Thật vậy, lấy c < cg(0) tùy ý, khi đó theo (1.4) ta có

V2n(z ∈ D(0, δ) : |g| < r) r2c

bị chặn khi r → 0. Từ đó theo (1.5), ta được

V2n(z ∈ D(0, δ) : |f | < r) r2c

bị chặn khi r → 0.

Từ đây, áp dụng Mệnh đề 1.1.6 ta được c < cf (0). Vậy cf (0) ≥ cg(0).

Nhận xét 1.2.10. Khẳng định (ii) của Định lý 1.2.9 cho ta một trong những điều kiện

đủ để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm chỉnh hình. Cụ thể hơn, từ giả thiết

f (cid:31) g ta thu được quan hệ so sánh cf (0) ≥ cg(0). Một điều kiện đủ khác cho hai hàm đa

điều hòa dưới mà từ đó cho phép chúng ta so sánh ngưỡng chính tắc của chúng tiếp tục

được chúng tôi nghiên cứu trong Chương 3.

1.2.3 Chứng minh giả thuyết ACC trong C2

Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh Giả thuyết ACC với n = 2 nhờ vào kết quả

về mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc và thể tích tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến

trong mục trước đó. Tuy nhiên, trước khi đi đến kết quả chính này, chúng tôi nhắc lại kết

quả quan trọng sau đây của H. Skoda (1972) trong [76] về ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới nói chung cũng như hàm chỉnh hình nói riêng.

Định lý 1.2.11. Giả sử ϕ là hàm đa điều hòa dưới trên Cn và ν(ϕ, x) là số Lelong của

ϕ tại x. Khi đó

. ≤ cϕ(x) ≤ 1 ν(ϕ, x) n ν(ϕ, x)

Hơn nữa, nếu f là hàm chỉnh hình trên Cn sao cho f (0) = 0 và mult0 f là bội của f tại

0 thì số Lelong của f tại 0 là mult0 f và ta có đánh giá

. ≤ cf (0) ≤ 1 mult0 f n mult0 f

Chứng minh. Xem [76].

Sau đây, chúng tôi nhắc lại Định lý Puiseux cần thiết cho phép chứng minh định lý

chính dưới đây.

Định lý 1.2.12. Giả sử P (z, T ) là một đa thức bất khả quy bậc n đối với T có hệ số là

các hàm chỉnh hình trong đó hệ số bậc cao nhất bằng 1. Khi đó tồn tại hàm chỉnh hình

n−1 (cid:89)

g(z) sao cho

nz)),

i=0

P (zn, T ) = (T − g(εi

trong đó εn kí hiệu là căn bậc n của đơn vị.

Chứng minh. Xem [65].

Từ kết quả của Định lý 1.2.9 kết hợp Định lý Puiseux cùng đánh giá trên của H. Skoda,

chúng tôi đi đến kết quả chính sau đây trong công trình [1] của luận án, về việc chứng

j=1 là dãy các hàm chỉnh hình hai biến trong lân cận của

minh Giả thuyết ACC của ngưỡng chính tắc trong C2.

(0) là giảm. Định lý 1.2.13. Giả sử {fj}∞ 0 ∈ C2. Khi đó tồn tại một dãy con {jk} sao cho dãy ngưỡng chính tắc cfjk

Chứng minh. Đặt mj = ν(log |fj|, 0) là số Lelong của fj tại 0. Không làm mất tính tổng

quát ta có thể giả sử

m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mj ≤ · · ·

Chúng ta xét các trường hợp sau:

a) Trường hợp 1: Nếu mj (cid:37) +∞. Khi đó, theo Định lý 1.2.11 ta có

. ≤ cfj (0) ≤ 1 mj 2 mj

(0) giảm.

mj < +∞, khi đó có thể coi Do đó ta có cfj (0) → 0. Từ đó có thể chọn một dãy con {jk} sao cho cfjk b) Trường hợp 2. Nếu sup j≥1

m1 = m2 = · · · = m.

Bởi Định lý Puiseux 1.2.12, ta tìm được các hàm chỉnh hình (pj1, . . . , pjm) sao cho

1 , z2) = (z2 − pj1(z1)) · · · (z2 − pjm(z1)) = (z2 − gj(ε0z1)) · · · (z2 − gj(εm−1z1)).

fj(zm

m(z1, z2)gfj (z1, z2) với

Lại theo Định lý chuẩn bị Weierstrass 1.2.7 ta viết fj(z1, z2) = P j

(0) và do đó có thể coi gfj = 1. Đồng thời chúng ta lưu

gfj (0, 0) (cid:54)= 0. Vì vậy cfj (0) = cP j ý rằng pij(z1) = gj(εiz1) là các hàm chỉnh hình, pij(0) = 0.

Tiếp theo đặt pj = {pji(z)}i=1,m. Ta có

(cid:16) V4

∆(0,δj )

(cid:17) {z ∈ D(0, δj) : |fj| < r} (cid:90) (cid:16) (cid:17) = V2 {z2 ∈ ∆(0, δj) : |fj(z1, z2)| < r} dV2(z1)

1 , z2)| < r}

δj ),0≤arg z1≤2π/m

(cid:90) (cid:17) (cid:16) = m2|z1|2(m−1)V2 dV2(z1) {z2 ∈ ∆(0, δj) : |fj(zm

1 , z2)| < r}

∆(0,δj )

√ ∆(0, m (cid:90) (cid:17) (cid:16) ≈ |z1|2(m−1)V2 {z2 ∈ ∆(0, δj) : |fj(zm dV2(z1)

∆(0,δj ) (cid:90)

(cid:90) (cid:16) (cid:17) = |z1|2(m−1)V2 {z2 ∈ ∆(0, δj) : |z2 − pj1(z1)| · · · |z2 − pjm(z1)| < r} dV2(z1)

∆(0,δj )

= |z1|2(m−1)V2(E(pj(z), r))dV2(z1),

khi r đủ nhỏ.

Mặt khác từ Định lý Puiseux 1.2.12 ta biết rằng

mz1), ∀i = 0, . . . , m − 1,

pji(z1) = gj(εi

1 . Suy ra

∞ (cid:80) s=0

∞ (cid:88)

ở đó gj(z1) = aνzν

mzs 1.

mzs

1; pjl(z1) =

ν=0

s=0

asεls asεis pji(z1) =

Ta chú ý rằng do fj(0) = 0 nên pji(0) = 0. Từ đó a0 = 0, nên tồn tại sj ≥ 1 nhỏ nhất để

∞ (cid:88)

asj (cid:54)= 0. Khi đó ta viết

mzs

1 −

mzs

1| ≈ |z1|sj , sj ∈ N∗.

s=0

|pji(z1) − pjl(z1)| = | asεis asεls

Từ đây ta chọn dãy tăng {sjk} : sjk ≤ sjk+1. Khi đó ta có

|pjki(z1) − pjkl(z1)| ≈ |z1|sjk ; {pjk} là dãy nghiệm của fjk,

|pjk+1i(z1) − pjk+1l(z1)| ≈ |z1|sjk+1 ; {pjk+1} là dãy nghiệm của fjk+1.

Từ đó theo Định nghĩa 1.2.5, do với mọi i, l, i(cid:48), l(cid:48) và |z1| đủ nhỏ ta có

|pjki(z1) − pjkl(z1)| ≈ |z1|sjk ≥ |z1|sjk+1 ≈ |pjk+1i(z1) − pjk+1l(z1)|,

nên ta có

pjk(z1) (cid:31) pjk+1(z1),

trên ∆(0, δk), ∀k ≥ 1.

(0) và ta được điều phải chứng (0) ≥ cfjk+1

Từ đây, áp dụng Định lý 1.2.9 ta có cfjk minh.

Nhận xét 1.2.14. Từ Định lý 1.2.13, nếu {fj} là dãy các hàm chỉnh hình hai biến trong

lân cận của 0 sao cho dãy tăng các ngưỡng chính tắc, khi đó tồn tại một dãy con {fjk}

sao cho dãy ngưỡng chính tắc là giảm. Từ đó dãy cfj (0) dừng, nói cách khác mọi dãy tăng các ngưỡng chính tắc các hàm chỉnh hình trong lân cận của 0 ∈ C2 đều dừng (từ một

chỉ số nào đó). Như vậy, chúng tôi chứng minh được Giả thuyết ACC của J-P. Demailly,

J. Kollár và V. Shokurov trong trường hợp n = 2 theo một cách mới, công cụ giải tích

phức. Có thể thấy rằng, phép chứng minh của chúng tôi mang lại nhiều thông tin hơn

về ngưỡng chính tắc. Hơn nữa, có thể thấy việc sử dụng cũng như khai thác triệt để kết

quả của Định lý 1.2.3 (Định lý được chúng tôi chứng minh có tính chất độc lập với các

kết quả khác) cũng là một vấn đề đặt ra cho chúng tôi trong những nghiên cứu tiếp theo.

Đồng thời, chúng tôi cũng đặt ra bài toán chứng minh Giả thuyết ACC với số chiều n tùy

ý bằng công cụ giải tích phức cũng như phương pháp và các kết quả ban đầu của chúng

tôi về giả thuyết này.

Chương 2

Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp

dụng

2.1 Giới thiệu

Mục đích chính của chúng tôi trong chương này là mở rộng đánh giá về tính bị chặn

dưới cho ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp (cid:101)E(Ω) của J-P. Demailly và

P. H. Hiệp lên một lớp con các hàm m-điều hòa dưới rộng hơn. Tiếp theo đó, chúng tôi

đưa ra và chứng minh một số đặc trưng giải tích cho lớp Em(Ω) cùng việc cho một mô tả

hình học cho tập mức trên đối với số Lelong của hàm đa điều hòa dưới thuộc lớp Em(Ω).

Để làm điều đó, trước hết chúng tôi chứng minh tính chất địa phương của lớp Em(Ω) và

một số hệ quả cần dùng tới sau đó. Kết quả của chương này được công bố trong bài báo

”Some characterrizations of the class Em(Ω) and applications”.

2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức

Trước hết, chúng tôi nhắc lại lớp hàm m-điều hòa dưới được đưa ra bởi Z. B(cid:32)locki (2005)

trong [16]. Tiếp theo đó, là các kết quả về sự xác định của toán tử m-Hessian phức trên

một số lớp hàm quan trọng của lớp hàm m-điều hòa dưới cùng được nghiên cứu bởi Z.

B(cid:32)locki và L. H. Chinh trong [23].

2.2.1 Hàm m-điều hòa dưới và một số tính chất

Giả sử Ω là tập mở trong Cn và kí hiệu β = ddc(cid:107)z(cid:107)2 là dạng K¨ahler chính tắc của Cn

n! βn, ở đó d = ∂ + ∂ và dc = ∂−∂

4i . Do đó, ddc = i

2∂∂.

với dạng thể tích dVn = 1

Định nghĩa 2.2.1. Với 1 ≤ m ≤ n, ta định nghĩa

ˆΓm = {η ∈ C(1,1) : η ∧ βn−1 (cid:62) 0, ..., ηm ∧ βn−m (cid:62) 0},

ở đó C(1,1) kí hiệu là không gian các (1, 1)-dạng với hệ số là hằng. Khi đó hàm điều hòa dưới u trên tập mở Ω ⊂ Cn gọi là hàm m-điều hòa dưới trên Ω nếu với mọi dạng η1, . . . , ηm−1 trong ˆΓm ta có

ddcu ∧ η1 ∧ · · · ∧ ηm−1 ∧ βn−m ≥ 0,

theo nghĩa của dòng.

m(Ω) kí hiệu là tập

Kí hiệu SHm(Ω) là tập hợp các hàm m-điều hòa dưới trên Ω và SH−

các hàm m-điều hòa dưới âm trên Ω.

Nhận xét 2.2.2. Từ Mệnh đề 3.1 trong [16] và Định nghĩa 1.2 trong [72], nếu u ∈ C2(Ω)

thì u là hàm m-điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi (ddcu)k ∧ βn−k ≥ 0, ∀k = 1, . . . , m.

Ví dụ 2.2.3. (i) Xét u(z1, z2, z3) = 5|z1|2 + 4|z2|2 − |z3|2. Khi đó bởi b) của Mệnh đề 2.2.5 hay theo Nhận xét 2.2.2 trên đây, dễ thấy rằng u ∈ SH2(C3). Tuy nhiên, u không là hàm đa điều hòa dưới trong C3 vì hạn chế của u trên đường thẳng {(0, 0, z3) : z3 ∈ C} là

u(0, 0, z3) = −|z3|2 không đa điều hòa dưới.

(ii) Như trong [72], chúng ta xét ví dụ sau. Lấy Ω là một miền mở trong Cn không chứa

0. Ta xét nhân Riesz cho bởi

1 Km(z) = − |z|2(n/m−1) , 1 ≤ m < n.

Khi đó Km ∈ C2(Ω) và ta có

(ddcKm)k ∧ βn−k = n(n/m − 1)k(1 − k/m)|z|−2kn/mβn.

Dó đó (ddcKm)k ∧ βn−k ≥ 0 với mọi k = 1, . . . , m. Từ đây tiếp tục theo Nhận xét 2.2.2

thì Kk ∈ SHm(Ω). Tuy nhiên (ddcKm)m+1 ∧ βn−m−1 < 0 nên Km /∈ SHm+1(Ω).

Mệnh đề sau đây trong [16] mà ta sẽ cần dùng tới sau này.

Mệnh đề 2.2.4. Với mọi η1, . . . , ηp ∈ ˆΓm, p ≤ m ta có

η1 ∧ · · · ∧ ηp ∧ βn−m ≥ 0.

Chứng minh. Xem [16].

Từ Mệnh đề 2.2.4 ta thấy u ∈ SHm ⇔ ddcu ∈ ˆΓm nghĩa là

(2.1) ddcu ∧ η1 ∧ · · · ∧ ηm−1 ∧ βn−m ≥ 0, ∀η1, . . . , ηm−1 ∈ ˆΓm

Bây giờ ta chúng tôi liệt kê các tính chất cơ bản ban đầu về lớp hàm m-điều hòa dưới.

Việc chứng minh một vài trong số những tính chất sau có thể tham khảo, chẳng hạn trong

các tài liệu [1] và [23].

Mệnh đề 2.2.5. Giả sử Ω là tập mở trong Cn. Khi đó ta có

a) PSH(Ω) = SHn(Ω) ⊂ SHn−1(Ω) ⊂ · · · ⊂ SH1(Ω) = SH(Ω). Do đó, nếu u ∈ SHm(Ω),

1 ≤ m ≤ n, thì u ∈ SHr(Ω), với mọi 1 ≤ r ≤ m.

b) Nếu u thuộc lớp C 2 thì u là hàm m-điều hòa dưới nếu và chỉ nếu dạng ddcu thuộc (cid:98)Γm

tại mỗi điểm.

j=1 là dãy giảm các hàm m-điều hòa dưới thì u = lim j→+∞

c) Nếu {uj}∞ uj cũng là hàm m-điều

hòa dưới.

d) Nếu u, v ∈ SHm(Ω) và α, β > 0 thì αu + βv ∈ SHm(Ω).

e) Nếu u, v ∈ SHm(Ω) thì max{u, v} ∈ SHm(Ω).

j=1 là họ các hàm m-điều hòa dưới, u = sup

f) Nếu {uj}∞ uj < +∞ và u là nửa liên tục

trên thì u là m-điều hòa dưới.

g) Giả sử ρ ≥ 0 là hàm bán kính trơn trên Cn, triệt tiêu ngoài hình cầu đơn vị và thỏa mãn (cid:82) ρdVn = 1, ở đó dVn kí hiệu là độ đo Lebesgue trên Cn. Với u ∈ SHm(Ω) ta định

B(0,ε)

nghĩa (cid:90) uε(z) := (u ∗ ρε)(z) = u(z − ξ)ρε(ξ)dVn(ξ), ∀z ∈ Ωε,

ε2n ρ(z/ε) và Ωε = {z ∈ Ω : d(z, ∂Ω) > ε}. Khi đó uε ∈ SHm(Ωε) ∩ C∞(Ωε)

ở đó ρε(z) := 1

và uε ↓ u khi ε ↓ 0.

h) Giả sử u1, . . . , up ∈ SHm(Ω) và χ : Rp → R là hàm lồi, tăng theo mỗi biến. Nếu χ có

thể mở rộng liên tục tới hàm từ [−∞, +∞)p → [−∞, ∞) thì χ(u1, . . . , up) ∈ SHm(Ω).

Chứng minh. Tính chất b) hiển nhiên được suy từ Mệnh đề 2.2.4. Các tính chất từ c) đến

g) được chứng minh tương tự như đối với hàm đa điều hòa dưới trong [1]. Chúng tôi chứng

minh tính chất a).

Thật vậy, từ định nghĩa của (cid:98)Γm ta có (cid:98)Γn ⊂ (cid:98)Γn−1 ⊂ · · · ⊂ (cid:98)Γ1.

Mặt khác do v = (cid:107)z(cid:107)2 ∈ SHj ∩ C, ∀j nên nếu u ∈ SHn tức là

ddcu ∧ η1 ∧ · · · ∧ ηn−1 ≥ 0, ∀ηj ∈ (cid:98)Γn.

thì theo (2.1) ta có ddcu ∈ ˆΓm. Suy ra ddcu, ddcv = β ∈ ˆΓn−1. Bây giờ lấy ηj ∈ ˆΓn−1, j =

1, . . . , n − 2, theo Mệnh đề 2.2.4 ta có ddcu ∧ · · · ∧ ηn−2 ∧ β ≥ 0. Từ đó suy ra

ddcu ∧ · · · ∧ ηn−2 ∧ ddcv = ddcu ∧ · · · ∧ ηn−2 ∧ β ≥ 0.

Hay u ∈ SHn−1.

Ta còn phải chứng minh SHn = PSH và SH1 = SH.

Thật vậy, nếu u ∈ PSH thì ddcu tồn tại và ddcu ≥ 0. Khi đó theo Mệnh đề 2.2.4 thì

η1 ∧ · · · ∧ ηn−1 ≥ 0. Do đó

ddcu ∧ η1 ∧ · · · ∧ ηn−1 ≥ 0.

Hay u ∈ SHn. Ngược lại, lấy u ∈ SHn tức là ddcu ∈ ˆΓn. Khi đó lại theo Mệnh đề 2.2.4 ta có (ddcu)n ≥ 0

hay u ∈ PSH.

Tiếp theo, hiển nhiên ta có SH1 ⊂ SH. Ngược lại lấy u ∈ SH thì ddcu là (1, 1) dạng mà

β là dạng thực nên ta có ddcu ∧ βn−1 ≥ 0 hay u ∈ SH1.

2.2.2 Toán tử m-Hessian phức trên lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa

phương

Trong mục này, dựa theo Z. B(cid:32)locki, S. Dinew và S. Ko(cid:32)lodziej chúng ta định nghĩa toán

tử m-Hessian phức cho lớp các hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Cụ thể, dựa vào

[16] và [31] chúng tôi định nghĩa như sau.

loc(Ω). Khi đó toán tử m-Hessian

Định nghĩa 2.2.6. Giả sử u1, . . . , up ∈ SHm(Ω) ∩ L∞

phức Hm(u1, . . . , up) định nghĩa quy nạp bởi

ddcup ∧ · · · ∧ ddcu1 ∧ βn−m = ddc(upddcup−1 ∧ · · · ∧ ddcu1 ∧ βn−m).

Trong [16] và [31], các tác giả đã chứng minh được rằng Hm(u1, . . . , up) là một dòng

dương đóng song bậc (n − m + p, n − m + p) và toán tử này liên tục trên dãy giảm các

hàm m-điều hòa dưới bị chặn địa phương. Do đó, với p = m, ddcu1 ∧ · · · ∧ ddcum ∧ βn−m là

loc(Ω)

độ đo Borel dương. Trong trường hợp riêng, khi u = u1 = · · · = um ∈ SHm(Ω) ∩ L∞

độ đo Borel

Hm(u) = (ddcu)m ∧ βn−m,

được xác định và được gọi là m-Hessian phức của u.

Tiếp theo, chúng ta cần dùng tới kết quả sau đây về hàm m-điều hòa dưới cực đại.

Trước hết, tương tự như trong [1], chúng tôi nhắc lại một lớp con các hàm m-điều hòa

dưới được đưa ra và nghiên cứu bởi Z. B(cid:32)locki trong [16] gần đây.

Định nghĩa 2.2.7. Một hàm m-điều hòa dưới u ∈ SHm(Ω) được gọi là m-cực đại nếu

mọi v ∈ SHm(Ω), v ≤ u bên ngoài một tập con compact của Ω thì v ≤ u trên Ω.

Kí hiệu MSHm(Ω) là tập các hàm m-điều hòa dưới cực đại trên Ω.

Một trong những kết quả cần thiết cho bởi Định lý 3.6 trong [16], cho ta điều kiện cần

và đủ để một hàm m-điều hòa dưới bị chặn u trên miền bị chặn Ω ⊂ Cn thuộc MSHm(Ω)

đó là u là nghiệm của phương trình m-Hessian thuần nhất Hm(u) = (ddcu)m ∧ βn−m = 0.

m(Ω), Em(Ω) và Fm(Ω) sau đây được đưa ra bởi L. H. Chinh (2012). Trước hết là định nghĩa cho miền m-siêu lồi trong Cn như sau.

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại các lớp hàm E 0

Định nghĩa 2.2.8. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cn. Ta nói rằng Ω là miền m-siêu lồi

nếu tồn tại một hàm m-điều hòa dưới liên tục u : Ω −→ R− sao cho Ωc = {u < c} (cid:98) Ω

với mọi c < 0.

Như vậy, từ định nghĩa của miền m-siêu lồi và định nghĩa của hàm m-điều hòa dưới,

do mọi hàm đa điều hòa dưới đều là m-điều hòa dưới với mọi n ≥ m ≥ 1 nên mọi miền

siêu lồi trong Cn đều là m-siêu lồi.

Bây giờ lấy Ω ⊂ Cn là miền m-siêu lồi. Chúng ta đặt

m = E 0 E 0

m(Ω) = {u ∈ SH−

m(Ω) ∩ L∞(Ω) :

Ω

(cid:90) u(z) = 0, Hm(u) < ∞}, lim z→∂Ω

m(Ω) : ∃ E 0

m (cid:51) uj (cid:38) u,

Ω

(cid:90) Fm = Fm(Ω) = (cid:8)u ∈ SH− Hm(uj) < ∞(cid:9), sup j

và

m(Ω) : ∀z0 ∈ Ω, ∃ trên một lân cận ω (cid:51) z0, và (cid:90)

Em = Em(Ω) = (cid:8)u ∈ SH−

Ω

Hm(uj) < ∞(cid:9). E 0 m (cid:51) uj (cid:38) u trên ω, sup

Chý ý rằng, theo Định lý 3.14 trong [23] thì m-Hessian phức Hm(u) = (ddcu)m ∧ βn−m, u ∈

Em(Ω) hoàn toàn xác định như một độ đo Radon trên Ω. Đồng thời theo Định lý 3.2.14

và Nhận xét 3.2.15 (xem Phụ lục A) chúng ta có một mô tả khác, mà từ đó có thể coi lớp

Em(Ω) là địa phương trong lớp Fm(Ω). Cụ thể ta có như sau:

m(Ω) : ∀ D (cid:98) Ω, ∃ v ∈ Fm(Ω), v = u trên D(cid:9).

Em = Em(Ω) = (cid:8)u ∈ SH−

2.3 Tính chất địa phương của lớp Em(Ω)

Kết quả chính của mục này là chứng minh lớp Em(Ω) là lớp có tính chất địa phương.

Trước hết chúng ta hiểu tính chất địa phương là gì?

Trong nhiều trường hợp, chúng ta đặt câu hỏi rằng nếu u là một hàm thuộc lớp J (Ω) -

một lớp con nào đó của lớp các hàm đa điều hòa dưới trên miền Ω thì với mỗi một D (cid:98) Ω

liệu có hay không u ∈ J (D)? Trong trường hợp tổng quát, câu trả lời là phủ định. Chẳng

u(x) = 0, ∀ξ ∈ ∂Ω. Do vậy, có

hạn, khi ta xét lớp Eχ(Ω) trong [10], nếu u ∈ Eχ(Ω) thì lim x→ξ thể nói không phải lúc nào u ∈ Eχ(D) với mỗi miền siêu lồi D (cid:98) Ω. Xuất phát từ nhận

xét này, sau đây bằng cách dựa theo định nghĩa lớp địa phương trong lớp các hàm đa điều

hòa dưới của các tác giả L. M. Hải, P. H. Hiệp và H. N. Quy trong [39], chúng tôi đưa

ra định nghĩa tổng quát về lớp địa phương cho lớp con của lớp hàm m-điều hòa dưới như

sau.

j∈I

Định nghĩa 2.3.1. Ta nói một lớp J (Ω) ⊂ SH−(Ω) gọi là lớp có tính chất địa phương nếu ϕ ∈ J (Ω) thì ϕ ∈ J (D) với mọi miền siêu lồi D (cid:98) Ω và nếu ϕ ∈ SH−(Ω), ϕ|Ωj ∈ J (Ωj), ∀j ∈ I với Ω = (cid:83) Ωj thì ϕ ∈ J (Ω).

Lưu ý rằng đối với lớp hàm đa điều hòa dưới, từ kết quả của Z. B(cid:32)locki trong [17] thì

E(Ω) là lớp địa phương, hơn nữa trong công trình [39] năm 2013, các tác giả L. M. Hải,

P. H. Hiệp và H. N. Quy đã đưa ra và chứng minh lớp lớp Eχ,loc(Ω) cũng có tính chất địa

phương. Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày một trong những kết quả chính sau trong

công trình [2] của luận án, nói lên tính chất địa phương của lớp Em(Ω). Trước hết, chúng

ta có kết quả sau cần thiết cho việc chứng minh tính chất nói trên của lớp Em(Ω).

Bổ đề 2.3.2. Giả sử u, v ∈ SH−

m(Ω) ∩ L∞(Ω) với u ≤ v trên Ω và T = ddcϕ1 ∧ · · · ∧ m(Ω) ∩ L∞(Ω), j = 1, . . . , m − 1. Khi đó với mọi p ≥ 0 ta có

ddcϕm−1 ∧ βn−m với ϕj ∈ SH−

Ω(cid:48)

Ω(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:90) |u|pddcv ∧ T ≤ c |u|p(ddcu + |u|β) ∧ T,

ở đó Ω(cid:48) (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48) (cid:98) Ω và c là một hằng số chỉ phụ thuộc vào Ω(cid:48), Ω(cid:48)(cid:48), Ω và p.

o (Ω), 0 ≤ Φ ≤ 1 và Φ|Ω(cid:48) = 1, supp Φ (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48). Khi đó, sử

Chứng minh. Chọn Φ ∈ C∞

dụng công thức tích phân từng phần ta được

Ω

Ω(cid:48)

(cid:90) (cid:90) (cid:90) (cid:90) |u|pddcv ∧ T = Φ|u|pddcv ∧ T ≤ Φ|u|pddcv ∧ T = vddc(Φ|u|p) ∧ T.

Mặt khác ta lại có

ddc(Φ|u|p) = d(dc(Φ|u|p)) = d(|u|pdcΦ + Φdc|u|p))

= |u|pddcΦ − p|u|p−1du ∧ dcΦ − p|u|p−1dΦ ∧ dcu − p|u|p−1Φddcu

+ p(p − 1)|u|p−2Φdu ∧ dcu

= |u|pddcΦ − p|u|p−1[du ∧ dcΦ + dΦ ∧ dcu] + Φ[p(p − 1)|u|p−2du ∧ dcu

− p|u|p−1ddcu].

Nhưng do với mọi t thì d(u + tΦ) ∧ dc(u + tΦ) ∧ T ≥ 0 nên thay lần lượt với t = ±u ta

được

±u(du ∧ dcΦ + dΦ ∧ dcu) ∧ T ≤ (du ∧ dcu + u2dΦ ∧ dcΦ) ∧ T.

Từ đây chia hai vế cho u < 0 rồi nhân với −p|u|p−1 ≤ 0 ta được

du ∧ dcu) ∧ T. −p|u|p−1(dΦ ∧ dcu + du ∧ dcΦ) ∧ T ≥ p|u|p−1(udΦ ∧ dcΦ + 1 u

Hơn nữa có thể chọn A > 0 đủ lớn để

ddcΦ ≥ −Addc(cid:107)z(cid:107)2, dΦ ∧ dcΦ ≤ Addc(cid:107)z(cid:107)2.

Từ đây ta thu được đánh giá

ddc(Φ|u|p) ∧ T ≥ −A|u|pddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T − Φp|u|p−1ddcu ∧ T + p(p − 1)|u|p−2Φdu ∧ dcu ∧ T

+ p|u|p−1(udΦ ∧ dcΦ + du ∧ dcu) ∧ T. 1 u (2.2)

Ω(cid:48)

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:90)

Nhưng do ta có supp Φ (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48) nên từ (2.2) ta được (cid:90) (cid:90) (cid:90) |u|pddcv ∧ T ≤ A |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + p |u|pddcu ∧ T

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

− p |u|p+1dΦ ∧ dcΦ ∧ T + p |u|p−1du ∧ dcu ∧ T.

Ω(cid:48)

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:90)

Từ đó ta thu được đánh giá sau (cid:90) (cid:90) (cid:90) |u|pddcv ∧ T ≤ A |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + p |u|pddcu ∧ T

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

|u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + p |u|p−1du ∧ dcu ∧ T + Ap

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:90) (cid:90) = A(p + 1) |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + p |u|pddcu ∧ T + p |u|p−1du ∧ dcu ∧ T.

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) o , ψ|Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) = 1, supp ψ (cid:98) Ω(cid:48)(cid:48), khi đó ta có (cid:90)

Bây giờ ta chọn ψ ∈ C∞

Ω

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:90) ψd|u|p ∧ dcu ∧ T |u|p−1du ∧ dcu ∧ T = − d|u|p ∧ dcu ∧ T ≤ − p

Ω (cid:90)

(cid:90) (cid:90) |u|pdψ ∧ dcu ∧ T + ψ|u|pddcu ∧ T =

Ω

Ω(cid:48)(cid:48)

ψ|u|pddcu ∧ T |u|pdψ ∧ dcu ∧ T + =

Ω

Ω(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:90) = − dψ ∧ dc|u|p+1 ∧ T + ψ|u|pddcu ∧ T 1 p + 1

Ω

(cid:90) (cid:90) ψ|u|pddcu ∧ T |u|p+1ddcψ ∧ T + = 1 p + 1

Ω(cid:48)(cid:48) (cid:90)

Ω(cid:48)(cid:48)

(cid:90) ≤ B |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + ψ|u|pddcu ∧ T

với B > 0 đủ lớn.

Cuối cùng ta được

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

Ω(cid:48)

(cid:90) (cid:90) (cid:90) |u|pddcv ∧ T ≤ A(p + 1) |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + p |u|pddcu ∧ T

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48) (cid:90)

(cid:90) (cid:90) |u|pddcu ∧ T |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T + + B

Ω(cid:48)(cid:48)(cid:48)

(cid:90) ≤ c[ |u|pddcu ∧ T + |u|p+1ddc(cid:107)z(cid:107)2 ∧ T ],

như yêu cầu.

Bổ đề tiếp theo sau đây là công cụ quan trọng cho việc chứng minh tính chất địa

phương của lớp hàm Em(Ω), đặc biệt là tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm

đa điều hòa dưới trong lớp hàm Em(Ω) trong mục cuối của Chương.

m(Ω). Khi đó với

Bổ đề 2.3.3. Giả sử Ω là miền siêu lồi trong Cn, 1 ≤ m ≤ n và u ∈ E 0

mọi Ω(cid:48) (cid:98) Ω, tồn tại một hằng số C = C(Ω(cid:48)) sao cho

Ω

Ω(cid:48)

(cid:90) (cid:90) (ddcu)m ∧ βn−m < +∞. |u|p(ddcu)m−p ∧ βn−m+p ≤ C (2.3)

Hơn nữa, nếu u ∈ Fm(Ω) thì

Ω(cid:48)

(cid:90) |u|p(ddcu)m−p ∧ βn−m+p < +∞,

ở đó p = 1, . . . , m.

m(Ω) và A > 0

Chứng minh. Chọn R > 0 đủ lớn sao cho (cid:107)z(cid:107)2 ≤ R2 trên Ω. Lấy ϕ ∈ E 0

m(Ω) và

sao cho (cid:107)z(cid:107)2 − R2 ≥ Aϕ trên Ω(cid:48). Đặt h = max{(cid:107)z(cid:107)2 − R2; Aϕ}, khi đó h ∈ E 0

m(Ω). Thật

ddch = ddc(cid:107)z(cid:107)2 = β trên Ω(cid:48). Trước hết ta sẽ chứng minh (2.3) đúng với u ∈ E 0

vậy, ta có

Ω

Ω(cid:48)

(cid:90) (cid:90) |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddch)p ∧ βn−m ≤ |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddch)p ∧ βn−m.

Tích phân từng phần vế phải bất đẳng thức trên cho ta

Ω

(cid:90) |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddch)p ∧ βn−m

Ω (cid:90)

(cid:90) = h(ddcu)m−pddc|u|p ∧ (ddch)p−1 ∧ βn−m

Ω (cid:90)

h(ddcu)m−p[p(p − 1)|u|p−2du ∧ dcu − p|u|p−1ddcu] ∧ (ddch)p−1 ∧ βn−m =

Ω

≤ −ph|u|p−1(ddcu)m−p+1 ∧ (ddch)p−1 ∧ βn−m

Ω

(cid:90) |u|p−1(ddcu)m−p+1 ∧ (ddch)p−1 ∧ βn−m ≤ p(cid:107)h(cid:107)L∞(Ω)

≤ · · · · · · · · ·

L∞(Ω)

Ω

(cid:90) ≤ p!(cid:107)h(cid:107)p (ddcu)m ∧ βn−m < +∞.

L∞(Ω) thì ta có

Do đó nếu ta đặt C = C(Ω(cid:48)) = p!(cid:107)h(cid:107)p

Ω

(cid:90) (cid:90) |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddch)p ∧ βn−m (ddcu)m ∧ βn−m ≥ +∞ > C

Ω(cid:48) (cid:90)

(cid:90) ≥ |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddch)p ∧ βn−m

Ω(cid:48)

= |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddc(cid:107)z(cid:107)2)p ∧ βn−m.

m(Ω), uj (cid:38) u

Cuối cùng ta chứng minh (2.3) đúng với u ∈ Fm(Ω). Thật vậy, ta lấy uj ∈ E 0

Ω

trên Ω sao cho (cid:90) (ddcuj)m ∧ βn−m < +∞. sup j≥1

Khi đó bởi định lý hội tụ bị chặn và (ddcuj)m−p ∧(ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m+p hội tụ yếu tới (ddcu)m−p ∧

(ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m+p theo nghĩa dòng, kết hợp với điều đã chứng minh trên ta có

Ω(cid:48)

(cid:90) |u|p(ddcu)m−p ∧ (ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m+p

Ω(cid:48) (cid:90)

(cid:90) |u|p(ddcuj)m−p ∧ (ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m+p ≤ lim inf j

Ω (cid:90)

|u|p(ddcuj)m−p ∧ (ddch)p ∧ (ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m ≤ lim inf j

Ω

≤ C sup (ddcuj)m ∧ (ddc(cid:107)z(cid:107)2)n−m < +∞.

Tiếp theo chúng ta cần tới kết quả sau nói lên tính tồn tại dưới thác triển trong lớp

Fm(Ω).

m((cid:101)Ω) :

Bổ đề 2.3.4. Giả sử Ω (cid:98) (cid:101)Ω và u ∈ Fm(Ω). Khi đó tồn tại hàm (cid:101)u ∈ Fm((cid:101)Ω) sao cho (cid:101)u ≤ u trên Ω.

m((cid:101)Ω) ∩ C((cid:101)Ω) và (ddc

Chứng minh. Chúng ta chứng minh theo các bước sau. Bước 1. Ta chứng minh rằng nếu v ∈ C((cid:101)Ω), v ≤ 0, suppv (cid:98) (cid:101)Ω thì (cid:101)v := sup{w ∈ SH− w ≤ v trên (cid:101)Ω} ∈ E 0 (cid:101)v)m ∧ βn−m = 0 trên {(cid:101)v < v}.

m((cid:101)Ω).

m((cid:101)Ω) ∩ C((cid:101)Ω) sao cho ϕ ≤ inf (cid:101)Ω Hơn nữa, dựa vào Mệnh đề 3.2 trong [16] ta có (cid:101)v ∈ C((cid:101)Ω). Ta sẽ chứng minh (cid:101)v là m-cực đại trong {(cid:101)v < v}. Thật vậy, lấy w ∈ SHm({(cid:101)v < v}) sao cho w ≤ (cid:101)v bên ngoài tập con compact K của {(cid:101)v < v}. Khi đó, đặt

Thật vậy, lấy ϕ ∈ E 0 v trên suppv. Bởi vì ϕ ≤ (cid:101)v nên (cid:101)v ∈ E 0

  max(w, (cid:101)v) trên {(cid:101)v < v} w1 =

 (cid:101)v trên (cid:101)Ω\({(cid:101)v < v}).

((cid:101)v − v) > 0. Vì vậy ta chọn được δ ∈ (0, 1) sao cho

(cid:101)Ω (cid:101)v < ε. Ta lại có (1 − δ)(cid:101)v ≤ (cid:101)v + ε ≤ v trên K vì (cid:101)v − v ≤ −ε trên K.

Bởi vì (cid:101)v và v liên tục nên ε = − sup −δ inf

Ta sẽ chứng minh (1 − δ)(cid:101)v + δw1 ≤ v trên (cid:101)Ω. Thật vậy, trên K ta có δω1 ≤ 0 nên (1 − δ)(cid:101)v + δw1 ≤ v vì (1 − δ)(cid:101)v ≤ v trên K. Trên {(cid:101)v < v}\K do ω ≤ (cid:101)v ngoài K nên (1 − δ)(cid:101)v + δw1 = (1 − δ)(cid:101)v + δ(cid:101)v = (cid:101)v ≤ v trên {(cid:101)v < v}. Còn trên (cid:101)Ω\{(cid:101)v < v} thì (1 − δ)(cid:101)v + δw1 = (1 − δ)(cid:101)v + δ(cid:101)v = (cid:101)v ≤ v theo định nghĩa của (cid:101)v. Như vậy ta được (1 − δ)(cid:101)v + δw1 ≤ (cid:101)v hay ω1 = (cid:101)v trên (cid:101)Ω. Từ đó suy ra max{ω, (cid:101)v} = (cid:101)v trên {(cid:101)v < v} và ω ≤ (cid:101)v trên {(cid:101)v < v}, hay (cid:101)v là m-cực đại trong {(cid:101)v < v}. Khi đó áp dụng Định (cid:101)v)m ∧ βn−m = 0 trên {(cid:101)v < v}. lý 3.6 trong [16] ta được (ddc

m(Ω) ∩ C(Ω) thì tồn tại (cid:101)u ∈ E 0

Bước 2. Tiếp theo ta chứng minh rằng nếu u ∈ E 0

m((cid:101)Ω), (cid:101)u)m ∧ βn−m ≤ (ddcu)m ∧ βn−m

(ddc (cid:101)u)m ∧ βn−m = 0 trên ((cid:101)Ω\Ω) ∪ ({(cid:101)u < u} ∩ Ω) và (ddc

trên {(cid:101)u = u} ∩ Ω. Thật vậy, ta đặt

trên Ω   u v =

m((cid:101)Ω) ∩ C((cid:101)Ω) và (ddc

m(Ω) ∩ C(Ω), đồng thời suppv ⊂ Ω (cid:98) (cid:101)Ω. Do đó từ Bước 1, Dễ thấy rằng v ∈ C((cid:101)Ω) vì u ∈ E 0 ta có (cid:101)u = (cid:101)v ∈ E 0 (cid:101)u)m ∧ βn−m = 0 trên {(cid:101)v < v} = ((cid:101)Ω\Ω) ∪ ({(cid:101)u < u} ∩ Ω). Để chứng minh Hm((cid:101)u) ≤ Hm(u) trên {(cid:101)u = u} ∩ Ω, ta lấy K là tập compact tùy ý trong (cid:101)u)m ∧ βn−m(K) ≤ (ddcu)m ∧ βn−m(K). Thật vậy, với {(cid:101)u = u} ∩ Ω, cần chứng minh (ddc

 0 trên (cid:101)Ω\Ω.

ε > 0 ta có K (cid:98) {(cid:101)u + ε > u} ∩ Ω vì vậy ta có

K (cid:90)

(cid:90) (cid:90) (ddc 1{(cid:101)u+ε>u}(ddc (cid:101)u)m ∧ βn−m = (cid:101)u)m ∧ βn−m

K (cid:90)

= 1{(cid:101)u+ε>u}(ddc max((cid:101)u + ε, u))m ∧ βn−m

≤ (ddc max((cid:101)u + ε, u))m ∧ βn−m,

ở đó bất đẳng thức ở dòng thứ hai thu được bằng cách áp dụng Định lý 3.23 trong [23]. Tuy

nhiên max((cid:101)u+ε, u) (cid:38) u trên Ω khi ε → 0 vì vậy theo [72] ta có (ddc max((cid:101)u+ε, u))m ∧βn−m hội tụ yếu tới (ddcu)m ∧ βn−m khi ε → 0.

Mặt khác, 1K nửa liên tục trên trên Ω nên ta có thể xấp xỉ 1K bởi dãy giảm các hàm liên

tục ϕj. Từ đó ta được

(cid:90)

Ω

1K(ddc max((cid:101)u + ε, u))m ∧ βn−m lim sup ε→0

Ω

(cid:90) (cid:104) ϕj(ddc max((cid:101)u + ε, u))m ∧ βn−m(cid:105) lim j = lim sup ε→0

Ω

(cid:16)(cid:90) ϕj(ddc max((cid:101)u + ε, u))m ∧ βn−m(cid:17) ≤ lim sup ε→0

Ω

(cid:90) (cid:90) ≤ (ddcu)m ∧ βn−m, ϕj(ddcu)m ∧ βn−m (cid:38)

khi j → +∞. Vậy (ddc (cid:101)u)m ∧ βn−m ≤ (ddcu)m ∧ βn−m trên {(cid:101)u = u} ∩ Ω.

Bước 3. Cuối cùng, ta sẽ chứng minh tính tồn tại dưới thác triển của u trên lớp Fm((cid:101)Ω).

m(Ω) ∩ C(Ω) sao cho uj (cid:38) u và

Thật vậy, lấy uj ∈ E 0

Ω

(cid:90) (ddcuj)m ∧ βn−m < +∞. sup j

Theo Bước 2, ta có Hm((cid:101)uj) = 0 trên ((cid:101)Ω\Ω) ∪ [((cid:101)uj < uj) ∩ Ω] nên

(cid:101)Ω

{(cid:101)uj =uj }∩Ω (cid:90)

(cid:90) (cid:90) (ddc (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m = (cid:101)uj)m ∧ βn−m

{(cid:101)uj =uj }∩Ω (cid:90)

≤ (ddcuj)m ∧ βn−m

Ω

≤ (ddcuj)m ∧ βn−m.

Do đó

Ω

(cid:101)Ω

m ∩ C((cid:101)Ω), {(cid:101)uj} (cid:38) lim

j (cid:101)uj nên nếu đặt (cid:101)u := lim

(cid:90) (cid:90) (ddc (ddcuj)m ∧ βn−m < +∞. (cid:101)uj)m ∧ βn−m ≤ sup sup j

Vì (cid:101)uj ∈ E 0 j→∞ (cid:101)uj thì (cid:101)u ∈ Fm((cid:101)Ω). Đồng thời do uj (cid:38) u mà (cid:101)uj ≤ uj nên lim (cid:101)uj ≤ lim uj = u tức là (cid:101)u ≤ u trên Ω. Đó là điều phải chứng minh.

Từ các kết quả cần thiết trên đây, chúng tôi thu được định lý sau cho thấy lớp Em(Ω) có tính chất địa phương. Trước hết, ta viết A (cid:46) B nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho

A ≤ CB.

Định lý 2.3.5. Giả sử Ω làm miền siêu lồi bị chặn trong Cn, m là số nguyên dương sao

m(Ω). Khi đó các khẳng định sau tương đương:

cho 1 ≤ m ≤ n và u ∈ SH−

a) u ∈ Em(Ω).

m(Ω) ∩ C(Ω), uj (cid:38) u trên K sao cho

b) Với mọi K (cid:98) Ω, tồn tại dãy {uj} ⊂ E 0

(cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p < ∞, sup j

với p = 0, 1, . . . , m.

c) Với mọi W (cid:98) Ω sao cho W là miền siêu lồi, ta có u|W ∈ Em(W ).

d) Với mọi z ∈ Ω tồn tại một miền siêu lồi Vz (cid:98) Ω sao cho z ∈ Vz và u|Vz ∈ Em(Vz).

Chứng minh. a)=⇒b) Lấy tùy ý K (cid:98) Ω. Do u ∈ Em(Ω) nên từ tính chất địa phương của

lớp Em(Ω) trong lớp Fm(Ω), ta có thể tìm được v ∈ Fm(Ω) với v = u trên K. Từ định

m(Ω) ∩ C(Ω), uj (cid:38) v trên Ω với

nghĩa của lớp Fm(Ω) tồn tại dãy {uj} ⊂ E 0

Ω

(cid:90) (2.4) (ddcuj)m ∧ βn−m < ∞. sup j

Khi đó uj (cid:38) u trên K, ta phải chứng minh

(cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p < ∞, sup j

với p = 0, 1, . . . , m. Thật vậy, hiển nhiên khẳng định đúng với p = 0. Với 1 ≤ p ≤ m thì

theo Bổ đề 2.3.3 ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p ≤ C (ddcuj)m ∧ βn−m.

Từ đây, bởi (2.4) ta thu được

Ω

(cid:90) (cid:90) (ddcuj)m ∧ βn−m < ∞, sup j |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p ≤ C sup j

đó là điều phải chứng minh.

b)=⇒c) Lấy W (cid:98) Ω là miền siêu lồi tùy ý. Khi đó ta chọn D (cid:98) W (cid:98) Ω và theo giả

m(Ω) (cid:51) uj (cid:38) u trên W sao cho

thiết b), tồn tại dãy E 0

m(W ) : ϕ ≤ uj trên D} ∈ E 0

(cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p < ∞, sup j

với p = 0, 1, . . . , m. Đặt (cid:101)uj = sup{ϕ ∈ SH− m(W ). Bây giờ ta chọn các miền Ωj sao cho D (cid:98) Ω1 (cid:98) . . . (cid:98) Ωm (cid:98) W . Bởi vì uj ≤ (cid:101)uj trên W và (cid:101)uj)m ∧ βn−m = 0 trên W \D nên ta áp dụng Bổ đề 2.3.2 nhiều lần ta thu được (ddc (cid:90) (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m

D (cid:104)(cid:90)

(cid:90) = (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m

(cid:46) (ddcuj + |uj|β) ∧ (ddc (cid:101)uj)m−1 ∧ βn−m(cid:105)

Ω1 (cid:104)(cid:90)

Ω1

(cid:90) (cid:46) ddc |uj|ddc (cid:101)uj ∧ (ddc (cid:101)uj)m−2 ∧ ddcuj ∧ βn−m + (cid:101)uj ∧ (ddc (cid:101)uj)m−2 ∧ βn−m+1(cid:105)

Ω2 (cid:90)

(cid:90) (cid:46) (ddcuj + |uj|β) ∧ (ddc (cid:101)uj)m−2 ∧ ddcuj ∧ βn−m

Ω2 (cid:90)

+ |uj|(ddcuj + |uj|β) ∧ (ddc (cid:101)uj)m−2 ∧ βn−m+1

Ω2

(cid:104) (cid:46) ∧(ddc |uj|2β2 + |uj|β ∧ ddcuj + (ddcuj)2(cid:105) (cid:101)uj)m−2 ∧ βn−m

(cid:46) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ωm

(cid:90) (cid:46) [|uj|mβm + |uj|m−1ddcuj ∧ βm−1 + · · · + (ddcuj)m] ∧ βn−m.

Do đó

(cid:90) (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m sup j

Ωm (cid:90)

(cid:90) [|uj|mβm + |uj|m−1ddcuj ∧ βm−1 + · · · + (ddcuj)m] ∧ βn−m (cid:46) sup j

[|uj|mβm + |uj|m−1ddcuj ∧ βm−1 + · · · + (ddcuj)m] ∧ βn−m (cid:46) sup j

< ∞.

Vậy, nếu ta đặt uD,W := lim (cid:101)uj thì uD,W ∈ Fm(W ). Nhưng do D (cid:98) W là tùy ý và rõ ràng uD,W = u trên D nên u ∈ Em(W ).

c)=⇒d) Rõ ràng bởi theo c), với mọi lân cận siêu lồi Vz ta đều có khẳng định trong d).

d)=⇒a) Giả sử Ω(cid:48) (cid:98) Ω. Khi đó theo định nghĩa, ta có thể chọn zj ∈ Ω, j = 1, 2, . . . , s

j=1 Vzj , ở đó Vzj là miền siêu lồi. Lấy Wzj

j=1 Wzj .

sao cho Ω(cid:48) (cid:98) (cid:83)s (cid:98) Vzj sao cho Ω(cid:48) (cid:98) (cid:83)s

∈ Em(Vzj ) nên tồn tại vj ∈ Fm(Vzj ) sao cho vj = u trên Wzj . Khi đó theo Bổ

Bởi vì u|Vzj đề 2.3.4 tồn tại hàm (cid:101)vj ∈ Fm(Ω) sao cho (cid:101)vj ≤ vj trên Vzj . Từ tính lồi của lớp Fm(Ω) trong [42] (xem Phụ lục A, Mệnh đề 3.2.13) ta suy ra rằng (cid:101)v := (cid:101)v1 + · · · + (cid:101)vs ∈ Fm(Ω) và do đó tiếp tục theo Mệnh đề 3.2.13 ta có max((cid:101)v, u) ∈ Fm(Ω). Tuy nhiên, max((cid:101)v, u) = u trên Ω(cid:48) nên u ∈ Em(Ω). Phép chứng minh được hoàn thành.

Nhận xét 2.3.6. Định lý 2.3.5 trên đây tổng quát hơn kết quả của Z. B(cid:32)locki năm 2006

trong công trình [17], ở đó Z. B(cid:32)locki đã chứng minh lớp E(Ω) (ứng với m = n trong Định

lý 2.3.5) là lớp có tính chất địa phương.

Từ kết quả về tính chất địa phương của lớp Em(Ω) đã chứng minh trên, chúng tôi cho

một kết quả đáng chú ý, cần dùng tới sau này như sau.

Hệ quả 2.3.7. Giả sử Ω là miền siêu lồi. Khi đó

Em(Ω) ⊂ Em−1(Ω).

Chứng minh. Giả sử u ∈ Em(Ω) và K (cid:98) Ω. Ta có thể chọn miền Ω(cid:48) với K (cid:98) Ω(cid:48) (cid:98) Ω. Áp

m(Ω) ∩ C(Ω) sao cho uj (cid:38) u trên Ω(cid:48) và

dụng Định lý 2.3.5, tồn tại dãy {uj} ⊂ E 0

Ω(cid:48)

(cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p < +∞ sup j

với p = 0, . . . , m. Lấy h ∈ E 0

m−1(Ω), khi đó với mỗi j > 0 ta lấy mj > 0 sao cho uj ≥ mjh m−1(Ω) và vj = uj trên Ω(cid:48). Chú ý rằng vj (cid:38) u trên Ω(cid:48) và (ddcvj)p ∧ βq = (ddcuj)p ∧ βq trên Ω(cid:48) với 1 ≤ p ≤ m − 1 và 1 ≤ q ≤ n − m + 1. Ta có thể

trên Ω(cid:48). Đặt vj = max(uj, mjh) ∈ E 0

giả thiết rằng u|Ω(cid:48) ≤ −1. Khi đó theo Bổ đề Hartogs (xem Định lý 3.2.13 trong [45]) ta

kết luận rằng vj|Ω(cid:48) ≤ −1 với j ≥ j0 đủ lớn nào đó. Do vậy, không làm mất tính tổng quát

ta có thể giả sử rằng vj|Ω(cid:48) ≤ −1 với j ≥ 1. Do đó |vj|k ≥ |vj|k−1 trên Ω(cid:48) với mọi j ≥ 1 và

với mọi k = 1, . . . , m.

Bây giờ ta có

Ω(cid:48)

(cid:90) [|uj|mβm + |uj|m−1ddcuj ∧ βm−1 + · · · + |uj|(ddcuj)m−1 ∧ β + (ddcuj)m] ∧ βn−m

Ω(cid:48) (cid:90)

(cid:90) ≥ [|uj|mβm + |uj|m−1ddcuj ∧ βm−1 + · · · + |uj|(ddcuj)m−1 ∧ β] ∧ βn−m

Ω(cid:48)

= [|vj|mβm + |vj|m−1ddcvj ∧ βm−1 + · · · + |vj|(ddcvj)m−1 ∧ β] ∧ βn−m

Ω(cid:48) (cid:90)

(cid:90) = [|vj|mβm−1 + |vj|m−1ddcvj ∧ βm−2 + · · · + |vj|(ddcvj)m−1] ∧ βn−m+1

Ω(cid:48) (cid:90)

≥ [|vj|m−1βm−1 + |vj|m−2ddcvj ∧ βm−2 + · · · + (ddcvj)m−1] ∧ βn−m+1

≥ |vj|p(ddcvj)m−p−1 ∧ βn−m+p+1,

với p = 0, . . . , m − 1.

Do đó (cid:90) |vj|p(ddcvj)m−p−1 ∧ βn−m+p+1 < +∞, sup j

với mọi p = 0, . . . , m − 1. Từ đây, áp dụng Định lý 2.3.5 ta thu được u ∈ Em−1(Ω). Định

lý được chứng minh.

2.4 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω)

Trong mục trước, chúng tôi đã chứng minh tính chất địa phương của lớp Em(Ω). Có

thể nói đó cũng là một số đặc trưng "địa phương" của lớp này. Đây là tính chất rất cần

thiết cho việc chứng minh tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc cho hàm đa điều hòa

dưới trong lớp nói trên, kết quả được chúng tôi chứng minh trong mục cuối của Chương.

Trong mục này, chúng tôi sẽ chứng minh một số đặc trưng "giải tích" của lớp Em(Ω). Sau

đó, cũng trong lớp này, chúng tôi cho một mô tả hình học của nó.

Trước hết, chúng tôi chứng minh một số đặc trưng giải tích của lớp Em(Ω). Như trước

đó đã đề cập, lớp Em(Ω) được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi L. H. Chinh trong [23]

mới chỉ dừng lại ở mức xây dựng tính tồn tại, việc cần thiết đưa ra các đặc trưng quan

trọng cho lớp này giúp chúng ta hình dung rõ ràng và cụ thể hơn, cũng là vấn đề chúng

tôi đặt ra và nghiên cứu. Cùng với đặc trưng về tính chất địa phương trong Định lý 2.3.5

của lớp Em(Ω), bây giờ chúng tôi phát biểu và chứng minh một đặc trưng giải tích cho lớp

hàm Em(Ω).

m(Ω), 1 ≤ m ≤ n.

Định lý 2.4.1. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ SH−

Khi đó các khẳng định sau tương đương:

a) u ∈ Em(Ω).

b) Tồn tại một độ đo Radon dương µ trên Ω sao cho nếu ω (cid:98) Ω là một miền siêu lồi

m(ω) ∩ L∞(ω), uj (cid:38) u trên ω, thì dãy độ đo m-Hessian Hm(uj) =

và dãy {uj} ⊂ SH−

(ddcuj)m ∧ βn−m hội tụ yếu tới µ trên ω.

m(ω) ∩ L∞(ω), uj (cid:38) u trên ω,

c) Với mọi miền siêu lồi ω (cid:98) Ω và với mọi dãy {uj} ⊂ SH−

dãy độ đo m-Hessian Hm(uj) = (ddcuj)m ∧ βn−m bị chặn yếu địa phương trong ω.

Chứng minh. a)=⇒b) Giả sử u ∈ Em(Ω), ta cần chứng minh tồn tại độ đo µ thỏa mãn

khẳng định trong b). Thật vậy, ta đặt µ = Hm(u) = (ddcu)m ∧ βn−m thì trước hết µ là một độ đo Radon dương trên Ω. Mặt khác, do ω (cid:98) Ω là miền siêu lồi nên theo Định

lý 2.3.5, từ tính chất địa phương của lớp Em(Ω), ta có u ∈ Em(ω). Do đó, nếu {uj} ⊂

m(ω) ∩ L∞(ω), uj (cid:38) u trên ω thì theo [16] (trang 1736) Hm(uj) = (ddcuj)m ∧ βn−m là

SH−

hội tụ yếu tới Hm(u) = µ trên ω và ta có điều phải chứng minh.

m(ω) ∩ L∞(ω), uj (cid:38) u trên

b)=⇒c) Lấy K (cid:98) ω. Khi đó, theo giả thiết b), nếu {uj} ⊂ SH−

ω thì Hm(uj) = (ddcuj)m ∧ βn−m hội tụ yếu tới µ trên ω. Từ đó suy ra

(cid:90) Hm(uj) ≤ µ(K) < ∞, sup j

và ta có điều phải chứng minh.

m(Ω) ∩ C(Ω), uj (cid:38) u trên Ω. Nếu với mọi K (cid:98) Ω ta có

c)=⇒a) Lấy dãy {uj} ⊂ E 0

(cid:90) |uj|p(ddcuj)m−p ∧ βn−m+p < ∞, sup j

với p = 0, 1, . . . , m thì bởi khẳng định b) của Định lý 2.3.5, u ∈ Em(Ω) và ta có điều phải chứng minh. Nếu không, ta có thể tìm một hình cầu B (cid:98) Ω sao cho

(cid:90) (2.5) |uj|p0(ddcuj)m−p0 ∧ βn−m+p0 = ∞, sup j

với p0 nào đó, 0 ≤ p0 ≤ m. Như trong phép chứng minh của Định lý 1.1 trong [17], ta chọn

m(Ω) ∩ C(Ω), vj (cid:38) u

dãy số dương {λj} tăng tới 1 và đặt vj = λjuj. Khi đó rõ ràng vj ∈ E 0

trên Ω và (cid:90) (2.6) |vj|p0(ddcvj)m−p0 ∧ βn−m+p0 = ∞. sup j

)|vk|. Dó đó ta có Với k ≥ j + 1 ta có |vj − vk| ≥ (1 − λj λj+1

(cid:90) (cid:90) (2.7) ) |vk|p0(ddcvk)m−p0 ∧ βn−m+p0. |vj − vk|p0(ddcvk)m−p0 ∧ βn−m+p0 ≥ (1 − λj λj+1

Bây giờ, từ (2.6) và (2.7), ta có thể chọn được một dãy tăng k = k(j) ≥ j + 1 sao cho với

mọi j ta có (cid:90) (vj − vk)p0(ddcvk)m−p0 ∧ βn−m+p0 ≥ j.

Bây giờ ta chọn các hình cầu B (cid:98) B(cid:48)(cid:48) (cid:98) B(cid:48) (cid:98) Ω và đặt

m(B(cid:48)) : w ≤ vj

m(B(cid:48)) ∩ C(B(cid:48)), (cid:101)uj = vj trên ∂B(cid:48), (cid:101)uj ≤ vj trên B(cid:48), (cid:101)uj = vk trên B, (cid:101)uj (cid:38) u

trên B}. trên B(cid:48), w ≤ vk (cid:101)uj = sup{w ∈ SH−

Khi đó (cid:101)uj ∈ SH− trên B(cid:48). Khi đó, theo giả thiết b), ta được

B(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:90) (ddc (2.8) Hm((cid:101)uj) = sup (cid:101)uj)m ∧ βn−m < ∞. sup j

m(B(cid:48)) sao cho ddcφ = β trên B(cid:48). Khi đó sử dụng tích phân từng

Tiếp theo, ta chọn φ ∈ E 0

phần ta thu được dãy các bất đẳng thức sau

B (cid:90)

(cid:90) j ≤ (vj − vk)p0(ddcvk)m−p0 ∧ βn−m+p0

B (cid:90)

= (vj − (cid:101)uj)p0(ddc (cid:101)uj)m−p0 ∧ (ddcφ)p0 ∧ βn−m

B(cid:48) (cid:90)

≤ (vj − (cid:101)uj)p0(ddc (cid:101)uj)m−p0 ∧ (ddcφ) ∧ (ddcφ)p0−1 ∧ βn−m

B(cid:48)

(cid:104) φ(ddc ∧(ddcφ)p0−1 ∧ βn−m = (cid:101)uj)m−p0 ∧ (cid:105) ddc((vj − (cid:101)uj)p0)

B(cid:48) (cid:90)

(cid:90) (cid:105) ∧(ddcφ)p0−1 ∧ βn−m (cid:104) ddcvj − ddc ≤ p0 (cid:101)uj φ(vj − (cid:101)uj)p0−1(ddc (cid:101)uj)m−p0 ∧

B(cid:48)

≤ p0 −φ(vj − (cid:101)uj)p0−1(ddc (cid:101)uj)m−p0+1 ∧ (ddcφ)p0−1 ∧ βn−m

B(cid:48)

(cid:90) ≤ p0(cid:107)φ(cid:107)B(cid:48) (vj − (cid:101)uj)p0−1(ddc (cid:101)uj)m−p0+1 ∧ (ddcφ)p0−1 ∧ βn−m (2.9)

≤ · · · · · · · · · · · ·

B(cid:48)

(cid:90) (ddc ≤ p0!(cid:107)φ(cid:107)p0 B(cid:48) (cid:101)uj)m ∧ βn−m

B(cid:48)(cid:48)

B(cid:48)\B(cid:48)(cid:48)

(cid:90) (cid:104)(cid:90) = C (ddc (ddc . (cid:101)uj)m ∧ βn−m + (cid:101)uj)m ∧ βn−m(cid:105)

Tuy nhiên, ta có (ddc

vj} ∩ B(cid:48) \ B(cid:48)(cid:48), (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m ≤ (ddcvj)m ∧ βn−m trên B(cid:48) \ B(cid:48)(cid:48) bởi vì trên {(cid:101)uj < (cid:101)uj)m ∧ βn−m = 0, còn trên tập {(cid:101)uj = vj} ∩ B(cid:48) \ B(cid:48)(cid:48) thì bằng cách lặp lại

lập luận như trong Bổ đề 2.3.4, ta được (ddc

B(cid:48)(cid:48) (cid:90)

B(cid:48)\B(cid:48)(cid:48) (cid:90)

(cid:101)uj)m ∧ βn−m ≤ (ddcvj)m ∧ βn−m. Do đó (cid:90) (cid:90) (ddc (ddc (cid:101)uj)m ∧ βn−m + (cid:101)uj)m ∧ βn−m

B(cid:48)(cid:48)

B(cid:48)\B(cid:48)(cid:48)

≤ (ddc (ddcvj)m ∧ βn−m. (cid:101)uj)m ∧ βn−m +

Nhưng mặt khác, chúng ta chú ý rằng vj (cid:38) u trên Ω, nên theo giả thiết ta có

B(cid:48)

(cid:90) (2.10) (ddcvj)m ∧ βn−m < ∞. sup j

Từ đây, kết hợp (2.8) và (2.10) ta suy ra vế phải của (2.4) là hữu hạn. Tuy nhiên điều này

mâu thuẫn do bất đẳng thức trong (2.4) đúng với mọi j ≥ 1. Như vậy đẳng thức (2.5) là

không xảy ra, từ đó ta có điều phải chứng minh.

Tiếp theo, trong phần cuối của mục này, như đã nói trước đó, chúng tôi cho một mô

tả hình học của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω). Để thu được kết quả này, trước

hết chúng tôi nhắc lại về hàm Green phức và số Lelong của dòng dương đóng được nghiên

cứu bởi J-P. Demailly. Kết quả giúp chúng tôi có thể kết hợp với các kết quả được nghiên

cứu gần đây bởi U. Cegrell để thu được một mô tả hình học thú vị về tập mức trên đối

với số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω).

Định nghĩa 2.4.2. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và lấy a là một điểm trong Ω. Hàm

Green phức với cực tại a kí hiệu là ga được định nghĩa bởi

ga(z) = sup{u(z) : u ∈ PSH−(Ω), u(z) ≤ log(cid:107)z − a(cid:107) + cu, khi z gần a}.

Chúng ta biết rằng, nếu Ω là miền bị chặn và B(a, r) ⊂ Ω ⊂ B(a, R) thì theo Mệnh đề

6.1.1 trong [48] ta có

log((cid:107)z − a(cid:107)/R) ≤ ga(z) ≤ log((cid:107)z − a(cid:107)/r),

với z ∈ Ω và z (cid:55)−→ ga(z) là hàm Green phức với cực tại a. Hơn nữa, từ kết quả trên,

nếu Ω là miền siêu lồi bị chặn thì ga(z) = 0. Đồng thời, theo Định lý (0.6) của J-P. lim z→∂Ω

Demailly trong [24] thì độ đo Monge - Ampère (ddcga)n được xác định và (ddcga)n = δa ở

đó δa là độ đo Dirac tại a. Cũng theo kết quả trên ta thấy rằng ga ∈ F(Ω).

Tiếp theo sau đây là định nghĩa của số Lelong liên kết với dòng dương đóng T và số

Lelong của hàm đa điều hòa dưới được J-P. Demailly đưa ra và nghiên cứu trong [25] và

[27].

Định nghĩa 2.4.3. Giả sử Ω ⊂ Cn là tập mở và T là dòng dương đóng song chiều (p, p)

trên Ω và ϕ là hàm đa điều hòa dưới bị chặn gần biên ∂Ω của Ω. Theo Hệ quả 2.3 trong

[27], độ đo T ∧ (ddcϕ)p được xác định trên Ω. Khi đó số Lelong của T với trọng ϕ kí hiệu

là ν(T, ϕ) và được định nghĩa bởi

{ϕ=−∞}

{ϕ

(cid:90) (cid:90) ν(T, ϕ) = T ∧ (ddcϕ)p. T ∧ (ddcϕ)p = lim r→−∞

Nếu a ∈ Ω và lấy ϕ(z) = log(cid:107)z − a(cid:107) thì ta có định nghĩa số Lelong của T tại a kí hiệu là

ν(T, a). Vì vậy

{a}

{(cid:107)z−a(cid:107)

(cid:90) (cid:90) ν(T, a) = T ∧ (ddc log (cid:107)z − a(cid:107))p. T ∧ (ddc log (cid:107)z − a(cid:107))p = lim r→0

Từ Định nghĩa 2.4.2 và sử dụng Nguyên lý so sánh 5.1 cho số Lelong trong [27] ta chú ý

rằng số Lelong ν(T, a) của T tại a có thể định nghĩa bởi

{(cid:107)z−a(cid:107)

{a}

(cid:90) (cid:90) ν(T, a) = T ∧ (ddcga)p. T ∧ (ddcga)p = lim r→0

Bây giờ giả sử a ∈ Ω và ϕ ∈ PSH−(Ω). Nếu ta lấy T = ddcϕ thì ta có định nghĩa số

Lelong của ϕ tại a kí hiệu là ν(ϕ, a) và ta có

{(cid:107)z−a(cid:107)

{a}

(cid:90) (cid:90) ν(ϕ, a) = ddcϕ ∧ (ddc log (cid:107)z − a(cid:107))n−1. ddcϕ ∧ (ddc log (cid:107)z − a(cid:107))n−1 = lim r→0

Tiếp tục sử dụng Nguyên lý so sánh 5.1 đối với số Lelong trong [27], ta thu được số Lelong

của ϕ tại a có thể cho bởi công thức

{(cid:107)z−a(cid:107)

{a}

(cid:90) (cid:90) ν(ϕ, a) = ddcϕ ∧ (ddcga)n−1. ddcϕ ∧ (ddcga)n−1 = lim r→0

Bây giờ chúng ta đi đến một mô tả cho thấy tính đóng, giải tích với số chiều kiểm soát

được của tập mức trên cho số Lelong của hàm đa điều hòa dưới trong lớp Em(Ω). Trước

hết, lưu ý rằng theo kết quả của Y. Siu trong [74], thì tập mức trên đối với số Lelong

E(u, c) của hàm đa điều hòa dưới là tập giải tích trong Ω, đồng thời theo kết quả tổng

quát của J-P. Demailly trong [27], thì tập mức trên E(T, c) đối với số Lelong của dòng

dương đóng T song chiều (n − m, n − m) là tập con giải tích với số chiều ≤ n − m. Áp

dụng kết quả này, chúng tôi phát biểu và chứng minh kết quả sau cho một mô tả hình học

của lớp Em(Ω).

Định lý 2.4.4. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ Em(Ω) ∩ PSH−(Ω).

Khi đó với mọi c > 0, tập mức trên đối với số Lelong ν(u, z),

E(u, c) = {z ∈ Ω : ν(u, z) ≥ c},

là tập con đóng, giải tích trong Ω với số chiều ≤ n − m.

Chứng minh. Với mọi c > 0, theo Y. Siu trong [74] ta biết rằng E(u, c) là tập giải tích

trong Ω. Chúng ta xét T = (ddcu)m thì theo Mệnh đề 2.5.3 dưới đây thì T là dòng dương

đóng song chiều (n − m, n − m). Khi đó như trong Định nghĩa 2.4.2, số Lelong ν(T, z) của

T tại z ∈ Ω cho bởi

{z}

(cid:90) (cid:90) ν(T, z) = T ∧ (ddcgz)n−m = (ddcu)m ∧ (ddcgz)n−m,

ở đó gz kí hiệu là hàm Green phức với cực tại z. Mặt khác, từ Hệ quả 6.5 trong [27] suy

ra với mọi c > 0, tập mức trên

E(T, c) = {z ∈ Ω : ν(T, z) ≥ c}

là tập con giải tích với số chiều ≤ n − m. Do đó, Định lý được chứng minh nếu chúng ta

chỉ ra được rằng E(u, c) ⊂ E(T, cm) với c > 0. Để làm điều đó, chúng ta chỉ cần chứng

minh rằng

ν(u, z) ≤ ν(T, z)1/m,

đúng cho mọi z ∈ Ω.

Thật vậy, theo Nhận xét 3.2.15 (xem Phụ lục A), chúng ta có thể giả sử rằng u ∈ Fm(Ω).

Với ε > 0, lấy h = max(εgz, −1) ∈ E0(Ω). Trước hết ta giả sử rằng ϕ ∈ E0(Ω). Bằng lý

luận tương tự như trong phép chứng minh Bổ đề 5.4 trong [20] ta được

Ω

(cid:90) −h(ddcϕ) ∧ (ddcgz)m−1 ∧ (ddcgz)n−m

m (cid:16)(cid:90)

Ω

(2.11) (cid:16)(cid:90) ≤ −h(ddcϕ)m ∧ (ddcgz)n−m(cid:17) 1 −h(ddcgz)n(cid:17) m−1 m .

Bây giờ ta giả sử rằng u ∈ Fm(Ω), khi đó từ định nghĩa của Fm(Ω) ta chọn được dãy

Ω

E 0 m(Ω) (cid:51) ϕj (cid:38) u trên Ω. Từ đây, theo kết quả của Mệnh đề 5.1 trong [20] ta có (cid:90) (cid:90) (2.12) −h(ddcϕj)m ∧ (ddcgz)n−m = −h(ddcu)m ∧ (ddcgz)n−m, ∀m ≥ 1. lim j→∞

Ω

Mặt khác, từ (2.11), ta thay thế ϕ bởi ϕj và cho m → +∞ ta được (cid:90) −h(ddcu) ∧ (ddcgz)m−1 ∧ (ddcgz)n−m

m (cid:16)(cid:90)

Ω

(2.13) (cid:16)(cid:90) ≤ −h(ddcgz)n(cid:17) m−1 m . −h(ddcu)m ∧ (ddcgz)n−m(cid:17) 1

Ta viết lại (2.13) như sau:

{z}

Ω\{z}

(cid:90) (cid:90) −h(ddcu) ∧ (ddcgz)m−1 ∧ (ddcgz)n−m + −h(ddcu) ∧ (ddcgz)m−1 ∧ (ddcgz)n−m

{z}

Ω\{z} (cid:16)(cid:90)

m , ∀m ≥ 1.

(cid:90) (cid:16) (cid:90) ≤ −h(ddcu)m ∧ (ddcgz)n−m + −h(ddcu)m ∧ (ddcgz)n−m(cid:17) 1

Ω

× −h(ddcgz)n(cid:17) m−1

(2.14)

Tới đây, ta lưu ý rằng supp(ddcgz)n = {z} và h = −1 tại z. Nên từ (2.14), cho ε → 0, ta

được

ν(u, z) ≤ ν(T, z)1/m

và ta có điều phải chứng minh.

2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng

chính tắc trong lớp Em(Ω)

Trong mục này, dựa vào tính chất địa phương của lớp Em(Ω) trên đây (Định lý 2.3.5 và

Hệ quả 2.3.7), chúng tôi cho một đánh giá về tính bị chặn dưới của ngưỡng chính tắc của

hàm đa điều hòa dưới trong các lớp hàm Em(Ω) và L∞(Ω \ E) với E là tập con có độ đo

Hausdorff H2(n−m)+2(E) = 0. Chúng tôi chứng minh với cùng một cận dưới cho ngưỡng

chính tắc cho cả hai lớp hàm nói trên. Hơn nữa, trong trường hợp m = n, chúng tôi thu

được trường hợp đặc biệt đã được chứng minh bởi J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong [29].

Đầu tiên, chúng tôi nhắc lại kết quả nói trên về một đánh giá cho tính bị chặn dưới của

ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới trong lớp (cid:101)E(Ω).

Trước hết, chúng ta biết rằng với Định nghĩa 1.1.1 về ngưỡng chính tắc, một trong

những đánh giá quan trọng đối với con số này được cho trong Định lý 1.2.11 của H. Skoda

trong [76]

. ≤ cϕ(x) ≤ 1 ν(ϕ, x) n ν(ϕ, x)

ở đó ν(ϕ, x) là số Lelong của ϕ tại x.

Cho đến nay, đây là một trong những đánh giá tổng quát nhất về tính bị chặn cho

ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Việc nghiên cứu và cho một đánh giá tối ưu

hơn được nhiều tác giả quan tâm, một trong những kết quả rất tốt trong thời gian gần

đây của J-P. Demailly và P. H. Hiệp trong công trình “A sharp lower bound for the log

canonical threshold” xuất bản tại tạp chí Acta Mathematica (trong [29]). Các tác giả trên

đã chứng minh được rằng:

n (cid:88)

Định lý 2.5.1. Nếu ϕ ∈ (cid:101)E(Ω), 0 ∈ Ω thì

j=1

, cϕ(0) ≥ ej−1(ϕ) ej(ϕ)

ở đó ej(ϕ) := ν((ddcϕ)j, 0) là số Lelong của (ddcϕ)j tại 0 cho bởi

{0}

(cid:90) (ddcϕ)j ∧ (ddc log (cid:107)z(cid:107))n−j, ϕ ∈ E(Ω), ∀j = 1, . . . , n. ej(ϕ) =

Chứng minh. Xem [29].

Điều chú ý là đánh giá trên đây đúng trên lớp hàm đa điều hòa dưới trong (cid:101)E(Ω) và

trong trường hợp chúng tôi đang xét chính là lớp E(Ω). Đồng thời có thể thấy, đánh giá

trên về tính bị chặn dưới của cϕ(x) là chặt và tốt nhất trên lớp hàm đã cho. Một câu hỏi

được đặt ra một cách tự nhiên là: Đánh giá trên đây của J-P. Demailly và P. H. Hiệp có

còn đúng không trên các lớp hàm m-điều hòa dưới - lớp hàm mở rộng của lớp hàm đa

điều hòa dưới?

Trong phần cuối của mục này, như một áp dụng các kết quả về tính chất địa phương

đã chứng minh trên (Định lý 2.3.5 và Hệ quả 2.3.7), chúng tôi cho một đánh giá tổng quát

hơn đánh giá của các tác giả trên về tính chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới trong lớp Em(Ω)- lớp hàm tổng quát hơn đối với lớp E(Ω).

Trước hết, chúng tôi cho một đánh giá sau.

Bổ đề 2.5.2. Giả sử u ∈ Em(Ω). Khi đó với mọi 1 ≤ p ≤ m − 1 và với mọi K (cid:98) Ω ta có

(cid:90) u(ddcu)p ∧ βn−p > −∞.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh Bổ đề cho trường hợp p = m − 1. Chúng ta có thể

coi K = B(0, r0) (cid:98) Ω. Thật vậy, lấy r0 < r1 < r2 sao cho B(0, r2) (cid:98) Ω, khi đó theo Định lý 2.3.5 ta có u ∈ Em(B(0, r2)). Bởi tính địa phương của Em(B(0, r2)) trong Fm(B(0, r2)) nên ta có thể chọn v ∈ Fm(B(0, r2)) sao cho u = v trong B(0, r1). Khi đó ta có

B(0,r0)

B(0,r2) (cid:90)

(cid:90) (cid:90) v(ddcv)m−1 ∧ βn−m+1 u(ddcu)m−1 ∧ βn−m+1 ≥

2)(ddcv)m ∧ βn−m

B(0,r2)

= ((cid:107)z(cid:107)2 − r2

B(0,r2)

(cid:90) (ddcv)m ∧ βn−m > −∞ ≥ −r2 2

bởi vì v ∈ Fm(B(0, r2)) thì độ đo m-Hessian tương ứng của v trên B(0, r2) hữu hạn.

Cuối cùng, từ Hệ quả 2.3.7 ta có Ep+1(Ω) ⊂ Ep(Ω) với 1 ≤ p ≤ m − 1. Áp dụng kết quả

này cùng với lập luận như trên, ta có khẳng định của Bổ đề đúng cho p = m − 2. Thật

vậy, với các kí hiệu như trên, ta có

B(0,r0)

B(0,r2) (cid:90)

(cid:90) (cid:90) u(ddcu)m−2 ∧ βn−m+2 ≥ v(ddcv)m−2 ∧ βn−m+2

2)(ddcv)m−1 ∧ βn−m+1

B(0,r2)

= ((cid:107)z(cid:107)2 − r2

B(0,r2)

(cid:90) (ddcv)m−1 ∧ βn−m+1. ≥ −r2 2

Tuy nhiên ta cũng có v ∈ Em(B(0, r2)) ⊂ Em−1(B(0, r2)) và do vậy số hạng cuối cùng nói

trên là hữu hạn. Từ đó ta có khẳng định đúng với p = m − 2. Tiếp tục quá trình này, ta

thu được khẳng định của Bổ đề.

Mệnh đề tiếp theo đây cho thấy nếu u ∈ Em(Ω) ∩ PSH−(Ω) thì (ddcu)p là dòng dương

đóng trên Ω với mọi p = 1, 2, . . . , m.

Mệnh đề 2.5.3. Nếu u ∈ Em(Ω) ∩ PSH−(Ω) thì (ddcu)p là một dòng dương đóng trên Ω

với mọi p = 1, 2, . . . , m.

Chứng minh. Khẳng định đúng hiển nhiên với p = 1. Ta giả sử 2 ≤ p ≤ m, (ddcu)p−1 được

định nghĩa như một dòng dương đóng. Do u(ddcu)p−1 có trọng hữu hạn địa phương và hệ

số của (ddcu)p−1 là các độ đo phức, vì vậy u là khả tích địa phương đối với độ đo trên. Do

đó, như trong [6], chúng ta có thể định nghĩa (ddcu)p := ddc(u(ddcu)p−1).

Vậy (ddcu)p xác định như một dòng đóng. Hơn nữa, vì u ∈ PSH(Ω) nên (ddcu)p là dương

và ta có điều phải chứng minh.

Tới đây, muốn thu được đánh giá tương tự trong Định lý 2.5.1, trước hết cần phải trả

lời câu hỏi: Các số Lelong tổng quát cho lớp hàm m-điều hòa dưới còn xác định nữa hay

không. Câu trả lời của chúng tôi là khẳng định với các hàm ϕ thuộc lớp Em(Ω) ∩ PSH(Ω).

Cụ thể, sau đây chúng tôi định nghĩa tổng quát và chứng minh sự tồn tại cho số Lelong

của (ddcϕ)j tại 0 cho hàm đa điều hòa dưới ϕ ∈ Em(Ω).

Định nghĩa 2.5.4. Giả sử u ∈ PSH(Ω) ∩ Em(Ω). Khi đó ta gọi

{0}

(cid:90) ej(u) = (ddcu)j ∧ (ddc log (cid:107)z(cid:107))n−j, u ∈ Em(Ω), ∀j = 1, . . . , m.

là số Lelong của (ddcu)j tại 0.

Dựa vào các kết quả của J-P. Demailly trong [27] và các kết quả đã đạt được trên đây,

chúng tôi có mệnh đề sau khẳng định sự tồn tại và hữu hạn của các số Lelong ej(u) nói

trên. Cụ thể ta có.

Mệnh đề 2.5.5. Nếu u ∈ Em(Ω) ∩ PSH(Ω) thì ej(u) < +∞, ∀j = 1, . . . m.

Chứng minh. Trước hết ta đã biết rằng log (cid:107)z(cid:107) ∈ PSH(Ω). Từ đó, do u ∈ Em(Ω) và Mệnh

đề 2.5.3 ta suy ra (ddcu)j, j = 1, m là dòng dương đóng.

Mặt khác, do 0 ∈ Ω và Ω là một miền nên theo Mệnh đề 2.1 trong [27] ta xác định được

uT = log (cid:107)z(cid:107)(ddcu)j có trọng hữu hạn địa phương (ở đây không mất tính tổng quát ta coi

lân cận địa phương của 0 là B(0, 1)), tức là

B(0,1)

(cid:90) − log (cid:107)z(cid:107)(ddcu)j ∧ βn−j < +∞.

Tiếp theo, dựa vào Hệ quả 2.3 trong [27] ta có thể xác định được dòng dương đóng

ddc log (cid:107)z(cid:107) ∧ (ddcu)j, j = 1, . . . , m.

Tới đây, tiếp tục áp dụng Mệnh đề 2.5.3 ta lại được log (cid:107)z(cid:107)ddc log (cid:107)z(cid:107) ∧ (ddcu)j có trọng

hữu hạn địa phương, tức là

B(0,1)

(cid:90) − log (cid:107)z(cid:107)ddc log (cid:107)z(cid:107) ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−1 < +∞.

Bây giờ, sử dụng công thức tích phân từng phần liên tiếp ta được

B(0,1)

(cid:90) +∞ > − log (cid:107)z(cid:107)ddc log (cid:107)z(cid:107) ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−1

B(0,1) (cid:90)

(cid:90) (1 − (cid:107)z(cid:107)2)(ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−2 =

B(0, 1 2 ) (cid:90)

(1 − (cid:107)z(cid:107)2)(ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−2 ≥

B(0, 1 2 )

[1 − ( )2](ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−2 ≥ 1 2

B(0, 1 2 )

(cid:90) = 3/4 (ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−2.

B(0, 1 2 )

Suy ra (cid:90) (ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ∧ βn−j−2 < +∞.

Tức là (ddc log (cid:107)z(cid:107))2(ddcu)j là dòng dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương.

Lặp lại lý luận như trên khi xét − log (cid:107)z(cid:107)(ddc log (cid:107)z(cid:107))2 ∧ (ddcu)j ta thu được (ddcu)j ∧

(ddc log (cid:107)z(cid:107))n−j, j = 1, . . . , m là dòng dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương. Từ đó

ta có

{0}

B(0,1)

(cid:90) (cid:90) +∞ > (ddcu)j ∧ (ddc log (cid:107)z(cid:107))n−j ≥ (ddcu)j ∧ (ddc log (cid:107)z(cid:107))n−j

= ej(u), ∀j = 1, . . . , m.

Vậy ej(u) < +∞, ∀j = 1, . . . , m.

Bằng cách áp dụng tính chất địa phương của lớp Em(Ω) đạt được ở trên (Định lý 2.3.5)

và kết quả về đánh giá tính chặn dưới của ngưỡng chính tắc trong lớp E(Ω) của J-P.

Demailly và P. H. Hiệp (Định lý 2.5.1), chúng tôi đạt được một kết quả chính quan trọng

sau trong công trình [2] của luận án, cho một đánh giá tổng quát hơn đánh giá của J-P.

Demailly và P. H. Hiệp.

Định lý 2.5.6. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn, u ∈ PSH(Ω) ∩ Em(Ω), 1 ≤

m (cid:88)

m ≤ n và 0 ∈ Ω. Khi đó

j=1

, cu(0) ≥ ej−1(u) ej(u)

ở đó e0(u) = 1.

Chứng minh. Với mỗi k ∈ N∗, ta đặt

uk = max{u, k log (cid:107)z(cid:107)}.

Theo Hệ quả 2.3 trong [27] thì (ddcuk)n được xác định, đồng thời từ tính đóng lấy max

của E(Ω) ta có uk ∈ E(Ω) ⊂ (cid:101)E(Ω). Từ đó theo Định lý 1.2 trong [29], áp dụng cho hàm

m (cid:88)

n−1 (cid:88)

uk ta được

j=1

≥ , cuk(0) ≥ ej−1(uk) ej(uk) ej−1(uk) ej(uk)

ở đó e0(uk) = 1.

Mặt khác, do uk ≥ u trên Ω nên theo Nguyên lý so sánh 5.1 trong [27], từ uk ≥ u trên Ω

ta có ej(u) ≥ ej(uk) với j = 1, . . . , m. Tiếp theo ta đặt

1 ≤ t2, t2

j ≤ tj−1tj+1, ∀j = 1, . . . , m − 1}.

D = {(t1, . . . , tm) ∈ [0, +∞)m : t2

Khi đó rễ thấy D là một tập lồi trong Rm. Bây giờ chúng ta xét hàm f : int D → [0, +∞)

cho bởi

+ + · · · + . f (t1, . . . , tm) = 1 t1 t1 t2 tm−1 tm

Khi đó ta có

= − + ≤ 0, ∀t ∈ D. ∂f ∂tj 1 tj+1 tj−1 t2 j

Bây giờ lấy a, b ∈ int D với aj ≥ bj, ∀j = 1, . . . , m thì khi đó

a1 − b1 am − bm (b + t(a − b)) = − df dt (b1 + t(a1 − b1))2 − · · · − (bm + t(am − bm))2 ≤ 0,

nên hàm [0, 1] (cid:51) λ → f (b + λ(a − b)) là giảm. Do vậy, từ ej(u) ≥ ej(uk), j = 1, . . . , m ta

m (cid:88)

được

j=1

. = f (e1(uk), . . . , em(uk)) ≥ f (e1(u), . . . , em(u)) = ej−1(uk) ej(uk) ej−1(u) ej(u)

m (cid:88)

Từ đó với mọi k ≥ 1 ta có

j=1

. cuk(0) ≥ ej−1(u) ej(u)

cuk(0) = cu(0). Từ đây lấy giới hạn khi k → +∞ Tuy nhiên theo Bổ đề 3.2.1, ta có lim k→∞

m (cid:88)

ta được

j=1

. cu(0) ≥ ej−1(u) ej(u)

Như vậy, để có đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc trong Định lý 2.5.6

cho hàm đa điều hòa dưới u thì việc trước tiên là kiểm tra hàm đã cho có thuộc lớp Em(Ω)

hay không? Tuy nhiên có thể thấy, trong thực hành nói chung công việc kiểm tra này là

khó khăn. Trong kết quả tiếp theo sau đây, chúng tôi cho một điều kiện đủ mà việc kiểm

tra nó nhìn chung là dễ dàng hơn. Trước hết ta kí hiệu Hα là độ đo Hausdorff với số chiều α trong Cn ∼= R2n. Sử dụng kết quả trong [36] chúng tôi chứng minh kết quả sau đây về

đánh giá (với cùng một cận dưới như trong Định lý 2.5.6) ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới bị chặn bên ngoài một tập có độ đo Hausdorff bằng không.

Định lý 2.5.7. Giả sử Ω là tập mở trong Cn, 0 ∈ Ω và E ⊂ Ω là tập con đóng trong Ω

m (cid:88)

với H2(n−m)+2(E) = 0, ở đó 1 ≤ m ≤ n. Khi đó, nếu u ∈ PSH(Ω) ∩ L∞(Ω \ E) thì

j=1

, cu(0) ≥ ej−1(u) ej(u)

với e0(u) = 1.

Chứng minh. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử u ∈ PSH−(Ω).

Từ giả thiết, H2(n−m)+2(E) = 0, áp dụng Định lý 2.4 trong [36], cho ta (ddcu)j là dòng

dương đóng, có trọng hữu hạn địa phương với mọi j = 1, . . . , m. Do đó, lặp lại phép chứng

minh của Mệnh đề 2.5.5, ta xác định được các số Lelong ej(u) của u với mọi j = 1, . . . , m.

Tới đây, tiếp tục dùng lập luận như trong Định lý 2.5.6 nói trên chúng ta có điều phải

chứng minh.

Nhận xét 2.5.8. (i) Trong Định lý 2.5.6, nếu cho m = n, chúng thôi thu được kết quả về

tính bị chặn dưới cho ngưỡng chính tắc của J-P. Demailly và P. H. Hiệp (Định lý 2.5.1).

(ii) Trong bất đẳng thức đánh giá về tính bị chặn dưới trong các Định lý 2.5.6 và 2.5.7

trên đây, do các số Lelong ej(u) là dương nên hiển nhiên chúng ta có đánh giá

= . cu(0) ≥ 1 ν(u, 0) 1 e1(u)

Đây chính là đánh giá tính chặn dưới của ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

quan trọng đã biết của H. Skoda (Định lý 1.2.11). Hơn nữa cũng từ các kết quả trên của

m−1

chúng tôi, ta có

(cid:21) 1 m + (m − 1) . cu(0) ≥ em(u)1/m ; cu(0) ≥ 1 e1(u) (cid:20) e1(u) em(u)

Như chúng ta đã biết, chẳng hạn trong [29], [32], [33], và [34], các bất đẳng thức (mạnh)

này (với trường hợp m = n) là đánh giá có nhiều ứng dụng quan trọng trong những năm

gần đây trong lý thuyết Hình học Đại số.

Chương 3

Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng

chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

3.1 Giới thiệu

Chúng tôi nhắc lại định nghĩa của ngưỡng chính tắc trong Chương 1 của hàm đa diều

hòa dưới ϕ trên tập compact K ⊂ Cn

cϕ(K) = sup{c ≥ 0 : e−2cϕ ∈ L1 trên một lân cận của K}.

Trường hợp đặc biệt khi lấy K = {0} ta được ngưỡng chính tắc cϕ(0) của ϕ tại 0.

Rõ ràng, từ định nghĩa này, việc tính ngưỡng chính tắc của các hàm đa điều hòa dưới

và ngay cả với các hàm chỉnh hình nói chung là một bài toán khó. Như đã trình bày trong

phần tổng quan của luận án, bài toán được đặt ra là: Không nhất thiết phải tính ngưỡng

chính tắc của hai hàm đã cho, chúng ta vẫn có thể đánh giá hoặc so sánh ngưỡng chính

tắc của chúng hay không? Tìm những điều kiện đủ của hai hàm đa điều hòa dưới u, v mà

từ đó có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng? Tìm những tập con E ⊂ Ω sao cho từ

u ≥ v trên E ta chúng ta có thể so sánh ngưỡng chính tắc của chúng, cụ thể cu(0) ≥ cv(0)?

Về vấn đề tìm các điều kiện đủ để có thể so sánh ngưỡng chính tắc của hai hàm đa

điều hòa dưới thì trước hết, rõ ràng từ định nghĩa, cϕ(0) không phụ thuộc vào giá trị trên

biên của lân cận của tập K. Tuy nhiên gần đây tác giả P. H. Hiệp trong [41], bằng cách

sử dụng những kết quả của lý thuyết đa thế vị, đã thu được một kết quả thú vị và bất

ngờ sau đã trả lời cho câu hỏi về một trong những tập con E mà trên đó u ≥ v cho ta kết

luận cu(0) ≥ cv(0).

Định lý 3.1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn và {Ωj}{j≥1} là dãy các miền trơn sao

∞ (cid:84) j=1

cho Ω (cid:99) Ω1 (cid:99) Ω2 (cid:99) · · · và Ωj = {0}. Khi đó nếu u, v ∈ PSH(Ω) sao cho u ≥ v trên

∂Ωj với mọi j ≥ 1 thì cu(0) ≥ cv(0).

Chứng minh. Xem [41].

Định lý 3.1.1 hay còn được gọi là nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa

điều hòa dưới. Cần lưu ý rằng, trong nguyên lý so sánh trên, giả thiết tác giả P. H. Hiệp

đã đưa ra phát biểu dưới dạng điều kiện trên biên u ≥ v trên ∂Ωj, ∀j = 1, 2, . . . Đây là

giả thiết tốt hơn và cũng bất ngờ so với giả thiết u ≥ v trên toàn Ω mà vẫn có kết luận

cu(x) ≥ cv(x) bởi chúng ta biết rằng đối với tích phân Lebesgue, việc thay đổi giá trị của

hàm trên biên của miền lấy tích phân nói chung không làm thay đổi giá trị của tích phân

đó. Tuy nhiên với các hàm đa điều hòa dưới thỏa mãn giả thiết nêu ra trong Định lý 3.1.1

đủ để cho ta kết luận cu(0) ≥ cv(0).

Tiếp theo đây, trong mục tới chúng tôi nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm đa điều

hòa dưới liên quan đến kết luận cho phép so sánh hai ngưỡng chính tắc của chúng hay còn

gọi là nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc, khác với nguyên lý so sánh của P. H.

Hiệp chúng tôi chứng minh nguyên lý này với giả thiết được cho dưới dạng độ đo Monge -

Ampère. Kết quả của chương này được công bố trong bài báo ”A result on the comparison

principle for the log canonical threshold of plurisubharmonic functions”.

3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc

của hàm đa điều hòa dưới

Trước khi đi đến kết quả chính, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [2], [20] và

[41], cần thiết cho việc chứng minh kết quả của chúng tôi. Đầu tiên là bổ đề sau đây trong

[41], cho thấy mọi hàm đa điều hòa dưới âm có thể xấp xỉ ngưỡng chính tắc của nó bởi

ngưỡng chính tắc của hàm trong lớp F bị chặn địa phương ngoài gốc 0.

Bổ đề 3.2.1. Giả sử u ∈ PSH−(Ω). Khi đó

cmax(u,j log (cid:107)z(cid:107))(0) = cu(0). lim j→∞

Chứng minh. Xem [41].

Để giải quyết bài toán đặt ra, chúng tôi dựa vào một số kết quả đặc sắc gần đây của

lý thuyết đa thế vị phức, đặc biệt là kết quả trong [2] về tính giải được của phương trình

Monge-Ampère đối với độ đo triệt tiêu trên các tập đa cực.

Từ đây về sau, chúng ta luôn giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn, điều này đồng

nghĩa với việc Ω là miền bị chặn trong Cn sao cho tồn tại một hàm đa điều hòa dưới âm

(cid:37) trên Ω thỏa mãn với mọi c < 0 tập

Ωc = {z ∈ Ω : (cid:37)(z) < c} (cid:98) Ω.

Đồng thời, trên Ω, chúng ta xét các lớp hàm E0, F và F a cần dùng tới như sau

Ω (cid:90)

(cid:90) ϕ(z) = 0, (ddcϕ)n < ∞}, E0 = {ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞(Ω) : lim z→ξ∈∂Ω

Ω

(ddcϕj)n < ∞}. F = F(Ω) = {ϕ ∈ P SH −(Ω) : ∃ E0 (cid:51) ϕj (cid:38) ϕ, sup j

Như trong [20], chúng ta kí hiệu F a(Ω) là lớp con các hàm u ∈ F(Ω) sao cho (ddcu)n triệt

tiêu trên tất cả các tập đa cực của Ω.

Chú ý 3.2.2. Một số kết quả quan trọng cần dùng sau đây được trích trong [20] và [40]:

(i) Nếu u ∈ E và 0 ∈ Ω thì

ν(u, 0) (cid:54) (ddcu)n({0}))1/n

ở đó ν(u, 0) là số Lelong của u tại 0.

(2i) Nếu µ là độ đo Borel không âm trên Ω, triệt tiêu trên tất cả các tập con đa cực của

Ω với µ(Ω) < +∞ thì tồn tại duy nhất hàm u ∈ F a(Ω) sao cho

(ddcu)n = µ.

(3i) Giả sử u ∈ F a(Ω) và v ∈ E(Ω) với (ddcv)n ≥ (ddcu)n. Khi đó u ≥ v trên Ω.

(4i) Nếu u ∈ F(Ω) thì (ddcu)n là một độ đo Radon không âm trên Ω và

Ω

(cid:90) (ddcu)n < +∞.

(5i) Nếu u, v ∈ E(Ω) sao cho (ddcu)n(u = v = −∞) = 0 thì

(ddc max{u, v})n ≥ 1{v≥u}(ddcv)n + 1{v

Bây giờ, dựa vào một số kết quả phụ trợ về việc giải phương trình Monge-Ampère

trong tài liệu [2] trên đây, chúng tôi đưa ra và chứng minh một nguyên lý so sánh đối với

ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới. Để thu được kết quả này, chúng tôi chứng

minh một số kết quả cần thiết sau đây. Trước hết, từ Định nghĩa 1.1.1 chúng ta thấy nếu

một hàm đa điều hòa dưới ϕ sao cho cϕ(0) = +∞ thì hàm e−2cϕ khả tích địa phương với

mọi c > 0. Từ đó cùng với Bất đẳng thức H¨older đối với tích phân ta nhận được bổ đề

sau trong công trình [3] của luận án.

Bổ đề 3.2.3. Giả sử Ω là miền bị chặn trong Cn, 0 ∈ Ω và u, v, ϕ ∈ PSH−(Ω) sao cho

u (cid:62) v (cid:62) u + ϕ, cϕ(0) = +∞. Khi đó

cu(0) = cv(0).

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh rằng cu(0) ≤ cu+ϕ(0).

Thật vậy, lấy c ∈ (0, cu(0)). Chọn q > 1 sao cho qc ∈ (0, cu(0)), khi đó e−2qcu khả tích địa

q + 1

p = 1.

phương tại 0 vì qc < cu(0). Tiếp theo lấy p > 1 sao cho 1

Khi đó do cϕ(0) = +∞ nên e−2pcϕ khả tích địa phương, từ đó có thể chọn chọn r > 0 sao

cho

B(0,r)

(cid:90) (cid:90) e−2cqudV < +∞ và e−2pcϕdV < +∞.

1/p

Khi đó áp dụng bất đẳng thức H¨older ta được

1/q 

B(0,r)

   (cid:90) (cid:90) (cid:90) e−2c(u+ϕ)dV ≤ e−2cqudV e−2cpϕdV        

< +∞.

Như vậy nếu có c ∈ (0, cu(0)) tức là c < cu(0) bất kì ta suy ra c ≤ cu+ϕ(0). Điều đó chứng

tỏ cu(0) ≤ cu+ϕ(0) như yêu cầu.

Mặt khác từ định nghĩa của ngưỡng chính tắc ta suy ra nếu f ≥ g thì cf (0) ≥ cg(0). Từ

đó, do u ≥ v ≥ u + ϕ và cu+ϕ(0) ≥ cu(0) chứng minh trên ta thu được

cu(0) ≥ cv(0) ≥ cu+ϕ(0) ≥ cu(0).

Do đó cu(0) = cv(0) là điều phải chứng minh.

Kế đến, bằng cách dựa vào một số kết quả về việc giải phương trình Monge-Ampère

phức đối với độ đo triệt tiêu trên tập đa cực trong [2], chúng tôi nhắc lại định nghĩa một

hàm kĩ thuật và tính chất của nó, mà từ đó có thể xây dựng hàm uK thuộc lớp E(Ω) đặc

biệt khi giá của τ là tập compact ta thu được uK thuộc lớp F(Ω) xác định như sau.

Định nghĩa 3.2.4. Giả sử u ∈ E và 0 (cid:54) τ là hàm nửa liên tục dưới bị chặn. Khi đó ta

đặt

uτ = sup{ϕ ∈ PSH(Ω) : ϕ ≤ τ 1/nu}.

Đặc biệt xét τ = 1V là hàm đặc trưng của tập V và K ⊂ Ω là tập đa cực compact, ta đặt

uK = (sup{u1V : K ⊂ V ⊂ Ω} )∗

ở đó lấy theo tất cả các tập con mở V ⊂ Ω.

Chú ý 3.2.5. (i) Trong trường hợp chúng tôi xét sau đây thì K = {0} là tập đa cực,

compact thỏa mãn điều kiện của Định nghĩa 3.2.4.

(2i) Từ các kết quả trong [2], chúng ta ta thấy

L∞(Ω)u ∈ E(Ω).

0 ≥ uτ ≥ (cid:107)τ (cid:107)1/n

Mặt khác vì u ∈ E(Ω) nên từ tính đóng lấy max trong E(Ω) ta thu được uτ ∈ E(Ω).

(3i) Nếu u ∈ E(Ω) thì supp(ddcuτ )n ⊂ supp τ và nếu supp τ là tập compact thì uτ ∈ F(Ω).

(4i) Cũng từ Bổ đề 4.3 trong [2], chúng ta có nếu u ∈ E và K là tập đa cực, compact con

của Ω thì uK ∈ E(Ω) và thỏa mãn phương trình Monge - Ampère

(ddcuK)n = χK(ddcu)n.

Tuy nhiên, thực tế hàm uK ∈ F(Ω). Thật vậy, theo (3i) thì u1V ∈ F(Ω), nhưng từ định

nghĩa của uK thì uK ≥ u1V mà u1V ∈ F(Ω) nên theo tính chất đóng lấy max trên lớp

F(Ω) suy ra uK ∈ F(Ω).

Từ đây và Bổ đề 3.2.3 cùng với Chú ý 3.2.2, chúng tôi thu được bổ đề sau trong công

trình [3] của luận án. Kết quả này giúp ích cho việc xây dựng xấp xỉ một hàm đa điều hòa

dưới âm bởi các hàm thuộc lớp F(Ω) và F a(Ω) phục vụ cho chứng minh định lý chính

của Chương.

loc(Ω\{0}).

Bổ đề 3.2.6. Giả sử Ω là miền siêu lồi bị chặn trong Cn, 0 ∈ Ω và u ∈ F(Ω)∩L∞

Khi đó tồn tại (cid:101)u ∈ F(Ω) và φ ∈ F a(Ω) sao cho

u ≤ φ, (cid:101)u + φ ≤ u ≤ (cid:101)u, (ddc (cid:101)u)n = 1{0}(ddcu)n

và thỏa mãn phương trình

(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.

Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp

{0}

(cid:90) α = (ddcu)n = 0.

Khi đó sự tồn tại của (cid:101)u thỏa mãn điều kiện đã cho là hiển nhiên, chẳng hạn lấy (cid:101)u = u. Vì

vậy chúng ta có thể giả sử rằng α > 0.

Bây giờ ta đặt

(cid:101)u = (sup{ϕ ∈ PSH−(Ω) : ϕ = u trên một lân cận D của 0})∗.

Khi đó bởi (4i) trong Chú ý 3.2.5 nêu trên ta được

(cid:101)u ∈ F(Ω), u ≤ (cid:101)u và (ddc (cid:101)u)n = 1{0}(ddcu)n.

loc(Ω\{0}) nên theo Mệnh đề 4.2.4 trong [1] ta được độ đo

Hơn nữa, từ giả thiết u ∈ L∞

µ = 1Ω\{0}(ddcu)n triệt tiêu trên tất cả các cập đa cực của Ω.

Mặt khác do u ∈ F(Ω) nên theo (4i) trong Chú ý 3.2.2 ta được

µ(Ω) ≤ (ddcu)n(Ω) < +∞.

Từ đó, tiếp tục theo (2i) trong Chú ý 3.2.2, tồn tại φ ∈ F a(Ω) sao cho

(ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.

Như vậy (ddcφ)n ≤ (ddcu)n, từ đó theo Mệnh đề 6.3.2 trong [1] khẳng định nguyên lý so

sánh đúng cho lớp hàm đa điều hòa dưới trong lớp F(Ω), suy ra rằng u ≤ φ.

Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng (cid:101)u + φ ≤ u.

Thật vậy, từ định nghĩa của (cid:101)u, ta có thể chọn εj > 0 và uj ∈ F(Ω) sao cho εj (cid:38) 0, uj (cid:37) (cid:101)u

và uj = u trên B(0, εj).

Lấy 0 < δj < εj. Đặt aj = inf B(0,εj )\B(0,δj ) u và

max(u, aj) trên B(0, εj),   . vj = u  trên Ω\B(0, εj)

Ta có vj ∈ F a(Ω) và vj = u trên Ω\B(0, δj). Bây giờ áp dụng (5i) trong Chú ý 3.2.2 với

v = vj và u = uj ∈ F, khi đó do vj ∈ F a(Ω) nên (ddcvj)n(uj = vj = −∞) = 0 và ta thu

được

(ddc max{uj, vj})n ≥ 1{vj ≥uj }(ddcvj)n + 1{vj

Mặt khác theo cách xây dựng của uj thì supp(ddcuj)n ⊂ B(0, εj), đồng thời uj ≤ vj trên

B(0, εj) nên {uj > vj} ⊂ Ω \ B(0, εj). Từ đó 1{vj

(ddcΦ)n + (ddc max{uj, vj})n ≥ (ddcΦ)n + 1{vj ≥uj }(ddcvj)n

= 1Ω\{0}(ddcu)n + 1{vj ≥uj }(ddcvj)n

Nhưng từ cách xây dựng của vj ta có vj = u trên Ω \ B(0, δj) ⊂ Ω \ {0} đồng thời do

{uj > vj} ⊂ Ω \ B(0, εj) ⊂ Ω \ {0} nên ta được

(ddc(φ + max(uj, vj)))n ≥ (ddcφ)n + (ddc max(uj, vj))n

≥ 1vj

= (ddcvj)n.

Tới đây, ta tiếp tục sử dụng nguyên lý so sánh cho các hàm đa điều hòa dưới ta thu được

φ + uj ≤ φ + max(uj, vj) ≤ vj.

Từ đó suy ra φ + uj ≤ u trên Ω\B(0, εk) với mọi j ≥ k.

Cho j → ∞ sau đó cho k → ∞ ta được

φ + (cid:101)u ≤ u trên Ω,

và ta được điều phải chứng minh.

Chú ý 3.2.7. Các kết quả chúng tôi cần dùng tiếp theo sau đây được biết tới trong các

công trình [2] và [20]:

(i) Giả sử u ∈ E, khi đó theo Định lý 5.11 trong [20], tồn tại các hàm Φu ∈ E0 và

loc((ddcΦu)n), fu ≥ 0 sao cho

fu ∈ L1

(ddcu)n = fu(ddcΦu)n + βu.

Hơn nữa, độ đo βu có giá trên một tập đa cực của Ω.

Bây giờ ta kí hiệu αu = fu(ddcΦu)n. Khi đó ta được (ddcu)n = αu + βu.

(2i) Từ Bổ đề 4.11 trong [2], nếu u, v ∈ E sao cho tồn tại một hàm ϕ ∈ E mà (ddcϕ)n triệt

tiêu trên các tập đa cực với |u − v| ≤ −ϕ thì βu = βv.

Tiếp theo, từ Chú ý 3.2.2 trên đây, ta suy ra nếu

{0}

(cid:90) (ddcu)n = 0

thì theo đánh giá trong Định lý 1.2.11 ta suy ra cu(0) = +∞. Từ đây dựa vào một số kết

quả trong [2] và Bổ đề 3.2.3, với các hàm u, v ∈ PSH−(Ω) thỏa mãn giả thiết của Định lý

3.2.8 dưới đây, chúng tôi xây dựng các hàm (cid:101)u, (cid:101)v thuộc lớp F(Ω) lần lượt xấp xỉ các hàm

u, v đã cho mà không thay đổi ngưỡng chính tắc của chúng. Từ đó bằng lý luận tương tự

như trong Bổ đề 2.1 trong [41] chúng tôi thu được kết quả chính của mục này về nguyên

lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới như sau.

Định lý 3.2.8. Giả sử Ω là một miền trong Cn, 0 ∈ Ω và u, v ∈ PSH−(Ω) sao cho

{0}

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, v, ϕ))n = (ddc max(u, ϕ))n,

loc(Ω\{0}). Khi đó

với mọi ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

cu(0) (cid:62) cv(0).

Chứng minh. Xét hai trường hợp sau.

loc(Ω\{0}).

Trường hợp 1. Giả sử Ω là một miền siêu lồi bị chặn, 0 ∈ Ω và u, v ∈ F(Ω) ∩ L∞

loc(Ω\{0}). Từ đó theo giả thiết của

Khi đó nếu ta đặt ϕ = u + v thì ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

định lý, thu được

{0}

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, v))n = (ddcu)n.

Từ đây, áp dụng Bổ đề 3.2.6, tồn tại (cid:101)u ∈ F(Ω) và φ ∈ F a(Ω) sao cho

u ≤ φ, (cid:101)u + φ ≤ u ≤ (cid:101)u, (ddc (cid:101)u)n = 1{0}(ddcu)n và (ddcφ)n = 1Ω\{0}(ddcu)n.

{0}

Tiếp theo, do (cid:82) (ddcφ)n = 0 nên bởi (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, ta có cφ(0) = +∞.

Từ đó áp dụng Bổ đề 3.2.3 ta được

(cid:101)u(0).

cu(0) = c

Bây giờ, dễ dàng kiểm tra được

| max((cid:101)u, v) − max(u, v)| ≤ −φ.

Khi đó áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây ta được

{0}

{0} (cid:90)

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, v))n (ddc max((cid:101)u, v))n =

{0} (cid:90)

= (ddcu)n

{0}

= (ddc (cid:101)u)n.

Hơn nữa, tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.2 trên đây, tồn tại (cid:101)v ∈ F(Ω) và ψ ∈ F a(Ω)

sao cho

v ≤ ψ, (cid:101)v + ψ ≤ v ≤ (cid:101)v, (ddc (cid:101)v)n = 1{0}(ddcv)n và (ddcψ)n = 1Ω\{0}(ddcv)n.

Từ đây, áp dụng lý luận như trên, ta cũng có

(cid:101)v(0).

cv(0) = c

Tiếp theo, tương tự như trên ta thấy

| max((cid:101)u, (cid:101)v) − max((cid:101)u, v)| ≤ −ψ.

Khi đó, tiếp tiếp tục áp dụng (2i) trong Chú ý 3.2.7 trên đây, ta được

(cid:90) (cid:90)

{0}

{0} (cid:90)

(ddc max((cid:101)u, (cid:101)v))n = (ddc max((cid:101)u, v))n

{0}

= (ddc (cid:101)u)n.

Từ đó kết hợp với supp(ddc (cid:101)u)n ⊂ {0} ta thu được các đánh giá

Ω

{0} (cid:90)

(cid:90) (cid:90) (ddc (ddc (cid:101)u)n = (cid:101)u)n

{0} (cid:90)

= (ddc max((cid:101)u, (cid:101)v))n

Ω (cid:90)

≤ (ddc max((cid:101)u, (cid:101)v))n

Ω

≤ (ddc (cid:101)u)n,

và (ddc (cid:101)u)n ≤ (ddc max((cid:101)u, (cid:101)v))n. Từ đó suy ra (ddc (cid:101)u)n = (ddc max((cid:101)u, (cid:101)v))n.

Từ đây, áp dụng Định lý 3.15 trong [21] ta có max((cid:101)u, (cid:101)v) = (cid:101)u. Vậy (cid:101)v ≤ (cid:101)u và do đó ta có

(cid:101)u(0) ≥ c

(cid:101)v(0) = cv(0).

cu(0) = c

Trường hợp 2. Giả sử Ω là một miền trong Cn, 0 ∈ Ω và u, v ∈ PSH−(Ω). Không mất

tính tổng quát ta có thể giả sử rằng Ω = B(0, 1).

Bây giờ, ta đặt

loc(Ω\{0}).

ϕj = j log (cid:107)z(cid:107) ∈ F(Ω) ∩ L∞

và

uj = max(u, ϕj), vj = max(v, ϕj).

loc(Ω\{0}). Đồng thời từ giả thiết của định lý, ta có

Khi đó rõ ràng ta có uj, vj ∈ F(Ω) ∩ L∞

{0}

(cid:90) (cid:90) (ddc max(uj, vj, ϕ))n = (ddc max(uj, ϕ))n,

loc(Ω\{0}).

với mọi ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

Từ đây, theo Trường hợp 1 chứng minh trên ta được cuj (0) ≥ cvj (0).

Cuối cùng, nhờ áp dụng Bổ đề 3.2.1 trên đây trong [41] ta được

cvj (0) = cv(0). cu(0) = lim j→∞ cuj (0) ≥ lim j→∞

Đó là điều phải chứng minh.

Nhận xét 3.2.9. Giả sử các điều kiện của Định lý 3.1.1 được thỏa mãn, khi đó dùng

công thức Stokes, suy ra từ giả thiết u ≥ v trên ∂Ωj thì

Ωj

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, ϕ))n ≤ (ddc max(u, v, ϕ))n

loc(Ω\{0}).

với mọi ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

Mặt khác, theo nguyên lý so sánh đối với hàm đa điều hòa dưới ta có

Ωj

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, v, ϕ))n ≤ (ddc max(u, ϕ))n

loc(Ω\{0}).

với mọi ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

Từ đó lấy giới hạn khi j → ∞ ta được

{0}

(cid:90) (cid:90) (ddc max(u, v, ϕ))n = (ddc max(u, ϕ))n,

loc(Ω\{0}).

với mọi ϕ ∈ PSH−(Ω) ∩ L∞

Điều đó có nghĩa là giả thiết của Định lý 3.2.8 đúng. Như vậy Định lý 3.2.8 của chúng tôi

về nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới mạnh hơn kết quả

(Định lý 3.1.1) của P. H. Hiệp trong [41].

Kết luận và kiến nghị

I. Kết luận

Luận án nghiên cứu ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong

Cn và đã đạt được những kết chính sau đây:

1. Chứng minh một định nghĩa tương đương đối với ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình

(Mệnh đề 1.1.6).

2. Thiết lập được mối quan hệ giữa ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình nhiều biến f và

tính chất hình học của tập không điểm {f = 0} của nó (Định lý 1.2.9).

3. Đưa ra một chứng minh mới cho Giả thuyết ACC trong trường hợp số chiều n = 2 bằng

phương pháp giải tích phức truyền thống (Định lý 1.2.13).

4. Chứng minh tính chất địa phương của lớp Em(Ω) (Định lý 2.3.5) từ đó cho một hệ quả

về tính giảm của dãy Ej(Ω), j = 1, . . . , m (Hệ quả 2.3.7).

5. Chứng minh đánh giá chặn dưới của ngưỡng chính tắc tổng quát hơn đánh giá tương

tự của J-P. Demailly và P. H. Hiệp cho hàm u ∈ PSH(Ω) ∩ Em(Ω) (Định lý 2.5.6) và hàm

u ∈ PSH(Ω) ∩ L∞(Ω \ E) với E là tập con đóng có độ đo Hausdorff H2(n−m)+2(E) = 0

(Định lý 2.5.7) với cùng một cận dưới.

6. Chứng minh một số đặc trưng giải tích cho lớp Em(Ω) (Định lý 2.4.1).

7. Chứng minh một mô tả hình học của tập mức trên đối với số Lelong E(u, c) = {z ∈

Ω : ν(u, z) ≥ c} với u ∈ Em(Ω) ∩ PSH−(Ω). Cụ thể chúng tôi chứng minh E(u, c) là tập

giải tích trong Ω với số chiều ≤ n − m (Định lý 2.4.4).

8. Đưa ra và chứng minh một nguyên lý so sánh khác (mạnh hơn) nguyên lý so sánh tương

tự của P. H. Hiệp đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới (Định lý 3.2.8).

II. Kiến nghị

Từ những kết quả thu được của luận án trong quá trình nghiên cứu, chúng tôi đề xuất

một số hướng nghiên cứu tiếp theo như sau:

1. Nghiên cứu, chứng minh và mở rộng các kết quả về ngưỡng chính tắc bằng phương

pháp của giải tích phức truyền thống. Chẳng hạn, các tính chất của tập mức (chẳng hạn

diện tích, thể tích, . . . ) của hàm chỉnh hình một biến cũng như nhiều biến; điều kiện dừng

của ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình tương ứng với độ đo Borel hoặc tính toán cụ

thể ngưỡng chính tắc đối với một số lớp hàm chỉnh hình; Chứng minh bằng công cụ giải

tích phức Giả thuyết ACC trong một số trường hợp cụ thể của số chiều không gian n > 2,

hoặc trong trường hoặc tổng quát với n bất kì từ những phương pháp và kết quả ban đầu

đạt được của luận án, . . .

2. Mở rộng các kết quả đã chứng minh của luận án; ngưỡng chính tắc của các lớp hàm

khác, chẳng hạn các lớp hàm đa điều hòa dưới có trọng, . . .

3. Tiếp tục nghiên cứu các điều kiện khác nhau cho nguyên lý so sánh đối với ngưỡng

chính tắc.

4. Các kết quả về nguyên lý so sánh trên đây có thể mở ra một vấn đề nghiên cứu tiếp

theo, đó là mối quan hệ giữa tập hợp các tập con E mà trên đó từ sự so sánh của các hàm

dẫn tới quan hệ so sánh về số Lelong, về ngưỡng chính tắc và về độ đo Monge - Ampére,

. . .

Câu trả lời còn đòi hỏi chúng tôi tiếp tục nghiên cứu. Cuối cùng, chúng tôi cũng xin trân

trọng tiếp thu và thảo luận những hướng nghiên cứu mới liên quan tới đề tài luận án.

Danh mục các công trình sử dụng

trong luận án

A. Các công trình sử dụng trong luận án

[1] L. M. Hai, P. H. Hiep and V. V. Hung (2012), ”The log canonical threshold of holo-

morphic functions”, Int. J. Math., 23, 1250115 [8 pages].

[2] L. M. Hai, N. X. Hong and V. V. Hung (2014), ”Some characterrizations of the class

Em(Ω) and applications”, to appear in Ann. Polon. Math.

[3] L. M. Hai, N. X. Hong and V. V. Hung (2014), ”A result on the comparison principle

for the log canonical threshold of plurisubharmonic functions”, Ann. Polon. Math., 112(2),

pp. 109–114.

B. Các báo cáo kết quả của luận án trong các hội nghị, hội thảo

[1] V. V. Hung (2013), Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình, Báo cáo Hội nghị khoa học

Khoa Toán – Tin, Trường ĐHSPHN.

[2] V. V. Hung (2013), Tính chất địa phương của lớp hàm m-điều hòa dưới và áp dụng,

Báo cáo tiểu ban Giải tích Toán học - Đại hội Toán học toàn quốc - Nha Trang. [3] V. V. Hung (2014), Một nguyên lý so sánh đối với ngưỡng chính tắc của hàm đa điều hòa dưới, Báo cáo Hội nghị khoa học Khoa Toán - Tin, Trường ĐHSPHN.

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, Nxb ĐHSP, Hà Nội.

[2] P. Ahag, U. Cegrell, R. Czyz and P. H. Hiep (2009), ”Monge-Ampère on pluripolar sets”, J. Math. Pures Appl., 92, pp. 613–627

[3] V. Alexeev (1993), ”Two two-dimensional terminations”, Duke Math. J., 69, pp. 527– 545.

[4] V. I. Arnold, S. M. Gusein-Zade and A. N. Varchenkol (1985), Singularities of Differ- entiable Maps, Progress in Math., Birkh¨auser.

[5] E. Bedford và B. A. Taylor (1976), ”The Dirichlet problem for a comlex Monge– Ampère equation”, Invent. Math., 37, pp. 1–44.

[6] E. Bedford and B. A.Taylor (1982), ”A new capacity for plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149(1,2), pp. 1–40.

[7] E. Bedford and B. A.Taylor (1987), ”Fine topology, ˘Silov boundary, and (ddc)n”, J. Funct. Anal, 72(2), pp. 225–251.

[8] E. Bedford and B. A.Taylor (1988), ”Plurisubharmonic functions with logarithmic sin- gularities”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 38, pp. 133–171.

[9] S. Benelkourchi (2009), ”Weighted Pluricomplex Energy”, Potential Analysis, 31(1), pp. 1–20.

[10] S. Benelkourchi, V. Guedj and A. Zeriahi (2009), ”Plurisubharmonic functions with weak singularities”, Proceedings from the Kiselmanfest, Uppsala University, Vastra Aros, pp. 57–74.

[11] A. Benito, E. Faber, E. Smith (2013), ”Measuring Singularities with Frobenius: The Basics”, arXiv:1309.4814.

[12] B. Berndtsson (2013), ”The openness conjecture for plurisubharmonic functions”, arXiv:1305.5781.

[13] P. Boyer, K. Galicki and J. Kollár (2005), ”Einstein metrics on spheres”, Ann. of Math. 162(1), pp. 557–580.

[14] Z. B(cid:32)locki (1998), The complex Monge-Ampère Operator in Pluripotential Theory, Lec- tures notes, unpublish, Webside: www:/gamma.im.uj.edu.pl/ B(cid:32)locki.

[15] Z. B(cid:32)locki (2004), ”On the definition of the Monge-Ampère operator in C2”, Math. Ann, 328, pp. 415–423.

[16] Z. B(cid:32)locki (2005), ”Weak solutions to the complex Hessian equation”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 55(5), pp. 1735–1756.

[17] Z. B(cid:32)locki (2006), ”The domain of definition of the complex Monge-Ampère operator”, Amer. J. Math., 128, pp. 519–530.

[18] Z. B(cid:32)locki (2009), ”A note on maximal plurisubharmonic functions”, Uzbek Math. J, 1, pp. 28–32.

[19] U. Cegrell (1998), ”Pluricomplex energy”, Acta Math., 180, pp. 187–217.

[20] U. Cegrell (2004), ”The general definition of the complex Monge-Ampère operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 54, pp. 159–179.

[21] U. Cegrell (2008), ”A general Dirichlet problem for the complex Monge-Ampère op- erator”, Ann. Polon. Math., 94, pp. 131–147.

[22] U. Cegrell, S. Kolodziej and A. Zeriahi (2005), ”Subextension of plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math. Z, 250 (1), pp. 7–22.

[23] L. H. Chinh, ”On Cegrell’s classes of m-subharmonic functions”, arXiv 1301.6502v1. (This paper is taken from his Ph.D Thesis defended on 30 November 2012).

[24] J.-P. Demailly (1985), ”Mesures de Monge - Ampère et mesures plurisoushar- moniques”, Math. Z., 194, pp. 519–564.

[25] J.-P. Demailly (1987), ”Nombres de Lelong généralisés, théorèmes d’intégralité et d’ analyticité”, Acta Math., 159, pp. 153–169.

[26] J.-P. Demailly (1990), ”Singular hermitian metrics on positive line bundles”, Proceed- ings of the Bayreuth conference “Complex algebraic varieties”, April 2-6, 1990, edited by K. Hulek, T. Peternell, M. Schneider, F. Schreyer, Lecture Notes in Math. no 1507, Springer-Verlag.

[27] J-P. Demailly (1993), Monge-Ampère operator, Lelong numbers and intersection the- ory, Complex Analysis and Geometry, Univ. Series in Math, edited by V. Ancona and A. Silva, Plenum Press, New-York.

[28] J-P. Demailly (2009), Estimates on Monge-Amp‘ere operators derived from a local algebra inequality, Complex Analysis and Digital geometry, Proceedings of the Kisel- manfest 2006, Acta Universitatis Upsaliensis.

[29] J.-P. Demailly and P. H. Hiep (2014), ”A sharp lower bound for the log canonical threshold”, Acta Math., 212, pp. 1–9.

[30] J-P. Demailly and J. Kollár (2001), ”Semi- continuity of complex singularity exponents and K¨ahler-Einstein metrics on Fano orbifolds”, Ann. Ec. Norm. Sup., 34, pp. 525–556.

[31] S. Dinew and S. Kolodziej (2014), ”A priori estimates for the complex Hessian equa- tions”, Analysis & PDE., 7(1), pp. 227–244.

[32] T. Fernex, L. Ein and M. Mustata (2003), ”Bounds for log canonical thresholds with applications to birational rigidity”, Math. Res. Lett., 10, pp. 219–236.

[33] T. Fernex, T, L. Ein and M. Mustata (2004), ”Multiplicities and log canonical thresh- olds”, J. Algebraic Geom., 13, pp. 603–615.

[34] T. Fernex, L. Ein and M. Mustata (2010), ”Shokurov’s ACC Conjecture for log canon- ical thresholds on smooth varieties”, Duke Math. J., 152, pp. 93–114.

[35] T. Fernex and M. Mustata (2009), ”Limits of log canonical thresholds”, arXiv.org: 0710.4978.

[36] J. Fornæss (1995), N. Sibony, ”Oka’s inequality for currents and applications”, Math. Ann., 301, pp. 399–419.

[37] L. G˚arding (1959), ”An inequality for hyperbolic polynomials”, J. Math and Mec, 8(6), 957–965.

[38] L. M. Hai, P. H. Hiep (2011), ”Some Weighted Energy Classes of Plurisubharmonic Functions”, Potential Anal, 34(1), pp. 43–56.

[39] L. M. Hai, P. H. Hiep and H. N. Quy (2013), ”Local property of the class Eχ,loc”, J. Math. Anal. Appl, 402, pp. 440–445.

[40] P. H. Hiep (2008), ”Pluripolar sets and the subextension in Cegrell’s classes”, Complex Variables and Elliptic Equations, 53(7), pp. 675–684

[41] P. H. Hiep (2013), ”A comparison principle for the log canonical threshold”, Comptes Rendus Mathematique, 351, pp. 441–443.

[42] V. V. Hung (2014), ”Local property of a class of m-subharmonic functions”, to appear in Vietnam Journal of Mathematics.

[43] V. V. Hung, H. N. Quy (2012), ”Convergence in capacity on smooth hypersurfaces of compact K¨ahler manifolds”, Ann. Polon. Math. 103, pp. 175-187.

[44] L. H¨ormander (1966), An introduction to Complex Analysis in several variables, 3rd edition, North-Holland Math. Libr., 7, Amsterdam.

[45] L. H¨ormander (1994), Notions of convexity, Prog. Math., Birkh¨auser.

[46] J. Igusa (1977), ”On the first terms of certain asymptotic expansions, Complex and algebraic geometry”, Iwanami Shoten, pp. 357–368.

[47] M. Kashiwara (1976), ”B-Functions and Holonomic Systems”, Inventiones Math., 38, pp. 33–53.

[48] M. Klimek (1991), Pluripotential Theory, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, Oxford Science Publications.

[49] J. Kollár (with 14 coauthors) (1992), Flips and Abundance for Algebraic Threefolds: A Summer Seminar at the University of Utah, Société mathématique de France, Salt Lake City.

[50] J. Kollár (1994), ”Log surfaces of general type; some conjectures, Classification of Algebraic Varieties”, Contemp. Math., 162, pp. 261–275.

[51] J. Kollár (1997), ”Singilarities of pairs, in Proceedings of Symposia in Pure Mathe- matics”, Americal Mathematical Society, 62, pp. 221–285.

[52] J. Kollár (2005), ”Einstein metrics on five-dimensional Seifert bundles”, J. Geom. Anal., 15(3), pp. 445–476.

[53] J. Kollár (2007), ”Einstein metrics on connected sums of S2 × S3”, J. Differential Geom., 75(2), pp. 259–272.

[54] J. Kollár (2008), ”Which powers of holomorphic functinos are integrable”, arxiv.org/pdf/0805.0756.

[55] J. Kollár, K. Smith, and A. Corti (2004), Rational and nearly rational varieties, Cam- bridge Studies in Advanced Mathematics (92), Cambridge University Press, Cambridge.

[56] S. Ko(cid:32)lodziej (1995), ”The range of the complex Monge-Ampère operator, II,” Indiana Univ. Math. J., 44, pp. 765–782.

[57] S. Ko(cid:32)lodziej (2005), The complex Monge-Ampère equation and pluripotential theory, Memoirs Amer. Math. Soc., 178.

[58] A. Kouchnirenko (1976), ”Polyédres de Newton et nombres de Milnor”, Invent. Math., 32(1), pp. 1–31.

[59] T. Kuwata (1999), ”On log canonical thresholds of surfaces in C3”, Tokyo J. Math., 22(1), pp. 245–251.

[60] T. Kuwata (1999), ”On log canonical thresholds of reducible plane curves”, Amer. J. Math., 121(4), pp. 701–721.

[61] B. Lichtin (1989), ”Poles of and roots of the B-function”, Ark for Math, 27, pp. 283– 304.

[62] L. Manivel (1993), ”Un théorème de prolongement L2 de sections holomorphes d’un fibrè vectoriel”, Math. Zeitschrift, 212, pp. 107–122.

[63] J. McKernan and Y. Prokhorov (2004), ”Threefold thresholds”, Manuscripta Math., 114(3), pp. 281–304.

[64] M. Mustata (2011), ”Impanga lecture notes on log canonical thresholds”, arxiv: 1107.2676v1.

[65] K. Nowak (2000), ”Some elementary proofs of Puiseux’s theorems”, Univ. Iagel. Acta. Math., 38, pp. 279–282.

[66] T. Ohsawa and K. Takeghoshi (1987), ”On the extension of L2 holomorphic functions”, Math. Z, 195, pp. 197–204.

[67] T. Ohsawa (1988), ”On the extension of L2 holomorphic functions, II, Publ. RIMS”, Kyoto Univ., 24, pp. 265–275.

[68] N. V. Phu and V. V. Hung (2013), ”On some class of ω-plurisubharmonic functions on compact K¨ahler manifolds”, Acta Math Vietnam, 38(4), pp. 617–625.

[69] D. H. Phong and J. Sturm (2000), ”Algebraic estimetes, stability of local zeta func- tions, and uniform estimates for distribution functions”, Ann. of Math, Second Series, 152, pp. 277-329.

[70] D. H. Phong and J. Sturm (2000), ”On a Conjecture of Demailly and Kollár”, Asian J. Math., 4, pp. 221–226.

[71] Y. Prokhorov (2002), ”On log canonical thresholds. II”, Comm. Algebra, 30(12), pp. 5809–5823.

[72] A. Sadullaev and B. Abullaev (2012), ”Potential theory in the class of m-subharmonic functions”, Trudy Mathematicheskogo Instituta imeni V. A. Steklova, 279, pp. 166–192.

[73] V. Shokurov (1992), ”3-fold log flips”, Isv. Russ. A. N. Ser. Math., 56, pp. 105–203.

[74] Y. Siu (1974), ”Analyticity of sets associated to Lelong numbers and the extension of closed positive currents”, Invent. Math., 27, pp. 53–156.

[75] Y. Siu (1975), ”Extension of meromorphic maps into K¨ahler manifolds”, Ann. Of Math., 102, pp. 421–462.

[76] H. Skoda (1972), ”Sous-ensembles analytiques d’ordre fini ou infini dans Cn”, Bull. Soc. Math. France, 100, pp. 353–408.

[77] H. Skoda (1977), Estimations L2 pour l’opèrateur ∂ et applications arithmètiques, Sèminaire P. Lelong (Analyse), annèe 1975/76, Lecture Notes in Math., 538, Springer- Verlag, Berlin, pp. 314–323.

[78] K. Soundararajan (1995), ”Approximating 1 from below using n Egyptian fractions, (personal communication)”, arXiv:math/0502247.

[79] A. Rashkovskii (2004), ”Singularities of plurisubharmonic functions and positive closed currents”, arxiv: math/0108159v2.

[80] N. Willis, A. Didier, K. Sonnanburg (2008), ”How to Compute a Puiseux Expansion”, arxiv: 0807.4674v1.

Phụ lục

A. Một số tính chất cơ bản của lớp Em(Ω) và Fm(Ω)

Trong mục này, dựa vào công trình [42], chúng tôi dành cho việc trình bày một số tính

chất, đánh giá cần thiết cũng như về tính lồi và đóng lấy max của một số lớp con của lớp

hàm SHm(Ω) cần dùng tới trong luận án. Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm m-dung

lượng được đưa ra trong [23].

Định nghĩa 3.2.10. Giả sử E ⊂ Ω là tập Borel. Ta gọi m-dung lượng của E đối với Ω là

số được xác định bởi

(cid:110)(cid:90) (cid:111) . Cm(E) = Cm(E, Ω) = sup (ddcu)m ∧ βn−m : u ∈ SHm(Ω), −1 ≤ u ≤ 0

Dựa vào Mệnh đề 2.10 trong [23], chúng ta có một số tính chất của m-dung lượng tương

tự như trong [5]. Cụ thể ta có

∞ (cid:83) j=1

∞ (cid:80) j=1 b) Nếu Ej (cid:37) E thì Cm(Ej) (cid:37) Cm(E).

Ej) ≤ a) Cm( Cm(Ej).

Tiếp theo chúng ta cần tới bổ đề sau đây cần cho việc chứng minh tính lồi của lớp Em(Ω).

m(Ω). Khi đó

Bổ đề 3.2.11. Giả sử ϕ ∈ E 0

(cid:0){ϕ < −t}(cid:1). (i) (ddcϕ)m ∧ βn−m(cid:0){ϕ < −t}(cid:1)≤ tmCm

(cid:0){ϕ < −2t}(cid:1)≤ (ddcϕ)m ∧ βn−m(cid:0){ϕ < −t}(cid:1). (2i) tmCm

Chứng minh. Lấy v ∈ SHm(Ω), −1 < v < 0. Với mọi t > 0 chúng ta có kết luận sau:

< v − 1} ⊂ {ϕ < −t}. {ϕ < −2t} ⊂ { ϕ t

Vì vậy

{ϕ<−2t}

{ ϕ

(cid:90) (cid:90) (ddcv)m ∧ βn−m ≤ (ddcv)m ∧ βn−m

≤ 1 tm (ddcϕ)m ∧ βn−m

{ ϕ t

{ϕ<−t}

(ddcϕ)m ∧ βn−m, ≤

ở đó bất đẳng thức thứ ba thu từ Định lý 1.4 trong [31]. Do đó, lấy supremum theo v, ta

(cid:0){ϕ < −2t}(cid:1)≤ (ddcϕ)m ∧ βn−m(cid:0){ϕ < −t}(cid:1). được tmCm

Sử dụng lý luận tương tự như trong chứng minh của Mệnh đề 3.4 trong [22] ta suy ra

{ϕ<−t}

(cid:90) (ddcϕ)m ∧ βn−m(cid:0){ϕ < −t}(cid:1)= (cid:0){ϕ < −t}(cid:1). (ddcϕ)m ∧ βn−m ≤ tmCm

Phép chứng minh được hoàn thành.

Tiếp theo chúng ta cần dùng tới bổ đề sau.

m(Ω). Khi đó:

Bổ đề 3.2.12. Giả sử 1 ≤ m ≤ n và u, v ∈ E 0

Ω

(i) Nếu u ≤ v thì (cid:90) (cid:90) (ddcu)m ∧ βn−m. (ddcv)m ∧ βn−m ≤ 2m

(2i) Với mọi 0 ≤ λ ≤ 1 ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) . (ddcu)m ∧ βn−m + (ddcv)m ∧ βn−m(cid:17) (ddc(λu + (1 − λ)v))m ∧ βn−m ≤ 2m(cid:16)(cid:90)

Chứng minh. Trước hết ta xét trường hợp χ(0) = 0. Đặt

, t < 0. χj(t) := 1 + (1 − et) j

j với mọi t < 0. (i) Bây giờ, do {v < −t} ⊂

Khi đó χj là hàm giảm ngặt, 1 < χj < 1 + 1

χj (−∞) (cid:90)

{u < −t} với mọi t > 0 nên bởi Bổ đề 3.2.11 ta có

Ω

χj (0)

+∞ (cid:90)

(cid:90) χj(v)(ddcv)m ∧ βn−m = (ddcv)m ∧ βn−m(χj(v) > t)dt

j(−t)(ddcv)m ∧ βn−m(cid:0){v < −t}(cid:1)dt χ(cid:48)

0 +∞ (cid:90)

= −

j(−t)Cm

0 +∞ (cid:90)

≤ − tmχ(cid:48) (cid:0){v < −t}(cid:1)dt

j(−t)Cm

+∞ (cid:90)

≤ − tmχ(cid:48) (cid:0){u < −t}(cid:1)dt

j(−t)(ddcu)m ∧ βn−m(cid:0){u < −t/2}(cid:1)dt χ(cid:48)

≤ −2m

Ω

(cid:90) = χj(2u)(ddc(2u))m ∧ βn−m

Ω

(cid:90) ≤ 2m χj(u)(ddcu)m ∧ βn−m

Ω

(cid:19) (cid:18) (ddcu)m ∧ βn−m(cid:17) . ≤ 2m(cid:16)(cid:90) 1 + 1 j

Cho j → ∞ ta được

Ω

(cid:90) (cid:90) (ddcu)m ∧ βn−m. (ddcv)m ∧ βn−m ≤ 2m

Trường hợp tổng quát ta đặt Φj(t) = min(χ(t); −jt). Khi đó Φj là hàm giảm thỏa mãn

Φj(0) = 0 và Φj (cid:37) χ trên (−∞, 0). Theo trường hợp vừa chứng minh trên ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) Φj(v)(ddcv)m ∧ βn−m ≤ 2m max(a, 2) Φj(u)(ddcu)m ∧ βn−m.

Cho j → ∞, ta được

Ω

(cid:90) (cid:90) χ(u)(ddcu)m ∧ βn−m. χ(v)(ddcv)m ∧ βn−m ≤ 2m max(a, 2)

(2i) Tương tự như trong (i), ta có thể coi χ(0) = 0. Khi đó do {λu + (1 − λ)v < −t} ⊂

{u < −t} ∪ {v < −t} nên ta có

Ω

(cid:90) (ddc(λu + (1 − λ)v))m ∧ βn−m

Ω

+∞ (cid:90)

(cid:90) ≤ χj(λu + (1 − λ)v)(ddc(λu + (1 − λ)v))m ∧ βn−m

j(−t)Cm

0 

≤ − tmχ(cid:48) (cid:0){u < −t}(cid:1)dt − tmχ(cid:48) (cid:0){v < −t}(cid:1)dt

Ω

 (cid:90) (cid:90) ≤ 2m (1 + )(ddcu)m ∧ βn−m + )(ddcv)m ∧ βn−m (1 +   . 1 j 1 j

Cho j → ∞ suy ra

Ω

  (cid:90) (cid:90) (cid:90) (ddc(λu + (1 − λ)v))m ∧ βn−m ≤ 2m (ddcu)m ∧ βn−m + (ddcv)m ∧ βn−m  

như yêu cầu.

Mệnh đề 3.2.13. Ta có

m(Ω) với u ≤ v thì v ∈ Fm(Ω) (t.ư. Em(Ω)).

(i) Nếu u ∈ Fm(Ω) (t.ư. Em(Ω)) và v ∈ SH −

(2i) Nếu u, v ∈ Fm(Ω) (t.ư. Em(Ω)) và α, γ ≥ 0 với α + γ > 0 thì αu + γv ∈ Fm(Ω) (t.ư.

Em(Ω)).

Chứng minh. (i) Chỉ cần chứng minh khẳng định đúng cho lớp Fm(Ω). Giả sử rằng u ∈

m(Ω). Từ Định nghĩa, tồn tại dãy {uj} ⊂ E 0

m(Ω), uj (cid:38) u trên Ω

Fm(Ω) và u ≤ v, v ∈ SH −

Ω

với (cid:90) (ddcuj)m ∧ βn−m < ∞. sup j

m(Ω), vj (cid:38) v trên Ω và uj ≤ vj. Khi đó bởi Bổ đề 3.2.12 chúng

Đặt vj = max(uj, v) ∈ E 0

ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) (ddcuj)m ∧ βn−m < +∞. sup j (ddcvj)m ∧ βn−m ≤ 2m sup j

Do đó ta được v ∈ Fm(Ω).

(2i) Trước hết dễ thấy u ∈ Fm(Ω) và α > 0 thì αu ∈ Fm(Ω). Bây giờ, giả sử rằng α, γ ≥ 0,

m(Ω), uj (cid:38) u

α+γ > 0. Như chứng minh trên, ta giả sử rằng α+γ = 1. Lấy {uj}, {vj} ⊂ E 0

Ω

(cid:82) (cid:82) trên Ω, vj (cid:38) u trên Ω, sup (ddcuj)m ∧ βn−m < ∞ và sup (ddcuj)m ∧ βn−m < ∞. Bởi Bổ

đề 3.2.12 ta có

Ω

(cid:90) (ddc(αuj + γvj))m ∧ βn−m sup j

Ω

  (cid:90) (cid:90) ≤ 2m (ddcuj)m ∧ βn−m  sup j (ddcuj)m ∧ βn−m + sup j

< ∞.

Đó là kết luận như yêu cầu.

Chúng tôi nhắc lại kết quả cần dùng tới sau đây trong [23].

m(Ω) sao cho các điều kiện sau

Định lý 3.2.14. Lớp Em(Ω) là lớp lớn nhất trong SH−

đúng:

m(Ω) thì max{u, v} ∈ Em(Ω).

(i) Nếu u ∈ Em(Ω), v ∈ SH−

m(Ω) ∩ L∞

loc(Ω), uj (cid:38) u trong Ω thì Hm(uj) hội tụ yếu.

(2i) Nếu u ∈ Em(Ω), uj ∈ SH−

Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.2.13 trên đây ta có (i). Ta chứng minh (2i). Thật vậy,

m(Ω) ∩ L∞

loc(Ω), uj (cid:38) u. Cố định χ là hàm trơn giá compact

giả sử u ∈ Em(Ω), uj ∈ SH−

m(Ω). Với mỗi j, ta chọn nj sao cho uj ≥ njh trong lân cận của K. Khi đó

K (cid:98) Ω, h ∈ E 0

m(Ω) thì ϕj (cid:38) u ∈ Em(Ω) và Hm(ϕj) hội tụ yếu tới Hm(u) bởi

đặt ϕj = max{uj, njh} ∈ E 0

định nghĩa của Em(Ω). Hơn nữa ta có uj = ϕj trên K. Từ đó ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) χHm(u). χHm(uj) →

m(Ω) thỏa mãn điều kiện (i) và (2i), ta chứng minh u ∈ Em(Ω).

Ngược lại, lấy hàm u ∈ SH−

m(Ω) ∩ C(Ω) sao cho uj (cid:38) u trên Ω. Khi đó lấy B (cid:98) Ω và đặt

Thật vậy lấy uj ∈ E 0

m(Ω) : v ≤ uj trong B}

hj = sup{v ∈ SH−

m(Ω) và supp Hm(hj) ⊂ B, ∀j. Hơn nữa dãy hj giảm, hj ≥ u trên Ω và hj (cid:38) u

thì hj ∈ E 0

trên B. Khi đó theo (2i) Hm(hj) hội tụ yếu nên

Ω

(cid:90) (cid:90) Hm(hj) < +∞. Hm(hj) = sup sup j

Nhận xét 3.2.15. Từ phép chứng minh trên, nếu đặt h = lim hj thì h ∈ Fm(Ω) đồng

thời h = u trên B. Hay nói cách khác Em(Ω) là lớp địa phương của Fm(Ω), tức là nếu

u ∈ Em(Ω) thì với mọi ω (cid:98) Ω đều tồn tại h ∈ Fm(Ω) sao cho h = u trên ω.

Luận án Tiến sĩ Toán học: Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trong Cn

NGƯỠNG CHÍNH TẮC CỦA HÀM CHỈNH HÌNH

VÀ HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯỚI TRONG Cn

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

Mục lục

Mở đầu

Tổng quan

Chương 1

Ngưỡng chính tắc của hàm chỉnh

hình trong Cn

1.1 Ngưỡng chính tắc

1.2 Tập mức của hàm chỉnh hình nhiều biến và chứng minh giả

thuyết ACC trong C2

Chương 2

Một số đặc trưng của lớp Em(Ω) và áp

dụng

2.1 Giới thiệu

2.2 Hàm m-điều hòa dưới và toán tử m-Hessian phức

2.3 Tính chất địa phương của lớp Em(Ω)

2.4 Một số đặc trưng của lớp Em(Ω)

2.5 Áp dụng cho mở rộng đánh giá tính bị chặn dưới cho ngưỡng

chính tắc trong lớp Em(Ω)

Chương 3

Nguyên lý so sánh đối với ngưỡng

chính tắc của hàm đa điều hòa dưới

3.1 Giới thiệu

3.2 Chứng minh một nguyên lý so sánh cho ngưỡng chính tắc

của hàm đa điều hòa dưới

Kết luận và kiến nghị

Danh mục các công trình sử dụng

trong luận án

Tài liệu tham khảo

Phụ lục

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi