Luận án Tiến sĩ Toán học: Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH Nghieân cuùu sinh BUØI TIEÁN DUÕNG

CAÙC COÂNG TRÌNH KHOA HOÏC ÑAÕ ÑÖÔÏC COÂNG BOÁ COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN TIEÁN SYÕ TOAÙN HOÏC

Ngöôøi höôùng daãn khoa hoïc :

TP. HOÀ CHÍ MINH – 2005

TS. NGUYEÃN THAØNH LONG PGS.TS. NGUYEÃN HOÄI NGHÓA

LÔØI CAM ÑOAN



Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong

luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc.

Taùc giaû luaän aùn

Lôøi caûm ôn

   

Con xin ghi taïc coâng ôn sinh thaønh vaø döôõng duïc cuûa Cha meï ñeå con khoân lôùn neân ngöôøi. Toâi xin ghi ôn taát caû Quyù Thaày, Coâ ñaõ daïy cho toâi töø thuôû aáu thô cho ñeán ngaøy toâi ñöôïc thaønh ñaït

hoâm nay.

Kính göûi ñeán TS. Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn – Tin cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï Nhieân Thaønh phoá Hoà Chí Minh, cuøng PGS. TS. Nguyeãn Hoäi Nghóa, Ban Sau Ñaïi Hoïc cuûa Ñaïi Hoïc Quoác Gia Thaønh phoá Hoà Chí Minh, loøng bieát ôn vaø taát caû nhöõng tình caûm toát ñeïp nhaát vì söï taän tuïy daïy doã cuûa Quyù Thaày ñaõ daønh cho toâi, keå caû nhöõng nghieâm khaéc caàn thieát cuûa Quyù Thaày trong vieäc höôùng daãn cho toâi hoïc taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc, nhaèm giuùp toâi ñöôïc neân ngöôøi.

Toâi cuõng xin baøy toû loøng bieát ôn ñeán Quyù Thaày phaûn bieän ñoäc laäp luaän aùn, Quyù Thaày trong Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Boä moân, Hoäi ñoàng ñaùnh giaù luaän aùn tieán syõ caáp Nhaø nöôùc, ñaõ ñoùng goùp nhieàu yù kieán quyù baùu, giuùp cho toâi hoaøn thaønh toát ñeïp luaän aùn naøy.

Chaân thaønh caûm ôn Quyù Thaày, Coâ cuøng caùc Chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä Giaùo Duïc vaø Ñaøo Taïo, vaø ôû Phoøng Sau Ñaïi hoïc cuûa Truôøng Ñaïi hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giuùp cho toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn tieán syõ.

Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Ban Giaùm Hieäu Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh cuøng Quùy Thaày, Coâ ñoàng nghieäp thuoäc Khoa Khoa hoïc Cô Baûn ñaõ ñoäâng vieân vaø taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn taát vieäc hoïc taäp, nghieân cöùu khoa hoïc. Ñaëc bieät xin ñöôïc caûm ôn Thaïc syõ Ninh Quang Thaêng, Khoa Tröôûng Khoa Khoa Hoïc Cô Baûn cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Kieán Truùc Thaønh phoá Hoà Chí Minh, ngöôøi laõnh ñaïo, ngöôøi anh, vaø laø ñoàng nghieäp ñaõ luoân saùt caùnh beân toâi, giuùp ñôõ raát nhieàu cho toâi trong söï nghieäp giaûng daïy, quaûn lyù toå chöùc ñeå cho toâi taäp trung hoaøn thaønh ñöôïc luaän aùn tieán syõ naøy.

Buøi Tieán Duõng

Sau cuøng, toâi xin göûi taát caû nhöõng tình caûm yeâu thöông vaø loøng bieát ôn ñoái vôùi gia ñình, nôi ñaõ göûi gaém ôû toâi nieàm tin, nôi cho toâi nhöõng an laønh vaø söùc maïnh, nhôø ñoù toâi coù theå vöôït qua khoù khaên, trôû ngaïi ñeå hoïc taäp, nghieân cöùu vaø hoaøn thaønh luaän aùn tieán syõ cuûa mình.

PHAÀN MÔÛ ÑAÀU

Trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng nhö Vaät lyù, Hoùa hoïc, Cô hoïc, Kyõ thuaät, ... thöôøng xuaát

hieän caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán raát phong phuù vaø ña daïng. Ñaây chính laø nguoàn ñeà taøi khoâng bao

giôø caïn maø raát nhieàu caùc nhaø toaùn hoïc töø tröôùc ñeán nay quan taâm nghieân cöùu. Hieän nay, vôùi nhöõng

thaønh töïu cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhieàu coâng cuï saâu saéc döïa vaøo neàn taûng cuûa Giaûi tích haøm ñaõ

xaâm nhaäp vaøo töøng baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû moät möùc ñoä naøo ñoù. Tuy nhieân, nhìn moät caùch

toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù moät phöông phaùp toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát cho moïi baøi toaùn

bieân phi tuyeán. Do ñoù coøn raát nhieàu caùc baøi toaùn bieân phi tuyeán vaãn chöa giaûi hoaëc giaûi ñöôïc moät

phaàn töông öùng vôùi soá haïng phi tuyeán cuï theå naøo ñoù.

Trong luaän aùn naøy chuùng toâi seõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà

trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc

loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài (

moät daây hoaëc moät thanh ñaøn hoài) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï

va chaïm cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn

nhôùt vôùi caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt.

Coâng cuï ñeå khaûo saùt caùc baøi toaùn bieân treân ñöôïc chuùng toâi söû duïng vaø trình baøy trong luaän aùn laø

caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö: phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø

ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp

tieäm caän ...

Ngoaøi phaàn toång quan ôû chöông môû ñaàu, keát quaû chính cuûa luaän aùn seõ ñöôïc trình baøy trong

hai chöông sau:

Chöông 1: Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi

tuyeán coù chöùa toaùn töû Kirchhoff

2

2

u



tB

,(



u

u )



utxf ,,(

,



uu ,

,



u

),

x



0 ),1,0(



Tt

,

tt

xx

t

lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát

(0.1)

(0.2)

1

vaø ñieàu kieän ñaàu

t ),0(  t ),0(  ),( u t ),1(  g ,(t) u x uh 0 tg 0

(0.3)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø

laø haèng soá

0

1

0

0 h

cho tröôùc. Trong phöông trình (0.1) caùc soá haïng phi tuyeán

tB  ,(

2u

)

utxf ,,(

,



uu ,

2u

)

vaø

phuï thuoäc vaøo tích phaân

t  ,

2

N

2



tu )(



tx ),(

dx .

(0.4)

i

1

i

u      x

Phöông trình (0.1) ñöôïc toång quaùt hoùa töø phöông trình moâ taû dao ñoäng cuûa moät daây ñaøn hoài

(Kirchhoff [16]):

2

L

hu





ty ),(

, 0

 x

L

0 ,



Tt

,



(0.5)

tt

P 0

xx

 u  y

E  2 0 L

   

  udy  

ôÛ ñaây u laø ñoä voõng,  laø khoái löôïng rieâng, h laø thieát dieän, L laø chieàu daøi sôïi daây ôû traïng thaùi ban

ñaàu, E laø moâñun Young vaø

0P laø löïc caêng luùc ban ñaàu. Tuy nhieân, trong nhieàu taøi lieäu sau naøy (

xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vaãn goïi phöông trình thuoäc daïng (0.5) laø phöông trình soùng chöùa toaùn

töû Carrier hoaëc gheùp teân chung vaø goïi laø phöông trình soùng chöùa toaùn töû Kirchhoff-Carrier. Thaät ra

giöõa hai baøi baùo goác cuûa Kirchhoff (1876)[16] vaø cuûa Carrier (1945)[7] coù söï khaùc bieät, bôûi vì

chuùng toâi tìm thaáy trong [7] cuûa Carrier ñaõ coâng boá naêm 1945 thì phöông trình khoâng phaûi thuoäc

daïng (0.5), maø laïi laø

L

u

, 0



Lx

0 ,



Tt

,





(0.6)

tt

xx

P 0

2 tyuP ),( 1



0

  udy  

   

trong ñoù

laø caùc haèng soá döông.

0 , PP

1

Trong moät soá tröôøng hôïp rieâng cuûa B vaø f, baøi toaùn Cauchy hay hoãn hôïp cho phöông trình

ufB , g , g 0 ,~ ,~ , u 1

Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong

hai coâng trình gaàn ñaây (xem [31, 32]), caùc taùc giaû Medeiros, Limaco, Menezes ñaõ cho moät toång

quan caùc keát quaû veà khía caïnh toaùn hoïc coù lieân quan ñeán moâ hình Kirchhoff-Carrier.

n

IR

Trong [14], Frotta chuù yù nghieân cöùu phöông trình soùng cho mieàn n-chieàu

2



xB ,(



u

)

 u

txf ,(

),

x

 0,

Tt

,

(0.7)

utt

lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu.

Thay vì xeùt (0.7), Larkin[18] nghieân cöùu phöông trình soùng

(0.1) ñaõ ñöôïc nghieân cöùu bôûi nhieàu taùc giaû nhö Ebihara, Medeiros vaø Miranda[13]; Pohozaev[34];

2

u



tutxB ,,( )(

)

 u

utxg ,,(

)



txf ,(

),

x

 0 ,

Tt

,

(0.8)

tt

t

lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân Dirichlet thuaàn nhaát vaø ñieàu kieän ñaàu, vôùi

2

2





Trong [37], caùc taùc giaû Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghieân cöùu baøi toaùn vôùi phöông trình

soùng

2

u



B

(



u

)



u

u

uf )(



,0

x



0 ),1,0(



Tt

,

(0.9)

tt

t

lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp phi tuyeán vaø ñieàu kieän ñaàu.

Trong [38], Tucsnak nghieân cöùu baøi toaùn

2

1

u



ba 

ty ),(



0,

0

x 

t , 1



,0

(0.10)

tt

xx



u   y

0

   

  udy  

tu )(  txu ),( dx .

(0.11)

x

t

u t ),0(  u ,0 t ),1(   u t ),1(  t ,0  ,0

(0.12)

a



b ,0



,0





0

trong ñoù

laø caùc haèng soá cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.10) - (0.12)

moâ taû söï keùo giaõn sôïi daây.

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

2bu

)1.0(

)3.0(

Trong [30] Medeiros ñaõ khaûo saùt baøi toaùn

-

vôùi

.3

IR Trong [15], Hosoya vaø

ôû ñaây b laø moät haèng soá döông cho tröôùc,  laø moät taäp môû bò chaän cuûa

f



uf )(



 uu

,

Yamada ñaõ xeùt baøi toaùn vôùi

trong ñoù  > 0 ,   0 laø caùc haèng soá cho tröôùc.

Trong [8] Dmitriyeva ñaõ nghieân cöùu baøi toaùn

2

2

u



 .

u

u

u

 u



txF ,(

),

tx ),(



(0,

T

),

f  uf )(  ,

tt

t

2

2

,

(0.13)

i



i

 1

(0.14) u  ,0 v  0 treân u  2 x  i

(0.15)



,0(

  )

,0(

 ),

v 

)

(

trong ñoù,

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

1 vv ,

2

2h

vectô laø phaùp tuyeán ñôn vò treân bieân  höôùng ra ngoaøi,

vôùi ,h laø caùc haèng soá döông. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn (0.13)-(0.15) moâ taû dao

ñoäng phi tuyeán cuûa moät baûn hình vuoâng coù taûi troïng tónh.

Trong [26], N.T Long vaø caùc taùc giaû ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cuûa baøi

toaùn

,6/2

2

 1

u

2  . 

Bu

(



u

)

  u u

u



txF ,(

),

tx ),(



,0(

T

),

tt

t

t

u



,0



0

treân  , (0.17)

u   v

(0.16)

(0.18)

.nIR

trong ñoù  > ,0  > ,0 0 <  < 1 laø caùc haèng soá cho tröôùc vaø  laø moät taäp môû bò chaän cuûa

Baèng caùch toång quaùt keát quaû cuûa [8, 26], caùc taùc giaû N.T Long vaø T.M. Thuyeát [27] ñaõ xeùt

baøi toaùn

2

u

2   .

Bu

(



u

)

 u

uuf ,(

)



txF ,(

),

tx ),(



,0(

T

),

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

tt

t

u



,0



0

treân  , (0.20)

(0.19)

(0.21)

u   v (~ xu 0

Trong [9], Alain Phaïm ñaõ nghieân cöùu söï toàn taïi vaø daùng ñieäu tieäm caän khi   0 cuûa

)1.0(

)3.0(

nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn

-

vôùi B  1 lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát Dirichlet

u

t ),0(



u ),1( t



,0

(0.22)

f 

ut ,(

).

ôû ñaây soá haïng phi tuyeán coù daïng

Sau ñoù, trong [10] Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long ñaõ

f 1

)1.0(

)3.0(

xeùt baøi toaùn

-

vôùi B  1 vaø soá haïng phi tuyeán coù daïng

xu )0,(  ), )0,(  ). xu t (~ xu 1

(0.23)

tuut ,( ,

Trong [21] N.T. Long vaø T.N. Dieãm ñaõ khaûo saùt phöông trình soùng phi tuyeán

f  ) f 1

0.24)

tt

xx

x

t

x

t

lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (0.3) vaø ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát

u  u  uuutxf , ,,( , )   ,,( , , ), x  0),1,0(  Tt , uuutxf 1

(0.25)

x

x

trong ñoù

laø caùc haèng soá döông cho tröôùc.

u t ),0(  t ),0(  u t ),1(  t ),0(  0, uh 0 uh 1

1

2

3

1

3

h 0 , h

Trong tröôøng hôïp

vaø

trong [12] thu ñöôïc

1

keát quaû thu ñöôïc lieân quan ñeán khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn nhieãu ñeán caáp 2 theo moät

tham soá  ñuû nhoû. Keát quaû naøy tieáp tuïc ñöôïc môû roäng trong [24] vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù

chöùa toaùn töû Kirchhoff:

2

2

u





uB (

)



 .

u )]

tt

b [ 0

x

uB ( 1

x

(0.26)

xx uuutxf ,,(

,

,



)





,,(

,

,

),

uuutxf 1

x

x

t

t

 Cf ]1,0([  ,0[ ) IR )  C f ]1,0([  ,0[ ) IR ),

)3.0(

)22.0(

lieân keát vôùi ñieàu kieän

vaø

trong ñoù

laø haèng soá cho

tröôùc vaø

0 b

1

2 IRCB

0

laø caùc haøm cho tröôùc.



1



Trong chöông naøy, chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà:

Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi lieân keát baøi toaùn vôùi moät daõy qui naïp tuyeán tính hoäi tuï maïnh

trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp vaø chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát nghieäm cuûa

baøi toaùn baèng phöông phaùp Galerkin thoâng duïng keát hôïp vôùi phöông phaùp compact. Chuù yù raèng

phöông phaùp tuyeán tính hoùa trong chöông naøy cuõng nhö trong caùc baøi baùo [6, 10, 21, 23, 24, 33]

khoâng theå söû duïng trong caùc baøi baùo [3, 5, 9, 11, 12, 13, 19, 20, 26, 27, 29, 30, 34]

Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu

2

2

u



[

utB ,(

)



.ε

utB ,(

u )]

tt

x

1

x

xx

(0.27)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



.ε

,,(

,

,

,

u

)

uuutxf 1

x

t

x

x

t

x

ñeán caáp N+1 theo moät tham soá beù .

vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu

 ( ), IRCB  ( ), B  ,0  0 B 1

Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát

nghieäm cuûa baøi toaùn (0.1) - (0.3) töông öùng vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát

2

2

u



uB (

)

u



uuuutxf ,

,,(

,

,

),

x



0 ),1,0(



Tt

,

(0.28)

tt

x

xx

x

t

x

txu ),(ε

(0.29)

t ),0(  t ),0(  u t ),1(  ,0 u x uh 0

(0.30)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc. ÔÛ ñaây, soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi cuûa (0.28) xaùc ñònh

0

0

3

ufB , ~ ,~ , u 1

bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng

vaø theâm moät soá ñieàu kieän phuï.

Keá tieáp chuùng toâi môû roäng vieäc khaûo saùt cuõng vôùi phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn

töû Kirchhoff-Carrier nhöng laïi lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát nhö sau:

2

2

u



utB ,(

u )



uuuutxf ,

,,(

,

,

),

x



0),1,0(



Tt

,

Cf  ]1,0([   IR  ) IR  IR 

tt

x

xx

x

t

x

(0.31)

(0.32)

1

t ),0(  t ),0(  ),( u t ),1(  g ,(t) u x uh 0 tg 0

(0.33)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát sau. Baèng vieäc ñaët aån phuï thích

0

1

0

hôïp, chuùng toâi ñöa baøi toaùn (0.31) - (0.33) veà baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát thuoäc daïng

ufB , g , g ,~ ,~ , u 1

trong (0.28) - (0.30) thaønh caùc haøm

0

1

ufB ~ ,~ , u , (0.28) - (0.30) vôùi söï ñieàu chænh laïi caùc haøm

0

3

~ ~ fB ,

. Tuy nhieân ñeå giaûi baøi toaùn (0.31) - (0.33) thì giaû thieát

~ ,~ , v v 1

0

1

3

Cf  ]1,0([   IR  ) IR  IR 

dó nhieân cuõng phaûi boå sung theâm moät soá ñieàu

khoâng ñuû maø phaûi laø

1

3

~ ~ fB ,

Cf  ]1,0([   IR  ), IR  IR 

kieän phuï. Maët khaùc cho duø

thì vôùi caùc döõ kieän

cho baøi

~ ,~ , v v 1

0

toaùn (0.31) - (0.33) cuõng khoâng aùp duïng tröïc tieáp keát quaû ñaõ khaûo saùt cho baøi toaùn (0.28) - (0.30).

Ñieàu naøy cho thaáy raèng baøi toaùn (0.28) - (0.30) laø tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn (0.31) - (0.33),

nhöng veà keát quaû thì laïi laø khoâng. Chính vì vaäy, chuùng toâi vaãn phaûi trình baøy hai baøi toaùn (0.1) -

Cf  ]1,0([   IR  ), IR  IR 

Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt

phöông trình nhieãu

2

2

u



[

utB ,(

)



.ε

utB ,(

u )]

tt

x

1

x

xx

0.34)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



.ε

,,(

,

,

,

u

)

x

t

x

uuutxf 1

x

t

x

(0.3) töông öùng vôùi hai ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát vaø khoâng thuaàn nhaát.

lieân keát vôùi (0.32) vaø (0.33). Khi ñoù vôùi caùc giaû thieát thích hôïp veà

, chuùng toâi thu

0

0

1

coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû.

ñöôïc moät nghieäm yeáu

ufB , g , g ,~ ,~ , u 1

Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän ñeán caáp cao hôn cho phöông trình nhieãu

2

2

u



[

uB (

)



.ε

u )]

tt

x

uB ( 1

x

xx

(0.35) lieân keát vôùi (0.29)

2

2



uuutxf

,,(

,

,

,

u

)



.ε

uuutxf ,

,,(

,

,

u

)

x

t

x

x

t

x

vaø (0.30). Chuùng toâi thu ñöôïc moät nghieäm yeáu

coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät

txu ),(ε

txu ),(ε

.

tham soá  ñuû nhoû vaø caùc giaû thieát thích hôïp cho

0

1

Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1, d2]

Chöông 2: Chuùng toâi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi moät phöông trình tích

phaân phi tuyeán chöùa giaù trò bieân. Baøi toaùn ñaët ra laø tìm moät caëp haøm (u, P) thoûa

ufB ~ ,~ , u ,

(0.36)

tt

xx

t

u  u  uuf ,( )  ,0 x  0),1,0(  Tt ,

(0.37)

t ),0(  tP ),( u t ),1(  ,0 u x

(0.38)

xu )0,(  ), )0,(  ), xu ( 0 xu t xu ( 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù seõ ñöôïc giaû thieát sau. AÅn

1

haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán

uf , u 0 ,

t

)( tP



uHtg 

)(

,0((

t

))



( tK



,0(, us

s

))

ds

,

(0.39)



0

trong ñoù g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc.

Baøi toaùn (0.36) - (0.39) ñaõ ñöôïc nhieàu taùc giaû quan taâm nghieân cöùu theo nhieàu kieåu ñieàu kieän

bieân khaùc nhau töông öùng vôùi caùc yù nghóa cô hoïc naøo ñoù, chaúng haïn nhö :

Trong [1], N.T. An vaø N.Ñ. Trieàu vaø trong [20] N.T. Long, Alain P.N. Ñònh ñaõ xeùt baøi toaùn

(0.36), (0.38) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân

(0.40)

trong ñoù aån haøm u(x,t) vaø giaù trò bieân chöa bieát P(t) thoûa baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân

thöôøng

tP )(''

2 

tP )(



hu

t 0 ,),0(



Tt

,

(0.41)

tt

t ),0(  tP ),( u t ),1(  ,0 u x

(0.42)

P )0(  , P )0('  , P 0 P 1

laø caùc haèng soá cho tröôùc [1, 20].

ôû ñaây

Trong [1] ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa baøi toaùn (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) vôùi

 ,0 h  ,0 P 0 , P 1

vaø

0

1

u  u  P 0 0 

(0.43)

t

t

vôùi K vaø  laø caùc haèng soá döông cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.41),

uuf ,( )  Ku  u . ,

moät ñaàu ñaët treân moät neàn cöùng.

(0.42) laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính coù

vaø

Baèng vieäc giaûi baøi toaùn (0.41), (0.42) ta thu ñöôïc P(t) bieåu thò theo

ttuh ,

sau khi tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc

t

)( tP



)( tg



hu

),0( t



( tk



),0() us s

ds

,

(0.44)



0

trong ñoù



(



))0(

cos



(



))0(

sin

)( tg

 t

,  t

P 0

uh 0

P 1

hu 1

(0.45)

1 



)( tk

sin .  h t

   

Baèng caùch khöû bôùt moät aån haøm P(t) thì ñieàu kieän bieân (0.37) coù daïng

,  , (0, t) PP , 1 0

t

u

t ),0(



tg )(



hu

t ),0(



tk (



us ),0()

ds

u s,

t ),1(



.0

(0.46)

x



0

, trong [5], Bergounioux, N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ khaûo

Cuõng vôùi

t

t

saùt baøi toaùn (0.36), (0.38), (0.44) vaø

,( uuf )  Ku  . u

K

,

 K ,

(0.47) ôû ñaây

x

x

t

1 ,

 1

laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc.

Baøi toaùn naøy moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn

ñaøn nhôùt vôùi caùc raøng buoäc tuyeán tính ôû beà maët vaø caùc raøng buoäc lieân keát vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt.

Trong tröôøng hôïp

 

1

uuf ,(

)



u

u

0(







),1

(0.48)

t

t

t

Ñ.Ñ. AÙng vaø Alain P.N. Ñònh trong [3] ñaõ thieát laäp ñöôïc moät ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát cuûa moät

u t ),0(  tP ( ), u t ),1(  t ),1(   u . t ),1(  0, uK 1

laø caùc haøm cho tröôùc.

nghieäm toaøn cuïc cho baøi toaùn (0.36) - (0.38) vôùi

1

Baèng söï toång quaùt hoùa cuûa [1, 3, 20], baøi toaùn (0.36) - (0.38) cuõng ñöôïc xeùt bôûi

- Alain P.N. Ñònh vaø N.T. Long [11,12] vôùi k  0 vaø

tP )(



 uHtg

)(

,0((

t

)),

(0.49)

ôû ñaây H laø haøm cho tröôùc cuõng nhaän tröôøng hôïp H(s) = hs nhö laø tröôøng hôïp rieâng.

- N.T. Long vaø T.M. Thuyeát [28] vôùi

t

)( tP



uHtg 

)(

,0((

t

))



( tk



),0() us

ds

s.

(0.50)



0

Trong chöông naøy, chuùng toâi thöïc hieän hai phaàn chính. ÔÛ phaàn thöù 1, chuùng toâi chöùng minh

ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (0.36) - (0.39). Vieäc chöùng minh döïa

treân cô sôû cuûa phöông phaùp xaáp xæ Galerkin keát hôïp vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, caùc kyõ thuaät cuûa

phöông phaùp compact vaø phöông phaùp hoäi tuï yeáu. Trong phaàn xaáp xæ Galerkin, chuùng toâi cuõng söû

duïng ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng Schauder ñeå kieåm tra söï toàn taïi cuûa nghieäm xaáp xæ. Söï khoù khaên

0x

chính gaëp phaûi trong phaàn naøy laø ñieàu kieän bieân taïi

. Ta chuù yù raèng phöông phaùp tuyeán tính

hoùa ñaõ söû duïng trong [6, 10, 21, 23, 24, 33] khoâng duøng ñöôïc trong [3, 5, 9, 11-13, 19, 20, 26, 27,

29, 30, 34]. Trong phaàn thöù 2 cuûa chöông naøy, chuùng toâi chöùng minh nghieäm (u,P) laø oån ñònh ñoái

uP , u 0 ,

vôùi caùc haøm g, H vaø K. Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ toång quaùt hoùa töông ñoái caùc keát quaû trong [1,

3, 5, 9-12, 17, 20, 21, 25, 28, 33] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3].

Caùc keát quaû treân ñaây cuûa luaän aùn ñaõ ñöôïc coâng boá trong ([d1]-[d4]) vaø ñaõ tham gia baùo caùo

trong caùc hoäi nghò:

- Hoäi nghò veà Phöông trình ñaïo haøm rieâng vaø ÖÙng duïng, Haø Noäi, 27-29/12/99.

- Hoäi nghò Toaùn hoïc Vieät nam toaøn quoác laàn thöù 6, Hueá, 7-10/9/2002.

- Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 2, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 5-2000.

- Hoäi nghò Khoa hoïc laàn 3, ÑHKH Töï Nhieân Tp HCM, 10-2002.

- Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 22/12/2000.

- Hoäi nghò Khoa hoïc Khoa Toaùn – Tin hoïc, Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp HCM, 21-22/12/2002.

Chöông 1

PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN

COÙ CHÖÙA TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF

1.1. Giôùi thieäu

Trong chöông naøy, chuùng toâi quan taâm ñeán moät daïng phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa

toaùn töû Kirchhoff ñöôïc lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp

2

2

u



utB ,(

u )



uuuutxf ,

,,(

,

,

),

x



0),1,0(



Tt

,

tt

x

xx

x

t

x

(1.1.1)

(1.1.2)

1

t ),0(  t ),0(  ),( u t ),1(  g ,(t) u x uh 0 tg 0

(1.1.3)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá giaû thieát naøo ñoù maø ta seõ ñaët sau.

0

0

1

2

2

)

uuuutxf ,

,,(

,

,

)

Trong phöông trình (1.1.1) caùc soá haïng phi tuyeán

vaø

phuï thuoäc vaøo

xutB ,(

x

t

x

tích phaân

1

2

2

u

txu ),(

dx .

(1.1.4)

x

x



0

Chuùng toâi taäp trung giaûi quyeát hai vaán ñeà

Vaán ñeà thöù nhaát: Chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi

ufB , g , g ,~ ,~ , u 1

toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi hai tröôøng hôïp thuaàn nhaát (

) vaø khoâng thuaàn nhaát

  0 tg )( 0 tg )( 1

). YÙ töôûng vaø coâng cuï toång quaùt ñeå khaûo saùt söï toàn taïi nghieäm laø thieát laäp moät daõy

(

qui naïp tuyeán tính lieân keát vôùi baøi toaùn, sau ñoù söû duïng xaáp xæ Galerkin vaø phöông phaùp compact

ñeå chöùng minh daõy naøy hoäi tuï maïnh veà nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) trong caùc khoâng

gian haøm thích hôïp. Söï duy nhaát nghieäm ñöôïc chöùng minh nhôø vaøo boå ñeà Gronwall sau moät soá caùc

pheùp tính toaùn vaø ñaùnh giaù cuï theå.

Vaán ñeà thöù hai: Chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn nhieãu

2

2

u



[

utB ,(

)



.ε

utB ,(

u )]

tt

x

1

x

xx

(1.1.5)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



.ε

,,(

,

,

,

u

)

x

t

x

uuutxf 1

x

t

x

 0 tg )( 0 tg )( 1

lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø tìm caùch khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu

ñeán moät caáp naøo

,

,

f

theo moät tham soá beù .

ñoù phuï thuoäc vaøo tính trôn cuûa caùc haøm

fBB , 1

1

Trong vaán ñeà thöù nhaát, tröôùc heát chuùng toâi chöùng minh söï toàn taïi ñòa phöông vaø duy nhaát

nghieäm cuûa baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát

2

2

u



uB (

)

u



uuuutxf ,

,,(

,

,

),

x



0 ),1,0(



Tt

,

(1.1.6)

tt

x

xx

x

t

x

txu ),(ε

(1.1.7)

t ),0(  t ),0(  u t ),1(  ,0 u x uh 0

(1.1.8)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc seõ ñöôïc giaû thieát ôû phaàn sau vaø

laø haèng soá cho

0

0 h

2

)

tröôùc. Trong phöông trình (1.1.6) soá haïng phi tuyeán

baây giôø khoâng phuï thuoäc vaøo bieán thöù

xuB (

1

2

2

u

txu ),(

dx

nhaát ( bieán thôøi gian t ) maø chæ phuï thuoäc vaøo tích phaân

. Sau ñoù, vôùi moät soá giaû

x

x



0

ufB , 0 ~ ,~ , u 1

thieát naøo ñoù treân caùc haøm cho tröôùc

vaø baèng vieäc ñoåi aån haøm baèng pheùp tònh

0

0

1

tieán

ufB , g , g ,~ ,~ , u 1

(1.1.9)

t )

xh (0 

 txu ),(   tx ,( ),

baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát sau

2

2

v





v



~ vvvtxf

,,(

,

,

,



),

t )(

tvtB )(

,(

)

t )(

(1.1.10)

tt

x

 x

xx

x t 0

tv )( x  x

 x 

Tt

,

0,1

tx ),(  ( x  )1  e ), tg )( 0 tg ( 1 1 1 h  0 txv ),(      

(1.1.11)

t ),0(  v t ),1(  ,0  t ),0( vh 0

(1.1.12)

trong ñoù

~ zvvvtxf , ),

,,(

,



vtxf ,,(



 ,

v



,

v



z ),



ztB ),(

,

(1.1.13)

x

t

 x

t

 t

x

  tt

zz

), ), (~)0,(  xv 1 xv t vx (~)0,(  xv xv 0

(1.1.14)

t

Tuy nhieân, baøi toaùn (1.1.10) - (1.1.13) khoâng söû duïng ñöôïc keát quaû cuûa baøi toaùn (1.1.6) -

   x ),0,(   x ).0,( )(~ xv 0 )(~ xu 0 )(~ xv 1 )(~ xu 1

(1.1.8). Do ñoù, chuùng toâi tieáp tuïc trình baøy chöùng minh keát quaû toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi

).

toaùn (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi tröôøng hôïp khoâng thuaàn nhaát (

 0 tg )( 0 tg )( 1

Trong vaán ñeà thöù hai, ñeå xaây döïng yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän, tröôùc tieân chuùng toâi khaûo saùt

phöông trình nhieãu (1.1.5) lieân keát vôùi (1.1.2), (1.1.3) vaø thu ñöôïc moät nghieäm yeáu

coù khai

trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû.

Keá tieáp, chuùng toâi môû roäng vieäc khai trieån tieäm caän cho phöông trình nhieãu

2

2

u



[

uB (

)



ε

u )]

tt

x

uB ( 1

x

xx

(1.1.15)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



ε

,,(

,

,

,

u

)

x

t

x

uuutxf 1

x

t

x

lieân keát vôùi (1.1.7) vaø (1.1.8) ñeå thu ñöôïc moät nghieäm yeáu

coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp

txu ),(ε

N+1 theo moät tham soá beù . Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng

boá trong hai baøi baùo [d1, d2].

1.2. Kyù hieäu vaø caùc keát quaû chuaån bò

Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Ta kyù hieäu

m

P L



P (ΩL

),

H



m (ΩH

),

H



),



 (Ω

0

,T),

T



0

.

m 0

m (ΩH 0

Q T

2L hay caëp tích ñoái ngaãu

Ta duøng kyù hieäu  ,  ñeå chæ tích voâ höôùng trong

cuûa moät phieám haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm





Kyù hieäu

ñeå chæ chuaån trong

2L vaø kyù hieäu

ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X. Ta

X

goïi X  laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X.

txu ),(ε

Ta kyù hieäu

laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm ño ñöôïc u :

( 0 ,T)  X, sao cho

1

T

p

P

u

tu )(

dt



1

 p



,

neáu

X

P L

,0(

XT ;

)

0

     

   

vaø

.p

u



)( tu

neáu



X

L

,0(

; XT

)

ess 0

sup Tt



LP ,0( XT ; 1),  p  ,

Kyù

hieäu

thay

cho

xx

2

2

2

2

tu ( ),   tu ( ),   ( tu ),  tu u ),( t )(  tu )( tu )( t tu )( tt tu )( x

laàn löôït töông öùng.

Vôùi f = f(x,t,u,v,w,z), ta ñaët

txu ,( ( ),  u /  txt , )( ( ),  u /  t )( tx , ( ),  u /  txx , )( ( ),  u /  x )( tx ),

Baây giôø ñaët

5

6

2

3

4

1

 f /  fDx ,  f /  fDt ,  f /  fDu ,  f /  fDv ,  fDwf ,  /  f /  z . fD 1

)1.2.1(

1

)2.2.1(

vua ),(



vxu )(

dxx )(



v .)0()0(

x

x

uh 0



0

),( vva

1H vaø treân V thì ba chuaån

laø

Khi ñoù V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa

, xv

,1Hv

Vv

töông ñöông.

Chuùng ta coù caùc boå ñeà sau

V  { Hv )1(:)1,0( v  }, 0

laø compact vaø vôùi moïi

,Vv  ta coù

Boå ñeà 1.2.1. Pheùp nhuùng V 



v



v

)3.2.1(

,

x

Vv

C

])1,0([0

1



 ,1max(

)

)4.2.1(

.

1

xv

h 0

Hv

 1Hv

Vv

2

)2.2.1(

laø lieân tuïc treân

Boå ñeà 1.2.2. Daïng song tuyeán tính ñoái xöùng a( , ) ñöôïc ñònh nghóa trong

VV  vaø cöôõng böùc treân V.

2L goàm caùc haøm rieâng

Boå ñeà 1.2.3. Toàn taïi moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert

}~ { jw cuûa

}~ { jw töông öùng

vôùi giaù trò rieâng

j sao cho :

0





...





...,

])1,0([0C

)5.2.1(

  2

1

j

lim 

j

)6.2.1(

vôùi moïi

,Vv  j = 1, 2, ...

),~( vwa j

 j

,~ vw j

}

Hôn nöõa, daõy

/~{ jw  cuõng laø moät cô sôû tröïc chuaån Hilbert cuûa V ñoái vôùi tích voâ höôùng

j

a( , ). Maët khaùc,

jw~ cuõng thoûa baøi toaùn giaù trò bieân



,

j



)7.2.1(

,0

~  w )0(~ w x j ~ w

~   w trong j j )0(~ )1(~   wh w j j 0   ]).1,0([ CV

j

    

Vieäc chöùng minh caùc boå ñeà 1.2.1 vaø 1.2.2 thì khoâng coù gì khoù khaên vaø phöùc taïp, ta coù theå boû

,1.2.6

qua. Ñoái vôùi boâû ñeà 1.2.3, phaàn chöùng minh coù theå tìm thaáy trong [35], trang 137, Ñònh lyù

vôùi

)1.2.1(

)2.2.1(

H = ,2L coøn V, a( , ) ñöôïc ñònh nghóa bôûi

vaø

.

 ,  j

1.3. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp thuaàn nhaát

)6.1.1(

)8.1.1(

Chuùng ta baét ñaàu khaûo saùt baøi toaùn

-

vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây

(

0 h

1H :)

2



uHV

,



V

;

(

~ u 0

1

2H :)



(

),

zB )(





;0

0

3H

1 IRCB 

b 0

0

3

( :)

(

:)

thoûa



4H

3

Cf  ]1,0([   IR  IR ) IR 

vôùi moïi t, z 0 vaø

' 4

''

0

3

]1,0([



IR



IR



IR

),

i



.6 5, 4, 3, 1,

( H :) f ,,1( zwvut , ), , 0 wvu ,( , )  IR ,

4H

CfDi 





1

3

( :)

(Chuù yù raèng khoâng caàn thieát

Cf  ]1,0([   IR  ). IR  IR 

(

)

Vôùi B vaø f thoûa caùc giaû thieát

3H vaø )

4H töông öùng, ta xaây döïng caùc haèng soá sau ñoái vôùi

moãi M > 0 vaø T > 0

K



fTMK ,

,

)



sup

zwvutxf ,

,,(

,),

,

)1.3.1(

0

(0

6

)2.3.1(

K



fTMK ,

(

,

)



sup(

)(

zwvutx , ,,

,

,

),



1

1

fD 1

i fD

i

 3

u



,Mwv





0

Tt 

,

0

 x



,1

0

2Mz 

.

ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn

)3.3.1(

~ K



BMK (

,

)



zB

,)(

0

0

2

sup Mz

0

)4.3.1(



BMK (

,

 )

zB

.)('

~ K 1

1

2

sup Mz

0

Vôùi moãi M > 0 vaø T > ,0 ta ñaët

2

(

 Lv

 L

t

tt

)5.3.1(

TMW ( , )  { ,0(  HVT ; :) v  ,0( vVT ), ;  ),

2 QL ( T 

2



t

tt

L

,0(

;

)

 L

,0(

VT ;

)

)

HVT 

2 QL ( T

TMW (

,

)

 { vTMWv (

),

,

 L

,0(

2 LT ,

)}.

)6.3.1(

1

tt

v , v , v M },

)6.1.1(

)8.1.1(

Ta lieân keát baøi toaùn

-

vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính

sau

} { mu

Tröôùc heát, choïn soá haïng ñaàu tieân

. Giaû söû raèng

0

~u u  0

)7.3.1(

1

, ). u m  TMW (1

Sau ñoù, tìm

thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính

, ) TMWu m  (1

)8.3.1(

vôùi moïi

,Vv 

m

m

  ()( ),( )  ),( vtF  ),( vtu m vtuatb m

)9.3.1(

ôû ñaây

2



B

(

 u

t )(

),

m

 1

)10.3.1(

2







txF ),(

utxf ,,(

(

t

),

u

(

 ut ),

(

t

),

u

t )(

).

m

m

m

m

m

 1

 1

 1

 1

 tb )(  m  

Khi ñoù, ta coù

(

(

H

)

ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T

Ñònh lyù 1.3.1. Giaû söû caùc giaû thieát

H  ) 1

4

)0(  )0(  u m ,~ 0u  u m ,~ 1u

)8.3.1(



).10.3.1(

vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

1

Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc

Böôùc1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions[17])

w {

}

/~

nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.2.3.

Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert

 j w

j

 j

Ñaët

k

)

u

)( t



c

)( wt

,

)11.3.1(

k ( m

k )( mj

j



j

1 

trong ñoù

thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính

)(k mjc

wt ),(



uatb ()(

wt ),(

)



wtF (

),



, 1

 j

k

,

)12.3.1(

)( k   u m

m

j

)( k m

m

j

j

)

)

u

)0(



 u

)0(



)13.3.1(

,

( k m

~ u 0

k

( k m

,~ u 1

k

ôû ñaây

TMW ( , ) u m  } {

)14.3.1(

)15.3.1(

,2HV  ~ u k  maïnh trong 0 ~ u 0

)() t

~ u k  maïnh trong V . 1 ~ u 1

)12.3.1(



)13.3.1(

ta suy ra heä phöông trình

coù duy nhaát nghieäm

Töø giaû thieát

1

( u k m

k )(

0



Tt

T

.

T

trong khoaûng

Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây cho pheùp ta laáy

vôùi moïi m

m 

m )( T k

vaø k.

Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët

t

2

)

)

)

k

)16.3.1(

S

)( t



X

)( t



)( t

ds

,

)( s

)( k m

( k m

( Y m

( k  u m



0

, ) u m  TMW (1

ôû ñaây

2

X

t )(

  u

t )(



uatb ()(

ut ),(

(

t

)),

)17.3.1(

)( k m

)( k m

m

)( k m

)( k m

2

)

Y

t )(



 ua (

 ut ),(

t ))(



 u

t )(

.

)18.3.1(

)( k m

( k m

)( k m

tb )( m

)( k m

),12.3.1(

)13.3.1(

)16.3.1(



),18.3.1(

Töø

vaø

ta ñöôïc

t

2

)

S

)( t



S

)0(



(

), us

(

s

))

u 

)( s

ds

(

)( k m

)( k m

)( k m

)( k m

( k m

 m



  

 )( uasb  

0

t

t

2



 usF (

),

)(  s

ds



2

),

(

(

s

))

ds

+

 usFa ( m

)( k m

m

)( k m





0

0

t

2

)( s

ds

)( k  u m



0

)0(



I



I



I



I

)19.3.1(

=

.

2

3

4

1

)( S k m

Chuùng ta tieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa (1.3.19).

Tích phaân thöù 1. Ta coù

2



B

(

),

tb )( m

 u m

1 t )(

2



B (2



u

t )(

)



u

(

t

),



 u

t .)( 

)20.3.1(

 tb )( m

m

 1

m

 1

m

 1

Duøng giaû thieát

vaø

raèng

3H ta thu ñöôïc töø

2

B

t )(



2

u



u

t )(



 u

t )(



2

.

)21.3.1(

 tb )( m

m

 1

m

 1

m

 1

~ 2 KM 1

)4.3.1(  

),7.3.1( 

)16.3.1(



)18.3.1(

),21.3.1(

vaø

ta ñöôïc

Keát hôïp

t

2

)22.3.1(

I



S

)( s

. ds

1

)( k m



~ 2 KM 1 b 0

0

),1.3.1(

),10.3.1(

)16.3.1(

),17.3.1(

Tích phaân thöù 2. Töø

vaø

ta coù

t

t

)

)23.3.1(

I



2

)(

u

)( s

ds



2

K

S

)( s

. ds

0

2

)( k m

sF m

( k m





0

0

)10.3.1(

Tích phaân thöù 3. Töø (1.3.1), (1.3.2), (1.3.7) vaø

ta suy ñöôïc raèng

2

2

)24.3.1(





s ),0(



4

K

 31(

M

)



.

=

sF )( m

2 Fh m 0

2 1

Kh 0

2 0

2)( VsFm

( ),

Do vaäy töø (1.3.16), (1.3.18) vaø (1.3.24) ta thu ñöôïc

t

)

I

 u

)( s

ds

3

)( sF m

( k m

V

 2

V

0

t

2

)25.3.1(



2[2

K

31 

M



S

)( s

. ds

1

Kh 0

0

)( k m

 ]

0

)12.3.1(

Tích phaân thöù 4. Phöông trình

ñöôïc vieát laïi

)

wt ),(





u

wt ),(



wtF (

),



, 1

 j

k

,

)26.3.1(

( k   u m

tb )( m

j

)( k m

m

j

j

)() t

theo ñoù ta thay

vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc

jw bôûi

u k ( m

t

t

t

2

2

2

)27.3.1(

)( s

ds



2



u

)( s

ds



2

. ds

)( sF m

2 )( sb m

)( k m

)( k  u m







0

0

0

Töø (1.3.1), (1.3.3), (1.3.7), (1.3.10), (1.3.16) vaø (1.3.18), ta keát luaän

)28.3.1(

I



2

s )(

ds



TK 2

.

4

2 0

)( k m

t ~  SK 0 0

t

2

2)0( 

1( 

31 

22

TK

)( t

M

K





S

S

S

)( s

ds

) Kh 0

2 0

1

0

)( k m

)( k m

)( k m

Keát hôïp (1.3.19), (1.3.22), (1.3.23), (1.3.25) vaø (1.3.28), ta coù 



0

t

~ K

S

)( s

ds





0

)( k m

~ 2 KM 1 b 0

0

   

  2  

2

2





 31

 1(

]

 2)0(

TK

2[ KT

M

)( S k m

2 0

1

) Kh 0

0

1 2

t

)

~ K

S

)( s

ds







0

( k m

~ 2 KM 1 b 0

0

   

  12  

t

)29.3.1(



S

)0(



( TMC

,

)



(

)

)( s

ds

,

1

2

)( k m

)( k m

 SMC

0

ôû ñaây

2





)

 31

 1(

2 ,]

,

2 TK

2[ KT

M

2 0

1

) Kh 0

0

1

1 2

)30.3.1(







)

~ K

0

~ 2 KM 1 b 0

  12  

  .  

 ( TMC     ( MC 2  

).0()(k

Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng

Ta coù

mS

2

2

2

S

)0(







B

~(  u

)~,~( ua u

)[

].

)31.3.1(

)( k m

~ u 1

k

)~,~( ua u 1 k 1

k

0

0

k

0

k

~  u 0

k

)15.3.1(

)31.3.1(

,0M

Do (1.3.14),

vaø

ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá

ñoäc laäp vôùi k vaø m sao

cho

2



M

)0(

)32.3.1(

vôùi moïi k vaø m.

)( S k m

1 2

(

)

Chuù yù raèng töø giaû thieát

4H ta coù

,

,

)



,0

i



.1 ,0

)33.3.1(

fTMKT i (

lim  0

T

)30.3.1(

0T

Nhö vaäy töø

vaø (1.3.33), ta choïn ñöôïc moät haèng soá

sao cho

2

2

(



(

,

))

exp(

))



M

)34.3.1(

TMCM 1

MTC ( 2

1 2

vaø

2

22

)



T



) KM

1( 

kT

~ 2 KM 1

1

1 b 0

  1 

  ( 

)35.3.1(

exp

1(

1)(

)

.1







~ 2 TKM 1

1 b 0

  

  

Cuoái cuøng töø (1.3.29), (1.3.32) vaø (1.3.34), ta thu ñöôïc

t

2

k )(

0



Tt

T

.

)36.3.1(

S

)( Mt 

exp(



))



(

)

)( s

ds

,

( MTC 2

2

m 

)( k m

)( k m

 SMC

0

)36.3.1(

raèng

AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø

2

2

 Mt )(

exp(



))

exp(

MtMC ))



(

)( S k m

MTC ( 2

2

)(k

t 

,0[

].

)37.3.1(

vôùi moïi

mT

T

Do ñoù coù theå choïn

vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù

m )( T k

,

)

)38.3.1(

vôùi moïi k vaø m.

u k )( m 

TMW (1

)(k

)(k

}

}

)38.3.1(

Töø

ta trích ra töø daõy

moät daõy con vaãn kyù hieäu laø

sao cho

mu {

mu {

u

 L

2HVT 

)39.3.1(

yeáu * trong

( u ) k m

m

 u

,0( ; ),

)40.3.1(

yeáu * trong

k (  ) u m

m

L ,0( VT ; ),

)41.3.1(

yeáu trong

(  ) k u m

 u m

), (2 TQL

)42.3.1(

)39.3.1(



),41.3.1(

)8.3.1(



)9.3.1(

Qua giôùi haïn trong (1.3.12), (1.3.13) bôûi

yeáu

ta coù mu thoûa

, ). TMWu m  (

trong

)8.3.1(

)42.3.1(

vaø

cho

Maët khaùc, töø (1.3.7),



u



 L

,0(

2LT ,

),

 u m

tb )( m

m

F m

,0(2 L T ).

do vaäy

vaø Ñònh lyù 1.3.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.

M



,0

T



0

(

(

H

)

ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá

thoûa (1.3.32),

Ñònh lyù 1.3.2. Giaû söû

H  ) 1

4

)34.3.1(

)35.3.1(

,

).

vaø

sao cho baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

, ) TMWu m  (1

TMWu  (1

Maët

)8.3.1(



)10.3.1(

khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính

thì hoäi tuï maïnh veà nghieäm u

trong khoâng gian

} ñöôïc xaùc ñònh bôûi { mu

  Lv {

  Lv 

2 LT ;

Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù

u



u



 u



 u

)43.3.1(

, vôùi moïi m,

m

m

m T

 L

,0(

; VT

)

 L

,0(

; LT

2  Ck )

trong ñoù

2



22

T



KM )

)

1( 

kT

~ 2 KM 1

1

1 b 0

  1 

  ( 

)44.3.1(

exp

1(

1)(

)

, 1







~ 2 TKM 1

1 b 0

  

  

) ,0( VT ; :) ,0( )}. TW ( 1

vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T,

0 uu ,

1

vaø Tk .

Chöùng minh.

a./ Söï toàn taïi nghieäm

Tröôùc heát, ta löu yù raèng

laø moät khoâng gian Banach ñoái vôùi chuaån (xem Lions[17])

)(1 TW

)45.3.1(

v

  v

.

=

)

 L

,0(

VT ;

)

 L

,0(

2LT ;

)

(1 TWv

,

).

Ta seõ chöùng minh raèng

laø moät daõy Cauchy trong

Ñaët

m

m

 1

Khi ñoù mv thoûa

m

(1 TW

baøi toaùn bieán phaân

} v  u  u . { mu

 1

)46.3.1(

vt ), (   vat ()( ( vt ), )  ( t )(  ))   vtu ),( b m tb ( m

m

m Vv  ,

 1

m

 v m b  1 m  t )(  vtF ( ), , F m

)47.3.1(

m

v )0( )0(  .0   m v

trong (1.3.46), sau ñoù laáy tích phaân theo bieán t, ta ñöôïc

Choïn

t



b

()( vas

(

), vs

(

s

))

ds

)( tP m



m

m

m

1



0

)( s



))



u

(

 vs ),

)( s 

ds

+

( sb m

m

m

1 

m

t  (2 b 0

t

)48.3.1(

2

s )(



 vsF ,)(

s )(



ds

,

+

F m

 1

m

m



0

ôû ñaây

2

  v

t )(



vat ()(

(

vt ),

t (

))

)49.3.1(

tP )( m

m

b m

 1

m

m

),2.3.1(

)4.3.1(

)7.3.1(

Maët khaùc, töø

vaø

ta thu ñöôïc

2

t )(



2

B

 (



)(





2

)

,

)50.3.1(

b m

 

1

tu )( m

tu m

 tu )( m

~ 2 KM 1

v  mv

)51.3.1(

m

 1

 1

 1

)

TWm (1

t )(





K



 vM )

t )(



 v

 1(2

)( t

F m

 1

tF )( m

1

m

 1

m

 1



2

K

1(



)

.

)52.3.1(

1

 1

)

TWmvM (1

)48.3.1(



)52.3.1(

suy ra raèng

Töø

t

2

2

2

2

 v

t )(



t )(





2

)( s

ds

m

vb 0

m

)( tP m

~ vKM 1

m

V

V



0

t

4

 v

)( s

ds

+

~ 2 vKM 1

m

1 

m

)



( TW 1

0

t

4

K

1(



) vM

 v

)( s

ds

+

1

m

1 

m

)



( TW 1

0

t

2

2



2

)( s

ds

m

~ vKM 1

V



0

t )(   2  v t )(  2  v , b m tb )( m ~ KM 1 ~ KM 1

t

[4

1( 

vKM

)

]

 v

)( s

ds

+

1

m

1 

m

~ 2 KM 1

)



( TW 1

0

2

2

2



[2

 1(

KM )

]

~ KMT 1

1

 1

TWmv (

)

1

2

2

)53.3.1(

1(2



 v

s )(



v

s )(

)

ds .

+

m

m

~ 2 KM 1

V

t  () 0

Do vaäy

2

2







 v

t )(

v

t )(

1

m

m

tP )( m

V

1 b 0

  

  

2

2

2





(

 1(

KM )

)

1

 1

)

TWmv (

1

1 b

0

  12 

 ~  KMT 1 

2

2

)54.3.1(





 v

s )(



v

s )(

)

ds .

~ 2 KM 1

m

m

V

1 b 0

t  () 0

  12 

  1( 

Töø (1.3.54), ta suy ra raèng

v



)55.3.1(

vôùi moïi m,

m

vk T

m

 1

)

)

TW ( 1

TW ( 1

trong ñoù

2

2



22

T



 1(

KM )

)



exp

1(



1)(



)

1

.

kT

~ 2 KM 1

1

~ TKM 1

1 b 0

1 b 0

  1 

  ( 

  

  

Töø ñaây ta thu ñöôïc

m

)56.3.1(

vôùi moïi m, p.

m

0

)

)

TW ( 1

TW ( 1

T

u u  u  pm u 1 k ( T   1 ) k

).

Suy ra

laø moät daõy Cauchy trong

Do ñoù toàn taïi moät

thoûa

(1 TW

)(1 TWu 

} { mu

)57.3.1(

).

(1 TW

u u m  maïnh trong

}

cho neân töø

ta coù theå tìm ra moät daõy con

sao cho

Chuù yù raèng vì

jmu {

 L

, ), } TMWu m  (1 { mu

2HVT 

u

u

)58.3.1(

jm  yeáu * trong

,0( ; ),

)59.3.1(

 u

  yeáu * trong u jm

L ,0( VT ; ),

)60.3.1(

 u

  yeáu trong u jm

TMWu  (

,

).

)61.3.1(

), (2 TQL

Chuù yù raèng

2





B

(



tu )(

 )

tu )(

tb )( m

tu )( m

~  K





tu )(



2



u

t )(



tu )(

tu )( m

0

m

 1

~ 2 KM 1

)62.3.1(

m

m

1 

)

)

TW ( 1

TW ( 1

)57.3.1(

)62.3.1(

Töø

vaø

cho

2



(  B

)( tu

) 

u

 u  2  u , ea ., t .  ,0( T ). ~  uK 0 ~ 2 uKM 1

2LT ;

)63.3.1(

maïnh trong

)( tb m

)( tu m

Töông töï

2



.

)64.3.1(



,,(

,

,

,

)



1(2



uKM )



u

1

F m

tuuuutxf )( x

x

m

1 

)

( TW 1

,0(

)

 L

2 ; LT

)57.3.1(

)64.3.1(

vaø

ta ñöôïc

Keát hôïp

2





,

,

,

)

L ,0( ).

2LT ;

)65.3.1(

maïnh trong

F m

tuuuutxf ,,( )( x

x

,

)8.3.1(



)10.3.1(

)63.3.1(

Laáy giôùi haïn trong

vôùi

keát hôïp vôùi (1.3.58) - (1.3.60),

vaø

jmm

)65.3.1(

TMWu  (

,

)

ta suy ñöôïc raèng toàn taïi

thoûa phöông trình

2



 ( vtu ),



tuB )(

(

vtua (()

),

)

x

)66.3.1(

2





,,(

,

,

,

,

v

Vv  ,

,

tuuuutxf )( x

x

vaø ñieàu kieän ñaàu

L ,0( ).

)67.3.1(

0

1

)66.3.1(

ta thu ñöôïc

Maët khaùc, töø (1.3.63), (1.3.65) vaø

2

2



 tuBu ( )(



)

u



,

,

,

)



u )0(   u )0(  ,~ u .~ u

2LT ;

)68.3.1(

x

xx

tuuuutxf ,,( )( x

x

,

).

Nhö vaäy

TMWu  ( 1

b./ Tính duy nhaát nghieäm

laø caëp nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), thoûa

Giaû söû

1, uu

2

L ,0( ).

)69.3.1(

u





u

Khi ñoù,

seõ thoûa baøi toaùn bieán phaân

u 1

2



 ( vtu ),



),

)

(

)t(



))t(



vtu ),(



~ B 1

~ B 2

2

)70.3.1(





Vv  ,

,

~ vtuatB (()( 1 ~ tF )( 1

 ~ vtF ),( 2

 ,  .2 ,1 iTMWui (1 ),

vaø ñieàu kieän ñaàu

u

)0(

  u

)0(



,0

)71.3.1(

ôû ñaây

2

2



B

(



),



utxf ,,(

,



,



i ),



.2 ,1

)72.3.1(

~ tB )( i

tu )( i

~ tF )( i

 uu , i

i

i

tu )( i

v

u

Choïn

 trong (1.3.70), roài tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc

t

2

2





 tu )(

(()(

),

))

ds

)( tub 0

~  susuasB ( 1

V



0





))



), susu )( 

(

ds

~ sB )( 1

~ sB ( 2

2

t +  (2 0

t



)73.3.1(

2





(



ds .

+

~ sF )( 1

~ susF ), )( 2



0

Ñaët

2

2

 tu )(



tu )(

)74.3.1(







2(



KM )

].

Z(t) =

vaø

~ K M

~ 2 KM 1

1

V

1 b 0

  12 

  2[ 

Khi ñoù töø (1.3.73), (1.3.74) cho

t

)(tZ

)75.3.1(



sZ )(

ds

,

 t

,0[

T

.]

~ K

M



0

.

)( tZ

,0

coù nghóa laø

AÙp duïng boå ñeà Gronwall, ta suy ñöôïc

u  1

u 2

Vaäy Ñònh lyù 1.3.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.

1.4. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn

nhaát

Chuùng ta tieáp tuïc khaûo saùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) vôùi caùc giaû thieát ñöôïc ñaët ra döôùi ñaây:

;

0 h

1G :) (

G (

:)

g

,

g



3 IRC (

);

2

1

0



2





V

;

~ u 0

~, uHV 1

3G :) (



(

),

ztB ),(





;0

:)

1 2 IRCB 

b 0

4G (

1

3

0

thoûa





5G (

:) Cf  ]1,0([  IR  IR  IR )

3

f

,,1(

zwvut ,

),

,

0

vôùi moïi t, z 0 vaø

Thay vì xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3), ta seõ ñöa noù veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát

theo caùch laøm nhö sau:

x



],1,0[

z



0

,0t

Vôùi

vaø

ta ñaët

 )1

xh ( 0



tx ),(



(

x



)1



e

),

)1.4.1(

tg )( 0

tg ( 1

1

1  h 0

~ zvvvtxf , ),

,,(

,



vtxf ,,(

 ,

v



,

v



z ),



ztB ),(



,

)2.4.1(

x

t

t

x

t

x

xx

tt

wvu ) ,( ,  IR .

)3.4.1(

t

cuøng vôùi caùc ñieàu kieän nhaát quaùn

)0(

)0,0(

)0,0(

g



u



)0(~ u



),0(~

0

/ 0

0

uh 0

)4.4.1(

g

x )0,1(



 uh 0 ).1(~ u

)0(



u

1

0

Khi ñoù vôùi pheùp ñoåi bieán

txv ),(



txu ),(



tx ,(

),

)5.4.1(

baøi toaùn (1.1.1) – (1.1.3) ñöôïc ñöa veà baøi toaùn bieân – giaù trò ñaàu sau

2

2

v





v



~ vvvtxf

,,(

,

,

,



t )(

),

tvtB )(

,(

t )(

)

)6.4.1(

tt

x

x

xx

x



tv )( x t x 0 ),1,0(

x Tt



,

  x ),0,(  x ),0,( )(~ xv 0 )(~ xu 0 )(~ xv 1 )(~ xu 1

)7.4.1(

 t ),0( t ),0(  v t ),1(  ,0 vh 0

)8.4.1(

~ f

cho bôûi (1.4.2), (1.4.3).

Ta seõ giaûi baøi toaùn (1.4.6) – (1.4.8) vôùi

,~ ,~ v v 1

0

Cho tröôùc M > 0 vaø T >0, ta ñaët

 TMM ,(



)

 

,

)9.4.1(

1

1

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

2 LT ;

)

)10.4.1(

), ). vx (~)0,(  xv xv 0 (~)0,(  xv 1 xv t

0

K



,

1

1

)11.4.1(

/



sup









zwvutx ,

, ),

,

) ~ / f u

~ f v

~ / f w

~ / f z

~ fTMK ( ,  ~ / f x

 ,,(

u



,Mwv





0

Tt 

,

0

 x

,1

ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn

K  ~ fTMK , , )  sup ~ zwvutxf , ,,( ,), , (0

2 ,)

1MMz

~ K

~ BTMK ,

(

,

)





ztB

, ),(

)12.4.1(

0

0

0

T

0 ,

 MM

2)

sup z  (

t 

1

0   (

)13.4.1(

2

0

T

0 ,

MM 

t 

1)

Vôùi moãi M > 0 vaø T > 0, ta ñaët

2

   ( , ) zt ),( ~ K 1 ~ BTMK , 1  B  t  B  z sup z  (     zt . ),(  

 Lv

 L

t

tt

)14.4.1(

TMW ( , )  { ,0(  HVT ; :) v  ,0( vVT ), ;  ),

2 QL ( T 

2

t

tt

 L

,0(

 HVT

;

)

 L

,0(

VT ;

)

)

2 QL ( T

TMW (

,

)

 {

TMWv (

,

v :)

 L

,0(

2 LT ;

)},

)15.4.1(

1

tt



,0( T

)

ôû ñaây

.

QT

)6.4.1(

)8.4.1(

-

vôùi moät daõy quy naïp tuyeán tính nhö sau

Ta lieân keát baøi toaùn

v , v , v M },

Choïn soá haïng ñaàu tieân

. Giaû söû raèng

0

~v v  0

)16.4.1(

1

, ). vm  TMW (1

Ta tìm

thoûa baøi toaùn bieán phaân tuyeán tính

, ) TMWvm  (1

)17.4.1(

vôùi moïi

,Vw 

m

m

)18.4.1(

  ( ), wt )  ( wtF  ), ),( v m ()( vatbwt m

trong ñoù

2







v

t )(

t )(

),

m

 1

)19.4.1(

2







txF ),(

tB ,( ~ vtxf ,,(

(

t

),

 v

(

 vt ),

(

t

),

v

t )(

t )(

).

m

m

m

m

m

 1

 1

 1

 1

 tb )(  m  

,~)0(  0v vm  vm ,~)0(  1v

ñöôïc thoûa. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá döông M vaø T

Ñònh lyù 1.4.1. Giaû söû caùc giaû thieát

5

( G ) G  ) ( 1

)17.4.1(



).19.4.1(

vaø moät daõy qui naïp tuyeán tính

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

1

Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñònh lyù bao goàm nhieàu böôùc

Böôùc 1. Xaáp xæ Galerkin (xem Lions [17])

w {

}

/~

nhö ñaõ neâu ra trong boå ñeà 1.1.3.

Trong V ta choïn cô sôû tröïc chuaån Hilbert

 j w

j

 j

Ñaët

k

v

)( t



c

)( wt

,

)20.4.1(

k )( m

k )( mj

j



j

1 

trong ñoù

thoûa heä phöông trình vi phaân tuyeán tính

)(k mjc

wt ),(



vatb ()(

wt ),(

)



wtF (

),



, 1

 j

k

,

)21.4.1(

)( k   v m

m

j

)( k m

m

j

j

TMW ( , ) vm  }{

v

~)0(  v

 v

)22.4.1(

,

)( k m

)( k m

0

k

,~)0(  v 1

k

ôû ñaây

)23.4.1(

)24.4.1(

.1H

,2H ~ v k  maïnh trong 0 ~ v 0

~ v k  maïnh trong 1 ~ v 1

)21.4.1(



)22.4.1(

ta suy ra raèng heä phöông trình

coù duy nhaát nghieäm

Töø giaû thieát

1

k )(

)() t

0



Tt

T

.

T

trong khoaûng

Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây seõ cho pheùp ta laáy

vôùi

v k ( m

m 

m )( T k

moïi m vaø k.

Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Ñaët

t

2

)

)25.4.1(

S

)( t



X

)( t



Y

)( t

ds

,

)( s

)( k m

( k m

)( k m

)( k  v m



0

ôû ñaây

2

)

X

t )(

  v

t )(



vatb ()(

vt ),(

(

t

)),

)26.4.1(

k )( m

k ( m

m

k )( m

k )( m

2

)

Y

t )(



 va (

 vt ),(

t ))(





v

t )(

.

)27.4.1(

)( k m

( k m

)( k m

tb )( m

)( k m

),21.4.1(

)22.4.1(

)25.4.1(



),27.4.1(

Töø

vaø

ta ñöôïc

t

2

)

S

)( t



S

)0(



(

), vs

(

s

))

v 

)( s

ds

)( k m

)( k m

)( k m

)( k m

( k m



  

  )( vasb (  m 

0

t

t

2



 vsF (

),

)( s



ds



2

),

(

(

s

))

ds

+

 vsFa ( m

)( k m

m

)( k m





0

0

t

)



2

t ),1(



v

t ),1(



2

(

,1(

s

))

ds



v

),1( t

F m

)( k m

F m

( k m



 s 

0

t

2

)



2

)0,1(



v

)0,1(

)( s

ds

F m

)(k m

( k  v m



0

)0()(k

, ), vm  TMW (1

0k

mS

t

2

)

)

(

), vs

(

s

))

)( s

ds



v 

( k m

( k m

)( k m



  )( vasb (  m 

  

0

t

t

2



 vsF (

),

)( s



ds



2

),

(

(

s

))

ds

+

 vsFa ( m

)( k m

m

)( k m





0

0

 2 )1(~)0,1(  v F m

t

2

)

)

)( s

ds

(

,1(

s

))



v

),1( s

ds

( k  v m

F m

( k m



+  2

0

t s0 

t

2

)0,1(





v

),1( t



2

(

,1(

s

))

ds



v

),1( t

F m

)( k m

F m

)( k m

  s0 

)0()(k

0k

mS



2

)0,1(



v

,1(

t

).

 2 )1(~)0,1(  v F m

)28.4.1(

+

1

2

3

4

5

6

F m

)( k m

)28.4.1(

Chuùng ta seõ tieán haønh ñaùnh giaù caùc tích phaân coù maët trong veá phaûi cuûa

.

Tích phaân thöù 1. Ta coù

2



tB ,(2



v

t )(



t )(

),

tb )( m

m

1 

2







v

t ,(

t )(

t )(

)

 tb )( m

m

1 

2



t ,(



v

t )(



t )(

)

2

)29.4.1(

m

 1

t )(

t  (

),

 v

t )(

  t .)(

B   t  B  z v 

m

 1

m

 1

),

)13.4.1(

),16.4.1(

Duøng giaû thieát

vaø

raèng

4G ta thu ñöôïc töø (

2

I  I  I  I  I  I

m

 1

2

   v ) t ,( t )( t )(  tb )( m  B  t

m

 1

)  2 t ,(  v t )(  t )(  B  z

m

 1

m

 1



 (21(

MM 

.

2 ))

)30.4.1(

1

~ K 1

)25.4.1(



)27.4.1(

),30.4.1(

Keát hôïp

vaø

ta ñöôïc

t

2

)

 v t )(  t )(   v t )(   t )(

1

)( k m

( k m

)( k m



0

)31.4.1(

t

2

( ( )) I  ), vs s v  )( s ds  / )( ( vasb  m    

 (21 



)( k m

 ) SKMM 1

0

),2.4.1(

),10.4.1(

)25.4.1( ),19.4.1(

),26.4.1(

vaø

ta coù

Tích phaân thöù 2. Töø

  )( s . ds ~ 1 1 b 0

t

2

m

)( k m



0

)32.4.1(

t

t

I  2   vsF ( ), )(  s ds

0

)( k m

)( k m





0

0

),2.4.1(

),10.4.1(

)16.4.1( ),11.4.1(

)19.3.1(

Tích phaân thöù 3. Töø

vaø

ta suy ra

2

2





s ),0(



4

K

 31(

M

)



.

)33.4.1(

=

2 1

Kh 0

2 0

sF )( m

2 Fh 0 m

2)( VsFm

)25.4.1(

)27.4.1(

),33.4.1(

Do vaäy töø

,

vaø

ta thu ñöôïc

t

t

I

),

(

(

s

))

ds

 v

)( s

ds

3

 vsFa ( m

)( k m

)( sF m

)( k m

V

  2

 2

V

0

0

t

2

)34.4.1(



2[2

K

31 

M



S

)( s

. ds

1

Kh 0

0

)( k m

 ]

0

)21.4.1(

Tích phaân thöù 4. Phöông trình

ñöôïc vieát laïi

)

wt ), (





v

wt ),(



wtF (

),



1 ,

 j

k

.

)35.4.1(

k )(   v m

tb )( m

j

k ( m

m

j

j

)(k

Töø ñoù ta thay

vaø tích phaân hai veá ta ñöôïc

jw bôûi

mv

t

t

t

2

2

2

)36.4.1(

)( s

ds



2

v 

)( s

ds



2

. ds

)( sF m

2 )( sb m

)( k m

)( k  v m







0

0

0

),2.4.1(

),10.4.1(

),12.4.1(

),16.4.1(

)25.4.1( ),19.4.1(

),27.4.1(

Töø

vaø

ta keát luaän

t

2

)

)37.4.1(

I



s )(

ds



2

s )(

ds



TK 2

.

4

2 0

( k m

)( k  v m



t ~  SK 0 0

0

 2 )(  v )( s ds  2 K S )( s . ds sF m

)1.4.1(



),3.4.1(

Tích phaân thöù 5. Töø giaû thieát

raèng

5G ta suy ñöôïc töø (

2G vaø ) (

t ),1(



)(

),(

)38.4.1(

F m

2 tghtb )( 0

m

1

 tg 1

(

,1(

t

))

).





)39.4.1(

F m

2 tgtbh )( )( 0

 m

1

2 tgtbh )( )( 0

 1

m

 tg ( 1

  t

)30.4.1(

)39.4.1(

Töø

vaø

daãn ñeán

(

,1(

t

))





F m

2 tgtbh )( )( 0

 m

1

2 tgtbh )( )( 0

 1

m

 tg )( 1

 t 





g



 2 gKhMM )

2 0

~ 1

1

1

~ 2 gKh 0 0

 1

 1







)40.4.1(



  (21 TMD (

,

),

1

laø chuaån

.

ôû ñaây ta kyù hieäu

 .

C .

,0([0 T

])

),

Ta chuù yù raèng

)

)



v

t ),1(



v

t ),0(

tx ),(

dx

( k m

( k m

)( k m

1   v 0

)



t )(



v

t )(

)41.4.1(

vh 0

)( k m

( k m

V

1



(



)1

S

t .)(

h 0

k )( m

b 0

)40.4.1(

)41.4.1(

Töø

vaø

cho ta

t



 

k )( m

5



0

)42.4.1(

t

I 2 s ),1( v s ),1( ds  F m  s 

)

k ( m

1



0

Tích phaân thöù 6. Söû duïng baát ñaúng thöùc

2

2

ab



a



2 b ,3

 ba ,



IR

,

)43.4.1(

1 3

)40.4.1(

)41.4.1(

ta thu ñöôïc töø

vaø

raèng

t

I



2

s ),1(

v

t ),1(



  . ds

6

F m

)( k m



 s 

0



(



)1

,

)

( TMTD

S

)( t

)44.4.1(

h 0

1

)( k m

2 b 0

2

2



(



)1

,

)



S

t ).(

h 0

2 TMDT ( 1

)( k m

1 3

3 b 0

)43.4.1(

),41.4.1(

Maët khaùc, söû duïng moät laàn nöõa baát ñaúng thöùc

vaø do

ta thu ñöôïc soá haïng cuoái cuøng

)28.4.1(

ñöôïc ñaùnh giaù nhö sau

beân veá phaûi cuûa



v

2

)0,1(

t ),1(

F m

k )( m

2

2



B



S



(

)[1

,0(

)0(

)

)0(

])0(

t )(

)45.4.1(

h 0

2 gh 0

1

 g 1

k )( m

~ v 0

b 0





S

(

t

).



t )(

~ SD 0

)( k m

~ 2 D 0

)( k m

3 4

1 3

)44.4.1( ),42.4.1( ),37.4.1( ),34.4.1( ),32.4.1( ),31.4.1(

),45.4.1(

Keát hôïp (1.4.28),

vaø

ta coù

S

)( t



3 S

6)0( 

)1(~)0,1(  v



k )( m

k )( m

F m

k

0

~ 2 D 0

9 4

)46.4.1(

t



( TMC

,

)



(

)

)( s

ds

,

1

2

)( k m

 , STMC

0

1  (  )1 TMD ( , ) S s )( ds . h 0 b 0

ôû ñaây

2

2 gh 0

1





2 ( )1 ,0( )0( ) )0( , )0(  B   h 0 ~ v 0  g 1 ~ D 0 b 0

2 ]) gKhMM

1

2 0

2 0

1

1







2

2

) (21[ , ,     g ( TMD ~ 1 ~ gKh 0  1  1

2 0

2 ( TMDT 1

1

)47.4.1(

2

) ( )1 , ) ,  6 TK   h 0 9 b 0

2

1

0

1

2

1  h 0 1( 2 , ) ,  3 T   K 31  M  ( TMD ) Kh 0 b 0        

1

2

0

0

3

S

 6)0(

).1(~)0,1(  v

Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù soá haïng

Ta coù

0

)( k m

F m

k

3 S

)( k m

k

0

2





6 )0( F  m ~3 v 1

k

v 1 k

)48.4.1(

2

2

B ,0(3

)0(

)~,~( va v

)[

]







0

k

0

k

~ v 0

k

2

[6

B

,0(

)0(

)

)0(

).1(~)]0( v

g





)1(~)0,1( v  )~,~(3 va 1 k ~ v 0 ~ v 0

2 gh 0

1

 1

0

k

)24.4.1( ),23.4.1( ),1.4.1(

)47.4.1(

,0M

vaø

ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá

ñoäc laäp vôùi k vaø m

Do

sao cho

3

S

 6)0(

)1(~)0,1(  v



,

)49.4.1(

vôùi moïi k vaø m.

k )( m

F m

k

0

~ 2 D 0

9 4

1 2M 2

) (21  MM  , ) 233 ~ K .   b               ( TMC          ( TMC  

Chuù yù raèng töø giaû thieát

5G ta coù (

4G vaø ) (

~

~ fTMKT

(

,

,

)



BTMKT

(

,

,

)



,0

i



.1 ,0

)50.4.1(

i

i

lim  0

T

lim  0

T

)47.4.1(

),50.4.1(

0T

Nhö vaäy töø

vaø

ta choïn ñöôïc moät haèng soá

sao cho

2

2

(

,

))

exp(

,

))



( TMTC



M

(

)51.4.1(

TMCM 1

2

1 2

vaø



KMM





T 8

)

 1(

)

~ KMMM 1

1

1

1



1 b

0

  1 

   ( 

)52.4.1(



TKMM







MM 



(

2)(

 1(

)

)

.1

exp

1(

)

1

1

~ KTMM 1 1

1

1 b

1 2

  

0

  

     

   

   

)

)49.4.1(

)51.4.1(

Cuoái cuøng töø (1.4.46),

vaø

ta thu ñöôïc

t

2

k )(

0



Tt

T

.

)53.4.1(

S

)( Mt 

exp(



( TMTC

,

))



(

)

)( s

ds

,

2

2

)( k m

)( k m

m 

 , STMC

0

),53.4.1(

Aùp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc töø

raèng

2

2

 Mt )(

exp(



TMTC (

,

))

exp(

MtTMC

))



(

,

2

)( S k m

2

)(k

t 

,0[

].

)54.4.1(

vôùi moïi

mT

T

Do ñoù ta coù theå choïn

vôùi moïi k vaø m. Vaäy ta coù

m )( T k

,

)

)55.4.1(

vôùi moïi k vaø m.

v k )( m 

TMW (1

)(k

)(k

}

}

)55.4.1(

ta coù theå trích ra töø daõy

moät daõy con vaãn kyù hieäu laø

sao cho

Töø

mv {

mv {

v

 L

2HVT 

)56.4.1(

yeáu * trong

k v )( m

m

 v

,0( ; ),

)57.4.1(

yeáu * trong

k  )( v m

m

L ,0( VT ; ),

)58.4.1(

yeáu trong

k (  ) v m

 v m

), (2 TQL

)59.4.1(

),22.4.1( ),21.4.1(

)56.4.1(



),59.4.1(

)17.4.1(



)19.4.1(

Qua giôùi haïn trong

bôûi

yeáu

ta coù mv thoûa

, ). TMWvm  (

trong

Maët khaùc, töø (1.4.16), (1.4.17) vaø (1.4.59), ta coù



v



 L

,0(

2LT ;

),

 v m

tb )( m

m

F m

,0(2 L T ).

vaø Ñònh lyù 1.4.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát.

do vaäy

, ) TMWvm  (1

M



,0

T



0

Ñònh lyù 1.4.2. Giaû söû

thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá

thoûa (1.4.49),

5

)6.4.1(

,

).

)51.4.1(

)52.4.1(

)8.4.1(

vaø

sao cho baøi toaùn

-

coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

Maët

TMWv  (1

)17.4.1(



)19.4.1(

khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

hoäi tuï maïnh veà nghieäm v

( G ) G  ) ( 1

trong khoâng gian

}{ mv

  Lv {

 LvVT :)

2 LT ;

Hôn nöõa, ta cuõng coù ñaùnh giaù

v



v



 v



 v

)60.4.1(

, vôùi moïi m,

m

m

m T

 L

,0(

; VT

)

 L

,0(

; LT

2  Ck )

 ) ,0(  ; ,0( )}. TW ( 1

trong ñoù







KMM



T 8

1

)

 1(

)

1

1

kT



1 b 0

  

 ~   KMMM 1 1 

)61.4.1(









MM 

TKMM



(

2)(

 1(

)

)

1

exp

1(

)

1

1

~ KTMM 1 1

1

1 b

1 2

  

0

     

  

   

   

vaø C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T,

0 u ,

1

vaø Tk .

Chöùng minh.

a./ Söï toàn taïi nghieäm

).

Tröôùc heát, ta seõ chöùng minh raèng

laø moät daõy Cauchy trong

Vôùi cuøng pheùp tính

u ,

(1 TW

}{ mv

, ta

toaùn nhö trong ñoaïn (1.3.45) - (1.3.48) ôû chöùng minh ñònh lyù 1.3.2, neáu ñaët

m

1

m

m

cuõng thu ñöôïc

t

b

()( swswas ( (

),

))

ds



)( tp m



m

1

m

m



0

)( s



))



v

(

ds

+

( sb m

m

 sws ), )(  m

m

1 

t  (2 b 0

t



2

s )(



 )( swsF ,)(

ds

,

(1.4.62)

+

F m

 1

m

m



0

ôû ñaây

2

 



twtwat ()( ( (

),

)).

(1.4.63)

tp )( m

tw )( m

b m

 1

m

m

),11.4.1(

)13.4.1(

)16.4.1(

Maët khaùc, töø

vaø

ta thu ñöôïc

2

b

t )(



t ,(



v

t )(



t )(

)

1

 

m

m

 B  t

2



2

t ,(



v

t )(



t )(

)



v

t )(



t )(

m

m

(1.4.64)

 B  z



 v

t )(

 

t )(

m



 (21(

 MM

,

2 ))

1

~ K 1





(



)



w

t )(

t )(

2

1

b m

1 

tb )( m

m

1 

(1.4.65)



2

)

(

,

~ MMK 1 ~  wMMK 1

1

1 

)

TWm (1

t )(





K

 MM

2

)



w

t )(



  22(

)( t

F m

 1

tF )( m

1

1

m

 1

 w m

 1

w  v  v



2

K

1(





.

(1.4.66)

1

 1

1

)

TWmwMM ) (1

Töø (1.4.62) - (1.4.66) ta suy ra raèng

t

2

2

2

2





MM 

)

ds

 (21 



 tw )( m

m

)( tp m

m

)( twb 0

1

V

V

~  swK )( 1

0

t

4



(

)

ds

+

~ wMMMK 1

1

m

1 

 sw )( m

)



( TW 1

0

t

4

K

1(



wMM



)

ds

+

1

1

m

 1

 sw )( m

)



( TW 1

0

t

2

2



MM 

)

ds

 (21 



m

1

V

~  swK )( 1

0

t



4





)

(

1(



wMM



ds

 )

 sw )( m

m

~  KMMMK 1

1

1

1

1 

)



( TW 1

0

t

2





)

ds

 (21 

 2 )( swKMM

m

~ 1

1

V



0

2

~



2



(

)

1(





  KMMMKT

1

1

1

 1

1

 TWmwMM ) (

)

1

t

2







(

)

1(



MM 

)

ds

 2

~ KMMMK 1

1

1

1

 sw )( m



0

2



2



(

)

1(





  KMMMKT

~ 1

1

1

 1

1

 TWmwMM ) (

)

1

2

 (21



)



2

(

)



2

K

1(



 MM

 + 

)

~  KMM 1 1

~  MMMK 1

1

1

1

t

2

2





 sw )( m

)( sw m

 ds



V



0

2



)

 1(



)

~   KMMMT (2

1

1

 1

1

1

 TWmwKMM (

)

1



 MM

2)(



)



2

K

1(



 MM

   (21

)

1

~  KMM 1

1

1

1

t

2

2





(1.4.67)

sw )( m

sw )( m

 ds .



V



0

Do vaäy

2

2







 tw )( m

tw )( m

tp )( m

V

1 b 0

  1 

  

2



)

[(

 1(



)





T 2

~ KMMM 1 1

 1

1

1

TWmwKMM ] (

)

1

1 b 0

  1 

  

 MM

2)(



)



2

K

1(



 MM





1

   (21

)

1

~  KMM 1

1

1

1

1 b

0

  

  

t

2

2





(1.4.68)

sw )( m

sw )( m

 ds .



V



0

Töø (1.4.68), ta suy ra raèng

w



vôùi moïi m, (1.4.69)

m

wk T m

1 

)

)

TW ( 1

TW ( 1

0



1

trong ñoù

ñöôïc xaùc ñònh nhö trong (1.4.61).

 Tk

Töø ñaây ta thu ñöôïc

m

vôùi moïi m, p. (1.4.70)

m

0

)

)

TW ( 1

TW ( 1

T

).

Suy ra

laø moät daõy Cauchy trong

Do ñoù toàn taïi moät

sao cho

 v  v v  pm v 1 k ( T  1 ) k

(1 TW

)(1 TWv 

}{ mv

).

(1.4.71)

(1 TW

v vm  maïnh trong

}

Vì

cho neân ta coù theå laáy ra töø

moät daõy con

sao cho

jmv {

 L

, ), TMWvm  (1 }{ mv

2HVT 

v

v

(1.4.72)

jm  yeáu * trong

,0( ; ),

 v

(1.4.73)

  yeáu * trong v jm

L ,0( VT ; ),

 v

(1.4.74)

  yeáu trong v jm

TMWv  (

,

).

(1.4.75)

Chuù yù raèng

2

 v

t )(



tvtB )(

,(



t )(

)



tv )(

tb )( m

m

x

x

~  K



v

t )(



tv )(



(2

 vMKMM )



t )(



tv )(

m

0

m

 1

~ 1

1

), (2 TQL

(1.4.76)

m

m

 1

)

)

TW ( 1

TW ( 1

ea . t .,



,0(

T

).

Töø (1.4.71) vaø (1.4.76) cho

  v  (2   v ~ vK 0 vMKMM ) 1 ~ 1

2



v

)( t



)( tvtB

,(



)( t

)



v

2LT ;

maïnh trong

(1.4.77)

)( tb m

m

x

x

Töông töï

2



,,

 ,

,

,



t )(

F m

x

x

 ~ tvvvvtxf )( x



,0(

)

 L

2 ; LT

(1.4.78)

.



1(2





)



v

vKMM 1

1

m

 1

)

( TW 1

Ta suy ra töø (1.4.71) vaø (1.4.78), raèng

2





,,(

,

,

,



t )(

)

L ,0( ).

2LT ;

maïnh trong

(1.4.79)

F m

~ tvvvvtxf )( x

x

x



)17.4.1(



)19.4.1(

Laáy giôùi haïn trong

vôùi

vaø keát hôïp vôùi caùc keát quaû (1.4.72) - (1.4.75),

jmm

TMWv  (

,

)

L ,0( ).

laø nghieäm cuûa phöông trình

2



 wtv ),(



t )(



tvtB )(

wtva (() )

),

x

x

1.4.80)

2

vôùi

moïi



,,(

,

,

,



t )(

),

 w

,

 Vw

,

,( ~ tvvvvtxf )( x

x

x

vôùi ñieàu kieän ñaàu

(1.4.77) vaø (1.4.79), ta suy ra raèng

. (1.4.81)

0

Maët khaùc, töø (1.4.77), (1.4.79) vaø (1.4.80) ta thu ñöôïc

2

2



 tvtBv ,( )(





t )(

)

v



,,(

,

,

,



t )(

)

v )0(  ,~ v  v ~)0(  v 1

2LT ;

x

x

xx

~ tvvvvtxf )( x

x

x

)85.4.1(

,

)

do ñoù

vaø chöùng minh toàn taïi nghieäm laø hoaøn taát.

TMWv  (1

b./ Tính duy nhaát nghieäm

)6.4.1(



),8.4.1(

Giaû söû

laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn

thoûa

v 1 , v

2

L ,0( ),

. (1.4.83)

tv )(





Khi ñoù,

thoûa baøi toaùn bieán phaân

tv )( 1

tv )( 2







))t(



 wtv ),(

),

(

)t(

~ B 1

~ B 2

 wtv ( ), 2

(1.4.84)





,

 Vw

,

vôùi

moïi

~  wtvatB (()( ) 1 ~ ~  wtF tF )( ( ), 1 2

vaø ñieàu kieän ñaàu

v

)0(

  v

)0(



,0

(1.4.85)

ôû ñaây

 , i ),  2,1 TMWvi (1

2







),

)( t

)( tv i

(1.4.86)

2



,,(

,

,

,







.2 ,1

)( t

), i

~ )( tB i ~ )( tF i

,( tB ~  vvvtxf i

i

i

)( tv i

   

Choïn

vw  trong (1.4.84), sau ñoù tích phaân töøng phaàn ta thu ñöôïc

t

2

2





 tw )(

()(

),

(

))

ds

)( twb 0

~  swswasB ( 1

V



0





))



(



ds

~ sB )( 1

~ sB ( 2

), swsv )( 2

t +  (2 0

t



2





(

ds .

(1.4.87)

+

~ sF )( 1

~ swsF  )( ), 2



0

Ñaët

2

2





tZ )(

 tw )(

tw )(

,

V

1.4.88)

~ K

KMM

MM 













2)(

)

2(2

)

M

1

~  KMM 1

1

1

1

 .

1 b

0

    (21 

  1 

     

Khi ñoù ta suy ra töø (1.4.87), (1.4.88) raèng

t

)(tZ

t 

,0[

T

].



)( sZ

ds

,

~ K

(1.4.89)

M



0

.

)( tZ

,0

AÙp duïng boå ñeà Gronwall ta suy ñöôïc

coù nghóa laø

v  1

v 2

Vaäy Ñònh lyù 1.4.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn toaøn.

Chuù thích 1.4.1. Veà tính duy nhaát nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù ñieàu kieän bieân khoâng thuaàn nhaát

 L

,0(

2HT ;

),

,0(

1HT ;

),

sao cho

ui

 ui L

u 1 , u

2

,0(

2LT ;

),

u 

2 ,1i

0T

vôùi moät

thích hôïp. Khi ñoù

laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn coù

 ui L

u 1 - u

2

ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát (1.1.1) - (1.1.3) töông öùng vôùi

(1.1.1) - (1.1.3). Giaû söû baøi toaùn coù hai ngieäm yeáu

0

1

0

2

2

,0 g   ~ ,0 u   ~ u 1

2

2

2

 

 ,, utxf

(1.4.90) 

thoûa

 Lu

, , , , f      u  , uu 1 1 u 1  , uu 2 g  ,, utxf 1    

2HT ;

 Lu

1HT ;

 Lu

2LT ;

(1.4.91)

,0( ), ,0( ), ,0( ).

u



u -



.0

Vôùi caùch laøm töông töï cho baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát, ta thu ñöôïc

Do

u 1

2

ñoù baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu maø khoâng phuï thuoäc vaøo haøm  trong

v

 u .

caùch ñoåi aån haøm

1.5. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ñeán caáp 3 theo moät tham soá 

Trong phaàn naøy, ta tieáp tuïc xeùt baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3) cuøng vôùi caùc giaû thieát

, vaø

5

giaû söû theâm raèng

1

G (

:)

IRCB



(

),

ztB ),(



; 0

6

2 

1

1

( G ) G  ) ( 1

thoûa giaû thieát

7

1

5G ( ).

Chuùng ta khaûo saùt baøi toaùn nhieãu trong ñoù ε laø tham soá, ε

1:

2

2

G ( :) f

x

x

t

x

tt

ε

ε

uuuutxFu Tt   x   utB ,( ) ,,( , , , ), 0 0 ,1 ,

x

   t ),0( t ),0( ),( u t ),1( ),( uh 0 tg 0 tg 1

2

2

2

  )0,( ), )0,( ), ( (~ xu 0 xu t (~ xu 1 P ε

x

t

x

x

t

x

x

t

x

ε

2

2

2

  uuuutxF , ,,( , , ) uuuutxf , ,,( , , ) , , ), uuuutxf ,,(ε , 1

x

x

1

x

ε

  utB ,( ) utB ,( ) utB ,( ε ).  u    u    xu )         

Tröôùc heát, ta chuù yù raèng neáu caùc haøm

thoûa caùc giaû thieát

0

1

1

0

1

,g ,g ,~ ,~ u u , , f fBB , 1

thì baøi toaùn

7

2

2

( G ) ) G  ( ) 1 ( εP töông ñöông vôùi baøi toaùn bieân - giaù trò ñaàu:

ε tt x

x

xx

  )  ,,( , , ,  ), ,( )( tvtB )( t v )( t

t ,1

x  x

x , Tt

)

~ ( εP

~ vvvtxF ε 0 )( tv x 0 

 ),0( t v ),1( t

trong ñoù

 )1

xh (0

(

x



)1



e

),



tx ),(



tg )( 0

tg ( 1

1

1  h 0

,,(

,



vtxF ,,(

 ,

v



,

v



z ),



ztB ),(



,

x

t

t

x

x

xx

t

tt

~ zvvvtxF , ), ε

ε

), )0,(  ), xv t ,0  (~ xv 1  v    ),0(  v t vh  x 0  (~)0,(  xv xv  0

,

.

t

  x )0,(  x )0,( )(~ xv 0 )(~ xu 0 )(~ xv 1 )(~ xu 1

)(k

}

Chuù yù raèng caùc ñaùnh giaù tieân löôïng cuûa daõy xaáp xæ Galerkin

trong phaàn chöùng minh cuûa ñònh

mv {

)

lyù 1.4.1 ñoái vôùi baøi toaùn

~ ( εP , thoûa

,

),

)1.5.1(

v k )( m 

TMW (1

trong ñoù M vaø T laø caùc haèng soá ñoäïc laäp vôùi . Thaät vaäy, trong tieán trình chöùng minh, ta cuõng choïn

(

,

)

),49.4.1(

),51.4.1(

),52.4.1(

caùc haèng soá döông M vaø T töông töï nhö trong

vôùi

vaø

~ fTMK i ,

(

,

)

(

,

),

~ BTMK ,

(

,

)



(

,

)

1 ,0i

1 ,0i

laàn löôït thay bôûi

vaø

,

.

~ BTMK i ,

i

~ 1BTMK ,

i

~ FTMK i , ε

sup 1 ε 

)(k

}

,k

trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi

roài sau ñoù laø

Do vaäy, giôùi haïn

mv {

εv cuûa daõy

)

,m

laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

~ ( εP thoûa

)2.5.1(

,

).

TMW ( 1

εv

Töông töï nhö chöùng minh cuûa Ñònh lyù 1.4.2, ta coù theå chöùng minh ñöôïc giôùi haïn

0v cuûa hoï

,0

trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi

ε  laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

~ ( 0P )

0

töông öùng vôùi

ε  thoûa

,

)

)3.5.1(

.

TMW ( 1

0v

}{ εv

Do ñoù

0u =

0v +  laàn löôït laø caùc nghieäm duy nhaát cuûa baøi toaùn

εu =

εv +  vaø

) ( 0P ) ( εP vaø cuûa

(

ε  ). 0

Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau

) ( 0P laø baøi toaùn töông öùng vôùi

vaø

0M

ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá

Ñònh lyù 1.5.1. Giaû söû raèng caùc giaû thieát

7

,1

( G ) G  ) ( 1

ε  baøi toaùn

sao cho vôùi moãi  ,

0T

εu sao cho

) ( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

,

)

thoûa

TMW ( 1

ε

ε

u



u



 u



 u



C

ε

)4.5.1(

,

0

0

ε

ε

 L

,0(

VT ;

)

 L

)2; LT

,0(

(

,

),

u  v

fTMK ,

,

),

ôû ñaây C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo

1

~ BTMK , 1

(1

(

,

).

, , , , b 0 MMTh , 0

vaø

~ BTMK , 1

0

0

1

fTMK , ( , )

, khi ñoù v thoûa baøi toaùn bieán phaân

0

0

ε

ε

2



,



Chöùng minh. Ñaët    tBwtv ),(

 wtva ),(( )

tu )( ε

v  v  v  u  u

2

2

,







,





( wtu ), 



)( tu 0

0

tu )( ε

 tB



 tB



 

,ˆ wf ε

wf ,  ε 1

2



wtu  ( ),

,

)5.5.1(

Vw  ,

B ε 1

ε

tu )( ε

+ 

 ε  

v

)0(

  v

)0(



,0

trong ñoù

2

2





utxf ,,(

,



,



u

)



utxf ,,(

,



,



u

),

 uu , 0

0

0

0

ˆ f ε

),(ˆ f tx ε

 uu , ε

ε

ε

ε

2

f



f

tx ),(



,



,



u

)

+ vôùi moïi

1

utxf ,,( 1

ε

ε 1

ε

 uu , ε

ε

ε

)5.5.1(

Choïn

, roài laáy tích phaân töøng phaàn theo bieán t, ta ñöôïc

vw  trong

t

2

 tv )(



(()(

),

))



(()(

),

))

ds

( tvtvatb ε

  ( svsvasb ε

0

t

2

2





2

,( tB





,( tB



)



), svsu )( 

(

ds

)( su 0

0

su )( ε







0

t

2





ε2



)



), svsu )(

(



ds

,( tB 1

su )( ε

ε



0

t

t

)6.5.1(



2



 svs )( ),



ds



2ε



f

(

 svs  )( ds ),

,

1

(ˆ f ε

ε





0

0

ôû ñaây

2



tB ,(



).

)7.5.1(

t )(b ε

tu )( ε

Ñaët

2

2

t )(σ

 

tv )(



.

)8.5.1(

Vtv )(

Khi ñoù, ta coù theå chöùng minh moät caùch töông töï baát ñaúng thöùc sau

2

2

2

)9.5.1(

)( tv





ε

T

γ



γ(



ds

0 ,



Tt

,

)( tvb 0

1

2

2

V

t  )(σ)γ s 0

vôùi

.

1

1

1

γ  , , ( )  2(2 )

1

1

)10.5.1(

1

2

0

1

0

)9.5.1(

Tieáp theo, do

vaø boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc

MM  2)(  ) ( , , ), ~  BTMKMM 1 ~ fTMKMM   (1  fTMK ,  ( ) ( , γ   ( , ). BMKMM ) 1     

2

t 

,0[ T

]

)11.5.1(





T





T

t )(σ

1(

)ε

γ

exp

1(

γ)(

vôùi moïi

.

2

1

)γ 2

1 b

1 b 0

0

  

  , 

Do ñoù

v



 v



C

ε

)12.5.1(

,

 L

,0(

VT ;

)

 L

)2; LT

,0(

trong ñoù

C



1(2



γ) T

exp

1(



γ)(



T

2

1

)γ 2

1 2

1 b 0

1 b 0

  

  

(

,

),

fTMK ,

,

),

laø haèng soá chæ phuï thuoäc

1

0

1

~ BTMK , 1

(1

(

,

).

Ñònh lyù ñöôïc chöùng minh hoaøn taát.

vaø

~ BTMK , 1

0

Keát quaû tieáp theo cho ta moät khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu

εu ñeán caáp 3 theo tham soá

, vôùi  ñuû nhoû. Baây giôø, ta giaû thieát theâm raèng

2

B

b 



, 0



(

),

, , , , fTMK , ( , ) b 0 MMTh , 0

,0

3 2 IRCB 

8G ( :)

2 IRCB 

1

0

1 B

3

3

2

3

 ( ),

vaø



1





9G ( :)

thoûa caùc ñieàu kieän sau

i :)(

f

zwvut , ),

,

,,1(

zwvut ), ,

,

,0



i :)2(

f

,,1(

zwvut , ),

,

,,1(

zwvut , ),

,

,0



,,1(  u

f  1  f u 1

i :)3(

,,1(

zwvut , ),

,

,,1(

zwvut , ),

,

,0

f



 v

i :)4(

,,1(

zwvut , ),

,

,,1(

zwvut , ),

,



,0

f

 w

 f v 1  f w 1

i :)5(

f

zwvut , ),

,

,,1(

zwvut , ),

,

,0



i :)6(

f

,,1(

zwvut , ),

,

qp ,



zwvu , ,{

,

},

 f 1 z ,0 

vôùi

 ,,1( z  pq

3

Cf  ]1,0([  IR  IR  ) f  C ]1,0([  IR  IR  IR ), IR 

, zt

0

vaø

vôùi moïi

Ta söû duïng caùc kyù hieäu sau

2

2

uf ][



uuuutxf ,

,,(

,

,

),

uB

][



utB ,(

).

x

t

x

x

wvu ,( , )  IR .

,



(

,

)

ε 

0.

Giaû söû

laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn

Goïi

0

u 1

TMWu 1

2

M



T ,0



0

(vôùi caùc haèng soá

thích hôïp) laàn löôït laø caùc nghieäm yeáu cuûa caùc baøi toaùn döôùi ñaây

, ) ) TMWu  (1 ( 0P töông öùng vôùi

 0 ], x  0 ,1  Tt , uB [

0 t ),0(

i 

 u i  u ~ uF [ i t ),0( u t ),1(  ,0 Q ( i

i i

i xu )0,( i

  ,0  ,2 ,1 u  ] i  uh i 0  xu )0,( i   )   

trong ñoù

]

]

u [



~ uF [ 1 1

uf [ 1

0

0

 uuf ] [ u 0 1

  uuf ] u [ ]  u 1 1 0

 f u

)13.5.1(



 ]

u

,

(

 2]

 ]

u

,

)

u

,

0

0

uB [ 1

0

 uB [ z

0

 u 1

0

0

x  u 1

 [2 uf z

vaø

]



(

f

)



c

(

f

)



 2]

u

,



~ uF [ 2

2

c 1

1

2

uB [ 1

0

  u u 1 1

0

0

 uB [ z

2

)14.5.1(



 2

u

,

u



2

u

,

u 1

0

0

 uB [ 1 z

0

0

0

u 1

0

 ]  ]

  u 2

2

u

u

,

,



2

 ]   ]

 u uB [ z   u 1

0

0

 uB [ zz

0

vôùi

(

f

)

u [



 ]

u

,

,

)15.5.1(

c 1

1

0

0

u  1

0

 uuf ] [ u 0

 f u

  uuf u [ ] ]  u 1 1 0

 uf [2 z

x

c

(

f

)

u [

u

2

2

2

2

0

 uuf ] [ u 0

 f u

  ] uuf [ ] u 0

x

2





(



](

 2

u

,

u

)

0

u 1

 2

0

c 1

 uf [2 z

 ) uf u 1

1 2



f

(



(

f

u

,

(

)

)16.5.1(

c 1

c 1

c 1

0

u  . 1

  uf )  u 1

 ) z

 u u x 1

1 2

1 2

Khi ñoù, ta coù

Giaû söû

εu laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

ε

2

v



u



u



ε u



ε

u



u



h

thoûa baøi toaùn

0

1

2

ε

ε

[

[

]

(

]

hvB [

])













h 

hB [ ε

Tt

ε

ε txE ,(

),

0

,

0 ,1



hF ][ ε x 

ε 

)17.5.1(

ε v

t ),0(

t ),0(

t ),1(

,0







vh 0  xv )0,(

,0





 hvFvhvBv ]      v  x  xv )0,( 

trong ñoù

2

txE ),(





uf [

]



(



uB [

])

 h

ε

]



ε

]

)18.5.1(

.

0

0

~ uF [ 1 1

~ uF [ 2

2

ε

hF ][ ε

hB ][ ε

Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau

) u  , ). TMW (1 ( εP thoûa

~ sao

8G vaø ( )

9G thoûa. Khi ñoùù toàn taïi moät haèng soá K (

Boå ñeà 1.5.1. Giaû söû cho

~ 3K ,ε

)19.5.1(

LE  ε

,0(

2 LT ;

)

~ trong ñoù haèng soá K

,3 ,2 ,1

),

(

,

( ), ) G  ) ( 1 G 3

chæ phuï thuoäïc vaøo M, T vaø caùc haèng soá ~ iBTMK i ,

(

,

),

i

,2 ,1

( , ), fTMK i ,

~ BTMK i ,

1

1fTMK i ,

( , ),

i

(

,

)

zt ,),( i



,3 , 2 ,1

~ , BTMK



i

B  i z 

0 ,

(

sup z  

0 t T  

2)1 MM 

fTMK ,

(

,

)



u ,][

2

qp ,

 ,{

  f pq  , }, zuxuu

sup x Tt   0 ,1 0 |  Muxuu ,  | |, | | |, MMz   ( 0

2)1



fTMK ,

(

,

)

u . ][

3

rqp ,

 ,{ ,

  f pqr  , } , zuxuu

sup x Tt ,1   0 0 2)1 |  , Muxuu  | |, | | |, MMz   0 (

][hf

Chöùng minh. Duøng khai trieån Maclaurin cho hai haøm

vaø

ø theo bieán  ñeán caáp 3 vaø caáp

][1 hf

2, laàn löôït ta thu ñöôïc

2

2

3

3

hf ][

uf [

]

ε

hf

hf

[(

hf

])





[(

])



[(

])



0

2

3

 0ε

 0ε

ε

ε

 θ 1

 ε 

 ε ε!2 

 ε ε!3 

2

3



(

f

 ε) c

(

f

ε)



ε

ε,

[

,

,

,

],

)20.5.1(

c 1

2

uuufR , 1 1

3

0

2

2

2



]



ε

(

])



(

])

hf [ 1

hf ][ 1

uf [ 1

0

hf [ 1

2

 0ε

ε

 θ

ε

2

  ε

 ε ε!2 

2



]



(

f

ε)



ε

ε,

[

,

,

,

],

)21.5.1(

uf [ 1

0

c 1

1

uuufR , 2

2

1

0

1

2

),15.5.1(

),16.5.1(

(

f

c ),

(

f

)

trong ñoù

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

vaø

uuufR , 1 1

3

2

0

c 1

2

ε, [ , , , ]

][hf

laø caùc soá haïng phaàn dö trong khai trieån Maclaurin cuûa hai haøm

vaø

uuufR , 2

0

1

2

2

1

][1 hf

ñöôïc cho bôûi

3



[(

hf

])

,

ε, [ , , , ]

)22.5.1(

uuufR , 1 1

2

3

0

3

ε



ε

θ 1

 1 ε!3 

2

ε, [ , , , ]



(

])

,

)23.5.1(

hf [ 1

uuufR , 2

2

1

2

1

0

2

ε

 θ

ε

2

 1 ε!2 

0





i ,1



.2 ,1

vôùi

 i

)20.5.1(



),23.5.1(

khi ñoù ta thu ñöôïc

Toå hôïp

ε, [ , , , ]

0

0

2

(



]



(

f

ε))



(

(

f

)



c

(

f

ε))

c 1

c 1

1

)24.5.1(

3

uf [ 1

0 

ε

fR [

,

,

,

,

,

],

2 ε,

uuuf , 1 2

2

0

1

1

vôùi

 uf [ ]  hf ][  uf [ ]  ε hf ][ 1 hF ][ ε

uuuf , 1 2

1

1

2

0

fR [ , ε, , , , , ]

)25.5.1(

+

uuufR , 0 1

3

2

1

uuufR , 2

2

1

1

0

2

][hB

vaø

cuõng ñöôïc khai trieån Maclaurin theo bieán  ñeán caáp 3 vaø caáp 2,

Töông töï, hai haøm

][1 hB

laàn löôït ta cuõng thu ñöôïc

2

2

3

3

hB ][

uB [

]

ε

hB [(

])





hB [(

])



hB [(

])



0

2

3

 0ε

 0ε

ε



ε

θ 3

 ε 

 ε ε!2 

 ε ε!3 



ε2

u

,

0

0

 u 1

 uB [ z

2

2



ε



 2

u

,

u

2

](



u

,

)

0

u 1

0

0

u  1

0

 uB [ z

 uB [ zz

  2

 ]  ]



2

3

ε,

ε

[

,

,

,

],

)26.5.1(

uuuBR , 0 3

2

1

~ 3

2

2



]



ε

(

])



hB [(

])

hB ][ 1

uB [ 1

0

hB [ 1

2

 0ε

ε



θ

ε

4

  ε

 ε ε!2 

ε, [ , , , ] ε, [ , , , ].

0

0

0

2

ε,

ε

[

,

,

,

,

],

)27.5.1(

~ 2

uuuBR 0 4

1

1

2

trong ñoù

3

ε,

[

,

,

,

]

hB [(

])

,

)28.5.1(

~ uuuBR , 3 1 3

2

0

3

ε

ε

 θ 3

 1 ε!3 

vaø

2

ε,

[

,

,

,

]

(

])

.

)29.5.1(

hB [ 1

~ uuuBR , 2 4

1

0

2

1

2

ε



θ

ε

4

 1 ε!2 

)26.5.1(



),29.5.1(

ta thu ñöôïc

Keát hôïp

 ε2]  ]  u , uB [ 1  uB [ z 1 u  1

0

0



2(

u

,

 uB [ z

0

0

 u 1

uB [ 1

0

2

2



 2

u

,

u

2

](



u

,

)

0

u 1

0

 uB [ zz

0

u  1

0

 ]  ]

ε])   2

  uB [ z



2

 ]

u

,

 2 ε

 uB z [ 1

0

u  1

0

ε,

[

,

,

,

]

ε,

[

,

,

,

3 .ε]]

)30.5.1(

+[

~ uuuBR , 3 3 1

2

0

~ uuuBR , 2 4

2

1

0

1

Do ñoù

 uB [ ]  hB ][  uB [ ]  ε hB ][ 1 hB ][ ε

0

0

0

0

0

(  uB [ ])  h (  2]  ] u , ) u ε uB [ 1  uB [ z  u 1 hB ][ ε

0

0

1

0

2

2



 2

u

,

u

u

2

B

u

,

 uB [ z

0

0

2

 ( zz

0

 u ) u 1

0

0

u 1

 {(  2]  ] , ) u uB [ 1  uB [ z  u 1

 

u  ]

2



2

 ]

u

,

}ε

 uB z [ 1

0

  u u 1

0

0

ε,

,

,

,

,

,

,

3 ,ε]

)31.5.1(

+

~ uuufBBR [ , 0 4

2

1

1

3

ε,

,

,

,

,

,

,

]

Vôùi ~ uuuBBR [ 1 4

1

0

2

3

ε,

[

,

,

,

]

ε,

[

,

,

,

].

)32.5.1(

+

uuuBR , 0 3

2

1

~ 3

~ uuuBR , 2 4

0

2

1

1

)13.5.1(



)31.5.1( ),25.5.1( ),24.5.1( ),16.5.1(

),32.5.1(

Keát hôïp

vaø

khi ñoù ta thu ñöôïc

2

txE ),(





uf [

]



(



uB [

])

 h

ε

]



ε

]

0

0

~ uF [ 1

1

~ uF [ 2

2

ε

hF ][ ε

hB ][ ε

3

~ 3 fR [

ε

,

ε,

,

,

,

,

]

ε

ε,

,

,

,

,

,

,

]

+

uuuf , 1 2 2

1

0

1

~ uuuBBR [ 1 4

0

1

2

3

~ 3 fR [

ε

,

ε,

,

,

,

,

,

,

,

,

].

)33.5.1(

uuuBBf , 1 2 4

2

3

1

0

1

1

1HT ;

Do tính bò chaän cuûa caùc haøm

trong khoâng gian

ta thu ñöôïc töø

i

i

i

)22.5.1(



)32.5.1( ),29.5.1( ),28.5.1( ),23.5.1(

)33.5.1(

vaø

raèng

)34.5.1(

E

~ 3 K ,ε



ε

 L

,0(

LT ;

2 )

2

2

2

trong ñoù ~ K



6

fTMKM (

,

,

 9)

M

30(

M



13

M



)1

fTMK ,

(

,

)

1

2

3



M

 21(

M

2  61()

fTMKM (

)

,

,

)

3

81 2

2



M

1(



15

fTMKM (

)

,

,

)



M

 61(

M

 21)(

fTMKM (

)

,

,

)

1

1

2

1

~

27 2 ~

4

6

2



6

BTMKM (

,

,

)



270

BTMKM (

,

,

)



972

BTMKM (

,

,

)

3

~ 1

2

~

2

4



15

,

,

)



162

,

,

).

~ 1

BTMKM ( 1

BTMKM ( 1

2

Boå ñeà 1.5.1 ñöôïc chöùng minh.

Baây giôø, ta xeùt daõy haøm

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

u ,  u  u , i ,  2 ,1 ,0 L ,0( ),

}{ mv



,0









 vh ]

]

h

1 









vB [ ε m 1 

m

(

h

]

])

),

txEh ,( ε

)35.5.1(



hF ][ ε hB [ ε 0

,1

Tt

,





vF [ ε m vB [ ε m 1   x 0 

t ),0(

v

t ),0(

t ),1(

,0

mx







vh 0  v

m x )0,(

,0

m

x )0,(

m

.1

m

m

v  0   v  m     v   v 

,1m

Vôùi

ta coù baøi toaùn

Tt



x 



txE ,(

),

0

0 ,1

,







ε t ),0(

ε t ),0(

t ),1(

,0

)36.5.1(

v 1





.0

vhB  ][ 1 vh 10  xv )0,( 1

 v  1  v  1 x  xv )0,(  1

)36.5.1(

),19.5.1(

Nhaân hai veá cuûa

ta thu ñöôïc

bôûi 1v , khoâng maáy khoù khaên töø

2



))(

 tv )( 1

b ,1

tvtvat ()( ),( 1

1

ε

t

)37.5.1(





ε

2

svsvas ( ()( (

),

))

ds

,

~ 3  vTK 1

1

1

 L

,0(

2 LT ;

)

  b ε ,1

0

trong ñoù

2

2

t )(



tB ,(



th )(

)





th )(

).

tB ε ,( 1

b ,1 ε

Ta coù

2

2

t )(

th )(

)





th )(

)

 ,( tB t

 tB ε ,( 1 t

 b ,1 ε

2

2

2

th )(

)





th )(

)



th (

),



 th  .)(

)38.5.1(

 tB ,( z

 tB ,( ε z 1

+ 



Do ñoù

2

t )(



 81(

)(

,

,

)



(

,

))



)39.5.1(

~ BTMKM ( 1

~ BTMK , 1 1

.β 1

 b ,1 ε

)37.5.1(

)39.5.1(

Ta suy töø

vaø

raèng

t

2

2

2

)40.5.1(



ε



2



β

ds .

 tv )( 1

tvb )( 1

0

~ 3  vTK 1

1

sv )( 1

V

 L

,0(

2 LT ;

)

V



0

AÙp duïng boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc

3









ε

exp

1

.

)41.5.1(

 v 1

v 1

T 1

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

1 b 0

1 b 0

  β 

  

 ~  KT 

  14 

   

   

Ta seõ chöùng minh toàn taïi moät haèng soá

TC ñoäc laäp vôùi m vaø , sao cho

)42.5.1(

3 ,ε

vôùi moïi m.

m

m

T

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

 v  v  C ε  ,1

)35.5.1(

Nhaân hai veá cuûa

vaø sau khi tích phaân theo bieán t, ta ñöôïc

vôùi mv

2

2

 v

t )(



t )(

vb 0

m

m

V

t

2



v

)( s

ds

m

,

m

)(ε s

V

  b

0

t



2

[ vf



h

]



][ hf





h

]



 v

ds





m

1 

[ vf 1

m

1 

][ hf 1

m



0

t

[ vB



h

]



][ hB



 vh

ds

m

1 

m

  2

0

t

t

3

)43.5.1(



2



h

]





 vh

ds



2

 v

ds

,

~ K

ε

vB [ 1

m

 1

hB ][ 1

m

m





0

0

trong ñoù

b

t )(





h

]



vB [



h

]



ε



h

],

m

m

 1

vB [ 1

m

 1

m

 1

ε ,

vB [ ε

b

t )(



h

]



ε



h

]

 m

 [ vB t

m

 1

 vB [ 1 t

m

 1

,ε



2



h

]



ε



h

]

v

h 

,

 v

  h

.



 

 vB [ z

m

 1

 vB [ z 1

m

 1

m

 1

m

 1

Do vaäy

2

t )(



 81(

)(

,

,

)



(

,

))



)44.5.1(

 bm

~ BTMKM ( 1

~ BTMK , 1 1

.β 1

,ε

Ñaët

2

2



 v



v

,

ψ



m

m

m

,0( 

)

,

,



)45.5.1(



1

1

2

2

2 LT ,0( ;  ) 5

(

)

,

,

,





 L L ) fTMKM ( 53(  ) 1 

 . )

, ~ BTMKM ( 1

VT ; ) fTMK , ( ~ BTMK , 1 1

  β    

)43.5.1(

)45.5.1(

Ta suy töø

-

raèng

,1m

)46.5.1(

vôùi moïi

m

1 

m

vôùi

ψ  σψ δ

2

1

)47.5.1(

 1(2  exp 1(  β1)(   , β) T T )β 2 1 b 0 1 b 0      

62 ε

1

  1(2  exp β1)(   . ~ ) KT T )β 2 1 b 0 1 b 0  1(       σ     δ  

Ta giaû söû

)48.5.1(

0T

1σ  vôùi haèng soá

thích hôïp.

Baây giôø ta caàn boå ñeà sau ñaây maø vieäc chöùng minh cuûa noù khoâng coù gì khoù khaên

Boå ñeà 1.5.2. Giaû söû ta coù daõy khoâng aâm

}ψ{ m thoûa

,1m

)49.5.1(

vôùi moïi

m

1 

m

σ0



δ 1,



0

trong ñoù

laø caùc haèng soá cho tröôùc. Khi ñoù

)50.5.1(

vôùi moïi

.1m

ψ m

δ σ-1

Töø (1.5.46), (1.5.47) vaø (1.5.50), ta thu ñöôïc

 v



v



2ψ





C

3 ,ε

)51.5.1(



m

m

m

T

 L

,0(

2 LT ;

)

L

,0(

VT ;

)

δ  σ1

trong ñoù



1 2

2

1(

exp

exp(

,





) T

1(21β 



β) T

~ K

CT

3

)β 3

2

1 b 0

1 b 0

  

  

vôùi

)52.5.1(

β



1(



 β1)(



3

T .)β 2

1

1 b 0

)35.5.1(

Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính

ñöôïc xaùc ñònh bôûi

hoäi tuï maïnh trong khoâng

ψ  σψ δ ,0 ψ 0 

).17.5.1(

),51.5.1(

}{ mv

gian

veà nghieäm v cuûa baøi toaùn

Do ñoù, cho

trong

ta ñöôïc

)(1 TW

3

m

TC

 v L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

hay

2

2

i

i

 u



ε

 u



u



ε

u



C

3 .ε

)53.5.1(

i

i

T

ε

ε





i

i



0



0

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

Vaäy, ta coù ñònh lyù sau

 v  ε

Ñònh lyù 1.5.2. Giaû söû

vaø

0M

8G vaø ) (

9G ñöôïc thoûa. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá (

,1

( ), ) G  ) ( 1 G 3

ε  baøi toaùn

sao cho, vôùi moãi  vôùi

0T

εu sao cho

) ( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

),53.5.1(

vaø thoûa moät ñaùnh giaù tieäm caän ñeán caáp 3 nhö trong

caùc haøm

1

1

2

0

ε

(

( ),

)

(

laàn löôït laø caùc nghieäm yeáu töông öùng cuûa caùc baøi toaùn

vaø

P 0

~ Q 1

~ 2Q ).

1.6. Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ñeán caáp N+1 theo moät tham soá 

Phaàn naøy nhaèm muïc ñích trình baøy vaø thieát laäp coâng thöùc khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm

yeáu cuûa baøi toaùn nhieãu theo moät tham soá beù  ñeán moät caáp tuøy thuoäc vaøo tính trôn cuûa döõ kieän baøi

toaùn. YÙ töôûng cuõng nhö phöông phaùp döïa vaøo muïc 1.5, tuy nhieân cuõng raát phöùc taïp trong caùc pheùp

tính phaûi thöïc hieän.

Ñeå cho ñôn giaûn (thaät ra cuõng chaúng ñôn giaûn!), ta chæ xeùt cho baøi toaùn (1.1.6) -(1.1.8), tuy

nhieân keát quaû vaãn coøn ñuùng cho baøi toaùn (1.1.1) - (1.1.3). Ta trôû laïi baøi toaùn (1.1.6) -(1.1.8) vôùi caùc

(

(

H

)

vaø caùc kyù hieäu ñöôïc söû duïng trong phaàn 1.3 cuûa chöông naøy. Giaû söû theâm

giaû thieát

H  ) 1

4

raèng

1

(

H

:)



(

),



; 0

IRCB 

1

zB )( 1

5

u  TMW ( , ) u u , u ,

(

).

thoûa giaû thieát

6

1

4H

1:

Ta xeùt baøi toaùn nhieãu sau ñaây, vôùi tham soá beù , ε

2

2

)

,,(

,

,

,

),

0

0 ,1

,







uuuutxFu

 x

Tt

x

tt

x

t

x

( uB ε

ε

,0

)0,(

),

)0,(

),











),0( t

),0( t

u

),1( t

xu

x

xu t

uh 0

(~ xu 0

(~ xu 1

(

P ε

2

2

2

,,(

,

,

)

,,(

,

,

)

,

,

),





, uuuutxF

, uuuutxf

x

t

x

x

t

x

x

t

x

,,(ε , uuuutxf 1

ε

2

2

2

)

)

ε

).





( uB

x

x

x

( uB 1

( uB ε

 u    u   )       

( H :) f

thoûa caùc giaû thieát

thì

Ñaàu tieân, ta chuù yù raèng neáu caùc haøm

0

1

1

1

6

)(k

}

caùc ñaùnh giaù tieân löôïng cuûa nghieäm xaáp xæ Galerkin

trong phaàn chöùng minh cuûa ñònh lyù 1.3.1

mu {

fBB ,





ε ,



1

ñoái vôùi baøi toaùn (1.1.6) - (1.1.8) töông öùng vôùi

, thoûa

ε

F ε

,~ ,~ u fBBu , , , f ( ( H ) H  ) 1

)

,

),

)1.6.1(

TMW (1

( u k m 

trong ñoù M vaø T laø caùc haèng soá ñoäïc laäp vôùi . Thaät vaäy, trong tieán trình chöùng minh, ta cuõng choïn

),32.3.1(

),34.3.1(

),35.3.1(

caùc haèng soá döông M vaø T töông töï nhö trong

maø ôû ñoù caùc haèng soá

,

),

1 ,0i

vaø

xuaát hieän seõ ñöôïc thay bôûi

+

vaø

~ BMK i (

1fTMK i ,

)(k

}

~ BMK (

,

)



(

,

),

1 ,0i

, laàn löôït. Do ñoù, giôùi haïn

trong caùc khoâng gian haøm

i

~ 1BMK

i

mu {

εu cuûa daõy

( , ) ( , ) ( , ) fTMK i , fTMK i ,

,m

,k

roài sau ñoù

laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

thích hôïp, khi

,

).

)2.6.1(

TMW ( 1

εu

Töông töï nhö chöùng minh cuûa Ñònh lyù 1.3.2, ta coù theå chöùng minh ñöôïc raèng giôùi haïn

0u cuûa hoï

0

trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp, khi

ε  , laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

) ( εP thoûa

ε  thoûa

0

töông öùng vôùi

,

).

)3.6.1(

0u

TMW ( 1

Khi ñoù ta coù ñònh lyù sau

( 0P ) }{ εu

ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi caùc haèng soá

vaø

0M

Ñònh lyù 1.6.1. Giaû söû caùc giaû thieát

6

,1

( ( H ) H  ) 1

,

)

ε  baøi toaùn

thoûa

sao cho vôùi moïi  coù

0T

TMW ( 1

εu

u



u



 u



 u



C

ε

)4.6.1(

0

0

ε

ε

 L

,0(

VT ;

)

 L

)2; LT

,0(

,

),

,

,

,

(

(

,

,

),

,

).

) ( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

vaø

vôùi C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo

b 0

BMKfTMKMTh , 0

1

~ 1

~ BMK ( 1

0

1

0

,1.5.1

Chöùng minh. Chöùng minh töông töï vaø khoâng phöùc taïp hôn so vôùi ñònh lyù

neân ta boû qua. Tuy

nhieân haèng soá ñaùnh giaù C coù khaùc ñi moät chuùt nhö sau

C



T





2

1(

)

exp

1(

)(

 2

 2

1

T 2

1 b 0

1 b 0

  

  ,) 

vôùi

2

fTMK , ( , )

1

1

1

Baây giôø ta seõ tìm moät khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 cuûa nghieäm yeáu

εu theo tham soá 

ñuû nhoû. Ta vaãn duøng caùc kyù hieäu

2

2

uf ][



uuuutxf , ,,(

,

,

),

uB

][



uB (

).

x

t

x

x

2(2  ) , , 4)  , ), ~ BMKM ( 1 fTMKM ( ~ fTMK , ( , 4)  , ). BMKM ( 1 0    1    2

Ta thaønh laäp boå sung caùc giaû thieát sau

 1

N

N

CB 

(

IR

),

CB 

(

),

zB )(





,0



; 0

7H :)



1

IR 

b 0

zB )( 1

N

 1

3

N

3

(

8H :)

1



thoûa maõn caùc ñieàu kieän sau

6

5

4

fDDDD

,,1(

zwvut ,

),

,

,0

( Cf  ]1,0([  IR  IR  ), f  C ]1,0([   IR  ), IR  IR  IR 

α 3 3

α 4

α 6

α 5

8H 

4

(

,

,

)

α ,



α



α



α



N

,

αααα , 4

5

3

6

  Z

3

4

5

6

6

5

4

fDDDD

zwvut ,

),

,

,0

( :)

α 3 3

α 4

α 5

α 6

,,1(1

8H 

4

(

,

,

)

α ,



α



α



α



N



,1

αααα , 4

5

3

6

Z  

3

4

5

6

3

( :)

, zt

0

vôùi moïi

vaø

ÔÛ ñaây caùc kyù hieäu ñaïo haøm rieâng ñaõ qui öôùc nhö ôû muïc 1.2 cuõng xin ñöôïc nhaéc laïi ñeå tieän theo doõi.

wvu ,( , )  IR .

zwvutxf ,

,,(

,

,

),

Vôùi

ta ñaët

2

3

 f /  fDx ,  f /  fDt ,  f /  u , fD 1

6

5

 f /  fDv ,  fDwf ,  /  f /  z . fD 4

laø nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn

ε  vaø 0

Giaû söû

0

, ) ) TMWu  (1 ( 0P töông öùng vôùi

laàn löôït laø caùc nghieäm yeáu cuûa caùc baøi toaùn döôùi ñaây

2

N  TMWu ,..., 1

u , ( , ) u 1

1 

 0 ], 0 ,1  , uB [  x Tt

0 ),0( t

1

 ,0 ~ [ uF 1 ),0( t u ),1( t Q ( 1

trong ñoù

]



]



c

[

f

]



(

]



])



u

,

(1.6.5)

~ uF [ 1 1

fc [ 1

1

0

Bd [ 1

Bd [ 0 1

0

  ,0  u 1  u 1 )0,( xu 1  u ] 1  uh 10  )0,( xu 1   )   

vôùi

ñöôïc xaùc ñònh nhö sau

0

1

0

1

2

c

[

f

]



uf [

]



utxf ,,(

,



,



u

),

(1.6.6)

0

0

 uu , 0

0

0

0

c [ f ], ], [ [ ] fc [ 1 BdBd ], 1

(1.6.7)

4

0

6

2

]



uB [

]



B

(



u

),

(1.6.8)

Bd [ 0

0

0

]  [  [  ,  , fc [ 1 ufDc ] 0 1 3 fDc [ 0 u  ] 1  ufDc ] 1 5 0 uufDc [2  ] 0 1

(1.6.9)

0

2

Ni 

,

Vôùi

]   ] u , . Bd [ 1 Bd [2 0 u  1

uB [ Tt  0 ], x  0 ,1  ,

0 t ),0(

i 

u u  u i  ~ uF [ i t ),0( t ),1(  ,0 Q ( i

i i

i xu )0,( i

trong ñoù

i

]



]



c

[

f

]



(

]



d

[

])

u 

,

(1.6.10)

1

1 

B 1

1 

~ [ uF i

i

[ fc i

i

[ Bd k

 ki

k



1 

k

N   ,0  2,1 ,.... . u ]  i uh  i 0  xu )0,( i   )   

vôùi

,

ñöôïc ñònh nghóa bôûi caùc coâng thöùc qui

0

1

i

0

i

i

naïp

i

 1

i

]



[

]



 ]

u



]

[

fc [ i

ufDc k 3

 ki

fDc [ k

4

 ki

 ufDc k 5

 ki



k



0

 k  i 

(1.6.11)

j





u

,

 u





Ni

,

 1 ki i ]

fDc [2 k

6

j

 ki

j



 k i  k

j



0

 , 2  

i

 1

]

 1 ki  ] (

i

 j

k

)

u

,



u



2 ,



Ni

.

(1.6.12)

Bd [ i

Bd [ k

j

 ki

j



2   i



0

k

j



0

]  [ , ,..., u ] ]  [ , ,..., u 2 ],  Ni fc [ i uufc , i [ Bd i , uuBd 1

Ta cuõng chuù yù raèng

laø haøm baäc nhaát theo caùc bieán

Thöïc vaäy,

i

i

i

] u  , u  u , . [ fci

i

4

i

6

0

]  [  [  ]  u , [ fc i ] ufDc 0 3 [ fDc 0 ]  u i  ufDc ] 0 5 [2 fDc 0 u  i

+ caùc soá haïng phuï thuoäc vaøo

(1.6.13)

k

k

k

v



k ,6 ,5 ,4 ,3



,1,0

...,

i



.1

Töông töï

[ ,  ), ufDci ,( ], v  uu , k

0

]   ] u , [ Bd i [2 Bd 0 u  i

+ caùc soá haïng phuï thuoäc vaøo

(1.6.14)

k

k



,1,0

...,

i



.1

[  ], u ), Bdi ,( k

Goïi

laø nghieäm yeáu duy nhaát cuûa baøi toaùn

ε

N

i

v



u



ε

u



u



h

thoûa baøi toaùn

i

ε

ε



i



0

[

[

]







(

ε

ε hvB ] [

])

0 ),

0 ,1

Tt

,







x 



hF ][ ε txEh ,(  ε

(1.6.15)

hB [ ε t ),1(

t ),0(

v

v

,0





ε vh t ),0(  0  xv )0,(

,0





 hvFvhvBv ]         xv )0,( 

, ) ). TMWu  (1 ( εP Khi ñoù ta coù

ôû ñaây

N

i

txE ),(





uf [

]



(



uB [

])

 h

],

ε

(1.6.16)

0

0

~ uF [ i

i

ε

hF ][ ε

hB ][ ε



 1

i

Khi ñoù, ta coù caùc boå ñeà sau

ôû treân ñöôïc xaùc ñònh bôûi

Boå ñeà 1.6.1. Caùc haøm

i

]



[(

hf

])

0 ,



Ni

,

(1.6.17)

fc [ i

i

0ε 

 1 ε! i 

i

hB [(

])

0 ,



Ni

.

]



(1.6.18)

Bd [ i

i

 0ε

 1 ε! i 

Chöùng minh.

(i) Deã daøng thaáy raèng

2

c

[

f

]



hf ][



uf [

]



utxf ,,(

,



,



u

).

0

0

 uu , 0

0

0

0

0ε 

,1i

Vôùi

ta coù

]



(

hf [

])

.

(1.6.19)

fc [ 1

0ε 

 ε 

Nhöng

(

hf [

])







h

hfD ][ 3

hfDh ][ 4

 ε 

(1.6.20)

2





(



h

).

hfD ][ 5

 hfDh ][ 6

 ε   ε 

 ε    ε

Maët khaùc, töø coâng thöùc

N

N

2

i

i

1 







h

ε

u

,

h

i

ε

u

,

(

h

)

 2

, h

h 

,

i

i





  ε

 ε 

  ε

i



0

i

1 

ta coù

h

u

,

h

u

,

,

 h









1

1

 u 1



0



0



0

ε

ε

ε

 ε 

 ε 

 ε 

(1.6.21)

2

(



h

)

 2

u

,

u  . 1

0



0

ε

 ε 

Do ñoù, ta suy töø (1.6.19), (1.6.20), (1.6.21), raèng

], 0 ], Ni [ fc i [ Bd i

1 

4 ufDc ] 0 1 5

6

0

)7.6.1(

vaäy,

 ] [   ] u (1.6.22) fc [ 1 ufDc ] 3 0 1  fDc [ 0 [  ] u , . fDc [2 0 u  1

],

j



k ;6 ,5 ,4 ,3



i ,...,1 ,0



1

Giaû söû ta ñaõ xaùc ñònh ñöôïc caùc haøm

töø coâng thöùc (1.6.6),

fDc [ k

j

ñuùng.

i

i

 1

[(

hf

])



[(

hf

])

i

i

 1

  ε

 ε 

 ε 

i

1 

2













[

])

[

])

h

3

hfDh ][ 4

hfDh 5

 hfDh 6



1 

  ε

  ε

  ε

  ε

  ε



 hfDi ][ 

k

k

ki 

ki 

i

1 





C

(

[

])

h )(

(

[

])

 (

h

)

hfD 3

hfD 4

k 1  i

k

k

ki 

ki 



  ε

  ε

  ε

  ε

k



0

  

k

ki 

k

ki 

2







(

[

])

 )( h

(

[

])

(

h

(1.6.23)

hfD 5

hfD 6

k

ki 

k

ki 

  ε

  ε

  ε

  ε

 .)  

Ta cuõng chuù yù raèng

i



ui !

0,



Ni

.

h

(1.6.24)

i

i

0ε 

 ε 

Maët khaùc

m

m

1 

j

jm 

m

1 

2

(1.6.7) vaø (1.6.17). Do ñoù, ta suy töø (1.6.20) raèng

(1.6.25)

j m

1 

m

m

1 

j

jm 



0

j



Do ñoù

m

m

 1

2

( h ) 2 h , 2 C h ), h  .) (    h   (   ε    ε  ε   ε   ε 

j m

j

jm 

1

m

 2 0ε

j



0

m

 1



2

Cjmj (! 

)!

,

u



.

(1.6.26)

j m

 1

u  j

jm 



j



0

Ta suy töø (1.6.23), (1.6.24) vaø (1.6.26) raèng

i

[(

hf

i

0ε]) 

 ε 

ki 

 ki

i

1 





Ck !

]

h )(

]

 (

h

)

3

4

fDc [ k

k 1  i

k

ki 

 ki

0ε 

0ε 



  ε

  ε

k



0

 fDc [  

(  h ) C  !  (, jmuj )!  u   ε 

ki 

 ki

2







]

 )( h

]

(

h

)

5

6

fDc [ k

fDc [ k

ki 

 ki

0ε 

0ε 

  ε

  ε

  

i

1 

k 1  i

3

ki 

4

ki 



k



0

 C ]( i  )! uk  ]( i )!  k u ! fDck [ k ! fDck [ k

(1.6.27)

5

ki 

    ]( i   uk )! ! fDck [ k

1  ki ]

6

j 1  ki

j

ki 

j



j



0

i

1 

 !2 (! i j k  )! Cj  u ,  u  [ fDck k   

ki 

4

ki 

ki 



k



0

k

)

u

,

u

ki  1 i ( ]



j 





fDc [ k

6

j

ki 

j



k

i

2 

j



0

 .  

Töø ñaây ta coùù

i

   ( i ik )( )!1 [  ]  u  [ ufDc ] k 3 fDc [ k  ufDc ] k 5   

i

 0ε

] ( hf [ ])  fc [ i

(1.6.28)

ki 

ki 

4



k



0

1  i ε!   i 1 i [ u  ]   fDc [ k ufDc ] k 3  k  i 

ki  1 ( ]

ki 

j

ki 

j

6



j



0

Vaäy phaàn (i) cuûa Boå ñeà 1.6.1 ñöôïc chöùng minh.

 hBB ][



B

(

).

2h



(ii) Trong tröôøng hôïp

AÙp duïng caùc coâng thöùc (1.6.6), (1.6.7), (1.6.11) vôùi

[ i k ) , u   j  u    fDc [ k  ufDc ] k 5 k i 2   .  

vaø

ta thu ñöôïc caùc coâng thöùc (1.6.8), (1.6.9),

i

f  ), fDzf (  ,0 i  ,5 ,4 ,3  B ]  ], fD 6 fc [ i Bd [ i

(1.6.12) vaø phaàn (ii) cuûa boå ñeà 1.6.1 ñöôïc chöùng minh.

Boå ñeà 1.6.2. Giaû söû

vaø

1

2

8H ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi moät haèng soá

7

~ sao cho K



1

E

~ NK ε



,

(1.6.29)

ε

 L

,0(

LT ;

2 )

chæ phuï thuoäc vaøo M, T, N vaø caùc haèøng soá

i )(

~ trong ñoù haèng soá K ~ BMK (

,

)



B

z ,)( i



2 ,1

,...,

N



,1

i

2

sup Mz  0

( H ( ), H ( ), H ) ( )

,

)



z ,)( i



2 ,1

,...,

N

,

~ BMK ( 1

i

i )( B 1

2

sup  Mz 0

β

β

β

β

5

3

6

β 1

4 ufDDDDD

1

3

4

5

6

β

β

β

β

β

3

6

5

β 1

( , ) i , ][  2 ,1 ,..., N  ,1 fTMK i ,   sup

4 ufDDDDD

1

3

4

5

6

1

1

β

2

uu ,

,

 Mu

0 ,



Mz

0

 x

0 ,1



Tt

,

ôû ñaây, trong moãi tröôøng hôïp, sup ñöôïc laáy treân mieàn

x

5

β



(β

β,

,...,

ñöôïc laáy treân

thoûa

 Z)β

6

3

1

vaø toång 

β

β



β



β

 ...

β

i

.

1

3

6

,1N

vieäc chöùng minh laø deã daøng neân ta boû qua chi tieát. Ta chæ

Chöùng minh. Trong tröôøng hôïp

.2N

chöùng minh cho tröôøng hôïp

][hf

vaø

trong laân caän cuûa  = 0 ñeán caáp N+1

Duøng khai trieån Maclaurin cho hai haøm

][1 hf

vaø caáp N, laàn löôït ta thu ñöôïc töø (1.6.17), raèng

i

i

N

 1

N

 1

N







hf ][

uf [

]

[(

hf

])

[(

hf

])

0

i

N

 1

 0ε

ε



ε



θ 1



ε i !

)!1

ε N

(

  ε

 ε 

i

 1

N

i

N

 1



ε]



ε

R

[

f

,

ε,

,]

(1.6.30)

fc [ i

θ 1

N

 1



i

 1

vaø

i

i

N

N

N

1 







]

(

])

(

])

hf ][ 1

uf [ 1

0

hf [ 1

hf [ 1

i

N

 0ε

ε



θ

ε



2

ε i !

ε N

  ε

 ε! 

i

1 

N

 1

i

N



ε]



ε

,

ε,

θ

,]

(1.6.31)

fR [ N

1

2

1 fc [ i

i

 1

( , ) i , ][  2 ,1 ,..., N , fTMK i ,   sup

trong ñoù

ñöôïc xaùc ñònh bôûi (1.6.6), (1.6.7), (1.6.11) vaø caùc soá haïng dö

vaø

1

0 ], Ni [ f , ε, ] [ fci RN  θ 1

ñöôïc xaùc ñònh nhö sau

1

2

N

 1

[(

hf

])

,



, ε, θ ] fRN [

(1.6.32)

1

N

 1

ε



θ

ε 1

(

N

)!1

1 

 ε 

[ f , ε, ] RN  θ 1

N



,

(

])

(1.6.33)

hf [ 1

1

2

N

ε

 θ

ε

2

1 N

 ε! 

, ε, θ ] fRN [

vôùi

iθ

Keát hôïp (1.6.30), (1.6.33), ta thu ñöôïc

uf [

]

hf ][

uf [

]









0

hf ][ε 1

0

hF ][ ε

N

(1.6.34)

i

N

 1



(

]



c

[

f

ε])



ε

,

f

,

ε,

],

fc [ i

i

 1

1

fR [ N

1

, θθ 1

2



i

 1

vôùi

θ

0   i ,1  .2 ,1

(1.6.35)

1

2

N

 1

θ 1

1

2

][hB

vaø

trong laân caän cuûa  = 0

Töông töï, vaãn duøng khai trieån Maclaurin cho hai haøm

][1 hB

ñeán caáp N+1 vaø caáp N, laàn löôït ta thu ñöôïc töø (1.6.18), raèng

i

i

N

1 

N

1 

N







hB ][

uB [

]

hB [(

])

hB [(

])

0

i

N

1 

 0ε

ε



ε



θ 3



ε i !

)!1

ε N

(

  ε

  ε

i

1 

N

i

N

 1



ε]



ε

[

θB ε, ,

,]

~ R

(1.6.36)

Bd [ i

3

N

 1



i

 1

i

i

N

N

 1

N







]

(

])

(

])

hB ][ 1

uB [ 1

0

hB [ 1

hB [ 1

i

N

 0ε

ε

 θ

ε



4

ε i !

ε N

  ε

 ε! 

 1

i

N

 1

i

N



,]

ε]



ε

,

ε,

θ

(1.6.37)

~ BR [ N 1

4

1 Bd [ i

i

 1

trong ñoù

N

 1

[

θB ε, ,

]



hB [(

])

,

(1.6.38)

~ RN 

1

3

N

 1

ε



θ

ε 3

1 

(

N

)!1

 ε 

N

,

ε,

θ

]

(

])

,



(1.6.39)

hB [ 1

~ BRN [

1

4

N

ε



θ

ε

4

1 N

 ε! 

, f , ε, ]  R [ f , ε, ]  , ε, ]. fR [ N , θθ 1 fR [ N

vôùi

iθ

Keát hôïp (1.6.36) - (1.6.39), ta thu ñöôïc



uB [

]



hB ][



uB [

]



ε

0

hB ][ 1

0

hB ][ ε

N

(1.6.40)

i

N

 1

(

]

[

ε])

ε





d



,

ε,

],

[ Bd i

i

 1

B 1

~ BBR ,[ 1

N

, θθ 3

4



i

 1

vôùi

θ

θ

,

,

ε,

]



[

B

, ε,

]



~ R

, ε,

].

(1.6.41)

~ BBR [ 1

N

, θθ 3

4

3

N

 1

~ BR [ N 1

4

0   i ,1  .4,3

Do ñoù

0

N

N

~

j

i

N

1 

(

]

d

[

ε])

ε



,

,

ε,

]





u 

Bd [ i

B 1

i

j

1 

BBRh [ 1

N

, θθ 3

4





j

0

i



1 

   ε 

   

2

i

N

~

N

 1

i



(

]



d

[

])

 u



ε



,

,

ε,

]

(  [ uB ])  h hB ][ ε

Bd [ k

B 1

 ki

k

 1

BBRh [ 1

N

, θθ 3

4

 1

 1

k

i

    

 ε  

i

N

i

(1.6.42)

 ki

k

 1

 1

 1

k

i

2

i

N

~

N

i

1 



(

]



d

[

])



u



,

,

ε,

]

Bd [ k

B 1

k

BBRh [ 1

N

, θθ 3

4

ki 

1 

k

1 

Ni 1 

    

  ε ε 

i

N

N

 1

i

  ( ] d [ ])  u [ Bd k B 1       ε  

 ki

k

 1

)1( N

4

k

i

 1

 1

vôùi

~

R

[

,

ε,

h

,

]



,

,

ε,

]

)1( N

BB , 1

, θθ 3

4

BBRh [ 1

N

, θθ 3

4

2

N

i

Ni 1 



(

]



d

[

])

u 

.

ε

(1.6.43)

Bd [ k

B 1

k

ki 

1 

 

k

Ni 1 

1 

  

  

Keát hôïp (1.6.5) - (1.6.10), (1.6.16), (1.6.34), (1.6.35), (1.6.42) vaø (1.6.43), ta ñöôïc

N

i

ε

]

),( txE





[ uf

]



(



[ uB

])

h 

~ [ uF i

i

0

0

ε

hF ][ ε

hB ][ ε



i

1 

N

i

i

 ( ]  d [ ])  u  hR [ , , ε, ], Bd [ k B 1 hBB , 1 , θθ 3        ε ε 

i

k

i

1

 1

ki 

 1





i

k

 1

 1

N

 1



ε

,

f

,

ε,

]



R

[

,

ε,

h

,

(1.6.44)

]

 fR [ N

1

, θθ 1

2

)1( N

BB , 1

, θθ 3

4

N

1 



ε

,

f

,

ε,

]



R

[

,

ε,

h

,

.

]

1

, θθ 1

2

)1( N

BB , 1

, θθ 3

4

 fR [ N

 ]  c [ f ]  ( ]  d [ ])  u  [ Bd k ~ [ uF i B 1  fc [  i   ε ]  

1HT ;

Do tính bò chaän cuûa caùc haøm

trong khoâng gian

ta thu ñöôïc töø

i

i

i

u ,  u  u , i ,  ...2,1,0 L ,0( ),



1

E

~ NK ε



,

(1.6.45)

ε

 L

,0(

LT ;

2 )

laø haèng

soá

chæ phuï

thuoäc vaøo M, N, T vaø

caùc haèng

soá

),

,

fTMK ,

(

,

i ),



2 ,1

,...,

N



,1

,

),

fTMK ,

(

,

i ),



2 ,1

,...,

N

.

~ trong ñoù K ~ BMK i (

i

~ BMK ( 1

i

1

i

Boå ñeà 1.6.2 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát.

ñöôïc xaùc ñònh nhö sau

Baây giôø, ta xeùt daõy haøm

(1.6.32), (1.6.33), (1.6.35), (1.6.38), (1.6.39), (1.6.40), (1.6.41), (1.6.43) vaø (1.6.44), raèng

}{ mv

0



h ]



vh ] 







1 

(

h

]

vF [ ε ])

hF ][ ε 0 ),

0 ,1

Tt

,



x 



v

vB [ ε m vB [ ε t ),0(

v

m 1  txEh ,(  ε ,0

t ),1(

t ),0(

m hB [  ε 



m x )0.(

m 1  vh  m 0  x )0.( v

m m

,0

.1







m

m

v  0   v  m       v 

,1m

Vôùi

ta coù baøi toaùn

),

0

0 ,1

,





,( txE

 x

Tt

,0





ε ),0( t

ε ),0( t

),1( t

(1.6.46)

v 1

.0





][  vhB 1  vh 10  )0,( xv 1

 v  1   v  1  )0,( xv  1

Nhaân caû hai veá trong phöông trình cuûa (1.6.47) cho 1v , ta suy töø (1.6.29) raèng

2



))(

 tv )( 1

b ,1

tvtvat ()( ),( 1

1

ε

t

N

 1





~ K

ε

2

),

(

))

ds

,

(1.6.48)

 vT 1

svsvas )( ( ( 1

1

 L

,0(

2 LT ;

)

  b ε ,1

0

trong ñoù

2

2

t )(





B

(



th )(

)



(



th )(

).

b ,1

B ε 1

ε

hB ][ ε

Ta coù

2

2



th (

),



 th

 .)(

t )(



B

 (

th )(

)



th )(

(1.6.49)

 ( B ε 1

 (2

)

 b ,1 ε

Do ñoù

2

2

t )(



(2

N



)1

,

)



,

)



.γ~

(1.6.50)





~ BMKM ( 1

~ BMK ( 1 1

1

 b ,1 ε

Töø (1.6.48) vaø (1.6.50) daãn ñeán

t

N

2

2

 1

2



~ K

ε



2



γ~

. ds

(1.6.51)

 tv )( 1

)( tvb 0 1

 vT 1

1

)( sv 1

V

 L

,0(

2 ; LT

)

V



0

AÙp duïng boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc

N

1 

(1.6.47)

(1.6.52)

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

Ta seõ chöùng minh toàn taïi moät haèng soá

TC ñoäc laäp vôùi m vaø , sao cho

N

 1

   ε exp  v 1 v 1 γ~ T 1 b 0      .  1 b 0  ~  KT     12  

vôùi moïi m. (1.6.53)

m

m

T

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

)46.6.1(

Nhaân hai veá cuûa

vaø sau khi tích phaân theo bieán t, ta ñöôïc

vôùi mv

 v  v  C ε , ε  ,1

2

2

 v

t )(



t )(

vb 0

m

m

V

t

2



v

)( s

ds

m

,

ε

V

  b m

0



[ vf



h

]



][ hf





h

]



 v

ds

 ][

m

1 

[ vf 1

m

1 

hf 1

m

t   2 0

t

[ vB



h

]



][ hB



 vh

ds

m

1 

m

  2

0

t

t

N

 1



2



h

]





 vh

ds



2

 v

ds

,

~ K

ε

(1.6.54)

vB [ 1

m

 1

hB ][ 1

m

m





0

0

trong ñoù

m

1 

m

1 

m

1 

ε ,

t )(   h ]  vB [  h ]   h ], ε

m

1 

m

1 

m

1 

m

1 

ε ,

Do vaäy

2

2

t )(



(2

N



)2

(

,

)



,

))

.γ~ 

(1.6.55)

 bm

~ BMKM ( 1

~ BMK ( 1 1

2

,ε

Baây giôø ñaët

 v

v

,

ψ





m

m

m

,

,

)

,0( 



(1.6.56)

1

1

3

2

,

)

,





2 LT ,0( ;  ) , ~ BMKM ( 5 1

VT ; ) fTMK ( , ~ BMK ( 1 1

  L L ) fTMKM ( 53( )  1 

  .)

  β    

Ta suy töø (1.6.54) - (1.6.56) raèng

t )(   vB [  h ]  ε  h h  ,  v v   h . vB [ ε  2 vB [ 1  ]   m  vB [ 1 b   m  b 

,1m

vôùi moïi

(1.6.57)

m

1 

m

vôùi

)[

)

)]

(

1(γ~4







1

1

3

2

( , , fTMKM 1 1(γ~4

(

)

,

)

,

)],

[ BMKTMN







3

, , fTMK ~ 1

~ ( BMK 1 1

N

 1

γ~2

ε

,

~ KT



(1.6.58)

3

T

1

exp

γ~





3

γ~ 2 b 0

b 0

  

  . 

   

  12  

σ     δ     

Ta giaû söû

0T

1σ  vôùi haèng soá

thích hôïp. (1.6.59)

ψ  σψ δ

Töø (1.6.57), (1.6.58) vaø boå ñeà 1.5.2, ta suy ñöôïc

N

 1

 v



v





C

ε

,

)60.6.1(

m

m

T

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

δ  σ1

trong ñoù



,

CT

~ γ~2 KT 3 γ~γ~41 

3

4

vôùi

γ~

 1(

)[

,

,

)



)]

,

(

4

fTMKM ( 1

1

(1.6.61)

2

 1(

BMKTMN [

)

(



)

,

,

)].

fTMK , 1 ~ 1

~ BMK ( 1 1

Maët khaùc, daõy qui naïp tuyeán tính

ñöôïc xaùc ñònh bôûi (1.6.46) hoäi tuï maïnh trong khoâng

}{ mv

ñeán nghieäm v cuûa baøi toaùn (1.6.15). Do ñoù, cho

trong (1.6.60), ta ñöôïc

gian

)(1 TW

N

 1

m

TC

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

hay

N

N

N

 1

i

i

 u



ε

 u



u



ε

u



C

ε

. (1.6.62)

i

i

T

ε

ε





i

i



0



0

 L

,0(

2 LT ;

)

 L

,0(

VT ;

)

Ta coù ñònh lyù sau

 v  v  ε

(

H

( ),

H

)

,

vaø

0M

Ñònh lyù 1.6.2. Giaû söû

7H vaø )

8H ñöôïc thoûa. Khi ñoù, toàn taïi caùc haèng soá

2

1

,1

( ( )

ε  baøi toaùn

thoûa

0T

sao cho, vôùi moãi , vôùi

ε

) , ) TMWu  (1 ( εP coù duy nhaát moät nghieäm yeáu

),62.6.1(

moät ñaùnh giaù tieäm caän ñeán caáp N+1 nhö trong

caùc haøm

laàn löôït laø caùc nghieäm

1

0

(

( ),

)

(

yeáu töông öùng cuûa caùc baøi toaùn

, ...,

P 0

~ Q 1

~ NQ ).

1.7. Nhaän xeùt veà caùc keát quaû thu ñöôïc

1./ Trong phaàn 1.3 khi xeùt phöông trình soùng phi tuyeán vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát

2

)

u , u , ..., Nu

chæ

xuB (

,2

phuï thuoäc vaøo tích phaân

do vaäy ñeå chöùng minh ñöôïc söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa

xu

0

3

(1.1.6) - (1.1.8), böôùc ñaàu ñeå cho ñôn giaûn ta chæ khaûo saùt baøi toaùn vôùi toaùn töû Kirchhoff

cuøng moät soá ñieàu kieän

phöông cuûa baøi toaùn, ta chæ caàn giaû thieát haøm



phuï. Sau ñoù, ta môû roäng keát quaû thu ñöôïc trong tröôøng hôïp toång quaùt hôn khi xeùt baøi toaùn vôùi ñieàu

2

,(

)

vaø ñieàu kieän

kieän bieân khoâng thuaàn nhaát (1.1.1) - (1.1.3) trong phaàn 1.4. Khi ñoù

xutBB 

Cf  ]1,0([   IR  IR ) IR 

bieân (1.1.2) laø khoâng thuaàn nhaát. Trong tröôøng hôïp naøy, do vieäc ñaët aån phuï ñeå ñöa baøi toaùn ñang

xeùt veà baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát laøm xuaát hieän caùc ñaïo haøm rieâng theo bieán t cuûa caùc

haøm B vaø f trong quaù trình ñaùnh giaù tieân nghieäm. Chính vì vaäy, cho duø phaûi giaû thieát theâm

1

3

cuõng khoâng theå aùp duïng ñöôïc keát quaû ôû baøi toaùn vôùi ñieàu kieän bieân





thuaàn nhaát. Do ñoù chuùng toâi vaãn phaûi giaûi quyeát tröïc tieáp treân baøi toaùn ñaõ qui veà tröôøng hôïp ñieàu

kieän bieân thuaàn nhaát.

2./ Keát quaû trong [10] chính laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa phaàn 1.3, neáu ta thay ñieàu kieän

1

2

Cf  ]1,0([  IR  IR  IR )

,1B

,0

(1.1.2) bôûi ñieàu kieän thuaàn nhaát Dirichlet vaø xeùt

tuut , ,(

1 B

N

 1

2

f ),  Cf ,0([  )  IR ),

f

t )0,0,(



,0

t

0

,0

. Hôn nöõa, neáu xeùt theâm giaû thieát

vaø

thì khai trieån

1 f

tieäm caän trong [10] laø moät tröôøng hôïp rieâng cuûa phaàn 1.6.

3./ Cuõng vaäy, keát quaû trong [21] laø tröôøng hôïp rieâng cuûa phaàn 1.3 vaø phaàn 1.6 neáu ta xeùt

 Cf ,0([  )  IR )

B



,1

,0

giaû thieát

x

t

x

t

1

B 1 

2

3

1

3

f  uuutxf , ,,( , ), f  ,,( , , ), uuutxf 1



1



 Cf ]1,0([  IR  IR ), f  C ]1,0([  IR  IR ).

~ soá beù , tröôùc heát trong phaàn 1.5 cuûa chöông 1, ta giaûi quyeát vaán ñeà naøy ñeán caáp 3 vaø thu ñöôïc haèng soá K

3

E



~ K

ε

4./ Ñeå xaây döïng ñöôïc yù töôûng vaø cô sôû laäp luaän trong vaán ñeà khaûo saùt khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn nhieãu ñeán caáp N+1, theo tham

ε

,0(

)

 L

2 ; LT yeáu ñeán caáp N+1 cuûa baøi toaùn theo tham soá beù  trong phaàn 1.6.

cuï theå trong ñaùnh giaù ôû (1.3.54). Keá tieáp ta môû roäng khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm

Chöông 2

PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN

LIEÂN KEÁT VÔÙI MOÄT PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN PHI TUYEÁN

CHÖÙA GIAÙ TRÒ BIEÂN

2.1. Giôùi thieäu

Chuùng toâi xeùt baøi toaùn sau

,( Pu

)

thoûa

Tìm moät caëp haøm

(2.1.1)

tt

xx

t

u  u  uuf ,( )  ,0 x  0),1,0(  Tt ,

(2.1.2)

t ),0(  tP ),( u t ),1(  ,0 u x

(2.1.3)

xu )0,(  ), )0,(  ), xu ( 0 xu t xu ( 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän naøo ñoù seõ ñöôïc giaû thieát sau. AÅn haøm

txu ),(

vaø giaù trò bieân chöa bieát

)(tP thoûa moät phöông trình tích phaân phi tuyeán

t

)( tP



uHtg 

)(

,0((

t

))



( tK



,0(, us

s

))

ds

,

(2.1.4)



0

trong ñoù g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc.

Trong chöông naøy, chuùng toâi thöïc hieän hai phaàn chính. ÔÛ phaàn thöù 1, chuùng toâi chöùng minh

ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4). Vieäc chöùng minh döïa

vaøo phöông phaùp xaáp xæ Galerkin keát hôïp vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, ñoàng thôøi caùc kyõ thuaät lieân

quan ñeán phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp hoäi tuï yeáu cuõng ñöôïc söû duïng. Trong

,( Pu

)

phaàn thöù 2 cuûa chöông naøy, chuùng toâi chöùng minh nghieäm

laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm g, H vaø

K.

Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ toång quaùt hoùa caùc keát quaû trong [1, 3, 5, 9-12, 19, 20, 26-28,

31] vaø ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3].

2.2. Ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm

Chuùng ta boû qua caùc ñònh nghóa cuûa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng. Ta kyù hieäu

m

P L



P (ΩL

),

H



m (ΩH

),

H



),



 (Ω

0

,T),

T



0

.

m 0

m (ΩH 0

Q T

uf , u 0 , 1

,



Ta duøng kyù hieäu

ñeå chæ tích voâ höôùng trong

2L hay caëp tích ñoái ngaãu cuûa moät phieám



ñeå chæ chuaån trong

haøm tuyeán tính lieân tuïc vôùi moät phaàn töû cuûa moät khoâng gian haøm. Kyù hieäu



2L vaø kyù hieäu

ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X. Ta goïi X  laø khoâng gian ñoái ngaãu

X

cuûa X.

laø khoâng gian Banach cuûa caùc haøm ño ñöôïc u :

Ta kyù hieäu

( 0 ,T)  X, sao cho

1

T

p

P

u

)( tu

dt



1

 p



,

neáu

X

P L

,0(

; XT

)

0

     

   

vaø

u



)( tu

.p

neáu



X

L

,0(

; XT

)

ess 0

sup Tt



Ñaët

1

LP ,0( XT ; 1),  p  ,

(2.2.1)

1

vua ),(

xvxu )( )(

dx .

(2.2.2)

x

x



0

),( vva

Khi ñoù, V laø moät khoâng gian con ñoùng cuûa

1H vaø treân V thì hai chuaån

laø

Vv

,1Hv

töông ñöông ( töông töï nhö boå ñeà 1.2.1, Chöông 1).

Ta thieát laäp caùc giaû thieát sau

u



1 uH ,



2 L

,

(A)

0

1

V Hv {  )1(:)1,0( v  },0

(G)

Hg  ,0(1 T ), T  ,0

(H)

vaø toàn taïi haèng soá

thoûa

0 h

y

,IR

)(ˆ yH



)( sH

ds



vôùi moïi y

h 0



0

K

,





IR ;

IR

).

(

0 IRC ( 

1K )

 K  t

k ,



2 L

,0(

T

k ),

k ,



1 L

,0(

T

),

(

)

sao cho

k 1

3

4

2

2K Toàn taïi caùc haøm khoâng aâm

utK ),(





),

(i)

utk )( 1

tk ( 2





ut ),(

).

(ii)

utk )( 3

tk ( 4

 K  t

IRCH  (1 ), H )0(  0 0

f

)0,0(



0

Haøm

thoaû

vaø caùc ñieàu kieän döôùi ñaây

(

vuf ),(



))(~,( vuf v

)~ v





,0



~ , , vvu



IR .

( 1F )



(0,1]

:

IR

vaø caùc haøm

lieân tuïc

Toàn taïi hai haèng soá α , β

, BB 1

2

  IR



α

vuf ),(



)~,( vuf



vuB (

)



~ v



~ , , vvu



IR

,

1

( 2F )

β

vuf ),(



),~( vuf

~ uuvB )



(



,~ , vuu





IR

.

2

f : IR 2 IR

Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau

( 3F )

(

(

Ñònh lyù 2.2.1. Vôùi caùc giaû thieát (A), (G), (H),

1K , )

2K , )

( 1F - )

,( Pu

)

nghieäm yeáu

cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) sao cho

1

  Lu

,0(

uVT ),

;



 L

,0(

2 LT ;

u ),

),0(



H

,0(

T

),

(2.2.3)

t

) ( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù toàn taïi moät

(2.2.4)

HP  ,0(1 T ).

Hôn nöõa, neáu β = 1 trong

(

)

/H (s) > -1  s  IR,

1H H  C 2(IR),

) ( 3F vaø caùc haøm H, K,  thoûa theâm caùc giaû thieát

3K  M > 0,  T > 0,  pM,T, qM,T L2(0,T), pM,T(t)  0, qM,T(t)  0 thoûa

utK ),(



vtK ),(

vu  ,  u, vIR, u , v  M,

(i)

( )



ut ),(

vt ),(

(ii)

vu  ,  u, vIR, u , v  M.

 pM,T(t)

 K  t

 K  t

)

( 4F B2( v )  L2(QT) v L2(QT), T > 0.

Thì nghieäm (u,P) laø duy nhaát.

Chöùng minh. Vieäc chöùng minh ñöôïc chia laøm nhieàu böôùc

Böôùc 1. Xaáp xæ Galerkin

}

Xeùt moät cô sôû tröïc chuaån

{ jw trong V goàm caùc vectô rieâng

jw cuûa toaùn

töû Laplace - 2/  x2,

 qM,T(t)

cos(

, j= 1, 2,… (2.2.5)

wj (x) =

2 j

j x),

j =(2j – 1)

 2

Ñaët

1/(2 )

m

c

,

(2.2.6)

)( mj wt

j

um(t) = 

j

1 

trong ñoù cmj (t) thoûa heä phöông trình vi phaân phi tuyeán

)),





wtutuf

),(

)),

(

(



= 0, (2.2.7)

+ a(um(t), wj) +Pm(t)wj(0) +

 ( wtu m

j

m

 m

j

t

(2.2.8)

tK (



us ,

,0(

s

))

ds

,

Pm(t) = g(t) + H(um(0,t)) -

m



0

vôùi

m

1

)0(

u

α

w

u

H

,







maïnh

trong

0

0

m

m

j

mj



1 

j

(2.2.9)

m

)0(

β

w

2 L

.







maïnh

trong

u 1

u 1

 m

m

j

mj



j

1 

 u     u  

)(t

)0(



wtutuf ),

)),

(

(

(



=

(2.2.10)

,

j

cmj

 wtP )( m

j

m

 m

j

mjc  (t) + 2

Heä phöông trình naøy ñöôïc vieát laïi döôùi daïng

t

(2.2.11)

( tK



, us

,0(

s

))

ds

,

m

Pm(t) = g(t) + H(um(0,t)) - 

0

cmj (0) = mj ,

= mj , 1  j  m. (2.2.12)

)0(/ mjc

Heâä phöông trình naøy töông töông ñöông vôùi heä phöông trình vi tích phaân

t



 )

,0(



))

w

)0(



( uf

 ), (

u

 (

)),



cmj (t) = Gmj (t) -

 ( uH

( tN j

m

j

 m

m

 dw  j



|| 1  2|| jw

2||

0

t

w

+

K



us ,

,

s

1  j  m, (2.2.13)

  d

 

 ,0

  ds

 j  tN

m



 

j w

||

  0 2||

j

0

0

trong ñoù

|| 1 jw

jt  /) j

t

w

/

, (2.2.14) Nj (t) = sin(

 )( .

d

+ mj

 g

 tN j

 j  tN

 tN j



j w

||

  0 2||

j

0

sau

- (2.2.15) Khi ñoù, ta coù boå ñeà Gmj (t) = mj

(

(

Boå ñeà 2.2.1. Giaû söû caùc giaû thieát (A), (G), (H),

1K ),

2K ),

( 1F - )

) ( 3F thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0

coá ñònh, heä phöông trình (2.2.13) – (2.2.15) coù nghieäm

treân

m 1

m

2

mm

Chöùng minh. Ta boû qua chæ soá m, heä (2.2.13) – (2.2.15) ñöôïc vieát laïi döôùi daïng

c =Uc, (2.2.16)

trong ñoù

( c , c ,..., c ) ,0[ ,0[ T ]. c  m Tm  ]

2

m

2

m

t

( Uc









)(

Vc

 , d

(2.2.17)

)() t j

)( tG j

( tN j

)() j



0

t

t )()

tctc

,

(2.2.18)

f

( t



(, scs

))

ds

Vc j (

f j ),((1

2

j

 +  ))(

0

t

w









 , g )()

d

(2.2.19)

tG )( j

 mj

/ tN )( j

 mj

tN )( j

tN ( j

)0( 2



j w

||

||

j

0

m

m

2

f

:

IR



IR

,

f

,0[:

T

]



IR



IR

Caùc haøm

cho bôûi

j

j

1

2

m

m

m

dc ,(

)

)0(

w

)0(

,

H







(2.2.20)

j

wc i i

j

wc i i

i

1

2







 w

1 ||

||

i

 1

i

 1

i

 1

j

  

  

  

 wwd ,  i i 

 ,   

   

m

w





,

ct ),(

(2.2.21)

1  j  m.

j

wc i i

2

)0( 2



j w

||

||

i

 1

j

 tK  

 , )0(  

Vôùi moãi Tm > 0, M > 0, ta ñaët

1

m

S

,0([

; ]

IR

|| :)

c



M

  Cc

,

T m

|| 1

trong ñoù

m

c



c

 c

c



)( tc



c  ( ,..., c ), Uc  (( Uc Uc ) ,...., Uc ( ) ), cc , 1 (,) 1

.

)( tc i

0

,)( tc 1

1

1

0

0



sup 0  Tt

1 

m

i

m

CY 

,0([1

T

; ]

IR

)

Deã nhaän thaáy S laø moät taäp con loài ñoùng vaø bò chaän cuûa

. AÙp duïng ñònh lyù ñieåm

m

SU :

Y

baát ñoäng Schauder, chuùng ta seõ chöùng minh toaùn töû

ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.2.17) - (2.2.21) coù ñieåm baát ñoäng. Ñieåm baát ñoäng naøy laø nghieäm cuûa heä

vôùi

a./ Tröôùc heát, ta chöùng minh U laø aùnh xaï töø S vaøo chính noù.

0

m

Vc (

)

C

,0([

T

];

IR

)

Cc 

,0([1

T

];

IR

),

Chuù yù raèng

vôùi moïi

do ñoù töø (2.2.17) vaø ñaúng thöùc

j 

m

m

(2.2.13).

t

(2.2.22)

Uc (





)(

Vc

d  ,

 )() t j

 tG )( j

 ( tN j

)() j



0

,S

daãn ñeán raèng

c  ta suy ra töø (2.2.17) - (2.2.22) raèng

YU  Laáy Y

:

.

(|

tUc



|

tG



||

Vc

||

,

(2.2.23)

|))( 1

|)( 1

0

1 T m

1

(2.2.24)

m T

0

(|  | || Vc || .  |)() tUc 1  |)( tG 1

Maët khaùc, ta suy ra töø (H),

vaø (2.2.18), (2.2.20), (2.2.21) raèng

2

1

m

||

Vc

||

[

N

(



,

M

)



TN

(



,

TM ,

)]

 (

TM ,

)

(2.2.25)

c S,

1

1

j

2

2

j

0

 

j

 1

trong ñoù

( K ( ), K ( ), ( ), ) F 2 F 3

m

m

1

1

j

1

j

R

(2.2.26)

N M y M (  , )  sup{|  zy |:),(  zM ,  },

R 0|:)

m

2

2

j

2

j

R

Do vaäy töø (2.2.23) - (2.2.26), ta thu ñöôïc

Uc

 G

 1(

,

),

(2.2.27)

TMT (β) m

1

1 T

1  1

trong ñoù

/

G



G



G



tG )(



/ tG )(

. (2.2.28)

0

1

1 T

T

0

T

1

sup  Tt 0

sup  Tt 0

0M

Choïn

vaø

sao cho

N yTt M (  , TM , )  sup{|  yt ,(  ,  }.    

M

G 2 

1(



,

)



vaø

. (2.2.29)

TMTm (β)

1 T

M 2

1  1

Uc

M

 c S, coù nghóa laø U laø aùnh xaï töø S vaøo chính noù.

Do ñoù,

1

b./ Baây giôø ta chöùng minh toaùn töû U lieân tuïc treân S. Laáy c, d S, ta coù

t

(2.2.30)

( Uc



( Ud







Vc



( Vd

 ()

  d ,

)() t j

)() t j

( tN j

 )() j

) () j



0

vì vaäy







Uc

Ud

T

Vc

Vd

0mT

m

0

0

1  1

Töông töï, cuõng töø ñaúng thöùc

. (2.2.31)

t

(2.2.32)

Uc (



Ud (





Vc



Vc (

 ()

  d ,

 t )() j

 t )() j

 tN ( j

 )() j

)() j



0

ta thu ñöôïc

(

Uc

)



Ud (

)

Vc



Vd

T m

 0

0

0

m

YV 

:

C

,0([

];

IR

)

Nhôø caùc ñaùnh giaù (2.2.31), (2.2.33), ta chæ caàn chöùng minh raèng toaùn töû

laø

T m

lieân tuïc treân S. Ta coù

Vc (



Vd (



f

 ( tctc ),((

))



f

 ( tdtd ), ((

))

t )() j

t )() j

1

j

1

j

t

t (



scs (,

))



f

t (



sds ( ,

ds .

f

(2.2.34)

+

 ))



2

j

2

j



0

. (2.2.33)

Töø caùc giaû thieát

ta suy ra raèng toàn taïi moät haèng soá

sao cho

0MK

m

f

),(( tctc

 ))(



f

 (( tdtd ), (

))

1

j

1

j



sup 0  Tt

m

j

1 

β

α



(

 dc



 dc

 d

c

),



dc ,



S

.

(2.2.35)

K M

0

0

0

Ta coù boå ñeà sau

m

Boå ñeà 2.2.2. Giaû söû

laø haøm lieân tuïc vaø ñaët

f

,0[:

]

IR



IR

2

j

T m

t

m

0

( H ( ), ( ), ), F 2 F 3

)

f

(

t



scs (,

))

ds

,

 Cc

,0([

];

IR

).

tcW ( )( j

2

j

T m

 

0

0

0

m

,0([

T

; ]

IR

)



C

,0([

; ]

IR

)

Khi ñoù toaùn töû

laø lieân tuïc treân S.

CW : j

m

T m

Chöùng minh. Ta coù theå boû qua chöùng minh vì keát quaû ñöôïc suy ra moät caùch deã daøng nhôø vaøo tính

m

,0[

]

 [

, MM

]

(2.2.36)

lieân tuïc ñeàu cuûa haøm

jf 2 treân

T m

Töø (2.2.34), (2.2.35), (2.2.36), ta suy raèng

m

||

Vc



Vd

||



(|

Vc



Vd (

 |)()

0

 )() j

j



sup  T 0  m

j

 1



(||

 dc

||



||

 dc

||



||

c

 d

)

K M

0

 0

 || 0

m



(|

 tdWtcW

))(

|,))(

(

 ,

dc 

S

.

j

j



sup Tt  0 m

j

 1

0

m

YV 

:

C

,0([

];

IR

)

Boå ñeà 2.2.2 vaø baát ñaúng thöùc (2.2.37) chöùng toû raèng

(2.2.37)

T m

laø

lieân tuïc treân S.

c./ Baây giôø ta seõ chöùng minh raèng taäp US laø moät taäp con compact cuûa Y. Laáy

mT

Uc (



Uc (



 tGtG

)(

 )(

t )() j

 )() t j

j

j

/

t

t







)(

Vc

 d







)(

Vc

 d

tN ( j

)() j

tN ( j

)() j





0

0

t



tGtG 

)(

)(





 )







Vc

 d

 ()

j

j

( tN j

)() j

 ( tN j



0

/

t







)(

Vc

 . d

c  ttS , ,  ,0[ ] . Töø (2.2.17), ta vieát laïi

tN ( j

)() j



t

Do baát ñaúng thöùc

|



| |)(

 t

s

|

(2.2.38)

tN )( j

sN j

mT

vaø töø (2.2.25), (2.2.38), ta thu ñöôïc

m

(|

))( tUc

( tUc )(

(|

Uc

( Uc

 |)() t





)() t j

j

 |) 1



j

1 



|

 tGtG

)(



(

T



|)

t

 t

|| |

Vc

||

st  , ,0[ ] ,  (2.2.39)

 |)( 1

m

0

1  1



|

 tGtG

)(



(β

)(



|)

t

 t

.|

 |)( 1

TTM , m

1  1

Töông töï, töø (2.2.22) - (2.2.25), ta cuõng thu ñöôïc

(2.2.40)

Do US  S vaø töø ñaùnh giaù (2.2.40), (2.2.41), ta suy ra ñöôïc raèng hoï caùc haøm

.

(|  )() tUc  tGtG   )(  (β TM , )(   |)1 t  t .| (2.2.41)   |)() | tUc ( 1  |)( 1 T mm

US =  Uc, cS  laø bò chaän vaø ñaúng lieân tuïc ñoái vôùi chuaån

1

Arzela-Ascoli ñoái vôùi khoâng gian Y, ta suy ñöôïc US laø compact trong Y. Do ñònh lyù ñieåm baát ñoäng

Schauder neân U coù ñieåm baát ñoäng

c S, cuõng chính laø nghieäm cuûa heä (2.2.13). Vaäy boå ñeà 2.2.1 ñöôïc chöùng minh hoaøn taát.

cuûa khoâng gian Y. AÙp duïng ñònh lyù

Duøng boå ñeà 1.2.1, vôùi T > 0 coá ñònh, heä phöông trình (2.2.7) - (2.2.9) coù nghieäm

trong moät khoaûng

Caùc ñaùnh giaù tieân löôïng sau ñaây cho pheùp ta laáy

m

m

mT

Böôùc 2. Ñaùnh giaù tieân löôïng. Thay (2.2.8) vaøo (2.2.7), sau ñoù nhaân phöông trình thöù j cuûa (2.2.7) cho

)(t

vaø coäng taát caû laïi theo j, sau ñoù laáy tích phaân töøng phaàn theo bieán thôøi gian töø 0 ñeán t, keát

cmj

),

hôïp vôùi (G) vaø

( 1F ta ñöôïc



(ˆ2 uH

,0(

t

))



(ˆ2 uH

))0(



S

)0(2)0(



g

u

)0(

tS )( m

m

0

m

m

0

m

t

t



)(2 utg

2),0( t



 )( usg

),0( s

ds



2



( uf

(

s

),0),

u

)( s



ds

m

m

m

 m





0

0

t



2

u

s ),0(



 ,

u

,0(

 , d ))

(2.2.42)

 m

m



0

s  sKds ( 0

trong ñoù

2

 ||

||)(



||

.

(2.2.43)

tS )( m

 tu m

tu m

2 ||)( V

Söû duïng (2.2.9), (2.2.43), (H) vaø boå ñeà 1.2.1, ta coù

(ˆ2 uH



,0(

t

))



(ˆ2 uH

))0(



S

 |2)0(

g

u )0(

|)0(

m

0

m

m

0

m



2

h

(ˆ2 uH



))0(



S

 |2)0(

g

)0(

u

|)0(

(2.2.44)

0

0

m

m

0

m

, vôùi moïi m vaø t,

1 C 14

tPtu ( ),( ))( ,0[ ].  T  , m . Tm

ôû ñaây

vaø g.

0

0

1

1C laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo

Söû duïng moät laàn nöõa boå ñeà 1.2.1 vaø baát ñaúng thöùc

2

2

2

ab



4

a



b

,



ba ,



IR ,

(2.2.45)

1 4

ta ñöôïc

t



)(2 utg

2),0( t



),0( s

ds

m

m

  )( usg

0

t

2

4



2 tg

 |)( sg

ds





S

)( s

. ds

(2.2.46)

)( tS m

m



1 4

1 4

t  |4)(  0

0

u , u , , Hh

Duøng boå ñeà 1.2.1 vaø ta suy töø

), ( 3F raèng

t

t

2/)β 1(





2

(

),0),

ds



2

B

)0(

S

)( s

ds

( suf m

 )( su m

2

m





0

0

t

β

β



1(



)

B

)0(

S

s )(

ds

 1(

)

B

t .)0(

(2.2.47)

2

m

2



0

Chuù yù ñeán tích phaân cuoái trong (2.2.42), sau khi tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc

t

I



2

u

),0( s



 ,

u

,0(

 d ))

 m

m



s  ( sKds 0

0



2 u

),0(



 ,

u

,0(

 d ))

(2.2.48)

m

m

t  ( tKt 0

s

t







2

u

s ),0(

uKds

,0(

,0(

s

))

(

s

 ,

u

,0(

m

m

m





 K  t

0

0

 d  )) .  

  

Vaäy

t

|

I

|



2



 )

S

 )(





  d )

)( tS m

m

( tk 2

 ( tk 1



0

s

t













2

S

)( s

)0(

S

)( s

k

)0(

 )

S

  

m

m

2

 ( sk 3

m

( sk 4





0

0

   ) d  

 kds  1 

t

t



2



 )

S

 d )(



2

k

 d )(

(2.2.49)

)( tS m

( tk 1

m

)( tS m

2





0

0

t

t



S

)( s

ds



k

S

)( s

ds

)0(2 k 1

)0(2 2

m

m





0

0

s

t

t

s



2

S

)( s

ds



 )

S

 d )(



2

S

)( s

ds

k

 d )(

m

( sk 3

m

m

4









0

0

0

0

t



I



I



k

S

s )(

ds



I



I



I

.

1

2

)0(2 1

5

6

4

m



0

Do baát ñaúng thöùc (2.2.45) vaø baát ñaúng thöùc Cauchy-Schwarz, ta ñaùnh giaù khoâng maáy khoù khaên caùc

tích phaân

ôû veá phaûi cuûa (2.2.50) nhö sau

5

4

2

1

6

I , I I , I , , I

t

2

I





) 

S

)(  d

)( tS m

m

1

( tk 1



0

(2.2.50)

t

t



 4)(

k

S

 )( d ,

tS m

2 1

m



1 4

0

  )( d 0

2

t

t

(2.2.51)

2

2

2





0

0

t

I



k

S

s )(

ds



4

k

)0(



s )(

ds

,

(2.2.52)

m

)0(2 2

4

m

2 2



1 4

t  St 0

0

t

s





I

2

S

s )(

ds

 )

S

 )( d

5

m

sk ( 3

m





0

0

(2.2.53)

2/1

t

t



2

t

k

 )(

ds

S

s )(

ds

,

2 3

m





0

0

   

   

2

t

s

t

t

  I k , k 2  d )( tS )( m tS m 1 4    4)(      )( d  

(2.2.54)

6

m

4

m

4









0

0

0

0

Ta suy töø caùc ñaùnh giaù (2.2.49) - (2.2.54), raèng

2

2

t

t

   I 2 S s )( ds k  )( d S s )( ds . k 1 4   t 4      )( d  

(2.2.55)

2

2 2

4





0

0

t

t

t







 t

16

k

 )( d

t

k

S

s )(

ds .

m

2 1

k 8)0(8 1

2 3







1 4

0

0

0

   

2/1    )( d  

  1  

   

Ta suy ra töø (2.2.42) - (2.2.44), (2.2.46) - (2.2.49) vaø (2.2.55), raèng

t



)( tDtD 

)(

S

 d )( ,

(2.2.56)

)( tS m

2

1

m



0

trong ñoù

 | I | k 4 k k tS )( m 1 2   4       )( d     4)0( t      )(  d 

2 tg )(

2 2

2

2

2

t

t

t

2

  16 k  1(4)0(  ) B t )0(  16 tD )( 1 C 1

(2.2.57)

2

2







0

0

0

  16  sg )( ds k t 16 k ,   16       )( d         )( d  

2

1

2/1

t

t

(2.2.58)

 1(42  ) B )0(8)0(  k  t tD )( 2

2 1

2 3





0

0

  k  )( d 8 t k        )( d  



1(42

 )

B

k )0(8)0(



 T

||

||

 8

kT ||

||



C

.

2

1

k 1

3

)2( T

,0(

)

,0(

)

2 2 L

T

2 L

T

(

),

Do



vaø do caùc giaû thieát (G) vaø

2K ta suy ñöôïc



,

tea ..



,0[

T

],

(2.2.59)

tD )( 1

)1( TC

)1(

trong ñoù

TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc T.

Nhôø vaøo Boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc töø (2.2.56) - (2.2.59), raèng



C

exp(

tC

)



C

t 

,0[

T

],

T 

.0

,

(2.2.60)

)( tS m

)1( T

)2( T

T

t

2

|

u

s |),0(

ds .

Baây giôø ta caàn ñaùnh giaù tích phaân

 m

0



Ñaët

m

t

sin(

)

 j



,

(2.2.61)

tK )( m



 1

j

 j

m

sin(

t

)

 j

)( t

w

cos(

t

β) 

 m

j

 j

mj

mj

 

1 

j

 j

 α)0(   

   

t

m

w

sin[

t  (



)]

j

u



2



uf (

 ( ),

 (

)),



d  .

(2.2.62)

 m

m



w

j

j  j

 1 0

j

H ,0(1 T ) C ,0([0 T ])

Khi ñoù

coù theå vieát laïi nhö sau

t

u

),0( t



2)( t 



 )( .

d

)

(2.2.63)

m

 m

( tK m

P m



0

0

Boå ñeà 2.2.3. Toàn taïi moät haèng soá

vaø moät haøm lieân tuïc döông D(t) ñoäc laäp vôùi m sao cho

2 C

t

t

2

2

t 

,0[

T

],

T 

.0

 )(

d



C



tD )(

uf (

 ), (

u

 (

))

 d ,

(2.2.64)

 m

 m

m

2





0

0

Chöùng minh boå ñeà 2.2.3 coù theå tìm trong [3].

)3(

)4(

Boå ñeà 2.2.4. Toàn taïi hai haèng soá döông

TC vaø

TC chæ phuï thuoäc vaøo T sao cho

2

t

s

s

t

t ),0( u m

2  d ,

(2.2.65)

)3( T

)4( T



 sKds (





0

0

0

0

t 

,0[ T

]

vôùi moïi

vaø vôùi moïi T > 0.

Chöùng minh. Tích phaân töøng phaàn, ta coù

    )( d ) C C ds ),0( u  m P m  m

s

s



 )(

d

)



)0(





d

)

(2.2.66)

 sK ( m

P m

PsK )( m

m

sK ( m

  )( P . m





0

0

Khi ñoù

2

t

s



 sKds (

0

0

t

t

s

s



2

)0(

ds

 2

dr

2  d )(

(2.2.67)

2 P m

2 )( sK m

 P m

2 m





 )( rKds



0

0

0

0

t

t

2

)0(





2 sK )( m





0

s   Pds m 0

0

 2 Pds  m 

 2  )( d .  

Töø (2.2.8), ta coù

  )( d )  m P m

(2.2.68)

0m

)0(  g )0(  uH ( )),0( P m

m





uK ,0(

),0( 



( 



us ,

,0(

s

))

ds .

(2.2.69)

m

m



K   t

0

2

2

2

2

2

 )(  g  )(   ( uH ,0(  u ))  ),0(  P m  m

ta suy töø (2.2.60), (2.2.69),

Duøng baát ñaúng thöùc

(

),

(G), (H ),

2K raèng

s

2  )( d

 P m



0

s

s

2



4

2   )( d

4 

g

 |)( sH

),0(

2  d

u

 m





|

|max  s C | T

0

0

2

s

s



2

(  dcba )  (4 a  b  c  d ),  dcba , , ,  IR ,

(2.2.70)

m

m







0

0

0

s

s

2



4

2   )( d

4 

g

 |)( sH

),0(

2  d

u

 m





|

|max  s C | T

0

0

s



8

)0(

u

),0(

2  d



8

k

)0(

s

m

2 2

2 k 1



0

 4 uK ,0( ,0(  )) d   4 d   (  us , ,0( s )) ds K   t

2

s

s

2 3

2 m





 

0

  d  0

  uds 0

0

0

s

s

2



4

2   d )(

g



[8

)0(

C



k

)]0( s



k

 d )(

2 k 1

T

2 2

4 sC T

2 3





0

0

2

s

s

2

  8 k s )( s ),0( ds 8 ds sk )( 4   d       

2  d .

4





|

0

0

Do ñoù

t

2  )( d



2   )( d



4

)0(

C



k

 2 t )0(

 2 k 1

T

2 2



0

s   Pds m 0

t  gt 4 0

2

t

t

3

2

 8 s k 4  sH |)( u ),0(  m |max s C  | T        )( d  

2 3

4





0

0

t

s

2



4

 sH |)(

ds

),0(

2  . d

u

(2.2.71)

 m





|

|max s C  | T

0

0

ta suy töø (2.2.67), (2.2.68) vaø (2.2.71), raèng

2

t

s

  k  )( d t 4 k tC T 4 3        )( d  



 sKds (

0

0

t

2

2

ds

g

)0(

( uH

))0(









0

2 )( sK m

m



0

  

2

2   )( d



[4

)0(

C



k

t )]0(

T

2 k 1

2 2

t   4 gt 0

2

t

t

3

2

 d )  m  )( P m

2 3

4





0

0

t

s

2

4

 sH |)(

ds

u

),0(

(2.2.72)

+

 m





|

|max  | s C T

0

0

 2  d .  

 k  )( d  t 4 k tC T 4 3        )( d  

T



,0

K

~ K



Chuù yù raèng vôùi moãi

hoäi tuï maïnh trong

khi

Söû duïng caùc giaû thieát

m

(

),

(G), (H ),

2K vaø caùc keát quaû (2.2.9), (2.2.72), ta thu ñöôïc (2.2.65). Boå ñeà 2.2.4 ñöôïc chöùng minh

hoaøn taát.

)5(

)6(

Boå ñeà 2.2.5. Toàn taïi hai haèng soá döông

TC vaø

TC chæ phuï thuoäc vaøo T sao cho

t

t 

,0[

T

],

T 

,0

(2.2.73)

2),0(

 d



u

C

 m

)5( T



0

t

t 

,0[

T

],

T 

0

,0(2 L T ) .m

2)(  d



C

 P m

)6( T



0

. (2.2.74)

Töø (2.2.63), aùp duïng caùc Boå ñeà 2.2.3 vaø 2.2.4, ta ñöôïc

2

t

t

t

s

2

2

Chöùng minh. Vì (2.2.74) laø keát quaû cuûa (2.2.71) vaø (2.2.73), ta chæ caàn chöùng minh (2.2.73).

/  m



 sKds (





0

0

0

0

t

2





2

C

)(2 tD

( uf

 ), (

u

 (

))

 d

 m

m

2



0

t

s





C 8

C 8

ds

),0(

2  d .

u

(2.2.75)

)3( T

)4( T

 m





0

0

u s ),0( ds  2 s )( ds  8  d )  m  m  )( P m

Maët khaùc, töø caùc giaû thieát

( 2F vaø )

2

 2



||

tutuf ),(

))(

(

||



2

||)(

||)(

 2

B

||)0(

,

(2.2.76)

2 sB 1

2 2

 m

m

 tu m

tu m

2 ||)( V

|

max |  s C T

||.||



||.||

0



vì

  neân 1

. Do ñoù söû duïng (2.2.60) vaø (2.2.76), ta coù

α2

L

||

tutuf ( ),

))(

(

 ||

C

.

(2.2.77)

m

 m

)7( T

Cuoái cuøng töø (2.2.75) vaø (2.2.77) ta thu ñöôïc baát ñaúng thöùc

t

t

s

2

u

s ),0(

ds



C



C 8

ds

),0(

2  d ,

u

(2.2.78)

 m

)8( T

)4( T

 m







0

0

0

maø ñieàu naøy suy ra (2.2.73) nhôø vaøo boå ñeà Gronwall vaø boå ñeà (2.2.5) ñöôïc chöùng minh.

Böôùc 3. Qua giôùi haïn.

Töø caùc keát quaû (2.2.8), (2.2.43), (2.2.60), (2.2.73), (2.2.74) vaø (2.2.77), ta suy ra raèng toàn taïi moät

sao cho

,)

,)

daõy con cuûa  m Pu , (

m

vaãn kyù hieäu laø  m Pu , (

m

) ( 3F ta thu ñöôïc

yeáu *, (2.2.79)

/u

L ,0( VT ; ) u m  trong u

2LT ;

trong

yeáu *, (2.2.80)

u m 

L ,0( )

trong

yeáu *, (2.2.81)

t ),0(  u t ),0( ,0( T ) L u m

trong

yeáu, (2.2.82)

t ),0(  u t ),0( ,0(2 L T )  u m

2LT ;

trong

yeáu *, (2.2.83)

m uuf (

P

, L ,0( )  ) m

ˆ trong

yeáu. (2.2.84)

Pm

Nhôø boå ñeà compact cuûa Lions [30], ta suy ra töø (2.2.79) - (2.2.82), raèng toàn taïi moät daõy con vaãn kyù

sao cho

hieäu laø 

mu

H ,0(1 T )

maïnh trong

(2.2.85)

t ),0(  u t ),0( C ,0([0 T ]), u m

vaø haàu khaép nôi trong

.TQ (2.2.86)

Do caùc giaû thieát (H ), (K) vaø söû duïng (2.2.8), (2.2.85) ta ñöôïc

t



 uHtg

)(

,0((

t

))



tK (



us ,0(,

s

))

ds



tP )(

tP )( m



0

u ) u m  maïnh trong (2 TQL

Töø (2.2.84) vaø (2.2.87) cho

ˆ PP

haàu khaép nôi trong

TQ . (2.2.88)

Qua giôùi haïn trong (2.2.7) bôûi (2.2.79), (2.2.80), (2.2.87), (2.2.88), ta ñöôïc

 vtu ),(



vtua ((

),

)



vtP

)0()(



 ,

v



0

C ,0([0 T ]). (2.2.87) maïnh trong

.Vv 

d dt

Töông töï nhö trong [19], ta cuõng chöùng minh ñöôïc raèng

(2.2.89)

u

 )0(



.

0u

1u



,( uuf

 ).

Ñeå chöùng minh toàn taïi cuûa nghieäm u, ta caàn chöùng minh raèng

Ta caàn ñeán boå ñeà sau

maø chöùng minh cuûa noù coù theå tìm thaáy trong [3].

Boå ñeà 2.2.6. Giaû söû u laø nghieäm cuûa baøi toaùn

u )0(  , (2.2.90)







u

 

,0

0

 x

,1

0

Tt

,

tt





xx t ),0(

tP

),(

u ),1( t

,0





),

)0,(

),

1

xu t 



xu ( 0 VT ;

u

),

,0(

 L

,0(

xu ( 1 2 LT ;

),

u

) ,0(

H

,0(

T

).

u   u  x  xu )0,(     Lu 

Khi ñoù

t

t

2

||

 ||)( tu

||

tu

)( usP

 ),0( s

ds

 (

 ), sus )(

ds







2 ||)( V





1 2

1 2

0

0

2





||

u

,

||

||

(2.2.91)

u 1

0

2 || V

1 2

1 2

t 

,0[ T

]

. Hôn nöõa, neáu

a.e

thì (2.2.91) xaûy ra ñaúng thöùc.

0

Baây giôø, töø (2.2.7) - (2.2.9) ta coù

t

2

2

||

||)(



||

||



||

u



( uf

(

), us

(

s

)),

u

)( s

ds

m

2 || Vm

 tu m

u 1

0

 m

m

 m

0



1 2

1 2

1 2

t

||

),0( s

. ds





(2.2.92)

tu m

2 ||)( V

)( usP m

 m



1 2

0

Do boå ñeà 2.2.6 vaø töø (2.2.9), (2.2.79), (2.2.80), (2.2.82), (2.2.87), (2.2.92), ta suy ra

t

( susuf ), (

(

)),

u

)( s

ds

m

 m

 m

0



limsup  m

t

2

2



||

u

||



||

u



||

 ||)( tu



||

tu



)( usP

 ),0( s

ds

2 || V

2 ||)( V

1

0



1 2

1 2

1 2

1 2

0

t 

,0[ T

].

 sus )(  ),

(

ds

,

(2.2.93)

t   0

),(.. ea



,( uuf

 )

Laäp luaän gioáng nhö trong [19], ta chöùng minh raèng

. Söï toàn taïi nghieäm

TQtx

ñöôïc chöùng minh.

u  0  u 1

Böôùc 4. Tính duy nhaát cuûa nghieäm. Baây giôø ta giaû söû raèng  = 1 trong

) ( 3F vaø cuõng giaû söû raèng H, K,

( ),

)

f thoûa caùc giaû thieát

Goïi

laø hai nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn (2.1.1) -

1

3

Pu , ( 1 1

Pu , 2 2

u





u





(2.1.4). Ñaët

vaø

. Khi ñoù (u, P) thoûa baøi toaùn sau

u 1

2

1 PPP

2



0,0

x 

0,1



Tt

,

u

),(

u

t ),1(



,0

 xx    t ),0( tP 

xu

)0,(



,0

u   u  x  xu )0,( 

( H ), ( K ), ( ). F 4

trong ñoù

(

,

 ), 2 uH (

,0(

t

))

uH (

,0(

t

))





 uuf ) , 1 1 tP )(  1

uuf ( 2 )( tP  2

1

2

t

(

tK (

,0(

s

))

tK (

us ,

,0(

s

)))

ds

,









us , 1

2



0

 L

,0(

uVT ),

;

 L

,0(

2 LT ;

),



i

1

1

) ,0(

H

,0(

,0(

T

i ),

.2 ,1

 i ),







i

HPT i

    tP )(       u   u 

AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi

ta thu ñöôïc

0

t

t

2

||

 tu ||)(



||

tu



usP )(

 s ),0(

ds



 (

 sus )( ),

ds



,0

(2.2.94)

2 ||)( V





1 2

1 2

0

0

t 

,0[ T

].

a.e.,

Ñaët

2





||

 tu ||)(

||

tu

,

2 ||)( V



,0(

))



,0(

)),

t

( uH

t

(2.2.95)

( uH 1

2

,0(

))

,0(

)).









( tK

s

( tK

, us

s

, us 1

2

 t )(   ~ )( tH  1 ~  K   1

(tP

 ),

Thay

vaøo (2.2.94) vaø duøng tính khoâng giaûm cuûa haøm f theo bieán thöù hai, ta coù

t

2)( t



 ),0( s

ds

~ usH )( 1



0

t

), susuf (

(

(

))

), susuf (

(

(

))

 su )(

ds



1

2

 2

 2

  2

0

t

s



2

u

 ),0( s

dr

.

(2.2.96)

~ rsKds ),( 1





0

0

u  ,0  u 1

Söû duïng giaû thieát

susuf ), (

(

(

))



susuf ), (

(

(

))



.

(2.2.97)

 suB )(



 2

 2

2

1

 2

2

Vsu )(

Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho tích phaân cuoái cuøng cuûa (2.2.96), ta ñöôïc

t

s

J



2

),0( s

dr

~ rsKds ),( 1

  u



0

0

t

t

s

u ),0(2

dr

2

u

s ),0(

rs ),(

dr







(2.2.98)

~ ssKds ),( 1

~  rtKt ),( 1





~ K  1 s 

0

0

0

  

 .  

), ( 3F ta coù

Töø giaû thieát

3K ta coù

p

(

s



ur |)

r |),0(



p

(

s

 )

r

r ,)(

|

|),(



TM ,

TM ,

~ rsK 1

|),(

|



p

|)0(

u

s |),0(



p

)0(



s ,)(

(2.2.99)

~ ssK 1

TM ,

TM ,

rs ),(



q

(

s



ur |)

r |),0(



q

(

s

 )

r

r ,)(

TM ,

TM .

~  K 1  s

M



max

||

u

||

.

trong ñoù

Ta suy töø (2.2.98), (2.2.99), raèng

i

i

 2,1

 L

,0(

VT ;

)

t

t

|

J

|



2



)( t

p

(

t



r

)



)( r

dr



2

p

)0(



)( s

ds

. TM

. TM





0

0

t

s



2



)( s

ds

q

(

s



r

)



)( r

dr

TM





0

0

t

t

2

TM ,



β

)( t



p

)( r

dr



)( r

dr

 1





1 β

1

0

0

1

t

t

t

2

2

. TM

2

p

)0(

)( s

ds

2

t

q

)( r

dr

)( s

ds





(2.2.100)

, TM

 

 



0

0

0

   

   

1

t

t

t

2

2

, TM



)( t



2

p

)0(



p

)( r

dr

2

t

q

r )(

dr



s )(

ds

,



2 TM .

β  1

TM ,







1 β

1

0

0

0

   

   

  

   

.0

β1 

Ñaët



 ( sH

),

m



 .|)( sH

(2.2.101)

m 1

2

min  Ms | |

|max  Ms | |

(

),

Töø giaû thieát

1H ta coù

m

.1

(2.2.102)

1

Maët khaùc, duøng tích phaân töøng phaàn vaø (2.2.102) suy ra raèng

t

t

1





2

 ),0( s

ds

2

),0( s

 u

),0(

),0( s

ds

 uH

 ds

~ usH )( 1

2



d  d

0

0

0

    

   u 

1

2



u

),0(

s ),0(



u 

),0(



(2.2.103)

 ds

2

   uHt

0

( ),

t

1

2



u

s ),0(

s ),0(



u 

),0(

s ),0(



u 

 ),0(



 us

 ds

 2

2



   uHds

0

0

t

2

2



),0(



|),0( s



|

u

 |),0( s

 |),0( s ds

um 1

2

 u 1

 2

 umt

0

t

2



),0(

mt 



s |),0(



|

u

s |),0(

 s |)(

 ds .

um 1

2

 u 1

 2



0

Töø (2.2.96) - (2.2.98), (2.2.100) vaø (2.2.103), ta thu ñöôïc

2

2

)(

),0( t



|),0( s



|

u

|),0( s

 |),0( s

 ds

umt  1

 u 1

 2

t  um 2 0

t

(2.2.104)

suB (|

|))(



s )(

 ds

|

J

 |

 ( t

).

 2

2

 

0

Chuù yù raèng töø boå ñeà (1.2.1), (2.2.102) vaø (2.2.104), ta cuõng ñöôïc

2

2

(2.2.105)

1

Töø (2.2.104) vaø (2.2.105) raèng

2

1(  t ),0(    umt )( t ),0(   t ).( um ) 1



t )()β1( 2

t



|),0( s



|

u

||

(| suB

|))(

)( s

ds

 |),0( s 

  ||

)β1(  2

   | um 2 1

 2

2

 2



0



β)β1(

(2.2.106)

2

t )( 1

1

t

t

t

2

2

, TM





p

)0(

p

)( r

dr

2

t

q

r )(

dr



s )(

ds

,



2 TM .

2)β1( 2

TM ,







1 β

1

0

0

0

   

   

  

   



β,0

β

.0

1

2

β



β ,0



0





β)β1( ,21)







21

sao cho

vaø ñaët

Choïn

2

1

m 1

1(β 2

m 1

2

1



t |),0(



|

u

t |)),0(



tuB (|

|))(



tR )( 1

 )β1(2 2

um (| 2

 1

 2

2

 2



||

p

||

 2

p

 2)0(

qT ||

||

. (2.2.107)

TM .

TM .

TM .

 )( t [   t ),0( m 1 1(β 2 um )] 1

.

2 2 L

,0(

T

)

2 L

,0(

T

)

1 β

1

Khi ñoù, ta coù töø (2.2.106) vaø (2.2.107), raèng

t

2

2



t )(



u

t ),0(



)[



s )(



u

,0(

s

)]

ds ,

(2.2.108)

sR ( 1



0

2

Do boå ñeà Gronwall ta ñöôïc

Do ñoù, Ñònh lyù 2.2.1 ñöôïc chöùng minh.

Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät

hs

sH )(



h ,



0

laø

(2.2.109)

haèng soá 1

Hkutk

T

utK ),(



,)(



,0(

),

T 

k ,0

)0(



,0

  

ñònh lyù sau ñaây chính laø heä quaû cuûa Ñònh lyù 2.2.1.

t )(  u t ),0(  .0

Ñònh lyù 2.2.2. Giaû söû (A), (G) vaø

( 1F - )

coù ít nhaát moät nghieäm (u,P) thoûa (2.2.4), (2.2.5). Hôn nöõa neáu  =1 trong

) ( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4)

2B thoûa

( 4F thì ),

nghieäm naøy duy nhaát.

Chuù thích 2.2.1.

Trong [20], N.T. Long vaø Alain P.N. Ñònh ñaõ thieát laäp Ñònh lyù 2.2.2 nhöng phaûi boå sung

theâm giaû thieát: “ 1B laø haøm khoâng giaûm ”.

Trong tröôøng hôïp rieâng K(t,u) = 0, P = g + H, thì Ñònh lyù sau cuõng laø moät heä quaû ñöôïc suy ra

töø Ñònh lyù 2.2.1.

( 3F vaø )

Ñònh lyù 2.2.3. Giaû söû (A), (G), (H),

( 1F - )

) ( 3F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi T > 0, baøi toaùn (2.1.1) -

(

),

vaø caùc haøm H,

2B thoûa

1H vaø )

( 4F thì nghieäm naøy duy nhaát.

Chuù thích 2.2.2.

,1.2.2

Cuõng nhö chuù thích

Ñònh lyù 2.2.3 cho moät keát quaû töông töï nhö trong [12], nhöng

trong luaän aùn naøy khoâng caàn ñeán giaû thieát

1B laø haøm khoâng giaûm.

2.3 . Söï oån ñònh cuûa nghieäm

(

Trong phaàn naøy, giaû söû  =1 vaø caùc haøm H vaø

2B laàn löôït thoûa caùc giaû thieát (H),

1H )

).

vaø

( 4F Nhôø Ñònh lyù 2.2.1, baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) coù nghieäm (u,P) duy nhaát phuï thuoäc vaøo g, H ,

K

u 

KHgu

,(

,

),

KHgPP  ,(

,

),

(2.1.3) töông öùng vôùi P = g + H, coù ít nhaát moät nghieäm u thoûa (2.2.3). Hôn nöõa, neáu  =1 trong ( 3F )

(

trong ñoù g, H , K thoûa caùc giaû thieát (G), (H),

vaø

laø nhöõng haøm cho tröôùc

3

1

0

1H , )

coá ñònh thoûa caùc giaû thieát (A),

( 1F - )

( 4F ).

( ( K ) u , u , f K  ) 1

Giaû söû

laø haèng soá cho tröôùc vaø

laø haøm soá cho tröôùc. Ta ñaët

0 h

  IR



2

 (

)



{

IRCH



(

:)

H

)0(



;0

Hh , 0

0

x

sH )(

ds



 )( xHh

,

 ,1

x

IR ,

0

 0

(|

sH

|)(



|

 sH |))(



MMH



),

(

}.0

0

sup Ms |  |

0 IR H :0

t

 M ,0



,0

Cho

vaø

ta ñaët



utK ),(

vtK ),(



tKMN ),

(

,

.

h

sup   vuMvu | | ,

||,

 vu 

{

},

M



,0

T



0

, TM

0

Cho moät hoï haøm

phuï thuoäc vaøo hai tham soá

goàm caùc haøm khoâng aâm

p TM ,

,0(2 L

T

),

IRCK  (0  IR ; IR ),

, TM

.0

, sao cho

vôùi moïi

p TM  ,

 MtTMp , ), ( ,  T ,0  0 p TM t )(.

2 L

1 L

.0T

Cho

vôùi moïi

Ta ñaët

2

0

 ,0( T k ),  ,0( T ), k 1

2

TM ,



0 ( IRC 

( {, }) { ( :) ),  p  IRCK   IR   IR , kk 1 K   t

h

TM ,

( , , ,0[ ], , ,0 ), tKMN  ), t  p ),( t t  TMT   ( MN h K   t

Khi ñoù, ta coù ñònh lyù sau

)

,0T

nghieäm cuûa baøi toaùn

Ñònh lyù 2.3.1. Giaû söû  =1 vaø (A),

( 1F - )

( 4F ñöôïc thoûa. Khi ñoù vôùi moãi

(2.1.1) - (2.1.4) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc döõ kieän g, H , K theo nghóa sau:

1

(

KHg

,

,

)



H

,0(

T

)

 (

)



(

{,

p

})

KHg , ,(

),

thoûa

Neáu

j

j

j

Hh , 0

0

kk , 1

2

TM ,

1

1

(

)



Hg ,(

)

| |),( | ut |),(  |  ),( u  IR , t  ,0[ T ], T  }.0 utK  utk |)( 1 tk 2 K   t

maïnh trong

(2.3.1)

Hg , j

j

0

2

(

K

,

 K

 t (

 tKK

)

,

)

H ,0(  CT ) ([  MM , ])

maïnh trong

(2.3.2)

j

j

, TM

.0

j

khi

, vôùi moïi

Khi ñoù

,

,0(

)



 ,0(, uuu ,(

Pt ),

)

maïnh trong

 uuu , ( j

j

Pt ), j

j

0

0

 L

C [ ,0([ T ]  [ MM , ])]

2 LT ,

, TM

,0

,j

khi

vôùi moïi

u



KHgu ,

(

,

),



KHgP ,

(

,

).

trong ñoù

j

j

P j

j

j

j

j

j

KHg , ,(

)

thoûa

Chöùng minh. Tröôùc heát ta chuù yù raèng neáu döõ kieän

,0( VT , )   L ,0( )  C ,0([ T ])  C ,0([ T ])

K 

(

{,

}),

||

g

||



G

,

(2.3.3)

kk , 1

2

TMp ,

0 Hh ,

0

0

H

,0(1 T

)

H  ( ),

khi ñoù, caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuûa caùc daõy

vaø

thoûa

2

||

||)(



||



C

t 

,0[

T

],

T 

,0

(2.3.4)

 tu m

tu m

2 ||)( V

2 T

t

t 

,0[

T

],

T 

,0

2),0( s

u

ds



C

(2.3.5)

 m

2 T



0

t

t 

,0[

T

],

T 

,0

2)(

ds



C

(2.3.6)

 sP m

2 T



0

{

}

} } { mu { mP trong chöùng minh cuûa Ñònh lyù 2.2.1

KHg

,

,

trong ñoù

,

(ñoäc laäp vôùi

).

,TMp

0

0

2

0

TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc

,( Pu

)

trong khoâng gian haøm thích hôïp

Do ñoù, giôùi haïn

uT , , , , k , u , 1 kHhGf , , 0 1

cuûa daõy xaáp xæ

ñöôïc xaùc ñònh bôûi (2.2.7) – (2.2.9), chính laø nghieäm cuûa baøi toaùn (2.1.1) –

m Pu ,

m

{( )}

(2.1.4) vaø thoûa caùc ñaùnh giaù (2.3.4) - (2.3.6).

ñeå cho döõ kieän

Baây giôø, töø (2.3.1) vaø (2.3.2) ta giaû söû raèng toàn taïi moät haèng soá

0 G

(

KHg

,

,

)

KHg ,(

,

)



(

KHg

,

,

).

thoûa (2.3.3) töông öùng vôùi

Khi ñoù töø chuù yù ôû treân, ta coù nghieäm

j

j

j

j

j

j

)

KHg ,(

,

)



(

KHg

,

,

),

cuûa baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) töông öùng vôùi

thoûa caùc ñaùnh giaù

j Pu ( , j

j

j

j

2

||

||)(



||

||)(



C

t 

,0[

T

],

T 

,0

(2.3.7)

 tu j

tu j

2 V

2 T

t

2

t 

,0[

T

],

T 

,0

u

s ),0(

ds



C

(2.3.8)

 j

2 T



0

t

2

t 

,0[

T

],

T 

.0

ds



C

(2.3.9)

 sP )( j

2 T



0

Ñaët

~ g



g



~ Hg ,



H



~ KH ,



K



K

.

j

j

j

j

j

j

v



u



u

Q



P



P

Khi ñoù

vaø

thoûa baøi toaùn

j

j

j

j

0 ,0

x 

0 ,1



Tt

,

v





 j

jxx t ),0(



v ),(

t ),1(



,0

(2.3.10)

j 

 j tQ j x )0,(

,0

 v j

 v  v  jx  xv )0,(  j

0

trong ñoù



uuf ,(

 ),

,

(





,0(

s

))

uH

,0((

s

))

 ) j j )(ˆ  uHtg ( j

j

t









us ,

,0(

s

))

tK (

us ,0(,

s

))

,

 tK (

 ds

j



0

t

~







)(~  uHtg

(

,0(

t

))

us ,

,0(

s

))

ds .

)(ˆ tg j

j

j

j

j

~ tK ( j



0

uuf  j  tQ )(  j        

,

QP 

,

(2.3.11)

AÙp duïng Boå ñeà 2.2.6 vôùi

  j

j

0

t

t

2

||

||)(



||



2

s ),0(

ds



2



(



ds



.0

 tv j

tv j

2 ||)( V

vsQ )( j

 j

 j

 svs )( ), j





0

0

Ñaët

2



||

||)(



||

 v

,0(

t

),

tS )( j

 tv j

tv j

2 ||)( V

2 j



 sH )(



,1

m



 .|)( sH

m 1

2

,TCM 

min Ms |  |

|max  Ms | |

Khi ñoù, theo moät caùch töông töï nhö ôû phaàn treân, ta chöùng minh ñöôïc baát ñaúng thöùc sau ñaây

2

u  ,0 ta coù  u 1

2 ||)( V

2 j

t

t

 || ||)( || t ),0(  tv j tv j vm  1

 |

 s sS |),0( )( j

2

2





0

0

t

2

u ds u  mds   suB (|  |))(  s |),0( | sS )( j  j

2 )(ˆ tg j



0

t   0

t

ds ds     2  tS )( j sS )( j  )(ˆ sg j 1         

TM ,

TM ,

2 2 L

T

2 L

T

,0(

)

,0(

)



0

t

2

p T p ds  || ||  2 || || sS )( j 1       

2 )(ˆ tg j



0

t

ds    2  tS )( j  )(ˆ sg j 1         

 ||

 sS )( j

2



0

t

u ds   suB (|  |))( ||  s |),0( | s |)),0(  j um  (| 2

TM ,

TM ,

2 2 L

T

2 L

T

,0(

)

,0(

)



0

t 

,0[ T

].

0

vôùi moïi

 || p || 2 T || p || ds  ),(    sS )( j ty j 1        (2.3.12)

v

t ),0(



||

||)(

Chuù yù raèng

vaø

2 j

tv j

2 V

2

1(



t ),0(



||

||)(



||



t ),0(



).

, do ñoù

2 j

 tv j

tv j

2 ||)( V

2 j

ty ( j

vm ) 1

vm 1

(2.3.13)

Nhaân hai veá cuûa (2.3.13) cho

1β > 0, sau ñoù coäng vôùi (2.3.12), ta ñöôïc

2

||

||)(



||

||)(



1[(



β)



t ),0(

 tv j

tv j

2 V

m 1

1

vm ] 1

2 j



)β1( 1

ty j )(

t

2

2 )(ˆ tg j



0

t



β ,0



,0

t 

,0[

T

],

sSsT )(

),

ds

,

j

~ R  ,( j

1



0

trong ñoù

~ R

sT ),





||

p

||



2

T

||

p

||

 ,(

j

TM ,

)β1(  1

TM ,

2 2 L

T

2 L

,0(

T

)

,0(

)

1 

  



||

suB (|

 |))(

||



 s |),0(



|

u

    ds (2.3.14) ε2)β1( 1 tS )( j  )(ˆ sg j 1 ε                

. |),0( s

2

 um | 2

j

1(



β)





,1

 21)β1(2

Choïn

(2.3.15)

0

β1  vaø 0

m 1

1

m 1

1 

sao cho . Duøng pheùp nhuùng

t

 H ,0(1 T ) C ,0([0 T ]), keát hôïp vôùi (2.3.14), ta ñöôïc



C

ˆ|| g

 ,(

sSsT )(

),

ds ,

~ R

1

tS )( j

 )β1(2 1

)9( T

j

j

,0(

)

2 || Hj

T

 2

1 

0

)9(

trong ñoù

TC laø haèng soá chæ phuï thuoäc vaøo T. Nhôø boå ñeà Gronwall, ta thu ñöôïc töø (2.3.16), raèng

T

1

~ R

2

C

ˆ|| g

exp

 ,(

sT ),

ds



(2.3.16)

j

tS )( j

)9( T

)β1(2  1

2 || Hj

T

,0(

)

0



 ,  

  

1 

t 

,0[ T

].

vôùi moïi

(2.3.17)



C

ˆ|| g

t 

,0[ T

],

Maët khaùc, nhôø (2.3.4), (2.3.10), (2.3.11), (2.3.15) vaø (2.3.17), ta thu ñöôïc

1

tS )( j

)10( T

2 || Hj

T

,0(

)

2/1

t

(2.3.18)

TM ,

2 L

,0(

T

)



0

| |)(   sH |)(  || p || ds . (2.3.19) tQ j |)(ˆ| tg  j tS )( j sS )( j |max Ms  ||        

Baây giôø, ta söû duïng moät laàn nöõa pheùp nhuùng

 H ,0(1 T ) C ,0([0 T ]), khi ñoù, ta suy töø (2.3.18) vaø

||

Q

||



C

ˆ|| g

.

0

1

j

)11( T

C

,0([

T

])

|| Hj

,0(

T

)

Cuoái cuøng, ta chæ caàn chöùng minh raèng

(2.3.19), raèng

,0(1 T

)

Thaät vaäy, töø (2.3.11) keát hôïp vôùi (2.3.8), ta suy ñöôïc baát ñaúng thöùc sau

1

1

1

ˆ|| g

~ 2 HMT



||



||

j

|| Hj

,0(

T

)

||~||  g Hj

,0(

T

)

C

([



MM ,

])

2

0

0



T 1(2



T

~ K

||

 ||

/

 t

||

~ K

j

j

 ||)

.

C

,0([

T

 [ ]

MM ,

])

C

,0([

T

 [ ]

MM ,

])

Ñònh lyù (2.3.1)õ ñöôïc chöùng minh.

2.4. Moät vaøi nhaän xeùt veà caùc keát quaû thu ñöôïc

ˆ|| g  .0 || Hj lim j 

utK ),(

0

sH )(



hs

,

,0h

öùng vôùi cuøng baøi toaùn (2.1.1) - (2.1.4) vôùi

vaø

caùc giaû thieát sau ñöôïc thieát

laäp trong [19] laø khoâng caàn thieát:

2

 1(  )

0







,1

)



L

(

)

 Lu

1./ Keát quaû thu ñöôïc töø Ñònh lyù 2.2.1 maïnh hôn keát quaû thu ñöôïc trong [19]. Thaät vaäy, töông

,0T

vôùi moïi

vaø

+

uB ( 1

TQ

+

laø caùc haøm khoâng giaûm.

1, BB

2

1

,0( VT ; )

2./ Trong tröôøng hôïp ñaëc bieät

,

,1.2.2

H(s) = hs, h > 0 laø haèng soá, Ñònh lyù 2.2.2 laø moät heä quaû cuûa Ñònh lyù

cuõng maïnh hôn keát quaû

trong [20], trong luaän aùn naøy cuõng khoâng söû duïng giaû thieát

1B laø haøm khoâng giaûm.

3./ Trong tröôøng hôïp K(t,u) = 0 thì Ñònh lyù 2.2.3 cuõng toång quaùt hôn keát quaû töông töï nhö

trong [12].

4./ Keát quaû veà tính oån ñònh cuûa nghieäm trong Ñònh lyù 2.3.1 cuõng toång quaùt vaø roäng hôn caùc

keát quaû trong [11, 12, 19, 20, 28].

utK ),(  Hkutk ,)(  ,0( T ), T  k ,0 )0(  0

PHAÀN KEÁT LUAÄN

Vôùi söï phaùt trieån maïnh meõ vaø nhöõng thaønh töïu röïc rôõ cuûa Toaùn hoïc hieän ñaïi, nhöõng coâng cuï

saâu saéc cuûa Giaûi tích haøm öùng duïng ñaõ xaâm nhaäp vaøo raát nhieàu baøi toaùn bieân phi tuyeán cuï theå ôû

nhieàu möùc ñoä. Maëc duø, trong moät caùch nhìn toång quaùt, chuùng ta vaãn chöa coù nhöõng phöông phaùp

toaùn hoïc chung ñeå giaûi quyeát ñoái vôùi moïi baøi toaùn bieân phi tuyeán, nhöng nhöõng öùng duïng cuûa Giaûi

tích Toaùn hoïc ñaõ giuùp chuùng ta thu ñöôïc moät soá caùc keát quaû khaû quan treân moät soá lôùùp caùc baøi toaùn

giaù trò bieân phi tuyeán ñöôïc xaây döïng vaø phaùt trieån töø nhöõng moâ hình Toaùn hoïc cuûa caùc vaán ñeà trong

Khoa hoïc kyõ thuaät, thöïc nghieäm ...

Trong luaän aùn naøy chuùng toâi ñaõ khaûo saùt moät soá baøi toaùn bieân coù lieân quan ñeán nhieàu vaán ñeà

trong caùc ngaønh Khoa hoïc öùng duïng. Chaúng haïn caùc phöông trình soùng phi tuyeán lieân keát vôùi caùc

loaïi ñieàu kieän bieân khaùc nhau xuaát hieän trong caùc baøi toaùn moâ taû dao ñoäng cuûa moät vaät ñaøn hoài (

moät daây hoaëc moät thanh ) vôùi caùc raøng buoäc phi tuyeán ôû beà maët vaø taïi bieân, hoaëc moâ taû söï va chaïm

cuûa moät vaät raén vôùi moät thanh ñaøn nhôùt tuyeán tính treân moät neàn cöùng hoaëc moät neàn ñaøn nhôùt vôi

caùc raøng buoäc ñaøn hoài phi tuyeán ôû beà maët, caùc raøng buoäc lieân heä vôùi löïc caûn ma saùt nhôùt. Coâng cuï

ñeå khaûo saùt ñöôïc söû duïng trong luaän aùn laø caùc phöông phaùp cuûa Giaûi tích haøm phi tuyeán nhö :

phöông phaùp Galerkin, phöông phaùp compact vaø ñôn ñieäu, phöông phaùp xaáp xæ tuyeán tính lieân heä

vôùi caùc ñònh lyù veà ñieåm baát ñoäng, phöông phaùp tieäm caän ...

Ngoaøi Chöông môû ñaàu trình baøy toång quan veà caùc baøi toaùn, keát quaû chính cuûa luaän aùn ñöôïc

trình baøy ôû hai chöông tieáp theo. Caùc keát quaû ñoù bao goàm

1. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm ñòa phöông cuûa baøi toaùn töông öùng vôùi ñieàu

kieän bieân thuaàn nhaát:

2

2

u



uB (

u )



uuutxf ,

,,(

,

,

u

),

x



),1,0(

0



Tt

,

(1)

tt

x

xx

x

t

x

(2)

t ),0(  t ),0(  u t ),1(  ,0 u x h 0

(3)

xu )0,(  ), )0,(  ), (~ xu 0 xu t (~ xu 1

trong ñoù

laø caùc haøm cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy soá haïng phi tuyeán ôû veá phaûi

0

1

0

3

fB , ~ ,~ , u u

cuûa (1) xaùc ñònh bôûi haøm f ñöôïc giaû söû raèng

vaø theâm moät soá ñieàu kieän



phuï.

Cf  ]1,0([   IR  IR ) IR 

2. Keát quaû treân cuõng ñöôïc nôùi roäng cho phöông trình soùng phi tuyeán coù chöùa toaùn töû

Kirchhoff – Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát:

2

2

u



utB ,(

)

u



uuutxf ,

,,(

,

,

u

),

x



),1,0(

0



Tt

,

(4)

tt

x

xx

x

t

x

(5)

1

3

t ),0(  t ),0(  ), u t ),1(  ),( u x h 0 tg ( 0 tg 1

laø caùc haøm cho tröôùc

vaø ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù

0

0

1

thoûa theâm moät soá caùc ñieàu kieän phuï naøo ñoù.

3. Chöùng minh nghieäm yeáu

cuûa baøi toaùn nhieãu

Cf  ]1,0([   IR  ), ufB , g , g IR  IR  ,~ ,~ , u 1

2

2

u



[

utB ,(

)



ε

utB ,(

u )]

tt

x

1

x

xx

(6)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



ε

,,(

,

,

,

u

)

x

t

x

uuutxf 1

x

t

x

lieân keát vôùi (3) vaø (5) coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp 3 theo moät tham soá  ñuû nhoû.

4. Chöùng minh nghieäm yeáu cuûa baøi toaùn nhieãu

2

2

u



[

uB (

)



ε

u )]

tt

x

uB ( 1

x

xx

(7)

2

2



uuutxf ,

,,(

,

,

u

)



ε

,,(

,

,

,

u

)

x

t

x

uuutxf 1

x

t

x

coù khai trieån tieäm caän ñeán caáp N+1 theo moät tham soá

lieân keát vôùi (2) vaø (3) laø moät haøm

txu ),(ε

beù .

Caùc keát quaû naøy ñaõ ñöôïc coâng boá trong hai baøi baùo [d1], [d2].

,( Pu

)

5. Chöùng minh söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toaøn cuïc

cuûa baøi toaùn bieân cho phöông

trình soùng phi tuyeán

txu ),(ε

(8)

tt

xx

t

u  u  uuf ,( )  ,0 x  0),1,0(  Tt ,

(9)

txu ),(

lieân keát vôùi ñieàu kieän ñaàu (3), trong ñoù giaù trò bieân chöa bieát

)(tP vaø aån haøm

thoûa moät

phöông trình tích phaân phi tuyeán

t

)( tP



uHtg 

)(

,0((

t

))



( tK



,0(, us

s

))

ds

,

(10)



0

t ),0(  tP ),( u t ),1(  ,0 u x

, g, H vaø K laø caùc haøm cho tröôùc thoûa moät soá ñieàu kieän phuï naøo ñoù.

trong ñoù

uf , u 0 , 1

,( Pu

)

6. Chöùng minh nghieäm

cuûa baøi toaùn (3), (8) – (10) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm g, H vaø

K.

Caùc keát quaû thu ñöôïc ôû ñaây ñaõ ñöôïc coâng boá trong [d3].

TAØI LIEÄU THAM KHAÛO

[1] Nguyeãn Thuùc An, Nguyeãn Ñình Trieàu, Shock between absolutely solid body and elastic bar with

the elastic viscous frictional resistance at the side, J. Mech. NSCR. VietNam, Tom XIII (2) (1991),

1-7.

[2] R.A. Adams, Sobolev Spaces, Academic press, Newyork, 1975.

[3] Ñaëng Ñình AÙng, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mixed problem for semilinear wave equations with a

nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 12 (1988), 581 - 592.

[4] H. Breùzis, Analyse Fonctionnelle. Theùorie et applications, Masson Paris, 1983.

[5] M. Bergounioux, Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Mathema-

-tical model for a shock problem involving a linear viscoelastic bar, Nonlinear Anal. 43, (2001), 547-

561.

[6] Döông Thò Thanh Bình, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear recursive schemes

associated with the nonlinear wave equation involving Bessel’s operator, Math. Comp. Modelling,

34 (2001), No.5-6, 541-556.

[7] G.F. Carrier, On the nonlinear vibrations problem of elastic string, Q.J. Appl. Math. 3 (1945),

157-165.

[8] Zh. N. Dmitriyeva, On stable solutions in nonlinear oscillations of rectangular plates under

random loads, Prikl. Mat. Mekh. L.4 (1979), 189-197.

[9] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Sur un probleøme hyperbolique faiblement non lineùaire en dimension 1,

Demonstratio Math. 16 (1983), 269-289.

[10] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, Linear approximation and asymptotic expansion

associated to the nonlinear wave equation in one dimension, Demonstratio Math. 19 (1986), 45 – 63.

[11] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, On the quasilinear wave equation with a mixed

nonhomogeneous condition, SEA. Bull. Math. 19 (1995), 127 – 130.

[12] Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Nguyeãn Thaønh Long, The semilinear wave equation associated with a

nonlinear boundary, Demonstratio Math. 30 (1997), 557 – 572.

[13] Y. Ebihara, L.A. Medeiros, M.M. Miranda, Local solutions for a nonlinear degenerate

hyperbolic equation, Nonlinear Anal. 10 (1986), 27 – 40.

[14] C.L. Frota, Nonlocal solutions of a nonlinear hyperbolic partial differential equation,

Portugaliae Math., Vol. 51, No.3 (1994), 455- 473.

[15] M. Hosoya, Y. Yamada, On some nonlinear wave equations I: Local existence and regularity of

solutions, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sect. IA, Math. 38 (1991), 225 – 238.

[16] G.R. Kirchhoff, Vorlesungen beru

Mathematiche Physik: Mechanik, Teuber, Leipzig, 1876.

Section 29.7.

[17] J.L. Lions, Quelques meùthodes de reùsolution des probleømes aux limites non lineùaires, Dunod,

Gauthier – Villars, Paris, 1969.

[18] N.A. Larkin, Global regular solutions for the nonhomogeneous Carrier equation, Math. Prob.

Eng., Vol. 8, (2002), 15-31.

[19] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, On the quasilinear wave equation:

associated with a nonhomogeneous condition, Nonlinear Anal. 19 (1992), 613 –

t

tt

623.

[20] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, A semilinear wave equation associated with a

linear differential equation with Cauchy data, Nonlinear Anal. 24 (1995), 1261 –1279.

[21] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Ngoïc Dieãm, On

the nonlinear wave equation:

u  uuf ,( )  0 u

associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 29

tt

xx

x

t

(1997), 1217 -1230.

[22] Nguyeãn Thaønh Long, Asymptotic expansion of the solution for nonlinear wave equation with the

mixed homogeneous conditions, Nonlinear Anal. 45 (2001), 261 - 272.

2

u



,( utB

) u



[23] Nguyeãn Thaønh Long, On the nonlinear wave equation:

x

tt

xx

u  u  uuutxf , ,,( , )

associated with the mixed homogeneous conditions, J. Math. Anal. Appl. 274, (2002),

x uuutxf ,,( ,

t

102 - 123.

, )

[24] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Linear recursive schemes and

asymptotic expansion associated with the Kirchhoff -Carrier operator, J. Math. Anal. Appl. 267,

(2002), 116 -134.

[25] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Traàn Ngoïc Dieãm, Asymptotic expansion of the

solution for nonlinear wave equation with mixed nonhomogeneous conditions, Demontratio Math. 36,

No.3, (2003), 683 - 695.

[26] Nguyeãn Thaønh Long et al., On the nonlinear vibrations equation with a coefficient containing

an integral, Comp. Maths. Math. Phys. 33 (1993), 1171 – 1178.

[27] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, On the existence, uniqueness of solution of the

nonlinear vibrations equation, Demonstratio Math. 32 (1999), 749 – 758.

[28] Nguyeãn Thaønh Long, Traàn Minh Thuyeát, A semilinear wave equation associated with a

nonlinear integral equation, Demonstratio Math. 36 (2003), 915 – 938.

[29] Nguyeãn Thaønh Long, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Döông Thò Thanh Bình, Mixed problem for some

semilinear wave equations involving Bessel’s operator , Demonstratio Math. 32 (1999), 77 – 94.

[30] L.A. Medeiros, On some nonlinear perturbation of Kirchhoff - Carrier operator, Comp. Appl.

Math. 13 (1994), 225 – 233.

[31] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects,

Part I, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 2, (2002), 91 – 127.

[32] L.A Medeiros, J. Limaco, S.B. Menezes, Vibrations of elastic strings: Mathematical aspects,

Part II, J. Comp. Anal. Appl. 4, No. 3, (2002), 211 – 263.

[33] E.L Ortiz, Alain Phaïm Ngoïc Ñònh, Linear recursive schemes associated with some nonlinear

partial differential equations in one dimension and the Tau method, SIAM J. Math. Anal. 18 (1987),

452 – 464.

[34] S.I. Pohozaev, On a class of quasilinear hyperbolic equation, Math. USSR. Sb. 25 (1975), 145 –

158.

[35] P.A. Raviart, J.A. Thomas, Introduction aø l’analyse numeùrique des equations aux deùriveùes

partielles, Masson, Paris, 1983.

[36] M.L Santos, Asymptotic behavior of solutions to wave equations with a memory condition at

the boundary, Electronic J. Diff. Equations, Vol. 2001 (2001), No. 73, 1-11.

[37] M.L. Santos, J. Ferreira, D.C. Pereira, C.A. Raposo, Global existence and stability for wave

equation Kirchhoff type with memory condition at the boundary, Nonlinear Anal. 54 (2003), 959-

976.

[38] M. Tucsnack, Boundary stabilization for stretched string equations, Differential and Integral

equation, Vol. 6, No.4, (1993), 925- 935.

[39] Y. Yamada, Some nonlinear degenerate wave equations, Nonlinear Anal. 11 (1987), 1155-

1168.

DANH MUÏC CAÙC COÂNG TRÌNH CUÛA TAÙC GIAÛ

COÙ LIEÂN QUAN ÑEÁN LUAÄN AÙN

the nonlinear wave

equation

[d1] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On

2

2

u



uB (

u )



uuuutxf ,,( ,

,

,

)

associated with the mixed homogeneous conditions, Nonlinear

tt

x

xx

x

t

x

Anal., Ser. A: Theory Methods, 55. (2003), 493 – 519.

the nonlinear wave

[d2] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, On

equation

2

2

u



utB ,(

u )



uuuutxf ,

,,(

,

,

)

associated with the mixed nonhomoge-

tt

x

xx

x

t

x

-neous conditions, J. Math. Anal. Appl. 292. (2004), 433 – 458.

[d3] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, A nonlinear wave equation with a nonlinear integral

equation involving the boundary value, Electron J. Diff. Eqns. Vol. 2004(2004), No.133, pp.1-21.

[d4] Nguyeãn Thaønh Long, Buøi Tieán Duõng, Veà phöông trình soùng phi tuyeán chöùa toaùn töû Kirchhoff

– Carrier lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân hoãn hôïp khoâng thuaàn nhaát, Taïp chí Khoa hoïc – Khoa hoïc Töï

nhieân, Ñaïi hoïc Sö Phaïm Tp. Hoà Chí Minh, taäp 32, No.1 (2003), 53-60.

Th«ng tin vÒ luËn ¸n ®Ó ®­a lªn m¹ng

§Ò tµi luËn ¸n: Sö dông ph­¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch M· sè: 1.01.01 Hä tªn nghiªn cøu sinh: Bïi TiÕn Dòng Hä tªn Ng­êi h­íng dÉn: 1. TS. NguyÔn Thµnh Long

2. PGS.TS. NguyÔn Héi NghÜa

C¬ së ®µo t¹o: Tr­êng §¹i häc S­ Ph¹m Thµnh phè Hå ChÝ Minh Tãm t¾t nh÷ng kÕt luËn míi cña luËn ¸n:

2

2

Sö dông ph­¬ng ph¸p Gi¶i tÝch vµo mét sè bµi to¸n biªn phi tuyÕn ®· cho kÕt qu¶: 1. C¸c bµi to¸n thuéc lo¹i ph­¬ng tr×nh sãng phi tuyÕn d¹ng Kirchhoff- Carrier: Tt

uuuutxf ,

utB ,(



,,(







u

)

,

,

),

0),1,0(

xx t ),0(

x t t ),1(

x g

1

u tt u x xu )0,(

t ),0( ,(t)  ),(

(1) x , (2)  (3)

x uh  0 (~ xu 0

2

)

 ),  ), tg 0 xu )0,( t u (~ xu 1

lµ c¸c hµm ®­îc cho. Trong (1), c¸c sè h¹ng phi tuyÕn

vµ

trong ®ã

xutB ,(

0

0

1

1

2

2

2

uuuutxf ,

,,(

,

,

)

u

txu ),(

dx .

phô thuéc vµo tÝch ph©n

x

t

x

x

x



0

ufB , g , g ,~ ,~ , u 1

- §· chøng minh sù tån t¹i vµ duy nhÊt nghiÖm ®Þa ph­¬ng cña bµi to¸n (1) - (3) t­¬ng øng víi ) vµ kh«ng thuÇn nhÊt (

hai tr­êng hîp thuÇn nhÊt (

).

2

2

2

2

uuutxf ,

)

ε



,,(

u

,

)

,

 0  0 tg )( 0 tg )( 1 tg )( 1 tg )( 0

utB ,(

[

ε

u





u )]

utB ,(

x

uuutxf 1

x

t

x

1

tt

xx

(4) u , x ®Õn mét cÊp nµo ®ã phô thuéc vµo

, , t x txu ),(ε

,

,

f

fBB , 1

1

2. M« h×nh to¸n häc cña va ch¹m mét vËt r¾n vµ mét thanh ®µn håi tùa trªn mét nÒn cøng dÉn

)

tho¶:  uuf ,(

,( Pu  u

 - Kh¶o s¸t bµi to¸n nhiÔu:  )

tt

xx t ),0( 

t u

,0  x ) , Tt  0),1,0(

,,( x liªn kÕt víi (2), (3) vµ khai triÓn tiÖm cËn cña nghiÖm yÕu theo mét tham sè bÐ . tÝnh tr¬n cña c¸c hµm ®Õn bµi to¸n t×m mét cÆp hµm sè u u x xu )0,(

t ),1( ),( tP ,0 

txu ),(

),   ), xu ( 0 xu t

(5)  (6) (7) xu ( 1 vµ gi¸ trÞ biªn

1

trong ®ã ch­a biÕt

)0,( lµ c¸c hµm cho tr­íc tháa mét sè ®iÒu kiÖn nµo ®ã. AÅn hµm u 0 ,

t

)( tP



uHtg 

)(

,0((

t

))



( tK



,0(, us

s

))

ds

,

(8)



0

- §· chøng minh sù tån t¹i duy nhÊt nghiÖm toµn côc cña bµi to¸n, nghiÖm nµy æn ®Þnh ®èi víi

trong ®ã g, H vµ K lµ c¸c hµm cho tr­íc. c¸c hµm g, H vµ K. §¹i diÖn tËp thÓ h­íng dÉn Nghiªn cøu sinh TS. NguyÔn Thµnh Long Bïi TiÕn Dòng

uf , )(tP tháa mét ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n phi tuyÕn