Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

--------------*****---------------

NGUYỄN PHƢỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM

CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

HÀ NỘI – 2016

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

……..….***…………

NGUYỄN PHƢỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM

CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán

Mã số: 62 44 01 03

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

1: TS. NGÔ VĂN THANH

2: GS. TSKH NGUYỄN ÁI VIỆT

HÀ NỘI – 2016

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu,

kết quả mới mà tôi công bố trong luận án là trung thực và chưa được ai công

bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Hà nội, ngày 25 tháng 06 năm 2016

Tác giả:

Nguyễn Phƣớc Thể

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

LỜI CÁM ƠN

Để hoàn thành luận án này tôi xin chân thành cảm ơn TS. Ngô Văn

Thanh đã luôn quan tâm sát sao, cùng tôi thực hiện các ý tưởng và giúp đỡ

rất nhiều trong quá trình làm NCS. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến GS.

TSKH Nguyễn Ái Việt người thầy đầu tiên tiếp nhận và chỉ hướng cho tôi để

định hình mục tiêu nghiên cứu trong luận án, đồng thời là giáo viên hướng

dẫn luận án.

Tôi xin chân thành cảm ơn NGƯT. Lê Công Cơ, Cô Nguyễn Thị Lộc

trường Đại Học Duy Tân đã giúp đỡ tôi rất nhiều về vật chất và tinh thần

trong thời gian tôi làm NCS.

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy giáo, Cô giáo và lãnh đạo Học viện

Khoa học và Công nghệ, bộ môn Vật lý lý thuyết – Vật lý toán của Viện Vật

Lý đã tạo mọi điều kiện học tập, nghiên cứu cho tôi trong quá trình làm NCS.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể gia đình, gia tộc luôn

đồng hành, động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều trong suốt quá trình theo đuổi

và thực hiện ước mơ của mình.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN ..................................................................................... i

LỜI CÁM ƠN .......................................................................................... ii

MỤC LỤC .............................................................................................. iii

LIỆT KÊ CÁC HÌNH VẼ .................................................................... vii

MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1

Chƣơng 1. HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI SINH VẬT ......... 5

1.1 Tổng quan ....................................................................................... 5

1.1.1 Hành vi tập thể ......................................................................... 5

1.1.2 Hệ tự tổ chức ............................................................................ 8

1.1.3 Hệ có con đầu đàn ................................................................... 9

. M ố h nh i ập thể của các loài sinh vật ................................ 9

1.2.1 Schooling .................................................................................. 9

1.2.2 Flocking ................................................................................. 10

1.2.3 Swarming ............................................................................... 12

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết ................................................ 12

1.3.1 Mô hình SPP .......................................................................... 12

1.3.2 Mô hình TT ............................................................................. 15

1.3.3 Mô hình CS............................................................................. 17

1.4 . Kết luận ....................................................................................... 19

iii

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chƣơng 2. CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP MÔ PHỎNG

............................................................................................. 20

2.1 Chuyển pha và các mô hình spin ................................................ 20

2.1.1 Chuyển pha ............................................................................ 20

2.1.2 Các mô hình spin ................................................................... 28

2.2 Phƣơng pháp mô phỏng đ ng học phân tử ............................... 31

2.2.1 Khái niệm ............................................................................... 32

2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác ................ 33

2.2.3 Các thuật toán giải phương trình chuyển động ..................... 33

2.2.4 Thuật toán Verlet ................................................................... 34

2.2.5 Thuật toán Leap – Frog ......................................................... 35

2.3 Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo ....................................... 35

2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

......................................................................................................... 36

2.3.2 Lấy mẫu đơn giản .................................................................. 37

2.3.3 Lấy mẫu quan trọng ............................................................... 38

2.3.4 Các phương pháp biểu đồ ...................................................... 39

2.4 Kết luận ......................................................................................... 44

Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG CÁC HỆ TỰ

TỔ CHỨC .......................................................................... 45

3.1 Giới thiệu chung ........................................................................... 45

3.2 Hiệu ứng góc quan sát ................................................................. 49

3.2.1 Góc quan sát và góc mù ......................................................... 49

3.2.2 Phát triển mô hình ................................................................. 52

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

3.2.3 Kết quả mô phỏng .................................................................. 54

3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm

của các loài sinh vật ........................................................................... 66

3.3.1 Mô hình spin XY ..................................................................... 67

3.3.2 Mô hình q-Potts ...................................................................... 77

3.4 Kết luận ......................................................................................... 89

KẾT LUẬN CHUNG ............................................................................ 92

NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN .................................... 94

TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 97

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CS (Cucker and Smale) : Mô hình Cucker - Smale

KT (Kosterlitz-Thouless) : Chuyển pha Kosterlitz-Thouless

MC (Monte Carlo) : Mô phỏng Monte Carlo

MD (molecular dynamic) : Động học phân tử

PBCs : Điều kiện biên tuần hoàn

SW (Spin waves) : Sóng spin.

SAW (Self Avoiding Walks) : Các bước đi tự tránh.

SPP (self-propelled particles) : Các hạt tự sắp xếp.

TT (Toner and Tu) : Mô hình Toner - Tu

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

LIỆT KÊ CÁC HÌNH VẼ

Hình 1-1 Hình ảnh về hành vi tập thể của đàn cừu [65]. .................................. 5

Hình 1-2 Hành vi schooling của đàn cá [63]. ................................................. 10

Hình 1-3 Hành vi flocking của đàn chim [174]. ............................................. 10

Hình 1-4 Mô hình lực tương tác: miền 1 là lực đẩy, miền 2 chủ yếu là lực sắp

xếp với lực hút yếu, miền 3 là lực hút mạnh và miền 4 không có tương

tác [170]. .................................................................................................. 16

Hình 1-5 Giản đồ pha trong không gian a-b [170]. ........................................ 17

Hình 2-1 Xoáy lý tưởng trong mô hình XY [97]. ........................................... 25

Hình 2-2 Đường viền quanh tâm xoáy [97]. ................................................... 26

Hình 3-1 Sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu [177]. ......................... 47

Hình 3.2 Một số trạng thái động học của nhóm [177]. ................................... 48

Hình 3-3 Góc quan sát đối với con gần nhất từ cá thể V1 ngược lại V2 và cá thể

V2 hướng tới cá thể V1 [28]. ..................................................................... 49

Hình 3-4 Phân bố theo chiều các con gần nhất [28]. ...................................... 50

Hình 3-5 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với các góc quan sát xác

định [64]. ................................................................................................. 51

Hình 3-6 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu là một nửa góc quan

sát. ............................................................................................................ 54

Hình 3-7 Thông số trật tự biến thiên theo nhiễu (tính theo đơn vị ) với góc

quan sát và tổng số cá thể . ............................................. 56

Hình 3-8 Variance của thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu (tính theo đơn

vị ) với góc quan sát và . ............................................... 56

Hình 3-9 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát

và . .................................................. 58

Hình 3-10 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các góc quan sát

và . .................................................. 58

vii

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-11 Giản đồ pha trong không gian với N = 100, 400 và 900. Pha

(I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn. ........................ 59

Hình 3-12 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của

hệ và . .......................................................... 60

Hình 3-13 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của

hệ và . .......................................................... 61

Hình 3-14 Nhiễu tới hạn như là hàm của nghịch đảo của kích thước hệ 1/N

đối với . .......................................................... 62

Hình 3-15 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ

và . ............................................................... 63

Hình 3-16 Variance phụ thuộc vào nhiễu với các kích thước của hệ

và . ............................................................... 63

Hình 3-17 Sự phụ thuộc của vào N tính theo tỷ lệ . ..................... 64

Hình 3-18 Giá trị cực đại của phụ thuộc vào N với và . ........ 65

Hình 3-19 Giá trị cực đại của phụ thuộc vào N với và . ........ 65

Hình 3-20 Chuyển động tịnh tiến (a) và quay (b) của cá thể thứ i. ................ 70

Hình 3-21 Thông số trật tự của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100. ........... 72

Hình 3-22 Mật độ của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100. .......................... 72

Hình 3-23 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở nhiễu bé .

................................................................................................................. 74

Hình 3-24 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ chụp từ

clip thực nghiệm [63]. ............................................................................. 74

Hình 3-25 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở pha II, . 75

Hình 3-26 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu trung bình từ

chụp từ clip thực nghiệm [63]. ................................................................ 75

Hình 3-27 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở pha III, .

................................................................................................................. 76

viii

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-28 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ cắt từ clip

thực nghiệm [63]. .................................................................................... 76

Hình 3-29 Sơ đồ các véc tơ định hướng với trạng thái. ......................... 79

Hình 3-30 Thông số trật tự phụ vào thuộc nhiễu với kích thước hệ .82

Hình 3-31 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ . ............. 82

Hình 3-32 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu . ............................ 83

Hình 3-33 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu . ........................... 84

Hình 3-34 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu . ........................... 84

Hình 3-35 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ

và . ................................................................................ 85

Hình 3-36 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ và .

................................................................................................................. 86

Hình 3-37 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước và

tại vùng nhiễu thấp............................................................................ 87

Hình 3-38 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước và

tại vùng nhiễu cao. ............................................................................ 88

Hình 3-39 Thông số trật tự tương ứng với mô hình mạng khí (lattice gas) có

. ........................... 89 và mô hình mạng (lattice) có

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

MỞ ĐẦU

Ngày nay, cùng với sự phát triển của Khoa học và Công nghệ thì vấn đề

về Sinh thái – Môi trường đặt ra nhiều thách thức cho con người. Chẳng hạn

như vấn đề tăng trưởng - tuyệt chủng của các loài, biến đổi gen, bệnh lạ do

các chủng virut mới, khí thải độc hại và hiệu ứng nhà kính… Đã có nhiều

cách tiếp cận từ các ngành khoa học khác nhau để nghiên cứu vấn đề này, các

nhà sinh học thường quan tâm đến một số vấn đề liên quan đến sự tiến hóa,

hành vi của các loài. Các nghiên cứu hóa học thường quan tâm đến vấn đề khí

thải, ô nhiễm. Cách tiếp cận toán học thường dựa trên cơ sở toán thống kê để

xây dựng các mô hình áp dụng cho các bài toán như dân số, tương tác vật săn

- con mồi… Các nhà nghiên cứu vật lý cũng đã có nhiều đóng góp quan trọng

như vấn đề hiệu ứng nhà kính, bức xạ, giải thích một số hành vi của các loài

sinh vật dựa trên cơ sở các mô hình, lý thuyết đã có.

Một trong những chủ đề rất thú vị của hệ sinh thái là hành vi tập thể của

các loài sinh vật, thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học

trong những năm qua. Các loài sinh vật nói chung thường sinh sống trong một

tổ chức bầy đàn, ví dụ, đàn kiến, đàn cá, đàn chim, bầy ong… Những câu hỏi

đặt ra ở đây về nguồn gốc, đặc tính của hành vi này là gì? cơ chế hình thành

như thế nào?. Nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật có thể cung cấp những

thông tin quan trọng về nhóm, những thông tin cần thiết về môi trường thông

qua các biểu hiện cụ thể của nhóm. Trong đó, các hành vi tập thể như flocking,

schooling hay swarming đã được nghiên cứu rộng rãi trong vài chục năm trở

lại đây. Để nghiên cứu vấn đề này, các nhà toán học đề xuất các mô hình giải

tích dựa trên cơ sở các phương trình động lực học cổ điển. Tuy nhiên, đối với

các hệ với số lượng các cá thể rất lớn, phương pháp này sẽ rất khó để đưa ra

lời giải chính xác. Nghiên cứu hành vi bởi các lý thuyết sinh học thì không

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

đưa ra cơ chế vật lý rõ ràng, đa phần là luận hiện tượng về các hành vi của các

loài sinh vật.

Trong khi đó, bản chất của vật lý là nghiên cứu về các dạng vận động của

vật chất, các lý thuyết đã được xây dựng khá chi tiết và đầy đủ cho các hệ một

hạt cũng như nhiều hạt. Vì vậy, các mô hình vật lý luôn đóng vai trò chủ đạo

cho các nghiên cứu liên ngành. Tuy nhiên, đến nay chưa có nhiều mô hình và

lý thuyết vật lý được áp dụng để giải thích các hiện tượng và quy luật của các

hệ phức tạp trong các lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt là hệ sinh thái. Mô

hình vật lý đầu tiên được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [183] là nghiên

cứu về hành vi chuyển pha của một nhóm động vật dựa trên cơ sở mô hình

spin XY, mô hình này hiện nay là nền tảng cơ bản cho các nghiên cứu đặc

tính bầy đàn của hệ tự tổ chức (nhóm không có cá thể đầu đàn).

Nghiên cứu về các hành vi của các loài sinh vật nói chung và chuyển pha

trong các hệ này nói riêng là một vấn đề mở, vẫn còn nhiều hiện tượng chưa

được giải thích một cách thấu đáo. Các mô hình vật lý vẫn chưa được ứng

dụng nhiều trong các bài toán phức tạp liên ngành. Bởi vậy, chúng tôi chọn

hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của bản luận án :

―Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô

hình vật lý thống kê‖.

Ta biết rằng, đối với các loài sinh vật mà đặc biệt là sinh vật bậc cao,

chúng có thể tương tác với nhau và với môi trường bằng các giác quan. Trong

đó, khả năng quan sát của mắt có tính chất rất quan trọng và quyết định đến

sự vận động, đặc biệt là hành vi tập thể. Trong các loài sinh vật, cấu trúc mắt

của một số động vật rất khác nhau, có thể phân thành hai nhóm: (i) các động

vật có mắt nằm phía trước mặt, (ii) các động vật với mắt ở hai bên mặt của

đầu. Cấu trúc mắt cũng như khả năng quan sát của chúng ảnh hưởng trực tiếp

đến hành vi của các loài sinh vật. Đã có một số các nghiên cứu về khả năng

quan sát của mắt như, Hall (1986), Ballerini (2008), Hemelrijk (2012)... Họ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

nghiên cứu trên chim Sáo đá, Mòng biển, cá Trích, cá Tuyết… và xác định

được góc quan sát tối ưu của một số loài. Gần đây, một nghiên cứu rất đáng

chú ý của Gao và các cộng sự về ảnh hưởng của góc quan sát đến hành vi

chuyển pha [64]. Họ cho thấy rằng, giá trị tới hạn của trường ngoài (nhiễu)

tăng khi giảm góc quan sát. Tuy nhiên, kết quả này tồn tại mâu thuẫn về ý

nghĩa vật lý, bởi vì khi góc quan sát giảm thì số lượng tương tác của các cá

thể lân cận lên một cá thể đang xét sẽ bị giảm đi, dẫn đến giá trị tới hạn của

nhiễu giảm. Để giải quyết mâu thuẫn này, chúng tôi sử dụng lại mô hình của

Vicsek, khảo sát sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu tương ứng với

các góc quan sát khác nhau.

Đến nay các nghiên cứu dùng mô hình Vicsek làm cơ sở chỉ tập trung vào

việc giải thích hành vi chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu

cao. Tuy nhiên, theo quan sát thực tế về hành vi gom cụm (flocking) của các

loài sinh vật ở trạng thái bình thường (không bị nhiễu từ bên ngoài) thì hệ ở

trạng thái tự do, phân bố ngẫu nhiên, các con vật tỏa ra xung quanh để tìm

kiếm thức ăn. Hành vi này tương ứng với pha mất trật tự trong hệ vật lý. Khi

bị tác động từ bên ngoài thì chúng gom cụm lại và sắp xếp trật tự (pha trật tự).

Hành vi chuyển pha từ mất trật tự sang trật tự này không thể giải thích được

từ mô hình của Vicsek. Thêm vào đó, theo quan sát thực nghiệm người ta dự

đoán chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, bởi vì hành vi này diễn ra rất

nhanh. Trong khi đó, từ mô hình Vicsek thì chuyển pha xảy ra là liên tục

(chuyển pha loại II).

Để giải quyết những hạn chế này, chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới:

Mô hình thứ nhất chúng tôi xây dựng là từ cơ sở mô hình spin XY,

Hamiltonian của hệ được định nghĩa bởi các thế tương tác giữa các cá thể với

nhau bao gồm tương tác trao đổi, thế Morse và thế hóa học.

Mô hình thứ hai dựa trên cơ sở mô hình Potts đồng hồ q trạng thái (q-

Potts). Chúng tôi giả thuyết rằng, mỗi cá thể như một hạt với hai bậc tự do:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

một là tham số bên ngoài đặc trưng cho định hướng của chuyển động; hai là

tham số nội tại để mô tả cho trạng thái bị kích thích hoặc không bị kích thích

của mỗi cá thể dưới tác động của nhiễu. Trạng thái nội tại là tham số điều

khiển tương tác của các cá thể. Các kết quả thu được phù hợp với quan sát

thực nghiệm và đã khắc phục được những nhược điểm của mô hình spin XY.

Nội dung của bản luận án được trình bày trong 3 chương. Tổng quan về

hành vi tập thể của các loài sinh vật cũng như các mô hình lý thuyết sẽ được

trình bày trong Chương 1. Lý thuyết chuyển pha và các phương pháp mô

phỏng trên máy tính sẽ được trình bày trong Chương 2, với đầy đủ các thuật

toán ứng dụng trong mô phỏng. Chương 3 trình bày những kết quả nghiên

cứu về hiệu ứng góc quan sát đối với chuyển pha gom cụm, trình bày chi tiết

về các mô hình mới được đề xuất và ứng dụng của chúng trong nghiên cứu

chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng

nhiễu thấp.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chƣơng . HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI

SINH VẬT

1.1 Tổng quan

1.1.1 Hành vi tập thể

Hành vi tập thể của các loài sinh vật là hành vi của một hệ bao gồm các cá

thể sinh vật cùng loài như cá, chim… Đặc điểm hành vi tập thể được hình

thành từ các tác động qua lại lẫn nhau của cá thể để tạo nên các quy tắc, tính

chất động học của cả hệ. Ví dụ, quy tắc sắp xếp để các cá thể sinh vật sắp xếp

Hình 1-1 Hình ảnh về hành vi tập thể của đàn cừu [65].

theo hướng của các con lân cận để dễ dàng di chuyển và có lợi về năng lượng.

Tương tác giữa các thành phần có thể mô tả đơn giản bởi lực hút/đẩy, sắp

xếp hoặc phức tạp như là kết hợp của các tương tác đơn giản này xảy ra giữa

các thành phần lân cận với nhau trong không gian và thời gian. Dưới một số

điều kiện nhất định thì các hành vi tập thể được hình thành. Các hình ảnh

được biết rõ trong thế giới tự nhiên về vấn đề này là đàn cá đang bơi, đàn

chim bay lượn, đàn kiến hay bầy cừu với số lượng có thể từ vài chục con đến

vài triệu con. Các hành vi động học tập thể hình thành trong một cộng đồng

xã hội, trong đó các hành vi bầy đàn mà không có con đầu đàn vẫn tạo ra vận

động có tổ chức gọi là tự tổ chức. Một số hành vi đặc trưng là flocking,

schooling hay swaming đã được nghiên cứu trong một thời gian dài cho đến

nay [1], [3], [6]-[12], [14]-[44],[52]-[58], [69], [88], [93], [144], [171], [183].

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Nghiên cứu về hành vi tập thể của các loài sinh vật đến nay đã thu hút

nhiều nhà khoa học với cách tiếp cận khác nhau như: sinh học, vật lý, toán

học... Trên phương diện sinh học, các nhà nghiên cứu cho rằng các cá thể

thường di chuyển theo chiều và tốc độ của các con gần nhất, quan trọng là giữ

khoảng cách với nhau. Hamilton và Vine vào năm 1971 đã nghiên cứu chi tiết

cấu trúc hình học của nhóm động vật [79], [184]. Họ đưa ra quan điểm về

hành vi của các cá thể trong nhóm dẫn đến tính tập thể như sau: (1) Các cá thể

có xu hướng chuyển động vào tâm nhóm để tránh rủi ro và bị ăn thịt. Các cá

thể có đặc tính ích kỷ, cố gắng dùng những con khác làm vỏ bọc. (2) Khi có

sự nguy hiểm do vật săn, các cá thể chuyển động gần nhau, cạnh tranh vị trí

trung tâm. Khi có thức ăn, chúng có xu hướng di chuyển ra bên ngoài nhóm,

mở rộng không gian, kích thước nhóm để cạnh tranh nguồn thức ăn. Thông

thường, các cá thể đủ lượng thức ăn sẽ di chuyển vào tâm nhóm còn các cá

thể đói di chuyển ra ngoài. (3) Các cá thể chuyển động theo nhóm còn có mục

đích là lấy thông tin từ các cá thể khác như: thức ăn, thú săn, đồng thời có lợi

về mặt năng lượng cũng như hợp tác săn mồi… Đáng chú ý là một số nghiên

cứu của Partridge và các cộng sự về tương tác giữa các cá thể trong đàn

[132]-[133], họ nghiên cứu về cấu trúc của đàn cá và kết luận rằng, các cá thể

giữ một khoảng cách nhất định với các con lân cận được diễn tả bởi ―lực đẩy”

cục bộ giữa các cá thể.

Vào năm 1987, Reynolds đã đề xuất một mô hình đơn giản bao gồm 3 quy

tắc: phân chia, sắp xếp và tự hợp để mô tả chuyển động của một hệ sinh vật

trên máy tính [146]. Quy tắc phân chia để các cá thể tránh va chạm khi quá

đông đúc, quy tắc sắp xếp mô tả sự điều chỉnh hướng chuyển động của mỗi cá

thể, và tự hợp để đảm bảo các cá thể không bị tách ra khỏi đàn. Mô hình đã

được ứng dụng thành công trong việc diễn tả chuyển động của bầy chim trên

máy tính giống như trong quan sát thực tế.

Để giải thích quá trình chuyển động tập thể, các nhà nghiên cứu vật lý đã

có một di sản lý thuyết về các hệ nhiều hạt. Các lý thuyết này cũng có thể áp

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

dụng để diễn tả hành vi tập thể của các loài sinh vật thông qua một số định

nghĩa về tương tác. Tuy nhiên, các mô hình vật lý được đề xuất phải đảm bảo

rằng, các thông số mô hình và kết quả chuyển động là không chỉ phụ thuộc

vào đặc điểm sinh học mà thể hiện tất cả bản chất hạt trong vật lý. Các hướng

nghiên cứu hiện nay của các nhà vật lý đối với hình thức động học này là dựa

trên các hiện tượng tương tự như quy tắc sắp xếp của các spin trong mô hình

sắt từ, dòng chất lưu hay sự truyền nhiệt…

Những năm đầu của thập niên 90 trong thế kỷ trước, tại phòng thí nghiệm

ở Budapest, nhà vật lý Tomas Vicsek đã quan sát các chuyển chuyển động

của các đàn vi khuẩn, côn trùng, chim, cá… Cùng với các cộng sự thuộc lĩnh

vực sinh học ở Đức và Isreal, họ đã đề xuất mô hình tự hợp (mô hình SPP:

self-propelled particles) với hai thông tin chủ đạo trong chuyển động của

nhóm sinh vật là quy tắc sắp xếp và nhiễu [41]-[43], [86], [136], [138], [141],

[142], [180]-[183]. Các các thể sắp xếp để chuyển động theo chiều chuyển

động trung bình của các con lân cận và tránh va chạm. Nhiễu là thông tin

quan trọng để điều khiển độ trật tự của từng cá thể. Song song với đề xuất mô

hình, họ xây dựng một chương trình và mô phỏng trên máy tính để diễn tả

chuyển động của một đàn chim. Trong mô phỏng, mỗi con chim được giả

thuyết chuyển động theo chiều và tốc độ các con lân cận của nó, với một

khoảng cách tối thiểu không đổi. Giống như một hạt sắt từ, mỗi con chim

tương tác với các cá thể lân cận gần nhất. Từ cơ sở lý luận và thực hiện mô

phỏng trên máy tính, Vecsek đề xuất một dạng mới về sự chuyển pha cho các

hệ tự tổ chức. Đó là chuyển pha từ trạng thái trật tự sang mất trật dưới ảnh

hưởng của trường ngoài (nhiễu) với số cá thể từ vài chục đến vài trăm con.

Vấn đề là hầu hết các quan sát trong đời sống thực ở cấp độ vĩ mô, kích

thước không gian và số lượng cá thể lớn (từ vài ngàn đến vài triệu con), làm

sao chúng thay đổi đồng bộ trong một thời gian ngắn là một vấn đề rất khó

hiểu. Năm 1995, J. Toner và Y. Tu bị hấp dẫn bởi mô hình Vicsek, họ đề xuất

lý thuyết để giải thích hành vi bầy đàn [170]-[174]. Hai nhà vật lý xem các

con chim chuyển động giống như các hạt của chất lưu trong hệ vật lý. Họ sử

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

dụng phương trình Navier-Stokes để mô hình hóa cho chuyển động tập thể

của các loài sinh vật (mô hình TT). Các tham số mô hình được đề xuất tương

tự như chất lưu thực tế, họ đã giải thích một số hành vi tập thể của các loài

sinh vật.

Đối với các nghiên cứu toán học, trong những năm gần đây vấn đề hành

vi động học tập thể cũng được chú ý, hướng nghiên cứu điển hình là phát triển

từ mô hình Cucker & Smale (mô hình CS) đề xuất năm 2007. Các tác giả đã

nghiên cứu hệ sinh học trên cơ sở các phương trình động học cổ điển [36],

[74]-[76], [118], [119]. Mô hình CS hình thành từ quy tắc cốt lõi là quá trình

chuyển động diễn tiến liên tục trong không gian và thời gian, với các điều kiện tối thiểu để hình thành vận động tập thể. 1.1.2 Hệ tự tổ chức

Tự tổ chức (self-organized) là một quá trình hình thành vận động tập thể

bởi các quy tắc tương tác cục bộ từ một hệ hỗn loạn ban đầu. Quá trình này

là tự phát, không có sự chỉ đạo hoặc kiểm soát bởi bất cứ tác nhân hoặc hệ

con từ bên trong hoặc bên ngoài. Nó thường được kích hoạt bởi một sự biến

đổi bất thường tại một vị trí nào đó và được khuếch đại bởi sự phản hồi liên

tục, kết quả là đặc tính tổ chức cho hệ tự hình thành [85], [126], [128], [131],

[134], [145], [162], [175], [182], [189], [191]. Khi tồn tại các nhóm lớn, các

cá thể đạt được sự đồng thuận mà không cần con đầu đàn điều khiển toàn bộ

hệ thống, các hành vi tập thể của hệ được hình thành từ hành vi của mỗi cá

thể. Tự tổ chức xảy ra nhiều trong các loài sinh vật bậc thấp và cả trong một

số loài động vật bậc cao như đàn cá...

Về phương diện lý luận, người ta đưa ra các mô hình đơn giản nhất để

nghiên cứu, giải thích cho các hành vi tập thể. Vấn đề quan trọng là phải đề

xuất các quy tắc, quy luật tương tác để giải thích được những kết quả quan

sát thực tế. Từ đó, có thể xây dựng một lý thuyết đúng nhất để áp dụng vào

một lớp lớn các hệ khác nhau, kể cả các tương tác xã hội và các lĩnh vực

khoa học khác nhau. Nắm được quy luật tự tổ chức cho một hệ nhất định nào

đó, ta có thể đề xuất cơ chế điều chỉnh lỗi cho hệ qua các tác động thích hợp.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

1.1.3 Hệ có con đầu đàn

Trái lại với hệ tự tổ chức, trong một nhóm sinh vật có một hoặc một số

con đầu đàn, nó có ưu thế nổi bật, có đầy đủ thông tin và khả năng thực hiện

lãnh đạo đàn gọi là hệ có tổ chức [89], [101], [162], [179]. Điển hình cho hệ

này trong sinh học là đàn chim, đàn ong… Tín hiệu từ con đầu đàn phát đi sẽ

điều khiển định hướng di chuyển của các cá thể trong đàn. Để hiểu rõ hơn về

khái niệm tổ chức, ta xét một nhóm người làm việc, đó là tổ chức hoặc chính

xác hơn là hành vi có tổ chức nếu mỗi người làm việc chịu tác động một cách

rõ ràng của người lãnh đạo (ví dụ sắp xếp của ―ông chủ‖) để tạo nên sản

phẩm.

Năm 2005, Couzin và các cộng sự đã đề xuất một mô hình đơn giản để

mô tả làm cách nào một vài cá thể có thể dẫn đầu một nhóm và sau đó phát

triển bởi các tác giả khác. Họ khảo sát một nhóm nhỏ khoảng 200 cá thể và

toàn bộ cá thể này đều chuyển đến mục tiêu với chỉ 10 con đầu đàn [33].

Trong các nghiên cứu về sinh học gần đây cho thấy rằng, quá trình ra

quyết định tập thể là sự kết hợp giữa hai loại quy tắc [139]: cá thể lãnh đạo

(individual-based) và tự tổ chức (self-organized). Quy tắc thứ nhất đặc trưng

cho sự khác biệt về trạng thái vận động, đó là sự khác biệt về địa vị xã hội,

sinh lý, tình trạng sức mạnh… Quy tắc thứ hai tương ứng với sự tương tác,

phản ứng đơn giản giữa các cá thể. Mô hình này dự đoán rằng, một phong

trào tìm kiếm thức ăn được dẫn dắt bởi các cá nhân cụ thể, thậm chí có thể

phân cấp lãnh đạo trong các hệ thống lớn các cá thể. Khi gia tăng kích thước

của một hệ, các quá trình ra quyết định và thực hiện mệnh lệnh sẽ hiệu quả

hơn [22], [99].

1.2 M ố hành vi tập thể của các loài sinh vật

1.2.1 Schooling

Trong hệ các loài động vật, nếu một nhóm các cá thể cùng loài, cùng kích

thước, chuyển động cùng tốc độ và cùng chiều gọi là hành vi schooling. Hành

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

vi này dễ dàng quan sát được trong các đàn cá đang bơi, xem trên Hình 1-2.

Hình thức vận động này được nghiên cứu trên cơ sở hai loại tương tác cơ bản

là thu hút/đẩy và sắp xếp, các tương tác này đồng thời xảy ra dưới tác động

Hình 1-2 Hành vi schooling của đàn cá [63].

của môi trường (nhiễu).

Sự sắp xếp của các cá thể tạo ra trật tự khi chuyển động, hút/đẩy để tránh

các va chạm xảy ra và ở quá xa nhau. Các hình thức này được lượng hóa bởi

các lực tương tác cụ thể trong các mô hình vật lý. Điển hình là mô hình mô

hình SPP, ở đó sự sắp xếp này được đặc trưng bởi tương tác trao đổi trong mô

hình spin XY, nhiễu có vai trò là nhiệt độ để điều khiển đặc tính động học của

chuyển động bầy đàn, đặc biệt là chuyển pha từ pha trật tự sang mất trật tự

[31], [53], [70], [82], [88], [91], [94], [104], [127], [140], [146], [177], [190].

Hình 1-3 Hành vi flocking của đàn chim [179].

1.2.2 Flocking

Trong vật lý, hành vi flocking (Hình 1-3) là hành vi chuyển động tự hợp

của một đàn sinh vật cùng loài được hình thành từ một số tương tác giữa các

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thành phần trong hệ khi bị tác động từ bên ngoài. Nói chung, hành vi flocking

được sử dụng như nhau cho bất kỳ loại chuyển động tự hợp nào trong các hệ

sinh học và vật lý. Flocking được xem như là một bản sao của chuyển động

ngẫu nhiên, hỗn độn trong hệ vật lý mà ta thường sử dụng là lý thuyết nhiệt

động học để khảo sát. Điển hình cho hành vi này là các loài động vật con mồi

(bị ăn thịt): ở trạng thái bình thường, các cá thể phân bố ngẫu nhiên, mật độ

thưa; khi bị tấn công từ bên ngoài (do vật săn) thì các cá thể gom cụm và sắp

xếp trật tự; nếu cường độ tác dụng quá mạnh thì hệ chuyển từ hình thức gom

cụm sang tán loạn theo các hướng khác nhau ngẫu nhiên.

Để hiểu rõ hành vi này thì một hình thức tốt nhất là kế thừa một số định

nghĩa cơ bản từ lý thuyết vật lý thống kê. Tuy nhiên, trước khi áp dụng các lý

thuyết vật lý đối với chuyển động tập thể, chúng ta sẽ có một số nhận xét tổng

quát về hành vi này dựa trên các công trình nghiên cứu đã biết [19], [21], [32],

[56], [57], [75], [78], [81], [84], [93], [100], [107], [111], [135], [143], [162],

[171], [174], [177], [181] đó là:

- Hệ gồm một số lớn các cá thể chuyển động trong không gian d chiều, tất

cả các hạt đều cố gắng di chuyển theo các con lân cận của nó. Chiều của

mỗi cá thể phụ thuộc vào tương tác trao đổi, sắp xếp giữa nó với các con

lân cận.

- Các tương tác xảy ra là tương tác gần, mỗi cá thể chỉ chịu ảnh hưởng bởi

các cá thể lân cận của nó, khoảng từ 6 đến 7 cá thể trong một khoảng

cách xác định, . Kích thước này được giả thiết bé hơn nhiều kích

thước không gian của hệ L.

- Các cá thể di chuyển không hoàn hảo, lỗi được tạo ra ở mọi thời điểm, ở

đó được đặc trưng bởi nhiễu ngẫu nhiên.

- Mô hình có tính đối xứng quay, như nhau theo mọi hướng.

Tổng kết các mô hình hiện nay ta thấy rằng, hành vi flocking đã được

nghiên cứu theo hai hướng: tập thể (các mô hình Eulerian [73], [129] và

continuum [117], [170]) hoặc cá thể (các mô hình agents-based [4], [6], [84],

[90], [129]). Theo hướng tập thể, flocking được nghiên cứu trên cơ sở là

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

phương trình mô tả dòng chảy của chất lưu, hiện tượng đối lưu – khuếch tán,

truyền nhiệt. Theo hướng cá thể, bằng cách sử dụng các phương trình mô tả

chuyển động ngẫu nhiên với các tương tác giữa các cá thể là tương tác gần.

Cách tiếp cận này để diễn tả lại các quan sát thực tế của một hệ sinh học mà

vẫn có thể suy luận, hiểu rõ hơn các cơ chế, các đặc trưng của chúng.

1.2.3 Swarming

Swarming là hành vi các sinh vật có kích thước tương tự, chúng tụ tập tạo

thành bầy đàn đông đúc để cùng chung sống, duy trì nòi giống, chống lại vặt

săn, tiết kiệm năng lượng … chẳng hạn như bầy kiến, tổ ong, đàn cá [30], [43],

[55], [69], [72], [92], [98], [103], [106], [108], [113], [160], [165], [193],

[194]. Trong hành vi Swarming, các cá thể có thể có kích thước và vận tốc có

thể khác nhau. Về hình thức luận, nguồn gốc của hình thức vận động này là

do bản năng sinh tồn, các cá thể luôn có xu hướng chuyển động vào tâm, sử

dụng các con khác làm lá chắn để tự vệ. Trong các mô hình vật lý, hành vi

này được giải thích bằng các quy tắc hút/đẩy, sắp xếp. Trong đó sắp xếp đóng

vai trò rất quan trọng, ngoài ra cũng cần kể đến tương tác hút/đẩy và nhiễu để

giải thích hành vi này, điển hình là các mô hình SPP, TT. Swarming là hành

vi bầy đàn của các loài sinh vật mà trong đó flocking và schooling là các

trường hợp đặc biệt của nó.

1.3 Giới thiệu các mô hình lý thuyết

1.3.1 Mô hình SPP

Mô hình SPP (self-propelled particles) được đề xuất bởi Viscek, mục đích

của mô hình là thành lập các điều kiện "tối thiểu", cần thiết để giải thích hành

[179], [183]. Mô hình được xây dựng bởi hai thông tin chủ đạo là sắp xếp và

vi tập thể của các loài sinh vật, điển hình là hành vi chuyển pha [147]-[154],

nhiễu, quy tắc sắp xếp thiết lập trên cơ sở mô hình spin XY, nhiễu có vai trò

như nhiệt độ là tham số điều khiển. Cụ thể như sau:

Xét một hệ N phần tử trong một mạng vuông, kích thước không gian

với điều kiện biên tuần hoàn (PBCs). Các phần tử chuyển động với một vận

tốc tuyệt đối không đổi và chiều chuyển động là chiều trung bình với các

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trình mô phỏng, vị trí và hướng chuyển động của các cá thể được cập nhật

cá thể lân cận trong vòng tròn bán kính R. Tại mỗi bước thời gian của quá

theo các công thức sau:

(1.1)

(1.2) nhiễu,

ở đây ký hiệu là phép tính trung bình của vận tốc của các cá thể j trong

vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, là một

véc tơ đơn vị lấy theo chiều chuyển động trung bình. Nhiễu có thể nhận các

giá trị thay đổi bằng cách đưa vào một góc ngẫu nhiên tương ứng với chiều

trung bình của các hạt quanh hạt i trong vòng tròn bán kính R. Góc của chiều

chuyển động trung bình tại thời điểm được xác định bởi

(1.3) ,

trong đó

ở đây và là các thành phần vận tốc theo trục x và y của hạt thứ j lân cận

là một số ngẫu nhiên lấy từ phân bố

của hạt i, nhiễu được biểu diễn bởi đều trong khoảng , với nhận giá trị từ -1 đến 1.

Để nghiên cứu chuyển pha, Vicsek sử dùng thông số trật tự được định

nghĩa bởi công thức

. (1.4)

Tương tự như lý thuyết nhiệt động học, chuyển pha trong mô hình SPP là

chuyển pha liên tục từ trật tự sang mất trật tự khi tăng cường độ nhiễu. Giá trị

tới hạn của bằng 1 khi nhiễu thấp và bằng 0 khi nhiễu cao, giá trị này thay

đổi liên tục tại giá trị nhiễu tới hạn . Đến nay, mô hình SPP được áp dụng

theo hai hướng nghiên cứu cơ bản: (1) sử dụng các mô hình có quy tắc sắp

xếp và (2) các mô hình không có quy tắc sắp xếp rõ ràng.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

a) Các mô hình không có quy tắc sắp xếp rõ ràng

Hầu hết các kết quả nghiên cứu về hệ tự tổ chức từ mô hình SPP, trong đó

có sự sắp xếp được sử dụng [179]. Tuy nhiên, theo rất nhiều nghiên cứu gần

đây, chuyển động của các hạt có thể trở nên trật tự khi không cần quy tắc sắp

xếp [72], [73], [109], [137], [158], thay vào đó là áp dụng các quy tắc tương

tác hút/đẩy, trong đó, đẩy để tránh va chạm, hút để duy trì tổ chức. Điều kiện

cần đối với bất kỳ mô hình nào được đề xuất phải đảm bảo rằng, việc áp dụng

phải phù hợp với vận động thực tế của sinh vật. Lấy ví dụ về phạm vi áp dụng

này, ta thấy các dạng thế như thế Coulomb, thế hấp dẫn chỉ tạo ra những lực

hút, đẩy dẫn đến hiện tượng đông cứng, không thể diễn tả được hành vi của

sinh vật, trong khi đó có thể áp dụng thế Morse, Lenard-Jones có thể áp dụng

để mô tả tương tác của các loài sinh vật.

Mô hình đơn giản nhất không có quy tắc sắp xếp rõ ràng như sau: các hạt

cố gắng duy trì một vận tốc tuyệt đối và tương tác giữa chúng là lực đẩy khi

quá gần (chỉ xét tương tác từng cặp). Các phương trình tương ứng là [179]

, (1.5)

, (1.6)

ở đây là nhiễu. Một lực như thế có thể được biểu diễn như sau

(1.7)

trong đó, .

Kết hợp với các định nghĩa về vận tốc và vị trí ở trên ta có thể áp dụng mô

hình trong nghiên cứu hiện tượng tập thể.

b) Các mô hình có quy tắc sắp xếp

Trong các mô hình này, thông tin rất quan trọng là cách sắp xếp của các

cá thể kết hợp với các thế tương tác dạng lực hút/đẩy. Mỗi hạt trong hệ không

tương tác với các hạt bất kỳ mà chỉ liên hệ với n hạt gần nhất (n thường chọn

là 6 hoặc 7 [179], giá trị này chỉ tương đối bởi vì khoảng tương tác thay đổi).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hầu hết các mô hình vật lý được đề xuất để nghiên cứu hệ sinh vật là dựa trên

các quy tắc tương tác từng cặp.

Có thể nói rằng, mô hình vật lý đầu tiên được đề xuất bởi Vicsek và các

cộng sự (SPP) là nghiên cứu về hành vi chuyển pha của một nhóm động vật

trên cơ sở mô hình spin XY, mô hình này hiện nay là nền tảng cơ bản cho các

nghiên cứu đặc tính bầy đàn của hệ tự tổ chức (hệ không có cá thể đầu đàn).

Tuy nhiên, mô hình này chỉ tập trung vào việc giải thích hành vi chuyển pha

từ trật tự sang mất trật tự tại vùng nhiễu cao và chuyển pha xảy ra là liên tục

(chuyển pha loại II).

1.3.2 Mô hình TT

Do các hạt không thể có định hướng trước, vì vậy, tất cả các chiều của

không gian đều có trọng số như nhau. Để đưa ra các phương trình chuyển

động phức tạp, một gradient không-thời gian mở rộng có thể được áp dụng

bằng cách giữ lại các các số hạng bậc thấp của vận tốc và mật độ . Các

biểu diễn này thực hiện bằng cách chỉ xét khoảng cách, thời gian dài các tính

chất của hệ [171], [172]. Kết quả các phương trình là

(1.8)

và

. (1.9)

Phương trình trên có các số hạng: ứng với pha không trật tự và

ứng với pha trật tự, có một giá trị khác không, là hằng số

khuếch tán và một nhiễu ngẫu nhiên. Các số hạng ở vế trái và phải của

phương trình tương tự đối lưu dẫn xuất của trường vận tốc trong phương trình

Navier-Stokes. Áp suất P phụ thuộc vào mật độ được cho bởi phương trình

, (1.10)

ở đây là mật độ trung bình xác định và là hệ số giãn nở áp suất. Hầu

hết các kết quả có đặc tính phi tuyến. Để áp dụng đối với mô hình tổ chức

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trong các hệ sinh học, các số hạng tương tác được đưa vào để ngăn cản sự

đông cứng là

, (1.11)

với

là khoảng cách trung bình giữa các cá thể. Xét tương tác giữa các hạt i thì chúng hút thì chúng đẩy nhau, nếu và j, nếu khoảng cách >

nhau. Trọng số là tham số mô hình được định nghĩa từ lực hút-đẩy.

Để xác định sự tồn tại của các pha, Y. Tu đề xuất mô hình thế tương tác 4

miền như trong Hình 1-4. Từ đó xác định lực tác dụng lên hạt tại một vị trí bất

kỳ trong một không gian kích thước xác định [174]. Cụ thể, ngoại lực trên cá

thể thứ i được tính tại mỗi bước thời gian được xác định là

(1.12)

a và b là các tham số đặc trưng cho lực sắp xếp và lực tự hợp giữa các cá thể

và . Phương trình (1.12) biểu diễn dạng lực xác định theo miền

để nghiên cứu hành vi flocking. Trong đó, là vận tốc cá thể và là véc tơ

đơn vị dọc theo đường tương tác giữa các cá thể i và j, là nhiễu ngẫu nhiên,

Hình 1-4 Mô hình lực tương tác: miền 1 là lực đẩy, miền 2 chủ yếu là lực sắp xếp

với lực hút yếu, miền 3 là lực hút mạnh và miền 4 không có tương tác [174].

nó là một véc tơ lực có độ lớn và chiều ngẫu nhiên.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hành vi flocking thu được từ mô hình TT gồm 5 pha khác nhau mà nó

phụ thuộc vào tham số a, b được biểu diễn trong mặt phẳng a-b như trong

Hình 1-5. Kết quả là:

- b rất nhỏ: các hạt chuyển động không phụ thuộc nhau, không tạo nhóm,

về cơ bản là ngẫu nhiên tương ứng với Pha khí trong vật lý.

- a, b nhỏ: các hạt không chuyển động phụ thuộc nhau tương ứng với Pha

lỏng, nhưng vận tốc khối tâm của hệ bằng 0.

- a lớn, b nhỏ: các hạt không chuyển động phụ thuộc nhau, Pha lỏng,

nhưng vận tốc khối tâm của hệ khác 0.

- a lớn, b lớn: các vị trí không thay đổi tương ứng với Pha rắn, nhưng vận

tốc khối tâm của hệ khác 0.

- a nhỏ, b lớn: các vị trí không thay đổi, Pha rắn, nhưng vận tốc khối tâm

Hình 1-5 Giản đồ pha trong không gian a-b [174].

của hệ khác 0.

1.3.3 Mô hình CS

Mô hình nghiên cứu hành vi tập thể dưới dạng các phương trình động học

Bolzmann được đề xuất bởi Cucker và Smale vào năm 2007 mà ta gọi là mô

hình CS [36]-[38]. Mô hình toán học này đầu tiên dùng để nghiên cứu hiện

tượng gom cụm của đàn chim, các con chim chuyển động trong một không

gian vật lý , vị trí của con chim thứ i là . Ta định nghĩa một ma trận

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

, ở đó các thành phần đặc trưng cho tương tác của các con chim i

và j với nhau. Các thành phần của A lấy giá trị trong khoảng từ (0…1].

Trong đó

, (1.13)

ở đây . Điều cần lưu ý là ma trận A thay đổi theo thời gian do vị trí của

các con chim thay đổi theo thời gian. Để thuận lợi cho cách dùng hình thức

này, tác giả đề xuất ma trận Laplacian của A là , ở đây D là một

ma trận chéo trong đó thành phần chéo thứ i được định nghĩa là,

. Xét một quần thể N con chim, tại thời điểm t, vận tốc của con

chim thứ là

. (1.14)

Kết hợp phương trình về thay đổi vị trí thông thường,

Ta tìm được các phương trình flocking như sau:

(1.15)

Chú ý rằng ma trận A và L là ma trận không có tác dụng trên mà có

tác dụng trên bằng cách ánh xạ vào

Một lưu ý quan trọng của mô hình CS là hành vi flocking phụ thuộc vào ,

khi nó đủ nhỏ ( ) thì flocking luôn xảy ra. Đối với các phương trình

mô tả hành vi flocking luôn tồn tại lời giải đơn nhất đối với mọi . Để

thu được kết quả tổng quát đối với các điều kiện flocking ta phải tìm được

trị riêng của ma trận Laplacian L.

Xét trọng số tương tác được định nghĩa có dạng nếu i và j có liên

kết, nếu như không có liên kết. Đặt D là ma trận chéo, cùng kích

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thước với A, được định nghĩa là . Các trị riêng của L được

biểu diễn là

(1.16)

Hệ hai phương trình này dẫn tới kết quả chắc chắc rằng vận tốc của các con

chim tập trung theo một hướng và khoảng cách giữa chúng là không đổi, do

cả hai hàm khoảng cách và vận tốc đều liên tục và hữu hạn.

1.4 . Kết luận

Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về nghiên cứu hành vi

của các loài sinh vật theo các cách tiếp cận khác nhau như sinh học, vật lý và

toán học. Về cơ bản, các hệ sinh học được phân chia thành hai loại là hệ tự tổ

chức (không có con đầu đàn) và hệ có con đầu đàn điều khiển hành vi của

toàn bộ hệ thống.

Các hành vi điển hình được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây là

schooling, flocking và swarming. Các mô hình vật lý toán áp dụng tốt cho

nghiên cứu các hành vi này hiện nay là SPP, TT hay CS với hai thông tin chủ

đạo là quy tắc sắp xếp và nhiễu.

Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày về các cơ sở lý thuyết vật lý

trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật. Đó là những cơ sở lý

thuyết quan trọng để chúng tôi xây dựng, đề xuất các mô hình mới nhằm giải

quyết một số vấn đề phức tạp trong các lĩnh vực khoa học khác.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chƣơng . CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP

MÔ PHỎNG

2.1 Chuyển pha và các mô hình spin

2.1.1 Chuyển pha

Như chúng ta biết, chuyển pha là sự thay đổi trạng thái từ mức độ đối

xứng này sang mức độ đối xứng khác để hình thành nên các đặc điểm, tính

chất mới của hệ. Hệ trải qua thay đổi trạng thái khi chịu tác động của một

hoặc nhiều tham số bên ngoài như nhiệt độ, áp suất… Một minh họa điển

hình về chuyển pha trong các hệ vật lý là giữa các pha rắn, lỏng và khí khi

nhiệt độ của hệ thay đổi đến các giá trị tới hạn . Để mô tả sự chuyển pha

hay sự phá vỡ đối xứng, L. D. Landau đưa ra khái niệm thông số trật tự

[105]. Thông số trật tự thay đổi từ 0 (hỗn độn tuyệt đối) đến 1 (trật tự tuyệt

đối). Dưới điểm tới hạn , hệ chuyển từ trạng thái hỗn độn sang trật tự

một phần, nếu tiếp tục giảm nhiệt độ thì trật tự hoàn toàn có thể đạt được. Nếu

thông số trật tự thay đổi không liên tục trong quá trình chuyển pha tại điểm

tới hạn, chúng ta gọi là chuyển pha loại I, nếu liên tục là chuyển pha loại II.

a) Chuyển pha loại I

Lý thuyết Landau về chuyển pha có ý nghĩa cơ bản là năng lượng tự do

được biểu diễn dưới dạng bội của thông số trật tự . Năng lượng tự do được

biểu diễn đến bậc 6 của thông số trật tự thì hệ trải qua chuyển pha loại I nếu

và , cụ thể là

. (2.1)

Trong đó, biểu diễn sự phụ thuộc vào nhiệt độ của pha nhiệt độ cao gần

điểm chuyển pha. Trong chuyển pha loại I, các đại lượng này thay đổi một

cách gián đoạn khi đi qua điểm tới hạn [5], [95].

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

 Thông số trật tự

Ta biết rằng, thông số trật tự ứng với năng lượng tự do cực tiểu sẽ là

. (2.2)

Suy ra và

. (2.3)

Giải phương trình (2.2) ta được nghiệm đối với là

. (2.4)

Tại nhiệt độ , ta thấy có 2 giá trị thông số trật tự sai khác nhau một

lượng

. (2.5)

Như vậy, ta thấy rõ ràng hệ bị phá vỡ tính đối xứng và thông số trật tự gián

đoạn tại điểm nhiệt độ .

 Năng lượng tự do

Sự phụ thuộc nhiệt độ của năng lượng tự do có thể tìm được bằng cách

thay thông số trật tự (2.4) vào (2.1). Ta tìm được

với

, (2.6)

với

. (2.7)

 Entropy

Trong lý thuyết nhiệt động học thì entropy là đạo hàm của năng lượng tự

do theo nhiệt độ.

. (2.8)

Có hai nhánh trong lời giải của nó là

với

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

, (2.9)

với

. (2.10)

 Nhiệt dung

Chuyển pha loại I có nhiệt dung tới hạn . Nhiệt dung tại là

. (2.11)

 Ẩn nhiệt

Ẩn nhiệt có thể xác định theo entropy theo công thức

. (2.12)

với

, (2.13)

với

(2.14)

Bước nhảy của ẩn nhiệt tại là

. (2.15)

 Độ cảm từ

Độ cảm từ đặc trưng cho sự phản ứng đối với từ trường B và nó được định

nghĩa bởi biểu thức

. (2.16)

Để tính toán độ cảm từ, năng lượng tự do được mở rộng như sau:

. (2.17)

Ta có

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

. (2.18)

Tại cực tiểu năng lượng chúng ta được

(2.19) .

Lấy vi phân ta được biểu thức trên theo , ta có

. (2.20)

Tại nhiệt độ tới hạn, . Do đó, ta thu được kết quả sau cho

độ cảm từ tại điểm chuyển pha

. (2.21)

b) Chuyển pha loại II

Trong trường hợp thông số trật tự biến đổi nhỏ quanh điểm chuyển pha, ta

có thể bỏ qua lũy thừa bậc 6. Năng lượng tự do của hệ là

, (2.22)

trong đó và . Ở đây biểu diễn sự phụ thuộc vào nhiệt độ

của pha nhiệt độ cao gần điểm chuyển pha.

 Thông số trật tự

Thông số trật tự với năng lượng tự do cực tiểu sẽ là

. (2.23)

Giải phương trình này, ta thu được

với

, (2.24)

với

(2.25) .

Như vậy, trong chuyển pha loại II tại điểm nhiệt độ tới hạn , thông số trật tự

của hệ thay đổi một cách liên tục.

 Năng lượng tự do

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Bằng cách thay thông số trật tự vào phương trình năng lượng tự do ở trên

cạnh chuyển pha có dạng

với . (2.26)

 Entropy

với . (2.27)

 Ẩn nhiệt

với . (2.28)

Có một bước nhảy nhiệt dung tại chuyển pha .

 Độ cảm từ

Để tính toán độ cảm từ, năng lượng tự do được mở rộng như sau

(2.29)

Ta có, cực tiểu năng lượng

(2.30)

Do nhỏ nên ta bỏ qua số hạng , giải phương trình (2.30) ta được

. (2.31)

Độ cảm từ là

. (2.32)

Như ta biết, lý thuyết Landau là lý thuyết trường trung bình nên chỉ mô tả được chuyển pha thuộc một lớp phổ quát nhất định (mean field universality class). Các mô hình spin khác có thể cho các tính chất chuyển pha khác nhau ở điều kiện tới hạn.

c) Chuyển pha xoáy Kosterlitz-Thouless

Chuyển pha xoáy Kosterlitz-Thouless (KT) là chuyển pha trong mô hình

spin XY 2 chiều [95], [97], [116]. Nó là chuyển pha từ cặp xoáy thuận/nghịch

ở nhiệt độ dưới giá trị tới hạn và thành không có cặp xoáy thuận/nghịch khi

nhiệt độ trên giá trị tới hạn. Khảo sát một tập nhiệt độ tới hạn đối với mô hình

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

spin, người ta quan sát thấy tồn tại loại chuyển pha này. Tuy nhiên, chuyển

pha xoáy trong mô hình XY là mạnh hơn rất nhiều so với mô hình Heisenberg

[155].

Để khảo sát dạng đơn giản của chuyển pha xoáy trong mô hình XY, ta xét

một mạng vuông kích thước L. Hamiltonian của hệ là

, (2.33)

trong đó, và tổng được tính trên các nút mạng lân cận gần nhất.

Chúng ta lấy và là góc của spin thứ i với một trục đã chọn. Khai

triển quanh điểm cực tiểu địa phương của H, ta có

, (2.34)

ở đây, là toán tử vi phân bậc nhất, là một hàm xác định các nút mạng,

Hình 2-1 thì năng lượng của nó là

và tổng được xác định trên tất cả các vị trí. Nếu xét hệ có cấu hình như trên

, (2.35)

trong đó, là bán kính của hệ. Do đó, với một cấu hình biến đổi chậm thì

Hình 2-1 Xoáy lý tưởng trong mô hình XY [97].

năng lượng tăng theo hàm logarit của kích thước hệ.

Khai triển trên toàn miền từ đến , giá trị

tăng theo luật . Do đó, nếu bây giờ ta xét một cấu hình xoáy có

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

dạng trong Hình 2-1, khi chúng ta đi vòng quanh các quỹ đạo kín có chứa tâm

xoáy, thay đổi cho mỗi vòng. Do đó, cấu hình không có xoáy, hàm

sẽ có giá trị đơn, đối với trường hợp có xoáy thì hàm sẽ có nhiều giá

trị. Điều này có thể tổng quát lại như sau

(2.36)

ở đây, tổng được lấy theo các đường viền kín trên mạng và số q được định

nghĩa là tổng độ dài của phân bố xoáy nằm trong đường viền. Nếu như chỉ có

Hình 2-2 Đường viền quanh tâm xoáy [97].

một xoáy đơn nằm trong một đường viền như trên Hình 2-2 thì q = 1.

Bây giờ ta xét , với xác định phân bố góc của các

spin trong cấu hình cực tiểu địa phương, và là độ lệch so với giá trị hàm

phân bố. Năng lượng của hệ bây giờ là

, (2.37)

với các điều kiện

. (2.38)

Rõ ràng là khi có giá trị như nhau trên tất cả các nút mạng, thì cấu hình

có năng lượng cực tiểu tuyệt đối tương ứng với với mọi đường viền khả

dĩ. Chúng ta thấy từ phương trình (2.36) rằng, nếu như chúng ta co đường

viền bé lại sao cho nó chỉ đi qua 4 nút mạng như trong Hình 2-2 thì ta sẽ thu

được độ dài của xoáy mà tâm của nó định xứ trên một mạng nhân bản tại các

nút mạng , các nút mạng nằm tại tâm của các hình vuông trên mạng gốc

(ban đầu) [97]. Từ đó, ta có thể xác định được hàm phân bố xoáy

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

(2.39)

Từ các điều kiện (2.38), ta có thể dễ dàng thu được phương trình cho

. (2.40)

Từ đó, năng lượng của hệ trong một cấu hình đã biết được xác định dưới dạng

một hàm theo

(2.41)

ở đây, là bán kính của hệ, là giá trị cut-off cùng bậc với hằng số mạng a,

và là hàm Green của mạng vuông, bởi vậy . Số hạng cuối cùng

trong công thức (2.41) đòi hỏi điều kiện , nghĩa là xoáy toàn phần

của hệ bị triệt tiêu, tương ứng với điều kiện trung hoà về điện của hệ. Số hạng

đầu tiên trong biểu thức trên mô tả kích thích sóng spin (SW) và nó làm triệt

tiêu trật tự tầm xa. Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác của các xoáy và

nó là nguyên nhân gây ra chuyển pha.

Nếu bỏ qua tất cả các cấu hình xoáy, chúng ta sẽ thu được hàm tương

quan spin-spin dưới dạng

, (2.42)

trong đó

, (2.43)

và

, (2.44)

với là hằng số Euler. Từ đó ta có

(2.45)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chúng ta thấy rằng, kích thích SW phá hủy trật tự tầm xa trong hệ nhưng

không có đóng góp gì trong chuyển pha. Năng lượng của cấu hình xoáy

có dạng đơn giản là

, (2.46)

ở đây, là độ dài của xoáy thứ i có tâm xoáy tại .

2.1.2 Các mô hình spin

a) Mô hình spin Ising

Mô hình spin Ising là một mô hình nghiên cứu sắt từ trong cơ học thống

kê. Mô hình gồm các spin, nó có thể ở một trong hai trạng thái  hoặc , mỗi

spin tương tác với hầu hết các spin lân cận của nó. Mô hình Ising là một trong

các mô hình thống kê đơn giản nhất để nghiên cứu sự chuyển pha.

Để rõ hơn ta xét một mạng tinh thể, một cấu hình spin là một sự

sắp xếp của các giá trị spin trên mỗi nút mạng, tại mỗi vị trí j của mạng có

một spin Sj nhận giá trị bằng 1 hoặc 1. Trọng số tương tác Jij = J(ij) không

đổi đối với phép tịnh tiến nhưng phụ thuộc vào trường ngoài hi. Mô hình được

định nghĩa bởi Hamintonian

(2.47)

trong đó, tổng đầu tiên chỉ lấy tổng một lần cho mỗi cặp spin ( tích của các

spin hoặc bằng 1 nếu hai spin cùng hướng hoặc bằng 1 nếu ngược hướng).

Xác suất cấu hình được xác định bởi hàm phân bố Boltzmann với nhiệt độ

nghịch đảo

, (2.48)

ở đây, Z là tổng thống kê.

Tương tác sắt từ có xu hướng sắp xếp các spin theo cùng một hướng,

tương tác phản sắt từ có xu hướng sắp xếp các spin ngược hướng. Nếu không

có trường ngoài tác dụng ( ) thì mô hình Ising là đối xứng đối với việc

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

chuyển các giá trị spin tại tất cả các vị trí của mạng. Khi trường ngoài khác

không thì đối xứng này bị phá vỡ.

Các spin có thể được xem như định xứ ở trên một biểu đồ, ở đó mỗi nút

mạng chỉ có duy nhất một spin và khoảng cách giữa 2 spin tương ứng với giá

trị tương tác, . Nếu tất cả các bằng nhau hoặc phụ thuộc vào một giá trị

bất kỳ ký hiệu là ― ‖, thì để đơn giản ta lấy đơn vị năng lượng là J. Khi đó

mô hình được xác định hoàn toàn bởi biểu đồ và dấu của J. Mỗi biểu đồ sẽ

xác nhận một mô hình spin Ising sắt từ khi và một mô hình Ising phản

sắt từ khi . Một cách tổng quát hơn, tương tác có thể có độ lớn không

đổi J nhưng dấu thay đổi phụ thuộc vào cạnh, vì vậy . Lúc này mô

hình spin chuyển về một biểu đồ có dấu.

Mô hình Ising sắt từ hai chiều trên một mạng vuông được định nghĩa bằng

cách đặt tại mỗi nút mạng . Năng lượng của hệ là một spin

, (2.49)

với . Chú ý rằng chỉ tính tổng tương tác giữa mỗi vị trí với lân cận bên

phải của nó và lân cận phía dưới, mỗi cạnh chỉ được tính một lần. Mô hình

Ising trường trung bình là mô hình Ising trên một biểu đồ hoàn chỉnh, ở đó

mỗi đỉnh được nối với tất cả các đỉnh còn lại.

, (2.50)

Các spin sẽ ―ngẫu nhiên‖ khi năng lượng nhiệt lớn hơn độ dài tương quan.

b) Mô hình spin XY

Mô hình XY cổ điển còn được gọi là mô hình quay cổ điển hay mô hình

O(2). Trong mô hình XY, các spin cổ điển hai chiều tại các vị trí mạng

được biểu diễn bởi một véc tơ trên một mặt hai chiều, nếu tham số hoá trong

toạ độ cực với giả thiết spin có giá trị đơn vị, ta có

, (2.51)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

với là định hướng của spin tại vị trí mạng . Spin có thể hướng theo bất

kỳ hướng nào, tương ứng với một số giá trị của giữa 0 và 2π.

Hamintonian của mô hình XY với mô tả nói trên là

, (2.52)

Mô hình XY thường được dùng để mô hình hoá tốt các hệ có các tham số

với cùng dạng đối xứng. Điều này khác biệt với các chuyển pha mà ở đó luôn

gắn với một sự phá vỡ đối xứng. Các biến dạng hình học trong mô hình XY

dẫn tới sự chuyển pha xoáy từ pha nhiệt độ thấp tới pha mất trật tự nhiệt độ

cao.

c) Mô hình spin Heisenberg

Mô hình spin Heisenberg là một trong số các mô hình sử dụng trong vật lý

thống kê để nghiên cứu hành vi của sắt từ và các hiện tượng khác [156]. Có

thể mô tả như sau:

Xét một mạng n chiều với một tập các spin có độ dài đơn vị, mỗi spin

đặt tại một nút mạng. Mô hình có Hamintonian được định nghĩa là

, (2.53)

với nếu i, j là các lân cận gần nhất, đối với mọi tương tác khác thì

. Trong trường hợp liên tục, mô hình Heisenberg cho ta phương trình

chuyển động sau đây

. (2.54)

Phương trình này được gọi tắt là phương trình Heisenberg.

d) Mô hình q-Potts

Trong vật lý thống kê, mô hình Potts là một sự tổng quát hoá của mô hình

Ising, là mô hình về các spin tương tác trên một mạng tinh thể. Điểm mạnh

của mô hình Potts không chỉ là mô hình hoá tốt các hệ vật lý đơn giản mà còn

cho các hệ phức tạp khác. Mô hình Potts gồm các spin sắp xếp trên một mạng,

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

mạng thường được chọn là mạng Euclide vuông hai chiều, nhưng nó thường

được tổng quát hoá cho các chiều khác hoặc các mạng khác [96]. Spin nhận 1

trong số q giá trị khả dĩ phân bố đồng đều trên một đường tròn, tại góc độ

và hàm Hamintonian tương tác được cho bởi

, (2.55)

dấu tổng lấy theo các cặp spin lân cận gần nhất (i, j) trên tất cả các vị trí mạng.

Các vị trí mạng Si nhận các giá trị từ 1 đến q. Ở đây Jc là hằng số liên kết xác định cường độ tương tác. Mô hình này hiện nay được gọi là mô hình Potts véc

tơ hay mô hình đồng hồ. Potts đã đưa ra một lời giải cho trường hợp hai chiều

với q = 2, 3 và 4. Ở giới hạn q , mô hình này trở thành mô hình XY.

Mô hình Potts chuẩn có Hamintonian đơn giản hơn được cho bởi

, (2.56)

với là delta Kronecker, nó bằng 1 khi Si = Sj và bằng 0 trong các

trường hợp khác.

Mô hình Potts chuẩn với q = 2 tương đương với mô hình Ising 2 chiều và

mô hình Potts véc tơ 2 trạng thái với . Mô hình Potts chuẩn q = 3

tương đương với mô hình Potts véc tơ 3 trạng thái với .

Trong trường hợp tổng quát, người ta đưa vào số hạng từ trường ngoài h

và chuyển các tham số vào bên trong tổng, các tham số này sẽ được thay đổi

phụ thuộc vào từng mô hình

, (2.57)

với là nhiệt độ nghịch đảo, k là hằng số Boltzmann và T là nhiệt độ.

2.2 Phƣơng pháp mô phỏng đ ng học phân tử

Ngày nay, khoa học và công nghệ phát triển ở trình độ rất cao đã giúp con

người giải quyết được nhiều bài toán khó, các hệ phức tạp từ vĩ mô đến vi mô.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Trong đó phải kể đến sự ra đời của các phương pháp mô phỏng, các phương

pháp này ngày càng hoàn thiện, nâng cấp và được coi như một cuộc cách

mạng trong khoa học của các lĩnh vực khoa học như vật lý, hoá học, sinh

học... Mô phỏng máy tính trở thành một công cụ thứ 3 để nghiên cứu vật lý

bổ sung vào hai cách tiếp cận truyền thống là lý thuyết, thực nghiệm và được

sử dụng rất rộng rãi [2], [45], [51], [61], [68], [80], [123], [124] …

Từ những kết quả mô phỏng ta thu được thông tin cần thiết trên các hệ bởi

các mô hình được sử dụng chính xác (đương nhiên có sai số được chấp nhận).

Cần lưu ý rằng, thông tin được cung cấp bởi phương pháp giải tích chỉ chính

xác trong rất ít trường hợp (trong hệ nhiều hạt), khi hầu hết các trường hợp

khác đều phải sử dụng các phép tính gần đúng. Trong khi đó, mô phỏng cung

cấp thông tin về các hệ mô hình, được chi tiết hoá một cách tuỳ ý kể cả về

mặt định lượng, có thể thu được các tương quan bậc cao. Nghiên cứu thực

nghiệm có thể thay đổi nhiệt độ và áp suất của mẫu, nhưng không dễ dàng

trong việc đánh giá ảnh hưởng của sự thay đổi thế tương tác, trong khi đó

những sự thay đổi tuỳ ý giữa thế năng của các nguyên tử không khó khăn lớn

trong mô phỏng máy tính. Để nghiên cứu về tính chất động học của các hệ

phân tử phức tạp, người ta thường sử dụng phương pháp mô phỏng động học

phân tử (MD). Đây là một phương pháp có độ tin cậy cao, áp dụng có hiệu

quả trong nghiên cứu hành vi chuyển động các hệ cỡ nguyên tử/phân tử.

Phương pháp mô phỏng MD không chỉ được ứng dụng trong nghiên cứu tính

chất vật lý mà còn nhiều lĩnh vực khác như hóa học, sinh học...

2.2.1 Khái niệm

MD là một phương pháp mô phỏng được sử dụng để nghiên cứu sự thay

đổi theo thời gian của hệ nhiều vật với nhiều tương tác khác nhau. Yếu tố căn

bản nhất của phương pháp này là xác định được thế năng tương tác giữa các

vật thể trong hệ đang xét [61], [77]. Từ đó ta có thể xác định được lực tương

tác và xây dựng được phương trình chuyển động của các thành phần trong hệ.

Giải phương trình chuyển động cho ta kết quả về cấu hình của hệ, tại mỗi thời

điểm ta tìm được các thông tin vật lý quan trọng: toạ độ, vận tốc… Phương

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

pháp MD giúp ta tìm hiểu được chuyển động riêng của mỗi hạt trong hệ theo

thời gian. Thế năng tương tác sử dụng trong mô phỏng là thường được lấy

gần đúng. Tuỳ theo yêu cầu cụ thể của từng bài toán mà chúng ta có thể lựa

chọn các dạng thế phù hợp, có thể thay đổi trọng số, điều chỉnh độ chính xác

của các đại lượng trong quá trình tính toán để giảm thời gian mô phỏng.

2.2.2 Phương trình chuyển động và thế năng tương tác

Trong phương pháp MD, sự thay đổi theo thời gian của các hạt trong hệ

được tính qua tích phân chuyển động của chúng. Phương trình chuyển động

được sử dụng trong tính toán là phương trình chuyển động Newton

, (2.58)

trong đó, là khối lượng, gia tốc và lực tác dụng lên hạt thứ i.

Biểu thức tính lực sẽ xác định thông qua đạo hàm riêng của thế năng theo

khoảng cách

(2.59)

Dạng đơn giản nhất của thế năng tương tác được biểu diễn bằng tổng các

thế năng tương tác cặp đôi giữa các hạt trong hệ

, (2.60)

trong đó, là thế năng tương tác cặp đôi giữa hạt thứ i và j. Ngoài ra thế

năng có thể được xác định có tính đến cặp ba hoặc hơn nữa.

Thế năng tương tác cặp đôi được sử dụng phổ biến trong phương pháp

MD là thế Lennard – Jones có dạng như sau

. (2.61)

với là hằng số có thứ nguyên năng lượng, là hằng số có thứ nguyên độ

dài và là khoảng cách giữa hai hạt.

2.2.3 Các thuật toán giải phương trình chuyển động

. Từ các thông số vị trí, vận tốc bước với số gia thời gian Ý tưởng cho việc giải phương trình chuyển động là tính tích phân từng tại thời

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

điểm t của mỗi hạt thứ i trong hệ (i = 1, 2, 3, …, N), bằng phương pháp khai

triển hợp lý ta có thể tính được vị trí , vận tốc tại thời

điểm . Cứ như vậy ta có thể thu được quỹ đạo pha của mỗi hạt theo

thời gian và từ đó sẽ xác định được các thuộc tính của hệ cần khảo sát.

Có nhiều phương pháp tích phân phương trình chuyển động (phương trình

định luật Newton), trong đó có phương pháp Verlet được sử dụng phổ biến

nhất. Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu hai thuật toán là Verlet và Leap – frog.

2.2.4 Thuật toán Verlet

Để giải phương trình chuyển động, Verlet đề xuất phương pháp mà ngày

nay là một trong những phương pháp được dùng phổ biến nhất trong việc tính

tích phân phương trình chuyển động [178]. Phương pháp của Verlet cho phép

giải trực tiếp hệ phương trình vi phân cấp hai dạng (2.58) có lược đồ như sau:

, (2.62)

trong đó, là gia tốc của hạt tại thời điểm t.

Trong phương pháp Verlet, các giá trị vận tốc không cần tính đến trong

quá trình tích phân phương trình chuyển động nhưng nó cần thiết cho việc

tính động năng của các hạt (từ đó tính được động năng và tổng năng lượng

của toàn hệ). Giá trị vận tốc của các hạt thu được từ công thức

. (2.63)

Để sử dụng hiệu quả hơn, người ta đã đề xuất một cải tiến khác của

phương pháp Verlet là phương pháp Velocity Verlet có lược đồ như sau

, (2.64)

. (2.65)

Phương trình (2.64) và (2.65) có thể được viết lại dưới dạng

, (2.66)

, (2.67)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

ở đây, là tổng hợp lực tác dụng lên hạt tại thời điểm t.

2.2.5 Thuật toán Leap – Frog

Một cải tiến của phương pháp Verlet có tính đến giá trị vận tốc của các

hạt được đề xuất bởi Hockey có tên là Leap–Frog [87]. Thuật toán này sử

dụng vị trí ở thời điểm . Vận tốc và vị ở thời điểm và vận tốc

trí tại thời điểm được tính toán thông qua các biểu thức dưới đây

, (2.68)

, (2.69)

trong đó, là lực tác dụng lên hệ ở thời điểm . Vận tốc tức thời được xác

định theo công thức sau:

. (2.70)

Thuật toán này tạo ra quỹ đạo tương tự như kết quả thu được từ thuật toán

Verlet, các vị trí cập nhật của chúng được xác định bởi

. (2.71)

Đây là thuật toán bậc 3 theo toạ độ và có thể tính ngược thời gian.

2.3 Phƣơng pháp mô phỏng Monte Carlo

Monte Carlo (MC) là phương pháp dùng số ngẫu nhiên để lấy mẫu

(sampling) trong một tập hợp thống kê bất kỳ cho trước [2], [45], [49], [50],

[59]-[60], [67], [102], [123]-[125], [130]. Thuật ngữ ―Monte Carlo‖ được sử

dụng lần đầu bởi Metropolis dùng để tính tích phân hoặc tính số bằng phương

pháp ngẫu nhiên. Hiện nay, MC được coi là phương pháp hữu hiệu nhất để

nghiên cứu các hệ phức hợp và đặc biệt hữu ích trong việc nghiên cứu chuyển

pha, giản đồ pha… Trong phần này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản

của phép thử Monte Carlo, trình bày một số chi tiết về việc làm sao có thể

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thiết lập các chương trình Monte Carlo và sau đó trình bày các tính toán và

phân tích các kết quả Monte Carlo. Đây cũng chính là phương pháp chính

được sử dụng để nghiên cứu hành vi chuyển pha tập thể của sinh vật trong

luận án này.

2.3.1 Nguyên tắc cơ bản của phương pháp mô phỏng Monte Carlo

Mục đích của phương pháp MC là tính giá trị trung bình của các đại lượng

vĩ mô của một hệ nhiều hạt khi biết được Hamiltonian của hệ. Một số đại

lượng thường gặp là tính năng lượng trung bình , độ từ hóa trung

bình … Tùy thuộc vào cấu hình, đối tượng nghiên cứu mà ta cần

áp dung Hamiltonian phù hợp.

Mô phỏng Monte Carlo hiện đại thường sử dụng thuật toán Metropolis để

nghiên cứu với các cấu hình spin tại một nhiệt độ xác định, bằng các phép lấy

mẫu đơn giản hoặc quan trọng tùy thuộc vào mục đích nghiên cứu. Sau đó

người ta tính giá trị trung bình nhiệt động lực học của các đại lượng vật lý.

Bài toán cơ bản của vật lý thống kê là tính trung bình nhiệt của đại lượng

vật lý nào đó, với trong không gian pha đặc trưng cho một tập các biến

mô tả bậc tự do mà ta đang xét

, (2.72)

trong đó Z là tổng thống kê, .

Ở trạng thái cân bằng nhiệt, mật độ xác suất để hệ ở cấu hình là

(2.73) Trung bình nhiệt của đại lượng A ở trạng thái cân bằng nhiệt động tại nhiệt

độ T được viết dưới dạng đơn giản

, (2.74)

với là năng lượng của trạng thái , là hàm tổng thống

kê, hằng số Boltzmann chọn bằng 1 . Với không gian cấu hình là

gián đoạn thì biểu thức (2.74) được viết lại là

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

, (2.75)

các trạng thái khác nhau của hệ tương ứng với các cấu hình khác nhau và

hàm tổng thống kê là . Trong trường hợp các chuỗi rất bé, tất

cả các cấu hình có thể được tính chính xác bởi phương trình (2.75). Với các

chuỗi dài hơn thì việc xác định các đại lượng cho toàn bộ không gian cấu hình

là không thể với máy tính. Vì vậy, người ta thay một tập của tất cả các cấu

hình trong phương trình (2.75) bằng M mẫu trong tổng N cấu hình có thể theo

dõi được. Dĩ nhiên, độ chính xác của đại lượng phụ thuộc trực tiếp vào chất

lượng của M cấu hình.

Có hai phương pháp chọn mẫu là mẫu đơn giản và mẫu quan trọng:

phương pháp lấy mẫu đơn giản thì M cấu hình được chọn ngẫu nhiên, do đó

các cấu hình có năng lượng sẽ khác so với năng lượng thực của hệ, bởi vậy sẽ

rất kém chính xác trừ khi M rất lớn. Phương pháp lấy mẫu quan trọng là chọn

tập biễu diễn của cấu hình không hoàn toàn ngẫu nhiên mà nghiêng về các

cấu hình có mật độ đáng kể ở trạng thái cân bằng nhiệt động.

Nói chung, nếu xác suất để một cấu hình xác định xuất hiện trong biểu

diễn mẫu được chọn với xác suất , thì biểu thức giản

ước trung bình nhiệt trở thành

. (2.76)

Để tính giá trị trung bình nhiệt, các mẫu của các cấu hình cụ thể được chọn có

xác suất xuất hiện tỉ lệ với thừa số Boltzmann.

2.3.2 Lấy mẫu đơn giản

Vấn đề cơ bản của phương pháp lấy mẫu đơn giản là ta chỉ xét M cấu hình

được chọn ngẫu nhiên từ N cấu hình rất lớn, thì giá trị trung bình của đại

lượng được tính bằng tổng các đại lượng gián đoạn

. (2.77)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Để rõ hơn về vấn đề này, ta xét một ví dụ với mô hình XY, do

tại mỗi điểm i, để đơn giản hơn ta viết

với góc là đặc trưng cho bậc tự do

và đơn giản hoá thành . Để xác định được đại lượng này ta chia

với

, ở thành một lưới đều được xác định là đây p là số nguyên đặc trưng cho lưới. Tổng số các điểm trong lưới là pN, số

này trở nên rất lớn với N lớn, việc lấy tích phân vẫn không thể thực hiện được

dù giá trị của p là bé. Để lấy tích phân, thay vì chọn hệ thống với phân bố đều,

ta chọn các điểm một cách ngẫu nhiên, sử dụng ―các số ngẫu nhiên nhân

tạo‖ được tạo bởi một bộ có sẵn trong phần mềm máy tính. Trong thực tế

phương pháp sử dụng công thức (2.77) hiện nay là một sự biến tướng của

phương pháp Monte Carlo gọi là phương pháp Monte Carlo dùng phép thử.

2.3.3 Lấy mẫu quan trọng

Nhược điểm của lấy mẫu đơn giản là số cấu hình được chọn ngẫu nhiên

và bé hơn rất nhiều so với số cấu hình thực cần tính. Cấu hình có năng lượng

sẽ khác so với năng lượng thực của hệ, bởi vậy sẽ rất kém chính xác. Vì vậy,

ta có thể dùng lấy mẫu quan trọng, ở đó hàm xác suất được chọn là

và trung bình các đại lượng có dạng

(2.78)

Vấn đề là làm sao để tìm ra một phương thức mà nó có thể thực hiện được

lấy mẫu quan trọng trên thực tế. Metropolis và đồng tác giả chỉ ra rằng, hoàn

toàn có thể chọn được xác suất chuyển trạng thái W như khi M   [114]. Họ

không chọn các trạng thái liên tiếp độc lập với nhau, mà tiến hành xây

dựng chuỗi Markov trong đó mỗi một trạng thái từ trạng thái trước đó

với xác suất chuyển trạng thái . Hàm hàm phân bố các

trạng thái là

. (2.79)

Điều kiện đủ để thu được nó là sử dụng nguyên lý cân bằng chi tiết

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

. (2.80)

Phương trình (2.80) có nghĩa là tỉ số xác suất chuyển trạng thái cho mỗi

dịch chuyển từ và chuyển ngược lại chỉ phụ thuộc vào sự

thay đổi năng lượng ,

. (2.81)

Rõ ràng phương trình (2.81) không định được xác suất chuyển trạng thái

là duy nhất. Có hai cách chọn xác xuất chuyển trạng thái [47]

, (2.82)

hoặc là

(2.83)

là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn là đơn vị.

Ta có thể cụ thể hóa thuật toán Metropolis như sau:

Đầu tiên ta tạo ra một cấu hình ngẫu nhiên ban đầu. Tại mỗi điểm trong

cấu trúc của chuỗi cấu hình, tạo ra một dịch chuyển so với cấu hình hiện tại.

Sau đó, kiểm tra điều kiện tương thích và điều kiện giới hạn thể tích, nếu bị vi

phạm một trong hai điều kiện này thì cấu hình bị loại. Nếu thoã mãn thì tiêu

chuẩn Metropolis được áp dụng. Lúc này, ta cần kiểm tra độ biến đổi năng

lượng của cấu hình mới và cũ : nếu

nhận và nó trở thành cấu hình mới trong chuỗi. Nếu

là âm thì cấu hình được chấp là dương thì lấy một số ngẫu nhiên R giữa 0 và 1, cấu hình mới tạo ra được chấp nhận nếu

. Nếu thì cấu hình bị loại bỏ. Thuật toán Metropolis

có thể được tóm tắt bởi biểu thức xác suất cho phép chuyển cấu hình là

. (2.84)

2.3.4 Các phương pháp biểu đồ

a) Phương pháp biểu đồ đơn

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Mô phỏng Monte Carlo được thực hiện tại nhiệt độ T0 bằng cách tạo ra

các cấu hình với xác suất tỉ lệ thuận với trọng số Boltzmann

tronng đó , và là Hamiltonian của hệ. Để rõ hơn ta khảo sát

mô hình Ising với tương tác lân cận gần nhất, Hamiltonian của hệ có dạng

, (2.85)

với một nhiệt độ mô phỏng tương ứng với hằng số liên kết ,

trọng số Boltzmann là . Xác suất tìm thấy hệ với năng lượng E và

độ từ hoá là

(2.86)

trong đó, W(E, M) mật độ trạng thái và Z(K0) là hàm tổng thống kê của hệ.

Khi mô phỏng ta tạo ra các cấu hình tuân theo phân bố xác suất cân bằng,

biểu đồ H(E, M) phải được giữ không đổi trong suốt quá trình mô phỏng, biểu

đồ càng chính xác nếu số lần mô phỏng được thực hiện càng lớn. Với mô

phỏng có thời gian hữu hạn, biểu đồ sẽ có các sai số thống kê, nhưng

trong đó N là số lần mô phỏng vẫn chính xác đối với xác suất

. Vì vậy, ta biến đổi phương trình (2.86) thành

(2.87)

trong đó, là một xấp xỉ của mật độ trạng thái W(E, M). Ta biết rằng,

nếu biết được hàm phân bố tại một giá trị nào đó của K thì có thể xác định các

đại lượng tại các giá trị khác của K, hàm phân bố xác suất có dạng

(2.88) Do đó, nếu ta biết phân bố tại K0 từ biểu đồ H(E, M) thì từ (2.87) ta suy ra

. (2.89)

Từ các phương trình (2.88) và (2.89) và chuẩn hoá hàm phân bố, ta tìm

bất kỳ được mối liên hệ giữa biểu đồ đo tại K = K0 và phân bố xác suất với

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

, (2.90)

trong đó .

Từ , giá trị trung bình của bất cứ hàm nào của E và

M, có thể được tính như là một hàm liên tục của K

, (2.91)

Các phương trình (2.90) và (2.91) được gọi là các phương trình biểu đồ đơn.

b) Phương pháp đa biểu đồ

Khó khăn của phương pháp biểu đồ đơn là phân bố xác suất theo năng

lượng là khá hẹp tại bất cứ nhiệt độ nào và phương pháp này không sử dụng

hết tất cả các dữ liệu trong các phân bố thực của trạng thái đã thử [58]. Để

khắc phục điều này, Ferrenberg và Swendson kết hợp các dữ liệu được lấy tại

các nhiệt độ khác nhau để xác định hàm phân bố gọi là biểu đồ kép. Phương

pháp này cho phép xác định các đại lượng vật lý chính xác hơn trong một

khoảng nhiệt độ rộng. Ví dụ, ta xét một Hamiltonian tổng quát có dạng

(2.92) trong đó, K là đại lượng liên hợp với S() trong Hamiltonian, nó là nhiệt độ

hoặc từ trường phụ thuộc việc định nghĩa S() là toán tử năng lượng E hoặc

độ từ hoá M xác định trên cấu hình spin {i} của hệ. Hàm tổng thống kê có

dạng

, (2.93)

ở đây W(S) là hàm mật độ trạng thái.

Xét R lần mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo. Chúng ta thực hiện

lần thứ n tại nhiệt độ Kn rồi lưu lại dưới dạng biểu đồ {Nn(S)} với tổng số các

giá trị {nn}. Hàm tổng thống kê được tính gần đúng có dạng

, (2.94)

hàm này liên hệ với hàm tổng thống kê thực qua biểu thức

. (2.95)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Sử dụng biểu thức năng lượng tự do ,

hàm mật độ trạng thái liên hệ đến biểu đồ và cực

tiểu sai số, chúng ta tìm được

(2.96) .

Trong đó là tham số bằng năng lượng tự do .

Nếu chúng ta định nghĩa

(2.97) ,

thì sẽ thu được phương trình biểu đồ kép

(2.98) ,

trong đó

(2.99) .

Như vậy, giá trị trung bình của toán tử S bất kỳ có thể tính được như là

một hàm liên tục theo K. Đó là

, (2.100)

trong đó

(2.101) .

Giá trị của trong công thức (2.99) được tính bằng phương pháp tự hợp với

phương trình (2.98).

c) Phương pháp Wang-Landau

Các phương pháp biểu đồ chỉ có hiệu quả cao trong việc tính toán các

hiệu ứng kích thước hữu hạn. Vì vậy, Wang và Landau đã đề xuất một thuật

toán mới được gọi là thuật toán biểu đồ ―phẳng‖ áp dụng trong không gian

năng lượng nhằm xác định hàm mật độ trạng thái, từ đó xác định các đại

lượng vật lý như là hàm liên tục theo nhiệt độ gọi là phương pháp Wang-

Landau [186]. Cụ thể như sau:

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Giả sử thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng với

xác suất chuyển trạng thái tỷ lệ với nghịch đảo mật độ trạng thái , lúc

đó biểu đồ phẳng được tạo ra từ phân bố năng lượng. Ban đầu, ta có thể đặt

cho tất cả các năng lượng E. Tiếp theo, ta thực hiện mô phỏng theo

bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng bằng cách lật các spin một

cách ngẫu nhiên. Nếu như năng lượng trước và sau khi lật spin tương ứng là

E1 và E2, xác xuất chuyển trạng thái từ mức năng lượng E1 sang E2 có dạng:

. (2.102)

Làm mới mật độ trạng thái ứng với năng lượng E bằng cách nhân mật độ

trạng thái với hệ số điều chỉnh f > 1, nghĩa là:

(2.103) Hệ số điều chỉnh ban đầu được chọn khá lớn f = f0 = e1 = 2.71828. Tiếp tục thực hiện các bước ngẫu nhiên trong không gian năng lượng và điều chỉnh

mật độ trạng thái cho đến khi biểu đồ chồng chất là phẳng H(E). Lúc này, mật

độ trạng thái hội tụ đến giá trị thực tỷ lệ chính xác với lnf . Sau đó chúng ta

giảm dần hệ số điều chỉnh theo cách , đồng thời điều chỉnh lại biểu

đồ H(E) = 0. Quá trình điều chỉnh cứ tiếp tục bằng cách đặt hệ số hiệu chỉnh

và sẽ kết thúc khi hệ số điều chỉnh bé hơn một giá trị cuối cùng cho trước nào đó (ví dụ: ffinal = exp(10-8) ~ 1.00000001). Do đó, hệ số f đóng vai trò là tham số điều chỉnh độ chính xác của mật độ trạng thái trong suốt

quá trình mô phỏng, đồng thời cũng quyết định thời gian mô phỏng.

Trong vật lý thống kê thì tổng thống kê có thể viết dưới dạng

(2.104)

Khi tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng vật lý như năng lượng,

độ từ hoá, ẩn nhiệt, độ cảm từ… có thể tính được một cách dễ dàng như là

một hàm liên tục theo nhiệt độ

, (2.105)

trong đó, Z là tổng thống kê.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

2.4 Kết luận

Chuyển pha gom cụm tồn tại trong hầu hết các loài sinh vật. Ở đó, các

quy tắc sắp xếp đóng vai trò chủ đạo cùng với tham số trường ngoài (nhiễu)

để cấu thành hành vi. Lý thuyết chuyển pha trong các hệ vật lý được áp dụng

một cách tương tự cho hệ sinh học, mặc dù trong các hệ này chỉ từ vài chục

đến vài triệu đơn vị. Vì vậy, hiểu rõ chuyển pha trong các hệ vật lý có ý nghĩa

vô cùng quan trọng trong việc nghiên cứu hành vi của các loài sinh vật.

Hành vi tập thể của các loài sinh vật, đặc biệt là hành vi gom cụm được

mô phỏng tốt bằng các mô hình spin trong hệ vật lý. Trong chương này chúng

tôi có giới thiệu khái quát về các mô hình spin: Ising, XY, Heisenberg và q-

Potts, đó là cơ sở lý luận quan trọng cho việc lựa chọn mô hình để nghiên cứu

trong luận án.

Ngoài ra, chúng tôi cũng đã trình bày về phương pháp mô phỏng MD và

mô phỏng MC. Trong nghiên cứu về chuyển pha thì phương pháp MC với

thuật toán Metropolis được sử dụng rất hiệu quả. Để nghiên cứu hiệu ứng

kích thước hữu hạn, người ta sử dụng các phương pháp biểu đồ để tính chính

xác các lũy thừa tới hạn. Thuật toán biểu đồ phẳng được đề xuất gần đây bởi

Wang và Landau, đây là phương pháp hữu hiệu trong việc xác định chuyển

pha loại I.

Trên cơ sở lý thuyết này, tùy thuộc vào hành vi của sinh vật và mục đích

nghiên cứu, chúng ta sẽ lựa chọn các mô hình và phương pháp hiệu quả nhất

để áp dụng. Trong chương tiếp theo chúng tôi sẽ giới thiệu các kết quả nghiên

cứu về chuyển pha gom cụm trong các hệ sinh vật bằng các phương pháp mô

phỏng MD và MC.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG

CÁC HỆ TỰ TỔ CHỨC

3.1 Giới thiệu chung

Để áp dụng các mô hình vật lý trong việc nghiên cứu các hành vi của các

loài sinh vật, người ta đưa ra một số khái niệm và đại lượng tương đương giữa

hai hệ này:

- Những tác động từ bên ngoài gây ảnh hưởng đến hành vi của các cá thể

trong nhóm sinh vật được gọi là ―nhiễu‖, nó đóng vai trò tương đương với

một đại lượng vật lý cơ bản, đó là nhiệt độ.

- Hành vi của các loài sinh vật và pha trong mô hình spin sắt từ:

 Khi không có sự tác động của các yếu tố xung quanh, gây nguy hiểm

đến tính mạng, các cá thể trong bầy (đàn) sinh vật sẽ có khuynh hướng

di chuyển tản mát ra xung quanh để tìm kiếm thức ăn. Vị trí và hướng

chuyển động của chúng trong không gian là khác nhau, vì vậy mà

chúng được xem như là một hệ hỗn độn. Hành vi này được gọi là hành

vi tự do và nó tương đương với pha mất trật tự trong mô hình spin.

 Khi có tác động từ bên ngoài thì các cá thể sinh vật sẽ chuyển động lại

gần nhau và tạo thành cụm (flocking), chúng cố gắng sắp xếp theo cùng

một định hướng nhằm tạo nên một khối vững chắc để tự vệ. Hành vi

này được gọi là gom cụm (flocking), và có thể xem như tương đương

với pha trật tự của hệ spin ở nhiệt độ thấp, ở đó các spin sẽ định hướng

song song với nhau.

 Khi tác động từ bên ngoài trở nên rất mạnh và nó có thể gây nguy hiểm

đến tính mạng của các cá thể sinh vật thì chúng sẽ bỏ chạy tán loạn ra

mọi hướng với tốc độ di chuyển nhanh nhất mà chúng có thể. Hành vi

này tương đương với pha mất trật tự ở nhiệt độ cao trong mô hình spin.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

- Chuyển pha: quá trình chuyển từ hành vi này sang hành vi khác của các

loài sinh vật được gọi là ―chuyển pha‖. Điển hình là quá trình thay đổi

hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật, chuyển

pha loại này đã và đang được quan tâm nghiên cứu nhiều trong thời gian

vừa qua bởi các cách tiếp cận khác nhau.

Tóm lại, hầu hết các nhóm động vật có 3 hành vi:

(1) Hành vi không gom cụm khi nhiễu thấp, ở đó các cá thể phân bố trong

trong không gian với định hướng mất trật tự.

(2) Hành vi flocking ở nhiễu trung bình, chúng sắp xếp có cùng định

hướng và có mật độ cao.

(3) Hành vi chạy tán loạn (runaway) ở nhiễu cao, tất cả các cá thể chạy tán

loạn theo các chiều khác nhau. Chúng phân bố trong không gian với định

hướng mất trật tự.

Nói chung, các hệ vật lý là loại hệ cân bằng, ở đó các định luật bảo toàn

được nghiệm đúng, trong khi đó, hệ các loài sinh vật là các hệ không cân

bằng (bao gồm hệ tự tổ chức), các hạt tự điều chỉnh tốc độ và hướng sau khi

tương tác [71], [83], [112], [115], [117], [159], [161], [164], [167]-[169],

[185]-[188]. Tuy nhiên, để nghiên cứu về chuyển pha trong hệ các loài sinh

vật, người ta đã đề xuất các đại lượng tương đương để áp dụng các mô hình

vật lý vào nghiên cứu như thông số trật tự, mật độ....

Lấy ví dụ, thông số trật tự hay độ từ hóa trong các mô hình spin ở hệ vật lý

có công thức tính như sau

. (3.1)

Thông số trật tự này có giá trị bằng 1 (khi hệ hoàn toàn trật tự) và bằng 0 (khi

hệ hoàn toàn mất trật tự).

Tương tự như vậy thì trong nghiên cứu chuyển pha trật tự trong hệ tự tổ

chức, Vecsek đưa ra định nghĩa thông số trật tự là vận tốc chuẩn hóa được xác

định bởi công thức [183]

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

, (3.2)

ở đây, là số đơn vị và là vận tốc tuyệt đối trung bình của các đơn vị

trong hệ. Thông số trật tự này bằng 1 khi tất cả các cá thể cùng hướng và bằng

0 khi các cá thể hoàn toàn hỗn loạn.

Trên thực tế, giá trị tuyệt đối của vận tốc là không xác định, do các loại

tương tác và các mô hình mạng khác nhau. Trường hợp thì các hạt

không chuyển động và mô hình trở thành mô hình mạng với các spin XY sắt

từ. Trong mô phỏng, người ta thường chọn mô dun của vận tốc đủ bé trong

khoảng: .

Đồ thị thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu thu được từ mô hình Vicsek

được biểu diễn trong Hình 3-1, ở đó ta thấy hệ ở pha trật tự khi nhiễu thấp và

mất trật tự khi nhiễu cao, và nhiễu tới hạn giảm theo sự gia tăng số lượng cá

Hình 3-1 Sự phụ thuộc của thông số trật tự vào nhiễu [183].

thể của hệ.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Giá trị của bằng 0 nếu hệ hoàn toàn ngẫu nhiên (Hình 3.2a), bằng 1 tương

ứng với trường hợp chiều chuyển động trật tự hoàn toàn (Hình 3.2d).

Từ mô hình Vicsek, người ta có thể thu được những kết quả quan trọng sau:

- Khi nhiễu cao, mật độ thấp: các hạt chuyển động ngẫu nhiên trong một

mặt phẳng (Hình 3.2a).

- Khi nhiễu thấp, mật độ thấp: Các hạt chuyển động dưới dạng các nhóm

tự hợp theo chiều ngẫu nhiên (Hình 3.2b).

- Khi nhiễu cao, mật độ cao: các hạt chuyển động ngẫu nhiên với một số

tương quan (Hình 3.2c).

- Khi nhiễu thấp, mật độ cao: tất cả các hạt chuyển động trong cùng chiều

Hình 3.2 Một số trạng thái động học của nhóm [183].

được chọn ngẫu nhiên (Hình 3.2d).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Như vậy, trong các mô hình vật lý áp dụng cho hệ sinh vật (hệ không cân

bằng) thì các đại lượng đặc trưng được mô hình theo các quy luật tương tự với

các hệ cân bằng trong vật lý.

3.2 Hiệu ứng góc quan sát

Hình 3-3 Góc quan sát đối với con gần nhất từ cá thể V1 ngược lại V2

và cá thể V2 hướng tới cá thể V1 [28].

3.2.1 Góc quan sát và góc mù

Phân bố trong nhóm các loài sinh vật tạo ra góc giữa chiều chuyển động

của một cá thể và chiều đối với những con lân cận gần nhất của những sinh

vật gọi là góc quan sát, trong phạm vi đó, một cá thể có thể nhìn thấy các con

lân cận của nó, xem Hình 3-3. Những góc này được định nghĩa để chỉ hai

chức năng trong một nhóm chuyển động [28], [78], [162]:

(1) nhận thấy vật săn hoặc các con khác trong đàn.

(2) hưởng lợi về mặt năng lượng khi theo sau các con khác.

Ngược lại phần góc không quan sát được khi các con vật vận động gọi là

góc mù. Tuy nhiên, khi nghiên cứu chuyển động của các loài sinh vật chúng

ta thường quan tâm góc quan sát mà không quan tâm góc mù.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Nhờ khả năng quan sát của mắt mà nó đã giúp các con vật sắp xếp trật tự

trong đàn, tiết kiệm năng lượng, điều chỉnh tốc độ để tránh va chạm. Ví dụ,

chim bay theo đàn, nếu chúng sắp xếp trật tự và bay theo dạng chữ ―V‖ sẽ có

lợi nhất về năng lượng, nếu không trật trự thì năng lượng sẽ bị tiêu hao nhiều

hơn [163], [192]. Hay đối với đàn cá, các cá thể theo sau con khác để tận

dụng lực tạo ra từ dòng nước xoáy từ các con khác tạo ra. Liên quan đến sắp

xếp trong một đàn cá khi schooling, các nhà nghiên cứu đề xuất một cấu trúc

lý tưởng là cấu trúc giả kim cương [190], tuy nhiên đến nay người ta vẫn chưa

Hình 3-4 Phân bố theo chiều các con gần nhất [28].

tìm được cấu trúc này trong thực tế.

Các nghiên cứu sinh học về khả năng quan sát của các loài sinh vật không

đề xuất một góc quan sát nào là tối ưu do sự đa dạng của chúng (Hình 3-4).

Các kết quả nghiên cứu cho thấy rằng, trong flocking của chim Sáo đá, góc quan sát lý tưởng được tìm thấy có giá trị là 90o và còn trong Mòng biển là 45o. Trong các loài cá thì góc quan sát lý tưởng là 90o hoặc 45o. Chẳng hạn đối với cá Tuyết, cá Trích là 45o, nhưng trong loài Pollack có khi là 90o và có khi là 45o [28].

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Gần đây, một có số nghiên cứu về hiệu ứng của góc quan sát trên hành vi

flocking của các loài sinh vật. Cụ thể là Bajec và cộng sự đã đề xuất một mô

hình toán học dựa trên cơ sở logic fuzzy, gọi là quy tắc cá thể trên cơ sở mô

hình fuzzy [9]. Các quy tắc tương tác giữa các cá thể được đề xuất rằng, mỗi

cá thể bị ảnh hưởng bởi 6 đến 7 con lân cận gần nhất. Họ sử dụng mô hình

này để mô tả tương tác vật săn-con mồi, kết quả nghiên cứu chỉ ra rằng, vật

săn bị hỗn loạn với hành vi swarming trong con mồi. Trong khi đó,

Strandburg-Peshkin và các cộng sự nghiên cứu mạng lưới tương tác thị giác,

kết quả là hành vi của mỗi cá thể phụ thuộc vào số con lân cận gần nhất [157].

Đáng lưu ý hơn trong việc nghiên cứu hiệu ứng góc quan sát là kết quả

nghiên cứu của Gao và các cộng sự [64]. Họ đã đưa vào định nghĩa thông số

trật tự và khảo sát được sự phụ thuộc của thông số trật tự

vào nhiễu. Tuy nhiên, kết quả công bố cho thấy rằng, nhiễu tới hạn tăng khi

giảm góc giới hạn từ xuống . Mặt khác, thông số trật tự mà họ thu được

không diễn tả đúng dáng điệu của thông số trật tự tương ứng với các góc quan

sát và . Cụ thể là thông số trật tự giảm khi giảm nhiễu và nó không

Hình 3-5 Thông số trật tự phụ thuộc nhiễu tương ứng với

các góc quan sát xác định [64].

tiến đến giá trị cực đại ( ) khi (xem Hình 3-5).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Để nghiên cứu về vấn đề này, chúng tôi sử dụng mô hình Vicsek chuẩn

kết hợp với định nghĩa góc quan sát để khảo sát ảnh hưởng của góc quan sát

vào hành vi flocking. Chúng tôi xét một số lượng các cá thể giống nhau với

cùng tính chất sinh học: góc quan sát. Hầu hết các con vật đều phân biệt vật

săn do sử dụng khả năng quan sát của chúng. Chúng tôi nghiên cứu chuyển

pha từ trật tự sang không trật tự trong vận động của các cá thể với các góc

quan sát khác nhau.

3.2.2 Phát triển mô hình

Mô hình lý thuyết được đề xuất bởi Vicsek và các cộng sự [183], hệ bao

gồm cá thể, ký hiệu bởi chỉ số trong khoảng từ 1 đến N, chuyển động

trong mặt phẳng (x, y) có kích thước với PBCs. Cá thể thứ i được đặc

trưng bởi vị trí và vận tốc có trị tuyệt đối .

Trong mô phỏng ta sử dụng điều kiện đầu tại thời điểm các hạt

phân bố ngẫu nhiên trong không gian với cùng vận tốc tuyệt đối , chiều

chuyển động của mỗi cá thể được xác định bởi góc có giá trị ngẫu nhiên

trong khoảng từ 0 đến . Quy tắc cập nhật vị trí và chiều ở thời điểm

của cá thể thứ i có dạng

, (3.3)

, (3.4)

(3.5)

ở đây là bước thời gian, và tương ứng là các thành phần vị

trí và hướng của cá thể thứ i ở thời điểm t. Số hạng cuối trong công thức (3.5)

là một số ngẫu nhiên được chọn trong khoảng , được gọi là

nhiễu mà nó đóng vai trò như thông số nhiệt độ trong hệ vật lý. Ký hiệu

là giá trị trung bình của các hướng chuyển động của các cá thể trong

vòng tròn bán kính R quanh các thể i và chính nó, được xác định bởi biểu

thức sau

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

. (3.6)

Như chúng ta đã biết, các loài sinh vật tiếp xúc nhau và với môi trường

bằng các giác quan. Trong đó, mắt là yếu tố quan trọng trong việc hình thành

các hành vi của một nhóm các loài sinh vật. Về cơ bản, cấu trúc mắt của của

các loài sinh vật có thể phân thành hai nhóm:

(i) Các động vật có mắt hướng tới phía trước là trường hợp của hầu

hết vật săn, động vật ăn tạp hoặc động vật ăn thịt (lấy ví dụ như các

loài Chó, Mèo, Cáo, Chồn…).

(ii) Các động vật với mắt ở hai bên của đầu là trường hợp của hầu hết

loài con mồi, cấu trúc mắt của các loài này giúp chúng quan sát bên

ngoài, dễ dàng nhìn thấy vật săn. Dĩ nhiên, động vật có thể là vừa

vật săn và con mồi, chúng phụ thuộc vào hoàn cảnh tác động, ví dụ,

một con cá nhỏ có thể là con vật săn đối với động vật phù du nhưng

lại là con mồi đối với con cá lớn hơn.

Để nghiên cứu hiệu ứng về góc quan sát, chúng tôi giả thiết rằng khả năng

quan sát của cá thể thứ i được xác định bởi hình rẻ quạt có bán kính R. Góc

nhìn toàn phần được xác định bởi góc (xem trên Hình 3-6). Trong trường hợp

, ta thu lại được mô hình Vicsek chuẩn. Để thuận tiện trong việc tính

toán do tính đối xứng góc qua véc tơ định hướng , ta sử dụng ký hiệu

. Như vậy, chỉ có các cá thể lân cận nằm trong tầm nhìn của của cá thể

thứ i mới được xét đến trong quá trình tương tác, nghĩa là được đưa vào tính

toán góc trung bình trên công thức (3.6).

Thông số trật tự của hệ được lấy theo định nghĩa của Vicsek và được viết

lại dưới dạng

, (3.7)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trong đó N là tổng số cá thể. Dĩ nhiên, thông số trật tự là một hàm của nhiễu .

Tương tự như trong lý thuyết nhiệt động lực học, chúng ta sử dụng biểu

thức variance của thông số trật tự (hay còn gọi là cho độ cảm từ)

. (3.8)

Từ đó, chúng ta có thể xác định được giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm

Hình 3-6 Góc quan sát của cá thể thứ i, ký hiệu

là

một nửa góc quan sát.

chuyển pha thông qua việc xác định giá trị mà đạt giá trị cực đại.

3.2.3 Kết quả mô phỏng

Trong tất cả các mô phỏng, chúng tôi sử dụng các tham số mô hình cụ thể

như sau: bán kính đường tròn và bước thời gian , vận tốc tuyệt

đối và mật độ xác định , nghĩa là kích thước không

gian . Tổng số cá thể của hệ được xét là 100, 196, 400, 900,

1600, 2500 và 3600, N được gọi là kích thước hệ. Góc quan sát thay đổi giữa

0 và , hay .

Với mỗi giá trị của nhiễu , thực hiện quá trình mô phỏng để tính toán các

đại lượng cơ bản như thông số trật tự và variance của nó thông qua các biểu

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thức (3.7) và (3.8).

Đầu tiên chúng tôi khảo sát trong trường hợp tới hạn khi góc quan sát của

các cá thể là , chúng ta thu được thông số trật tự phụ thuộc nhiễu biểu

diễn trên các Hình 3-7 với kích thước hệ N = 100 và Hình 3-12 với kích thước

hệ thay đổi , các kết quả thu được hoàn toàn phù hợp với kết

quả mô phỏng của Vicsek (Hình 3-1).

Ta thấy trên Hình 3-7 thông số trật tự đạt giá trị cực đại ( ) ở vùng

nhiễu thấp. Các cá thể trong nhóm chuyển động song song với nhau theo cùng

một hướng nào đó, và hệ được xem như ở pha trật tự. Trạng thái này tương

đương với hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Khi tăng nhiễu lên thì các

cá thể bắt đầu chuyển động với định hướng lệch so với hướng trung bình của

các cá thể lân cận, bởi vậy giá trị trung bình hướng chuyển động của các cá thể

giảm, dẫn đến thông số trật tự giảm. Ở vùng nhiễu cao, các cá thể trong nhóm

sinh vật chuyển động một cách hỗn loạn, dẫn đến thông số trật tự của hệ giảm

dần đến zero. Trạng thái này của hệ được gọi là hỗn độn hay pha mất trật tự ở

vùng nhiễu cao. Nó tương đương với hành vi chạy tán loạn của các loài sinh

vật khi gặp nguy hiểm. Như vậy, dưới tác động của nhiễu hay trường ngoài,

trạng thái của hệ thay đổi từ pha trật tự sang pha mất trật tự và ngược lại, quá

trình này được gọi là chuyển pha.

Để có thể tính toán định lượng giá trị tới hạn của nhiễu mà ở đó hệ xảy ra

chuyển pha, chúng ta tính toán đại lượng variance của thông số trật tự. Giá trị

nhiễu tại điểm cực trị của variance được xác định là giá trị tới hạn . Cụ thể,

và góc quan sát

ta thu được kết quả được chỉ ra trên Hình 3-8, ta thấy variance có một cực đại tại điểm

xét trường hợp kích thước hệ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-7 Thông số trật tự biến thiên theo nhiễu (tính theo đơn vị )

với góc quan sát

và tổng số cá thể

Hình 3-8 Variance của thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu

(tính theo đơn vị ) với góc quan sát

và

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Sau khi xác định mô hình đã được áp dụng là đúng với mô hình Vicsek

chuẩn, chúng tôi nghiên cứu ảnh hưởng của góc quan sát bằng cách khảo sát

sự phụ thuộc của thông số trật tự và variance của nó phụ thuộc nhiễu theo các

góc quan sát

khác nhau. Kết quả sự phụ thuộc của thông số trật tự và variance của nó vào nhiễu được trình bày trên Hình 3-9 và Hình 3-10 tương

ứng với các góc quan sát và . Giá trị nhiễu tới hạn

tính toán được tương ứng với các góc quan sát là

và . Kết quả chỉ rõ rằng, trong tất cả các trường hợp góc quan sát thay

đổi, giá trị thông số trật tự đều bằng 1 tại miền nhiễu thấp ( ) và dần về 0

khi nhiễu cao. Điều này là đúng với ý nghĩa của Landau về thông số trật tự,

đồng thời đã khắc phục tồn tại trong kết quả nghiên cứu của Gao và các cộng

sự (Hình 3-5).

Mặt khác, từ kết quả thu được ta có thể thấy rõ giá trị tới hạn giảm khi

giảm góc quan sát (vị trí cực đại của variance trên Hình 3-10), trong khi

nghiên cứu của Gao thì ngược lại khi góc quan sát giãm trong khoảng từ

đến . Hiệu ứng này có thể được giải thích như sau: Khi góc quan sát giảm

thì tổng số các cá thể lân cận của cá thể thứ i giảm, điều này tương tự như việc

giảm số lượng tương tác trao đổi giữa các spin trong các hệ vật lý. Điển hình

là hiệu ứng từ bề mặt trong các hệ màng mỏng mà ở đó độ từ hoá của lớp bề

mặt bé hơn so với các lớp bên trong khối [48]-[50]. Tổng số tương tác giảm

đồng nghĩa với năng lượng địa phương của mỗi spin giảm, bởi vậy mà hệ sẽ bị

phá vỡ trật tự với lượng kích thích nhiệt bé hơn. Hay nói cách khác, đối với

các loài sinh vật thì trạng thái gom cụm có trật tự sẽ tốt hơn, bền vững hơn khi

khả năng quan sát của các cá thể rộng hơn.

Từ những kết quả mô phỏng thu được này, chúng ta có thể khẳng định

rằng, nghiên cứu của Gao và cộng sự [63] là không phù hợp và chưa giải thích

đúng hiệu ứng góc quan sát đối với hành vi chuyển pha của các loài sinh vật.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-9 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu

với các góc quan

sát

và

Hình 3-10 Variance phụ thuộc vào nhiễu

với các góc quan sát

và

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Tiếp tục khảo sát chi tiết trên nhiều giá trị khác nhau của góc quan sát,

chúng ta thiết lập giản đồ pha trong không gian với biến thiên trong

khoảng từ 0 đến (nghĩa là ). Kết quả chỉ ra trong Hình 3-11 cho

chúng ta thấy giá trị tới hạn giảm nhanh khi giảm góc quan sát từ

Hình 3-11 Giản đồ pha trong không gian

với N = 100, 400 và

900. Pha (I) và (II) ứng với góc quan sát của con mồi và vật săn.

đến , sau đó giảm chậm trong miền .

Chúng ta dễ dàng nhận thấy giản đồ được chia thành hai pha phân cách bởi

góc quan sát . Pha thứ nhất (pha I) tương ứng với góc quan sát rộng

của các loài con mồi có cấu trúc mắt nằm ở hai bên, với khả năng quan sát gần

như toàn bộ không gian xung quanh ( ). Pha thứ hai tương ứng với các

loài thú săn có cấu trúc mắt nằm ở phía trước với miền hội tụ chỉ vào khoảng 30o. Một câu hỏi gợi mở từ điều này là phải chăng có sự tách pha xảy ra tại giá

trị góc quan sát ?.

Một điều đáng chú ý khác khi quan sát từ giản đồ pha là giá trị tới hạn của

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

nhiễu trong pha II là rất bé so với pha I, thêm vào đó là giá trị của nhiễu tới

hạn ứng với một góc quan sát xác định giãm dần theo sự gia tăng tăng kích

thước của hệ từ N = 100, 400 đến 900. Điều này có ý nghĩa là gì? phải chăng

chuyển pha trong hành vi gom cụm của các loài sinh vật chỉ xảy ra đối với các

loài con mồi mà không xảy ra đối với các loài thú săn? Để giải đáp cho các

câu hỏi này, chúng tôi sẽ tiến hành khảo sát giá trị tới hạn của nhiễu phụ thuộc

vào kích thước của hệ với các giá trị của góc quan sát khác nhau.

Chúng tôi trích xuất dữ liệu các trường hợp của góc quan sát trong các

miền ứng với hai pha để đánh giá. Xét trường hợp hệ có góc quan sát trong

miền của pha I, , ta thu được thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu

như trên Hình 3-12. Ta có thể thấy thông số trật tự giảm khi tăng số lượng các

cá thể của hệ. Sự phụ thuộc vào kích thước hệ như trên vẫn giữ nguyên quy

luật đối với góc quan sát ở pha II. Trong pha II chúng tôi khảo sát cho trường

hợp , ta thấy thông số trật tự giảm nhanh về 0 với giá trị tới hạn của

Hình 3-12 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu

với các kích

thước của hệ

và

nhiễu rất bé như trên Hình 3-13.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-13 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu các kích thước của hệ

và

với .

Ta biết rằng, đối với một nhóm sinh vật thì số lượng các cá thể có thể lên

đến hàng triệu con. Bởi vậy mà ta cần phải xét tính chất của hệ với kích thước

lớn hơn. Trong mô phỏng ở đây thì thông số trật tự và variance của nó được

tính toán với kích thước N lên đến 3600 cá thể.

Để thấy rõ được tính hội tụ của giá trị tới hạn , chúng ta diễn tả sự phụ

thuộc này theo nghịch đảo của kích thước hệ N và được tổng quát hoá trên

Hình 3-14. Ta thấy rằng, nhiễu tới hạn giảm xuống khi kích thước của hệ

tăng lên. Đối với các giá trị góc quan sát ở pha I ( ), ta thấy hội tụ

về một giá trị không đổi (hằng số). Ngược lại, đối với góc quan sát

ở pha II thì hội tụ về 0, nghĩa là không có chuyển pha xảy ra ở miền này.

Kết quả này đã cũng cố dự đoán và góp phần khẳng định về sự tách pha theo

góc quan sát tại giá trị tới hạn , phù hợp với những nhận xét trên

giản đồ pha. Tóm lại, chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật chỉ xảy ra

đối với các loài sinh vật thuộc loại con mồi với cấu trúc mắt có góc quan sát rộng hơn 180o, .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-14 Nhiễu tới hạn

như là hàm của nghịch đảo của kích thước

hệ 1/N đối với

Việc khảo sát sự phụ thuộc vào kích thước của hệ không chỉ để mô hình

lý thuyết phù hợp hơn so với một hệ thực của các loài sinh vật, mà nó còn là

một trong những yêu cầu không thể thiếu được trong nghiên cứu chuyển pha

của hệ có kích thước hữu hạn. Nguyên nhân chủ yếu là do PBCs sử dụng

trong mô phỏng làm ảnh hưởng đến tính chất của độ dài tương quan giữa các

cá thể bên trong hệ, dẫn đến sự thay đổi trong hành vi chuyển pha của hệ.

Về mặt lý thuyết thì giá trị cực đại của variance phải tăng khi kích

thước của hệ tăng (tương tự như độ cảm từ trong các hệ spin). Đặc tính này đã

được chúng tôi kiểm chứng trên các Hình 3-15 và Hình 3-16. Kết quả cho

thấy tính đúng đắn của mô hình và những tính toán trong quá trình mô phỏng,

từ đó giúp chúng ta giải thích đúng bản chất hành vi chuyển pha gom cụm

trong các loài sinh vật.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

với các

Hình 3-15 Variance phụ thuộc vào nhiễu và

kích thước của hệ

Hình 3-16 Variance phụ thuộc vào nhiễu và

thước của hệ

với các kích .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Trước khi đưa ra kết luận cuối cùng về hiệu ứng góc quan sát đối với

chuyển pha gom cụm trong các loài sinh vật, chúng ta tính toán thêm một

trong số các đại lượng của luỹ thừa tới hạn. Như chúng ta đã biết thì luỹ thừa

tới hạn trong hệ spin được xác định thông qua hệ thức [60],

trong đó L là kích thước mạng và là một luỹ thừa tới hạn khác. Chú ý là ta

không thể xác định được luỹ thừa tới hạn trong mô hình đang xét. Bởi vậy,

ta đưa vào một định nghĩa tương đương mà nó được xác định dựa trên hệ

thức , với N là tổng số cá thể của hệ và là giá trị cực đại của

variance (công thức (3.8)). Luỹ thừa có thể tính toán một cách dễ dàng

bằng cách làm khớp (fitting) hàm theo hàm bậc nhất

bằng phương pháp bình phương tối thiểu.

Kết quả tính toán luỹ thừa tới hạn này đã được trình bày trên Hình 3-17.

Các điểm trên đồ thị là giá trị tính toán được của , các đường thẳng được vẽ

theo các hàm bậc nhất , với hệ số b thu được từ tính toán làm khớp dữ

liệu. Kết quả tính toán này có độ chính xác khá cao, với sai số chỉ khoảng 1%.

Hình 3-17 Sự phụ thuộc của

vào N tính theo tỷ lệ

Các điểm số liệu gần như hoàn toàn nằm trên đường thẳng lý thuyết.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Về mặt định lượng, ta thấy có sự khác biệt về độ lớn của luỹ thừa tới hạn.

Cụ thể là giá trị đối với các góc quan sát rộng (pha I), và

tương ứng với trường hợp ngược lại của góc quan sát (pha II). Độ dốc

của đường cong phụ thuộc vào kích thước của hệ được thể hiện trên

Hình 3-18 Giá trị cực đại của

phụ thuộc vào N với

và

Hình 3-19 Giá trị cực đại của

phụ thuộc vào N với

và

Hình 3-18 và Hình 3-19 tương ứng với các góc và .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Tóm lại, dưới tác động của môi trường xung quanh, hành vi của các loài

sinh vật thay đổi từ pha gom cụm có trật tự sang pha mất trật tự. Chuyển pha

gom cụm của các loài sinh vật phụ thuộc rất nhiều vào khả năng quan sát của

các loài sinh vật. Khả năng quan sát càng rộng thì hành vi gom cụm càng thể

hiện rõ. Có sự tồn tại của giá trị tới hạn của góc quan sát mà nó

phân chia chuyển pha gom cụm thành hai miền (pha I và II) tương ứng với

cấu trúc mắt của hai loài con mồi và thú săn. Khi số lượng cá thể của hệ tăng

lên thì giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha giảm. Đặc biệt là với hệ

có góc quan sát thì giá trị tới hạn của nhiễu giảm về 0 khi tăng kích

thước của hệ. Bởi vậy, chuyển pha trong hành vi gom cụm của các loài sinh

vật có thể chỉ xảy ra đối với loài con mồi mà thôi.

Mặc dù các mô hình được phát triển dựa trên mô hình của Vicsek đã giải

thích được quá trình chuyển pha của một hệ tự tổ chức từ pha trật tự sang pha

mất trật tự nhưng vẫn chưa giải thích được loại chuyển pha (chuyển pha bậc I

hay bậc II), đặc biệt là không diễn tả được hành vi gom cụm ở miền nhiễu

thấp, mà ở đó hệ chuyển từ pha mất trật tự sang pha gom cụm khi có mặt của

kích thích bên ngoài.

3.3 Đề xuất các mô hình mới để nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các

loài sinh vật

Như chúng ta đã biết, phương pháp mô phỏng MD được ứng dụng có hiệu

quả trong nghiên cứu các quá trình động học của hệ nhiều hạt. Các đại lượng

vật lý thu được chủ yếu dựa trên tập hợp toạ độ và vận tốc của các hạt. Trái

lại, phương pháp mô phỏng Monte-Carlo cho phép chúng ta nghiên cứu trạng

thái cân bằng hoặc giả cân bằng của một hệ, là một trong những phương pháp

tối ưu trong nghiên cứu về chuyển pha của các hệ này. Các đại lượng vật lý

cơ bản được xác định qua các biểu thức trung bình thống kê, chúng có thể

diễn tả tốt các trạng thái và tính chất vĩ mô của một hệ phức tạp.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Trong nghiên cứu chuyển pha trật tự của các hệ các loài sinh vật, cơ sở

nghiên cứu là mô hình Vicsek chỉ giải thích được chuyển pha ở miền nhiễu

cao, nghĩa là chuyển pha từ trật tự sang mất trật tự mà không giải thích được

chuyển pha trong miền nhiễu thấp. Mặc khác, các kết quả nghiên cứu từ đó

cũng cho rằng chuyển pha là liên tục [121], [122], [166], [183]. Tuy nhiên,

quan sát các kết quả thực nghiệm ta nhận thấy chuyển trạng thái diễn ra rất

nhanh [63] nên ta dự đoán là chuyển pha gián đoạn (loại I). Vì vậy chúng tôi

sẽ nghiên cứu rõ các vấn đề chuyển pha này bằng cách đề xuất các mô hình

mới dựa trên cơ sở các mô hình vật lý thống kê.

Để có thể áp dụng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo trong nghiên cứu

chuyển pha gom cụm của các hệ sinh vật, chúng ta cần phải xây dựng mô

hình với định nghĩa của các thế tương tác giữa các cá thể, thiết lập được biểu

thức Hamintonian cho hệ. Trong mục này của chương, chúng tôi sẽ đề xuất

hai mô hình mới dựa trên mô hình đã biết như mô hình spin XY và mô hình

q-Potts, nhằm diễn tả tổng quát hơn về hành vi gom cụm của các loài sinh vật

ở cả vùng nhiễu cao và vùng nhiễu thấp, khắc phục những hạn chế của các mô

hình trước đây được đề xuất bởi các tác giả khác. Đồng thời cũng sẽ xác định

rõ loại chuyển pha.

3.3.1 Mô hình spin XY

Trong mô hình này, chúng ta xét các cá thể trong nhóm giống như các spin

XY, có thể chuyển động tự do với cùng vận tốc tuyệt đối trong mặt phẳng có

kích thước . Hướng chuyển động của cá thể thứ i được diễn tả bởi véc

tơ spin hai thành phần . Định nghĩa này tương tự với vận tốc

trong mô hình Vicsek.

a) Định nghĩa tương tác

Xét một hệ tự tổ chức gồm N phần tử chuyển động liên tục trong mặt

phẳng (x, y). Phần tử thứ i có vị trí và hướng chuyển động với

giá trị tuyệt đối là .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hamiltonian của hệ được định nghĩa dưới dạng

(3.9) ,

trong đó được gọi là tương tác trao đổi giữa các cá thể, nó đóng vai trò

điều khiển hướng chuyển động của từng cá thể dưới sự ảnh hưởng của các cá

thể lân cận. Nghĩa là

(3.10) ,

với

là hệ số tương tác trao đổi mà nó giảm nhanh theo khoảng cách giữa cá thể

thứ i và thứ j. là hằng số dương, đặc trưng cho tương tác sắt từ trong

mô hình spin. Số hạng thứ hai trong phương trình (3.9) có dạng thế Morse

[120]

, (3.11)

ở đây, là các hằng số đặc trưng cho mô hình, là khoảng cách giữa

hai hạt thứ i và j. Với các hệ sinh học, các cá thể trong đàn khi ở quá xa nhau

luôn có xu hướng di chuyển lại gần nhau, sắp xếp cùng hướng để cùng di

chuyển, hợp tác săn mồi, tiết kiệm năng lượng… và giữ khoảng cách để tránh

va chạm khi quá gần. Thế Morse như đã biết là thế tương tác nguyên tử/phân

tử, nó diễn tả lực hút ở khoảng cách xa và lực đẩy ở khoảng cách gần. Dưới

tác dụng của thế Morse, các hạt sẽ có xu hướng tiến lại gần nhau hơn khi bị

kích thích, và không bị va chạm với nhau ở khoảng cách gần. Do sự cạnh

tranh tương tác giữa tương tác trao đổi và thế Morse ở khoảng cách gần, các

hạt có xu hướng tiến lại gần nhau và đồng thời đổi hướng . Để tránh

hiện tượng này, chúng ta đưa thêm vào thế hoá học có biểu thức được viết

dưới dạng như sau

, (3.12)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

với là hằng số, được xác định qua biểu thức và

là tổng số hạt trong một đơn vị diện tích được xác định quanh cá thể i.

Phép lấy tổng trong các công thức (3.10) và (3.11) được tính cho các cá

thể lân cận gần nằm trong vòng tròn bán kính có tâm tại vị trí của hạt đang

xét. Bán kính này được gọi là bán kính cắt (cut-off) sao cho giá trị của thế

tương tác giữa hai hạt đủ bé khi khoảng cách giữa chúng lớn hơn bán kính

này ( ).

b) Thuật toán

Sau khi xác định mô hình, bước tiếp theo, chúng ta xây dựng thuật toán

cho quá trình mô phỏng Monte-Carlo, định nghĩa các quy tắc cập nhật trạng

thái tại mỗi bước mô phỏng, nhằm diễn tả đúng hành vi chuyển động của các

loài sinh vật trong tự nhiên. Trong mô hình này, điều kiện cập nhật trạng thái

được xác định tuân theo thuật toán Metropolis, đại lượng nhiệt độ T trong số

hạng trọng số Boltzmann được thay bởi ―nhiễu‖ . Các bước mô phỏng được

thức hiện như sau:

(1) Chọn một trạng thái ban đầu của hệ

(2) Chọn một phần tử thứ i có vị trí với định hướng

(3) Tính năng lượng địa phương dựa trên các biểu thức (3.10)-(3.12).

(4) Thay đổi vị trí bằng cách tịnh tiến với một đoạn ngẫu nhiên được

chọn trong khoảng (xem trên Hình 3-20a). Vị trí mới của nó thu

được từ công thức

(3.13)

với góc định hướng .

(5) Tính năng lượng địa phương ở trạng thái mới

(6) Tạo một số ngẫu nhiên trong khoảng

(7) Nếu thì ta chấp nhận cập nhật chuyển động theo công

thức (3.13) và đồng thời cập nhật năng lượng mới . Chú ý là đại

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

lượng ở đây chính là nhiễu của mô hình, nó có ý nghĩa tương đương

với nhiệt độ trong vật lý.

(8) Tiếp tục tạo một góc ngẫu nhiên theo tuân theo phân bố Gaussian có

giá trị trong khoảng . Thử thay đổi định hướng theo các

công thức

(3.14)

với (xem trên Hình 3-20b)

(9) Tính năng lượng lượng ở trạng thái có góc định hướng mới.

(10) Tạo lại một số ngẫu nhiên trong khoảng .

(11) Nếu thì ta chấp nhận cập nhật thay đổi hướng.

Hình 3-20 Chuyển động tịnh tiến (a) và quay (b) của cá thể thứ i.

(12) Chuyển đến phần tử khác và tiến hành lại từ bước 3.

Tương tự như trong mô hình spin, chúng ta sử dụng các định nghĩa cho

thông số trật tự (độ từ hoá) là

(3.15) ,

Để đánh giá mức độ gom cụm của các cá thể trong một hệ, ta sử dụng đại

lượng mật độ có dạng

(3.16) .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

c) Kết quả mô phỏng

Bây giờ ta áp dụng thuật toán vừa được trình bày ở phần trên để mô

phỏng tính toán các đại lượng cơ bản của mô hình mới. Chúng ta sử dụng các

tham số mô hình như sau: , bán kính cut-off của thế tương tác trao

đổi (3.10) và thế hoá học (3.12) được chọn là . Các tham số cho

thế Morse là và Thế hoá học

. Vận tốc cực đại có giá trị không đổi . Với mỗi giá trị

nhiễu , thời gian tính cân bằng là bước MC trên mỗi cá thể, số bước

MC trên mỗi cá thể thực hiện để tính toán các đại lượng trung bình là .

PBCs được áp dụng trên cả hai chiều x, y.

Xét hệ gồm cá thể chuyển động tự do trong không gian giới hạn

bởi hình vuông có kích thước mỗi chiều là . Thông số trật tự của hệ và

mật độ các cá thể được xác định thông qua các biểu thức (3.15) và (3.16).

Hình 3-21 là đồ thị của thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu. Ta thấy rằng,

hệ trải qua hai điểm chuyển pha khi nhiễu thấp và nhiễu cao

. Các điểm chuyển pha tách hệ thành 3 pha: pha I, II và III tương

ứng với nhiễu thấp , nhiễu trung bình và nhiễu

cao . Trong pha I, thông số trật tự có giá trị khoảng 0.2 và mật độ

(mật độ trên Hình 3-22). Ta nói, hệ ở pha không trật tự với mật độ

thấp. Pha I có thể xem như tương ứng với hành vi tự do của các loài sinh vật

khi không bị tác động của trường ngoài, ở đó các cá thể phân bố rộng trong

không gian và định hướng mất trật tự để dễ dàng tìm kiếm thức ăn.

Trong trường hợp nhiễu cao , hệ thay đổi từ pha trật tự mật độ

cao (pha II) sang pha không trật tự mật độ thấp (III). Thông số trật tự giảm

nhanh về 0, đồng thời mật độ giảm nhanh xấp xỉ bằng 0. Pha III tương ứng

với hành vi chạy tán loạn của các cá thể trong nhóm sinh vật, chúng chạy tản

ra theo mọi hướng khác nhau với tốc độ nhanh nhất nhằm tránh xa thú săn để

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

bảo toàn sinh mạng. Chuyển pha thứ hai này hoàn toàn phù hợp với các kết

Hình 3-21 Thông số trật tự của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100.

Hình 3-22 Mật độ của hệ phụ thuộc vào nhiễu với N = 100.

quả nghiên cứu trước đây của các tác giả khác.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Để thấy rõ được sự phân bố các cá thể trong hệ, ta đưa ra một số ảnh chụp

vị trí và hướng chuyển động của chúng tại các giá trị nhiễu đặc trưng cho 3

pha (xem các hình vẽ từ Hình 3-23 đến Hình 3-28). Hình 3-23, Hình 3-25 và

Hình 3-27 với các mũi tên màu đỏ là ảnh trích xuất từ quá trình mô phỏng,

các hình kế tiếp tương ứng là ảnh chụp thực nghiệm của một đàn cá [63]. Các

kết quả mô phỏng cho thấy sự phù hợp tốt với quan sát từ kết quả thực

nghiệm [63], [132].

vùng nhiễu thấp, nhưng khoảng cách giữa chúng là không quá lớn so với

phân bố của chúng trên ở vùng nhiễu cao (Hình 3-27).

Hình 3-24 cho thấy các cá thể phân bố mất trật tự về định hướng ở

Như vậy, với việc đề xuất mô hình mới dựa trên một số định nghĩa tương

tác đã biết trong vật lý, chúng ta đã diễn tả được một cách đầy đủ cả hai quá

trình chuyển pha ở vùng nhiễu thấp và ở vùng nhiễu cao. Diễn tả được các

hành vi của các loài sinh vật. Đã khắc phục được hạn chế của các mô hình đã

được đề xuất trước đây bởi các tác giả khác. Tuy nhiên, mô hình mới được đề

xuất vẫn còn tồn đọng một số hạn chế, đó là chưa xác định được loại chuyển

pha gom cụm. Nguyên nhân là phải thực hiện thời gian mô phỏng rất lâu để

có thể đưa hệ về trạng thái cân bằng ở vùng nhiễu thấp. Đôi khi, hệ rơi vào

trạng thái đông cứng từng phần (frozen). Để khắc phục những hạn chế trên,

chúng tôi sẽ tiếp tục đề xuất một mô hình khác dựa trên mô hình q-Potts và sẽ

được trình bày trong mục tiếp theo của chương này.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-23 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở nhiễu bé

Hình 3-24 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ chụp từ clip thực nghiệm [63].

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

pha II,

Hình 3-26 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở

nhiễu trung bình từ chụp từ clip thực nghiệm [63].

Hình 3-25 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

pha III,

Hình 3-28 Hình ảnh phân bố các cá thể cá trong đàn ở nhiễu thấp từ cắt từ clip thực nghiệm [63].

Hình 3-27 Ảnh chụp vị trí và định hướng của các cá thể ở

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

3.3.2 Mô hình q-Potts

Trong phần này, chúng tôi tiếp tục giới thiệu về mô hình mới được đề xuất

để nghiên cứu tốt hơn về chuyển pha trong hành vi gom cụm của các loài sinh

vật, đặc biệt là nhóm sinh vật không có con đầu đàn (hệ tự tổ chức).

Trên quan sát thực tế thì các cá thể sinh vật trong cùng một nhóm có phản

ứng khác nhau trước tác động của môi trường bên ngoài. Ví dụ như khi đối

mặt với một đối tượng kích thích nào đó, một số cá thể sẽ phản ứng ngay với

kích thích này, trong khi đó có một số cá thể sẽ phản ứng chậm hơn hoặc

không có phản ứng gì. Hiện tượng này thường được diễn tả bởi các tập logic

―mờ‖ (fuzzy logic). Hay nói cách khác, hành vi phản ứng của các loài sinh vật

thường là không đồng nhất, cho dù chúng sống chung trong cùng một bầy đàn.

a) Xây dựng mô hình

Dựa vào cơ sở suy luận vừa trình bày ở trên, chúng ta đưa ra giả thiết rằng,

mỗi một cá thể sinh vật được đặc trưng bởi hai bậc tự do, tương ứng với trạng

thái nội tại và trạng thái thể hiện ra bên ngoài của chúng. Trạng thái nội tại có

thể rơi vào một trong hai lựa chọn: hoặc là bị kích thích, hoặc là không bị

kích thích. Trạng thái nội tại này được lượng hoá bởi ký hiệu mà nó chỉ

nhận một trong hai giá trị: nếu như cá thể này bị kích thích và

nếu như nó không bị kích thích. Trạng thái bên ngoài (bậc tự do thứ 2) của

một cá thể được đặc trưng bởi vị trí trong không gian và hướng chuyển

động . Chú ý là trạng thái nội tại là một thông số quan trọng của mô hình và

nó sẽ quyết định cho hành vi của mỗi cá thể trong đàn, nghĩa là quyết định

cho việc tương tác hay không tương tác với các cá thể lân cận.

Chúng ta giả thiết thêm rằng, trạng thái nội tại của một cá thể nào đó ở

trạng thái không bị kích thích (không lo lắng, sợ hãi) thì năng lượng nội tại

của nó có giá trị là (với là một số dương). Ngược lại, năng lượng nội tại

của nó sẽ là nếu như chúng cảm thấy sợ hãi trước tác động của nhiễu bên

ngoài, hay còn gọi là trạng thái bị kích thích. Theo lý thuyết vật lý thống kê

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thì xác suất để cá thể nào đó nằm ở trạng thái không bị kích thích hoặc bị

kích thích có thể xác định được dựa trên các biểu thức [50]:

, (3.17)

trong đó là hàm tổng thống kê và được định nghĩa bởi công thức

Chú ý rằng,

. Bởi vậy, xu hướng chuyển về trạng thái

không bị kích thích sẽ tỷ lệ với

. Từ đó ta tính được tổng số cá thể ở

trạng thái không bị kích thích:

(3.19)

với

là tổng số cá thể trong hệ. Từ đây ta có thể suy ra số các cá thể bị

kích thích

(3.20)

Để ý rằng, trong phương trình trên với nhiễu

thì số cá thể không bị

kích thích sẽ là

. Hay nói cách khác, hệ ở trạng thái mà không có

cá thể nào bị kích thích. Khi nhiễu dần tới vô cùng thì

, suy ra

, lúc này tất cả các cá thể đều bị kích thích. Với một nhiễu bất kỳ

thì tổng số hạt bị kích thích

và không kích thích

được bảo toàn

Bây giờ, chúng ta đặt hệ bao gồm N cá thể này trên một mạng có cấu

trúc tam giác 2 chiều với kích thước

. Kích thước không gian được

chọn sao cho tổng số các nút mạng phải lớn hơn nhiều so với tổng số các

cá thể, nghĩa là

. Nhờ vậy mà các cá thể có thể dịch chuyển dễ

dàng từ nút mạng này sang nút mạng khác. Trạng thái định hướng của mỗi

cá thể được chọn tương tự với spin trong mô hình Potts đồng hồ q trạng

. (3.18)

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

thái, nghĩa là véc tơ định hướng có góc lệnh

so với trục hoành nhận q giá

trị gián đoạn từ 0 đến

, nghĩa là

với

. Để đơn

giản, chúng ta chọn giá trị

tương ứng với 6 lân cận gần nhất của một

cá thể trong mạng tam giác. Lúc đó, trạng thái định hướng của mỗi cá thể

được gán cho các giá trị là

với các góc lệch tương ứng

. Các véc tơ định hướng này được diễn tả trên

Hình 3-29.

Hình 3-29 Sơ đồ các véc tơ định hướng với

trạng thái.

Hamiltonian của hệ được viết dưới dạng

, (3.21)

ở đây tổng được tính trên các cá thể lân cận bậc III. Hệ số được

chọn có dạng của thế Lennard-Jones:

, (3.22)

trong đó là khoảng cách giữa hai cá thể và . Ta chọn để cho

tại khoảng cách (tính theo đơn vị hằng số mạng), là một số

dương. Tương tác giữa hai cá thể và hoàn toàn phụ thuộc vào trạng thái

nội tại của chúng. Cụ thể là nếu cả hai cá thể không bị kích thích

, và trong các trường hợp còn lại. Chú ý là một cá thể ở

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trạng thái bị kích thích vẫn tương tác với các cá thể không bị kích thích, nhờ

vậy mà nó có thể diễn tả được hành vi tập thể của các loài sinh vật.

Đối với mô hình mạng Potts đồng hồ, các hạt định xứ trên các nút mạng,

người ta đã tìm được lời giải chính xác với trường hợp và [13].

Frohlich và Spencer cũng đã tìm được nghiệm gần đúng cho trường hợp rất

lớn [62]. Tuy nhiên cho đến nay người ta vẫn chưa tìm được lời giải chính xác

cho với . Dĩ nhiên, là mô hình Potts linh động mà chúng ta đang

nghiên cứu phức tạp hơn nhiều so với mô hình mạng. Trạng thái của hệ không

chỉ phụ thuộc vào tính linh động của các cá thể, mà còn phụ thuộc vào trạng

thái nội tại của chúng.

b) Nghiên cứu chuyển pha trong hành vi gom cụm

Tương tự như đã thực hiện mô phỏng cho mô hình spin XY, chúng ta sử

dụng lại các đại lượng vật lý cơ bản như thông số trật tự và mật độ được

định nghĩa như sau:

- Thông số trật tự

, (3.23)

trong đó

, (3.24)

với

. (3.25)

Phép tính tổng trong công thức (3.25) được thực hiện trên tất cả các cá thể của

hệ. Ta thấy rằng, khi hệ ở pha trật tự thì tất cả các cá thể có cùng một giá trị

, do đó mà thông số trật tự đạt giá trị cực đại . Đối với pha mất trật

tự, các cá thể có thể nhận tất cả các giá trị khả dĩ của , nghĩa là

với mọi giá trị , dẫn đến .

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

- Mật độ

, (3.26)

với là số cá thể lân cận gần nhất xung quanh . Đại lượng trong công

thức (3.26) đặc trưng cho phân bố không gian của các cá thể. Như vậy, hành

vi của một nhóm sinh vật hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bởi hai tham số

và .

Tiếp theo, chúng ta thực hiện mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo

với các thông số mô hình được chọn như sau: , (tính theo

đơn vị năng lượng), kích thước hệ và 900, kích thước mạng

không gian . Ban đầu, vị trí của các cá thể được gieo ngẫu nhiên

tuân theo phân bố đều trên không gian mạng. Giá trị định hướng của các cá

thể cũng được gieo ngẫu nhiên bởi các số nguyên từ 1 đến 6.

Tại mỗi bước mô phỏng với một giá trị xác định của nhiễu , ta tính toán

số các cá thể bị kích thích dựa trên công thức (3.20). Sau đó ta chọn ngẫu

nhiên cá thể trong hệ và gán trạng thái nội tại của chúng với trạng thái bị

kích thích . Các cá thể còn lại hiển nhiên được gán cho trạng thái không

bị kích thích . Vị trí và định hướng của một cá thể đang xét sẽ được cập

nhật theo thuật toán Metropolis. Quá trình mô phỏng được thực hiện với

bước MC trên một cá thể để đưa hệ về trạng thái cân bằng, các đại

lượng trung bình thống kê được tính toán trên bước MC cho mỗi cá thể.

Để bảo toàn số hạt trong không gian đang xét, ta sử dụng PBCs trên cả hai

chiều x và y.

Xét trường hợp kích thước của hệ , ta thấy trên Hình 3-30 thông

số trật tự phụ thuộc vào nhiễu có dáng điệu tương tự như kết quả mô phỏng

cho mô hình spin XY. Sự phân bố của hệ trong không gian cũng được diễn tả

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trên Hình 3-31. Các đồ thị cho thấy rõ hệ được chia thành 3 pha : pha I ở vùng

Hình 3-30 Thông số trật tự phụ vào thuộc nhiễu với kích

thước hệ

Hình 3-31 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ

nhiễu thấp, pha II ở vùng nhiễu trung bình và pha III ở vùng nhiễu cao.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Ở vùng nhiễu thấp hoặc không có nhiễu, số lượng các cá thể ở trạng thái

bị kích thích là rất ít, chúng gần như không tương tác với nhau, dễ dàng thay

đổi vị trí và định hướng, kết quả là hệ ở pha mất trật tự với mật độ thấp

. Pha này tương ứng với trạng thái tự do của nhóm sinh vật

Hình 3-32 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu

(pha I). Phân bố trong không gian được thể hiện trên Hình 3-32.

Khi kích thích bên ngoài đủ lớn, số lượng các cá thể bị kích thích tăng lên

và chúng bắt đầu tương tác tập thể với nhau. Chúng cố gắng tiến lại gần nhau

và sắp xếp có trật tự để có lợi hơn về năng lượng. Hệ chuyển từ pha I sang

pha II. Trạng thái này của hệ diễn tả hành vi gom cụm của các loài sinh vật

dưới tác động của môi trường xung quanh (xem Hình 3-33).

Trạng thái trật tự này được giữ trong khoảng khá lớn của nhiễu (từ

khoảng 0.1 đến 0.5), cho đến khi nhiễu quá mạnh thì hệ chuyển qua pha mất

trật tự với mật độ thấp (pha III). Pha này tương đương với hành vi chạy tán

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

loạn của các loài sinh vật khi đối mặt với sự nguy hiểm, chẳng hạn như khi bị

Hình 3-33 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu

Hình 3-34 Ảnh chụp cấu hình của hệ tại nhiễu

các loài thú săn tấn công (xem Hình 3-34).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Chuyển pha ở vùng nhiễu cao có thể xem như là chuyển pha thông thường

vì nó có thể tìm thấy trong đa số các mô hình spin cũng như các mô hình khác

dựa trên cơ sở lý thuyết của mô hình Vicsek. Ưu điểm chính của mô hình mới

được đề xuất là đã giải thích được hành vi chuyển pha gom cụm ở vùng nhiễu

thấp, hệ chuyển từ pha mất trật tự sang pha có trật tự khi tăng kích thích.

Chúng ta tiếp tục khảo sát chuyển pha gom cụm phụ thuộc vào kích thước

của hệ. Xét thêm một số trường hợp với và , ta thấy trên Hình

3-35 khi kích thước của hệ tăng, thông số trật tự tăng trong pha trật tự và giảm

trong pha mất trật tự, hiệu ứng này phù hợp với hành vi chuyển pha thông

thường được tìm thấy trong đa số các mô hình spin. Đồng thời, mật độ của hệ

cũng tăng theo kích thước của hệ trong pha trật tự (Hình 3-36). Ngoài ra,

chúng ta còn thấy rằng giá trị tới hạn của nhiễu tại điểm chuyển pha thứ nhất

(vùng nhiễu thấp) giảm theo kích thước của hệ, trong khi đó giá trị tới hạn thứ

Hình 3-35 Thông số trật tự phụ thuộc vào nhiễu với kích

thước hệ

và

hai ở vùng nhiễu cao lại tăng theo kích thước N.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-36 Mật độ phụ thuộc vào nhiễu với kích thước hệ

và

Đáng chú ý hơn là thông số trật tự biến đổi nhanh qua các điểm tới hạn,

kể cả ở vùng nhiễu thấp và nhiễu cao. Quan sát này gợi mở cho câu hỏi là

phải chăng chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại I (chuyển pha không

liên tục)? Để giải đáp cho câu hỏi này, chúng ta sử dụng phương pháp mô

phỏng Monte-Carlo với thuật toán Wang-Landau để xác định hàm phân bố

năng lượng của hệ [186]. Các bước của phương pháp Wang-Landau trong mô

phỏng được viết lại một cách ngắn gọn như sau:

1. Đặt g(E) = 1, H(E) = 0; chọn hệ số điều chỉnh f0 = e1.

2. Chọn một trạng thái ban đầu.

3. Chọn nút mạng i bất kỳ, tính năng lượng E1.

4. Thử lật spin và tính toán năng lượng mới E2.

5. Tính tỷ số  = g(E1)/g(E2).

6. Tạo một số ngẫu nhiên theo phân bố đều nằm trong khoảng 0 < r < 1.

7. Xét điều kiện, nếu  > r, cho phép lật spin.

8. Làm mới các giá trị g(Ei) g(Ei).f, H(E) H(E) + 1.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

9. Nếu biểu đồ chưa phẳng, quay lại bước (3).

10. Nếu biểu đồ phẳng, đặt lại H(E) = 0 và giảm

11. Lặp lại các bước từ (3) đến (10) cho đến khi fi  1

Áp dụng vào các hệ có kích thước và , ta xác định biểu

đồ (histogram) năng lượng của hệ tại các điểm chuyển pha ở vùng nhiễu thấp

và , và ở vùng nhiễu cao và

. Đồ thị hàm phân bố năng lượng được thể hiện trên Hình 3-37 và Hình

3-38 tương ứng với chuyển pha ở miền nhiễu thấp và nhiễu cao. Ta thấy rõ

các đỉnh kép của hàm phân bố theo năng lượng trong cả hai trường hợp, đây

là điều kiện ―cần‖ cho chuyển pha loại I (chuyển pha không liên tục). Ngoài

ra, độ lõm giữa hai đỉnh tăng khi kích thước của hệ tăng, phù hợp với lý

thuyết về chuyển pha loại I. Từ đây, ta có thể kết luận rằng, hệ có hai chuyển

pha tại vùng nhiễu thấp và vùng nhiễu cao và cả hai chuyển pha đều là chuyển

Hình 3-37 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước

và

tại vùng nhiễu thấp.

pha bậc nhất.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Hình 3-38 Hàm phân bố theo năng lượng với các kích thước

và

tại vùng nhiễu cao.

Như chúng ta đã biết trong trường hợp mạng hai chiều, đa số các mô hình

Potts q trạng thái có chuyển pha bậc nhất với . Đối với mô hình Potts

đồng hồ thì người ta đã chỉ tìm được lời giải chính xác cho các trường hợp

[13]. Người ta cũng đã tìm được lời giải gần đúng cho trường hợp giới hạn với rất lớn [62]. Chuyển pha loại I trong mô hình q-Potts thường là do

sự phá vỡ đối xứng do tương tác tầm ngắn giữa các hạt trong hệ [122]. Trong

khi đó, mô hình được xét trong phần này của luận án là mô hình Potts đồng

hồ linh động. Ở đó, các cá thể có thể thay đổi vị trí từ nút mạng này sang nút

mạng khác. Ở vùng nhiễu cao (pha III), hệ ở trạng thái mất trật tự với mật độ

thấp, nó tương ứng với pha tan chảy (liquid) ở nhiệt độ cao thường gặp trong

vật lý chất rắn. Chuyển pha của hệ khối (3 chiều) từ pha rắn sang pha lỏng

thường là chuyển pha loại I [66].

Để kiểm chứng nguyên nhân gây ra chuyển pha ở vùng nhiễu cao, ta xét

thêm mô hình mạng q-Potts với tổng số cá thể bằng với số nút mạng .

Thông số trật tự tương ứng với hai trường hợp được so sánh trên Hình 3-39.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Ta thấy rằng giá trị nhiễu tới hạn tại điểm chuyển pha trong mô hình mạng

(lattce) lớn hơn so với mô hình linh động (lattice gas). Trong mô hình linh

động là trong khi đó đối với mô hình mạng. Tóm lại,

có

Hình 3-39 Thông số trật tự tương ứng với mô hình mạng khí (lattice gas) và mô hình mạng (lattice) có

chuyển pha của hệ ở vùng nhiễu cao là chuyển pha tan chảy bậc nhất.

3.4 Kết luận

Trong chương này của bản luận án, chúng tôi đã trình bày chi tiết những

kết quả nghiên cứu về chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật. Đã khắc

phục được một số hạn chế của một số mô hình và kết quả nghiên cứu của các

tác giả khác.

Chúng tôi đã khảo sát chi tiết sự ảnh hưởng của góc quan sát của các cá

thể trong hệ đối với hành vi chuyển pha. Thông số trật tự không chỉ phụ thuộc

vào góc quan sát, mà nó còn phụ thuộc vào kích thước của hệ. Giá trị tới hạn

của góc quan sát giảm theo tổng số cá thể của hệ N tăng, và giảm nhanh khi

góc quan sát giảm. Đã tìm được giá trị tới hạn của góc quan sát mà

nó chia chuyển pha của hệ thành hai miền. Miền có góc quan sát rộng tương

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

ứng với giá trị nhiễu tới hạn lớn, và nó phù hợp với cấu trúc đôi mắt của

các loài con mồi. Với góc quan sát bé thì giá trị nhiễu tới hạn rất bé và tiến

đến 0 khi kích thước hệ tăng, nó tương ứng với hành vi của các loài thú săn.

Hiệu ứng kích thước hữu hạn cũng đã được khảo sát với các giá trị của góc

quan sát khác nhau, luỹ thừa tới hạn tương ứng với góc quan sát

và tương ứng . Nó thể hiện sự khác biệt rõ rệt của

hành vi gom cụm giữa hai loài thú săn và con mồi. Kết quả nghiên cứu đã giải

thích được hành vi chuyển pha gom cụm là hành vi phổ biến của các loài sinh

vật thuộc loại con mồi. Đôi khi hành vi này thể hiện ở một số loài thú săn có

số lượng ít các cá thể trong đàn.

Chúng tôi đã đề xuất hai mô hình mới để khảo sát chuyển pha gom cụm

của các loài sinh vật, đặc biệt là chuyển pha ở vùng nhiễu thấp. Xây dựng

được biểu thức Hamiltonian cho hệ để có thể áp dụng phương pháp mô phỏng

Monte-Carlo, là phương pháp có hiệu quả cao trong nghiên cứu chuyển pha

trong các hệ nhiều hạt nói chung. Với mô hình spin XY, tương tác giữa các cá

thể được định nghĩa dựa trên thế tương tác trao đổi, thế Morse và thế hoá học.

Kết quả mô phỏng đã diễn tả được quá trình chuyển pha của hệ ở vùng nhiễu

thấp, ở đó hệ chuyển từ pha mất trật tự với mật độ thấp sang có trật tự với mật

độ cao, khắc phục được hạn chế của các mô hình đã được đề xuất trước đây.

Giải thích được hành vi chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật. Dưới tác

động của môi trường xung quanh, hệ trải qua 3 pha pha mất trật tự ở vùng

nhiễu thấp, pha có trật tự ở vùng nhiễu trung bình và pha mất trật tự ở vùng

nhiễu cao. Các pha này tương ứng với các hành vi của các loài sinh vật: hành

vi chuyển động tự do, hành vi gom cụm và hành vi chạy tán loạn.

Mô hình thứ hai được đề xuất dựa trên mô hình Potts linh động q trạng

thái, trong đó trạng thái nội tại của mỗi cá thể được định nghĩa bởi tham số

mà nó có thể nhận một trong hai giá trị: khi nó bị kích thích, và

khi nó không bị kích thích. Đây là tham số chính của mô hình, nó điều khiển

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

kiểu tương tác giữa các cá thể với nhau. Mô hình này không chỉ diễn tả được

toàn bộ quá trình chuyển pha giữa các hành vi của các loài sinh vật ở vùng

nhiễu thấp và nhiễu cao (như đã thu được trong mô hình XY), mà còn giải

thích được chuyển pha tức thời của hệ (chuyển pha loại I). Đã chứng tỏ được

chuyển pha ở vùng nhiễu cao là chuyển pha tan chảy, tương ứng với quá trình

chuyển từ hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn của các loài sinh vật

dưới tác động mạnh của môi trường xung quanh.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

KẾT LUẬN CHUNG

Các hành vi tập thể của các nhóm sinh vật là một trong những chủ đề rất

thú vị của hệ sinh thái – môi trường, được quan tâm nghiên cứu rất nhiều

trong thời gian gần đây bởi các nhà khoa học. Nghiên cứu về hành vi của các

loài sinh vật có thể cung cấp những thông tin quan trọng về nhóm, về môi

trường thông qua các biểu hiện cụ thể của nhóm. Không giống như hệ nhiều

hạt trong vật lý với cơ chế tương tác được hiểu rõ ràng, các hành vi tổ chức và

tự tổ chức của hệ sinh học phức tạp hơn vì đây là hệ không cân bằng.

Hành vi tập thể đã được trình bày một cách khái quát trong Chương 1 của

bản luận án. Một nhóm sinh vật nói chung thường được chia thành hai loại,

nhóm có con đầu đàn được gọi là hệ có tổ chức và nhóm không có con đầu

đàn được gọi là hệ tự tổ chức. Phần thứ hai của chương đã giới thiệu một số

hành vi điển hình trong các hành vi tập thể của các loài sinh vật, bao gồm

hành vi schooling, flocking và swamming. Các mô hình lý thuyết đã và đang

được ứng dụng để nghiên cứu hành vi tập thể cũng đã được giới thiệu một

cách ngắn gọn trong phần cuối của Chương 1.

Chương 2 của bản luận án đã trình bày một số khái niệm cơ bản về lý

thuyết chuyển pha trong vật lý, giới thiệu một số mô hình spin bao gồm spin

Ising, XY và Heisenberg, và mô hình Potts có q trạng thái. Các phương pháp

mô phỏng hiện đại trên máy tính đã được trình bày chi tiết trong phần thứ 2

và phần thứ 3. Mô phỏng trên máy tính không chỉ là công cụ nghiên cứu khoa

học có hiệu quả cao, mà nó còn được xem như là hướng thứ 3 trong các

phương pháp nghiên cứu khoa học. Nó đóng một vai trò quan trọng cho việc

kiểm chứng các kết quả nghiên cứu bằng các phương pháp lý thuyết và thực

nghiệm, đồng thời còn cho phép chúng ta xây dựng những lý thuyết mới để

giải thích những hiện tượng mới trong tự nhiên.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

Nội dung chính của bản luận án được trình bày trong Chương 3 bao gồm

3 bài toán lớn:

- Khảo sát sự ảnh hưởng của góc quan sát lên quá trình chuyển pha trong

hành vi gom cụm (flocking) của các loài sinh vật. Kết quả nghiên cứu

cho thấy rằng khả năng gom cụm của một nhóm sinh vật càng tốt nếu

như góc quan sát của chúng càng rộng. Có thể khẳng định, hành vi gom

cụm chỉ xảy ra phổ biến ở các loài con mồi có cấu tạo của đôi mắt nằm

hai bên, nhờ đó mà khả năng quan sát của chúng rất rộng (có thể đạt đên 360o). Trong khi đó, các loài thú săn mồi có khả năng quan sát rất

hẹp với mức hội tụ cao, nhờ đó mà chúng có thể xác định chính xác vị

trí và tốc độ dịch chuyển của con mồi.

- Hai mô hình mới đã được đề xuất nhằm diễn tả được toàn bộ quá trình

chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật, khắc phục được hạn chế của

các mô hình được đưa ra bởi các tác giả khác trước đây. Cả hai mô hình

không chỉ giải thích được quá trình chuyển pha ở vùng nhiễu cao từ

hành vi gom cụm sang hành vi chạy tán loạn, mà còn giải thích được

chuyển pha ở vùng nhiễu thấp, hệ chuyển từ hành vi tự do sang hành vi

gom cụm. Sử dụng mô hình Potts linh động, chúng ta đã giải thích thêm

được chuyển pha tức thời của hệ, được diễn tả bởi chuyển pha loại I

hay chuyển pha gián đoạn. Bản chất chuyển pha ở vùng nhiễu cao là do

hệ chuyển từ pha đông đặc sang pha lỏng hay pha tan chảy.

Các kết quả nghiên cứu trình bày trong luận án đã được công bố trên các

tạp chí trong nước và quốc tế có uy tín, đóng góp một phần vào kho tàng tri

thức về hành vi của các loài sinh vật nói riêng và các hệ sinh thái-môi trường

nói chung. Nghiên cứu của chúng tôi thêm phần khẳng định rằng, các mô hình

lý thuyết vật lý cũng như các phương pháp mô phỏng hiện đại có thể ứng

dụng rất có hiệu quả trong nghiên cứu các vấn đề phức tạp trong các ngành

khoa học khác. Khẳng định vai trò chủ đạo của vật lý trong nghiên cứu khoa

học liên ngành.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

Chúng tôi nghiên cứu hiệu ứng của góc quan sát về hành vi chuyển pha của hệ các loài sinh vật. Mô hình này tương ứng với hệ spin XY sắt từ mà ở đó sắp xếp của mỗi spin (tức là chúng ta di chuyển con vật) trong một trường xác định và thay đổi chiều di chuyển của các con vật bằng cách đưa nhiễu vào. Kết quả mô phỏng của chúng tôi chỉ ra rằng, nhiễu tới hạn ηc tăng khi tăng góc quan sát ϕ, điều đó có nghĩa rằng góc quan sát nhiều hơn là tốt hơn cho hành vi gom cụm của các loài sinh vật. Nhiễu tới hạn không chỉ phụ thuộc vào góc quan sát ϕ, mà còn vào kích thước hệ N. Do phá vỡ tính đối xứng với các cá thể lân cận, chuyển pha tách thành 2 pha: pha (I) có góc quan sát ϕ > 0.5π ứng với cấu trúc và chức năng mắt của các loài con mồi (miền quan sát φ ∈ [0,2π] hay ϕ > π/2), và pha (II) ứng với các loài thú săn với góc quan sát ϕ < 0.5π. Sự tách pha của quá trình chuyển pha được xác minh bằng cách đánh giá hiệu ứng kích thước hữu hạn và chúng tôi tìm được rằng, mũ tới hạn

đối với (I) và đối với pha (II).

Chúng tôi đề xuất hai mô hình đơn giản đề nghiên cứu hành vi chuyển

pha của một nhóm các loài sinh vật.

(1) Một nhóm các loài sinh vật được xét như một hệ hạt tự sắp xếp. Sử dụng định nghĩa vận tốc của các cá thể trong mô hình Vicsek kết hợp với mô hình spin current, chúng tôi thành lập Hamiltonian của hệ bao gồm thế Morse cho tương tác tầm xa. Chúng tôi cũng đề xuất chi tiết thuật toán cho kỹ thuật mô phỏng Monte-Carlo. Chúng tôi chỉ ra rằng, hệ có 3 pha và trải qua 2 lần chuyển pha tại các miền nhiễu thấp và nhiễu cao. Các pha tương ứng với các hành vi của một nhóm sinh vật: không tập trung, gom cụm và chạy tán loạn. Các kết quả của chúng tôi phù hợp tốt với các quan sát thực nghiệm, ở đó hành vi của nhóm sinh vật thay đổi từ hành vi không tập trung, đến gom cụm tại nhiễu thấp và sau đó trở nên chạy tán loạn khi nhiễu cao. Mục tiêu chính trong mô hình của chúng tôi là áp dụng để khảo sát chuyển pha từ pha không

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

trật tự sang trật thấp. Chú ý rằng tất cả các mô hình đề xuất trước đây chỉ nghiên cứu chuyển pha ở miền nhiễu cao, tức là từ pha trật tự sang mất trật tự.

(2) Một nhóm sinh vật được xét như một hệ các hạt tự sắp xếp bao gồm một trạng thái nội tại. Trạng thái bên ngoài của mỗi cá thể có q trạng thái như trong mô hình Potts tương ứng với q chiều di chuyển. Trạng thái bên ngoài của các cá thể được định nghĩa đơn giản trong mô hình mạng khí đề xuất bởi Csahók và cộng sự. Nhưng trong mô hình của chúng tôi, quy tắc tương tác giữa hai cá thể được điều khiển bởi trạng thái nội tại, tức là không tương tác nếu cả hai cá thể ở trạng thái không bị kích thích của nhiễu. Khi có nhiễu bên ngoài, chỉ có Ne ≤ N cá thể ở trạng thái kích thích, các cá thể còn lại không ở trạng thái kích thích. Chúng tôi chỉ ra rằng khi tăng nhiễu, hệ tồn tại 3 pha tách ra tại hai điểm chuyển pha, chuyển pha thứ nhất xảy ra ở nhiễu thấp và thứ hai ở nhiễu cao. Ba pha là không trật tự, trật tự và pha tan chảy tương ứng với các hành vi của sinh vật: trạng thái không tập trung, gom cụm và chạy tán loạn. Tất cả các chuyển pha đều là trật tự bậc nhất. Chú ý rằng, chuyển pha giữa pha không trật tự và trật tự tại nhiễu thấp là không quan sát được từ các mô hình trước đây. Hơn nữa, chuyển pha giữa không tập trung đến gom cụm là một hành vi quan trọng của các hệ sinh học khi chúng đối mặt với nguy hiểm.

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

1. Study on the phase transition behavior of fishes schooling system

Nguyen phuoc the, Lee Sang- Hee, Van Thanh Ngo and Nguyen Ai Viet

Communications in Physics, Vol. 23, No. 2 (2013), pp. 121-125

2. Effect of vision angle on the phase transition in flocking behavior of

animal groups

P. The Nguyen, Sang-Hee Lee and V. Thanh Ngo,

Phys. Rev. E 92, 032716 (2015)

3. Monte Carlo Simulation on the phase transition of animal group

P. The Nguyen, V. Thanh Ngo,

Communications in Physics, Vol. 25, No. 1 (2015), pp. 51-57

4. Monte-Carlo Study of the Collective Behavior in Animal Group: A q-state

Potts model

P. The Nguyen, V. Thanh Ngo,

Communications in Physics, Vol. 25, No. 3 (2015), pp. 203-210

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Adioui M., Treuil J. P. and Arino O., alignment in a fish school: a mixed

[2] Akabli K. and Diep H. T., Effects of ferromagnetic ordering and phase

Lagrangian–Eulerian approach Ecol. Modell. 167, 19 (2003).

transition on the resistivity of spin current, J. Appl. Phys. 103, 07F307

[3] Aldana M., Larralde H. and Vazquez B., On the emergence of collective

(2008).

order in swarming systems: A recent debate, International Journal of

[4] Aldana M., Dossetti V., Huepe C., Kenkre V. M. and Larralde, H., Phase

Modern Physics B 23, 3661–3685 (2009).

Transitions in Systems of Self-Propelled Agents and Related Network

[5] Alder B .J., and Wainwright T. A., Phase Transition in Elastic Disks,

Models, Phys. Rev. Lett. 98. 095702 (2007).

[6] Aoki I., A simulation study on the schooling mechanism in fish. Bulletin of

Phys. Rev. 127, 359-61 (1962).

[7] Baglietto G. and Albano E. V., Computer simulations of the collective

the Japanese Society of Scientific Fisheries 8, 1081–1088 (1982).

displacement of self-propelled agents, Computer Physics

[8] Baglietto G., and Albano E. V., Nature of the order–disorder transition in

Communications 180, 527–531 (2009).

the vicsek model for the collective motion of self-propelled particles,

[9] Baglietto G., and Albano E. V., Finite-size scaling analysis and dynamic

Physical Review E 80, 050103 (2009).

study of the critical behavior of a model for the collective displacement

[10] Bajec I. L., Zimic N., and Mraz M., Simulating flocks on the wing: the

of selfdriven individuals, Physical Review E 78, 021125 (2008).

fuzzy approach, Journal of Theoretical Biology 233, 199-220 (2005).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[11] Ballerini M., et al., Interaction ruling animal collective behavior depends

on topological rather than metric distance: Evidence from a field study,

[12] Ballerini M., et al., Empirical investigation of starling flocks: a

PNAS 105, 1232-1237 (2008).

benchmark study in collective animal behaviour, Animal Behaviour 76,

[13] Baxter R. J., Exactly Solved Models in Statistical Physics, (Academic

201-215 (2008).

[14] Becco C., Vandewalle N., Delcourt J. and Poncin P., Experimental

Press, California, USA 1982).

evidences of a structural and dynamical transition in fish school, Physica

[15] Beekman M., Sumpter D. J. T. and Ratnieks F. L. W., Phase transition

A 367, 487–493 (2006).

between disordered and ordered foraging in Pharaoh’s ants, Proceeding

of the National Academy of Sciences of the United States of America 98,

[16] Belmonte J. M., Thomas G. L., Brunnet K. G., de Almeida, R.M.C.and

9703–9706; Letters 100, 248702 (2001).

Chaté H., Self-propelled particle model for cell-sorting phenomena,

[17] Bertin E., Droz M. and Grégoire G., Hydrodynamic equations for self-

Physical Review Letter 100, 248702 (2008).

propelled particles: microscopic derivation and stability analysis,

[18] Bertin E., Droz M. and Grégoire G., Boltzmann and hydrodynamic

Journal of Physics 42, 44 (2009).

description for self-propelled particles, Physical Review E 74, 022101

[19] Bhattacharya K. and Vicsek T., Collective decision making in cohesive

(2006).

[20] Binder K., Phase Transition and Critical Phenomena, edited by Domb C.

flocks, New Journal of Physics, 12 (2010).

and Lebowitz J. L., (Academic, London, 8 1983).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[21] Buhl J., Sumpter D. J. T., Couzin I. D., Hale J. J., Despland E., Miller

E.R. and Simpson S. J., From disorder to order in marching locusts,

[22] Camazine S., Deneubourg J. L., Franks N. R., Sneyd J., Theraulaz G. and

Science 312, 1402–1406 (2006).

Bonabeau E., Self-organization in Biological Systems, (Princeton

[23] Carrillo J. A., Fornasier M., Rosado J. and Toscani G., Asymptotic

University Press 2001).

flocking dynamics for the kinetic Cucker-Smale model, SIAM J.

[24] Cashing D. H. and Harden-Jone F. R., Why do Fish School?, Nature 218,

Mathematical Analysis 42 (1), 218–236 (2010).

[25] Chaté H., Ginelli F. and Montagne R., Simple model for active nematics:

918 (1968).

Quasi-long-range order and giant fluctuations, Physical Review Letters

[26] Chaté H., Ginelli F., Grégoire G., Peruani F. and Raynaud F., Modeling

96, 180602 (2006).

collective motion: variations on the vicsek model, The European

[27] Chaté H., Ginelli F., Grégoire G. and Raynaud F., Collective motion of

Physical Journal B 64, 451–456 (2008a).

self-propelled particles interacting without cohesion, Physical Review E

[28] Charlotte K. Hemelrijk, and Hanno H., Schools of fish and flocks of

77, 046113 (2008).

birds:their shape and internal tructure by self-organization, Interface

[29] Cisneros L. H., Kessler J. O., Ganguly S. and Goldstein R. E., Dynamics

Focus 2, 726–737 (2012).

of swimming bacteria: Transition to directional order at high

[30] Copeland M. F. and Weibel D.B., Bacterial swarming: a model system

concentration, Phys. Rev. E 83(6), 061907 (2011).

for studying dynamic self-assembly, Soft Matter 5, 1174–1187 (2009).

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[31] Couzin I. D., Collective cognition in animal groups, (Princeton

[32] Couzin I. D. and Krause J., Self-organization and collective behavior in

University, Princeton, NJ 08544, USA 2009).

[33] Couzin I. D., Krause J., Franks N. R. and Levin S. A., Effective

vertebrates, Advances in the Study of Behavior 32, 1–75 (2003).

leadership and decision-making in animal groups on the move, Nature

[34] Cresswell W., Flocking is an effective anti-predation strategy in

433, 513–516 (2005).

[35] Csahok Z. and Czirok A., Hydrodynamics of bacterial motion, Physica A

redshanks, Tringa tetanus, Anim. Behav. 47, 433 (1994).

[36] Cucker F. and Smale S, Emergent behavior in flocks, IEEE Transactions

243, 304 (1997).

[37] Cucker F. and Smale S., On the mathematics of emergence, Japanese

on Automatic Control 52, 852–862 (2007).

[38] Cucker F. and Huepe C., Flocking with informed agents, Mathematics in

Journal of Mathematics 2, 197–227 (2007).

[39] Cucker F. and Dong J. G., Avoiding collisions in flocks, IEEE

Action 1, 1–25 (2008).

[40] Czirok A. and Vicsek T., Collective behavior of interacting self-

Transactions on Automatic Control 55, 1238–1243 (2010).

[41] Czirók A., Stanley H. E. and Vicsek T., Spontaneously ordered motion of

propelled particles, Physica A 281, 17 (2000).

self-propelled particles, Journal of Physics A: Mathematical and General

[42] Czirók A., Ben-Jacob E., Cohen I. and Vicsek T., Formation of complex

30, 1375–1385 (1997).

bacterial colonies via self-generated vortices, Physical Review E 54 (2),

1791–1801 (1996).

100

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[43] CzirókA., Matsushita M. and Vicsek T., Theory of periodic swarming of

bacteria: Application to proteus mirabilis, Physical Review E 63 (3),

[44] Daniel A. P. Reid, Hildenbrandt H., Padding J. T. and Hemelrijk C. K.,

031915 (2001).

Fluid dynamics of moving fish in a two-dimensional multiparticle

[45] David P. Landau and Kurt Binder K., Aguide to Monte Carlo

collision dynamics model, Physical Review E 85, 021901 (2012).

Simulationsin Statistical Physics, (Cambridge University Press, The

[46] Demsar J. and Bajec I. L., Simulated Predator Attacks on Flocks: A

Edinburgh Building, Cambridge CB2 8RU, UK 2009).

[47] Diehl H. W., Phase Transitions and Critical Phenomena, edited by

Comparison of Tactics, Artificial Life 20,0343-359 (2014).

[48] Diep H. T., Quantum effects in Heisenberg antiferromagnetic thin films,

Domb C. and Lebowitz J. L., (Academic, London, 10 1986).

[49] Diep H. T., Physique statistique: cours, exercices et problemes corriges,

Phys. Rev. B 43, 8509 (1991).

[50] Diep H. T., Statistical Physics: Fundaments and application to

(Ellipses Editions, Paris, France, 41 2006).

condensed matter, lectures, problems and solutions, (World Scientific,

[51] Dinh N. Thao and Nguyen P. The, Effect of LO Phonon-Plasmon

Singapore 2015).

Coupling on the Transient Self-consistent Field in GaAs p-i-n Diodes,

[52] D'Orsogna M. R., Chuang Y. L., Bertozzi A. L. and Chayes L. S., Self-

Journal of the Physical Society of Japan 82, 104701 (2013).

propelled particles with soft-core interactions: Patterns, stability, and

[53] Deseigne J., Dauchot O., and Chaté H., Collective motion of vibrated

collapse, Phys. Rev. Lett. 96, 104302 (2006).

polar disks, Physical Review Letters 105, 098001 (2010).

101

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[54] Eriksson A., Jacobi M.N., Nystrom J. and Tunstrom K., Determining

interaction rules in animal swarms, Behavioral Ecology 21, 1106–1111

[55] Erdmann U., Ebeling W. and Mikhailov A. S., Noise-induced transition

(2010).

from translational to rotational motion of swarms, Physical Review E

[56] Faria J. J., Dyer J. R. G., Holt N., Waters D., Ward A. J. W., Clement R.,

71, 051904 (2005).

Goldthorpe J., Couzin I. D. and Krause J., A novel method for

investigating the collective behaviour of fish: introducing robofish,

[57] Faria J. J., Dyer J. R. G., Tosh C. R. and Krause J., Leadership and social

Behav. Ecol Sociobiol 64, 1211-1218 (2010).

information use in human crowds, Animal Behaviour 79 (4), 895–901

[58] Franks N. R., Gomez N., Goss S. and Deneubourg J. L., The blind

(2010).

leading the blind in army ant raid patterns: Testing a model of self-

organization (hymenoptera: Formicidae), Journal of Insect Behavior 4,

[59] Ferrenberg A. M. and Swendsen R. H., Optimized Monte Carlo data

583–607 (1991).

[60] Ferrenberg A. M. and Landau, D. P, Critical behavior of the three-

analysis, Phys. Rev. Lett. 63, 1195 (1989).

dimensional Ising model: A high-resolution Monte Carlo study, Phys.

[61] Frenkel D., Understanding Molecular Simulation: from algorithms to

Rev. B 44, 5081 (1991).

[62] Frohlich J. and Spencer T., Absence of diffusion in the Anderson tight

applications, (Academic press 2002).

binding model for large disorder or low energy, Communications in

Mathematical Physics 81, 527-602 (1981).

102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[63] Gautrais J., Ginelli F., Fournier R., Blanco S., Soria M., et al,

Deciphering Interactions in Moving Animal Groups, PLoS Comput.

[64] Gao J., Havlin S., Xu X., and Stanley H. E., Angle restriction enhances

Biol. 8(9): e1002678 (2012).

synchronization of self-propelled objects, Phys. Rev. E 84, 046115

[65] Garcimartín A., Pastor J. M., Ferrer L. M., Ramos J. J., Gómez C. M. and

(2011).

I. Zuriguel, Flow and clogging of a sheep herd passing through a

[66] Ginelli F., Peruani F., Bar M. and Chaté, H., Large-scale collective

bottleneck, Phys. Rev. E 91, 022808.

[67] Gomez L., Dobry A., Geuting C., Diep H. T. and Burakovsky L., Phys.

properties of self-propelled rods, Phys. Rev. Let. 104, 184502 (2010).

Dislocation Lines as the Precursor of the Melting of Crystalline Solids

[68] Gould H.. Tobochnik J. and Christian W., An Introdution to Computer

Observed in Monte Carlo Simulations, Rev. Lett. 90, 095701 (2003).

Simulation Methods: Applications to Physical Systems, (Pearson-

[69] Grancic P. and Stepanek F., Swarming behavior of gradient-responsive

Addison Wesley 2007).

[70] Gregoire G., Chaté H. and Tu Y., Moving and staying together without a

Brownian particles in a porous medium, Phys. Rev. E 84, 021925 (2011).

[71] Gregoire G. and Chaté H., Onset of collective and cohesive motion,

leader, Physica D 181, 157–170 (2003).

[72] Grossman D., Aranson I. S. and Ben J. E., Emergence of agent swarm

Physical Review Letters 92, 025702 (2004).

migration and vortex formation through inelastic collisions, New Journal

[73] Grunbaum D. and Okubo A., Frontiers in Mathematical Biology, S.A.

of Physics 10, 023036 (2008).

Levin (Ed.), (Springer, Berlin 1994).

103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[74] Ha S. Y., Lee K. and Levy D., Emergence of time-asymptotic flocking in

a stochastic cucker-smale system, Communications in Mathematical

[75] Ha, S. Y. and Liu J. G., A simple proof of the cucker-smale flocking

Sciences 7, 453-469 (2009).

dynamics and mean-field limi, Communication in Mathematical Sciences

[76] Ha S. Y. and Tadmor E., From particle to kinetic and hydrodynamic

7, 297–325 (2009).

descriptions of flocking, Kinetic and Related Models 1, 415–435

[77] Haile J. M., Molecular dynamics simulation. Elementary methods, (John

(2008).

[78] Hall S. J., Wardle C. S. and MacLennan D. N., Predator evasion in a fish

Wiley & Sons, Inc. New York, NY, USA 1992).

school: test of a model for the fountain effect, Marine Biology 91,143-

[79] Hamilton W. D., Geometry for the Selfish Herd, J. Theor. Biol. 31, 295-

148 (1986).

[80] Harvey Gould, Jan Tobochnik and Wolfgang Christian, An introdution to

311 (1971).

computer simulation methods application to physical systems, (Pearson

[81] Hemelrijk C. K. and Hildenbrandt H., Self-organised shape and frontal

Addision Wesley 2007).

[82] Hemelrijk C. K. and Kunz H., Density distribution and size sorting in fish

density of fish schools, Ethology 114, 245–254 (2008).

schools: an individual-based model, Behavioral Ecology 16 (1), 178–

[83] Henkel M., Hinrichsen H. and Lbeck S., Non-Equilibrium Phase

187 (2005).

[84] Heppner F., Three-dimensional structure and dynamics of bird flocks. In

Transitions: Volume 1: Absorbing Phase Transitions, (Springer 2009).

Animal Groups in Three Dimensions, Parrish J. K. and Hamner W. M.

(Eds.), (Cambridge University Press, 1997, pp 68 - 89).

104

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[85] Hermann Haken, Synergetics; An Introduction, (Springer – Verleg,

[86] Hoare D. J., CouzinI. D., Godin J. G. J. and Krause, J., Context-

Berlin Heidelberg, New York, 1977).

dependent group size choice in fish, Animal Behaviour 67, 155–164

[87] Hockney R. W., Goel S. P. and Eastwood J., Quiet High Resolution

(2004).

[88] Huth A. and Wissel, C., The simulation of fish schools in comparison

Computer Models of a Plasma, J. Comp. Phys. 14, 148 (1974).

[89] Huepe C. and Aldana M., Intermittency and clustering in a system of self

with experimental data, Ecological Modelling 75-76, 135–145 (1994).

[90] Huth A. and Wissel C., The simulation of the movement of fish schools,

Leadership in fish shoals, Fish and Fisheries 1, 82–89 (2000).

[91] Huth A. and Wissel C., The simulation of fish schools in comparison with

Journal of Theoretical Biology 156, 365–385 (1992).

[92] Huepe C. and Aldana M., New tools for characterizing swarming

experimental data, Ecol. Modell., 75, 135 (1994).

systems: A comparison of minimal models, Physica A 387, 2809–2822

[93] Ihle T., Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic

(2008).

[94] Inada Y. and Kawachi K., Order and Flexibility in the Motion of Fish

equations, Physical Review E 83, 030901 (2011).

[95] Janke W. and Kleinert H., First order in 2D disclination melting, Phys.

Schools, J. Theor. Biol. 214, 371 (2002).

[96] Kadowaki H., Ubukoshi K., et al, G., Experimental Study of New Type

Letters 105A, 134 (1984).

Phase Transition in Triangular Lattice Antiferromagnet VCl2, J. Phys.

[97] Kosterlitz M. and Thouless D. J., Metastability and Phase Transitions in

Soc. Jpn. 56, 4027 (1987).

TwoDimensional Systems, J. Phys. C 6, 1181 (1973).

105

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[98] Krause J., Ruxton G. D. and Krause S., Swarm intelligence in animals

[99] Krause J., Hoare D., Krause S., Hemelrijk C. K., Rubenstein D. I., Katz

and humans, Trends in Ecology and Evolution 25, 28–34 (2010).

Y., Tunstrom K., Ioannou C. C., Huepe C. and Couzin I. D., Inferring

the structure and dynamics of interactions in schooling fish, Proceeding

of the National Academy of Sciences of the United States of America

[100] Kulinskii V. L. and Chepizhko A. A., The kinetic regime of the vicsek

(2011).

[101] Kunz H., and Hemelrijk C. K., Applied Animal Behavior, Science 138,

model, Mathematical and Statistical Physics 1198, 25 (2009).

[102] Kurt Binder and Heermann D. W., Monte Carlo Simulation in Statistical

142-151 (2012).

Physics, Graduate Texts in Physics, ( Springer-Verlag Berlin Heidelberg

[103] Kudrolli A., Lumay G., Volfson D. and Tsimring L.S., Swarming and

(2010).

swirling in self-propelled polar granular rods, Physical Review Letters

[104] Kunz H. and Hemelrijk C.K., Artificial fish schools: collective effects of

100, 058001 (2008).

[105] Landau L. D and Lifshitz, Statistical physics, (Pergamon Presss, Oxford.

school size, body size and body form, Artificial Life 9, 237–253 (2003).

[106] Lauga E. and Powers T. R., The hydrodynamics of swimming

New York. Toronto. Sydney. Braunshweig 1969).

[107] Lee S. H., Pak H. K. and Chon T. S., Dynamics of prey-flock escaping

microorganisms, Rep. Prog. Phys. 72, 096601 (2009).

behavior in response to predator’s attack, Journal of Theoretical

[108] Lett C. and Mirabet V., Modelling the dynamics of animal groups in

Biology 240 (2), 250-259 (2005).

motion, South African Journal of Science 104, 192 (2008).

106

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[109] Lukeman R., Li Y. X. and Edelstein-Keshet L., Inferring individual

rules from collective behavior, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 107,

[110] Major P. F. and Dill L. M., The three-dimensional structure of airborne

12576–12580 (2010).

[111] Maldonado-Coelho M. and Marini M. A., Mixed-species bird flocks

bird flocks, Behavioral Ecology and Sociobiology 4, 111–122 (1978).

from Brazilian Atlantic forest: the effects of forest fragmentation and

seasonality on their size, richness and stability, Biol. Conserv. 116, 19

[112] Mehandia V. and Nott P., The collective dynamics of self-propelled

(2004).

[113] Mendelson N. H., Bourque A., Wilkening K., Anderson K. R.and

particles, Journal of Fluid Mechanics 595, 239–264 (2008.).

Watkins, J.C., Organized cell swimming motions in Bacillus subtilis

colonies: Patterns of short-lived whirls and jets, Journal of Bacteriology

[114] Metropolis N., Rosenbluth A. W., Rosenbluth M. N., Teller A. H. and

181, 600–609 (1999).

Teller. E., Equation of State Calculations by Fast Computing Machines,

[115] Mikhailov A. S. and Zanette D. H., Noise-induced breakdown of

J. Chem. Phys. 21, 1087 (1953).

[116] Mermin N. D., Crystalline Order in Two Dimensions, Phys. Rev. 176,

coherent collective motion in swarms, Phys. Rev. E 60, 4571 (1999).

250 (1968); Errata Phys. Rev. B 20, 4762 (1979); Phys. Rev. B 74,

[117] Mishra S., Baskaran A. and Marchetti M. C., Fluctuations and pattern

149902 (2006).

formation in self-propelled particles, Physical Review E 81, 061916

(2010).

107

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[118] Mogilner A. and Edelstein-Keshet L., Spatio-angular order in

populations of self-aligning objects: formation of oriented patches,

[119] Murray J. D., Biology—Mathematical models, Mathematical Biology,

Physica D 89, 346(1996).

[120] Morse P. M., Diatomic Molecules According to the Wave Mechanics. II.

vols. 1 and 2, (Springer, New York 2003).

[121] Nagy M., Daruka I. and Vicse T., New aspects of the continuous phase

Vibrational Levels, Phys. Rev. 34, 57 (1929).

transition in the scalar noise model (snm) of collective motion,

[122] Nagy M., Ákos Z., Biro D. and Vicsek T., Hierarchical group dynamics

Physica A 373, 445–454 (2007).

[123] Nelson D. R. and Halperin B. I., Dislocation-mediated melting in two

in pigeon flocks, Nature 464, 890–893 (2010).

[124] Ngo V. Thanh and Diep H. T., Stacked triangular XY antiferromagnets:

dimensions, Phys. Rev. B 19, 2457(1979).

End of a controversial issue on the phase transition, J. Appl. Phys. 103,

[125] Ngo V. Thanh, Hoang D. Tien, Diep H. T., First-order transition in the

07C712 (2008).

XY model on a fully frustrated simple cubic lattice, Phys. Rev. E 82,

[126] Nino Russu, et al, Self-organization of Molecular systems, (Springer

041123 (2010).

[127] Niwa H. S., Newtonian dynamical apprach to fish school, J. Theor. Biol.

2009).

[128] Odor G, Universality classes in nonequilibrium lattice systems, Reviews

181, 47 (1996).

[129] Okubo A., Diffusion and Ecological Problems: Mathematical Models,

of Modern Physics 76, 663 (2004).

Lecture Notes in Biomathematics 10, (Springer-Verlag, New York

1980).

108

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[130] Pang T., An Introduction to Computational Physics, (Cambridge

[131] Parrish J. K., Viscido S. V. and Grunbaum, D., Self-organized fish

University Press, New York 2006)

schools: An examination of emergent properties, Biol. Bull. 202, 296

[132] Partridge B. L., Pitcher T. J., Cullen J. M. and Wilson J., The 3-

(2002).

dimensional structure of fish schools, Behavioral Ecology and

[133] Partridge B. L., The structure and function of fish schools, Scientific

Sociobiology 6, 277-288 (1980).

[134] Partridge B. L., Pitcher T., Cullen J. M. and Wilson J., The three-

American 246, 144-123 (1982).

dimensional structure of fish schools, Behavioral Ecology and

[135] Perea L., Elosegui P. and Gomez G., Extension of the cucker-smale

Sociobiology 6, 277-288 (Springer 1980).

control law to space flight formations, Journal of Guidance, Control, and

[136] Peruani F., Deutsch A. and Bär M., Nonequilibrium clustering of self-

Dynamics 32, 526-536 (2009).

[137] Peruani F., Deutsch A. and Bär M., A mean-field theory for self-

propelled rods, Physical Reveiw E 74, 030904 (2006).

propelled particles interacting by velocity alignment mechanisms,

[138] Peruani F., Klauss T., Deutsch A. and Voss-Boehme A., Traffic jams,

European Physical Journal Special Topics 157, 111 (2008).

gliders, and bands in the quest for collective motion of self-propelled

[139] Petit O. and Bon R.,. Decision-making processes: The case of collective

particles, Physical Reveiw Letters 106, 128101 (2011).

[140] Pitcher T. J. (Ed.) and Parrish, J. K., The Behavior of Teleost Fishes,

movoments, Behavioural Processes 84, 635–647 (2010).

(Chapman & Hall, New York 1993).

109

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[141] Pimentel J.A., Aldana M., Huepe C. and Larralde H., Intrinsic and

extrinsic noise effects on phase transitions of network models with

[142] Parrish J. K. and Hamner W. H. (Eds.), Animal groups in three

applications toswarming systems, Physical Review E 77, 061138 (2008).

[143] Quera V., Beltran F. S. and Dolado R., Flocking behaviour: Agent-

dimensions, (Cambridge University Press 1997).

based simulation and hierarchical leadership, Journal of Artificial

[144] Rappel W. J., Nicol A., Sarkissian A. and Levine H., Self-organized

Societies and Social Simulation 13 (2), 8 (2010).

vortex state in two-dimensional dictyostelium dynamics, Physical

[145] Reebs S. G., Can a minority of informed leaders determine the foraging

Review Letters 83, 1247–1250 (1999).

[146] Reynolds C. W., Flocks, herds, and schools: A distributed behavioral

movements of a fish shoal? Animal Behaviour 59, 403–409 (2000).

[147] Riedel I. H., Kruse K. and Howard J., A self-organized vortex array of

model, Computer Graphics 21, 25–34 (1987).

[148] Romanczuk P., Couzin I. D. and Schimansky G. L., Collective motion

hydrodynamically entrained sperm cells, Science 309, 300–303 (2005).

due to individual escape and pursuit response, Physical Review Letters

[149] Romey W. L., Individual differences make a difference in the

102, 010602 (2009).

trajectories of simulated schools of fish, Ecological Modelling 92, 65–77

[150] Sayama H., Dionne S., Laramee C. and Wilson D.S., Enhancing the

(1996).

architecture of interactive evolutionary design for exploring

heterogeneous particle swarm dynamics: An in-class experiment, In:

IEEE Symposium on Artificial Life, A Life 09, 85–91 (2009).

110

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[151] Shimoyama N., Sugawara K., Mizuguchi T., Hayakawa Y. and Sano

M., Collective motion in a system of motile elements, Physical Review

[152] Simha R. A., and Ramaswamy S., Hydrodynamic fluctuations and

Letters 76, 3870–3873 (1996).

instabilities in ordered suspensions of self-propelled particles, Physical

[153] Simon H., Petro B., Sven T. S. and Kjartan G. M, A model of the

Review Letters 89 (5), 058101 (2002).

formation of fish schools and migrations of fish, Ecological Modelling

[154] Smith J. A. and Martin A. M., Comparison of hard-core and soft-core

174, 359–374 (2004).

[155] Sokolov A., Aranson I. S., Kessler J. O. and Goldstein R. E.,

potentials for modelling flocking in free space, arXiv: 0905.2260 (2009).

Concentration dependence of the collective dynamics of swimming

[156] Stanley H. E., and Kaplan T. A., Possibility of a Phase Transition for

bacteria, Physical Review Letters 98, 158102 (2007).

the Two-Dimensional Heisenberg Model, Phys. Rev. Lett. 17, 913-

[157] Strandburg-Peshkin A., et al., Visual sensory networks and effective

5(1966).

information transfer in animal groups, Current Biology 23, pR709-R711

[158] Strombom D., Collective motion from local attraction, Journal of

(2013).

[159] Subramanian G. and Koch D. L., Critical bacterial concentration for the

Theoretical Biology 283, 145–151 (2011).

onset of collective swimming, Journal of Fluid Mechanics 632, 359–400

[160] Suematsu N. J., Nakata S., Awazu A. and Nishimori H., Collective

(2009).

[161] Sumpter D., KrauseJ., James R., Couzin I. and Ward A., Consensus

behavior of inanimate boats, Physical Review E 81 (5), 056210 (2010).

decision making by fish, Current Biology 18, 1773–1777 (2008).

111

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[162] Sumpter D. J. T, Collective animal behavior, (Princeton university press

[163] Symmons P. M., Cressman KDesert Locust Guidelines, Biology and

2010).

Behaviour, second ed. Food and Agriculture Organization of the United

[164] Szabo A., Unnep R., Méhes E., Twal W. O., Argraves W. S., Cao Y.

Nations, (Rome 2001).

and Czirók A., Collective cell motion in endothelial monolayers,

[165] Szabo P., Nagy M. and Vicsek T., Transitions in a self-propelled-

Physical Biology 7, 046007 (2010).

particles model with coupling of accelerations, Physical Review E 79,

[166] Szabo P., Nagy M. and Vicsek T., Transitions in a self-propelled-

021908 (2009).

particles model with coupling of accelerations, Physical Review E 79,

[167] Tarcai N., Virágh C., Ábel D., Nagy M., Várkonyi P.L., Vásárhelyi G.

021908 (2009).

and Vicsek T., Patterns, transitions and the role of leaders in the

collective dynamics of a simple robotic flock, J. Stat. Mech. 2011,

[168] Thijssen J. M., Computational Physics, (Cambridge University Press,

P04010 (2011).

[169] Tinsley M. R., Steele A. J. and Showalter K., Collective behavior of

New York 2007).

particle-like chemical waves, The European Physics Journal, Special

[170] Toner J. and Tu Y., How birds fly together: Long-range order in a two-

Topics 165, 161–167 (2008).

dimensional dynamical xy model, Physical Review Letters 75, 4326

[171] Toner J. and Tu Y., Flocks, herds and schools: A quantitative theory of

(1995).

flocking, Physical Review E 58, 4828 (1998).

112

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[172] Toner J., Tu Y., and Ramaswamy S., Hydrodynamics and phases of

[173] Trepat X., Wasserman M. R., Angelini T. E., Millet E., Weitz D. A.,

flocks, Annals of Physics 318, 170–244 (2005).

Butler J. P. and Fredberg J. J., Physical forces during collective cell

[174] Tu. Y., Phases and phase transitions in focking systems, Phys. A 281,

migration, Nature Physics 5, 426–430 (2009 ).

[175] Turgut A.E., Celikkanat H., Gokce F. and Sahin, E., Self-organized

30-40 (2000).

[176] Underhill P.T., Hernandez-Ortiz J. P. and Graham M. D., Diffusion and

flocking in mobile robot swarms, Swarm Intelligence 2, 97–120 (2008).

spatial correlations in suspensions of swimming particles, Phys. Rev.

[177] Vabo R. and Skaret G., Emerging school structures and collective

Lett. 100, 248101 (2008).

dynamics in spawning herring: A simulation study, Ecological Modelling

[178] Verlet L., Computer

214, 125–140 (2008).

experiments on classical fluids. I.

Thermodynamical properties of Lennard-Jones molecules, Phys. Rev.

[179] Vicsek T. and Zafeiris A., Collective motion, Physics Reports 517, 71–

159, 98 (1967).

[180] Vicsek T., Fluctuations and Scaling in Biology, (Oxford University

140 135 (2012).

[181] Vicsek T., A question of scale, Nature 411, 421 (2001).

[182] Vicsek T., Cserzo M. and Horvath V. K., Self-affine growth of bacterial

Press USA, 2001).

[183] Vicsek T., Czirók A., Ben-Jacob E., Cohen I, I. and Shochet O., Novel

colonies, Physica A 167, 315 (1990).

type of phase transition in a system of self-driven particles, Phys. Rev.

Lett. 75, 1226 (1995).

113

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

[184] Vine I, Risk of visual detection and pursuit by a predator and the

selective advantage of flocking behaviour, Journal of Theoretical

[185] Yates C. A., Erban R., Escudero C., Couzin I. D., Buhl J., Kevrekidis I.

Biology 30, 405–422 (1971).

G., Maini P.K. and Sumpterh D. J. T., Inherent noise can facilitate

coherence in collective swarm motion, Proceeding of the National

Academy of Sciences of the United States of America 106, 5464–5469

[186] You S. K., Kwon D. H., Park Y. I., Kim S. M., Chung M. H., Kim C.

(2009).

K., Collective behaviors of two-component swarms, Journal of

[187] Wang F. and Landau D. P., Efficient, Multiple-Range Random Walk

Theoretical Biology 261, 494–500 (2009).

Algorithm to Calculate the Density of States, Phys. Rev. Lett. 86, 2050

[188] Watts D. J. and Strogatz S. H., Collective dynamics of small-world

(2001); Phys. Rev. E 64, 056101 (2001).

[189] Ward A. J. W., Sumpter D. T. J., Couzin I. D., Hart P. J. B. and Krause

networks, Nature 393, 440–442 (1998).

J., Quorum decision-making facilitates information transfer in fish

shoals, Proceeding of the National Academy of Sciences of the United

[190] Weihs D., Hydromechanics of fish schooling, Nature 241, 290–291

States of America 105, 6948 (2008).

[191] Werner G. M. and Dyer M. G., Evolution of herding behavior in

(1973).

artificial animals, Proceedings of the Second International Conference

on Simulation of Adaptive Behavior, (MIT Press, Cambridge, MA

[192] Weimerskirch H., Martin J., Clerquin Y., Alexandre P. and Jiraskova, S.

1992).

Energy saving in flight formation: pelicans flying in a ‘V’ can glide for

114

LUẬN ÁN TIẾN SĨ

NGUYỄN PHƯỚC THỂ

extended periods using the other birds’ air streams, Nature 413, 697–

[193] Wolgemuth C. W., Collective swimming and the dynamics of bacterial

698 (2001).

[194] Wu Y., Kaiser A. D., Jiang Y. and Alber M. S., Periodic reversal of

turbulence, Biophysical Journal 95, 1564 (2008).

direction allows myxobacteria to swarm, Proceeding of the National

Academy of Sciences of the United States of America 106 (2009).

115

Luận án Tiến sĩ Vật lý: Nghiên cứu chuyển pha gom cụm của các loài sinh vật bằng các mô hình vật lý thống kê

NGUYỄN PHƢỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM

CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

NGUYỄN PHƢỚC THỂ

NGHI£N CøU CHUYÓN PHA GOM CôM

CñA C¸C LOµI SINH VËT B»NG C¸C M¤ H×NH VËT Lý THèNG K£

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

LỜI CAM ĐOAN

LỜI CÁM ƠN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

LIỆT KÊ CÁC HÌNH VẼ

MỞ ĐẦU

Chƣơng . HÀNH VI TẬP THỂ CỦA CÁC LOÀI

SINH VẬT

Chƣơng . CHUYỂN PHA VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP

MÔ PHỎNG

Chƣơng 3. NGHIÊN CỨU CHUYỂN PHA TRONG

CÁC HỆ TỰ TỔ CHỨC

KẾT LUẬN CHUNG

NHỮNG ĐÓNG GÓP MỚI CỦA LUẬN ÁN

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển nguồn nhân lực du lịch trong các cơ sở lưu trú tại Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Giáo dục đạo đức sinh thái cho sinh viên các trường đại học tại Thành phố Hồ Chí Minh hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hành vi nguy cơ ảnh hưởng đến sức khỏe tâm thần của học sinh trung học phổ thông tại Hà Nội hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Đảng bộ tỉnh Đồng Nai lãnh đạo công tác bảo tồn và phát huy giá trị các di tích lịch sử - văn hóa từ năm 1996 đến năm 2015

Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Thực hiện Pháp lệnh thực hiện dân chủ ở xã, phường, thị trấn vùng dân tộc thiểu số tỉnh Quảng Nam hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Công tác hoằng pháp và hoạt động của đạo tràng Phật giáo tỉnh Lào Cai hiện nay

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu chất lượng dịch vụ viễn thông di động tại Tổng công ty viễn thông Viettel

Luận án Tiến sĩ: Nâng cao chất lượng cơ sở vật chất các trường đại học tư thục trên địa bàn thành Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Năng lực cạnh tranh của doanh nghiệp nhỏ và vừa trên địa bàn tỉnh Phú Thọ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các yếu tố ảnh hưởng tới sự thành công trong khởi sự kinh doanh của phụ nữ khu vực miền Bắc

Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Kiểm soát nội bộ tại Tập đoàn xăng dầu Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu giải pháp phát triển trung tâm logistics quốc tế cho khu vực kinh tế trọng điểm phía Bắc

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu các nhân tố ảnh hưởng đến mức độ công bố thông tin trên báo cáo thường niên của các ngân hàng thương mại Việt Nam

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP