
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
Hoàng Thanh Nghị
VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên – 2008

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
HOÀNG THANH NGHỊ
VỀ CÁC DÃY HỒI QUY TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
L
LU
UẬ
ẬN
N
V
VĂ
ĂN
N
T
TH
HẠ
ẠC
C
S
SĨ
Ĩ
T
TO
OÁ
ÁN
N
H
HỌ
ỌC
C
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH Hà Huy Khoái
THÁI NGUYÊN - 2008

▲ê✐ ♥ã✐ ➤➬✉
▲ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ❤➢í♥❣ ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ tr✉②Ò♥ t❤è♥❣ ❝ñ❛ sè ❤ä❝✳ ◆❤✐Ò✉ ❞➲② sè q✉❛♥ trä♥❣ ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ q✉❛
❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉②✳ ◆æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤✃t tr♦♥❣ sè ❝➳❝ ❞➲② sè ♥❤➢ ✈❐② ❧➭ ❝➳❝ sè
❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
▼➷❝ ❞ï ❝ã ❧Þ❝❤ sö ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❧➞✉ ➤ê✐✱ ❝➳❝ sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ▲✉❝❛s ✈➱♥ ❝❤ø❛
➤ù♥❣ ♥❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t t❤ó ✈Þ ❝❤➢❛ ➤➢î❝ ❜✐Õt ➤Õ♥✱ ✈➭ ❧✉➠♥ ❧✉➠♥ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣
♥❤÷♥❣ ➤Ò t➭✐ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧ý t❤✉②Õt sè ❤✐Ö♥ ➤➵✐✳
❇➯♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ♥❤➺♠ ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❞➲② ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤
♥ã✐ ❝❤✉♥❣✱ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐✱ ❝ò♥❣ ♥❤➢ ♠ét sè
tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➢î❝ ♣❤➳t ❤✐Ö♥ r✃t ❣➬♥ ➤➞② ✭✷✵✵✼✮ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s✳
❇è ❝ô❝ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➢ s❛✉✿
❈❤➢➡♥❣ ✶ ✧▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✧ ❞➭♥❤ ➤Ó ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠✱ ❝➳❝ tÝ♥❤
❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢✱ ➤å♥❣ ❞➢ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ❋Ð❝♠❛ ❜Ð✱ sè
❣✐➯ ♥❣✉②➟♥ tè✱ ♥❤➺♠ ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ❝➳❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ s❛✉✳
❈❤➢➡♥❣ ✷ ✧❈➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉②✧ ➤➲ ➤➢❛ r❛ ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö
❤å✐ q✉②✱ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ q✉❛♥ ❤Ö ❤å✐ q✉② t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❤Ö sè
❤➺♥❣ rå✐ tõ ➤ã ➤➢❛ r❛ ♥❣❤✐Ö♠ tæ♥❣ q✉➳t ❝❤♦ ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➷❝
tr➢♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐ ✈➭ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❜é✐✳ ◆❣♦➭✐ r❛ tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②
❝ò♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞➲② sè ❋✐❜♦♥❛❝❝✐ ✈➭ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝æ ➤✐Ó♥ ❝ñ❛
❞➲② sè ♥➭②✳
❈❤➢➡♥❣ ✸ ✧▼ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t sè ❤ä❝ ❝ñ❛ sè ▲✉❝❛s✧ ♥❤➺♠ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét
sè ❦Õt q✉➯ ❣➬♥ ➤➞② ❝ñ❛ ❞➲② ▲✉❝❛s✳ ❈ô t❤Ó ❧➭ ➜Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù tå♥ t➵✐ ❝➳❝ sè
❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr♦♥❣ ❞➲② ▲✉❝❛s ✈➭ sù ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ sè ▲✉❝❛s ❣✐➯ ♥❣✉②➟♥
tè ❦❤➠♥❣ ❝❤Ý♥❤ ♣❤➢➡♥❣✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ●❙✳ ❚❙❑❍✳ ❍➭
❍✉② ❑❤♦➳✐✳ ◆❤ê ❚❤➬② t➠✐ ➤➲ ❜➢í❝ ➤➬✉ ❧➭♠ q✉❡♥ ✈➭ s❛② ♠➟ ✈í✐ ❚♦➳♥ ❤ä❝✳
◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭②✱ t➠✐ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❚❤➬②✳
❚➠✐ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❜❛♥ ❧➲♥❤ ➤➵♦ ❦❤♦❛ ❚♦➳♥✱ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➜➵✐ ❤ä❝ ✲
✹

➜➵✐ ❤ä❝ ❙➢ ♣❤➵♠ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ➤➲ tr❛♥❣ ❜Þ ❦✐Õ♥ t❤ø❝✱ t➵♦
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤♦ t➠✐ tr♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣ t➵✐ ➤➞②✳
❚➠✐ r✃t ❜✐Õt ➡♥ ❇●❍ ❚r➢ê♥❣ ❈➜ ❑✐♥❤ tÕ ❑ü t❤✉❐t ➜✐Ö♥ ❇✐➟♥ ✈➭ ❝➳❝ ➤å♥❣
♥❣❤✐Ö♣ ➤➲ t➵♦ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ❝❤♦ t➠✐ t❤ù❝ ❤✐Ö♥ ❦Õ ❤♦➵❝❤ ❤ä❝ t❐♣ ❝ñ❛
♠×♥❤✳
❚➠✐ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ♥❣➢ê✐ t❤➞♥✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❝æ ✈ò ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤
❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
✺

❈❤➢➡♥❣ ✶
▲ý t❤✉②Õt ➤å♥❣ ❞➢
✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❝➡ ❜➯♥
✶✳✶✳✶ ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✳
●✐➯ sö
a
✱
b
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❚❛ ♥ã✐ r➺♥❣
a
➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐
b
♠➠➤✉❧➠
m
♥Õ✉
m|(a−b)
✳
❑❤✐
a
➤å♥❣ ❞➢ ✈í✐
b
♠➠➤✉❧➠
m
✱ t❛ ✈✐Õt
a≡b(modm).
◆Õ✉
a
❦❤➠♥❣ ➤å♥❣ ❞➢
b
♠➠➤✉❧➠
m
✱ t❛ ✈✐Õt
a6≡ b(modm).
✶✳✶✳✷ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
◆Õ✉
a
✈➭
b
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥ t❤×
a≡b(modm)
❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø
❦❤✐ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
k
s❛♦ ❝❤♦
a=b+km.
❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳
●✐➯ sö
a≡b(modm)
✳ ❑❤✐ ➤ã
m|(a−b)
✱ tø❝ ❧➭
a−b=km
✈í✐
sè ♥❣✉②➟♥
k
♥➭♦ ➤ã✳ ◆❣➢î❝ ❧➵✐✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ sè ♥❣✉②➟♥
k
s❛♦ ❝❤♦
a=b+km
t❤×
m|(a−b)
✱ tø❝ ❧➭
a≡b(modm).
✶✳✶✳✸ ▼Ö♥❤ ➤Ò✳
●✐➯ sö
m
❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥ ❞➢➡♥❣✳ ◗✉❛♥ ❤Ö ➤å♥❣ ❞➢ ♠➠➤✉❧➠
m
t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉ ➤➞②✿
✶✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ♣❤➯♥ ①➵✮✳ ◆Õ✉
a
❧➭ ♠ét sè ♥❣✉②➟♥✱ t❤×
a≡a(modm).
✷✮ ✭❚Ý♥❤ ❝❤✃t ➤è✐ ①ø♥❣✮✳ ●✐➯ sö
a
✈➭
b
❧➭ ❝➳❝ sè ♥❣✉②➟♥✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉
a≡b(modm)
t❤×
b≡a(modm).
✻

