Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn nhằm tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ năng lượng cao và phương trình chuẩn thế

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội 2013 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ VĂN TIẾN BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG CAO VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã ngành: 60440103 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TSKH. Toánlý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội 2013 2
MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 5 Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. ....................................................................................................................................... 13 Chú ý rằng , và là các cực toạ độ cầu và là cực toạ độ trụ. ...................................... 13 CHƯƠNG II ......................................................................... 21 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL ......................................................... 21 CHƯƠNG III ........................................................................................................................... 36 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN ........................................ 36 3.1 Phép gần đúng Born ..................................................................................................... 36 3.2 Vùng năng lượng cao ..................................................................................................... 37 3.3 Thế Yukawa. ................................................................................................................. 40 Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với năng lượng của hạt. ............................................................................................................. 40 a)Trao đổi hạt vô hướng ................................................................................................. 40 b) Trao đổi hạt vectơ ......................................................................................................... 43 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử .......................................................... 44 KẾT LUẬN ............................................................................................................................... 46 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ........ 50 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ ................................................................................................... 53 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ ............................................................................................. 56 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 ..................... 58 3
DANH MỤC HÌNH VẼ Trang MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 5 Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. ....................................................................................................................................... 13 Chú ý rằng , và là các cực toạ độ cầu và là cực toạ độ trụ. ...................................... 13 CHƯƠNG II ......................................................................... 21 BỔ CHÍNH BẬC NHẤT CHO BIỂU DIỄN EIKONAL ......................................................... 21 CHƯƠNG III ........................................................................................................................... 36 PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ VÀ PHÉP GẦN ĐÚNG BORN ........................................ 36 3.1 Phép gần đúng Born ..................................................................................................... 36 3.2 Vùng năng lượng cao ..................................................................................................... 37 3.3 Thế Yukawa. ................................................................................................................. 40 Trong mục này ta xem xét sự trao đổi các hạt với spin khác nhau, để xem xét sự phụ thuộc của dáng điệu tiệm cận biên độ tán xạ và số hạng bổ chính bậc nhất của nó với với năng lượng của hạt. ............................................................................................................. 40 a)Trao đổi hạt vô hướng ................................................................................................. 40 b) Trao đổi hạt vectơ ......................................................................................................... 43 c) Trao đổi hạt graviton trong hấp dẫn lượng tử .......................................................... 44 KẾT LUẬN ............................................................................................................................... 46 PHỤ LỤC A: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHUẨN THẾ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LẶP ........ 50 PHỤ LỤC B: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ NHỎ ................................................................................................... 53 PHỤ LỤC C: TÍNH ĐÓNG GÓP CỦA PHÉP LẶP (N+1) CHO BIÊN ĐỘ TÁN XẠ VỚI GÓC TÁN XẠ BẤT KỲ ............................................................................................. 56 PHỤ LỤC D: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TRONG CHƯƠNG 3 ..................... 58 4
MỞ ĐẦU Phép gần đúng eikonal được sử dụng để tìm biên độ tán xạ của các hạt trong cơ học lượng tử phi tương đối tính đã được sử dụng từ lâu và biểu diễn eikonal thu được cho biên độ tán xạ được dùng rất rộng rãi để phân tích số liệu thực nghiệm của vật lý năng lượng cao [37]. Sử dụng phép gần đúng này trên cơ sở phương trình chuẩn thế Logunov Tavkhelidze trong lý thuyết trường lượng tử, lần đầu tiên người ta đã thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền 5
nhỏ (góc tán xạ nhỏ). Biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ này, cũng có thể thu được khi người ta tiến hành lấy tổng các giản đồ Feynman, hay phương pháp tích phân phiếm hàm. Trong lý thuyết trường lượng tử, phép gần đúng eikonal thực tế tương ứng với việc tuyến tính hóa hàm truyền của các hạt tán xạ theo xung lượng của hạt trao đổi [12,13] như sau: 2 −1 −1 � � � 2� � 2� �p + �ki �− m � � �2 p �ki + �ki � � i � � � � � � i i � (0.1) trong đó p là xung lượng của hạt tán xạ, ki – là xung lượng của các hạt được trao đổi và trong công thức (0.1) ta bỏ qua số hạng ki k j = 0 . Phép gần đúng này được sử dụng để nghiên cứu các quá trình tán xạ năng lượng cao và được gọi là phép gần đúng quỹ đạo thẳng hay gần đúng eikonal. Bức tranh vật lý ở đây như sau: Các hạt năng lượng cao bị tán xạ bằng cách trao đổi liên tiếp và độc lập các lượng tử ảo, đồng thời không có sự liên kết tương thích giữa các quá trình trao đổi riêng biệt với nhau, nên số hạng tương quan ki k j không có mặt trong hàm truyền (0.1). Các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal cho biên độ tán xạ hạt ở vùng năng lượng cao, gần đây được giới khoa học quan tâm nghiên cứu, khi tương tác giữa các hạt là tương tác hấp dẫn và các số hạng bổ chính liên quan đến lực hấp dẫn mạnh ở gần lỗ đen, lý thuyết siêu dây hấp dẫn cùng một loạt những hiệu ứng hấp dẫn lượng tử /1214/. Việc xác định những số hạng bổ chính cho biểu diễn tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là cần thiết , song nó là vấn đề còn bỏ ngỏ, khi năng lượng của hạt tăng, các số hạng bổ chính tiếp theo được tính theo lý thuyết nhiễu loạn, lại tăng nhanh hơn số hạng trước nó. Mục đích của Bản luận văn Thạc sĩ này là tìm bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ eikonal của hạt dựa trên cơ sở phương trình chuẩn thế ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ trong lý thuyết trường lượng tử. 6
Nội dung Bản luận văn bao gồm: phần mở đầu, ba chương, phần kết luận, tài liệu trích dẫn và các phụ lục. Chương I. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ. Trong mục 1.1 xuất phát từ phương trình dừng Schrodinger của hạt ở trường ngoài theo định nghĩa ta tìm công thức eikonal cho biên độ tán xạ ở vùng năng lượng cao và xung lượng truyền nhỏ. Biểu diễn eikonal của biên độ tán xạ cùng với các điều kiện cần thiết cho phép sử dụng gần đúng này được trình bầy ở mục 2. Chương II. Biểu diễn eikonal và bổ chính bậc nhất. Trong mục 2.1 giới thiệu cách thu nhận phương trình chuẩn thế cho biên độ tán xạ và cho hàm sóng. Trong mục 2.2 xuất phát từ phương trình chuẩn thế trong biểu diễn tọa độ, thực r hiện sự khai triển hàm sóng và phương trình này theo xung lượng của hạt p = p . Sử dụng phép khai triển này ta thu được biểu diễn eikonal và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ. Chương III. Bài toán trên dựa trên phương trình chuẩn thế được giải quyết bằng phương pháp lặp theo gần đúng của Born (lý thuyết nhiễu loạn theo thế tương tác). Ở mục 3.1 chuẩn thế dưới dạng thế Gauss được sử dụng để minh họa phương pháp tính biên độ tán xạ và bổ chính bậc nhất của nó trong những bậc gần đúng Born thấp nhất. Biểu thức tổng quát cho n+1 lần gần đúng Born và khai triển biên độ tán xạ theo lũy thừa của 1/p, tương tự như phân tích ở chương II, kết quả số hạng chính và số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ cũng tìm được ở mục 3.2. Trường thế Yukawa tương ứng với sự trao đổi giữa các hạt các lượng tử với spin khác nhau (trao đổ hạt vô hướng, hạt véctơ và graviton trong tương tác hấp dẫn ), đã được sử dụng để minh hoa sự phụ thuộc vào năng lượng của các số hạng bổ chính cho biên độ tán xạ eikonal . Cuối cùng là kết luận chung, các tài liệu tham khảo và phụ lục liên quan tới luận văn. Trong luận văn sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h = c = 1 và metric Pauli: xµ = x µ = ( x1 = x, x2 = y , x3 = z , x4 = ict = it ) = x µ 7
rr rr ab = aµ bµ = ab − a0b0 = ab + a4b4 = ak bk + a4b4 ( k = 1, 2,3) �1 0 0 0� � � 0 1 0 0� δ µν =� �0 0 1 0� � � �0 0 0 1� Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 1 đến 4. 8
CHƯƠNG I BIỂU DIỄN EIKONAL CỦA BIÊN ĐỘ TÁN XẠ Bài toán tán xạ trong cơ học lượng tử được nghiên cứu trên cơ sở của phương trình Schrodinger. Giả sử có hạt tán xạ ở trường ngoài, thì dáng điệu của hàm sóng của hạt bị tán xạ có thể tìm dưới dạng rr ikr ψ tán xa = ψ toi + f (θ , ϕ ) e r Trong đó f (θ , ϕ ) là biên độ tán xạ cần tìm. Nếu năng lượng của hạt là lớn, góc tán xạ nhỏ, thì ta có thể tìm được biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ hay người ta còn gọi là biểu diễn Glaubert [10], người đầu tiên thu được công thức này trong cơ học lượng tử. 1.1 Thành lập công thức của bài toán tán xạ Quá trình tán xạ trong cơ học lượng tử được mô tả bởi phương trình Schrodinger: r r ur � ψ (r ) = U (r )ψ (r ) �2 + k2 � � � (1.1.1) r 2mE r 2mV(r ) ở đây chúng ta đã sử dụng các ký hiệu k = 2 và U (r ) = 2 . Nghiệm của h h2 phương trình vi phân (1.1.1) có thể được viết lại dưới dạng phương trình tích phân: r r r ur r r ψ(r ) = φ(r ) + d3r ' G0 ( r , r ')U (r ')ψ(r ') (1.1.2) r trong đó hàm φ(r ) thoả mãn phương trình cho hàm thế tự do: r � � � 2 + k 2 � )=0 �φ( r (1.1.3) Phương trình (1.1.3) là phương trình vi phân cấp 2 nên nghiệm có dạng: r rr rr r ur φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r và hàm Green G0 (r , r ') là nghiệm của phương trình: r ur r ur � �� 2 + k 2 �G �0 ( r , r ') = δ (3) ( r − r ') (1.1.4) 9
Chúng ta tìm G0 ( r , r ' ) theo công thức: rr G0 ( r , r / ) = G ( r − r / )δ ( 3) ( r − r / ) d ( 3) r / rr r r r r r Chuyển phổ Fourier ta có: G0 ( r , r ' ) = rr 1 r r r ( is r − r / ) g sr d 3 sr 3 e ( ) (1.1.4a) ( 2π ) 2 Vậy : 1 ( r r r ) ( � + k ) G (rr, rr ) = 2 2 0 / 3 (� +k )e 2 2 is r − r / r r g ( s ) d ( 3) s ( 2π ) 2 Nhưng : �2 eis ( r −r ) = − s 2eis ( r − r ) r r r r r r / / 1 ( r r r ) d 3 sr Sử dụng: δ ( r − r ) = ( 3) r r/ is r − r / e ( 2π ) 3 Thay vào phương trình (1.1.4a) có: 1 ( r r r ) g sr d ( 3) sr = 1 ( r r r ) d 3sr ( −s � 2 + k 2 )e is r − r / ( ) � e is r − r / ( 2π ) 3 3 ( 2π ) 2 r 1 g( s) = (k − s2 ) 3 ( 2π ) 2 2 Đặt vào (1.1.4a) ta có: G0 ( r , r / ) = rr 1 e ( r r r is r − r / ) 1 d 3s ( 2π ) k −s 3 22 r Chuyển sang tọa độ cầu ( s,θ , φ ) dọc theo trục r Vì vậy s ( r − r ) = s r − r cosθ / r r r / r r r r π π is r − r / cosθ r r is r − r / cosθ e e sin θ dθ = − r r 0 is r − r / 0 =2 r r sin s r − r / ( ) r r s r −r/ Vì vậy: 10
G0 ( r , r / ) = rr 1 2 ( r r s sin s r − r / ) ds 2 r r (2π ) r − r / 0 k 2 − s2 1 = 2 r r/ + ( r r s sin s r − r / ) ds 4π r − r − k −s2 2 Chuyển sang tích phân phức : r r r r i � � + se is r − r / + se is r − r / � � G0 ( r , r / ) = rr 2 r r �� ds − � ds �= − ( 8π r − r / � s −k) ( s + k) − ( s −k) ( s +k) � � i = r r/ ( I1 − I 2 ) 8π r − r 2 Sử dụng dạng tích phân Cauchy : ( ) f z ￑ ( z − z ) = 2π f ( z ) 0 0 r r r r �se is r − r / �1 �se is r − r / � r r ik r − r / I1 = ￑ � � ds = 2π i � � = iπ e �s + k �s − k �s + k � � � � � s =k r r r r � se is r − r / �1 �se is r − r / � r r ik r − r / I 2 = −￑ � � ds = −2π i � � = −iπ e �s + k �s − k �s + k � � � � � s =− k i G0 ( r , r / ) = − r r/ r r/ rr � ik r − r − ik r − r � r r/ � e +e = 8π r − r � � � 1 � r r ik r − r / r r − ik r − r / �= =− r r/ e +e 4π r − r � � � � r r r r 1 �Aeik r − r / Be− ik r − r / � =− �r r/ + r r/ � 4π �r − r � r −r � � r r ur Các điều kiện biên của hàm φ(r ) và G0 (r , r ') được xác định từ điều kiện biên của r hàm ψ(r ) . Phương trình tích phân (1.1.2) được gọi là phương trình Lippman Schwinger. Các nghiệm của phương trình (1.1.3) và (1.1.4) là: r rr rr φ(r ) = A0ei k.r + B0e−i k.r (1.1.5) r r r r rr � ik r − r ' − ik r − r ' � 1 �e e � G0 (r , r ') = − A r r +B r r (1.1.6) 4π � r − r ' r −r' � � � 11
trong (1.1.6) chú ý rằng A+B =1. Sử dụng phương trình (1.1.5) và (1.1.6), thì nghiệm của phương trình LippmanSchwinger (1.1.7) được viết lại dạng: r r r r ur � ik r − r ' − ik r − r ' � r r rr rr 1 3 � e e i k.r − i k .r ψ(r ) = A0e + B0e − d r' A r r +B r r � U (r )ψ (r ') (1.1.7) 4π � r −r' r −r' � � � ur Theo các điều kiện biên thì hàm sóng ψ(r ) phải bao gồm hai thành phần: thành phần sóng tới là sóng phẳng truyền theo chiều dương của trục z và thành phần còn lại là sóng cầu tán xạ. Vì thế B0= B = 0 và (1.1.7) viết lại dưới dạng: r r ik r − r ' ur rr 1 e r r ψ ( r ) = A0 ei k .r − d 3 r ' r r U ( r )ψ(r ') (1.1.8) 4π r −r' Như chúng ta đã phân tích trên, biên độ tán xạ có thể thu được trong miền tiệm cận của hàm sóng trên. Trong phần lớn các bài toán mà chúng ta xem xét, thế U(r) được xác định trong một thể tích hữu hạn của không gian và các máy đo (detectors) các hiệu ứng tán xạ đặt rất xa vùng có chứa thế U(r). Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng r '
Hình 1: Minh hoạ rõ ràng những biến đổi phức tạp sử dụng trong các tính toán trên. r ur r ur Chú ý rằng r , k ' và k là các cực toạ độ cầu và r ' là cực toạ độ trụ. r ur Thông thường, trong thực tế có thể coi f (θ ,φ ) như là một hàm của k , k ' và r ur do đó có thể viết f (θ ,φ ) = f ( k, k ') . Để ý rằng, mặc dù các thông tin liên quan tới r f (θ ,φ ) được chứa đựng trong miền tiệm cận của Ψ (r ) nhng các đóng góp tới f (θ ,φ ) trong phương trình (1.1.12) lại đến từ miền mà thế năng ở đó khác không. 1.2. Biểu diễn Eikonal của biên độ tán xạ. Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra sự hợp lý của các phép gần đúng eikonal cho quá trình bao gồm các góc tán xạ nhỏ và xung lượng vào lớn. Các điều kiện cần V 1 1 thiết là
r r r �2 + k 2 � � � �ψ ( r ) = V ( r )ψ ( r ) rr r r ikrrr r � � �� 2 + k 2 � � e ikr φ ( r ) = V ( r ) e φ(r) rr r rr r r rr r � �2 eikr φ ( r ) + k 2 eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r ) ( )r r r rr r rr rr � �� eikr φ ( r ) �+ k 2 eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r ) � � rr r � �ikrrr r � 2 ikrrr r r ikrrr r � �� ike ikr φ ( r ) + � �� e � φ ( r ) � + k e φ ( r ) = V ( r )e φ(r) � i 2 k 2 eikrrφ ( rr) + ikeikrr�φ ( rr) + ikeikrr�φ ( rr) + eikrr�2φ ( rr) + k 2eikrrφ ( rr) = V ( rr) eikrrφ ( rr) r r r r r r rr r rr r rr r rr r r rr r � −k 2 eikr φ ( r ) + 2ikeikr �φ ( r ) + eikr �2φ ( r ) + k 2eikr φ ( r ) = V ( r ) eikr φ ( r ) r r r r � 2ik �φ ( r ) − V ( r ) φ ( r ) = −�2φ ( r ) r r r �� 2ik �− V ( r ) � �φ ( r ) = −�2φ ( r ) r r r Sử dụng ký hiệu r (b, z) và chọn k dọc theo hướng z suy ra: � r � r r �− V(b, z)�φ(b, z) = −�2φ(b, z) 2ik (1.2.3) z � � r r ở đây chúng ta sử dụng ký hiệu r (b, z) . Chúng ta có thể viết nghiệm của phương trình (1.2.3) dạng: r r + r uur uur φ(b, z) = η( b, z) − � d 2b ' �dz' Ge (b, z, b ', z')�'2φ( b ', z'). (1.2.4) − r η(b, z) thoả mãn phương trình: � r � r 2ik � z − U ( b, z)�η(b, z) = 0 (1.2.5) � � r r r � 2ik z ( ) ( ) ( ) η b, z = U b, z η b, z r η b, z ( ) r � z r = 1 U b, z ( ) η b, z ( )2ik r z r ( ) � ln η b , z = 1 2ik − U b , u du ( ) z r U ( b ,u ) du 1 r ( ) 2 ik �η b, z = e − r uur Và hàm Ge (b, z, b ', z') thoả mãn: 14
� r � r uur r uur r ur 2ik � z − U ( b, z) G �e ( b, z, b ', z ') = δ (2) ( b − b ')δ( z − z'). (1.2.6) � � Nghiệm của các phương trình (1.2.5) và (1.2.6) là: z 1 r r 2ik duU ( b,u) (1.2.7) η(b, z) = e − r r Với các điều kiện biên là η(b) = η(b, z − ) = 1 Và z 1 r r uur 1 (2) r uur r ur 2ik z' du.U ( b,u) Ge (b, z, b ', z') = δ (b − b ')δ(z − z')e 2ik − z 1 r r 1 (2) r uur r ur 2ik z� du.U ( b,u) + �du.U ( b,u) = δ (b − b ')δ( z − z')e ' − 2ik (1.2.8) − z 1 r 1 r 1 (2) r uur r ur 2ik du.U ( b,u) 2ik du.U ( b,u) = δ (b − b ')δ( z − z')e z' .e − 2ik 1 (2) r uur r ur r r = δ (b − b ')δ( z − z')η(b, z)η−1 (b, z). 2ik Thay (1.2.7) và (1.2.8) vào (1.2.4), ta thu được: r r + r r r ( ) ( ) φ b, z = η b, z − � d 2b / � ( dz / Ge b , z , b / , z / �'2φ b , z / = ) ( ) − r + 1 ( 2) r r/ r r r ( ) = η b, z − � d b � 2 / dz / 2ik ( ) δ b − b δ ( z − z / ) η b , z η −1 b , z �'2φ b / , z / = ( ) ( ) ( ) − r r z r r ( ) = η b, z − 1 2ik η b, z ( ) ( ) ( dz /η −1 b , z �'2φ b , z / = ) − r � 1 z r r � ( ) = η b, z � 1+ ( ) dz /η −1 b , z �'2φ b , z / �=( ) � 2ik − � r � 1 z r �2 2 � r / � ( ) = η b, z � 1+ dz /η −1 b , z �( ) �b + '2 � φ b, z � ( ) � 2ik − � z � � Vậy: r r � 1 z −1 r �2 2 �r � φ(b, z) = η( b, z) � 1− dz' η ( b, z) � �b + 2 �φ( b, z') � (1.2.9) � 2ik − � z' � � Phương trình trên cũng có thể viết lại dạng sau: r r � z �r ur � z �r uur � z' �r ur � � φ (b, z) = η (b, z) �1 + �dz' K �b, z', �b , �+ �dz' K �b, z', �b�, ��dz'' K �b, z'', b , �+ ...� (1.2.10) � − � z' � − � z' �− � z'' � � �r ur � ở đây biểu thức của K �b, z, , tác động lên một hàm g ( z ) bất kỳ cho bởi: z� b � � 15
�r ur 1 −1 r � 2 �r 2 � K �b, z, �b , �g(z) = − η (b, z) � �b + 2 �φ(b, z)g( z) (1.2.11) � z� 2ik � z � r r rr r Thay chuỗi của φ(b, z) trong (1.2.11) vào dạng của hàm ψ(r ) = ei k.r φ(r ) ta được: r rr r ψ ( r ) = eikr φ ( r ) = r � z ' �r ' r � � ' ' z z �r ' r � '' �r '' r ( ) � rr = e η b, z � ikr 1+ � b , z , �b , ' �+ � dz K � dz ' K �b , z , �� b , ' � � dz K � b , z , b , '' �+ ...�= � − � z �− � z �− � z � � r r z' z' �r ' r � ikrrr r �r ' r � '' �r '' r z ( ) ( ) ( ) � rr rr = e η b , z + e η b , z dz K � ikr ikr ' b , z , �b , ' �+ e η b , z � ' dz K � b , z , �b , ' �� dz K �b , z , �b , '' �+ ... − � z � − � z � − � z � Thay vào biểu thức biên độ tán xạ(1.1.12) được : 1 3 ' − ikr'rr r r' f ( θ ,φ ) = − d r e U ( r )ψ ( r ) = 4π 1 3 ' − ikr'rr r � ikrrr r � � r z ' �r ' r z' z' � ikrrr r r ' r � '' �r '' r ( ) ( ) ' � ( ) rr =− � d r e U ( r ) �e η b , z + e η b , z �dz K �b , z , �b , ' �+ e η b , z �dz K �b , z , �b� ikr , ' ��dz K �b , z , b , '' �+ ...� 4π � − � z� − � z �− � z � � 1 3 ' − ikr'rr r ikrrr r =− 4π d r e U ( r ) e η b, z − ( ) z z' z' 1 3 ' − ikr'rr r ikrrr r r ' r r ' r � '' �r '' r − � 4π ( ) ' � � � 1 3 ' − ikr'rr r d r e U ( r ) e η b , z �dz K �b , z , �b , ' �− � z � 4π ' � d r e U ( r ) �dz K �b , z , �b� � � , ' ��dz K �b , z , b , '' �+ ... z �− � z � − − cuối cùng ta có thể viết lại biểu thức của biên độ tán xạ dưới dạng: f (θ, φ) = f (0) (θ, φ) + f (1) (θ, φ) + f (2) (θ, φ) + ... (1.2.12) ở đây: + uur uur 1 r uur ur 4π � −� i ( k − k ').r ' f (0) (θ, φ) = − d 2 b ' dz' e U ( b ', z) η( b ', z') (1.2.13) + uur uur z' uur 1 r uur ur 4π � −� � i ( k − k ').r ' f (1) (θ, φ) = − d 2 b ' dz ' e U ( b ', z ')η( b ', z ') dz '' K ( b ', z") (1.2.14) − + uur uur z' uur z" uur 1 r uur ur � � � � i ( k − k ').r ' f (2) (θ, φ) = − d 2 b ' dz' e U ( b ', z ')η( b ', z ') dz '' K ( b ', z") dz''' K (b ', z''') (1.2.15) 4π − − − �r ur � r chúng ta đã thay K �b, z, Ѻb , K ( b, z) cho biểu thức gọn hơn. Biểu thức mũ của � z� � các hàm e có thể được tính như sau với chú ý các vectơ sử dụng được minh hoạ trong hình 1 ở trên. 16
uur k ' = ( k sin θ cos φ , k sin θ sin φ , k cos θ ) r k = ( 0, 0, k ) ur r ' = ( b 'cos φ ', b 'sin φ ', z ' ) rr k .r ' = kz ' rr k ' .r 'sin ( θ ) cos ( φ ) cos ( φ ' ) + kb 'sin ( θ ) sin ( φ ) sin ( φ ' ) kz 'cos ( θ ) r r r ( ) i k − k ' .r ' = ikz '− ikb 'sin ( θ ) cos ( φ ) cos ( φ ' ) − ikb 'sin ( θ ) sin ( φ ) sin ( φ ' ) − ikz 'cos ( θ ) r r r (1.2.16 ( ) i k − k ' .r ' = ikz ' � �1 − cos ( θ ) ��− ikb 'sin ( θ ) � �cos ( φ ) cos ( φ ' ) + sin ( φ ) sin ( φ ' ) � � r r r θ ( ) i k − k ' .r ' = ikz '.2sin 2 − ikb 'sin ( θ ) cos ( φ − φ ' ) 2 ) Ta quan tâm tới hàm f (0) (θ, φ) trong khai triển trên. Từ (1.2.7), (1.2.13) và (1.2.14) ta có thể viết: + r uur 1 r uur ur f (0) (θ, φ) = − � d 2 b ' �dz' ei ( k− k ').r 'U (b ', z')η(b ', z') 4π − 1 z' uur (1.2.17) + θ r du.U ( b ',u) 1 − ikb'sin( θ )cos( φ−φ ') +ikz'.2sin2 2ik =− 4π � d2b ' � − dze ' 2 U (b ', z')e − ở đây ta đang xét trường hợp khi mômen xung lượng vào lớn và góc tán xạ là nhỏ. Khi đó ta có thể áp dụng gần đúng sau: θ �θ � −ikb 'sin(θ) cos(φ − φ ') + ikz'.2sin2 −ikb ' θ cos(φ − φ ') + ikz'.2 � � 2 �2 � Xét ở gần đúng bậc nhất theo θ ta nhận được biểu thức sau θ −ikb 'sin(θ) cos(φ − φ ') + ikz'.2sin2 −ikb ' θ cos(φ − φ ') (1.2.18) 2 Bây giờ ta viết lại (1.2.17) như sau: z' 1 uur 2π + r du.U ( b ',u) 1 2ik (1.2.19) (θ, φ) = − � d2b ' � dφ 'e− ikb' θ cos( φ−φ') � (0) f dz '. U ( b ', z')e − 4π 0 − Chúng ta cần chú ý rằng phép xấp xỉ (1.2.18) cho phép chúng ta đưa ra ngoài tích + r phân theo z trong (1.2.19) bằng cách thay thế bởi tích phân mới duU . (b ', u) . − 17
z' ( ) 1 r 2π r' ' 2ik + duU b ' ,u ' − ikb cos ( φ −φ ) 1 ( ) ' ' f ( 0) ( θ , φ ) = − φ 4π � � � 2 ' ' d b d e dz U b ,z e − 0 − z' ( ) 1 2m r 2π + r' ' 2ik du V b ' , z' ' − ikb cos( φ −φ ) 1 ' 2m ( ) ' ' h2 φ 4π � � � =− d 2 ' b d e dz 2 V b ,z e − 0 − h z' ( ) 1 2m r 2π r' ' 2ik h2 + duV b ' , z ' ' − ikb cos( φ −φ ) 1 2m 2 ' ( ) ' ' φ 4π h2 � � � =− d b d e dz ' V b ,z e − 0 − z' 1 k2 ( ) r 2π r' ' 2ik E + duV b ' , z ' ' − ikb cos ( φ −φ ) 2 1 k ( ) ' ' φ 4π E � � � =− d 2 ' b d e dz ' V b ,z e − 0 − z' ( ) − ik r 2π r' ' + duV b ' , z ' k −ik ' − ikb cos( φ −φ ) ( ) ' ' 2E φ 2π i 2 E � � � ,z e = d 2 ' b d e dz ' V b − 0 − z' ( ) − ik r 2π r + duV b ' , z ' − ikb' cos ( φ −φ ' ) −ik = k 2π i � d 2b ' � dφ 'e . 2E −�dz 'V b ' , z ' e ( ) 2E − 0 + z' ( ) − ik r 2π duV b ' ,u k ' − ikb cos ( φ −φ ) ' ' 2E φ 2π i � � = d 2 ' b d e .e − 0 − �− ik z' � ( ) r 2π duV b ' ,u k ' − ikb cos ( φ −φ ) �2 E − � ' ' d b dφ e 2π i � � = 2 ' .� e − 1� 0 � � � � Vậy suy ra : k 2π uur � f (0) (θ, φ) =b ' db ' �dφ '.e− ikb' θ cos( φ−φ ') � eiχ ( b') − 1� (1.2.20) 2πi 0 0 � � uur k1 uu r ở đây χ(b ') = − dz' V(b ', z') (1.2.21) 2E 0 Như đã đề cập ở trên, hàm thế là đối xứng qua trục z, không phụ thuộc vào góc φ và hơn nữa ta có thể bỏ φ ' trong tích phân trên. Do vậy, biên độ tán xạ bậc không được viết lại dạng: k f (0) (θ) = ei χ ( b') − 1� b ' db ' J0 (kb ' θ) � � � (1.2.22) i 0 ở đây chúng ta đã sử dụng đồng nhất thức: 1 2π J0 (t ) = dφe−it cosφ (1.2.23) 2π 0 18
Và tính chất J0 ( t ) = J0 ( −t ) . Để làm sáng tỏ hơn biểu thức của biên độ tán xạ, chúng ta đa vào các biến không thứ nguyên u và t với định nghĩa rằng z = au và b = at , ở đây a là chiều dài tán xạ của hố thế đã được định nghĩa ở phần trên. Chúng ta cũng r sử dụng V để biểu hiện giá trị lớn nhất của hàm V(r ) . Khi đó biên độ tán xạ trong (1.2.22) được viết lại dạng: 1 �ika VE ξ ( t ) � f (θ ) = a ka tdtJ0 ( tkaθ ) � e − 1� (1.2.24) i 0 � � 11 + ở đây: ξ ( t ) = − duV(at , au). (1.2.25) 2V − Tiết diện tán xạ vi phân được xác định nh bằng biểu thức sau dσ scatt (θ ) =| f (θ ) |2 d Ω =| f (θ ) |2 .2π sin(θ )dθ dσ scatt (θ ) 1 1 � = 2 | f (θ ) |2 d Ω = 2 | f (θ ) |2 .2π sin(θ ) dθ πa 2 πa πa Để tìm tiết diện tán xạ toàn phần ta lấy tích phân hai về biểu thức trên và thay biểu thức (1.2.24) vào ta nhận được σ scatt (θ ) 2π = 2 f (θ ). f * (θ ).sin(θ ) dθ πa 2 πa 2π .a ( ka) 2 2 �+ ika VE ξ ( t ) ��−ika VE ξ ( t ') � = π a2 � 0 tdt � 0 t ' dt ' e � � − 1�� e �� − 1� � π sin θ dθ J 0 ( tkaθ ) J 0 ( t ' kaθ ) 0 �+ ika VE ξ ( t ) ��− ika VE ξ ( t ') � = 2(ka ) 2 �tdt �t ' dt ' � e − 1�� e − 1� 0 0 � �� π sin θ dθ J 0 ( tkaθ ) J 0 ( t ' kaθ ) 0 Từ đó, chúng ta thu được biểu thức của tiết diện tán xạ toàn phần dạng: σ scatt �+ ika VEξ ( t ) ��− ika EVξ ( t ') � π ( ) − 1��sinθ dθ J0 ( tkaθ ) J0 ( t ' kaθ ) . 2 π a2 = 2 ka � 0 tdt � 0 t ' dt ' e � � − 1�� e �� 0 (1.2.26) V Dễ dàng nói rằng, tỷ số là một đánh giá tốt cho giới hạn trên của góc tán E V xạ θ . Nh vậy trong giới hạn
σ scatt �+ ika VEξ ( t ) ��− ika EV ξ ( t ') � ka VE 2 = 2� tdt �t ' dt ' � e − 1�� e − 1�� xdxJ0 ( tx ) J0 ( t ' x ) . (1.2.27) πa 0 0 � �� 0 Một lần nữa chúng ta thu được biểu thức của biên độ tán xạ (1.2.24) và của tiết diện tán xạ toàn phần (1.2.26). Chúng ta sẽ kiểm tra xem các định lý quang học có thoả mãn trong giới hạn eikonal hay không. Đối với các hố thế không quá phức tạp, định lý quang học có thể viết được dạng: 4π σ scatt = Im f ( 0) (1.2.28) k Sử dụng phương trình (1.81) và (1.85) ta có: σ scatt � V � ka ξ ( t ) � = 8 tdt sin2 � . (1.2.29) πa 2 0 � E � So sánh phương trình (1.2.27) và phương trình (1.2.29) ta kết luận rằng dưới điều 2 V �V � kiện