Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Toán tử tuyến tính xác định trù mật và L mũ 2 đánh giá cho phương trình ¯∂

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -<br /> <br /> NGUYỄN THỊ MAI<br /> <br /> TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT<br /> ¯<br /> VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - -<br /> <br /> NGUYỄN THỊ MAI<br /> <br /> TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH XÁC ĐỊNH TRÙ MẬT<br /> ¯<br /> VÀ L2 ĐÁNH GIÁ CHO PHƯƠNG TRÌNH ∂<br /> <br /> Chuyên ngành<br /> <br /> TOÁN GIẢI TÍCH<br /> <br /> Mã số<br /> <br /> 60460102<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> TS. NGUYỄN THẠC DŨNG<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> Mục lục<br /> Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> 3<br /> <br /> 1 Kiến thức chuẩn bị<br /> 5<br /> 1.1 Toán tử xác định trù mật trong không gian Hilbert . . . . . . . . 5<br /> 1.2 Không gian L2 (Ω, ϕ) và toán tử ∂ xác định trù mật . . . . . . . . 16<br /> p,q<br /> 2 L2 đánh giá cho phương trình ∂<br /> 2.1 Các kết quả xấp xỉ cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 2.2 Phương pháp L2 đánh giá H¨rmander giải phương trình ∂ . . . . .<br /> o<br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> 30<br /> 30<br /> 40<br /> 50<br /> <br /> Lời cảm ơn<br /> Để bản luận văn này được hoàn thành, trước hết em xin gửi lời cảm ơn sâu<br /> sắc tới thầy giáo - TS. Nguyễn Thạc Dũng, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ<br /> bảo em trong suốt thời gian làm luận văn. Sự chỉ dạy của thầy về kiến thức và<br /> cả cách làm việc sẽ giúp em rất nhiều trong quá trình học tập và làm việc sau<br /> này.<br /> Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới lãnh đạo và toàn thể các thầy<br /> cô giáo trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường ĐH Khoa học Tự Nhiên - ĐH<br /> Quốc gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.<br /> Cuối cùng em cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn chia<br /> sẻ, động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này.<br /> Mặc dù đã cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn không tránh khỏi những<br /> thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý từ phía thầy cô và bạn bè.<br /> Em xin chân thành cảm ơn !<br /> <br /> Hà Nội, tháng 11 năm 2016<br /> <br /> Nguyễn Thị Mai<br /> <br /> 2<br /> <br /> Lời mở đầu<br /> Cho f là một dạng vi phân song bậc (p, q) với các hệ số bình phương khả tích<br /> ứng với một độ đo Lebesgue có trọng nào đó, việc giải phương trình<br /> ¯<br /> ∂α = f<br /> <br /> là đi tìm một dạng vi phân α song bậc (p, q) với các hệ số trong một không gian<br /> ¯<br /> Hilbert xác định sao cho đẳng thức ∂α = f được nghiệm đúng theo nghĩa suy<br /> rộng hoặc cổ điển.<br /> ¯<br /> Phương trình ∂ như trên là một trong những phương trình quan trọng nhất<br /> ¯<br /> của lý thuyết hàm chỉnh hình nhiều biến phức. Việc giải phương trình ∂ gắn<br /> liền với bài toán xác định hàm chỉnh hình, bài toán thác triển hàm chỉnh hình,<br /> xác định các nhóm đối đồng điều Dolbeaux trên các miền chỉnh hình,... Bởi tính<br /> ¯<br /> quan trọng của phương trình ∂ trong giải tích phức nhiều biến, hình học phức<br /> ¯<br /> và tô pô, bài toán giải phương trình ∂ và tìm các ứng dụng của nó cho đến nay<br /> vẫn thu hút được sư quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học lớn trên thế<br /> giới.<br /> Trong những năm 1965, trong bài báo nổi tiếng [2], H¨rmander đã đưa ra<br /> o<br /> một lời giải rất đẹp, rất tự nhiên và sáng sủa cho bài toán tồn tại nghiệm, chính<br /> ¯<br /> quy hóa nghiệm của phương trình ∂ bằng các phương pháp của lý thuyết giải<br /> ¯<br /> tích hàm trên các không gian Hilbert. Nhận thấy rằng, toán tử ∂ là một toán<br /> tử tuyến tính, đóng, xác định trù mật giữa các không gian Hilbert xác định.<br /> H¨rmander đã chứng minh một loạt các ước lượng L2 đánh giá cơ bản và vận<br /> o<br /> dụng các ước lượng này cùng với lý thuyết toán tử trong không gian Hilbert để<br /> ¯<br /> giải quyết trọn vẹn bài toán tồn tại và chính quy hóa nghiệm cho phương trình ∂<br /> nói trên. Ngay sau khi phương pháp L2 đánh giá Hormander được giới thiệu, cho<br /> đến nay đã có nhiều thành tựu phát triển phương pháp nói trên và ngày càng<br /> nhiều ứng dụng của phương pháp L2 đánh giá được phát hiện. Phương pháp<br /> L2 đánh giá H¨rmander là một trong những công cụ quan trọng trong hình học<br /> o<br /> phức, hình học đại số, lý thuyết đa thế vị, tô pô và nhiều lĩnh vực khác.<br /> 3<br /> <br />