ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ VIỆT BÌNH

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

VŨ VIỆT BÌNH

ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ CHO TỰA NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU KHÔNG TRƠN Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Đỗ Văn Lưu

THÁI NGUYÊN - 2020

M(cid:246)c l(cid:246)c

B£ng k(cid:254) hi»u 1

M(cid:240) (cid:31)ƒu 2

1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224) 4

1.1. D(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. N(cid:226)n ti‚p tuy‚n v(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke . . . . . . . . . . . . 6

2 (cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi (cid:247)u 8

2.1. (cid:30)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. (cid:30)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker m⁄nh . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3. (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi (cid:247)u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 (cid:30)Łi ng¤u 25

3.1. (cid:30)Łi ng¤u y‚u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. (cid:30)Łi ng¤u m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc . . . . . . . . . . . . . . . . 27

K‚t lu“n 29

T(cid:160)i li»u tham kh£o 31

i

L(cid:237)i cam (cid:31)oan

T(cid:230)i xin cam (cid:31)oan (cid:31)¥y l(cid:160) c(cid:230)ng tr…nh nghi¶n cøu khoa h(cid:229)c (cid:31)ºc l“p cıa ri¶ng

b£n th¥n t(cid:230)i d(cid:247)(cid:238)i s(cid:252) h(cid:247)(cid:238)ng d¤n khoa h(cid:229)c cıa GS. TS. (cid:30)Ø V«n L(cid:247)u. C¡c nºi

dung nghi¶n cøu, k‚t qu£ trong lu“n v«n n(cid:160)y l(cid:160) trung th(cid:252)c v(cid:160) ch(cid:247)a tłng c(cid:230)ng

bŁ d(cid:247)(cid:238)i b§t k(cid:253) h…nh thøc n(cid:160)o tr(cid:247)(cid:238)c (cid:31)¥y.

Ngo(cid:160)i ra, trong lu“n v«n t(cid:230)i c(cid:226) sß d(cid:246)ng mºt sŁ k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ kh¡c

(cid:31)•u c(cid:226) tr‰ch d¤n v(cid:160) ch(cid:243) th‰ch ngu(cid:231)n gŁc. N‚u ph¡t hi»n b§t k(cid:253) s(cid:252) gian l“n n(cid:160)o

t(cid:230)i xin ch(cid:224)u tr¡ch nhi»m v• nºi dung lu“n v«n cıa m…nh.

Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y 20 th¡ng 3 n«m 2020

V(cid:244) Vi»t B…nh

T¡c gi£

ii

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) nghi¶n cøu (cid:31)” ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n t(cid:230)i (cid:31)¢ nh“n

(cid:31)(cid:247)æc s(cid:252) gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) nhi»t t…nh cıa ng(cid:247)(cid:237)i h(cid:247)(cid:238)ng d¤n, GS. TS. (cid:30)Ø V«n L(cid:247)u.

T(cid:230)i c(cid:244)ng muŁn gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n Khoa To¡n-Tin Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c,

(cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n (cid:31)¢ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n thu“n læi (cid:31)” t(cid:230)i c(cid:226) th” ho(cid:160)n th(cid:160)nh

tŁt lu“n v«n n(cid:160)y. Do th(cid:237)i gian c(cid:226) h⁄n, b£n th¥n t¡c gi£ cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n

v«n c(cid:226) th” c(cid:226) nhœng thi‚u s(cid:226)t. T¡c gi£ mong muŁn nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:254) ki‚n ph£n h(cid:231)i,

(cid:31)(cid:226)ng g(cid:226)p v(cid:160) x¥y d(cid:252)ng cıa c¡c thƒy c(cid:230), v(cid:160) c¡c b⁄n.

T(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n!

Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y 20 th¡ng 3 n«m 2020

V(cid:244) Vi»t B…nh

T¡c gi£

1

B£ng k(cid:254) hi»u

coM

coM coneM M − M s X ∗ T (M, x) TC(M, x) N (M, x) f −(x, d) f +(x, d) f 0(x, d) ∂Cf (x) ∂f (x)

bao l(cid:231)i cıa t“p M bao l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng cıa t“p M n(cid:226)n l(cid:231)i sinh ra b(cid:240)i M c(cid:252)c ¥m cıa M c(cid:252)c ¥m ch(cid:176)t cıa M kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u t(cid:230) p(cid:230) cıa kh(cid:230)ng gian X n(cid:226)n ti‚p li¶n cıa M t⁄i x n(cid:226)n ti‚p tuy‚n Clarke cıa M t⁄i x n(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke cıa M t⁄i x (cid:31)⁄o h(cid:160)m Dini d(cid:247)(cid:238)i cıa f t⁄i x theo ph(cid:247)(cid:236)ng d (cid:31)⁄o h(cid:160)m Dini tr¶n cıa f t⁄i x theo ph(cid:247)(cid:236)ng d (cid:31)⁄o h(cid:160)m suy rºng Clarke cıa f t⁄i x theo ph(cid:247)(cid:236)ng d d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke cıa f t⁄i x d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n cıa h(cid:160)m l(cid:231)i f t⁄i x t(cid:247)(cid:236)ng øng

t. (cid:247). KT KT V CP Kuhn-Tucker (cid:31)i”m t(cid:238)i h⁄n vect(cid:236) Kuhn- Tucker

2

M(cid:240) (cid:31)ƒu

1. M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa (cid:31)• t(cid:160)i lu“n v«n

Khi t‰nh to¡n c¡c nghi»m hœu hi»u, sau mºt sŁ hœu h⁄n b(cid:247)(cid:238)c, c¡c thu“t

to¡n tŁi (cid:247)u ch¿ cho ta c¡c nghi»m hœu hi»u x§p x¿. V… v“y vi»c nghi¶n cøu c¡c nghi»m hœu hi»u x§p x¿ l(cid:160) r§t cƒn thi‚t. Tł (cid:31)(cid:226) d¤n (cid:31)‚n vi»c nghi¶n

cøu c¡c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u. Golestani(cid:21)Sadeghi(cid:21)Tavan (2017) (cid:31)¢ nghi¶n cøu c¡c (cid:31)i•u ki»n tŁi (cid:247)u Kuhn- Tucker cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (weak

quasi efficient solution) v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (quasi efficient solution)

v(cid:160) c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u cho b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u kh(cid:230)ng tr(cid:236)n.

Lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y c¡c (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u cıa b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u v(cid:238)i c¡c h(cid:160)m Lipschitz

2. Nºi dung cıa (cid:31)• t(cid:160)i lu“n v«n

(cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng qua d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke cıa M. Golestani, H. Sadeghi, Y. Tavan (cid:31)«ng trong t⁄p ch‰ Numerical Functional Analysis and Optimization 38(2017), 883-704 v• (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı Kuhn-Tucker, (cid:31)Łi ng¤u y‚u, m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc.

Lu“n v«n bao g(cid:231)m phƒn m(cid:240) (cid:31)ƒu, ba ch(cid:247)(cid:236)ng, k‚t lu“n v(cid:160) danh m(cid:246)c c¡c

t(cid:160)i li»u tham kh£o.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 v(cid:238)i ti¶u (cid:31)•:"Ki‚n thøc chu'n b(cid:224)" tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke, n(cid:226)n ti‚p tuy‚n v(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke. Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 v(cid:238)i ti¶u (cid:31)•: "(cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi (cid:247)u" tr…nh b(cid:160)y c¡c k‚t qu£ nghi¶n cøu m(cid:238)i (cid:31)¥y cıa M. Golestani, H. Sadeghi, Y. Tavan (cid:31)«ng trong t⁄p ch‰ Numerical Functional Analysis and Optimization

3

38(2017), 683-704 v• (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı Kuhn-Tucker, (cid:31)Łi ng¤u y‚u, m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 v(cid:238)i ti¶u (cid:31)•: "(cid:30)Łi ng¤u" tr…nh b(cid:160)y c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u y‚u, m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi ng¤u Mond-Weir cıa b(cid:160)i to¡n (MP).

Th¡i Nguy¶n, ng(cid:160)y 15 th¡ng 3 n«m 2020

T¡c gi£ lu“n v«n

V(cid:244) Vi»t B…nh

4

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke,

n(cid:226)n ti‚p tuy‚n v(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke v(cid:160) mºt sŁ ki‚n thøc cƒn d(cid:242)ng trong c¡c ch(cid:247)(cid:236)ng sau. C¡c ki‚n thøc tr…nh b(cid:160)y trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc

1.1. D(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke

tham kh£o trong [1,2,4].

Gi£ sß x = (x1, . . . , x(cid:96)) v(cid:160) y = (y1, . . . , y(cid:96)) l(cid:160) hai vect(cid:236) trong R(cid:96). C¡c k‰

hi»u sau (cid:31)¥y s‡ (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng sau n(cid:160)y:

v(cid:238)i m(cid:229)i i, n‚u xi = yi,

x = y, x (cid:53) y, v(cid:238)i m(cid:229)i i, n‚u xi ≤ yi,

x < y, v(cid:238)i m(cid:229)i i,

x ≤ y, n‚u xi < yi, n‚u x (cid:53) y v(cid:160) x (cid:54)= y.

Gi£ sß M l(cid:160) mºt t“p con cıa R(cid:96). Th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng, cl M , int M , co(M ) v(cid:160) cone (M ) (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) bao (cid:31)(cid:226)ng, phƒn trong, bao l(cid:231)i v(cid:160) n(cid:226)n sinh b(cid:240)i M t(cid:247)(cid:236)ng øng. C(cid:252)c ¥m v(cid:160) c(cid:252)c ¥m ch(cid:176)t cıa M (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

(cid:111) (cid:110) ∀ν ∈ M , M − :=

(cid:111) (cid:110) ∀ν ∈ M , M s := ξ ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)ξ, ν(cid:105) ≤ 0, ξ ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:12) (cid:12)(cid:104)ξ, ν(cid:105) < 0,

trong (cid:31)(cid:226) (cid:104)·, ·(cid:105) l(cid:160) t‰ch v(cid:230) h(cid:247)(cid:238)ng trong R(cid:96).

Ta nh›c l⁄i mºt sŁ k‰ hi»u th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng trong gi£i t‰ch kh(cid:230)ng tr(cid:236)n (xem

[2]).

5

Gi£ sß ϕ : R(cid:96) → R l(cid:160) h(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1 (cid:30)⁄o h(cid:160)m theo ph(cid:247)(cid:236)ng suy rºng (generalized directional derivative) cıa ϕ t⁄i x theo ph(cid:247)(cid:236)ng ν (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau

. ϕ(y + tν) − ϕ(y) t ϕ◦(x; ν) = lim sup y→x,t↓0

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2 D(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke (Clarke’s subdifferential) cıa ϕ t⁄i x (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i

∂Cϕ(x) = {ξ ∈ R(cid:96)|(cid:104)ξ, ν(cid:105) ≤ ϕ◦(x; ν) ∀ν ∈ R(cid:96)}.

Chflng h⁄n, h(cid:160)m f (x) = (cid:107)x − x0(cid:107) kh(cid:230)ng kh£ vi t⁄i x0 v(cid:160) d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke cıa n(cid:226) t⁄i x0 l(cid:160) h…nh cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng B[0, 1] := B trong R(cid:96).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.3 D(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n cıa h(cid:160)m l(cid:231)i ϕ : R(cid:96) → R t⁄i x ∈ R(cid:96) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) sau:

∂ϕ(x) = {ξ ∈ R(cid:96) : (cid:104)ξ, x − x(cid:105) ≤ ϕ(x) − ϕ(x)}.

Ta bi‚t r‹ng ¡nh x⁄ ν (cid:55)→ ϕ◦(x; ν) l(cid:160) mºt h(cid:160)m l(cid:231)i, d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n cıa n(cid:226) (theo ngh(cid:190)a gi£i t‰ch l(cid:231)i, xem [1]) t⁄i ν = 0 t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc k‰ hi»u l(cid:160) ∂ϕ◦(x; ·)(0) v(cid:160) khflng (cid:31)(cid:224)nh sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng:

∂Cϕ(x) = ∂ϕ◦(x; ·)(0).

Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke cıa mºt h(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

BŒ (cid:31)• 1.1 [2] Gi£ sß ϕ, ψ : R(cid:96) → R l(cid:160) h(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng trong mºt l¥n c“n cıa x ∈ R(cid:96). Khi (cid:31)(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng: i) ∂Cϕ(x) l(cid:160) t“p con kh¡c rØng, compact v(cid:160) l(cid:231)i cıa R(cid:96). ii) V(cid:238)i m(cid:229)i ν ∈ R(cid:96), ϕ◦(x; ν) = max{(cid:104)ξ, ν(cid:105)|ξ ∈ ∂Cϕ(x)}.

iii) V(cid:238)i b§t k… sŁ λ, ∂Cλϕ(x) = λ∂Cϕ(x). iv) H(cid:160)m ν (cid:55)→ ϕ◦(x; ν) l(cid:160) hœu h⁄n, thuƒn nh§t d(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) d(cid:247)(cid:238)i tuy‚n t‰nh tr¶n R(cid:96).

v) N‚u ϕ v(cid:160) ψ l(cid:160) hai h(cid:160)m l(cid:231)i th… c(cid:226) ∂C(ϕ + ψ)(x) = ∂Cϕ(x) + ∂Cψ(x).

6

1.2. N(cid:226)n ti‚p tuy‚n v(cid:160) n(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke

Sau (cid:31)¥y ta (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o mºt v(cid:160)i n(cid:226)n s‡ (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng sau n(cid:160)y. Gi£ sß

(cid:110) (cid:111) . T (M, x0) := M ⊂ R(cid:96), x0 ∈ clM , • N(cid:226)n ti‚p li¶n (contingent cone) cıa M t⁄i x0 l(cid:160) ν ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:12) (cid:12)∃tn ↓ 0, ∃νn → ν; x0 + tnνn ∈ M

• N(cid:226)n ti‚p tuy‚n Clarke (Clarke’s tangent cone) cıa M t⁄i x0 l(cid:160)

TC(M, x0)

(cid:111) := . ν ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:110) (cid:12) (cid:12)∀tn ↓ 0, ∀xn → x0 v(cid:238)i xn ∈ M, ∃νn → ν; xn + tnνn ∈ M

• N(cid:226)n ph¡p tuy‚n Clarke (Clarke’s normal cone) cıa M t⁄i x0 l(cid:160)

(cid:111) . N (M, x0) := ∀w ∈ TC(M, x0) ν ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:110) (cid:12) (cid:12)(cid:104)w, ν(cid:105) ≤ 0,

i (x0; ·) + αi(cid:107) · (cid:107), g◦

Ta bi‚t r‹ng

TC(M, x0) ⊂ T (M, x0). Gi£ sß Q l(cid:160) mºt t“p con cıa R(cid:96). Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp fi, i ∈ {1, . . . , m}, gj, j ∈ {1, . . . , n}, hk, k ∈ {1, . . . , p} l(cid:160) Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng trong mºt l¥n c“n cıa x0 ∈ clQ v(cid:160) α ∈ int(Rm + ), theo BŒ (cid:31)• 1.1, f ◦ j (x0; ·) v(cid:160) k(x0; ·) l(cid:160) hœu h⁄n d(cid:247)(cid:238)i tuy‚n t‰nh tr¶n R(cid:96), ∂C(−hk)(x0) = −∂Chk(x0) v(cid:160) h◦ k(x0; −ν) = (−hk)◦(x0; ν). H(cid:236)n nœa, TC(Q, x0) l(cid:160) mºt t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng h◦ cıa R(cid:96) v(cid:160) 0 ∈ TC(Q, x0).

C¡c k‚t qu£ sau (cid:31)¥y l(cid:160) l(cid:160) cƒn thi‚t (cid:31)” chøng minh c¡c (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi

(cid:247)u ki”u Kuhn-Tucker v(cid:160) Kuhn-Tucker m⁄nh cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u.

H» qu£ 1.1 [4] Gi£ sß f = (f1, . . . , fm), g = (g1, . . . , gn) v(cid:160) h = (h1, . . . , hp) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m vect(cid:236) v(cid:238)i c¡c th(cid:160)nh phƒn Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n R(cid:96). Gi£ sß r‹ng Q l(cid:160) mºt t“p con cıa R(cid:96), x0 ∈ clQ v(cid:160) α ∈ int(Rm + ). Khi (cid:31)(cid:226), c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) H» sau (cid:31)¥y kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m:

1 (x0; ν), . . . , f ◦ 1(x0; ν), . . . , g◦

m(x0; ν)) < −α(cid:107)ν(cid:107), n(x0; ν)) (cid:53) 0,

f ◦(x0; ν) = (f ◦ g◦(x0; ν) = (g◦

7

1(x0; ν), . . . , h◦

p(x0; ν)) (cid:53) 0,

1(x0; −ν), . . . , h◦

p(x0; −ν)) (cid:53) 0,

h◦(x0; ν) = (h◦ h◦(x0; −ν) = (h◦ ν ∈ TC(Q, x0).

+ × Rp

+, λ (cid:54)= 0 sao cho

+ × Rp

m (cid:88)

+ × Rn n (cid:88)

p (cid:88)

ii) T(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν, ˜ν) ∈ Rm

i=1

i=1

k=1

p (cid:88)

m (cid:88)

0 ∈ νk∂Chk(x0) λi∂Cfi(x0) + µj∂Cgj(x0) +

i=1

k=1

+ (1.1) ˜νk∂C(−hk)(x0) + λiαiB + N (Q, x0).

i (x0; .) + αi||.|| v(cid:160) (g0

k(x0; .), (−hk)0(x0; .)).

Chøng minh. H» qu£ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) BŒ (cid:31)• 2.2 v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3 trong [5], b‹ng c¡ch thay Q b‹ng TC(Q, x0) v(cid:160) c¡c h(cid:160)m fi, gj t(cid:247)(cid:236)ng (cid:3) j (x0, .), h0 øng b(cid:240)i f 0

H» qu£ 1.2 [4] Gi£ sß f = (f1, . . . , fm), g = (g1, . . . , gn) v(cid:160) h = (h1, . . . , hp) l(cid:160) c¡c h(cid:160)m vect(cid:236) v(cid:238)i c¡c th(cid:160)nh phƒn Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng tr¶n R(cid:96) v(cid:160) Q l(cid:160) mºt t“p con cıa R(cid:96) v(cid:160) x0 ∈ clQ. Gi£ sß r‹ng α ∈ int(Rm + ) v(cid:160) v(cid:238)i mØi i0 ∈ I = {1, . . . , m}, n(cid:226)n

j=1

  (cid:33) (cid:32) n (cid:91) (cid:91) ∂Cgj(x0) (∂Cfi(x0) + αiB) Di0 = cone co  + cone co 

i∈I\{i0} (cid:32) p (cid:91)

k=1

k=1

(cid:33) (cid:33) (cid:32) p (cid:91) + cone co + cone co ∂Chk(x0) ∂C(−hk)(x0) + N (Q, x0)

(cid:31)(cid:226)ng, th… c¡c ph¡t bi”u sau (cid:31)¥y l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:

(i) H» sau (cid:31)¥y kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m:

1 (x0; ν), . . . , f ◦ 1(x0; ν), . . . , g◦

m(x0; ν)) < −α(cid:107)ν(cid:107), n(x0; ν)) (cid:53) 0,

1(x0; ν), . . . , h◦

p(x0; ν)) (cid:53) 0,

1(x0; −ν), . . . , h◦

p(x0; −ν)) (cid:53) 0,

f ◦(x0; ν) = (f ◦ g◦(x0; ν) = (g◦

h◦(x0; ν) = (h◦ h◦(x0; −ν) = (h◦ ν ∈ TC(Q, x0).

+ × Rp

+, λ (cid:54)= 0 sao cho (1.1) (cid:31)(cid:243)ng.

++ × Rn

+ × Rp

(ii) T(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν, ˜ν) ∈ Rm

8

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

(cid:30)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi

(cid:247)u

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 tr…nh b(cid:160)y c¡c (cid:31)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker v(cid:160) Kuhn-Tucker

m⁄nh c(cid:242)ng v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u cıa b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u kh(cid:230)ng tr(cid:236)n c(cid:226) r(cid:160)ng buºc.

2.1. (cid:30)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker

C¡c k‚t qu£ cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tham kh£o trong [3(cid:21)8].

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y, ch(cid:243)ng ta x†t b(cid:160)i to¡n c(cid:226) r(cid:160)ng buºc b§t (cid:31)flng thøc,

(cid:31)flng thøc v(cid:160) r(cid:160)ng buºc t“p sau (cid:31)¥y:

(MP) min f (x) := (f1(x), . . . , fm(x)),

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

g(x) := (g1(x), . . . , gn(x)) (cid:53) 0, h(x) := (h1(x), . . . , hp(x)) = 0,

x ∈ Q,

trong (cid:31)(cid:226) fi, i ∈ I = {1, . . . , m}, gj, j ∈ J = {1, . . . , n}, hk, k ∈ K = {1, . . . , p} l(cid:160) c¡c h(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng gi¡ tr(cid:224) th(cid:252)c tr¶n R(cid:96) v(cid:160) Q ⊆ R(cid:96) l(cid:160) t“p b§t k….

K‰ hi»u S l(cid:160) mi•n ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa b(cid:160)i to¡n (MP), c(cid:246) th”

(cid:111) . S := x ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:110) (cid:12)g(x) (cid:53) 0, h(x) = 0, x ∈ Q (cid:12)

9

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1 (cid:30)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc x0 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

a) Nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c hœu hi»u) n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa x0 sao cho v(cid:238)i b§t k(cid:253) x ∈ U ∩ S (t.(cid:247), x ∈ S) b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng

f (x) ≤ f (x0).

b) Nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c hœu hi»u y‚u) n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa x0 sao cho v(cid:238)i b§t k(cid:253) x ∈ U ∩ S (t.(cid:247)., x ∈ S) b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng

f (x) < f (x0).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.2 [6] (cid:30)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc x0 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)

a) T(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u) cho (MP) n‚u t(cid:231)n t⁄i α ∈ int(Rm + ) v(cid:160) l¥n c“n U cıa x0 sao cho v(cid:238)i b§t k(cid:253) x ∈ U ∩ S (t.(cid:247)., x ∈ S) b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng

(2.1) f (x) ≤ f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107).

b) T(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u) cıa (MP) n‚u t(cid:231)n t⁄i α ∈ int(Rm + ) v(cid:160) mºt l¥n c“n U cıa x0 sao cho v(cid:238)i b§t k(cid:253) x ∈ U ∩ S (t.(cid:247)., x ∈ S) b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng

(2.2) f (x) < f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107).

+ ).

Ta n(cid:226)i r‹ng x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) cıa (MP) theo α n‚u (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i α ∈ int(Rm

H» qu£ tr(cid:252)c ti‚p cıa (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n l(cid:160) mºt nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

(nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

(t.(cid:247)., t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) cıa (MP). (cid:30)i•u ng(cid:247)æc l⁄i n(cid:226)i chung kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng, c(cid:226) th” th§y trong v‰ d(cid:246) sau (cid:31)¥y.

10

V‰ d(cid:246) 2.1 X†t b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u sau (cid:31)¥y:

(P1) min f (x) = (x2 − x, −x),

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc

g(x) = −x ≤ 0,

h(x) = 0,

x ∈ Q,

trong (cid:31)(cid:226) Q = {x ∈ R : |x| ≤ 1}. B(cid:240)i v… v(cid:238)i α = (1, 1) kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i x ∈ S sao cho (2.1) (ho(cid:176)c (2.2)) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0, nh(cid:247) v“y x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (y‚u) theo α = (1, 1). D„ d(cid:160)ng ki”m chøng r‹ng x0 = 0 kh(cid:230)ng l(cid:160) nghi»m hœu hi»u (y‚u) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng cıa (P1).

(cid:30)” thu“n ti»n ta (cid:31)(cid:247)a v(cid:160)o mºt v(cid:160)i k(cid:254) hi»u sau (cid:31)¥y:

(cid:12)fi(x) ≤ fi(x0) − αi(cid:107)x − x0(cid:107), ∀i (cid:54)= l, g(x) (cid:53) 0, h(x) = 0, x ∈ Q(cid:9)

(∂Cfi(x0) + αiB)

i∈I\{l}

Sl := (cid:8)x ∈ R(cid:96)(cid:12) F := (cid:83) i∈I F l := (cid:83) (∂Cfi(x0) + αiB)

j∈J(x0)

G := (cid:83)

k∈K

∂Cgj(x0) ∂Chk(x0) ∪ (cid:83) ∂C(−hk)(x0), H := (cid:83) k∈K

+ ) v(cid:160) B l(cid:160) h…nh cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng trong R(cid:96).

trong (cid:31)(cid:226) J(x0) k(cid:254) hi»u t“p ch¿ sŁ c¡c r(cid:160)ng buºc t‰ch c(cid:252)c t⁄i (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc x0 v(cid:160) α ∈ int(Rm

M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa phƒn n(cid:160)y l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y c¡c (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi (cid:247)u Kuhn-

Tucker v(cid:160) Kuhn-Tucker m⁄nh cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (y‚u) v(cid:238)i c¡c (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy sau (cid:31)¥y: (F i)s (cid:92) H − (cid:92) Gs (cid:92) (CQ1)

TC(Q, x0) (cid:54)= ∅, ∀i ∈ I. m (cid:92) F − (cid:92) G− (cid:92) H − (cid:92) (CQ2) T (Si, x0). TC(Q, x0) ⊆

i=1 TC(Q, x0) ⊆ T (S, x0).

F s (cid:92) G− (cid:92) (CQ3)

  (CQ4)  H − (cid:92) F s (cid:84) G− (cid:84) H − (cid:84) TC(Q, x0) ⊆ T (S, x0) (F i)s (cid:84) G− (cid:84) H − (cid:84) TC(Q, x0) (cid:54)= ∅, ∀i ∈ I.

Nh“n x†t 2.1 Li [3] (cid:31)¢ ch¿ ra r‹ng: n‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) h…nh cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) (cid:31)(cid:226)ng

11

B v(cid:160) r(cid:160)ng buºc (cid:31)flng thøc v(cid:160) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp x0 ∈ int Q, (CQ1) l(cid:160) mºt t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) kh(cid:230)ng tr(cid:236)n cıa (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i Maeda [7] l(cid:160) mºt tŒng qu¡t h(cid:226)a cıa (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy Cottle v(cid:160) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp

kh£ vi li¶n t(cid:246)c cıa (MP), (CQ1) quy v• mºt (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy y‚u h(cid:236)n (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy cıa cıa Maeda v(cid:160) nh(cid:247) l(cid:160) mºt tŒng qu¡t h(cid:226)a cıa (cid:31)i•u

ki»n ch‰nh quy Mangasarian-Fromovitz.

+ ), cƒn ch(cid:243) (cid:254) r‹ng kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i

B(cid:240)i v… (CQ2) ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o α ∈ int(Rm

quan h» giœa (CQ2) v(cid:160) (cid:31)i•u ki»n ch‰nh quy sau (cid:31)¢ cho trong [5]:

m (cid:92)

i=1

i∈I

(cid:33)− (cid:32) (cid:92) (cid:91) G− (cid:92) H − (cid:92) (CQ) ∂Cfi(x0) TC(Q, x0) ⊆ T (X i, x0),

trong (cid:31)(cid:226)

(cid:110) (cid:111) X i := . x ∈ R(cid:96)(cid:12) (cid:12)fj(x) ≤ fj(x0), ∀j (cid:54)= i, g(x) (cid:53) 0, h(x) = 0, x ∈ Q (cid:12)

(cid:30)” minh h(cid:229)a (cid:31)i•u n(cid:160)y, ta x†t V‰ d(cid:246) 2.1. D„ d(cid:160)ng ki”m tra r‹ng v(cid:238)i α = (2, 2), (CQ2) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0 nh(cid:247)ng (CQ) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0. Tuy nhi¶n, n‚u ta x†t Q = [0, 1] v(cid:160) α = (1, 1) th… (CQ) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0 nh(cid:247)ng (CQ2) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0.

BŒ (cid:31)• 2.1 C¡c suy lu“n sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:243)ng:

(CQ1) ⇒ (CQ2) ⇒ (CQ3),

(CQ1) ⇒ (CQ4) v(cid:160) (CQ4) ⇒ (CQ3).

Chøng minh. B(cid:240)i v… n‚u A v(cid:160) B l(cid:160) t“p l(cid:231)i (ho(cid:176)c compact) th… A + B c(cid:244)ng l(cid:231)i (ho(cid:176)c compact) v(cid:160) chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) M»nh (cid:31)• 7.1 trong [3] ta (cid:3) nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

K(cid:254) hi»u B(x0, δ) l(cid:160) h…nh cƒu t¥m x0, b¡n k‰nh δ. (cid:30)” tr…nh b(cid:160)y k‚t qu£

ch‰nh cıa phƒn n(cid:160)y, ta cƒn hai (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.1 Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α. Gi£ sß (CQ2) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) ∩ S h» sau (cid:31)¥y kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n:

12

(2.3)

f ◦(x0, x − x0) ≤ −α(cid:107)x − x0(cid:107), g◦ j (x0, x − x0) ≤ 0 ∀j ∈ J(x0), h◦(x0, x − x0) (cid:53) 0, (−h)◦(x0, x − x0) (cid:53) 0, x − x0 ∈ TC(Q, x0).

H − (cid:92) G− (cid:92) (2.4) Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, v(cid:238)i mØi δ > 0 t(cid:231)n t⁄i x ∈ B(x0, δ) ∩ S sao cho h» (2.3) (cid:31)(cid:243)ng. C¡c (cid:31)i•u ki»n n(cid:160)y k†o theo x − x0 ∈ F − (cid:92) TC(Q, x0).

(x0; ν) + αi0(cid:107)ν(cid:107) < 0. Gi£ sß ε > 0 th(cid:228)a m¢n (cid:30)” (cid:31)(cid:236)n gi£n k(cid:254) hi»u, ta vi‚t ν = x − x0. B(cid:240)i v… f ◦(x0, ν) ≤ −α(cid:107)ν(cid:107), khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i i0 ∈ I sao cho f ◦ i0

(x0; ν) + αi0(cid:107)ν(cid:107) < −ε. f ◦ i0

B(cid:240)i v…

(x0; ν), (x0; ν) ≤ f ◦ i0 f + i0

ta suy ra t(cid:231)n t⁄i δ0 > 0 sao cho

(2.5) + αi0(cid:107)ν(cid:107) < −ε ∀t ∈ (0, δ0). fi0(x0 + tν) − fi0(x0) t

M(cid:176)t kh¡c, b(cid:240)i v… (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α), tł (2.4) ta suy ra ν ∈ (cid:84)m i=1 T (Si, x0) v(cid:160) v… v“y ν ∈ T (Si0, x0). Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i tn ↓ 0 v(cid:160) νn → ν sao

cho

(2.6) x0 + tnνn ∈ Si0.

B¥y gi(cid:237) gi£ sß h‹ng sŁ Lipschitzian cıa fi0 trong l¥n c“n cıa x0 l(cid:160) k. Do (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i n (cid:31)ı l(cid:238)n ta c(cid:226)

fi0(x0 + tnνn) ≤ fi0(x0 + tnν) + ktn(cid:107)νn − ν(cid:107).

V… v“y

≤ (2.7) + k(cid:107)νn − ν(cid:107). fi0(x0 + tnνn) − fi0(x0) tn fi0(x0 + tnν) − fi0(x0) tn

13

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), tł b§t (cid:31)flng thøc (cid:107)νn(cid:107) ≤ (cid:107)νn − ν(cid:107) + (cid:107)ν(cid:107) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

(2.8) αi0(cid:107)νn(cid:107) ≤ αi0(cid:107)νn − ν(cid:107) + αi0(cid:107)ν(cid:107).

B(cid:240)i v… k(cid:107)νn − ν(cid:107) → 0 v(cid:160) αi0(cid:107)νn − ν(cid:107) → 0 ta suy ra v(cid:238)i n (cid:31)ı l(cid:238)n

(2.9) k(cid:107)νn − ν(cid:107) <

. ε 4 αi0(cid:107)νn − ν(cid:107) < , ε 4

Tł (2.5) v(cid:160) (2.7)-(2.9), v(cid:238)i n (cid:31)ı l(cid:238)n, ta c(cid:226)

+ αi0(cid:107)νn(cid:107) fi0(x0 + tnνn) − fi0(x0) tn

≤ + αi0(cid:107)νn(cid:107) + k(cid:107)νn − ν(cid:107)

≤ + αi0(cid:107)ν(cid:107) + αi0(cid:107)νn − ν(cid:107) + k(cid:107)νn − ν(cid:107)

≤ + αi0(cid:107)ν(cid:107) + (αi0 + k)(cid:107)νn − ν(cid:107)

fi0(x0 + tnν) − fi0(x0) tn fi0(x0 + tnν) − fi0(x0) tn fi0(x0 + tnν) − fi0(x0) tn < −ε + (αi0 + k)(cid:107)νn − ν(cid:107) < 0. (2.10)

Nh(cid:247) v“y, tł (2.6) v(cid:160) (2.10) ta k‚t lu“n (cid:31)(cid:247)æc r‹ng v(cid:238)i mØi δ > 0 t(cid:231)n t⁄i x0 + tnνn ∈ B(x0, δ) ∩ S sao cho

f (x0 + tnνn) ≤ f (x0) − αtn(cid:107)νn(cid:107).

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo (cid:3) α.

Mºt c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) chøng minh tr¶n, ta c(cid:226) th” ph¡t bi”u v(cid:160) chøng minh

(cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y cho kh¡i ni»m t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.2 Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α. Gi£ sß (CQ3) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) ∩ S h» sau (cid:31)¥y kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n:

f ◦(x0, x − x0) < −α(cid:107)x − x0(cid:107), g◦ j (x0, x − x0) ≤ 0 ∀j ∈ J(x0),

14

(2.11)

h◦(x0, x − x0) (cid:53) 0, (−h)◦(x0, x − x0) (cid:53) 0, x − x0 ∈ TC(Q, x0).

Nh“n x†t 2.2 V(cid:238)i v‰ d(cid:246) 2.1, d„ d(cid:160)ng ki”m tra r‹ng khi Q = [0, 1] v(cid:160) α = (2, 2), x0 = 0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (y‚u) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α, (CQ2) v(cid:160) (CQ3) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α) v(cid:160) h» (2.3), (2.11) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng (CQ) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0 nh(cid:247)ng m(cid:229)i x > 0 l(cid:160) mºt nghi»m cıa h» (P) cho trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.4 cıa [8]. Nh(cid:247) v“y, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 m(cid:240) rºng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.4

trong [5] cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng sang tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

Khi kh(cid:230)ng c(cid:226) c¡c r(cid:160)ng buºc (cid:31)flng thøc v(cid:160) r(cid:160)ng buºc t“p, th… kh¡i ni»m (cid:31)i”m t(cid:238)i h⁄n Kuhn-Tucker l(cid:160) (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi (cid:247)u cho nghi»m hœu hi»u

cıa (MP) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a trong [8]. Sau (cid:31)¥y kh¡i ni»m n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tŒng qu¡t h(cid:226)a th(cid:160)nh (cid:31)i•u ki»n cƒn cho (MP) c(cid:226) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u ho(cid:176)c t(cid:252)a

nghi»m hœu hi»u y‚u.

n (cid:88)

m (cid:88)

j=1

k=1

i=1 m (cid:88)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.3 (cid:30)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc x0 (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)i”m t(cid:238)i h⁄n vect(cid:236) Kuhn-Tucker (Kuhn-Tucker vetor critical point), vi‚t t›t l(cid:160) KTVCP, cho + × Rp, λ (cid:54)= 0 sao cho + × Rn + ) v(cid:160) (λ, µ, ν) ∈ Rm (MP) n‚u t(cid:231)n t⁄i α ∈ int(Rm p (cid:88) 0 ∈ (2.12) λi∂Cfi(x0) + µj∂Cgj(x0) + νk∂Chk(x0)

i=1

+ λiαiB + N (Q, x0),

µjgj(x0) = 0, ∀j ∈ J.

Ta n(cid:226)i r‹ng x0 l(cid:160) KTVCP theo α cho (MP) n‚u (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n (cid:31)(cid:243)ng

+ ).

v(cid:238)i α ∈ int(Rm

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y tr…nh b(cid:160)y (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi (cid:247)u Kuhn-Tucker cho t(cid:252)a

nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.3 ((cid:30)i•u ki»n KT) Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) x0 l(cid:160) KTVCP theo α.

15

+ × Rp

+ × Rn

Chøng minh. V… x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α), (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 k†o theo t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) ∩ S h» (2.3) kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m, c(cid:244)ng nh(cid:247) h» (2.11) kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m. B‹ng c¡ch l§y µj = 0 v(cid:238)i j /∈ J(x0) v(cid:160) sß d(cid:246)ng h» qu£ 1.1 ta + × Rp suy ra t(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν, ˜ν) ∈ Rm +, λ (cid:54)= 0 sao cho (1.1) (cid:31)(cid:243)ng. B‹ng c¡ch thay th‚ νk = νk − ˜νk ∈ Rp (νk c(cid:226) th” kh(cid:230)ng ¥m ho(cid:176)c kh(cid:230)ng (cid:3) d(cid:247)(cid:236)ng) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

B‹ng c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), d„ d(cid:160)ng chøng minh (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi (cid:247)u Kuhn-

Tucker cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.4 ((cid:30)i•u ki»n KT) Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ3) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) x0 l(cid:160) KTVCP theo α.

2.2. (cid:30)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker m⁄nh

Nh“n x†t 2.3 C¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3 v(cid:160) 2.4 m(cid:240) rºng v(cid:160) tŒng qu¡t h(cid:226)a (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2 trong [6].

B¥y gi(cid:237) ta tr…nh b(cid:160)y (cid:31)i•u ki»n cƒn tŁi (cid:247)u Kuhn-Tucker m⁄nh qua d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu

hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

i∈I\{i0}

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.5 ((cid:30)i•u ki»n KT m⁄nh) Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α. Gi£ sß (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α) v(cid:160) v(cid:238)i mØi i0 ∈ I     (cid:91) (cid:91) ∂Cgj(x0) (∂Cfi(x0) + αiB) Di0 = cone co   + cone co  

j∈J(x0) (cid:33)

k=1

k=1

(cid:33) (cid:32) p (cid:91) (cid:32) p (cid:91) + cone co + cone co ∂Chk(x0) ∂C(−hk)(x0) + N (Q, x0)

++ × Rn

+ × Rp sao cho bi”u di„n (2.12)

(2.13)

l(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν) ∈ Rm (cid:31)(cid:243)ng.

16

+ × Rp

++ × Rn

+ × Rp

Chøng minh. B(cid:240)i v… x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α), (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.1 k†o theo t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) ∩ S h» (2.3) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. V… Di0 (cid:31)(cid:226)ng, v(cid:238)i mØi i0 ∈ I trong (2.13), b‹ng c¡ch l§y µj = 0 v(cid:238)i j /∈ J(x0) v(cid:160) sß d(cid:246)ng H» qu£ 1.2, t(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν, ˜ν) ∈ Rm + sao cho bi”u di„n (1.1) th(cid:228)a m¢n. B‹ng c¡ch thay th‚ νk = νk − ˜νk ∈ Rp (νk c(cid:226) th” kh(cid:230)ng ¥m ho(cid:176)c (cid:3) kh(cid:230)ng d(cid:247)(cid:236)ng) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

+ × Rp sao cho bi”u di„n (2.12) (cid:31)(cid:243)ng.

++ × Rn

+ × Rn

p (cid:88)

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.6 ((cid:30)i•u ki»n KT m⁄nh) Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ4) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν) ∈ Rm

m (cid:88)

i=1

i=1

j=1

k=1

Chøng minh. V… (CQ4) k†o theo (CQ3), theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4, t(cid:231)n t⁄i (λ, µ, ν) ∈ Rm + × Rp, λ (cid:54)= 0 sao cho (2.12) (cid:31)(cid:243)ng. B¥y gi(cid:237) ta gi£ sß r‹ng t(cid:231)n t⁄i i(cid:48) ∈ I sao cho λi(cid:48) = 0. Theo (2.12), t(cid:231)n t⁄i ξi ∈ ∂Cfi(x0), ηj ∈ ∂Cgj(x0), ζk ∈ ∂Chk(x0), e ∈ B v(cid:160) d ∈ N (Q, x0) sao cho m n (cid:88) (cid:88) (2.14) νkζk + λiαie + d = 0. λiξi + µjηj +

M(cid:176)t kh¡c, theo phƒn hai cıa h» (CQ4), t(cid:231)n t⁄i ν ∈ TC(Q, x0) sao cho

∀i ∈ I \ {i(cid:48)}, (cid:104)ξi, ν(cid:105) < −αi(cid:107)ν(cid:107),

∀j ∈ J, (cid:104)ηj, ν(cid:105) ≤ 0,

∀k ∈ K, (2.15) (cid:104)ζk, ν(cid:105) = 0,

+ × Rn

+ × Rp, λ (cid:54)= 0 v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i e ∈ B, (cid:104)e, ν(cid:105) ≤ (cid:107)ν(cid:107), ta suy

(cid:104)d, ν(cid:105) ≤ 0.

n (cid:88)

p (cid:88)

m (cid:88)

i=1

i=1

j=1

k=1

++ v(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng (cid:3)

Do (λ, µ, ν) ∈ Rm ra (cid:43) (cid:42) m (cid:88) < 0. (2.16) λiξi + µjηj + νkζk + λiαie + d, ν

(cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (2.14). Nh(cid:247) v“y λ ∈ Rm minh.

Nh“n x†t 2.4 (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5 v(cid:160) 2.6 m(cid:240) rºng v(cid:160) tŒng qu¡t h(cid:226)a (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.5 v(cid:160) 3.10 cho trong [5] tł tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cho nghi»m hœu hi»u (y‚u) sang tr(cid:247)(cid:237)ng

hæp t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (y‚u) (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

17

Sau (cid:31)¥y, ta tr…nh b(cid:160)y hai v‰ d(cid:246) minh h(cid:229)a cho (cid:31)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker

m⁄nh cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u.

V‰ d(cid:246) 2.2 X†t b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u sau:

(P 2) min f (x) = (x2 − 2x, −2x)

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

x x ≤ 0 x x ≤ 0     g(x) = , h(x) = , −x x > 0 0 x > 0  

x ∈ Q = [0, 1].

B(cid:240)i v… v(cid:238)i α = (2, 2) kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i x ∈ S sao cho (2.1) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 0, n¶n x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u ((cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) theo α = (2, 2). D„ ki”m tra r‹ng x0 kh(cid:230)ng l(cid:160) nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. B‹ng mºt t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n, ta c(cid:226)

∂Cf1(0) = ∂Cf2(0) = {−2},

∂Cg(0) = [−1, 1],

∂Ch(0) = [0, 1],

∂C(−h)(0) = [−1, 0],

N (Q, 0) = (−∞, 0].

D„ d(cid:160)ng th§y r‹ng v(cid:238)i i = 1, 2, Di (cid:31)(cid:226)ng v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). B‹ng c¡ch l§y λ1 = λ2 = µ = ν = e = 1, bi”u di„n (2.12) th(cid:228)a m¢n.

V‰ d(cid:246) 2.3 X†t b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u sau:

(P 3) min f (x) = (f1(x), f2(x))

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

x ∈ S = {x ∈ R|g(x) ≤ 0, h(x) = 0, x ∈ Q},

trong (cid:31)(cid:226) Q = {x ∈ R : |x| ≤ 2} v(cid:160) g, h, fi : R → R, i = 1, 2 (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i

− (x − 1), x ≥ 1 (x − 1), x ≥ 1 x2 −     1 2 , , f2(x) = f1(x) =   x, x < 1 1 2 −x, x < 1

18

2, 1

3

−(x − 1)2, x ≥ 1 x ≥ 1 0,     g(x) = , h(x) = 0, x < 1 (x − 1)2, x < 1.  

2, 1

3

(cid:1) kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i x ∈ S sao cho (2.2) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i x0 = 1, (cid:1). Ta c(cid:226) B(cid:240)i v… v(cid:238)i α = (cid:0) 1 n¶n x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α = (cid:0) 1

(cid:21) (cid:20) 1, , ∂Cf1(1) = 3 2 (cid:20) (cid:21) −1, − , ∂Cf2(1) = 1 2

∂Cg(1) = ∂Ch(1) = ∂C(−h)(1) = {0},

N (Q, 1) = {0}.

2.3. (cid:30)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi (cid:247)u

Ta c(cid:226) (CQ4) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). B‹ng c¡ch l§y λ1 = λ2 = 1 v(cid:160) µ = ν = e = 0 bi”u di„n (2.12) th(cid:228)a m¢n.

Nh›c l⁄i kh¡i ni»m l(cid:231)i th(cid:230)ng th(cid:247)(cid:237)ng cıa h(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng. H(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng ϕ : X → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i t⁄i x0 ∈ X n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X, ta c(cid:226)

ϕ(x) ≥ ϕ(x0) + (cid:104)ξ, x − x0(cid:105), ∀ξ ∈ ∂Cϕ(x0).

(cid:30)(cid:176)c tr(cid:247)ng sau (cid:31)¥y cıa h(cid:160)m l(cid:231)i x§p x¿ (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc thi‚t l“p trong Gupta v(cid:160) cºng s(cid:252) [6].

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.4 H(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i ϕ : X → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:231)i x§p x¿ (approximate convex function) t⁄i x0 ∈ X n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i α > 0 t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho

ϕ(x) ≥ ϕ(x0) + (cid:104)ξ, x − x0(cid:105) − α(cid:107)x − x0(cid:107), ∀x ∈ B(x0, δ) ∩ X, ∀ξ ∈ ∂Cϕ(x0).

Kh¡i ni»m tr¶n d¤n (cid:31)‚n mºt l(cid:238)p h(cid:160)m m(cid:238)i sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.5 H(cid:160)m Lipschitz (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng ϕ : X → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt h(cid:160)m gi£ l(cid:231)i x§p x¿ (approximate pseudoconvex function) t⁄i x0 n‚u v(cid:238)i

19

m(cid:229)i α > 0 t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ B(x0, δ) ∩ X, ta c(cid:226)

(cid:104)ξ, x − x0(cid:105) + α(cid:107)x − x0(cid:107) ≥ 0 v(cid:238)i ξ ∈ ∂Cϕ(x0)

k†o theo

ϕ(x) ≥ ϕ(x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107).

(cid:30)i•u n(cid:160)y t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i:

ϕ(x) < ϕ(x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107)

k†o theo

(cid:104)ξ, x − x0(cid:105) < −α(cid:107)x − x0(cid:107), ∀ξ ∈ ∂Cϕ(x0).

D„ d(cid:160)ng ki”m tra m(cid:229)i h(cid:160)m l(cid:231)i l(cid:160) h(cid:160)m gi£ l(cid:231)i x§p x¿ t⁄i x0. Tuy nhi¶n,

chi•u ng(cid:247)æc l⁄i n(cid:226)i chung kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. Chflng h⁄n, ta x†t

ϕ(x) = −x2 − 2x, x ∈ X = [−1, 0].

Khi (cid:31)(cid:226) ϕ l(cid:160) gi£ l(cid:231)i x§p x¿ nh(cid:247)ng kh(cid:230)ng l(cid:231)i t⁄i x0 = 0.

Sau (cid:31)¥y, ta (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a hai l(cid:238)p h(cid:160)m v(cid:160) s‡ chøng minh (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı cho

(cid:31)i”m Kuhn-Tucker l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u ho(cid:176)c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u cıa (MP).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.6 Gi£ sß x0 ∈ R(cid:96). B(cid:160)i to¡n (MP) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) a) Affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t (KT-strictly approximate pseudoconvex- affine) t⁄i x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i α ∈ int(Rm + ) t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) v(cid:238)i f (x) ≤ f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107) k†o theo h» (2.11) (cid:31)(cid:243)ng. b) Affine KT-gi£ l(cid:231)i x§p x¿ (KT-approximate pseudoconvex-affine) t⁄i x0 n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i α ∈ int(Rm + ) t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(x0, δ) v(cid:238)i f (x) < f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107) k†o theo h» (2.11) (cid:31)(cid:243)ng.

Ta n(cid:226)i r‹ng (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t tr¶n t“p D ⊂ R(cid:96) n‚u (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a tr¶n (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ B(x0, δ) ∩ D. Ta n(cid:226)i r‹ng (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t tr¶n t“p D ⊂ R(cid:96), n‚u (M P ) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n D, v(cid:238)i m(cid:229)i x0 ∈ D. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ c(cid:244)ng (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a.

(cid:30)¡ng ch(cid:243) (cid:254) l(cid:160) v(cid:238)i b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng r(cid:160)ng buºc, t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p

x¿ v(cid:160) t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i t‰nh gi£ l(cid:231)i x§p x¿ trong (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.5.

20

D„ ki”m tra r‹ng mØi h(cid:160)m affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i

KT-x§p x¿ . Quan h» ng(cid:247)æc l⁄i n(cid:226)i chung kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. (cid:30)” minh h(cid:229)a (cid:31)i•u n(cid:160)y ta x†t b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u sau:

(P 4) min f (x) = (−x2 − 2x, −2x),

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

g(x) = −x ≤ 0,

h(x) = 0,

x ∈ Q = [0, 1].

+) th… ta ch¿ cƒn x†t δ sau:  

Ta c(cid:226) (P4) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ t⁄i x0 = 0 b(cid:240)i v… v(cid:238)i mØi α = (α1, α2) ∈ int(R2

α1 − 2, α1 > 2, δ = 1,  α1 ≤ 2.

Tuy nhi¶n, (P4) kh(cid:230)ng l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 = 0 b(cid:240)i v… v(cid:238)i α = (2, 2) v(cid:160) v(cid:238)i mØi δ > 0 t(cid:231)n t⁄i x ∈ B(x0, δ) ∩ S sao cho f (x) ≤ f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107) nh(cid:247)ng h» (2.11) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng; v‰ d(cid:246) t⁄i (cid:31)i”m

. ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc x = 1 2

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.7 Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n S. Gi£ sß x0 l(cid:160) KTVCP theo α. Khi (cid:31)(cid:226), x0 c(cid:244)ng l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α.

(cid:3) Chøng minh. Gi£ sß x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α cıa (MP). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i x ∈ S sao cho f (x) ≤ f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107). B(cid:240)i v… (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i x§p x¿ Kuhn-Tucker ch(cid:176)t cıa h» (2.11) t⁄i x0, tł (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.6 k†o theo x − x0 l(cid:160) mºt nghi»m cıa h» (2.11). B‹ng c¡ch l§y µj = 0 v(cid:238)i j /∈ J(x0) v(cid:160) sß d(cid:246)ng H» qu£ 1.1 suy ra x0 kh(cid:230)ng th” l(cid:160) KTVCP theo α. (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh.

B‹ng c¡ch chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau

(cid:31)¥y.

21

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.8 Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine KT- gi£ l(cid:231)i x§p x¿ t⁄i x0 tr¶n S. Gi£ sß x0 l(cid:160) KTVCP theo α. Khi (cid:31)(cid:226), x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u theo α cıa b(cid:160)i to¡n (MP).

Rª r(cid:160)ng l(cid:160) m(cid:229)i t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u) cıa

(MP) l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) cıa (MP), nh(cid:247)ng (cid:31)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. K‚t qu£ sau

(cid:31)¥y cho c¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)” (cid:31)£m b£o mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) c(cid:244)ng l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m (ho(cid:176)c

l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u) cıa (MP).

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.9 Gi£ sß x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α cıa (MP) v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i x§p x¿ KT-ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n S. Khi (cid:31)(cid:226), x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α cıa (MP).

Chøng minh. Gi£ sß x0 kh(cid:230)ng l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α. Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i x ∈ S sao cho f (x) ≤ f (x0) − α(cid:107)x − x0(cid:107). Sß d(cid:246)ng t‰nh affine gi£ l(cid:231)i x§p x¿ Kuhn-Tucker ch(cid:176)t cıa (MP) ta suy ra x − x0 l(cid:160) mºt nghi»m cıa h» (2.11) c(cid:244)ng nh(cid:247) h» (2.3). B(cid:240)i v… (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α), t(cid:231)n t⁄i tn ↓ 0 v(cid:160) νn → x − x0 sao cho x0 + tnνn ∈ S v(cid:160) ta k‚t lu“n (cid:31)(cid:247)æc r‹ng v(cid:238)i mØi δ > 0 v(cid:160) n (cid:31)ı l(cid:238)n xn = x0 + tnνn ∈ B(x0, δ) ∩ S l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m cıa (2.1). (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu (cid:3) hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α cıa (MP).

B‹ng mºt chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) cho (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.9, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254)

sau.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.10 Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ3) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α). Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT- x§p x¿ t⁄i x0 tr¶n S. Khi (cid:31)(cid:226) x0 c(cid:244)ng l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u theo α cıa (MP).

Rª r(cid:160)ng l(cid:160) m(cid:229)i t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng c(cid:244)ng l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α nh(cid:247)ng (cid:31)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. K‚t qu£ sau (cid:31)¥y cho ta (cid:31)i•u ki»n (cid:31)£m b£o t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng

c(cid:244)ng l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng.

22

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.11 Gi£ sß x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α v(cid:160) (CQ3) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α). Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n S. Khi (cid:31)(cid:226) x0 c(cid:244)ng l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α cıa (MP).

Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i x0 kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α cıa (MP). Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi δ > 0 t(cid:231)n t⁄i x ∈ B(x0, δ)∩S sao cho f (x) ≤ f (x0)−α(cid:107)x−x0(cid:107). Sß d(cid:246)ng t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t cıa (MP), suy ra x − x0 l(cid:160) mºt nghi»m cıa h» (2.11). B(cid:240)i v… (CQ3) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α), b‹ng c¡ch sß d(cid:246)ng l(cid:254) lu“n t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trong chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.9 ta suy ra v(cid:238)i mØi δ > 0 v(cid:160) n (cid:31)ı l(cid:238)n xn = x0+tnνn ∈ B(x0, δ)∩S l(cid:160) mºt nghi»m cıa (2.2). (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α. Do (cid:31)(cid:226) m¥u thu¤n n(cid:160)y cho ta chøng minh (cid:3) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254).

Ch(cid:243)ng ta t(cid:226)m t›t c¡c k‚t qu£ tr¶n trong h» qu£ sau (cid:31)¥y.

H» qu£ 2.1 Gi£ sß (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n S v(cid:160) (CQ2) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng: (a) x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α, (b) x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α, (c) x0 l(cid:160) KTVCP theo α, (d) x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u theo α, (e) x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α.

Chøng minh. Theo c¡c k‚t qu£ (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł c¡c (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3, 2.4, 2.7, (cid:3) 2.8, 2.9, 2.10 v(cid:160) 2.11.

(cid:30)” k‚t th(cid:243)c phƒn n(cid:160)y, ta minh h(cid:229)a mºt b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u kh(cid:230)ng kh£ vi v(cid:160) ch¿ ra r‹ng t§t c£ c¡c (cid:31)i”m KTVCP, t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u

v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng.

V‰ d(cid:246) 2.4 X†t b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u

(cid:19) (cid:18) (P 5) min f (x) = |x|, − 1 1 + |x|

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

23

x ∈ S = {x ∈ R|g(x) (cid:53) 0, h(x) = 0, x ∈ Q}

trong (cid:31)(cid:226) Q = {x ∈ R : |x| ≤ 1} v(cid:160) gj, hk : R → R, j = 1, 2; k = 1, 2 (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i

, x ≤ 0 , x ≤ 0     , , g2(x) = g1(x) =  x 2 x2, x > 0 x 3 x2, x > 0

x ≤ 0 0, x ≤ 0      , h1(x) = h2(x) = x2, x > 0 , x > 0.   0, x2 2

B(cid:240)i v… v(cid:238)i mØi α ∈ int(R2 +) v(cid:160) δ > 0 kh(cid:230)ng t(cid:231)n t⁄i x ∈ B(x0, δ) ∩ S sao cho f (x) ≤ f (0) − α(cid:107)x − 0(cid:107) v(cid:160) f (x) < f (0) − α(cid:107)x − 0(cid:107), n¶n b(cid:160)i to¡n (P5) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x = 0 tr¶n S. Ta t…m c¡c (cid:31)i”m KTVCP. Ta x†t c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau:

(a) x = 0. B‹ng mºt t‰nh to¡n (cid:31)(cid:236)n gi£n ta c(cid:226)

], ∂Cg1(0) = [0,

], ∂Cg2(0) = [0, ∂Cf1(0) = ∂Cf2(0) = [−1, 1], 1 2 1 3

∂Ch1(0) = ∂Ch2(0) = ∂C(−h1)(0) = ∂C(−h2)(0) = {0},

N (Q, 0) = {0}.

C(cid:226) th” th§y r‹ng v(cid:238)i λ = (1, 1), µ = (0, 0), ν = (0, 0), α = (1, 1) v(cid:160) e = 0 th… c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng

0 ∈ [−2, 2] = λT ∂Cf (0) + µT ∂Cg(0) + νT ∂Ch(0) + λT αB + N (Q, 0), µT g(0) = 0.

B(cid:240)i v… x = 0 l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc n¶n x = 0 l(cid:160) KTVCP theo α = (1, 1).

2 , x

3 ) < (0, 0) v(cid:160) h(x) = (0, 0). Do (cid:31)(cid:226) x l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc. Nh(cid:247) v“y f, g v(cid:160) h c(cid:244)ng kh£ vi t⁄i x n¶n ∂Cf (x), ∂Cg(x) v(cid:160) ∂Ch(x) l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i (cid:79)f (x), ∇g(x)

(b) −1 ≤ x < 0. Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, g(x) = ( x

24

(1−x)2 )}, ∂Cg(x) = {( 1

2, 1

v(cid:160) (cid:79)h(x). Nh(cid:247) v“y, ta c(cid:226) ∂Cf (x) = {(−1, −1 3)} v(cid:160) ∂Ch(x) = {(0, 0)} v(cid:160) x l(cid:160) KTVCP n‚u t(cid:231)n t⁄i λ = (λ1, λ2), µ = (µ1, µ2), ν = (ν1, ν2), α = (α1, α2) v(cid:160) e ∈ B sao cho (cid:31)i•u ki»n (2.12) (cid:31)(cid:243)ng, tøc l(cid:160)

−1 + µ2 · + ν1 · 0 + ν2 · 0 0 ∈λ1 · −1 + λ2 · (1 − x)2 + µ1 · 1 2 1 3

+ λ1α1 · e + λ2α2 · e + N (Q, x),

= 0. µ1 · = 0, µ2 · x 2 x 3

1 (1−x)2 ).

(cid:30)i•u ki»n thø hai (cid:240) tr¶n k†o theo µ = (µ1, µ2) = (0, 0) v(cid:160) do (cid:31)(cid:226), (cid:31)i•u 1 (1−x)2 ) ki»n mºt th(cid:228)a m¢n v(cid:238)i λ1 = λ2 = 1, ν1 = ν2 = 0, α = (1, v(cid:160) e = 1. B(cid:240)i v… x l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc n¶n x l(cid:160) KTVCP theo α = (1,

(c) x > 0, x < −1. D„ ki”m tra r‹ng x kh(cid:230)ng l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc.

1

(1−x)2 ) n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u x ∈ S = [−1, 0]. Do (cid:31)(cid:226) x l(cid:160) KTVCP theo α = (1, B¥y gi(cid:237), ta xem t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u ho(cid:176)c t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u. Sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7 v(cid:160) 2.8 ta r(cid:243)t ra m(cid:229)i x ∈ S l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u theo α = (1,

1 (1−x)2 ).

Nh(cid:247) v“y x kh(cid:230)ng l(cid:160) KTVCP.

25

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3

(cid:30)Łi ng¤u

Ch(cid:247)(cid:236)ng 3 tr…nh b(cid:160)y c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u y‚u, m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc

3.1. (cid:30)Łi ng¤u y‚u

cıa M. Golestani, H. Sadeghi, Y. Tavan [4] cho (cid:31)Łi ng¤u Mond-Weir cıa b(cid:160)i to¡n (MP).

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng c(cid:226) c¡c r(cid:160)ng buºc (cid:31)flng thøc v(cid:160) r(cid:160)ng

buºc t“p, Gupta [6] (cid:31)¢ nghi¶n cøu (cid:31)Łi ng¤u Wolfe (WD) cho b(cid:160)i to¡n (MP) v(cid:238)i gi£ thi‚t l(cid:231)i x§p x¿ suy rºng. Trong phƒn n(cid:160)y b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi ng¤u

Mond-Weir (MWD) cho b(cid:160)i to¡n (MP) (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y c(cid:242)ng v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:224)nh

l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u x§p x¿ v(cid:238)i gi£ thi‚t v• t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t v(cid:160) t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT- x§p x¿.

B(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi ng¤u Mond-Weir cıa b(cid:160)i to¡n (MP) (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i

(MWD) max f (u),

p (cid:88)

m (cid:88)

n (cid:88)

m (cid:88)

v(cid:238)i r(cid:160)ng buºc:

i=1

j=1

k=1

i=1 (λ, µ, ν) ∈ Rm

+ × Rp, λ (cid:54)= 0, α ∈ int(Rm + ),

n (cid:88)

+ × Rn p (cid:88)

0 ∈ λi∂Cfi(u) + µj∂Cgj(u) + νk∂Chk(u) + λiαiB + N (Q, u),

j=1

k=1

µjgj(u) + νkhk(u) ≥ 0.

26

Gi£ sß SD l(cid:160) t“p ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). Nh›c l⁄i S l(cid:160) t“p ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MP). Ta b›t (cid:31)ƒu b‹ng (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a (cid:31)Łi ng¤u y‚u.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.1 ((cid:30)Łi ng¤u y‚u) Gi£ sß (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD v(cid:160) (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i u tr¶n Q. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi γ ≥ α, t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(u, δ) ∩ S b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng:

f (x) ≤ f (u) − γ(cid:107)x − u(cid:107). (3.1)

p (cid:88)

m (cid:88)

m (cid:88)

n (cid:88)

Chøng minh. B(cid:240)i v… (u, λ, µ, ν, α) l(cid:160) mºt (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD), n¶n t(cid:231)n t⁄i ξi ∈ ∂Cfi(u), ηj ∈ ∂Cgj(u), ζk ∈ ∂Chk(u), e ∈ B v(cid:160) d ∈ N (Q, u) sao cho

i=1

i=1

j=1

k=1

(3.2) νkζk + λiαie + d = 0. λiξi + µjηj +

B¥y gi(cid:237) gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, t(cid:231)n t⁄i γ (cid:61) α sao cho v(cid:238)i mØi δ > 0 t(cid:231)n t⁄i x ∈ B(u, δ) ∩ S sao cho (3.1) (cid:31)(cid:243)ng. Sß d(cid:246)ng t‰nh affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t cıa (MP) t⁄i u, ta k‚t lu“n r‹ng x − u l(cid:160) mºt nghi»m cıa (2.11). (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) k†o theo

i ∈ I, (cid:104)ξi, x − u(cid:105) < −γi(cid:107)x − u(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i

j ∈ J(u), (cid:104)ηj, x − u(cid:105) ≤ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i

(cid:104)ζk, x − u(cid:105) = 0 v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ K,

+ × Rn

+ × Rp, λ (cid:54)= 0 v(cid:160) µj = 0 v(cid:238)i j /∈ J(u), Theo gi£ thi‚t cıa (λ, µ, ν) ∈ Rm γ (cid:61) α v(cid:160) s(cid:252) ki»n v(cid:238)i m(cid:229)i e ∈ B, (cid:104)e, x − u(cid:105) ≤ (cid:107)x − u(cid:107), ta k‚t lu“n (cid:31)(cid:247)æc r‹ng

(cid:104)d, x − u(cid:105) ≤ 0.

n (cid:88)

p (cid:88)

m (cid:88)

i=1

j=1

i=1

k=1

(cid:43) (cid:42) m (cid:88) < 0. λiξi + µjηj + νkζk + λiαie + d, x − u

(cid:3) (cid:30)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n v(cid:238)i (3.2) v(cid:160) (cid:31)i•u (cid:31)(cid:226) chøng t(cid:228) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)(cid:243)ng.

B‹ng mºt chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.1, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

27

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.2 ((cid:30)Łi ng¤u y‚u) Gi£ sß (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD v(cid:160) (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ t⁄i u tr¶n Q. Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i mØi γ (cid:61) α, t(cid:231)n t⁄i δ > 0 sao cho v(cid:238)i mØi x ∈ B(u, δ) ∩ S b§t (cid:31)flng thøc sau kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng:

f (x) < f (u) − γ(cid:107)x − u(cid:107). (3.3)

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 9 trong [6], ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a sau (cid:31)¥y.

3.2. (cid:30)Łi ng¤u m⁄nh v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1 (u0, λ0, µ0, ν0, α0) ∈ SD (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng (ho(cid:176)c l(cid:160) hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng) cıa (MWD) n‚u t(cid:231)n t⁄i η ∈ int(RM + ) v(cid:160) l¥n c“n U cıa (u0, λ0, µ0, ν0, α0) sao cho v(cid:238)i mØi (u, λ, µ, ν, α) ∈ U ∩ SD b§t (cid:31)flng thøc f (u0) + η(cid:107)u − u0(cid:107) ≤ f (u) (t.(cid:247)., f (u0) + η(cid:107)u − u0(cid:107) < f (u)) kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.

Ch(cid:243)ng ta s‡ chøng minh mºt k‚t qu£ quan tr(cid:229)ng l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u

+ × Rn

+ × Rn

m⁄nh. K‚t qu£ n(cid:160)y chøng minh tƒm quan tr(cid:229)ng cıa (cid:31)Łi ng¤u trong l(cid:254) thuy‚t tŁi (cid:247)u.

+ × Rn

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.3 ((cid:30)Łi ng¤u m⁄nh) Gi£ sß x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α cıa (MP) v(cid:160) (CQ2) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α0). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i + × Rp sao cho (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (λ0, µ0, ν0) ∈ Rm (cid:31)(cid:247)æc cıa b(cid:160)i to¡n (MWD). N‚u (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT- x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i mØi u tr¶n Q, trong (cid:31)(cid:226) (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD v(cid:238)i (λ, µ, ν) ∈ Rm + × Rp + ) th… v(cid:238)i mØi γ (cid:61) α, (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) mºt t(cid:252)a v(cid:160) α n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) ∈ int(Rm nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo γ cıa (MWD) v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) cıa hai b(cid:160)i to¡n (MP) v(cid:160) (MWD) b‹ng nhau.

+ × Rp v(cid:160) α n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) ∈ int(Rm

+ × Rn

Chøng minh. B(cid:240)i v… x0 l(cid:160) mºt t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α0 cıa (MP) v(cid:160) (CQ2) th(cid:228)a m¢n t⁄i (x0, α0), sß d(cid:246)ng (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3, suy ra t(cid:231)n + × Rp, λ0 (cid:54)= 0 sao cho (2.12) (cid:31)(cid:243)ng. (cid:30)i•u n(cid:160)y k†o t⁄i (λ0, µ0, ν0) ∈ Rm theo (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). B(cid:240)i v… (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i mØi u tr¶n Q, trong (cid:31)(cid:226) (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD v(cid:238)i (λ, µ, ν) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) thuºc Rm + ). Nh(cid:247) v“y

28

(cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u y‚u (cid:31)(cid:243)ng v(cid:160) v… v“y, v(cid:238)i mØi γ (cid:61) α t(cid:231)n t⁄i mºt l¥n c“n U cıa (x0, λ0, µ0, ν0, α0) sao cho v(cid:238)i mØi (u, λ, µ, ν, α) ∈ U ∩ SD b§t (cid:31)flng thøc vect(cid:236) f (x0) + γ(cid:107)u − x0(cid:107) ≤ f (u) kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n. Do (cid:31)(cid:226), tł (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 3.1 ta suy ra (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo γ cıa (MWD). H(cid:236)n nœa, gi¡ tr(cid:224) m(cid:246)c ti¶u cıa (MP) v(cid:160) (MWD) b‹ng (cid:3) nhau l(cid:160) b‹ng f (x0).

+ × Rn

+ × Rn

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.3, ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.4 ((cid:30)Łi ng¤u m⁄nh) Gi£ sß x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo α0 cıa (MP) v(cid:160) (CQ3) (cid:31)(cid:243)ng t⁄i (x0, α). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i (λ0, µ0, ν0) ∈ Rm + × Rp sao cho (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). N‚u (MP) c(cid:244)ng l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ t⁄i u tr¶n Q, trong (cid:31)(cid:226) (u, λ, µ, ν, α) ∈ SD v(cid:238)i (λ, µ, ν) ∈ Rm + × Rp v(cid:160) + ) th… v(cid:238)i mØi γ (cid:61) α, (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m α n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) ∈ int(Rm hœu hi»u y‚u (cid:31)(cid:224)a ph(cid:247)(cid:236)ng theo γ cıa (MWD) v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) m(cid:246)c ti¶u cıa (MP) v(cid:160) (MWD) b‹ng nhau.

C¡c k‚t qu£ v• (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)æc chøng minh d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

+ × Rn

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.5 ((cid:30)Łi ng¤u ng(cid:247)æc) Gi£ sß x0 l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MP) v(cid:160) (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). N‚u (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0 tr¶n S th… x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u theo α0 cıa (MP).

Chøng minh. Ta gi£ sß r‹ng x0 l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MP) v(cid:160) (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). Khi (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i + × Rp, λ0 (cid:54)= 0 v(cid:160) α0 ∈ int(Rm (λ0, µ0, ν0) ∈ Rm + ) sao cho (2.12) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:160) v… v“y x0 l(cid:160) KTVCP theo α0 cıa (MP). B(cid:240)i v… (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ ch(cid:176)t t⁄i x0, tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7 ta suy ra x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u (cid:3) theo α0 cıa (MP).

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 3.5, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y.

(cid:30)(cid:224)nh l‰ 3.6 ((cid:30)Łi ng¤u ng(cid:247)æc) Gi£ sß x0 l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa

29

(MP) v(cid:160) (x0, λ0, µ0, ν0, α0) l(cid:160) (cid:31)i”m ch§p nh“n (cid:31)(cid:247)æc cıa (MWD). N‚u (MP) l(cid:160) affine gi£ l(cid:231)i KT-x§p x¿ t⁄i x0 tr¶n S th… x0 l(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u theo α0 cıa (MP).

30

K‚t lu“n

Lu“n v«n tr…nh (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y mºt sŁ k‚t qu£ nghi¶n cøu cıa M.Golestani

v(cid:160) cºng s(cid:252) [4] v• (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u v(cid:160) t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u y‚u cıa b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a m(cid:246)c ti¶u kh(cid:230)ng tr(cid:236)n qua

d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke c(cid:242)ng v(cid:238)i c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u cho b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi ng¤u Mond-Weir cıa b(cid:160)i to¡n (MP). Nºi dung ch‰nh cıa lu“n v«n bao g(cid:231)m:

- C¡c ki‚n thøc c(cid:236) b£n v• d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke; - C¡c (cid:31)i•u ki»n cƒn Kuhn-Tucker v(cid:160) Kuhn-Tucker m⁄nh d(cid:247)(cid:238)i ng(cid:230)n ngœ

d(cid:247)(cid:238)i vi ph¥n Clarke;

- C¡c (cid:31)i•u ki»n (cid:31)ı tŁi (cid:247)u; - C¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) (cid:31)Łi ng¤u m⁄nh, y‚u v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u ng(cid:247)æc cho b(cid:160)i to¡n (cid:31)Łi

ng¤u Mond-Weir cıa b(cid:160)i to¡n (MP).

TŁi (cid:247)u v(cid:160) (cid:31)Łi ng¤u cho t(cid:252)a nghi»m hœu hi»u cıa b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u (cid:31)a

m(cid:246)c ti¶u kh(cid:230)ng tr(cid:236)n l(cid:160) (cid:31)• t(cid:160)i c(cid:226) t‰nh th(cid:237)i s(cid:252), (cid:31)¢ v(cid:160) (cid:31)ang (cid:31)(cid:247)æc nhi•u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cøu.

31

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Ti‚ng Vi»t

[1] (cid:30)Ø V«n L(cid:247)u, Phan Huy Kh£i (2000), Gi£i t‰ch l(cid:231)i, NXB Khoa h(cid:229)c v(cid:160)

k(cid:190) thu“t, H(cid:160) Nºi.

[2] (cid:30)Ø V«n L(cid:247)u (1999), Gi£i t‰ch Lipschitz, NXB Khoa h(cid:229)c v(cid:160) K(cid:190) thu“t,

H(cid:160) Nºi.

Ti‚ng Anh

[3] X. F. Li (2000). Constraint qualifications in nonsmooth multiobjective

optimization. J. Optim. Theory Appl. 106:373-398.

[4] M. Golestani, H. Sadeghi, Y. Tavan(2017), "Nacessary and sufficient conditions efficiency in nonsmooth multiobjective problems", Numer- ical Functional Analysis and Applications, 38(2017), No6, 683-704.

[5] M. Golestani and S. Nobakhtian (2013)." Nonsmooth multiobjective programming: Strong Kuhn-Tucker conditions". Positivity 17:711- 732.

[6] A. Gupta, A. Mehra, and D. Bhatia (2006). Approximate convexity

in vector optimisation. Bull. Aust. Math. Soc. 74:207-218.

[7] T. Maeda (1994). Constraint qualifications in multiobjective op- timization problems: Differentiable case. J. Optim. Theory Appl. 80:483-500.

[8] M. Arana-Jim†nez, A. Rufi¡n-Lizana, R. Osuna-G(cid:226)mez, and G. Ruiz- Garz(cid:226)on (2008). Pseudoinvexity, optimality conditions and efficiency in multiobjective problems; duality. Nonlinear Anal-Theor. 68:24-34.