Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lí điểm bất động trong không gian nón Metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Công Anh

MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Công Anh MỘT SỐ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN NÓN-METRIC

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

Lời cảm ơn

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để bày tỏ lòng biết ơn chân thành và

sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Bích Huy, là người Thầy đã chỉ dạy tận tâm và nhiệt

tình trong việc nghiên cứu khoa học, là người Cha luôn động viên, giúp tôi có đủ

niềm tin và nghị lực để hoàn thành luận văn này.

Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tất cả các Thầy, Cô đang giảng

dạy ở Khoa Toán Tin học, Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã

tận tình giúp đỡ, truyền đạt những kiến thức bổ ích cho tôi trong suốt khóa học.

Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo và chuyên viên phòng khoa học công nghệ sau đại học,

ban chủ nhiệm khoa Toán -Tin trường ĐHSP TPHCM đã tạo thuận lợi cho chúng

tôi trong cả khóa học.

Tôi cũng rất cảm ơn các bạn, các anh chị học viên khóa 19, 20, 21 đã cùng tôi chia

sẽ buồn vui, những khó khăn trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng tôi xin dành trọn tấm lòng biết ơn của mình đối với những người thương

yêu trong gia đình như bố mẹ, các anh, các em. Những người đã luôn động viên tinh

thần và là chổ dựa cho tôi về mọi mặt

Tp.HCM, Ngày 30 tháng 03 năm 2012

Học viên .

Nguyễn Công Anh .

Mục lục

Mục lục .................................................................................................................... 4

Lời mở đầu ............................................................................................................. 5

1. Điểm bất động trong không gian nón mêtric ....................................................... 6

1.1 Không gian nón mêtric ............................................................................ 6

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co ......................................................... 16

1.3 Điểm bất động chung .............................................................................. 22

1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co .......................................... 22

1.3.2 Điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích yếu ........................ 26

1.3.3 Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không gian nón

mêtric ........................................................................................................... 31

1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn ........................................ 42

1.4.1 Ánhxạc-không giãn..... .............................................................. ........... 42

1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng ...................................................... 45

1.5 Định lý Kirk-Caristi ................ ............................................................ ... 53

2. Điểm bất động trong không gian nón -chuẩn .................................................... 59

2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn

.................................................................................................................... ... 59

2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng ............................ 63

Tài liệu tham khảo ......... ........................................................................... ............ 67

Danh sách cái tài liệu ........ ........................................................................ ........... 68

Lời mở đầu

Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920 và được phát triển mạnh mẽ cho

đến tận hôm nay. Nó là công cụ chính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm

của nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học và khoa học.

Các định lý điểm bất động trong không gian với mêtric là một ánh xạ nhận giá trị

trong một nón của không gian vectơ được bắt đầu nghiên cứu từ những năm 1950

để phục vụ việc nghiên cứu các phương trình vi phân và quá trình tính toán gần

đúng.

Những năm gần đây việc nghiên cứu các điểm bất động trong không gian nón -

mêtric được quan tâm trở lại với hàng chục bài báo về đề tại này được công bố. Rất

nhiều định lý về điểm bất động của ánh xạ trong không gian mêtric thông thường đã

được mở rộng cho không gian nón -mêtric.

Việc hệ thống lại các kết quả trong lĩnh vực này là cần thiết để có một cái nhìn tổng

quan về các kết quả đã đạt được.

Nội dung luận văn bao gồm 02 chương:

Chương 1: Trình bày các khái niệm của không gian nón -mêtric, từ đó đưa ra

các định lý điểm bất động trong không gian nón mêtric của ánh xạ co, ánh xạ không

giãn. Đồng thời trình bày các định lý điểm bất động chung của ánh xạ dạng co, ánh

xạ tương thích yếu, ánh xạ giãn trong không gian nón -mêtric. Và cuối cùng trình

bày định lý Kirk -Caristi.

Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không

gian nón chuẩn. Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng.

Tuy nhiên, do thời gian và điều kiện nghiên cứu có hạn, dù đã hết sức cố gắng

nhưng luận văn cũng không tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn. Do đó, tôi rất

mong nhận được những ý kiến đóng góp, phê bình, xây dựng của các thầy cô và các

bạn tham khảo đề tài này

Chương 1

Điểm bất động trong không gian nón mêtric 1.1 Không gian nón mêtric

Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, phát triển rất mạnh mẽ

và đã trở thành trung tâm của các hoạt động nghiên cứu gần đây. Nó có ứng dụng

rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hệ thống điều kiển tương thích không

tuyến tính, bài toán ước lượng tham số, lĩnh vực tính toán và giải mã.... Gần đây,

Huang và Zhang đã đưa ra khái niệm không gian nón mêtric, thay thế tập hơp

những số thực bằng 1 không gian Banach có thứ tự và đã thu được những định lý

điểm bất động cho các ánh xạ thỏa mãn các điều kiện co. Từ đó, việc nghiên cứu

định lý điểm bất động trong không gian này được nhiều nhà toán học quan tâm và

phát triển mở rộng. Để xem xét cụ thể, trước tiên ta đưa ra định nghĩa không gian

nón mêtric cũng như các khái niệm trong không gian đó.

1.1.1 Định nghĩa: Cho E là không gian Banach thực và P là tập con của E. Tập P

được gọi là nón nếu thỏa:

{0}

(i) P đóng, khác rỗng và

P ¹

a b R a b

,

,

,

0,

thì

(ii)

Î

³

x y P , Î

ax by P + Î

Î

(iii) x PÎ

và x P -

thì ax by P

+ Î

Và ta xác định quan hệ thứ tự sau:

x

y£ khi và chỉ khi y

-

x P Î

•

y

y£ và x

y< nếu x

• Ký hiệu x

x

intP

• x

-

Î

y nếu y

1.1.2 Mệnh đề: Giả sử “ £ ” là thứ tự trong E sinh bởi nón P. Khi đó:

1.

x

y

,0

a

£

£ £ thì ax b

by£

2.

x

y

y

z

z

,

x

y

,

0)

x £ Þ + £ +

l

£

l

( "

z X Î

"

l

³

*

3.

n

*

là dãy tăng, hội tụ về x thì

x £ "

n N Î

nx

4. Nếu { }nx

Chứng minh:

1.Hiển nhiên.

2. Hiển nhiên.

3. Suy ra từ tính đóng của nón P.

là dãy tăng nên

. Lấy giới hạn m ® ¥ 2 bên ta có điều

4. Vì { }nx

( ( ),lim x ,lim y y x ) £ = = Þ £ y x n y n N Î n x n

phải chứng minh.

thì x=0.

x n x +£ n m

1.1.3 Mệnh đề: Cho P là nón,

x P a R ,

,0

1,

x

ax

Î

Î

a £ <

£

Chứng minh:

Ta có: Nếu

và

x

ax

ax

(

a

1)

. Mặt khác x PÎ

£

Þ

x - =

-

x P Î

. Vậy theo định nghĩa 1.1, ta có điều phải

0

1

a

(1

a

) 0

£ < Þ

-

> nên (1

-

)a x P Î

chứng minh.

1.1.4. Định nghĩa: Nón P được gọi là nón chuẩn nếu tồn tại

0K > sao cho

: 0

x

y

||

x

K y ||

||

"

x y E , Î

£ £ Þ

|| £

Số dương K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được gọi là hằng số chuẩn của

nón P

1.1.5 Mệnh đề. Giả sử “ £ ” là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó:

bị chặn theo chuẩn.

1. Nếu u

u v ,

x X u

:

v }

v£ thì đoạn

<

: { >= Î

x £ £

*

2. Nếu

y

(

)

và lim

£

£

x n

n

z n N Î n

n

a ,lim z a = a= x n = thì lim ny

3. Nếu { }nx

đơn điệu, có dãy con hội tụ về a thì lim nx

Chứng minh:

a=

1.

x

u v ,

v u

0

||

K v u

. ||

||

x

u

||

K v u

. ||

||

"

Î <

x u >Þ £ - £ - Þ

x u -

|| £

-

|| Þ

|| || £

+

-

2. 0

n

n

n

n

( với k đủ lớn) nên

a

= . Vì

"

£

3. Ta giả sử { }nx

n x , n

x kn

x n k

k

là dãy tăng và lim ® ¥

thì ta có:

a

||

-

|| <

0e > và chọn

y z || y K z . || || £ - £ - Þ - || £ - x n x n x n x n

nx

0k để

knx

0

e N

a£ . Cho

0

|| k . || " Þ - £ - Þ || £ < || e n n > k a x n a x - n a x n k 0 a x - n k 0

1.1.6 Định nghĩa. Nón K được gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên

thì hội tụ. Tức là nếu dãy

thì tồn tại x thuộc E để

1

y E ... £ £ £ Î x 2 { }nx ³ thỏa 1 x

Và định nghĩa này tương đương với nón P là nón chính quy nếu mọi dãy giảm, bị

chặn dưới thì hội tụ.

x - = || 0. x n lim || n ® ¥

1.1.7 Mệnh đề. Nón chính quy là nón chuẩn.

Chứng minh.

Giả sử K là nón chính quy nhưng không là nón chuẩn. Khi đó:

*

2

n

n

n

n

thì

Đặt

u

,

=

=

n

v n

||

||

||

||

x n x n

y x n

0

,||

u

u

£

£

|| 1,|| =

|| <

n

v n

n

v n

1 2 n

¥

¥

Vì

nên tồn tại

, : 0 y ,|| n || y || " n N Î $ £ £ || > x y , n x n x n

å

n

n

1 =

1 =

Dãy

v | | < ¥ v ||n =å v : n

n

2

n

nu = (vô 0

lý).

s ... u u = + + + tăng, bị chặn trên (bởi u) nên hội tụ. Suy ra lim : u 1

1.1.8 Mệnh đề. Không có nón chuẩn có hằng số chuẩn K<1.

Chứng minh

Cho (X,d) là không gian nón mêtric và P là nón chuẩn với hằng số chuẩn K<1. Ta

lấy 0

và 0

. Thì lúc này ta có (1

).x

x

¹

x P Î

1e< < sao cho

1K < -

e

e-

£ nhưng

(vô lý với P là nón chuẩn).

(1

) ||

x K x

. ||

||

e-

|| >

Ví dụ 1.8.1.1 Cho

với chuẩn sup và

. Ta thấy rằng

P

{

f

E f :

0}

=

Î

³

R

nón chuẩn P có hằng số chuẩn là K=1. Bây giờ ta lấy 1 dãy giảm trong E và bị chặn

dưới nhưng nó không hội tụ trong E

2

3

x

x

x

³

³

³

... 0 ³

Từ đây, ta suy ra được chiều đảo của mệnh đề 1.7 là không đúng.

Ví dụ 1.8.1.2 Lấy

và (X, d) là không gian mêtric

,

{

0

n }

1 E l P =

=

Î

³

"

1

x nn

E x : n

³

([0,1]) E C=

. Thì (X,d) là không gian nón mêtric và

và

1

³

{

nón P có hằng số chuẩn K=1.

r d x y ( , ) = :d X X ´ ® với E ) }n x y ( , n 2

1.1.9 Mệnh đề. Với mỗi m > 1 thì có 1 nón chuẩn với hằng số chuẩn K>m

Chứng minh.

Cho trước m > 1. Xét không gian vectơ thực

,

|

E

=

+

Î

Î

-

{ , ax b a b R x

[ 1

]} ,1

1 k

Với chuẩn sup và trên E ta xác định nón

P

ax b E a {

|

0,

b

0}

=

+ Î

£

³

Bây giờ theo mệnh đề 1.7.1 ta chỉ cần chứng minh nón P là nón chính quy.

thỏa:

Thật vậy, lấy

là 1 dãy tăng và bị chặn trên, tức ta có cx b E

1

³

. Suy ra

+ Î a x b { + n } n n

2

³ và 1

³ là 2 1

[ 1

] ,1

dãy trong R mà:

... cx d x + £ + £ £ + với mọi Î - a x b 1 a x b 2 { }n na { }n nb 1 k

2

Chính vì vậy

a ... c £ ... £ £ ³ ³ ³ b 1 b 2 d a , 1

n

³ và 1

³ hội tụ. Đặt 1

hay P là nón chính quy.

Ta có P là nón chuẩn nên theo mệnh đề 1.8, có

mà

1K ³

a ® ® thì b ax b P + Î { }n na { }n nb a b , n a x b + ® n n

0

g

f

||

g

K f . ||

||

£ £ Þ

|| £

Với mọi

. Bây giờ ta cần chứng minh là K > m.

,g f

EÎ

Trước tiên, ta chú ý rằng

nên

f x ( )

mx m P g x m P f

( )

,

,

= -

= Î

+ Î

-

g P Î

0

g

f

K f ||

£ £ Þ

|| m g =

|| £

= || K

.

Mặt khác, nếu ta xét

f x ( )

(

m

)

x m g x m

( )

,

f

,

,

= -

+

= thì

+

Î

P g P f Î

-

g P Î

1 m

. Vì thế:

Đồng thời,

.

|| g m f ,|| || = || 1 = - 1 1 + 2 m m

Vậy ta đã chứng minh được K > m.

Có những nón không phải là nón chuẩn qua ví dụ sau:

Ví dụ 1.9.1 Cho

với chuẩn

E C=

2 ([0,1]) R

|| m 1 || m g m f > || = || = + - 1 m

Và xét nón

2

n

với m lớn hơn hoặc bằng 1. Đặt

. Thì ta có:

P

{

f

E f :

0}

|| f f || f || || = + || ¥ ¢ || ¥

=

Î

³

0

f

,||

f

g

k

g £ £

|| 2,|| =

|| 2 =

+ 1

Nên

k

||

f

||

g< || ||

Suy ra k không phải là hằng số chuẩn của P. Suy ra P là nón không chuẩn.

với

và

0

Từ đây, ta luôn giả sử rằng E là không gian Banach thực, P EÌ

intP ¹

“ £ ” là quan hệ thứ tụ trên P.

f x ( ) x g x . ( ) x = =

1.1.10 Định nghĩa: Lấy X là tập khác rỗng và

với mọi

và

1. 0

d x y ( ,

)

d x y ( ,

) 0

x

£

= Û

= . y

,x y XÎ

2.

d x y ( ,

)

d y x

( , ),

=

"

x y X , Î

3. Với mọi x, y, z thuộc X thì:

d x y ( ,

)

d x z ( , )

d z y ( ,

)

£

+

E :d X X ´ ® thõa mãn:

Khi đó d được gọi là mêtric trên X, và (X,d) được gọi là không gian nón mêtric.

2

2

1.1.11 Ví dụ: Cho

E R P

,

{( ,

x y

)

E x y ; ,

0}

R X R

,

=

=

Î

³

Ì

= và

xác định bởi

là 1 hằng số. Thì (X,d) là không gian

d x y ( ,

)

(|

x

y a x

|,

|

y

|),

a

0

=

-

-

³

nón mêtric.

là một dãy trong

:d X X ´ ® E

1.1.12 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là không gian nón mêtric, { }nx

X.

nếu với mỗi

,0

c

gọi là hội tụ đều đến x XÎ

c E Î

 , tồn tại N

a. Dãy { }nx

sao cho với mọi

n

x

® ¥

x n N d x x , ) , ( c = hoặc ³  . Chúng ta ký hiệu là lim n x

nx

gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi

, x n® ® ¥ .

b. Dãy { }nx

với mọi

,0 c c E Î  , tồn tại N sao cho

n

Không gian nón mêtric (X,d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy đều hội tụ

trong X.

là dãy trong không gian nón mêtric (X,d). Nón chuẩn P

( , , ) ³  . c n m N d x x , m

1.1.13. Mệnh đề. Lấy { }nx

có hằng số chuẩn K. Khi đó:

Chứng minh:

,0

( 0( n x ® Û ® ® ¥ ) x n d x x , ) n

• Chiều thuận. Giả sử

c E Î

0e > , chọn

 và c

nx

( x n® ® ¥ . Lấy )

K c ||

e< . Khi đó có N, với mọi ||

n

n N d x x , , ) ( c >  . Vì thế

n

nd x x , )

,0

c

n N d x x ,|| , ) || ( K c . || ( " > £ < , tức là || e n® 0( ® ¥ )

• Chiều đảo. Giả sử rằng

c E Î

 , tồn tại

nd x x , )

. Với

x

intP

||x

0d > mà ||

-

Î

0d > thì tồn tại N, sao cho với

d< , tức là c

mọi

, tức là

( n® 0( ® ¥ . Lấy )

n

n

nd x x , )

n N d x x ,|| , ) || ( c d x x , ) ( intP ( > < . Vì d - Î c . Vì thế

nx

hội tụ trong X

( ) x n® ® ¥ ,

1.1.14 Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric. Nếu { }nx

thì giới hạn đó là duy nhất.

Chứng minh.

Với mọi

,0

c

c E Î

 , tồn tại N sao cho với mọi

n

n

Ta có:

n N d x x , , ) ( c d x y , ( , ) >   . c

. Vì c là bất kỳ nên ta có

Vì thế ||

d x y ( ,

) || 2 . ||

K c

||

) 0

( ,

£

d x y = , tức là x=y.

d x y ( , ) ( ( , ) 2 c £ + £ d x x , ) n d x y n

1.1.15 Mệnh đề. Trong không gian nón mêtric (X,d) thì mỗi dãy hội tụ đều là dãy

Cauchy.

Chứng minh.

Lấy

,0

c

c E Î

 , tồn tại N sao cho với mọi:

n

Chính vì thế:

n m N d x x , ) , ( , , x , ) >  d x ( m c 2 c  2

là dãy Cauchy trong X.

Suy ra { }nx

( , ) ( x , ) £ +  c d x x n m d x x , ) n d x ( m

1.1.16 Mệnh đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric. P là nón chuẩn với hằng số

là Cauchy khi và chi khi

chuẩn K. Mọi dãy { }nx

Chứng minh.

là dãy Cauchy. Với mọi

,0

c E Î

0e > , chọn

c 

• Chiều thuận. Giả sử { }nx

và

( , ) 0( , n m ® ® ¥ ) d x x n m

K c . ||

e< . Khi đó, tồn tại N sao cho với mọi ||

n

đó, khi n, m > N thì:

( , , ) c >  . Do n m N d x x , m

Vậy

|| ( , ) || K c . || £ < || e d x x n m

,0

c

( , ) 0( , n m ® ® ¥ ) d x x n m

• Chiều đảo. Giả sử

c E Î

0d > mà

 , tồn tại

nd x x , )

. Với

x

intP

||

||x

-

Î

0d > thì tồn tại N, sao cho với mọi

d< , tức là c

, tức là

( n® 0( ® ¥ . Lấy )

n

n

nd x x , )

là dãy Cauchy.

n N d x x ,|| , ) || ( c d x x ( , ) intP ( > < . Vì d - Î c . Vì thế

nx

( ) x n® ® ¥ . Vậy { }nx

1.1.17 Mệnh đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric. P là nón chuẩn với hằng số

chuẩn K. Lấy 2 dãy{ }nx

và { }ny trong X mà

n

x y , y n ( ® ® ® ¥ thì: ) x n

n

Chứng minh.

Với mọi

.

c

,0

c

|| <

c E Î

0e > , chọn

 và ||

e K

4

2

+

Vì

( , ) d x y n ( , )( ® ® ¥ ) d x y n

n

n

n

Ta có:

,

(

)

(

d x y ( ,

)

,

(

)

d x y ( ,

c

£

+

+

£

) 2 +

d x y n d x y ( ,

)

(

d x y ( ,

)

(

)

,

(

,

c

n £

+

+

£

) 2 +

d x x , ) n d x x , ) n

d y y n d y y n

d x y n

n

Suy ra:

x y , y n N d x x , , ) ( c d y y ( , , ) ® ® nên tồn tại N sao cho với mọi >   . c x n

n

n

Và

0 d x y ( , c d x y ( , ) 4 c £ ) 2 + - £

n

n

n

Vì thế

|| ( , ) d x y ( , ) || d x y ( , c d x y ( , ) || c || 2 || (4 K 2) || c - || £ ) 2 + - + £ + < || e d x y n

n

Ta có điều phải chứng minh.

là dãy trong X. Nếu

( , ) d x y n ( , ) ( ® ® ¥ ) d x y n

1.1.18 Mệnh đề. Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, { }nx

hội tụ tới x

hội tụ tới x và {

}

thì {

}

là dãy con của { }nx

knx

knx

là dãy trong X. Nếu

{ }nx

1.1.19 Mệnh đề: Cho (X,d) là một không gian nón mêtric, { }nx

hội tụ tới x.

là dãy Cauchy và có dãy con {

hội tụ tới x thì { }nx

knx

Chứng minh.

Với mỗi

(

x , )

,0

c

>

c E Î

 . Mặt khác

 , tồn tại

1N sao cho với mọi

k N d x 1, kn

c 2

là dãy Cauchy nên tồn tại

(

,

,

)

>

n

n m N d x x , m 2

} { }nx

2N sao cho với mọi

c  . 2

Đặt

{ }nx

2

N max{ } = N N , 1

Với mọi n > N, lấy k > N thì ta có:

c

(

(

,

)

x , )

£

+



d x x , ) n

d x x n n k

d x ( n k

c c + = 2 2

hội tụ tới x.

Do đó { }nx

là dãy trong X.

1.1.20 Mệnh đề: Cho (X, d) là một không gian nón mêtric, { }nx

, thỏa mãn

Nếu tồn tại 1 dãy { }na trong R, với

n

với

là dãy Cauchy trong

a n , 0 > " < ¥ a n

,

0

M E MÎ

³

å . Thì { }nx

1 +

),X d . ( Chứng minh.

Giả sử n > m thì

, ) . , £ Î d x ( n x n a M n N " n

1

2

1

-

-

-

1 +

1

2

-

-

k m =

Lấy

với

,0

c

( , ) ( , ) , ) , ) £ + d x x n m d x x n n d x ( n x n d x ( m x m ... + + 1 n - ( , ) ( ) £ + ... + + d x x n m a n a n a M M a m k = å

c E Î

0e > sao cho

 . Chọn

(0) P Í c N e+

e

Vì

nên ta có thể lấy 1 số N đủ lớn sao cho

na < ¥

å

n

1

1

-

|

a

| . ||

M

|| || =

|| <

e

k

å

k m =

n - å . M a k k m =

1

1

. Cho nên ta có

và

với mọi

Với mọi n m N

(0)

(0)

> ³

-

k

k

Ne

Ne

Îå

Îå

n - M a k m =

n - M a k m =

. Vì thế

n m N > ³

1

1

n

n

-

-

. Do đó,

với mọi n m N

(0)

c M a

c M a

intP

> ³

-

Î

c N +

Þ -

Î

k

k

e

å

å

k m =

k m =

. Từ đây, ta có:

c

> ³

k

å  với mọi n m N

1n - M a k m =

N y E y :|| } (0) { = Î || < e

là dãy Cauchy trong (X, d)

Vậy ta đã chứng minh được { }nx

( , ) c , " n m N > ³  d x x n m

1.1.21 Định nghĩa. Giả sử E và F là không gian Banach thực và P, Q lần lượt là 2

là không gian nón mêtric với

)

nón xác định trên E và F. Gọi (X, d) và ( , Y r

:f X

: Y Y

Y® được gọi là liên tục tại

r

´ ® . Hàm F

0x

Nếu và chỉ nếu với mỗi

,0

c

:d X X ´ ® và E XÎ

c F Î

 , tồn tại

,0 b b E Î  sao cho

Nếu f là liên tục tại mọi điểm của X, thì nó liên tục trên X.

là không gian nón mêtric. Khi đó, hàm

)

( f x ( ), )) ( , ) r Î  với c  . b f x ( 0 x X d x x , 0

1.1.22 Mệnh đề. Giả sử (X, d) và ( , Y r

trong X hội tụ tới

:f X

Y® là liên tục tại

0x

nếu và chỉ nếu mọi dãy { }nx

hôi tụ tới

thì dãy { (

XÎ

0x

Chứng minh.

là 1 dãy trong X hội tụ về

•

f x ) XÎ )}n f x . 0(

0x

và lấy { }nx

0x .

hội tụ tới

. Thật vậy, lấy

Chúng ta cần chứng minh rằng { (

)Þ Giả sử f là liên tục tại ( XÎ

,0

b

,0

c

b E Î

c F Î

 sao cho với

 , vì f là liên tục tại

0x nên ta có thể lấy

mà

f x { ( )} )}n f x 0

mọi x XÎ

hội tụ tới

) ( ), )) r b suy ra  c d x x ( , 0 f x ( n f x ( 0

Mặt khác, dãy { }nx

0x nên tồn tại N sao cho

nd x x , )

. Do đó, với mọi

( b với mọi

n N³

.

)

)

=

( f x 0

f x n

lim ( n ® ¥

trong X hội tụ tới

hội

•

, ( ), )) c n N ³ r  . Vì vậy f x ( n f x ( 0

0x , dãy { ( f x

tụ tới

. Chúng ta sẽ chứng minh rằng f liên tục tại

)Ü Bây giờ giả sử với mọi dãy { }nx ( )}n

0x . Ta giả sử trái

lại, khi đó tồn tại

thỏa

,0

b

,0

c

b E Î

c F Î

 , và x XÎ

 sao cho với mọi

{ ( )} f x 0

. Ta cố định 0

trong X sao

có 0

 với mọi n NÎ

. Do đó chúng ta tìm được dãy { }nx

b n

với

cho

(

,

)

) c ( f x ( ), )) intQ r- Ï b nhưng b , chúng ta d x x ( , 0 f x ( 0

1, 2,...

n =

 nhưng

d x x 0 n

b n

c ( f x ( ), )) intQ r- Ï f x ( 0

Mặt khác, vì

hội tụ tới

0

® khi n ® ¥ nên dãy { }nx

0x , nhưng dãy

b n

không hội tụ tới

(bởi vì

). Điều

này trái với giả thiết nên ta có điều phải chứng minh.

{ ( f x { ( )} c ( f x ( ), )) intQ r- Ï )}n f x 0 f x ( 0

1.2 Điểm bất động của ánh xạ dạng co

Trong phần sau, chúng ta sẽ đưa ra và chứng minh một số định lý điểm bất động

của ánh xạ dạng co trong không gian nón mêtric.

1.2.1 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty ,

(

)

kd x y ( ,

)

£

với mọi

với hằng số

. Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất trong

,x y XÎ

.

X, ghi là

[0;1) k Î

0x , và

Chứng minh.

, đặt:

Chứng minh tồn tại. Lấy x XÎ

n

1 +

2 T x

,...,

T x n N ,

=

=

=

=

=

Î

x n

Tx n

x 1

Tx x , 2

Tx 1

1 +

Ta có:

,

)

(

,

)

,

)

=

£

d x ( n

x n

d Tx Tx n n

1

k d x x . ( n

n

1

1 +

-

-

n

,

)

k d x x ( , )

£

... £ £

2 k d x ( n

x n

1

2

1

-

-

Lấy n m> , ta có:

= với mọi x XÎ x 0 lim n T x n ® ¥

1

2

1

-

-

-

1 +

m

n

1

n

2

m

-

-

( , ) ( , ) , ) , ) £ + ... + + d x x n m d x x n n d x ( n x n d x ( m x m

Suy ra

m

||

(

,

) ||

K d x x . (

, ) ||

. ||

£

d x x n m

1

k

k 1 -

tức là

k k k ( ( £ + ... + + £ d x x ) ( , ) 1 d x x , ) 1 k k 1 -

( , ) 0( , n m ® ® ¥ ) d x x n m

là dãy Cauchy. Mà X là đầy đủ nên tồn tại

Vì thế { }nx

Mặt khác:

,

)

(

,

(

)

(

)

,

,

)

,

)

£

+

£

+

x 0

1 +

||

,

) ||

(

(

,

||

kd x x ( n 0 , ) ||)

d x ( n 0

Þ

d Tx x 0 n ) || +

£

®

d Tx x 0 0 d Tx x ( 0 0

d Tx Tx n 0 K k d x x || 0

n

d x ( n

x 0

1 +

Suy ra:

) Î ® ® ¥ . x 0 X x , n x n ( 0

0

0x là 1 điểm cố định của T.

Chứng minh duy nhất.

Giả sử có

0y là 1 điểm có định khác của T. Ta có:

|| ( , ) || 0 = , tức là x= , hay d Tx x 0 0 Tx 0

0

0

0

tức là

( , ) ( , ) , ) = £ d x y 0 d Tx Ty 0 kd x y ( 0

0

Vậy chỉ có duy nhất 1 điểm cố định duy nhất.

|| ( , ) || 0, = = d x y 0 x 0 y 0

1.2.1.1 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

. Đặt

với 0

số chuẩn K. Cho c EÎ

c và

0x

XÎ

0

Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty ,

(

)

kd x y ( ,

)

£

với mọi

với hằng số

và

. Thì T có 1

( , ) { x X d x x , ) | ( c } = Î £ B x c 0

0

điểm bất động duy nhất trong

x y B x c , ) , ( ( , ) k c ) [0;1) Î (1 £ - k Î d Tx x 0 0

0(

Chứng minh.

Ta chỉ cần chứng minh rằng

với mọi

B x c . , )

0(

0(

0(

là dãy Cauchy trong

cũng là dãy Cauchy

B x c là đầy đủ và , ) Tx B x c , ) x B x c , ) Î Î

• Giả sử { }nx

0(

để

, ) B x c , nên { }nx

trong X. mà X là không gian đầy đủ nên tồn tại x XÎ

nx

Ta có:

( ) x n® ® ¥ .

Mà

. Vậy

( ( , ) ( ( £ + £ + c d x x , ) 0 d x x 0 n d x x , ) n d x x , ) n

n

0

0(

đầy đủ.

x d x x , , ) ( 0 ( ( B x c là , ) ® ® . Suy ra: , c x B x c , ) Î x n d x x , ) 0

, ta có:

• Với mọi

0(

(

)

,

(

)

(

,

)

£

+

d x Tx , 0

)

c

d Tx x d Tx Tx 0 0 0 k c k d x x ) . ( , ) +

(1 £ -

(1 £ -

k c kc +

=

0

Suy ra

.

x B x c , ) Î

0(

Tx B x c , ) Î

1.2.1.2 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

*

:

số chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co với

n NÎ

n

n d T x T y ,

với mọi

với hằng số

. Thì T có 1 điểm bất động duy nhất

( ) kd x y ( , ) £

[0;1)

k Î

0

trong X.

Chứng minh.

Theo định lý trên, ta suy ra

nT có 1 điểm bất động duy nhất

0x . Mặt khác:

n

)

)

)

=

=

n T Tx ( 0

T T x ( 0

T x ( 0

Suy ra

x y B x c , ) , ( Î

nT . Do tính duy nhất suy ra

0Tx cũng là điểm bất động của

nT

0x là điểm bất động của T. Và điểm bất động của T cũng là điểm bất động của

nên điểm bất động của T là duy nhất.

Từ định lý 1.2.1 và mệnh đề 1.1.7 thì ta có định lý sau:

) T x ( 0 x= hay 0

1.2.2 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón chính quy. Giả

sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty ,

(

)

kd x y ( ,

)

£

với mọi

với hằng số

. Khi đó T có 1 điểm bất động duy

,

y

x y X x , Î

¹

nhất trong X.

[0;1) k Î

1.2.3 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty , ( ) k d Tx x , ) ( ( d Ty y ( , )) £ +

với mọi

với hằng số

. Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất

[0;

)

k Î

1 2

.

trong X, ghi là

,x y XÎ

0x , và

Chứng minh.

Lấy

và

.

n 1 T x+

x X n

,

1

=

= với mọi x XÎ x 0 lim n T x n ® ¥

Î

³

x n

Tx n

. Đặt 1x

+ = 1

Ta có:

Tx=

1

n

1

1

1

1 +

-

-

1 +

-

-

Vì thế

,

)

(

,

)

,

)

£

=

d x ( n

x n

d x x n n

hd x x ( n

n

1

1

1 +

-

-

k

1

k -

với

h

=

. Với n m> ,

1

k

k -

(

,

)

(

,

)

.

)

,

)

£

+

... + +

1

2

1

d x x n m

d x x n n

( d x n

x n

( d x m

x m

-

-

-

1 +

m

1

2

n

n

m

-

-

(

(

h

h

) ( , ) h d x x

£

+

... + +

£

1

, ) d x x 1

h

h 1 -

nên ta có thể chọn được số

ta có

Lấy 0

[0,1)

h Î

c , vì

, ) ( , ) ( ( , ) , )) , ) ( , )) = £ + = + d x ( n x n d Tx Tx n n k d Tx x n d Tx ( n x n k d x ( ( n x n d x x n n

1N sao cho với mọi

m N> 1

c  nên

d x x 1( , )

mh h- 1

là dãy Cauchy trong (X,d). mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ

Suy ra { }nx

nên tồn tại

sao cho

( , ) c với mọi n m> . d x x n m

0x

nx

0

2N sao cho

k

c

)

)

k

c

và

với mọi

.

(

,

)

)

XÎ x® . Lúc này, chọn tiếp





d x x n m

( d x n

2

, x+ 1 0

(1 - k 2

(1 - 2

thì ta có:

Vì thế với

n N>

2

n N>

n

Vì thế

( , ) ( , ) ( , ) ( ( , ) ( , )) ) £ + £ + + d Tx x 0 0 d Tx Tx 0 n d Tx x 0 n k d Tx x n d Tx x 0 0 d x ( n x+ , 1 0

1 +

1 +

(

) )

( , ) , ) , c £ +  d Tx x 0 0 kd x ( n x n d x ( n x 0 1 k c c + = 2 2 1 -

Vì thế

. Suy ra

với mọi

. Mà

(

,

)

(

,

)

P

-

Î

1m ³

1m ³

 với mọi

d Tx x 0 0

d Tx x 0 0

c m

c m

. Mặt khác

.

0

® khi m ® ¥ và P là tập đóng nên

c m

Nên theo định nghĩa thì

( , ) P ( , ) - Î PÎ d Tx x 0 0 d Tx x 0 0

0

0

Chứng minh duy nhất.

Nếu có

0y là điểm bất động khác của T thì

( , d Tx x = , suy ra ) 0 Tx 0 x= . 0

0

0

0

0

Suy ra

, hay điểm bất động là duy nhất.

( , ) ( , ) ( ( , ) ( , = £ + = )) 0 d x y 0 d Tx Ty 0 k d Tx x 0 d Ty y 0

0

y= x 0

1.2.4 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty ,

(

)

k d Tx y

( (

,

)

d x Ty ( ,

))

£

+

với hằng số

. Khi đó T có 1 điểm bất động duy nhất

với mọi

[0;

)

k Î

1 2

.

trong X, ghi là

,x y XÎ

0x , và

Chứng minh.

Lấy

và

.

n 1 T x+

x X n

,

1

=

= với mọi x XÎ x 0 lim n T x n ® ¥

Î

³

x n

Tx n

. Đặt 1x

+ = 1

Ta có:

Tx=

1

n

1

1

1

1 +

-

-

-

1 +

-

Vì thế

,

)

(

,

)

,

)

£

=

d x ( n

x n

d x x n n

1

hd x x ( n

n

1

1 +

-

-

k

1

k -

với

h

=

. Với n m> ,

k

1

k -

(

,

)

(

,

)

.

)

,

)

£

+

... + +

1

2

1

d x x n m

d x x n n

( d x n

x n

( d x m

x m

-

-

-

1 +

m

1

2

n

n

m

-

-

(

(

h

h

) ( , ) h d x x

£

+

... + +

£

1

, ) d x x 1

h

h 1 -

, ) ( , ) ( ( , ) , )) , ) ( , )) = £ + £ + d x ( n x n d Tx T n n k d Tx x n d Tx ( n x n k d x ( ( n x n d x x n n

nên ta có thể chọn được số

ta có

Lấy 0

[0,1)

h Î

c , vì

1N sao cho với mọi

m N> 1

c  nên

d x x 1( , )

mh h- 1

là dãy Cauchy trong (X,d). mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ

Suy ra { }nx

nên tồn tại

sao cho

( , ) c với mọi n m> . d x x n m

0x

nx

0

2N sao cho

XÎ x® . Lúc này, chọn tiếp

với mọi

.

2

thì ta có:

Vì thế với

k c ) ( , ) n N>  d x x n m (1 - k 3

2

n N>

1 +

( , ) ) , ( ) , ( ) , ( ( , ( )) , ) £ + £ + + d Tx x 0 0 d x ( n x 0

0

0 x 0

1 +

1 +

Vì thế

( ( , ) ( )) , ) , + + k d Tx x n + £ d Tx Tx 0 n k d Tx x 0 d Tx x n 0 d x x ) , 0 n d x ( n d Tx x n 0 x 0 d x ( n

1 +

1 +

) )

(

. Suy ra

với mọi

. Mà

Vì thế

(

,

)

(

,

)

P

-

Î

1m ³

1m ³

 với mọi

d Tx x 0 0

d Tx x 0 0

c m

c m

. Mặt khác

.

0

( , ) , ) , ) , c £ + + + + =  d Tx x 0 0 kd x x ( 0 n d x ( n x 0 d x ( n x 0 c c c 3 3 3 1 k 1 -

® khi m ® ¥ và P là tập đóng nên

c m

Nên theo định nghĩa thì

( , ) P ( , ) - Î PÎ d Tx x 0 0 d Tx x 0 0

0

0

Chứng minh duy nhất.

Nếu có

0y là điểm bất động khác của T thì

( , d Tx x = , suy ra ) 0 Tx 0 x= . 0

0

0

0

0

Suy ra

, hay điểm bất động là duy nhất.

( , ) ( , ) ( ( , ) ( , = £ + = )) 0 d x y 0 d Tx Ty 0 k d Tx x 0 d Ty y 0

0

y= x 0

1.2.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn điều kiệu co

d Tx Ty ,

(

)

k d Tx y . (

,

)

l d x Ty . ( ,

)

£

+

với mọi

với hằng số

và

[0;1)

k l Î ,

,x y XÎ

duy nhất trong X.

Chứng minh.

k 1 l+ < . Khi đó T có 1 điểm bất động

Coi k

k < và ta có:

1 2

d Tx Ty ,

(

)

k d Tx y [ (

,

)

d x Ty ( ,

)]

£

+

Áp dụng định lý 1.2.4 ta có điều phải chứng minh.

l£ thì

1.3 Điểm bất động chung.

1.3.1 Điểm bất động chung của ánh xạ dạng co.

1.3.1 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử có 2 ánh xạ

(1.3.1)

f g X : , X® thỏa mãn:

với mọi

,

,

,

0,

x y X a b g d , ,

Î

³

, b d g d

< và d a< . Thì f và g có 1 điểm bất động

<

chung trong X.

Chứng minh.

Lấy bất kỳ điểm

, k hi đó có 2 điểm

d fx gy , ( ) d x fx ( , ) d y gy ( , ) d x y ( , ) a + b + g £ d

0x

2

XÎ ,x x trong X sao cho 1

) ( ) = = . Cứ theo cách này thì chúng ta có: f x ( 0 x g x , 1 1 x 2

n

2

n

1

n

1

n

-

-

-

Trong (1.3.1), đặt

. Ta có:

) , ) = = f x ( 2 x 2 g x ( 2 x 2

x y = = x 2 ,n x + 2 1 n

n

n

n

n

n

n

n

n

1 +

1 +

1 +

1 +

Suy ra:

, ) , ) , ) , ) a + b + g £ d d fx ( 2 gx 2 d x ( 2 fx 2 d x ( 2 gx 2 d x ( 2 x 2

n

n

n

n

n

n

n

n

1 +

2 +

1 +

1 +

2 +

1 +

Từ đó ta có:

với

.

, ) , ) , ) , ) a + b + g £ d d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2

n

n

n

n

1 +

2 +

1 +

. Ta có:

Mặt khác, trong (1.3.1) ta đặt

, ) , ) h = £ h d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 d b - a g +

1

x y = = x 2 ,n x - 2 n

n

n

n

n

1

n

n

1

n

1

n

1

-

-

-

-

Suy ra:

, ) , ) , ) , ) a + b + g £ d d fx ( 2 gx 2 d x ( 2 fx 2 d x ( 2 gx 2 d x ( 2 x 2

n

n

n

n

n

1

n

n

n

1

1 +

1 +

-

-

, ) , ) , ) , ) a + b + g £ d d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2

Từ đó ta có:

với

.

n

n

n

1

n

-

1 +

Theo 2 cách đặt trên thì theo phương pháp lặp ta có:

n

,

(

,

)

n h q

n

n

d x ( 2

x 2

d x x 1 2

) + £ 2

1 +

và

n

,

(

,

)

n h q

n

n

d x ( 2

x 2

d x x 0 1

) + £ 1

Với n m< , ta có:

,

)

,

)

,

)

,

)

£

( d x 2

x 2

( d x 2

x 2

( d x 2

x 2

( d x 2

1

x 2

n

m

n

n

n

n

m

m

1 +

1 +

2 +

-

... + + 1

n

m

+ 1 n +

-

,

)

n ( h q

£

) ( d x x 0 1

1

1 n + h q n

m

... + + 1 n +

-

,

)

1 n + h q

1 m - h q 1 m - h q

+

+

... + +

) ( d x x 1 2

+ n ( h q n

(

,

)

(

,

£

+

d x x 0 1

d x x 1 2

(

) )

)

) hq

( hq 1 ( -

Suy ra:

n

||

,

) ||

,

)

(

,

))

0(

)

K

n

£

+

® ¥

n

m

( d x 2

x 2

( ( d x x 0 1

d x x 1 2

||

|| ®

)

( hq 1 ( -

) hq

Tương tự:

, ) , ) = q £ q d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 - d g + a b

n

m

n

m

+ ® 0 1

1 +

1 +

là dãy Cauchy trong (X,d). mà (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ

Suy ra { }nx

sao cho

nên tồn tại u XÎ

, ), , ) d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2

nx

n

n

1 +

Đặt

trong (1.3.1), ta được:

u® khi n ® ¥ . Như vậy ® ® . u fx 2 u gx , 2

(

)

d u fu ( ,

)

,

)

)

+

+

£

a

b

g

d

d fu gx , 2

n

d x ( 2

n

gx 2

d u x ( , 2

(

,

d u fu ( ,

)

1 + ,

1 + )

1 n + )

+

+

1 n + ) £

a

b

g

d

d fu x 2

n

d x ( 2

n

x 2

n

d u x ( , 2

n

2 +

1 +

2 +

1 +

Vì thế

, x u y = = x + 2 1 n

n

1 +

Suy ra

||

d u fu ( ,

u

fu

) || 0, =

=

d u fu ( , ) ) 0( n £ ® ® ¥ ) d u x ( , 2 d b

Bây giờ trong (1.3.1), đặt

x u y u ,

= ta được:

=

d fu gu , ( ) ) d u fu ( , ) d u gu ( , d u u ( , ) a +

Suy ra

. Vậy u là điểm bất động chung của ánh xạ f và g.

( ,

0

)

d u gu £ hay u

gu=

Chứng minh duy nhất.

Giả sử v là điểm bất động chung của f và g thì ta chứng minh u

d u gu ( , ) b d u u ( , ) + g d u gu ( , ) £ d d u u ( , ) a + b + g £ d

Đặt

,

v

x u y =

= trong (1.3.1), ta được

v= . Thật vậy:

d fu gv , ( ) d u fu ( , ) d v gv ( , ) d u v ( , ) a

Suy ra:

d u v ( , )

d u v ( , )

£

d a

Suy ra

( , ) 0

d u v ( , ) + b d u u ( , ) + g ( , ) d v v £ d ( , ) d u u a + b + g £ d

d u v = hay u

v= .

1.3.2 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn:

q

p

q

(1.3.2)

p d f x f y ,

(

)

d x f x

( ,

)

d y f y

( ,

)

d x y ( ,

)

a

+

b

+

g

£

d

với mọi

bất động duy nhất trong X.

Chứng minh.

q

Bằng cách đặt

trong định lý trên ta có điều phải chứng minh.

f

f

,p

g

f

=

=

, , , 0, ,p q là số nguyên dương. Thì f có 1 điểm x y X a b g d , , Î ³ d a < và

1.3.3. Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn:

(1.3.3)

d fx fy ,

(

)

d x fx ( ,

)

d y fy ( ,

)

d x y ( ,

)

a

+

b

+

g

£

d

với mọi

và

1d

+ < . Thì f có 1 điểm bất động duy

a

nhất trong X.

Chứng minh.

Đặt

p

1

q= = trong hệ quả 1.3.2 ta có điều phải chứng minh.

, , , 0 x y X x , Î ¹ y a b g d , , ³

Chúng ta chú ý rằng nếu f có điểm bất động là u thì u cũng là điểm bất động của

với mọi số tự nhiên n . Nhưng điều ngược lại không đúng.

nf

là tập hợp các điểm bất động của

1.3.4 Định nghĩa. Cho ánh xạ f thì đặt

( ) F f

f . Ta định nghĩa:

thì ta nói f có tính chất P .

F f (

)

F f (

)n

• Nếu

=

n

n

F f (

)

F g ( )

F f (

)

F g (

)

thì ta nói f và g có tính chất Q .

• Nếu

Ç

=

Ç

1.3.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn:

d fx gy ,

(

)

d x fx ( ,

)

d y gy ( ,

)

d x y ( ,

)

a

+

b

+

g

£

d

Khi đó, f và g có tính chất Q .

Chứng minh.

n

n

n

-

Lấy

. Trong 1.3.1, đặt

, ta nói:

u F f (

)

F g (

)

x

f

1 , u y

n g u

Î

Ç

=

=

n

n

n

n

n

n

n

n

-

-

1 + d f u g u ,

1 u f u

1 u g u

n

-

1 + d g u g u , 1 u u , )

Từ đây ta có:

n

n

n

-

-

.

với h

d u gu ( ,

)

hd f (

1 u u , )

hd f (

1 u f u

,

)

( ) , ) ( ) d f ( , ) a + + g £ d b n d u gu ( , ) d f ( d f ( 1 - u u , ) d u gu ( , d f ( ) + + £ a b g d

£

=

n

-

ta được:

Mặt khác trong (1.3.1), đặt

x

f

2 , u y

fx

=

=

n

n

n

2

n

n

n

n

2

n

-

-

-

-

-

-

d f (

1 u f u

,

)

d f (

u f ,

1 u

)

d f (

1 u f u

,

)

d f (

u f ,

1 u

)

a

b

g

d

+

+

£

Suy ra:

n

n

n

2

n

-

-

-

= - d b a g +

1 u f u

1 u

Vậy:

n

n

n

n

n

2

-

-

-

d u gu ( ,

)

hd f (

1 u f u

,

)

2 h d f (

u f ,

1 u

)

h d u fu ( ,

)

£

£

... £ £

n

||

d u gu ( ,

) ||

h K d u fu

( ,

||

) ||

0(

n

Þ

£

®

® ¥

. Mà theo định lý 1.3.1 thì

Suy ra: ||

d f ( , ) hd f ( u f , ) £

gu=

.

động chung duy nhất nên u

( , ,f g có 1 điểm bất d u gu = hay u ) || 0

fu=

1.3.6 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử ánh xạ

:T X

X® thỏa mãn:

q

p

q

d x f x

d y f y

p d f x f y ,

(

)

( ,

)

( ,

)

d x y ( ,

)

+

+

£

a

b

g

d

Khi đó f có tính chất P .

Chứng minh.

.

Theo hệ quả (1.3.3) thì f có 1 điểm bất động duy nhất. Lấy

u F f (

)n

Î

n

-

Đặt

trong (1.3.3) thì ta có:

1 , u y

n f u

n

n

n

n

n

n

-

-

n d f u f

(

,

1 + u

)

1 u f u

,

)

,

(

1 + u

)

d f (

1 u f u

,

)

a

+

+

g

£

d

n d f u f n

-

d u fu ( ,

)

d f (

d f ( b n 1 - u u , )

d u fu ( ,

)

d f (

1 u u , )

a

+

b

+

g

d

£

Suy ra:

n

n

n

-

-

với h

x f = =

1 u u , )

1 u f u

Mặt khác ta cũng có:

n

n

n

2

n

-

-

-

d u fu ( , ) hd f ( hd f ( , ) = £ = d b - a g +

1 u f u

1 u

Như vậy:

n

n

n

-

)

,

)

)

( , d u fu

( hd f

1 u f u

( , h d u fu

£

£

Suy ra:

n

d f ( , ) hd f ( u f , ) £

.

Chính vì vậy ||

( ,

d u fu = hay u ) || 0

fu=

1.3.2 Điểm bất động chung của ánh xạ tương thích yếu.

Trước khi đưa ra những định lý về điểm bất động chung cho các ánh xạ tương thích

yếu, ta đưa ra một số định nghĩa sau.

),X d là không gian nón mêtric, hai ánh xạ

h Kd u fu n || d u fu ( , ) ( , ) 0( £ ® ® ¥ )

1.3.2.1 Định nghĩa. Cho ( f g X :

,

X® được gọi là giao hoán nếu:

fgx gfx , = " x X Î

,

),X d là không gian nón mêtric, hai ánh xạ thì x được gọi là điểm trùng của f và

gx

mà w fx

1.3.2.2 Định nghĩa. Cho ( X® . Với x XÎ f g X :

=

=

g . w được gọi là giá trị trùng của f và g .

1.3.2.3 Định nghĩa. Cho ( f g X :

,

),X d là không gian nón mêtric, hai ánh xạ X® . Khi đó, f và g được gọi là tương thích yếu nếu nó giao hoán tại

những điểm trùng, nghĩa là nếu:

fx

gx

fgx

gfx

=

Þ

=

1.3.2.4 Mệnh đề. Cho f và g là 2 ánh xạ tương thích yếu từ X vào chính nó. Nếu

thì w là điểm bất động chung duy

gx

f và g có giá trị trùng duy nhất w fx

=

=

nhất của f và g .

Sau đây, chúng ta sẽ chứng minh định lý điểm bất động chung cho 2 cặp ánh xạ

tương thích yếu trong không gian nón mêtric đầy đủ.

1.3.2.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng số

chuẩn K. Giả sử các ánh xạ

f g S T X ,

:

,

,

X® thỏa mãn các điều kiện sau:

i.

.

T X (

)

f X S X ),

(

(

)

g X (

)

Í

Í

ii.

d Sx Ty ,

(

)

,

)

a d gy Sx (

,

)

,

)

£

+

+

a d fx Sx ( 1

2

a d fx Ty ( 3

a d gy Ty (

,

)

,

)

+

+

4

a d fx gy ( 5

iii. Với mọi

và

4

(

f S ,

),( ,

g T là 2 cặp ánh xạ tương thích yếu.

)

Khi đó

f g S T có 1 điểm bất động chung duy nhất. ,

,

,

Chứng minh.

Lấy điểm

0x là điểm bất kỳ của X và ta xây dựng 1 dãy { }ny trong X như sau:

Từ (ii), ta có:

, 0 2 2 a 1 ³ + + < thì các cặp x y X a , Î i a 1 a + + 2 a 3 a 5

2

n

n

n

2

n

n

n

1 +

1 +

1 +

2 +

y , y = = = = Sx 2 gx 2 Tx 2 fx 2

2

n

2

n

1 +

1 +

d y ( , y ) , ( ) =

n

, ) , ) £ +

n

n

n

1 +

1 +

1 +

1 +

( , ) ) , ) + Sx 2 n , Tx 2 ( a d gx 5 2 Tx 2

n y

1 4 + ( a d y

2

1

2

n

n

2

n

2

n

2

-

) a d gx ( 2 1 2 + ( a d gx + 2 n ) , y = d Sx Tx 2 2 n n Sx a d fx ( 1 2 2 n n a d fx Tx + 2 3 2 n ( , a d y + 1

2

2

1 y

1 n 2 - y ,

1 n 2 + y ,

, y ) , y ) , y ) + + + a d y ( 4

n - ,

n )]

2 1 n + ) 0 + +

2

n

2

n

2

n

1 +

) a d y ( 5 d y ( £ +

2 ,

n 2 1 - ( a d y

2 n y

1 n - y

, ) ) a d y ( 3 a d y ( 1 + +

2 n a d d y [ ( 3 ( a d y 5 y

2 n ) ( a d y +

2 n 1 - ( a + 3

n

2

2

n

1

4 2 2 n 1 n + ) ( a a d y + + 3 5

4

2

n

2

n

-

1 +

Từ đó suy ra:

với

.

h

1

) , ( , ) y = a 1

=

<

2

n

2

n

2

n

1

2

n

1 +

-

a 1 1 ( -

a a + + 5 3 a a ) + 4 3

Một cách tương tự, ta có:

d y ( , y ) hd y ( , y ) £

2

n

2

n

2

n

2

n

1 +

2 +

1 +

ta có:

Do đó, với mọi n NÎ

n

1 +

,

)

,

)

,

)

( d y

y

( hd y y

£

... £ £

( h d y y 1

0

n

n

n

n

1 +

2 +

1 +

Lấy m n> , ta có:

y

y

(

,

)

(

,

)

d y (

,

)

d y (

,

)

£

+

... + +

d y y n

m

d y y n

n

m

m

n

n

1

1 +

-

2 +

1 +

n

m

n

1

1 +

-

h

h

h

(

,

)

£

+

... + +

d y y ) ( 0 1

n

(

,

)

£

d y y 1

0

h

h 1 -

Theo định nghĩa của nón chuẩn, ta được:

n

||

(

,

) ||

K d y y (

||

,

) ||

£

d y y n

m

1

0

h

h 1 -

Suy ra

d y ( , y ) hd y ( , y ) £

n

m

,n m ® ¥ hay { }ny là dãy Cauchy trong X đầy đủ nên

tồn

tại

sao

cho

và

0 ( , d y y ® khi )

z XÎ

n

n

n

1 +

y z = = = z Sx 2 gx 2 lim n ® ¥ , lim n ® ¥ lim n ® ¥

n

n

1 +

2 +

=

=

=

= z

Sx 2

n

gx 2

n

Tx 2

n

fx 2

n

1 +

1 +

2 +

lim n ® ¥

lim n ® ¥

lim n ® ¥

lim n ® ¥

Vì

. Cho nên, từ (iii) ta có:

= = z Tx 2 fx 2 lim n ® ¥ lim n ® ¥

sao cho z

nên tồn tại 1 điểm u XÎ

T X ( ) f X ( ) Í fu=

(

(

)

, ) d Su z

, ) z

£

+

1

n

-

(

,

)

,

,

)

Su

£

1 - ) +

+

+

2

1

n

-

-

)

,

,

)

, ) z

+

+

, d Su Tx 2 n a d fu Su 1 ( a d gx 2

4

1

( d Tx 2 ( a d gx 1 2 ( a d fu gx 5 2

1

Tx 2

( a d fu Tx 2 3 n ( d Tx 2

1

1

n

n

n

n

-

-

-

-

Lấy chuẩn 2 vế, ta được:

1

-

|| , ) || ( , || ) || ( ) || , , || ) || d Su z Su £ + +

4

1

1 - ( a K d fu gx 5 2

1

1

1

n

n

n

n

-

-

-

-

Cho n ® ¥ , ta được:

d Su z , )

(

)

)

d z z

( , ) \

£

+

+

+

+

+

a d z z ( , ) 3

a d z z ( . ) 4

a d z z ( , ) 5

)

(

+

£

a d z Su ( , 1 a 1

a d z Su ( , 2 a d z Su ) ( , 2

Với điều kiện

thế

( , || a K d gx 2 2 n || ) || , ) || || ( , ) || z + + + ( a K d fu Su 1 || a K d gx 2 Tx 2 ( a K d fu Tx 2 3 n K d Tx 2

ia

4

Su

fu

=

= . z

Mặt khác, vì

.

S X (

)

g X (

)

để z

nên tồn tại v XÎ

Í

gv=

Ta chứng minh Tv

z= , thật vậy:

0, i 1,...,5, 2 2 a 1 ³ " = + + < . Chính vì a 1 a + + 2 a 3 a 5

d z Tv ( , ) d Su Tv , ( ) =

4

, ) ( a d gv Su ( , ) , ) a d gv Tv ( , ) , ) £ + + + + a d fu Tv ( 3 a d fu gv ( 5

2 a d z Tv ) ( , ) 4

.

Vậy

( = + a d fu Su 1 a 3

Với điều kiện

d z Tv ( , )) ( ) £ + a 3 a d z Tv ) ( , 4

gv

=

= . z

ia

4

Vậy fu

gv

z

=

Su Tv =

=

= . Mặt khác, vì f và S là cặp ánh xạ tương thích yếu nên

. Bây giờ ta chứng minh z la điểm bất động của S. Giả sử

Sfu

hay z S

z

fSu=

f=

, theo (ii), ta có:

ngược lại, tức là Sz

z

¹

(

)

(

, ) d Sz z

£

)

,

)

,

)

,

,

)

)

( a d gv Tv

£

+

+

+

+

( a d gv Sz 2

( a d fz Tv 3

,

)

)

=

+

+

+

+

4 ( , ) a d z z 4

( a d fz gv 5 ( , ) a d fz z 5

( , ) a d fz z 3

(

=

, d Sz Tv ( , a d fz Sz 1 ( a d fz Sz 1 a 2

a + + 3

( , a d z Sz 2 ) ( , ) a d Sz z 5

Vậy

.

0, i 1,...,5, 2 2 a ³ " = + + < nên Tv 1 a 1 a + + 2 a 3 a 5

2

Với điều kiện

d Sz z , ) ( ( a £ a + + 3 a d Sz z ) ( , ) 5

z= . Vì thế

ia

4

Sz

fz

=

= . z

0, i 1,...,5, 2 2 a 1 ³ " = + + < suy ra: zS a 1 a + + 2 a 3 a 5

. Bây giờ

Tương tự f và T là cặp ánh xạ tương thích yếu, chúng ta có: z T

z

g=

, thì từ (ii), ta có:

chúng ta chứng minh z là điểm cố định của T. Giả sử Tz

z

¹

)

(

)

( , d z Tz

=

,

)

,

)

)

,

,

)

)

£

+

+

+

+

( a d gz Tz 4

)

,

)

)

=

+

+

+

+

( a d fz Tz 3 ( , a d z Tz 3

( a d Tz Tz 4

( a d fz gz 5 ( , a d z Tz 5

(

=

, d Sz Tz ( , a d fz Sz 1 ( , ) a d z z 1 a 2

a + + 3

( a d gz Sz 2 , ) ( a d Tz z 2 ) ( , ) a d Tz z 5

Vậy

.

2

Với điều kiện

d Tz z , ) ( ( a £ a + + 3 a d Tz z ) ( , ) 5

z= , suy ra:

ia

4

0, i 1,...,5, 2 2 a 1 ³ " = + + < . Vì thế Tz a 1 a + + 2 a 3 a 5

Vậy ta đã chứng minh được Sz Tz

fz

gz

z

=

=

=

= hay z là điểm bất động chung

của

f g S T . , ,

,

Chứng minh duy nhất.

Giả sử có 2 điểm

là 2 điểm bất động chung của

f g S T . Chúng ta ,

,

,

,z w mà z

Tz gz = = . z

sẽ chứng minh z w= . Thật vậy, từ (ii) ta có:

( ,

(

)

,

) d z w d Sz Tw =

,

,

)

(

,

(

)

(

)

(

)

,

,

£

+

+

+

+

5

) a d fz Tw a d gw Tw a d fz gw 3 ( ,

( ,

4 )

)

,

=

+

+

+

+

) ( a d z w a d w w a d z w 3

5

4

(

=

( a d fz Sz 1 ( , ) a d z z 1 a 2

a + + 3

a d gw Sz 2 , ) ( a d w z 2 ) ( , ) a d z w 5

Vậy

.

w¹

2

Với điều kiện

d z w ( , ) ( a £ a + + 3 a d z w ) ( , ) 5

ia

4

Vậy ta đã chứng minh z là điểm bất động chung duy nhất của

0, i 1,...,5, 2 2 a 1 ³ " = + + < hay z w= . a 1 a + + 2 a 3 a 5

f g S T . , , ,

1.3.2.6 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K. Giả sử các ánh xạ

f S T X , ,

:

X® thỏa mãn các điều kiện sau:

i.

.

S X (

)

T X (

)

f X (

)

È

Í

ii.

d Sx Ty ,

(

)

,

)

,

)

,

)

£

+

+

a d fx Ty ( 3

,

,

)

)

a d fx Sx ( 1 +

a d fy Sx ( 2 +

a d fy Ty ( 4

a d fx fy ( 5

iii. Với mọi

và

4

(

f S ,

),(

f T là 2 cặp ánh xạ tương thích yếu. ,

)

Khi đó

f S T có 1 điểm bất động chung duy nhất. ,

,

Chứng minh.

Nếu ta đặt f

, 0 2 2 a 1 ³ + + < thì các cặp x y X a , Î i a 1 a + + 2 a 3 a 5

g= trong định lý 1.3.2.5 thì ta có điều phải chứng minh.

1.3.2.7 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ, nón chuẩn P và hằng

số chuẩn K. Giả sử các ánh xạ

f S X :

,

X® thỏa mãn các điều kiện sau:

i.

.

S X (

)

f X (

)

Í

ii.

d Sx Sy ,

(

)

,

)

,

)

,

)

£

+

+

a d fx Sy ( 3

a d fx Sx ( 1 a d fy Sy (

,

)

,

)

+

4

a d fy Sx ( 2 a d fx fy ( + 5

iii. Với mọi

và

f S , )

4

là cặp ánh xạ tương thích yếu.

Khi đó

,f S có 1 điểm bất động chung duy nhất.

Chứng minh.

Nếu ta đặt f

g= và S T= trong định lý 1.3.2.5 thì ta có điều phải chứng minh.

, 0 2 2 a 1 ³ + + < thì các cặp ( x y X a , Î i a 1 a + + 2 a 3 a 5

1.3.2.8 Hệ quả. Ta có thể thay điều kiện (ii) trong định lý 1.3.2.5 bằng điều kiện:

d Sx Ty ,

(

)

ad fx gy

(

,

)

b d fx Sx [ (

,

)

d gy Ty ,

(

)]

c d fx Ty [ (

,

)

d gy Sx ,

(

)]

£

+

+

+

+

Trong đó:

1.3.3. Điểm bất động chung của những ánh xạ giãn trong không

gian nón mêtric.

Trước tiên, chúng ta đi xem xét các định lý điểm bất động trong không gian

nón mêtric đầy đủ với định lý sau:

a b c , , 0, a b 2 c 2 ³ + + < 1

1.3.3.1 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử f và g là toàn

ánh đi từ X vào chính nó thỏa mãn 2 bất đẵng thức sau:

, , ( ( ad fx x ( , ) bd gx x ( , ) d gfx fx ) ³ ) d fgx gx ³

với mọi

x X a b ,

,

1

Î

> . Khi đó, nếu f hoặc g là liên tục thì f và g có 1 điểm bất động

chung.

Chứng minh.

1

1

-

-

Lấy

vì f và g là

f

(

),

g

(

)

Î

Î

x 1

x 0

x 2

x 1

0x là điểm bất kỳ trong X. Như vậy tồn tại

2

toàn ánh. Bằng cách này,

với

ta xây dựng được 1 dãy { }nx

1

1

-

-

để

f

(

g

(

)

Î

Î

. Ta dễ thấy rằng, nếu tồn tại n NÎ

x 2

x n x ), 2 2

x 2

n

n

n

n

1 +

2 +

1 +

thì

nx là điểm cố định của f và g. Thật vậy, nếu

2nx không phải là điểm cố định của

f, thì từ (1.3.2) ta có:

0

,

)

,

)

,

)

=

=

=

d x ( 2

n

x 2

n

d fx ( 2

n

gx 2

n

d fgx ( 2

n

gx 2

n

1 +

2 +

2 +

1 + ,

2 + )

³

bd x ( 2

n

x 2

n

1 +

2 +

hay

. Vì thế

Suy ra

= x 2 x + 2 1 n

n

n

n

n

n

n

1 +

2 +

+ = , mà 2

1 +

2 +

b>1 nên

. Vậy

, ) P ) 0 , ) P Î - Î bd x ( 2 x 2 bd x ( 2 bd x ( 2 x 2 x+ , 1 2

n

n

2nx là điểm bất động chung của f và g. Nếu

n

n

1 +

2 +

1 +

2 +

thì bằng cách tương tự sử dụng bất phương trình (1.3.1) thì ta chứng minh đươc

1nx + là điểm bất động chung của f và g. Bây giờ, ta giả sử rằng không tồn tại n sao 2

cho

. Từ (1.3.1) ta có:

= = x 2 x 2 x 2 x 2

,

)

,

)

,

)

=

=

d x ( 2

x 2

n

n

d gx ( 2

n

fx 2

n

d gfx ( 2

fx 2

n

n

1 +

2 +

2 +

3 +

3 +

(1.3)

,

3 + )

³

ad x ( 2

n

x 2

n

2 +

3 +

Từ (1.3.2) ta có:

,

)

,

)

,

)

=

=

d x ( 2

n

x 2

n

d fx ( 2

n

gx 2

n

d fgx ( 2

n

gx 2

n

1 +

2 +

2 +

(1.4)

1 + ,

2 + )

³

bd x ( 2

n

x 2

n

2 +

1 +

Đặt

. Thì từ (1.3.3) và (1.3.4), ta có:

min{ , }a b

a =

,

)

,

)

£

a -

d x ( 2

x 2

1 d x ( 2

x 2

n

n

n

n

2 +

3 +

1 +

2 +

và

,

)

,

)

£

a -

d x ( 2

x 2

1 d x ( 2

x 2

n

n

n

n

1 +

2 +

1 +

Từ đó, ta có:

,

)

(

,

)

£

a -

d x ( n

x n

1 d x x n n

1 +

2 +

1 +

¹ x n x + 1 n

với

là dãy Cauchy trong không gian nón mêtric đầy đủ

0,1, 2,...

n =

Suy ra { }nx

.

(X,d) nên hội tụ về z XÎ

Bây giờ, ta giả sử f là liên tục. Vì

nên ta có:

n

z

fz

=

=

=

x 2

n

fx 2

n

1 +

lim n ® ¥

lim n ® ¥

Vậy suy ra z là điểm cố định của f. Mặt khác, g là toàn ánh nên tồn tại y sao cho

gy

z= . Vì thế, dùng bất phương trình (1.3.2), ta có:

= x 2 fx + 2 1 n

Suy ra

, và ta cũng có

. Vì thế

bd z y ( ,

)

P

bd z y ( ,

)

) 0

( ,

-

Î

PÎ

bd z y = và vì b > 1

, hay ta đã chứng minh được rằng z là điểm cố định

nên suy ra y

z= . Vậy z

gz=

chung của f và g.

Tương tự, nếu ta coi g là liên tục, thì ta cũng có kết quả trên.

1.3.3.2 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. Giả sử

0 d fz gy , ( ) d fgy gy ( , ) bd gy y ( , ) bd z y ( , ) = = ³ =

toàn ánh thỏa mãn:

2 d f x fx

(

,

)

kd fx x ( , )

³

với mọi

x X k

,

1

Î

> . Khi đó, nếu f là liên tục thì f có 1 điểm bất động.

Chứng minh.

Rõ ràng nếu ta đặt

thì ta có điều phải chứng minh.

f

g k ,

a b min{ , }

=

=

Nếu ta đặt

,

x R x

:

0}

R d X X :

,

R

E R P =

{ = Î

³

Ì

´

® trong hệ quả 1.3.3.2 thì ta

được kết quả sau:

:f X X® là

1.3.3.3 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử

:f X

X® là

toàn ánh thỏa mãn:

2 d f x fx

với mọi

x X k

,

1

Î

> . Khi đó, nếu f là liên tục thì f có 1 điểm bất động.

Chúng ta sẽ minh họa cho định lý trên bằng 1 ví dụ sau:

( , ) kd fx x ( , ) ³

2

2

1.3.3.4 Ví dụ. Cho

E R P

,

x y ( ,

)

E x y :

,

0}

R X R d X X ,

:

,

=

=

Î

³

Ì

=

´

E ®

{

. Khi đó, (X,d) là không gian nón mêtric

được xác định

d x y ( ,

)

(|

x

y

|,|

x

y

|)

=

-

-

đầy đủ.

Ta định nghĩa 2 toàn ánh

fx

2 ,

x gx

4

x

=

=

. Khi đó, ta có:

với mọi x XÎ

f g X : , X® như sau:

và

d fx gfx , ( ) (| 2 x 8 |,| 2 x x x 8 |) (6 | x |,6 | x |) (2 | x 2 |, x x x 2 |) 2 ( , d x fx ) = - - = ³ - - ³

d gx fgx , ( ) (| 4 x 8 |,| 4 x x x 8 |) (4 | x |, 4 | x |) = - - =

(

)

. Như vậy 2 bất đẳng thức trong định lý trên đều thỏa mãn và x=0

Đúng mọi x XÎ

là điểm chung cùa f và g.

Bây giờ, chúng ta se đưa ra một số định lý điểm bất động chung của ánh xạ giãn

trong không gian nón mêtric thông thường với điều kiện mới.

| x x 4 |, | x x 4 | d x gx ( , ) = - - = 4 3 4 3 4 3

1.3.3.5 Định lý. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d) và

và 1 trong 2 tập fX và gX là đầy đủ. Giả sử:

thỏa mãn gX

f g X : , X® là 2 ánh xạ

(1.5)

fXÌ

với

. Khi đó f và g có 1 điểm trùng duy nhất. Mặt khác, nếu

1a > , với mọi

,x y XÎ

cặp (f, g) là tương thích yếu, thì f và g có điểm trùng duy nhất.

Chứng minh.

Lấy

được xác định như sau:

bất kỳ. Ta xây dựng 2 dãy { },{ }

d fx fy , ( ) d gx gy , ( ) a³

0x

n

y XÎ x n

n

Từ 1.3.5, ta có:

y 0,1, 2,... = = = gx n fx n n+ 1,

n

1

n

n

-

1 +

1 +

1 +

Từ đây ta có:

, và bằng quy nạp, ta suy ra:

d y (

,

y

)

(

,

)

£

a -

1

n

n

1 d y y n

n

1 +

-

( , ) , ) , ) d y ( , y ) = ³ a = a d y y n d fx ( n fx n d gx ( n gx n

n

1

1

. Mà

nên suy ra

y

d y (

,

)

)

(

,

)

(0,1)

£

a - (

a -

Î

n

n

d y y 1

0

n

n

1 +

sao cho

khi

d y ( ) 0 ® khi n ® ¥ y+ , 1

hay { }ny là dãy Cauchy trong fX đầy đủ nên tồn tại z XÎ

ny

.

fz®

gz=

Thật vậy, trong (1.3.5) ta đặt

. Mà

n ® ¥ . Ta cần chứng minh fz

nên lây giới hạn tới vô cùng, ta suy ra:

và hiển nhiên

x z , fz ) ( , ) = = , ta có: a³ x y ,n d fx ( n d gx gz n

ngx

- = 1n

nên suy ra fz

. Vậy fz

gz w

y fz ® gz® fx n

gz=

=

= là 1 điểm trùng của f và g.

ngx

Chứng minh duy nhất.

, thì từ (1.3.5) ta có:

Giả sử có 1 điểm trùng khác là

fz®

= = w 1 fz 1 gz 1

mà

( ) ( ) ( ) ( ) = ³ a = a d w w , 1 d fz fz , 1 d gz gz , 1 d w w , 1

1a > nên suy ra

Nếu cặp (

f g là tương thích yếu, thì mệnh đề (1.3.2.4) ta có f và g có điểm bất ,

)

động chung duy nhất.

) 0 ( , d w w = . 1

1.3.3.6 Ví dụ. Trên

, ta lấy chuẩn

và nón

E C=

1 [0,1] R

. Đặt

và xét

|| x x || || || = + || ¥ ¢ || x ¥

P

x E x t ( ) :

0,

t

[0,1]}

[0,1]

{ = Î

³

Î

X =

với

d x y t )( )

( ,

y

|

t ( )

t ( ) 0

t ( )

| x = -

j

j

> là hàm cố định bất kỳ, ví dụ:

j

t = . e

Xét 2 hàm

và lấy bất kỳ

. Thì mọi điều

f g X :

,

X fx ,

x gx ,

x

(1,

]

®

=

=

a Î

1 3

1 5

5 3

kiện của định lý 1.3.3.5 đều thỏa. Và dễ dàng nhận thấy f và g có điểm bất động

chung duy nhất.

E :d X X ´ ® với

1.3.3.7 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử

:f X

X® là

toàn ánh. Nếu có hằng số

với mọi

, thì f có

d fx fy ,

(

)

d x y ( ,

)

1a > thỏa

a³

,x y XÎ

điểm bất động duy nhất.

Chứng minh.

Trong định lý 1.3.3.5, đặt

x

Chúng ta có thể phát biểu hệ quả trên như sau:

g I= ta có điều phải chứng minh.

Cho (X,d) là không gian nón mêtric compact theo dãy trên nón chính quy và

khi. Thì f có điểm bất động duy

:f X

d fx fy ,

(

)

d x y ( ,

)

X® là toàn ánh thỏa

>

nhất.

1.3.3.8 Hệ quả. Cho không gian mêtric đầy đủ (X,d). Giả sử Giả sử

:f X

X®

thỏa mãn

)F f (

¹ Æ và

(1.6)

2 f x

với

, hoặc (ii) với hầu hết

. Thì f có

x X x

,

fx

1a > và hoặc (i) là với mọi x XÎ

Î

¹

tính chất (P).

Chứng minh.

Giả sử (1.3.6) đúng với mọi

và

với

d fx ( ), ) d x fx ( , ) a³

1a > và với mọi x XÎ

1n > . Thì:

n

n

1

2

n

1

n

1

1 +

-

-

-

d p fp ,

(

)

(

)

p

)

d f (

)

,

=

n

p 2

d ff ( 2

p f , 2

f n

a 1

1

n p f p n

n d f p f , 2 -

= n -

³ n -

-

d ff (

p f ,

f

p

)

d f (

p f ,

p

)

...

d p fp ,

(

).

=

a

³

a

³

³

a

Vậy nếu

(vô

lý). Điều đó

suy

ra

rằng

thì 1

(

,

na³

d p fp > ) 0

n

p F f ( )n Î

, và lấy

với

Giả sử (1.3.6) đúng với mọi x mà x

fx

p F f F f ( ( ), ) F f ( ) Î =

1n > . Nếu

¹

. Thì giống trường hợp trên, chúng ta

p

, thì chứng minh xong. Giả sử p

fp

fp=

¹

n

1

2

n

1

-

-

có

. Mà ta để ý, để sử dụng (2), chúng ta cần có

d p fp ,

(

)

d ff (

p f ,

f

p

)

=

n

1

n

1

-

-

. Thật vậy, nếu ngược lại thì

f

p

ff

p

n f p

p

n f p

n f p

1nf -

p

¹

=

=

=

= thì p

(Vô lý). Chính vì thế, áp dụng (1.3.6) ta có:

1

2

1

2

2

2

n

n

n

n

-

-

-

-

(

)

,

)

,

)

, d p fp

( d ff

, p f

fn

1 ) p

( d f

n p f p

( d ff

f

f

p

=

-

³

a

=

a

n

Bằng cách quy nạp như trên, ta có:

, mà

p F f ( )n Î

1a > nên suy ra

(vô lý).

p

fp=

Chúng ta sẽ thấy rằng điều kiện liên tục là cần thiết và không thể bỏ bằng ví dụ sau:

1.3.3.9 Ví dụ. Lấy

d p fp , ( ) d p fp , ( ) a³

[2, ) X = +¥ được trang bị mêtric thông thường và lấy

:f X X® được xác định như sau:

x

2

=

fx

2

x

x

(2,

)

Î

+¥

4 1 2

ì ï = í ï î

Rõ ràng f thỏa mãn các tính chất của hệ quả trên ngoài trừ tính liên tục ( với mọi

,1

2

a

a< £ ), nhưng nó không có điểm bất động. Ví dụ này cũng chỉ ra rằng điều

kiện

)F f (

¹ Æ là rất cần thiết trong hệ quả 1.3.6.8

1.3.3.10 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric và f, g là 2 ánh xạ trong X

và tối thiẻu 1 trong các không gian con đó là đầy đủ. Giả sử tồn

thỏa mãn fX

gXÉ

tại

thỏa:

(

,1)

b Î

1 2

(1.7)

d fx fy ,

(

)

d gx fx [ ( ,

)

d gy fy ,

(

)]

b³

+

với mọi

. Khi đó f và g có 1 điểm trùng.

,

y

x y X x , Î

¹

Chứng minh.

. Tương tự như trong định lý 1.3.3.5, ta xây dựng 2 dãy

Lấy bất kỳ

0x

thỏa

với mọi

Áp dụng 1.3.7, chúng ta có

XÎ

0,1, 2...

n =

n

n

(

,

)

,

)

,

)

,

)]

=

³

b

+

d y y n

n

1

fx n

fx n

d gx ( n

fx n

-

1 +

1 +

1 +

d fx ( n d y (

,

y

)

(

,

)

b

=

+

b

n

n

d gx [ ( n d y y n

n

1

1 +

-

Từ đó ta có:

y y = = x { },{ } n gx n fx + n 1

n

n

n

1

n

1

1 +

-

-

1 b d y ( , y ) ( , ) ( , ) £ = l d y y n d y y n - b

n

với

1

d y (

,

y

)

(

,

)

b< < . Do đó

£

l

n

n

d y y 1

0

. Suy ra dãy { }ny

1 +

1 2

là dãy Cauchy.

sao cho

Giả sử rằng fX đầy đủ. Khi đó, tồn tại z ZÎ

1 b 0 < = l < vì 1 - b

nfx

bất kỳ. Khi đó, sử dụng 1.3.7

. Thật vậy, lấy c

intP

ta sẽ chứng minh rằng fz

Î

gz=

ta có:

fz® khi n ® ¥ . Chúng

với

là điểm trùng của f và g.

0 d gz fz , ( ) , ) d gz fz , ( ) , fz ) £ b £ b + b £  c b d gx ( n fx n d fx ( n

. Vậy ta có gz

fz=

n ³ n c 0 ( )

1.3.3.11 Hệ quả. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và

:f X

X® là 1 toàn ánh.

Giả sử tồn tại

sao cho với mọi

thỏa

(

,1)

,

y

b Î

x y X x , Î

¹

1 2

(1.8)

d fx fy ,

(

)

d x fx [ ( ,

)

d y fy ( ,

)]

b³

+

Khi đó f có 1 điểm cố định và nó có tính chất (P).

Chứng minh.

Cho

sao cho fz

X

dụng 1.3.8 chúng ta có:

2

2

d fx f x ,

(

)

d fx ffx ,

(

)

d x fx [ ( ,

)

d fx f x ,

(

)]

=

³

b

+

2

Vì thế

với

. Áp dụng hệ quả 1.3.3.8 thì chúng ta

g i= trong định lý 1.3.3.10 thì ta chỉ ra tồn tại z XÎ z= . Áp

kết luận f có tính chất (P).

d fx f x , ( ) d x fx ( , ) 1 ³ > 1 1 b b - b - b

1.3.3.12 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric và lấy

f g X :

,

X® là 2 ánh

và 1 trong 2 tập đó là đầy đủ. Giả sử rằng tồn tại các hằng số

xạ thỏa mãn fX

gXÉ

không âm

,

,a b g thỏa:

•

•

1a < hay

1b <

,

y

• Với mọi

x y X x , Î

¹

(1.9) đúng.

d fx fy ,

(

)

d gx fx ,

(

)

d gy fy ,

(

)

d gx gy ,

(

)

³

a

+

b

+

g

Khi đó, f và g có 1 điểm trùng.

Chứng minh.

Ta chứng minh trong trường hợp

1a < chứng minh tương tự).

a b g + + > 1

Lấy bất kỳ 1

thỏa mãn

nên ta xây dựng được 2 dãy { },{ }

1b < ( trường hợp

, vì gX

fXÌ

0x

n

với mọi

. Nếu

với

, thì

là

y XÎ x n

0,1, 2...

1m ³

n =

n

1

m

điểm trùng của f và g. Giả sử ngược lại

với mỗi

Khi đó, áp

y y = = gx n fx m gx= m fx + 1 n y -= m

1, 2,...

n =

n

1

dụng 1.3.9, chúng ta có:

y ¹ y - n

(

,

)

,

)

=

d y y n

n

1

-

,

)

,

)

,

)

a

³

+

b

+

g

d fx ( 1 n + d gx ( n

d gx ( n

gx n

d y (

)

y

1 + ,

(

,

)

d y (

d gx ( 1 n + )

y

,

=

a

fx n fx n 1 + + b

fx n g

+

n

n

d y y n

n

1

n

n

1 +

-

1 +

. Mà từ giả thiết, ta suy ra

Từ đó suy ra

n

1

n

n

-

1 +

. Từ đó ta có:

(1 , ) d y ) ( , y ) - b ³ ( + a g d y y ) ( n

0

a g+ > và

n

d y (

,

y

)

(

,

)

(

,

)

£

l

... £ £

l

n

d y y n

n

n

1

d y y 1

0

-

1 +

. Mà

0 1 < = l < 1 - b + a g

Suy ra { }ny là 1 dãy Cauchy. Giả sử nếu fX là đầy đủ, thì

nfx

ta chú ý giả sử rằng

với mọi

nên suy ra

với n hữu

fz® với z XÎ

n

1

nfx

hạn.

Chúng ta xét 2 trường hợp sau:

. Thì ta có

0

. Lấy bất kỳ c

intP

y fz 0,1, 2... ¹ ¹ n = y - n

• Trường hợp 1. Với

a ¹

Î

với

và với giá trị n đó, áp dụng 1.3.9, chung ta có:

d fz fx , ( ca )n

0

d gz fz ,

(

)

d gz fz ,

(

)

,

)

(

)

£

a

£

a

+

b

+

g

d gx ( n

fx n

d gz gx , n

(

)

c

£

a



d fz fx , n

là điểm trùng của f và g

Từ đó suy ra gz

fz=

. Tương tự trường hợp 1, ta có:

0

• Trường hợp 2. Với

0a = , vì

1b < nên

g ¹

0

(

,

)

d gz fz ,

(

)

,

)

(

)

£

g

£

a

+

b

+

g

d gx gz n

d gx ( n

fx n

d gz gx , n

c

(

)

£

g



d fz fx , n

với

. Từ đó suy ra

. Và

khi

n ³ n c 0 ( )

ngx

n ( , ) n ³ ³ gz® c với n c 1( ) d gx gz n n c 1( )

và f, g có 1 điểm trùng.

gz

fz=

n ® ¥ . Mặt khác, vì dưới hạn của 1 dãy là duy nhất nên chúng ta suy ra

1.3.3.13 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric và lấy

:f X

X® là toàn

ánh. Giả sử rằng tồn tại các hằng số không âm

,

,a b g thỏa:

•

a b g

+ + > 1

•

1a < hay

1b <

,

y

• Với mọi

x y X x , Î

¹

(1.10) đúng.

d fx fy ,

(

)

d x fx ( ,

)

d y fy ( ,

)

d x y ( ,

)

³

a

+

b

+

g

Khi đó, f có điểm bất động duy nhất. Hơn nữa, f có tính chất (P).

Chứng minh.

Cho

X

và giả sử

chứng minh rằng f có tính chất (P). Thật vậy, với mỗi x XÎ

1b < thì

2

2

d fx f x ,

(

)

d fx ffx ,

(

)

d x fx ( ,

)

d fx f x ,

(

)

d x fx ( ,

)

=

³

a

+

b

+

g

2

với

mà

Suy ra

g i= trong định lý 1.3.3.12, chúng ta suy ra f có 1 điểm bất động. Bây giờ ta

)F f (

¹ Æ nên

ta suy ra f có tính chất (P).

d fx f x , ( ) d x fx ( , ) d x fx ( , ) 1 = > ³ = l l - a b 1 - b + a g 1 - b

1.3.3.14 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ và lấy

f g X :

,

X®

là 2 ánh liên tục và toàn ánh trên X. Giả sử rằng với

1a > và với mọi

thì tồn tại

u x y ( ,

d x fx d y gy d x y ( ,

( ,

),

),

)}

) { ( , Î

thỏa mãn

(1.11)

d fx gy ,

(

)

u x y ( ,

)

a³

Khi đó f và g có 1 điểm bất động chung duy nhất và có tính chất (Q).

Chứng minh.

Lấy bất kỳ

sao cho

, y x y X x , Î ¹

0x

, vì f và g là toàn ánh nên ta chọn 1

với

XÎ XÎ ,x x 2

và tiếp tục như vậy ta đươc dãy { }nx

Chúng ta đi chứng minh rằng

= = x 0 fx x , 1 1 gx 2

n

n

n

n

1 +

1 +

2 +

(1.12)

, , n 0,1, 2,... = = = x 2 fx 2 x 2 gx 2

1

1 +

-

Thật vậy, từ (1.3.11) chúng ta có

với

, ) ( , ), 1, 2,... n £ = ( d x n x n d x x n n 1 a

n

n

n

n

2 +

1 +

3 +

2 +

, ) , ) = ³ ua d x ( 2 x 2 d fx ( 2 gx 2

n

n

n

n

n

n

3 +

2 +

1 +

3 +

2 +

2 +

u ), , ), , )} , Î d x { ( 2 d x ( 2 x 2 d x ( 2 x 2 x 2

n

n

n

n

3 +

2 +

1 +

2 +

), , )} , = d x { ( 2 d x ( 2 x 2 x 2

Mà

và do đó

.

,

)

,

)

£

1a > nên ta suy ra

n

n

n

n

( d x 2

x 2

( d x 2

x 2

n

n

3 +

2 +

2 +

1 +

2 +

1 a

. Vậy

Một cách tương tự, ta chứng minh được rằng

,

)

,

)

£

( d x 2

n

x 2

n

( d x 2

n

x 2

n

2 +

1 +

1 +

1 a

khi

hội tụ về x XÎ

1.3.12 đúng nên suy ra dãy { }nx

là dãy Cauchy và vì thế { }nx

u ) = d x ( 2 x+ , 3 2

. Mà chúng ta biết giới hạn là duy nhất nên ta

n ® ¥ . Mặt khác, vì f, g là liên tục nên ta suy ra

n

n

n

1 +

1 +

2 +

và

.

có x

fx

gx

F f (

)

0

=

=

F gÇ ( )

¹

gx = ® = ® x n 2 fx 2 fx x , 2 gx 2

1.3.3.15 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ và lấy

:f X

X® là

toàn ánh trên X. Giả sử rằng với

thì tồn tại

,

y

1a > và với mọi

x y X x , Î

¹

u x y ( ,

d x fx d y fy d x y ( ,

( ,

),

),

)}

) { ( , Î

thỏa mãn

(1.13)

d fx fy ,

(

)

u x y ( ,

)

a³

Khi đó f có 1 điểm bất động và có tính chất (P).

Chứng minh.

Đặt g

f= trong định lý 1.3.3.15 ta có điều phải chứng minh.

1.4 Điểm bất động của một số ánh xạ không giãn.

1.4.1 Ánh xạ c – không giãn.

:f X X® .

1.4.1.1 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian mêtric với P là nón và

Khi đó, f được gọi là c – không giãn khi với mọi

c  thì 0

d f x (

( ),

f y

( ))

d x y ( ,

)

£

với mỗi

x y X d x y , ,

( ,

)

Î

 c

Nếu ta có:

d f x (

( ),

f y

( ))

d x y ( ,

)

<

với mỗi

,

y d x y , ( ,

)

c

x y X x , Î

¹

 thì f được gọi là c – co

1.4.1.2 Định nghĩa. Cho P là nón trong không gian nón mêtric (X,d). Một điểm

f

được gọi là thuộc f – đóng của Y và được biểu diễn là

nếu

X

y YÎ

y Y Î

Í

in

f Y ( )

và có x YÎ

YÍ

và có 1 dãy tăng { }in

® ¥

được gọi là

f y = . NÍ x thỏa mãn lim ( ) i

XÍ

1.4.1.3 Định nghĩa. Cho không gian nón mêtric (X,d). Dãy { }ix

dãy c – đẵng cực nếu:

n k +

với mọi

được gọi là sinh dãy c –

, ) d x ( ) = d x ( m x n x+ , m k

đẵng cực đối với ánh xạ

là 1 dãy c – đẵng cực.

( , , , ) c Î < . Một điểm x XÎ k m N d x m x n

x ( )}

nf

:f X X® nếu {

1.4.1.4 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric với nón chuẩn P và hằng số

f

chuẩn K. Nếu

. Khi đó, có 1

:f X

X® là c – không giãn với mỗi 0

c và

jm

x YÎ

dãy tăng {

j

thõa mãn lim ® ¥

Chứng minh.

f

Theo định nghĩa f – đóng nên

f x ( ) = . x NÍ }jm

, thì có y XÎ

và 1 dãy { }in sao cho

để

, là 1 dãy

x YÎ

mf

y ( )

x= . Đặt

j

j

j

in y f lim ( ) i ® ¥

ta cần tìm. Khi đó dãy {

}jm là 1 dãy thỏa mãn các tính chất mong muốn. Ngược lại,

, cố định

với

x ( ) = . Nếu tồn tại m NÎ m n m n m - = >

,0

0>

,0d

d< <  . Chọn

c E Î

 và c

sao cho:

j

in

y+

d x f ( ,

( ))

c  4

. Vì f là c- không giãn và ta đặt j=0, chúng ta có:

với mọi

{0}

j NÎ

È

n i

n k + i

n + - i k

K c || i d< . Khi đó có || i c= ( )

. Chính vì thế:

với mọi k NÎ

n i

n i

n i k +

n i k +

f

d f (

y ( ),

y ( ))

d x f ( ,

y ( ))

d x f ( ,

y ( ))

£

+

c  2

. Vậy:

với mọi k NÎ

f d f ( x ( ), y ( )) c < 4

-

-

n i

n i

n i

n i

n i

n i

n i

n i

1 +

1 +

1 +

1 +

d x f ( , x ( )) d x f ( , y ( )) d f ( y ( ), f y ( )) d f ( y ( ), f x ( )) £ + +

Từ đó suy ra:

n i

n i

+ - 1

c c c c < + + = 4 2 4

Đặt

và giả sử ta chọn

thỏa mãn:

... < <

|| d x f ( , x ( )) || K c || £ < || d

m m < 2

1

1

m - j

m

m i

||

||

( , d x f

( , d x f

( )) || y

( )) || min y £

m

1,... =

m i

1

-

1 2

với

. Chúng ta đặt

, với l được chọn sao cho thỏa mãn

i

2,3,...,

j

1

-

=

-

n l

m n += j l 1

l

j y+

- n i m n += 1 1i

m

min

||

( , d x f

( )) || y

m

1,... =

{ d

}

m i

1

-

1 , min 2

Rõ ràng, dãy {

}jm được xác định ở trên thì thỏa mãn các yêu cầu của định lý trên.

Vậy định lý được chứng minh xong.

d x f ( , ( ))  , với d được thay thế bằng c 4

1.4.1.5 Định lý. Cho (X,d) là 1 không gian nón mêtric với nón chuẩn P và hằng số

f

chuẩn K. Nếu

là sinh dãy c – đẵng

x XÎ

cự.

Chứng minh.

m

n

Giả sử ngược lại có các số

sao cho

,

d f (

x ( ),

f

x ( ))

k m n NÎ ,

c< và

m

n

m k +

n k +

p

d f (

x ( ),

f

x ( ))

d f (

x ( ),

f

x ( ))

0

=

-

¹

và

Từ đó, p PÎ

m

n

m l +

n l +

0

d f (

x ( ),

f

x ( ))

d f (

x ( ),

f

x ( ))

p < £

-

với

. Mà P là 1 nón chuẩn nên:

l

,

³

k l N Î

m

n

m l +

n l +

(1.14)

||

p

K d f . || (

x ( ),

f

x ( ))

d f (

x ( ),

f

x ( )) ||

|| £

-

với

. Mặt khác, từ điều giả sử và định lý 1.4.1.4, ta có:

l

,

³

k l N Î

n

n

l +

l

l

j

j

:f X X® là c – không giãn, thì mỗi

f ( f x ( )) f x ( ) f x ( ) = = lim j ® ¥ lim j ® ¥

Đặt

thỏa

||

c

(

thỏa mãn 0

||p

|| <

) d

và chọn c EÎ

. Khi đó có i NÎ

|| d =

c và

1 2 K

mãn

m n +

n n +

m

n

j

j

f

f

d f (

x ( ),

x ( ))

;

d f (

x ( ),

x ( ))



c 2

c  2

. Tuy nhiên

với mọi j

i³

m n +

m n +

n n +

m

n

m

j

j

j

n n +

m n +

n n +

n

j

j

j

d f ( x ( ), f x ( )) d f ( x ( ), f x ( )) d f ( x ( ), f x ( )) £ +

Vì thế

m n +

n n +

m

n

j

j

d f (

x ( ),

f

x ( ))

d f (

x ( ),

f

x ( ))

-

 c

Điều đó nghĩa là:

m n +

n n +

m

n

j

j

||

( d f

( ), x

f

( )) x

( d f

( ), x

f

( )) || x

|| K c

d

-

£

|| <

1 K

. Chính vì thế p=0 và chứng minh được

điều này trái với 1.4.1, với

n

max{ , }

³

j

n k i

hoàn tất.

1.4.2 Một số định lý ánh xạ co mở rộng

1.4.2.1 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric, hàm

:f X

X® được gọi

, tồn tại

d f ( x ( ), f x ( )) x ( ), f x ( )) + c d f ( + +  c 2

l£ < thỏa: 1

là co địa phương nếu với mỗi x XÎ

d f p f q

( ))

),

(

(

d p q , ) (

l£

với mỗi

p q ,

{

y X d x y :

( ,

)

Î

Î

 c }

Hàm số

- co địa phương nếu nó co địa phương

:f X

)

X® được gọi là ( , c l

và cả c và l không phụ thuộc vào x

,0 c c X Î  và 0

Nhận xét: Một hàm co toàn cục thì sẽ co địa phương, nhưng chiều ngược lại

thì không đúng. Chúng ta có thể xem xét ví dụ sau:

2

Ví dụ: Cho

và

E R=

2

) |

cos ,

( , x y

x

t y

sin ;0 t

X

R

=

=

t £ £

=

Í

{

}

3 p 2

)

,

P

( , x y

| E x y

=

Î

³

{

} 0

với hằng số

Và

. Rõ ràng (

E d x y ( , ) (| x y |, | x y |) :d X X ´ ® xác định bởi = - a -

0a ³

Giả sử

. Khi đó f là ánh xạ co địa phương

f

t ((cos ,sin ))

(cos(

),sin(

))

t =

t 2

t 2

nhưng không co toàn cục.

)X d là không gian nón mêtric. ,

Chú ý: Mỗi hàm co địa phương đều là c-không giãn với mỗi

0

c  .

1.4.2.2 Định nghĩa. Với mỗi

0

c  , không gian nón mêtric (X,d) được gọi là thỏa

, tồn tại 1 dãy hữu hàn n điểm (không

điều kiện c – dây chuyền nếu mỗi

,a b XÎ

phụ thuộc vào a, b)

thỏa mãn

a , ,..., = = b x x x , 0 1 2 x n

1

-

, ) c ,1 n i < £ £ . d x ( i x i

1.4.2.3 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ c – dây chuyền. P là

nón chuẩn với hằng số chuẩn K. Nếu

:f X

)

X® là ( ,

c b - co đều địa phương thì

tồn tại 1 điểm bất động duy nhất

z X f z ( ) ,

Î

= z

Chứng minh.

bất kỳ. Xét c dây chuyền

. Chúng ta có:

Lấy 1 điểm x XÎ

n

d x f x

( ,

( ))

,

)

nc

£

<

1

d x ( i

x i

-

å

i

1 =

và

x ,..., f x ( ) = = x x 1, 0 x n

1

1

-

-

với mọi 1 i

n

£ £ . Cho nên

m

m

m

m

m

1

1

-

-

(1.15)

d f (

(

),

f

(

))

d f (

(

),

f

(

))

c

<

b

... < <

b

x i

x i

x i

x i

1

1

-

-

. Suy ra:

với mọi m NÎ

( ), )) , ) c £ b < b d f x ( i f x ( i d x ( i x i

n

m

m

m

m

1 +

f

f

d f (

x ( ),

x ( ))

d f (

(

),

(

))

£

<

m ncb

1

x i

x i

-

å

i

1 =

. Bây giờ, với

m p N m p

,

,

với mọi m NÎ

< , ta có:

Î

m

p

1

-

m

p

i

i

m

p

1

1 +

-

(

)

( d f

( ), x

f

( )) x

( d f

( ), x

f

( )) x

nc

nc

b

b

£

<

... + +

<

å

i m =

b

b 1 -

Điều đó có nghĩa là:

m

m

p

||

||

( d f

( ), x

f

( )) || x

|| n c

£

b

b 1 -

m

p

nên

Với

d f (

x ( ),

f

x ( )) || 0

[0,1)

= . Do đó

b Î

lim || , m p ® ¥

m

p

là dãy Cauchy. Mà X là đầy đủ nên tồn tại

m p N m p , , < . Mà Î

mf

x ( )}

m

f x ( ), x ( )) 0 = hay { d f lim ( m p , ® ¥

f z ( )

z XÎ

z= .

sao cho lim ( ) x m

® ¥

Bây giờ, ta chứng minh rằng z là duy nhất.

sao cho

Thật vậy, giả sử tồn tại z

f z = . Mà vì f là liên tục nên ta suy ra

dây chuyền. Từ 1.4.2, chúng ta có:

l

l

l

l

l

( ),

¢ ))

(

¢ ))

(

),

(

))

( d f z

( f z

( d f

( ), z

f

z

( d f

f

l tcb

=

£

<

1

x i

x i

-

å

i

1 =

Suy ra:

l

z ,..., z f z ( z¢ ) X¢Î ¢= = là 1 c – ¢= . Chọn x x 1, 0 x l

vì

[0,1)

nên ||

( ,

z¢= . Vậy z là duy nhất. Định lý đã được chứng

b Î

d z z¢ = hay z ) || 0

minh xong.

|| d z z ( , ¢ ) || d f z ( ( ), f z ( ¢ )) || t c || || || = £ b

1.4.2.4 Hệ quả. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ c – dây chuyền. P là

- hàm giãn đều địa

)

nón chuẩn với hằng số chuẩn K. Nếu g là song ánh, ( , c l

, thì g có 1 điểm bất động duy nhất.

phương từ Y vào X, với Y

Chứng minh.

1

Áp dụng định lý 1.4.2.3 cho hàm

f

g -=

XÍ

Những định lý sau chúng ta sẽ xem xét 1 loại hàm mà không cần điều kiện co

nhưng chúng vẫn có điểm bất động duy nhất. Nhưng trước tiên, chúng ta sẽ chứng

minh bổ đề sau:

1.4.2.5 Bổ đề. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với hằng

số chuẩn K.

sao cho

, tồn tại

:f X

[0,1)

"

x X Î

X® là hàm liên tục, và

b Î

thõa mãn:

( )n x

NÎ

n x ( )

n x ( )

d f (

x ( ),

f

y ( ))

d x y ( ,

)

b£

n x ( )

. Khi đó, với mọi

là hữu hạn.

với mọi y XÎ

Chứng minh.

j

và

và ( )

{||

d f (

x x ( ), ) ||:

j

1, 2,..., ( )}

n x

Lấy x XÎ

. Nếu n NÎ

n n x> ( )

l x max =

=

thì dễ tìm được

sao cho

và ta có:

{0}

s n x . ( )

(

s

n x 1). ( )

x NÎ

È

n < £

+

n

n x ( )

n n x ( )

n x ( )

n x ( )

-

f

d f (

x x ( ), )

d f (

x ( ))

x x ( ), )

£

+

f ( n n x ( )

x ( ), n x ( )

d f ( n x ( )

-

f

x ( ),

b

£

d f ( n x ( )

d f ( + n n x ( )

x x ( ), ) n x ( )

n x ( )

x ( )) -

f

x ( ))

d f (

x x ( ), )

d f ( (

x x ( ), ))

b

+

£

+

n

x ( ), n x 2 ( )

d f ( n x ( )

n x ( )

-

d f (

d f (

d f (

x x ( ), ))

( b b

£

+

x x ( ), ) n x ( )

2

x x ( ), ) + s

d

f

(

x x ( ), )(1

)

... £ £

+ +

b b

... + +

b

Từ đó suy ra:

n

n x ( )

x X r x , ( ) d f ( x x ( ), ) || Î = sup || n

Suy ra ( )

|| d f ( x x ( ), K || d f ( x x ( ), K l x ( ) || £ || £ 1 1 1 - b 1 - b

r x là hữu hạn và định lý được chứng minh xong.

1.4.2.6 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với

hằng số chuẩn K.

sao cho

, tồn tại

:f X

[0,1)

"

x X Î

X® là hàm liên tục, và

b Î

thõa mãn:

( )n x

NÎ

n x ( )

n x ( )

d f (

x ( ),

f

y ( ))

d x y ( ,

)

b£

và

. Khi đó, f có 1 điểm bất động duy nhất u XÎ

với mọi y XÎ

.

n f lim ( n ® ¥

X ) u , = " Î x 0 x 0

Chứng minh.

Trong X lấy bất kỳ điểm

. Ta xác định dãy sau:

0x và

0

m 0

m i

f

(

),

f

(

)

=

=

x 1

x 0

x i

x i

1 +

với

. Chúng ta sẽ chứng minh dãy trên là dãy Cauchy. Thật vậy, ta có:

) m n x= 0(

i

m n

1

m n

m n

1

-

-

,

)

d f (

(

f

(

),

f

(

)))

=

1

1

d x ( n

x n

x n

x n

1 +

-

-

m n

d f (

(

),

)

b

£

1

1

x n

x n

-

-

n

m n

d f (

(

),

)

b

... £ £

x 0

x 0

. Vì thế theo bổ đề 1.4.2.5, ta có:

với mọi

( ) m n x= i

Với mọi n NÎ

n K r x b 0

1 +

. Bây giờ, giả sử rằng

m n N m n

,

,

n NÎ

< , chúng ta có:

Î

n

n

1

-

||

(

,

) ||

| |

,

) ||

)

K

K

£

£

d x x n m

( d x i

x i

( r x 0

1 +

å

i m =

1

b

b -

n

là dãy Cauchy.

|| , ) || ( ) £ d x ( n x n

(

,

) || 0

d x x n m

= . Từ đó, suy ra { }nx

Vì lim ( n

n

® ¥

® ¥

. Tiếp theo ta cần chứng

Đặt

/ (1 )) 0 b - b = nên lim ||

, mà X là đầy đủ nên từ đó suy ra u XÎ

minh rằng

f u ( )

u= .

Giả sử ngược lại, tức là

. Chúng ta sẽ lấy được

sao cho

f u ( )

u¹

,c d EÎ

và

không

giao

nhau,

với

u = x lim n

0

,0c



 d

c

( ), B u B f u ( )) ( d

,0

e

x X Î

 . Thật vậy, nếu không thì giả sử

eB x

và chọn

rằng

||

||

,0

c

0>

K c <  . Khi đó, 0

c E Î

 và với

 và

c 2

, chúng ta có:

y X d x y : ( , ) e } ( ) { = Î  , với mỗi

/2

/2

d u f u

( ,

( ))

d u z ( , )

d z f u

( ,

( ))

£

+

 c

Suy ra

bất kỳ nên

||

d u f u

( ,

( )) ||

K c ||

||

d u f u

( ,

( )) || 0

0>

£

<  . Mà ||

= hay

như trên. Vì f liên tục nên

f u ( )

u= (trái với giả sử). Như vậy, ta lấy được

,c d EÎ

tồn tại

sao cho

và

với mọi

. Khi

( f u ( )) Î Ç z B u ( ) c B c

d

0n

đó:

) B f u ( ( )) n N n , Î NÎ Î Î ³ f x ( n x n B u ( ) c n 0

m n

1

m n

1

-

-

1

1

-

-

n

( u ), ) d f ( ( )), f ( )) = d f x ( n f x ( n x n

1

1

-

-

n

. Suy ra

. Do đó

||

(

),

) ||

||

(

),

) ||

với mọi n NÎ

với mọi n NÎ

K b£

d f x ( n

x n

d f x ( 0

x 0

(

),

) 0

( ), ) ( ), ) £ ... £ £ b b d f x ( n x n d f x ( 0 x 0

= , ta gặp mẫu thuẫn. Vậy

d f x n

x n

lim ( n ® ¥

Chứng minh duy nhất.

m

Giả sử

. Nếu n đủ

max{||

d f (

(

), ) ||:

u m

n u 0,1,..., ( ) 1}

=

=

-

f u ( ) u= .

r bất kỳ. Đặt 0

x 0

0x

lớn thì

, và ta có:

n

rn u ( )

q

r

0,0

q n u ( )

=

+ , với

>

£ <

n

rn u ( )

n u ( )

q +

XÎ

(

r

1) ( ) n u

r

p

-

q +

d f ( ( u ), ) d f ( ( ), f u ( )) = x 0 x 0

Suy ra:

n

r

p

d f ( ( u ), ) d f ( ( u ), ) £ ... £ £ b b x 0 x 0

r K r b 0

n

Do đó,

|| d f ( ( u ), ) || K || d f ( ( u ), ) || £ b £ x 0 x 0

n f lim ( n ® ¥

minh.

u ) d f ( ( ), ) || 0 u = . Vậy định lý đã được chứng = và vì thế x 0 x 0 lim || n ® ¥

1.4.2.7 Định nghĩa. Cho X là không gian có thứ tự. Hàm

: X

X

j

® được gọi là

hàm so sánh nếu với mọi

,

y

x y X x , Î

£ thì suy ra

n

.

x ( ) y ( ), x ( ) x j £ j j £ và

. Gọi

x ( ) || 0 j = với mọi x XÎ lim || n ® ¥

1.4.2.8 Ví dụ:

Cho

2,

với

là 1 hàm so sánh.

x y ( ,

)

(

ax ay ,

)

(0,1)

j

=

a Î

. Khi đó j

Mặt khác, ta cũng có:

Nếu

là 2 hàm so sánh trên R thì hàm

cũng là hàm so

E R P {( , x y ) E x y | , 0} : E E = = Î ³ j ® với

1

2

1

2

sánh trên E.

, , ) j j j = ( j j

1.4.2.9 Định lý. Cho (X, d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón chuẩn với

hằng số chuẩn K.

:f X

: P

X® là hàm sao cho tồn tại hàm so sánh

j

® sao P

cho thỏa mãn bất đẳng thức:

d f x (

( ),

f y

( ))

d x y ( ( ,

))

j£

với mọi

. Khi đó f có 1 điểm bất động duy nhất.

,x y XÎ

Chứng minh.

Lấy bất kỳ

. Ta có:

0x

n

n

n

1

n

1 +

-

d f (

(

),

f

(

))

d f ( (

(

),

f

(

)))

£

j

x 0

x 0

x 0

x 0

2

n

2

n

1

-

-

d f ( (

(

),

f

(

)))

£

j

x 0

x 0

n

,

)))

... £ £

j

d x ( ( 0

f x ( 0

n

. Vì

, chúng ta chọn

XÎ

với mọi n NÎ

0>

sao cho

), )) || 0 j = , vậy với mọi d x ( ( 0 f x ( 0 lim || n ® ¥

0n

K

c ( ) ||)

( 

-

n

n

1 +

||

d f (

(

),

f

(

)) ||

<

x 0

x 0

|| j K

với mọi

với:

NÎ

và c PÎ

n

n

1 +

||

||

||

(

),

(

))) ||

c

( ) || c

( ( d f

f

|| <

³

j

j

x 0

x 0

1  , 2 K K

với mọi

, ta có:

n n³ 0

n

n

n

n

n

n

2 +

1 +

1 +

2 +

f

f

f

d f (

(

),

(

))

d f (

(

),

(

))

d f (

(

),

(

))

£

+

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

Vì thế

n

n

n

n

n

n

2 +

1 +

1 +

2 +

f

f

f

||

d f (

(

),

(

)) ||

K d f ( ||

(

),

(

)) ||

K d f || (

(

),

(

)) ||

£

+

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

K

c ( ) ||)

( 

-

n

n

2

1 +

K

K

f

||

d f ( (

(

),

(

))) ||

<

+

j

x 0

x 0

(

)

|| j K



£

, ta có:

Bây giờ, với mọi

n n³ 0

n

n

n

n

n

n

3 +

1 +

1 +

3 +

n n³ 0

Vì

nên ta suy ra:

1K ³

n

n

n

n

n

n

3 +

1 +

1 +

3 +

f

f

f

||

d f (

(

),

(

)) ||

K d f ( ||

(

),

(

)) ||

K d f || (

(

),

(

)) ||

£

+

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

x 0

K

c ( ) ||)

( 

-

n

n

2

2 +

K

K

f

||

d f ( (

(

),

(

))) ||

<

+

j

x 0

x 0

(

)

|| j K



£

d f ( ( ), f ( )) d f ( ( ), f ( )) d f ( ( ), f ( )) £ + x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0

n

Bằng quy nạp, ta suy ra

. Chính vì

||

d f (

(

),

f

)) ||

<  , với mọi

x 0

n r x+ ( 0

thế dãy

là dãy Cauchy trong (X,d) đầy đủ nên tồn tại

{

nf

(

)}

*x sao cho

x 0

*

r N n , Î ³ n 0

n f lim ( n ® ¥

*

*

*

Bây giờ, ta đi chứng minh

x ) . = x 0

f x (

)

x= . Thật vậy, vì

c  0

n f lim ( n ® ¥

n

*

sao cho với mọi

, ta có

tồn tại

) x = , với mọi x 0

cn

*

*

*

n

*

n

1 +

d x (

,

f x (

))

d x (

,

f

(

))

d f (

(

f

(

)),

f x (

))

£

+

x 0

x 0

n

*

n

*

1 +

d x (

,

f

(

))

d f ( (

(

),

x

))

£

j +

x 0

x 0

*

n

n

*

1 +

d x (

,

f

(

))

d f (

(

),

x

)

£

+

x 0

x 0

c 2

<

*

với mọi

0

f x (

)

* x= .

c  . Vì thế

Ta đi chứng minh tính duy nhất.

*

*

sao cho

Giả sử rằng tồn tại

*y

f y (

)

XÎ

y= . Vì thế:

*

n

*

n

*

n

*

* d x y

n d f ( ( ), x ) NÎ c< . Do đó: n³ 0 x 0

* d x y ( (

Suy ra:

*

*

n

||

(

,

) ||

||

,

)) ||

* d x y

K

* ( ( d x y

£

j

n

*

*

*

. Vậy định lý đã được chứng minh.

Vì

* d y x ( (

( , ) d f ( ( x ), f ( y )) , )) = £ j

x

y=

, )) || 0 j = , suy ra lim || n ® ¥

1.4.2.10 Ứng dụng. Xét phương trình tích phân

b

, ( ))

( ,

( ),

( ) x t

k t s x s ds g t

t

[ , ] a b

+

Î

a

ò =

Giả sử rằng:

n

n

n

i.

k a b :[ , ]

R g a b :[ , ]

,

R

´

a b R [ , ] ´

®

®

n

n

ii.

là hàm tăng với mọi ,

t s

a b [ , ]

,.) :

( , k t s

R

Î

R®

2

2

iii. Tồn tại hàm liên tục

và 1 hàm so sánh

sao cho:

(|

d t s u ( , , )

k t s v ( ,

, ) |,

|

d t s u ( , , )

k t s v ( ,

, ) |)

(

p t s

( , ),

p t s

d u v ( ( , ))

-

a

-

£

a

( , )) j

n

.

với mọi ,

t s

a b u v R [ , ], ,

Î

Î

p a b :[ , ] a b [ , ] R+ : R R ´ ® j ®

b

iv.

( , ),

1

p t s

( , )) p t s ds

a

=

ò sup ( i a b a [ , ] Î

Khi đó phương trình tích phân trên có điểm bất động duy nhất

*x trong

)n C a b R

([ , ],

1.5 Định lý Kirk- Caristi

1.5.1 Định nghĩa. P được gọi là nón minihedral nếu với mọi

thì tồn tại

,x y EÎ

sup x y . Và được gọi là nón minihedral mạnh nếu mỗi tập con bị chặn trên của E

{ , }

đều có sup.

Ta nói rằng mỗi nón minihedral mạnh đều là nón chính quy.

. A được gọi là

1.5.2 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và A XÌ

hội tụ

trong A thì có dãy con {

}

compact theo dãy nếu mọi dãy { }nx

của { }nx

knx

trong A.

là

Chú ý. Không gian nón (X,d) là 1 không gian tô pô nên tập A XÎ

compact theo dãy nếu và chỉ nếu A là compact.

.

1.5.3 Định nghĩa. Cho (X,d) là không gian nón mêtric và C XÎ

1. Hàm

: C

E

j

® được gọi là nữa liên tục dưới trên C nếu mọi dãy

.

(

)

( ) x

j

j

x = Þ

£

x n

x n

lim n ® ¥

lim inf n ® ¥

2. Ánh xạ

:T C

C® thỏa:

(1.16)

d x Tx ( ,

)

x ( )

Tx (

),

£

j

-

j

"

x X Î

thì T được gọi là ánh xạ Caristi trên (X,d).

Tiếp theo ta nêu các bổ đề cần thiết cho việc chứng minh định lý Carista.

.

CÎ { }nx

u inf{ : } =

1.5.4 Mệnh đề. Nếu { }nc là 1 dãy giảm và hội tụ đến u thì

Chứng minh:

c n N Î n

với

với mọi n m³

Vì { }nc là dãy giảm nên m c

và m c

mọi m. Mặt khác vì P là đóng nên suy ra

với mọi m, hay u là 1 chặn dưới.

P u - Î - c n c - ® n c m

với mọi m.

u c£ m

Để thấy u là chặn dưới lớn nhất của { }nc ta lấy v EÎ

sao cho mc

.

và tính đóng của P nên ta suy ra u v P

, tức là u

Vậy (

v³

-

Î

v³

mc

Vậy

u v ( v ) ) - ® -

u inf{ : } = c n N Î n

1.5.5 Bổ đề. Cho (X,d) là không gian nón mêtric compact, P là nón minihedral

mạnh, và

đạt giá trị nhỏ nhất trên X.

là hàm nữa liên tục dưới thì j

Chứng minh:

Vì P là nón minihedral mạnh nên ta có thể lấy

. Với

: X P E j ® Î

, tồn tại

thỏa

. Vì X là compact nên

u

(

intP

j

mọi n NÎ

Î

u x } = inf{ ( ) : j x X Î

x )n

nx

c -  với c n

dãy { }nx

có 1 dãy con { }ny hội tụ.

Đặt

, vậy theo định nghĩa nữa liên tục dưới và mệnh đề 5.4 thì ta

XÎ

có:

y

u

y ( )

(

)

j

j

£

+

=



n

lim inf( u

)

n

lim inf n ® ¥

® ¥

c n

. Vậy

Như vậy theo định nghĩa u, sẽ tồn tại

y = y lim n

với mọi x XÎ

0x sao cho

bổ đề được chứng minh.

) x ( ) j j£ x 0(

1.5.6 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric, C là tập con compact của X, P là

nón minihedral mạnh, và

là hàm nữa liên tục dưới. Khi đó mỗi ánh

: X

P E

j

® Î

xạ Carista

:T C

C® có 1 điểm cố định trong X.

Chứng minh:

. Vì u là giá

đạt giá trị nhỏ nhất trên C, giả sử tại u CÎ

Theo bổ đề 5.5 thì j

nên ta có

.

Tu (

)

u ( )

j

j³

trị nhỏ nhất của j

Ta có:

0

d u Tu ( ,

)

u ( )

Tu (

)

£

£

j

-

j

£ 0

Suy ra

( ,

u= .

d u Tu = hay Tu ) 0

1.5.7 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ. P là nón minihedral

mạnh, và

là hàm nữa liên tục dưới. Khi đó mỗi ánh xạ Carista

:T C

C® có 1 điểm cố định trong X.

Chứng minh.

Gọi K là hằng số chuẩn trong nón P.

Đặt

: X P E j ® Î

và

với mọi

. Rõ

rằng

x ( )

z

z

S x

( )}

x XÎ

a

=

inf{ ( ) : j

Î

( )S x ¹ Æ vì

và cố định lại.

x

S x

( ),0

x ( )

x ( )

. Lấy x XÎ

Î

£

a

£

j

như sau:

S x ( ) { z X d x z : ( , ) x ( ) z ( )} = Î £ j - j

Đặt 1x

Đặt

và thỏa

với

(

(

)

,..., ,... x= và ta xây dựng 1 dãy 1 x x , 2 x n

+

j

a

x n

x n

) + £ 1

+ Î 1

c 0 n

đặt đó, ta có:

i.

) int P ( ) Î ¹ Æ. Từ cách x n S x ( n c 0

1 +

1 +

ii.

(

)

(

)

(

)

a

j

a

£

£

+

x n

x n

x n

1 +

c 0 n

với mọi

.

1n ³

là 1 dãy giảm trong E, cho nên nó hội tụ (vì P

Từ (i), ta suy ra dãy { (

( , ) ( ) ( ) £ j - j d x x n n x n x n

là nón chính quy). Do đó, với mọi

thì

0e > , tồn tại Ne sao cho với mọi

j )}nx

. Áp dụng bất đẵng thức tam giác, ta có:

||

(

)

(

) ||

j

j-

<

x m

x n

e K

m

1

-

(1.17)

,n m Ne>

j

1 +

å

j n =

Lấy chuẩn 2 vế, ta được:

( , ) ( , ) ( ) ( ) £ £ j - j d x x n m d x x j x n x m

m

|| ( , ) || K || ( ) ( ) || K . £ j - j < = e d x y n x n x m e K

là dãy Cauchy trong X, mà X là đầy đủ nên

Suy ra: ||

m

n

dãy hôi tụ trong X, giả sử hội tụ về y.

và

Từ 1.5.2 nên

) || ( , d x y ® hay dãy { }nx 0

là hàm nữa liên tục dưới nên ta có:

với mọi m n³

. Mà j

với mọi

.

( ) ( ) , ) P ( ) ( ) , ) j j- - Î j j£ - x n x m d x ( m x n x m x n d x ( m x n

m ® ¥ lim inf

1n ³

Do đó:

với mọi

.

( ) ( ) , )] ( ) ( , ) y ( ) £ - = j - j £ j x m x n d x ( m x n x n d x y n lim inf[ j m ® ¥

1n ³

Vì thế

với mọi

.

0 ( , ) ( ) y ( ) £ £ j - j d x y n x n

1n ³

Mặt khác, từ (ii) ta có:

(1.18)

)

)

: =

=

a

x n

x n

lim ( a n ® ¥

lim ( j n ® ¥

Vì thế

với mọi

là hàm nữa liên tục dưới,

y ), ( ) y ( ) Î j £ j S x ( n x n

1n ³

. Mặt khác, vì j

nên từ 1.5.3 ta có:

( a j£ )nx

Vậy

( )y

a j=

Ta có:

với mọi

và

nên:

y ( ) ( £ j j = a x )n lim inf n ® ¥

Ty

S y ( )

1n ³

Î

y S x ( Î )n

Do đó,

với mọi

, tức là

với mọi

. Theo

( ) ( , ) d y Ty ( , ) ( ) y ( ) y ( ) Ty ( ) ( ) Ty ( ) £ + £ j - j + j - j = j - j d x Ty , n d x y n x n x n

1n ³

1n ³

nx

cách đặt

(1.5.3),

ta

có:

. Mặt khác

từ

(1.5.1)

ta

có

)Ty (

j

a³

Ty (

)

y ( ),

y ( )

j

£

j

j

= nên:

a

y ( )

Ty (

)

y ( )

j

= £ a j

£

j

Do vậy

Ty (

)

y ( )

. Kết hợp với (1.5.1) chúng ta có Ty

j

j=

y= .

y S x ( ( ) Ty ( ) Î a j£ )n

1.5.8 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón minihedral

mạnh, và

bị chặn dưới thì tồn tại

: X

P E

j

® Î

là hàm nữa liên tục dưới. Nếu j

thõa mãn:

y XÎ

y ( )

x ( )

x X x

,

y

j

j<

+

( , ) d y x "

Î

¹

Chứng minh:

Do định lý (1.5.7) thì ta chỉ cần chứng minh rằng

,

x

S y ( )

với mọi x

y

Ï

¹

trong đó y là điểm được chứng minh trong định lý (1.5.7). Giả sử trái lại, nghĩa là

tồn tại

. Thì ta có:

z

y z ,

S y ( )

¹

Î

0

d y z ( , )

y ( )

z ( )

<

£

j

-

j

hay ta có:

z ( )

y ( )

j

<

j

= . Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta được:

a

Suy ra

, vì thế

với mọi

( ( , ) d y z ( , ) ( ) y ( ) y ( ) z ( ) ( ) z ( ) £ + £ j - j + j - j = j - j d x z , ) n d x y n x n x n

1n ³

. Cho n ® ¥ 2 vế, ta được:

nx

. Điều này trái với giả thiết

( )z

z ( )

y ( )

a j£

j

<

j

= . Vì vậy, với mọi

a

thì

hay

x

S y ( )

z S x ( ( ) y ( ) Î a j£ )n

Ï

x

y

d y x ( , )

y ( )

x ( )

¹

Þ

>

j

-

j

x X x , y Î ¹

1.5.9 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, P là nón minihedral

, thì

mạnh, và

: X

P E

là hàm nữa liên tục dưới. Giả sử rằng với mọi x XÎ

j

® Î

hàm

:f X

X® . Nếu tồn tại hàm nữa

xd là liên tục trên X và  là họ các ánh xạ

liên tục dưới

: X

P

j

® thỏa:

d x f x

( ,

( ))

x ( )

(

f x

( )),

,

f

£

j

-

j

"

x X Î

"

Î  (1.19)

tồn tại 1 điểm bất động chung u của  thỏa:

Khi đó với mọi x XÎ

d x u ( , )

x ( )

s

j£

-

với

.

Chứng minh.

Gọi K là hằng số chuẩn của nón chuẩn minihedral mạnh P. Vì P là nón

minihedral mạnh nên

là tồn tại.

s

x

}

=

inf{ ( ) : j

x X Î

Đặt

với mọi

S x

( ) {

z X d x y :

( ,

)

x ( )

z ( )},

x

z

S x

( )}

= Î

£

j

-

j

a

( ) { ( ) : x j

=

Î

. Ta có

.

x

S x

( ),0

x ( )

x ( )

x XÎ

Î

£

a

£

j

( )S x ¹ Æ vì

s x } = inf{ ( ) : j x X Î

và cố định, đặt

như trong phần

Lấy x XÎ

1 :x

và thỏa

với

chứng minh của định lý (1.5.7),

x= và xây dựng dãy { }nx

+ Î 1

. Từ cách đặt đó, ta có:

( ( ) ) j a + x n x n x n S x ( n ) + £ 1 c 0 n

ò

i.

( P ) Î ¹ Æ c 0

1 +

1 +

ii.

(

)

(

)

(

)

a

j

a

£

£

+

x n

x n

x n

1 +

c 0 n

với mọi

.

1n ³

Tương tự trong chứng minh định lý (1.5.7), , từ (ii) ta có:

(1.20)

)

)

: =

=

a

x n

x n

lim ( a n ® ¥

lim ( j n ® ¥

là dãy Cauchy hội tụ

Theo cách chứng minh trong định lý (1.5.7), ta có { }nx

và

( )y

j

a= .

về y XÎ

Chúng ta cần chứng minh rằng

f y ( )

y= với mọi f Î  . Giả sử trái lại có

. Thì theo (1.5.4), với x = y ta có

f y ( )

y

(

f y

( ))

y ( )

f Î  mà

¹

j

<

j

= . a

sao cho

. Mà

( , ) ( ) ( ) £ j - j d x x n n x n x n

Mặt khác, theo cách đặt a , tồn tại n NÎ

nên:

( f y ( )) ( j a< x )n

,

f y

( ))

(

,

)

d y f y

( ,

( ))

(

)

y ( )]

y ( )

(

f y

( ))]

£

+

£

[ j

-

j

+

[ j

-

j

d x ( n

d x y n

x n )

(

(

f y

( ))

=

j

-

j

x n

Từ đó suy ra

. Do đó

(trái với điều kiện

y S x ( Î )n

nx

). Vậy

, ta có:

f y ( ) S x ( ( ) ( f y ( )) Î a j£ )n

f y ( )

y= với mọi f Î  . Và vì

( f y ( )) ( y S x ( j a< Î x )n )n

Như vậy ta có điều phải chứng minh.

( , ) ( ) y ( ) ( ) z } x ( ) s £ j - j £ j - inf{ ( ) : j z X Î = j - d x y n x n x n

1.5.10 Định lý. Cho (X,d) là không gian nón mêtric đầy đủ, A là 1 tập hợp,

là họ các ánh xạ

:f A

:g A

{ }f=

X® . Nếu tồn tại hàm

X® là toàn ánh và

nữa liên tục dưới

: X

P

j

® thỏa mãn

d g a f a ( ( ), ( )) g a ( ( )) ( f a ( )), f £ j - j " Î 

trùng chung,

tức

là với mỗi

thì g và  có 1 điểm

và mỗi a AÎ

b A g b , ( )

f

Î

=

( ) f b "

Î  .

Chứng minh.

như trong định lý (1.5.7). Vì g là toàn ánh nên

Lấy điểm x bất kỳ và y XÎ

thì tồn tại

sao cho

với mọi x XÎ

định. Từ f ta định nghĩa

, với

a ( )g a a x= ( ) x= . Lấy f Î  là 1 ánh xạ cố

là học các ánh xạ

. Từ (1.5.6), ta có:

:h X h x ( ) f a ( ) a a x g a ( ) ( ), x X® với = = = . Gọi H

d x y x ( ,

( ))

x ( )

h x ( ( )),

£

j

-

j

"

h H Î

Vậy theo định lý (1.5.7) thì

. Vì thế

với mọi

y

g b ( )

f b ( )

với mọi h HÎ

h y= ( )

=

b b y g b ( ), ( )

f Î  với

=

= y

h h f ( ) =

Chương 2

Điểm bất động trong không gian

nón – chuẩn

Trong chương này, chúng ta sẽ đưa ra 2 định lý điểm bất động. Kết quả đầu

tiên là sự mở rộng của định lý Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn. Thứ hai là

1 dạng của định lý Darbo – Sadovskii liên quan với độ đo phi compact với giá trị

trong nón.

2.1 Một định lý điểm bất động kiểu Krasnoselskii trong không gian nón chuẩn

là không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón K ( định nghĩa

Cho (

E

,|| . ||)

trong 1.1.4). ta nhắc lại 1 số định nghĩa.

với mọi

Một ánh xạ

:A M E

E

0

Ì ® được gọi là dương nếu

A x ³ ( )

và được gọi la tăng nếu

. Dễ thấy

A x ( )

A y ( )

x M x

,

0

,

y

£

Î

³

x y M x , Î

£ suy ra

rằng, nếu

:A E

E® là tuyến tính và dương thì nó là tăng.

được sắp thứ tự bởi nón K và

2.1.1 Bổ đề. Cho không gian Banach (

. Khi đó:

hàm Minkowskii của tập [

B

(0,1)

K

]

B

(0,1)

K

]

-

[ Ç

+

1.

với mọi

E ,|| . ||) || . || là *

u E O u ,

v

£ £ suy ra

Î

*

.

|| . || là 1 chuẩn thỏa || u || u£ || || *

2. Nếu K là chuẩn thì

|| u || u£ || || *

*

Do bổ đề trên ta xem K=1 trong định nghĩa 1.1.4. Chúng ta có thể tham khảo

chứng minh này trong nhiều tài liệu khác.

|| . || ~|| . ||

được sắp xếp bởi nón K và X là

2.1.2 Định nghĩa. Cho không gian Banach (

E

,|| . ||)

không gian vectơ thực.

1. Ánh xạ

:p X

E® được gọi là chuẩn nón ( hay K – chuẩn) nếu thỏa mãn

3 điều kiện sau:

và

nếu và chỉ nếu

,

0

•

với mọi x XÎ

p x ³ ( )

với 0 ,0E

X là 2 vectơ không lần lượt trong E và X

x = p x = ( ) 0E 0 X

•

với mọi

p x (

y

)

p x ( )

p y ( )

•

+

£

+

,x y XÎ

Nếu p là chuẩn nón trong X thì (X, p) được gọi là không gian nón chuẩn (hay

không gian K – chuẩn)

2. Trong không gian nón chuẩn (X, p), chúng ta định nghĩa:

x

x = Û

-

= ) 0

x n

p x n

lim n ® ¥

lim ( n ® ¥

.

được gọi là tập đóng nếu với mọi { }

) | p x ( ), , R p x ( l | = l " x X Î l Î

Tập A XÌ

Họ các tập hợp {

}

với X G là tập đóng là 1 tô pô trên X và nó được gọi là

G XÌ

tô pô của (X,p)

3. Chúng ta gọi không gian nón chuẩn (X,p) là đầy đủ theo nghĩa Weierstrass

¥

nếu với mọi dãy

hội tụ trong

,

)

X

Ì

-

hội tụ trong E thì dãy { }nx

{ } x n

( p x n

x n

1 +

å

n

1 =

(X,p).

được sắp thứ tự bởi nón K với hằng

A ,lim x A x Ì = Þ Î x n x n

2.1.3 Bổ đề. Cho không gian Banach (

E

,|| . ||)

số chuẩn bằng 1 và (X,p) là không gian K – chuẩn. Khi đó, ánh xạ

:q X

R® với

là 1 chuẩn trên X, có các tính chất sau:

q x ( )

p x

( ) ||

|| =

1. Tô pô của (X,p) trùng với tô pô của (X,q).

2. Nếu (X,p) là đẩy đủ theo nghĩa Weierstrass thì (X,q) là đầy đủ.

Chứng minh:

x

= trong (X,p) nếu và chỉ nếu

Thật vậy, q là 1 chuẩn trong X và lim n x

n

® ¥

là tập đóng trong (X,p) nếu và

x

= trong (X,q). Chính vì thế, tập hợp A XÌ

x lim n n ® ¥

chỉ nếu nó đóng trong (X,q) và do đó tính chất (1) đúng.

¥

thỏa

q x (

< ¥

Để chứng minh tính đầy đủ của (X,q), chúng ta xét dãy { }nx

)n

å

n

1 =

¥

và chúng ta cần chứng minh chuỗi

x n

å hội tụ trong (X,p).

n

1 =

Thật vậy, chúng ta đặt:

XÌ

n

thì

¥

¥

| |

p s (

s

) ||

)

-

=

< ¥

n

n

1

q x ( n

-

å

å

n

n

1 =

1 =

¥

Suy ra

. Vậy (X,p) là đầy đủ theo nghĩa

hội tụ trong (

E

,|| . ||)

p s (

s

)

-

n

n

1

-

å

n

1 =

hội tụ trong (X,p) và trong (X,q).

Weierstrass nên dãy { }ns

s ... = + + + x x 2 n x 1

2.1.4 Định lý. Cho không gian Banach E được sắp bởi nón K với hằng số chuẩn

K=1, (X,p) là không gian K – chuẩn đầy đủ theo nghĩa Weierstrass và C là 1 tập lồi

đóng bị chặn trong (X, p). Xét 2 ánh xạ

S T C :

,

X® thỏa mãn các điều kiện:

i.

với mọi

,x y CÎ

ii. S là hoàn toàn liên tục và tồn tại 1 toán tử tuyến tính liên tục dương

) 1

:Q E

r Q < thỏa

E® với bán kính phổ (

T x ( ) ( ) + S y C Î

với mọi

.

,x y CÎ

Khi đó, toán tử T S+ có 1 điểm bất động trong C.

Chứng minh.

p T x ( ( ) T y ( )) Q p x [ ( y )] - £ -

Trong X chúng ta sử dụng chuẩn q được định nghĩa trong bổ đề 2.1.3. Vì

¥

n

1

-

, chúng

Q

(

)

r Q < nên ( ) 1

I Q -

=å là toán tử tuyến tính dương. Với mỗi y CÎ

n

0 =

. Rõ ràng

và

ta xét toán tử:

yT x ( )

yT C (

n

T x ( ) S y ( ) ) = + CÌ

n p T x [ ( ) y

n T x ( y

Theo tính chuẩn của nón K, ta có:

n

¢ )] Q p x [ ( ¢ )], x - £ - ¢ x x C , Î

n q T x [ ( ) y

n T x ( y

n

Chính vì thế, nếu ta lấy n đủ lớn thì

yT là co và

yT có điểm bất động duy nhất

trong C. Bây giờ, ta định nghĩa:

:F C

( )F y là điểm bất

C® là toán tử thỏa mãn

động của

yT . Khi đó, với mọi điểm bất động của F thì nó cũng là điểm bất động của

thì:

, đặt

x F y x

F y (

( ),

¢ )

T S+ . Chúng ta sẽ chứng minh rằng F là hoàn toàn liên tục. Thật vậy, với ,y y C¢Î

¢ =

=

S y x ( ),

T x (

¢ )

S y (

¢ )

x T x ( ) =

+

¢ =

+

và do đó

¢ )]

¢ )]

( p x

¢ ) x

[ ( ) p S y

-

(2.1)

( S y ¢ )]

[ ( ) p T x [ ( Q p x

( T x - ¢ )] x

+ [ ( ) p S y

- ( S y

£ £

-

+

-

1

là tăng nên từ 2.1.1 ta suy ra rằng:

Vì

(

I Q - ) -

1

-

p x (

¢ ) x

(

)

p S y ( [ ( )

S y (

¢ )])

-

£

I Q -

-

Lấy tính chuẩn của nón K, suy ra:

1

-

q F y [ ( )

F y (

¢ )]

|| (

)

q S y || . [ ( )

S y (

¢ )]

-

£

I Q -

-

Vậy từ 2.1.2 và tính hoàn toàn liên tục của S, chúng ta suy ra F là hoàn toàn liên

tục. Theo định lý Schauder thì F có điểm cố định trong C. Vậy định lý đã được

chứng minh.

¢ )] Q q x || ( ¢ ), x - || £ - ¢ x x C , Î

2.2 Độ đo phi compac với giá trị trong nón và ứng dụng.

Chúng ta nhắc lại 1 số định nghĩa liên quan sau: (xem [1])

là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K và

2.2.1 Định nghĩa. Gọi (

E

,|| . ||)

X là không gian Banach. A là họ các tập con bị chặn thỏa nếu

thì

.

co

AWÎ

AWÎ ( )

Ánh xạ:

: A

K

j

® được gọi là độ đo phi compact nếu:

(2.3)

được gọ là:

Độ đo phi compact j

( ) 0

1. chính quy nếu

j W = Û W là compắc tương đối.

và

({ }) 0

x

2. không kỳ dị nếu { }x

AÎ

j

= với mọi x XÎ

[ co A j ( )] ( ), jW = W " WÎ

3. đơn điệu nếu

2WÌ W thì 1

2

( ( ) j jW £ W ) 1

4. nữa cộng tính nếu

2

2

thỏa mãn

.

( ) max{ ), ( A j j WÈW = 1 2 W W với mọi )} 1 , W WÎ 1

2 A

t (

t

5. semihomogenous nếu

j

) | | jW =

W với ( )

AW WÎ ,t

WÈWÎ 1

6. tuyến tính dưới nếu

2

1

2

2

thỏa mãn

.

( ) ) ) ( ( A j j W+W £ W + W với mọi j 1 , W WÎ 1

2 A

(

x

( )

)

WÈWÎ 1

7. bất biến đối với tịnh tiến nếu

j

+W = W với

j

tục

nếu

8. liên

0,

A ,

A ,

(

||

( ) ||

(

"

e

> " WÎ

¢ 0 : $ > " WÎ

d

r

¢ , ) W W < Þ

d

j

¢ W - W < ) e

j

với

là mêtric Hausdorff, được định nghĩa như

sau:

r

A , x W +WÎ

1

2

với

( ) , 0 : B B r inf{ e > W+ e e W W = 1 2 , É W W + 2 É W } 1

X

và độ đo phi compact có giá trị thực

B x X :|| x || { = Î < 1}

2.2.2 Ví dụ. Xét không gian Banach ( ,|| . ||)

được định nghĩa trên các tập con bị chặn của Y. Trong

, chúng

Y

j

. Với mỗi tập con bị chặn

ta ký hiệu

ta xét chuẩn ||

X C a b Y ([ , ]; ) =

XWÌ

x x t ( ) |: t a b [ , ]} || sup{| = Î

x t t } ( ) { ( ) : t W = Î W và định nghĩa hàm:

a b ( ) :[ , ] ® R j W c

xác định bởi

c

là liên tục và

là đẵng liên tục thì hàm

j jW = W ( )( ) t [ ( )] t

XWÌ

Rõ ràng nếu độ đo j

c

tục, từ đó tồn tại 1 ánh xạ

từ họ A của tập con đồng liên tục của X vào nón của

( ) j W là liên

c

những hàm không âm trong

thỏa mãn

j

c

có một tính chất nào đó của định nghĩa trên thì

có tính

C a b R . Và dễ dàng chứng minh rằng ([ , ], ) j

điều kiện 2.2.1 và nếu j

c

chất tương tự.

j

2.2.3 Định nghĩa. Gọi X là không gian Banach và

:

A

2 X

K

j

Ì

® là 1 độ đo phi

compact có giá trị trong nón. Ánh xạ

X

:f D X Ì

® được gọi là cô đặc nếu

,

A f ,

A ,

[

f

D WÌ WÎ

( ) WÎ

j

W ³ W ( )] ( ) j

thì W là compact tương đối.

2.2.4 Định lý. Giả sử rằng

:

2 X

A

K

j

Ì

® là 1 độ đo phi compact có giá trị trong

nón có tính chất:

và

là 1 ánh xạ cô đặc. Khi đó, f có 1 điểm bất

({ 1}) ({ 2}) j ³ = j ³ x n | n x n | n

với mọi { }nx

động trong M.

:f M X M AÎ ® Ì

2.2.5 Định lý. Cho E là không gian Banach được sắp thứ tự bởi nón K, X là không

gian Banach, 1 ánh xạ

:

2 X

A

K

j

Ì

® là 1 độ đo phi compact có tính chất 2.2.2.

, giả sử rằng tồn tại 1 toán tử tăng

Giả sử f là hàm liên tục xác định trên M XÌ

:A K

K® thỏa mãn:

[

f

j

( )] W £

[ A j

W ( )]

. Khi đó f có 1 điểm bất động trong

nếu

và lim ( ) 0

n A x

n

® ¥

M.

Chứng minh.

A f , A x K Î WÌ ( ) WÎ = " E

Áp dụng định lý 2.2.4, ta chỉ cần chứng minh rằng f là cô đặc. Xét tập con

sao cho

và

A f ,

A

[

f

( )

MWÌ

WÎ

( ) WÎ

j

jW ³ W, chúng ta cần chứng minh W là ( )]

tập compact tương đối. Thật vậy, đặt

( ) j= W chúng ta có: x 0

Vì A là toán tử tăng nên ta suy ra rằng

với mọi n thuộc N. Từ đó ta có

0 [ f ] £ £ j ( )] W £ [ A j ( )] W = x 0 A x [ 0

n A x 0(

là độ đo phi compact chính quy nên W là tập compact tương đối.

) £ x 0

Chúng ta sẽ xét 1 ví dụ sau:

là độ đo phi compact có giá trị

x = , do j 0 0

2.2.6 Ví dụ. Cho ( ,| . |)

Y

là không gian Banach và j

thực xác định trên các tập con bị chặn của Y và có tính chất 1, 5-8 trong định nghĩa

2.2.1. Gọi

là

liên

tục đều

thỏa mãn

0

với mọi

f :[0, ] b B x r ( , ) R Y ´ Ì ´ ® Y

m

(0,1] :

[

f

t M ( ,

)]

m M a ( )]

0, $ > $ Î a

j

£

[ j

sao cho bài toán Cauchy

liên tục thỏa mãn

, ), b :[0, ] Ì ® R M B x r h 0(

0

( )h t

1 t a

£

£

. Khi đó tồn tại 1 b

b [0, ] Î

có lời giải trên

f t x t [ , ( )], (0) x ¢ = ( ) x t = x 0

Chứng minh.

Lấy

là tập con đẵng liên tục. Sử dụng tính chất 5, 6, 8 của định

C

([0, ],

b Y

)

WÌ

t

có thể đều xấp xỉ bằng tổng tích phân, chúng ta

x s ds ( )

nghĩa độ đo j

ò có giá trị

0

có:

t

t

s ds

x s ds x ( )

|

j

j

[ ( )] W

}) Î W £

0

0

ò

[0, ]b . 1

({ ò sao cho Chúng ta chọn 1 min{ , } b r

b <

0

Ta sẽ chứng minh rằng toán tử

t

( ) Fx t

[ , ( )] f s x x ds

=

x 0

0

+ò

| f t x ( , ) | t x ( , ) [0, ] b B x r ( , ) £ " Î ´ r b 1

Có 1 điểm cố định trong tập

với x là Lipschitz với hằng số

M

([0, ],

b Y x

) :

(0)

=

=

x 0

{ x C Î

}

r b 1

Lấy K là nón của các hàm xác định không âm trong

c

Xét toán tử

:A K

K® được định nghĩa là

t

a

Au t ( )

u h s ds [ ( )]

0

=ò

Dễ thấy rằng A là ánh xạ tăng. Và bằng phép chứng minh quy nạp ta dễ dàng chứng

minh được rằng:

n

n

n

n

2

3

-

-

n

n

...

1

-

1 + + + a a A u t m ( )

. ||

u

a ||

t .

a .3

...(

n

a n 1) .

£

-

[ a . 2

]

.

n A u

([0, ], b R ), t [ ( )] E C = j W = W . ( )( ) t j

n

Và do đó lim ( ) 0 ® ¥

, từ 2.2.3 ta có:

Với MWÌ

t

= cho mỗi u KÎ

}) Î W

0

t

({ ò ( f s h s [ , ( ( ))])

[ F f s x h s [ , ( ( ))] ds x | ( )( )] t W = j j

0

t

ds W j

0

ò £ ò m

Hay

dsa £ [ ( ( ))]) h s W ( j

c

c

Chính vì thế, toán tử:

có giá trị trong K thỏa

F M M A K

:

:

,

K

[ F j ( )] W £ [ A j W ( )]

®

® và độ đo

c

mãn các điều kiện của định lý 2.2.5

j

Kết luận

Năm 2007, Long-Guang và Xian đã đưa ra khái niệm không gian nón mêtric, nhằm

thay thế tập các số thực bằng một không gian Banach có thứ tự trong định nghĩa

mêtric và tổng quát hóa các khái niệm của không gian mêtric thông thường. Cho

nên, không gian này và sự tồn tại điểm bất động và điểm bất động chung của các

ánh xạ dạng co, ánh xạ không giãn, ánh xạ tương thích yếu được các nhà toán học

rất quan tâm nghiên cứu.

Luận văn nêu ra sự tồn tại, duy nhất của điểm bất động, điểm bất động chung của

một số lớp ánh xạ dạng co, ánh xạ không giãn, ánh xạ tương thích yếu trong:

• Không gian nón mêtric

• Không gian nón -chuẩn

Luận văn đã cố gắng phát biểu và chứng minh một số kết quả quan trọng của điểm

bất động trong không gian nón mêtric và nón chuẩn. Với kiến thức còn hạn hẹp ban

đầu, tôi mong muốn sẽ tiếp tục nghiên cứu và thu được những kết quả khả quan

hơn. Ngoài ra, tôi hy vọng rằng các kết quả trong luận văn này phần nào sẽ giúp

mọi người có cái nhìn tổng quan về không gian nón mêtric và có hướng nghiên cứu

điểm bất động của không gian đó.

Tài liệu tham khảo

[1] C. T. Aage, J. N. Salunke, On common fixed points for contractive type

mappings

in cone metric spaces, Bulletin of Mathematical Analysis and

Applications, 1821-1291 (2009)

[2] T. Abdeljawad, E. Karapinar, Quasicone metric spaces and generalization of

Caristi Kirk’s theorem, Cankaya and Atilim Uni, pp 2009

[3] P.P. Akhmerov, M.I.Kamenskii, A.S Potapov, B.N Sadorskii, Measure of

Noncompactness and Condensing operators Birkhauser, 1992

[4] S. Chouhan, N. Malviya, A Fixed Point Theorem for Expansive Type Mappings

in Cone Metric Spaces, Inter. Math. Forum, Vol. 6, 2011, no. 18, 891 -897

[5] Huang-Guang, Zhang Xian, Cone metric space and fixed point theorems of

contractive mappings, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1468-1476.

[6] Z. Kadelburg, P.P. Murthy, Common Fixed Points for Expansive Mappings in

Cone Metric Spaces, Journal of Math. Anylysis, Vol. 5, 2011, no. 27, 1309 -1319

[7] J. G. Mehta, M. L. Joshi, On Complete Cone Metric Space and Fixed Point

Theorem, Journal of Scientific Research, 303-309 (2011)

[8] P. Raja, S. M. Veazpour,Some extension of Banach’s contraction principle in

complete cone metric spaces, Amirkabir University of technology -Tehran -Iran, pp

2008

[9] Sh. Rezapour, R. Hamlbarani, Some note on the paper "Cone metric spaces and

fixed point theorems of contractive mappings, J. Math. Anal, Appl. 345 (2008) 719-

724.

[10] Ilker Sahin, M. Telci, A Theorem on common fixed points of expension type

mappings in cone metric spaces, St. Univ. Ovidius Constanta, vol.18(1),(2010),

329-336

[11] A. Singh, R. C. Dimri, S. Bhatt, A Unique Common Fixed Point Theorem for

Four Maps in Cone Metric Space, Joural of Math. Analysis, Vol. 4, 2010, no. 31,

1511 -1517

[12] P.P.Zabreiko, K-metric and K-normed spaces: survey, Collect. Math. 48(4-

6).1997, 825-859