BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------
Đàm Văn Ngọc
ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN
LỒI ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số : 60 46 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS ĐẬU THẾ CẤP
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
--------------------
Đàm Văn Ngọc
ĐỐI NGẪU CỦA KHÔNG GIAN
LỒI ĐỊA PHƯƠNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Đậu Thế Cấp đã tận tình
hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin cảm ơn các quý thầy đã giảng dạy em trong suốt quá trình
học cao học và các quý thầy trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý
kiến đóng góp quý báu.
Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng
KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực
hiện luận văn này.
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian vectơ tôpô.......................................................................... 3
1.2. Không gian vectơ khả mêtric ................................................................ 4
1.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc ........................................... 6
1.4. Không gian đầy đủ ................................................................................ 7
1.5. Ánh xạ tuyến tính.................................................................................. 7
1.6. Không gian lồi địa phương ................................................................... 7
1.7. Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều ............................... 11
Chương 2. LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU
2.1. Không gian đối ngẫu ........................................................................... 12
2.2. Hệ đối ngẫu ......................................................................................... 15
2.3. Pôla...................................................................................................... 19
2.4. Song pôla............................................................................................. 21
2.5. Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu ................................................... 23
2.6. Tôpô trên không gian đối ngẫu. Định lí Mackey-Arens..................... 25
2.7. Tôpô mạnh .......................................................................................... 30
Chương 3. MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT
3.1. Không gian thùng................................................................................ 35
3.2. Không gian phản xạ ............................................................................ 40
3.3. (DF) - Không gian............................................................................... 43
3.4. Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian) và
(DF) - không gian................................................................................ 48
KẾT LUẬN .................................................................................................... 54
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 55
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết đối ngẫu, đặc biệt là đối ngẫu của không gian lồi địa phương
có vai trò đặc biệt quan trọng trong chuyên ngành giải tích hàm nói chung và
không gian vectơ tôpô nói riêng. Do đó, việc nghiên cứu một cách đầy đủ và
phát triển lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương là một vấn đề
quan trọng và cần thiết.
2. Mục đích
Tìm hiểu về lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa phương tổng
quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt như : không gian phản
xạ, không gian thùng và (DF) – không gian.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu lý thuyết đối ngẫu trên các không gian lồi địa
phương tổng quát và một số lớp không gian lồi địa phương đặc biệt.
4. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Các kết quả của lý thuyết đối ngẫu của không gian lồi địa phương có
nhiều ứng dụng trong giải tích phức nhiều biến, trong phương trình đạo hàm
riêng và nhiều ngành toán học khác.
5. Cấu trúc của luận văn. Gồm ba chương
Chương đầu giới thiệu các kiến thức cơ bản về không gian vectơ tôpô và
không gian lồi địa phương, đồng thời nhắc lại một số kết quả của giải tích
hàm được sử dụng trong các chương sau.
Chương thứ hai trình bày các khái niệm của lý thuyết đối ngẫu của không
gian lồi địa phương như : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối
ngẫu, mà kết quả quan trọng nhất là định lý Mackey-Arens.
Chương cuối của luận văn nhằm mục đích trình bày một số lớp không
gian lồi địa phương có nhiều ứng dụng gồm : không gian thùng, không gian
phản xạ và đặc biệt là (DF) - không gian, lớp các không gian chứa các không
gian đối ngẫu của các không gian Frechet. Các kết quả quan trọng trong các
không gian đó được xây dựng dựa trên các kết quả của lý thuyết đỗi ngẫu.
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản và một số kết quả trong
không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương được sử dụng trong các các
chương sau .
1.1. Không gian vectơ tôpô
1.1.1. Định nghĩa
Cho E là một không gian vectơ trên trường K ( K R hoặc K C ). Một
tôpô trên E gọi là tương thích ( với phép toán đại số của E ) nếu phép cộng
: E E
E
E
và phép nhân vô hướng . : K E
liên tục.
Ta gọi một không gian vectơ E cùng một tôpô tương thích trên nó là một
không gian vectơ tôpô.
1.1.2. Định lý
Cho E là một không gian vectơ tôpô. Khi đó:
a) Với mọi a E , phép tịnh tiến x x + a là phép đồng phôi từ E lên E. Đặc U} là cơ sở lân biệt, U là một cơ sở lân cận của 0 E thì a + U = { a U, U
cận của a E .
b) Với mọi
K,
0 , ánh xạ x
x là phép đồng phôi E lên E. Đặc biệt,
0
U là lân cận của 0 E thì U,
là lân cận của 0.
Theo định lý 1.1.2, toàn bộ cấu trúc tôpô của E được xác định bởi một cơ
sở lân cận của 0. Sau này lân cận của 0 được gọi vắn tắt là lân cận.
1.1.3. Định nghĩa
. Gọi là cân
nA E
Tập con A của không gian vectơ E gọi là hút nếu
U
n 1
K,
1
nếu x A thì với mọi
đều có x A
.
1.1.4. Định lý
Nếu U là một cơ sở lân cận trong E thì với mọi U U ta có:
a) U là tập hút
b) Tồn tại V U sao cho V V U
c) Tồn tại lân cận cân W sao cho W U
1.1.5. Hệ quả
Trong không gian vectơ tôpô, mọi lân cận U đều chứa một lân cận đóng.
1.1.6. Hệ quả
Cho U là một cơ sở lân cận của một không gian vectơ tôpô E. Khi đó E
là Hausdorff nếu và chỉ nếu
U 0
I
U
U
1.1.7. Định nghĩa nửa chuẩn và chuẩn
Giả sử E là không gian vectơ. Hàm p xác định trên E và nhận giá trị thực
gọi là nửa chuẩn trên E nếu
i) p(x) 0, x E.
ii) p( x)
p(x), x E.
iii) p(x
y) p(x) p(y), x, y E
.
Nửa chuẩn p gọi là một chuẩn nếu p(x) 0
0
. x
1.1.8. Định nghĩa
Một không gian vectơ cùng với một chuẩn trên nó gọi là không gian định
chuẩn.
1.2. Không gian vectơ khả mêtric
1.2.1. Định nghĩa
Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian khả mêtric nếu tồn tại một
mêtric d sinh ra tôpô của E.
1.2.2. Định lý
Không gian vectơ tôpô Hausdorff E khả mêtric nếu và chỉ nếu E có một
cơ sở lân cận đếm được. Trong trường hợp đó tồn tại hàm x
x từ E
lên R thỏa mãn :
a) x
x , x E,
K,
; 1
x
y , x, y E
b) x
y
;
0
0
c) x
; x
d) Mêtric d(x,y) = x y sinh ra tôpô của E.
Chứng minh
Giả sử
nV là một cơ sở lân cận cân của E thỏa mãn
V
V
với mọi n N . (1)
V n
n 1
n 1
V n
Với mọi tập con hữu hạn khác rỗng H (cid:0) , đặt H V
. Ta có HV là
n H
n
lân cận cân. Đặt
p
H
. 2
n H
Từ (1) , bằng quy nạp theo số phần tử của H dễ dàng chứng minh
n
p
2
(2) V n
n H V H
H
(ở đây n H nghĩa là n
k với mọi k H ) .
khi x V , H
Đặt :
x
H
khi H, x V H
1 inf p : x V H H
ta có hàm x
xa
x
.
0;1
từ E vào (cid:0) . Dễ thấy
y
1
. Bây giờ
Do HV cân nên 1) thỏa mãn. Hiển nhiên 2) đúng nếu x
y
1
y
2
1
giả sử x
. Chọn
0 sao cho x
. Khi đó tồn tại các tập
x
,p
y
con hữu hạn H và K của N sao cho
x V ,
.
K
H
p y V và H
K
Vì
p
p
1
p
p
p
. Do (1) ta có
nên tồn tại tập M sao cho
K
H
K
M
H
. Từ đó suy ra
V V K
H
V M
x
và
x
p
p
p
x
y
y
. 2
y V M
H
K
M
Vậy có 2).
Với mọi
0 , đặt
.
x : x S
Ta có
n
n 1
n
n
với mọi n N . (3) S 2 V S 2
x
, do đó
. Mặt khác nếu
x
n 1 2
2
n
n
V S 2
n
thì tồn tại H sao cho
. Từ đó theo (2) ta có
2
x V .
Hp
x V và H
n
Do E Hausdorff nên theo hệ quả 1.4 và (3) ta có tính chất 3) trong định
là cơ sở lân cận của 0 trong E.
S
lý. Theo (3) ta cũng có 0
Vậy có tính chất 4) trong định lý.
Thật vậy, x V thì n
1.3. Tập bị chặn, hoàn toàn bị chặn và compăc
1.3.1. Định nghĩa
Giả sử E là không gian vectơ tôpô. Tập con X E gọi là bị chặn nếu với
0 sao cho X
V .
mọi lân cận U của 0 E , tồn tại
1.3.2. Mệnh đề
Giả sử E là không gian vectơ tôpô. Khi đó :
a) Bao đóng của tập bị chặn là bị chặn
b) Bội vô hướng của tập bị chặn là bị chặn
c) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tập bị chặn là bị chặn
1.3.3. Định nghĩa
Giả sử E là không gian vectơ tôpô tập con X E là hoàn toàn bị chặn
.
nếu với mọi lân cận U của 0 E , tồn tại tập hữu hạn B E để X B U
1.3.4. Định nghĩa
Giả sử E là không gian vectơ tôpô và X E ta nói là tập compăc nếu
mọi phủ mở của X, tồn tại một phủ con hữu hạn.
1.4. Không gian đầy đủ
E gọi là dãy Cauchy nếu mọi
Cho không gian vectơ tôpô E. Dãy nx
lân cận U, tồn tại
x U
m,n
. Lưới
, với mọi
n
x 0n , sao cho m
n
0
D
x
gọi là lưới Cauchy nếu mọi lân cận U, tồn tại
0 sao cho :
x
x U,
,
0
.
Không gian vectơ tôpô E gọi là đầy đủ nếu mọi lưới Cauchy trong E đều
hội tụ, gọi là đầy đủ theo dãy nếu mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Tập
con A của E gọi là đầy đủ (đầy đủ theo dãy) nếu mọi lưới (dãy) Cauchy trong
A đều hội tụ đến một điểm thuộc A.
1.5. Ánh xạ tuyến tính
1.5.1. Mệnh đề
Nếu E và F là những không gian vectơ tôpô và f là một ánh xạ tuyến tính
của E vào F thì f là liên tục trên E khi và chỉ khi f liên tục tại điểm gốc.
1.5.2. Định nghĩa
Đặt
(E, F)
là tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F,
L
T L (E,F). Ta nói T là đồng liên tục nếu với mỗi lân cận V trong F, tồn tại
một lân cận U trong E sao cho f (U) V với mọi f T .
1.6. Không gian lồi địa phương
, đều có (1
x, y A,
)x
. y A
Tập con A của một không gian vectơ gọi là tập lồi nếu
0,1
Tập A lồi và cân được gọi là tập tuyệt đối lồi.
1.6.1. Định nghĩa
Không gian vectơ tôpô E gọi là không gian lồi địa phương nếu E
Hausdorff và E có một cơ sở lân cận gồm các tập lồi.
1.6.2. Bổ đề
Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff. Khi đó, các mệnh đề
sau đây là tương đương:
a) E là không gian lồi địa phương.
b) E có một cơ sở lân cận gồm các tập tuyệt đối lồi.
c) E có một cơ sở lân cận gồm các tập đóng tuyệt đối lồi.
1.6.3. Định nghĩa
Cho A là tập con của không gian vectơ E. Khi đó:
x
inf
0 : x
xác định một hàm từ E vào R , gọi là hàm
A
p (x) A
A
cỡ, hay phiếm hàm Minkowski của tập A.
1.6.4. Bổ đề
Với mọi tập con cân và hút A của không gian vectơ E,
là một nửa
A
chuẩn trên E.
1.6.5. Mệnh đề
Giả sử E là không gian lồi địa phương và A là một tập bị chặn trong E.
n
n
Khi đó bao tuyệt đối lồi
i
i
i 1
i 1
(A) x 1, x A, i 1,n,n x : i i (cid:0)
của A cũng bị chặn.
1.6.6. Bổ đề
Cho E là một không gian lồi địa phương và p là một nửa chuẩn trên E.
Khi đó :
a) p liên tục nếu và chỉ nếu p liên tục tại 0 E .
U
b) p , U là một tập tuyệt đối lồi và hút thì p liên tục nếu và chỉ nếu .
o . U x E : p(x) 1 , U x E : p(x) 1
U là lân cận của 0 E và
1.6.7. Định nghĩa
Cho không gian lồi địa phương E. Một họ U các lân cận của E gọi là
một hệ cơ bản các lân cận nếu thỏa mãn các điều kiện :
0,
0
,
.
a) x E, x
tồn tại U
U sao cho x U
b) Mọi lân cận V của 0 E , tồn tại U U và
0 sao cho U V
.
Họ
các nửa chuẩn trên E gọi là hệ cơ bản các nửa chuẩn nếu hệ .
U
x : x
là một hệ cơ bản các lân cận của E.
1
I
các tập
1.6.8. Định lý
Mọi không gian lồi địa phương E đều có một hệ cơ bản các nửa chuẩn.
của E có tính chất sau
.
Mọi hệ cơ bản các nửa chuẩn
0,
tồn tại
a) Mọi x E, x
I I sao cho x
0
b) Mọi
,
I
tồn tại I
và C > 0 sao cho:
max , C .
. là một họ các nửa chuẩn có các tính chất a) và b) trong
1.6.9. Bổ đề Nếu
I
x E : x a
, a E,
0
I, là
,U (a)
định lý 1.6.7 thì họ các tập
I
. làm hệ cơ bản cơ sở của tôpô lồi địa phương duy nhất trên E nhận
các nửa chuẩn. Nếu họ các các nửa chuẩn có tính chất b) mà không có tính
chất a) thì với tôpô trên, E có một cơ sở lân cận lồi nhưng không Hausdorff.
1.6.10. Phương pháp xác định tôpô lồi địa phương
I p
là một họ các nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Kí hiệu Giả sử
, đặt (I) là họ các tập hữu hạn khác rỗng của I. Với mọi M (I)
M
M
p (x) max p (x)
M M (I)
p thỏa mãn tính chất b) trong định lý 1.6.8. ta được họ các nửa chuẩn
Do đó theo bổ đề 1.6.9, họ các tập có dạng:
=
I
I
M
M
= x E : p (x a) M U (a) M, x E : p (x a) U (a) ,
, 0, a E với mọi M (I) là một cơ sở của một tôpô trên E. Với tôpô này,
E là một không gian vectơ có một cơ sở lân cận lồi nhưng có thể không
liên I
Hausdorff. Tôpô này là tôpô yếu nhất trên E để mọi nửa chuẩn p ,
I p
. tục, gọi là tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn
Nếu họ nửa chuẩn có tính chất a) trong định lý 1.6.7 thì E với tôpô nói
trên là không gian lồi địa phương.
Bây giờ giả sử U là một họ khác rỗng các tập con tuyệt đối lồi và hút
gọi là của không gian vectơ E. Khi đó tôpô sinh bởi họ nửa chuẩn
U
U U U 0
I
U
thì E với tôpô sinh bởi họ các tập tuyệt đối lồi và hút U . Nếu
U
tôpô nói trên là không gian lồi địa phương.
1.6.11. Định lý
Cho E và F là các không gian vectơ tôpô sinh bởi các họ nửa chuẩn
I
J
p và q . Khi đó, ánh xạ tuyến tính A : E F liên tục tương ứng là
nếu và chỉ nếu mọi và c > 0 sao cho: J tồn tại M (I)
M
với mọi x E . q (A(x)) p (x), c
1.6.12. Định nghĩa
Giả sử E là không gian lồi địa phương. Ta nói E là :
a) Không gian Frechet (hay còn gọi là F-không gian) nếu nó khả mêtric
và đầy đủ.
b) Không gian Banach nếu nó là không gian định chuẩn đầy đủ.
1.6.13. Định nghĩa
Giả sử E và F là các không gian lồi địa phương. Ánh xạ tuyến tính f :
E F gọi là bị chặn địa phương nếu f biến tập bị chặn trong E thành tập bị
chặn trong F.
1.7. Định lý Hahn- Banach và nguyên lý bị chặn đều
1.7.1. Định lý tách các tập lồi
Giả sử F là không gian vectơ tôpô thực. A, B là hai tập lồi rời nhau trong
E và A là mở. Khi đó tồn tại dạng tuyến tính liên tục f trên E và R sao
cho: f (x) , x A và f (x) . , x B
1.7.2. Định lý
Giả sử p là một nửa chuẩn trong không gian vectơ thực E và f là dạng
tuyến tính trên một không gian con M của E sao cho f (x) p(x), x M .
Khi đó, tồn tại dạng tuyến tính g trên E thỏa mãn g(x) f (x), x M và
g(x) p(x), x E .
1.7.3. Hệ quả
Giả sử E là không gian vectơ trên trường K, a không thuộc E, p là một
nửa chuẩn trên E. Khi đó, tồn tại phiếm hàm tuyến tính f trên E sao cho :
p(x) f(a) = p(a) và f (x) với mọi xE
1.7.4. Nguyên lý bị chặn đều
Giả sử E là một không gian Banach, F là một không gian định chuẩn và
I f
là một họ các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. Khi đó nếu với
thì
.
sup f
sup f (x) I
I
mọi x E ,
Chương 2. LÝ THUYẾT ĐỐI NGẪU
Chương này chúng ta sẽ trình bày các vấn đề của lý thuyết đối ngẫu bao
gồm : không gian đối ngẫu, hệ đối ngẫu và tôpô của hệ đối ngẫu. Bằng cách
coi rằng các lân cận của điểm gốc là pôla của những tập nào đó trong không
gian lồi địa phương, ta sẽ xác định được các tôpô lồi địa phương khác nhau
trên đối ngẫu của một không gian lồi địa phương. Các tập hợp được sử dụng
cho mục đích ấy là : lớp các tập hợp bị chặn. Định lý Mackey – Arens đặc
trưng cho tất cả các tôpô lồi địa phương xác định cùng một hệ đối ngẫu cho
trước, đó là các tôpô lồi địa phương mạnh hơn tôpô yếu và yếu hơn tôpô
Mackey.
2.1. Không gian đối ngẫu
2.1.1. Định nghĩa
*E
Cho E là một không gian vectơ tôpô trên trường K. Ta kí hiệu
(E,K)
L
*E và E là các không gian
L(E,K) là không là không gian các dạng tuyến tính trên E, E
gian các dạng tuyến tính liên tục trên E. Khi đó,
*E gọi là không gian đối ngẫu đại số của E và Egọi là không
vectơ trên K.
gian đối ngẫu của E.
Sau đây là một số tính chất trên không gian đối ngẫu của một không
gian lồi địa phương
2.1.2. Bổ đề
Cho p và q là hai nửa chuẩn trên không gian vectơ E. Nếu q(x) < 1 kéo
theo p(x) 1 thì p(x) q(x) với mọi x E .
Chứng minh
0x
Giả sử ngược lại, tồn tại E và 0 sao cho 0 q(x ) 0 p(x ) 0
0x
0x
q( p( nhưng , (mâu thuẫn). Khi đó: ) 1 ) 1
Vậy p(x) q(x) với mọi x E .
2.1.3. Định lý
Cho E là một không gian lồi địa phương, 1f là một dạng tuyến tính liên
M
V x : f (x)
là một lân cận của 0. Từ
1
f tục trên một không gian con M của E. Khi đó, tồn tại f E sao cho f . 1
1
Do 1f liên tục trên M nên tập
Chứng minh
đó, tồn tại lân cận tuyệt đối lồi U sao cho U M V .
U
x M, x 1 x U M V Với mọi ta có: x U nên . 1 f (x) 1
U
*
x , x M Theo bổ đề 2.1.2 ta có: . f (x) 1
f E sao cho:
Theo định lí Hahn- Banach 1.7.2 tồn tại
U
M
f f (x) x , x E . f và 1
U
0 : x U thì f (x) Ta chứng minh f E . Thật vậy, với mọi x
nên f liên tục tại 0 suy ra f liên tục trên E hay f E .
2.1.4. Hệ quả
Cho E là một không gian lồi địa phương. Khi đó với mọi a E, a , 0
tồn tại f E sao cho f (a) 1 .
Chứng minh
K
,
,
, :
Đặt M a là không gian sinh bởi a, 1f là phiếm hàm trên M xác định
1
2
bởi 1f ( a) . Khi đó, với mọi
2
2
1
2
2
a) )a) a) f ( a 1 f (( 1 1 f ( a) 1 1 f ( 1
( a)) )a) f ( 1 f (( 1 f ( a) 1
Vậy 1f là phiếm hàm tuyến tính trên M. Do E Hausdorff nên tồn tại lân
1f ( a)
0, a U thì nên cận tuyệt đối lồi U sao cho a U . Với mọi
1f liên tục tại 0, do đó, 1f liên tục trên M. Theo định lý 2.1.3, tồn tại f E sao
1
M
cho f K f (a) 1 , f . Từ đó ta có: f ( a) .
2.1.5. Định lý
Cho E là một không gian lồi địa phương, A là tập con tuyệt đối lồi và
a A . Khi đó, tồn tại f E sao cho:
a) f(a) > 1
b) f (x) . 1, x A
Chứng minh
Do a A , E là Hausdorff nên có lân cận tuyệt đối lồi U sao cho
(a U) A U . Vì A tuyệt đối lồi nên U B . Đặt B A , suy ra B 1 2 1 2
B
U
1 2
*
tuyệt đối lồi, hút và .
f E sao cho
B
B
x
Theo hệ quả 1.7.3, tồn tại f (a) và f (x) với a x
x liên tục nên f liên tục tức là f E .
B
mọi x E . Do
f (a)
a
1
f (a)
a
1
. Giả sử
. Vì a B nên
B
B
Ta chứng minh
a
0
a B với mọi 1 .
( do 1
khi r
U
r 1 r
1 2
r 1 r
Lấy r > 1 sao cho 1 nên ta có thể
x
a
y
lấy được như vậy). Do a rB rA r U nên tồn tại x A, y U sao cho: 1 2 1 2
a
rx ry
. Vì x A nên x a U x a U
nên
1 r
a
y a
a
y
1
a
1
(mâu thuẫn).
x a
U
U
r 1 r
r 1 r
1 2
1 r
U
U
Vậy f(a) >1.
hay
U
. Ta có :
x
Vì U hút nên với mọi x A , chọn
0 sao cho
1 2
(1
U B
(1
) x
(1
)x
1
x
)x A
nên
suy ra
1 .
B
B
B
1 2
f (x)
nên f (x)
Vì
x
. 1, x A
B
2.1.6. Hệ quả
Cho A là tập con tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E và
f (A)
.
a A . Khi đó, có f E sao cho f (a)
Chứng minh
x A
1,
Theo định lý 2.1.5, tồn tại f E sao cho: f(a) > 1 và f (x)
.
f (A)
K :
Vì
, mà B là tập đóng nên f (A) B nên
1 B
f (a) B
f (a)
f (A)
.
2.2. Hệ đối ngẫu
2.2.1 Định nghĩa hệ đối ngẫu
Cho E, F là hai không gian vectơ trên cùng một trường vô hướng K.
.,. : E F K
là một dạng song tuyến tính. Ta gọi cặp ( E, F) là một hệ đối
ngẫu nếu thỏa mãn hai điều kiện sau :
1) Với mỗi 0
x E
, tồn tại x
F sao cho x, x
0
0
2) Với mỗi 0 x
F , tồn tại x E sao cho x, x
2.2.2. Chú ý
Cho ( E, F) là hệ đối ngẫu thì với mọi x
a
x, x
là dạng tuyến
F , x
tính trên E và với x , x
F, x
x E
x
để:
x, x
x
x, x
x, x
0
x, x
từ F vào
*E là đơ n ánh nên ta có thể đồng
Như vậy, ánh xạ x
nhất F là không gian con của
*E .
2.2.3. Nhận xét
1) Nếu (E, F) là một hệ đối ngẫu. Khi đó, (F,E) với dạng song tuyến tính
(x , x)
a
x, x
sẽ xác định hệ đối ngẫu (F, E).
2) Giả sử E là một không gian vectơ và
*E là đối ngẫu đại số của nó. Khi đó,
*
*
(E,E ) với dạng song tuyến tính (x,f )
a
f (x)
trong đó
x E, f E
sẽ xác
định hệ đối ngẫu
* (E,E ) .
3) Giả sử E là một không gian lồi địa phương với không gian đối ngẫu là E’.
Xét dạng song tuyến tính (x,f )
a
. Theo hệ quả 2.1.4, điều
f (x), x E, f E
kiện 1) được thỏa mãn, còn điều kiện 2) là hiển nhiên, do đó (E, E) cùng với
( E, E) là các hệ đối ngẫu.
*E ,
4) Cho E là một không gian lồi địa phương, F là không gian con của
*
E
F E
thì ( E, F) cũng là một hệ đối ngẫu.
2.2.4. Tôpô của hệ đối ngẫu. Tôpô yếu
Cho ( E, F) là một hệ đối ngẫu. Tôpô lồi địa phương trên E sao cho
(E, )
(E,F)
là tôpô yếu nhất để
F gọi là tôpô của hệ đối ngẫu. Kí hiệu
mọi y F liên tục. Tôpô đó là tôpô lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn
x
a
y(x)
, hay là tôpô xác định bởi các hệ cơ bản các nửa chuẩn:
(F)U là tập hợp các lân cận của 0 F ).
U ( (F)
p (x) M
sup y(x) , M y M
2.2.5. Định lý
Cho (E, F) là một hệ đối ngẫu. Khi đó
(E,F)
là một tôpô của hệ đối
ngẫu và là tôpô yếu nhất trong các tôpô đó.
Chứng minh
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
2.2.6. Bổ đề
*
Cho E là một không gian vectơ và
E . Khi đó, hoặc
y , y , y ,..., y 2
1
0
n
0y
là tổ hợp tuyến tính của
y , y ,..., y hoặc tồn tại a E sao cho: 1
2
n
y (a) 1, y (a)
.
0
1
y (a) 2
... y (a) 0 n
Chứng minh bổ đề
Ta có thể giả sử
y , y ,..., y độc lập tuyến tính và chứng minh bổ đề 1
2
n
bằng quy nạp.
Với n = 1:
E sao cho
ta có:
1y
0 . Chọn 1a
y (a ) 1, x E 1
1
y (x y (x)a ) 1 1 1
y (x) y (x)y (a ) 0 1
1
1
1
.
x y (x)a 1
1
1 y (0) N 1 1
Do đó, hoặc tồn tại
y (a) 1, y (a) 0
a N sao cho
hoặc
0
1
1
. Nếu
thì
y (a) 0, a N 1
0
y (a) 0, a N 1
0
y (x y (x)a ) 0, x E 1
1
0
y (a )y (x), x E
y
hay
y .
y (x) 0
0
1
1
1
0
Giả sử kết quả đúng cho n 1 1
. Khi đó, với mỗi i = 1,…,n , tồn tại
y (a ) 1, y (a ) 0
E sao cho
với mọi j
i .
i
i
j
i
ia
n
n
Từ đó với mọi j
i, x E
x
y (x)a
y (0) N
. Do đó,
ta có
j
i
1 i
I
i 1
i 1
hoặc tồn tại
, và hiển nhiên
hoặc
a N, y (a) 1 0
y (a) 1
y (a) 2
... y (a) 0 n
n
x E, y (x
ta
. Trong trường hợp này,
0y (a) 0, a N
0
y (x)a ) 0 1 i
i 1
n
n
được
tức là
y
y (x) 0
y (a )y (x) i
0
i
i
i
0
. y
i 1
i 1
Chứng minh định lý
Vì với tôpô
(E,F)
thì f liên tục
F E
f F
. Mặt khác, y E
,
do y liên tục theo tôpô
(E,F)
nên
0 sao cho:
và F
y , y ,..., y 1 2
n
y(x)
1
. 1
trên một lân cận có dạng
i
U x : sup y (x) 1 i n
thì
Nếu tồn tại a F sao cho y(a) 1 và
y (a) 1
y (a) 2
... y (a) 0 n
1 (mâu thuẫn) .
a U và y(a)
n
y
E
y
F
.
Vì vậy, theo bổ đề 2.2.6,
F
. Vậy F E
i
i
i 1
Rõ ràng
(E,F)
là tôpô yếu nhất trong các tôpô của hệ đối ngẫu (E, F)
Nhận xét
Một số tính chất chỉ phụ thuộc vào hệ đối ngẫu mà không phụ thuộc vào
tôpô cụ thể của hệ đối ngẫu. Việc nghiên cứu các tính chất ấy trong một
không gian lồi địa phương có thể tiến hành với tôpô yếu, nếu điều đó thuận
lợi. Mệnh đề sau là một ví dụ.
2.2.7. Mệnh đề
Nếu (E,F) là một hệ đối ngẫu và A là một tập con tuyệt đối lồi của E thì
A có cùng bao đóng A trong mọi tôpô của hệ đối ngẫu (E,F).
Chứng minh
Giả sử là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu (E,F). Ta chứng minh bao
(E,F)
. Bởi
đóng A của A trong tôpô trùng với bao đóng A trong tôpô
.
mạnh hơn nên A
A
.
Giả sử a A , theo hệ quả 2.1.6 , tồn tại y E F sao cho y(a) y(A)
, x A
Khi đó,
0
, ta có U
. Đặt
sao cho y(a x)
U x : y(x)
là lân cận trong
(E,F)
I
nên a A
A
A
và (a U) A
.
Vậy A
A
2.3. Pôla
2.3.1. Định nghĩa pôla
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A E . Ta gọi pôla của A trong F là
0
tập:
A
. 1
y F : sup y(x) x A
2.3.2. Mệnh đề
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu A,B,A (
I)
là các tập con của E. Khi
đó:
a)
0A là tập tuyệt đối lồi và
(E,F)
đóng ;
0
0
B
b) A B thì
A ;
1
0
c)
0 A (
0)
;
( A)
K,
0
d)
0
U
I
I
I
A A .
Chứng minh
,
K,
1
ta có
0 y , y A , 1 2
2
1
1
2
y )(x)
sup(
y (x) )
1
2
2
1
y (x) ) 1
1
2
2
sup ( y 1 1 x A
sup( x A
2 x A
0
0
a)
2
2
0
y A A tuyệt đối lồi. y 1 1
1
I
x A
0A là
A y F : y(x) là giao của các tập (E,F) - đóng nên Lại có:
0
0
0
0
B
(E,F) - đóng.
A .
0
, nên B A b) Ta có: y F : sup y(x) y B y F : sup y(x) y A 1 1
1
0
0
c) y ( A) 1 1 sup y(x) x A sup y( x) x A
y(x) y 1 A y A sup x A
0
A
A
0
U
U
I
I
0
d) Vì A I nên A ,
0
0
I
I
I
I
0
A A .
I
0
0
y ta có y(x) I Giả sử tức là: A 1, x A , I
0
I
U
U A
A
I
I
I
I
0
A
A
1 nên A A . y sup y(x) U x
0
I
U
I
I
Vậy .
Nhận xét
Nếu E là một không gian lồi địa phương thì một tập hợp con A của đối
ngẫu E là đồng liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U trong E sao cho
y(x) 1 với mọi x U và mọi y A , như vậy A là đồng liên tục khi và chỉ
khi nó được chứa trong pôla của một lân cận nào đó.
Sự khảo sát pôla, lấy trong đối ngẫu đại số, của các lân cận cho ta một
đặc trưng đơn giản và tiện lợi của đối ngẫu tôpô.
2.3.3. Mệnh đề
0
Nếu E là một không gian lồi địa phương và U là một cơ sở lân cận, thì
*E )).
U
U
đối ngẫu của E là tập (các pôla trong hệ đối ngẫu (E, U
U
Chứng minh
*
0
Dạng tuyến tính y E liên tục khi và chỉ khi tồn tại một lân cận U U
U . U
U
y(x) 1, x U y sao cho
U
2.4. Song pôla
2.4.1. Định nghĩa song pôla
0A
00
0
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. Với mọi A E thì F . Do (F, E)
00A là song
A
0
A chứa trong E. Ta gọi cũng là một hệ đối ngẫu nên
00
00
0
pôla của A.
Nhận xét. Với mọi
x A : y(x)
1, y A
nên
do đó . x A A A
2.4.2. Định lý song pôla
00A là bao
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và A E . Khi đó, song pôla
(E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của A.
Chứng minh
00A là
Rõ ràng theo nhận xét ở định nghĩa thì (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi
00
và chứa A.
Giả sử B là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A. Ta có, . B A
0
0
00
00
00
A B nên
1, x B Nếu a B theo định lí 2.1.5, y F sao cho y(a) 1 và y(x) . Do
y B a A . Vậy A B A B A .
2.4.3. Hệ quả
00A trong hệ
Cho E là một không gian lồi địa phương và A E . Khi đó,
E, E là bao đóng tuyệt đối lồi của A. đối ngẫu
Chứng minh
00A là
Theo 2.4.2, (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa A. Theo mệnh đề
2.2.7 đó cũng chính là bao đóng, tuyệt đối lồi của A.
2.4.4. Hệ quả
00A là
0A .
Cho E là không gian lồi địa phương và A E . Khi đó, pôla trong Ecủa
Chứng minh
00A là
00
0
0A . Nhưng
0A là
Theo định lý 2.4.2, pôla của (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi và chứa
0
(E,F) A . A - đóng, tuyệt đối lồi nên
2.4.5. Hệ quả
I A
0
là họ các tập con (E,F) - Cho E là không gian lồi địa phương và
I
I
0
là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi đóng, tuyệt đối lồi của E. Khi đó, A
U . A
I
của tập
Chứng minh
0
00
0
0
00
0
U
I
I
U
I
I
I
I
I
I
0
0
Ta có: A A A do đó A A ,
A
I
U . A
I
I
theo hệ quả 2.4.4 : là bao (E,F) - đóng, tuyệt đối lồi của
2.4.6. Định lý
Cho U lân cận tuyệt đối lồi của một không gian lồi địa phương E. Khi đó:
U
0
x , x E . sup y(x) y U
Chứng minh
0
U
Nếu x y U thì y(x) 1 với mọi x U , do đó 1 kéo theo
U
y(x) y(x) với mọi x thuộc E, từ đó 1 . Theo bổ đề 2.1.2 ta có x
U
0
x .Với mọi x E cố định, theo định lý Hahn - Banach tồn tại sup y(x) y U
E sao cho
0y
U
U
0
và với mọi z E . Do đó ta có x z y (x) 0 y (z) 0
0y U . Vậy
0y (z)
U
0
x . 1 với mọi z thuộc U, tức là y (x) 0 sup y(x) y U
U
0
Suy ra x , x E . sup y(x) y U
2.5. Ánh xạ liên hợp và ánh xạ đối ngẫu
E là một ánh xạ
2.5.1. Định nghĩa Cho
2
1E , F và
1
2E , F là các hệ đối ngẫu
2
o
A : E 1
t A : E
t A (y)
* 2
* 1
* 2
tuyến tính. Khi đó ánh xạ y A, y E E , xác định bởi:
gọi là ánh xạ liên hợp của ánh xạ A.
tA là một ánh xạ tuyến tính.
Dễ thấy
2.5.2. Định lý Giả sử
1E , F và
1
2E , F là hai hệ đối ngẫu, A là ánh xạ tuyến tính từ
2
t
. Khi đó A liên tục khi và chỉ khi vào E , 1 (E ,F ) 1 1 E , 2 (E ,F ) 2 2
F , E 2
2
F ,E 1 1
t A (F ) 2
1
A : F , 2
F , 1
F . Trong trường hợp đó, ánh xạ
cũng liên tục.
Chứng minh
t
2
t
Giả sử A liên tục, khi đó, y F , A (y) liên tục theo tôpô y A 0
1
t A (F ) 2
1F ,E
1
nên A (y) F . Vậy F . 1
t A (F ) 2
1
i
i
i 1,...,n Ngược lại, giả sử F . Đặt F , 2
t
V y : sup f (y) ,f 1 i n
2E ,F
2
1
là một – lân cận. Khi đó nếu U x : sup A (y)(x) thì U là một
A U
t
t
- lân cận và V . (E ,F ) 1 1
2
A E nên theo lập E 1 Vậy A liên tục. Trong trường hợp đó ta có
tA ta có
tA liên tục.
luận trên, thay A bởi
2.5.3. Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính A gọi là liên tục yếu nếu nó liên tục theo các tôpô
1E và
2E .
1E ,F
1
2E ,F
2
trên trên
2.5.4. Hệ quả
tA cũng liên tục yếu.
Nếu A là liên tục yếu thì liên hợp của nó là
2.5.5. Mệnh đề
1
2
1E , F và
1
2E , F ,
2
E ,E là các không gian lồi địa Cho các hệ đối ngẫu
2
phương E là một ánh xạ tuyến tính liên tục thì A cũng liên tục theo A : E 1
1F ,E
1
2E ,F
2
1E và
2E .
trên trên các tôpô yếu
Chứng minh
tA (y)
2
1E .
t
t A (y)
Với mỗi là dạng tuyến tính liên tục trên y F cố định, y A o
Vậy nên theo định lý 2.5.2 ta có điều cần chứng A (y) F 1 F 1
minh.
2.5.6. Bổ đề Giả sử
1E , F và
1
2E , F là những hệ đối ngẫu và A là ánh xạ tuyến
2
tA . Khi đó, với mỗi tập con M
1E vào
2E với liên hợp
0
1
0
tính liên tục yếu của
t A M
1E ta có:
A M
của .
Chứng minh
1
0
A M
0 tA M và
o
1, x M
Vì mỗi tập là tập hợp tất cả các y F thỏa 2
tA y x
y A x
mãn nên ta có điều cần chứng minh.
2.5.7. Định nghĩa
o
F . Ánh xạ đối ngẫu của ánh xạ A
y A, y F . là ánh xạ A F E xác định bởi Cho ánh xạ tuyến tính liên tục A : E A y
2.5.8. Định lý Schauder
A : F
E
compăc.
Cho E, F là các không gian Banach và A E,F . Khi đó, A compăc L
Chứng minh
'
Kí hiệu U là hình cầu đơn vị của E. Nếu A compăc thì:
A U
C A U
: y F , y là bị chặn và đồng liên tục. Theo định M y 1
lý Ascoli, M compăc tương đối.
y,z F , A y A z
Với mọi ta có:
A y
A z
y A x
z A x , x E
y
x x .
A y
A U
. Từ đó có ánh xạ tuyến tính
Với mọi y F ta có :
A y
A y
sup y A x y 1
sup y A U sup y A U
V y F : y
nên là đẳng cự.
ta có
A V M
1
Đặt . Do M compăc tương đối
A V
compăc tương đối. Vậy A compăc. nên
Bây giờ nếu A là ánh xạ compăc thì theo trên ta có A : E F
compăc.
: E E là phép nhúng chính tắc. Ta có: Kí hiệu E j F , j : F F
A j E
j A F
là ánh xạ compăc.
2.6. Tôpô trên không gian đối ngẫu. Định lí Mackey-Arens
2.6.1. Định nghĩa M – tôpô
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. M là một họ các tập con của F có tính chất
sau:
(E,F) - bị chặn i) Mọi M M là
2M ,M M, tồn tại
1
3M M và
1
3
2
ii) Mọi U M M 0 sao cho M
U
F M : 0,M M}. iii)
M
sup y x y M
Mp , M M là hệ cơ bản các nửa chuẩn của một tôpô trên E, là hệ cơ bản
Với mọi M M, đặt p . Ta có họ các nửa chuẩn x
các nửa chuẩn của một tôpô lồi địa phương t M trên E gọi là M- tôpô xác định
0
bởi họ M.
x E :p
x
1 M
M
. Với mọi M M ta có :
2.6.2. Bổ đề
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, t là một tôpô trên E
t t M khi và chỉ khi tôpô t có tính chất sau:
Khi đó, tồn tại họ các tập con M của F có tính chất i), ii), iii) sao cho
1) t mạnh hơn (E,F)
2) t có một hệ cơ bản các lân cận U của 0 E gồm các tập tuyệt đối lồi,
(E,F) - đóng.
=
Mọi tôpô của hệ đối ngẫu trên E đếu có tính chất 1), 2). Nếu
E, t
F . là lân cận trong E, t thì t = t M với M 0U : U
Chứng minh
x E : y x
M
1
I
y M
là tập tuyệt đối lồi và (E,F) - x x E : p Nếu t = t M thì do iii), t có tính chất 1). Tính chất 2) được suy ra từ tập: 1
đóng.
0U
I
F : U U
F E . Đặt Ngược lại, giả sử t có tính chất 1), 2). Do 1) ta có E, t
E, F . Theo bổ đề 2.4.6 ta
, pôla lấy theo hệ đối ngẫu M =
U
0
sup y x 0 y U F
sup y x y U
có: x , x E nên họ có tính chất i).
0
1
2
0 U 1
0 2
1
2
Với mọi U U I U U nên M có tính chất ii). U , U E ta có
E
0 U :
0, U
U
U
0
Ta có: F E và
M : 0,M 0, U E I F F
M
U
I U F :
U
M thỏa mãn iii).
và U
Vậy họ M có tính chất i), ii), iii), và tôpô t M tồn tại. Với mọi U U ,
0
0
theo ii) và định lí song pôla ta có:
x E : y(x)
1, y U
I
0 I (U F)
F
U = U( (E,F)) =
0U F I
(x) 1
x E : p =
t M .
từ đó t
Cuối cùng, t là một tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F) thì theo định lý
2.2.5, t mạnh hơn (E,F) . Theo bổ đề 1.6.2 ta có t có một hệ cơ bản các lân
cận đóng, tuyệt đối lồi, theo định lí song pôla, bổ đề 2.2.7, các tập này
(E,F) - đóng. Vậy t có tính chất 1), 2).
2.6.3. Định lý (Alaoglu-Bourbaki)
0U của U
Với mọi lân cận U của một không gian lồi địa phương E, pôla
là tập tuyệt đối lồi và (E ,E) - compăc.
Chứng minh
D
K :
, D là tập compăc trong K. Theo định lý
1
UD là không gian compăc. Định nghĩa :
Đặt
0
U
Tikhonov ,
D , J y
y x
x U
p
J : U .
M M U
là một hệ cơ bản các Do U là tập hút nên J đơn ánh, hơn nữa
(E ,E)
0 y U , ta có:
nửa chuẩn của . Với mỗi M 0 và
U
0
0
U D :
y x
M
J U
z U : p
U , , x M
I x J z y
0
0
UD compăc nên ta
0
J U
U
UD .
Do đó J : U , E ,E là phép đồng phôi. Vì
chỉ cần chứng minh
0
U
J U đóng trong
0
Ta có: là thuộc y D
U y D : y u
y w 0
y v
J U y có thể mở rộng thành phiếm hàm
0
3
3
J U với mọi tuyến tính trên E. Do đó
,
K , u, v, w U
,
thỏa mãn
v w 0
u .
J U được chứng minh.
y x
là liên tục nên tính đóng của
0
y a Vì
2.6.4. Định nghĩa tôpô Mackey
E,F trên E. U là một hệ cơ bản các
Cho t là một tôpô của hệ đối ngẫu
E, t
0U
0U là tuyệt đối lồi và do định lý Alaoglu – Bourbaki 2.6.3 nó là
. Khi đó theo bổ đề 2.4.6, . , với mọi p lân cận tuyệt đối lồi của
t M với M là một họ các tập tuyệt đối lồi và
- compăc nên t U U . Vì F,E
F,E
=
- compăc của F.
E,F tùy ý xét họ: M M F : M
tuyệt đối lồi và Trong hệ đối ngẫu
F,E
-compăc . Khi đó, họ M có tính chất i), ii), iii). Thật vậy : mọi tập
compăc yếu đều bị chặn yếu nên có i). Vì tổng của hai tập compăc yếu là
1
2
1
2
U M nên có ii). Mọi M M M M compăc yếu và mọi M1,M2 M,
1
y : y F, y M nên có iii).
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, M - tôpô trên E xác định bởi họ M tất cả
F,E
- compăc cuả F gọi là tôpô Mackey, ký hiệu các tập con tuyệt đối lồi,
E,F
.
Tôpô là tôpô mạnh nhất trong tất cả các tôpô của hệ đối ngẫu
2.6.5. Bổ đề
E,F
(E,F).
Chứng minh
E,F
Theo 2.6.4, mạnh hơn mọi tôpô của hệ đối ngẫu. Do đó, ta chỉ
E,F
cũng là một tôpô của hệ đối ngẫu. cần chứng minh
*E và xét hệ đối ngẫu
*E,E . Theo
*
Coi M như là họ các tập con của
c > 0
E, t sao cho định lý 1.6.7, M, y E thuộc
M nếu và chỉ nếu tồn tại M
M
0
y . cp
M
1
x E : sup y x y M
Vì: M x E : p x nên theo bổ đề 1
p
.
0
M
1.6.5 ta có . Vì vậy y E, t
M nếu và chỉ nếu tồn tại
M
00
M
0
*E,E )).
, M
sao cho (pôla lấy theo hệ ( y M
Theo định lý song pôla ta có :
00 M :
M :
U E, t 0,M 0,M M M (1)
M
U
*E ,E
M
* E ,E
trong đó là bao tuyệt đối lồi và đóng của M trong .
M
F
F,E nên ta có với mọi tập M tuyệt đối lồi và Vì
F,E
- compăc trong F.
Do (1) và iii) ta có:
E, E, F
U
E,F
E, t M : 0, M F . Vậy là tôpô của M
M
hệ đối ngẫu (E,F).
E,F
là tôpô yếu nhất của hệ đối ngẫu (E,F) và bổ đề 2.6.5 ta có Do
định lý sau
2.6.6. Định lý (Định lý Mackey-Arens)
E, F E,F . nếu t Một tôpô lồi địa phương t trên E là tôpô của hệ đối ngẫu (E,F) nếu và chỉ
2.6.7. Nhận xét
Cho t là tôpô bất kỳ của hệ đối ngẫu (E,F). A là tập con tuyệt đối lồi của
E. Theo định lý song pôla, bao đóng của A theo tôpô t trùng với bao đóng của
E,F
. A theo tôpô
Trong phần ánh xạ liên hợp ta đã chỉ ra một ánh xạ tuyến tính liên tục
cũng là liên tục yếu, trong điều kiện nhất định ta cũng có điều ngược lại đó là
2.6.8. Mệnh đề
Nếu E, F là những không gian lồi địa phương và nếu E có đối ngẫu Evà
có tôpô E, E thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục yếu của E vào F cũng là
liên tục.
Chứng minh
Giả sử V là một lân cận đóng và tuyệt đối lồi trong F. Khi đó, theo định
0V là
tA của
F ,F
t V
lý Alaoglu – Bourbaki 2.6.3, - compăc. Vì liên hợp của
0
- E ,E là ánh xạ tuyến tính liên tục yếu A là liên tục yếu (nên
0
0
00
E ,E lân cận. compăc. Vì vậy, pôla của nó trong E là một
1 A V
t A V
1 A V
Mà ta có: , bởi vì V là đóng và tuyệt đối
lồi. Vậy A là liên tục.
2.7. Tôpô mạnh
2.7.1. Định nghĩa
F,E
-bị chặn Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. Họ M tất cả các tập con
của F thỏa i), ii), iii). M - tôpô xác định bởi họ M này gọi là tôpô mạnh, ký
E,F
. hiệu là
Nhận xét
E ,E
- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong E. Do đó, E, E M E là Nếu E là không gian định chuẩn thì theo nguyên lý bị chặn đều,
trùng với tôpô sinh bởi chuẩn.
Nếu E là không gian Banach thì theo nguyên lý bị chặn đều, M E là
E ,E
- bị chặn nếu và chỉ nếu M bị chặn trong E. Do đó trường hợp này
trùng với tôpô sinh bởi chuẩn. E,E
2.7.2. Bổ đề
E,F
Trong mọi hệ đối ngẫu (E,F), là M - tôpô mạnh nhất trên E. Một
E,F
E,F
cơ sở lân cận của E theo tôpô là: là - đóng, U { U E : U
tuyệt đối lồi và hút}.
Chứng minh
E, F
mạnh hơn mọi tôpô khác trên Từ định nghĩa M - tôpô ta có ngay
E,F
- lân cận của 0. E. Bây giờ ta cần chỉ ra với mọi U U là
0 sao cho Lấy U U cố định. Do U hút nên mọi x E , tồn tại
0U là tập
0 y U ta có
y x tức là
0
sup y x y U
x U . Với mọi . Vậy
00U là một
F,E
E, F
- bị chặn nên - lân cận của 0.
2.7.3. Định nghĩa đĩa Banach
Tập con tuyệt đối lồi B của không gian vectơ E gọi là một đĩa Banach
.
B
E , . B
BE và
B
B
t 0
nếu E B tB là một chuẩn trên là một U , hàm cỡ
không gian Banach.
2.7.4. Định lý (Định lý Banach – Mackey)
E,F
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu. Nếu B là một đĩa Banach, - bị chặn
E,F
trong E thì B là - bị chặn.
Chứng minh
E,F
BE là không gian Banach sinh bởi B. Vì B là
Ký hiệu - bị chặn
E, E,F
E,F
BE
nên phép nhúng liên tục. Từ đó, mọi tập - bị chặn
BE và
BE
A y
: y M
A
sup y x y
M trong F, tập được chứa trong
x E .
B
với mọi
Theo nguyên lý bị chặn đều 1.7.4 ta có:
M
E
B
sup sup y x y M x B
x sup p x B sup y y A
E, F
từ đó B là tập - bị chặn.
2.7.5. Bổ đề
t , t là hai tôpô của hệ đối ngẫu (E,F). Khi đó, mọi tập con 1t - đầy
2
Cho 1
đủ (đầy đủ theo dãy) của E cũng là 2t - đầy đủ (đầy đủ theo dãy).
Chứng minh
D
x
Giả sử M E là tập con 1t - đầy đủ và là một 2t - lưới Cauchy
theo 1t .
D
x
trong M. Khi đó x M cũng là 1t - lưới Cauchy, do đó x
theo 2t . Cố định một lân cận U của 0 theo 2t , U là
Ta sẽ chứng minh x x
0 sao cho x
với
1t - đóng. Do x
x U là 2t - lưới Cauchy nên tồn tại
x U
, . Vì x 0
1t và U là
1t - đóng nên x
x theo
với mọi
mọi
0
theo 2t . Phần còn lại ta chứng minh tương tự.
x . Vậy x
2.7.6. Hệ quả
Mọi tập con tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn, đầy đủ theo dãy B của một
không gian lồi địa phương E là đĩa Banach. Đặc biệt, mọi tập compăc tuyệt
đối lồi là đĩa Banach.
Chứng minh
.
B
n 1
Vì B tuyệt đối lồi, bị chặn nên là chuẩn trên B nB U và phép
E liên tục. Từ đó, tôpô
BE
2t sinh bởi chuẩn trong
BE mạnh hơn
nhúng
E , . B
B
là không gian Banach. tôpô 1t cảm sinh bởi tôpô xuất phát trên E. Vì B đầy đủ theo dãy nên theo bổ đề 2.7.5, B cũng 2t - đầy đủ theo dãy. Vậy
Nếu B là compăc thì B đóng, bị chặn và đầy đủ. Do đó, B là đĩa Banach.
2.7.7. Định lý (Định lý Mackey)
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu và M E . Khi đó các điều kiện sau đây là
E,F
- bị chặn tương đương: a) M là
b) M là t - bị chặn với mọi tôpô t của hệ đối ngẫu (E,F).
E,F
- bị chặn c) M là
Chứng minh
a) b) c) do định lý Mackey- Arens
E,F
- compăc B Để chứng minh c) a) ta cố định tập tuyệt đối lồi,
của F. Theo hệ quả 2.7.6, B là đĩa Banach, do đó theo định lý Banach-
E,F
E,F
Mackey, B là - bị chặn. Từ đó, mọi tập con - bị chặn M của E
B
M
supsup y x x M y B
ta có x y . sup p x M sup p y B
E,F
- bị chặn. Do B là tập bị chặn tùy ý nên M là
2.7.8. Bổ đề
Cho (E,F) là một hệ đối ngẫu, E đầy đủ (đầy theo dãy) theo một M -
tôpô nào đó. Khi đó E đầy đủ với mọi M - tôpô mạnh hơn.
Chứng minh
Giả sử E đầy đủ với M – tôpô 1t và 2t là một – tôpô mạnh hơn 1t . Theo
bổ đề 2.7.5 ta chỉ cần chỉ ra 2t có một cơ sở lân cận 1t - đóng. Thật vậy, U là
E,F
- lân cận đóng lân cận tùy ý của 0 theo 2t , thì theo bổ đề 2.6.2, tồn tại
U của 0 sao cho V U , hiển nhiên V cũng t - đóng.
Chương 3. MỘT SỐ KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG ĐẶC BIỆT
Trong chương này chúng ta sẽ trình bày một số lớp các không gian lồi
địa phương đặc biệt như không gian thùng, không gian phản xạ, (DF) - không
gian và đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet và (DF) - không gian.
3.1. Không gian thùng
3.1.1. Định nghĩa
Tập M E gọi là một cái thùng của E nếu M tuyệt đối lồi và hút. Tập
M gọi là hút các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B trong E đều tồn tại
0 sao cho B M .
Mọi không gian lồi địa phương đều có một cơ sở lân cận với mỗi lân cận
trong đó là một cái thùng.
3.1.2. Định nghĩa không gian thùng
Không gian lồi địa phương gọi là không gian tựa thùng nếu mọi cái
thùng hút các tập bị chặn là lân cận của 0. Không gian lồi địa phương gọi là
không gian thùng nếu mọi các thùng đều là lân cận của 0.
3.1.3. Mệnh đề
Giả sử E là một không gian lồi địa phương với đối ngẫu E. Khi đó, một
tập con B của E là một cái thùng khi và chỉ khi B là pôla của một tập
E ,E
- đóng trong E.
Chứng minh
E ,E
00
B B
Pôla của một tập hợp - đóng là một tập tuyệt đối lồi, đóng và dễ
thấy nó hút. Ngược lại, nếu B là một cái thùng thì (theo định lý song
00B là
E ,E
E ,E
pôla), mà - đóng nên B cũng là - đóng.
3.1.4. Hệ quả
- đóng trong E là đồng liên không gian thùng khi và chỉ khi mỗi tập Nếu E là một không gian lồi địa phương với đối ngẫu E, thì E là một E ,E
tục, tức là khi và chỉ khi tôpô của E là tôpô E,E .
3.1.5. Hệ quả
Nếu E là một không gian thùng với đối ngẫu Ethì tôpô của E là tôpô
E,E .
Điều này có đươc bởi vì E,E mà E,E là một tôpô của E, E
Chứng minh
E, E . hệ đối ngẫu
3.1.6. Hệ quả
Nếu E là một không gian thùng với đối ngẫu E, thì bao tuyệt đối lồi và
E ,E
E ,E
- compăc của Eđều là - compăc. đóng của mọi tập con
Chứng minh
E ,E
E ,E
Vì bao tuyệt đối lồi của một tập - compăc là - bị chặn
và do đó là đồng liên tục ( theo hệ quả 3.1.4) – nên bao đóng của nó nằm
0U nào đó mà
0U là
E ,E
trong - compăc (theo định lý Alaoglu-Bourbaki)
E ,E
- compăc. nên nó cũng là
3.1.7. Định lý
Một tập hợp trong E là đồng thời bị chặn hay đồng thời không bị chặn
E, E . đối với mọi tôpô của hệ đối ngẫu
E,E thì các tập t - bị chặn dĩ
Chứng minh Nếu t là một tôpô tùy ý của hệ đối ngẫu
nhiên cũng là E, E - bị chặn. Ngược lại, giả sử A là một tập E, E - bị
0A là
chặn và U là một t - lân cận tuyệt đối lồi và đóng. Theo mệnh đề 3.1.3,
0U là tuyệt đối lồi và
E ,E
E ,E
0A hút
0U thành thử
00U hút
00A nhưng
00U
một cái thùng trong E (đối với ) và -
00
compăc. Vậy U (theo định lý
song pôla) và . Vậy U hút A tức là A là t - bị chặn. A A
3.1.8. Bổ đề
Trong một không gian lồi địa phương, một cái thùng hút mọi tập hợp lồi,
compăc .
Chứng minh
Giả sử B là một cái thùng và A là một tập hợp lồi, compăc. Ta chỉ cần
chứng tỏ rằng tồn tại một số nguyên dương n, một lân cận U và một điểm x
thuộc A, sao cho
A x U
I nB I U nB x . A x tức là
U Quả vậy, A x bị chặn, vậy A x 1 ; vậy
A x . Do đó, 0 A x A x , thành thử với một nào đó,
1 x
A x U vậy A nB I A x nB x B
với một nào đó, bởi vì B là một tập hợp hút.
0x A và mọi lân cận mở
. Khi nB I ó lấy n 1 , thì với mọi Bây giờ ta hãy giả thiết rằng không tồn tại n, U, x sao cho đ A x U
I x A x U
0U , đều tồn tại một điểm
1
0
0
B
I C
1U sao cho
0
0
B
I C là mở, nên tồn tại một lân cận mở x U Vì
2, x
1
0
0
B
x , U U 1
1
I
I C ,v.v… x U 1
A x U n
Như vậy là một dãy giảm dần gồm những tập hợp x U . Lấy n n
đóng và không rỗng. Vì A là compăc, nên các tập hợp ấy có một điểm chung
a A . Khi đó với mọi n, ta đều có a nB , vậy tập hợp B không phải là hút,
và ta đi đến mâu thuẫn.
3.1.9. Hệ quả
Trong một không gian lồi địa phương thì một cái thùng hút mọi tập hợp
bị chặn, lồi và đầy đủ.
Chứng minh
Giả sử A là một tập hợp bị chặn, lồi và đủ, và B là một cái thùng. Nếu
0A ,
n x
trong a A và B không hút
2 n B
1 , n x
nx
n
n
, thì tồn tại một dãy điểm nx 0A A a 1
không bị hút bởi B. Nhưng 0 sao cho , vậy dãy
0A mU
, do đó bởi vì nếu U là một lân cận tùy ý thì tồn tại m 0 sao cho
, cùng với điểm 0, lập thành
1 n x
1 khi n m
n
một tập hợp (tiền) compăc, do đó bao đóng lồi C của nó là tiền compăc .
Vì C là một tập hợp con đóng của
0A , nên C là đủ, do đó C là compăc.
Nhưng C không bị hút bởi B, trái với bổ đề 3.1.8. Thành thử B hút
0A , vậy B
hút A.
. Vì vậy dãy các điểm n x U n
3.1.10. Hệ quả
Nếu E là một không gian lồi đia phương khả mêtric với đối ngẫu Ethì
E, E
.
tôpô của E là tôpô
Chứng minh
Gọi
nU là một cơ sở lân cận đối với tôpô khả mêtric t sao cho
E,E
- lân cận tùy ý.
U
U
, với mọi n và V là một
n 1
n
Nếu V không là một
E, E
- lân cận thì với mỗi n tồn tại
x U và
n
n
E,E
-
nV
.Khi đó, tập
là t - bị chặn, theo định lý 3.1.7
nx
nx là
nx
bị chặn. Do đó, tồn tại u
u
0 sao cho
V , với mọi n khi
nx
mâu thuẫn.
. Điều này
3.1.11. Bổ đề
Cho không gian lồi địa phương E. Ta kí kiệu
**b là tôpô lồi địa phương
trên E cảm sinh bởi tôpô trên E . Khi đó ta có:
**b
là
*b
E ,E
.
a)
M E : M
*b - bị chặn ,
t M với
b
*b
E,E
b)
M
c) Họ các cái thùng hút các tập bị chặn là một cơ sở lân cận theo tôpô
**b .
Chứng minh
a) Theo định nghĩa
**b .
b) Nếu M là tập con tuyệt đối lồi,
* - compăc của E thì theo hệ quả 3.5.7, M
là đĩa Banach và
**b -
* - bị chặn. Từ đó, theo định lý Banach - Mackey, M là
bị chặn. Theo a) ta có
**b
**b - bị chặn trong E thì M cũng là
**b
* - bị chặn theo a) ta có
b .
c) Giả sử T là một cái thùng hút các tập bị chặn của E. Mọi tập bị chặn B của
0
0
E, tồn tại
T
0T là
*b - bị chặn. Do
0 , sao cho B
T hay
B
theo a) T là
*b - lân cận
T là cái thùng nên theo định lý song pôla,
T
. Từ đó, 00
T
của 0.
*
là
M : M E ,M
*b - bị chặn là một hệ cơ bản các lân cận
Theo a), 0
**b . Ta sẽ chứng minh mọi lân cận
0M thuộc hệ trên là các thùng,
của 0 theo
hút các tập bị chặn.
Hiển nhiên
0M tuyệt đối lồi, đóng.Với mọi tập bị chặn B trong E, tồn tại
0
0
B
. Vậy
0M hút các tập bị chặn.
0 sao cho M B . Từ đó ta có:
M
Suy ra
0M là cái thùng hút các tập bị chặn.
, nếu M là
3.1.12. Bổ đề
Nếu E là không gian tựa thùng và mọi tập tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn
của E đều là đĩa Banach thì E là không gian thùng.
Chứng minh
Ta sẽ chứng minh mọi cái thùng trong E đều là lân cận của 0. Theo bổ đề
2.7.2, mỗi cái thùng trong E là lân cận của 0 theo tôpô mạnh. Do đó, điều cần
chứng minh tương đương với ta chỉ ra mọi tập bị chặn B trong E là bị chặn
mạnh. Do B bị chặn nên
là bị chặn, tuyệt đối lồi và đóng. Theo giả thiết
B
là đĩa Banach. Từ đó, theo định lý Banach- Mackey,
là bị chặn
B
B
mạnh và do đó B là bị chặn mạnh.
3.1.13. Hệ quả
a) Mọi không gian tựa thùng, đầy đủ theo dãy là không gian thùng.
**
b) Không gian lồi địa phương là tựa thùng nếu và chỉ nếu
t
.
b
3.1.14. Mệnh đề
Mọi không gian Frechet E là không gian thùng.
Chứng minh
Gọi T là một cái thùng của E. Vì T hút nên
E
nT
n 1
theo định lý Baire về phạm trù, T có một điểm trong là
Vì – T T nên
0x cũng là điểm trong của T. Từ đó, 0 cũng là điểm trong
T
T T
của
. Do T đóng nên 0x .
1 2
1 2
. Vậy T là lân cận của 0.
3.2. Không gian phản xạ
Cho E là một không gian lồi địa phương.
*
Ta kí hiệu
. Khi đó
cũng là một không
E
* E , b , b
gian lồi địa phương và ta có thể so sánh E với E .
E E E ,E
Với mọi x E , xét phiếm hàm tuyến tính
J x trên E xác định bởi:
x (x)
, với mọi x E
J x x
Vì
với mọi x E
.
x
J x x
x x
J x liên tục trên
x
p
nên
J x
Dễ thấy
J : E x
E . E
E J x
J E
E
E
có thể không
là đơn ánh tuyến tính, nên ta có thể đồng nhất E với
E . Tuy nhiên tôpô trên
không gian vectơ con
trùng với tôpô trên E cảm sinh bởi tôpô trên E .
3.2.1 Định nghĩa
như là các
Không gian lồi địa phương E gọi là nửa phản xạ nếu E E
như là các không gian lồi địa
không gian vectơ và gọi là phản xạ nếu E E
phương.
Nhận xét
Tính nửa phản xạ của E có thể biểu diễn dưới dạng : mọi z E , tồn tại
x E sao cho
, với mọi y E .
z y
y x
Không gian lồi địa phương E phản xạ nếu ngoài tính chất đặc trưng trên
phải thêm điều kiện phép nhúng chính tắc J : E
E liên tục hai chiều.
3.2.2. Định lý
Không gian lồi địa phương E nửa phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập bị chặn
trong E là compăc yếu tương đối.
Chứng minh
*
*
Theo định lý Mackey-Arens, E nửa phản xạ
. Điều
b
E ,E
đó tương đương với mọi tập bị chặn B trong E, tồn tại tập tuyệt đối lồi,
.
p
compăc yếu M trong E sao cho B p
M
Điều này tương đương với :
0
0
B
1
.
1 M
y E : sup y x x B
y E : sup y x x M
0
0
00
00
Theo định lý song pôla,
nếu và chỉ nếu
B
B
.
B M
M M
Vì
bị chặn khi B bị chặn nên ta có kết luận của định lý.
B
3.2.3. Định lý
Không gian Frechet E phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập con bị chặn của E
là compăc yếu tương đối.
Chứng minh
Nếu E phản xạ thì mọi tập bị chặn đều là compăc yếu tương đối theo
định lý 3.2.2
Ngược lại mọi tập con bị chặn của E là compăc yếu tương đối nên theo
định lý 3.2.2, E nửa phản xạ. Mà theo định lý 3.1.4, E là không gian thùng
nên theo bổ đề 3.1.11 họ các thùng là một cơ sở lân cận của 0 theo tôpô
**b
nên
**b yếu hơn tôpô trên E và do đó trùng với tôpô trên E. Vậy E phản xạ.
3.2.4. Định lý
Cho E là một không gian lồi địa phương. Các điều kiện sau là tương
đương :
a) E là phản xạ
b) E là nửa phản xạ và tựa thùng
c) E là nửa phản xạ và thùng
Chứng minh
a) b)
E phản xạ thì E nửa phản xạ và
**b trùng với tôpô trên E nên theo bổ đề
3.1.11, ta có E là tựa thùng.
b) a)
như là các không gian vectơ. Do E tựa thùng
E nửa phản xạ thì E E
nên mọi cái thùng hút các tập bị chặn là lân cận. Theo bổ đề 3.1.12 họ các tập
nói trên là một cơ sở lân cận của
**b nên
**b yếu hơn tôpô trên E và do đó
trùng với tôpô trên E. Vậy E phản xạ.
c) b)
Hiển nhiên.
b) c)
Theo định lý 3.2.2 các tập tuyệt đối lồi, đóng, bị chặn của E là compăc
yếu nên chúng là đĩa Banach. Từ đó, theo bổ đề 3.1.12, E là không gian
thùng.
3.2.5. Định lý
Không gian Banach phản xạ nếu và chỉ nếu hình cầu đơn vị của E là
compăc yếu.
Chứng minh
Theo định lý song pôla, hình cầu đơn vị đóng của E đóng theo tôpô yếu
nên từ định lý 3.2.3 ta có điều cần chứng minh.
3.3. (DF) - Không gian
Trong phần này, ta sẽ trình bày lớp không gian chứa đối ngẫu của các
không gian Frechet, các (DF) - không gian. Ta kí hiệu
để chỉ họ các tập
EB
tuyệt đối lồi, bị chặn trong không gian lồi địa phương E, còn
là họ các
EU
lân cận tuyệt đối lồi của 0 E .
3.3.1. Định nghĩa (DF) - không gian
Không gian lồi địa phương E gọi là (DF) không gian nếu nó thỏa mãn
các điều kiện sau :
1) E có một hệ cơ sở đếm được gồm những tập bị chặn
2) Giao của một dãy bất kỳ các lân cận của 0 E nếu giao này hút mọi
tập bị chặn trong E.
Chú ý
Điều kiện 2) có thể thay bởi điều kiện sau : 2 ) Mọi hợp đếm được các
tập bị chặn trong E là đồng liên tục.
3.3.2. Mệnh đề
B
là hệ cơ sở tăng của
. Khi
Giả sử E là (DF) - không gian
EB
n n
N
chứa trong
, tập :
W
là một
U
B U
EU
đó, với mọi dãy
n
n
n n
N
I
N
n
lân cận của 0 E .
Chứng minh
với:
. Khi đó :
U
E U
nV
V V n
n
n
Với mỗi n (cid:0) , chọn
V
W
B U
n
n
I
N
n
nên
là một
Cố định n N . Ta có:
B U
V k
k
k
B V k
k
I
I
I
1 k n
1 k n
1 k n
rB
nên:
lân cận của 0 E , do đó, r 0
n
B V k
k
I
1 k n
n
với 1 k
. Hơn nữa ta có:
rB
B
n
n
B V k
k
B V , k k
k
n
thì
B V , k
Lấy
sao cho:
min 1,r
B n
k
k
V
B
N .
n
B V k
k
I
¥ k
Vậy, V hút mọi tập
V hút mọi tập bị chặn trong E. Mà V W nên
nB
W cũng hút mọi tập bị chặn của E, do đó, W là một lân cận của 0 E .
3.3.3. Mệnh đề
E
U
0, n 1
, tồn tại các số nr
Giả sử E là một (DF) - không gian. Khi đó, với mọi dãy n n
sao cho:
N U
W
E
.
U
r U n
n
I
N
n
U
E
, tồn tại
W
được hút
Đặc biệt, đối với mọi dãy
E U
n n
N U
bởi mọi
nU .
Chứng minh
B
Giả sử
là một hệ cơ sở tăng các tập bị chặn trong E. Ta chọn n 0r
n n
N
sao cho
.Thế thì, theo mệnh đề 3.3.1., tập
B U r U n
n
n
n
W
E
.
B U
U
n
n
I
N
n
3.3.4. Định lý
là một hệ cơ sở đối với
B
Giả sử E là một (DF)-không gian và
n n
N
. Khi đó: Một tập tuyệt đối lồi W trong E thuộc
nếu giao của nó
EB
EU
với mọi
nB là lân cận của không trong
nB .
U
các lân cận tuyệt
và dãy
Ta sẽ xây dựng dãy số dương
n n
N
Chứng minh n n
(cid:0)
đối lồi của 0 E sao cho:
(1)
B
W
n
n
1 3
B
U
(2)
n
n
k
U
I
(3)
B W
n
n
xảy ra với mọi n và k.
và (1),(2), (3) được thỏa
Giả sử
n và
nU đã được xác định với n m
. Từ giả thiết có lân cận U của không với
mãn đối với mọi n,k m
.
m 1
W
U B
B
U
B
B
và m 1 m 1
m 1
Chọn m 1 sao cho : m 1 m 1
1 3
1 3
khi đó
B
U
W
B m 1 m 1
m 1
1 3
1 3
Vậy (1) đúng cho m 1 .
và với mọi
Hơn nữa, ta có thể chọn m 1 đủ bé để (2) đúng với n m 1
k m
.
m 1
B
Đặt
B i
i
n N
m 1
B
V
thỏa
Gọi V là lân cận tuyệt đối lồi của 0 E sao cho
m 1U
m 1
U
I
. Thì từ
B
B
U
, (2) được thỏa
mãn (3) tức là
B W
n
n
n
m 1
m 1
mãn cho mọi n m 1
m 1
2B
W
.
m 1
I 2V B
E \ W
I
ta sẽ chứng minh với V được chọn đủ nhỏ ta có:
Đặt
M B
. Ta cần chứng minh:
m 1
m 1
2B
2V M 2B
I
m 1
hay
I 2V M
m 1
Vì
nên
B
W
m 1
W 2B
và k m 1
1 3
1 3
m 1
I
nên
I
.
Từ
I W M
M
W
W 2B
1 3
1 N W 3
Do tập 3N bị chặn nên có k ¥ sao cho
3N B .
k
Bởi giả thiết ta có
là lân cận của 0 trong
I
kW BI
kB . Từ 3N W
nên 0 không là điểm dính của 3N trong
kB . Vậy 0 không là điểm dính của N
2V N I
.
thỏa
U
và
Như vậy, ta đã xây dựng được dãy số dương
n n
N
n n
(cid:0)
(1), (2), (3).
Đặt
U
. Từ (2) ta có U hấp thụ mọi tập bị chặn và do đó U là lân
U
n
I
n ¥
I
cận của 0 E . Từ (3) ta có
n N do đó :
U B W n
. Suy ra W là lân cận của 0 E .
U U
B W
n
I U
¥ n
3.3.5. Định lý
Nếu S là ánh xạ tuyến tính từ một (DF)- không gian E vào không gian lồi
địa phương F thì S liên tục nếu và chỉ nếu S liên tục trên mọi tập bị chặn của
E.
Chứng minh
B
là hệ cơ sở các
Thật vậy, điều kiện cần là hiển nhiên. Ta sẽ chứng minh điều kiện đủ. Giả sử S liên tục trên mọi tập bị chặn của E, và
n n
N
là
tập bị chặn của E. Gọi V là lân cận tuyệt đối lồi của 0 F . Khi đó
1S V
B
tuyệt đối lồi và
1 S V
nB . Theo định lý
n
3.3.4,
là lân cận của 0 E .
1S V
Vậy S liên tục.
là lân cận của không trong
3.3.6. Mệnh đề
Giả sử E là không gian lồi địa phương có hệ cơ sở đếm được các tập bị
chặn. Khi đó, E là (DF)- không gian nếu mọi hợp đếm được các tập con đồng
- bị chặn.
liên tục của E là đồng liên tục khi hợp này là (E ,E)
Chứng minh
là dãy các lân cận tuyệt đối lồi, đóng của 0 E sao cho
Lấy
n n V (cid:0)
V
hấp thụ mọi tập bị chặn của E. Khi đó :
V n
n 1
0
' E ,E
0
V
I
V n
V n
I
U
n ¥
n ¥
0
'E ,E
'E ,E
Do đó
- bị chặn. Vì
0V là
V
nên M cũng là
-
V M
0 n
bị hấp thụ bởi pôla của các tập bị chặn của E.
n
(cid:0)
bị chặn.
Do M là đồng liên tục có nghĩa là tồn tại lân cận tuyệt đối lồi, đóng U
0
của E sao cho
. Nhưng
0U là tuyệt đối lồi và
- đóng nên
M U
'E ,E
0
0
00
00
V
, vậy
V
V
U
U U
Vậy E là (DF) - không gian.
nên V là lân cận của 0 E .
3.3.7. Mệnh đề
Một không gian lồi địa phương có một hệ cơ sở đếm được các tập bị
chặn là một (DF)- không gian nếu nó tựa thùng.
Chứng minh
là dãy các lân cận tuyệt đối lồi, đóng trong E sao cho
Giả sử
n n V
¥
V
hấp thụ mọi tập bị chặn của E. Khi đó, V là một thùng hấp thụ mọi
V n
I
n ¥
tập bị chặn của E nên V là lân cận của 0 E . Vậy E là một (DF)- không gian.
3.4. Đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet (F - không gian) và (DF)
- không gian
3.4.1. Định nghĩa
của không gian E gọi là một dãy cơ bản
U
Một dãy các tập bị chặn
n n
N
các tập bị chặn nếu mọi tập bị chặn B của E , tồn tại n ¥ và
0 sao cho
B
.
U
n
3.4.2. Bổ đề
U
là một dãy cơ
Cho E là không gian lồi địa phương khả mêtric và
n n
N
U
là một hệ cơ bản các tập bị
n
bản các lân cận của điểm 0 E . Thế thì,
0
¥ n
chặn trong E, gồm những đĩa Banach. Đặc biệt, E có một hệ cơ sở đếm
được những tập bị chặn.
Chứng minh
0
Theo định lí Alaoglu- Bourbaki 2.6.3,
nU là những tập tuyệt đối lồi, hơn
0
nữa, theo hệ quả 2.7.6
nU là một đĩa Banach. Theo định lí Banach- Mackey,
0
nU là bị chặn trong E.
Nếu B là một tập con bị chặn tùy ý của E, thế thì
0B là một lân cận của
điểm không trong không gian tựa thùng E. Do đó, tồn tại một số n (cid:0) và
.
B
U
0 sao cho
0 suy ra nU B
0 n
1 3
3.4.3. Bổ đề
là một
Cho E là một không gian lồi địa phương khả mêtric và
n n V
N
hút mọi tập bị chặn thì
dãy các lân cận tuyệt đối lồi của 0 E . Nếu
V n
I
n ¥
là lân cận của 0 E .
V n
I
n ¥
Chứng minh
là một hệ cơ sở những lân cận tuyệt đối lồi trong E. Nếu
U
Lấy
n n
N
thì
- compăc ( theo định lý Alaoglu- Bourbaki 2.6.3)
B U
E ,E
n
0 n
nB là
là một hệ cơ bản các tập bị chặn trong E.
B
và theo bổ đề 3.4.3,
n n
N
Với mỗi n ¥ , chọn tập bị chặn
W M V n
n
0 n
nM trong E với
- đóng và là lân cận của không trong
E ,E
nW là một lân cận tuyệt đối lồi,
E. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
W W , n
¥ .
n
n 1
0
Từ V là tập hấp thụ mọi tập bị chặn, nên với mỗi k 1 , tồn tại
, thế thì
B W , k
sao cho: k
kB
k
k
k
n
và V ¥ (1)
Bây giờ, lấy n ¥ bất kì cho trước, thì bao đóng theo tôpô
*
E ,E
của các tập
B
* -
nW . Vì các tập
kB là
k
k
k n
n
B
compăc nên tập
* -compăc (Định lý Banach -
k
k
U được chứa trong
k 1
Alaoglu).
Vì tổng của một tập đóng và một tập compăc là đóng nên ta có:
*
B
B
B
k
k
k
k
k
k
V W n
U
U k 1
U k n
k 1
*
W
B
, từ đó ta có:
Định nghĩa
k
k
1 U 2
k 1
U cũng là một tập
n
I
I
¥ n
¥ n
W V V W n V V n 1 2 1 2
* - đóng, theo định lí song pôla ta có
00
0
Vì W là tập tuyệt đối lồi và
0 k
k
k
k
00
W B ¥ . Vì W W W ¥ , suy ra U , k k B , k k 2 2 1 2
0W bị chặn trong
00
Do E W là lân cận của không trong E. Mà
W W V nên V là lân cận của không trong E.
3.4.4. Bổ đề
Nếu E là một không gian lồi địa phương khả mêtric thì E là không gian
đầy đủ.
Chứng minh
Giả sử ,
là một lưới Cauchy trong E. Với mỗi M (E)
D
y
B
là lưới Cauchy trong (không gian Banach các hàm bị chặn
B
M
K (M)
D
y
hội tụ trong . Ta có phiếm trên tập M với chuẩn sup) nên
B
M
K (M)
D
y
hàm tuyến tính y trên E sao cho y(x) bị chặn địa phương trên E. lim y (x)
Ta sẽ chứng minh y liên tục.
U
n 1
n
n n
N
là cơ sở lân cận trong E sao cho U ,với mọi n. Giả sử U
1y (V)
Nếu y không liên tục thì có lân cận V K sao cho không phải là lân
n
ny(x )
là cận trong E. Vậy tồn tại các nV x U với n , khi đó rõ ràng nx
ny(x ) lại không bị chặn,điều này mâu thuẫn. Do đó y là liên
tập bị chặn còn
y E
.Nên E là không gian đầy đủ.
tục. Vậy y
Từ 3 bổ đề trên ta có kết quả sau
3.4.5. Mệnh đề
Nếu E là không gian lồi địa phương khả mêtric thì E là (DF) - không
gian, đầy đủ.
Chứng minh:
Theo các bổ đề 3.4.2 và 3.4.3 ta có Elà một (DF)- không gian, hơn nữa,
theo hệ quả 3.4.4 E là đầy đủ, nên ta có điều phải chứng minh.
Chú ý
Ta thấy rằng mọi không gian lồi địa phương tựa thùng có một hệ cơ sở
đếm được những tập bị chặn là một (DF)- không gian nên mọi không gian
định chuẩn là một (DF)- không gian.
3.4.6. Hệ quả
Nếu E là một không gian Frechet hay F- không gian thì E là một (DF)-
không gian.
Chú ý
Theo 3.4.5 ta thấy, mọi không gian định chuẩn, không đầy đủ là một
(DF)- không gian nhưng nó là không phải là không gian đối ngẫu của một
không gian lồi địa phương khả mêtric.
3.4.7. Mệnh đề
Với mọi (DF)- không gian E, không gian E là một không gian Frechet.
Chứng minh
B
k k (cid:0)
gồm những tập bị Theo giả thiết, E có một hệ cơ sở đếm được
k
k
k
(cid:0)
với y sup y x : x B , y E là một hệ cơ bản chặn. Do đó,
E ,E
các nửa chuẩn với tôpô .
E ,E
ny (x) là một dãy Cauchy
là một - dãy Cauchy thì Nếu ny
y : x
trong k với mỗi x E , do đó, nó hội tụ.
n
lim y x , x E n
là một dạng tuyến tính. Để chứng minh Bởi vì
tính liên tục của y, ta đặt :
x E : y x
n
1 , n
I
¥ n
V V n V n (cid:0) và
n
k
k
c Vì mọi dãy Cauchy là bị chặn, chúng ta có , với mỗi sup y n N
k
k
B C V, k ¥ . k ¥ . Điều này suy ra
1, n
1, x V
¥ và x V
Do đó, V hút mọi tập bị chặn, nên V là lân cận của không trong E.
, tức là y E . Vì
y x
ny x
Từ suy ra
n
kB đến y với mỗi k ¥ nên ta có
n n y (cid:0)
hội tụ đều trên trong E. y lim y n
Vậy Eđầy đủ hơn nữa theo định lý 1.2.2 E khả mêtric nên E là một
không gian Frechet.
3.4.8. Hệ quả
Với mọi không gian Frechet E, không gian E cũng là một không gian
Frechet và E có thể coi như là một không gian con đóng của E .
Chứng minh
Theo hệ quả 3.4.6, E là một (DF)- không gian. Do đó, E là một không
gian Frechet, phép nhúng chính tắc: J : E E là một đẳng cấu giữa E và J(E).
Do E là một không gian tựa thùng, do đó, J(E) là đầy đủ và bởi vậy là
đóng trong E .
3.4.9. Mệnh đề
Giả sử E là một F- không gian còn F là (DF)- không gian. Khi đó:
a) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F là bị chặn trên một lân cận
của 0 E .
b) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E là bị chặn trên một lân cận
của 0 F .
Chứng minh
n n
¥
U là hệ cơ sở lân cận tuyệt đối lồi và giảm của 0 E còn Giả sử
B
n n (cid:0)
là hệ cơ sở các tập tuyệt đối lồi và bị chặn trong F.
a) Giả sử: là ánh xạ tuyến tính liên tục. Ta sẽ chứng minh có
n
U nB . : E F n n (cid:0) sao cho
n
x , với mọi n mà Giả sử ngược lại, tồn tại dãy n E, x U n
n
n ¥ . Như vậy nx
nx
x hội tụ đến 0 trong E nhưng dãy nB , n
không bị chặn trong F, mâu thuẫn với tính liên tục của .
b) Giả sử : F E là ánh xạ tuyến tính liên tục từ F vào E.
1 U
nV là lân cận của 0 F . Theo mệnh
n
thì Với mỗi n 1 , đặt V n
r U n
n
I
n 1
W 0 sao cho là lân cận của 0 E . Khi đó: đề 3.3.3 có nr
r U n
n
n
I
I
n 1
n 1
W . r U n
W
W
nU nên
bị hấp thụ bởi mọi tập là bị chặn trong E. Vậy
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày một cách tương đối đầy đủ lý thuyết đối ngẫu trên
các không gian lồi địa phương tổng quát, đồng thời luận văn cũng nêu ra
những kết quả quan trọng trong một số lớp không gian lồi địa phương như
không gian thùng, không gian phản xạ, (DF)- không gian và đặc biệt là những
tính chất đặc trưng đối ngẫu của không gian Frechet và (DF)- không gian.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những sai
sót. Mong rằng các quý thầy và các bạn có những góp ý để luận văn được
hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Đậu Thế Cấp (2009), Giải tích hàm, Nxb Giáo Dục.
2. Đậu Thế Cấp (2008), Không gian vectơ tôpô, (Tài liệu cho lớp cao học
giải tích K17 Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh).
3. Hoàng Tụy (2000), Hàm thực và Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia
Hà Nội.
hàm (Tập 2), Nxb Giáo Dục.
4. Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích
Tiếng Anh
5. A.P. Robertson and W.J. Robertson (1964), Topologiccal Vector Spaces,
Cambridge Press.
6. H. Schaefor (1971), Topological Vector Spaces, Spinger – Verlag.
7. R. Meise and D. Vogt (1997), Introduction to Functional Analysis,
Clarendon Press, Oxford.
