Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dưới vi phân suy rộng và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu

i

Mục lục

Lời cảm ơn 1

Mở đầu 2

1 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương 4

1.1 Dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy . 8

1.1.2 Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng . . . . . . . . . . 9

1.1.3 Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng . 13

1.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto . . . . . . 14 .

1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto . . 24 .

2 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương 27

2.1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu . . . . . . . . . . 27

2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu . . . . . . . . 32

2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu . . . . . 33

Kết luận 34

Tài liệu tham khảo 36

1

Lời cảm ơn

Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa

học - Đại học Thái Nguyên và dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Đỗ Văn Lưu,

Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả

xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn khoa học của mình, thầy

đã tận tâm và nhiệt tình chỉ bảo.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa

Toán, Phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên,

cùng toàn thể các cán bộ giảng dạy lớp cao học toán K7Y đã nhiệt tình

giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập.

Cuối cùng tác giả xin cảm ơn bố mẹ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp

luôn bên cạnh động viên và giúp đỡ trong quá trình học tập và hoàn thành

luận văn này.

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015

Tác giả

Lê Thị Mai

2

Mở đầu

Khái niệm dưới vi phân suy rộng không lồi của Jeyakumar – Luc ra đời

năm 1999. Đây là một tổng quát hóa các khái niệm dưới vi phân của Clarke,

Michel – Penot, Mordukhovich, Clarke-Rockafellar, . . . Các điều kiện tối ưu

dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng mạnh hơn các điều kiện tối ưu dưới

ngôn ngữ một số loại dưới vi phân trong một số trường hợp, chẳng hạn cho

bài toán với các hàm Lipschitz địa phương. Điều kiện cần Fritz John cho cực

tiểu yếu bài toán tối ưu đa mục tiêu trong không gian hữu hạn chiều với các

hàm liên tục được D. T. Luc ([6]) thiết lập. Dutta - Chandra ([2]) dẫn điều

kiện cần cho cực tiểu yếu dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng bán chính

quy trên cho bài toán có ràng buộc bất đẳng thức. D. V. Luu ([7,8]) dẫn các

điều kiện cần cho cựu tiểu yếu và cựu tiểu Pareto của bài toán tối ưu đa mục

tiêu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không

gian Banach qua dưới vi phân suy rộng. Đây là đề tài được nhiều tác giả

quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế tôi chọn đề tài: “Dưới vi phân suy rộng

và điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu”.

Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện cần cho cực tiểu

Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu

có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian

Banach dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng của Đỗ Văn Lưu đăng trên tạp

chí Optimizaton, vol 63 (2014), No3, 321-335.

Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục tài

3

liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng

bao gồm dưới vi phân suy rộng trên, dưới vi phân suy rộng dưới, dưới vi

phân suy rộng bán chính quy và dưới vi phân suy rộng chính quy, các quy

tắc tính và định lí giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng. Chương 1

cũng trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương

và điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto của bài

toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành

phần của hàm mục tiêu.

Chương 2 trình bày về điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương bao

gồm các điều kiện cần Fritz John và Kuhn-Tucker cho cực tiểu yếu địa

phương qua dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên và điều kiện cần Kuhn

- Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương với các nhân tử Lagrange dương

ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu.

Dù đã nghiêm túc nghiên cứu và rất cố gắng thực hiện luận văn, nhưng

với trình độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh

khỏi những thiếu sót. Kính mong sự góp ý của các Thầy Cô, các bạn và các

anh chị đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh và nhiều ý nghĩa hơn.

Thái Nguyên, ngày 27 tháng 12 năm 2015

Tác giả

Lê Thị Mai

4

Chương 1

Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu

Pareto địa phương

Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về dưới vi phân suy rộng

của V. Jeyakumar và D. T. Luc [5], J. Dutta và S. Chandra [2], và các điều

kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của D. V. Luu [7]

dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng.

1.1 Dưới vi phân suy rộng

Giả sử X là một không gian Banach và f : X → R là hàm giá trị thực mở rộng, trong đó R := R ∪ {∞}. Không gian đối ngẫu của X được kí hiệu bởi X ∗ và trang bị với tôpô yếu∗. Bao lồi và bao lồi đóng của tập A trong X ∗ được kí hiệu tương ứng bởi co(A) và co(A). Giả sử x ∈ X tại đó f là

hữu hạn. Đạo hàm theo phương Dini dưới và trên của f tại x theo phương v

được định nghĩa tương ứng bởi

t↓0

, f −(x, v) := lim inf f (x + tv) − f (x) t

t↓0

f +(x, v) := lim sup . f (x + tv) − f (xt) t

Định nghĩa 1.1.

5

Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗f (x) tại

x nếu ∂∗f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

f − (x, v) ≤ sup (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Định nghĩa 1.2.

Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng dưới ∂∗f (x) tại

x nếu ∂∗f (x) ⊂ X ∗ là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

(cid:104)x∗, v(cid:105) . f + (x, v) ≥ inf

Định nghĩa 1.3.

Hàm f : X −→ R được gọi là có dưới vi phân suy rộng ∂∗f (x) tại x

nếu nó đồng thời là dưới vi phân suy rộng dưới và trên của hàm f tại x

Điều này có nghĩa là với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

f − (x, v) ≤ sup (cid:104)x∗, v(cid:105) ,

x∗∈∂∗f (x)

f + (x, v) ≥ inf (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Điều đó tương ứng với điều kiện: với mỗi v ∈ X,

max (cid:8)f − (x, v) , −f + (x, −v)(cid:9) ≤ s(cid:0)v | ∂∗f (x)(cid:1),

trong đó

(cid:104)x∗, v(cid:105) s (v | C) := sup x∗∈C

là hàm tựa của tập đóng yếu∗ C ⊂ X ∗.

Chú ý rằng dưới vi phân suy rộng không nhất thiết phải là lồi hoặc com- pắc yếu∗. Sự mở rộng này cho phép ta áp dụng được cho một lớp rộng hàm

liên tục không trơn.

6

Ví dụ 1.1.

Hàm f : R → R xác định bởi  √  nếu x ≥ 0, f (x) = x, √ −  −x, nếu x < 0

có dưới vi phân suy rộng không compắc tại 0 có dạng [α, ∞) với α ∈ R.

Ví dụ 1.2.

Hàm f : R → R xác định bởi

f (x) = −|x|

có dưới vi phân suy rộng không lồi tại 0 là ∂∗f (0) = {1, −1}.

Giả sử f : X −→ R là hữu hạn tại điểm x ∈ X. Nếu f là nửa liên tục

dưới tại x thì dưới đạo hàm trên Clarke - Rockafellar của f tại x theo phương

v được định nghĩa bởi

, f (cid:0)x(cid:48) + tv(cid:48)(cid:1) − f (cid:0)x(cid:48)(cid:1) t inf v(cid:48)→v f ↑ (x, v) = lim sup x(cid:48)→f x t↓0

trong đó x(cid:48) →f x có nghĩa là x(cid:48) → x và f (x(cid:48)) → f (x).

Nếu f là nửa liên tục trên tại x thì dưới đạo hàm dưới Clarke - Rockafellar

của f tại x với phương v được định nghĩa bởi

. f (x(cid:48) + tv(cid:48)) − f (x(cid:48)) t sup v(cid:48)→v f ↓ (x, v) = lim inf x(cid:48)→f x t↓0

Nếu f liên tục tại x thì x(cid:48) →f x trong định nghĩa của các dưới đạo hàm dưới và trên có thể viết đơn giản là x(cid:48) → x. Các dưới vi phân suy rộng trên và

dưới của f tại x được cho bởi công thức:

∂↑f (x) = (cid:8)x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, v(cid:105) ≤ f ↑(x, v), ∀v ∈ X(cid:9),

7

∂↓f (x) = (cid:8)x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, v(cid:105) ≥ f ↓(x, v), ∀v ∈ X(cid:9).

Nếu f ↑ (x, 0) > −∞ thì ∂↑f (x) là tập con đóng yếu∗, lồi, khác rỗng của

X ∗ và với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂↑f (x)

f ↑ (x, v) = sup (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Tương tự, nếu f ↓ (x, 0) < ∞ thì ∂↓f (x) là tập con đóng yếu∗, lồi, khác rỗng của X ∗ và với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂↓f (x)

f ↓ (x, v) = inf (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Nếu f là Lipschitz địa phương tại x thì

f ↑ (x; v) = f ◦ (x, v) ,

f ↓ (x; v) = f◦ (x, v) ,

trong đó

x(cid:48)→x t↓0

, f ◦(x, v) = lim sup f (x(cid:48) + tv) − f (x(cid:48)) t

, f (x(cid:48) + tv) − f (x(cid:48)) t f◦(x, v) = lim inf x(cid:48)→x t↓0

là các đạo hàm theo phương suy rộng trên và dưới Clarke của f tại x theo v.

Dưới vi phân suy rộng Clarke được xác định bởi

∂◦f (x) = (cid:8)x∗ ∈ X ∗ : (cid:104)x∗, v(cid:105) ≤ f ◦(x, v), ∀v ∈ X(cid:9).

Hơn nữa,

x∗∈∂◦f (x)

f ◦(x, v) = max (cid:104)x∗, v(cid:105) ,

x∗∈∂◦f (x) Vì vậy, nếu f Lipschitz địa phương tại x thì ∂◦f (x) là dưới vi phân suy rộng

(cid:104)x∗, v(cid:105) . f◦(x, v) = min

của f tại x, bởi vì

f − (x, v) ≤ f ◦ (x, v) và f + (x, v) ≥ f◦ (x, v), với mỗi v ∈ X.

8

1.1.1 Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy

Định nghĩa 1.4.

Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên

∂∗f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂∗f (x) là đóng yếu∗, với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

f + (x, v) = sup (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Định nghĩa 1.5.

Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới ∂∗f (x) ⊂ X ∗

tại x nếu ∂∗f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

f − (x, v) = inf (cid:104)x∗, v(cid:105) .

Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) của f tại x là dưới

vi phân suy rộng của f tại x.

Định nghĩa 1.6.

Hàm f được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên

∂∗f (x) ⊂ X ∗ tại x nếu ∂∗f (x) là đóng yếu∗ và với mỗi v ∈ X,

ξ∈∂∗f (x)

f +(x, v) ≤ sup (cid:104)ξ, v(cid:105) (∀v ∈ X).

Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính quy.

Mệnh đề 1.1.

Hàm f : X → R khả vi Gâteaux tại x0 nếu và chỉ nếu f là khả vi theo

phương tại x0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới tại

x0

9

Chứng minh.

Nếu f là một khả vi Gâteaux tại x0, thì f khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux {f (cid:48)(x0)} là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới của

f tại x0.

Ngược lại, nếu f là khả vi theo phương tại x0 và nếu ∂∗f (x0) là một dưới

vi phân suy rộng chính quy trên và dưới, thì với mỗi v ∈ X,

x∗∈∂∗f (x)

(cid:104)x∗, v(cid:105) f (cid:48)(x0, v) = f −(x0, v) = inf

x∗∈∂∗f (x)

(cid:104)x∗, v(cid:105) . = f +(x0, v) = sup

Do đó, ∂∗f (x0) là một tập điểm và f khả vi Gâteaux tại x0.

1.1.2 Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng

Mệnh đề 1.2.

Giả sử hàm f : X → R có dưới vi phân suy rộng ∂∗f (x) tại x ∈ X. Nếu

f đạt cực trị tại x thì 0 ∈ co(∂∗f (x)).

Chứng minh.

Giả sử f đạt cực tiểu tại x. Khi đó, với mỗi v ∈ X,

f −(x, v) ≥ 0.

Như vậy,

(cid:104)x∗, v(cid:105) ≥ 0, sup x∗∈∂∗f (x)

bởi vì ∂∗f (x) là dưới vi phân suy rộng trên của f tại x. Ta định nghĩa hàm φ : X → R như sau

x∗∈∂∗f (x)

φ(v) = sup (cid:104)x∗, v(cid:105) ,

10

là hàm dưới tuyến tính, nửa liên tục dưới. Do đó từ giải tích lồi ta suy ra, với

mỗi v ∈ X,

φ(v) ≥ 0, nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0),

trong đó

∂φ(0) = co(∂∗f (x)).

Mặt khác, nếu f đạt cực đại tại x thì với mỗi v ∈ X,

(cid:104)x∗, v(cid:105) ≤ f +(x, v) ≤ 0. inf x∗∈∂∗f (x)

Như vậy, với mỗi v ∈ X,

(cid:104)x∗, v(cid:105) ≥ 0. sup x∗∈∂∗f (x)

Do đó ta có điều cần chứng minh.

Quy tắc 1.1.1.

Giả sử ∂∗f (x) và ∂∗f (x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f tại x. Nếu λ > 0 thì λ∂∗f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên

của λf tại x. Nếu λ < 0 thì λ∂∗f (x) là một dưới vi phân suy rộng trên của

λf tại x.

Chứng minh. Điều này suy ra từ định nghĩa

Quy tắc 1.1.2.

Giả thiết rằng các hàm f, g : X → R nhận ∂∗f (x) và ∂∗g(x) tương ứng

là các dưới vi phân suy rộng trên tại x và một trong các dưới vi phân suy

rộng là chính quy trên tại x. Khi đó ∂∗f (x) + ∂∗g(x) là dưới vi phân suy

rộng trên của f + g tại x.

Chứng minh.

11

Giả sử ∂∗g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x. Khi

đó, với mỗi v ∈ X,

(f + g)−(x, v) ≤ f −(x, v) + g+(x, v)

x∗∈∂∗f (x)

y∗∈∂∗g(x)

≤ sup (cid:104)x∗, v(cid:105) + sup (cid:104)y∗, v(cid:105) .

Do đó, với mỗi v ∈ X,

(f + g)−(x, v) ≤ (cid:104)z∗, v(cid:105) . sup z∗∈∂∗f (x)+∂∗g(x)

Vì vậy ta có kết luận cần chứng minh.

Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với

điều kiện khả vi.

Quy tắc 1.1.3.

Nếu f : X → R có dưới vi phân suy rộng chính quy trên ∂∗f (x) tại x và g : X → R khả vi Gâteaux tại x với đạo hàm g(cid:48)(x) thì ∂∗f (x) + {g(cid:48)(x)} là

dưới vi phân suy rộng chính quy trên của f + g tại x.

Chứng minh.

Điều đó suy ra từ các đẳng thức sau:

(f + g)+(x, v) = f +(x, v) + (cid:104)g(cid:48)(x), v(cid:105)

x∗∈∂∗f (x)

= sup (cid:104)x∗, v(cid:105) + (cid:104)g(cid:48)(x), v(cid:105) .

Do đó, với mỗi v ∈ X,

(f + g)+(x, v) = (cid:104)z∗, v(cid:105) . sup z∗∈∂∗f (x)+{g(cid:48)(x)}

12

Cho I = {1, 2}, x0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử fi : X → R là một

hàm liên tục. Hàm h : X → R xác định bởi

h(x) = max{f1(x), f2(x)}.

Đặt

I(x0) = {i ∈ I : h(x0) = fi(x0)}.

Quy tắc 1.1.4.

Với mỗi i ∈ I, nếu fi có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗fi(x0) tại x0 thì

i∈I(x0)

(cid:91) ∂∗h(x0) := ∂∗fi(x0)

là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0.

Chứng minh.

Nếu f1(x0) > f2(x0) thì I(x0) = {1} và h(x) = f1(x) với mỗi x trong

lân cận của x0. Do đó,

x∗∈∂∗f1(x)

(cid:104)x∗, v(cid:105) . h−(x0, v) = f −(x0, v) ≤ sup

Như vậy,

∂∗h(x0) = ∂∗f1(x0)

là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0.

Tương tự, nếu f1(x0) < f2(x0) thì

∂∗h(x0) = ∂∗f2(x0)

là một dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0. Bây giờ giả thiết rằng

f1(x0) = f2(x0). Khi đó,

h(x0) = f1(x0) = f2(x0),

13

và với mỗi v ∈ X,

h−(x0, v)

t↓0

t↓0

= lim inf max (cid:8)f1(x0 + tv), f2(x0 + tv)(cid:9) − h(x0) t (cid:27) , = lim inf max f2(x0 + tv) − f2(x0) t (cid:26) (cid:27) = max lim inf t↓0 , lim inf t↓0 (cid:26)f1(x0 + tv) − f1(x0) t f1(x0 + tv) − f1(x0) t f2(x0 + tv) − f2(x0) t

≤ (cid:104)x∗, v(cid:105) .

sup x∗∈(cid:0)∂∗f1(x0)∪∂∗f2(x0)(cid:1)

Do đó, ∂∗f1(x0) ∪ ∂∗f2(x0) là dưới vi phân suy rộng trên của h tại x0.

1.1.3 Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng

Định lí 1.1.

Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm sao cho thu hẹp f |[a,b] là hữu hạn và liên tục. Giả thiết rằng với mỗi x ∈ (a, b), ∂∗f (x) và ∂∗f (x)

tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f . Khi đó, tồn tại

k} ⊂ co(∂∗f (c)) ∪ co(∂∗f (c)) sao cho

c ∈ (a, b) và một dãy {x∗

k, b − a(cid:105) .

(cid:104)x∗ f (b) − f (a) = lim k→∞

Chứng minh.

Xét hàm g : [0, 1] → R bởi

g(t) := f (cid:0)a + t(b − a)(cid:1) − f (a) + t(cid:0)f (a) − f (b)(cid:1).

Khi đó, g liên tục trên [0, 1] và g(0) = g(1) = 0. Như vậy, tồn tại γ ∈ (0, 1)

sao cho g đạt cực trị tại γ. Đặt

c = γb + (1 − γ)a.

14

Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, điều kiện cần để γ là cực tiểu là: Với mỗi v ∈ R,

g−(γ, v) ≥ 0.

Bởi vì

g−(γ, v) = f −(cid:0)c, v(b − a)(cid:1) + v(cid:0)f (a) − f (b)(cid:1), với mọi v ∈ R,

ta có

f −(cid:0)c, v(b − a)(cid:1) ≥ v(cid:0)f (b) − f (a)(cid:1).

Khi đó, bằng cách đặt v = 1 và v = −1, ta có các bất đẳng thức sau:

−f −(c, a − b) ≤ f (b) − f (a) ≤ f −(c, b − a).

Bởi vì ∂∗f (c) là một dưới vi phân suy rộng trên của f tại c, ta nhận được

z∗∈∂∗f (c)

(cid:104)z∗, b − a(cid:105) ≤ f (b) − f (a) ≤ sup (cid:104)z∗, b − a(cid:105) . inf z∗∈∂∗f (c)

k} ⊂ co(∂∗f (c)) thỏa mãn

Khi đó, từ bất đẳng thức trên suy ra tồn tại dãy {x∗

k, b − a(cid:105) .

(cid:104)x∗ f (b) − f (a) = lim k→∞

Mặt khác, nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận

được kết luận của định lí.

1.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto

Giả sử f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ không gian Banach X vào Rm, Rn, Rl và C là một tập con của X. Khi đó f, g, h có dạng: f =

(f1, ..., fm), g = (g1, ..., gn), h = (h1, ..., hl), trong đó f1, ..., fm, g1, ..., gn,

h1, ..., hl là các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên X. Để đơn giản, ta

15

đặt: I = {1, ..., n}, J = {1, ..., m} và L = {1, ..., l}. Ta xét bài toán tối ưu

đa mục tiêu sau đây:

min f (x)

(M P ) i ∈ I, gi(x) ≤ 0,

j ∈ L, hj(x) = 0,

x ∈ C

Kí hiệu M là miền chấp nhận được của bài toán (MP)

M = {x ∈ C : gi(x) ≤ 0, i ∈ I, hj(x) = 0, j ∈ L},

và I(x) = {i ∈ I : gi (x) = 0} .

Định nghĩa 1.7.

Điểm x ∈ M được gọi là cực tiểu Pareto (cực tiểu yếu) địa phương của

bài toán (MP) nếu tồn tại số δ > 0 sao cho không tồn tại x ∈ M ∩ B (x; δ)

thỏa mãn

(∀k ∈ J), fk (x) ≤ fk (x)

với một s ∈ J, fs(x) < fs(x)

∀k ∈ J), (tương ứng fk(x) < fk(x)

trong đó B(x; δ) kí hiệu là hình cầu mở tâm x bán kính δ.

Nhắc lại: Nón tiếp liên của tập C ⊂ X tại x ∈ C được định nghĩa như sau:

K(C, x) = (cid:8)v ∈ X : ∃vn → v, ∃tn ↓ 0 sao cho

x + tnvn ∈ C, ∀n(cid:9).

Nón các phương tuyến tính dãy của C tại x ∈ C được định nghĩa bởi:

Z(C, x) = (cid:8)v ∈ X : ∃tn ↓ 0 sao cho x + tnv ∈ C, ∀n(cid:9).

16

Chú ý rằng cả hai nón này đều khác ∅ và

Z(C, x) ⊂ K(C, x).

Với tập A ⊂ X nón cực của A được xác định bởi

A0 = (cid:8)ξ ∈ X ∗ : (cid:104)ξ, v(cid:105) ≤ 0, ∀v ∈ A(cid:9).

Với x ∈ X và s ∈ J, ta đặt

Qs(x) = (cid:8)x ∈ C :fk(x) ≤ fk(x) (∀k ∈ J, k (cid:54)= s),

gi(x) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj(x) = 0 (∀j ∈ L)(cid:9).

k (x; v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= s),

(cid:48)

j(x; v) = 0 (∀j ∈ L)(cid:9).

Nếu hj là khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L, ta đặt

C(Qs(x); x) = (cid:8)v ∈ Z(C; x) : f − g− i (x; v) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), h

Trước hết chỉ ra mối quan hệ giữa Z (Qs (x) ; x) và C (Qs (x) ; x) .

Mệnh đề 1.3.

Giả sử x ∈ M và hj khả vi Dini tại x với mọi j ∈ L. Khi đó, với s ∈ J,

(1.1) Z (Qs (x) ; x) ⊂ C (Qs (x) ; x) .

Chứng minh.

Với v ∈ Z(Qs(x); x), tồn tại tn ↓ 0 sao cho x + tnv ∈ Qs(x). Do đó,

x + tnv ∈ C, và

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), fk (x + tnv) ≤ fk (x) ,

gi (x + tnv) ≤ 0 = gi (x) , (∀i ∈ I(x)),

(∀k ∈ J). hj (x + tnv) = 0,

17

Vì vậy, v ∈ Z(C; x) và

≤ 0, (∀k ∈ J, k (cid:54)= s) , f − k (x; v) ≤ lim inf n→+∞

(cid:48)

≤ 0, (∀i ∈ I(x)), g− i (x; v) ≤ lim inf n→+∞

j (x; v) = lim h n→+∞

= 0, (∀k ∈ J). fk (x + tnv) − fk (x) tn gi (x + tnv) − gi (x) tn hj (x + tnv) − hj (x) tn

Do đó, v ∈ C (Qs (x) ; x) và ta suy ra điều phải chứng minh.

Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương

của bài toán (MP), ta đưa vào điều kiện chính quy Abadie (CQ1) sau đây:

(1.2) C(Qs(x); x) ⊂ Z(Qs(x); x).

Một điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương của (MP) có thể được

phát biểu như sau:

Định lí 1.2.

Giả sử x là một tiểu Pareto địa phương của (MP) và T là nón con lồi

đóng khác rỗng tùy ý của Z(C; x) với đỉnh tại gốc. Giả thiết rằng điều kiện

chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào đó và hàm hj là khả vi Dini tại x với

mọi j ∈ L, hàm gi là liên tục tại x với mọi i /∈ I(x). Khi đó, hệ sau đây

không có nghiệm v ∈ T :

(1.3) f + s (x; v) < 0,

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), (1.4)

(cid:48)

(∀i ∈ I (x)) , (1.5) f − k (x; v) ≤ 0 g− i (x; v) ≤ 0

j(x; v) = 0 h

(∀j ∈ L). (1.6)

18

Chứng minh.

Giả sử ngược lại, giả sử tồn tại v0 ∈ T thỏa mãn (1.3)-(1.6). Khi đó,

v0 ∈ C(Qs(x); x) và vì vậy v0 ∈ Z(Qs(x); x) bởi vì (CQ1) đúng. Do đó, tồn

tại một dãy tn ↓ 0 sao cho x + tnv0 ∈ Qs (x). Vì vậy, x + tnv0 ∈ C và

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), fk(x + tnv0) ≤ fk(x)

(∀i ∈ I(x)), gi(x + tnv0) ≤ 0

(∀i ∈ L). hj(x + tnv0) = 0

Với i /∈ I(x) có gi(x) < 0. Do tính liên tục của gi(i /∈ I(x)), tồn tại một số

tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, gi(x + tnv0) ≤ 0, (∀i /∈ I(x)). Vì vậy

với mọi n ≥ N ,

(∀i ∈ I). gi(x + tnv0) ≤ 0

Bởi vì x là một cực tiểu Pareto địa phương của (MP), suy ra với mọi n ≥ N ,

fs(x + tnv0) ≥ fs(x),

Điều này dẫn đến

≥ 0. f + s (x; v0) ≥ lim sup n→+∞ fs (x + tnv0) − fs (x) tn

Nhưng điều đó lại mâu thuẫn với (1.3). Ta có điều phải chứng minh.

Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP), ta đưa vào

giả thiết sau.

Giả thiết 1.1.

Tồn tại chỉ số s ∈ J sao cho hàm fs có một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên bị chặn khác rỗng ∂∗fs(x) tại x, với mọi k ∈ J, k (cid:54)= s,

và i ∈ I(x), các hàm fk và gi có dưới vi phân suy rộng trên tương ứng là ∂∗fk(x) và ∂∗gi(x) tại x, các hàm gi(i /∈ I(x)) liên tục tại x, các hàm hj(j ∈ L) khả vi Gâteaux tại x là (cid:79)Ghj(x).

19

Với s ∈ J và một nón con lồi đóng khác rỗng T của Z (C; x), ta đặt

T (x) =

i∈I(x)

k∈J, k(cid:54)=s (cid:88)

(cid:88) (cid:91) (cid:26) (cid:88) H s co∂∗fs(x) + λkco∂∗fk(x) + µico∂∗gi(x)

j∈L

+ γj(cid:79)Ghj(x) + T 0 : λk ≥ 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= s),

(cid:27) . µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L)

Bây giờ ta có thể phát biểu được điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực

tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP).

Định lí 1.3.

Giả sử x là một cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP). Giả sử

đó. Hơn nữa, giả sử rằng tập H s

rằng giả thiết 1.1 thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào T (x) là đóng yếu∗ với nón con lồi đóng khác rỗng có đỉnh tại gốc T ⊂ Z(C; x). Khi đó, tồn tại λk ≥ 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi ≥ 0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) sao cho

i∈I(x)

(cid:88) (cid:88) 0 ∈ co∂∗fs(x) + λkco∂∗fk(x) + µico∂∗gi(x)

k∈J,k(cid:54)=s (cid:88)

(1.7)

j∈L

+ γj(cid:79)Ghj (x) + T 0.

Chứng minh.

Áp dụng định lí 1.2 ta suy ra hệ sau đây không có nghiệm v ∈ T :

f + s (x; v) < 0,

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s),

(∀i ∈ I(x)),

(∀j ∈ L). f − k (x; v) ≤ 0 g− i (x; v) ≤ 0 (cid:104)(cid:79)Ghj(x); v(cid:105) = 0

Vì vậy, theo giả thiết 1.1, hệ sau đây cũng không có nghiệm v ∈ T :

(1.8) (cid:104)ξs, v(cid:105) < 0, sup ξs∈co∂∗fs(x)

20

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), (1.9) (cid:104)ξk, v(cid:105) ≤ 0 sup ξk∈co∂∗fk(x)

(∀i ∈ I(x)), (1.10) (cid:104)ζi, v(cid:105) ≤ 0 sup ζi∈co∂∗gi(x)

(∀j ∈ L). (1.11) (cid:104)(cid:79)Ghj(x); v(cid:105) = 0

Ta chỉ ra rằng

T (x) .

0 ∈ H s (1.12)

Giả thiết ngược lại 0 /∈ H s T (x) là tập lồi và đóng yếu∗, T (x). Chú ý rằng H s áp dụng định lí tách cho một tập lồi đóng yếu∗ và một điểm ở ngoài nó ([3],

định lí 3.4) ta suy ra tồn tại 0 (cid:54)= v0 ∈ X sao cho

T (x)).

(∀ζ ∈ H s (1.13) (cid:104)ζ, v0(cid:105) < 0

Điều đó kéo theo

i∈I(x)

(cid:88) (cid:88) (cid:104)ξs, v0(cid:105) + λk (cid:104)ξs, v0(cid:105) + µi (cid:104)ζi, v0(cid:105)

k∈J,k(cid:54)=s (cid:88)

(1.14)

j∈L

+ γj(cid:104)(cid:79)Ghj(x); v(cid:105) + (cid:104)η, v0(cid:105) < 0,

với mọi ξs ∈ co∂∗fs(x), λk ≥ 0, ξk ∈ co∂∗fk(x)(k ∈ J, k (cid:54)= s), µi ≥ 0, ζi ∈ co∂∗gi (x) (i ∈ I (x)) , γj ∈ R (j ∈ L) , η ∈ T 0.

Với λk = 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi = 0(i ∈ I(x)), γj = 0, (∀j ∈ L), η = 0,

do tính bị chặn của ∂∗fs(x), từ (1.14) suy ra

(1.15) (cid:104)ξs, v0(cid:105) < 0. sup ξs∈co∂∗fs(x)

Ta chỉ ra rằng

(∀k ∈ J, k (cid:54)= s). (1.16) (cid:104)ξk, v0(cid:105) ≤ 0 sup ξk∈co∂∗fk(x)

21

Nếu điều đó không đúng thì phải tồn tại k0 ∈ J, k0 (cid:54)= s sao cho

(cid:104)ξk0, v0(cid:105) > 0. sup ξk0 ∈co∂∗fk0(x)

Khi đó, với λk = 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= k0, s), µi = 0 (i ∈ I(x)), γj = 0 (∀j ∈ L), η = 0, ξs ∈ ∂∗fs(x), và lấy λk0 đủ lớn, ta được

(cid:104)ξk0, v0(cid:105) > 0, (cid:104)ξs, v0(cid:105) + λk0 sup ξk0 ∈co∂∗fk0(x)

do |(cid:104)ξs, v0(cid:105)| < +∞. Nhưng từ (1.14) suy ra

(cid:10)ξs, v0 (cid:11) + λk0 (cid:104)ξk0, v0(cid:105) ≤ 0. sup ξk0 ∈co∂∗fk0(x)

Như vậy, ta đi đến một mâu thuẫn. Vì thế ta suy ra (1.16). Tương tự, ta có

(1.17) (cid:104)ζi, v0(cid:105) ≤ 0 (∀i ∈ I (x)) . sup ζi∈co∂∗gi(x)

Hơn nữa, ta có

(∀j ∈ L). (1.18) (cid:104)(cid:79)Ghj (x) ; v0(cid:105) = 0

Thật vậy, giả sử điều này không đúng, có nghĩa là (cid:104)(cid:79)Ghj(x); v0(cid:105) (cid:54)= 0 với

j0 ∈ L nào đó. Khi đó, với λk = 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi = 0(i ∈ I(x)), η = 0 và ξs ∈ ∂∗fs(x), do tính bị chặn của ξs, bằng cách cho γj0 đủ lớn nếu (cid:104)(cid:79)Ghj(x); v0(cid:105) > 0, còn γj0 < 0 với trị tuyệt đối đủ lớn nếu (cid:104)(cid:79)Ghj(x); v0(cid:105) < 0, chúng ta đi đến mâu thuẫn với (1.14) và do đó (1.18) đúng.

Có thể thấy rằng v0 ∈ T . Thật vậy, nếu không như thế phải tồn tại η0 ∈ T 0 sao cho (cid:104)η0, v0(cid:105) > 0. Bằng cách lấy λk = 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= s) , µi = 0 (i ∈ I (x)) , γj = 0(∀j ∈ L), với α đủ lớn, αη0 ∈ T 0, và vì vậy ta đi đến mâu thuẫn với (1.14). Do đó, (cid:104)η, v0(cid:105) ≤ 0 (cid:0)∀η ∈ T 0(cid:1). Bởi vì T là lồi

đóng, nên nó cũng là đóng yếu, và vì thế

(1.19) v0 ∈ T 00 = T.

22

Từ (1.15) - (1.18) ta suy ra hệ (1.8) - (1.11) có một nghiệm v0 ∈ T :

Đây là một mâu thuẫn. Vì vậy (1.12) đúng và cho nên tồn tại λk ≥ 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi ≥ 0 (i ∈ I (x)) , γj ∈ R(∀j ∈ L) sao cho bao hàm thức (1.7)

đúng. Định lí được chứng minh.

Nhận xét 1.1.

(i) Trong định lí 1.3, ∂∗fk(x) và ∂∗gi(x) có thể không bị chặn với mọi

k ∈ J, k (cid:54)= s và i ∈ I(x). Các thành phần của hàm mục tiêu, các ràng buộc

đẳng thức, ràng buộc bất đẳng thức tích cực không nhất thiết liên tục.

(ii) Trong trường hợp dim X < +∞, C = X, như trong nhận xét 3.1 trong [8], nếu ∂∗fk(x) (k ∈ J) và ∂∗gi (x) (i ∈ I (x)) bị chặn và điều kiện

k∈J,k(cid:54)=s

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:91) (cid:91) sau đây là đúng: (cid:18) (cid:91) 0 /∈ co co∂∗gi (x ) + lin {∇Ghj (x ) : j ∈ L} , co∂∗fk (x )

T (x) là đóng, trong đó lin kí hiệu bao tuyến tính.

thì H s

Thật vậy, bởi vì ∂∗fk(x)(k ∈ J, k (cid:54)= s) và ∂∗gi(x)(i ∈ I(x)) là đóng và bị chặn, cho nên co∂∗fk (x )(k ∈ J , k (cid:54)= s) và co∂∗gi (x )(i ∈ I (x )) là

compăc, và như vậy,

k∈J,k(cid:54)=s

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:18) (cid:91) (cid:91) (cid:91) co co∂∗fk (x ) co∂∗gi (x )

là compăc.

Do đó tập sau đây là tập đóng:

T (x) := co

k∈J,k(cid:54)=s

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:18) (cid:91) (cid:91) (cid:91) Ds co∂∗gi (x ) co∂∗fk (x )

+lin {∇Ghj (x ) : j ∈ L} .

Mặt khác,

T (x) = co∂∗fs(x ) + coneD s

T (x ),

H s

T (x ) là nón lồi sinh bởi Ds

T (x). Do tính compăc của co∂∗fk (x )

23

T (x) đóng.

trong đó coneD s ta suy ra H s

T (x) là đóng yếu∗ và 0 /∈ Ds

T (x) thì H s

(iii) Trong trường hợp X vô hạn chiều và X = C, nếu co∂∗fs(x ) là T (x) là đóng yếu∗.

T (x ) là đóng yếu∗, cho nên H s

T (x) là đóng yếu∗.

compăc yếu∗, Ds Thật vậy, bởi vì coneD s

Định lí 1.3 được minh họa bằng ví dụ sau đây. Trong ví dụ này, các thành

phần của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc bất đẳng thức tích cực không liên

tục.

Ví dụ 1.3.

Cho X = R, Y = R2 và C = [0, 1]. Kí hiệu Q là tập các số hữu tỷ. f và

g được xác định bởi

f (x) = (f1(x), f2(x)),

f1 (x) = (x + 1)3, (x − 1)2, nếu x ∈ Q ∩ [0, +∞), nếu x ∈ Q ∩ (−∞, 0],

   1, trong các trường hợp khác.

f2(x) = −x,

nếu x ∈ Q ∩ (−∞, 0],

g (x) = nếu x ∈ Q ∩ [0, +∞),

   trong các trường hợp khác. 2x, −x3 − 3x, 1 2x,

Khi đó, tập chấp nhận được M = [0, 1] ∩ Q và x = 0 là cực tiểu Pareto của

bài toán tối ưu đa mục tiêu sau đây:

minf (x ), với điều kiện g(x ) (cid:54) 0 và x ∈ C .

24

Lưu ý rằng g là ràng buộc tích cực của bài toán đó. Ta có thể thấy rằng

  3v, nếu v (cid:62) 0, f + 1 (0; v) =  −2v, nếu v < 0,

(∀v ∈ R),

(∀v ∈ R),

(∀v ∈ R). g+(0, v) =

f − 1 (0, v) = 0 f + 2 (0, v) = f − 2 (0, v) = −v 1 v 2   2v, nếu v (cid:54) 0, g− (0; v) =

2

 −3v, nếu v > 0.

Các tập ∂∗f1(0) = {−2, 3} , ∂∗f2(0) = {−1} , ∂∗g(0) = (cid:8) 1 (cid:9) , tương ứng là các dưới vi phân suy rộng chính quy trên bị chặn của f1, f2, g tại x = 0. Có

thể thấy rằng

Q1(0) = [0, 1] ∩ Q, Z(C; 0) = R+, C(Q1(0); 0) = Z(Q1(0); 0) = R+.

T (0) = R đóng. Vì vậy tất cả giả thiết của định lí 1.3 thỏa mãn, và điều kiện cần (1.7)

Như vậy (CQ1) đúng với s = 1. Với T = R+, T 0 = −R+ và H 1

đúng với λ2 = 0, µ = 1.

1.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu

Pareto

Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP) với các

nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục

tiêu, ta đưa vào giả thiết sau đây.

Giả thiết 1.2.

25

Với mọi k ∈ J, hàm fk có một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên bị chặn khác rỗng ∂∗fk(x) tại x; với mọi i ∈ I(x), hàm gi có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗gi(x) tại x, các hàm gi(i /∈ I(x)) liên tục tại x, các hàm

hj(j ∈ L) khả vi Gâteaux tại x.

Sau đây ta sẽ phát biểu điều kiện cần Kunh - Tucker mạnh cho cực tiểu

địa phương Pareto với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các

thành phần của hàm mục tiêu.

Định lí 1.4.

Giả sử x là cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP). Giả sử có giả

thiết 1.2 thỏa mãn, điều kiện chính quy (CQ1) đúng với mọi s ∈ J, và tập T (x) là đóng yếu∗ với nón con lồi đóng khác rỗng T nào đó của Z(C, x) H s với đỉnh tại gốc và với mọi s ∈ J. Khi đó, tồn tại λk > 0(∀k ∈ J), µi (cid:62) 0(∀i ∈ I(x)), γj ∈ R(∀ ∈ J) sao cho

j∈L

k∈J,k(cid:54)=s

i∈I(x)

(cid:88) (cid:88) (cid:88) 0 ∈ λkco∂∗fk (x) + µico∂∗gi (x) + γj(cid:79)Ghj (x) + T 0

Chứng minh.

Dễ thấy rằng các giả thiết 1.2 kéo theo giả thiết 1.1 với mọi s ∈ J. Ta (cid:62) 0(∀k ∈ J, k (cid:54)=

j ∈ R(∀j ∈ L) sao cho (cid:88)

(cid:62) 0(∀i ∈ I(x)) và γ(s) áp dụng định lí 1.3 suy ra với mọi s ∈ J, tồn tại λ(s) k s), µ(s) i

i∈I(x)

(cid:88) 0 ∈ co∂∗fs (x) + µ(s) i co∂∗gi (x) λ(s) k co∂∗fk (x) +

(1.20)

k∈J,k(cid:54)=s (cid:88) γ(s) j

j∈L

+ (cid:79)Ghj (x) + T 0.

Lấy s = 1, ..., m trong (1.20) và cộng hai vế của các bao hàm thức nhận

được, ta suy ra

j∈L

k∈J,k(cid:54)=s

i∈I(x)

(cid:88) (cid:88) (cid:88) 0 ∈ λkco∂∗fk (x) + µico∂∗gi (x) + γj∇Ghj (x) + T 0,

i

s∈J, s(cid:54)=k λ(s)

s∈J µ(s)

k > 0(∀k ∈ J), µi = (cid:80)

26

s∈J γ(s)

trong đó λk = 1 + (cid:80) (∀i ∈ I(x)), γj = (cid:80) (cid:62) 0 j ∈ R (∀j ∈ L). Định lí được chứng minh.

Nhận xét 1.2.

Trong định lí 1.4, ∂∗gi (x) (i ∈ I (x)) có thể không bị chặn.

27

Chương 2

Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương

Chương 2 trình bày các kết quả của D. V. Luu [7] về điều kiện cần của

Fritz John và Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương qua dưới vi phân

suy rộng bán chính quy trên.

2.1 Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu

Để dẫn điều kiện cần mô tả bởi một hệ bất đẳng thức không tương thích,

ta đưa vào giả thiết sau.

Giả thiết 2.1.

Với mọi k ∈ J và i ∈ I(x), các hàm fk và gi có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên ∂∗fk (x) và ∂∗gi (x) tại x, tương ứng; ∂∗fs (x) (cid:54)= ∅ với

nào đó s ∈ J; các hàm gi(i /∈ I(x)) liên tục tại x; các hàm hj(j ∈ L) khả

vi Fréchet tại x với đạo hàm Fréchet ∇hj(x).

Chúng ta bắt đầu mục này với một điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa

phương.

Định lí 2.1.

Giả sử x là một cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MP) với C = X.

Giả sử giả thiết 2.1 đúng và các đạo hàm Fréchet ∇h1(x), ..., ∇h(cid:96)(x) là độc

28

lập tuyến tính. Hơn nữa, ta giả sử tất cả các hàm fk(k ∈ J) và gi(i ∈ I(x))

là Lipschitz địa phương tại x. Khi đó, hệ sau đây không có nghiệm v ∈ X:

(∀k ∈ J) , (2.1) (cid:104)ξk, v(cid:105) < 0 sup ξk∈co∂∗fk(x)

(∀i ∈ I (x)) , (2.2) (cid:104)ζi, v(cid:105) ≤ 0 sup ζi∈co∂∗gi(x)

(∀j ∈ L) . (2.3) (cid:104)∇hj (x) , v(cid:105) = 0

Chứng minh.

Trước hết ta chỉ ra hệ sau đây không có nghiệm v ∈ X:

(∀k ∈ J) , (2.4)

(∀i ∈ I (x)) , (2.5) f + k (x; v) < 0 g+ i (x; v) < 0

(∀j ∈ L) . (2.6) (cid:104)∇Ghj (x) ; v(cid:105) = 0

Giả sử ngược lại hệ (2.4) - (2.6) có một nghiệm v0 ∈ X. Bởi vì ∇h1(x), ...,

∇hl(x) là độc lập tuyến tính, cho nên theo một kết quả của Halkin [4, định

lí F], tồn tại một lân cận U của x và một ánh xạ ξ : U → X liên tục trong U

và khả vi Fréchet tại x sao cho ξ(x) = 0, ∇ξ(x) = 0 và

(∀x ∈ U, ∀j ∈ L). (2.7) hj(x + ξ(x)) = (cid:104)∇hj (x) , x − x(cid:105)

Đặt

(t ∈ [0, 1]). η(t) = x + tv0 + ξ(x + tv0)

p),

Từ (2.6), ta suy ra tồn tại số tự nhiên N1 sao cho với mọi p (cid:62) N1, t ∈ (0, 1

(∀j ∈ L). (2.8) hj(η(t)) = t(cid:104)∇hj (x) , v0(cid:105) = 0

Ta thấy rằng

= = , ξ(x + tv0) t ξ(x) + t∇ξ(x)v0 + o(t) t o(t) t

29

t → 0 khi t → 0. Vì vậy, v0 + 1

t ξ(x + tv0) → v0 khi t → 0. Bởi

trong đó o(t)

vì fs là Lipschitz địa phương tại x, từ (2.4) suy ra

t ξ(x + tv0)]) − fs(x)

s (x; v0) < 0.

fs(x + t[v0 + 1 = f + t lim sup t↓0

p) sao cho

Do đó, với mọi số tự nhiên p, tồn tại tp ∈ (0; 1

fs(x + tv0 + ξ(x + tv0)) − fs(x) t lim sup t↓0

< 0. = lim p→+∞ fs(η(tp)) − fs(x) tp

Do đó, tồn tại một số tự nhiên N2((cid:62) N1) sao cho với mọi p (cid:62) N2,

(2.9) fs(η(tp)) < fs(x).

t ξ(x + tv0)]) − fk(x)

t↓0

Bởi vì với k ∈ J, k (cid:54)= s, fk Lipschitz địa phương tại x, cho nên ta có fk(x + t[v0 + 1 f + k (x; v0) = lim sup

t ξ(x + tv0)]) − fk(x)

t fk(x + t[v0 + 1 < 0. = lim p→+∞ t sup t∈(0, 1 p )

p), fk(η(t)) < fk(x), và như vậy,

Vì vậy, tồn tại một số tự nhiên N3((cid:62) N2) sao cho với mọi p (cid:62) N3, t ∈ (0, 1

(2.10) fk(η(tp)) < fk(x).

Tương tự, tồn tại một số tự nhiên N4((cid:62) N3) sao cho với mọi i ∈ I (x) , p (cid:62) N4, gi(η(tp)) < 0. Do tính liên tục của gi(i /∈ I (x)), tồn tại một số tự nhiên N5((cid:62) N4) sao cho với mọi i ∈ I, p (cid:62) N5,

(2.11) gi(η(tp)) < 0

Từ (2.8) - (2.11), ta suy ra với mọi p (cid:62) N5,

(∀k ∈ J), fk(η(tp)) < fk(x)

30

(∀i ∈ I), gi(η(tp)) < 0

(∀j ∈ L). hj(η(tp)) = 0

Điều đó mâu thuẫn với x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP). Vì vậy,

hệ (2.4) - (2.6) là không có nghiệm. Điều đó kéo theo hệ (2.1) - (2.3) cũng

không có nghiệm, định lí được chứng minh.

Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán

(MP) có thể phát biểu như sau.

Định lí 2.2.

Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP). Giả sử tất cả các giả thiết của định lí 2.1 đúng. Khi đó, tồn tại λk (cid:62) 0 (∀k ∈ J), µi (cid:62) 0(∀i ∈ I(x)) không đồng thời bằng 0, và γj ∈ R(∀j ∈ L) sao cho

k ∈J

(cid:19) (cid:18) (cid:88) (cid:88) 0 ∈ cl λk co∂∗fk (x ) + µico∂∗gi(x)

i∈I(x) (cid:88)

(2.12)

j∈L

+ γj∇hj(x),

trong đó cl kí hiệu bao đóng yếu∗

Chứng minh.

Ta áp dụng định lí 2.1 suy ra hệ (2.1) - (2.3) không có nghiệm.

Đặt

k∈J

i∈I(x)

(cid:88) (cid:91) (cid:26) (cid:88) B(x) = µico∂∗gi (x) λkco∂∗fk (x) +

j∈L

(cid:88) + γj(cid:79)Ghj (x) : λk ≥ 0 (∀k ∈ J) , µi ≥ 0 (∀i ∈ I (x)) ,

(cid:27) , (λ, µ) (cid:54)= (0, 0), γj ∈ R (∀j ∈ L)

31

trong đó λ = (λk)k∈J , µ = (µi)i∈I(x), γ = (γj)j∈L. Khi đó B(x) lồi. Ta chỉ

ra rằng

0 ∈ clB (x ), (2.13)

Giả sử ngược lại

0 /∈ clB (x ).

Định lí tách cho một tập lồi đóng yếu∗ và một điểm nằm ngoài tập đó [3,

định lí 3.4] có thể áp dụng được và suy ra tồn tại 0 (cid:54)= v0 ∈ X sao cho

(2.14) (cid:104)ξ, v0(cid:105) < 0. sup ξ∈B(x)

Khi đó, bằng cách lấy λk = 1, λk(cid:48) = 0 (∀k(cid:48) ∈ J, k(cid:48) (cid:54)= k), µi = 0 (∀i ∈

I (x)) và γj = 0(∀j ∈ L), ta có

(∀k ∈ J). (2.15) (cid:104)ξk, v0(cid:105) < 0 sup ξk∈co∂∗fk(x)

Tương tự, ta nhận được

(∀i ∈ I (x)). (2.16) (cid:104)ζi, v0(cid:105) < 0 sup ζi∈co∂∗gi(x)

Lấy ξs ∈ ∂∗fs (x) , λs = 1, λk = 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi = 0(∀i ∈ I (x) , γj = 0(∀j ∈ L, j (cid:54)= (cid:96)(cid:48), (cid:96)(cid:48) ∈ L), từ (2.14) ta suy ra

(cid:104)ξs, v0(cid:105) + γ(cid:96)(cid:48)(cid:104)∇h(cid:96)(cid:48) (x) , v0(cid:105) < 0.

Bởi vì |(cid:104)ξs, v0(cid:105)| < +∞ và |(cid:104)∇h(cid:96)(cid:48) (x) , v0(cid:105)| < +∞, bằng lí luận tương tự

trong chứng minh của định lí 1.3, ta nhận được

(∀j ∈ L). (2.17) (cid:104)∇hj (x) , v0(cid:105) = 0

32

Từ (2.15) - (2.17) ta suy ra v0 là một nghiệm của hệ (2.1) - (2.3). Điều này cho ta một mâu thuẫn. Vì vậy (2.13) đúng. Điều đó kéo theo tồn tại λk (cid:62) 0 (∀k ∈ J), µi (cid:62) 0 (∀i ∈ I (x)), không đồng thời bằng 0 và γj ∈ R (∀j ∈ L) sao

cho

j ∈L

k ∈J

i ∈I (x )

(cid:18) (cid:88) (cid:88) (cid:88) 0 ∈ cl (cid:19) . λk co∂∗fk (x ) + µi co∂∗gi (x ) + γj ∇hj (x )

Vì vậy (2.12) đúng. Định lí được chứng minh.

Nhận xét 2.1.

Định lí 2.2 là một tổng quát hóa của định lí 4.3 trong [2].

2.2 Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu

Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương

của bài toán (MP), ta đưa vào điều kiện chính quy (CQ2) sau:

Với mọi λk (cid:62) 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s, s ∈ J), µi (cid:62) 0(∀i ∈ I (x)) không đồng

thời bằng 0, và γj ∈ R(∀j ∈ L),

j ∈L

k ∈J ,k (cid:54)=s

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:18) (cid:88) (cid:88) (cid:88) 0 /∈ cl + λk co∂∗fk (x ) + µi co∂∗gi (x ) γj ∇hj (x ),

Với điều kiện chính quy (CQ2), ta có thể phát biểu điều kiện cần Kuhn -

Tucker cho cực tiểu yếu địa phương của (MP) như sau.

Định lí 2.3.

Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP). Giả sử tất cả các giả

thiết của định lí 2.2 thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ2) đúng với s ∈ J nào đó. Khi đó, tồn tại λs > 0, λk (cid:62) 0 (∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi (cid:62) 0 (∀i ∈

33

I (x)), và γj ∈ R (∀j ∈ L) sao cho

k ∈J

(cid:19) (cid:88) (cid:18) (cid:88) 0 ∈ cl λk co∂∗fk (x ) + µico∂∗gi (x)

i∈I(x) (cid:88)

(2.18)

j∈L

+ γj∇hj (x).

Chứng minh.

Sử dụng định lí 2.2 ta suy ra tồn tại λk (cid:62) 0(∀k ∈ J), µi (cid:62) 0(∀i ∈ I(x)) phải không đồng thời bằng 0 và γj ∈ R(∀j ∈ L) sao cho (2.12) đúng. Nếu λs = 0 thì λk (cid:62) 0(∀k ∈ J, k (cid:54)= s), µi (cid:62) 0(∀i ∈ I (x)) phải không đồng

thời bằng 0. Do đó, từ (CQ2) ta đi đến một mâu thuẫn với (2.12). Vì vậy

λs > 0.

2.3 Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu

Để dẫn điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương

của bài toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương ứng với tất cả các thành

phần của hàm mục tiêu, ta đưa vào giả thiết 2.2 dưới đây. Chú ý rằng các

điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cũng được nghiên cứu trong [10, 11].

Giả thiết 2.2.

Với mọi k ∈ J và i ∈ I(x), các hàm fk và gi tương ứng có các dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên ∂∗fk(x) và ∂∗gi(x) tại x; ∂∗fk(x) (cid:54)= ∅ với

mọi k ∈ J; các hàm gi(i /∈ I(x)) liên tục tại x; các hàm hj(j ∈ L) khả vi

Fréchet tại x.

Một điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương với các

nhân tử Lagrange dương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu với

giả thiết 2.2 có thể phát biểu như sau:

34

Định lí 2.4.

Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP). Giả sử các đạo hàm

Fréchet ∇h1(x), ..., ∇h(cid:96)(x) độc lập tuyến tính; các hàm fk(k ∈ J) và

gi(i ∈ I(x)) là Lipschitz địa phương tại x. Giả sử rằng giả thiết 2.2 thỏa

mãn và điều kiện chính quy (CQ2) đúng với mọi s ∈ J. Khi đó, tồn tại λk > 0 (∀k ∈ J), µi (cid:62) 0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R (∀j ∈ L) sao cho

j ∈L

k ∈J

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:88) (cid:88) (cid:18) (cid:88) 0 ∈ cl + λk co∂∗fk (x ) + µi co∂∗gi (x ) γj ∇hj (x ).

Chứng minh.

Có thể thấy rằng tất cả các giả thiết của định lí 2.3 là thỏa mãn với mọi

(cid:62) 0

s > 0, µ(s) i

j ∈ R (∀j ∈ L) sao

s ∈ J. Vì vậy, ta áp dụng định lí 2.3 suy ra với mọi s ∈ J, tồn tại λ(s) k (∀k ∈ J, k (cid:54)= s), λ(s) (cid:62) 0 (∀i ∈ I(x)) và γ(s)

cho

j ∈L

k ∈J

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:18) (cid:88) (cid:88) (cid:88) 0 ∈ cl + (2.19) µ(s) i ∂∗gi (x ) γ(s) j ∇hj (x ). λ(s) k ∂∗fk (x ) +

Bởi vì clA + clB ⊂ cl(A + B ), lấy s = 1, ..., m trong (2.19) và cộng hai vế

các bao hàm thức đó lại, ta nhận được

s∈J

s∈J

j ∈L

k ∈J

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:18) (cid:88) cl 0 ∈ + µ(s) i ∂∗gi (x ) γ(s) j ∇hj (x ) λ(s) k ∂∗fk (x ) +

j ∈L

k ∈J

i ∈I (x )

(cid:19) (cid:18) (cid:88) (cid:88) (cid:88) + ⊂ cl λk ∂∗fk (x ) + µi ∂∗gi (x ) γj ∇hj (x ),

i

s∈J µ(s)

k > 0 (∀k ∈ J), µi = (cid:80)

s + (cid:80) trong đó λk = λ(s) (∀i ∈ I(x)) và γj = (cid:80)

j ∈ R(∀j ∈ L), ta có điều phải chứng minh.

s∈J, s(cid:54)=k λ(s) s∈J γ(s)

(cid:62) 0

35

Kết luận

Luận văn đã trình bày các kết quả của Đỗ Văn Lưu trong [7] về điều kiện

cần cho cực tiểu Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương của bài toán

tối ưu đa mục tiêu có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập

trong không gian Banach dưới ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng. Nội dung

của luận văn gồm:

- Các khái niệm về dưới vi phân suy rộng, dưới vi phân suy rộng tối thiểu

và dưới vi phân suy rộng chính quy. Các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng.

Định lí giá trị trung bình của dưới vi phân suy rộng.

- Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của bài

toán (MP).

- Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto địa phương của

bài toán (MP).

- Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương.

- Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu.

- Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu.

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu là

đề tài đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm và nghiên cứu.

36

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và

Kỹ thuật, Hà Nội.

Tiếng Anh

[2] Dutta J, Chandra S. (2004), "Convexifactors, generalized convexity and

vector optimality", Optimization. 53, pp. 77 - 94.

[3] Girsanov I. V. (1972), Lectures on Mathematical Theory of Extremum

problems, Springer - Verlag, Berlin.

[4] Halkin H. (1974), "Implicit functions and optimization problems with-

out continuous differentiablility of the dat", SIAM J. Control 12, pp.

229 - 236.

[5] Jeyakumar V., Luc D. T. (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and

monotonicity of convexificators", J. Optim. Theory Appl. 101, pp. 590

- 621.

[6] Luc D. T. (2002), "A multiplier rule for multiobjective programming

problems with continuous data", SIAM J. Optim. 13, pp. 168 - 178.

37

[7] Luu D. V. (2014), "Convexificators and necessary conditions for effi-

ciency", Optimization, vol. 63, No3, pp. 321 - 335.

[8] Luu D. V. (2014), "Necessary and sufficient conditions for efficiency

via convexificators", J. Optim. Theory Appl. 160, pp. 510 - 526.

[9] Luu D. V. (2012), "Necessary conditions for efficiency in terms of the

Michel-Penot subdifferentials", Optimization, 61, pp. 1099 - 1117 .

[10] Maeda T. (1994), "Constraint qualifications in multiobjective opti-

mization problems: Differentiable case", J. Optim. Theory Appl. 80,

pp. 483 - 500.

[11] Ye J. J. (2001), "Multiplier rules under mixed assumptions of differ-

entiability and Lipschitz continuity", SIAM J. Control Optim. 39, pp.

1441 - 1460.