Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN ĐỨC ĐOÀN
GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
TRẦN ĐỨC ĐOÀN
GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN-ĐẠI SỐ
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ LIÊN
THÁI NGUYÊN - 2015
i
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tôi thực hiện. Các số
liệu, kết luận nghiên cứu trình bày trong luận văn này là trung thực và chưa
được công bố ở các nghiên cứu khác.
Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên cứu của mình.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2015
Tác giả
TRẦN ĐỨC ĐOÀN
ii
LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán, trường Đại học
Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đào Thị
Liên. Qua đây, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo - TS
Đào Thị Liên, người hướng dẫn khoa học, người đã gợi ý đề tài, định hướng
nghiên cứu và tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu thực
hiện luận văn.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo công tác tại Viện
Toán học Việt Nam; khoa Toán, Phòng Đào tạo (Bộ phận quản lý Sau đại học)
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tạo mọi điều
kiện trang bị cho tác giả về kiến thức, về học liệu và kinh nghiệm nghiên cứu
cũng như mọi thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này.
Tác giả cũng gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, các bè bạn gần xa
đặc và các bạn trong lớp Cao học Toán K21A, đã luôn động viên, giúp đỡ tác
giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu hoàn thành luận văn.
Do thời gian nghiên cứu và năng lực bản thân còn nhiều hạn chế, bản luận
văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến
đóng góp quý báu, sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.
Thái Nguyên, tháng 03 năm 2015
Tác giả
Trần Đức Đoàn
iii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................ i
LỜI CẢM ƠN ...................................................................................................... ii
MỤC LỤC .......................................................................................................... iii
DANH MỤC CÁC BẢNG ................................................................................. iv
MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
Chương 1. KIẾN THỨC CƠ SỞ ...................................................................... 2
1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số ......................................... 2
1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số ................................................... 2
1.1.2. Hệ với chỉ số 1 ....................................................................................... 3
1.1.3. Hệ với chỉ số 2 ....................................................................................... 5
1.1.4. Hệ với chỉ số 3 ..................................................................................... 10
1.1.5. Con lắc .................................................................................................. 11
1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến ................................................................. 11
1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn .......................................................................... 13
1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số .............................................................. 14
1.2. Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp
RUNGER-KUTTA ............................................................................................. 17
Chương 2. GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA .................................................. 22
2.1. Giải số hệ phương trình vi phân -đại số cấp 1 bằng phương pháp
RUNGE-KUTTA ............................................................................................... 22
2.2. Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số ............. 23
2.3. Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn ........................................... 24
2.4. Tóm tắt kết quả hội tụ ................................................................................. 27
2.5. Bài toán nhiễu suy biến .............................................................................. 29
2.6. Phương pháp nửa hiện ................................................................................ 30
2.7. Ví dụ về hệ chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được ................. 31
KẾT LUẬN ....................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35
iv
DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Phương pháp Radau IIA bậc 1 và 3 ............................................... 26
Bảng 2.2. Phương pháp Radau IIA bậc 5 ....................................................... 26
Bảng 2.3. Bậc hội tụ ....................................................................................... 27
Bảng 2.4. Cấp hội tụ cho bài toán chỉ số 3 (1.17-18) ..................................... 28
Bảng 2.5. Cấp của sai số đối với bài toán nhiễu suy biến .............................. 30
1
MỞ ĐẦU
Thuật ngữ phương trình vi phân-đại số được đưa ra để đề cập đến các
phương trình vi phân cùng với các ràng buộc (các phương trình vi phân trên các
đa tạp) và các phương trình vi phân ẩn. Các bài toán như thế nảy sinh và cần
phải được giải trong nhiều ứng dụng, chẳng hạn như các hệ cơ học có ràng
buộc, động lực học chất lỏng, động học phản ứng hóa học, mô phỏng các mạng
điện, và kỹ thuật điều khiển... Từ quan điểm lý thuyết, nghiên cứu các phương
trình vi phân-đại số giúp chúng ta hiểu thấu đáo nguyên tắc của các phương
pháp số cho các phương trình vi phân thường cứng. Do đó, chủ đề này đã thu
hút nhiều sự quan tâm của các kỹ sư và các nhà toán học trong những năm qua.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày các kết quả về giải số của các hệ
phương trình vi phân-đại số trong các ứng dụng của nhóm tác giả Ernst Hairer,
Chriseian Lubich, Michel Roche về giải số hệ phương trình vi phân-đại số bằng
phương pháp Runge-Kutta. Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài
liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm hai chương
Chương 1. Kiến thức cơ sở
Nội dung chính là giới thiệu chung về hệ phương trình vi phân-đại số và
trình bày ngắn gọn về cách giải số hệ phương trình vi phân thường cấp 1 bằng
phương pháp Runge-Kutta.
Chương 2. Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp 1 bằng phương
pháp Runge-Kutta
Trong chương này, tác giả trình bày về giải số hệ phương trình, phương
trình vi phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta, các nhóm phương pháp
Runge-Kutta ẩn, kết quả hội tụ, bài toán nhiễu, phương pháp ẩn và ví dụ về chỉ
số 2 khi phương pháp số không áp dụng được
2
Chương 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Giới thiệu chung về phương trình vi phân đại số
Ta xét phương trình vi phân-đại số dạng tổng quát
trong đó F và Y có cùng chiều, F được giả thiết là có đạo hàm bị chặn. Hệ không
ôtônôm được sinh ra từ hệ (1.1) nhờ việc đưa vào một biến độc
lập x mà . Giá trị ban đầu được giả thiết là đã biết và nghiệm
được tìm trên một đoạn bị chặn . Nếu là khả nghịch thì ta có thể
giải được từ (1.1) khi đó ta được một hệ phương trình vi phân thường. Nếu
là suy biến ta có hệ phương trình vi phân-đại số. Một trong những cách
để phân loại lớp phương trình vi phân này là dùng khái niệm chỉ số.
1.1.1. Chỉ số hệ phương trình vi phân-đại số
Chúng ta giới thiệu khái niệm chỉ số như một cách để đo độ nhạy của
nhiễu đối với nghiệm trong phương trình. Có những nhóm nghiên cứu khác
đưa ra một số định nghĩa khác về chỉ số cho hệ phương trình vi phân-đại số.
Mối liên hệ của định nghĩa này với các định nghĩa khác về chỉ số sẽ được
trình bày ở mục 1.1.8.
Định nghĩa. Phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu m dọc theo nghiệm Y
trên đoạn , nếu m là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho mọi hàm có
thì tồn tại đánh giá
với mỗi một số hạng trong vế phải là đủ nhỏ. Ở đây C là một hằng số chỉ phụ
thuộc vào F và độ dài của đoạn .
3
Trong nghiệm số của phương trình (1.1), ảnh hưởng của nhiễu lên
phương trình rời rạc có vai trò quan trọng trong việc phân tích sự hội tụ và sai
số làm tròn. Việc xuất hiện đạo hàm cấp (m-1) trong (1.3) sẽ biến đổi nghiệm
số thành phép chia nhiễu rời rạc cho , trong đó h là tham số rời rạc (nhỏ).
Cần lưu ý rằng có thể có các ước lượng lớn hơn (1.3) đối với một vài
hiệu số của chênh lệch nghiệm.
Ta gọi một phương trình là phương trình chỉ số m nếu phương trình đó
có chỉ số m dọc theo mọi nghiệm. Theo định nghĩa ở trên, chỉ số nhiễu không
thể nhỏ hơn 1.
Trường hợp chỉ số 0 có thể được tính đến nếu ta hiểu là một tích
phân trên . Cụ thể hơn, ta nói rằng phương trình (1.1) có chỉ số nhiễu 0 nếu
Theo Bổ đề Gronwall, điều này luôn được thoả mãn đối với phương trình
vi phân thường . Bây giờ ta xem xét các lớp của hệ với chỉ số 1, 2 và
3, đây là các nhóm hệ thường xuất hiện trong các ứng dụng.
1.1.2. Hệ với chỉ số 1
Trường hợp đơn giản nhất là hệ có dạng
(trong đó, f và g là các hàm khả vi) ở đây có nghịch đảo bị chặn trong
lân cận nghiệm. (1.5)
4
Giá trị ban đầu cần phải tương thích, nghĩa là .
Theo Định lý hàm ẩn, z có thể được rút ra từ phương trình (1.4.b) như là một
hàm số của y. Sau khi chèn z vào phương trình (1.4.a) ta có phương trình vi
phân thường. Điều này cho thấy tồn tại nghiệm đơn trị và đều.
Xét hệ nhiễu
Áp dụng Định lý hàm ẩn ta có
với nhỏ và đủ gần với . Ta trừ phương trình (1.4.a) cho
phương trình nhiễu tương ứng, lấy tích phân từ 0 đến x, sử dụng điều kiện
Lipschitz cho f và ước lượng ở trên đối với . Ta được
và theo bất đẳng thức Gronwall, ta có
Sau khi chèn bất đẳng thức trên vào ước lượng , ta có ước
lượng (1.3) không phụ thuộc vào đạo hàm của nhiễu. Do đó, hệ có chỉ số 1.
Bài toán có dạng
với ma trận hằng số B có thể được đưa về dạng (1.4) nhờ việc phân tích (như
bằng phép khử Gaussian) như sau
5
với S và T là khả nghịch. Nhân hai vế của phương trình (1.6) với và sử
dụng các biến
ta có hệ (1.4). Điều kiện (1.5) khi đó trở thành có nghịch
đảo bị chặn (1.8)
trong đó chỉ số dưới bên phải của ma trận (chiều không gian nghiệm của
B), theo như phân tích (1.7). Giá trị ban đầu là tương thích khi nằm
trong miền giá trị của B. (1.9)
1.1.3. Hệ với chỉ số 2
Ta xét bài toán
với giả thiết rằng có nghịch đảo bị chặn trong lân cận của nghiệm (1.11).
Đạo hàm hai vế phương trình (1.10.b) và thế y' từ phương trình (1.10.a)
ta thấy nghiệm cũng thoả mãn phương trình
để nghiệm có thể nằm trên giao của đa tạp xác định bởi phương trình (1.10.b) và
(1.10.c). Một giá trị ban đầu tương thích (y0, z0) phải thoả mãn (1.10.b) cho thành
phần y và điều kiện (1.10.c), khi đó (1.11) xác định duy nhất thành phần z.
Các phương trình (1.10.a) và (1.10.c) đều có điều kiện (1.11) ở dạng chỉ
số 1 (1.4) với (1.5). Vì ta đã lấy đạo hàm một lần để có được dạng này, ước
lượng (1.3) có chứa đạo hàm nhiễu trong phương trình (1.10.b) và do đó hệ có
chỉ số 2. Bây giờ ta xét hệ nhiễu
6
Lấy đạo hàm phương trình thứ hai, ta có
Giờ đây ta có thể sử dụng các ước lượng của trường hợp chỉ số 1 ta được
Hệ (1.10) có thể được xem là trường hợp đặc biệt của phương trình (1.4)
với gz suy biến. Với các bài toán như vậy, nếu giả định gz có hạng không đổi
trong lân cận nghiệm, ta có thể chuyển về dạng (1.10) - dạng này không thay
đổi chỉ số và thậm chí quan trọng hơn trong dạng đó các phương pháp số
nghiên cứu là bất biến. Phép biến đổi này có thể được mô tả như là quan điểm
phi tuyến tính của phép khử Gaussian: Ta kí hiệu phần tử đầu tiên của z là z1.Từ
giả thiết rằng gz có hạng không đổi đồng thời cũng tồn tại một thành phần của g
thỏa mãn hoặc đồng nhất bằng 0, tức là g độc lập với z1.
Trong trường hợp đầu, theo định lý hàm ẩn ta có thể biểu diễn z1 là hàm số của
y và các thành phần còn lại của z và bằng cách ấy khử z1 trong các phương trình
khác. Lặp lại các bước này với z2, z3,…, cuối cùng ta được hệ có dạng (1.10)
trong đó z gồm các thành phần z chưa bị khử như trong (1.4).
Mục tiêu tiếp theo của ta là mô tả hai lớp phương trình có dạng (1.10),
(1.11) hoặc gần với dạng đó. Hai lớp này gồm:
a) Hệ với ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm nhân với đạo hàm nghiệm,
xuất hiện trong phân tích mạch điện và động lực phản ứng hoá học.
b) Phương trình chuyển động của hệ thống cơ khí có ràng buộc.
7
Xét lớp a) Ta thu được hệ dạng (1.10), chỉ số 2, một cách hình thức từ
một biến đổi (sẽ được miêu tả ở phần dưới đây) của hệ
trong đó B(y) là ma trận suy biến phụ thuộc nghiệm thoả mãn (1.7) và (1.8). Do
các phương pháp số sẽ nghiên cứu ở đây là bất biến theo phép biến đổi đó,
đánh giá sự hội tụ đối với y của (1.10) sẽ được áp dụng trực tiếp để thu được
nghiệm của hệ (1.13).
Đầu tiên ta viết lại (1.13) thành một hệ bổ sung
Giả sử B có hạng không đổi, ta lại có thể phân tích
với S và T là khả nghịch.
Chọn S và T đồng thời là trơn trong mỗi lân cận của y thì rõ ràng B khả
vi. Nhân phương trình thứ hai của hệ mở rộng đó với S–1(y) được
hệ tương đương
Vì T là khả nghịch, chúng ta cũng có thể giả sử T11 là khả nghịch (trừ việc
hoán vị các cột). Khi đó ta có thể loại trừ hàng thứ ba của hệ trên bằng việc tính z1
và thế z1 vào hàng đầu tiên. Từ đó hệ có dạng (1.10), với (y, z2) đóng vai trò (y, z)
8
của (1.10). Điều kiện (1.11) trở thành là khả nghịch, thực hiện
kiểm tra bằng tính toán dễ dàng chỉ ra rằng nó tương đương với (1.8).
Nhờ phép biến đổi trên, ta có thể suy ra hiệu số giữa nghiệm của (1.13)
và nghiệm của hệ nhiễu bị chặn bởi
, với ξ đủ nhỏ.
Ước lượng này mạnh hơn (1.3) trong trường hợp chuẩn đều được thay
thế bởi chuẩn L1. Trái với trường hợp (1.6) của ma trận hằng số B, hiệu số của
ước lượng không thể bị loại bỏ cho nghiệm phụ thuộc B(y). Điều này có thể
thấy qua ví dụ sau
Nếu bổ sung nhiễu , ta có và để
ta thấy rằng không thể loại bỏ số hạng trong (1.3).
Tuy nhiên, cần lưu ý rằng không có sự phụ thuộc vào với các hệ có
dạng đặc biệt
với ma trận khả nghịch trong đó đối với một số hàm
b(y) nào đó. Điều này được suy ra từ nhận xét rằng hệ có được sau khi bổ sung
phương trình và thay bằng v' là hệ có dạng chỉ số 1 trong
(1.4), (1.5) với (v, y) đóng vai trò của (y, z). Phương pháp số là không bất biến
trong phép biến đổi này do v' và được rời rạc hoá khác nhau đối với by
không là hằng.
9
Xét lớp b) Các bài toán có dạng (1.10) xuất hiện trong quá trình mô hình
hoá cơ khí các hệ ràng buộc. Một hệ có nhiều thành phần được miêu tả bởi tọa
độ q và vận tốc có thể chịu ràng buộc hình học và ràng buộc
động lực học Xét về động năng T(q, u), phương trình chuyển
động Lagrange được viết như sau
trong đó Q(q, u) là các lực hiệu dụng, là nhân tử Lagrange và HT = (GT, KT)
với . Lấy đạo hàm và nhóm các phương trình lại, ta có hệ dạng
trong đó M = Tuu là ma trận xác định dương.
Đầu tiên ta xét trường hợp không có ràng buộc (1.15.c). Hệ (1.15.a, b,
d) có dạng (1.10) (ngoại trừ việc giải ra u' trong (1.15.b)) với (q, u) và
trong vai trò của y và z. Nếu các ràng buộc trong (1.15.d) là độc lập để
H = K có hạng đầy đủ theo hàng thì KM-1KT là khả nghịch, điều kiện (1.11)
được thoả mãn.
Trong trường hợp có các ràng buộc hình học (1.15.c), hệ (1.15) không
quá chỉ số 2. Việc giảm xuống chỉ số 2 có đạt được bằng việc sử dụng ràng
buộc đã được lấy đạo hàm , có dạng (1.15.d), thay vì (1.15.c) (hoặc
sử dụng kết hợp cả hai). Cách này gặp phải một khó khăn trong khi lấy tích
phân, ta có thể bỏ qua ràng buộc ban đầu (1.15.c). Để tránh điều này, Gear,
Gupta & Leimkuhler (1985) đề xuất sử dụng ràng buộc đã được lấy đạo hàm và
cộng (1.15.c) thông qua một nhân tử Lagrange (triệt tiêu trên nghiệm đúng):
10
Nếu các dòng H (và do đó cả các dòng G) là độc lập tuyến tính, thì (1.16)
có dạng (1.10) với và và điều kiện (1.11) được thoả mãn.
1.1.4. Hệ với chỉ số 3
Bài toán có dạng
là dạng có chỉ số 3, nếu có nghịch đảo bị chặn (1.18) trong lân cận
nghiệm. Điều này có được bằng việc lấy đạo hàm (1.17.c) hai lần, cho kết quả
(loại bỏ đối số hàm)
Các phương trình (1.17.a,b) cùng với (1.17.e) có điều kiện (1.18) của
dạng chỉ số 1 trong (1.4) với (1.5). Ước lượng sai số (1.3) giờ đây phụ thuộc
vào đạo hàm cấp hai của khuyết số trong (1.17.a-c), cho ra chỉ số 3. Các giá trị
ban đầu tương thích cần phải thoả mãn cả ba điều điều kiện (1.17.c, d, e).
Một ví dụ của bài toán chỉ số 3 là hệ cơ khí ôtônom, tại đó các phương
trình (1.15) có thể được lập mà không có ràng buộc (1.15.d). Ở đây
đóng vai trò trong (1.17). Điều kiện (1.18) được thoả mãn nếu
H = G có các dòng độc lập tuyến tính. Khi không có các ràng buộc (1.15.d)
bài toán (1.15) vẫn có chỉ số 3 nếu H có hạng đầy đủ (do lấy đạo hàm
(1.15.c) cho hệ với chỉ số 2 có dạng (1.10)). Tuy nhiên, dạng này yếu hơn
dạng tổng quát trong (1.17).
11
1.1.5. Con lắc
Ta sử dụng con lắc để minh hoạ cho những lập luận ở trên. Các phương
trình chuyển động của một vật nặng m treo trên một sợi dây có trọng lượng
không đáng kể với độ dài l, dưới tác động của trọng lực g, trong hệ toạ độ
vuông góc , như sau:
Ở đây (u, v) là vận tốc và là độ căng của dây. Trong công thức này, hệ
có chỉ số 3 dạng (1.17.a-c). Lấy đạo hàm (1.19.c) ta có
tương ứng hình học với thực tế rằng vận tốc là tiếp tuyến của đa tạp cho bởi
(1.19.c), nghĩa là vuông góc với độ dốc 2(p, q). Hệ (1.19.a, b, d) có chỉ số 2
dạng (1.10.a, b). Lấy đạo hàm một lần nữa và kết hợp (1.19.c) ta được
Hệ (1.19.a, b, e) có chỉ số 1 dạng (1.4.a, b). Lập lại phương trình chỉ số 2
của Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) áp dụng vào trường hợp hiện tại
1.1.6. Các bài toán nhiễu suy biến
Một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số với chỉ số cao tùy ý trong
nghiên cứu vấn đề nhiễu đơn
12
trong đó giả sử (với mọi véctơ v) (1.22)
là đúng với một tích vô hướng trong lân cận của nghiệm. Trên bất cứ đoạn bị chặn
nào kể từ 0 (bên ngoài pha chuyển tiếp ban đầu), nghiệm có một -mở rộng
với hệ số độc lập và trơn yk, zk. Chèn (1.23) vào (1.21) và so sánh luỹ thừa
của ta thấy các hệ số mở rộng là nghiệm của một dãy các hệ phương trình vi
phân-đại số
và nói chung
các hàm số y0, z0 được xác định hoàn toàn bởi (1.24.0), là một hệ chỉ số 1 có
dạng (1.4), với điều kiện (1.5) có hệ quả từ (1.22). Nếu y0, z0 được xem là đã biết
thì (1.24.1) là hệ chỉ số 1 với y1, z1. Tuy nhiên, các phương trình (1.24.0) và
(1.24.1) có chỉ số 2 bởi vì nhiễu trong z0 được đưa vào phép lấy đạo hàm (1.24.1)
(Để ý rằng hệ kết hợp (1.24.0), (1.24.1) thật ra có dạng (1.10), (1.11) với (y0, z0,
y1) và z1 đóng vai trò y và z). Tương tự, hệ (1.24.0)-(1.24.k) có chỉ số k+1.
Ta quan tâm đến hệ (1.24) bởi nghiệm số trong bài toán (1.21) có mở
rộng mà các hệ số là nghiệm của hệ phương trình vi phân-đại số (1.24). Điều
này cho phép sai số bị chặn đối với nghiệm số của (1.21). Ta sẽ trở lại vấn đề
này ở cuối Chương 2.
13
1.1.7. Hệ nhiễu suy biến đơn
Như là một ví dụ cho hệ cơ khí cứng, ta xét con lắc treo trên một lò xo
cứng có trọng lượng không đáng kể với hằng số Hooke Với
việc chuẩn hoá phương trình chuyển động được viết như sau
Có thể thấy rằng mỗi nghiệm có một -mở rộng tiệm cận với các hệ số
độc lập trơn
và tương tự cho q, u, v với các hệ số qi, ui, vi hoặc nghiệm dao động nhanh với
tần suất biên độ xung quanh nghiệm đó.
Giả sử ta quan tâm tới nghiệm trơn (1.26). Để trong (1.25.b) cho
ta điều kiện . Bây giờ ta định nghĩa các hàm số bởi
Chèn (1.26) và (1.27) vào (1.25) và so sánh các hệ số của cho ta
phương trình con lắc trong chỉ số 3 dạng (1.19.a, b, c):
14
So sánh các hệ số trong (1.27) và (1.25) ta có
Nếu các biến có chỉ số 0 được xem là đã biết thì (1.29) là hệ có chỉ
số 3 cho . Tuy nhiên, hệ (1.28) và (1.29) lại có chỉ số 5.
Giờ ta có thể tiếp tục xây dựng các hệ số còn lại trong (1.26) và (1.27).
Điều này đưa ra một dãy các hệ phương trình vi phân-đại số mà chỉ số
tăng hai lần ở mỗi bước.
Phân tích ở trên áp dụng với các phương trình chuyển động của hệ
cơ khí cứng trong đó thế năng lớn khiến chuyển động ở gần với biểu thức.
trong đó ma trận M(y) là xác định dương và thế năng U là cực tiểu trên đa tạp
và lồi lớn dọc theo chiều ngang với . Trong mở rộng của nghiệm trơn, các
hệ số của thoả mãn các phương trình chuyển động của hệ ràng buộc chỉ số 3
trong đó g triệt tiêu trên và gy có hạng đầy đủ.
Điều ta quan tâm trong công thức trên là nghiệm số của bài toán cứng
(1.30) đồng thời cũng có -mở rộng mà hệ số của mở rộng là nghiệm số của
các phương trình vi phân-đại số liên quan có chỉ số 3, 5, 7…
1.1.8. Các định nghĩa khác về chỉ số
15
Khái niệm chỉ số của phương trình vi phân-đại số xuất phát từ các bài
toán tuyến tính với các hệ số không đổi
Nếu là một cặp ma trận chính quy, nghĩa là nếu tồn tại một số
phức c sao cho det(A + cB) 0 khi đó theo định lý Weierstrass, tồn tại các ma
trận không suy biến P và Q sao cho
trong đó mà mỗi (có chiều mi ) đều có dạng
Chỉ số luỹ linh của cặp ma trận được xác định là số cực đại của
các số chiều mi. Với phép biến đổi (1.33) phương trình vi phân-đại số (1.32)
được tách thành một hệ gồm hệ vi phân thường và một hệ ràng buộc đại số, nó
có dạng chính tắc (với m = m1, .., mk)
Ở đây zm được xác định bởi phương trình cuối cùng và các phần tử khác
có được nhờ lấy đạo hàm liên tiếp. Vì z1 phụ thuộc vào đạo hàm thứ m-1 của
số lớn nhất mi xuất hiện, nghĩa là chỉ số luỹ linh cũng là chỉ số nhiễu.
Phải rất lâu khái niệm chỉ số mới được khái quát hoá cho các bài toán
phi tuyến tính (1.1). Mãi đến năm 1985 các nhà nghiên cứu như Gear, Gupta
và Leimkuhler và sau đó vào những năm 1988,1989 Gear mới đưa ra định
16
nghĩa về Chỉ số vi phân của hệ (1.1) là số nguyên nhỏ nhất m sao cho hệ
phương trình (1.1) và
Có thể giải ra được đối với Y' = Y'(Y). Chỉ số vi phân và chỉ số nhiễu là
bằng nhau nếu đạo hàm nghiệm được nhân với ma trận hằng số, đặc biệt đối
với các hệ bán tường minh như (1.4), (1.10), (1.17) trong đó nó được nhân với
ma trận đường chéo với các giá trị 1 và 0. Tuy nhiên, bài toán B(y)y' = a(y) với
điều kiện (1.7) và (1.8) có chỉ số vi phân là 1 và chỉ số nhiễu là 2. Đối với các
hệ vi phân-đại số thì:
Chỉ số vi phân ≤ chỉ số nhiễu ≤ chỉ số vi phân + 1.
Chỉ số đặc trưng bởi số phép chiếu thích hợp được R.Marz và các cộng
sự đưa ra bởi khái niệm chỉ số m chuyển được vào những năm 1987 đến 1989.
Ghi chú:
Việc nghiên cứu các phương trình vi phân-đại số có thể được thấy trong
các chuyên khảo của Campbell (1980, 1982), Griepentrog & Marz (1986) và
Brenan, Camptell & Petzold (1989). Các dạng giải tích của các hệ B(y)y’ = a(y)
được thảo luận trong Gear & Petzold (1984), Rheinboldt (1984), Lubich
(1989). Các hệ nửa hiện với chỉ số 2 (1.10) và chỉ số 3 (1.17) được nghiên cứu
bởi Gear, Gupta & Leimkuhler (1985) và Lotstedt & Petzold (1986), các tác giả
cũng miêu tả các ứng dụng. Việc rời rạc hoá không gian của phương trình
Navier-Stokes không nén được cũng có dạng (1.10), nhưng ở đây các đạo hàm
của f và g là không bị chặn do các mắt lưới không gian có xu hướng bằng 0. Để
giả quyết vấn đề này, Hundsdorfer (1987) nghiên cứu một nhóm các bài toán vi
17
phân-đại số có chỉ số 2. Đối với các hệ ràng buộc, Fuhrer (1988) xem như là
các phương trình vi phân-đại số. Tài liệu tham khảo cổ điển nhất cho cơ học
giải tích là Lagrange (1788), một trong các giáo trình gần đây nhất là
Gantmacher (1970) và Arnold (1978). Các chuyên luận theo hướng thuật toán
về các hệ đa đối tượng được đưa ra bởi Wittenburg (1977), (1989) và Roberson
& Schwertassek (1988).
1.2. Giải số hệ phương trình vi phân thường cấp một bằng phương pháp
RUNGER-KUTTA
Xét bài toán tìm hàm thỏa mãn
Từ khai triển Taylor của nghiệm đúng y(x)
Thay , ta có
trong đó
Thay vào công thức Euler cải tiến , ta có
Để tránh tính trực tiếp và , ta đặt
18
trong đó
và chọn sao cho khai triển theo lũy thừa của h trong xác định
bởi (1.36) trùng nhau đến 3 số hạng đầu của vế phải công thức (1.35).
Dùng công thức Taylor của hàm hai biến, ta có
từ đây ta có
Do đó (1.36) có thể viết dưới dạng
So sánh các hệ số lũy thừa của h trong (1.35), (1.38) ta có
Đây là một hệ 3 phương trình, 4 ẩn số nên là một hệ vô định. Ta xét một
vài họ nghiệm đơn giản:
19
(1) . Khi đó (1.36) và (1.37) có dạng
đã biết
(2) . Khi đó (1.36) và (1.37) có dạng
đã biết
Khi thành lập các công thức (1.36) và (1.37) trên ta bỏ qua số hạng
trong khai triển Taylor. Ta có thể chứng minh được rằng sai số tại điểm thỏa
mãn , trong đó M là hằng số dương không phụ thuộc h.
Vậy các phương pháp Runger-Kutta trên đậy có độ chính xác cấp hai.
Hoàn toàn tương tự, nếu trong khai triển Taylor của tại ta
bỏ qua số hạng thì sẽ nhận được công thức Runger-Kutta có độ
chính xác cấp ba, nghĩa là , trong đó M là hằng số dương
không phụ thuộc h.
đã biết
20
Nếu bỏ qua số hạng thì sẽ nhận được công thức Runger-Kutta có
độ chính xác cấp bốn:
đã biết
Trong các công thức Runge-Kutta trên, ta thường dùng công thức (1.39)
vì nó có độ chính xác cao mà lại không quá phức tạp. Trong thực tế việc xác
định hằng số M trong đánh giá sai số của phương pháp Runge-Kutta khá phức
tạp, do đó ta thường xác định sai số bằng cách "tính hai lần" như sau
Lần đầu tính bằng công thức (1.39) với bước h, nhận được là giá trị
gần đúng của . Sau đó, ta lại tính với bước nhận được là giá trị
gần đúng của và sai số được xác định bởi
21
Ví dụ
Cho bài toán Cauchy như sau
Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phương pháp Runge-Kutta dạng (1.39)
trên với bước
Giải
Ta có
Từ đó
Tương tự ta có thể tính
Ta có thể thấy rằng
Mặt khác ta biết nghiệm đúng của bài toán Cauchy đã cho là
.
Từ đó ta có
Như vậy, kết quả giải số nhận được chính xác đến 4 chữ số thập phân so
với nghiệm đúng.
Trong chương 2 sau đây ta sẽ đưa ra cách giải số cho hệ phương trình vi
phân-đại số bằng phương pháp Runge-Kutta.
22
Chương 2
GIẢI SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP 1
BẰNG PHƯƠNG PHÁP RUNGE-KUTTA
Trong chương này, ta đề cập tới các phương pháp Runge-Kutta và chỉ ra
cách áp dụng phương pháp này vào hệ phương trình vi phân-đại số. Đồng thời,
ta cũng tóm tắt lại các kết quả hội tụ đã biết.
2.1. Giải số hệ phương trình vi phân-đại số cấp 1 bằng phương pháp
RUNGE-KUTTA
Phương pháp Runge-Kutta vốn thường được dùng như giải pháp số cho
các phương trình vi phân thường y' = f(y). Từ một giá trị xấp xỉ yn của nghiệm
tại xn, các phương pháp một bước nhảy này xây dựng một giá trị xấp xỉ yn+1 tại
xn+1 = xn + h thông qua công thức
trong đó
với các bậc trong xác định bởi
với i = 1, …, s. (2.1.b)
ở đây aij, bi là các hệ số để xác định phương pháp và s là số bậc. Nếu aij = 0 với
i ≤ j thì ta có thể tính từng bậc trong Yn1, …, Yns theo công thức (2.1.b) bằng các
đánh giá hàm tường minh. Các phương pháp đó được gọi là tường minh.
Ngược lại, (2.1.b) tạo ra một hệ phi tuyến tính cho các bậc trong và phương
pháp đó được gọi là ẩn. Ví dụ như phương pháp Runge-Kutta bậc 4
23
Theo công thức Simpson: ta có
là công thức ẩn
của phương pháp Runge-Kutta bậc 4.
Suy ra với
là công thức hiện của phương pháp Runge-Kutta bậc 4.
2.2. Phương pháp RUNGE-KUTTA cho phương trình vi phân-đại số
Ta lưu ý rằng công thức thứ hai trong (2.1.a) có cùng dạng với phương
trình vi phân y' = f(y) trong khi đó mối quan hệ giữa phương trình (2.1.a) và
(2.1.b) phụ thuộc vào các hệ số và bước nhảy h, nhưng không phụ thuộc vào
dạng đặc biệt của phương trình vi phân. Điều này gợi ý việc mở rộng phương
pháp Runge-Kutta cho các phương trình vi phân-đại số
bằng cách xác định yn+1 như là nghiệm của hệ (2.1.a), (2.1.b) và
Từ đây xuất hiện các câu hỏi như: Liệu hệ (2.1) luôn có nghiệm duy nhất
không? Cách tính nghiệm thì sao? Nghiệm bị ảnh hưởng bởi nhiễu như thế
nào? Phương pháp này có các tính chất xấp xỉ gì? Làm sao để thực hiện nó (hay
là thử cách khác)? Trong bài viết này, các bài toán kiểu này sẽ được xử lý cho
các hệ vi phân-đại số chỉ số 1, 2 và 3 được mô tả ở chương 1.
24
Các phương pháp Runge-Kutta hiện không phù hợp một cách trực tiếp
cho cách tiếp cận (2.1) vì để phục vụ phương trình vi phân-đại số, các phần tử
của số gia cần được xác định từ hệ thức (2.1.b) (xét ví dụ hệ
), đòi hỏi ma trận hệ số A = (aij) là khả nghịch. Tuy nhiên, sử
dụng một mở rộng khác, ta có thể áp dụng phương pháp Runge-Kutta hiện cho
các hệ ẩn với chỉ số 1 và chỉ số 2 có dạng (1.4) và (1.10). Điều này được lý giải
ở phần cuối chương này.
2.3. Các nhóm phương pháp RUNGE-KUTTA ẩn
Sau đây, ta mô tả vắn tắt một vài nhóm phương pháp Runge-Kutta ẩn.
Bảng hệ số và các chi tiết khác được dẫn từ Butcher (1987) và Dekker &
Verwer (1984). Để mô tả phương pháp này, ta sử dụng
và các điều kiện
với k = 1, …, p, (2.3)
với k = 1, …, q và mọi i, (2.4)
với k =1, …, r và mọi j. (2.5)
Điều kiện B(p) nghĩa là công thức cầu phương với các trọng số b1, …, bs
và nút (node) c1, …, cs đa thức nguyên tới bậc p-1 trên đoạn [0; 1] và điều kiện
C(q) cho biết các đa thức tới bậc q-1 được tích hợp trên đoạn [0; ci] cho từng i,
bởi công thức cầu phương với các trọng số ai1, …, ais. Ta sẽ xét các phương
pháp cổ điển dựa trên phép cầu phương Gauss, Radau và Lobatto. Các hệ số
này được xác định duy nhất bởi các điều kiện nêu dưới đây
25
(thoả mãn bi = asi)
(thoả mãn bi = asi)
.
Điều kiện bi = asi với mọi i hàm ý rằng yn+1 = Yns và sẽ trở thành một lợi
thế. Đối với các phương pháp Lobatto IIIA (trong đó thành phần quan trọng
nhất là quy tắc hình thang) hàng đầu tiên của ma trận A = (aij) đồng nhất là 0,
để A không khả nghịch. Vì ma trận là khả nghịch và bi = asi với mọi i,
phương pháp có thể trở thành xác định. Các phương pháp Lobatto IIIB không
phù hợp với các phương trình vi phân-đại số vì ma trận hệ số A là không khả
nghịch và không thỏa mãn . Các hệ số
của phương pháp Radau IIA được cho với s = 1, 2 và 3 trong Bảng 2.1 và 2.2.
Phương pháp với s = 1 là phương pháp Euler ẩn. Phương pháp với s = 5 được
chon cho chương trình FORTRAN.
Các phương pháp Runge-Kutta ẩn đường chéo đơn (SDIRK, nghĩa là
phương pháp của Alexander (1977) và Norsett & Thomsen (1986) được đặc
trưng bởi đặc tính aij = 0 (i < j), với mọi phần tử chéo aii bằng nhau. Các
phương pháp này chỉ thoả mãn C(1), phương pháp của Alexander có bi = asi.
Phép ngoại suy làm xuất hiện nhóm các phương pháp Runge-Kutta khác: ta xét
sơ đồ Euler ẩn.
là sự rời rạc hoá cơ bản cho ngoại suy h. Ta gọi với x = x0 + nh,
chọn một dãy số nguyên dương n1 < n2 < n3 < … và xác định các bước nhảy
26
bởi trong đó H > 0 là bước nhảy cơ sở. Bảng ngoại
suy được đưa ra dựa trên công thức
Mỗi giá trị Tjk trong bảng ngoại suy có thể viết như là kết quả của
phương pháp Runge-Kutta (2.1) với bước nhảy H. Phương pháp này chỉ thoả
mãn C(1).
Bảng 2.1. Phương pháp Radau IIA bậc 1 và 3
1 1
1
Bảng 2.2. Phương pháp Radau IIA bậc 5
27
2.4. Tóm tắt kết quả hội tụ
Bậc hội tụ không phải là tất cả trong phương pháp Runge-Kutta. Tuy
nhiên, so với các yếu tố khác, khó tính được nhưng lại dễ tóm tắt các bậc hội tụ
hơn. Do vậy, ta thu thập các kết quả hội tụ trong Bảng 2.3 và 2.4. Cần lưu ý
rằng các bậc hội tụ cao trong các bảng này che đi những khó khăn tính toán gặp
phải với các bài toán chỉ số cao hơn, như hội tụ lặp dạng Newton của hệ phi
tuyến tính (2.1) và các ước số sai số.
Ta gọi bậc hội tụ là p nếu sai số (sự chênh lệch giữa nghiệm số và
nghiệm đúng) bị chặn bởi hằng số trên một khoảng hữu hạn đối với các
bước nhảy h đủ nhỏ. Bảng 2.3 và 2.4 cho thấy rằng bậc hội tụ có thể khác với
các thành phần khác nhau của một hệ.
Các bậc của y cho bài toán (1.4) chỉ số 1 trong (1.4) hoàn toàn giống với
các cấp của phương trình vi phân thường (chỉ số 0).
Vì các phương pháp Runge-Kutta (2.1) là bất biến theo phép biến đổi bài
toán B(y)y’ = a(y) mô tả ở (1.10) chương 1 nên cấp hội tụ cho phần tử y của bài
toán chỉ số 2 (1.10), (1.11) cũng được cho nghiệm số của phương trình
với điều kiện (1.7), (1.8).
Bảng 2.3. Bậc hội tụ
Chỉ số 1 (1.4-5) Chỉ số 2 (1.10-11) Phương pháp Bậc y z y z
Gauss
Radau IA s s s
Radau IIA s s
Labatto IIIA
Labatto IIIC SDIRK (Alexander) s 3 3 3 2 1
SDIRK (N&T) 3 3 2 2 1
k k k k Extrap. Euler Tjk
28
Kết quả của chúng ta kém hoàn hảo đối với bài toàn chỉ số 3 (1.17),
(1.18). Trừ khi điều kiện C(2) được thoả mãn, hệ phi tuyến tính (2.1) không có
nghiệm, ngay cả khi hệ này có nghiệm (trường hợp bài toán là tuyến tính với
u), thường không có hội tụ cho các thành phần của u. Điều kiện C(2) không
được thoả mãn cho các phương pháp SDIRK và phương pháp ngoại suy Euler.
Ta chưa nghiên cứu phương pháp Gauss và Lobatto IIIA cho chỉ số 3. Đối với
các phương pháp Radau IA (với s > 3), ta thể hiện bậc hội tụ (s, s – 1, s – 2)
cho các thành phần (y, z, u). Đối với các phương pháp Radau IIA (với s ≥ 2), ta
có các bậc (s, s – 1) cho các thành phần (z, u). Đối với các thành phần y, ta giả
định bậc 2s – 2 (và 2s – 1 cho các bài toán tuyến tính với u) và thể hiện bậc hội
tụ s + 2 (thay vì tối thiểu s + 2 và 2s – 2 hoặc 2s – 1). Đối với Lobatto IIIC (với
s ≥ 3), ta có các bậc (s – 1, s – 2) cho các phần tử (z, u) và dự đoán 2s – 4 cho
các thành phần y (ít nhất cao hơn một bậc cho các bài toán tuyến tính đối với
u). Các kết quả này được tóm tắt trong bảng 2.4. Đối với các thành phần y, ta
đã đưa ra dự đoán và chứng minh.
Chú ý rằng những kết quả này của phương pháp Lobatto IIIA đã được
chứng minh đối với s = 2, 3 và dự đoán đối với s lớn hơn.
Bảng 2.4. Cấp hội tụ cho bài toán chỉ số 3 (1.17-18)
y
Dự đoán/ Đã Phương pháp z u Dự đoán / Đã
chứng minh chứng minh
Radau IA
Radau IIA
Labatto IIIC
29
2.5. Bài toán nhiễu suy biến
Đối với các bài toán nhiễu suy biến (1.21), (1.22) Hairer, Lubich &
Roche (1988) đã chỉ ra rằng sai số nghiệm số có -mở rộng mà hệ số (cấp )
là các sai số của phương pháp áp dụng cho hệ vi phân-đại số (1.24.0-k). Để có
được kết quả này, ta cần nhắc lại khái niệm A-độ ổn định: áp dụng phương
pháp Runge-Kutta cho phương trình vô hướng ta nhận được
trong đó hàm ổn định R(w) được xác định bởi
Trong đó A = (aij) trong ma trận Runge-Kutta, bT = (b1, …, bs) và
. Phương pháp Runge-Kutta được gọi là A-ổn định, nếu
với
Định lý 2.1. Xét hệ nhiễu suy biến (1.21), (1.22) với các giá trị ban đầu
y(0), z(0) nhận nghiệm trơn (1.23). Giả sử phương pháp Runge-Kutta thoả mãn
điều kiện B(q+1) và C(q) (xem (2.3), (2.4)), thì là A-ổn định, nghĩa là giá trị
riêng của ma trận Runge-Kutta có phần thực dương và . Khi đó
nghiệm (yn, zn) thoả mãn
Với :
Trong đó là sai số toàn cục của phương
pháp Runge-Kutta áp dụng cho hệ vi phân-đại số (1.24.0,1). Các ước lượng là
đều đúng với h ≤ h0 và
Trên thực tế, sai số là sai số toàn cục của phương pháp
Runge-Kutta áp dụng cho hệ có chỉ số 1 (1.24.0) vì hệ này không phụ thuộc
vào y1 và z1. Do đó, các cấp của sai số trong các phần tử tương ứng y0, z0, y1, z1
chính xác trong cột 4 của Bảng 2.3 trong cùng một chuỗi. Kết hợp Định lý 2.1
và Bảng 2.3 ta có kết quả của Bảng 2.5.
30
Bảng 2.5. Cấp của sai số đối với bài toán nhiễu suy biến (1.21), với
Phương pháp Thành phần y Thành phần z
Radau IA
Radau IIA
Lobatto IIIC
SDIRK (Alexander)
SDIRK (N & T)
Đối với bài toán nhiễu suy biến đơn (1.30) ta có thể nhận được mở rộng
của sai số trong các phần tử y và z = y' với dạng
trong đó là sai số của phương pháp Runge-Kutta được áp dụng
cho hệ với chỉ số 3 trong (1.31), ở đó k là tuyến tính đối với u. Các cấp của sai
số được xác định bởi các cột y (kuu = 0) và z trong Bảng 2.4.
2.6. Phương pháp nửa hiện
Với bài toán có dạng
phương pháp Runge-Kutta hiện có thể được áp dụng như sau
31
Đầu tiên ta xét trường hợp chỉ số 1 trong (1.4), (1.5), với gz là khả
nghịch. Bắt đầu từ Yn1 = yn, giá trị Zn1 có thể được tính theo (2.16.b). Chèn Zn1
vào (2.16.a) giúp ta tính được Yn2 trong một bước hiện. Từ đó ta tính được Zn2
theo (2.16.b), .... Trong trường hợp này, cấp hội tụ của cả hai phần tử là như
nhau đối với các phương trình vi phân thường. Các phương pháp của Dormand
& Prince (1980) là thích hợp và thuật toán ngoại suy của Gragg (1965).
Trong trường hợp chỉ số 2 (1.10), (1.11), trong đó g không phụ thuộc vào
z và gyfz là khả nghịch, công thức trên vẫn có thể áp dụng được. Tương tự như
trên, ta bắt đầu với Yn1 = yn. Chèn công thức (2.16.a) với i = 2 vào (2.16.b)
giúp ta tính được Zn1, sau đó Yn2 được tính từ bước hiện (2.16.a). Tiếp tục theo
cách này, ta tìm được Zns và yn+1 nhưng ta không thể xác định zn+1. Để có giá trị
xấp xỉ của z(xn+1), ta xem xét các phương pháp với cs = 1 và sẽ có
Tuy nhiên, đối với cả hai phần tử, bậc đều thấp hơn đối với phương trình
vi phân thường. Sự mở rộng được đưa ra bằng việc mở rộng phương pháp
ngoại suy h2 của Gragg. Trong phương pháp này, bậc đầy đủ được duy trì nếu f
là tuyến tính theo z.
Đối với bài toán chỉ số 3 trong (1.17), (1.18) với k tuyến tính theo u,
ngoại suy của phương pháp Euler ẩn được xét ở phần sau.
2.7. Ví dụ về hệ chỉ số 2 khi phương pháp số không áp dụng được
Phần tóm tắt kết quả hội tụ ở trên áp dụng cho các hệ với chỉ số 1, 2 và 3.
Các hệ này bao quát hầu hết các phương trình vi phân-đại số phát sinh trong
thực tế. Tuy nhiên, Gear, Hsu & Petzold (1981) lưu ý rằng tồn tại các hệ với chỉ
số 2 có nghĩa có thể gây khó khăn cho phương pháp số. Bài toàn đó là
32
Lấy đạo hàm phương trình đầu tiên của (2.12) và chèn kết quả vào phương
trình hai tìm được z(x) = g(x) - f '(x). Do phần tử nghiệm này phụ thuộc vào đạo
hàm đầu tiên của tính không thuần nhất f(x), chỉ số của hệ (2.12) là 2, không phụ
thuộc vào việc lựa chọn .Ta nhấn mạnh rằng (2.12) có dạng (1.13) nhưng không
thoả mãn điều kiện (1.8). Do đó kết quả của Bảng 2.3 là không đúng.
Nếu ta áp dụng phương pháp Runge-Kutta ẩn vào (2.12) (như đã được
giải thích ở trên) ta có xni = xn + cih
trong đó
và nghiệm số sau một bước được tính bởi
Chèn (2.13.b) vào (2.13.a) và khử thu được , một hệ
tuyến tính với ma trận
và về phải
Sử dụng (2.13.c) ta có hệ thức hồi quy đối với dạng
33
trong đó là một hàm hữu tỉ có thể có cực điểm (khi ma trận (2.14) suy
biến). Phép đệ quy này là không ổn định nếu .
Với ví dụ này, phương pháp Euler ẩn dẫn đến
và nghiệm số của (2.12) là phân kỳ nếu
Như vậy, trong chương này chúng tôi đã trình bày các phương pháp
Runge-Kutta để tìm nghiệm số của chúng. Chúng tôi cố gắng xem xét chủ
đề ở nhiều khía cạnh khác nhau từ lí thuyết đến phân tích số rồi thực thi và
ứng dụng. Nhiều ý tưởng và phương pháp được trình bày không chỉ áp dụng
hạn chế cho phương pháp Runge-Kutta, mà cũng có thể áp dụng cho các
phương pháp khác chẳng hạn như các phương pháp ẩn tuyến tính và phương
pháp đa bước.
34
KẾT LUẬN
Giải số hệ phương trình vi phân-đại số đóng vai trò quan trọng và được
ứng dụng rất nhiều trong thực tiễn hiện nay đặc biệt là trong nhiều lĩnh vực
kinh tế, khoa học kĩ thuật, hoá sinh học, môi trường, sinh thái học,.... Vì thế
giải số hệ phương trình vi phân-đại số được rất nhiều nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu và đến nay đã phát triển mạnh mẽ với những kết quả đạt được là
khá nhiều và sâu sắc. Trong phạm vi của luận văn tác giả đã trình bày một số
vấn đề về kiến thức cơ sở và phương pháp giải số hệ phương trình vi phân-đại
số bằng phương pháp Runge-Kutta của các tác giả Ernst Hairer, Chriseian
Lubich, Michel Roche trong cuốn: “The numerical solution of differential
algebraic system by Runge-Kutta methods”.
Tiếc rằng còn khá nhiều vấn đề chưa được làm sáng tỏ, chẳng hạn: Kết
quả về sự hội tụ của bậc, cấp hội tụ; Bài toán hội tụ lặp dạng Newton của hệ phi
tuyến tính và các ước sai số,.... Tác giả hy vọng những vấn đề này sẽ được tiếp
tục nghiên cứu trong thời gian tới.
Do thời gian, kinh nghiệm nghiên cứu, kiến thức toán học và trình độ
tiếng Anh của tác giả còn nhiều hạn chế, nên bản luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu
và những chỉ bảo chân tình của các quý thầy cô giáo cùng các bạn đồng
nghiệp quan tâm, để tác giả có thể hoàn thiện hơn nội dung của bản luận văn
này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn trước về mọi góp ý hữu ích cho việc hoàn
thiện bản luận văn!
35
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Phạm Kỳ Anh (2004); “Giải tích số”; NXB ĐHQG Hà Nội.
2. Berzins and R.M. Furzeland (1985); “A user's manual for SPRINT - a
versa-tile software package for solving systems of algebraic, ordinary and
partial differential equations: part 1 - algebraic and ordinary dif-ferential
equations”; Thornton Research Centre, Shell Research Ltd. TNER.85.058.
3. Ernst Hairer, Chriseian Lubich, Michel Roche (1989); “The numerical
solution of differential algebraic system by Runge - Kutta methods”;
Druckhaus Beltz, Hemsbach/Bergstr.
4. K.E. Brenan (1983); “Stability and convergence of difference approximations
for higher-index differential-algebraic systems with applicatios in tra-jectory
control”; Doctoral thesis, Dep. Math; Univ. of California; Los Angeles.
5. R. Alexander (1977); “Diagonally implicit Runge-Kutta methods for stiff
ODE's”; SIAM J. Numer. Anal., vol.14, pp. 1006-1021.
6. R.K. Alexander and J.J. Coyle (1988); “Runge-Kutta methods and
differential-algebraic systems”; Report, Iowa State University, Ames.
7. V.I. Arnold (1978); “Mathematical Methods of Classical Mechanics”;
Springer Ver-lag.
