(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N
TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)o0o(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
H(cid:128) V(cid:139)N D(cid:220)
PH(cid:215)(cid:204)NG PH(cid:129)P HI(cid:155)U CH(cid:159)NH H(cid:155) PH(cid:215)(cid:204)NG TR(cid:156)NH TO(cid:129)N T(cid:219) TRONG KH˘NG GIAN BANACH
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, 10/2018
(cid:30)(cid:132)I H¯C TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N
TR(cid:215)˝NG (cid:30)(cid:132)I H¯C KHOA H¯C (cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)o0o(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:22)(cid:21)
H(cid:128) V(cid:139)N D(cid:220)
PH(cid:215)(cid:204)NG PH(cid:129)P HI(cid:155)U CH(cid:159)NH H(cid:155) PH(cid:215)(cid:204)NG TR(cid:156)NH TO(cid:129)N T(cid:219) TRONG KH˘NG GIAN BANACH
Chuy¶n ng(cid:160)nh: To¡n øng d(cid:246)ng M¢ sŁ: 8460112
LU(cid:138)N V(cid:139)N TH(cid:132)C S(cid:158) TO(cid:129)N H¯C
GI(cid:129)O VI(cid:150)N H(cid:215)˛NG D(cid:136)N
PGS.TS. NGUY(cid:153)N TH(cid:192) THU TH(cid:213)Y
TH(cid:129)I NGUY(cid:150)N, 10/2018
iii
M(cid:246)c l(cid:246)c
B£ng k(cid:254) hi»u 1
M(cid:240) (cid:31)ƒu 2
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1. B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u
4 ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov
1.1 B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 To¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach . . . . . . . . . . 7
1.1.3 B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.4 V‰ d(cid:246) v• b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh . . . . . . . . . 16
1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 To¡n tß hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov . . . . 19
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2. Hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n
21 (cid:31)i»u m⁄nh
2.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh . . . . . . . . . . 21
2.1.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.2 Mºt sŁ b(cid:160)i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh 24
2.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.3 X§p x¿ hœu h⁄n chi•u . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
iv
K‚t lu“n 35
T(cid:160)i li»u tham kh£o 36
1
B£ng k(cid:254) hi»u
H kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c
kh(cid:230)ng gian Banach kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa X m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) cıa X
X X ∗ SX R
Rn
∀x
D(A)
t“p c¡c sŁ th(cid:252)c kh(cid:230)ng gian Euclid n chi•u v(cid:238)i m(cid:229)i x mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa to¡n tß A mi•n £nh cıa to¡n tß A to¡n tß ng(cid:247)æc cıa to¡n tß A
R(A) A−1 I to¡n tß (cid:31)(cid:231)ng nh§t
L(X, Y )
t“p t§t c£ c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c tł kh(cid:230)ng gian Banach X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian Banach Y kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n (cid:31)o⁄n [a, b] kh(cid:230)ng gian c¡c d¢y sŁ kh£ tŒng b“c p kh(cid:230)ng gian c¡c h(cid:160)m kh£ t‰ch b“c p tr¶n (cid:31)o⁄n [a, b] kho£ng c¡ch tł phƒn tß x (cid:31)‚n t“p hæp C gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa d¢y sŁ {xn} gi(cid:238)i h⁄n d(cid:247)(cid:238)i cıa d¢y sŁ {xn} d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh v• x0 d¢y {xn} hºi t(cid:246) y‚u v• x0 ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t
C[a, b] lp Lp[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim infn→∞ xn xn → x0 xn (cid:42) x0 J s J
Fix(T ) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa ¡nh x⁄ T
2
M(cid:240) (cid:31)ƒu
Kh¡i ni»m b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc nh(cid:160) To¡n h(cid:229)c Jacques
Hadamard ng(cid:247)(cid:237)i Ph¡p (cid:31)(cid:247)a ra v(cid:160)o n«m 1932 khi nghi¶n cøu £nh h(cid:247)(cid:240)ng
cıa b(cid:160)i to¡n gi¡ tr(cid:224) bi¶n v(cid:238)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh vi ph¥n. ˘ng l(cid:160) ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ ch¿
ra nhœng b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng Œn (cid:31)(cid:224)nh l(cid:160) "b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh" (xem
wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard).
i ∈ Y th(cid:228)a m¢n
X†t b(cid:160)i to¡n ng(cid:247)æc: t…m mºt (cid:31)⁄i l(cid:247)æng v“t l(cid:254) x ∈ X ch(cid:247)a bi‚t tł bº dœ ki»n (f0, f1, . . . , fN ) ∈ Y N +1, (cid:240) (cid:31)¥y X v(cid:160) Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian Banach, N ≥ 0. Tr¶n th(cid:252)c t‚, c¡c dœ ki»n n(cid:160)y th(cid:247)(cid:237)ng kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc bi‚t ch‰nh x¡c, m(cid:160) ch¿ (cid:31)(cid:247)æc bi‚t x§p x¿ b(cid:240)i f δ
i − fi(cid:107) ≤ δi,
(cid:107)f δ i = 0, 1, . . . , N, (1)
v(cid:238)i δi > 0 (sai sŁ cho tr(cid:247)(cid:238)c). Bº hœu h⁄n dœ ki»n f δ i ∈ Y , i = 0, 1, . . . , N nh“n (cid:31)(cid:247)æc b‹ng vi»c (cid:31)o (cid:31)⁄c tr(cid:252)c ti‚p tr¶n c¡c tham sŁ. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y
(cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) h…nh h(cid:226)a to¡n h(cid:229)c b(cid:240)i
i = 0, 1, . . . , N, (2) Ai(x) = fi,
(cid:240) (cid:31)¥y Ai : (cid:0)D(Ai) ⊆ X(cid:1) → Y v(cid:160) D(Ai) l(cid:160) k(cid:254) hi»u mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh cıa to¡n tß Ai t(cid:247)(cid:236)ng øng.
B(cid:160)i to¡n (2), n(cid:226)i chung, l(cid:160) mºt b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh theo ngh(cid:190)a
nghi»m kh(cid:230)ng duy nh§t v(cid:160) nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n
t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu. Do (cid:31)(cid:226), ng(cid:247)(cid:237)i ta ph£i sß d(cid:246)ng c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p
gi£i Œn (cid:31)(cid:224)nh b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. Mºt trong c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng
kh¡ rºng r¢i v(cid:160) hi»u qu£ l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov.
M(cid:246)c ti¶u cıa lu“n v«n l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov
3
hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (2) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp to¡n tß A0 (cid:31)(cid:236)n
(cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c, cÆn c¡c to¡n tß Ai, i = 1, . . . , N c(cid:226) t‰nh ch§t ng(cid:247)æc
(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trong kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ X trong b(cid:160)i b¡o
[9] c(cid:230)ng bŁ n«m 2018.
Nºi dung cıa lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong hai ch(cid:247)(cid:236)ng. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1
gi(cid:238)i thi»u kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian Banach, to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u
c(cid:252)c (cid:31)⁄i, to¡n tß li¶n t(cid:246)c, kh£ vi Fr†chet trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:242)ng
mºt sŁ t‰nh ch§t; (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:160) v‰ d(cid:246) v• b(cid:160)i to¡n ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng
ch¿nh; tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov hi»u ch¿nh
ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 gi(cid:238)i thi»u v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh, tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng
tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) x§p x¿ hœu h⁄n chi•u nghi»m
nghi»m ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian Banach c(cid:242)ng c¡c (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) hºi t(cid:246) m⁄nh.
Lu“n v«n (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh t⁄i Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c
Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n n(cid:160)y, Tr(cid:247)(cid:237)ng
(cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c (cid:31)¢ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t (cid:31)” t¡c gi£ h(cid:229)c t“p,
nghi¶n cøu. T¡c gi£ xin (cid:31)(cid:247)æc b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh (cid:31)‚n c¡c
thƒy, c(cid:230) trong khoa To¡n - Tin, trong Tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i
h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n. (cid:30)(cid:176)c bi»t, t¡c gi£ xin b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n s¥u s›c t(cid:238)i
PGS.TS. Nguy„n Th(cid:224) Thu Thıy - Ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ t“n t…nh h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t¡c
gi£ ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n n(cid:160)y. T¡c gi£ c(cid:244)ng xin (cid:31)(cid:247)æc gßi l(cid:237)i c£m (cid:236)n t(cid:238)i
Ban gi¡m hi»u Tr(cid:247)(cid:237)ng PTDTBT THCS Trung H(cid:160), x¢ Trung H(cid:160), huy»n
Chi¶m H(cid:226)a, t¿nh Tuy¶n Quang (cid:31)¢ lu(cid:230)n t⁄o (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t cho t¡c
gi£ ho(cid:160)n th(cid:160)nh kh(cid:226)a h(cid:229)c. Ch¥n th(cid:160)nh c£m (cid:236)n gia (cid:31)…nh, (cid:31)(cid:231)ng nghi»p,
b⁄n b– (cid:31)¢ lu(cid:230)n cŒ v(cid:244), (cid:31)ºng vi¶n t¡c gi£ trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160)
nghi¶n cøu./.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2018
T¡c gi£ lu“n v«n
H(cid:160) V«n D(cid:252)
4
Ch(cid:247)(cid:236)ng 1
B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh v(cid:160)
ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh
Browder(cid:21)Tikhonov
Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y gi(cid:238)i thi»u v• b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian
Banach; tr…nh b(cid:160)y v‰ d(cid:246) v• b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p
hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov hi»u ch¿nh b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. Nºi dung cıa
1.1 B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh
ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc tŒng hæp tł c¡c t(cid:160)i li»u [1], [3], [4] v(cid:160) [5].
M(cid:246)c n(cid:160)y tr…nh b(cid:160)y c¡c ki‚n thøc v•: kh(cid:230)ng gian Banach, b(cid:160)i to¡n
ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh v(cid:160) v‰ d(cid:246) v• b(cid:160)i to¡n ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh.
1.1.1 Kh(cid:230)ng gian Banach
Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t ta nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v• kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n v(cid:160)
kh(cid:230)ng gian Banach (xem [3]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1 Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh tr¶n tr(cid:247)(cid:237)ng sŁ th(cid:252)c R. (cid:129)nh x⁄ (cid:107).(cid:107) : X → R (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) mºt chu'n tr¶n X n‚u n(cid:226) th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)i•u ki»n sau:
(i) ||x|| ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X; ||x|| = 0 khi v(cid:160) ch¿ khi x = 0;
5
(ii) ||kx|| = |k|||x|| v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X, v(cid:238)i m(cid:229)i k ∈ R;
(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ X.
Kh(cid:230)ng gian tuy‚n t‰nh X c(cid:242)ng v(cid:238)i chu'n (cid:107).(cid:107) x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) tr¶n (cid:31)(cid:247)æc
g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n, k(cid:254) hi»u l(cid:160) (X, ||.||).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.2 D¢y {xn} trong kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) hºi t(cid:246) y‚u t(cid:238)i phƒn tß x0 ∈ X, k(cid:254) hi»u l(cid:160) xn (cid:42) x0, n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp cıa X, ta c(cid:226) f (xn) → f (x0) khi n → ∞.
Nh“n x†t 1.1.3 Mºt d¢y hºi t(cid:246) m⁄nh th… hºi t(cid:246) y‚u, nh(cid:247)ng (cid:31)i•u ng(cid:247)æc l⁄i kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. V‰ d(cid:246), trong kh(cid:230)ng gian Hilbert l2 ta l§y d¢y (e1, e2, . . . , en, . . . ) sao cho
i = j 1, khi (cid:104)ei, ej(cid:105) = i (cid:54)= j. 0, khi
Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i m(cid:229)i ϕ = (ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, . . . ) ∈ l2 ta c(cid:226) (cid:104)ej, ϕ(cid:105) = ϕj. V… ϕ ∈ l2 n¶n lim ϕj = 0, tøc l(cid:160) d¢y (e1, e2, . . . , en, . . . ) hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n j→∞ √
2 v(cid:238)i m(cid:229)i phƒn tß 0. Nh(cid:247)ng d¢y n(cid:160)y kh(cid:230)ng hºi t(cid:246) m⁄nh v… (cid:107)ei − ej(cid:107) = i kh¡c j, n¶n d¢y (e1, e2, . . . , en, . . . ) kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) d¢y Cauchy trong l2.
Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.4 Trong kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n X n‚u d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:31)‚n x0 th… xn (cid:42) x0 v(cid:160) (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x0(cid:107).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.5 Kh(cid:230)ng gian (cid:31)(cid:224)nh chu'n (cid:31)ƒy (cid:31)ı (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh(cid:230)ng
gian Banach.
Sau (cid:31)¥y ta d(cid:242)ng k(cid:254) hi»u (cid:107).(cid:107) cho chu'n trong X v(cid:160) X ∗ v(cid:160) vi‚t t‰ch (cid:31)Łi ng¤u (cid:104)x∗, x(cid:105) thay cho gi¡ tr(cid:224) cıa phi‚m h(cid:160)m tuy‚n t‰nh x∗ ∈ X ∗ t⁄i (cid:31)i”m x ∈ X, tøc l(cid:160) (cid:104)x∗, x(cid:105) = x∗(x).
V‰ d(cid:246) 1.1.6 C¡c kh(cid:230)ng gian sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach:
i=1
(cid:16) n (cid:88) (i) kh(cid:230)ng gian hœu h⁄n chi•u Rn v(cid:238)i chu'n x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i: |xi|2(cid:17) 1 2 , ||x||2 = x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn;
6
(ii) kh(cid:230)ng gian C[a, b] c¡c h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c tr¶n (cid:31)o⁄n [a, b] v(cid:238)i chu'n x¡c
(cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i:
{|f (x)|} , f ∈ C[a, b]. ||f || = sup x∈[a,b]
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.7 Kh(cid:230)ng gian Banach X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph£n x⁄ n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i phƒn tß x∗∗ ∈ X ∗∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp thø hai cıa X, (cid:31)•u t(cid:231)n t⁄i phƒn tß x ∈ X sao cho
x∗(x) = x∗∗(x∗) ∀x∗ ∈ X ∗.
V‰ d(cid:246) 1.1.8 (i) Kh(cid:230)ng gian Rn, kh(cid:230)ng gian Hilbert H, kh(cid:230)ng gian lp
v(cid:160) Lp[a, b] v(cid:238)i 1 < p < ∞ l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian ph£n x⁄.
(ii) C¡c kh(cid:230)ng gian l1, L1 kh(cid:230)ng ph£n x⁄.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau (cid:31)¥y (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng cho chøng minh s(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng
ph¡p hi»u ch¿nh (cid:240) Ch(cid:247)(cid:236)ng 2.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.9 (xem [4]) Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c m»nh (cid:31)• sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:
(i) X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian ph£n x⁄.
(ii) M(cid:229)i d¢y b(cid:224) ch(cid:176)n trong X (cid:31)•u c(cid:226) d¢y con hºi t(cid:246) y‚u.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.10 Kh(cid:230)ng gian Banach X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(i) l(cid:231)i ch(cid:176)t n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x, y thuºc m(cid:176)t cƒu (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) SX cıa kh(cid:230)ng gian
Banach X, SX := (cid:8)x ∈ X : (cid:107)x(cid:107) = 1(cid:9), x (cid:54)= y, th…
(cid:107)(1 − λ)x + λy(cid:107) < 1, λ ∈ (0, 1);
(ii) l(cid:231)i (cid:31)•u n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i 0 < ε ≤ 2, (cid:107)x(cid:107) ≤ 1, (cid:107)y(cid:107) ≤ 1 v(cid:160) (cid:107)x − y(cid:107) ≥ ε th…
t(cid:231)n t⁄i δ = δ(ε) > 0 sao cho
< 1 − δ. x + y 2 (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)
V‰ d(cid:246) 1.1.11 (i) Kh(cid:230)ng gian Rn, n ≥ 2 v(cid:238)i chu'n (cid:107)x(cid:107)2 (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh
nh(cid:247) V‰ d(cid:246) 1.1.6(i) l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t.
7
(ii) Kh(cid:230)ng gian Rn, n ≥ 2 v(cid:238)i chu'n (cid:107)x(cid:107)1 x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
(cid:107)x(cid:107)1 = |x1| + |x2| + . . . + |xn|, x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn,
kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t.
(iii) Kh(cid:230)ng gian lp, Lp[a, b] v(cid:238)i 1 < p < ∞ l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i (cid:31)•u.
(iv) C¡c kh(cid:230)ng gian l1, L1[a, b] kh(cid:230)ng l(cid:231)i (cid:31)•u.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.12 Kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:226) t‰nh ch§t ES (Ephimov(cid:21)Stechkin) n‚u X l(cid:231)i ch(cid:176)t v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ X hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n x ∈ X (xn (cid:42) x), (cid:107)xn(cid:107) → (cid:107)x(cid:107) th… d¢y {xn} hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:31)‚n x (xn → x).
1.1.2 To¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach
Cho X v(cid:160) Y l(cid:160) c¡c kh(cid:230)ng gian Banach. Trong lu“n v«n n(cid:160)y ta x†t
to¡n tß (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224) A : X → Y v(cid:238)i
Mi•n x¡c (cid:31)(cid:224)nh: D(A) := (cid:8)x ∈ X | A(x) (cid:54)= ∅(cid:9). Mi•n gi¡ tr(cid:224): R(A) := (cid:8)y ∈ Y | ∃x ∈ D(A) : A(x) = y(cid:9). (cid:30)(cid:231) th(cid:224): Gr(A) := (cid:8)(x, y) ∈ X × Y : x ∈ D(A), y = A(x)(cid:9).
Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp A l(cid:160) to¡n tß tuy‚n t‰nh ta s‡ vi‚t Ax thay cho A(x).
Sau (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m v• to¡n tß li¶n t(cid:246)c (xem [4]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.13 To¡n tß A : X → Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(i) li¶n t(cid:246)c t⁄i x ∈ D(A) n‚u m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) v(cid:160) xn → x th…
A(xn) → A(x);
(ii) li¶n t(cid:246)c theo tia hay hemi-li¶n t(cid:246)c t⁄i x ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i y ∈ X,
tn ∈ R sao cho x + tny ∈ D(A) th…
A(x + tny) (cid:42) A(x) khi tn → 0+;
(iii) b¡n li¶n t(cid:246)c hay demi-li¶n t(cid:246)c t⁄i x ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂
D(A) v(cid:160) xn → x khi n → ∞ th… A(xn) (cid:42) A(x) khi n → ∞;
8
(v) li¶n t(cid:246)c Lipschitz tr¶n D(A) n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ L > 0 sao cho v(cid:238)i
m(cid:229)i x, y ∈ D(A) ta c(cid:226)
(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107) ≤ L(cid:107)x − y(cid:107);
(vi) ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c tr¶n t“p ω ⊂ D(A) n‚u A li¶n t(cid:246)c v(cid:160) compact
tr¶n ω.
K(cid:254) hi»u t“p t§t c£ c¡c to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c A : X → Y l(cid:160)
L(X, Y ).
Nh“n x†t 1.1.14 (i) N‚u to¡n tß A li¶n t(cid:246)c Lipschitz th… n(cid:226) li¶n t(cid:246)c; n‚u to¡n tß A li¶n t(cid:246)c th… n(cid:226) demi-li¶n t(cid:246)c; n‚u to¡n tß A demi-li¶n t(cid:246)c th… n(cid:226) hemi-li¶n t(cid:246)c; chi•u ng(cid:247)æc l⁄i n(cid:226)i chung kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng.
(ii) N‚u to¡n tß A li¶n t(cid:246)c Lipschitz v(cid:238)i L = 1 th… A l(cid:160) to¡n tß kh(cid:230)ng
gi¢n; n‚u L ∈ [0, 1) th… A l(cid:160) to¡n tß co.
(iii) N‚u to¡n tß A l(cid:160) ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c trong kh(cid:230)ng gian v(cid:230) h⁄n chi•u
th… to¡n tß ng(cid:247)æc cıa n(cid:226) n(cid:226)i chung kh(cid:230)ng li¶n t(cid:246)c.
(vi) N‚u A l(cid:160) to¡n tß tuy‚n t‰nh th… t‰nh ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c v(cid:160) compact
l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng.
Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt kh¡i ni»m li¶n quan (cid:31)‚n t‰nh b¡n (cid:31)(cid:226)ng hay demi-(cid:31)(cid:226)ng
cıa (cid:31)(cid:231) th(cid:224) (cid:31)(cid:247)æc d(cid:242)ng trong Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 (xem [4]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.15 (i) T“p hæp G ⊂ X × Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b¡n (cid:31)(cid:226)ng hay demi-(cid:31)(cid:226)ng n‚u tł {(xn, yn)} ⊂ G (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i xn → x v(cid:160) yn (cid:42) y ho(cid:176)c xn (cid:42) x v(cid:160) yn → y khi n → ∞ suy ra (x, y) ∈ G.
(ii) To¡n tß A : X → Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) demi-(cid:31)(cid:226)ng n‚u (cid:31)(cid:231) th(cid:224) cıa n(cid:226) l(cid:160) t“p
demi-(cid:31)(cid:226)ng trong X × Y .
Nh“n x†t 1.1.16 (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.15 c(cid:226) th” ph¡t bi”u t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng nh(cid:247) sau: To¡n tß A : X → Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) demi-(cid:31)(cid:226)ng t⁄i x ∈ D(A) n‚u m(cid:229)i d¢y {xn} ⊂ D(A) m(cid:160) xn (cid:42) x v(cid:160) A(xn) → y ∈ Y ho(cid:176)c xn → x v(cid:160) A(xn) (cid:42) y ∈ Y khi n → ∞ th… A(x) = y.
9
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y
d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y (xem [4], [5]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.17 To¡n tß A : X → Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(i) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u (cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ D(A); (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t n‚u d§u "=" cıa b§t (cid:31)flng thøc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y;
(ii) d-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m kh(cid:230)ng ¥m d(t), kh(cid:230)ng gi£m v(cid:238)i
t ≥ 0, d(0) = 0 v(cid:160) th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t
(cid:104)A(x)−A(y), x−y(cid:105) ≥ (cid:0)d((cid:107)x(cid:107))−d((cid:107)y(cid:107))(cid:1)(cid:0)(cid:107)x(cid:107)−(cid:107)y(cid:107)(cid:1) ∀x, y ∈ D(A);
(iii) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u n‚u t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m kh(cid:230)ng ¥m δ(t), kh(cid:230)ng gi£m v(cid:238)i
t ≥ 0, δ(0) = 0 v(cid:160) th(cid:228)a m¢n t‰nh ch§t
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ δ(cid:0)(cid:107)x − y(cid:107)(cid:1) ∀x, y ∈ D(A);
n‚u δ(t) = λt2, λ l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng, th… A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß λ-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh;
(iv) bøc n‚u
= +∞ ∀x ∈ D(A); lim (cid:107)x(cid:107)→+∞ (cid:104)A(x), x(cid:105) (cid:107)x(cid:107)
(v) th‚ n«ng n‚u A(x) l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa phi‚m h(cid:160)m l(cid:231)i ϕ(x), tøc l(cid:160)
A(x) = ϕ(cid:48)(x).
Kh¡i ni»m to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.17
cÆn (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ d(cid:252)a tr¶n (cid:31)(cid:231) th(cid:224) nh(cid:247) sau.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.18 To¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n‚u
(cid:104)x∗ − y∗, x − y(cid:105) ≥ 0 ∀(x, x∗), (y, y∗) ∈ Gr(A).
Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y, (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Gr(A) cıa A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) t“p (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. N‚u Gr(A) kh(cid:230)ng b(cid:224) chøa th(cid:252)c s(cid:252) trong mºt t“p (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u kh¡c trong X × Y th… A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.
Mºt to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u hemi-li¶n t(cid:246)c x¡c (cid:31)(cid:224)nh tr¶n to(cid:160)n kh(cid:230)ng gian
ho(cid:176)c c(cid:226) t‰nh th‚ n«ng l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.
10
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.19 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.4.6, H» qu£ 1.7.16]) (i) N‚u to¡n tß A : (cid:0)D(A) = X(cid:1) → X ∗ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c th… A
l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.
(ii) N‚u A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) th‚ n«ng th… A l(cid:160) to¡n tß
(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.
BŒ (cid:31)• 1.1.20 (xem [5, M»nh (cid:31)• 1.4.3]) To¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u A : X → X ∗ l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n D(A) ⊆ X khi v(cid:160) ch¿ khi tł b§t (cid:31)flng thøc
(cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ D(A),
ta suy ra x0 ∈ D(A) v(cid:160) A(x0) = f .
Sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt k‚t qu£ li¶n quan (cid:31)‚n BŒ (cid:31)• 1.1.20 cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp
to¡n tß hemi-li¶n t(cid:246)c.
BŒ (cid:31)• 1.1.21 (xem [7], [12]) Cho X l(cid:160) mºt kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c, X ∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian li¶n hæp cıa X, f ∈ X ∗ v(cid:160) A : X → X ∗ l(cid:160) mºt to¡n tß hemi-li¶n t(cid:246)c. Khi (cid:31)(cid:226), n‚u t(cid:231)n t⁄i x0 ∈ X th(cid:228)a m¢n b§t (cid:31)flng thøc
(cid:104)A(x) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X,
th… A(x0) = f .
N‚u A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u tr¶n X th… (cid:31)i•u ki»n tr¶n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i
(cid:104)A(x0) − f, x − x0(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
BŒ (cid:31)• tr¶n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) BŒ (cid:31)• Minty, t¶n cıa nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c M(cid:255), ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ chøng minh k‚t qu£ tr¶n trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Hilbert.
Sau n(cid:160)y c(cid:244)ng ch‰nh (cid:230)ng v(cid:160) Browder (cid:31)¢ chøng minh mºt c¡ch (cid:31)ºc l“p
trong kh(cid:230)ng gian Banach.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.22 (xem [5, H» qu£ 1.4.10]) N‚u to¡n tß A : X → X ∗ l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i tr¶n D(A) th… t“p hæp c¡c phƒn tß {x ∈ D(A) : f ∈ A(x)} v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ R(A) l(cid:160) mºt t“p l(cid:231)i v(cid:160) (cid:31)(cid:226)ng trong X.
Tł (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) tr¶n suy ra n‚u A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) = f , f ∈ X ∗ c(cid:226) nghi»m th… t“p nghi»m cıa n(cid:226) l(cid:160) t“p con l(cid:231)i, (cid:31)(cid:226)ng trong X.
11
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.23 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.7.5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.8.8])
(i) N‚u A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i v(cid:160) bøc th… R(A) = X ∗.
(ii) N‚u A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i, B : X → X ∗ l(cid:160) to¡n
tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c v(cid:160) bøc th… R(A + B) = X ∗.
Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.23(i) ta suy ra n‚u to¡n tß A l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i v(cid:160) bøc, th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) = f c(cid:226) nghi»m v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗ cho tr(cid:247)(cid:238)c. T‰nh ch§t tr¶n c(cid:244)ng c(cid:226) th” (cid:31)(cid:247)æc ph¡t bi”u l⁄i nh(cid:247) sau.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.24 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.7.5, Ch(cid:243) (cid:254) 1.7.10]) N‚u A : (cid:0)D(A) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) mºt to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c v(cid:160) bøc tł kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ X v(cid:160)o X ∗ th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß A(x) = f c(cid:226) nghi»m v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗; Ngo(cid:160)i ra n‚u A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) = f c(cid:226) nghi»m duy nh§t v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.25 To¡n tß A : (cid:0)D(A) ⊆ X(cid:1) → Y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(i) kh£ vi Fr†chet (kh£ vi m⁄nh) t⁄i x ∈ D(A) n‚u t(cid:231)n t⁄i to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c T ∈ L(X, Y ) sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i h ∈ X th(cid:228)a m¢n x + h ∈ D(A) ta c(cid:226)
A(x + h) − A(x) = T h + r(x, h),
(cid:240) (cid:31)¥y (cid:107)r(x, h)(cid:107)/(cid:107)h(cid:107) → 0 khi (cid:107)h(cid:107) → 0. N‚u t(cid:231)n t⁄i th… T (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m Fr†chet cıa A t⁄i x v(cid:160) ta vi‚t A(cid:48)(x) = T . T(cid:247)(cid:236)ng øng A(cid:48)(x)h = T h (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) vi ph¥n Fr†chet cıa to¡n tß A t⁄i x. To¡n tß A (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) kh£ vi Fr†chet n‚u n(cid:226) kh£ vi Fr†chet t⁄i m(cid:229)i x ∈ D(A);
(ii) kh£ vi G¥teaux (kh£ vi y‚u) t⁄i x ∈ D(A) n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i h ∈ X, t ∈ R
th(cid:228)a m¢n x + th ∈ D(A), t(cid:231)n t⁄i gi(cid:238)i h⁄n
= δA(x, h). lim t→0 A(x + th) − A(x) t
N‚u t(cid:231)n t⁄i to¡n tß tuy‚n t‰nh li¶n t(cid:246)c B ∈ L(X, Y ) sao cho δA(x, h) = Bh th… A(cid:48)(x) := B (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux ((cid:31)⁄o h(cid:160)m y‚u) cıa A t⁄i x.
12
(cid:30)⁄o h(cid:160)m G¥teaux cıa mºt h(cid:160)m l(cid:231)i c(cid:226) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, (cid:31)(cid:226) l(cid:160) nºi
dung cıa m»nh (cid:31)• sau.
M»nh (cid:31)• 1.1.26 (xem [8, M»nh (cid:31)• 5.5]) Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} l(cid:160) mºt h(cid:160)m kh£ vi G¥teaux tr¶n X. Khi (cid:31)(cid:226), (cid:31)i•u ki»n cƒn v(cid:160) (cid:31)ı (cid:31)” h(cid:160)m ϕ l(cid:231)i tr¶n X l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux ϕ(cid:48) cıa n(cid:226) l(cid:160) mºt to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u tł X v(cid:160)o X ∗.
Nh“n x†t 1.1.27 To¡n tß kh£ vi Fr†chet th… kh£ vi G¥teaux v(cid:160) khi (cid:31)(cid:226)
(cid:31)⁄o h(cid:160)m m⁄nh v(cid:160) y‚u tr(cid:242)ng nhau. Ng(cid:247)æc l⁄i n‚u (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux t(cid:231)n t⁄i v(cid:160) li¶n t(cid:246)c trong l¥n c“n cıa x ∈ D(A) th… (cid:31)⁄o h(cid:160)m y‚u tr(cid:242)ng v(cid:238)i (cid:31)⁄o h(cid:160)m m⁄nh t⁄i x.
(cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t J s (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) sau (xem [5]).
, s > 1 (n(cid:226)i chung l(cid:160) (cid:31)a tr(cid:224))
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.28 (cid:129)nh x⁄ J s : X → 2X ∗ x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
J s(x) = {us ∈ X ∗ : (cid:104)x, us(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)us(cid:107), (cid:107)us(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)s−1},
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t cıa kh(cid:230)ng gian Banach X. Khi s = 2, ¡nh x⁄ J 2 (cid:31)(cid:247)æc k(cid:254) hi»u l(cid:160) J v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa X. Tøc l(cid:160)
J(x) = {u ∈ X ∗ : (cid:104)x, u(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)(cid:107)u(cid:107), (cid:107)u(cid:107) = (cid:107)x(cid:107)}.
(cid:129)nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c t(cid:231)n t⁄i trong m(cid:229)i kh(cid:230)ng gian Banach. Trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H, ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) I.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.29 (xem [5, BŒ (cid:31)• 1.5.4, 1.5.5]) Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c, J l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa X. Khi (cid:31)(cid:226),
(i) J(0) = {0};
(ii) J l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) bøc;
(iii) N‚u X ∗ l(cid:231)i ch(cid:176)t th… J (cid:31)(cid:236)n tr(cid:224);
13
(iv) N‚u X l(cid:231)i ch(cid:176)t th… J (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t;
(iii) N‚u X ph£n x⁄ v(cid:160) X ∗ l(cid:231)i ch(cid:176)t th… J demi-li¶n t(cid:246)c.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.30 (xem [5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.7.13]) Gi£ sß A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, J : X → X ∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa X. Khi (cid:31)(cid:226), A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i n‚u v(cid:160) ch¿ n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i α > 0, R(A + αJ) l(cid:160) to(cid:160)n bº kh(cid:230)ng gian X ∗.
Tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.30 ta th§y n‚u A : X → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i th… v(cid:238)i mØi α > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh A(x) + αJ(x) = f c(cid:226) nghi»m v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗ (xem [5, H» qu£ 1.8.9]).
Ta c(cid:244)ng c(cid:226) mŁi li¶n h» giœa to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i v(cid:160) t‰nh demi-
(cid:31)(cid:226)ng nh(cid:247) sau.
BŒ (cid:31)• 1.1.31 (xem [5, BŒ (cid:31)• 1.4.5, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.4.7])
(i) (cid:30)(cid:231) th(cid:224) cıa to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i A : X → X ∗ l(cid:160) demi-(cid:31)(cid:226)ng. (ii) N‚u to¡n tß A : (cid:0)D(A) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) demi-(cid:31)(cid:226)ng th…
A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i.
D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y l(cid:160) kh¡i ni»m v(cid:160) v‰ d(cid:246) v• to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh (xem
[11]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.32 To¡n tß A : X → X ∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh n‚u t(cid:231)n t⁄i h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng λ sao cho
(cid:104)A(x) − A(y), x − y(cid:105) ≥ λ(cid:107)A(x) − A(y)(cid:107)2 ∀x, y ∈ X.
Nh“n x†t 1.1.33 (xem [11])
(i) To¡n tß A : X → X ∗ ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh khi v(cid:160) ch¿ khi to¡n tß
ng(cid:247)æc cıa n(cid:226) (theo ngh(cid:190)a (cid:31)a tr(cid:224)) l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh.
(ii) M(cid:229)i to¡n tß λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) li¶n t(cid:246)c
Lipschitz v(cid:238)i h‹ng sŁ Lipschitz L = 1/λ.
14
(iii) M(cid:229)i to¡n tß λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh (cid:31)•u l(cid:160) to¡n tß b¡n (cid:31)(cid:226)ng. Th“t v“y, gi£ sß xn (cid:42) x, xn, x ∈ D(A) v(cid:160) A(xn) → y. Tł t‰nh λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh cıa to¡n tß A suy ra
λ(cid:107)A(xn) − A(x)(cid:107)2 ≤ (cid:104)A(xn) − A(x), xn − x(cid:105)
= (cid:104)A(xn) − y, xn − x(cid:105) − (cid:104)A(x) − y, xn − x(cid:105) → 0,
khi n → ∞.
Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.34 To¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh xu§t hi»n nhi•u trong
th(cid:252)c t‚ (xem [11, V‰ d(cid:246) 1, V‰ d(cid:246) 2]:
l(cid:160) gi¡ tr(cid:224) ri¶ng l(cid:238)n nh§t cıa (i) M(cid:229)i to¡n tß tuy‚n t‰nh A : H → H trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H t(cid:252) li¶n hæp, ho(cid:160)n to(cid:160)n li¶n t(cid:246)c v(cid:160) x¡c (cid:31)(cid:224)nh kh(cid:230)ng ¥m l(cid:160) to¡n tß λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, trong (cid:31)(cid:226) 1 λ to¡n tß A.
(ii) Ph†p chi‚u m¶tric PC chi‚u kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H l¶n t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng C cıa H v(cid:160) to¡n tß A := I − PC l(cid:160) 1-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh. Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng, c¡c to¡n tß n(cid:160)y kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trł khi C = H.
(iii) N‚u F : X → R l(cid:160) mºt phi‚m h(cid:160)m l(cid:231)i, kh£ vi li¶n t(cid:246)c theo Fr†chet
trong kh(cid:230)ng gian Banach X v(cid:160) gradient ∇F cıa n(cid:226) l(cid:160) -li¶n t(cid:246)c 1 λ Lipschitz, th… ∇F l(cid:160) to¡n tß λ-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh.
V‰ d(cid:246) 1.1.35 X†t to¡n tß A : L2[0, 1] → L2[0, 1] x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i
0
(cid:90) 1 (Ax)(t) = K(t, s) x(s) ds,
(cid:240) (cid:31)¥y K(t, s) l(cid:160) nh¥n t‰ch ph¥n, gi£ thi‚t li¶n t(cid:246)c v(cid:160) (cid:31)Łi xøng trong h…nh vu(cid:230)ng Ω := [0, 1] × [0, 1]. Khi (cid:31)(cid:226) to¡n tß t‰ch ph¥n A (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh nh(cid:247) tr¶n l(cid:160) t(cid:252) li¶n hæp v(cid:160) compact (xem [3]). N‚u to¡n tß A x¡c (cid:31)(cid:224)nh kh(cid:230)ng
¥m, tøc l(cid:160)
0
0
(cid:90) 1 (cid:90) 1 (cid:104)Ax, x(cid:105) = K(t, s) x(t) x(s)dt ds ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ L2[0, 1],
th… A l(cid:160) to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh.
15
1.1.3 B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh
Ta x†t b(cid:160)i to¡n (cid:240) d⁄ng ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß trong kh(cid:230)ng gian Banach X: v(cid:238)i f ∈ X ∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp cıa X, cho tr(cid:247)(cid:238)c, t…m phƒn tß x∗ ∈ X th(cid:228)a m¢n
A(x∗) = f, (1.1)
(cid:240) (cid:31)¥y A : X → X ∗ l(cid:160) mºt to¡n tß tł kh(cid:230)ng gian Banach X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian li¶n hæp X ∗ cıa X. Kh¡i ni»m b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc Hadamard (cid:31)(cid:247)a ra v(cid:160)o (cid:31)ƒu th‚ k(cid:27) XX nh(cid:247) sau (xem [1] v(cid:160) t(cid:160)i li»u (cid:31)(cid:247)æc tr‰ch d¤n
trong (cid:31)(cid:226)).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.36 B(cid:160)i to¡n (1.1) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t ch¿nh n‚u
(i) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.1) c(cid:226) nghi»m v(cid:238)i m(cid:229)i f ∈ X ∗;
(ii) nghi»m n(cid:160)y l(cid:160) duy nh§t;
(iii) nghi»m ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.37 N‚u ‰t nh§t mºt trong ba (cid:31)i•u ki»n trong (cid:30)(cid:224)nh
ngh(cid:190)a 1.1.36 kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n th… b(cid:160)i to¡n (1.1) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t
kh(cid:230)ng ch¿nh.
Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.38 (a) (cid:30)Łi v(cid:238)i hƒu h‚t c¡c b(cid:160)i to¡n phi tuy‚n th… (cid:31)i•u ki»n
(ii) cıa (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.36 gƒn nh(cid:247) kh(cid:230)ng th(cid:228)a m¢n. H(cid:236)n nœa, (cid:31)i•u
ki»n (iii) c(cid:244)ng kh(cid:226) th(cid:252)c hi»n (cid:31)(cid:247)æc.
(b) Trong lu“n v«n n(cid:160)y ta s‡ x†t b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng
hæp kh(cid:230)ng duy nh§t nghi»m v(cid:160) nghi»m kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c
v(cid:160)o dœ ki»n ban (cid:31)ƒu.
V… t‰nh kh(cid:230)ng duy nh§t nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng
ch¿nh (1.1), n¶n ta cƒn ph£i c(cid:226) mºt ti¶u chu'n cho s(cid:252) l(cid:252)a ch(cid:229)n cıa nghi»m. C¡c k‚t qu£ tr…nh b(cid:160)y trong lu“n v«n s‡ sß d(cid:246)ng nghi»m x0 c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t, ngh(cid:190)a l(cid:160) ta t…m nghi»m x0 ∈ S, t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n (1.1), th(cid:228)a m¢n
(1.2) (cid:107)x0 − x∗(cid:107) = min (cid:8)(cid:107)x − x∗(cid:107) : A(x) = f (cid:9).
16
Phƒn tß x∗ (cid:31)(cid:226)ng vai trÆ nh(cid:247) mºt ti¶u chu'n cho s(cid:252) l(cid:252)a ch(cid:229)n nghi»m. B‹ng c¡ch ch(cid:229)n x∗ ta c(cid:226) th” c(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc nghi»m m(cid:160) ta mong muŁn.
1.1.4 V‰ d(cid:246) v• b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh
Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredholm tuy‚n t‰nh lo⁄i mºt l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t
kh(cid:230)ng ch¿nh. Khflng (cid:31)(cid:224)nh n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong v‰ d(cid:246) sau (cid:31)¥y.
V‰ d(cid:246) 1.1.39 (xem [1]) B(cid:160)i to¡n t…m nghi»m x0(s) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredholm tuy‚n t‰nh lo⁄i mºt c(cid:226) d⁄ng
0
(cid:90) 1 (1.3) K(t, s) x0(s) ds = f0(t),
0
(cid:240) (cid:31)¥y f0(t) l(cid:160) h(cid:160)m li¶n t(cid:246)c cho tr(cid:247)(cid:238)c trong kh(cid:230)ng gian L2[0, 1]. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh t‰ch ph¥n Fredholm tuy‚n t‰nh lo⁄i mºt (1.3) l(cid:160) b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh. Th“t v“y, gi£ sß ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.3) c(cid:226) nghi»m x0(s). Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i v‚ ph£i (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds, f1(t) = f0(t) + N
ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.3) c(cid:226) nghi»m
x1(s) = x0(s) + N sin(ωs).
2
V(cid:238)i N b§t k(cid:253) v(cid:160) ω (cid:31)ı l(cid:238)n th… kho£ng c¡ch giœa hai h(cid:160)m f0 v(cid:160) f1 trong L2[0, 1] l(cid:160)
0
0
(cid:21)2 (cid:27) 1 (cid:26) (cid:90) 1 (cid:20) (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds dt , (1.4) ρL2[0,1](f0, f1) = |N |
c(cid:226) th” l(cid:160)m nh(cid:228) t(cid:242)y (cid:254). Th“t v“y, cho tr(cid:247)(cid:238)c ε > 0, t(cid:231)n t⁄i Kε(t, s) ∈ C 1(Ω), Ω := [0, 1] × [0, 1], sao cho
. (cid:107)Kε − K(cid:107)C 1 ≤ ε 2N
H(cid:236)n nœa, do nh¥n Kε(t, s) kh£ vi li¶n t(cid:246)c tr¶n mi•n Ω, n¶n t(cid:231)n t⁄i Mε > 0, sao cho
2(cid:107)Kε(cid:107)∞ + ≤ Mε (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13) (cid:13)∞ ∂Kε ∂s
17
1
0
0
0
(cid:26) (cid:90) 1 cos ωsds = − − (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) cos ωs (cid:12) ∂Kε ∂s 1 ω (chu'n max trong kh(cid:230)ng gian C 1(Ω)). T‰ch ph¥n tłng phƒn, ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:12) (cid:90) 1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12) (cid:27)(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
< , ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Mε ω ε 2N
. Do (cid:31)(cid:226), khi ω ≥ ω(ε) := 2N Mε ε
0
0
0
(cid:90) 1 (cid:90) 1 K(t, s) sin(ωs)ds ≤ (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) Kε(t, s) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12) (cid:90) 1 + (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (Kε(t, s) − K(t, s)) sin(ωs)ds (cid:12) (cid:12)
. ≤ ε N
Tł (cid:31)¥y suy ra
∀ε > 0, = ε. ∃ω(ε) : ∀ω > ω(ε), (cid:107)f1 − f0(cid:107) ≤ N ε N
2
2
Nh(cid:247) v“y, khi ω (cid:31)ı l(cid:238)n, f1 r§t gƒn f0, trong khi kho£ng c¡ch giœa hai nghi»m x0(s) v(cid:160) x1(s) trong kh(cid:230)ng gian L2[0, 1] c(cid:226) th” l(cid:160)m l(cid:238)n b§t k(cid:253) v…
2ds
0
2
(cid:27) 1 (cid:27) 1 (cid:26) (cid:90) 1 (cid:26) (cid:90) 1 = |N | sin2(ωs)ds ρL2[0,1](x0, x1) = (cid:12)x0(s) − x1(s)(cid:12) (cid:12) (cid:12)
2
(cid:27) 1 (cid:90) 1 (cid:0)1 − cos(2ωs)(cid:1)ds = |N |
0 (cid:18)
0 (cid:26)1 2 (cid:26)1 2
(cid:19)(cid:27) 1 = |N | 1 − sin(2ω) 2ω
1.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh
≥ . N 2
1.2.1 To¡n tß hi»u ch¿nh
Ta x†t b(cid:160)i to¡n (1.1) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp to¡n tß A cho tr(cid:247)(cid:238)c mºt c¡ch
ch‰nh x¡c cÆn v‚ ph£i f (cid:31)(cid:247)æc bi‚t x§p x¿ b(cid:240)i fδ th(cid:228)a m¢n
δ → 0. (1.5) (cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ,
18
Nh(cid:247) v“y, v(cid:238)i dœ ki»n fδ v(cid:160) sai sŁ δ cho tr(cid:247)(cid:238)c ta cƒn t…m mºt phƒn tß xδ ∈ X hºi t(cid:246) (cid:31)‚n nghi»m ch‰nh x¡c x0 ∈ S cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.1) c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t khi δ → 0. Phƒn tß xδ c(cid:226) t‰nh ch§t nh(cid:247) v“y (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nghi»m x§p x¿ cıa b(cid:160)i to¡n (1.1). Rª r(cid:160)ng ta kh(cid:230)ng th” x¥y d(cid:252)ng phƒn tß xδ theo quy t›c xδ = A−1fδ, v… thø nh§t l(cid:160) A−1 c(cid:226) th” kh(cid:230)ng x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:238)i fδ ∈ Y , thø hai l(cid:160) A−1 kh(cid:230)ng li¶n t(cid:246)c, n¶n A−1fδ n‚u t(cid:231)n t⁄i, c(cid:244)ng ch(cid:247)a ch›c (cid:31)¢ x§p x¿ A−1f . (cid:30)” nh“n (cid:31)(cid:247)æc nghi»m Œn (cid:31)(cid:224)nh ta ph£i sß d(cid:246)ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh.
Sau (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a v• to¡n tß hi»u ch¿nh (xem [1]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.2.1 Cho A : X → X ∗ l(cid:160) mºt to¡n tß tł kh(cid:230)ng gian Banach X v(cid:160)o kh(cid:230)ng gian li¶n hæp X ∗ cıa X. To¡n tß T (f, α) ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o tham sŁ α, t¡c (cid:31)ºng tł X ∗ v(cid:160)o X (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) to¡n tß hi»u ch¿nh cho b(cid:160)i to¡n (1.1) n‚u:
(i) t(cid:231)n t⁄i hai sŁ d(cid:247)(cid:236)ng δ1 v(cid:160) α1 sao cho to¡n tß T (f, α) x¡c (cid:31)(cid:224)nh v(cid:238)i
m(cid:229)i α ∈ (0, α1) v(cid:160) v(cid:238)i m(cid:229)i fδ ∈ X ∗ th(cid:228)a m¢n
(cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);
(ii) t(cid:231)n t⁄i mºt h(cid:160)m α = α(δ, fδ) ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o δ sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i ε > 0,
lu(cid:230)n t…m (cid:31)(cid:247)æc δ(ε) ≤ δ1 (cid:31)” v(cid:238)i m(cid:229)i fδ ∈ X ∗ th(cid:228)a m¢n
α − x∗(cid:107) ≤ ε, (cid:240) (cid:31)¥y xδ
α ∈ T (fδ, α(δ, fδ)) v(cid:160) x∗ l(cid:160) nghi»m c(cid:226) x∗-chu'n
(cid:107)fδ − f (cid:107) ≤ δ ≤ δ(ε),
th… (cid:107)xδ nh(cid:228) nh§t cıa b(cid:160)i to¡n (1.1).
α ∈ T (fδ, α(δ, fδ)) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nghi»m hi»u ch¿nh cıa b(cid:160)i to¡n (1.1), α = α(δ, fδ) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) tham sŁ hi»u ch¿nh. Tham sŁ hi»u ch¿nh α(δ, fδ) ph£i (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n sao cho
Phƒn tß x§p x¿ xδ
α(δ, fδ) = 0. lim δ→0
Nh“n x†t 1.2.2 Vi»c t…m nghi»m x§p x¿ ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o v‚ ph£i
cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.1) g(cid:231)m hai b(cid:247)(cid:238)c:
19
(i) X¥y d(cid:252)ng to¡n tß hi»u ch¿nh T (f, α).
(ii) X¡c (cid:31)(cid:224)nh tham sŁ hi»u ch¿nh α d(cid:252)a v(cid:160)o th(cid:230)ng tin cıa b(cid:160)i to¡n v•
phƒn tß fδ v(cid:160) sai sŁ δ.
1.2.2 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov
Mºt trong nhœng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng rºng r¢i v(cid:160)
kh¡ hi»u qu£ l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov. Nºi dung cıa ph(cid:247)(cid:236)ng
α cıa phi‚m h(cid:160)m Tikhonov (xem [13])
ph¡p n(cid:160)y l(cid:160) x¥y d(cid:252)ng nghi»m hi»u ch¿nh cho b(cid:160)i to¡n (1.1) d(cid:252)a tr¶n vi»c t…m phƒn tß c(cid:252)c ti”u xδ
α(x) = (cid:107)A(x) − f δ(cid:107)2 + α(cid:107)x − x∗(cid:107)2, F δ
(1.6)
(cid:240) (cid:31)¥y, α > 0 l(cid:160) tham sŁ hi»u ch¿nh. K‚t qu£ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Tikhonov l(cid:160) v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n (cid:31)(cid:176)t l¶n to¡n tß A, v(cid:238)i c¡ch ch(cid:229)n tham sŁ hi»u ch¿nh α th‰ch hæp, phƒn tß c(cid:252)c ti”u xδ α cıa (1.6) l(cid:160) x§p x¿ tŁt cho nghi»m x0 cıa b(cid:160)i to¡n (1.1).
Thay cho b(cid:160)i to¡n tŁi (cid:247)u kh(cid:230)ng r(cid:160)ng buºc tr¶n, Lavrentiev (xem [10]) (cid:31)(cid:247)a ra ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp to¡n tß A tuy‚n t‰nh x¡c (cid:31)(cid:224)nh kh(cid:230)ng ¥m trong kh(cid:230)ng gian Hilbert H:
Ax + αx = f, α > 0.
Browder (xem [7]) m(cid:240) rºng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p n(cid:160)y cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp to¡n tß
A phi tuy‚n (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u trong kh(cid:230)ng gian Banach X:
A(x) + αM (x) = f,
v(cid:238)i M l(cid:160) to¡n tß hemi-li¶n t(cid:246)c, d-(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Sau (cid:31)(cid:226), nhi•u t¡c gi£ (cid:31)¢ sß d(cid:246)ng ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u tŒng qu¡t J s cıa kh(cid:230)ng gian Banach X thay cho to¡n tß M l(cid:160)m th(cid:160)nh phƒn hi»u ch¿nh v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p t(cid:247)(cid:236)ng øng
(cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov. S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa
ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong (cid:31)(cid:224)nh
l(cid:254) sau (cid:31)¥y.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.2.3 (xem [5]) Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ c(cid:226) t‰nh ch§t ES, X ∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t, A : (cid:0)D(A) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160)
20
to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i mØi α > 0 v(cid:160) fδ ∈ X ∗, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
A(x) + αJ s(x − x∗) = f δ,
α
α. Ngo(cid:160)i ra, n‚u α,
→ 0 th… d¢y (cid:8)xδ (1.7) (cid:9) hºi t(cid:246) δ α c(cid:226) duy nh§t nghi»m xδ m⁄nh (cid:31)‚n x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t.
21
Ch(cid:247)(cid:236)ng 2
Hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n
tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh
Ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y gi(cid:238)i thi»u v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh
v(cid:160) tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc
(cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh k‚t hæp v(cid:238)i x§p x¿ hœu h⁄n chi•u nghi»m hi»u ch¿nh. Nºi
dung cıa ch(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)æc vi‚t tr¶n c(cid:236) s(cid:240) b(cid:160)i b¡o trong [9] c(cid:230)ng bŁ n«m
2.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh
2018.
Trong m(cid:246)c n(cid:160)y ta gi(cid:238)i thi»u v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160)
mºt sŁ b(cid:160)i to¡n li¶n quan (xem [1], [5], [9]).
2.1.1 H» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß
Cho Ai : (cid:0)D(Ai) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) c¡c to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c tł kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ X v(cid:160)o X ∗, fi ∈ X ∗, i = 0, 1, . . . , N . T…m phƒn tß x0 ∈ X sao cho
i = 0, 1, . . . , N, (2.1) Ai(x0) = fi,
v(cid:238)i N ≥ 0 l(cid:160) sŁ t(cid:252) nhi¶n. N‚u kh(cid:230)ng c(cid:226) th¶m (cid:31)i•u ki»n g… (cid:31)(cid:176)c bi»t (cid:31)(cid:176)t l¶n c¡c to¡n tß Ai, chflng h⁄n nh(cid:247) t‰nh (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (cid:31)•u ho(cid:176)c (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, th… b(cid:160)i to¡n t…m nghi»m cıa mØi ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh cıa h» (2.1) l(cid:160)
22
mºt b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh. Do (cid:31)(cid:226), b(cid:160)i to¡n (2.1) n(cid:226)i chung, c(cid:244)ng l(cid:160)
mºt b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh. Trong ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y ta x†t b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t
kh(cid:230)ng ch¿nh (2.1) theo ngh(cid:190)a nghi»m kh(cid:230)ng duy nh§t v(cid:160) nghi»m kh(cid:230)ng ph(cid:246) thuºc li¶n t(cid:246)c v(cid:160)o dœ ki»n fi ∈ X ∗, i = 0, 1, . . . , N , (cid:240) (cid:31)¥y Ai (cid:31)(cid:247)æc cho ch‰nh x¡c. Thay cho c¡c gi¡ tr(cid:224) (cid:31)(cid:243)ng fi ta ch¿ (cid:31)(cid:247)æc bi‚t c¡c x§p x¿ f δ i v(cid:160) gi¡ tr(cid:224) cıa (cid:31)⁄i l(cid:247)æng δ > 0 th(cid:228)a m¢n
i (cid:107) ≤ δ,
δ → 0. (2.2) (cid:107)fi − f δ
N (cid:92)
Theo c¡c gi¡ tr(cid:224) gƒn (cid:31)(cid:243)ng f δ i (cid:31)(cid:247)æc cho, ta (cid:31)Æi h(cid:228)i s(cid:252) Œn (cid:31)(cid:224)nh khi x§p x¿ nghi»m x0 ∈ S, t“p nghi»m cıa h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (2.1). Gi£ thi‚t r‹ng h» (2.1) c(cid:226) nghi»m, tøc l(cid:160)
i=0
S := (2.3) Si (cid:54)= ∅,
(cid:240) (cid:31)¥y Si l(cid:160) k(cid:254) hi»u t“p nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh thø i cıa h» (2.1), ngh(cid:190)a l(cid:160):
(cid:9), i = 0, 1, . . . , N. Si := (cid:8)x∗ ∈ X : Ai(x∗) = fi
2.1.2 Mºt sŁ b(cid:160)i to¡n li¶n quan
(a) B(cid:160)i to¡n c(cid:252)c tr(cid:224)
Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t l(cid:160) kh¡i ni»m v• h(cid:160)m l(cid:231)i, h(cid:160)m nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i v(cid:160) h(cid:160)m kh£
vi G¥teaux (xem [2]).
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1 H(cid:160)m ϕ : X → R ∪ {+∞} (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
(i) h(cid:160)m l(cid:231)i n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i x, y ∈ X v(cid:160) m(cid:229)i λ ∈ [0, 1],
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y); (2.4)
(ii) h(cid:160)m l(cid:231)i ch(cid:176)t n‚u d§u "=" (cid:240) b§t (cid:31)flng thøc (2.4) ch¿ (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc khi
x = y.
(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.2 H(cid:160)m ϕ : X → R ∪ {+∞} (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160)
23
(i) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X n‚u
ϕ(y) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ X; lim inf y→x
(ii) nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i y‚u tr¶n X n‚u v(cid:238)i m(cid:229)i d¢y {xn} cıa X hºi t(cid:246)
y‚u (cid:31)‚n x (xn (cid:42) x) th…
ϕ(xn) ≥ ϕ(x) ∀x ∈ X; lim inf n→∞
(iii) kh£ vi G¥teaux t⁄i (cid:31)i”m x ∈ X n‚u t(cid:231)n t⁄i x∗ ∈ X ∗ sao cho
= (cid:104)x∗, y(cid:105) ∀y ∈ X, lim λ→+0 ϕ(x + λy) − ϕ(x) λ
x∗ (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux cıa ϕ t⁄i x, k(cid:254) hi»u l(cid:160) ϕ(cid:48)(x).
Nhi•u v§n (cid:31)• cıa th(cid:252)c t‚ d¤n (cid:31)‚n vi»c t…m c(cid:252)c tr(cid:224) kh(cid:230)ng r(cid:160)ng buºc
cıa phi‚m h(cid:160)m l(cid:231)i, tr(cid:236)n. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y s‡ (cid:31)(cid:247)a (cid:31)‚n vi»c t…m nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß d⁄ng Ai(x) = fi v(cid:238)i mØi i = 0, 1, . . . , N . Th“t v“y, n‚u Ai l(cid:160) (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux cıa mºt h(cid:160)m l(cid:231)i ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i ϕi : X → R ∪ {+∞} th… t“p Si tr(cid:242)ng v(cid:238)i t“p nghi»m cıa b(cid:160)i to¡n c(cid:252)c tr(cid:224)
(2.5) ϕi(x) ϕi(x∗) = min x∈X
v(cid:160) l(cid:160) mºt t“p l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong X. Do (cid:31)(cid:226) S c(cid:244)ng l(cid:160) mºt t“p con l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng trong X. K‚t qu£ n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc suy ra tł (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.19, (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.22, BŒ
(cid:31)• Minty v(cid:160) m»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y.
M»nh (cid:31)• 2.1.3 (xem [8, M»nh (cid:31)• 2.1]) Gi£ sß ϕ : X → R ∪ {+∞} l(cid:160) mºt phi‚m h(cid:160)m l(cid:231)i ch‰nh th(cid:247)(cid:237)ng, nßa li¶n t(cid:246)c d(cid:247)(cid:238)i tr¶n X v(cid:160) kh£ vi G¥teaux v(cid:238)i (cid:31)⁄o h(cid:160)m G¥teaux l(cid:160) A. Khi (cid:31)(cid:226), c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) t(cid:247)(cid:236)ng
(cid:31)(cid:247)(cid:236)ng:
(i) x∗ l(cid:160) (cid:31)i”m c(cid:252)c ti”u cıa ϕ(x) tr¶n X;
(ii) (cid:104)A(x∗), x − x∗(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X;
(iii) (cid:104)A(x), x − x∗(cid:105) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X.
24
(b) B(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa c¡c to¡n tß th‚ n«ng
kh(cid:230)ng gi¢n
B(cid:160)i to¡n t…m (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng chung cıa c¡c to¡n tß th‚ n«ng kh(cid:230)ng gi¢n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:247)a v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (2.1) v(cid:238)i fi = 0. B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)æc mi¶u t£ nh(cid:247) sau: Cho Ti : H → H, i = 0, 1, . . . , N l(cid:160) c¡c to¡n tß kh(cid:230)ng gi¢n trong kh(cid:230)ng gian Hilbert th(cid:252)c H. (cid:30)(cid:176)t Ci := Fix(Ti) l(cid:160) t“p (cid:31)i”m b§t (cid:31)ºng cıa to¡n tß Ti, ngh(cid:190)a l(cid:160) Fix(Ti) := (cid:8)x ∈ H : Ti(x) = x(cid:9).
N (cid:84) i=0
H¢y t…m phƒn tß ˜x ∈ C := Ci. B(cid:160)i to¡n n(cid:160)y (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc nghi¶n cøu v(cid:238)i
(cid:31)i•u ki»n
C : = Fix(TN . . . T1T0) = Fix(T0TN . . . T1) = . . .
= Fix(TN −1TN −2 . . . T0TN ),
trong kh(cid:230)ng gian Hilbert v(cid:160) sau (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc m(cid:240) rºng cho kh(cid:230)ng gian Banach.
i(x) = Ti(x). Khi (cid:31)(cid:226)
(cid:30)i•u ki»n tr¶n c(cid:226) th” (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc b(cid:240)i t‰nh ch§t th‚ n«ng cıa c¡c to¡n tß Ti, ngh(cid:190)a l(cid:160) t(cid:231)n t⁄i h(cid:160)m fi(x) sao cho f (cid:48)
− fi(x), ϕi(x) :=
2.2 Hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n
(cid:31)i»u m⁄nh
(cid:107)x(cid:107)2 2 l(cid:160) h(cid:160)m l(cid:231)i, b(cid:240)i v… (cid:31)⁄o h(cid:160)m cıa n(cid:226) Ai := I −Ti l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u (M»nh (cid:31)• 1.1.26) v(cid:160) Ci = Si, i = 0, 1, . . . , N .
2.2.1 Ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh
M(cid:246)c n(cid:160)y x†t ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh gi£i h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh (2.1) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp A0 l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c, cÆn c¡c to¡n tß Ai kh¡c (cid:31)•u l(cid:160) to¡n tß λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, i = 1, . . . , N .
N (cid:88)
X†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh
i ) + αJ(x − x∗) = f δ 0 ,
i=1
(2.6) A0(x) + αµ (Ai(x) − f δ
25
v(cid:238)i α > 0 l(cid:160) tham sŁ hi»u ch¿nh, µ l(cid:160) h‹ng sŁ cŁ (cid:31)(cid:224)nh thuºc kho£ng (0, 1), A0 : (cid:0)D(A0) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c, Ai : (cid:0)D(Ai) = X(cid:1) → X ∗, i = 1, . . . , N l(cid:160) c¡c to¡n tß λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh.
Nh“n x†t 2.2.1 Theo gi£ thi‚t ta th§y Ai l(cid:160) c¡c to¡n tß λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh n¶n Ai l(cid:160) c¡c to¡n tß 1/λi-li¶n t(cid:246)c Lipschitz (xem Ch(cid:243) (cid:254) 1.1.33), do (cid:31)(cid:226) Ai l(cid:160) c¡c to¡n tß hemi-li¶n t(cid:246)c (xem Nh“n x†t 1.1.14). B(cid:240)i v“y, v(cid:238)i mØi α > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) c(cid:226) c(cid:226) duy nh§t nghi»m xδ α. K‚t lu“n n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong bŒ (cid:31)• sau.
BŒ (cid:31)• 2.2.2 (xem [9]) Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach th(cid:252)c ph£n x⁄ v(cid:160) l(cid:231)i ch(cid:176)t, X ∗, kh(cid:230)ng gian li¶n hæp cıa X, c(cid:244)ng l(cid:231)i ch(cid:176)t, A0 : (cid:0)D(A0) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c, Ai : (cid:0)D(Ai) = X(cid:1) → X ∗, i = 1, . . . , N l(cid:160) c¡c to¡n tß λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, J : X → X ∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa kh(cid:230)ng gian Banach X. Khi (cid:31)(cid:226), v(cid:238)i mØi α > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) c(cid:226) duy nh§t nghi»m xδ α.
N (cid:80) i=0
Chøng minh. (cid:30)(cid:176)t A(.) := αµiAi(.). Theo Nh“n x†t 2.2.1, A l(cid:160) to¡n
tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c v(cid:160) D(A) = X. Do (cid:31)(cid:226), A l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u
c(cid:252)c (cid:31)⁄i (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.19). Theo (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.30, ta suy ra ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) c(cid:226) nghi»m, k(cid:254) hi»u l(cid:160) xδ α. M(cid:176)t kh¡c, do X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i ch(cid:176)t n¶n ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t (xem (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.29), suy ra to¡n tß A + αJ c(cid:244)ng (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u ch(cid:176)t. V… v“y, v(cid:238)i mØi α > 0 ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) c(cid:226) nghi»m duy nh§t, k(cid:254) hi»u l(cid:160) xδ α (xem (cid:3) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.24).
2.2.2 S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.3 (xem [9]) Cho X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ th(cid:252)c c(cid:226) t‰nh ch§t ES, X ∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian l(cid:231)i ch(cid:176)t, J : (cid:0)D(J) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c cıa X, A0 : (cid:0)D(A0) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u, hemi-li¶n t(cid:246)c, c¡c to¡n tß Ai : (cid:0)D(Ai) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) λi-ng(cid:247)æc j ∈ X ∗ v(cid:238)i δ > 0, j = 0, 1, . . . , N , th(cid:228)a (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, i = 1, . . . , N , f δ
26
i=1Si (cid:54)= ∅. Khi (cid:31)(cid:226), n‚u tham sŁ hi»u
m¢n (2.2) v(cid:160) t“p nghi»m S := ∩N ch¿nh α(δ) (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:229)n th(cid:228)a m¢n
α(δ) → 0 → 0 khi δ → 0 v(cid:160) (2.7) δ α(δ)
(cid:9) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) hºi t(cid:246) m⁄nh t(cid:238)i
th… d¢y nghi»m hi»u ch¿nh (cid:8)xδ α x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t.
N (cid:88)
Chøng minh. Tł (2.1) v(cid:160) (2.6) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc
α) − A0(z) + αµ
α) − Ai(z)] + αJ(xδ
α − x∗)
i=1
A0(xδ [Ai(xδ
N (cid:88)
(2.8)
i − fi),
0 − f0 + αµ
i=1
(f δ z ∈ S, = f δ
α l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6). Tł (2.8) ta suy ra
(cid:240) (cid:31)¥y xδ
N (cid:88)
α) − A0(z) + αµ
α) − Ai(z)]
(cid:68) A0(xδ [Ai(xδ
i=1 + αJ(xδ
α − x∗), xδ
(cid:69) (2.9)
α − z N (cid:88)
0 − f0 + αµ f δ
i − fi), xδ
α − z
i=1
(cid:68) = (f δ (cid:69) .
Sß d(cid:246)ng (2.2) v(cid:160) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa c¡c to¡n tß Ai, tł (2.9) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc
α − x∗), xδ
α − z(cid:105) ≤
α − z(cid:107).
(2.10) (cid:104)J(xδ (cid:0)1 + N αµ(cid:1)(cid:107)xδ δ α
α − x∗(cid:107) ≤
(cid:26) Do (cid:31)(cid:226), (cid:107)xδ 1 2 c(δ, α) α
(cid:107)x∗ − z(cid:107) + (cid:115)(cid:18) (cid:19)2 (cid:27) (2.11) + + (cid:107)x∗ − z(cid:107) + (cid:107)x∗ − z(cid:107) 4c(δ, α) α
c(δ, α) α (cid:114)
α
+ ≤ (cid:107)x∗ − z(cid:107) + c(δ, α) α c(δ, α) α
(cid:107)x∗ − z(cid:107), (cid:9) b(cid:224) ch(cid:176)n do δ/α, α → 0. (cid:240) (cid:31)¥y c(δ, α) = δ(1 + N αµ). V… v“y, d¢y (cid:8)xδ M(cid:160) theo gi£ thi‚t X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ th(cid:252)c n¶n t(cid:231)n t⁄i d¢y
27
α} hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n x ∈ X. Kh(cid:230)ng l(cid:160)m m§t t‰nh tŒng qu¡t, α (cid:42) x khi δ/α, α → 0. Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, ta chøng minh x ∈ S0.
con cıa d¢y {xδ ta gi£ sß xδ Th“t v“y, tł (2.6), t‰nh (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa Ai, i = 1, 2, . . . , N v(cid:160) J ta c(cid:226)
0 , x − xδ
α) − f δ
0 , x − xδ α(cid:105)
α(cid:105) ≥ (cid:104)A0(xδ N (cid:88)
(cid:104)A0(x) − f δ
α) − f δ
i , xδ
α − x(cid:105)
≥ αµ (cid:104)Ai(xδ
i=1 + α(cid:104)J(xδ
α − x∗), xδ
α − x(cid:105)
N (cid:88)
(2.12)
i , xδ
α − x(cid:105)
i=1 + α(cid:104)J(x − x∗), xδ
α − x(cid:105) ∀x ∈ X.
≥ αµ (cid:104)Ai(x) − f δ
Trong b§t (cid:31)flng thøc (2.12) cho α → 0, δ/α → 0 ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc
(cid:104)A0(x) − f0, x − x(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
N (cid:88)
N (cid:88)
Suy ra, x ∈ S0 (xem BŒ (cid:31)• 1.1.21). Ta s‡ chøng minh x ∈ Si v(cid:238)i i = 1, 2, . . . , N . Th“t v“y, tł (2.6), t‰nh (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa A0 v(cid:160) (2.2) ta c(cid:226)
α) − fi, xδ
α − z(cid:105) =
i − fi, xδ
α − z(cid:105)
i=1
i=1
α − x∗), z − xδ α(cid:105)
(cid:104)f δ (cid:104)Ai(xδ
0 − A0(xδ
α) + A0(z) − f0, xδ
α − z(cid:105)
+
α − z(cid:107)
≤
α − x∗), z − xδ
α(cid:105) ∀z ∈ S.
+ α1−µ(cid:104)J(xδ 1 αµ (cid:104)f δ δ αµ (1 + N αµ)(cid:107)xδ + α1−µ(cid:104)J(xδ
N (cid:88)
Do Ai l(cid:160) c¡c to¡n tß λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) J l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u n¶n tł b§t (cid:31)flng thøc tr¶n suy ra
α) − Ai(z)(cid:107)2 ≤
α − z(cid:107)
i=1
α1−µ(1 + N αµ)(cid:107)xδ λi(cid:107)Ai(xδ δ α
α − x∗(cid:107)(cid:107)z − xδ
α(cid:107) ∀z ∈ S.
+ α1−µ(cid:107)xδ
V… v“y, (cid:107)Ai(xδ α) − fi(cid:107) → 0 khi α → 0, δ/α → 0. Theo gi£ thi‚t mØi to¡n tß Ai, i = 1, . . . , N , l(cid:160) λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh, n¶n l(cid:160) to¡n tß b¡n (cid:31)(cid:226)ng
28
α (cid:42) ¯x v(cid:160) (cid:107)Ai(xδ
α) − fi(cid:107) → 0 suy ra
(theo Nh“n x†t 1.1.33). Do (cid:31)(cid:226), tł xδ Ai(x) = fi, nh(cid:247) v“y x ∈ Si (xem Nh“n x†t 1.1.16).
B¥y gi(cid:237) ta s‡ chøng minh (cid:107)¯x − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)z − x∗(cid:107), v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S. Th“t
N (cid:88)
v“y, tł (2.8) ta c(cid:226)
α − z(cid:107) ≥ 0 ∀z ∈ S.
α(cid:105) +
i=0
αµi(cid:107)xδ (cid:104)J(z − x∗), z − xδ δ α
Cho α, δ/α → 0 ta (cid:31)(cid:247)æc
(cid:104)J(z − x∗), z − x(cid:105) ≥ 0 ∀z ∈ S.
Do S l(cid:160) t“p l(cid:231)i n¶n trong b§t (cid:31)flng thøc tr¶n ta thay z ∈ S b(cid:240)i tx + (1 − t)z ∈ S, t ∈ (0, 1) sau (cid:31)(cid:226), chia c£ hai v‚ cho (1 − t) v(cid:160) cho t dƒn (cid:31)‚n 1 ta (cid:31)(cid:247)æc
(cid:104)J(x − x∗), z − x(cid:105) ≥ 0 ∀z ∈ S.
α → x0.
Suy ra, (cid:107)x − x∗(cid:107) ≤ (cid:107)z − x∗(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S. Do Si l(cid:160) c¡c t“p l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng n¶n S c(cid:244)ng l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng, do (cid:31)(cid:226) phƒn tß x0 ∈ S c(cid:226) x∗-chu'n nh(cid:228) nh§t trong kh(cid:230)ng gian Banach l(cid:231)i ch(cid:176)t X l(cid:160) duy nh§t, tøc l(cid:160) ¯x = x0. Tł (2.11) thay th‚ z b(cid:240)i x0 ta (cid:31)(cid:247)æc (cid:107)xδ α − x∗(cid:107) → (cid:107)x0 − x∗(cid:107). Do X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:50) Banach c(cid:226) t‰nh ch§t ES n¶n xδ
2.2.3 X§p x¿ hœu h⁄n chi•u
α cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh (2.6) c(cid:226) th” x§p x¿ hœu h⁄n
Nghi»m xδ
chi•u b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p Galerkin (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ b(cid:240)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
N (cid:88)
0 (x) + αµ
i (x) − f nδ i
i=1
n f δ
n AiPn, J n = P ∗
i = P ∗
i = P ∗
n : X ∗ → X ∗
n JPn, f nδ (cid:240) (cid:31)¥y An i , Pn : X → Xn l(cid:160) ph†p chi‚u tuy‚n t‰nh tł X l¶n kh(cid:230)ng gian con hœu h⁄n chi•u Xn cıa X (cid:31)(cid:247)æc gi£ thi‚t l(cid:160) b(cid:224) ch(cid:176)n (cid:31)•u tr¶n X, P ∗ n l(cid:160) to¡n tß li¶n hæp cıa Pn v(cid:160)
(cid:17) (cid:16) An An (2.13) x ∈ Xn, + αJ n(x) = f nδ 0 ,
Xn ⊂ Xn+1 ∀n; Pnx → x khi n → +∞ ∀x ∈ X.
Kh(cid:230)ng l(cid:160)m m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t, ta gi£ sß (cid:107)Pn(cid:107) = 1.
29
C(cid:244)ng giŁng nh(cid:247) (2.6), v(cid:238)i c¡c gi£ thi‚t nh(cid:247) BŒ (cid:31)• 2.2.2, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
α,n v(cid:238)i mØi δ, α > 0 v(cid:160) n.
(2.13) c(cid:226) duy nh§t nghi»m xδ
i ∈ X ∗, d¢y nghi»m x§p x¿ {xδ α cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh hi»u ch¿nh (2.6) khi n → +∞ v(cid:238)i (cid:31)i•u ki»n Pnx → x khi n → +∞.
Sau (cid:31)¥y ta s‡ ch¿ ra v(cid:238)i mØi α > 0 v(cid:160) f δ α,n}, nghi»m cıa (2.13), hºi t(cid:246) (cid:31)‚n nghi»m hi»u ch¿nh xδ
i =
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4 (xem [9]) Gi£ sß X l(cid:160) kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ th(cid:252)c c(cid:226) t‰nh ch§t ES, X ∗ l(cid:160) kh(cid:230)ng gian (cid:31)Łi ng¤u cıa X l(cid:231)i ch(cid:176)t; A0 : (cid:0)D(A0) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) hemi-li¶n t(cid:246)c, c¡c to¡n tß Ai : (cid:0)D(Ai) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh; f δ i ∈ X ∗, δ > 0, i = 0, 1, . . . , N th(cid:228)a m¢n (2.2); J : (cid:0)D(J) = X(cid:1) → X ∗ l(cid:160) ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c. Khi (cid:31)(cid:226), n‚u n → ∞ th… d¢y nghi»m {xδ α,n} cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13) hºi t(cid:246) t(cid:238)i nghi»m xδ α cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6).
n JPn, f nδ
n f δ
i , i = 0, 1, . . . , N ta c(cid:226)
i = P ∗
Chøng minh: Tł (2.13), sß d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a ph†p chi‚u Pn v(cid:160) An n AiPn, J n = P ∗ P ∗
N (cid:88)
0 (xδ
α,n) + αµ
i (xδ
α,n) − f nδ i
(cid:68) (cid:1) 0 = An (cid:0)An
i=1 α,n) − f nδ
0 , xδ
α,n − xδ α
(cid:69) + αJ n(xδ
N (cid:88)
(2.14)
α,n) + αµ
α,n) − f δ i
(cid:1) = (cid:68) A0(xδ (cid:0)Ai(xδ
i=1 0 , xδ α,n) − f δ
α,n − Pnxδ α
(cid:69) + αJ(xδ .
Tł (2.14), sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t cıa ¡nh x⁄ (cid:31)Łi ng¤u chu'n t›c J v(cid:160) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa c¡c to¡n tß Ai ta c(cid:226)
α,n − Pnxδ
α), xδ
α,n − Pnxδ α(cid:105)
α(cid:107)s ≤ α(cid:104)J(xδ ≤ (cid:10)A0(xδ
α,n) − J(Pnxδ α,n) − f δ 0 N (cid:88)
αmJ (cid:107)xδ
α,n) − f δ i
α − xδ
α,n
i=1 + α(cid:104)J(Pnxδ
α), Pnxδ
α − xδ
α,n(cid:105).
(cid:11) + αµ (cid:1), Pnxδ (cid:0)Ai(xδ
30
Hay
α(cid:107)s ≤ (cid:10)A0(Pnxδ
α) − f δ 0
α,n − Pnxδ N (cid:88)
αmJ (cid:107)xδ
α) − f δ i
α − xδ
α,n
i=1 + α(cid:104)J(Pnxδ
α), Pnxδ
α − xδ
α,n(cid:105).
α(cid:107)s
N (cid:88)
(cid:11) + αµ (2.15) (cid:0)Ai(Pnxδ (cid:1), Pnxδ
α)(cid:107) + (cid:107)f δ
0 (cid:107) + αµ
α)(cid:107) + (cid:107)f δ
i (cid:107)(cid:1)
α − xδ
α,n(cid:107)
≤ (cid:0)(cid:107)Ai(pnxδ (cid:21) (cid:107)Pnxδ Tł b§t (cid:31)flng thøc tr¶n suy ra α,n − Pnxδ αmJ (cid:107)xδ (cid:20) (cid:107)A0(Pnxδ
α(cid:107)(cid:107)Pnxδ
α − xδ
i=1 α,n(cid:107).
+ α(cid:107)Pnxδ
(2.16) α,n} gi(cid:238)i nºi trong kh(cid:230)ng gian Banach ph£n α,n} hºi t(cid:246) y‚u, kh(cid:230)ng l(cid:160)m m§t α. Tł (2.14) sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t
(cid:30)i•u n(cid:160)y chøng t(cid:228) d¢y {xδ x⁄ E, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y con cıa d¢y {xδ α,n (cid:42) ¯xδ t‰nh ch§t tŒng qu¡t, ta gi£ sß xδ (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa c¡c to¡n tß Ai, J v(cid:160) t‰nh ch§t cıa ph†p chi‚u Pn ta c(cid:226)
N (cid:88)
i
0 , xn −xδ
α,n
i=1
(cid:69) (cid:68) (cid:0)Ai(xn)−f δ (cid:1)+αJ(xn)−f δ ≥ 0 ∀xn ∈ Xn. A0(xn)+αµ
(cid:240) (cid:31)¥y, xn := Pnx ∈ Xn v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X. Do Pnx → x khi n → +∞ v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X n¶n tł b§t (cid:31)flng thøc tr¶n ta c(cid:226)
N (cid:88)
i
0 , x − ¯xδ α
i=1
α l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6), m(cid:160) (2.6) c(cid:226) duy nh§t α,n} hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:31)‚n xδ α
α. Tł (2.15) suy ra d¢y {xδ
α = xδ
(cid:69) (cid:68) (cid:1) + αJ(x) − f δ ≥ 0 ∀x ∈ X. (cid:0)Ai(x) − f δ A0(x) + αµ
Suy ra, ¯xδ nghi»m n¶n ¯xδ khi n → ∞.
(cid:50)
D(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y ta tr£ l(cid:237)i cho c¥u h(cid:228)i khi n(cid:160)o
α,δ→0 n→∞
lim xδ α,n = x0 ∈ S?
(cid:30)(cid:176)t
z ∈ S, γn(z) = (cid:107)(I − Pn)(z)(cid:107),
31
(cid:240) (cid:31)¥y I l(cid:160) to¡n tß (cid:31)(cid:236)n v(cid:224) trong X. S(cid:252) hºi t(cid:246) cıa d¢y nghi»m hi»u ch¿nh hœu h⁄n chi•u {xδ α,n} cıa b(cid:160)i to¡n (2.13) (cid:31)‚n nghi»m ch‰nh x¡c cıa b(cid:160)i to¡n (2.6) (cid:31)(cid:247)æc chøng minh trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.
(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.5 (xem [9]) Gi£ sß X, X ∗, J, Ai, fi, i = 0, 1, . . . , N (cid:31)(cid:247)æc gi£ sß nh(cid:247) trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4 v(cid:160) S = ∩N i=0Si (cid:54)= ∅. Khi (cid:31)(cid:226), n‚u δ/α, γn(z)/α → 0 v(cid:160) Pnx → x khi α → 0 v(cid:160) n → ∞ th… d¢y {xδ α,n} hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:31)‚n x0 ∈ S.
Chøng minh: Tł (2.1), (2.2), (2.14) v(cid:238)i z ∈ S, zn = Pnz v(cid:160) sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa c¡c to¡n tß Ai ta suy ra
α,n), xδ
α,n − zn(cid:105) = (cid:10)A0(xδ
α,n) − f δ 0
N (cid:88)
α(cid:104)J(xδ
α,n) − f δ
i ), zn − xδ
α,n
i=1
(cid:11) + αµ (Ai(xδ
0
≤ (cid:10)A0(zn) − f δ
N (cid:88)
i ), zn − xδ
α,n
i=1
(2.17) (cid:11) + αµ (Ai(zn) − f δ
α,n(cid:107)
N (cid:88)
≤ (cid:2)(cid:107)A0(zn) − A0(z)(cid:107) + δ(cid:3)(cid:107)zn − xδ
α,n(cid:107).
i=1
+ αµ (cid:2)(cid:107)Ai(zn) − Ai(z)(cid:107) + δ(cid:3)(cid:107)zn − xδ
M(cid:160) ta l⁄i c(cid:226)
α,n − zn(cid:105) ≤
α,n), xδ
α,n(cid:107).
(cid:104)J(xδ (1 + N αµ)(cid:107)zn − xδ (cid:107)Ai(zn) − Ai(z)(cid:107) ≤ ¯Kγn(z), (2.18) (cid:240) (cid:31)¥y ¯K l(cid:160) h‹ng sŁ d(cid:247)(cid:236)ng ch¿ ph(cid:246) thuºc v(cid:160)o z, tł (2.17) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc δ + ¯Kγn(z) α
Ta suy ra
α,n), xδ
α,n(cid:105) − (cid:104)J(xδ
α,n), zn(cid:105) ≤
α,n(cid:107) + (cid:107)zn(cid:107)).
(cid:104)J(xδ (1 + N αµ)((cid:107)xδ δ + ¯Kγn(z) α
(2.19)
α,n(cid:107)2 − (cid:107)xδ
α,n(cid:107)
Do (cid:31)(cid:226), (cid:21) (cid:20) − (cid:107)z(cid:107) ≤ 0, (cid:107)xδ (cid:107)z(cid:107) + ¯c(δ, α) α ¯c(δ, α) α
32
α,n(cid:107) ≤
(cid:240) (cid:31)¥y ¯c(δ, α) = (δ + ¯Kγn(z))(1 + N αµ). Tł b§t (cid:31)flng thøc tr¶n suy ra (cid:115)(cid:18) (cid:27) (cid:19)2 (cid:26) (cid:107)z(cid:107) + (cid:107)z(cid:107) (cid:107)xδ + + (cid:107)z(cid:107) + ¯c(δ, α) α 4¯c(δ, α) α 1 2 ¯c(δ, α) α
(cid:114)
≤ (cid:107)z(cid:107) + + (cid:107)z(cid:107). ¯c(δ, α) α ¯c(δ, α) α
(2.20)
C(cid:242)ng v(cid:238)i c¡c gi£ thi‚t cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254), ta suy ra d¢y {xδ α,n} gi(cid:238)i nºi trong kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ X, do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i d¢y con cıa {xδ α,n} hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n x ∈ X. (cid:30)” (cid:31)(cid:236)n gi£n, ta gi£ sß xδ α,n (cid:42) ¯x khi α → 0 v(cid:160) n → ∞. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ta chøng minh ¯x ∈ S0. Th“t v“y, tł (2.14) v(cid:160) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa J, Ai, i = 0, 1, . . . , N , v(cid:238)i m(cid:229)i x ∈ X ta c(cid:226)
α,n)
0 , Pnx − xδ + A0(xδ
α,n) − f δ
α,n(cid:105)
α,n(cid:105) = (cid:104)A0(Pnx) − A0(xδ 0 , Pnx − xδ α,n(cid:105)
0 , Pnx − xδ
α,n) − f δ
(cid:104)A0(Pnx) − f δ
α,n) − f δ
i , xδ
α,n − Pnx(cid:105) + α(cid:104)J(xδ
α,n), xδ
α,n − Pnx(cid:105)
i=1 N (cid:88)
≥ (cid:104)A0(xδ N (cid:88) ≥ αµ (cid:104)Ai(xδ
i , xδ
α,n − Pnx(cid:105) + α(cid:104)J(Pnx), xδ
α,n − Pnx(cid:105).
i=1
≥ αµ (cid:104)Ai(Pnx) − f δ
Trong b§t (cid:31)flng thøc tr¶n khi δ, α → 0 v(cid:160) n → ∞ ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc
(cid:104)A0(x) − f0, x − x(cid:105) ≥ 0 ∀x ∈ X.
N (cid:88)
V… v“y, x ∈ S0 (xem BŒ (cid:31)• 1.1.21). Ta s‡ chøng minh r‹ng x ∈ Si, i = 1, 2, . . . , N . Th“t v“y, tł (2.2), (2.14) v(cid:160) t‰nh ch§t (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u cıa J, Ai, i = 0, 1, . . . , N ta c(cid:226)
α,n) − Ai(Pnz), xδ
α,n − Pnz(cid:105)
i=1
N (cid:88)
(cid:104)Ai(xδ
α,n) − f δ
i + f δ
i − Ai(Pnz), xδ
α,n − Pnz(cid:105).
i=1
= (cid:104)Ai(xδ
33
N (cid:88)
Hay
α,n) − Ai(Pnz), xδ
α,n − Pnz(cid:105)
i=1
(cid:104)Ai(xδ
α,n) − f δ
0 , Pnz − xδ
α,n(cid:105) + α1−µ(cid:104)J(xδ
α,n), Pnz − xδ
α,n(cid:105)
=
i , Pnz − xδ
α,n(cid:105)
i=1
1 αµ (cid:104)A0(xδ N (cid:88) + (cid:104)Ai(Pnz) − f δ
0 , Pnz − xδ
α,n(cid:105)
≤
N (cid:88)
1 αµ (cid:104)A0(Pnz) − A0(z) + f0 − f δ + α1−µ(cid:104)J(Pnz), Pnz − xδ α,n(cid:105)
i , Pnz − xδ
α,n(cid:105)
i=1
+ (cid:104)Ai(Pnz) − Ai(z) + fi − f δ
α,n(cid:107)
(cid:20) ≤ (cid:21) (cid:107)Pnz − xδ (cid:107)A0(z) − A0(Pnz)(cid:107) + (cid:107)f0 − f δ 0 (cid:107) 1 αµ
α,n(cid:107)
+ α1−µ(cid:107)Pnz(cid:107)(cid:107)Pnz − xδ
N (cid:88)
α,n(cid:107)
i=1
i=1
(cid:21) (cid:20) N (cid:88) + (cid:107)Ai(Pnz) − Ai(z)(cid:107) + (cid:107)Pnz − xδ (cid:107)fi − f δ i (cid:107)
α,n(cid:107)
(cid:20) ≤ δ + ¯Kγn(z) + δN αµ + ¯Kγn(z)N αµ (cid:21) (cid:107)Pnz − xδ 1 αµ
α,n(cid:107) ∀z ∈ S.
+ α1−µ(cid:107)Pnz(cid:107)(cid:107)Pnz − xδ
N (cid:88)
N (cid:88)
Sß d(cid:246)ng t‰nh ch§t λi-ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh cıa c¡c to¡n tß Ai, tł b§t (cid:31)flng thøc tr¶n v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S ta c(cid:226)
α,n) − Ai(Pnz)(cid:107)2 ≤
α,n) − Ai(Pnz), xδ
α,n − Pnz(cid:105)
i=1
i=1
λi(cid:107)Ai(xδ (cid:104)Ai(xδ
α,n(cid:107) + α1−µ(cid:107)Pnz(cid:107)(cid:107)Pnz − xδ
α,n(cid:107).
≤ α1−µ δ + ¯Kγn(z) (1 + N αµ)(cid:107)Pnz − xδ
α Do (cid:31)(cid:226), (cid:107)Ai(xδ α,n) − Ai(z)(cid:107) → 0 khi α, δ/α, γn(z)/α → 0 v(cid:160) n → ∞. Theo gi£ thi‚t, c¡c to¡n tß Ai, i = 0, 1, . . . , N l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u c(cid:252)c (cid:31)⁄i, nh(cid:247) ta (cid:31)¢ bi‚t, (cid:31)(cid:231) th(cid:224) Gr(A) cıa to¡n tß c(cid:252)c (cid:31)⁄i A tł kh(cid:230)ng gian Banach ph£n x⁄ X v(cid:160)o X ∗ l(cid:160) demi-(cid:31)(cid:226)ng (xem BŒ (cid:31)• 1.1.31). Do (cid:31)(cid:226), theo Nh“n x†t 1.1.16 ta c(cid:226) Ai(x) = fi, i = 1, 2, . . . , N , ngh(cid:190)a l(cid:160) x ∈ Si. M(cid:176)t kh¡c, tł (2.16) suy ra (cid:10)J(z), z − ¯x(cid:11) ≥ 0 v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S. V… Si l(cid:160) c¡c t“p l(cid:231)i
34
(cid:31)(cid:226)ng n¶n S c(cid:244)ng l(cid:160) t“p l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng. Thay z b(cid:240)i t¯x + (1 − t)z, t ∈ (0, 1) trong b§t (cid:31)flng thøc tr¶n, chia c£ hai v‚ cho (1 − t) v(cid:160) cho t dƒn (cid:31)‚n 1,
ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc
0 = Pnx0 trong (2.19) ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc d¢y {xδ
(cid:10)J(¯x), z − ¯x(cid:11) ≥ 0 ∀z ∈ S,
suy ra (cid:107)¯x(cid:107) ≤ (cid:107)z(cid:107) v(cid:238)i m(cid:229)i z ∈ S. V… t‰nh l(cid:231)i (cid:31)(cid:226)ng cıa S v(cid:160) t‰nh l(cid:231)i ch(cid:176)t cıa kh(cid:230)ng gian X, ta c(cid:226) ¯x = x0. V… v“y, d¢y {xδ α,n} hºi t(cid:246) y‚u (cid:31)‚n x0. (cid:30)(cid:176)t zn := xn α,n} hºi t(cid:246) m⁄nh (cid:50) (cid:31)‚n x0.
35
K‚t lu“n
(cid:30)• t(cid:160)i lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng
ch¿nh v(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n
(cid:31)i»u m⁄nh trong kh(cid:230)ng gian Banach. C(cid:246) th”:
(1) Gi(cid:238)i thi»u v• b(cid:160)i to¡n ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh trong kh(cid:230)ng gian
Banach; tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p hi»u ch¿nh Browder(cid:21)Tikhonov hi»u
ch¿nh ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u.
(2) Gi(cid:238)i thi»u h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u v(cid:160) mºt sŁ b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:247)a
(cid:31)(cid:247)æc v• h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u. Tr…nh b(cid:160)y ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p
hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh trong
kh(cid:230)ng gian Banach.
(3) Tr…nh b(cid:160)y x§p x¿ hœu h⁄n chi•u nghi»m hi»u ch¿nh h» ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh
to¡n tß ng(cid:247)æc (cid:31)(cid:236)n (cid:31)i»u m⁄nh v(cid:160) tr…nh b(cid:160)y chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) hºi
t(cid:246) m⁄nh.
36
T(cid:160)i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Ph⁄m K(cid:253) Anh, Nguy„n B(cid:247)(cid:237)ng (2005), B(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:176)t kh(cid:230)ng ch¿nh,
NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.
[2] Trƒn V(cid:244) Thi»u, Nguy„n Th(cid:224) Thu Thıy (2011), Gi¡o tr…nh TŁi (cid:247)u
phi tuy‚n, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc gia H(cid:160) Nºi.
[3] Ho(cid:160)ng T(cid:246)y (2003), H(cid:160)m th(cid:252)c v(cid:160) Gi£i t‰ch h(cid:160)m, NXB (cid:30)⁄i h(cid:229)c QuŁc
gia H(cid:160) Nºi.
Ti‚ng Anh
[4] R.P. Agarwal, D. O’Regan, D.R. Sahu (2009), Fixed Point Theory
for Lipschitzian-type Mappings with Applications, Springer.
[5] Y. Alber, I.P. Ryazantseva (2006), Nonlinear Ill-posed Problems of
Monotone Type, Springer-Verlag, Berlin.
[6] Y. Alber (1975), "On solving nonlinear equations involving mono- tone operators in Banach spaces", Sibirian Mathematics Journal,
26, 3-11.
[7] F.E. Browder (1963), "Nonlinear elliptic boundary value problems",
Bull, AMS, 69, 862-874.
[8] I. Ekeland, R. Temam (1970), Convex Analysis and Variational Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, Hol-
land.
37
[9] T.T. Huong, J.K. Kim, Ng.T.T. Thuy (2018), "Regularization for
the problem of finding a solution of a system of nonlinear monotone ill-posed equations in Banach spaces", J. Korean Math. Soc., 55(4),
849(cid:21)875.
[10] M.M. Lavret’ev (1967), Some improperly posed problems in mathe-
matical physics, Springer, New York.
[11] F. Liu, M.Z. Nashed (1998), "Regularization of nonlinear ill-posed variatio-nal inequalities and convergence rates", Set-Valued Analy- sis, 6, 313-344.
[12] G.J. Minty (1963), "On a monotonicity method for the solutions of nonlinear equations in Banach spaces", Proc. Nat. Acad. Sc. USA,
50, 1038-1041.
[13] A.N. Tikhonov (1963), "On the solution of ill-posed problems and the method of regularization", Dokl. Akad. Nauk SSSR, 151, 501(cid:21)
504 (Russian).
