Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất hình học của nghiệm của một số đa thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:42

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn này là trình bày lại các kết quả trên đồng thời trình bày lại các nghiên cứu gần đây về hình học của nghiệm của một số lớp các đa thức. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất hình học của nghiệm của một số đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HỒNG ÁNH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HỒNG ÁNH TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA NGHIỆM CỦA MỘT SỐ ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN TẤT THẮNG THÁI NGUYÊN - 2019
iii Mục lục Bảng ký hiệu 1 Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Bao lồi và tâm tỉ cự của hệ điểm . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng . . . . . . . . . . . 9 2 Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba 13 2.1 Tính chất hình học của các điểm tới hạn . . . . . . . . . . . 13 2.2 Elip Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Định lý Siebeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Đa thức tự nghịch đảo 24 3.1 Một số tính chất của đa thức tự nghịch đảo . . . . . . . . . 24 3.2 Tính chất hình học của một lớp các đa thức tự nghịch đảo . 32 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38
1 Bảng ký hiệu R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclid n chiều C tập số phức N∗ tập số tự nhiên khác 0
2 Mở đầu Định lý cơ bản của đại số khẳng định rằng mọi đa thức khác hằng với hệ số phức đều có ít nhất một nghiệm phức. Mỗi số phức có thể biểu diễn bởi một điểm trên mặt phẳng phức. Các tính chất hình học của nghiệm của một đa thức được nhiều người quan tâm. Kết quả sau cho ta mối quan hệ giữa nghiệm của đạo hàm của một đa thức với nghiệm của đa thức đó. Định lý Gauss - Lucas: Cho P là đa thức khác hằng. Khi đó, nghiệm của P 0 nằm miền trong của bao lồi của các nghiệm của P . Trong trường hợp P là đa thức bậc ba, các nghiệm của P 0 được mô tả cụ thể hơn trong định lý sau. Định lý Siebeck: Cho z1 , z2 , z3 ∈ C là các số phức không cộng tuyến. Khi đó các nghiệm ω1 , ω2 của hàm 1 1 1 F (z) = + + z − z1 z − z2 z − z3 là các tiêu điểm của elip tiếp xúc với ba cạnh của tam giác tạo bởi z1 , z2 , z3 tại các trung điểm của các cạnh của tam giác đó. Mục tiêu của luận văn này là trình bày lại các kết quả trên đồng thời trình bày lại các nghiên cứu gần đây về hình học của nghiệm của một số lớp các đa thức. Nội dung luận văn gồm 3 chương sau: Chương 1. Kiến thức chuẩn bị: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cần thiết bao gồm: Bao lồi, tâm tỉ cự, phép biến đổi tuyến tính. Chương 2. Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba: Trình bày tính chất hình học của các điểm tới hạn của một đa thức bậc ba. Cụ thể hơn, cho P là một đa thức bậc ba, khi đó các nghiệm của đạo hàm P 0 được gọi là
3 các điểm tới hạn của P . Theo định lý Gauss - Lucas, thì các điểm đó nằm miền trong của tam giác tạo bởi ba đỉnh là các nghiệm của P , ở đây giả sử P có ba nghiệm phân biệt. Định lý Siebeck cho đa thức bậc ba mô tả cụ thể vị trí của các điểm tới hạn đó. Trong chương 2 trình bày một kết quả mở rộng của Định lý Siebeck bậc ba. Trong đó phương pháp sử dụng chủ yếu là các tính chất hình học phẳng và các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng. Chương 3. Đa thức tự nghịch đảo: Trình bày về đa thức tự nghịch đảo, đó là lớp các đa thức có tập nghiệm "đối xứng" nhau qua đường tròn đơn vị. Phần đầu của Chương 3 trình bày một số tính chất và đặc trưng của các đa thức tự nghịch đảo. Phần còn lại giới thiệu một số lớp các đa thức tự nghịch đảo cụ thể và đưa ra một tính chất hình học của nghiệm của các đa thức đó. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này, Trường Đại học Khoa học đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập, nghiên cứu. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô trong khoa Toán - Tin, trong Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Tất Thắng - người đã trực tiếp giúp đỡ, hướng dẫn về kiến thức, tài liệu và phương pháp để tác giả hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này. Tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, cổ vũ, khích lệ và giúp đỡ trong thời gian qua. Thái Nguyên, tháng......năm........ Tác giả luận văn Nguyễn Thị Hồng Ánh
4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong luận văn. 1.1 Bao lồi và tâm tỉ cự của hệ điểm Định nghĩa 1.1.1 Tập con H ⊂ R2 được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ H, t ∈ [0; 1] thì tx + (1 − t)y ∈ H. Bổ đề 1.1.2 Tập H ⊂ R2 là lồi khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 , ..., xn ∈ H và t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà t1 + t2 + ... + tn = 1 thì n X ti xi ∈ H. i=1 Chứng minh. Nếu H là tập lồi, ta chứng minh khẳng định trong bổ đề bằng quy nạp theo n. Với n = 1: Hiển nhiên đúng. Với n = 2: Đúng theo định nghĩa của tập lồi. Giả sử khẳng định đúng đến n = k. Lấy x1 , x2 , ..., xk+1 ∈ H; t1 , t2 , ..., tk+1 ∈ [0; 1] mà k+1 P i=1 ti = 1. Khi đó t1 t2 x= x1 + x2 ∈ H. t1 + t2 t1 + t2
5 Theo giả thiết quy nạp k+1 X k+1 X ti xi = (t1 + t2 )x + ti xi ∈ H. i=1 i=2 Từ đó, theo nguyên lý quy nạp ta được n X ti xi ∈ H, i=1 Pn với mọi n ∈ N, t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1], i=1 ti = 1 và x1 , x2 , ..., xn ∈ H. Điều ngược lại hiển nhiên đúng. Vậy ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.1.3 Cho U ⊂ R2 . Bao lồi của U được định nghĩa là tập lồi nhỏ nhất của R2 chứa U. Kí hiệu là convU. Mệnh đề 1.1.4 Bao lồi của U được xác định như sau ( n ) X convU = t1 x1 + .... + tn xn ; n ∈ N, ti ≥ 0, ti = 1, xi ∈ U, ∀i . i=1 Chứng minh. Đặt ( n n ) X X H := ti xi ; n ∈ N, ti ≥ 0, ti = 1, xi ∈ U . i=1 i=1 Trước hết, ta chứng minh H là một tập lồi chứa U. Thật vậy, lấy u ∈ U thì 1.u ∈ H. Vậy U ⊂ H. Xét n X n X u1 = ti xi ∈ H, ti ≥ 0, ti = 1, xi ∈ U, i=1 i=1 và m m X X u2 = sj yj ∈ H, sj ≥ 0, sj = 1, yj ∈ U. j=1 j=1 Lấy t ∈ [0; 1] , ta có n X m X tu1 + (1 − t)u2 = tti xi + (1 − t)sj yj . i=1 j=1
6 Nhận thấy n X m X tti + (1 − t)sj = t + 1 − t = 1. i=1 j=1 Nên tu1 + (1 − t)u2 ∈ H. Tức là H là một tập lồi. Vậy convU ⊂ H. Pn Ngược lại, lấy t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà i=1 ti = 1 và x1 , x2 , ..., xn ∈ U. Do đó x1 , x2 , ..., xn ∈ convU. Vì convU là một tập lồi nên theo Bổ đề 1.1.2, ta có t1 x1 + t2 x2 + ... + tn xn ∈ convU. Vậy H ∈ convU . Ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 1.1.5 (1) conv {a, b} là đoạn thẳng nối a và b, với a, b ∈ R. (2) Với ba điểm A, B, C ∈ R2 thì conv {A, B, C} là tam giác với ba đỉnh A, B, C. Theo mệnh đề trên, nếu điểm x thuộc bao lồi của tập hữu hạn điểm Pn x1 , x2 , ..., xn trên R2 thì tồn tại t1 , t2 , ..., tn ∈ [0; 1] mà i=1 ti = 1 và Pn x = i=1 ti xi . Khi đó ta nói x là tâm tỉ cự của hệ điểm {x1 , x2 , ..., xn } đối với bộ hệ số {t1 , t2 , ..., tn }. Đối với bộ hệ số bất kì, ta cũng có khái niệm tương tự. Trước hết ta có tính chất sau. Bổ đề 1.1.6 Trên mặt phẳng cho n điểm A1 , A2 , ..., An và các số thực t1 , t2 , ..., tn mà t1 + t2 + ... + tn 6= 0. Khi đó, tồn tại duy nhất điểm G mà −−→ −−→ −−→ t1 GA1 + t2 GA2 + ... + tn GAn = ~0. Chứng minh. Gọi O là gốc tọa độ. Khi đó n n −−→ −−→ −−→ X −→ X −−→ t1 GA1 + t2 GA2 + ... + tn GAn = ti GO + ti OAi . i=1 i=1
7 Chọn G sao cho ! n −→ 1 X −−→ OG = Pn ti OAi . i=1 ti i=1 Ta có điều phải chứng minh. Định nghĩa 1.1.7 Ta gọi điểm G trong Bổ đề 1.1.6 là tâm tỉ cự của hệ điểm {A1 , A2 , ..., An } đối với bộ hệ số (t1 , t2 , ..., tn ) . Nếu ni=1 ti = 1, ta nói P bộ (t1 , t2 , ..., tn ) là tọa độ tỉ cự của điểm G đối với hệ điểm {A1 , A2 , ..., An } . Ví dụ 1.1.8 (1) Cho đoạn thẳng AB. K là điểm nằm giữa A, B sao cho KA = 31 KB, khi đó điểm K là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, B} với tọa độ tỉ cự là 1 3 ; 4 4 vì 1 −−→ 3 −−→ ~ KA + KB = 0. 4 4 (2) Trung điểm I của đoạn thẳng AB là tâm tỉ cự của hệ hai điểm {A, B} với tọa độ tỉ cự là 12 ; 12 vì 1−→ 1 −→ IA + IB = ~0. 2 2 (3) Trọng tâm G của tam giác ABC là tâm tỉ cự của hệ ba điểm {A, B, C} với tọa độ tỉ cự là 13 ; 13 ; 13 vì 1 −→ 1 −−→ 1 −→ ~ GA + GB + GC = 0. 3 3 3 (4) Cho tứ giác ABCD. Gọi O, M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CD, M N , khi đó điểm O là tâm tỉ cự của hệ bốn điểm {A, B, C, D} với tọa độ tỉ cự là 14 ; 14 ; 14 ; 14 vì 1 −→ 1 −−→ 1 −→ 1 −−→ ~ OA + OB + OC + OD = 0. 4 4 4 4 Đối với một hệ điểm bất kì cho trước thì mọi điểm trên mặt phẳng đều là tâm tỉ cự cuả hệ điểm đó đối với một bộ hệ số nào đó. Điều đó thể hiện trong mệnh đề sau.
8 Mệnh đề 1.1.9 Trên mặt phẳng cho ba điểm phân biệt A, B, C và P là một điểm bất kì thuộc miền trong của 4ABC. Khi đó P là tâm tỉ cự của hệ điểm {A, B, C} với tọa độ tâm tỉ cự S4P BC S4P AC S4P BA , , . S4ABC S4ABC S4ABC Chứng minh. Đặt S4P BC = S1 , S4P AC = S2 , S4P BA = S3 . Ta cần chứng minh −→ −−→ −→ S1 .P A + S2 .P B + S3 .P C = ~0. Gọi A0 = AP T BC. Ta có −→ −−→ S3 −−→ S2 P A = −P A0 . = −P A0 . . S4P BA0 S4P CA0 Suy ra −→ −→ −→ S1 .P A = S4P BA0 P A + S4P CA0 P A. −−→ −−→ = −P A0 .S3 − P A0 .S2 . Ta cần chứng minh rằng −−→ −−→ −−→ −→ −P A0 .S3 − P A0 .S2 = −P B.S2 − P C.S3 . Thật vậy −−→ −−→ −−→ −→ −P A0 .S3 − P A0 .S2 = −P B.S2 − P C.S3 . Tương đương với −−→ −−→ −−→ −→ S2 . P A − P B + S3 . P A0 − P C = ~0 0 −−→ −−→ ⇔ S2 .BA0 + S3 .CA0 = ~0. Khẳng định trên đúng vì S4BAA0 A0 B S4BP A0 A0 B = 0 ; = 0 . S4CAA0 A C S4CP A0 AC Dẫn đến A0 B S4BAA0 − S4BP A0 S3 = = . A0 C S4CAA0 − S4CP A0 S2 Ta có điều phải chứng minh.
9 Nhận xét 1.1.10 Tính chất tương tự mệnh đề trên vẫn còn đúng khi P nằm miền ngoài tam giác. 1.2 Phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng Cho f : R2 → R2 là một ánh xạ. Khi đó f được gọi là tuyến tính nếu f (tx + sy) = tf (x) + sf (y), với mọi t, s ∈ R và x, y ∈ R2 . Đặt f (1, 0) = (α, γ), f (0, 1) = (β, δ). Khi đó ánh xạ tuyến tính f có thể biểu diễn như sau f : R2 → R2 (x1 , x2 ) 7→ (αx1 + βx2 ; γx1 + δx2 ). Dễ thấy rằng f là một song ánh khi và chỉ khi αδ − γβ 6= 0. Ta gọi các song ánh tuyến tính từ R2 vào chính nó là các phép biến đổi tuyến tính trên mặt phẳng. Nhắc lại rằng mặt phẳng R2 có thể đồng nhất với mặt phẳng phức C, bằng cách đồng nhất các điểm có tọa độ (x, y) ∈ R2 với số phức x + iy ∈ C. Do đó ta có thể xem các ánh xạ tuyến tính trên mặt phẳng như một ánh xạ từ C vào chính nó. Cụ thể như sau Đặt 1 a:= [(α + δ) + i(γ − β)] . 2 1 b : = [(α − δ) + i(γ + β)] . 2 z : = x + iy.
10 Khi đó ta có 1 1 az + bz = [(α + δ) + i(γ − β)] (x + iy) + [(α − δ) + i(γ + β)] (x − iy). 2 2 1 = [(α + δ)x − (γ − β)y + i(α + δ)y + i(γ − β)x] 2 1 + [(α − δ)x + (γ + β)y − i(α − δ)y + i(γ + β)x] . 2 1 = [2(αx + βy) + 2i(γx + δy)] . 2 = αx + βy + i(γx + δy). Do vậy nếu ta đồng nhất điểm có tọa độ (x, y) ∈ R2 với số phức z = x + yi thì ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 (x, y) 7→ (αx + βy; γx + δy). có thể viết lại như sau f: C→C z 7→ az + bz. với a, b được xác định như trên. Chú ý 1.2.1 Một elip được định nghĩa là tập hợp các điểm trên mặt phẳng có tổng khoảng cách đến hai điểm cho trước bằng một đại lượng không đổi. Ta đồng nhất mặt phẳng R2 với mặt phẳng phức C, giả sử hai tiêu điểm của elip được biểu diễn bởi các số phức u, v ∈ C. Khi đó một elip với hai tiêu điểm u, v là tập hợp sau {z ∈ C : |z − u| + |z − v| = L} , với L > 0 cho trước. Một tính chất quan trọng của phép biến đổi tuyến tính là như sau Bổ đề 1.2.2 Mọi phép biến đổi tuyến tính z 7→ az + bz biến đường tròn √ đơn vị thành một elip với các tiêu điểm ±2 ab.
11 Chứng minh. Đường tròn đơn vị được tham số như sau C = eiθ : 0 ≤ θ < 2π . Gọi E là ảnh của C qua phép biến đổi tuyến tính z 7→ az + bz. Khi đó E = x = a.eiθ + b.e−iθ : 0 ≤ θ < 2π . √ θ √ θ Đặt z = a.ei 2 và ω = b.e−i 2 , ta có
√
√